termodynamika Cengel řešení

Transkript

2.5.2012
ZAJÍMAVÉ ŘEŠENÉ
APLIKACE
VYBRANÉ KAPITOLY
Z TERMOMECHANIKY
Kontaktní
Bezkontaktní
Zkušebna
v Škoda auto
doc. Ing. Josef ŠTETINA, Ph.D.
http://StudyEnergyWeb.fme.vutbr.cz/sew/category/odbortermomechaniky/termomechanika/
4. 5. 2012
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ
FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ - ENERGETICKÝ ÚSTAV
1 2 3 4ODBOR
5 6 7TERMOMECHANIKY
8 9 10 . . . 35
A TECHNIKY PROSTŘEDÍ
KONTAKT
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 . . . 254
ŘÍZENÍ PLYNULÉHO
ODLÉVÁNÍ OCELI
Budova A2 dveře 314
Email: [email protected]
WWW: http://www.eu.fme.vutbr.cz/odbor-termomechaniky-a-techniky-prostredi/josefstetina
Facebook: http://facebook.com/termomechanika
eMail: [email protected]
Telefon: 603731349
541143269
A2/314
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 . . . 252
APLIKACE
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 . . . 254
ŘÍZENÍ PLYNULÉHO
ODLÉVÁNÍ OCELI
Experimentální metody v technice prostředí – předmět 1. ročníku NMS
2. Upravené vydání 2007
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 . . . 254
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 . . . 254
1
2.5.2012
APLIKACE
STUDIJNÍ
LITERATURA
Sluneční penzión Svitavy – monitorování solárního skleníku pro ohřev vzduch
Přesnost u
laboratorních měření
je až 0,2 K
http://studyenergyweb.fme.vutbr.cz/sew/category/odbortermomechaniky/seminar_aplikovane_term
omechaniky/
http://studyenergyweb.fme.vutbr.cz/sew/category/odbortermomechaniky/termomechanika/
http://www.energetickeforum.cz/fsi-v-brne/vzdelavaci-kurzy/
http://www.mhhe.com/engcs/mech/cengel/index.mhtml
A1
P1
T1/4
T2/2
T1/3
T2/0
T3/7
P3
T2/1
T1/2
T3/4
P2
T1/1
T3/3
T3/6
T2/3
T1/5
T2/4
T2/5
A2
TO
T1/0
T3/5
T3/1
T3/2
T2/7
T2/6
0
1
2
3
4
5 (m )
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 . . . 254
APLIKACE
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 . . . 254
TERMOMECHANIKA
Nízkoenergetický dům Energetického ústavu – monitorování a řízení prostředí
Termodynamika
Termomechanika
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Termodynamika plynů
Kompresory
Spalovací motory
Vodní pára
Tepelné elektrárny
Chladící zařízení
Vlhký vzduch
Proudění plynů
Proudové motory
Přenos tepla
•
•
•
•
•
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 . . . 254
Vedení tepla
Tepelné ztráty
Přenos tepla prouděním
Záření
Tepelné výměníky
1 . . . 6 7 8 9 10 11 12 13 14 … 254
VYUŽITÍ
TERMOMECHANIKY
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 . . . 254
1 . . . 8 9 10 11 12 13 14 15 . . . 254
2
2.5.2012
TERMODYNAMICKÁ
SOUSTAVA
STAVOVÉ VELIČINY
STAVOVÉ VELIČINY určují stav soustavy
TERMODYNAMICKÁ SOUSTAVA
je souhrn látek účelně omezený vůči okolí kontrolní
plochou
Rozlišujeme:
a) STAVOVÉ VELIČINY MĚŘITELNÉ
• Tlak
• Teplota
• Měrný objem
 Objem
 Hmotnost
 Látkové množství
ROZLIŠUJEME SOUSTAVU
● Uzavřenou - hmotnost procházející kontrolní
plochou je nulová
● Otevřenou - hmotnost procházející kontrolní
plochou je nenulová
● Izolovanou - kontrolní plocha zamezuje
výměně tepla Q s okolím
● Neizolovanou - kontrolní plocha nezamezuje výměně tepla Q s okolím
b) STAVOVÉ FUNKCE
počítané z měřitelných stavových veličin Vnitřní energie U, entalpie H, entropie S …
● Homogenní - Heterogenní
ROVNOVÁHA SOUSTAVY
c) FYZIKÁLNÍ VLASTNOSTI
Měrná tepelná kapacita c, součinitel tepelné vodivosti , teplotní vodivosti a, kinematická
viskozita …
● Mechanická - síly působící v soustavě a v okolí jsou v rovnováze
● Tepelná - nedochází k přenosu tepla v soustavě ani s okolím
● Chemická - chemické složení soustavy se nemění
1 . . . 11 12 13 14 15 16 17 18 . . . 254
1 . . . 8 9 10 11 12 13 14 15 . . . 254
OTEVŘENÁ
TERMODYNAMICKÁ
SOUSTAVA
STAVOVÉ VELIČINY
Výška je stavová veličina
stejně jako teplota, tlak,
měrný objem, vnitřní energie
entalpie a entropie – nezávisí
na cestě.
Trasa na kopec není stavová
veličina stejně jako
objemová práce, technická
práce a teplo.
1 . . . 11 12 13 14 15 16 17 18 . . . 254
1 . . . 8 9 10 11 12 13 14 15 . . . 254
ENERGIE, TEPLO,
PRÁCE
TLAK
ENERGIE E [J] je schopnost soustavy konat práci (fyzikální, chemické či jiné změny).
Energie je stavová veličina.
Rozlišujeme energii mechanická, tepelná, elektrická, magnetická, chemická, jaderná
1 kcal
1 kpm
= 4,1868 kJ
= 9,80665 J
1 kWh
1 BTU
= 3,6 kJ
1055,04 J
VNITŘNÍ ENERGIE U [J] = tepelná energie je energie neuspořádaného pohybu částic
T1
 ︵
T2
c
m

2
Pro předávané teplo platí kalorimetrická rovnice
Q1
TEPLO Q [J] je forma přenosu energie mezi soustavou a okolím - není stavovou veličinou.
 ︶
m [kg] je hmotnost, T [K] jsou teploty,
c [J.kg-1.K-1] je měrná tepelná kapacita ( u plynů rozlišujeme cp a cv ).
PRÁCE A [J] je forma přenosu energie - není stavovou veličinou. Práce je dána sílou
působící po dráze.
1 . . . 8 9 10 11 12 13 14 15 . . . 254
F [N]
S [m2]
p [Pa]
síla
plocha
tlak
Do
všech
vztahů
v
termodynamice
dosazujeme absolutní tlak. (nikdy přetlak ani
podtlak). Pokud v zadání příkladu není řečeno o
jaký tlak se jedná předpokládáme, že se jedná o
absolutní tlak. Přednostně používáme kPa.
pa = pb - |ppod|
pa = pb + ppř
1 . . . 11 12 13 14 15 16 17 18 . . . 254
3
2.5.2012
TLAK
TEPLOTA
Přístroje pro měření tlaku:
• přetlak – klasické manometry
• barometrický tlak – barometry
• podtlak – vakuometry
• absolutní tlak
• diferenční tlak
=105 Pa=1000
1 bar
hPa=100 kPa=0,1 MPa
1 atm =101325 Pa=101,325 kPa=1,01325 bar
1 kp/cm2=9,807 N/cm2=0,9807 bar = 0,9679 atm
1 atm = 14,696 psi
1 mmHg= 1 torr = 133,322 Pa
1 mmH2O = 9,806 65 Pa
T [K] = 273,15+t[°C]
t [°C]
Hydrostatický tlak - využití při měření
V termodynamice používáme pouze
teplotu označovanou T v Kelvinech
t[°C]=5/9.(t[F]-32)
1 . . . 13 14 15 16 17 18 19 20 . . . 254
1 . . . 15 16 17 18 19 20 21 22 . . . 254
DYNAMICKÉ
RYCHLOSTNÍ SONDY
0. ZÁKON
TERMODYNAMIKY
w1
2
ρS
22
w2
p2
Ř
T

Ř


w
Prandtlova
trubice
2
/
2
Ř
T
psw pd S
2ρ


T
pcρ S
pdpd
Tlak statický + tlak dynamický = tlak
celkový Rychlostní sondy w < 0,3 rychlosti
zvuku
Pitotova
trubice

Jestliže, dva systémy (A a B) jsou v tepelné rovnováze s třetím systémem (C) [ A
a C jsou v tepelné rovnováze; B a C jsou v tepelné rovnováze ] tak jsou v tepelné
rovnováze i systémy A a B.
2



Ř
T
S
p1

pc
pd

22
1
ps
Bernoulliho rovnice pro nestlačitelné
tekutiny
 ︶
w
︵
p2 Ř ρ
T
ρS 21
p1 w 2
2
w2
d
2

1

p
d
v
2
Bernoulliho rovnici pro stlačitelné tekutiny integrujeme za konstantního objemu

TA = TC TB = TC TA = TB
Základní princip všech měření teplot
Pavelek, M. a kol.: Termomechanika. Skripta. VUT Brno
2003
1 . . . 13 14 15 16 17 18 19 20 . . . 254
1 . . . 17 18 19 20 21 22 23 24 . . . 254
DYNAMICKÉ
RYCHLOSTNÍ SONDY
MĚRNÝ OBJEM
Fvztlak  C 
w
 S
2
2
Pitotova trubice měří celý člen
odpovídající dynamickému tlaku, tj
kvadrát relativní rychlosti krát
hustota proudícího vzduchu.
Pitotova trubice F18
Hornet
Hustota (měrný objem) u plynů není konstanta a nehledá se v tabulkách.
1 . . . 15 16 17 18 19 20 21 22 . . . 254
1 . . . 18 19 20 21 22 23 24 25 . . . 254
4
2.5.2012
TERMODYNAMICKÉ
DĚJE
ZÁKLADNÍ STAVOVÉ
VELIČINY
Tlak
p [kPa]
Měrný objem
v [m3/kg]
Teplota
T [K]
1 . . . 18 19 20 21 22 23 24 25 . . . 254
1 . . . 23 24 25 26 27 28 29 30 . . . 254
GAY-LUSSACŮV
ZÁKON
TERMODYNAMIKA
PLYNŮ
Pracovní látka
• Ideální plyn
• Nedokonalé plyny - zjednodušený výpočet
• Realný plyn
- přesný výpočet
• Páry
Gay-Lussac (1778-1850) sledoval chování
plynu za konstantního tlaku.
Směsi
plynů
Směsi plynů a
par
.
t
T
s
n
o
VoTo k
T

V








je



 = 1 / 273,15 K-1




.
t
s
n
o
k
T

 

po tlak při to = 0°C
p
Matematická formulace:
 ︶

T
poTo


 

︵
t
5
1
,
3
7
2

Po úpravě:
1




po




p




P




1
4
,
VmM 2
1M 2
1 . . . 20 21 22 23 24 25 26 27 . . . 254

F
Vm
N
v M Vm

,
P
F
Vm
N
m Mm V
Vm 3
n m
N
1
V


pro všechny plyny stejná.
5
1
,
t po3
7
β
2
p2T2
1
t
po 5 p1T1
1
,
3
p1 7
2
 

t
5
1
,
3
7
2

lineárně s teplotou. Hodnota rozpínavosti
.
t
s
n
o
k t
.
s
n
M o
k
v
/
m
V V
v
M
mM
n
Normální m3 je hmotnost
1 m3 (= m/V= 1/v) při NFP:
1
T
d
T
T1
.
t
s
n
o
k
M
m

kde Vm [m3.kmol-1] je molární objem. Při p = 101325 Pa a T = 273,15 K (normální fyzikální
podmínky - NFP) je Vm = 22,4136 m3.kmol-1.


Slovní formulace:
Za konstantního objemu roste tlak plynu
Pozn.: M udává, kolikrát je hmotnost molekuly látky větší, než 1/12
hmotnosti atomu uhlíku 12C.
Platí:
 = 1 / 273,15 K-1
CHARLESŮV ZÁKON
Hmotnosti stejných objemů jsou úměrné molárním hmotnostem M
[kg.kmol-1]

 

Vo objem při to= 0°C
Charles (1746-1823) sledoval chování plynu
za konstantního objemu.
Slovní formulace (1811): Různé ideální plyny stejných objemů
obsahují za stejné teploty a tlaku stejný počet molekul (ne atomů).

 ︶

1 . . . 23 24 25 26 27 28 29 30 . . . 254
AVOGADRŮV ZÁKON


 

1 . . . 20 21 22 23 24 25 26 27 . . . 254
Platí:

Vo
V
Po úpravě:
︵︶


c
T2
T1
T2

ř
t
cs
1
U nedokonalých plynů používáme střední
integrální hodnoty vlastností
︵
5
t
1
,
γ Vo3
7 2 2
2V T
1
Vo t V1T1
5
V
1
,
13
7
2
Fyzikální vlastnosti jsou pro:
● ideální plyny f (druhu látky) = konst.
● nedokonalé plyny f (druhu látky, T)
● reálné plyny f (druhu látky, T, p)
Slovní formulace:
Za stálého tlaku roste objem plynu lineárně s
teplotou. Hodnota teplotní objemové roztažnosti je
pro všechny plyny stejná, nezávisí na tlaku.

1 . . . 23 24 25 26 27 28 29 30 . . . 254
5
2.5.2012
BOYLEŮV MARIOTTEŮV ZÁKON
PLYNOVÁ KONSTANTA
Měrná plynová konstanta r [J.kg-1.K-1]
.
t
s
n
o
k
m






J.kmol-1.K-1
3
,
4
1
3
8
J.kmol1.K 1
r
m
RM

Univerzální plynová konstanta
2
,
1
3
,
4
1
3
8

m
5
1 R
,
3
7
2
o
 není však ani u ideálních plynů konstantní, a proto uvedená

6
3
1
4
,
2
2
5
2
3
1
0
1
︶ 

Vm
pT
p
p
δ
︵
  
M
vT
p

Vm = 22,4136 m3.kmol-1 pro všechny plyny a lze psát
r
M

V2

p2
V1
p1

1


Vo
Stlačitelnosti



Při normálních fyzikálních podmínkách p = 101325 Pa a T = 273,15 K je
V
Zákon lze vyjádřit i pomocí stlačitelnosti
a ze stavové rovnice
.
t
s
n
o
k
V
p


Odvození z Avogadrova zákona
Slovní formulace:
Za konstantní teploty je součin tlaku a objemu
daného množství plynu konstantní.
určí se pro jednotlivé plyny z
tabulek nebo VÝPOČTEM
Vv
T
vp
M r
Boyle (1662), Mariotte (1672) sledovali chování
plynu za konstantní teploty.
Výpočet plynové konstanty r

závislost V = f(p) není přímka.
1 . . . 30 31 32 33 34 35 36 37 . . . 254
1 . . . 30 31 32 33 34 35 36 37 . . . 254
T
r
v
p
ZÁKLADNÍ TVARY
STAVOVÉ ROVNICE
SOUŘADNÝ SYSTÉM
p-V-T
V
p
p=konstantní

Stavová rovnice pro m kg ideálního plynu
T
r
m
  
Stavová rovnice pro 1 kg ideálního plynu

 
T

m

R

nebo
m
 
Vm = M . v
kde
V
p

m

V=konstantní
T
r
M
V
p
Vynásobením rovnice pro 1 kg molární hmotností M dostaneme
všeobecnou stavovou rovnici ideálního plynu
Rm = M . r
a
ODVOZENÍ
STAVOVÉ ROVNICE

V = n . Vm
kde
TEPELNÉ KAPACITY
Stavovou rovnici ideálního plynu odvodil v roce 1834 francouzský fyzik Clapeyron (17991864). Vycházel přitom z Boyleova-Mariotteova a
Gay-Lussacova zákona  obecný děj nahradil izotermou a izobarou.
v1 2
p1p
v1 A
p1p

vA

vA
pA
v1
p1
1) Boyle-Mariotte (T = konst.)




T
d
cv
m








,




v
m


C
n
,

Cv

p
m
 
m


C
n
C
n
c
m
Tepelná kapacita C [J.K-1]
v
m

C
 
cv c v
M m
C
cp c p
M m
c
M
p
Qv
p
d c v Cm C

Qpcp
d
T
d

m

T
r
1 . . . 30 31 32 33 34 35 36 37 . . . 254
plyn zvýší vnitřní energii
plyn zvýší vnitřní energii a vykoná
práci
Molární tepelná kapacita Cm [J.kmol-1.K-1]
v
p
Stavová rovnice ideálního plynu je dána vztahem:
kde r je měrná plynová konstanta.
Děj 1-2V
Děj 1-2p
C
.
t
s
n
o
k
v
pT
.
t
s
n
o
k
v2 2
p2T
v1 1
p1T

U plynů rozlišujeme
● Měrnou tepelnou kapacitu za konstantního
tlaku cp
● Měrnou tepelnou kapacitu za konstantního
objemu cv

Měrný objem vA je v obou případech stejný, a proto platí:

Měrná tepelná kapacita c [J.kg-1.K-1] je teplo k ohřátí 1 kg látky o 1 K
cp
m

v2 2
T1T

v2 2
TAT

vA

v2T2
vATA
2) Gay-Lussac (p = konst.)


1 . . . 30 31 32 33 34 35 36 37 . . . 254
1 . . . 30 31 32 33 34 35 36 37 . . . 254


m

T
T=konstantní
Rovnovážné stavy plynu se nacházejí
pouze na této termodynamické ploše.
R
n
V
p
Vynásobením všeobecné stavové rovnice látkovým množstvím n získáme
rozšířenou všeobecnou stavovou rovnici ideálního plynu
1 . . . 30 31 32 33 34 35 36 37 . . . 254
6
2.5.2012
MAYERŮV VZTAH
1. forma I. zákona termodynamiky
Po dosazení p.dv do 1. formy …




 

 


V = V1+V2, m = m1+ m2, r
Po míšení:


rovnice složek
 
Stavová

 
Stavová rovnice
směsi


Rm
 1 M

Výčet složek a jejich poměrné zastoupení
1

(pro směsi plynů)
i

1


i

xN2 = 79 %, xO2 = 21 %
xV
Příklad pro vzduch:
44
xi
12


1
,
0
C
CO2

1
,
0
[xi . 100 je v %]
xV
32
1 . . . 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 . . . 254


Zde jsou využity vztahy:









i i
1w M

wiMi
wiMi

M
wiMi

miMim M
xi

nin
PŘEPOČTY HMOTNOSTNÍCH ZLOMKŮ wi NA
MOLÁRNÍ xi
x  xVi
i
M
mM w

i
n m m xi
n
Mi
xi
M

m nin M

 xi
xi
xi
Mi
Mi

wi

xi


MiM

nin
MiM
mim
Pozor nejčastější chyba záměna
zlomků
PŘEPOČTY MOLÁRNÍCH ZLOMKŮ xi NA
HMOTNOSTNÍ wi

ni

n
p.Vi = ni.Rm.T
p.V = n .Rm.T
i
Číselně se rovnají molárním zlomkům, viz
rozšířené všeobecné stavové rovnice:
ViV
PŘEPOČTY
URČUJÍCÍCH VELIČIN
wi
DVĚ ZÁKLADNÍ VĚTY PRO ŘEŠENÍ SMĚSI PLYNŮ:
● Každý plyn se chová ve směsi ideálních plynů tak, jako by byl v celém prostoru sám
● řídí se svou stavovou rovnicí
● ze stavové rovnice lze určit jeho tlak (parciální tlak) pomocí teploty a celkového
objemu směsi
● Směs chemicky na sebe nepůsobících plynů má vlastnosti opět plynu, pro který lze
rovněž použít stavovou rovnici

i
28
Proto se musíme zabývat termodynamikou směsí plynů a umět určovat jejich
termodynamické vlastnosti
(pro směsi plynů)
xi
Objemovými zlomky [-]
N2

wN2 = 76,8 %, wO2 = 23,2 %
[xi . 100 je v %]
O2
V technické praxi se vyskytují převážně směsi plynů, např.:
● Vzduch pro technologické aplikace
● Plynná paliva – Propan-Butan, Zemní plyn, Bio plyn
● Pracovní látky spalovacích motorů a plynových turbín – Vzduch + směs paliva (benzínové
páry)
● Výfukové plyny spalovacích motorů a plynových turbín – problematika emisí
V iV
2
nin
M
H2



1

Molárními zlomky [-]
[kg.kmol-1]
(pro kapaliny, pevné látky)
wi

[wi . 100 je v %]
1
,
0
Hmotnostními zlomky [-]
Příklad pro vzduch:
J.kmol1.K 1
Plyn
Zadání složení směsi
POMĚRNÉ ZASTOUPENÍ SLOŽEK VE SMĚSI JE DÁNO:
wi
1
1 Rm
cv 
r 

 1
 1 M
VÝZNAM SMĚSÍ
PLYNŮ
1 . . . 31 32 33 34 35 36 37 38 39 . . . 254
i

xV
J.kg-1.K-1
1 . . . 31 32 33 34 35 36 37 38 . . . 254
 1
r 
xi
m
RM
r
Pro vzduch (směs N2 a O2) r = 287,04


3
,
4
1
3
8
m
R

cp 
mim

Výpočet plynové konstanty r
URČUJÍCÍ VELIČINY
SMĚSI
wi
cpcv
Univerzální plynová konstanta
κ
 = 1,67
 = 1,41
 = 1,30
pi
  
r a další termodynamické vlastnosti
Problém je určit měrnou plynovou konstantu směsi
1 . . . 32 33 34 35 36 37 38 39 40 . . . 254
r
cv
cp

Poissonova konstanta
1-atomové plyny
2-atomové plyny
3-atomové plyny
Stavové
DALTONŮV ZÁKON (1807):
Tlak ve směsi se rovná součtu tlaků jednotlivých plynů (parciálních tlaků)
daných jejich stavovými rovnicemi.

Mayerův vztah
V2, m2, r2
rovnice složek
 
1 . . . 30 31 32 33 34 35 36 37 . . . 254
VLASTNOSTI
IDEALNÍCH PLYNŮ
V1, m1, r1
Před míšením:
p
 = 1,67
 = 1,41
 = 1,30


T
r
m
1-atomové plyny
2-atomové plyny
3-atomové plyny


MÍŠENÍ PLYNŮ při p = konst. a T = konst. - izotermická expanze:
V
p
Poissonova konstanta


T
ri
mi
Mayerův vztah

V
pi
Pro izobarický děj dp = 0

T
ri
mi
Stavová rovnice ideálního plynu


Vi
p
T
d p
r d
T
p v d
d
vv T r
d
d
pv r T
d
d
p
T
T
d cv r
d
T
cvr cv T cv cpcv
d
qv q
dp
κ
d cp cp
Odvození Mayerova vztahu
STAVOVÉ VELIČINY
SMĚSI PLYNŮ
1 . . . 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 . . . 254
7
2.5.2012
DVA PŘIPADY
SMÍŠENÍ PLYNŮ
VLASTNOSTI SMĚSI
PLYNŮ
● rovnice zachování hmotnosti
m =  mi
● rovnice zachování látky
n =  ni
● rovnice zachování energie
m.c.T =  mi.ci.T
p2, T2, m2
n
p   pi
pi jsou parciální tlaky
pi = p1 = p2 = p
n
T
m






T
Δ
 
ci
ρ = p / ( r.T )






1 . . . 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 . . . 254
m  r T

V
m
i 1
i
 ri
n
V
i 1
i
n
n

i
m
i 1
i
i 1
Ts 
 cvi  Ti
n
m
i
 cvi
 m i  cpi  Ti
i 1
n
 m
i 1
i
 c pi
Copyright The McGraw-Hill Companies,
Inc.
Složka
Xi [%]
wi [%]
Dusík N2
78,09
75,51
Kyslík O2
20,95
23,16
Argon Ar
0,93
1,28
Kysličník uhličitý CO2
0,036
0,049
Neon, Helium, Metan atd.
0,006
0,0001
Fyzikální vlastnosti vzduchu při 0 °C a
101,325 kPa
M = 28,97 kg.kmol-1
r = 287,04 J.kg-1.K-1
cp = 1005 J.kg-1.K-1
cv = 714 J.kg-1.K-1
 = 1,402
1. FORMA I. ZÁKONA
TERMODYNAMIKY
I. zákon termodynamiky ‐ R. Mayer, 1842 (Neexistuje perpetuum mobile) Teplo lze měnit v práci a naopak, a to se děje dle určitého vztahu. Jde o zvláštní případ zákona zachování energie (Helmholz ‐ 1847) Součet energií v izolované soustavě je konstantní.
pi

a
δ

u
d
q
δ

,
A
δ
i

U
d
1. forma I. zákona termodynamiky ‐ vhodná pro uzavřené soustavy (nádoby, pístové stroje)
Q
δ
p

 cvi
i
n
 m
1 . . . 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 . . . 254
DVA PŘIPADY
SMÍŠENÍ PLYNŮ
Daltonův
zákon
m
s 
m
1 . . . 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 . . . 254
ri
wi


wiMi
R
R
r 
 m
p
 1
 1 M
1
1 Rm
cv 
r 

 1
 1 M
m
RM
κ
cpc v
r
cv
cp



mi i
c
i
mi c c i
T
mim wi
Δ
c c
m m c c
Platí stejně pro cp, cv

p
Copyright The McGraw-Hill Companies, Inc.
r
ze stavové rovnice
MĚRNÁ TEPELNÁ KAPACITA SMĚSI c
[J.kg-1.K-1]

n
VLASTNOSTI
SUCHÉHO VZDUCHU
MĚRNÁ PLYNOVÁ KONSTANTA SMĚSI r
[J.kg-1.K-1]
Platí stejné vztahy jako pro

plyny
c 
 cvi  Ti
i 1
MĚRNA PLYNOVÁ
KONSTANTA A
KAPACITY
HUSTOTA SMĚSI ρ
i 1
i
n
kg.kmol-1
1 . . . 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 . . . 254
[kg.m-3]
m
i 1
xi
Mi
M

Míšení za stálého tlaku
i 1
i 1
STŘEDNÍ ZDÁNLIVÁ MOLÁRNÍ HMOTNOST SMĚSI M [kg.kmol‐1]
n
V   Vi
Míšení za stálého objemu
Ze známého složení směsi lze vypočítat různé vlastnosti směsi (nebývají v
tabulkách), a to pomocí:
Q a A nejsou totální diferenciály, ale přesto budeme značit dQ a dA
Amagatův
zákon
i
i
V  V
dQ = m.dq, dU = m.du, dA = m.da
1 . . . 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 . . . 254
Copyright The McGraw-Hill Companies, Inc.
1 . . . 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 . . . 254
8
2.5.2012
ZNAMÉNKOVÁ
KONVENCE
1. FORMA I. ZTD
+Q – přivedené teplo (např. palivo, el. Energie)
‐Q – odvedené teplo (např. chladící voda, výfukové plyny)
+A, +At – získaná práce (např. práce na hřídeli spalovacího motoru, který pohání vozidlo)
‐A, ‐At – dodaná (spotřebovaná) práce (např. práce startéru motoru, práce na pohon kompresoru)
Když správně zadám do výpočtu, vyjdou správně i výsledky.
dQ  dU  dA  cv  m  dT  p  dV
[J]
dq  du  da  cv  dT  p  dv
[J/kg]
2
Q12  U12  A12  cv  m  (T2  T1 )   p  dV
[J]
1
2
[J/kg]
q12  u12  a12  cv  (T2  T1)   p  dv
1
dQ > 0 teplo se do soustavy přivádí
dU > 0 vnitřní energie soustavy roste
dA > 0 soustava koná práci
1 . . . 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 . . . 254
1 . . . 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 . . . 250
OBJEMOVÁ PRÁCE
A [J]
2. FORMA I. ZTD





T
d
r

 
 
1 . . . 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 . . . 254
1 . . . 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 . . . 250
VNITŘNÍ ENERGIE
U [J]
2. FORMA I. ZTD
INTALPIE
MĚRNÁ VNITŘNÍ ENERGIE u
Pro dA = p.dV = 0 (platí u dějů za konstantního objemu) je vnitřní energie dU rovna teplu za konstantního objemu dQv a lze psát
dQV = dU + dA = dU + pdV = dU

p
d
v
dQ  dH  At

T
d

cp

q
d

p
d
V
Objemová práce není stavovou veličinou, jelikož závisí na cestě, po které děj probíhá a také platí, že neexistuje práce A1 nebo A2. Objemová práce je plocha pod křivkou v p‐v diagramu.

T
d
Q
d

Objemová práce se koná pokud se mění objem, kde není
změna dráhy není práce.
cp
m
Po dosazení Mayerova vztahu do poslední rovnice dostaneme rozepsanou 2. formu I. zákona termodynamiky
2
2



p
d
v
T
d
r
v
d
p
Po dosazení p.dv do 1. formy

a1
m
A1


1

2
1

2
a1
2

V
d
p
Mayerův vztah
2
Definice práce A a měrné práce a mezi původním stavem o objemu V1 a konečným stavem o objemu V2 jsou tudíž dány vztahy
A1
Stavová rovnice ideálního plynu



MĚRNÁ OBJEMOVÁ PRÁCE a [J.kg‐1]
p
d
v
vv
dd
pp
dA = F.dl = p.S.dl = p.dV
Odvození 2. formy I. zákona termodynamiky
T
r d
T
d
T
cvr cv cv
qv
q
d p cp d
Expanze
ve válci
s pístem
Je dána působením síly F po dráze l např. ve válci s pístem a platí
 
dq  dh  at
H1  U1  p1  V1
H2  U 2  p2  V2


T
d
cv

u
d

T
d
cv
m
U
d
Definice vnitřní energie U [J] a měrné vnitřní energie u [J.kg‐1] pro ideální plyn jsou proto dány vztahy:

kde cv je měrná tepelná kapacita za konstantního objemu.
︵

T1

T2
cv 0
u
u1 d
u2
1 . . . 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 . . . 250

1

2

︶
u
d
 ︵
T1
T2
cv
m 0
1

U1 U
- d
2
U
2

U
d
Vnitřní energie je stavová veličina, a proto dU je totální diferenciál a lze napsat následující integrály:
︶
2
At 12    V  dp
1

1 . . . 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 . . . 250
9
2.5.2012
2
h
d

1

Odvození entalpie z děje p=konstantní
1. forma I. zákona pro p = konstantní
 ︵
︶
︵
︶
︵





 ︶
︶︵



h
 ︶


v1v
p p

︵

u1u
H

v1
︵

h h︵

Po seskupení veličin stavu 1 a 2

 ︶
h h 
Po integraci při p = konstantní
PROUDOVÝ MOTOR
h
v2
Entalpie je teplo při p = konstantní

T
d
1


p v2
p
p
a
u1
T1
d
p
a
u2V
T1
d
T2
u2
u
p
2 d
u
1
d
cp T
1
m
U
cp
2
h
2
qp d
H1 h1 d
2
H
h2
2

H
d
H je stavová veličina
dH je totální diferenciál
cp
m
H
d

Definice pro ideální plyn

2
1
H
T
d
0
0
2
1c p
h
H d
m h d
d
ENTALPIE H [J]
Entalpie H [J], měrná entalpie h [J.kg‐1] ‐ teplo za konstantního tlaku
︶

1 . . . 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 . . . 250
BILANCE

2
1
at
m

2
1
At
TECHNICKÁ PRÁCE
At [J]
MĚRNÁ TECHNICKÁ PRÁCE at [J.kg‐1]
Je to práce na hřídelích rotačních strojů. m i  m e  msys [kg]
Technická práce je plocha pod křivkou v p‐v diagramu směrem k ose p.
E i  Ee  E sys
Plocha je uvažována záporně (vzhledem k růstu
tlaku), aby při expanzi či poklesu tlaku soustavy
byla kladná.
 m
  m
 sys [kg/s]
m
i
e
Definice technické práce At a měrné technické práce at mezi původním stavem o tlaku p1 a konečným stavem o tlaku p2 jsou tudíž dány vztahy
p
d
v
2
E i  E e  E sys[J/s,W]
  
2
1
1

1
at
p
d
V
2
2
1
At
 
1 . . . 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 . . . 250
[J]
Technická práce není stavovou veličinou, neboť závisí na cestě, po které děj probíhá a platí, že neexistuje At1 nebo At2. 2. FORMA I. ZTD
dQ  dH  dAt  c p  m  dT  V  dp
dq  dh  dat  c p  dT  v  dp
[J]
Copyright The McGraw‐Hill Companies, Inc.
1 . . . 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 . . . 250
ROVNICE
KONTINUITY
  wS
m

  V  V
m
v
[J/kg]
2
Q12  H12  At 12  c p  m  (T2  T1)   V  dp
[J]
1
[kg/s]
[kg/s]
2
q12  h12  at 12  c p  (T2  T1)   v  dp
[J/kg]

hustota [kg/m3] (= 1/v)
w
průměrná rychlost [m/s]
S
plocha průřezu [m2]
1
Vhodné pro otevřené soustavy, např. pro řešení kompresorů nebo zařízení kde se mění tlak i objem.
1 . . . 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 . . . 250
1 . . . 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 . . . 250
10
2.5.2012
KINETICKÁ A
POTENCIÁLNÍ
ENERGIE
Kinetická energie
Potenciální energie
Energie soustavy bez energie proudu
Celková energie
I. ZTD PRO
OTEVŘENOU
SOUSTAVU
EP  mgz
E  EK  EP  U
 m  m
i
w2
EK  m
2
[J]




w 2
w2
Q  At   me  ue  pev e  e  gze    mi  ui  pi v i  i  gzi 
2
2




 m   m
i
E  EK  E P  U  pV
E  EK  EP  H
1 . . . 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 . . . 250
I. ZTD PRO
OTEVŘENOU
SOUSTAVU
e
2




w 2
 i  ui  w i  gzi 
Q  A   me  ue  e  gze    m
2
2




e
2




 e  he  w e  gze    m
 i  hi  w i  gzi 
Q  P   m
2
2




2
[W]
1 . . . 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 . . . 250
I. ZTD
ZJEDNODUŠENÍ
1  m
2
m
2
2


  h2  h1  w 2  w 1  g  z2  z1   [W]
Q  P  m
2
2


1 . . . 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 . . . 250
I. ZTD PRO
OTEVŘENOU
SOUSTAVU
1 . . . 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 . . . 250
1 . . . 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 . . . 250
TURBÍNA
1 . . . 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 . . . 250
11
2.5.2012
ENTROPIE DEFINICE
IZOCHORICKÝ DĚJ
Entropie S [J/K] Měrná entropie s [J/(kg.K)]
dq
T

s1
s2 0


s
d

1

2
2

S1
-


1
Pro vratné cykly:
S 0
S S
d d
2
Pro termodynamické děje:
s
d
Entropie je stavová veličina, dS je totální diferenciál a lze psát následující integrály:
p1.v = r.T1
p2.v = r.T2

p2T2
ds 
v2
Entropie je extenzivní veličina
p1T1
dS  m  ds
dQ
T
v1
dS 
v = konst., dv = 0 (Charles)
Pro řešení uzavřených soustav (např. tlakových nádob)
Stavové rovnice
Rovnice změny stavu

• Entropie určuje směr vývoje soustavy
• Entropie umožní dokázat nevratné termodynamické děje
• Entropie určuje pravděpodobnost systému
• Entropie určuje míru disipace látky či energie
• Entropie určuje míru neuspořádání systému
• Entropie určuje míru znehodnocení kvality systému
1 . . . 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 . . . 250
Izochorická komprese
1 . . . 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 . . . 250
T-S DIAGRAM PRO
IDEÁLNÍ PLYN
IZOCHORICKÝ DĚJ
Druhý nejdůležitější graf po p‐v
1
1
T1
︵
 ︶
s1


v
2 1
T1 TnT
l
cV

 ︵
1


s2
2
1
v
T
dT

v
c
2

T
dT
c
1

v 1 = v2 = v
︶
1 . . . 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 . . . 250
PŘEHLED
TERMODYNAMICKÝCH
DĚJŮ
IZOBARICKÝ DĚJ
p = konst., dp = 0 (Gay‐Lussac)
Pro řešení výměníků tepla, chladičů apod.


Izobarická expanze
κ ,
,
1
n n
Vratné termodynamické děje ‐ vhodné pro teoretické rozbory
● Izochorický děj
při konstantním objemu (v = konstantní, dv = 0) ● Izobarický děj
při konstantním tlaku (p = konstantní, dp = 0)
● Izotermický děj
při konstantní teplotě (T = konstantní, dT = 0) p . v 1 = konst.
● Adiabatický děj
bez výměny tepla s okolím (q12 = 0, dq = 0) p . v  = konst.
● Polytropický děj
definovaný rovnicí p . v n = konst.
technická polytropa ︵ ︶
︵
︶
obecná polytropa
  
v2T2
v1T1
p.v1 = r.T1
p.v2 = r.T2
p2
Stavové rovnice
p1
Rozlišujeme
● Děje vratné ‐ soustava prochází jen rovnovážnými stavy (lze použít stavovou rovnici) a při opačném ději se vrátí do původního stavu
● Děje nevratné ‐ soustava neprochází rovnovážnými stavy a při opačném ději se nevrátí do původního stavu
1 . . . 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 . . . 250
0
v
d
p
2
s
d
1 . . . 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 . . . 250
T2
at12
p1

 

 ︵
︶


2
p2
2
u
d T
v
T c
d
2
1
p1 cvq
,
p2 v
v d T1
p
p
d
T2
v
2
1T
d cv
2
1
at
cvm

2
Entropie

 
 ︶
2
q
d Q1
1
Teplo vyjádříme z 1. formy I. zákona termodynamiky
p1
2
 ︵
p2
V
p
d
V
1 2
1
At
 

2
2

a1

0
V
d
p
2
A1
Energetické veličiny A12 , At12 , Q12
Plocha pod křivkou je teplo q12
Pavelek, M. a kol.: Termomechanika. Skripta. VUT Brno 2003
p
a12=0
A12=0
1 . . . 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 . . . 250
12
2.5.2012
IZOBARICKÝ DĚJPRÁCE
ADIABATICKÝ DĚJ
Energetické veličiny At12 , A12 , Q12
κ
v1v2
T2T1
1
T1
cv
T2
2

 




p2p1
1
κ
κ





podělením cv bude

 
 


1
κκ
p2p 1
2

 ︶ 
1
v1
p1
1
1
κ




a1







1
κκ
T1
cv
a1
1
v1
p1
cv
cv

1
κ
κ




  
 

cp
p 2p1







1
κ

 

v1v2 p2p1
T2T1 T2T1

 

︵
1
κ
κ




0
p2p1


 
 










 




p2p1
1
κ
κ

podělením cv bude
p2p 1





 
 




1
κκ

T2T1
1
T1
cv
T2
 ︶ 
1κ
κ
2
2







1
v1
p1
1
1
κ




a1
p 2p1


  
 




1
κ
T1
cv
a1
1
v1
p1
cv
cv

1
κ
κ



cp
p2p1




v1v2 p2p1

 

︵
1
κ
κ

 
 


T2T1 T2T1



0
a
d
2




 

κ
κ



1
V1
p1
1
1
κ
A1



  
 





 






κ
κ



1
v1
p1
cvr
2
1
2
a1





1
T
d
cv



2
v1v2 v1v2
q
d

p2p1
n
l
r
s1
s2
1
1

s1
s2
2
s
d
2
1
n
l
T
r
2
1
At
q
dT
2
n
l
T
r

v1v2 p p
T1r
T2
r
v1 2
v
T1 2p1
T2r
r
p
p2p1 p2p1




s2 ‐ s1 = q12 / T

Další rovnice změny stavu
Práce objemová
v2v1p p
n
n
l
l
r
r
2
1
2
A1
1 . . . 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 . . . 250
a
d
2
1
p
d
v
2
2





1
V1
p1
1
1
κ
A1
2
1
2
1

Entropie




ADIABATICKÝ DĚJ –
PRÁCE

 

v2v1p1p2
n
n
l
l
v1 v1
p1 p1
1
1
1
at

v2v1pnp
n
l
l
T
T
r
r
2
p
dp
v
dv T
r
T
2
1
r
2
v
d
p
2
a1



  
 




 






1






κ
κ
2
2
q1Q


2


1A t
at
2 2
a1A1
a at
dd
vp
dd
pv
vp
dd
pv
TT
dd
cvcp
qq
dd




Práci objemovou a technickou lze odvodit z jejich definičních vztahů
m

 

1 . . . 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 . . . 250
IZOTERMICKÝ DĚJ
Energetické veličiny At12 , A12 , Q12
Z I. zákona termodynamiky platí



κ
κ



1
v1
p1
cvr
a1
1 . . . 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 . . . 250
p1
p2

2
T
d
cv


 m

v1v2 p p
T1r
T2
r
v1 2
v
T1 2p1
T2r
r
p
v1v2 v1v2
q
d

 

v2
p2
2

p2p1 p2p1
T v1
T1p1



Izotermická komprese
V
V


p2p1

Další rovnice změny stavu

 

κ
κ
v
p


 
Po integraci

 

ADIABATICKÝ DĚJ



2
.v
t
s
n 2
op
0 k
n κ1
l
v
v
dv
κ v p1
n
l
κ
.
t
ps
n
no
l
k

Práce objemová


1 . . . 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 . . . 250
IZOTERMICKÝ DĚJ


0
pp
0 d
p
d
v
κ
T pv
d d
d
cp v p
cpcv

T = konst., dT = 0 (Boyle, Mariotte)
Pro řešení ideální komprese nebo expanze plynů.
Stavové rovnice


v
d
p
T
d
cv
q
d
T1



1 . . . 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 . . . 250
p1.v1 = r.T
p2.v2 = r.T

Podělením 2. formy 1. formou bude
T2T1
n
l
cP


v
︶
s1
p
1

T2
 ︵
s2
p
v2
p
h
d c
2
1
T
d q

︶
2

v1

T
dT
1



cp
p T1 c
d
v T2 T
d
T
T
p c
d c 2
1
m
cp
s
d
2

 ︶
 
 ︵

v1
1
2
1
q
d Q


Entropie
v2
p
v
d
p
︵
Adiabata je v p‐v
diagramu strmější než izoterma
a12
2


Teplo vyjádříme z 2. formy I. zákona termodynamiky
2
a1
V1
1
 ︶
2
q
d
1

dq = 0, q12 = 0 , Q12 = 0 Pro řešení ideální komprese nebo expanze plynů.
p1 = p2 = p
1
0
p
d
v
2
 
2
1
2
V2
p
V
d
p
2
A1
︵

at
1

0
2
p
d
V
2
1
At
 
at12=0
At12=0
T2
T1
p





1 . . . 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 . . . 250
13
2.5.2012
PRÁCE
POLYTROPICKÉHO
DĚJE
ADIABATICKÝ DĚJPRÁCE
1
n
n
p2p1
2

 
 













1
n
n
1
v1
p1
1
1
n

 
 


a1




p2p1
1
V1
p1
1
1
n

2






2
s
d
2
1


 
Stavová rovnice ideálního plynu p.v = r.T
s  konst .
p.vn = konst.
Rovnice polytropy q
d
2
Q1

 





︵




︶




︵








︶
[J.kg-1.K-1]

T2T1
n
l
cn

s1

s2
TT
d
1
cn
1

2
2
1




p2p1
1
nn

T2T1
n
l
p2p1 n p2p1
l
n
l

n
1 . . . 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 . . . 250

p2p1
n
l
p2p1p2p1
n n
l
l
1n n
n
T2T1
n
T2T1 l
n n
l




Příklad výpočtu polytropického exponentu n

n
T2T1
1
n
v1v2
T2T1

 

v1v2
p2p1
n
v2
p2
n
v1
p1



s
d
2

Technická polytropa
Pro řešení komprese a expanze Obecná polytropa
T
d
T
cn
POLYTROPICKÝ DĚJ
V T-s DIAGRAMU
p.v n = konst.

 


1 . . . 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 . . . 250
POLYTROPICKÝ DĚJ

 



Měrná tepelná kapacita polytropického děje
1 . . . 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 . . . 250
︶
T
d
r
︵
Po dosazení p.dv do 1. formy I. zákona termodynamiky





T
Tn d
d
r 1κ1
nn
T
d
cv T1
cv
T
d T2
v
d 1
nκ 1
p
κnc nn
2
T
v
d n 1 q1 c
cv 1
cn
cv
q
d
T
d T1
cvn 2
T
cp1 cn
cv m
Po odečtení těchto rovnic



v
d
p
n
1
ln p + n.ln v = ln konst.





T0
d
rv
d
vp
d
pn
pp
dd
vv
MĚRNÁ TEPELNÁ
KAPACITA
POLYTROPICKÉHO DĚJE
Teplo
0

 
 

1 . . . 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 . . . 250
ADIABATICKÝ DĚJ
IZOENTROPICKÝ DĚJ

p 2p 1




1
n
n

2




1
v1
p1
1
n
n

 




1
at
p2p 1
2
1
V1
p1
1
n
n
1
At
1 . . . 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 . . . 250

1
n
n
Technická práce
Adiabatický děj probíhá v tepelně izolované soustavě a velmi rychle. Lze se s ním setkat při teoretickém rozboru tepelných zařízení, viz
● komprese a expanze v pístových strojích
● expanze v dýzách, turbínách apod. 

A1



0
q1

p 2p 1

2


 
 

1
v1
p1
1
κ

0
Teplo




Objemová práce
κ





2

 
 



1
at
2
1
At


 

 
︶  
1
κ
κ
 
 
 ︵
TT
d dp
cvc
Q1
a at
dd
1
a κκ
d
0 0 κ p2p1
a atT
1
ddd
1
V
v
p1
TTc
dd
1
κ κ
κ
cvcp
q q at
ddd
Práce technická
1 . . . 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 . . . 250
14
2.5.2012
PŘENOS TEPLA
POLYTROPICKÝ DĚJ
Zobrazení obecného polytropického děje Q
d TV
Q
d T
V
V


V
Q
d T
N
.
t
s
n
o
k
n
v
p
Q
dT


N
N

N





N
V



0
N

1T
V
1T
Q
d

Q
d T
N
Q
d T

S
d
1 . . . 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 . . . 250

SV
d
S
d
︶
TV>TN
Q=0
Celková změna entropie soustavy
Polytropický děj modeluje kompresi či expanzi plynů v tepelných zařízeních reálněji, než izotermický nebo adiabatický děj. Entropie roste, přenos tepla je nevratný děj
1 . . . 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 . . . 250
PŘEHLED
PŘEHLED

Změna entropie při ohřevu látky 2
N


V
Q
dT


V
S
d

.
t
s
n
o
k


.
t
s
n
o
k


κ
,
1
n
︵


.
t
s
n
o
k
Adiabata n = 

v
Izoterma n = 1
Technická polytropa

κ
1
v
v
p p

n = ∞
v
1
p
=
v
p
Izochora
Q
dT

Změna entropie při ochlazování látky 1
S
d


dQV= dQN = dQ
.
t
s
n
o
k

Izobara n = 0
p
v p‐v diagramu
0
v
p
p.vn = konst.
Přenos tepla při konečném rozdílu teplot v izolované soustavě
ŠKRCENÍ PLYNŮ A
PAR
Škrcení probíhá v kapiláře, ventilu, cloně … 
2

h2

H H
h1

1

0
h
d

0


Typické nevratně děje v termomechanice:
● Vznik tepla třením
● Přenos tepla při konečném rozdílu teplot
● Difúze plynů
● Vyrovnání konečných rozdílů tlaků
● Škrcení plynů a par
0
Pro děje v otevřené, izolované soustavě, bez konání technické práce platí z 2. formy I. zákona termodynamiky
at h
d d
h
d 0
q H
d d
Při nevratných dějích soustava neprochází rovnovážnými stavy a při ději opačném se nevrátí do původního stavu.
Škrcení nahrazujeme izoentalpickým dějem. V průběhu děje dochází k poklesu entalpie.
Nevratnost děje potvrzuje nárůst entropie.
● Pro ideální plyny je izoentalpa totožná h
s izotermou T2 = T1, jelikož
h1
h2
di = cp.dT a cp= konst.
Důkaz nevratnosti samovolného děje v tepelně izolované soustavě je nárůst entropie.
● Pro reálné plyny (páry) může být
T2 < T1 nebo T2 = T1 nebo T2 > T1
1 . . . 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 . . . 250
1 . . . 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 . . . 250
PŘEHLED
TEPELNÝCH CYKLŮ
VZNIK TEPLA
TŘENÍM
K

Ř

QO
d
T
QT
d

Q
dT
S
d
Pro uzavřenou termodynamickou soustavu s reálným plynem platí:
dQOK = 0
Ř

0

A TT
d
Ř
S
d

Q TT
d
Pro izolovanou soustavu lze psát
V izolované soustavě entropie roste  tření je nevratný děj.
Nárůst entropie při adiabatické expanzi reálného plynu se třením je zřejmý také z T‐s diagramu.
1 . . . 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 . . . 250
Cyklus (oběh) je několik po sobě jdoucích dějů, po jejichž vykonání se soustava vrátí do původního stavu
Rozlišujeme cykly
● Vratné / Nevratné
● Přímé / Obrácené Vratné cykly ‐ skládají se výhradně z vratných termodynamických dějů
Nevratné cykly ‐ obsahují alespoň jeden nevratný termodynamický děj
Přímé cykly ‐ jsou cykly tepelných motorů, slouží pro získávání práce, které probíhají v p‐v diagramu ve smyslu hodinových ručiček 
Nepřímé cykly ‐ jsou cykly tepelných poháněných pracovních strojů (chladicích zařízení a tepelných čerpadel), které práci spotřebovávají a v p‐v diagramu probíhají obráceně 
1 . . . 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 . . . 250
QH
QC
PŘÍMÝ CYKLUS
+QH [J] přivedené teplo
‐QC [J] odvedené teplo
+AO [J] práce cyklu
15
2.5.2012
PŘÍMÝ CARNOTŮV
CYKLUS
ÚČINNOST
Carnotův cyklus slouží k porovnávání účinnosti jiných cyklů
Pro 1 kg
Carnotův cyklus přímý:
TH , TC zásobníky tepla
1 ‐ 2
izotermická expanze (pomalá)
2 ‐ 3
adiabatická expanze (rychlá)
3 ‐ 4
izotermická komprese (pomalá)
4 ‐ 1
adiabatická komprese (rychlá)



v3v4
n
l
TC
r
4
3
14
C

2 1
qCvnv
l
TH
qH r
Práce cyklu
a0 a0


3

4
1
v
a v 2v v
d n n
l l
C
H
v T T
d r r

2

a
Horký zásobník
H

v2v1

v3v4




1
κ
1 . . . 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 . . . 250

 




1
κ


 

v2v3 v1v4
 
T3T2 T4T1

TH
PŘÍMÝ TEPELNÝ
CYKLUS
jelikož pro adiabaty platí:
TCTH TC
+QH
-QC
Pro vyjádření v procentech je třeba účinnost vypočtenou dle uvedeného vzorce násobit hodnotou 100.
1 . . . 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 . . . 250
c
ηt
Termická účinnost se teoreticky pohybuje v intervalu 0 až 1.
Po úpravě bude účinnost přímého Carnotova cyklu ve tvaru






Pro 1 kg
TCTH
1
TC=T4







v4v3
n
l
TC
r
 
qCqH qC
C
Výfuk
v3v4v2v1
n
n
l
l
1
 
qCqH
ηt
Chladný zásobník

kde
 
2
+A
Převodovka
Kola
Vozovka


1

T
T
qC v v1 r
r
n
q H lH
1
T
r
qH
PracovnÍ cyklus
Motor
Pro vyjádření termické účinnosti přímého Carnotova cyklu vyjdeme z definice
ηt
H
H
20 %
30 %
32 %
43 %
Spálení paliva
TH=T1
H
a0qH q
 
Q CQ
Q
C
H
H
Parní stroj Parní turbína
Benzínový spalovací motor Naftový motor


PŘÍMÝ CARNOTŮV
CYKLUS
1
Q
Q
t
A 0Q
η



︶ 

1 . . . 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 . . . 250
TERMICKÁ ÚČINNOST


2
1
1 . . . 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 . . . 250


q
© The McGraw-Hill Companies, Inc.,1998V
Termická účinnost t [‐]
︵

H
η
Užitečnost 3kW

 0,6  60%
Náklady
5kW

p v vv v
d d
H
T
TC
v T r
d r
3
2
14
p
v
v d
d
T p p
d
3
cv
a
q
d q
Předávané teplo ‐ viz izotermický děj
PŘÍMÝ CARNOTŮV
CYKLUS p-V a T-S
Spalovací motor
• Palivo = zdroj tepla
• Užitek = práce na klikovém
hřídeli
• Výfuk, chladič = odvod tepla
t 
1 . . . 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 . . . 250
Q
Ao
 1 C
QH
QH
 tC 
Ao
T
T
 1 C  1 3
QH
TH
T1
1 . . . 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 . . . 250
16
2.5.2012
PŘÍMÝ CARNOTŮV
CYKLUS TERMICKÁ
ÚČINNOST
PŘÍKLADY
CARNOTOVA CYKLU
Termická účinnost Carnotova cyklu
● Závisí na teplotách, nezávisí na druhu pracovní látky
● Roste s rostoucí teplotou TH a klesající teplotou TC (nelze jít pod nejnižší teplotu v okolí)
● Je vždy menší než 1 a pro TH = TC je t = 0
VĚČNĚ PIJÍCÍ PTÁK
tC je při stejných extrémních teplotách větší než u termická účinnost teoretických cyklů nebo skutečných motorů.
Benzínový motor
pro TH = 2500 K, TC = 600 K
tC = 0,76
t,TEORIE = 0,5
Parostrojní zařízení
pro TH = 600 K, TC = 300 K
tC = 0,5
t,TEORIE = 0,3
tskutečné = 0,3
t,skutečné < 0,3
Konstruktéři mají snahu vyvíjet a upravovat tepelné stroje tak, aby se přiblížili Carnotovu
cyklu. Tento proces nazýváme CARNOTIZACE.
1 . . . 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 . . . 250
PŘÍKLADY
CARNOTOVA CYKLU
TROPICKÁ CYKLÓNA
1 . . . 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 . . . 250
PŘÍKLADY
CARNOTOVA CYKLU
TEPELNÉ TRUBICE
1 . . . 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 . . . 250
http://www.dealextreme.com/p/novelty‐dippy‐drinking‐bird‐29233
1 . . . 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 . . . 250
OBRÁCENÝ
TEPELNÝ CYKLUS
Chladicí zařízení
• Potřebuje dodávat práci =
kompresor s elektromotorem
• Užitek = chladicí výkon
• Odváděné teplo
1 . . . 100 101 102 103 104 105 106 107 108 . . . 250
OBRÁCENÝ TEPELNÝ
CYKLUS
Tepelné čerpadlo
• Potřebuje dodávat práci =
kompresor s elektromotorem
• Užitek = dodávané teplo
• Zdroj tepla = chladný
zásobník
1 . . . 100 101 102 103 104 105 106 107 108 . . . 250
17
2.5.2012
SMĚR PRŮBĚHU
CYKLU
OBRÁCENÝ
CARNOTŮV CYKLUS
2
4 3
v 1vv
v
n l
n v3v2
l
n
qC
qC
T C lC
TH r
r
qH
T
qC
r
qH
qH
v v
d vd v
v4v1
TCl
TH r
n
qCa0 qHa0
r
2
43
1
TH
r
Slouží k porovnávání obrácených cyklů chladicích zařízení a tepelných čerpadel
1
4
3
2
C


qC
qH
2
a0





v
d
p
a
q
43


v
d
p
a
H
1
q
Předávané teplo a práce cyklu

Pro 1 kg

TC TC
TC T H
TH TH
Chladicí faktor ch ‐ Koeficient znásobení COP (Coefficient of performance) pro chladicí zřízení
 ch 


Carnot
 chC 
Carnot
 tC 
COP pro tepelná čerpadla (topný faktor top)
t 




1 . . . 100 101 102 103 104 105 106 107 108 . . . 250
1 . . . 100 101 102 103 104 105 106 107 108 . . . 250
OBRÁCENÝ
CARNOTŮV CYKLUS
CARNOTOVA POROVNÁVACÍ ÚČINNOST
QC

QH
 t 
tC 1  TC
TH
1
CP
V případě Carnova cyklu t 
Q
Ao
 1 C
QH
QH
tC 
Ao
T
T
 1 C  1 3
QH
TH
T1
1 . . . 100 101 102 103 104 105 106 107 108 . . . 250
Motory,
turbíny
Chladicí
zařízení
Ao
proč zařízení konstruhuji
co za to platím
 tC  1 
TC
TH
Termická účinnost (0‐1)
Obvykle pod 0,5
 tC 
TH
TH  TC
Topný faktor Koeficient znásobení
COP ‐ Coefficient of performance
Obvykle 4 a více
1 . . . 100 101 102 103 104 105 106 107 108 . . . 250
Termická účinnost nevratného Carnotova cyklu je menší, než termická účinnost vratného Carnotova
cyklu a platí vztah
 
 

C
Chladicí faktor Koeficient znásobení
COP ‐ Coefficient of performance
Obvykle 4 a více
ηt
TC
TH  TC
teplotě nižší  TH >TH*
● Přenos tepla z Carnotova cyklu při izotermickém ději 3*‐ 4*
Teplo se přenáší z místa o teplotě vyšší do místa o teplotě nižší  TC <TC*
Snižování teploty TH a zvyšování teploty TC způsobuje zmenšování termické účinnosti (termickou účinnost zmenšují i další nevratné děje).
TCTH
1
 chC 
Zavedeme dva nevratné děje do přímého
Carnotova cyklu:
● Přenos tepla do Carnotova cyklu při izotermickém ději 1*‐ 2*
Teplo se přenáší z místa o teplotě vyšší do místa o C
QH
Ao
Tepelný stroj je tím dokonalejší, čím bude menší rozdíl do účinnosti Carnotova cyklu
*C*H
T
T
1
t 
Qc
Vyjadřuje o kolik je cyklus méně účinnější než Carnotův cyklus
NEVRATNÝ
CARNOTŮV CYKLUS
Q
Ao
 1 C
QH
QH
 ch 
QC
T
1 C
QH
TH
*t
η
Tepelná čerpadla
t 
1
1 . . . 100 101 102 103 104 105 106 107 108 . . . 250
EFEKTIVITA CYKLŮ
efektivita 
CP  1
1 . . . 100 101 102 103 104 105 106 107 108 . . . 250
18
2.5.2012
NEVRATNÝ
CARNOTŮV CYKLUS
II. ZÁKON TERMODYNAMIKY
PRO DĚJE


 dQ = 0
0
s
d
1 . . . 109 110 111 112 113 114 115 116 117 . . . 250

0
S
d

C
 
ηt
TCTH
1
*C*H
T
T
1
C
*t
η
 
q
dT

II. zákon termodynamiky pro děje v tepelně izolované soustavě
kde teplo předávané mezi soustavou a okolím je nulové

s
d

kde dQ je teplo předávané při daném ději mezi soustavou a okolím
QT
d
S
d
II. zákon termodynamiky pro děje,

s
d

q
dT
0

q
dT

s
d
0
Odvození z Clausiova integrálu
kde
Princip vzrůstu entropie Tepelná smrt vesmíru
1 . . . 109 110 111 112 113 114 115 116 117 . . . 250
II. ZÁKON
TERMODYNAMIKY
II. ZTD
Horký zásobník
TH=T1
+QH
Horký zásobník
+QH
TH=T1
+A
PracovnÍ cyklus
Motor
+A
-QC
PracovnÍ cyklus
Motor
Chladný zásobník
TC=T4
© The McGraw-Hill Companies, Inc.,1998V
1 . . . 109 110 111 112 113 114 115 116 117 . . . 250
1 . . . 109 110 111 112 113 114 115 116 117 . . . 250
SLOVNÍ FORMY II.
ZÁKONA
TERMODYNAMIKY
II. ZTD
1 . . . 109 110 111 112 113 114 115 116 117 . . . 250
Rudolf Calusius
(1822‐1888)
Sadi Carnot
(1796‐1832)
Horký zásobník
TH=T1
TH=T1
Horký zásobník
-Ao
PracovnÍ cyklus
Tepelné
čerpadlo
-Ao
Q
PracovnÍ cyklus
ChladicÍ zařízení
QH
QH
TH=T1
QC
William Kelvin
(1824‐1907)
Horký zásobník
QC
● Neexistuje perpetuum mobile 2. druhu
● Nelze získávat ze soustavy neživých látek práci tím, že ji ochlazujeme pod teplotu nejchladnější látky v okolí (Kelvin)
● Teplo nemůže samovolně přecházet z tělesa o teplotě nižší na těleso o teplotě vyšší (Clausius)
● Nelze sestrojit periodicky pracující stroj, který by odebíral teplo ze zásobníku a konal tomuto teplu ekvivalentní práci  Nutné 2 zásobníky tepla (Kelvin ‐ Planck)
● Ideální oběh s největší účinností mezi dvěma teplotami je Carnotův oběh. Maximální účinnost tohoto oběhu závisí jen na teplotě a nezávisí na pracovní látce. Skládá se ze dvou izoterem a dvou adiabat.
Chladný zásobník
Chladný zásobník
Chladný zásobník
TC=T4
TC=T4
TC=T4
1 . . . 109 110 111 112 113 114 115 116 117 . . . 250
19
2.5.2012
II. ZTD
Horký zásobník
TH=T1
TH=T1
Brzda
+QH
Horký zásobník
+QH
KVALITA ENERGIE
+A
Chladný zásobník
TC=T4
1 . . . 109 110 111 112 113 114 115 116 117 . . . 250
1 . . . 118 119 120 121 122 123 124 125 126 . . . 250
EXERGETICKÁ
ÚČINNOST
PERPETUUM MOBILE
Prvního druhu:
T
II. zákon termodynamiky říká:
Nelze získávat ze soustavy neživých látek práci tím, že ji ochlazujeme pod teplotu T∞ nejchladnější látky v okolí.
• Dělá práci větší než přivedené teplo
• Vstupy nejsou rovny výstupům
• Porušuje I. Zákon termodynamiky
p1
1
qq1
12
e12
T
[J.kg‐1]

aoeH
e > t, Carnotův cyklus může mít až e=1
e lépe vyjadřuje využití zařízení než t
e vyžaduje oproti t navíc znalost T∞
e vyjadřuje ale stejnou skutečnost, jako t
ηe
Exergetická účinnost přímých cyklů je dána vztahem
1 . . . 109 110 111 112 113 114 115 116 117 . . . 250
s1
2
2

b12
b1
2
• Dělá práci rovnu přivedenému teplu
• Chybí chladný zásobník (ochlazení až
na absolutní nulu
• Porušuje II. zákon termodynamiky
s2
H
T
1
T
s
eH=a0+eC
a0
C
2
eC
b
s
1 . . . 118 119 120 121 122 123 124 125 126 . . . 250
VYUŽITÍ TEPELNÉ
ENERGIE
PERPETUUM MOBILE
Perpetuum mobile
prvního druhu

e1
q1
Anergie B [J], měrná anergie b
je nevyužitelná část energie a platí:
Druhého druhu:
p2
2
Exergie E [J], měrná exergie e [J.kg‐1]
je využitelná část energie ve formě tepla
Perpetuum mobile
druhého druhu
1 . . . 109 110 111 112 113 114 115 116 117 . . . 250
Reálný stroj

T
e  1  
TH


 qH


T
E   1  
TH

 
 QH

1 . . . 118 119 120 121 122 123 124 125 126 . . . 250
20
2.5.2012
III. ZÁKON
TERMODYNAMIKY
PRINCIP ČINNOSTI
SKUTEČNÉHO PÍSTOVÉHO
KOMPRESORU
Planck (1912)
Absolutní entropie každé kondenzované chemicky čisté látky má při 0 K nulovou hodnotu.
Matematický zápis:

VZ = V1‐V3
V41= V4‐V1
O = V3/VZ
poměrná velikost škodného prostoru
zdvihový objem





 

n
1



2
p p1
V4VZ ε0




V4VZ
1 . . . 118 119 120 121 122 123 124 125 126 . . . 250



 
ε0
1
Konečným počtem dějů nelze dosáhnout 0 K. V roce 1990 bylo dosaženo 8.10‐10 K.
 
n
Pozn.:
 ︶
V4
V praxi bývá S = 0 při t = 0 °C a pro t < 0 °C je S < 0.



p1
Pozn.:
︵
2
O
V4V3 η

III. ZÁKON TERMODYNAMIKY
Entropie čistých krystalických látek při 0 K je nulová.

1
ε0 Z 1
V
2
p p1 1n
1

p
VZ
Z
0
1 Z V4V 0 ε
ε 1
V4V
Ukázalo se, že to platí jen pro krystalické čisté látky a nikoliv pro amorfní látky nebo slitiny. Krystalické látky mají totiž atomy uspořádané, a proto jejich entropie může být menší nebo až nulová.
(V41 < VZ)
nasávaný objem Objemová účinnost ηO
Pozn.:
0
T

0
Kompresory se škodným prostorem
S
m
i
l
Nernstův tepelný teorém (1906)
Změna entropie čistých látek se s klesající teplotou blíží k nule.



O klesá s rostoucím tlakovým poměrem p2 / p1
1 . . . 118 119 120 121 122 123 124 125 126 . . . 250
TŘI ZÁKONY
TERMODYNAMIKY
KOMPRESORY SE
ŠKODNÝM PROSTOREM
T1




p2p1
T2
Teplota po kompresi (z rovnice polytropy)





Walther Hermann Nernst (1864 ‐ 1941)
 p2 
T
 n 1
  2 ,max    P max
p 
T
 1  max  1 
2-STUPŇOVÁ
KOMPRESE
p
3



 
 

p2pX







1
n
n

1




X
1
s

 
 

T
r
m
1
n

1

n
2T
pxp1
p1
1
n
n
Teoretický příkon pro oba stupně
2n
1




V
1

1
p2
2
T
r
m
1
n
1 . . . 118 119 120 121 122 123 124 125 126 . . . 250
 T



4
P  At not
P
p2p1




  mnot
m
n



1
n
n

p2p1

  
 

1
V1
p1
1
n

n
P
Pro polytropický děj


  
 

1
κ
κ

p1
V  Vnot
1
V1
p1
1
κ
κ
P
Pro adiabatický děj
px
2
1

1x 2 x
1
At
4 V

A4
A3
3
2


3.s‐1]
[W] je funkcí [m
p2
2
Ao
A2
A1
A0

n

VOLÍME VÍCESTUPŇOVOU KOMPRESI
Ideální 1‐stupňové kompresory jsou: ● Rotační kompresory
● Pístové kompresory bez škodného prostoru





1 . . . 118 119 120 121 122 123 124 125 126 . . . 250
IDEÁLNÍ 1-STUPŇOVÉ
KOMPRESORY
Práce kompresoru

● Z důvodu vysoké teploty po kompresi pro dané mazivo (mezní hodnoty pro kvalitní mazivo bývají 180 až 200 °C pozor nebezpečí vzplanutí oleje)
● Z důvodu klesající objemové účinnosti při vyšších tlakových poměrech p2 / p1
1 . . . 118 119 120 121 122 123 124 125 126 . . . 250
Příkon P






1
n
n
1





1
n
n
1

  
 


  
 

p2p1









1
n
n
p2p1

  
 

1
V4
p1
1
n
n
p2p1
V4
p1
1
n
n
P

1
V1
p1
1
n
n
P

1
n
n
Teoretický příkon kompresoru při polytropické kompresi a expanzi
„Není možné zvítězit, je možné pouze dosáhnout nerozhodného výsledku. Nerozhodného výsledku lze dosáhnout jedině za předpokladu absolutní nuly. Není možné dosáhnout absolutní nuly.“ 




1 . . . 118 119 120 121 122 123 124 125 126 . . . 250
21
2.5.2012
CYKLY SPALOVACÍCH
MOTORŮ
1
n
n

p2px



1
n
n
Z



pxp1
z-STUPŇOVÁ
KOMPRESE







T
m
m


Optimální tlakový poměr
2
1
p2p1

p2pX
pXp1
P 
T2
T1
p2
m
p1
2X
p

0

2

m

1
p
p2 m
X
m p p1
1
m
m1
pXp
pX
m
Zavedeme substituci m=(n‐1)/n, derivujeme Z dle pX a derivaci položíme rovnu nule
Zjednodušení zavedená u teoretických cyklů s ideálními plyny
p2 pY pX p1

Ý
N
Č
E
z
Í
C
A

N S
Op
pK
pXp1
P 
z‐STUPŇOVÁ KOMPRESE ‐ Tlakový poměr má být ve všech stupních stejný
s
● Množství a složení plynu v soustavě se nemění (uzavřená soustava)
● Cyklus probíhá s ideálními plyny, fyzikální vlastnosti (cp, cv, κ aj. ) jsou nezávislé na teplotě
● Hoření nahrazujeme přívodem tepla z okolí
● Výfuk nahrazujeme odvodem tepla do okolí
● Jednotlivé děje nahrazujeme vratnými termodynamickými ději, komprese a expanze bývají adiabatické (nebo technické polytropy)
1 . . . 127 128 129 130 131 132 133 134 135 . . . 250
1 . . . 127 128 129 130 131 132 133 134 135 . . . 250
z-STUPŇOVÁ
KOMPRESE
HISTORICKÝ VÝVOJ
n
Stanovení kompresního poměru
log
Stanovení počtu stupňů
z 
,
p2
p1
log  P max
z’ zaokrouhlíme nahoru a dostaneme z
P 
Vypočítáme skutečný kompresní poměr
Vypočítáme skutečný příkon kompresoru
 p2 
T
 n 1
  2 ,max    P max
p 
 1  max  T1 
z
p2
p1
  at 
P  m
 n 1

n
p  V   P n  1  z
n 1


Převzato z Autoexpert 9/2009
1 . . . 127 128 129 130 131 132 133 134 135 . . . 250
DIAGRAM SKUTEČNÉHO
KOMPRESORU
Tlakové diagramy skutečných pístových kompresorů lze získat snímáním tlaku ve válci a snímáním úhlu pootočení klikové hřídele (přepočítává se na objem plynu ve válci).
1 . . . 127 128 129 130 131 132 133 134 135 . . . 250
OTTŮV CYKLUS
● 4‐dobý motor
● 2‐dobý motor
0‐1‐2‐3‐4‐1‐0
1‐2‐3‐4‐1
Zdvihový objem
VZ = V1 ‐ V2
VK = V2
 = V1 / V2
Kompresní objem
Kompresní poměr

T1T2
︶
 
 ︶
4
1
1 . . . 127 128 129 130 131 132 133 134 135 . . . 250
︵
︵
 ︶

T T3
cVcV
mm
ηt
 
 ︵
T4
A0

 ︶
T1
C H
1 2
cVQ Q T T
m 1
T4T3
1
H
 ︵
QC η t
T2
T3 QC
cV
m QH
Q
Izochorický přívod i odvod tepla
4‐dobý


1 . . . 127 128 129 130 131 132 133 134 135 . . . 250
22
2.5.2012

T1T2 1
T3

4



κ
1
κ

 

v3v4
1
κ
v2v1







 
BRAYTONŮV CYKLUS
a pak lze psát

ε
,
κ
f

v2v1


  

ηt
 
  
 

 

1

T1T2
 

 
 
T1T2
1
ηt
1
1
κ
1
T3T2 3 2 1 ε
TT
T1T2
1
1
ηt
T1/T2 = T4/T3, viz důkaz:


T1T2
 
 1. člen čitatele vynásobíme T3/T3



T4T3 T
1
1
-
ηt
 pokrátíme zlomek teplotou T2
T3T2T3T2
T4T3
1
OTTŮV CYKLUS
Ve vzorci pro termickou účinnost


t lze zvyšovat kompresním poměrem
1 . . . 127 128 129 130 131 132 133 134 135 . . . 250
SKUTEČNÉ CYKLY
SPALOVACÍCH MOTORŮ
Motor Škoda 1.4 MPI
1 . . . 136 137 138 139 140 141 142 143 144 . . . 250
BRAYTONŮV CYKLUS
Tlakový poměr
Stupeň plnění
 T4

 1
 ︶
T T

 1 1  1
 ︶
T2  T3

 T  1
 2

︵
︵
p 
T1
 1  1 
T2
 p2 
 1

T1T2
1
 
 
 1  p
1 
 1
 1  
 
 1
1 

ε
,
κ
f
CYKLY PLYNOVÝCH
TURBÍN

ηt
t  1    p 
1 . . . 127 128 129 130 131 132 133 134 135 . . . 250
 = V1 / V2
 P= p2 / p1
 = V3 / V2
Kompresní poměr
T4T3
cpcP
m m
1
QCQH
ηt
t  1 
 ︶
 ︶
3
H
 
T2T4
T T1
cPcP
m m
Q QC
 ︵
 ︵


P

1 . . . 136 137 138 139 140 141 142 143 144 . . . 250
BRAYTONŮV CYKLUS
- ÚČINNOST
Plynové turbíny se používají pro větší výkony. Rozlišujeme:
● Plynové turbíny se spalováním za konstantního tlaku nahrazované Braytonovým
cyklem
George Brayton (1830 - 1892) americký strojní inženýr
● Plynové turbíny se spalováním za konstantního objemu nahrazované
Humphreyovým cyklem
Mikroturbína
1 . . . 127 128 129 130 131 132 133 134 135 . . . 250
Tlakový poměr v praxi mezi 5 až 20, jsme omezeni maximální teplotou cca Tmax=1600 K

pro max Ao
 Tmax  2  2

 Tmin 
P  
1 . . . 136 137 138 139 140 141 142 143 144 . . . 250
23
2.5.2012
HUMPHREYŮV
CYKLUS
KOMPRESNÍ FAKTOR
Z
pVm pv

RmT rT
lim Z  1
2

p 0
T
Ψ
,
ε
,
κ
f
ηt

 ︶
3
 ︵
V
H
11
Ψ
1
κ
︶

T
c
m
Q
4
κ
/
1
 
ψ
︵
T
1
 ︶
P

T
c
m
 ︶
 ︵
κε
1
.
.
.
︶
C
T1T2
T4T3
H
cpcV
m m
 = V1 / V2
 = p3 / p2
︵
 
︵
1
1
ηt
 
QCQ
Stupeň zvýšení tlaku
Q
Kompresní poměr

Redukované veličiny
pR 
p
pkr
TR 
Se stejným kompresorem lze při izochorickém přívodu tepla dosáhnout vyšší teplotu T3 než u Braytonova cyklu a následně větší práci cyklu.
︵
T
Tkr
︶
1 . . . 136 137 138 139 140 141 142 143 144 . . . 250
POROVNÁNÍ CYKLŮ
PLYNOVÝCH TURBÍN S
CARNOTOVÝM CYKLEM
Kritický bod je bod na fázovém diagramu, který zakončuje křivku
vypařování. Tento bod určuje kritický stav látky. Stavové
veličiny pkr, Tkr a Vkr v tomto bodě se nazývají kritický tlak, kritická
teplota a kritický objem. Plyn, který má teplotu vyšší než je kritická
teplota, nelze žádným stlačováním zkapalnit.
1 . . . 136 137 138 139 140 141 142 143 144 . . . 250
TERMODYNAMICKÉ
PLOCHY PLYNŮ V
SOŘADNICÍCH p-v-T
● Rovnice ideálních plynů ‐ neuvažují fázovou přeměnu
● Rovnice van der Waalse ‐ uvažují fázovou přeměnu, ale nepřesně (vyskytují se zde i záporné tlaky)
● Humphreyův cyklus má při stejném  větší t než Braytonův cyklus, ale vyžaduje složitější zařízení a prakticky se nepoužívá.
● Carnotův cyklus má při stejných extrémních teplotách vždy největší termickou
účinnost t
1 . . . 136 137 138 139 140 141 142 143 144 . . . 250
IDEÁLNÍ PLYN
Zjednodušující předpoklady:
• Molekuly mají stejnou hmotnost, kulový tvar a stejný poloměr
• Objem molekul je zanedbatelný vůči celkovému objemu plynu
• Povrch molekul je dokonale hladký a molekuly jsou dokonale pružné
• Mezi srážkami na sebe molekuly silově nepůsobí (konají rovnoměrný přímočarý pohyb)
• Vnitřní energie U je pouze funkcí teploty U=f(T)
● Rovnice reálných látek ‐ jsou přesné (pevná fáze je hustší než kapalná)
● Rovnice pro H2O ‐ jsou nejpřesnější, jelikož H2O je nejpoužívanější (pevná fáze je řidší, než kapalná)
1 . . . 136 137 138 139 140 141 142 143 144 . . . 250
SMĚS VZDUCHU A
PALIVA A VÝFUKOVÉ
PLYNY JAKO REÁLNÝ
PLYN
Reálný plyn se chová téměř jako ideálná v případě dostatečně vysokých teplot a nízkých tlaků
tj. model je platný přibližně pro řídké plyny za normálních termodynamických podmínek
Kompresní faktor
Z
pVm pv

RmT rT
1 . . . 136 137 138 139 140 141 142 143 144 . . . 250
rsměsi = 274,7 J/kgK
rspalin = 289,1 J/kgK
 = 1,321
 = 1,277
1 . . . 136 137 138 139 140 141 142 143 144 . . . 250
Procedure CpKoeficient(fi,psi,y,d,gr,T:double;var rp1,rp2:double;var ac:matcp);
{procedura pro vypocet koeficientu polynomu vypoctu Cp
fi ......... =1/lamda (smesovaci pomer)
psi ........ mol. pomer N/O vzduchu
y .......... mol. pomer H/C paliva
d .......... merna vlhkost vzduchu
gr ......... mol. pomer obsahu residui v cerstve smesi
t .......... teplota vyfukovych plynu [K]
(nutne pro bohate smesi‐ vliv obsahu CO)
rp1 ........ plynova konstanta cerstve smesi [kJ/kg/K]
rp2 ........ plynova konstanta spalin [kJ/kg/K]
ac ......... koeficienty polynomu pro vypocet cp [kJ/kg/K] }
Function Fcp(t:double;k:integer):double; {vypocet merneho tepla Cp }
Begin
T:=t/1000.0;
cp:=t*(ac[6,k]+t*ac[7,k]);
cp:=t*(ac[5,k]+cp);
cp:=t*(ac[4,k]+cp);
cp:=t*(ac[3,k]+cp);
cp:=t*(ac[2,k]+cp);
cp:=t*(ac[1,k]+cp);
Result := (ac[0,k]+cp);
End;
24
2.5.2012
p-T DIAGRAM
ZMĚNY SKUPENSTVÍ
plyn
vypařování
var
sublimace
pevná látka
desublimace
kapalnění
tuhnutí
tání
kapalina
pk = 22,06 MPa tk = 373,95 °C vk = 0,003106 m3/kg
1 . . . 145 146 147 148 149 150 151 152 153 . . . 250
1 . . . 145 146 147 148 149 150 151 152 153 . . . 250
OHŘEV LÁTKY PŘI
KONSTANTNÍM TLAKU
ANOMÁLIE VODY
Izobarické vypařování je také izotermické
‘ Sytá kapalina
” Sytá pára
Největší hustotu má voda o teplotě 4 °C (přesně 3,98 °C)
• Ve velkých rybnících a jezerech má voda u dna tuto teplotu v zimě i v létě
x
• Umožňuje proto rybám i dalším vodním živočichům přežít mrazy i horka


• To ovšem neplatí pro vodu při teplotě od 0°C do 4°C.
• Tuto výjimku nazýváme TEPLOTNÍ ANOMÁLIE VODY
•
mm
Suchost páry
• Roste‐li teplota kapaliny, její hustota se zmenšuje
y




Rybník v létě

1 . . . 145 146 147 148 149 150 151 152 153 . . . 250
t23
x
m
-m 1
m
y
mm
Vlhkost páry
Rybník v zimě
1 . . . 145 146 147 148 149 150 151 152 153 . . . 250
POUŽITÍ TABULEK A
DIAGRAMŮ
T23 TEPLOTA
VARU
Stavové rovnice par jsou složité proto se používají se tabulky a diagramy.
Teplota varu ‐ je funkcí tlaku Papinův hrnec
Var ve velkých nadmořských výškách
h = 8000 m
p = pN/3 = 34 kPa
T23 = 70 °C
Používané parní tabulky
● Syté páry a syté kapaliny
(mapují jen hodnoty ‘ a “)
● Přehřáté páry
(mapují plochu přehřáté páry) Používané parní diagramy
● p‐v diagram
● T‐s diagram
● h‐s diagram
● ale i p‐t, p‐h, T‐h diagram aj.
VÝCHOZÍ VELIČINY pro konstrukci tabulek a diagramů:
● Naměřené veličiny p‐T‐v (včetně stavů syté kapaliny a syté páry)
● Naměřená závislost cp = f (T, p) včetně l23
CÍLOVÉ VELIČINY pro p‐T:
v, h, u, s
1 . . . 145 146 147 148 149 150 151 152 153 . . . 250
1 . . . 145 146 147 148 149 150 151 152 153 . . . 250
25
2.5.2012
STAVOVÉ (ENERGETICKÉ)
VELIČINY MOKRÉ PÁRY
h-s DIAGRAM PÁRY
Izobary v oblasti mokré páry nejsou rovnoběžné.
Vychází se ze syté kapaliny (1 apostrof ’ ) a syté páry (2 apostrofy “ )

V místě, kde jsou izotermy rovnoběžné s izoentalpami, je možné použít stavovou rovnici ideálního plynu.

v
x
v


S
 

S x

SX 1


v
mm



U
  

v
 H'  H''
U
X
Um m
 
H
vX

Xv
m


m
vX

V v
V
VX m
Veličiny V, H, U, S jsou aditivní a platí:

Po úpravách platí:
v
v
x
v
vX
 ︶
︶
'
h
'
h
x
  ︵
h  h' ︵
  ︵
u
u
x
 ︶
 ︶
s
s
x
u s
uXsX
X
  ︵
Stavy mokré páry lze snadno a přesně počítat z tabulek syté kapaliny a syté páry, které nejsou rozsáhlé, jelikož ︵
︶
mapují jen hodnoty ‘ a “. Používají se přitom:
● Uvedené rovnice přímek ● Interpolace v tabulkách
Pro H2O se v používá pouze výřez diagramu (část vlevo nahoře není užitečná), mokrá pára se počítá z tab. syté páry a kapaliny
1 . . . 145 146 147 148 149 150 151 152 153 . . . 250
1 . . . 154 155 156 157 158 159 160 161 162 . . . 250
VODNÍ PÁRA =
REALNÝ PLYN
p-v DIAGRAM PÁRY
T kr
Izobarický var a‐b je také děj izotermický
x=0
b
p
Z
p
T
mokrá pára
Mokrá pára je směs syté kapaliny a syté páry
a
Vodní pára je reálný plyn ve stavu blízkém zkapalnění.
v
nedokonalý plyn
kr 
pára
p
kapalina
x=0 dolní mezní křivka
se stavy syté kapaliny označované jedním apostrofem ‘
x=1 horní mezní křivka
se stavy syté páry označované dvěma apostrofy “
x=0,8
x=1
v
1 . . . 145 146 147 148 149 150 151 152 153 . . . 250
1 . . . 154 155 156 157 158 159 160 161 162 . . . 250
VÝPOČTY S VODNÍ
PÁROU
T-s DIAGRAM PÁRY
Izobary v oblasti mokré páry jsou rovnoběžné.

T
V místě, kde jsou izotermy rovnoběžné s izoentalpami, je možné použít stavovou rovnici ideálního plynu.
Plocha pod izobarou a‐b je měrné výparné kr
T kr
kapalina
a
pára
b
teplo l23 [J.kg‐1]
● pro Tkr je nulové
x=0
1 . . . 145 146 147 148 149 150 151 152 153 . . . 250
p
v
mokrá
pára
x=0,8
p
Ideální plyn:
1. Stavová rovnice
2. Vztahy mezi p‐V‐T
3. I. Zákon termodynamiky
4. II. Zákon termodynamiky
Z
T
● mění se s teplotou
plyn
hi
x=1
s
Vodní pára (reálný plyn):
1. Tabulky syté kapaliny a syté
2. Diagram h‐s vodní páry
3. I. Zákon termodynamiky
q12=u12+a12 q12=h12+at12
4. II. Zákon termodynamiky
s12=q12/T
5. Definiční vztah entalpie
h=u+p.v
6. Musíme počítat v měrných veličinách: v, h, u, s, a, at až výsledky přepočítáme na V, H, U, S, A, At
1 . . . 154 155 156 157 158 159 160 161 162 . . . 250
26
2.5.2012
IZOCHORICKÝ DĚJ
PÁRY
0

1

v
d
p
2
2
a1

u1
p1 2
u
p2 2
1
v q
p
d u
v d
2 1
a
d
2
1 u
d
at
v = konst., dv = 0 (tlakové nádoby, uzavřené soustavy)
︵
q
d
 




2
h 
v
p2
u2
IZOBARICKÝ DĚJ
PÁRY
1
TABULKY SYTÉ
KAPALINY A SYTÉ

2
0
p
d
v
1 . . . 154 155 156 157 158 159 160 161 162 . . . 250

1
 
2
1
at
1 . . . 154 155 156 157 158 159 160 161 162 . . . 250

v
p1
u1
h 
 ︶
2

h
d
q
d

︶

h h
1

︵
2

v1
2
1
2 q
v
p
h
v d
d
p at
2 1d
a1
p = konst., dp = 0 (výměníky tepla, vypařování) Pavelek, M. a kol.: Termomechanika. Skripta. VUT Brno 2003
1 . . . 154 155 156 157 158 159 160 161 162 . . . 250
ŘEŠENÍ STAVŮ VODNÍ
PÁRY NA POČÍTAČÍCH
1 . . . 154 155 156 157 158 159 160 161 162 . . . 250
IZOTERMICKÝ DĚJ
PÁRY
T = konst., dT = 0
Výpočtové rutiny IAPWS (jsou psané ve Fortranu ‐ lze je přepsat do svých programů, nejsou však ošetřené vůči omylům při zadávání ‐ počítají pak nesmyslné hodnoty)
Interaktivní grafický software (slouží k výpočtům stavů a základních termodynamických dějů vodní páry, pracuje na principu interpolace, lze jej rozšířit pro výpočty jiných látek)
h 
 ︵
 ︶
 h︶
 ︶
2

︵

u1

︵

1

s1

s2 h2 u v22
p
T
2
2
1
2
s q1 q
d
2
T
2
1
at
a1 u 2
1


2


2
q1 at a v1
d d
p1
i u
q
1
d Td d
q
s d q u1
d
d

h 
1 . . . 154 155 156 157 158 159 160 161 162 . . . 250
1 . . . 154 155 156 157 158 159 160 161 162 . . . 250
27
2.5.2012
IZOENTROPICKÝ DĚJ
PÁRY
PARNÍ STROJ
2
0
q1

u1
 ︶
v2
2
2p 2
2
h 
 h︶
1
︵

h2u
︵

2
1
h 
1a1
at
u2


ata v1
d d p
1


h u
d d
d
q
d q u1
ds = 0, dq = 0, adiabatický děj bez tření je vratný
izoentropický děj (teoretické řešení komprese, expanze) 1 . . . 163 164 165 166 167 168 169 170 171 . . . 250
1 . . . 163 164 165 166 167 168 169 170 171 . . . 250
ADIABATICKÝ DĚJ
PÁRY
p
kr
1
PAROSTROJNÍ
ZAŘIZENÍ
Parostrojní zařízení (parní turbína s příslušenstvím) se používá v tepelných a jaderných elektrárnách pro pohon elektrického generátoru. Jedná se o velké stacionární turbíny pro velké výkony, u kterých je pro nás významné i nepatrné zvýšení účinnosti. Pracovní látkou je H2O. p1
T1
x2
s
T2
2
a 12
x=0
v1
Vlastní cyklus je principiálně nezávislý na zdroji tepla, kterým může být kotel na pevná (uhlí, biomasa), kapalná či plynná paliva (zemní plyn, bioplyn) nebo jaderný reaktor.
2* p2
x=1
v2
Vynalezena roku 1884 Sirem Charlesem Parsonsem
v
*
u2
u1
*
*2
a1
2
Ř
qT
*2
q1

1
*2
1
at
dqOK = 0, qTŘ > 0, adiabatický děj se třením je nevratný  h h
 
děj (s2* > s1)  plocha pod křivkou 1‐2*
Termodynamická účinnost expanze
1

1
h
h
* 2
h2h
--

1 . . . 163 164 165 166 167 168 169 170 171 . . . 250
1
*2 2
1 t
a1
at

x
E
-
d
ηt
IZOENTALPICKÝ DĚJ
PÁRY
1 . . . 163 164 165 166 167 168 169 170 171 . . . 250
LAVALOVA TURBÍNA
Zakladatel Švédské firmy
Alfa Laval AB
http://www.alfalaval.com/
h = konst., dh = 0 je nevratný děj, používá se pro řešení adiabatického ŠKRCENÍ par:
● ve ventilech při regulaci, ● v odpařovacích chladicích zřízeních
2
h h
1
2
1 . . . 163 164 165 166 167 168 169 170 171 . . . 250

H
H1
Smysl má počáteční a konečný stav.
Gustaf de Laval
1875 - 1913
1888
30000 ot/min
1 . . . 163 164 165 166 167 168 169 170 171 . . . 250
28
2.5.2012
CARNOTŮV CYKLUS
V OBLASTI MOKRÉ PÁRY
VLIV SNIŽOVÁNÍ
TLAKU V
KONDENZÁTORU
H
2
s4 s q
 ︶
 ︶
C
 
s1 s3 q
TCTH
1
ηt
︵
c
ηt
1 . . . 163 164 165 166 167 168 169 170 171 . . . 250
TH TC 1
qH qC
︵
T Turbína
C Kondenzátor
NČ Napájecí čerpadlo
K Kotel
G Generátor


1 . . . 172 173 174 175 176 177 178 179 180 . . . 250
RANKINEŮV-CLAUSIŮV CYKLUS
S PŘEHŘEVEM PÁRY
CHLAZENÍ
Chlazení lze provádět:
● Chladnější látkou v chladičích (termodynamický děj)
● Pomocí strojního hladicího zařízení kompresorového či ejektorového (tepelný cyklus)
● Pomocí absorpčního chladicího zařízení (tepelný cyklus)
● Dalšími způsoby
4
2
qC
1 Ostrá pára 500‐550 °C 13‐15 MPa
 h )   h4  h5 
h  h5
1
aO ︵

qH
Vhodná chladiva: NH3, CO2, R134a, 407c, 410a, 600a, (11, 12, 22) … 2

2 h1
 h  h aN  v  ( p4  p5 )
1
 aN
h h
5
h h
1
qH
aT
ηt

qH
Ekonomizér
Kotel
Přehřívák
aT
E
K
P
Cykly chladicích zařízení jsou obrácené, při nichž se práce spotřebovává. Jsou provozovány s chladivy, nejčastěji v oblasti par, kde se využívá teplo fázové přeměny.
1 . . . 163 164 165 166 167 168 169 170 171 . . . 250
1 . . . 172 173 174 175 176 177 178 179 180 . . . 250
KOMPRESOROVÉ
CHLADICÍ ZAŘÍZENÍ
ODPAŘOVACÍ
REÁLNÝ RANKINEŮVCLAUSIŮV CYKLUS
(a) Skutečný Rankinův‐Clausiův oběh zahrnující nevratnost dějů a tlakové a tepelné ztráty
(b) Pouze nevratnost dějů v napájecím čerpadle a turbíně
TX
TY
je teplota ochlazované látky
je teplota okolního prostředí
Teplo se předává izobaricky (v oblasti páry) a platí:
3
1
4
h h h h
1
2
3
h h
qC
qH
dq =dh ‐ v.dp = dh
ch ‐ chladicí faktor ro ideální cyklus chladicího
zřízení
1
h h
h h
3

2

1
qC
qC
qH
 ch 
1 . . . 163 164 165 166 167 168 169 170 171 . . . 250
1 . . . 172 173 174 175 176 177 178 179 180 . . . 250
29
2.5.2012
KOMPRESOROVÉ TEPELNÉ
ČERPADLO ODPAŘOVACÍ
TX
TY
je teplota z nízkopotenciálního zdroje
je teplota okolního prostředí
Teplo se předává izobaricky (v oblasti páry) ν
1
4
1
h h h h
O. Reynolds
1842‐1912 3
qC
3
h h


Re je bezrozměrná rychlost
a platí:
2
qH
dq =dh ‐ v.dp = dh
e
R
Reynoldsovo číslo
w [m.s‐1] rychlost L [m]
charakteristický rozměr
 [m2s‐1] kinematická viskozita
Může mít stejné uspořádání a stejný cyklus jako chladicí zařízení, ale
L
w
BEZROZMĚRNÁ RYCHLOST
3
1
h h
h h
2


2
t 
qC
qH
qH
top ‐ topný faktor pro ideální cyklus tepelného čerpadla
1 . . . 172 173 174 175 176 177 178 179 180 . . . 250
1 . . . 172 173 174 175 176 177 178 179 180 . . . 250
1-ROZMĚRNÉ
ADIABATICKÉ
PROUDĚNÍ
POHYBOVÁ ROVNICE
z
Výsledná síla je dána součtem všech sil:
S + dS
Síly na element
 
p+dp
w+dw
p
w
x

dx
x
Výsledná síla způsobí zrychlení V této kapitole se zaměříme na proudění bez přenosu tepla, které řešíme jako adiabatickou expanzi.
dw/d
w = f (x,) Řešení vychází ze tří rovnic:
● Rovnice kontinuity
● Rovnice pohybové
● Rovnice energetické




p
d
v






Síly na válcový povrch


︶
︵

 


Výsledná síla je:
Rovnice pohybová
pro 1D proudění


Po dosazení bude:
1 . . . 172 173 174 175 176 177 178 179 180 . . . 250

















stacionární
Bernoulliho rovnice pro stlačitelné tekutiny
1 . . . 172 173 174 175 176 177 178 179 180 . . . 250
ROVNICE
KONTINUITY
ENERGETICKÁ
ROVNICE
Dynamická mezní vrstva
Přechodná
w


p
d
v
h
d

at
d
h
d
Turbulentní
Laminární
Turbulentní
Proudění lze nejlépe řešit z I. zákona termodynamiky pro otevřenou termodynamickou soustavu
q
d
Rozlišujeme proudění ● Laminární
Rychlostní profily v kanále
● Turbulentní
Laminární
S
w
S
d
Sp 2
dd
w
2 S
wx
/
p
d
d p
w
w
d dw
p S
x
d
d dw d
d
p
x
d p d
x
S S d
S
d
d d
S
S ρ d
w
1v
p
S
w
S
p
dd x
p p
d
d d
S
m d
d wx
S
p p
2
p
d w
w2
S S
S d
p p
d
Proudění plynů a par  v potrubích
 ve zužujících se dýzách
 v Lavalových dýzách
vyskytujících se v lopatkových strojích apod. lze považovat za jednorozměrné. Pak nás zajímají jen střední rychlosti proudění v průtokových průřezech.  



p
d
v
h
d
x
at
d
Laminární
podvrstva
w
w
h
d
0
Proudění považujeme za adiabatickou expanzi, pro kterou platí
 

 S w   
1 . . . 172 173 174 175 176 177 178 179 180 . . . 250
m

 [kg.s‐1]
w [m.s‐1]
S [m2]
.
t
s
n
o
k
m
 
w
v
S
O laminárním či turbulentním proudění rozhoduje Reynoldsovo číslo.
Rovnice kontinuity pro stlačitelné tekutiny
h
d 2
h
w2
d
p d
d
h
at
d
d v
Rovnice energetická pro proudění má tudíž tvar
Řešení proudění vyžaduje často spojení rovnic
hmotnostní tok
střední rychlost
průřez
pohybové
energetické
–v dp = d(w2/2)
–v dp = –dh
 



1 . . . 172 173 174 175 176 177 178 179 180 . . . 250
30
2.5.2012
CELKOVÉ
PARAMETRY PROUDU
ZUŽUJÍCÍ SE DÝZA
 
  




p1v1
2


Ψ
S
1
κ




1
κ
κ

  
 



1
κ
κ

2κ
κ



1
κ
κ
p p1


 


p p1
1
v1
p1
1
κ2κ
p p1



1κ
m




p p1
,
κ
f
Ψ



κ
1
κ


 
1
κ



K 
2
Provedeme‐li 1. derivaci funkce  dle p/p1 a položíme ji rovnu nule, dostaneme kritický tlakový poměr, při kterém je dosažena kritická rychlost wK
pKp1





1 . . . 181 182 183 184 185 186 187 188 189 . . . 250
MĚŘENÍ TEPLOTY
PROUDU
ZUŽUJÍCÍ SE DÝZA –
IZOENTALPICKÝ SPÁD
w2
w2
4  w2
TD 
TD 
2 cp
2 cp
2 cp
w 2
TC  TS 
TS  TC  4  TD
2 cp
w2
TC  Tt   1    
2 cp
Restituční koeficient 0,8‐0,95 určuje se cejchováním a závisí na zabudování a Machově čísle

Při proudění plynů nebo par konvergentní tryskou lze
maximálně využít adiabatický spád daný rozdílem entalpii
mezi body 1 a K (dosáhne rychlostí wk) a zbytek
neužitečného adiabatického spádu se ztratí volnou
expanzi plynu do okolí za ústím trysky.
1 . . . 181 182 183 184 185 186 187 188 189 . . . 250
1 . . . 181 182 183 184 185 186 187 188 189 . . . 250
1
κ


 

p1pk
wk



1κ



 kde

vKv1




1
κ
1
vkv1 2
κ
vk
pk


vk
pk
p1pk



v1 1
p1 κ
κ






 



Dále převedeme parametry p1v1 na pkvk v místě
vk
pk

 



κk
v
pk
κ








κ

1
2
κ

K 
pKp1
kde
2
-1
1
κ
κ
1
v1
p
1
κ2κ
1
κ


 




1
κ
κ
1
κκ
k

v
p
κ

1
1
v1 v1 v1
p1 p p
κ1
2κ
w




2
k

  
 

pkp1
w
1
v1
p1
κ1
2κ









  
 

1
κ
κ

k
1 . . . 181 182 183 184 185 186 187 188 189 . . . 250

Kritickou rychlost dostaneme pro kritický tlakový poměr
w
Do rovnice zavedeme a dostaneme …



p1p




v1
v
p p1
1
κ
κ
1
v1
p1
1
κ2κ
m
Sv








1κ
Rychlost w dosadíme do rovnice kontinuity a dostaneme p p1

1
v1
p1
1
κ2κ
︶
at
2
h
h1
2
w
︵

 
 

1
κ
κ
Pro w1 = 0 a adiabatický děj ideálního plynu je 
Lze dokázat, že kritická rychlost wK je rychlost zvuku a.
1
v1
p1
κ1
2κ

︶
h 
2
 ︵
w1
2
w
2
2
1

h1
w1
2
w
Po integraci od průřezu S1 do průřezu S bude

RYCHLOST ZVUKU
a

h
d
at
d
Spojená pohybová a energetická rovnice má tvar
2
w2
d
ZUŽUJÍCÍ SE DÝZA
h h 
h
h
TC  TS 
 



p p1
 
1 . . . 181 182 183 184 185 186 187 188 189 . . . 250

  
 


2κ

p p1

v0
ρ0



1
κ
κ
T
T0

κ



v0v



p p0

 

1
κκ
p p0
T T0
Klidový tlak, měrný objem a hustotu ideálního plynu vypočteme ze vztahů:

 
kde  je výtoková funkce, pro kterou platí
2 cp
2
w2w2
1
0
h h
Pro klidovou entalpii platí:
Pro klidovou teplotu ideálního plynu platí:

Ψ
0
 h︶ 
20
h
Po integraci bude ︵
w

Rovnici kontinuity můžeme nyní psát ve tvaru
S v1
h
d

Spojená pohybová a energetická rovnice má tvar
w
2
w2 2
d 2
Celkové parametry proudu (klidové) jsou parametry stojící tekutiny (adiabaticky zabrzděné tekutiny). Označují se obvykle indexem „0“
1 . . . 181 182 183 184 185 186 187 188 189 . . . 250
31
2.5.2012
Tabulka chování dýzy
a
Rychlost objektu
Rychlost zvuku
Prof. Dr. ERNST MACH
 18. 2. 1838
Brno‐Chrlice , ČR
 9. 2. 1916
Harr, Německo
1 . . . 181 182 183 184 185 186 187 188 189 . . . 250
κ
1
κ
1
2
κ
Ma > 1
w>a
dp > 0
dw < 0
dp < 0
dw > 0
1 . . . 190 191 192 193 194 195 196 197 198 . . . 250
p
ad
w
ad
p
w
b) w1 < a1
wd = ad
c) w1 > a1
wd > ad
d) w1 > a1
wd = ad
CFD – APLIKACE
- EXPERIMENTY

2
h1
2
2
h1
K

 ︵
2



w
1 . . . 181 182 183 184 185 186 187 188 189 . . . 250
 ︵
2





w
 


1κ 1κ
p 2p Kv 2
p 1p 1w 2
2
v 1v 1S
v 2v 2m


w
Pro páru






 
Ma < 1
w<a
dS > 0
dp > 0
dw < 0
a) w1 < a1
wd < ad
 h︶
κ
1
κ
1
v1
p1
1
κ2κ
2
m

● Výpočet :
Pro ideální plyn
︶






K 
κ
1
κ
w
Oblast I
Oblast II
2
● Výpočet v2:
︶
 
  
︵
 

K 1
p2p1 p p
w
Oblast II kritické proudění
1
v1
p1
1
κ2κ
Pro ideální plyn
pKp1
VÝPOČET ZUŽUJÍCÍ
SE DÝZY
● Stanovení režimu proudění:
Pro p2 / p1 > k pk / p1 je podkritické proudění
Pro p2 / p1 < k pk / p1 je kritické proudění

w
ad
   p  v   r  T
 
  
 ︵ 
ad
p
dS < 0
dp < 0
dw > 0
w2

p
Oblast I podkritické proudění
D Kβ
g
t
D 22
L

wd ad
● Výpočet w2:
p2p1

w1
wa
a
M
p
p 2
dp dw
v
2
2
a
a
MM
w
κ dw

Čelo rázové vlny se šíří ve volném prostoru rychlostí zvuku a
Mach 


1
Závěr pro fyzikální úvahy
Při relativním pohybu tělesa vůči tekutině nadzvukovou rychlostí w vznikají rázové vlny.
S
dS
CHOVÁNÍ LAVALOVY
DÝZY


Délka:
1 . . . 190 191 192 193 194 195 196 197 198 . . . 250
RYCHLOST ZVUKU
MACHOVO ČÍSLO 


1κ
v2
2
2p 1
p
w2
S2



1

v
v

1
II
Ideální plyn p 2
Pára Z diagramu / tabulek
● Průřezy:
 
1 . . . 181 182 183 184 185 186 187 188 189 . . . 250

vK
2 II



wK
SK
m




κ
1
κ

K
II
at
K
● Objemy:
Plyn
I
v
p 2I
pk
k
V oblasti I je proudění podkritické
V oblasti II je proudění kritické (tekutina proudí na výstupu z dýzy rychlostí zvuku, signály se šíří též rychlostí zvuku, at je ztrátová práce)
Pára
p1
2I
K
1
w
0
2
p2p1
v2
2
w
,
1
1κ
K
v1
p1
p 1p
1
1
κ2κ
2 v1
2

1 p/p1
︶





 



  

︵︶ 
 


 ︵ h  h︶
 ︵ h h︶
w
pk/p1







  
κ
1
κ

 
  
︵
 
pKp1
Plyn
Výtoková funkce 
1
v1
p1
1
κ2κ
● Rychlosti:
1
2κ
● Kontrola nutnosti Lavalovy dýzy:
I
kr
p
pKp1
II
k
k
0,5457
0,5283
0,4881

w

1,3
1,4
1,66
● Pro p2 = p1, p2/p1 = 1
w2 = 0
● Pro pk < p2 < p1 (oblast I)
pk/p1 < p2/p1 < 1, w2 roste
● Pro p2 = pk, p2/p1 = pk/p1, w2 = wk
● Pro p2 < pk, (oblast II)
p2/p1 < pk/p1, w2 = wk
čárkovaná čára 1
κκ
VÝPOČET LAVALOVY
DÝZY
KRITICKÁ RYCHLOST
 h︶
Pro páru
Z diagramu / tab.
Z diagramu / tab.
1 . . . 190 191 192 193 194 195 196 197 198 . . . 250
32
2.5.2012
PŘENOS TEPLA –
SAMOSTATNÁ
DISCIPLÍNA
S
q
Q
Q
Podobný rozdíl jako v mechanice mezi dynamikou a kinematikou.
n
q
HUSTOTA TEPELNÉHO TOKU  [W.m‐2]

 
 

[m]
S [m2]
 [W.m‐1.K‐1]

 = f (T)
 = f (T,p)
1 . . . 190 191 192 193 194 195 196 197 198 . . . 250
TŘI ZPŮSOBY PŘENOSU TEPLA
● PŘENOS TEPLA VEDENÍM (KONDUKCÍ): Kinetická energie neuspořádaného pohybu molekul se předává srážkami na sousední molekuly, a tak se přenáší tepelná energie. Vedení je v pevných látkách, ale i v kapalinách a plynech (především při vyloučení proudění). Přenos tepla vedením zvyšují volné elektrony (ionty v tekutinách).
● PŘENOS TEPLA KONVEKCÍ (PROUDĚNÍM): Přemístěním molekul v prostoru v důsledku nuceného či přirozeného proudění se přenáší i jejich tepelná energie. Přenos tepla konvekcí tudíž probíhá v tekutinách (difúze v pevných látkách).
● PŘENOS TEPLA ZÁŘENÍM (RADIACÍ, SÁLÁNÍM): Každý objekt s T > 0 K vyzařuje fotony, které jsou nositeli energie včetně tepelné. Fotony se šíří v průteplivém prostředí rychlostí světla.



  

 
Tn
Q
MĚRNÉ TEPLO q [J.kg‐1]
T
d
a
r
g

TEPELNÝ TOK [W]
Tn
Nové pojmy:
Vektor grad T je dán vztahem n
TEPLO Q [J]

Tepelný tok při přenosu tepla vedením je definován FOURIEROVÝM ZÁKONEM
T
d
a
r
g
       τ
Známé pojmy:
T
d
a T
r
d
g
a
r
S g
λ
λ
- Q q
TEPELNÝ TOK
VEDENÍM
T+dT
jednotkový vektor normály k izotermické ploše (směřující do míst s vyššími teplotami)
izotermická plocha kolmá k tepelnému toku
S
součinitel tepelné vodivosti (lze najít pro různé látky v tabulkách)
je konstanta pro ideální plyny pro pevné látky a kapaliny
pro reálné plyny (kapaliny při p)
n
0
Q
T
1 . . . 190 191 192 193 194 195 196 197 198 . . . 250
SOUČINITEL TEPELNÉ
VODIVOSTI


Součinitel tepelné vodivosti plynů Součinitel tepelné vodivosti kapalin = 0 až 0,1 W.m‐1.K‐1
= 0 až 1 W.m‐1.K‐1
Tekuté kovy až 100x větší
 = 0 až 400 W.m‐1.K‐1
Součinitel tepelné vodivosti pevných látek
Čisté krystaly až 10 000
Elektrické vodiče mají  větší
1 . . . 190 191 192 193 194 195 196 197 198 . . . 250
ZÁVISLOST V ČASE
1 . . . 190 191 192 193 194 195 196 197 198 . . . 250
SOUČINITEL
TEPELNÉ VODIVOSTI
Rozlišujeme přenos tepla STACIONÁRNÍ a NESTACIONÁRNÍ
1 . . . 190 191 192 193 194 195 196 197 198 . . . 250
1 . . . 190 191 192 193 194 195 196 197 198 . . . 250
33
2.5.2012
OKRAJOVÉ
PODMÍNKY
DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE
VEDENÍ TEPLA
w

RK bývá tabelován 


Řešení této DR je přímka










2


x
2
1
TWTWT1
w

1


T T
Tw
dostaneme teplotní profil ve tvaru

Tw
T
Pro okrajové podmínky 1. druhu ,
w
0

w
z
,
yw
,
w
x
f
qw
.
t
s
n
o
k
qw
x x
kde konstanty a0, a1 získáme z okr. pod.
,
z
,
yw
,
w
x
f
Tw
● 1. druhu, Dirichletova ‐ Určuje rozložení teplot na povrchu tělesa (index w), a to v čase.
︶
︵
τ
Často je Tw = konst.
● 2. druhu, Neumannova ‐ Určuje rozložení hustot tepelného toku na povrchu tělesa v čase.
Často je
 
︶
 ︵
τ
T
Pro stacionární 1‐D vedení platí:

0 x
a1
2
T
2 z T 2
2 x
d d a0



2
T
2 y
︶

2
Tx


τ
2
ρ
λ
c
τ ︶ ︵
Vyjdeme z diferenciální rovnice vedení tepla
z
,
y
,
x
f
0
,
z
,
y
,
x
T
︵
STACIONÁRNÍ VEDENÍ
TEPLA ROVINNOU STĚNOU
NEBO TYČÍ
T
● Řešením DR přímých úloh je rozložení teplot v prostoru a čase za pomocí počátečních (u nestacionárních úloh) a okrajových podmínek.
● Řešením DR nepřímých úloh je určení okrajových podmínek (OP) ze známého rozložení teplot v různých časových úrovních.
1 . . . 199 200 201 202 203 204 205 206 207 . . . 250
2
1 . . . 199 200 201 202 203 204 205 206 207 . . . 250
POČÁTEČNÍ A OKRAJOVÉ
PODMÍNKY
POČÁTEČNÍ PODMÍNKA
1
● OP 5. druhu ‐ S fázovou přeměnou látky na povrchu
1 . . . 199 200 201 202 203 204 205 206 207 . . . 250
Určuje rozložení teplot na počátku děje pro  = 0.
Často je To = konst.
OKRAJOVÁ PODMÍNKA
2
2
je teplotová vodivost a platí definice
1
1

Tw
T w2
Platí pro homogenní tuhé látky s vnitřními zdroji (i tekutiny)
ρ
λ
c

 


kontaktní tepelný odpor
Závisí na drsnosti, materiálu, tlaku mezi tělesy a druhu plynu v kontaktu.
T w 1 = T w2
a


*ρ
Qc

2
Tz
2
2
Ty
2
2
Tx
a
2
T
dd
a [m2s‐1]


RK [m2.K.W‐1]
T w1
OBECNOU DR VEDENÍ TEPLA ‐ I. zákon termodynamiky

 ︶
 = f (x, y, z, T)
c = f (x, y, z, T)
Tw
qw
  ︵
w



1 RK
b) Nedokonalý styk těles
T2y

 

w
τ

 

λ2
-
1
λ
-

 

T1y
2
  
OKRAJOVÉ PODMÍNKY
● OP 4. druhu ‐ Ve styku dvou těles
a) Dokonalý styk těles
Pro izotropní látky jsou , c,  konstantní a dostaneme

 
τ

Tα
λ
Tw

U
d
Q
d
0
U
d
U
Ad
d
 = f (x, y, z, T)

T
dd
ρ
c
*
Q
kde

1 . . . 199 200 201 202 203 204 205 206 207 . . . 250
UQ
dd
Q Q1
dd
Tz
λ
z
Ty
λ
y
Tx
λ
x
           






           
T
Tw
α






Po dosazení za dQ1, dQ2, dU a pokrácení dx.dy.dz.d bude
I. zákon termodynamiky
 
   


w
τ
1 . . . 199 200 201 202 203 204 205 206 207 . . . 250
DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE
VEDENÍ TEPLA
y
/
︶

w

Ty

  ︵
   


R T
d
z
d
y
d
x
d
Tx
λ
x
x
d
Qx
d
x
-

x
d
Qx
d
Qx
d

   



   
Ty

-

λ
-
τ
Teplo [J], které zůstane v elementu v důsledku vedení ve směru x



,
d


x
d
Qx
d
x
z
d
y
d
 

 

 






qw

z
d
Qz
d
y
d

Tx x
Q
λ d
dQ x+dx dQ z

x
d
y

Qy
d
kde
x
d

dQ y+dy
Qx Qx
d d
x
Qx
d
dQ y
Teplo [J] z elementu odvedené
.
t
s
n
o
k
[W m ]

● 3. druhu, Newtonova ‐ Určuje rozložení součinitelů přestupu tepla na povrchu tělesa v čase.
︶
︵
τ
Často bývá  = konst.
Rozdíly mezi OP 2. druhu a 3. druhu
 
● U podmínky 2. druhu má T
čárkovaná tečna stále stejný sklon
● U podmínky 3. druhu  = konst. prochází Tw
čárkovaná tečna řídicím bodem R, viz důkaz:
z
,
yw
,
w
x
f
α

Qz
d
z dQ z+dz dQ x
-3
Q*
Qy
d
Teplo [J] do elementu přivedené
Qx
d
KARTÉZSKÝ SOUŘADNICOVÝ SYSTÉM

1 . . . 199 200 201 202 203 204 205 206 207 . . . 250
34
2.5.2012
STACIONÁRNÍ VEDENÍ TEPLA
ROVINNOU STĚNOU NEBO TYČÍ
ANALOGIE PŘI ŘEŠENÍ DR
VEDENÍ TEPLA
1

1

TW

2


Při tomto kratším odvození tepelného toku nezískáme bezprostředně informaci, že teplotní profil je přímka.
Poznatky z řešení elektrických obvodů můžeme využít při řešení složitějších úloh vedení tepla, a to skládáním jednodušších exaktních řešení DR
Tw 1
Rλ
1
Tw
2
2
λ1
1
1
n
,
n

i
1
i
λi
i

Tw Rλ

1
1
n
,
Tw
Tw

r2r1
2n
Tw l
λ1
1
π
Tw1 2
2



[K.m.W‐1] je dán vztahem



i
Tepelný odpor při vedení válcovou stěnou Ri




1
riri
n
l
λi
1π
2


1
n


1
i
R 2 Q L

n
 
1
T w3
,
λ
Tw R
Tepelný tok složenou válcovou stěnou na 1 m délky potrubí (tepelné odpory jsou řazeny sériově) je dán vztahem
Tw
1 . . . 199 200 201 202 203 204 205 206 207 . . . 250
Tw
R 1
Při tomto odvození nezískáme informaci o tvaru teplotního profilu.
 ︶
1
i
1
2
 ︶
T w2
︵
n
Tw
    ︵
Tw

Tw1
 
Tw3
r
 
L
π
2
λ

Tw2
Tw1
r1
r2
r3
1
i
riri Rλ
1
n
n l
,
Tw λi
1π
1
Tw 2
 
r2r1
n
l
Q
   

Tepelný tok jednoduchou válcovou stěnou na 1 m délky potrubí je dán vztahem
;
QL
Tr
dd
L
r
π
2
λ
-
︶

1
1
 ︶

T
d
L
π
2
λ
-

2
2
 ︵
︵

DR řešíme separací proměnných a dostaneme:
r
dr 2
Q Tw
Q
1
Twr1
2
Lr
n
λl
π
2


1
i
︶
Tr
dd
r
S
λ
-
Q
 ︵
 ︶



1 2r1
Twrn
l
λ1
π
2
︵
Kratší odvození tepelného toku lze provést přímo z Fourierova zákona
r


STACIONÁRNÍ VEDENÍ TEPLA
SLOŽENOU VÁLCOVOU
STĚNOU
QL
L
2
Tw
1r 1
Tw 2
r
λn
l
π
2
L
q

QL
L
r2



1 . . . 208 209 210 211 212 213 214 215 216 . . . 250
TEPLA VÁLCOVOU STĚNOU
Hustota tepelného toku je na vnitřním a vnějším povrchu trubky různá (viz obrázek), a proto definujeme
z

tepelný tok na 1 m délky trubky q [W.m‐1]
Tw1

T
︵
︶
w2
  

r
q 

λi
stěnou Ri [K.m2.W‐1] je dán vztahem
i
 ︶
︶

n
Tepelný odpor při vedení rovinnou 1
︶
1 . . . 199 200 201 202 203 204 205 206 207 . . . 250
1
Tw
︵
Tw
q
q
︶

i
  ︵
︵
︵

Hustota tepelného toku složenou rovinnou stěnou s n vrstvami (tepelné odpory jsou řazeny sériově) je dána vztahem

Rλ
Q

1
0
Q
      
a po úpravách


2
1

profilu dle r bude
Pro tepelný tok platí

r
1r1
n Tw
l
r2
1 1
2
Twr Tw
n
r2 l
1r
Twn
l
1r1
Tr w
2
r1 d d T r2Tw
n
2
l
n
1 1
Twl
1 1
r Twr
Twr
L
r2
r2
r Ln
2
Twn
π λl
l
2 π
λ 2
Tw
T
Derivace teplotního Pavelek, M. a kol.: Termomechanika. Skripta. VUT Brno 2003
Tw
a0a
2
W
r2
r1n
nl
l
a1a1
1
TWT
r1r2
rr
Hustota tepelného toku jednoduchou rovinnou stěnou je dána vztahem


 


 
Po výpočtu konstant a0, a1 bude mít teplotní profil tvar





︵
︶
︵
︶
Pro OP 1. druhu platí:
r
I
U1
TEPLA SLOŽENOU
ROVINNOU STĚNOU
Konstanty a0, a1 logaritmického teplotního profilu získáme z OP. q
U0
1 . . . 208 209 210 211 212 213 214 215 216 . . . 250
TEPLA VÁLCOVOU STĚNOU
Tw1
Tw2
r1
r2
L
R1
R2
R3
1 . . . 199 200 201 202 203 204 205 206 207 . . . 250
z
UR
Tw



TW
S
λ
-
1

1
TWx
2

2

TWx
S
λ
-
Tx
dd
S
λ
-
Q

I
q
1

Kratší odvození tepelného toku lze provést přímo z Fourierova zákona, kam dosadíme za dT a dx a dostaneme:

Mezi veličinami tepelnými a elektrickými existuje analogie, která nám můžeme pomoci při řešení úloh vedení tepla.
Pro vedení tepla platí Pro elektrické obvody  

Fourierův zákon
platí Ohmův zákon

Je zřejmé, že:
● Elektrický proud je analogický hustotě Zapojení sériové
tepelného toku
R1
R2
R3
I
● Napětí či rozdíl napětí je analogický rozdílu U
U
U1
U2
0
3
teplot
● Elektrický odpor R je analogický tepelnému Zapojení paralelní
odporu R =  / 
T
Δ
λ
Tw

2
q
Tw
λ

 


2

1
2

Tw

Tw
Tw
S
λ
Q

Tx
dd
1

Pro tepelný tok platí
  
x
Tw

2

1

Tw
Tw
T
Derivací uvedeného teplotního profilu dle souřadnice x dostaneme


1 . . . 208 209 210 211 212 213 214 215 216 . . . 250
35
2.5.2012
ZÁKLADNÍ TYPY
KONVEKCE
VÝZNAM PODOBNOSTI
Nucenou ‐ vyvozenou ventilátorem, kompresorem, větrem, čerpadlem
Přirozenou ‐ vyvozenou rozdílem hustot (v důsledku rozdílu teplot…)
1 . . . 208 209 210 211 212 213 214 215 216 . . . 250
1 . . . 208 209 210 211 212 213 214 215 216 . . . 250
1
LM
λM
L

 

L



W
 ︶
 
Ty
dd
λ
-
T
TW
︵


2
Ty
2
2
Tx
2
L
a
w
a
Ty

e
P



rychlost charakteristický rozměr
Pe je poměrem přenosu tepla prouděním a vedením při konvekci
teplotová vodivost
Výsledky řešeni DR nebo experimentů se vyjadřují prostřednictvím KRITERIÁLNÍCH ROVNIC
Obecná kriteriální rovnice pro ︶
︵
nucenou konvekci
jsou bezrozměrné souřadnice



L
z
 ν
 
ν
a

r
P
e
R

L
w

L
a
w
e
P
Rychlost je obsažena v Re a Pe, a proto je vhodné jedno z těchto kritérií vyloučit. Platí:
Z
L
y
Y
L
x
 = 2 500 ‐ 100 000 W.m‐2.K‐1
w [m.s‐1]
L [m]
a [m2s‐1]
X
Přirozená konvekce
Plyny
 = 2 ‐ 25 W.m‐2.K‐1
Kapaliny
 = 50 ‐ 1 000 W.m‐2.K‐1

 



Z
,
Y
,
X
,
e
P
,
u
E
,
e
R
f
u
N
Nehledá se v tabulkách


y
teplota povrchu
teplota tekutiny



PODOBNOSTNÍ ČÍSLO Z DR ENERGETICKÉ
Z levé strany rovnice a z pravé strany rovnice dostaneme Pecletovo číslo
x
︶
 
Součinitel přestupu tepla závisí na vlastnostech tekutiny, na tvaru obtékaného povrchu, na konkrétním místě na povrchu a především na rychlosti proudění.
1 . . . 208 209 210 211 212 213 214 215 216 . . . 250
vyjádření 
w
TW [K]
T [K]
T
  ︵
TW
α
q
T
TW
S
α
Q
Budeme se zabývat hlavně přestupem tepla, který je dán Newtonovým vztahem
součinitel přestupu tepla
W. Nusselt
1882‐1957
Nu je bezrozměrné w
Tx
PODOBNOST PŘI
NUCENÉ
︶
 

1 . . . 208 209 210 211 212 213 214 215 216 . . . 250
TEPELNÝ TOK PŘI
PŘESTUPU TEPLA MEZI
POVRCHEM A TEKUTINOU
 ︵
L D αλ
λ
αD
Zjednodušené odvození Nusseltova čísla z DR přestupu tepla
1 . . . 208 209 210 211 212 213 214 215 216 . . . 250
Konvekce s fázovou přeměnou
součinitel přestupu tepla
L [m]
charakteristický rozměr
 [W.m‐1K‐1] tepelná vodivost tekutiny

α
V obecném proudu v prostoru
Složité prostorové proudění
[W.m‐2K‐1]


u
N

plocha obtékaného povrchu

Podobný přestup tepla je pro  L /  stejné na modelu i díle. Tento podíl je označován jako Nusseltovo číslo
Ve volném proudu v prostoru
Volné hranice a míšení tekutiny
 [W.m‐2.K‐1]

M
cL λ α
cαc
D
f
e
w
Tok entalpie koridorem s pevnými hranicemi S [m2]
Po dosazení za měřítka dostaneme

1
T tek

M
   ︵
 ︶
    ︵
 ︶
    ︵
 ︶
LD
Tr
f
e
k
f Tr
e
e
Tr
Tt
k
e
k Ttcp
e
Tt pρ
c
cp ρ S
m V w
Q Q Q
Upravená rovnice pro dílo podělená rovnicí pro model má tvar
V potrubí (viz 1. zákon termodynamiky)

cT DLMλDλM
cα α α
PODOBNOST PŘI NUCENÉ
KONVEKCI
cTcL
cλ
TEPELNÝ TOK PŘI
PŘENOSU TEPLA
KONVEKCÍ

1 . . . 208 209 210 211 212 213 214 215 216 . . . 250
36
2.5.2012
PODOBNOST PŘI
PŘIROZENÉ KONVEKCI
PODOBNOST PŘI
NUCENÉ KONVEKCI
L
T T
Δ Δ 2
w
g g
px
r
1ρ A
2
wy
2
x
1 . . . 217 218 219 220 221 222 223 224 225 . . . 250
3
L
ν
Gr vyjadřuje vztah vztlakových, třecích a Výsledkem je Grashofovo číslo (F. Grashof 1826‐1893)
w = f (p), p = f (w) z dalších úvah lze vynechat Eulerovo číslo, jelikož Eu = f (Re)
ν
Archimédes 287‐212 př.n.l.
2

T

γ
Tw
γ
γ
g
r
G
takže pro Pr = 1 je tloušťka dynamické a tepelné mezní vrstvy T stejná

x

2
L
2
2
w
L
T 2
Δw
g
2
e
R
r
A
3
r
P
δT
δ
L. Prandtl
1875‐1953 
2
wx
2



y
x
podobnosti rychlostních a teplotních polí
Pozn.: Při laminárním režimu proudění přibližně platí
x
wy




 
 ν 

 γ


 

Z levé strany rovnice pohybové a z 
posledního členu vpravo dostaneme
Archimédovo číslo
Ar vyjadřuje poměr sil Při přirozené konvekci nelze využívat vztlakových a setrvačných
rychlost proudění (je velice malá), proto je třeba Ar vynásobit Re2, které je rovněž ︵
 ︶
obsaženo v DR pohybové



Pr je měřítkem Pr je fyzikální vlastnost, jelikož je funkcí jen fyzikálních vlastností a lze jej nalézt v tabulkách.
● Pro plyny Pr ~ 1, PrVZDUCHU = 0,72
● Pro kapaliny Pr > 1
● Pro tekuté kovy Pr << 1
w
w
a [m2.s‐1]
kinematická viskozita
teplotová vodivost Zrychlení od vztlakové síly dosadíme do DR pohybové a dostaneme
ν
x
wx
 [m2s‐1]

a
r
P
Je zřejmé, že Reynoldsovo číslo a Pecletovo číslo jsou navzájem vázány, tzv. Prandtlovým číslem
setrvačných sil
1 . . . 217 218 219 220 221 222 223 224 225 . . . 250
PODOBNOST PŘI
︵
m

︶
m


n
log Nu
︶
r
P
m
r
G
C
Pr1 = konst.
︵
● po nahrazení Pe čísla číslem Re a Pr (Pe=Re.Pr),
● po vynechání Eu čísla, které je funkce Re,
● po vynechání bezrozměrných souřadnic při řešení podobné geometrické konfigurace,
● a po vynechání Re čísla, které je funkcí Gr čísla (rychlost proudění je funkcí teplotního rozdílu)
dostaneme kriteriální rovnici pro přirozenou konvekci ve tvaru:
︶ často platí
︵
 
u
N
Pr2 = konst.
Obecná kriteriální rovnice pro přirozenou konvekci má tvar
r
P
,
r
G
f
u
N
Konstanty C, m, n (nebo také konstanty pro jiný typ funkce) jsou výsledkem řešení DR nebo předmětem experimentálního výzkumu a lze je obvykle nalézt pro konkrétní geometrické útvary v literatuře.

︶
n
r
P

Kriteriální rovnici vyjadřujeme často pomocí mocninné funkce
Pro stejnou tekutinu pak platí
︵
e e
R R
C C
u u
N N
Kriteriální rovnice pro nucenou konvekci v podobné geometrické konfiguraci má tvar
r
P
,
e
R
f
u
N
Kriteriální rovnice pro nucenou konvekci je:
Z
,
Y
,
X
,
r
G
,
e
P
,
u
E
,
e
R
f
u
N
Z
,
Y
,
X
,
r
P
,
e
R
f
u
N
PODOBNOST PŘI
NUCENÉ KONVEKCI
J.W.S. Rayleigh
1842‐1919
● Pro laminární proudění m = 0,5
● Pro turbulentní proudění m = 0,8
log Re
1 . . . 217 218 219 220 221 222 223 224 225 . . . 250
PODOBNOST PŘI
︶
kde Ra je tzv. Rayleighovo číslo

r
P
r
G
︵
a
R
a
R
f
u
N
Pro stejnou tekutinu lze psát

Pozn.: Konstanty C, m, n lze obvykle pro konkrétní geometrické útvary nalézt v literatuře.
1 . . . 217 218 219 220 221 222 223 224 225 . . . 250
PROSTUP TEPLA
Při přirozené konvekci jsou DR přestupu tepla, energetická a kontinuity stejné. Do DR pohybové je třeba definovat zrychlení od vztlakových sil.
 ︵
g
1
ρ
 ︶

g
ρ
ρ
G
︵
ρρ
Pro vztlakovou sílu na jednotku objemu G [N.m‐3] lze psát
︶

Pro izobarický děj ideálního plynu platí

︵
 ︶

γ 
T
Δ
1 . . . 217 218 219 220 221 222 223 224 225 . . . 250


g
Pro zrychlení G[N.m‐3] /[kg.m‐3] od vztlakové síly platí vztah
kde 1 / T =  [K‐1]
je objemová roztažnost
Gρ

g
︶
T

T
1T
ρ
 ︵
g
1
TT
ρ
G
 = p / (rT) ,  = p / (rT) a pak bude
1 . . . 217 218 219 220 221 222 223 224 225 . . . 250
37
2.5.2012
ZÁKLADNÍ PROBLÉMY
TEPELNÝCH VÝMĚNÍKŮ
Tepelný tok je přenášen tzv. prostupem tepla
což představuje:
● Přestup tepla konvekcí z horké tekutiny H do stěny
● Vedení tepla ve stěně (někdy i složené)
● Přestup tepla konvekcí ze stěny do chladné tekutiny C
Tepelný tok přenášený ve  u 
výměníku je dán vztahem
1 αH
Rα

H
 ︶
1
︵
Tw
TH
αH
q
STACIONÁRNÍ PROSTUP
TEPLA SLOŽENOU
ROVINNOU STĚNOU Odvození tepelného odporu R [K.m2.W‐1] při H
konvekci na rovinné stěně z Newtonova vztahu
1
i

1
i


H
C
TH2
TC2 T2
součinitel prostupu tepla u a střední teplotní spád TS
1 . . . 226 227 228 229 230 231 232 233 234 . . . 250
STŘEDNÍ TEPLOTNÍ SPÁD
při konvekci Rα
αC
1
1 rn
π
2
 ︶

C

[K.m.W‐1]
TC
︵
1
n
,

Tw
αC
1
rn
π
2
QL
Odvození tepelného odporu R C
na válcové stěně z Newtonova vztahu
 

T H1
Výměník protiproudý
T
H
dT H
T C1
mH 1
mC
T H2 T 2
dT C C
dT H
T H2 T 2
T
dT C
C
2 S
dS
H
T C1
T C2
dQ
T H1
T 1
mH 1
dQ
mC
dS
TH
d
cH
H
m
TC2
2 S
Tepelný tok uvolněný z teplejší tekutiny
Tepelný tok dodaný chladnější tekutině
  
dTH < 0
dTC < 0
dTC > 0
TC
d
cC
mC

T
QH QC
d d
  
vždy
pro protiproud
pro souproud
1 . . . 226 227 228 229 230 231 232 233 234 . . . 250
STŘEDNÍ LOGARITMICKÝ
TEPLOTNÍ SPÁD
Výměník souproudý
T
T H1
dT H
T 1 T
T C1
T H2 T 2
T
T H1
H
dT H
T 1
T H2 T 2
T
dT C C
mC
dS
C
2 S
dQ
mC
dS

kde střední logaritmický teplotní spád je dán vztahem:
T C2
2 S
TS
Δ
 u
dT C
mH 1

T1
Δ T2T1
-Δ
Δ
T2 n
Δ l
dQ
T C1
T C2
TS
Δ
S
mH 1
Tepelný tok platí:
Výměník protiproudý
H
Q
Tepelné výměníky slouží k přenosu tepla mezi dvěma tekutinami, které bývají oddělené stěnou.
Použití tepelných výměníků:
● V elektrárnách a chemičkách
DĚLENÍ TEPELNÝCH VÝMĚNÍKŮ
● V oblasti vytápění a chlazení
Dle charakteru proudění:
● V automobilech, letadlech …
● Výměníky souproudé
● Výměníky protiproudé
● Výměníky s příčným proudem
Dle konstrukce:
● Výměníky plášťové (svazky trubek uvnitř pláště)
● Výměníky kompaktní (žebrované pro kapalina‐plyn, plyn‐plyn)
● A jiné

C
1 α1
rn
TYPY TEPELNÝCH
VÝMĚNÍKŮ
1
i

i
C
α

Rλ
n

1 . . . 217 218 219 220 221 222 223 224 225 . . . 250
1 . . . 217 218 219 220 221 222 223 224 225 . . . 250
TC
1
i


H
n

Rα

H
1 α1
r
u 


1
riri
π n
2 l
1 λi

L
L
tepla válcovou stěnou

1
i
TH
QL
  u︵
 ︶
kde uL [W.m‐1.K‐1] je součinitel prostupu 
n

 ︶
TH R
︵
1
riri
n
l
1 λi
TC
TH αC
1 1
π
rn
2
H
C
1 α1
r T
QL
 
Výměník souproudý
T 1 T
Tepelný tok na 1 m délky potrubí při prostupu tepla složenou válcovou stěnou popisuje vztah
Lze psát:
součinitel prostupu tepla TC1
1 . . . 217 218 219 220 221 222 223 224 225 . . . 250
STACIONÁRNÍ PROSTUP
TEPLA SLOŽENOU
VÁLCOVOU STĚNOU
u [W.m‐2.K‐1]
TS [K]
T1
S
střední teplotní spád (mění se 2
podél plochy výměníku)
Pro výpočet tepelného toku nebo pro návrh plochy výměníku tepla je třeba stanovit 1 αC
hiλi
n
1 αH
C
u
kde u [W.m‐2.K‐1] je součinitel prostupu tepla rovinnou stěnou (používá se i značení k)
plocha výměníků (měla by být co nejmenší)
C

S [m2]
mC
TH1
TS
Δ
S
Q
n


 ︶
Rα
i
TC Rλ
1
TH


H
TH
λiT
i

1
i

Rα

n

 ︵
u
Můžeme psát
1 αC

1 H
α
q

TC
q
TH
Hustota tepelného toku při prostupu tepla složenou rovinnou stěnou je dána vztahem
1
mH
1 . . . 226 227 228 229 230 231 232 233 234 . . . 250
38
2.5.2012
POSTUP VÝPOČTU
VÝMĚNÍKŮ TEPLA
I. KIRCHHOFFŮV
ZÁKON
QD
QR
A
     
QDQ
QRQ
Q
QR



     
QA
I. KIRCHHOFFŮV ZÁKON má tvar


1
D
Návrh se řeší iteračně, předpoklady je třeba upřesňovat.
R
A
u
● Návrh teplot tekutin pro daný průtok tekutin
Úpravou dostaneme
A
QQ
● Výpočet součinitele prostupu tepla teplotního spádu TS
● Určení teplosměnné plochy výměníku S
1
● Určení  a tloušťky stěny
Při dopadu zářivého toku na povrch může dojít k odrazu, pohlcení, nebo také k průchodu zářivého toku objektem. Pro energetickou bilanci platí
Q
● Stanovení středního logaritmického Q
● Určení H , C
např. z teorie podobnosti
QD

Jedná se o zákon zachování energie, kde značí:
VIZUALIZACE PROUDĚNÍ V PLÁŠŤOVÝCH VÝMĚNÍCÍCH TEPLA
● A poměrnou pohltivost, A = 1 je dokonale černé těleso
● R poměrnou odrazivost, R = 1 je dokonale bílé těleso
● D poměrnou průteplivost, D = 1 je dokonale průteplivé těleso
1 . . . 226 227 228 229 230 231 232 233 234 . . . 250
1 . . . 226 227 228 229 230 231 232 233 234 . . . 250
ŠÍŘENÍ ZÁŘENÍ
Každý objekt je zdrojem elektromagnetického záření, které má vlnový charakter. Dle vlnové délky  [m] rozlišujeme různé typy záření.
I. KIRCHHOFFŮV
ZÁKON
A = 1, R = 1 nebo D = 1 NEEXISTUJE
Téměř černé těleso lze realizovat černými matnými dutinami
Q
Pevné látky (kromě slídy, kazivce, kuchyňské soli …) mají D = 0

Dvouatomové plyny (H2, O2, N2, vzduch …) mají D = 1


1
D
Víceatomové plyny (vodní pára, CO2, …) mají D < 1
záření ve vakuu co má hodnotu co = (2,99792458±0,000000012).108 m.s‐1.
1 . . . 226 227 228 229 230 231 232 233 234 . . . 250

R
A
Záření se šíří prostředím rychlostí c, která je závislá na druhu prostředí. Rychlost šíření Q
1
R
A
Pokud se většina zářivého toku přemění při dopadu na jiný objekt na tepelný tok, hovoříme o tepelném záření. To platí pro záření objektů o běžných teplotách včetně záření Slunce. T=konst.
T=konst.
T=konst.
Q

1 . . . 226 227 228 229 230 231 232 233 234 . . . 250
HUSTOTA ZÁŘIVÉHO
TOKU
PLANCKŮV
VYZAŘOVACÍ ZÁKON
q

[W.m‐3] definujeme pro monochromatické záření ( až +d )
Jedná se o hustotu zářivého toku (zářivost) pro danou vlnovou délku 
 Kontinuální spektrum záření
 Absorpční sluneční spektrum (absorpce v plynech sluneční atmosféry)
 Emisní spektra alkalických kovů
1 . . . 226 227 228 229 230 231 232 233 234 . . . 250
Světelné záření
  [nm]
Eλ
dd
Eλ
Spektrální hustotu zářivého toku E
S
E
Q
HUSTOTA ZÁŘIVÉHO TOKU = ZÁŘIVOST E [W.m‐2] je při úplné přeměně energie 
záření na teplo rovna hustotě tepelného toku .
Zářivý tok z určité plochy je pak dán součinem hustoty  
zářivého toku (zářivosti) E a plochy S
S rostoucí teplotou roste spektrální hustota zářivého toku černého tělesa a maximální hodnota se posouvá ke kratším vlnovým délkám. ZÁŘENÍ REÁLNÝCH ZDROJŮ
● Šedý zářič má E pro každé  menší než černé těleso, maximum je při stejné teplotě na stejné vlnové délce. Ideální šedý zářič neexistuje.
E
● Reálný zářič má E
Černý zářič o teplotě T
v závislosti na  značně Šedý zářič o teplotě T
proměnnou.
Reálný zářič o teplotě T
● Selektivní zářič září pouze v Záření plynů
některých oblastech 
Záření laserů
● Plyny a lasery vyzařují jen úzké spektrální čáry
Selektivní zářič

1 . . . 226 227 228 229 230 231 232 233 234 . . . 250
39
2.5.2012
2
f
1
f
4
4
︵

2
 
T2
4
T1
σ
q1

1
1 ε2
1
 ︶
0 12
12 [‐] zde značí součinitel vzájemné emisivity pro paralelní stěny
D2=0
ZÁŘENÍ MEZI
POVRCHY, KTERÉ SE
OBKLOPUJÍ
Povrch S2 obklopuje povrch S1
λ
d
E0
E0
Stefanův ‐ Boltzmannův zákon získáme z Planckova vyzařovacího zákona integrací spektrální hustoty zářivého toku černého tělesa E0 přes celý rozsah vlnových délek , a to za konstantní teploty.
λ
0
4
Povrch S2 obklopuje povrch S1
4

1
4
1
 ︵



T2



1
4
1 ε 2 T1

 ︶
1
2
 
σ
Q1
Pro tepelný tok zářením malého povrchu ve velkém prostoru platí:
 ︵
12 
S1S2 S
0

Změna barvy bývá způsobena teplotou, je černé těleso,  = 0 je bílé těleso)
ale i emisivitou nebo odraženým zářením
● Najdeme ji pro různé materiály v tabulkách ● Závisí také na úpravách povrchů, často i na směru vyzařování
1 ε 1 ε1
S1 << S2
 12 
0
T2
2

4
 
T1
σ
S1
Q1
Pro tepelný tok zářením mezi povrchy, které se obklopují platí:
Poměrná zářivost ‐ emisivita
● Nabývá hodnot od 0 do 1 ( = 1



Povrch S1 by měl být vypuklý
Termogram
FSI VUT
4
   
  
 [‐] poměrná zářivost ‐ emisivita
T2
ZÁŘENÍ MALÉHO
POVRCHU VE
VELKÉM PROSTORU
T
S
σ0
ε
4
Q
T
σ0
ε
q
Nedokonalé zářiče ‐ šedá tělesa mají tepelný tok menší než zářiče dokonalé ‐ černá tělesa a platí:
1
1 ε2
 
 ︶




povrchy, které se obklopují
4
T
S
σ0
Q0
4
T
σ0
q0
Pokud se přemění zářivý tok při dopadu na objekt na tepelný tok, lze Stefanův ‐
Boltzmannův zákon psát ve tvaru
 
︵
 12
1 . . . 235 236 237 238 239 240 241 242 243 . . . 250
STEFANŮV BOLTZMANNŮV ZÁKON

 12 
12 [‐] je součinitel vzájemné emisivity pro 4
1 . . . 235 236 237 238 239 240 241 242 243 . . . 250
0
1 ε1

S1S2
je Stefanova ‐ Boltzmannova konstanta SLOVNÍ FORMULACE STEFANOVA ‐ BOLTZMANNOVA ZÁKONA
Hustota zářivého toku dokonale černého tělesa je úměrná čtvrté mocnině absolutní teploty Pro tepelný tok zářením mezi povrchy, které se obklopují platí:
T1 1
2
 
o = 5,6697.10‐8 W.m‐2.K‐4
σ
S1
Q1

4

Povrch S1 musí být vypuklý
T
σ0
E0
MATEMATICKÁ FORMULACE STEFANOVA‐BOLTZMANNOVA ZÁKONA
 
Ee

1 . . . 235 236 237 238 239 240 241 242 243 . . . 250
STEFANŮV BOLTZMANNŮV ZÁKON





1 ε1
D1=0
 
2=A2
D=1
2
T2
σ0 2
2ε
E1
ε
ε1
ε2 ε12
E1
4 ε
T1
ε2 0 1
E2ε1σ1ε
- ε2
ε2ε
E2 1
2
ε1ε E2ε1
ε
ε1E2
ε2
E1
ε2ε1
E1
1 . . . 235 236 237 238 239 240 241 242 243 . . . 250
1=A1

Pro hustotu tepelného toku zářením mezi dvěma nekonečně rozlehlými paralelními stěnami lze psát
2
1

2
(1-1)(1-2)Eef1

︶


Eef2(1-1)
T1
︶
︵

E1
T2 > T1
Planckův zákon

SLOVNÍ FORMULACE WIENOVA ZÁKONA
S rostoucí teplotou zářiče se posouvá maximální hodnota spektrální hustoty zářivého toku ke kratším vlnovým délkám

︵

(1-2)Eef1
kde uvedená konstanta má hodnotu 2.8978.10‐3 [m.K]

Eef2
Eef1
T3 > T2
.
t
s
n
o
k
T
X
A
λM

T2
Wienův posunovací zákon
MATEMATICKÁ FORMULACE WIENOVA ZÁKONA

T1 > T2
T1
2

E0

Výsledný tok zářivosti je dán rozdílem efektivních zářivostí
E1
λ
0
E0λ
dd
Wienův posunovací zákon získáme z Planckova vyzařovacího zákona derivací spektrální hustoty zářivého toku černého tělesa E0 dle vlnové délky  a tuto derivaci položíme rovnu nule. Tím získáme průběh poloh maxim izoterem v diagramu závislosti spektrální hustoty zářivého toku dokonale černého tělesa E0 na vlnové délce . E1
VZÁJEMNÉ ZÁŘENÍ
POVRCHŮ
Ee
WIENŮV
POSUNOVACÍ ZÁKON
 ︶
1 . . . 235 236 237 238 239 240 241 242 243 . . . 250
1 . . . 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244
40
2.5.2012
SKLENÍKOVÝ EFEKT
Skleníkový efekt vzniká i u jiných materiálů. Známé jsou skleníkové plyny (H2O, CO2, N2O, O3 …) způsobující skleníkový efekt v atmosféře E
KOMBINACE ZPŮSOBŮ
PŘENOSU TEPLA
Záření slunce
Záření slunce
na povrchu
Země
Výklad skleníkového
efektu pomocí
Planckova zákona
Záření povrchu
Země
Sluneční konstanta je 1369 W.m‐2

D
1
Průteplivost
atmosféry
0
V atmosféře by mělo být optimální množství skleníkových plynů

1 . . . 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244
1 . . . 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244
TERMOVIZNÍ MĚŘENÍ
Termovizní kamery pro bezdotykové měření povrchových teplot objektů na principu tepelného záření. Jenoptik
AMR
AHLBORN
VarioCAM bez chlazení
1 . . . 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244
TERMOVIZNÍ MĚŘENÍ
Termovizní měření v teplárenství umožní identifikovat podzemní uložení rozvodů tepla, vadná místa s únikem teplé tekutiny a vadná místa tepelné izolace
Identifikace uložení rozvodů tepla pod vozovkou
Identifikace vadné tepelné izolace rozvodů tepla
1 . . . 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244
41

termodynamika Cengel řešení

Transkript

Podobné dokumenty

ceník - DEBA BOHEMIA sro

Přenos tepla konvekcí - Odbor termomechaniky a techniky prostředí

technika prostředí - Odbor termomechaniky a techniky prostředí

technika prostředí - Odbor termomechaniky a techniky prostředí

Technická příloha

Cykly tepelných motorů - Odbor termomechaniky a techniky prostředí

ceny katalog ceník

ceník - Profilpas

PROFILPAS

Cenová diskriminace na trhu poštovních služeb v UK

Page 1 乓广场文艺演出活动专页 JIANGXI DAILY A4 2010年5月

Termodynamika