docLagrangeův variační princip
download 
Stížnost Transkript
Lagrangeův variační princip
Mechanika s Inventorem 2. Základní pojmy FEM CAD výpočty data Petr SCHILLING, autor přednášky Ing. Kateřina VLČKOVÁ, obsahová korekce Tomáš MATOVIČ, Optimalizace publikace 1 Obsah přednášky: Lagrangeův variační princip 3 Symetrie 8 Diskretizace 11 Okrajové podmínky 13 Singularita 19 Výpočtový model 23 Výstupy a závěrečná diskuse 24 2 Lagrangeův variační princip Definice: Mezi všemi funkcemi posuvů zachovávajících spojitost tělesa a splňujících geometrické okrajové podmínky, se realizují ty posuvy, které udílejí potenciální energii Π stacionární hodnotu. Π … celková potenciální energie tělesa W … energie napjatosti tělesa Π = W −P P … potenciál vnějšího zatížení Poznámka: stacionární hodnota Π představuje minimum 3 Lagrangeův variační princip Legenda: k … konstanta tuhosti pružiny [Nmm-1] m … hmotnost tělesa [kg] g ... gravitační zrychlení [ms-2] F … gravitační síla [N] u … deformace pružiny [mm] 4 Lagrangeův variační princip Platí: Π = W −P 1 W = ⋅k ⋅u 2 P = F ⋅u = m ⋅ g ⋅u 2 1 Π = ⋅k ⋅u − m ⋅ g ⋅u 2 2 5 Lagrangeův variační princip Hledáme minimum funkce Π = Π(u), což odpovídá parciální derivaci Π(u) podle deformace (posuvu) u. ∂Π(u) = k ⋅u − m ⋅ g ∂u ∂Π(u) =0 ∂u 0 = k ⋅u − m ⋅ g m⋅g u= k 6 Lagrangeův variační princip Legenda: Πmin … minimum funkce celkové potenciální energie tělesa Π = Π(u) 7 Symetrie 3D geometrické modely (CAD data) mohou mít osy a roviny symetrie vlastnosti symetrie lze s výhodou využít výsledky MKP analýzy s využitím symetrických vlastností jsou totožné jako u MKP analýzy bez zahrnutí symetrie vede na výrazně menší výpočtový model (poloviční, čtvrtinový) → menší počet uzlů a elementů → menší počet rovnic → snížení času nutného pro výpočet vede při zachování velikosti modelu na mnohem jemnější síť výrazné zjednodušení definice okrajových podmínek 8 Symetrie 9 Symetrie 10 Diskretizace 3D geometrické modely (CAD data) jsou rozděleny na konečný počet částí (elementů) objem a tvar modelu je vyplněn elementy s dostatečnou přesností výsledkem procesu síť konečnoprvkového modelu výrazné ovlivnění získaných výsledků – hustota sítě (velikost elementu, počet elementů a tolerance vyplnění) výpočtová náročnost úlohy roste výrazně s hustotou sítě – větší počet algebraických rovnic kontinuální těleso je nahrazeno konečným prvkem elementů – diskretizováno jednotlivé elementy v matematických bodech se známými souřadnicemi v prostoru tzv. uzlech 11 Diskretizace síť elementů (prvků) lze v problematických místech zahušťovat obecně: Získané výsledky silně závisí na hustotě a kvalitě použité sítě použité pro výpočtovou studii! 12 Okrajové podmínky představují předepsané hodnoty posunutí a rotací (strukturální úlohy) či předepsané teploty (teplotní úlohy) představují: zatížení (síla, tlak, moment…) a vazby (vetknutí, podepření, kloub…) špatná definice okrajových podmínek → jiné napěťové stavy a zcela jiné deformace – řešíme jinou úlohu – znehodnocení výsledků výpočtové studie obtížně odhalitelné chyby i pro zkušené výpočtáře software pouze prostředkem řešení – nikoliv řešením problému bez znalostí výpočtáře silně ovlivňují výsledky FEM analýz 13 Okrajové podmínky Ukázka ovlivnění výsledku Studie: Určení ekvivalentního napětí u součásti uložené a zatížené dle obrázku. Čep je dokonale tuhý a není předmětem našeho zkoumání = idealizace. 1.Nevhodný přístup vetknutí → zabrání deformaci kruhového otvoru výrazně jiný průběh napětí než ve skutečnosti – jiná úloha 2. Vhodný přístup tlaková vazba → reálnější model předpoklad nulové vůle v uložení čepu – větší vůle již odchylka 14 Okrajové podmínky Nevhodný přístup 15 Okrajové podmínky Nevhodný přístup 16 Okrajové podmínky Vhodný přístup 17 Okrajové podmínky Vhodný přístup 18 Singularita takové místo v 3D geometrickém modelu, kde i při postupném zahušťování sítě roste napětí nad všechny meze, tj. diverguje (nekonverguje ke správným hodnotám) nevyskytuje se v reálných tělesech obsahují pouze výpočtové modely – důvodem idealizace a zjednodušení při modelování MKP studií Nejčastější singularity: bodová okrajová podmínka = bodové zatížení a vazba ostrá hrana na geometrii 19 Singularita singularita je vzdálena od řešené oblasti (oblast zájmu) → mizivé nebo žádné ovlivnění výsledku singularita je v blízkosti řešené oblasti (oblast zájmu) → výsledky znehodnoceny – nevěrohodné 20 Singularita N σ= S N … vnitřní silový účinek (normálová vnitřní síla) [N] S … plocha průřezu (N je normálou plochy) [mm2] σ … normálové napětí [MPa] S→0⇔σ→∞ 21 Singularita odstranění – divergující výsledky po zahuštění sítě konvergují ke správným hodnotám – lze vyhodnocovat napětí odstranění – divergující výsledky po zahuštění sítě stále divergují k vyšším a vyšším hodnotám – nelze vyhodnocovat napětí 22 Výpočtový model numerické simulace prováděny ve virtuálním světě – výpočtové studie vždy jen model s určitou mírou idealizace 3D geometrické modely (CAD data) → FEM mesh (síť konečných prvků) 3D CAD geometrie – model skutečné geometrie (výrobku) FEM mesh – matematická reprezentace CAD dat Přesnost výsledku ovlivňuje: numerická přesnost = kvalita MKP sítě (FEM mesh) správná definice výpočtové úlohy (geometrie, okrajové podmínky, materiálové parametry, zatížení atd.) – vždy jistá idealizace 23 Výstupy přednášky a závěrečná diskuse seznámení se základními pojmy: Lagranžův variační princip, symetrie, diskretizace, okrajové podmínky, singularita a výpočtový model vysvětlení významu singularit, hustoty sítě, okrajových podmínek a symetrie v rámci výpočtové studie Závěrečná diskuse, dotazy 24
