Matematika v kostce 1
Transkript
Matematika v kostce 1
MATEMATIKA OBSAH: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATICKÉ LOGIKY A TEORIE MNOŽIN ........................................................................................... 1 MATEMATICKÉ DŮKAZY .............................................................................................................................................................................. 2 MOCNINY A ODMOCNINY, MOCNINNÉ FUNKCE.................................................................................................................................... 3 ÚPRAVY ALGEBRAICKÝCH VÝRAZŮ ........................................................................................................................................................ 3 FUNKCE A JEJICH ZÁKLADNÍ VLASTNOSTI............................................................................................................................................. 4 LINEÁRNÍ A KVADRATICKÉ FUNKCE........................................................................................................................................................ 4 LINEÁRNÍ FUNKCE, ROVNICE A NEROVNICE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU....................................................................................... 5 KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE.................................................................................................................................................. 6 VZTAHY MEZI KOŘENY A KOEFICIENTY KVADRATICKÉ ROVNICE ................................................................................................ 6 IRACIONÁLNÍ ROVNICE................................................................................................................................................................................. 7 KOMPLEXNÍ ČÍSLA.......................................................................................................................................................................................... 7 ŘEŠENÍ ROVNIC V OBORU KOMPLEXNÍCH ČÍSEL.................................................................................................................................. 8 ROVNICE S PARAMETREM............................................................................................................................................................................ 8 SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC .............................................................................................................................................................. 8 EXPONENCIÁLNÍ A LOGARITMICKÉ FUNKCE......................................................................................................................................... 9 EXPONENCIÁLNÍ ROVNICE A NEROVNICE ............................................................................................................................................ 10 LOGARITMICKÉ ROVNICE A NEROVNICE .............................................................................................................................................. 11 GONIOMETRICKÉ FUNKCE ......................................................................................................................................................................... 11 VZTAHY MEZI GONIOMETRICKÝMI FUNKCEMI .................................................................................................................................. 12 GONIOMETRICKÉ ROVNICE A NEROVNICE ........................................................................................................................................... 13 TRIGONOMETRIE........................................................................................................................................................................................... 14 SHODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ ............................................................................................................................................................... 14 PODOBNOST A STEJNOLEHLOST .............................................................................................................................................................. 14 PYTHAGOROVA VĚTA, EUKLIDOVY VĚTY ............................................................................................................................................ 14 ROVINNÉ ÚTVARY ........................................................................................................................................................................................ 15 NEROTAČNÍ TĚLESA..................................................................................................................................................................................... 15 ROTAČNÍ TĚLESA .......................................................................................................................................................................................... 16 MATICE A DETERMINANTY........................................................................................................................................................................ 16 LINEÁRNÍ ALGEBRA ..................................................................................................................................................................................... 17 VEKTORY......................................................................................................................................................................................................... 18 ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ.......................................................................................................... 18 ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V PROSTORU.................................................................................................... 19 POLOHOVÉ A METRICKÉ VZTAHY ÚTVARŮ V ROVINĚ ..................................................................................................................... 20 POLOHOVÉ A METRICKÉ VLASTNOSTI ÚTVARŮ V PROSTORU ....................................................................................................... 20 ANALYTICKÁ GEOMETRIE KRUŽNICE A ELIPSY ................................................................................................................................. 21 ANALYTICKÁ GEOMETRIE PARABOLY .................................................................................................................................................. 22 ANALYTICKÁ GEOMETRIE HYPERBOLY ................................................................................................................................................ 22 VZÁJEMNÁ POLOHA PŘÍMKY A KUŽELOSEČKY.................................................................................................................................. 22 VARIACE A PERMUTACE............................................................................................................................................................................. 23 KOMBINACE.................................................................................................................................................................................................... 23 ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI.............................................................................................................................................................. 24 ZÁKLADY STATISTIKY ................................................................................................................................................................................ 25 ARITMETICKÁ POSLOUPNOST................................................................................................................................................................... 26 GEOMETRICKÁ POSLOUPNOST ................................................................................................................................................................. 26 ŘADY................................................................................................................................................................................................................. 26 LIMITA, SPOJITOST A DERIVACE FUNKCE ............................................................................................................................................. 27 GEOMETRICKÝ A FYZIKÁLNÍ VÝZNAM DERIVACE ............................................................................................................................ 29 VYŠETŘOVÁNÍ PRŮBĚHU FUNKCE .......................................................................................................................................................... 29 PRIMITIVNÍ FUNKCE, URČITÝ INTEGRÁL .............................................................................................................................................. 31 UŽITÍ INTEGRÁLNÍHO POČTU K VÝPOČTU OBSAHŮ ROVINNÝCH OBRAZCŮ A OBJEMŮ ROTAČNÍCH TĚLES .................. 33 1 ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATICKÉ LOGIKY A TEORIE MNOŽIN Výrok (p): Každé sdělení, o kterém můžeme rozhodnout, zda je či není pravdivé. Je-li výrok pravdivý, přiřazujeme mu 1. Není-li pravdivý, přiřazujeme mu 0. Negace výroku (p'): tvoříme ji pomocí „není pravda, že“ nebo „neplatí, že“. 1.1 LOGICKÉ SPOJKY Konjunkce ( p q ): „a“, „i“, „a zároveň“ – je pravdivá, když jsou pravdivé oba výroky Disjunkce (alternativa) ( p q ): „nebo“ – je pravdivá, je-li pravdivý alespoň 1 výrok Implikace ( p q ): „jestliže …, pak“ – není pravdivá jen tehdy, vyplývá-li z pravdy nepravda Ekvivalence (oboustranná implikace) ( p q ): „…právě tehdy, když …“ – je pravdivá, mají-li oba výroky stejnou pravdivostní hodnotu A B A B A B A B A B 1 1 0 0 1.2 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 KVANTIFIKOVANÉ VÝROKY Obecný kvantifikátor ( ): „V každém…“, 1 0 1 1 „Pro x R; x 1 x 2 x 1 Existenční kvantifikátor ( ): „Existuje…“ – např. x R; x 0 2 1 0 0 1 každé…“ – např. 2 1.3 DEFINICE, VĚTY Definice: zavádí základní matematické pojmy Věty: musíme je na rozdíl od definic dokázat. Skládají se z předpokladu a tvrzení. Např. a Z ; a liché č. a 2 liché č. – předpoklad: celé kladné liché č. – tvrzení: a2 je liché č. q' p' věta obměněná p q 1.4 MNOŽINY Množina (A,B,…): soubor určitých prvků – konečná (žáci), nekonečná (R), prázdná ({}) Určení množin: výčtem ( A {a, b, c, d} ), symbolicky ( A {x N ;10 x 20} ) 1.5 VZTAHY MEZI MNOŽINAMI Podmnožina ( A B ): „A je podmnožinou B“ – inkluze – def. A B x A; x B Rovnost ( A B ): def. A B A B B A 1.6 OPERACE MEZI MNOŽINAMI Vennovy diagramy: U – základní (universální) množina U Sjednocení ( A B ): def. C A B x U ; x A x B A B U Průnik ( A B ): def. C A B x U ; x A x B A zákon komutativní (o záměně): A B B A B A B B A zákon asociativní (o sdružování): zákon distributivní (o roznásobení): A B C A B C A B C A B C A B C A B A C A B C A B A C 1 U Rozdíl ( A B ): def. C A B x U ; x A x B A B U A B Doplněk ( A' B ): def. A B A' B {x U ; x B x A} A B l A B l de Morganova pravidla: 1.7 A' B' A' B' ČÍSELNÉ INTERVALY Otevřený: a, b x R; a x b Uzavřený: a, b x R; a x b Polouzavřený: zleva uzavřený: a, b x R; a x b zprava uzavřený: a, b x R; a x b S intervaly pracujeme stejně jako s množinami, a proto pro ně platí stejné operace. 1.8 SPOLEČNÝ NÁSOBEK A DĚLITEL Nejmenší spol. násobek: n12,28,42 2 2 3 7 84 , v prvočíselném rozkladu má každé prvočíslo obsažené v nejvyšší mocnině. Největší spol. dělitel: D 12,28,42 2 , v prvočíselném rozkladu má pouze spol. prvočíslo. 2 MATEMATICKÉ DŮKAZY Přímý důkaz ( A B ): vycházíme z předpokladu dané věty a musíme se dopracovat k jejímu tvrzení Např. a Z ; a liché č. a 2 liché č. liché č.: 2k 1 , potom 2k 1 4 k 2 k 1 , kde 4 k 2 k je sudé. Nepřímý důkaz ( A B B ' A' ): dokazujeme větu obměněnou pomocí přímého důkazu. 2 Např. m Z ; m 2 dělitelné 3 m dělitelné 3 nedělitelné 3k 1 3k 2 , 3: 3k 2 33k 4k 4 , kde 33k Důkaz sporem ( A B ' A B' ): 2 2 potom 2 3k 12 33k 2 2k 1 nebo 4k a 3 3k 2k jsou dělitelná 3. 2 ab ab 2 ab 2 ab , po úpravách rovnice: a b 0 , protože x2 předpokládáme a, b R ; 2 Např. a, b R ; nemůže být <0 – spor s předpokladem a daná věta platí. Matematická indukce: Dokážeme, že platí V(1), potom že pro k 1; V k V k 1 . Např. n N ; 12 2 2 3 2 ... n 2 16 nn 12n 1 1) ověření n=1; L=P 2) předpoklad k 1; L 12 2 2 ...n 2 P 16 k k 12k 1 máme dokázat k 1; 12 2 2 3 2 ....k 2 k 1 k 1k 22k 3 L 16 k k 12k 1 k 1 16 k 1k 2k 1 6k 1 16 k 12k 2 7k 6 16 k 1k 2 2k 3 2 2 3) platí pro k N 2 1 6 3 MOCNINY A ODMOCNINY, MOCNINNÉ FUNKCE 3.1 MOCNINY S CELOČÍSELNÝM EXPONENTEM a a s a rs r r a a r s s a n a0 a 2 a a a rs ab r arbr n a b a r ar a r b b 1 a r r a a x xn a ab n a n b n a r s a, b R, r , s Z m n b0 n m a 0, r 0 np n a n b a, b R0 , m, n, p N b0 n am a nm a a mp n a m Slučovat lze pouze souhlasné odmocniny, odmocnit součet a rozdíl nelze. Částečné odmocňování: Usměrňování zlomků: 3 128 3 2 7 3 2 6 3 2 2 2 3 2 4 3 2 1 2 1 2 Mocniny s reálným exponentem: 3.2 n 2 2 2 2 a m a m n m Z , n N , a R MOCNINNÉ FUNKCE y x2 y x3 vyšší parabola kubická parabola y x 2 y x 1 rovnoosá hyperbola 4 ÚPRAVY ALGEBRAICKÝCH VÝRAZŮ 4.1 MNOHOČLENY a b 2 a 2 2ab b 2 a b a b a 2 b 2 3 a b c 2 a 2 b 2 c 2 2ab 2bc 2ac a 3 b 3 a b a 2 ab b 2 a b 3 a 3 3a 2 b 3ab 2 b 3 4.2 LOMENÉ VÝRAZY Definiční obor – obor proměnnosti – (D) je množina, ve které má daný výraz řešení. x 2 2x 1 x 1 D R 1 DĚLENÍ MNOHOČLENU MNOHOČLENEM 4.3 x x 2 2 x 1 : x 1 x 1 x x 1 x 1 2 2 2 x 1 zbytek 5 FUNKCE A JEJICH ZÁKLADNÍ VLASTNOSTI Funkce: předpis, který každé hodnotě nezávislé proměnné x z def. oboru přiřadí právě jednu hodnotu závislé proměnné y. Graf funkce: množina všech bodů o souřadnicích x, f ( x) . Obor hodnot (H): množina řešení (y) dané funkce. 5.1 VLASTNOSTI FUNKCÍ Rostoucí: x D; x1 x 2 f x1 f x 2 – např. y x Klesající: x D; x1 x 2 f x1 f x 2 – např. y x Konstantní: x D; x1 x 2 f x1 f x 2 – např. y 0 f x f x – např. y cos x Lichá: x D; f x f x – např. y sin x Sudá: x D; Periodická: průběh funkce se v určitých cyklech opakuje – např. y sin x sin x 2k Prostá (monotónní): x D; x1 x 2 f x1 f x 2 – např. y x Inverzní: graf funkce (f) a funkce inverzní ( f f : y x2 f 5.2 1 1 ) je souměrný podle osy I. a III. kvadrantu. Např. : x y 2 (zaměníme x a y). Pro D R0 platí y x TYPY FUNKCÍ Jednouchá: y f x – např. y sin x Složená: y g f x – např. y sin 2 x 6 LINEÁRNÍ A KVADRATICKÉ FUNKCE 6.1 LINEÁRNÍ y ax b a 0 D R H R pro a 0 y b – funkce konstantní pro a 0 – funkce rostoucí pro a 0 – funkce klesající 4 yx 6.2 KVADRATICKÁ y ax 2 bx c a 1 – sevřená a 1 – rozevřená a 0 – v horní polorovině (konvexní) a 0 – v dolní polorovině (konkávní) 7 LINEÁRNÍ FUNKCE, ROVNICE y x2 A NEROVNICE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU 7.1 ROVNICE Obor proměnnosti: obor, v němž chceme danou rovnici řešit. Definiční obor (D): obor, v němž má rovnice smysl. Obor pravdivosti (P=K): množina kořenů. Řešit rovnici znamená najít takové x, které dané rovnici vyhovuje. Nutno provést zkoušku. Ekvivalentní úpravy rovnic: 1) Rovnice lze převádět z jedné strany na druhou, ale s opačným znaménkem. 2) Rovnice se nezmění, když k oběma jejím stranám přičteme nebo odečteme stejný výraz. 3) Rovnice se nezmění, když obě její strany vynásobíme nebo vydělíme stejným výrazem. 7.2 NEROVNICE ostré znaky nerovnosti: neostré znaky nerovnosti: < > menší než větší než menší nebo rovno než větší nebo rovno než Ekvivalentní úpravy nerovnic: 1) Nerovnice se nezmění, když k oběma jejím stranám přičteme nebo odečteme stejný výraz. 2) V nerovnici lze převádět z jedné strany na druhou, ale s opačným znaménkem. 3) Nerovnice se nezmění, jestliže její obě strany vynásobíme stejným výrazem, který je kladný na celém definičním oboru. 4) Násobíme-li nerovnici výrazem, který je záporný na celém def. oboru, pak musíme převrátit znak nerovnosti. 7.3 ROVNICE A NEROVNICE V SOUČINOVÉM TVARU Rovnice: x 2 3 x 0 – Součin je nulový, je-li nulový alespoň 1 činitel – x 2 x 3 . x2 0 – Podíl je nulový, je-li čitatel roven nule – x 2 3 x x2 0 x 3 – pomocí nulových bodů Nerovnice: x 2 3 x 0 nebo 3 x x20 3 x 0 x2 x3 2 3 - + x–2 – + + 3–x + + – Pozn.: V nulových bodech mění dvojčlen znaménko. Je-li u x koeficient kladný, pak od nulového bodu nalevo je dvojčlen záporný a napravo kladný. x ;2 3; – při neostrém znaku nerovnosti by byl interval uzavřený. 7.4 ABSOLUTNÍ HODNOTA Absolutní hodnota: vzdálenost bodu od počátku na číselné ose. Funkce, rovnice a nerovnice řešíme pomocí nulových bodů. 5 y x 1 1 x Např. x 1 0 1 x 0 x 1 x 1 -1 x+1 1–x – + x ;1 y x 1 1 x y 2 x 1 + + x 1;1 + – x 1; y x 1 1 x y x 1 1 x y2 y 2x Pozor u rovnic a nerovnic musíme vždy výsledek porovnat s intervalem – např. x 1; 3 a výsledek je x 4 , proto rovnice nemá v tomto intervalu řešení. 8 KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE ax 2 bx c 0 b c x 2 x 0 x 2 px q 0 a a Neúplná kvadratická rovnice: b, c 0 c 0 Ryze kvadratická rovnice: b 0 x2 a x a a Řešení kvadratické rovnice: ax 2 bx c 0 b D b b 2 4ac x1, 2 2a 2a D 0 2 reálná řešení D 0 1 reálné řešení D 0 2 komplexní řešení 8.1 GRAFICKÉ ŘEŠENÍ KVADRATICKÉ ROVNICE x2 4 0 2 x 2 3x 4 0 y x2 4 y x 2 y 1,5 x 2 K 2 K 9 VZTAHY MEZI KOŘENY A KOEFICIENTY KVADRATICKÉ ROVNICE x1 x 2 p x1 x 2 q 6 c a b a Rozklad kvadratického dvojčlenu: ax 2 bx c 0 a x x1 x x 2 0 Diskuse kvadratické rovnice s parametrem: viz. otázka č. 13 10 IRACIONÁLNÍ ROVNICE tzn. neznámá je pod odmocninou provádíme zkoušku 6 x 3x 2 4 / 2 6 x 3 x 2 3 x 2 16 6 x 2 2 6 x 3 x 2 12 2 x 6 x 3x 2 6 x / 2 6 x 3x 2 6 x 2 / 6 x 3x 2 2 6 x 2 6 x1 0 x1 6 4 x2 8 x2 2 L1 0 16 4 L2 4 4 4 P1 4 P2 4 L1 P1 K 1 6 L2 P2 K 2 2 11 KOMPLEXNÍ ČÍSLA Komplexní – složené, imaginární – neskutečné, vymyšlené a a1 a 2 – Gausova rovina, a – vzdálenost v G. rovinně od počátku Absolutní hodnota: a 2 2 a1 a 2 – reálné číslo Komplexní jednotka: číslo, jehož absolutní hodnota se rovná 1 Algebraický tvar: a a1 a 2 i Opačné číslo: a a1 a 2 i Komplexně sdružené č.: a a1 a 2 i , 1 1 Převrácené číslo: Goniometrický tvar: a a cos i sin Exponenciální tvar: a a e i – v radiánech a a1 a 2 i 11.1 OPERACE S KOMPLEXNÍMI ČÍSLY i 2 1 Sčítání: a b a1 b1 a 2 b2 i Násobení: Dělení: a b a1 a 2 i b1 b2 i a b a b cos i sin a b e i a a1 a 2 i b1 b2 i b b1 b2 i b1 b2 i a a a cos i sin e i b b b 11.2 MOIVREOVA VĚTA cos i sin n cos n i sin n n Mocniny: a n a cos n i sin n 7 Odmocniny: n a n a cos n2 k i sin n2 k 12 ŘEŠENÍ ROVNIC V OBORU KOMPLEXNÍCH ČÍSEL 12.1 KVADRATICKÉ ROVNICE S DISKRIMINANTEM MENŠÍM 0 x m i m ax 2 bx c 0 D 0 x bi D 2a 12.2 BINOMICKÉ ROVNICE x n m x n m n m cos 0 2nk i sin 0 2nk Je-li binomická rovnice s reálnými kořeny stupně sudého, pak má 2 reálné kořeny (čísla opačná) a komplexní kořeny jsou vždy 2 a 2 komplexně sdružené. Je-li stupně lichého, pak má jeden reálný kořen a 2 a 2 komplexně sdružené. 13 ROVNICE S PARAMETREM x t 2 1 t 1 xt 1t 1 t 1 t 1 t 1 xt 1 1 00 K R t 1 t 1 1 x 0 1 t 1 K t 11 K Lineární rovnice s parametrem: Diskuse: pro t 1,1 má K t 11 pro t 1 má K R pro t 1 má K Kvadratická rovnice s parametrem: px 2 bx c 0 D b 2 4 pc b2 x má 2 řešení 4c b2 D0 p x má 1 řešení 4c b2 D0 p x nemá řešení v R 4c D0 p U parametrických rovnic s neznámou ve jmenovateli nebo u rovnic, kde umocníme či odmocníme, děláme zkoušku. 14 SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC 14.1 SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC O DVOU A VÍCE NEZNÁMÝCH Metody: sčítací, dosazovací 8 2 3 13 xz x y 1 2 16 xz yz x, y , z R x y , z y z 3 1 15 x y yz 2a 3b 13 a 2c 16 3b c 15 2a 3b 13 a 6b 14 9b 15 b c / 2 / 2 1 c yz a 4 8 8 10 2 2 a 14 6b 14 10 4 5 3 1 4 xz 1 5 x y 3 1 10 yz x z 14 / 1 x y 1 a xz 1 substituce: b x y x 82 z 3 8 3 5 y z 101 yz 7 20 z y z 101 2y 9 20 y 9 40 4 40 y 18 Soustavy lineárních nerovnic o jedné neznámé Vyřešíme každou zvlášť, potom uděláme průnik výsledků. 14.2 GRAFICKÉ ŘEŠENÍ LINEÁRNÍCH ROVNIC A NEROVNIC O DVOU NEZNÁMÝCH Nakreslíme graf funkcí. Výsledkem je průnik grafů. 14.3 SOUSTAVY LINEÁRNÍ A KVADRATICKÉ ROVNICE Řešíme dosazovací metodou – z lineární vyjádříme a dosadíme do kvadratické. 15 EXPONENCIÁLNÍ A LOGARITMICKÉ FUNKCE 15.1 GRAFY FUNKCÍ Exponenciální funkce: y a x a 1 a 0, a 1 a 1 9 Logaritmická funkce: y log a x a 0, a 1 a 1 D R a 1 15.2 VĚTY O LOGARITMECH a x b x log a b b0 nejde logaritmovat součet ani rozdíl log a r s log a r log a s log a rs log a r log a s log a r s s log a r log b x log a x log b a log a a 1 log a 1 0 a log a x x Pokud je základ e 2,71828... , jedná se o přirozený logaritmus a značí se ln x Při základu rovnému 10 se jedná o dekadický logaritmus – log x 16 EXPONENCIÁLNÍ ROVNICE A NEROVNICE rovnice x2 3 5 3 x x4 nerovnice 5 x2 3 x 32 5 x 3 x 34 5 x 5 2 3 x 32 34 5 x 1 5 2 72 3 x 24 5 x 18 x 2 12 4 x6 12 3 x6 1 2 x 3 4 4 x 6 3x 6 x0 Základ < 1 převrací se nerovnost 3 3x 5x 3 x 1 5 x x 1 log 3 x log 5 xlog 3 log 5 log 3 x log 3 log 5 log 3 2 x 3 x 1 x log 2 x log 3 log 3 xlog 2 log 3 log 3 log 3 x log 2 log 3 log 2 log 3 <0 převrací se nerovnost 27 12 – substitucí a x 81 81 a 2 12a 27 0 x 81 9 x 81 3 x 81 4 x 4 3 x 3 2 3 x 31 x 2 x 4 10 17 LOGARITMICKÉ ROVNICE A NEROVNICE Podmínky pro logaritmus i pro jmenovatele. Odlogaritmovat mohu pouze tehdy, pokud mají logaritmy stejný základ. rovnice: podmínky: log x 1 log3 x 5 log x log3x 5 x 3x 5 x 0 3x 5 0 x log3x 5 0 log3x 5 log 1 5 3 x 43 x 2,5 K nerovnice: při 0 a 1 se u exponenciálních a logaritmických nerovnic převrací nerovnost log 0,5 x 2 3 log 2 x 2 3 log 2 x 2 log 2 8 log 0,5 x 2 log 0,5 x6 1 8 Podmínky: x 158 x20 x 2 Základ < 1 převrací se nerovnost 18 GONIOMETRICKÉ FUNKCE 18.1 DEFINICE NA PRAVOÚHLÉM TROJÚHELNÍKU a a tg c b b b cos cot g c a sin c a b 18.2 DEFINICE NA JEDNOTKOVÉ KRUŽNICI II I sin 2 sin 1 2 cos 2 cos 3 3 sin 3 cos 4 4 sin 4 III c b cosec c a 2 180 1 3 180 1 4 360 1 II. kvadrant: sin 2 sin 1 cos 1 1 sec IV cotg cos 2 cos 1 III. kvadrant: sin 3 sin 1 cos 3 cos 1 IV. kvadrant: sin 4 sin 1 cos 4 cos sin sin cos cos lichá funkce sudá funkce perioda je 2 tg tg tg cot g cot g funkce lichá funkce lichá perioda je 11 18.3 ZÁKLADNÍ ÚHLY 0° 30° 45° 60° 90° sin 0 1 2 2 2 3 2 1 cos 1 3 2 2 2 1 2 0 tg 0 3 3 1 cotg E 1 3 3 3 3 E 0 Doplňkový úhel: ' 90 sin cos ' cos sin ' tg cotg ' cotg tg ' 18.4 OBLOUKOVÁ MÍRA 1 rad je středový úhel, který přísluší oblouku jednotkové kružnice, jehož délka je 1. 1 rad = 57° 17’ 44,81’’ 360°=2 18.5 GRAFY FUNKCÍ sin x cos x tg x cotg x sin 2x sin 2 x sin x 3 2 sin x 19 VZTAHY MEZI GONIOMETRICKÝMI FUNKCEMI cos x sin x , cotg x cos x sin x 2 2 sin x cos x 1 , tg x cotg x 1 Součtové vzorce: sin x y sin x cos y cos x sin y cos x y cos x cos y sin x sin y tg x tg y tg x y 1 tg x tg y cotg x cotg y 1 cot g x y cotg x cotg y tg x 12 Dvojnásobný úhel: sin 2 x 2 sin x cos x cos 2 x cos 2 x sin 2 x 2 tg x tg 2 x 1 tg 2 x Poloviční úhel: Součtové věty: x 1 cos x znaménko se určí podle kvadrantu 2 2 x 1 cos x cos 2 2 x 1 cos x sin x tg 2 sin x 1 cos x sin x sin y 2 sin x 2 y cos x 2 y sin sin x sin y 2 cos x 2 y sin x 2 y cos x cos y 2 cos x 2 y cos x 2 y cos x cos y 2 sin x 2 y sin x 2 y Převody přes liché násobky /2: sin 2 cos cos2 sin tg 2 cotg cotg2 tg 20 GONIOMETRICKÉ ROVNICE A NEROVNICE 20.1 ZÁKLADNÍ GONIOMETRICKÉ ROVNICE A NEROVNICE sin x a, cos x a tg x a aR cotg x a a R a 1,1 x R k xR x R k 2 Př. rovnice nerovnice sin x 0,5 x1 210, x 2 330 interval se určí podle jednotkové kružnice nebo grafu K k Z 210 2k ,330 2k sin x 0,5 x1 210, x 2 330 K k Z 210 2k , 330 2k 20.2 SLOŽITĚJŠÍ GONIOMETRICKÉ ROVNICE Pokud je v rovnici více goniometrických funkcí, převedeme je na jednu goniometrickou funkci. Pokud odmocňujeme, musíme provést zkoušku. sin 3 x cos 2 x sin 3 x sin 90 2 x 0 3 x 90 2 x 3 x 90 2 x 2 cos sin 0 2 2 5 x 2 x 2 0 0 cos sin 2 2 5 x 2 x 2 2 k k 2 2 x 2 2k x 10 52 k 13 21 TRIGONOMETRIE 21.1 PRAVOÚHLÝ TROJÚHELNÍK Goniometrické funkce 21.2 OBECNÝ TROJÚHELNÍK Sinova věta: 2r a b c sin sin sin – poměr strany a protilehlého vnitřního úhlu je konstantní a je roven průměru kružnice opsané. Použití: známe stranu a 2 úhly nebo 2 strany a úhel jedné z nich. c 2 a 2 b 2 2ab cos Kosinova věta: b 2 a 2 c 2 2ac cos – Použití: známe 3 strany nebo 2 strany a úhel jimi a b c 2bc cos 2 2 2 sevřený. 22 SHODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ Samodružný bod – bod X je totožný se svým obrazem X’=X Samodružný útvar – útvar U, jehož obrazem U’ je U Osová souměrnost: osa souměrnosti Středová souměrnost: střed souměrnosti Posunutí (translace): vektor posunutí Otočení (rotace): střed otočení, úhel otočení Totožnost (identita) 23 PODOBNOST A STEJNOLEHLOST 23.1 PODOBNOST Pro každé body X,Y a jejich obrazy X’,Y’ platí: X ' Y ' k XY k>1 zvětšení k=1 shodnost k<1 zmenšení V podobném trojúhelníku platí, že ve stejném poměru jsou i výšky, těžnice, střední příčky, poloměry kružnice opsané i vepsané, … 2 trojúhelníky jsou si podobné shodují-li se ve dvou úhlech nebo v 1 úhlu a poměru stran svírajících tento úhel. 23.2 STEJNOLEHLOST H S ; Pro každé X platí: X ' S XS , kde S je střed stejnolehlosti a je koeficient stejnolehlosti. Přímka se zobrazí na přímku rovnoběžnou. 24 PYTHAGOROVA VĚTA, EUKLIDOVY VĚTY Platí pro pravoúhlý trojúhelník ACB. 2 I. Euklidova věta: v c c a cb – obsah čtverce sestrojeného nad výškou trojúhelníka se rovná obsahu obdélníka sestrojeného z obou úseků na přeponě. Odvození: CD BD v c R ACB DAC DCB c a AD CD cb v c 14 C vc b A cb a ca D B C b A a vc cb D B ca II. Euklidova věta: b 2 c cb , a 2 c c a – obsah čtverce sestrojeného nad odvěsnou se rovná obsahu obdélníka sestrojeného z celé přepony a úseku přilehlého k dané odvěsně. Odvození: R ACB a R ADC AD AC AC AB Pythagorova věta: a b c – součet obsahů čtverců nad odvěsnami se rovná obsahu čtverce nad přeponou. Odvození: sečtením Euklidových vět. a2 b2 c2 2 2 cb b b c 2 c ca c cb c C 2 b a c ca cb c A B 25 ROVINNÉ ÚTVARY O abc b a va c va S a 2 Heronův vzorec: S s s a s b s c abc s 2 c b Obdélník: O 2a b d a S ab Rovnoběžník: O 2a b c b d a v S a va Lichoběžník: O a b c d c b d a v a c v S 2 Pravidelný n-úhelník: S n S ABS – n-krát obsah jednoho trojúhelníka Kruh: O 2 r r Trojúhelník: S r2 Mezikruží: S r1 r2 2 2 Oblouk: O r – úhel v radiánech r1 r2 r r2 r 2 1 r2 Úseč: S r 2 sin – obsah výseče mínus obsah trojúhelníka 2 2 Výseč: S r 26 NEROTAČNÍ TĚLESA Hranol: Kvádr: Jehlan: V Sp v S V S V 2S p S pl abc 2ab bc ac 13 S p v b a c 15 S S p S pl Komolý jehlan: V 13 v S p1 S p 2 S p1 S p 2 S S p1 S p 2 S pl 27 ROTAČNÍ TĚLESA V r 2v S 2 r 2 2 rv Kužel: V 13 r 2 v Válec: S r 2 rs , kde s r 2 v 2 – délka pláště Komolý kužel: V 13 v r1 r2 r1 r2 2 2 S r1 r2 r1 r2 s Koule: V 43 r 3 2 2 S 4 r 2 Kulová úseč: V r1 2v 34 2v objem válce plus objem koule 3 2 v r1 r 2 r v 2 r r1 S S r1 2 rv – obsah podstavy plus obsah 2 r2 kulového vrchlíku Kulová vrstva: V r1 r2 2v 43 2v objem dvou válců a objem koule 2 v 2 3 2 aij … i 1,2,3...m j 1,2,3...n a12 a 22 a32 am2 r r1 S 28 MATICE A DETERMINANTY a11 a 21 … a 31 a m1 v a13 a 23 a33 am3 a1n a2n a3n a mn Společný název pro řádek a sloupec je řada. Typ matice: Obdélníková, čtvercová (m=n), sloupcová (m,1) a řádková (1,n), diagonální (samé nuly, jen na hlavní diagonále ne), jednotková (samé nuly, na diagonále jedničky) Hlavní diagonála: z LH do PD rohu, vedlejší diagonála: z PH do LD rohu Transponovaná matice: zaměněné sloupce a řádky Symetrická matice: matice je stejná jako transponovaná Hodnost matice: počet lineárně nezávislých řádků v matici (maximálně rovna menšímu z m a n) 28.1 OPERACE S MATICEMI Hodnost matice se nemění, když 1) matici transponujeme 2) nějakou řadu vynásobíme nenulovým číslem 3) k některé řadě přičteme lineární kombinaci (násobek) jiné řady s ní rovnoběžné 4) v matici vynecháme nebo přidáme řadu, která je lineární kombinací jiné řady s ní rovnoběžné Matice téhož typu se stejnou hodností jsou ekvivalentní A B 16 Hodnost matice: 4 11 1 12 7 3 8 5 3 8 1 12 21 7 4 1 2 4 Násobení matice: 4 3 4 12 21 1 12 21 1 12 21 5 0 44 68 0 11 17 h=2 11 0 88 136 0 0 0 8 16 1 2 5 6 6 8 3 4 7 8 10 12 Součet matic: 28.2 DETERMINANT a11 a 21 a12 a 22 a11 Determinant 3. stupně: a 21 a12 a 22 a31 a32 Determinant 2. stupně: – – a11 a 22 a12 a 21 a13 a11 a 23 a 21 a33 a31 – + a12 a 22 a32 + a11 a 22 a33 a12 a 23 a31 a13 a 21 a32 a13 a 22 a31 a11 a 23 a32 a12 a 21 a33 + 29 LINEÁRNÍ ALGEBRA soustava m rovnic o n neznámých a11 x1 a12 x2 ...a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 ...a2 n xn b2 h je hodnost matice aij hr je hodnost matice aij bi am1 x1 am 2 x2 ...amn xn bm pokud bi 0 i 1,2,...m je soustava homogenní, jinak je nehomogenní podmínka řešitelnosti 1) h hr – nemá řešení 2) h hr h n – jedno řešení h n – nekonečně mnoho řešení ( n h neznámých volíme a ostatní dosadíme – např. x 4 t1 , x3 t 2 , x 2 t1 t 2 , x1 2t 2 ) Příklad: x1 2 x1 x1 7 x2 x2 x1 x2 x2 x3 1 1 3 x3 2 3 x3 4 x3 30 x3 1 0 1 1 1 1 3 2 2 7 0 1 0 1 4 1 1 1 3 2 0 0 30 6 h hr n x1 1 15 2 1 x2 15 x3 15 6 Cramerovo pravidlo: m=n, pokud determinant A 0 – 1 řešení x k Ak A , kde Ak je matice, ve které jsme k. sloupec nahradil sloupcem pravé strany. 17 Příklad: x1 2 x1 x1 x3 1 1 3 x3 2 7 x2 x2 1 0 1 A 2 7 0 1 1 3 1 0 1 7 0 A1 36 A1 1 2 1 3 1 1 1 A2 2 1 0 A2 6 1 2 3 1 0 1 1 A3 6 A3 2 7 1 1 2 x1 x2 x3 A1 A A2 A A3 A A 30 1 36 1 30 5 6 1 30 5 6 1 30 5 30 VEKTORY Vektor je množina všech souhlasně orientovaných úseček, které mají stejnou velikost. Vektory rovnoběžné jsou kolineární. (souhlasně, nesouhlasně kolineární) AB X B X A , YB Y A AB X B X A 2 YB YA 2 2 u u1 u 2 2 Vektor opačný: u ( u1 ,u 2 ) Součet vektorů: u v u1 v1 , u 2 v 2 Násobení vektoru skalárem: k u k u1 , k u 2 Dva vektory jsou lineárně závislé, jestliže jeden z nich je lineárním násobkem druhého. Tři vektory jsou lineárně závislé, je-li alespoň jeden z nich lineární kombinací ostatních dvou. Tři vektory jsou lineárně nezávislé, pokud ani jeden není lineární kombinací zbývajících dvou. Skalární součin: u v u v cos u1v1 u 2 v 2 – výsledkem je skalár Úhel dvou vektorů: cos uv uv Rovnoběžné vektory: u v u k v , Vektorový součin: kolmé vektory: u v u v 0 u v u v sin – velikost. Směr: kolmo k oběma vektorům, pravotočivá báze (prsty – u,v, palec ukazuje směr). u v v u – opačná orientace k u v k u v w u v w u w v u u 0 – nulový vektor 31 ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Přímka: 18 parametrické vyjádření: x X 1 t u1 y Y1 t u 2 pro přímku – t R pro úsečku – t 0,1 pro polopřímku – t 0, obecná rovnice přímky: ax by c 0 n a, b – normálový (kolmý) vektor s b, a – směrový vektor p O x by c 0 p O y ax c 0 úsekový tvar rovnice přímky: x y 1 p q c p a c q b q 0 p směrový tvar: y kx q a k tg b Polorovina: ax by c 0 0 q 32 ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V PROSTORU Přímka definována pouze parametricky. Rovina: parametrická rovnice: x X 1 t u1 s v1 y Y1 t u 2 s v 2 z Z 1 t u 3 s v3 kde A X 1 , Y1 , Z 1 je bod roviny a u,v jsou nekolineární vektory vycházející z bodu A a náležející do roviny. obecná rovnice roviny: ax by cz d 0 získáme ji: 1) pomocí dvou vektorů náležejících rovině – přes normálový vektor i j k n a, b, c u v u1 u2 u 3 – normálový vektor v1 v2 v3 2) z parametrické rovnice – vyloučením t, s 3) pomocí 3 bodů náležejících do roviny – dosazením bodů za x, y, z a dopočítáním a, b, c, d, přičemž za jednu neznámou volíme zvláštní případy rovnice: 19 O x a 0, b 0, c 0 O y a 0, b 0, c 0 O z a 0, b 0, c 0 O x O y a 0, b 0, c 0 33 POLOHOVÉ A METRICKÉ VZTAHY ÚTVARŮ V ROVINĚ Vzájemná poloha dvou přímek: rovnoběžné různé – žádný společný bod shodné – nekonečně mnoho společných bodů různoběžné – jeden společný bod Odchylka dvou přímek: cos tg Vzdálenost bodu od přímky: uv uv u1v1 u 2 v 2 2 2 2 u1 u 2 v1 v 2 2 k 2 k1 1 k1 k 2 aX 0 bY0 c Ap a2 b2 A X 0 , Y0 34 POLOHOVÉ A METRICKÉ VLASTNOSTI ÚTVARŮ V PROSTORU Vzájemná poloha dvou přímek: rovnoběžné různé – žádný společný bod shodné – nekonečně mnoho společných bodů různoběžné – jeden společný bod mimoběžné – žádný společný bod, neleží v jedné rovině Vzájemná poloha dvou rovin: rovnoběžné různé – žádný společný bod shodné – nekonečně mnoho společných bodů různoběžné – jedna společná přímka – průsečnice Příklad: : 2 x y z 1 0 : x y 2z 3 0 p: 3 x z 4 0 xt z 4 3 x 4 3t y 3 x 2 z 5 5t Odchylka dvou přímek: stejné jako v rovině Odchylka přímky od roviny: sin Odchylka dvou rovin: cos 20 sp n sp n n n n n Jednu neznámou nahradíme parametrem Vzdálenost bodu a roviny: v aX 0 bY0 cZ 0 d A X 0 , Y0 , Z 0 a2 b2 c2 Vzdálenost bodu od přímky: vytvoříme rovinu kolmou k přímce tak, aby procházela bodem A a spočítáme vzdálenost mezi A a průsečíkem přímky a roviny. s p n , v A p Vzdálenost dvou rovnoběžných přímek: v p, q v A, q ; A p Vzdálenost přímky od roviny s ní rovnoběžné: v p, v A, ; A p Vzdálenost dvou rovnoběžných rovin: v , v A, ; A 35 ANALYTICKÁ GEOMETRIE KRUŽNICE A ELIPSY X y y’ n r S=0’ 0 Transformační rovnice: x' x m y' y n m x x’ 35.1 KRUŽNICE Množina všech bodů, které mají od středu (S) stejnou vzdálenost r. S m, n Středová rovnice: X r S x m 2 y n 2 r 2 Vnitřek kružnice: x 2 y 2 r 2 Obecná rovnice: x 2 y 2 ax by c 0 a 2m, b 2n, c m 2 n 2 r 2 35.2 ELIPSA Množina bodů, které mají od dvou daných pevných bodů (ohnisek) stálý součet vzdáleností, který se rovná 2a ( F1 X F2 X 2a ). A,B – hlavní vrcholy C,D – vedlejší vrcholy S – střed F1, F2 – ohniska a AS CF – hlavní poloosa b CS DS X F1 S F2 – vedlejší poloosa (vždy menší než hlavní poloosa) 2b CD – vedlejší osa SF1 SF2 e – excentricita 2a AB – hlavní osa a2 e2 b2 Osová rovnice elipsy: Pro 2a O x : x m 2 y n 2 a 1 a2 b2 x m 2 y n 2 1 Pro 2a O y : b2 a2 Obecná rovnice elipsy: Ax 2 By 2 Cx Dy E 0 A F1 e C b S F2 a B D 21 36 ANALYTICKÁ GEOMETRIE PARABOLY Množina všech bodů, které mají stejnou vzdálenost od pevného bodu (ohniska) a dané přímky (řídící přímka), která daným bodem neprochází. F – ohnisko d – řídící přímka V – vrchol VF – osa paraboly p p – parametr: 2 DV FV d D y n 2 2 p x m y n 2 2 px m x m 2 2 p y n x m 2 2 p y n Vrcholová rovnice: O O x , F O O Ox , F O O Oy , F O O Oy , F O V F inverzní kvadratická fce graf kvadratické funkce graf záporné kvadr. fce 37 ANALYTICKÁ GEOMETRIE HYPERBOLY Množina všech bodů, které mají tu vlastnost, že absolutní hodnota rozdílu jejich vzdáleností od 2 daných pevných bodu (ohnisek) je konstantní ( XF1 XF2 2a ). A,B – vrcholy paraboly AB 2a – hlavní osa ( AS a ) b – vedlejší poloosa F1,F2 – ohniska e – excentricita SF , e 2 a 2 b 2 X nemusí platit a>b x m 2 Pro 2a O x : y n 2 1 a b2 y n 2 x m 2 1 Pro 2a O y : a2 b2 Obecná rovnice: Ax 2 By 2 Cx Dy E 0 Osové rovnice: 2 F1 A S e B Rovnice asymptot: y kx q každá hyperbola má 2 asymptoty k tg pro 2a O x : Rovnoosá hyperbola: a=b Větve leží v I. a III. kvadrantu: Větve leží v II. a IV. kvadrantu: a b , pro 2a O y : a b xy 12 a 2 – graf lomené funkce xy 12 a 2 – graf záporné lomené fce 38 VZÁJEMNÁ POLOHA PŘÍMKY A KUŽELOSEČKY Počet průsečíků kuželosečky s přímkou: kružnice a elipsa: 2 body sečna 1 bod tečna 0 bodů vnější přímka parabola: 2 body sečna 1 bod rovnoběžná s osou protíná v 1 bodě 22 asymptoty F2 protíná osu tečna vnější přímka 0 bodů hyperbola: 2 body sečna 1 bod rovnoběžná s asymptotou protíná v 1 bodě protíná asymptotu tečna 0 bodů vnější přímka 38.1 TEČNA KUŽELOSEČKY V JEJÍM BODĚ Bod dotyku: X 1 , Y1 Kružnice: x m X 1 m y n Y1 n r 2 x m X 1 m y n Y1 n 1 a2 b2 Parabola: y n Y1 n p x m p X 1 m x m X 1 m y n Y1 n Hyperbola: 1 a2 b2 Elipsa: 39 VARIACE A PERMUTACE n! 1 2 ...n 1 n – faktoriál Kombinatorické pravidlo součinu: počet všech uspořádaných dvojic, u nichž pro volbu prvního prvku máme n1 možností a druhého n2 možností, je roven součinu n1n2. n! je k-tice vytvořená z n prvků tak, že každý se v ní vyskytuje nejvýše n k ! jednou. Záleží na pořadí ( '123' '321' ). Permutace: Pn n! je zvláštní případ variace, kdy se k=n. Variace s opakováním: V ' k n n k je k-tice vytvořená z n prvků tak, že každý se v ní může Variace: Vk n vyskytovat nejvýše k-krát. Permutace s opakováním: P ' n1 ,n2 ,...n p n n! n1!n 2 !...n p ! , kde n1 je počet prvků 1. druhu, n2 2. druhu a … np p. druhu, přičemž platí, že n1+n2+…np=n. Všechny prvky téhož druhu jsou stejné a žádné 2 prvky různých druhů nejsou stejné. 40 KOMBINACE Kombinace: C k n n! je k-tice vytvořená z n prvků tak, že každý z prvků se v ní n k !k! vyskytuje nejvýše jednou. Nezáleží na pořadí ( '123' '321' ). Vztah mezi kombinacemi a V n variacemi: C k n k k! n Kombinační číslo: C k n k n k 1 n k 1! je k-tice vytvořená z n prvků Kombinace s opakováním: C ' k n k n 1!k! tak, že každý prvek se v ní může opakovat maximálně k-krát. 23 40.1 VLASTNOSTI KOMBINAČNÍCH ČÍSEL n n 1 0 n n n 1 n n k n k n n n 1 k k 1 k 1 40.2 PASCALŮV TROJÚHELNÍK 0 0 n0 1 0 n 1 n2 n3 n4 2 0 1 1 1 2 1 1 1 2 2 1 2 1 3 3 3 3 0 1 2 3 4 4 4 4 4 0 1 2 3 4 1 3 3 1 1 4 6 4 1 40.3 BINOMICKÁ VĚTA n n n n n a n a n 1b1 a n 2 b 2 ... a n k b k ... b n 0 1 2 k n n n k 1 k 1 a b k-tý člen binomického rozvoje: c k k 1 a b n Pro výpočet mnohočlenu n-tého stupně. Příklad: V mnohočlenu 1 3x x3 11 vypočítej koeficient u x 25 . 11 3x 12 k x 3k 1 c x 25 k 1 11 k 12 k 12 3 k 3 3 c x 25 x 1 x 3 k 3 k 1 x 25 x 4 k 15 k 10 11 27 c 3 2 1 559 9 41 ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI Náhodný pokus: ovlivněn náhodnými činiteli. Náhodný jev: výsledek náhodného pokusu, o kterém můžeme rozhodnout zda je či není pravdivý. Deterministický pokus: při dodržování daných podmínek vede vždy ke stejnému výsledku. Pravděpodobnost náhodného jevu: P A mA n , kde mA je počet výsledků příznivých jevu A a n je počet všech možných výsledků daného pokusu. 24 nA n Statistická definice pravděpodobnosti: P A , kde nA je absolutní četnost a n je celkový počet (z n provedených pokusů je nA příznivých). Pravděpodobnost sjednocení jevů: jevy musejí být neslučitelné A B 0 P A B P A P B A A' 0 P A A' 1 P A' 1 P A Pravděpodobnost průniku jevů: Pokud P A B C P A P B PC jsou jevy A, B, C nezávislé, platí Binomická rozdělení: mějme n nezávislých pokusů, z nichž každý skončí buď zdarem s pravděpodobností p nebo nezdarem s pravděpodobností q, potom pravděpodobnost, že k jevů n k skončí zdárně vypočítáme: P Ak p k q n k . 42 ZÁKLADY STATISTIKY Jednotka: každá musí být přesně určena místně, časově, věcně Soubor: tvořen všemi jednotkami Rozsah souboru: počet všech jednotek Znak: vlastnosti, které u dané jednotky sledujeme (kvalitativní – odpovídáme slovně, kvantitativní – odpovídáme číslem) Absolutní četnost: počet všech jednotek v souboru, u nichž byl daný jev zjištěn Relativní četnost: P A nA n 42.1 CHARAKTERISTIKY POLOHY Aritmetický průměr: x a x i n x n n i Vážený aritmetický průměr: x a i i Modus x̂ : je střední hodnota, která odpovídá hodnotě údaje nejčastěji se vyskytujícího v daném souboru. Medián ~ x : hodnota prostředního členu seřazeného statistického souboru. 42.2 CHARAKTERISTIKY VARIABILITY Průměrná odchylka: průměrná odchylka od průměru: d Vážená průměrná odchylka: d Rozptyl: var x x i x x x n n i x i x n i i 2 n x x Vážený rozptyl: var x n i 2 ni i Směrodatná odchylka: var x 25 43 ARITMETICKÁ POSLOUPNOST 43.1 POSLOUPNOST Posloupnost je zobrazení všech přirozených čísel do množiny všech reálných čísel (nekonečná posloupnost reálných čísel) a n n 1 a1 , a 2 ,...a n ,... . Posloupnost je zobrazení prvních n přirozených čísel do R (konečná posloupnost R) a n kn1 a1 , a 2 ,...a k . Posloupnost rostoucí: r s a r a s Posloupnost klesající: r s a r a s r, s N r, s N 43.2 ARITMETICKÁ POSLOUPNOST a n 1 a n d , d diferenciál an a n 1 a n 1 2 – jakýkoliv člen posloupnosti je aritmetickým průměrem členu předcházejícího a následujícího N-tý člen posloupnosti: a n a1 n 1d Součet prvních n členů: s n na1 a n 2 44 GEOMETRICKÁ POSLOUPNOST a n 1 a n q q0 a n a n 1 a n 1 N-tý člen posloupnosti: a n a1 q n 1 Součet prvních n členů: s n a1 qn 1 q 1 q 1 44.1 VYUŽITÍ POSLOUPNOSTI Úročitel: r 1 p , p přírůstek (%) Pravidelný růst: a n ar n , a počátek r n 1 Růst s příspěvky: a n ar b , b příspěvky r 1 n Jednoduché úrokování (vkládáme po měsíci): a n n a a p 121 n1 n 2 r n 1 Složité úrokování (roční): a n a r 1 45 ŘADY Nekonečná geometrická řada: geometrická posloupnost a n n 1 Součet geometrické řady: lim s n n jinak je divergentní. 26 a1 1 q q 1, existuje-li tato limita je konvergentní, 46 LIMITA, SPOJITOST A DERIVACE FUNKCE 46.1 LIMITA Limita posloupnosti: Posloupnost a n n 1 má konečnou (vlastní) limitu a právě tehdy, když ke každému libovolně zvolenému kladnému existuje číslo n0 takové, že pro každé n>n0 platí a n a . Zápis: lim a n a a R . Je-li konečné číslo reálné, tedy jedná se o vlastní n limitu, je posloupnost konvergentní. Nemá-li konečnou limitu je divergentní. Limita funkce: Funkce f má v bodě a limitu L, jestliže k libovolně zvolenému okolí bodu L existuje okolí bodu a takové x U a a; f x U L . Zápis: lim f x L xa x x Limita zleva: lim 1 , zprava: lim 1 x 0 x x 0 x x x x Nevlastní limita: lim 1 lim 1 lim 1 x 0 x x 0 x x 0 x 1 1 Limita v nevlastním bodě: lim 0, lim 0 x x x x Věty o limitách: lima n bn lim a n lim bn n n n lima n bn lim a n lim bn n n a lim n n b n n an lim n bn lim n limkonst. a n konst. lim a n n n lim 0 n 1 n lim f x f a xa sin kx 1 x 0 kx ex 1 lim 1 x 0 x 0 Neurčité výroky: , ,0 ,0 0 , 0 , 0 lim 46.2 SPOJITOST FUNKCE Okolí bodu: a , a Levé okolí bodu: a , a 0 nebo x a , zápis U a, 0 Funkce f je spojitá v bodě a, jestliže k libovolně zvolenému okolí f(a) existuje okolí bodu a takové, že x U a ; f x U f a . Funkce f je spojitá v intervalu (a,b), je-li spojitá v každém bodě tohoto intervalu. Funkce f je spojitá na <a,b>, je-li spojitá na (a,b) a v bodě a je spojitá zprava a v bodě b je spojitá zleva. Funkce f je spojitá v bodě a, má-li v tomto bodě limitu. f 46.3 DERIVACE FUNKCE f x0 x f x0 f x f x0 y lim lim x 0 x x 0 x x0 x x0 x dy y ' x0 dx f ' x 0 lim t y x 27 y‘ … 1. derivace y‘‘ … 2. derivace y(6) … 6. derivace Jestliže má funkce f v bodě x0 derivaci je v bodě x0 spojitá. Obrácená věta neplatí Funkce f má derivaci v <a,b>, má-li derivaci v každém bodě (a,b), v bodě a má derivaci zprava a v bodě b zleva. Je-li funkce f definována v nějakém okolí bodu x0 a existuje-li lim x x0 f x f x0 , má funkce f x x0 v bodě x0 derivaci zleva. (Obdobně platí pro derivaci zprava). c' 0 Derivace: x ' n x n n 1 goniometrické fce: sin x ' cos x cos x ' sin x 1 x R 2 k cos 2 x cotg x ' 21 x R k sin x arcsin x ' 1 2 1 x arccos x ' 1 2 1 x arctg x ' 1 2 1 x arccotg x ' 1 2 1 x c f x ' c f ' x u v ' u 'v' uvz ' u ' vz uv' z uvz ' tg x ' s konstantou: sčítání: násobení: l dělení: složená fce: u ' v uv' u v2 v f g x ' f ' g x g ' x a ' a exponenciální fce: e x ' e x ln a logaritmické fce: ln x ' x0 log a x ' xln1 a x 0, a 0, a 1 x x 1 x implicitní funkce: y x sin x ln y sin x ln x 1 y vyšší derivace: 28 y ' cos x ln x sin x 1x y ' cos x ln x sin x 1x y y ' cos x ln x sin x 1x x sin x y ' ' y '' Derivujeme tak, že členy obsahující x derivujeme normálně a členy obsahující y derivujeme podle y a násobíme y‘. 47 GEOMETRICKÝ A FYZIKÁLNÍ VÝZNAM DERIVACE Fyzikální: derivace dráhy podle času je okamžitá rychlost, 2. derivace dráhy podle času je okamžité zrychlení Geometrický: 1. derivace funkce v bodě dotyku je směrnice tečny y ' x 0 k t y y 0 k x x0 k t k n 1 48 VYŠETŘOVÁNÍ PRŮBĚHU FUNKCE 48.1 MONOTÓNNOST FUNKCE Rostoucí: jestliže je v každém bodě intervalu první derivace kladná ( f x ' 0 ) Klesající: je-li v každém bodě 1.derivace záporná ( f x ' 0 ) y x 3 3x y' 3x 2 3 rostoucí: 3x 2 3 0 ,1, 1, klesající: 3x 2 3 0 1,1 Příklad: 48.2 EXTRÉMY FUNKCE Funkce má v x0 maximum právě tehdy, existuje-li okolí bodu x0 takové, že pro každé x náležející do tohoto okolí platí, že funkční hodnota je menší nebo rovna funkční hodnotě funkce v x0. Obdobně platí i pro minimum funkce. Stacionární body: f x ' 0 – v těchto bodech má funkce lokální minimum (pokud je f ' ' x 0 ) nebo maximum ( f ' ' x 0 ). Pokud je druhá derivace ve stacionárním bodě rovna nule, nejedná se o extrém. Inflexní bod: f x ' ' 0 – nelze udělat tečnu, funkce konkávní přechází na konvexní. konkávní funkce: f x ' ' 0 konvexní funkce: f x ' ' 0 – celý graf leží pod tečnou – celý graf leží nad tečnou 48.3 VYŠETŘENÍ PRŮBĚHU FUNKCE 1) Určit definiční obor funkce funkce sudá, lichá, periodická 2) Body, v nichž není definována, ale má v nich limitu zprava a zleva Limita v nevlastních bodech 3) Průsečíky s osami x,y Znaménka funkčních hodnot 4) Výpočet I. derivace Nulové body I. derivace – stacionární body Body, v nichž není derivace definována 5) Intervaly monotónnosti 6) Výpočet II. derivace Nulové body II. derivace – inflexní body Body, v nichž není derivace definována 7) Lokální extrémy Intervaly konvexnosti a konkávnosti 8) Asymptoty y ax b f x x b lim f x ax a k as lim x x 29 9) Obor hodnot funkce 10) Graf funkce Příklad: f : y x 3 6 x 2 9 x 1) D=R f x x 3 6 x 2 9 x x 3 6 x 2 9 x – ani sudá, ani lichá 6 9 2) limx 3 6 x 2 9 x lim x 3 1 2 x x x x 6 9 lim x 3 6 x 2 9 x lim x 3 1 2 x x x x 3) průsečík s x: y 0 x3 6x 2 9x 0 x0 x3 0,0, 3,0 průsečík s y: x 0 y0 0,0 y ' 3 x 2 12 x 9 stacionární body: y ' 0 x1 1, x 2 3 5) rostoucí: y ' 0 ,1, 3, 6) y ' ' 6 x 12 inflexní body: y ' ' 0 x 2 7) y ' ' 1 6 – lokální maximum [1,4] 4) klesající: y ' 0 1,3 y ' '3 6 – lokální minimum [3,0] konvexní: y ' ' 0 2, 8) k as lim b lim x x konkávní: y ' ' 0 ,2 f x x3 6x 2 9x lim lim x 2 x x x x 9) H=R 10) 48.4 GLOBÁLNÍ EXTRÉMY Příklad: Do koule o poloměru R vepište válec největšího objemu. V r 2v r 2 v 2 4R 2 r 2 4R 2 v 2 V 4 R 2 v 2 v V ' 4R 2 3v 2 4R 2 3v 2 0 v 43 R r 2 4 R 2 v 2 r 4 R 2 43 R 2 R v 30 R R 8 3 V ' ' 6v V ' ' R 43 R 48 0 v tomto bodě je maximum funkce r 49 PRIMITIVNÍ FUNKCE, URČITÝ INTEGRÁL 49.1 DIFERENCIÁL FUNKCE dx – diferenciál argumentu dy – diferenciál funkce f y dy f ' x 0 lim x 0 x dx dy f ' x0 dx t y x Výpočet absolutních chyb: dy dy y Výpočet relativních chyb: Příklad: Válec má průměr i výšku 80 0,5 cm. Jaká bude relativní chyba při výpočtu objemu? dD 0,5 D=80, V D2 D 2 D3 4 dV 4 3D dD dV 3dD 1,5 1,87% 80 V D 2 49.2 NEURČITÝ INTEGRÁL Primitivní funkce: F ' x f x , F(x) je funkce primitivní k f(x) Neurčitý integrál: f x dx F x C , kde f x dx je neurčitý integrál, f x dx je integrant a F x C je primitivní funkce. Integrál je opak derivace. 49.3 ZÁKLADNÍ INTEGRÁLY 0 dx C x n 1 x dx n 1 C 1x dx ln x C n x2 C 2 c dx c dx cx C x dx dx x C e dx e x x C ax C ln a sin x dx cos x C x a dx cos x dx sin x C 1 cos x dx tg x C 2 1 sin 2 x dx cotg x C 31 1 dx arcsin x C arccos x C 1 x2 1 1 x 2 dx arctg x C arccotg x C f x g x dx f x dx g x dx C c f x dx c f x dx 49.4 INTEGRAČNÍ METODY Substituční metody: f ax b dx f t dx 1 a 1 a F ax b C t ax b dt t 'dx a dx dx dt a f ' x dx 1t dt ln t C ln f x C f x t f x dt f ' x dx f g x g ' x dx f t dt F g x C t g x dt g ' x dx Metoda per partes: (po částech) uv ' u ' v uv' uv 'dx u ' v dx uv'dx uv u ' v dx uv'dx u ' v dx uv uv'dx Příklad: u ' cos x u sin x x sin x sin x 1 dx vx v' 1 x cos x dx x sin x cos x C Příklad: u' 1 ln x dx 1 ln x dx v ln x ux v' 1 x x ln x x 1x dx x ln x x C Příklad: e x sin x dx u' e x x u ex v sin x v' cos x u ex v cos x v' sin x e e x sin x e x cos x dx e x sin x e x cos x e x sin x dx sin x dx e x sin x e x cos x e x sin x dx x e sin x dx 32 u' e x e x sin x e x cos x C 2 49.5 VÝPOČET URČITÉHO INTEGRÁLU b f x dx F x F b F a b a a Funkce f(x) musí být v intervalu <a,b> spojitá. b c b a a c c a, b ; a c b f x dx f x dx f x dx b a a b f x dx f x dx Při substituci musíme přepočítat meze pro t: t sin x t1 sin 6 1 t 3 7 Příklad: sin x cos x dx t dt dt cos x dx t 2 sin 2 1 1 3 1 24 2 2 1 1 2 2 6 2 2 Při metodě per partes: x sin x dx Příklad: 0 u ' sin x u cos x vx v' 1 x cos x 0 cos x dx 0 x cos x sin x0 50 UŽITÍ INTEGRÁLNÍHO POČTU K VÝPOČTU OBSAHŮ ROVINNÝCH OBRAZCŮ A OBJEMŮ ROTAČNÍCH TĚLES 50.1 OBSAH OBRAZCE y f(x) y a y b f(x) x b x a f(x) b S f x dx a c d b x b c d b a a c d S f x dx S f x dx f x dx f x dx a Příklad: Vypočti obsah obrazce vymezeného křivkami: y sin x, y 0, x 0, x 2 2 0 S sin x sin x cos x 0 cos x 4 Pro y f(x) obrazce vymezeného dvěma křivkami platí vztah: b S f x g x dx , tento vzorec platí i v případě, že část plochy g(x) a plochu 2 a leží pod osou x. b x Příklad: f : y 2 x 2 , g : y x 2 x 2 x x1 2, x 2 1 1 S 2 x 2 x dx 4,5 2 33 Příklad: f : y 2 4 x, p : 2 x y 4 0 1) Derivujeme podle x f : y 2 x , p : y 2 x 4 Průsečíky: y 2 4 x 4 x 2 16 x 16 4 x x 1 x 4 1 4 1 1 S 2 2 x 2 dx 2 x 2 2 x 4 dx 9 0 1 2) Derivujeme podle y y2 y f :x , p:x 2 4 2 2 y y 2 y 2 y 4 Průsečíky: x x 4 2 4 2 y y dy 9 S 2 2 4 2 y 50.2 OBJEMY ROTAČNÍCH TĚLES Pro tělesa rotovaná kolem osy x: V b b f x dx y 2 a Pro tělesa rotovaná kolem osy y: V a 2 x dx a a b f b 2 y dy x 2 dy a a r x3 v3 V r x dx r 2 x rv 2 3 r v 3 r v 3 2 Vzorec pro objem kulové úseče: V r1 2v 43 2v , 2 2 r1 r 2 r v . Po dosazení a úpravách: 2 kde V rv 2 y a kruh: y 2 x 2 r 2 y r 0 r 2 x2 , y' b 1 2x 2 r 2 x2 r r x r x2 2 r 1 1 r2 x2 dx 4r dx 4 dx 4 dx 2 2 2 2 x 2 r x r x r 2 x2 0 0 0 1 r 1 t rx t1 1 1 1 4r dx 4r arcsin t 0 2r 1 2 dt r dx t 2 0 0 1 t 1999 Petr Řezka [email protected] Nekomerční využití pro studijní potřeby povoleno v plném rozsahu. 34 r f a Příklad: Vypočti obvod kruhu o poloměru r. s 4 1 v x 2 f x y v 3 1 f ' x dx b r1 r r-v 3 50.3 DÉLKA OBLOUKU ROVINNÉ KŘIVKY s y b f Příklad: Vypočti objem kulové úseče o výšce v, která je částí koule o poloměru r. Kružnice: x 2 y 2 r 2 y 2 r 2 x 2 r b x