Modelování rekonexe magnetického pole pomocí metody

Modelování rekonexe magnetického
pole pomocí metody konečných prvků
J. Skála, Univerzita J.E. Purkyn¥, Ústí nad Labem
a Astronomický ústav AV ƒR, Ond°ejov, jskala @physics.ujep.cz
M. Bárta, Max Planck Institute for Solar System Research, Katlenburg-Lindau
a Astronomický ústav AV ƒR, Ond°ejov, barta @mps.mpg.de
M. Varady, Univerzita J.E. Purkyn¥, Ústí nad Labem
a Astronomický ústav AV ƒR, Ond°ejov, mvarady @physics.ujep.cz
Abstrakt
Magnetická rekonexe ve slune£ních erupcích zahrnuje ohromný rozsah vzájemn¥
propojených ²kál od globálních rozm¥r· erupce aº po ²kály, kde na úrovni
kinetických d¥j· probíhá vlastní disipace magnetické energie a urychlování
£ástic. Jednu z hlavních nezodpov¥zených otázek tohoto procesu tudíº p°edstavuje fyzikální mechanismus p°enosu volné magnetické energie od velkých
m¥°ítek, na nichº je energie akumulována, k disipativním ²kálám. V p°ísp¥vku
se zabýváme studiem tohoto problému za pomoci pokro£ilých technik v numerickém modelování. Nejprve prezentujeme výsledky zaloºené na tradi£n¥j²í
metod¥ kone£ných diferencí (Finite Dierence Method FDM ) s pouºitím techniky adaptivního zjem¬ování výpo£etní m°íºe (Adaptive Mesh Renement AMR). P°estoºe nám tento p°ístup poskytl vhled do mechanismu energetické
kaskády v rekonexi, detailní analýza ukázala i n¥která slabá místa, kterými
zmín¥ná metoda trpí. Jako mnohem p°irozen¥j²í p°ístup k multi²kálovému
procesu magnetické rekonexe se proto jeví numerické modelování metodou
kone£ných prvk· (Finite Element Method FEM ). V p°ísp¥vku p°iná²íme
srovnání obou p°ístup· a první výsledky modelování magnetické rekonexe ve
slune£ní erupci získané s pomocí FEM.
1. ÚVOD
lit poºadované mnoºství elektron· v tomto pom¥rn¥
velmi malém prostoru.
Motivováni snahou po p°eklenutí zmín¥ného
propastného rozsahu ²kál Shibata a Tanuma (2001)
navrhli schematický koncept fraktální (p°esn¥ji
°e£eno kaskádní) rekonexe. Jejich schema p°edpokládá tvorbu celé kaskády magnetických ostrov· (tzv.
plasmoid·) mechanismem známým jako tearing instability na plném rozsahu ²kál od typických rozm¥r·
globální proudové vrstvy aº po disipativní ²kálu.
Hlavní my²lenku jejich koncepce zachycuje obr. 1.
V tomto p°ísp¥vku si klademe za cíl ov¥°it a dále
rozvinout my²lenku kaskádní rekonexe pomocí numerického modelu popisujícího proces rekonexe v
erupci soustavou MHD rovnic. Vzhledem k tomu,
ºe se z principu jedná o dynamický systém pokrývající ²iroký rozsah ²kál, standardní metody °e²ení
parciálních diferenciálních rovnic zaloºené na superjemné jednoduché strukturované síti jsou z d·vodu
obrovského mnoºství sí´ových bod· pot°ebných k
Rekonexe magnetického pole je v sou£asné dob¥
povaºována za hlavní mechanismus uvoln¥ní energie
ve slune£ních erupcích. Nicmén¥ mnoho otázek spojených s tímto procesem z·stává otev°ených. Nejmarkantn¥j²ím problémem je obrovský rozdíl mezi
charakteristickými rozm¥ry struktur, na nichº je
volná magnetická energie akumulována a ²kálami,
kde podle teorie dochází k její skute£né disipaci skrze
neideální kinetické procesy. Zatímco typické m¥°ítko
struktur jejichº pozorování v erupci jsou interpretována jako projev proudové vrstvy je ≈1000 km,
typická ²í°ka disipativní proudové vrstvy udávaná
teorií je pro parametry koronálního plazmatu pouze
≈10 m. Krom toho, tradi£ní pojetí rekonexe s
jedinou disipativní oblastí selhává v konfrontaci se
zna£nými toky urychlených elektron· odvozených
pom¥rn¥ spolehliv¥ z pozorování v tvrdém rentgenovském zá°ení je totiº prakticky nemoºné urych84
∇ × B = µ0 j
1
B2
p
+ ρu2 +
(2)
U=
γ−1 2
2µ0
µ
¶
(u · B)
η
B2
u−
B+
j×B
S = U +p+
2µ0
µ0
µ0
Mikroskopické (kinetické) efekty vstupují do
velko²kálové dynamiky p°es transportní koecient
zobecn¥né rezistivity η . Protoºe v rámci MHD
modelu není moºné popsat vlivy kinetických efekt·,
je zobecn¥ná rezistivita modelována vztahem
Obr. 1. Představa kaskády v trhání proudové vrstvy v
rekonexi ve sluneční erupci podle Shibaty a Tanumy, 2001
(vpravo) a její zasazení do rámcového schematu navrženého
Karlickým (2004) pro vysvětlení vícero simultánně pozorovaných radiových vzplanutí typu DPS (vlevo).
½
η(r, t) =
uD (r, t) =
(3)
j(r, t)
ene
(4)
p°edstavující elektrický proud p°esáhne danou kritickou rychlost ucr , je r·znými kinetickými nestabilitami (nap°. Bunemanova nestabilita) generováno
uktuující elektrické pole, jeº na proud-nesoucí elektrony p·sobí podobn¥ jako sráºky s ionty mechanismus je znám jako anomální rezistivita.
Soustavu MHD rovnic (1) nelze krom¥ vybraných
speciálních p°ípad· °e²it analyticky a je proto nutné
se uchýlit k metodám numerické integrace. K problému numerického °e²ení soustav parciálních diferenciálních rovnic existují v zásad¥ dva p°ístupy
metoda kone£ných diferencí (FDM) a metoda
kone£ných prvk· (FEM).
2. MODEL
Velko²kálovou (L À 10 m pro typické parametry
v erupci) dynamiku magnetizovaného koronálního
plazmatu je moºné popsat soustavou MHD rovnic
pro stla£itelnou resistivní tekutinu (Priest, 1982):
∂ρ
+ ∇·(ρu) = 0
∂t
∂u
+ ρ(u · ∇)u = −∇p + j × B + ρg
∂t
∂B
= ∇×(u × B) − ∇×(ηj)
∂t
∂U
+ ∇ · S = ρu · g.
∂t
: |uD | ≤ ucr
: |uD | > ucr
Vztah (3) vyjad°uje obecn¥ uznávaný fakt, ºe pokud
relativní rychlost elektron· v·£i iont·m
simulaci i malých ²kál technicky nepouºitelné.
Tento problém se pokou²íme obejít pouºitím
dvou p°ístup·: zavedením adaptivního zjem¬ování
výpo£etní sít¥ do metody kone£ných diferencí (AMR
FDM), a nov¥ji alternativn¥ téº metodou
kone£ných prvk· (FEM) umoº¬ující p°irozenou
adaptaci velikosti výpo£etních element· charakteristickým rozm¥r·m struktur, které pokrývají.
ρ
0
cr )
C (|uD (ru,t)|−u
0
(1)
3. METODA KONEƒNÝCH DIFERENCÍ
Metoda kone£ných diferencí je zaloºena na
pravoúhlé diskretizaci °e²ené oblasti. To znamená,
ºe kontinuální stavové veli£iny popisující MHD systém jsou reprezentovány svými vzorky na uzlech
kartézské diskretiza£ní sít¥. Prostorové parciální
derivace v diferenciálních rovnicích se pak nahradí
diferencemi s kone£nou velikostí diferencí ∆x.
Rovn¥º £as je diskretizován stav systému je denován pouze v nespojitých £asových krocích a pro
£asovou derivaci se se pouºije nahrazení
Pro ú£ely simulací je vhodné soustavu rovnic (1)
p°evést do tzv. konzervativního tvaru, kdy stav systému je dán vektorem základních stavových veli£in
Ψ = (ρ, ρu, B, U ), kde ρ, u, B , U jsou po °ad¥ hustota, makroskopická rychlost, magnetická indukce a
celková energie. Jednotlivé MHD rovnice pak nabývají tvaru zákon· zachování hmoty, hybnosti, magnetického toku a energie. Tok energie S , proudová
hustota j a celková energie U jsou dány pomocnými
vztahy
∂
1
→
∂t
∆t
Existuje mnoho zp·sob· jak tuto diskretizaci provést
konkrétní p°edpisy jsou známy jako r·zná numerická schémata. V na²í MHD simulaci zaloºené
na FDM pouºíváme explicitní diskretiza£ní schéma
85
Laxe-Wendroa (Chung, 2002), které má v 1D geometrii tvar
Ψi = Ψi −
viz obr. 1. Vedle Shibatou a Tanumou p°edpokládané kaskády tearing instability ukazují na²e
výsledky nov¥ i d·leºitost opa£ného procesu tedy koalescence (splývání) vytvo°ených plasmoid·.
Kaºdá interakce plasmoid· totiº vede k vytvo°ení
proudové vrstvy mezi nimi a k sekundární rekonexi
v této vrstv¥. Lze p°edpokládat, ºe tento proces
pokra£uje aº na úrove¬ kinetické ²kály, kde kinetická
koalescence plasmoid· p°edstavuje pravd¥podobný
mechanismus disipace magnetické energie (Drake
a kol., 2005). Dynamická rovnováha mezi procesy
trhání (tearing ) proudové vrstvy spojené s tvorbou plasmoid· a jejich následným splýváním tak
pravd¥podobn¥ udrºuje mocninnou distribuci prostorových ²kál a p°edstavuje hledaný proces turbulentní kaskády magnetické energie od velkých
m¥°ítek k malým.
Získané výsledky ukazují, ºe metoda kone£ných
diferencí (FDM) s pouºitím techniky zjem¬ování
sít¥ (AMR) p°edstavuje pokrok ve zkoumání multi²kálových aspekt· magnetické rekonexe. Nicmén¥
detailní analýza odhaluje i n¥která slabá místa
této metody, která mohou mít vliv na v¥rohodnost výsledk·. Jedná se p°edev²ím o problémy
spojené s vnit°ní hranicí mezi sít¥mi s jemným
a hrubým rozli²ením. Vzhledem k r·zn¥ p°esným
aproximacím prostorových derivací kone£nými diferencemi na jedné a druhé stran¥ této hranice m·ºe
docházet k mírnému poru²ení jedné z Maxwellových
rovnic ∇ · B = 0 na tomto rozhraní. Dále se
ukazuje, ºe r·zn¥ dlouhý £asový krok pro jemnou
a hrubou sí´ vede k fale²nému odrazu p°ípadn¥
vznikajících vln na hranicích jemné a hrubé m°íºe.
Abychom zabránili nekontrolovatelnému r·stu t¥chto
fale²ných oscilací, je nutné do numerického schematu
za°adit ur£itou formu zhlazování (smoothing/hyperviscosity ) po£ítaných veli£in. V²echny tyto problémy omezují pouºití zmín¥né metody pro dal²í
úrovn¥ zv¥t²ení numerického rozli²ení. Z tohoto
d·vodu jsme obrátili na²i pozornost sm¥rem k popisu
pole stavových veli£in soustavou kone£ných prvk·
(FEM), který umoº¬uje mnohem p°irozen¥j²í realizaci multi²kálového modelování.
∆t(Ψi+1 − Ψi ) ∆t2 (Ψi−1 − Ψi + Ψi+1 )
+
2∆x
2∆x2
jehoº zobecn¥ní pro 2D a 3D geometrie je p°ímo£aré.
Z principu FDM je z°ejmé, ºe kartézská diskretiza£ní sí´ dokáºe obsáhnout pouze omezený rozsah ²kál
v d·sledku svého kone£ného rozli²ení. Tradi£ní MHD
simulace proudové vrstvy (viz nap°. Kliem a kol.,
2000; Bárta a kol., 2008a) proto zachycují pouze
velkorozm¥rovou dynamiku studovaného systému.
Chceme-li pokrýt v¥t²í rozsah simulovaných
m¥°ítek lze pro detailn¥j²í popsaní dynamiky
proudové vrstvy pouºít techniku AMR. Ta v místech
s velkým gradientem stavového vektoru adaptivn¥
zmen²í diference i velikost £asového kroku (viz.
obr. 2) a poskytne tak lokáln¥ lep²í rozli²ení.
∆ x1
∆ t1
∆ x2
∆ t2
Undefined
value
Obr. 2. Adaptivní sít’ metody konečných diferencí.
Uvedeného p°ístupu jsme vyuºili k vyt£enému
zkoumání relevance konceptu kaskádní rekonexe pro
slune£ní erupce: ke zodpov¥zení této otázky byl
zkonstruován numerický kód implementující 2.5D
MHD model pomocí metody FDM s pouºitím techniky AMR (více detail· v Bárta a kol., 2010).
Výsledky modelování jsou zobrazeny na obr. 3. Simulace startuje z po£áte£ního stavu popsaného pom¥rn¥
²irokou Harrisovou proudovou vrstvou (viz nap°.
Bárta a kol., 2008b). Tvorbu takovýchto proudových
vrstev lze p°irozen¥ o£ekávat pod vyvrºeným lamentem/CME. Obrázek ukazuje situaci v £ase t =
300τA , kde τA je Alfén·v £as. V levé £ásti je zobrazen
globální pohled na rovinu xz (kolmou na invariantní
sm¥r). Je patrné, jak se okolo sou°adnic x = 0, z = 70
a x = 0, z = 110 formují sekundární plasmoidy v
trhající se proudové vrstv¥ mezi hlavním plasmoidem
a arkádou erup£ních smy£ek. Pravý panel zobrazuje
zv¥t²ený pohled na oblast ve vybraném obdélníku.
Mezi plasmoidem v okolí bodu x = 0, z = 70 a
erup£ními smy£kami se pak tvo°í je²t¥ men²í plasmoidy v dále zten£ené proudové vrstv¥.
Tvorba plasmoid· na men²ích prostorových
²kálách a pokra£ující lamentace proudové vrstvy
mezi t¥mito plasmoidy je zcela ve shod¥ s p°edstavou kaskádní rekonexe (Shibata a Tanuma, 2001)
4. METODA KONEƒNÝCH PRVK—
Metoda kone£ných prvk· (FEM) zmín¥nými
nevýhodami FDM netrpí je totiº zaloºena na
nestrukturované m°íºi a proto nemá problémy na
hranici jemné a hrubé oblasti sít¥. Základem FEM
je rozd¥lení výpo£etní oblasti do mnoha kone£ných
podoblastí prvk·/element·. Typicky pouºívanými
elementy jsou trojúhelníkové (ve 2D) a £ty°st¥nné
(ve 3D) domény. Celá výpo£etní oblast nap°. ve 2D
simulacích je pak pokryta trojúhelníkovou nestrukturovanou sítí. Výhodou je, ºe v p°ípad¥ pot°eby
lze velmi jednodu²e rozd¥lit daný element a získat
86
Z
2
I(u) =
(Au − f ) dΩ
Ω
(7)
Abychom mohli numericky uchopit tento problém
jsou stavové veli£iny reprezentované vektorem u v
kaºdém elementu aproximovány rozvojem do vhodných bázových funkcí, nej£ast¥ji polynom· nízkých
°ád·. Problém minimalizace funkcionálu (7) se tak
po n¥kolika matematických úpravách p°evede na
soustavu lineárních algebraických rovnic
SU = R
Kde S je °ídká matice tuhosti, R je vektor pravé
strany (v terminologii FEM zvaný vektor zatíºení )
a U je diskrétní reprezentace stavového vektoru
u ve form¥ hodnot stavových veli£in v uzlových
bodech sít¥. Tuto soustavu °e²íme pomocí metody
vhodné pro °e²ení soustav s °ídkou maticí. V
na²em kódu pouºíváme metodu sdruºených gradient·. Výhodou FEM jsou moºnosti jiº zmín¥ného
snadného zjem¬ování sít¥ d¥lením element· a také
atraktivní moºnost zvy²ování °ádu bázových funkcí k
p°esn¥j²ímu popisu °e²ení v rámci jednoho elementu.
Jak lze p°evést soustavu MHD rovnic (1) do
tvaru (5) vhodného pro pouºití FEM? Abychom
mohli ur£it prvky matice tuhosti a vektoru zatíºení,
nejprve musíme nalézt lineární operátor odpovídající rovnicím MHD. Nejprve p°evedeme rovnice (1)
do semi-konzervativního tvaru
∂F i
∂Ψ1
+ Ψ2 +
=0
(9)
∂t
∂xi
Obr. 3. Výsledek kaskádní rekonexe získaný pomocí 2.5D
AMR MHD kódu. V zúžené proudové vrstvě se tvoří další
menší magnetické ostrovy – plasmoidy (Bárta a kol., 2010).
Srovnej s představou kaskádní rekonexe na obr. 1.
tak lokáln¥ v¥t²í rozli²ení, p°i£emº kvalitativn¥ nedochází ke zm¥n¥ sít¥ element· ani po této operaci neexistuje kvalitativní hranice mezi hrubými
a jemnými oblastmi.
FEM byla p·vodn¥ navrºena pro numerické
výpo£ty nap¥tí a deformací ve statice (nap°. výpo£ty
nosník· apod.) z £ehoº plyne i její vlastní terminologie a matematický formalismus. Formáln¥ jde o
hledání °e²ení úlohy typu
Au = f na Ω
(5)
Bu = g na Γ
kde Ψ1 = (ρ, π1 , π2 , B1 , B2 , U, 0), πi = ρui , Ψ2 =
(0, 0, 0, 0, 0, 0, J3 ), Ψ = Ψ1 +Ψ2 a F i je tok ve sm¥ru
i-té sloºky (i ∈ {x, y}):


πi
π1 πi
1


ρ − B1 Bi + 2 δ1i (p + Um )


π
π
1


2 i
−
B
B
+
δ
(p
+
U
)
2 i
m


ρ
2 2i


πi B1 −π1 Bi
+
ηε
J


1ij
j
ρ

πi B2 −π2 Bi
Fi = 


+
ηε
J
2ij j
³ρ
´




γ
πi


ρ
γ−1 p + Uk +


 +2ηεijk Jj Bk + ρ2 εijk (πk Bi − πi Bk )Bk − 
−ε3ik Bk
kde Ω je °e²ená oblast, Γ = ∂Ω je hranice oblasti
Ω, A je lineární parciální diferenciální operátor, B
je hrani£ní operátor, f je zdrojový vektor a g je
hrani£ní podmínka. Operátor A je obecn¥ dán v
tomto tvaru
A = A0 +
X
i
Ai
∂
∂xi
(8)
(6)
e²ení úlohy (5) se na celé oblasti hledá varia£ní
metodou t.j. snaºíme se nalézt extrém ur£itého
funkcionálu spojeného se soustavou (5). P°íslu²ných
funkcionál·, jejichº minimalizace vede k soustav¥ (5)
existuje ov²em mnoho a podle nej£ast¥ji pouºívaných se metoda kone£ných prvk· rozd¥luje do
t°í hlavních skupin: Rayleighova-Ritzova metoda,
Galerkinova metoda a metoda nejmen²ích £tverc·
(least-squares FEM/LSFEM ). Pro °e²ení soustavy
rovnic MHD pouºíváme práv¥ metodu nejmen²ích
£tverc· z d·vod· její univerzality (dá se pouºít
na parabolické, hyperbolické, eliptické i mixované
rovnice), robustnosti a p°esnosti. Základní podstata LSFEM (viz Jiang, 1998) je v minimalizování
kvadratického residua v celé oblasti °e²ení hledáme
tedy minimum funkcionálu
Komponenta proudové hustoty J3 je zde vy£len¥na,
protoºe její rovnice neobsahuje £asovou derivaci, ale
po£ítá se p°ímo z magnetického pole.
Protoºe p·vodní formulace problému FEM (5)
je zaloºena na °e²ení stacionární (£asov¥ nezávislé)
a lineární úlohy, je t°eba i pro ná² MHD systém
provést nejprve £asovou diskretizaci a linearizaci.
Pro £asovou diskretizaci pouºíváme známé numerické schéma Cranka-Nicholsonové (viz nap°. Chung,
2002), které je semi-implicitní a druhého °ádu p°esnosti. Linearizace je implementována pomocí iterativního hledání °e²ení úplného (t.j. nelineárního)
87
operátoru Newtonovou-Raphsonovou metodou. Linearizovaná a £asov¥ diskretizovaná soustava je pak
dána v tomto tvaru
Ã
!!
Ã
∆t ∂Aki
k ∂
+ Ai
Ψk+1 =
1+
2
∂xi
∂xi
Ã
!
∆t ∂F i
∂Aki k
= Ψ1 −
−
Ψ
2
∂xi
∂xi
Zde £leny s pruhem zna£í starý £asový krok, index k
je lineariza£ní iterace a A je Jakobiho matice
∂F i ¯¯
Aki =
(10)
∂Ψ k
V p°ípad¥ proudové hustoty je rovnice dána
jednodu²²ím tvarem, protoºe neobsahuje £asovou
derivaci
Ã
!
∂Aki
∂Aki k
k ∂
1+
+ Ai
Ψk+1 =
Ψ
(11)
∂xi
∂xi
∂xi
Obr. 4. Diskretizace oblasti do trojúhelníkové sítě.
Kód metody kone£ných prvk· je stále ve vývoji
a proto jsou zde prezentovány pouze výsledky z
testování této metody. Na obrázku 5 jsou zobrazeny
po£áte£ní hustoty hybností, které spou²t¥jí rekonexi
magnetického pole. Vtoková rychlost do difúzní
oblasti je p°ibliºn¥ 10× men²í neº rychlost výtoková. Po£áte£ní magnetické pole a rozloºení hustoty a teploty plazmatu odpovídá Harrisov¥ konguraci proudové vrstvy (viz. obr. 6), pouºité i v p°ípad¥
simulací FDM. Obrázky 6 a 7 ukazují proudovou hustotu a silo£áry magnetického pole v £asech t = 0.0τA ,
t = 1.2τA , t = 1.7τA a t = 2.2τA . Pro prostorovou diskretizaci byla pouºita trojúhelníková sí´
(viz. obr. 4) s aproxima£ními polynomy druhého
°ádu (t.j. 6 bod· na trojúhelník). Z obrázku 7
je vid¥t, jak po£áte£ní proud¥ní vede ke kompresi
proudové vrstvy a k zaºehnutí magnetické rekonexe
jsou patrné jak nov¥ vytvo°ené magnetické silo£áry
tak charakteristické rekonexní výtrysky. Jiº první
výsledky tak ukazují pouºitelnost LSFEM na °e²ení
rovnic magnetohydrodynamiky a tedy i na studium
procesu kaskádní rekonexe. Od dal²ího vývoje kódu si
slibujeme moºnost adaptivního zjem¬ování rozli²ení
kombinovaným p°ístupem zaloºeným jak na d¥lení
element·, tak na zvy²ování °ádu bázových funkcí.
Jak jiº bylo uvedeno, lze tyto vlastnosti numerického
°e²ení které jsou p°itom klí£ové pro studium multi²kálových proces· do FEM kódu implementovat
zcela nenásiln¥ a p°irozen¥. Vzhledem k výpo£etní
náro£nosti bude dal²í rozvoj algoritmu sm¥°ovat
rovn¥º k zakomponování paraleliza£ních technik do
tohoto programu.
Obr. 5. Počáteční nastavení hustoty hybnosti. V levé části
je zobrazena hustota hybnosti ve směru osy x, což je vtok do
difúzní oblasti. V pravé části je výtok z difúzní oblasti ve směru
osy y.
Obr. 6. Časový vývoj rekonexe magnetického pole. Levá část
zobrazuje proudovou hustotu a magnetické pole (bílé čáry
zobrazují siločáry magnetického pole) na začátku simulace.
Pravá část ukazuje proudovou hustotu a magnetické pole v
čase t = 1.2τA .
pro své studium nasazení pokro£ilých technik numerického modelování. V p°ísp¥vku jsme se v¥novali srovnání dvou moºných p°ístup· k danému
problému: pouºití adaptivního zjem¬ování výpo£etní
m°íºe (AMR) v metod¥ kone£ných diferencí a alternativnímu popisu MHD systému pomocí metody
kone£ných prvk· (FEM).
S pouºitím 2.5D AMR MHD kódu jsme studovali koncept fraktální (kaskádní) rekonexe zaloºený na p°edstav¥ kaskády tearing instability
vedoucí k tvorb¥ plasmoid· separovaných stále
ten£ími proudovými vrstvami postupn¥ na men²ích a
men²ích ²kálách (Shibata a Tanuma, 2001). Výsledky
5. ZÁV…R
Rekonexe magnetického pole ve slune£ní erupci
je svou podstatou multi²kálový proces vyºadující
88
LITERATURA
Bárta M., Vr²nak B. a Karlický M. (2008a): Astronomy
and Astrophysics, 477, 649-655
Bárta M., Karlický M. a šemli£ka R. (2008b): Solar
Physics 253, 173-189.
Bárta M., Büchner J. a Karlický M. (2010): Advances in
Space Research 45, 10-17
Drake J.F., Shay M.A., Thongthai W. a Swisdak M.
(2005): Phys. Rev. Letters 94 (9), 095001
Chung T.J. (2002): Computational Fluid Dynamics,
Cambridge University Press
Jiang B. (1998): The Least-Squares Finite Element
Method Springer-Verlag Berlin Heidelberg
Karlický M. (2004): Astronomy and Astrophysics 417,
325
Kliem B., Karlický M. a A.O. Benz (2000): Astronomy
and Astrophysics, 360, 715-728
Priest E.R. (1982): Solar Magnetohydrodynamics, D.
Reidel Publishing Company,
Shibata K. a Tanuma S. (2001): Earth, Planets, and
Space 53, pp. 473-482
Obr. 7. Vývoj magnetické rekonexe v časech t = 1.7τA a
t = 2.2τA .
na²eho modelování tuto p°edstavu podporují. Krom
toho ale nov¥ ukazují i d·leºitost faktu, ºe vzniklé
plasmoidy spolu vzájemn¥ siln¥ interagují, coº vede
k vytvá°ení proudových vrstev kolmých k rovin¥ p·vodní silné proudové vrstvy a sekundárním
rekonexím v t¥chto proudových vrstvách. Tento
jev vede k dal²í fragmentaci proudové hustoty,
napomáhá ke zvý²ení celkové efektivity rekonexe a
potenciáln¥ p°ispívá k °e²ení problému urychlování
mohutných tok· £ástic pozorovaných v erupcích.
Protoºe podrobná analýza výsledk· AMR FDM
ukazuje i n¥která omezení této metody, nap°eli
jsme svou pozornost ke slibnému alternativnímu
popisu MHD systému pomocí metody kone£ných
prvk· (FEM). Vyvíjíme numerický kód implementující FEM model magnetohydrodynamických rovnic v
jeho variant¥ pouºívající metody nejmen²ích £tverc·
(LSFEM) a v p°ísp¥vku jsme prezentovali jeho
první výsledky. Ty nazna£ují, ºe LSFEM p°edstavuje pouºitelný a perspektivní p°ístup k modelování multi²kálových aspekt· rekonexe a p°edev²ím ke studiu mechanismu turbulentní kaskády
p°enosu magnetické energie od velkých k malým
m¥°ítk·m. K dosaºení tohoto cíle chceme pokra£ovat
ve vývoji FEM algoritmu tak, aby zahrnul p°irozenou
implementaci adaptivního lokálního zlep²ování rozli²ení. Následujícím cílem tedy je vytvo°it adaptivní
nestrukturovanou sí´, která dokáºe mapovat i malé
²kály.
Poděkování
Tato práce vznikla za podpory grant·:
205/08/H005,
205/06/P135,
205/07/1100
Grantové Agentury ƒeské republiky, IGA
UJEP 5322215000801 a výzkumného projektu
AV0Z10030501 (Astronomický ústav AV ƒR, v.v.i).
Výpo£ty byly provád¥ny na po£íta£ovém clusteru OCAS (Ond°ejov Cluster for Astrophysical
Simulations; http://wave.asu.cas.cz/ocas).
89