Problémové úlohy - Základní škola Planá nad Lužnicí, okres Tábor

Pro chytré hlavy
volitelný předmět
Problémové úlohy
ZŠ Planá nad Lužnicí
Pavla Capáková
1
Obsah
Úvod
3
Druhy logických úloh
3
Příklady šifrování—Jak zašifrovat slovo zelenina
4
Co budeme často potřebovat (Morseova abeceda, číselná hodnota písmen)
7
První dvacítka úloh
8
Teorie šifrování
17
Druhá dvacítka úloh
19
Matematické
19
Slovní, textové
20
Optimizéry
23
Obrázkové
24
25
Sudoku a jeho varianty
2
ÚVOD
Volitelný předmět Problémové úlohy je určen těm, kteří se nebojí namáhat
mozkové závity a které baví přemýšlet. Během celého roku se seznámíte s různými druhy šifrování, hlavolamů, logických úloh, křížovek a her, u kterých si zdokonalíte své logické uvažování, ověříte svou trpělivost, naučíte se používat algoritmy, respektovat dané podmínky a hledat správné řešení.
•
k vyřešení logické úlohy potřebujeme pouze rozumovou (logickou) úvahu a základní jazykové, matematické a vědomostní znalosti
•
logikou rozumíme schopnost správně usuzovat, tedy vyvodit z daných poznatků a myšlenek
správné závěry, případně schopnost najít z několika variant řešení to nejlepší
•
správným závěrem je v případě našeho předmětu takové, které vyplývá ze zadání úlohy a
respektuje všechny dané podmínky
DRUHY LOGICKÝCH ÚLOH
1.
Slovní (zebry, detektivky, křížovky, výplňky, dosazovačky, koníčkovky, královské procházky, úlohy o lhářích, …)
2.
Číselné ( vývojové řady, substituční úlohy, domino, magické obrazce, číselná bludiště, číselné křížovky, sudoku, kakuro, ..)
3.
Obrázkové ( hrací kostky, hledání rozdílů, vývojové řady, skrývačky, substituční šifry,…)
4.
Úlohy s vyhledáváním pozic (námořní bitvy, kódované obrázky, …)
5.
Úlohy s hledáním klíče ( bludiště, hledání pokladu, spojování dvojic, …)
6.
Algebraické ( číselné řady, doplňování znamének, slovní aritmetické úlohy, šifry, algebrogramy,…)
7.
Geometrické ( dělení obrazců, prostorové úlohy, geometrické slovní úlohy,…)
8.
Kombinované
9.
Manipulační ( dvourozměrné hlavolamy, puzzle, tangramy, trojrozměrné hlavolamy, …)
10.
Karetní , deskové a počítačové hry
V tomto pracovním sešitě se úlohy jednotlivých uvedených typů střídají a není u nich uvedeno, do které kategorie
patří. Není to ani podstatné, po čase zvládneš jejich zařazení sám. Vždy si pořádně ujasni zadání (co máš udělat, co má vyjít), a
podmínky (pokud jsou dané). Věnuj se samostatnému hledání řešení, zkoušej, piš si. Nejlepší bude velký čtverečkovaný sešit,
velmi často bude třeba něco zapisovat do tabulky, nebo naprosto přesně pod sebe,...Pokud se ti nepodaří přijít ani na princip
úlohy, využij nápovědy (většinou ústní). Na konci hodiny se vždy budeme věnovat správnému řešení a jeho zdůvodnění.
V každém pololetí bude součástí výuky také šifrovací hra
a vytvoření samostatné problémové úlohy pro spolužáky.
3
PŘÍKLADY ŠIFROVÁNÍ (písmenné, číselné a obrázkové šifry)
JAK
ZAŠIFROVAT
SLOVO
U každého příkladu se pokus určit jakým způsobem byla šifra vytvořena
1. ani nelez
2. zaenlien
3. zlenliejnsitnua
4. --.././.-.././-./../-./.-//
5. Jkrtxzkdlxepoutxljexeprdxnaukaxindlxnjakoxa
6. 26;5;12;5;14;9;14;1;
7. 5/5;1/5;3/2;1/5;3/4;2/4;3/4;1/1;
8. 9999 33 555 33 66 444 66 2
9. klíč 2314 : lzeennia
10.
co;bh;jk;bh;mo;ms;fv;bc
11. eizlnnea
12.
afmfojob
4
ZELENINA
13.
14.
Avovmrmz
15. ..--/-/-.--/-/.-/--/.-/-.//
16.
17.
18.
Nelez za mnou. Podívej se eště jednou! Ten kotel laskavě vydrhni. Takhle energicky ne! Si
pako, ten nesmíš čistit benzínem. Já ti, i když jinak to nedělám, asi jednu fláknu. No teď
abych dal ven nápis Nebezpečí výbuchu. Co děláš s těma sirkama…auuu….
19.. zahrada , modřina, vitamín, ovoce, Londýn
20.
21.
23.
22.
3
● ●
5
505
24.
25.
3
4
5
3
6
26.
( 13 x 2 ) - 21 + 7—7 + 9—5 + 5—4
6
2
7
3
Co budeme často potřebovat:
Morseova abeceda a převádění písmen na čísla
Písmeno
Kód
Pomocná slova
Číselná hodnota
A
.-
akát
1
B
-...
blýskavice
2
C
-.-.
cílovníci
3
D
-..
dálava
4
E
.
erb
5
F
..-.
Filipíny
6
G
--.
Grónská zem
7
H
....
hrachovina
8
CH
- - - -
Chvátá k nám sám
Pozor– ve většině šifrovaných textů se používá
anglická abeceda bez
CH
I
..
ibis
9
J
.---
Jasmín bílý
10
K
-.-
krákorá
11
L
.-..
lupíneček
12
M
--
mává
13
N
-.
národ
14
O
---
Ó, náš pán
15
P
.--.
papírníci
16
Q
.--.
Kvílí orkán
17
R
.--.
rarášek
18
S
...
Sekera, sobota
19
T
-
Tón, trám
20
U
..-
učený
21
V
...-
vinobraní
22
W
.--
Wagón klád
23
X
-..-
Xénokratés, Xénie má
24
Y
-.--
Ýgor mává, ý se ztrácí
25
Z
--..
Známá žena
26
7
První dvacítka úloh
1. Báseň na úvod :
Zkus snadnou šifru vyřešit
Slov začátek konec najdeš
Chyba autora to není
Vzácný je dar rozumu
Řešením je jednoslovný výraz.
Transpoziční šifra. V první úloze si nejdřív všimneme formy
básně, která má 9 veršů. Nápověda k řešení je přímo ve
druhém a předposledním z nich. Hledat máme nápadné začátky a konce slov v každém řádku.
Písmenka asi máte hned
Váš klub bystrých dětí
Nepotřebuje encyklopedie
2. Dračí jednoduchá :
Něco v každém řádku uvidí
A šifru dnes snadno vyřeší
Není všechno zlato, co se třpytí, někdy draci používají
radši titan. Do skrýší si obvykle nosí uhlík přeměněný na
drahokam. Aby se jim pořádně leskly šupiny, potřebují
draslík. Naopak bez kyslíku se obejdou.
Řešením je sedmipísmenné slovo.
Substituční šifra. V souvislém textu se vyplatí hledat něco nápadného. Tady jsou to
názvy chemických prvků. Protože potřebujeme sedm písmen, je řešení poměrně snad-
3. Pár drobností s čísly:
1.
co patří místo otazníku: 96 , 112 , 129 , ? , 166 , 186
2.
Když (1,2,3) = 0, (4 ,8 , 6) = 6 a (7 , 4 , 9)= 2 , kolik je (2 , 5 , 7) ?
3.
V té zemi stojí mrkev 15 penízků, grep 12 a ředkvička dokonce 27 penízků. Kolik
stojí jablko?
U číselných řad musíme najít vztah, který platí mezi dvěma (nejčastěji sousedními) čísly.
Pokud je řada vzrůstající, půjde pravděpodobně o přičítání nebo násobení. Rozdíl prvních
dvou čísel je 16, mezi druhým a třetím 17, mezi posledními 20. Chybí nám dvě místa mezi
třetím až pátým číslem.
Úkol zadaný formou podmínek (když). V každé závorce si musíme mezi číslice dosadit početní
úkony tak, aby platil výsledek. Ve všech závorkách musí být tento vztah stejný. Co tedy udělat s
čísly 1 , 2 a 3, aby vyšla 0?
Obsahově nesmyslné zadání nás navede na zkoumání čísel a názvů ovoce a zeleniny. Seřaďme si
je od nejmenších a nejkratších: grep—mrkev—jablko—ředkvička
12
15
?
8
27
4. Rozcestník
Poměrně složitá kombinovaná šifra.
Co je nápadného? Na každé ceduli dvě
slova, jedno číslo, různý směr šipek. To
všechno je k řešení třeba.
Nejdřív musíme najít takové slovo, které
má nějakou logickou souvislost s oběma
uvedenými. Tato souvislost nemusí být na
první pohled jasná (nůžky-papír-kámen),
je třeba ji opravdu hledat a vědět i fakta (z čeho se vyrábí líh?) Ideální je sepisovat si všechno, co se mi vybaví, když se
řekne první slovo, totéž udělat se druhým a hledat, kde se myšlenky „potkaly“.
Pak potřebujeme z nového slova jen jedno písmeno. Jeho pořadí nám určuje číslo
na ceduli. Šipka pak určuje, jestli ho
hledáme zepředu nebo od konce.
Ze slova kámen tedy potřebujeme čtvrté
písmeno odzadu, tedy Á.
5. U výslechu
1. ...?
Tři oříšky pro Popelku.
Odpověď na otázku je vždy posunutá.
K otázce 2. patří odpověď č. 3.,
2. Kolik je hodin?
Pátek.
k otázce 3. patří odpověď u 4. otázky
a tak dále.
3. Co jsi měl k snídani?
Tři čtvrtě na devět.
4. Jaká je tvoje oblíbená historická postava?
Rohlík s máslem.
5. Jak se jmenuje tvůj otec?
Alexandr Veliký
6. Zpíváš rád?
Petr.
7. Čím bys chtěl být, až budeš velký?
Ano.
Jak zněla první otázka?
9
6. Zašifrované státy
Slabiky i jednotlivá písmena potřebujeme všechny., jedná se o transpoziční šifru. Popíšeme, kde jsou umístěny, co
vidíme, a do výsledného názvu použijeme i předložky místa, například :
V I je E, T je nad(nebo na) M.
7. Trojrozměrné kostky
Geometrická úloha na prostorovou představivost.
Obrazec je zakreslen nereálně, takto by nikdy z jednoho úhlu pohledu nevypadal. To proto, abychom si
mohli představit sami sebe ve všech třech potřebných
pozicích.
Kolik kostek uvidíš, podíváš-li se „jako“ zepředu ,
10
z boku
a shora?
8. Co vznikne?
Kombinovaná obrázková a transpoziční šifra. Začneme shora, postupujeme podle šipek, dosazujeme za obrázky slova
nebo písmena.
11
9. Kouzelný pásek
Stačí vzít staré noviny a vystřihnout pásek cca 8 cm široký a 60 cm dlouhý. Jeho konce spojte
tak, že je o 180° pootočíte. Vznikne Vám zakroucený pásek, který má jen jednu stranu. Nevěříte? Zkuste tedy jednu stranu obarvit na modro. No a tu druhou (pokud nějaká zbude) na červeno. Pokud je celý pásek jen modrý , je sestaven správně, pokud zbude nějaká neobarvena plocha,
pásek jste složili nesprávně.
Pokus 1
Pásek rozstřihněte v půlce. Co vám zbude? Kdo hádá dva pásky tak se plete. Budete mít jen jeden.
Pokus 2
Co se stane, když pásek nerozstřihneme uprostřed, ale trochu u kraje (asi v jedné třetině šířky)?
Tuto prostorovou hříčku nazýváme Möbiův pásek podle matematika A.F.Möbia, který jej
objevil v roce 1858. Jedná se o plochu, která má jen jednu hranu a jednu stranu. Velmi
názorně na něm můžeme vidět efekty, které způsobí prostorové deformace plochy.
10. Přečteš to?
Jednoduchá
transpozice.
Tohle komentář nepotřebuje. Důkaz
toho, že náš
mozek možná
funguje
jinak, než si
myslíme.
12
11. Pozvánka
Příklad slovní substituční šifry (písmena nahrazujeme jinými
1.
Výsledkem má být číslo
2.
Co je v textu nápadné ?
znaky). Podle klíče má být řešením číslo (KOLIK vás tam
bude?) V textu žádné není, je tedy nutné je někde objevit „schované“.
Nápadné je psaní počátečními velkými písmeny.
12. Říkadla
Lezuc ozebe btádo aba
Jádzu tamyle zaspo níc
Kujhá ádydy oztu ína
Budvak dleba ameo tamd
Co tam nepatří?
První slabiky pomůžou.
Text známých říkadel je nesmyslně zpřeházený a do každého verše
jsou přidaná písmena navíc. Ta potřebujeme.
Měkaí lvajab babřik kačoty
Adkvě dějeno doušvek
Dejako mijdab bablno kojied
Bunně destejk memíta
Substituční šifry využívají záměny písmen za písmena,
písmen za čísla, nebo obrázky. I nejjednodušší posun
písmen v abecedě je substitucí ( nahrazení).
Transpoziční šifry pracují jen se zpřeházením znaků textu
podle určitého pravidla. Může to být výměna sousedních
písmen, zápis textu podle šifrovací (transpoziční) mřížky,
do sloupců tabulky apod.
13
13. Divné součty
KLJAKFSAUK = 103
Grafická a substituční šifra. Jde o čísla, jimiž běžně
kódujeme písmena (A=1, B=2 atd.). Toto nám napovídá
součet za každým řádkem, který odpovídá součtu
hodnot písmen (pouze kontrolní, aby bylo jasnější, že
pracujeme s číselnými hodnotami písmen).
MDEQMOAJDNA = 97
AKGSKACAWEAK = 94
Všimneme si, že číslic - pozor nikoliv čísel - je na každém řádku stejně). Vzniká pravidelná tabulka. …
Určitě se bude hodit strana 6.
IFSLKXKCFAU = 123
NUTNĚ POTŘEBUJETE TABULKU
Řešením je jedno české slovo.
AKHMPLRQQA = 114
14. Dost morbidní báseň
•
Chybějící výrazy
•
Počet písmen
•
Počet otazníků
•
Řešením je pětipísmenné
slovo
Transpoziční šifra. Že místo
otazníků patří chybějící slova,
je jasné. Rýmová shoda na
konci veršů nám pomůže. Nezapomeneme, že CH počítáme
jako dvě písmena.
Recitační kroužek
Dřevorubec v lese ????,
sekl se a vykrvácí.
Marně svírá pěstičky,
nemá krevní ????????
Naše paní vedoucí
spadla pod vlak ???????.
Pojďme děti pro líh,
spálíme ji v ??????
Dvě želízka v ohni.
Dvě želízka v ohni.
Běž a ????? šlohni.
Pak přijde na řadu zapsat tato
slova do tabulky s otazníky. Ne
v tom pořadí, v jakém jdou za
sebou v básni!
15.
lama
?
Asociační
trouba
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
sušenka
Měsíc netopýr rozhlas
harmonie surfování
Asociace znamená řetězení myšlenek (co tě napadne, když se
řekne…). V úlohách tohoto typu je řešením jedno slovo, které
má nějakou věcnou souvislost se všemi uvedenými.
zemětřesení
14
16.
a
e
i
o
u
y
Y
h
s
b
i
p
ď
U
n
ů
m
u
c
ž
O
í
ch
ň
ř
é
l
I
z
t
d
e
ú
y
E
a
j
o
ý
š
g
A
f
r
ě
č
k
v
UAIOEEYAEIAEEUOA
Substituční šifra.
Šipky v zadání
UA—IO—...
Z nápovědy vyplývají dva potřebné směry a rozdělení šifry na dvojice.
Nabízí se zkombinovat sloupce a řádky. Dvojici UA můžeme použít několika způsoby:
A) průsečík písmen a + u ve vnitřní tabulce = ý. Začínat takhle heslo je dost
dobře nemožné. Navíc by další dvojice IO vyšla taky jako ý.
B) řádka U + sloupec a = n
C) Řádka A + sloupec u = k
Podle šipek v zadání je jediná správná možnost B)
17. Dveře
Představte si, že jste zavřeni na nádvoří obehnaném vysokou kamennou zdí, v níž vidíte
troje dveře. Na svobodu vedou ale jen jedny. Za druhými se skrývá hladomorna a za třetími číhají ve svých gigantických sítích jedovatí pavouci.
Vy ale víte, že výrok na dveřích vedoucích ven z nádvoří je pravdivý, nápis na dveřích vedoucích k pavoukům lže a nápis na vchodu do hladomorny může být pravdivý i nepravdivý.
Které dveře otevřete, abyste se dostali na svobodu?
A
Dveře B vedou
B
HLADOMORNA
do hladomorny
C
Pavouci jsou za
dveřmi B
Řešení úloh, které jsou založené na pravdivých a nepravdivých výrocích, vyžaduje postupné a pakované používání „kdyby“.
Jednoduše řečeno si vezmeme jeden výrok a zkoumáme: Kdyby byl nápis na prvních dveřích pravdivý,……..
Kdyby vedly tyto dveře ven, ………..
15
18. Přísloví
1.
Odolnost rostliny opatřené žahavými chloupky
vůči poklesu teploty pod 273,14° Kelvinů je
dokonalá.
2.
Občan poskytující záměrně klamné informace
současně převádí do svého vlastnictví majetek
spoluobčanů.
3.
Při poklesu produktivity práce na nulu se projeví totální nedostatek kruhového pečiva.
4.
Kdo odolává pokušení podlehnout touze nechat
dřímat vlastní energii, bývá obklopen chlorofylem.
5.
Akustický jev vycházející z množiny listnatých
či jehličnatých jedinců je totožný s tím, který
směřuje opačným směrem.
6.
Více než jednou,ale méně než třikrát urči
velikost fyzikální či chemické veličiny, a méně
než dvakrát, ale více než nulakrát použij
způsobu obrábění, při kterém se části materiálu od sebe oddělují.
7.
Přenos informace od jedince s kalorickým
nedostatkem k jedinci s tímto nedostatkem
již odstraněným je blokován.
8.
Vzdálenost od bodu A (což je místo, kde
ukončí svou dráhu druh malvice) od bodu B
(což je místo ležící svisle pod místem početí
výše zmíněné dráhy) se blíží nule.
9.
Kinetická energie eroticky motivovaného
vztahu může být použita k transferu vysokých geologických útvarů.
Text zašifrovaný pouze použitím synonymního vyjádření původních výrazů a přestylizováním vět do podoby
vědeckých definic. V každém textu je třeba najít něco, co připomene nějaký výraz ze známého přísloví
(klamné informace= lež,kruhové pečivo=koláč, množina listnatých jedinců= les), někde možná za pomoci odborných znalostí ( co znamená teplota—273,14° K, malvice, kalorický deficit ?)
19. Škrtaná
Pardubi-
Semily
Tábor
Zlín
Hlohovec
Třeboň
Znojmo
Mladá
Jičín
Děčín
Olomouc
Mělník
Jablonec
Plzeň
Xaverov
Ostrava
Sušice
Kalovy
Na první pohled je tabulka nápadná rozdělením na horní část se jmény měst a spodní
s různými dalšími výrazy.
Řešením je čtyřpísmenné slovo
kapr
loď
boty
zápalky
auto
kolo
syrečky
perník
pivo
korálky
kuře
okurky
rybník
kalich
léky
Rumcajs
minerálka
uhlí
20. Přesmyčky
DIDAR
MAD
LI
NÁ
BAGR HU
Přesmyčky používají jeden z nejjednodušších způsobů šifrování—pouhé přehození pořadí
písmen ve slovech (transpozice). Tato úloha je trochu ztížena—ve všech výrazech chybí
jedno (stejné) písmeno.
Řešením jsou názvy velkých světových měst.
16
A SE
TR
Teorie šifrování
Problematikou šifrování se zabývá věda zvaná kryptografie, v souvislosti s luštěním se můžeme setkat s
pojmem steganografie.
Historie
∗
Pravděpodobně nejstarší popis substituční šifry je znám z Indie ze 4.století, ovšem její autor čerpal z pramenů až o 800 let
starších.
∗
Již v antickém Řecku se používaly k přenosu zpráv dřevěné destičky, do kterých se vyryl text a následně byly celé destičky zality voskem, takže vypadaly jako nepopsané.
∗
Jindy byla zpráva vytetovaná na oholenou hlavu otroka a následně se nechala zarůst vlasy. Přečíst ji bylo možné až po dalším
oholení.
∗
Šifrování nebylo záležitostí zábavy. Využívalo se ho zejména ze zcela praktických důvodů ve válečných obdobích. Vojenští
velitelé (například Caesar, Napoleon,…), vysoce postavení politici nebo špioni a tajní agenti si vypracovávali různé šifrovací
systémy.
∗
Za ll. světové války se začala používat technika mikroteček. Šlo o miniaturní body na pásku filmu, které teprve při mikroskopickém zvětšení odhalily zapsaný text.
∗
Použití mechanických a elektronických strojů přineslo do šifrování zcela nové možnosti. Zejména proto, že stroje jsou
schopné velkého množství úkonů v daném čase.
∗
Německo v době druhé světové války používalo k utajování zpráv mechanický stroj Enigma, který prováděl poměrně složité
operace pomocí systému tří až čtyř samostatně otáčených válečků s písmeny. Ten, kdo znal klíč (původní nastavení všech
kotoučů) mohl text dešifrovat snadno, bez klíče byly šifry poměrně bezpečné. Poláci ještě před vypuknutím války začali na
zkoumání Enigmy pracovat a podařilo se jim ji „prolomit“.
∗
Současná počítačová technika umožňuje skutečně složité šifrování, kterého se využívá nejen ve vojenských tajných zprávách, ale i k zabezpečování přenosu digitálních souborů apod. Mluvíme například o kvantové kryptografii, moderních symetrických šifrách, nebo o kryptografii s veřejným klíčem (elektronický podpis).
Způsoby šifrování
∗
Substituční šifry - spočívají v nahrazení každého znaku zprávy jiným znakem podle nějakého pravidla.
A) Nejjednodušší možností je obyčejný posun celé abecedy. Z dnešního pohledu je tato šifra velmi snadno luštitelná, ve své době ale
představovala nevídanou novinku a velmi dobře se osvědčila. Tzv. Caesarova šifra pracovala s posunem o tři písmena. Kdybychom dejme tomu chtěli zašifrovat slovo NAROZENINY, zapsali bychom si pod sebe dvě abecední řady, druhou ovšem posunutou o tři místa
doprava (nebo doleva):
Písmeno N bude tedy v zašifrovaném
textu K, místo A bude X, celé slovo
bude vypadat takto:
ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ
A
E
I
NO
R
YZ
XYZABCDEFGHIJ KLMNOPQRSTUVW
KXOLWBKFKV
B) Daleko obtížnější je při šifrování i luštění použití substituční tabulky záměny. Opět nahrazujeme písmena jinými, ovšem tentokrát
bez jakékoli viditelné souvislosti či pravidelnosti. Používáme předem dohodnutého slova, které funguje jako klíč. Bez něho je šifra
těžko prolomitelná. Pokud si stanovíme jako heslo slovo VESLO, představíme si opět dvě abecední řady zapsané takto: do druhé řady
zapíšeme nejprve klíčové slovo, pak abecedu bez již
ABCDE FGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ
použitých písmen :
Slovo NAROZENINY by tedy vypadalo takto:
A
E
I
NO
R
Y Z
JVPKZOJDJY
VESLO ABCDFGHIJ KMNPQRTUWXYZ
C) Substituci (nahrazování) používáme i u šifer číselných (algebrogramy, používání číselné hodnoty písmen), obrázkových (místo písmena máme zadané obrázky a pracujeme například s prvními písmeny jejich názvů), grafických (morseovka) , různých tabulek (VIZ
úkol č. 16, …) apod.
17
∗
Druhou možností jsou šifry transpoziční. Transpozice (přesmyčka) spočívá ve změně pořadí znaků podle určitého pravidla. Písmena textu tedy „pouze“ zpřeházíme.
A)
Nejjednodušší transpozicí je přehození sousedních písmen ( ANOREZINYN) a zapsání textu pozpátku ( YNINEZORAN )
B)
Jen o málo složitější je zapsání textu do sloupečků a následné čtení po řádcích, psaní cik cak, do spirály apod. Je dobře
využitelné spíš u delších textů (například Těším se na oslavu narozenin.)
C)
t
o
s
z
e
a
n
e
s
m
t
š
m
ě
í
ě
a
l
o
n
o
e
z
o
í
s
n
o
e
a
š
n
a
r
i
s
n
.
r
š
s
a
u
l
v
í
e
v
a
n
l
i
n
a
ě
n
r
z
a
o
m
s
u
n
.
a
v
u
n
t
e
i
.
n
n
Transpoziční mřížka je většinou čtvercová tabulka, v níž jsou některá políčka vystřižena a text se zapisuje nebo čte tak, že se
tabulka postupně otáčí a ve vystřižených okénkách se objevují písmena. Protože počet odkrytých písmen musí být při každém
otočení stejný, je třeba připravit text s počtem písmen dělitelným čtyřmi (4 otočení) a vystřihnout vždy jednu čtvrtinu políček.
Předchozí text by se dal použít, pokud bychom vůbec neodkryly políčko s tečkou.
z
t
o
r
ě
l
a
š
n
e
í
e
i
a
n
o
s
u
m
.
v
e
n
a
n
Zapsaný text
∗
t
ě
š
o
l
e
í
a
m
s
s
mřížka
toto vidíme při prvním přiložení
n
otočíme o 90°
Nevýhody jednotlivých šifer je možné alespoň částečně odstranit jejich kombinací. Je možné například zkombinovat substituční posun abecedy s šifrovací mřížkou, nebo jednoduché přesmyčky s další transpozicí počátečních
písmen, použití dlouhého nesmyslného textu, ve kterém jsou potřebná písmena „ukryta“ před nebo za často se
opakujícími znaky…
Pfjhdbdxtmnfjgoxěfjedůvxšlksnfbxívsolvxmh\wnv|xsadnvsxefvbfdnlxnknvdsnvxaoidnskxov\nsfcxsvbnsflvxl\sdvů\smxav ůsfdxvcmjvsjfxub\nhsdxnůvna§mxajv§dvůxrblnbnbxoxzxexnxixnajta
18
Druhá dvacítka úloh
A) Matematické—číselné a algebraické
Je mi třikrát tolik,
kolik bylo vám,
když mně bylo tolik,
jak jste nyní stár.
1. Kolik mi je let?
Pomoci rovnic se dá k výsledku dojít takto: Teď mi je X a
tomu druhému Y. Z prvního odstavce víme, že mně bylo Y v
době, kdy bylo druhému člověku X/3.
Od té doby nějaký čas uplynul, ale musí platit: X - Y = Y X/3
Až vám bude tolik,
kolik je dnes můj věk,
budeme mít spolu
sto dvacet šest let.
Takže: X + (X - Y) + Y + (X - Y) = 126
Kolik je mně a kolik je vám?
Mezi nejoblíbenější aritmetické číselné hlavolamy patří v poslední době SUDOKU. S některými jeho typy se seznámíme později.
2. Číselné řady
3. Algebrogram
A)
98 - 113 - ? - 130 - 152
Místo písmen dosaď číslice, aby platily početní úkony:
B)
92 - 81 - ? -
A B C
C)
3 - 5 - 9 - 17 - 33 - 65 - ?
D)
1 - 2 - 4 - 7 - í - 12 - 18 - 24 - 32
- 38 - ?
B
x C H
E)
13 - 16 - 25 - 62 - 386 - ?
H H
+ C C C = C K K
F)
11 - 17 - ? - 32 - 41 - 51
56 - 42 27
- D E
:
=
+
C B H
+
=
I C
G)
41
4. Úloha ze 16. století
28 15
82 70 58
A
B
C
D
E
F
?
42
23
129
121
2
123
98 73
Adam Ries (1492-1559)
uvedl ve své knize Practica následující úlohu:
„Příchozí zdraví společnost: „Bůh pozdrav vás třicet!“
Jeden z oslovených povídá: „Kdyby nás bylo ještě jednou
tolik a ještě polovina, pak teprve by nás bylo třicet.“
Kolik osob bylo přítomno?
Hlavolam, který využívá hracích kamenů domina. Kameny jsou rozmístěny tak, že tvoří obdélník, ale
hranice mezi nimi jsou smazány. Homino je vyřešeno v okamžiku, když mezi kameny opět označíme
tyto hranice. Každý dominový kámen s vyskytuje pouze jednou.
5. Homino
0
3
5
1
1
4
5
4
5
5
1
3
00
01 , 11
2
0
2
2
3
3
01 , 11
02 , 12 , 22
5
3
3
4
0
5
02 , 12 , 22
2
03 , 13 , 23 , 33
4
5
1
4
3
0
03 , 13 , 23 , 33
4
04 , 14 , 24 , 34 , 44
0
4
2
0
0
1
04 , 14 , 24 , 34 , 44
1
1
2
2
2
4
3
3
4
4
2
1
1
1
2
2
1
1
0
4
3
3
4
2
3
4
0
2
0
3
0
1
0
0
00
19
05 , 15 , 25 , 35 , 45 , 55
B) Slovní, textové
Úlohy tohoto typu patří k nejsložitějším slovním rébusům. Cílem je zjistit z různého množství daných informací
nějakou chybějící. V zadání většinou najdeme kladná i záporná tvrzení, což při větším množství zadaných údajů
bývá občas příčinou neúspěchu. Při řešení se rozhodně neobejdeme bez papíru a trpělivosti. Je třeba vyzkoušet, který postup řešení ti bude nejlépe vyhovovat. Zde je ukázková velmi jednoduchá zebra:
6. Zebry
V našem domě jsou tři majitelé psů. Zjistěte, jak se jmenuje bernardýn a ve kterém patře bydlí
Rex.
∗
Pan Adam bydlí v druhém patře a nechová
jezevčíka
∗
V prvním patře žije pani Boháčová s Punťou
∗
Dalmatinka Sandy nemá za pána obyvatele ze
třetího patra
∗
Paní Boháčová často potkává pana Čížka s
Rexem
Bernardýn nebydlí nejvýš
∗
A
B
Č
A +
x
x
B
x
+
Č
x
x
A)
1
2
3
x
+
x
x
+
x
x
+
x
x
d
d
j
b
x
R
P
+
x
x
x
+
1
x
+
x
2
+
x
x
3
x
x
R
x
+
S
C)
C) Kreslení do „čtverce“ (není podstatné, že se mluví
o třech osobách, ale kolik druhů informací se o nich
uvádí: příjmení, patro, jméno psa a jeho rasa—tedy
4 ). Spojujeme čarami, co k sobě patří, jinými co ne,
… U složitějších úloh se nedá použít.
Dále víme, že nechová jezevčíka.Proškrtneme j v řádku i
sloupci A, ostatní políčka zatím nevíme.
+
V tabulce vidíte situaci po zapsání druhé věty. (Už vidíme
jediné volné políčko, které propojuje pana Čížka s číslem
patra).
+
+
x
P
B) Zápis všech údajů a jejich postupné vyškrtávání
vyžaduje také zdlouhavou přípravu, hlavně u složitých
zeber, ale je možno použít zkratky místo celých slov.
Téměř vždy použitelná, přehledná (pokud si dáme s
přípravou práci) a úspěšná
Z první věty vyčteme, že Adam bydlí ve 2. patře. V řádku i
sloupečku A značíme + 2 a logicky vyškrtneme (x) 1 a 3. Hned
můžeme vyškrtnout 2 u Boháčové a Čížka.
+
b
B)
Zkratkami si zapíšeme všechny uvedené osoby(A,B,Č) , číselné
údaje, jména psů (R,P,S) i jejich rasy (d,j,b). Vše na svislé i
vodorovné ose. Fakta, která platí , označíme například +, co
nepatří k sobě například x.
+
j
První možností je zapisování do „dvojité“ tabulky—
všechny údaje i postupné vyřazování platných a neplatných informací je třeba provádět dvakrát, pro
někoho může být nepřehledná a snadno se v ní ztratí
S
x
x
A)
Postupně doplníme zbývající fakta, nezapomeneme psát oběma směry, pokud i po poslední větě některé políčko není jasné, začneme znovu od začátku, případně řešíme „co by se
stalo, kdyby…“.
+
x
+
x
+
Opět použijeme zkratky, zapíšeme do malých samostatných
tabulek nebo jednoduše do odstavečků. Máme 4 druhy informací u tří osob, proto vše třikrát.
B)
A
B
C
A
B
C
A
B
C
d
j
b
d
j
b
d
j
b
1
2
3
1
2
3
1
2
3
R
P
S
R
P
S
R
P
S
Opět začneme panem Adamem z první věty. Zvolíme si, že
první odstavec bude vše, co se týká jeho. Označíme 2.patro a
vyškrtneme jezevčíka. V sousedních sloupečcích vyškrtneme
2.
Zapíšeme druhou větu vyškrtáme v sousedních odstavcích, co
už paní Boháčová obsadila a vidíme zcela zřetelně, že na
Čížka zbylo třetí patro.
Rex
Punťa
Sandy
C)
A
1
B
2
Č
3
Připravíme si tolik stran, kolik je druhů informací. Na každé
straně vyznačíme všechny tři údaje. Pak spojujeme jedním
druhem čáry, co k sobě patří, a druhým typem to, co ne.
Na obrázku vidíte stejnou situaci jako u předchozích dvou
bodů, tedy po zapsání druhé věty. Evidentně je tento způsob
nejjednodušší, ale u složitých zeber se stává spleť čar dost
nepřehlednou.
jezevčík dalmatin bernardýn
20
V předvečer Nového roku navštívili čtyři královi rytíři hrad Kamelot. Přijeli na
nádherných koních ozdobených postroji v barvách rytířských korouhví. Těmito
rytíři byli sir Pure, sir Good, sir Pious a sir Venerable. Král Artuš o jejich příjezdu dostal těchto pět informací :
7. Turnaj—zebra
1) čtyři rytíři, kteří přijeli, byli sir Pious, pak ten, kdo přijel druhý, dále rytíř, jehož kůň nesl bílý
postroj a také sir Pure.
2) sir Pious nepřijel první a sir Venerable nebyl tím, kdo přijel těsně před ním
3) kůň sira Venerablea neměl bílý postroj
4) sir Good přijel těsně před rytířem, jehož kůň nesl modrý postroj a kterým
nebyl sir Pious
5) kůň sira Purea nenesl purpurový postroj, jedna korouhev byla zlatá
Z těchto výroků dokázal sestavit pořadí, v jakém všichni čtyři rytíři přijížděli,
a také kterou barvu měly korouhve a postroje jejich koní.
8. Přesmyčky
daříná
nalkřieet
ahojad
stmniotresiv
eeemdpii
vodápěna
šlinvd
rníá
názdynrpi
třeskloulba
tetla
žnsooorec
okmieonka
úhlíkjorten
soutbau
nenelučics
láričakkén
dlouvamy
dneul
nekcypoldeei
čárenak
kočonenen
ánír
stěništave
hlooba
skroubeu
9. TTTTTTTTT
10. NeSmYsL
LOD OBRI SHERY TY
SOBE OBJEDTE CEZ
UDUSI SRACE TAPE
PEREMI LEST REKNE
BERLE PLOUN PSO
MOR SKONA
uF Já Mám mÍsu ta KáVa V ní Se dÁ
Na první pohled opět text nedávající
smysl. Nápadné je nepravidelné použití velkých a malých písmen. Klasická
substituční šifra.
Odpředu, odzadu, ob jedno, posun abecedy—nic
nefunguje? Zkuste se zaměřit na
název šifry. Několik písmen T, kolik
přesně? To je důležité.
Kombinovaná šifra— řešením vyluštěného textu bude jednoslovné heslo.
S přesmyčkami jsme se už potkali. Tato úloha je ale
kombinovaná — nestačí jen zvládnout transpoziční část
úkolu (sestavit slova), ale dál s nimi pracovat .
Napovíme, že poslední slovo je ubrousek.
21
11. Písňová údolí
holubům rád ptáků ke házela zalétal mém krovům
zvlášť dům ke ptáků holubům zalétal dům jim
ke
Kombinovaná šifra. Zpřeházená slova známé písně. K vyřešení ( tři slova, celkem 18 písmen ) potřebujeme znát originální text:
Úlohy o lhářích
12. Domorodci
Na jakémsi ostrově žily dva kmeny. Hodňáskové mluvili zásadně jen pravdu a
Podvodníci na jakoukoli otázku odpovídali nepravdivě. Jednou se na ostrov dostal cestovatel a vydal se na průzkum. Došel ke křižovatce, u které odpočíval jeden z domorodců.
Jakou jedinou otázku má cestovatel položit, aby zjistil, která ze čtyř cest vede do vesnice, když
neví, ke kterému kmeni unavený muž patří?
Úlohy o lhářích mohou být takto jednoduché—jeden lže, druhý mluví pravdu. O něco obtížnější jsou ty, kde máme ještě třetí
stranu—ten, kdo někdy lže a někdy ne. Podobnou úlohu jste řešili v první dvacítce (nápisy na dveřích). Poněkud neobvyklá je
následující:
13. Rozbitá socha
Na náměstí někdo kamenem zničil vzácnou sochu. Policie předvolala k výslechu pět podezřelých, z nichž jeden byl pachatel. Každý z nich vyslovil pouze tři výroky—dva pravdivé
a jeden nepravdivý.
Samuel řekl: „ Jsem nevinný. Nikdy jsem nic kamenem nezničil. Udělal to Jan.!“
Ctirad vypověděl: „Neudělal jsem žádnou škodu. Socha je na náměstí. Osvald není můj přítel.“
Boris řekl: „Jsem nevinný. Osvalda jsem nikdy před tím neviděl. Jan je vinen.“
Jan řekl: „Nehodil jsem tím kamenem. Udělal to Osvald. Samuel nemluvil pravdu, když řekl, že jsem to udělal já.“
Osvald uvedl: „Jsem nevinný. Tu sochu rozbil Ctirad. Boris a já jsme dobří přátelé.“
Kdo sochu rozbil?
14. Královská procházka
15. Koníčkovka
Transpoziční úloha—text zapsaný do tabulky, při
sestavování postupujeme vždy na políčko sousedící
stranou (ne rohem), na žádné pole není možné
vstoupit opakovaně a všechna se musejí použít.
Vypadá podobně, ale směr sbírání
á
á
písmen musí kopírovat pohyb šachové
figury koně, například: ze středové- e
e
ho pole můžeme pouze na pole oznaJ
čená písmeny. Kůň skáče 2 pole rovně
e
e
a 3 kolmo, nebo 3 pole rovně a 2 kolá
á
mo, jak je naznačeno. V ideální pozici
máme možnost jít na 8 polí.
ř
.
j
e
Pokud jsme blíže ke kraji
šachovnice, počet možností
i
č
í
k
se samozřejmě zmenší.
b
u
u
v
ý
b
s
d
o
n
r
o
e
i
ř
é
č
k
n
d
e
ř
e
y
v
e
č
í
z
a
K
t
á
l
a
s
Začátek
z
e
v
e
K
ř
e
koníčkovka
22
Jsou to úlohy s vyhledáváním ideální pozice,
hledáním chybějícího
prvku nebo vyřazováním přebytečného prvku z
daného systému.
C) Optimizéry
16. Co sem nepatří ?
A} Kůň
K prvnímu typu patří například sudoku, lodě
(námořní bitva), miny, stromy a stany, perly,...
zebra
osel
lama
slon
B] Pěkný velmi dobře mladě stále
C] Brako / Týšeschř / Danokana / Pýšels / Jemiz
Cílem je vybrat z nabízených možností tu, která co nejvíce odpovídá zadání.
Někdy se jedná o vztahy logické, významové,
jindy jazykové, matematické a podobně.
D) 897 / 69841 / 3 / 427 / 29 / 796 / 6475
17. Co sem patří?
? = vf - fv - vkf - ff - hl - xx
bhk
sdl
hd
klm
lsd
ls
vfk
kvf
?
4
0
? = huba - huda - bahu - buha - uh - jokl
1
2
1
1
1
lije
elij
jeli
klon
nklo
onkl
huba
ahub
?
18. Stany
2
Vaším úkolem je umístit do čtvercového „kempu“
stany, a to podle těchto pravidel:
4
0
1
∗
Stanů je přesně tolik, jako stromů
∗
Ke každému stromu umístěte jeden stan vodorovně nebo svisle
∗
Dva stany se navzájem nesmějí dotýkat
(stranami čtverců , ani rohy)
∗
Čísla po straně a nahoře určují, kolik má být
stanů v příslušném řádku nebo sloupci
1
2
0
3
1
19. Sudoku
7
1
2
4
5
4
9
8
9
7
1
3
7
4
2
5
6
9
9
1
3
4
4
1
2
7
8
3
2
2
Původem japonská úloha, při které máte umístit do všech 81 políček
číslice 1—9 tak, aby se v žádném řádku, sloupci ani čtverci 9x9
políček neopakovaly.
8
1
4
6
6
8
7
9
2
1
9
3
Začneme hledat vhodné umístění v takovém řádku, sloupci,
nebo čtverci, kde vidíme největší počet napovězených
číslic. V prostředním čtverci chybí jen 5. Po jejím doplnění je jasné, že ve čtverci napravo může být 5 jen v levém
dolním rohu. Zbydou tři volná pole. Jednička nemůže být nad 5 (už
v tomto řádku je), ani v pravém horním rohu (je ve sloupci). Stále
kontrolujeme složení číslic v řádcích, sloupcích a čtvercích. Pokud
nám někde vychází několik variant, zapíšeme si je do rohu políčka.
5
23
D) Obrázkové
Obrázkové šifry bývají většinou kombinované—to, co je na obrázku musíme
převést na slova a s nimi pak dál pracovat.
Následující úkol je ještě ztížen : přemýšlejte, proč je v polovině obrázek rozdělen. Napovíme,
že v pravém horním rohu je znázorněno rozložení poslaneckých křesel podle politických stran
a v levém dolním rohu je zbraň střílející šípy.
20. Tři slova
24
SUDOKU a jeho varianty
9
2
4
3
6
2
5
Extra—kombinace číslic 1—9 a
7
9
8
Klasické, vyšší obtížnost
písmen A—G. Každý čtverec má
4x4 pole, celkem 16x16.
2
7
9
4
5
3
5
6
2
4
1
1
5
3
Podobný hlavolam se poprvé objevil
ve francouzských novinách ke konci 19. století.
Nejednalo se však ještě o Sudoku tak, jak ho známe
dnes. Čtverce totiž obsahovaly dvojciferná, nikoliv
jednocefirná, čísla a řešení nevyžadovalo logické
myšlení, nýbrž dobrou znalost aritmetiky. Moderní
sudoku byla pravděpodobně navrženo Howardem
Garnsem, což byl 74 letý architekt a tvůrce hlavolamů, rébusů a hádanek, který poprvé publikoval
něco takového v roce 1979 a nazval tuto hru jako
„number place“.Tento hlavolam byl v dubnu
roku 1984 představen v Japonsku pod názvem Suuji wa dokushin ni kagiru, což ve volném překladu
znamená, „číslice se smí vyskytovat pouze jednou“.
Sumdoku— kromě základních
Kakuro—doplňte číslice 1—9
pravidel je třeba navíc dodržet
součet cifer v ohraničených
polích. Někdy pod názvem Killer.
podle toho, jaký součet předepisuje číslo pro daný blok políček. V jednom bloku se číslice
nesmějí opakovat.
25
Pár drobností nakonec
26
Merlinova hádanka
Když kouzelník Merlin seděl s Artušem v hledišti turnajového kolbiště, předložil mladému králi tento hlavolam:
Jakéhosi turnajového klání se zúčastnilo deset rytířů, kterým byla přidělena čísla od 1 do 10.
Turnaj začal soubojem rytířů s čísly 1 a 2. Vítěz tohoto souboje se pak střetl s rytířem číslo 3 a
vítěz tohoto utkání bojoval s rytířem číslo 4. Takto souboje pokračovaly dále. poslední rytíř, který
zůstal neporažen v sedle, byl vyhlášen vítězem celého turnaje.
Dále jsou známy tyto informace:
1. Sedm z deseti rytířů nevyhrálo ani jednou
2. Jeden souboj se odehrál mezi rytíři s čísly 5 a 6
3. Jeden souboj mezi sebou svedli rytíři číslo 7 a 9
4. Rytíř s číslem 2 nesoupeřil s rytířem číslo 4
Král Artuš měl z uvedených informací zjistit účastníky
každého z
devíti soubojů tak, jak šly za sebou , a také celkového vítěze. Povede se to i
tobě?
A
A
T
O
R
O
P
P
O
K
S
N
Á
D
A
N
A
R
B
O
E
E
D
V
O
A
O
R
K
K
I
L
O
S
D
Ř
A
H
I
N
K
Í
I
E
E
S
T
U
O
I
N
Z
B
Č
N
L
F
V
S
Í
Y
O
B
N
N
A
C
E
E
A
A
S
K
Á
N
L
B
A
S
A
Š
L
T
P
R
E
E
R
V
A
Č
I
C
E
J
S
K
Š
Í
P
O
N
O
K
N
E
L
I
O
O
Á
C
M
T
O
N
A
A
M
O
S
K
Y
T
T
O
S
E
Ě
M
L
E
C
R
A
M
A
N
E
S
E
T
P
V
N
I
C
J
T
R
O
P
M
I
V
A
A
T
K
Í
R
O
T
S
A
P
S
S
Ň
T
L
A
B
O
K
E
T
L
A
F
S
A
27
asfalt
knihař
obleva
rodina
cement
kobalt
obrana
septet
ctnost
konopí
okvětí
slečna
Dánsko
kvásek
pastor
smeták
Donbas
lešení
pečivo
stojan
faraon
locika
peřina
storno
import
lysina
pestík
špalír
jakost
Marcel
pomník
trouba
kalous
moskyt
porota
vesmír
kampaň
obilka
rafika
značka
Zdroje a prameny
Internetové odkazy:
Www.mensa.cz
Www.tmou.cz
Www.bedna.cz
Www. sifry.lasakovi.cz
www.zoubek.cz
Www.dakota.skautkostelec.cz
Www.palicedute.cz
Www.sciencecafe.cz
Www.secretcodebreaker.com
Www.kryptografie.ic.cz
Www.hadanky.chytrak.cz
Www.hlavolamy.stylove.com
Www.brainden.com
Časopisy:
Luští celá rodina (Kira Brno, 1996—2004)
Mozkovna 21. století (RF Hobby Praha, 2010,2011)
Knihy a odborné publikace:
Adler, I. Čísel hra kouzelná. Praha: Horizont, 1972.
Vecheta V. Einsteinovy hádanky a jiné hlavolamy. Brno: Computer Press, 2010.
Zapletal M. Kniha hlavolamů. Praha: Albatros,1983.
Bakalář E. I dospělí si mohou hrát. Praha:Pressfoto, 1987.
28