Fyzikální základy techniky

Fyzikální základy techniky
Protokol č.: 1
Název: Stanovení polytropického exponentu a indikátorového diagramu
kompresoru
Vypracováno dne: 5.12.2007
Vypracovali: Roman Stanec, Ondřej Svoboda, Sabina Zornová, Martin Smažil
1. Úkol
Naším úkolem bylo stanovit indikátorový diagram kompresoru a střední hodnoty
polytropického koeficientu při kompresi a při expanzi.
Kompresor byl následujících parametrů:
Kompresor
1-JSK-75
Pracovní podtlak
(přetlak)
Otáčky rotoru (kl.
Hřídele)
Výkon hnacího motoru
Průměr statoru (válce)
Zdvih pístu
Počet lopatek (válců)
Poměrná velikost
škodného prostoru
[kPa]
1200
[sˉ¹]
29,2
[kW]
[mm]
[mm]
[-]
4
75
70
1
0,05
2. Teorie
Izotermická a adiabatická změna stavu jsou v určitém smyslu mezní případy,
protože u izotermické změny se předpokládá dokonalá výměna tepla s okolím, takže
při změně stavu nenastává změna teploty a u adiabatické změny se předpokládá
úplná a dokonalá izolace, která zamezí jakékoliv výměně tepla s okolím. U skutečných
změn nelze těchto ideálních podmínek dosáhnout, tj. teplo se buď pracovní látce
s okolí přivádí nebo odvádí. U skutečných změn se tedy mění nejen všechny tři
veličiny stavu (p, V, T), ale nastává současně sdílení tepla s okolím.
U kompresoru se nasává vzduch o nižší teplotě než je střední teplota stěny válce.
Nasátý vzduch se vlivem tepla stěny válce nejdříve ohřívá, takže změna probíhá za
přívodu tepla. Během komprese teplota stlačovaného vzduchu přestoupí střední
teplotu válce a teplo se pak opačně stěnou odvádí. Odváděním tepla z plynu se sníží
jeho konečná kompresní teplota pod teplotu, které by dosáhl, kdyby komprese
probíhala adiabaticky.
Tento složitý průběh změny stavu látky způsobený nevratným sdílením tepla lze
pro termické výpočty nahradit jedinou vratnou změnou vyjádřenou rovnicí:
konst . = V n ⋅ p
Tato změna se nazývá polytropickou a je znázorněna v p-V diagramu obecnou
hyperbolou. Mocnitel „n“ je polytropickým exponentem, jenž je větší než exponent
izotermy (n = 1) a zpravidla menší než exponent adiabaty (n = χ). Obecně platí:
1<a < > χ
Polytropický exponent „n“ není určen poměrem měrných tepelných kapacit (cp) a
(cv), což bude dokázáno dále. 0 exponentu (n) se předpokládá, že je v průběhu změn
konstantní, což ve skutečnosti není. Proto i polytropická změna, ač se skutečným
dějům nejvíce přibližuje, je do určité míry předchozím předpokladem zidealizována.
Hodnota exponentu „n“ se stanoví z indikátorového diagramu postupem dále
uvedeným. Polytropickou změnu stavu plynu platí stejné vztahy jako pro změnu
adiabatickou s tím, že exponent „χ“ je nahrazen exponentem „n“.
n
1
n −1
n −1
p n
p1  V2  V1  p 2  n T1  V 2 
 =  1 
=   ,
=   , = 
p 2  V1  V2  p1  T2  V1 
 p2 
a objemová ( A1, 2 ) a tlaková –technika ( Atl , 2 ) je dána:
n −1


p1 ⋅ V1   p 2  n 
A1, 2 =
⋅ 1−  
n − 1   p1  


n
Atl , 2 =
⋅ 1 − ( p1 ⋅ v1 − p 2 ⋅ v 2 )
n −1
nebo
n −1


n


p
n
2

A1, 2 =
⋅ p1 ⋅ V1 ⋅ 1 −   
  p1  
n −1


odkud pro vzájemný vztah těchto prací platí obdobně :
Atl , 2 = n ⋅ A1, 2
Polytropickou měrnou tepelnou kapacitu (cn) lze určit z obecné formulace měrné
tepelné kapacity:
1 dQ
c= ⋅
m dT
podle první věty termodynamiky platí:
dQ = dU + dA = m ⋅ c v ⋅ dT + p ⋅ dV
po dosazení :
1 p ⋅ dV
c = cv + ⋅
m dT
je polytropická měrná tepelná kapacita dána rovnicí:
r
c n = cv ⋅
protože platí: r = cv ⋅ ( χ − 1) , pak
1− n
n−χ
cn = cv ⋅
= ϕ ⋅ cv
n −1
z toho plyne, že polytropická měrná tepelná kapacita (cn) je konstantní podél
celé polytropy, a proto se tato změna nazývá změnou při stálé měrné tepelné
kapacitě. Podle rovnice III-11 udává polytropická měrná tepelná kapacita množství
tepelné energie potřebné pro ohřátí jednotkové hmotnosti plynu (m = 1kg) o jednotku
teploty (∆T = 1K), čímž se zvýší jeho vnitřní energie (c) a současně se vykoná
r
mechanická práce o velikosti
.
1− n
Množství sdíleného tepla polytropické změny lze obdobně určit z rovnice:
Q1, 2 = m ⋅ c n ⋅ ( T2 − T1 ) = m ⋅ cv ⋅
n−χ
⋅ ( T2 − T1 )
n −1
Určení polytropického exponentu (n)
Exponent (n) lze vyhodnotit z indikátorového diagramu z logaritmované rovnice
polytropy a z poměru tlakové a objemové práce. Protože se hodnota tohoto
exponentu v průběhu změny mění, lze určit okamžitou nebo střední hodnotu toto
exponentu (n):
a) Okamžitá hodnota exponentu (n) v libovolném bodu polytropy se z indikátorového
diagramu (obr.č. III-1) určí následovně: diferenciální tvar rovnice polytropy dp ⋅Vn =
konst. je následující:
dp ⋅Vn ⋅ p ⋅ n ⋅Vn−1 ⋅dV = 0
V⋅ dp ⋅Vn−1 + p ⋅ n ⋅Vn−1 ⋅dV = 0
V⋅ dp = n ⋅ p ⋅dV
−
dp
p
= n⋅
dV
V
Změna tlaku (dp) při vzrůstu objemu (dV) je záporná, protože při zvětšování objemu
tlak klesá - takže podle obr. č. III-l platí:
dp
p
−
= tgα = n ⋅
dV
V
odkud
V
n = ⋅ tgα
p
změří-li se úhel (α) tečny k polytropě v daném bodě, který svírá s osou objemů (V), lze
z této rovnice vypočítat okamžitou hodnotu exponentů „n“. Z obr.č. III-1 je patrné, že
součin „n.p“ je subtangenta na ose tlaků ( tp n ⋅ p = s ). Rovněž poměr „V/n“ je
subtangenta na ose objemů (V/n = stv.). Změří-li se velikosti subtangent (stp, stv) z
indikátorového diagramu, je pro daný tlak a objem (p, V) okamžitá hodnota exponentu
„n“ vyjádřená vztahy:
S tp
V
n=
nebo n =
S tv
p
b) Okamžitou hodnotu exponentu (n) lze rovněž určit z grafického průběhu polytropy
znázorněné ve dvojitých logaritmických souřadnicích. Logaritmováním rovnice
polytropy:
p ⋅Vn = konst.
se získá: n ⋅ logV + log p = log konst.
což je rovnice přímky v dvojitých logaritmických souřadnicích
n⋅x+y=a
resp.
y=a−n⋅x
kde polytropický exponent (n) je směrnici, tj. tangentou směrového úhlu (α)
log konst − log p
n = tgα =
log V
Tedy vynesením p-V indikátorového diagramu v souřadnicích log p - log V lze
exponent (n) jednoduše změřit. Pokud vynesený p-V diagram není v logaritmických
souřadnicích zobrazován přímkou, jedná se o polytropickou změnu s proměnným
exponentem (n ≠ konst.),
c) střední hodnotu exponentu (a) mezi dvěma stavy plynu lze určit logaritmováním
rovnice polytropy pro tyto dva stavy (1-2):
p1 ⋅ V1n = p 2 ⋅ V2n
po logaritmování log p1 ⋅ n ⋅ log V1 = log p 2 ⋅ n ⋅ log V2
odkud střední hodnota exponentu (n) je určena rovnicí:
log p 2 − log p1
n=
log V1 − log V2
d) střední hodnotu polytropického exponentu (n) lze rovněž vyjádřit z poměru tlakové
a
objemová práce polytropická změny. Diferenciální rovnici polytropy lze rovněž zapsat
ve tvaru :
V⋅ dp = −n ⋅ p ⋅dV
Odkud
V ⋅ dp
n=
p ⋅ dV
je polytropický exponent (n) dán poměrem tlakové-technické a objemové-absolutní
práce
2
At1, 2
dA
n=∫ t =
dA
A1, 2
1
Velikost prací (At1,2 a A1,2) lze jednoduše změřit planimetrováním (obr.č. III-3).
3. Postup vypracování
1) Na kompresoru jsme nastavili přetlak na 0.3Mpa
2) Spustili jsme jeho činnost a tu jsme monitorovali připojeným počítačem
3) Ze zaznamenaných dat jsme určili hodnoty v HÚ a DÚ (horní a dolní úvrati):
HÚ:
Ux=-2.15 V
Uy=175 mV
t=25.8s
DÚ:
Ux=2.40 V
Uy=-75 mV
t=9.8s
4) Zaznamenaná data jsme vložili do předpřipravené tabulky v tabulkovém
kalkulátoru a přepočítali data na námi požadovaná nová data (zdvihový objem
+ škodný prostor; tlak + atmosférický tlak)
5) Na základě těchto nových dat jsme vytvořili graf – Indikátorový diagram(pouze
jeden cyklus, který jsme vybrali na základě získaných dat HÚ a DÚ):
Indikatorovy diagram
0,70000
0,60000
0,50000
p [MPa]
0,40000
0,30000
0,20000
0,10000
0,00000
0,000000 0,002000 0,004000 0,006000 0,008000 0,010000 0,012000 0,014000 0,016000 0,018000 0,020000
V [m^3]
6) Na indikátorovém diagramu jsme si vybrali 2 body ležící na křivce komprese a
vypočítali střední hodnotu polytropického exponentu mezi těmito body:
Bod1... V1=0.015506, p1=0.119
Bod2... V2=0.013331, p2=0.143
Dle vztahu n=(log p1 - log p2)/(log V2 - log V1) jsme vypočítali, že střední hodnota
mezi těmito body je n=1.2156.
7) Na indikátorovém diagramu jsme si vybrali 2 body ležící na křivce expanze a
vypočítali střední hodnotu polytropického exponentu mezi těmito body:
Bod1... V1=0.002456, p1=0.239
Bod2... V2=0.002637, p2=0.209
Dle vztahu n=(log p1 - log p2)/(log V2 - log V1) jsme vypočítali, že střední hodnota
mezi těmito body je n=1.8863.
4. Závěr
Na základě vlastního měření a zaznamenání dat z kompresoru jsme vygenerovali
indikátorový diagram a určili 2 hodnoty polytropického exponentu – při kompresi, kde
nám jeho hodnota vyšla 1.2156, a při expanzi, kde jsme dospěli k výsledku 1.8863.