8 ANALÝZA ČASOVÝCH ŘAD – SEZÓNNÍ SLOŽKA

8 Analýza časových řad – sezónní složka
8 ANALÝZA ČASOVÝCH ŘAD – SEZÓNNÍ SLOŽKA
RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY
Následující kapitolou pokračujeme v tématu analýza časových řad a blíže se budeme
zabývat problematikou jich pravidelné kolísavost, která je modelována sezónní složkou. Jsou
zde uvedeny metody sezónní dekompozice, které slouží k identifikaci sezónní složky
a prognózování hodnot časové řady do budoucna.
Při analýze časových řad s periodicitou kratší než jeden rok se setkáváme téměř vždy
s existencí sezónních vlivů, reprezentovaných v modelu časové řady sezónní složkou. Tyto
vlivy způsobují pravidelné výkyvy oproti normálnímu vývoji. Pokud se obdobné vlivy
opakují v intervalu delším než jeden rok, hovoříme o cyklické složce. Sezónní a cyklická
složka spolu tvoří periodickou složku. V této kapitole se zaměříme na praktické zadávání dat
do SPSS a analýzu výsledků procedury, která modeluje sezónní dekompozici časové řady.
Procedura Seasonal Decomposition slouží k rozkladu časové řady na jednotlivé složky:
trendovou a cyklickou (nerozlišuje je od sebe), sezónní a reziduální. Tyto složky je možné
přidat do datového souboru jako nové proměnné a doplnit k nim případně časovou řadu
očištěnou od sezónnosti.
Před použitím této procedury je nutné specifikovat sezónnost a tedy definovat
příslušnou proměnnou v nabídce Data – Define Dates. Použitá časová řada nesmí obsahovat
žádná chybějící pozorování. Chybějící pozorování předefinujeme pomocí Transform –
Replace Missing Values. Proceduru sezónní dekompozice najdeme pod posloupností nabídek:
Statistics – Time Series – Seasonal Decomposition. Objeví se dialogové okno:
Obr. 8.1 Sezónní dekompozice v SPSS
Zdroj: Vlastní zpracování.
Variables – do tohoto pole se zadávají analyzované proměnné.
Model – tato část obsahuje dvě možnosti a to multiplikativní nebo aditivní model.
Pokud se sezónní výkyvy zvyšují zároveň se zvyšující se úrovní časové řady, svědčí to ve
prospěch multiplikativního modelu. Pokud sezónnost neroste s úrovní časové řady, je
vhodnější aditivní model.
- 114 -
Elena Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy
Moving Average Weight – v této části se zadávají váhy pro použité klouzavé průměry.
Tyto klouzavé průměry se aplikují na časovou řadu za účelem odstranění sezónnosti.
 All points equal – „všechny váhy stejné“. Tato procedura počítá klouzavé průměry, jejichž
délka se rovná délce sezónní periody, přičemž všechna pozorování mají při výpočtech
stejnou váhu.
 Endpoints weighted by 0,5 – koncové body vážené 0,5. Tato metoda počítá klouzavé
průměry, jejichž délka se rovná délce sezónní periody +1. Kromě prvního a posledního
pozorování, které mají váhu 0,5, mají všechna ostatní pozorování při výpočtech stejnou
váhu.
Uložení výsledků
Uložení vyrovnaných hodnot, reziduí, případných předpovědí, intervalů spolehlivostí
a směrodatných odchylek odhadnutých hodnot je možné zadat pomocí tlačítka Save. Je možno
uložit následující proměnné:







SAF – Seasonal adjustment factor – „nastavení sezónního faktoru“. Pokud pracujeme
s modelem aditivním, znamená absence sezónní složky pro tento faktor hodnotu 0. Pokud
pracujeme s modelem multiplikativním, znamená absence sezónní složky pro tento faktor
hodnotu 1.
SAS – Seasonally adjusted series – „sezónně očištěná řada“. Jedná se o původní časovou
řadu, ze které je odstraněna sezónní složka. Tato řada tedy obsahuje trendovou složku
a náhodnou složku.
STC – Smoothed trend-cycle component – „vyrovnané hodnoty trendové složky“ (včetně
složky cyklické).
ERR – Residual of error values – „rezidua (chyby)“.
LCL – Lower confidence limits – „dolní hranice intervalu spolehlivosti“ pro odhadnuté
hodnoty časové řady. Standardně se počítá 95% -ní interval spolehlivosti. Je však možno
zvolit výpočet pro hodnoty 90% nebo 99%.
UCL – Upper confidence limits – „horní hranice intervalu spolehlivosti“ pro odhadnuté
hodnoty časové řady. Standardně se počítá 95%-ní interval spolehlivosti. Je však možno
zvolit výpočet pro hodnoty 90% nebo 99%.
SEP – Standard error of the predicted values – „odhady směrodatných chyb pro
odhadnuté hodnoty“ časové řady.
Create Variables – Vytvoření nových proměnných
 Add to file – tato volba zabezpečí uložení výsledků ve formě nových proměnných
v aktivním pracovním souboru.
 Replace existing – tato volba zabezpečí uložení výsledků ve formě dočasných
proměnných v aktivním pracovním souboru, přičemž předchozí dočasné proměnné jsou
zrušeny.
 Do not create – výsledky se neuloží.
Použití výše uvedené procedury pro sezónní dekompozici časových si ukážeme
v následujících řešených příkladech.
- 115 -
8 Analýza časových řad – sezónní složka
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 8.1
Tabulka zobrazuje čtvrtletní údaje o vývoji ukazatele konečná spotřeba veřejné správy
a soukromých neziskových organizací v České republice v letech 2008 – 2011 v mld.Kč.
1. čtvrtletí
19,4
20,9
20,2
18,9
2008
2009
2010
2011
Určete:
2. čtvrtletí
22,4
22,5
20,4
20,5
3. čtvrtletí
22,2
22,7
22,7
20,3
4. čtvrtletí
27,2
25
25,7
25,5
a) sezónní faktory rozdílů za předpokladu použití modelu aditivní sezónnosti,
b) sestavte časovou řadu sezónně očištěných dat,
c) odhadněte hodnoty časové řady až do 4. čtvrtletí roku 2012,
d) graficky znázorněte původní a odhadnutou časovou řadu včetně predikce,
e) ověřte vlastnosti reziduální složky.
Řešení:
Průběh časové řady je znázorněn na Obr. 8.2.
Obr.8.2 Časová řada spotřeby veřejné správy v letech 2008 - 2011 v mld. Kč
Zdroj: Vlastní zpracování.
a) Výstup SPSS je znázorněn v Tab. 8.1
Tabulka 8.1
Period
1
2
3
4
Seasonal index
– 2,301
– 1,009
–0,198
3,508
- 116 -
Elena Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy
Součet sezónních indexů musí být nulový. Záporné hodnoty sezónních indexů
znamenají, že v 1. – 3. čtvrtletí se hodnoty časové řady pohybují pod dlouhodobým
normálem, ve 4. čtvrtletí je hodnota o 3,5 mld. Kč vyšší než je dlouhodobý průměr časové
řady. Je to způsobeno tím, že se státní organizace snaží ve 4. čtvrtletí utratit zbývající
prostředky, aby v novém roce nebyly odejmuty nebo aby jim nebyl objem prostředků snížen
pro další rok.
b) a c) Časová řada sezónně očištěných dat je uvedena ve čtvrtém sloupci Tab. 8.2
a odhady spotřeby veřejné správy v jednotlivých čtvrtletích roku 2012 jsou v předposledním
sloupci Tab. 8.2 tučně zvýrazněny
Tabulka 8.2
Q1 2008
Q2 2008
Q3 2008
Q4 2008
Q1 2009
Q2 2009
Q3 2009
Q4 2009
Q1 2010
Q2 2010
Q3 2010
Q4 2010
Q1 2011
Q2 2011
Q3 2011
Q4 2011
Q1 2012
Q2 2012
Q3 2012
Q4 2012
Datová matice výpočtů SPSS
skutečné
hodnoty
chyba
Yt
ERR
19,4
22,4
22,2
27,2
20,9
22,5
22,7
25
20,2
20,4
22,7
25,7
18,9
20,5
20,3
25,5
-0,64
0,91
-0,52
0,45
-0,06
0,41
0,19
-0,75
0,38
-0,67
0,72
0,23
-0,40
0,16
-0,83
0,75
sezónně
očištěné
hodnoty
SAS =
Yt-SAF
21,70
23,41
22,40
23,69
23,20
23,51
22,90
21,49
22,50
21,41
22,90
22,19
21,20
21,51
20,50
21,99
sezónní
indexy
trendová
složka
SAF
STC
-2,30
-1,01
-0,20
3,51
-2,30
-1,01
-0,20
3,51
-2,30
-1,01
-0,20
3,51
-2,30
-1,01
-0,20
3,51
-2,30
-1,01
-0,20
3,51
22,34
22,50
22,92
23,24
23,26
23,10
22,71
22,24
22,12
22,08
22,18
21,97
21,60
21,35
21,33
21,24
- 117 -
odhad
model
lineárního
trendu
FIT =
SAF+FIT
23,25-0,11.t
23,14
20,84
23,02
22,01
22,91
22,71
22,79
26,30
22,67
20,37
22,55
21,55
22,44
22,24
22,32
25,83
22,20
19,90
22,09
21,08
21,97
21,77
21,85
25,36
21,73
19,43
21,62
20,61
21,50
21,30
21,38
24,89
21,27
18,97
21,15
20,14
21,03
20,83
20,92
24,42
rezidua
modelu
Yt-model
-1,44
0,39
-0,51
0,90
0,53
0,95
0,46
-0,83
0,30
-0,68
0,93
0,34
-0,53
-0,11
-1,00
0,61
8 Analýza časových řad – sezónní složka
d)
Obr.8.3 Původní a odhadnutá časová řada spotřeby veřejné správy (mld.Kč)
Zdroj: Vlastní zpracování.
e) Hodnoty reziduí jsou vypočteny v posledním sloupci Tab. 8.1. Z Obr.8.4
autokorelační funkce reziduí vidíme, že všechny hodnoty jsou v přípustném intervalu, takže
rezidua nejsou korelována.
Obr.8.4 Autokorelační funkce reziduí pro časovou řadu spotřeby veřejné správy
1,0
,5
0,0
-,5
Confidence Limits
-1,0
Coefficient
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Zdroj: Vlastní zpracování.
- 118 -
10
11
12
13
14
Elena Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 8.2
Tabulka zobrazuje čtvrtletní údaje časové řady bazických indexů (základ je průměr roku
2006) maloobchodního prodeje v České republice od 1. čtvrtletí roku 2008 do 3. čtvrtletí roku 2012.
2008
2009
2010
2011
2012
1. čtvrtletí
55,2
65,2
70,5
82,2
95,7
2. čtvrtletí
61,8
68,5
79,8
95,4
109,9
3. čtvrtletí
64,2
71,9
90
107,1
121,17
4. čtvrtletí
79,7
84,9
105,7
120
Určete:
a) sezónní faktory rozdílů za předpokladu použití modelu multiplikativní sezónnosti,
b) sestavte časovou řadu sezónně očištěných dat,
c) odhadněte hodnoty časové řady do 4. čtvrtletí roku 2013,
d) graficky znázorněte původní a odhadnutou časovou řadu včetně predikce.
Řešení:
Z grafu časové řady vidíme, že se sezónní výkyvy zvyšují s úrovní časové řady, proto
volíme multiplikativní model.
Obr.8.5 Časová řada bazických indexů maloobchodního prodeje
Zdroj: Vlastní zpracování.
a) Výstup SPSS – sezónní dekompozice – multiplikativní model je v Tab.8.3
Tabulka 8.3
Period
1
2
3
4
Seasonal index (*100)
88,844
96,535
100,057
114,564
- 119 -
8 Analýza časových řad – sezónní složka
Součet sezónních indexů po vynásobení 100 dává 400. Hodnoty sezónních indexů, které
jsou menší než 100, znamenají, že v 1. – 2. čtvrtletí se hodnoty časové řady pohybují pod
dlouhodobým normálem, ve 4. čtvrtletí je hodnota o 14,6% vyšší než je dlouhodobý průměr
časové řady.
c) Časová řada sezónně očištěných dat je uvedena ve třetím sloupci Tabulky 8.4
a odhady bazických indexů maloobchodního prodeje v České republice v jednotlivých
čtvrtletích roku 2013 jsou v posledním sloupci tabulky 8.3 tučně zvýrazněny
Tabulka 8.4 Datová matice výpočtů SPSS
období
Q1 2008
Q2 2008
Q3 2008
Q4 2008
Q1 2009
Q2 2009
Q3 2009
Q4 2009
Q1 2010
Q2 2010
Q3 2010
Q4 2010
Q1 2011
Q2 2011
Q3 2011
Q4 2011
Q1 2012
Q2 2012
Q3 2012
Q4 2012
Q1 2013
Q2 2013
Q3 2013
Q4 2013
skutečné
hodnoty
Yt
55,2
61,8
64,2
79,7
65,2
68,5
71,9
84,9
70,5
79,8
90
105,7
82,2
95,4
107,1
120
95,7
109,9
121,17
sezónně
sezónní trendová odhad lineárního
model
očištěné
indexy složka
trendu
hodnoty
SAS=Yt / SAF SAF
STC
FIT=54,24 +3,21.t SAF*FIT
62,29
0,89
62,14
57,47
50,93
64,57
0,96
63,52
60,68
58,08
63,71
1,01
66,09
63,90
64,40
69,37
1,15
68,76
67,12
77,12
73,57
0,89
70,85
70,34
62,33
71,57
0,96
71,98
73,56
70,40
71,35
1,01
73,12
76,77
77,37
73,89
1,15
75,38
79,99
91,91
79,55
0,89
79,32
83,21
73,74
83,38
0,96
83,75
86,43
82,72
89,31
1,01
87,89
89,65
90,34
92,00
1,15
91,46
92,86
106,70
92,75
0,89
95,24
96,08
85,15
99,68
0,96
99,28
99,30
95,04
106,27
1,01
103,09
102,52
103,32
104,44
1,15
106,26
105,74
121,49
107,99
0,89
109,89
108,96
96,56
114,83
0,96
114,35
112,17
107,36
120,24
1,01
119,76
115,39
116,29
,
1,15
,
118,61
136,27
,
0,89
,
121,83
107,97
,
0,96
,
125,05
119,68
,
1,01
,
128,26
129,26
,
1,15
,
131,48
151,06
d) Z následujícího grafu vidíme, že odhadnutá časová řada kopíruje původní časovou
řadu bazických indexů maloobchodního prodeje v České republice.
- 120 -
Elena Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy
Obr.8.6 Původní a odhadnutá časová řada bazických indexů maloobchodního prodeje
Zdroj: Vlastní zpracování.
___________________________________________________________________________
8.1 PŘÍKLADY K PROCVIČENÍ
PŘÍKLAD 8.1
Jsou uvedená tvrzení pravdivá?
a) V programu SPSS můžeme vybrat pro sezónní dekompozici multiplikativní nebo aditivní
model.
b) Pro aditivní model platí vztah Yt  Tt .St . t .
c) Platí vztah SAS  Yt  SAF ?
d) Procedura Seasonal Decomposition rozlišuje trendovou, cyklickou, sezónní a reziduální
složku.
e) Platí vztah STC  ERR  SAS ?
___________________________________________________________________________
PŘÍKLAD 8.2
Doplňte následující věty:
Jestliže se sezónní výkyvy zvyšují se zvyšující se úrovni časové řady, pak vybereme
…………………..model.
b) SPSS uloží po provedení sezónní dekompozice proměnnou SAS. Tato proměnná
vyjadřuje …………………. …………………. …………..
c) Součet sezónních faktorů SAF u aditivního modelu je roven ………..
d) Jestliže v aditivním modelu pro sezónní dekompozici měsíční časové řady počtu
dopravních nehod (v tis.) dostaneme hodnotu sezónního faktoru pro měsíc červenec 13,6;
pak to znamená, že v červenci bylo o…………………………………..
a)
- 121 -
8 Analýza časových řad – sezónní složka
Jestliže v multiplikativním modelu pro sezónní dekompozici časové řady počtu
dopravních nehod (v tis.) dostaneme hodnotu sezónního faktoru pro měsíc duben 89, pak
to znamená, že v dubnu bylo o ………………………………………..
___________________________________________________________________________
e)
PŘÍKLAD 8.3
V multiplikativním modelu sezónní dekompozice čtvrtletní časové řady odbytu
nealkoholického nápoje jsme dostali tyto hodnoty sezónních faktorů (indexů):
1.čtvrtletí
99,35
2.čtvrtletí
97,75
3.čtvrtletí
…….
4.čtvrtletí
90,6
Doplňte chybějící hodnotu.
___________________________________________________________________________
PŘÍKLAD 8.4
V aditivním modelu sezónní dekompozice čtvrtletní časové řady prodeje láhví sektu (v tis.ks)
jsme dostali tyto hodnoty sezónních faktorů:
1.čtvrtletí
……
2.čtvrtletí
– 12,41
3.čtvrtletí
– 39,35
4.čtvrtletí
152,7
Doplňte chybějící hodnotu.
___________________________________________________________________________
PŘÍKLAD 8.5
Tabulka zobrazuje čtvrtletní údaje časové řady maloobchodního obratu restaurací
a jídelen v České republice (v mil. Kč) v letech 2007 – 20011.
2007
2008
2009
2010
2011
1. čtvrtletí
3833
3930
4048
4233
4231
2. čtvrtletí
4429
4542
4620
4753
4816
3. čtvrtletí
4622
4716
4926
4983
5084
4. čtvrtletí
4178
4315
4438
4483
4549
Určete:
a) sezónní faktory rozdílů za předpokladu použití modelu aditivní sezónnosti,
b) odhadněte hodnoty časové řady do 4. čtvrtletí roku 2012,
c) graficky znázorněte původní a odhadnutou časovou řadu včetně predikce.
- 122 -
Elena Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy
8.2 ŘEŠENÍ PŘÍKLADŮ
ŘEŠENÍ PŘÍKLADU 8.1
a) ano
b) ne
c) ano
d) ne
e) ano
___________________________________________________________________________
ŘEŠENÍ PŘÍKLADU 8.2
a) multiplikativní
b) sezónní očištěnou řadu
c) nule
d) 13 600 dopravních nehod více než je
dlouhodobý průměr
e) 11% dopravních nehod méně než je
dlouhodobý průměr
__________________________________________________________________________
ŘEŠENÍ PŘÍKLADU 8.3
400  99,35  97,75  90,6  112,3
__________________________________________________________________________
ŘEŠENÍ PŘÍKLADU 8.4
0   124,1  393,5  152,7  364,9
__________________________________________________________________________
ŘEŠENÍ PŘÍKLADU 8.5
a) 1. čtvrtletí = – 392,016 ; 2. čtvrtletí = 154,203;
3. čtvrtletí = 360,297; 4.čtvrtletí = – 122,484
b) Předpovědi: 1. čtvrtletí 2012 = 4 369,4 ; 2. čtvrtletí 2012 = 4 941,73;
3. čtvrtletí 2012 = 5 173,94; 4.čtvrtletí 2012 = 4 717,28
c)
Obr. 8.7 Původní a odhadnutá časová řada maloobchodního obratu restaurací a jídelen
5400
5200
5000
4800
4600
4400
4200
4000
obrat
3800
3600
Q1 2007
MODEL
Q1 2008
Q3 2007
Q1 2009
Q3 2008
Q1 2010
Q3 2009
Q1 2011
Q3 2010
Zdroj: Vlastní zpracování.
- 123 -
Q1 2012
Q3 2011
Q3 2012
8 Analýza časových řad – sezónní složka
8.3 PŘÍPADOVÉ STUDIE
PŘÍPADOVÁ STUDIE 8.1
Tabulka zobrazuje čtvrtletní údaje časové řady tržeb (v tis.Kč) jednoho obchodu se
sportovním zbožím v Krasnově v letech 2008 – 2011.
2008
2009
2010
2011
1. čtvrtletí
1,9
32,4
43,6
56,7
2. čtvrtletí
127,8
210,9
333,5
571,2
3. čtvrtletí
100,8
151,3
166,5
166,2
4. čtvrtletí
219,7
437,8
563,2
826,2
Určete:
a) sezónní faktory rozdílů za předpokladu použití modelu multiplikativní sezónnosti,
b) odhadněte hodnoty časové řady do 4. čtvrtletí roku 2012,
c) graficky znázorněte původní a odhadnutou časovou řadu včetně predikce.
- 124 -