č. 4 - Podpora výuky a vzdělávání na GVN J. Hradec

Název projektu OPVK: Podpora výuky a vzdělávání na GVN J. Hradec
CZ.1.07/1.5.00/34.0766
Klíčová aktivita: IV/2
Číslo dokumentu: VY_42_INOVACE_M.S1.04
Typ výukového materiálu: Pracovní list pro žáka
Název výukového materiálu: Dvojková číselná soustava
Autor: PhDr. Jan Fiala, Ph.D.
Škola: Gymnázium V. Nováka Jindřichův Hradec
Obor vzdělávání: Gymnázium (všeobecné), osmileté
Ročník: III.
Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace
Vzdělávací obor: Matematika
Tématická oblast: Matematika - I.-IV. ročník osmiletého gymnázia
Datum vytvoření: 5. 9. 2012
Anotace: Pracovní list slouží žákům druhého ročníku osmiletého gymnázia k opakování
a procvičení základních početních operací v desítkové a římské číselné soustavě. Některé úlohy vybízí žáky také
k podnícení jejich zájmu o historii matematiky.
Kromě desítkové číselné soustavy se často používají
…jen samé nuly
číselné soustavy o jiných základech. Dnes se seznámíme
a jedničky…
s dvojkovou (také binární) číselnou soustavou.
Opravdu mohou
Dvojková číselná soustava využívá dva znaky:
dohromady vytvořit
0 a 1. Čísla vyjádřená ve dvojkové soustavě se nazývají
libovolné číslo?
binární čísla. Binární čísla využívají všechny elektronické
přístroje, od dálkových ovladačů, kalkulátorů až po počítače. Nevýhodou této soustavy je to,
jak uvidíme, že čísla bývají velmi dlouhá.
Nejdříve se naučíme vyjadřovat číslo zapsané v desítkové soustavě v soustavě
dvojkové. Pozorně si prohlédni následující příklad, ve kterém převedeme číslo 485
z desítkové do dvojkové soustavy. Zatímco u desítkové soustavy hrály hlavní roli mocniny
deseti ( 100 ,101 ,102...), zde to budou mocniny čísla 2.
1. Připomeň si, co znamená „mocnina“: 21 = 2 , 22 = 2
⋅ 2 , 23 = 2⋅
2
⋅ 2 , 24 = 2
⋅ 2
⋅ 2
⋅ 2 atd.
1x
2. Doplň následující tabulku:
Mocniny 2
20
21
1
2
Desítkový zápis mocniny
22
2x
23
24
3x
25
4x
26
27
28
29 …
Číslo 485 tedy můžeme zapsat do tvaru součtu jedno- nebo „nula-násobků“ nejvyšších
možných mocnin čísla 2, a to takto:
485=1 · 256 + 1 · 128 + 1 · 64 + 1 · 32 + 1 · 4 + 1 · 1, tedy
485 = 1 ⋅ 28 + 1 ⋅ 27 + 1 ⋅ 26 + 1 ⋅ 25 + 1 ⋅ 22 + 1 ⋅ 20 . Z tohoto zápisu již jasně vidíme princip
převodu na dvojkovou soustavu. Povšimni si, že mocniny dvou jsou uspořádány sestupně.
Nyní vynecháme mocniny 2 a dostaneme hledaný tvar čísla 485 ve dvojkové soustavě:
( 485)10 = (111100101)2 . Postup může být ale i takový, že dané číslo postupně dělíme dvěma:
485 : 2=242 zbytek 1, 242 : 2=121 zb. 0, 121 : 2=60 zb. 1, 60 : 2=30 zb. 0, 30 : 2=15 zb.
0, 15 : 2=7 zb. 1, 7:2=3 zb. 1, 3 : 2=1 zb. 1, 1 : 2=0 zb.1, a zapíšeme postupně zbytky vedle
sebe v obráceném pořadí: 111100101, tedy ( 485 )10 = (111100101)2 .
-1-
3. Zapiš daná čísla do tvaru součtu násobků mocnin dvou:
3=………
16=………
135=………
10=………
25=………
254=………
4. Převeď čísla z desítkové soustavy do soustavy dvojkové:
0=………
1=………
2=………
4=………
5=………
15=………
24=………
65=………
100=………
204=………
758=………
405=………
719=………
1185=………
2079………
5. Zapiš ve dvojkové soustavě rok svého narození.
Jak vyjádřit binární číslo v desítkové soustavě? Postup převodu bude opačný, než jsme
dosud prováděli. Je dáno binární číslo (110001010 )2 , které chceme převést do desítkové
soustavy. Pozoruj zápis: (110001010 ) 2 = 1⋅ 28 + 1⋅ 27 + 1⋅ 23 + 1⋅ 21 = 256 + 128 + 8 + 2 = 394 .
6. Převeď binární čísla do desítkové soustavy:
(11)2 = ………
(1101)2 = ………
(1111010 )2 = ……… (10001)2 = ………
Úkoly k procvičení a opakování:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
[1]
Vypočítej vyšší mocniny čísla 2, než jsou v tabulce na první straně.
*Dnes jsou módním hitem binární náramkové hodinky. Najdi na
Internetu obrázek takových kapesních hodinek. Přečteš čas?
*Zjisti od svého učitele fyziky, jak se dvojková číselná soustava
využívá v počítačích nebo jim podobných elektronických strojích.
Informuj výstižně spolužáky.
*Binární čísla se používají v kryptografii. Zjisti na internetu, čím se
tento obor zabývá.
*Víš, k čemu slouží Braillovo písmo? Jak to souvisí s matematikou?
*Německo používalo za II. světové války stroj s názvem Enigma
(obrázek vpravo). Zjisti, k čemu sloužil. Informuj spolužáky.
*Německý matematik Gottfried Wilhelm Leibniz spojoval vznik dvojkové soustavy s
útvarem čínského původu, který se nazývá hexagram a obsahuje 64 symbolů
přerušovaných a plných čárek. Nahradíme-li přerušovanou čárku číslem 0 a plnou čárku
číslem 1, budou v hexagramu postupně popsána čísla 0, 1, 2… ve dvojkové soustavě.
Tak například čísla 0, 1, 2 jsou zapsána na
[2]
obrázku vpravo. Objev princip zápisu čísel.
Zapiš čísla 3, 4 a 5. Podobné symboly lze
nalézt na současné státní vlajce Korejské
republiky. Najdi její podobu.
Pro zajímavost: V roce 1974 bylo do
vesmíru vysláno ve dvojkové soustavě poselství mimozemským civilizacím. Z obrázku
dále lze vyčíst řadu informací: Na prvních třech řádcích jsou zapsána čísla 1-10 ve
dvojkové soustavě. V řádcích 6 – 10 určují čísla 1, 6, 7, 8 a 15 atomová čísla prvků
vodík, uhlík, dusík, kyslík a fosfor, které vytváří život na Zemi. Na dalších řádcích je
zakódována šroubovice kyseliny DNA, která nese v živých organismech genetickou
informaci. Níže je silueta člověka, Slunce s devíti planetami, přitom Země je posunuta o
řádek blíže k člověku. V dolní části je vidět radioteleskop, ze kterého byla zpráva
vyslána. Obrázek vlevo ukazuje binární zápis vyslané zprávy.
-2-
00000010101010000000000 00101000001010000000100 10001000100010010110010
10101010101010100100100 00000000000000000000000 00000000000011000000000
00000000001101000000000 00000000001101000000000 00000000010101000000000
00000000011111000000000 00000000000000000000000 11000011100011000011000
10000000000000110010000 11010001100011000011010 11111011111011111011111
00000000000000000000000 00010000000000000000010 00000000000000000000000
00001000000000000000001 11111000000000000011111 00000000000000000000000
11000011000011100011000 10000000100000000010000 11010000110001110011010
11111011111011111011111 00000000000000000000000 00010000001100000000010
00000000001100000000000 00001000001100000000001 11111000001100000011111
00000000001100000000000 00100000000100000000100 00010000001100000001000
00001100001100000010000 00000011000100001100000 00000000001100110000000
00000011000100001100000 00001100001100000010000 00010000001000000001000
00100000001100000000100 01000000001100000000100 01000000000100000001000
00100000001000000010000 00010000000000001100000 00001100000000110000000
00100011101011000000000 00100000001000000000000 00100000111110000000000
00100001011101001011011 00000010011100100111111 10111000011100000110111
00000000010100000111011 00100000010100000111111 00100000010100000110000
00100000110110000000000 00000000000000000000000 00111000001000000000000
00111010100010101010101 00111000000000101010100 00000000000000101000000
00000000111110000000000 00000011111111100000000 00001110000000111000000
00011000000000001100000 00110100000000010110000 01100110000000110011000
01000101000001010001000 01000100100010010001000 00000100010100010000000
00000100001000010000000 00000100000000010000000 00000001001010000000000
01111001111101001111000
[3]
Literatura a zdroje obrázků:
1. Gartanen, Enigma Machine at NSA [online]. 2005 [cit. 5.9.2012]. Dostupný pod licencí
Creativ Commons: http://commons.wikimedia.org/wiki/ File:Enigma.jpg
2. TarcísioTS, King Wen (I Ching).png [online]. 2006 [cit. 5.9.2012]. Dostupný pod licencí
Creativ Commons: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:King_Wen_(I_Ching).png?
uselang=cs
3. Arne Nordmann (norro) Arecibo message.svg [online]. 2005 [cit. 5.9.2012]. Dostupný
pod licencí Creativ Commons: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Arecibo_
message.svg
Ostatní obrázky vytvořil autor.
Doporučená literatura:
KŘÍŽEK, M., SOMER, L., ŠOLCOVÁ, A. Kouzlo čísel. Od velkých objevů k aplikacím
2. upravené vydání Praha : Academia, 2011. ISBN 978-80-200-1996-7.
Prohlašuji, že při tvorbě výukového materiálu jsem respektoval(a) všeobecně užívané právní a morální zvyklosti, autorská a jiná práva třetích
osob, zejména práva duševního vlastnictví (např. práva k obchodní firmě, autorská práva k software, k filmovým, hudebním a fotografickým
dílům nebo práva k ochranným známkám) dle zákona 121/2000 Sb. (Autorský zákon). Nesu veškerou právní odpovědnost za obsah a původ
svého díla.
Prohlašuji dále, že výše uvedený materiál jsem ověřil(a) ve výuce a provedl(a) o tom zápis do třídní knihy. Dávám souhlas, aby mé dílo bylo
dáno k dispozici veřejnosti k účelům volného užití (§ 30 odst. 1 zákona 121/2000 Sb.), tj. že k uvedeným účelům může být kýmkoliv
zveřejňováno, používáno, upravováno a uchováváno.
-3-