Trojfázové obvody

ELEKTROTECHNIKA 2
(BEL2)
Trojfázové obvody
doc. Ing. Jiří Sedláček, CSc.
doc. Ing. Miloslav Steinbauer, Ph.D.
doc. Ing. Petr Drexler, Ph.D.
UTEE FEKT VUT v Brně
1
Vznik vícefázové soustavy
Jednofázová soustava
u(t)
RZ
Zdroj
Trojfázová soustava
u1(t)
u2(t)
Vedení
R1
R2
Zátěž
(Spotřebič)
u1 ( t ) , u2 ( t ) , u3 ( t )
Fáze
u1(t)
R1
u2(t)
R2
u3(t)
R3
Stejný kmitočet a amplituda
u3(t)
R3
a) nevázaná – 6 vodičů
b) vázaná – 3 (4) vodiče
2
Vícefázové soustavy
Výhody
• výroba – generátory
(jednoduchost, nižší
hmotnost)
• rozvod – transformace,
menší ztráty v rozvodu
• užití – snadné vytvoření
točivého magnetického
pole (pro realizaci
jednoduchých, levných
indukčních motorů)
Typy soustav
• Trojfázová (běžná
rozvodná soustava)
• Dvoufázová (jednofázové
točivé stroje s rozběhovým
vinutím …)
• Šestifázová (usměrňovače
pro trakce)
• Vícefázové
(krokové motory …)
3
Nikola Tesla (1856-1943)
Narozen 10.6.1856 v Smiljanu (Rakousko – Uhersko)
Studium:
• ve Štýrském Hradci (Graz)
• v Praze na Karlo-Ferdinandově univerzitě, prof. Domalípa
(1880)
• v Budapešti (1881)
Práce:
• Paříž, Edisonovy továrny
• Štrasburg – sestrojil asynchronní stroj
• 1884 odcestoval do Ameriky, Edisonovy továrny
(stejnosměrné stroje)
• 1886 zakládá Tesla Electric Co.
• 1888 – dvoufázový asynchronní motor
• spolupráce s G. Westinghousem, Pittsburg
(střídavý proud),
prodává své patenty za 1 mil USD + 1 USD / 1 HP
• 1889 Colorado Springs (laboratoř VN)
4
Trojfázová soustava - fázory
fázory UU, UV, UW
uU(t), uV(t), uW(t)
=
uU ( t ) U m sin (ω t + ϕ )
UU
=
uV ( t ) U m sin (ω t − 120° + ϕ )
− j120°
U=
U
⋅
e
V
U
=
uW ( t ) U m sin (ω t + 120° + ϕ )
U=
U U ⋅ e +j120°
W
UW
0°
12
UU
Re
0°
uW ( t )
12
uV ( t )
Im
120°
uU ( t )
souměrná
soustava
UV
5
Trojfázová soustava
Im
UW
SOUSTAVA
SOUMĚRNÁ
SOUSTAVA
VYVÁŽENÁ
SOUSTAVA
NESOUMĚRNÁ
Im
UN
Im
UU
UW
°
120
Re
ϕ
°
UU
120
UU
Re
UN=0
Re
UW
120
°
UV
UV
UV
UU
u U ( t ) + uV ( t ) + u W ( t ) =
0
UU + UV + UW =
0
− j120°
U=
U
⋅
e
V
U
+j120°
U=
U
⋅
e
W
U
6
Operátor natočení
Operátor natočení a
fázory UU, UV, UW
a
Im
a=
e
Im
j120°
=e
2
j π
3
UW
12
12
0°
120°
0°
1
120°
UU
Re
Re
12
0°
0°
12
a2
UV
U=
U U ⋅1
U
−j
2π
3
2
=
a
⋅ UU
U=
U
⋅
e
V
U
U=
UU ⋅ e
W
+j
2π
3
= a ⋅ UU
e
a =
2
j
4π
3
−j
e
=
1
3
=− + j
2
2
2π
3
1
3
=
− −j
2
2
1
a =− + j
2
1
a2 =
− −j
2
1= 1 + j0
3
2
3
2
a2+a+1=0
Souměrná trojfázová soustava je vždy vyvážená
7
Vznik trojfázového střídavého napětí
uU ( t )
uV ( t )
uW ( t )
Časový průběh
Generátor
8
Trojfázová soustava - zapojení
Vázaná trojfázová soustava
Nevázaná trojfázová soustava
L1
U1
U1N=U1
U3N=U3
U3
U2
Zapojení do hvězdy
N
U2N =U2
L2
Im
L3
U1
U12=U1
U31=U3
°
°
120
120
L1
Zapojení do trojúhelníka
Re
U3
120°
U2
U23 =U2
L2
L3
9
Popis trojfázové soustavy
I1
L1
IN
U30
N
U20
I2
U1
UN
N
I2
I12
I31
Z1
Z3
U2
V
IZ = IS
Z1
Z2
L2
U
U12
I1
IZ = If
U10
U Z = US
UZ = Uf
U
U3
Z3
Z2
I3
V
I3
Zdroj
L3
U23
W
I23
U31
W
Zátěž Y(N)
Zátěž ∆
fázová napětí Uf
U10, U20, U30 (U1N, U2N, U3N) nebo UU, UV, UW
sdružená napětí Us
U12, U23, U31 nebo UUV, UVW, UWU
fázové proudy If
I1, I2, I3 nebo IU, IV, IW
napětí zátěže UZ
proudy zátěže IZ
10
Trojfázový zdroj – zapojení Y
Spojení do hvězdy
UUV=U12
L1
IU
UU=U1
IN
0
UW=U3
UV =U2
UVW=U23
UWU=U31
IV
IW
fázová napětí Uf
UU, UV, UW
sdružená (síťová) napětí Us
UUV, UVW, UWU
Aplikací I.K.z. na bod 0 :
N
Zapojení YN
nebo Y (nevyveden bod 0)
L2
L3
IU + IV + IW =
IN
11
Vztah mezi Uf a Us
L1
UU=U1
0
N
UW=U3
UWU=U31
L2
L3
UUV = UU – UV
UVW = UV – UW
Sdružené napětí je rozdílem fázových napětí
UWU = UW – UU
12
Vztah mezi Uf a Us
U UV
= U U − U V = U U − a U U = U U (1 − a ) = 3U U e
2
2
 1
3 3
3
1− a = 1−  − − j
=
= + j
2  2
2
 2
2
U UV = U U − U V = 3U U e
U VW = U V − U W = 3U U e
j30o
Sdružená
napětí
3 e j30°
j30°
UWU
UUV
UW
30° UU
− j90°
U WU =U W − U U =
3U U e j150°
Fázová
napětí
UV
ZÁVĚR:
U S = 3U f
Sdružená napětí jsou √3krát větší než
fázová a jsou pootočena o +30°
UVW
ϕ = +30°
13
Vztah mezi Uf a Us
U UV
= UU − UV
14
Symetrická a nesymetrická zátěž Y
Symetrická zátěž
I1 + I 2 + I 3 =
0
Nesymetrická zátěž
I1 + I 2 + I 3 =
IN
Pro souměrnou soustavu (zdroj i zátěž) IN = 0
15
Trojfázový zdroj – zapojení ∆
Spojení do trojúhelníka
IU
IUV
UUV
UWU
U
Trojfázový zdroj ∆ musí být
vyvážený!
IWU
UVW
IVW
IV
IW
V
W
Sdružené proudy Is
IUV, IVW, IWU
Fázové proudy If
IU, IV, IW
16
Vztah mezi IS a If pro ∆
IU
IUV
U
IWU
UUV
UWU
Fázové
proudy
IV
IU
30°
IWU
UVW
I U I WU − I UV
=
I V I UV − I VW
=
I W I VW − I WU
=
IV
IW
IVW
V
IUV
Sdružené
proudy
IVW
W
IW
Fázové proudy tvoří
vyváženou soustavu
IU + IV + IW =
0
ZÁVĚR :
I f = 3 IS
ϕ=
+30°
17
Rozvodná síť TN-S – značení vodičů a svorek
L1
L2
L3
N
PE
U
E
Uzemnění
sítě
V
W
N PE
3fTrojfázový
spotřebičspotřebič
tř. I 3NPE
tř. I
3 NPE
do
hvězdy – 3x230V
U
V
W PE
3f
spotřebič
tř. I 3PE
Trojfázový
spotřebič
tř. I
3 PE
do
hvězdy – 3x230V
U
N PE
1f spotřebič
tř. Itř. I
Jednofázový
spotřebič
1 NPE
1NPE – 1x230V
18
Značení vodičů barvami, připojení zásuvek
Střídavá soustava, izolované vodiče
Vodič, žíla kabelu
Poznávací barva
L
Fázový nebo krajní
N
Nulový (střední)
světlemodrá
PE
Ochranný
zelená / žlutá
PEN
Vodič PEN
zelená / žlutá (+ světlemodrá)
L
PE
N
černá, hnědá nebo šedá
L1
L2
L3
L1
N
PE
L2
L3
PE
19
Výkon v trojfázových obvodech
20
Výkon jednofázového obvodu v HUS
u, i, p
p ( t ) = U ⋅ I cos ϕ − U ⋅ I cos ( 2ωt − ϕ )
stálá (konstantní)
složka
kmitavá složka
Opakování
R: cosϕ = 1
p(t)
R
i(t)
u, i, p
U∙I ∙ cosϕ
U∙I
stálá složka = U.I
= amplituda kmitavé složky
u, i, p
i(t)
ϕ
L a C: cosϕ = 0
p(t)
ωt
i(t)
p(t)
u(t)
okamžitý výkon
ωt
u(t)
p=
(t ) u (t ) ⋅ i (t )
C
ωt
L
u(t)
stálá složka = 0
21
Výkon jednofázového obvodu v HUS
Opakování
Rozklad okamžitého výkonu p(t) na činnou pč(t) a jalovou pj(t) složku:
p (t ) =
U ⋅ I ( cos ϕ − cos ( 2ωt − ϕ ) ) =
UI (1 − cos ( 2ωt ) ) cos ϕ − sin ( 2ωt ) sin ϕ  =
UI cos ϕ (1 − cos ( 2ωt ) ) − UI sin ϕ sin ( 2ωt ) =
pč ( t ) + p j ( t )
=






P
Q
P= U ⋅ I cos ϕ
(W) činný výkon
Q= U ⋅ I sin ϕ
(var,VAr) jalový výkon
S= U ⋅ I
p
pč(t)
p(t)
(VA) zdánlivý výkon
pj(t)
Pro výkony platí tzv. trojúhelník výkonů
2
S=
P2 + Q2
Účiník
cos ϕ=
ωt
ϕ
P U ⋅ I ⋅ cos ϕ
=
S
U ⋅I
22
Komplexní výkon
S= U ⋅ I
= U ⋅e
∗
jψ u
U= U ⋅ e
⋅ I ⋅e
− jψ i
jψ u
Opakování
I= I ⋅ e
= U ⋅ I ⋅e
jψ i
∗
I = I ⋅e
j(ψ u −ψ i )
I
− jψ i
= U ⋅ I ⋅e
jϕ
=
U
Z
=
U ⋅ I ( cos ϕ + jsin ϕ ) =
P + jQ
P
Re
=
=
{S} , Q Im
{S} , S S
1
S = U ⋅ I = U m ⋅ I*m
2
∗
Při výpočtu z maximálních hodnot.
∗
2


U
U
S = U ⋅ I∗ = U ⋅  ∗  = ∗ = U 2 ⋅ Y∗
Z  Z
Pozn.: U·U* = U2
S = U ⋅ I∗ = Z ⋅ I ⋅ I∗ = Z ⋅ I 2
23
Výkon trojfázové soustavy
(OBECNÁ) NESOUMĚRNÁ SOUSTAVA
I1
I2
U1
Z1
U2
Z2
okamžitý výkon
p ( t ) = p1 ( t ) + p2 ( t ) + p3 ( t )
komplexní výkon
S = S1 + S 2 + S3 = U1I1* + U 2 I*2 + U 3I*3
činný výkon
P = Re {S} = P1 + P2 + P3 ( W )
I3
Z3
U3
P=
Re {S} =
U1 I1 cos ϕ Z1 + U 2 I 2 cos ϕ Z2 + U 3 I 3 cos ϕ Z3
jalový výkon
Q = Im {S} = Q1 + Q2 + Q3 ( VAr )
Q=
Im {S} =
U1 I1 sin ϕ Z1 + U 2 I 2 sin ϕ Z2 + U 3 I 3 sin ϕ Z3
zdánlivý výkon
S=S
( VA )
24
Výkon trojfázové soustavy
SOUMĚRNÁ SOUSTAVA
I1
I2
U1
Z
U2
Z
2
=
I1 I=
a
I
a
2
3
(ϕ=
ϕ=
ϕ=
ϕ Z3 )
Z
Z1
Z2
2
=
U1 U=
a
U
a
2
3
komplexní výkon
I3
Z
=
Z Z=
Z=
Z3
1
2
U3
S = S1 + S 2 + S3 = U I + U1a ( I1a
*
1 1
2
2 *
(
) 1
a ⋅=
a 1, a ⋅ a =
*
S = 3U i I*i
)
2 *
+ U1a ( I1a )
*
2
( VA )
i = 1, 2 nebo 3
=
=
P Re
{S} 3U i I i cosϕi
(W)
=
Q Im
=
{S} 3U i I isinϕi ( VAr )
S= S= 3U i I i ( VA )
25
Okamžitý výkon v 3fázové soustavě
p ( t ) = pU ( t ) + pV ( t ) + pW ( t )
p ( t ) = uU ( t ) iU ( t ) + uV ( t ) iV ( t ) + uW ( t ) iW ( t )
Okamžitý výkon lze vyjádřit obdobně jako u jednofázové soustavy
p ( t )= Re {S + DP e j2ω t }= P + DP cos ( 2ω t − Φ )
S komplexní výkon
U souměrných obvodů je pulsační výkon nulový
Dp komplexní pulsační výkon
p ( t )= P= 3 ⋅ UI cos ϕ
DP = DP e jΦ
p
2ω Re
2ωt
P činný výkon
DP
Φ
DP
S
ϕ
P
Im
Q
0
t
26
Porovnání zapojení Y a ∆ pro stejné Z
Zapojení do hvězdy
Zapojení do trojúhelníka
IfY
If∆
UZ = Uf
IZ = I f
Z
N
Z
Z
IZ = IS
Přepojením zátěže z Y do ∆ se ztrojnásobí
výkon na zátěži
i proudy fázových vodičů!
UZ = US
Z
Z
Z
3 ⋅ SY =
S∆
3 ⋅ I fY =
I f∆
U Z = Uf
2
Z
2
f
U
U
S=
=
ZY
Z
Z
Uf
I fY= I=
Z
Z
IZ =
=
I f∆
U=
U=
Z
S
UZ
Z
3U f e j30°
U Z2 3U f2
S=
=
Z∆
Z
Z
- j30°
=
3I Z e
US - j30°
3=
e
Z
U
3U f e j30° - j30°
=
3
e
3 f
Z
Z
27
Přepínač Y/∆
Z
L1
Z
L1
Z
L2
L1
Z
L2
Z
L3
Z
Z
L2
Z
L3
Z
L3
Poloha 0
Poloha Y
Poloha ∆
Výkon P = 0
Výkon P = 1/3 Pmax
Výkon P = Pmax
Využití: rozběh indukčních motorů vyšších výkonů
• 3× menší výkon při rozběhu
• menší proudový a mechanický ráz
S ∆ = 3 ⋅ S Y I f∆ = 3 ⋅ I fY
28
Poznámka k výpočtu výkonu souměrné soustavy
Zapojení do hvězdy
If
UZ = Uf
IZ = If
ZY
N
ZY
Zapojení do trojúhelníka
Známe (např. změříme)
napětí a proud fází Uf a If
ZY
If
Počítáme-li výkon souměrné
soustavy z fázových napětí a
fázových proudů, nezáleží na
tom, zda je zátěž zapojena
do Y nebo D
IZ = IS
UZ = US
Z∆ Z∆
Z∆
(ZY není samozřejmě rovno Z∆)
S = 3U I
*
f f
U Z = Uf
SZ
I Z = If
U=
U=
Z
S
*
*
U=
I
U
I
Z Z
f f
=
S Y 3=
S Z 3U f I*f
3U f e
j30°
I=
I=
Z
S
I f -j30°
e
3
*
*
=
S Z U=
I
U
I
Z Z
f f
SY = S∆
=
S ∆ 3=
S Z 3U f I*f
29
Porovnání ztrát při přenosu energie
Jednofázová soustava
I1f
P, cos ϕ
R1f
P = UI1f cos ϕ
P
U cos ϕ
2 R1f P 2
∆=
P1f 2 R =
I
U 2 cos 2 ϕ
2
1f 1f
U
R1f
1f zátěž
1f zdroj U
Trojfázová soustava
I3f
P, cos ϕ
R3f
P
3U cos ϕ
R3f P 2
∆P
=
3R =
I
3f
U 2 cos 2 ϕ
2
3f 3f
Závěr: Pokud R1f = R3f jsou celkové ztráty v
3f soustavě poloviční!
R3f
R3f
P = 3U Z I 3f cos ϕ I 3f =
U
UZ =
3
U
Souměrný 3f
zdroj 3×U
I1f =
Souměrná 3f
zátěž
Naopak lze odvodit, že při stejných povolených
ztrátách ∆P3f a ∆P1f vystačíme u 3f soustavy se 75%
objemu materiálu vodičů (R3f > R1f).
30
Neharmonický odběr proudu
Řízené usměrňovače
(tyristory, triaky)
Impulsní napájecí zdroje
u ( t ) = U m sin (ωt )
=
i ( t ) I m sin (ωt − ϕ )
Proudy (a tím i napětí na zátěži) jsou NEHARMONICKÉ !
Z, S, P, Q, S, cos ϕ
NELZE DEFINOVAT
PROBLÉMY s měřením výkonu, odběru, …
31
Fourierova harmonická analýza
(rozklad na harmonické složky)
Periodický signál:
Opakování
SPEKTRUM periodického signálu
f ( t )= f ( t + k ⋅ T )
k = 0, ± 1, ± 2,...
ω1 = 2 π f1
f (t )
∞
∑ (c
k =0
k
sin ( kω1t + ϕ k ) )
32
Výkon neharmonického proudu
zdánlivý výkon
n
∑U i2
U=
S= U ⋅ I
i =0
I =
n
∑I
i =0
2
i
n
2
i
=i 0=i 0
=
S
n
∑U ⋅ ∑ I
2
i
Skutečné efektivní hodnoty (TRMS)
n
P = ∑ (U i I i cos ϕi ) činný výkon
i =0
n
p (t ) = u (t ).i (t )
2
2
S > P +Q
2
2
2
Q = ∑ (U i I i sin ϕi ) jalový výkon
2
S = P + Q + Pdef
Pdef
S
Q
2
i =0
=
Pdef f (U i ⋅ I j )
i≠ j
deformační výkon
Ui, Ii ……. efektivní hodnoty i-té harmonické složky
P
33
Výkon neharmonického proudu
Deformační výkon vzniká vzájemným působením
neodpovídajících si harmonických složek proudů a napětí.
Deformační výkon je nulový:
• pro harmonický průběh napětí a proudu
• pro neharmonické průběhy v případě odporové zátěže
=
Pdef f (U i ⋅ I j )
Pro posouzení obsahu vyšších harmonických se zavádí THD
(Total Harmonic Distortion):
• podíl efektivního napětí 2. a vyšší harmonické
k 1. harmonické složce
• existují i jiné definice
• nezahrnuje vliv ss složky
i≠ j
n
THD =
∑U
i =2
2
i
U1
34
Výkon neharmonického proudu v 3f soustavě
Účiník se počítá pouze z
1. harmonické
P
cos ϕ = 1
S1
Opravdový účiník (P.F. – Power Factor)
zahrnuje všechny harmonické složky
n
P = ∑ U i I i cos ϕi
i =0
S
=
n
n
n
∑U ⋅ ∑ I
2
i
=i 0=i 0
2
i
P
P
λ= =
=
S U ⋅I
cos ϕ ≥ λ
Ekvivalentní výkony 3f sítě:
Ekvivalentní
opravdový účiník
P
∑
λ=
∑S
∑U
i =0
i
⋅ I i ⋅ cos ϕi
n
n
∑U ⋅ ∑ I
2
i
=i 0=i 0
∑P = P
+ PV + PW
činný
U
+ SV + SW
zdánlivý
U
+ QV + QW
jalový
U
∑S = S
∑Q = Q
2
i
35
Příklad měření parametrů sítě - Analyzátor 3f sítě
Je použit v laboratorní úloze 2B
Analyzátor sítě DMK 40 je číslicový TRMS
multimetr řízený mikroprocesorem, určený pro
měření parametrů 1f a 3f soustav. Měří:
• Uf skutečnou efektivní hodnotu fázových
napětí
• US skutečnou efektivní hodnotu sdružených
napětí
• If skutečnou efektivní hodnotu fázových
proudů
• P činný výkon v jednotlivých fázích
• Q jalový výkon v jednotlivých fázích
• S zdánlivý výkon v jednotlivých fázích
• f kmitočet
• opravdový účiník v jednotlivých fázích (P.F.)
• účiník v jednotlivých fázích (cos ϕ)
• harmonické složky napětí a proudů do 22.
harmonické
• odebrané i dodané energie
36
Elektrické stroje
37
Elektrické stroje
Točivé stroje
Netočivé stroje
38
Motor
39
Vznik točivého magnetického pole motoru
I1
U1
U2
0
W2
V2
W1
V1
I2
I3
3 cívky po 120°
40
Točivé magnetické pole
Pokusy s „motory“
• Francois Arago 1825
• Walter Baily 1879
• Galileo Feraris 1885 -Turino
Volba kmitočtu:
125 Hz, 133 Hz
25, 30 Hz
60 (50) Hz
Asynchronní motor (Nikola Tesla)
• 1882 idea
• 1888 patent (dvoufázový motor)
Tzv. „Válka proudů“ - Westinghouse versus Edison
Vítězství koncepce střídavého proudu
• 1893 – vodní elektrárna Niagara (2× 3725 kW)
• 10 dvoufázových generátorů po 500 HP
41
Z historie
N. Tesla: ukázka z knihy o vícefázových
proudech – dvoufázový indukční stroj
42
Z historie
Ukázka z přednášek prof. Domalípy, u něhož N. Tesla
v Praze studoval experimentální fyziku
43
Animace vzniku točivého pole
Točivé magnetické
pole
i3
i2
i1
Vzájemnou záměnou dvou
libovolných vinutí (např. 2 a 3) se
změní smyl otáčení pole!
44
Asynchronní motor
Rotor s vinutím nakrátko
Momentová charakteristika
Synchronní otáčky
45
Motor
46
Motory
Reverzace směru otáčení motoru
záměnou dvou fází.
47
Kompenzace jalového výkonu
P
Q
Q
•
•
Přidáním kompenzačního prvku s opačnou reaktancí
k zátěži se zmenší Q procházející napájecím vedením
 snížení přenosových ztrát
Energie jalového výkonu se akumuluje v
kompenzačním prvku
48
Kompenzace jalového výkonu
Jalový výkon je přenášen přenosovou soustavou a zvyšuje ztráty,
proto je nutné jej minimalizovat  kompenzace jalového výkonu.
49
Kompenzace jalového výkonu
Kompenzace pomocí lokálních
prvků (kompenzační C) nebo
centrálních kompenzátorů.
50
Centrální kompenzátor jalového výkonu
•
•
•
Umístění v rozvodně objektu
Obsahuje baterie kompenzačních C
Připojování C řídí jednotka podle aktuální
hodnoty účiníku
51
Účinnost
Příklad výpočtu
(ze štítkových údajů motoru)
Příkon motoru:
P1 =3U f I f cos ϕ =⋅
3
400
⋅ 8,3 ⋅ 0,83 =
3
= 4773 W
Výkon motoru:
P2 = 4000 W
Účinnost motoru:
=
η
P2 4000
=
=  0,84
P1 4773
52
Trojfázové tranformátory
53
Šestifázová soustava
L2
L3
L4
L5
L6
Usměrněný průběh
(malé zvlnění)
u
-UV
UW
-UU
12
0°
Re
t
0
UV
Časový průběh
3f síť
U
L1=U
L2=-W
L3=V
L4=-U
L5=W
L6=-V
V
W
Použití:
výkonové usměrňovače
(např. železniční trakce)
UU
60
°
LU1
Im
-UW
Fázorový diagram
6f síť
Zapojení zátěže:
• hvězda YY,
• šestiúhelník,
• dvojitý trojúhelník DD
Transformátor Yy0
54
Analýza trojfázových obvodů
55
Analýza trojfázových obvodů v HUS
A) Nesouměrný zdroj a/nebo nesouměrná zátěž YN (obecný případ)
Z1 ≠ Z 2 ≠ Z3
I1
ZV
U10
Z1
IN
U30
U1
ZN
U20
Z3
Z2
UN
I2
U2
I3
ZV
Metody řešení :
• Kirchoffovy rovnice
• MSP
• MUN
ZV
Pozn.: Případné
impedance fázových
vodičů Zv se přičtou
k impedancím zátěže
U3
Postup analýzy:
1.výpočet UN, IN
2.výpočet napětí na zátěžích
3.výpočet proudů zátěží
4.výpočet výkonů (pomocí S)
56
Analýza trojfázových obvodů v HUS
I1
1) Výpočet UN a IN
U10
Z1
IN
U30
U1
ZN
U20
Z3
Z2
UN
I2
U2
U3
I3
Z1
I1
U10
Z2
I2
Přepočítáme zdroje
Z3
I3
IN
U10
U 20
U 30
=
I10 =
, I 20 =
, I 30
Z1
Z2
Z3
UN
IN
UN
U20 U30 ZN
Y1
I10
Y2
I20
Y3
YN
I30
57
Analýza trojfázových obvodů v HUS
1) Výpočet UN a IN
IN
Y2
Y1
Y ⋅ UN =
I
I10
I20
Y3
UN
YN
I30
[ YN + Y1 + Y2 + Y3 ] ⋅[ U N=]
UN =
 U10 Y1 + U 20 Y2 + U 30 Y3 
U10 Y1 + U 20 Y2 + U 30 Y3
I1
YN + Y1 + Y2 + Y3
U10
Z1
UN
U30
U20
I2
I=
YN ⋅ U N
N
U1
Z3
Z2
U2
U3
I3
Pozn.: Pro zapojení Y (bez středního vodiče)
je YN = 0
58
Analýza trojfázových obvodů v HUS
I1
2) Výpočet napětí na zátěžích
U10
Z II.K.z. vyplývá:
U
U10 − U N
=
1
IN
U30
I2
U
U 30 − U N
=
3
I1 = U1 / Z1
I 2 = U2 / Z2
I 3 = U 3 / Z3
U1
ZN
U20
U
U 20 − U N
=
2
3) Výpočet proudů zátěží
(tedy i fázových proudů)
Z1
Z3
Z2
UN
U2
U3
I3
4) Výpočet výkonů
S1 = U1I1*
Pn = Re {S n }
S 2 = U 2 I*2
Qn = Im {S n }
S 3 = U 3I*3
S n = Sn
59
Analýza trojfázových obvodů v HUS
B) Souměrný zdroj – nesouměrná zátěž Y (poruchy zátěže)
I1
U10
U30
Z1
U20
I2
I3
U10 = U
U 20= a ⋅ U
2
U 30= a ⋅ U
U1
Z3
Z2
U2
Porucha:
a) zkrat 1. fáze
Z1 =0 (U1 = 0)
b) vodič 1 přerušen
Z1  ∞
U3
Z II. K.z.:
−U 3 + U 30 − U10 =
0
U
=
U 30 − U10
3
−U 2 + U 20 − U10 =
0
U
=
U 20 − U10
2
60
Analýza trojfázových obvodů v HUS
Z2
Z3
U2
U10
U3
U3
Závěr: Při zkratu fáze se
napětí na zbývajících
impedancích √3× zvětší!
U30
U30
U10
-U10
U20 U30
U1 = 0
U2
U20 U
20
U 2 = U 20 − U10 = a 2 U − U= U ( a 2 − 1)=
U 3 = U 30 − U10 = a U − U =
1
3
1 e j120° =− + j
a =⋅
2
2
1
3
a 2 − 1 =− − j
− 1 = 3 ⋅ e − j150°
2
2
U ( a − 1) =
3Ue-j150°
3Ue j150°
1
3
a − 1 =− + j
− 1 = 3 ⋅ e j150°
2
2
61
Analýza trojfázových obvodů v HUS
B) Souměrný zdroj – nesouměrná zátěž Y (poruchy zátěže)
I1 =I1 0
U10
U30
U1
Z1
U20
ZU11
Z3
Z2
I2
U2
Porucha:
a) zkrat 1. fáze
Z1 =0 (U1 = 0)
b) zátěž 1 přerušena
Z1  ∞
U3
I3
U10 = U
U 20= a 2 ⋅ U
I1 = 0
Z I. K.z.:
Z II. K.z.:
I 2 = −I 3
U1 = U10 − U 20 + U 2
U 30= a ⋅ U
62
Analýza trojfázových obvodů v HUS
Z2
U=
1,5 ⋅ U
1
Z3
U3
U2
I
U20
U30
U 20 − U 30
I=
Z 2 + Z3
U3
U30
U
30
30
U10
U
10
3
U2 = − j
U
2
U 3 = −U 2 =j
Z 2 = Z3
3
U
2
U
U20
20
20
U 20 − U 30
2Z
U1 = U10 − U 20 + U 2 = U − a 2 U + 0,5U ( a 2 − a ) =1,5 ⋅ U
U
U22
U1
-U
-U30
30
I=
U 2 =I ⋅ Z =0,5 ( U 20 − U 30 ) =0,5 ( a 2 U − aU ) =0,5U ( a 2 − a )
a 2 − a =− j 3
Závěr: Při přerušení fáze se na ní napětí zvýší na 1,5násobek (!)
a napětí na zbývajících impedancích se zmenší 0,5√3 = 0,866krát.
63
Analýza trojfázových obvodů v HUS
C) Nesouměrný zdroj – nesouměrná zátěž ∆ (obecný případ)
I1
U12
U10
I12
U30
Z1 Z3
U20
Z2
I2
I3
Metody řešení :
• Kirchoffovy rovnice
• MSP
I31
U23
U31
I23
Postup analýzy:
1. výpočet napětí na zátěžích
2. výpočet proudů zátěží
3. výpočet fázových proudů
4. výpočet výkonů (pomocí S)
64
Analýza trojfázových obvodů v HUS
I1
Pro souměrný zdroj:
U12
U10
U31
I12
U30
Z2
I2
I3
1) Výpočet napětí
na zátěžích
I31
Z1 Z3
U20
30° U1
U12 = 3U1e
j30°
U 23 = a 2 U12
U23
U31
U12
U3
I23
U2
U 31 = aU12
U=
U10 − U 20
12
U=
U 20 − U 30
23
U=
U 30 − U10
31
U23
3) Výpočet fázových proudů
I1 =
I12 − I 31 , I 2 =
I 23 − I12 , I 3 =
I 31 − I 23
4) Výpočet výkonů
2) Výpočet proudů zátěží
(sdružených proudů)
I12 = U12 / Z1
I 23 = U 23 / Z 2
I 31 = U 31 / Z3
*
S1 = U12 I12
Pn = Re {S n }
S 2 = U 23I*23
Qn = Im {S n }
S 3 = U 31I*31
S n = Sn
65
Analýza trojfázových obvodů v HUS
D) Souměrný zdroj – souměrná zátěž (Y nebo ∆)
Výpočet se zjednoduší – počítáme pouze pro 1 fázi!
I1
Z=
Z=
Z=
Z UN = 0
1
2
3
U10
Z
UN = 0
U30
U20
I2
I3
U10
Lze doplnit nulový vodič, opticky
vzniknou 3 jednofázové obvody.
Z
Z
U20
U30
U10
Z
2
=
I 2 a=
I1 , I 3 a I1
I1 =
S =3 ⋅ S1 =3 ⋅ U10 I1*
Postup výpočtu:
• Vypočteme potřebné veličiny pro jednu fázi (např. 1.)
• Veličiny ve zbývajících fázích získáme pouhým natočením pomocí
operátoru a2 resp. a
Stejně postupujeme i pro zapojení ∆
• Celkový komplexní výkon je S = 3·S1
66
Příklad
Spotřebič je zapojen do hvězdy, impedance Z1 = Z2 = Z3 = Z = (10 + j25) Ω. Je napájen souměrným
zdrojem o sdružených napětích US = 400 V.
( U12= 400ej 0°, U23 = 400e-j120°, U31 = 400ej120°).
Vypočtěte proudy, celkový komplexní, činný, jalový a zdánlivý výkon spotřebiče.
Souměrná napájecí soustava i zátěž
U
I1
U12
U1
U
I1 = 1
Z
Z1
Z3
Z2
I2
U2
U3
I 2 = a 2 I1
I 3 = a I1
U31
U3
I3
V
U23
U31
U12
W
30°
UN = 0
U12 − j30°
U=
e = 231∠ − 30° V
1
3
U1
U2
U23
67
Příklad
U
I1
U12
=
I1
U1
Z1
U1 231∠ − 30°
=
= 8,577∠ − 98, 20° A
Z
(10 + j25)
I 2 =a 2 I1 =I1e − j120° =8,577∠141,80° A
Z3
Z2
I2
U2
U3
I3
V
U23
U31
I 3 =aI1 =I1e j120° =8,577∠21,80° A
S =3 ⋅ S1 =3 ⋅ U1I1∗ =3 ⋅ Z1 I12 =
= ( 2207 + j5517 ) = 5942∠68, 20° VA
W
=
P Re
=
{S} 2207 W
=
Q Im
=
{S} 5517 var
S= S= 5942 VA
68
Alternativně pomocí MSP
I1
U12
Z
IS1
Z
Z
I2
U23
MSP
U31
IS2
I3
 2Z − Z   IS1   U12 
U 
 − Z 2Z  ⋅  I  =

  S2   23 
400
 20 + j50 −10 − j25  I S1  

⋅
=
 −10 − j25 20 + j50  I   400∠ −120°

  S2  

I1 = I S1
I=
I S2 − IS1
2
I 3 = −I S2
69
Rozklad nesouměrné soustavy na souměrné
složky
Im
Im
UW
UU
UW
Re
UV
UU
Re
UV
Souměrné složky napětí a proudu lze
fyzikálně interpretovat a
jsou přímo měřitelné.
Nesouměrná
soustava
Im
UaW
Sousledná
(synchronní)
soustava
Zpětná (inverzní)
soustava
Nulová
(netočivá)
soustava
Im
Im
UbV
UaU
U0
Re
Re
UbW
UaV
UU = Ua + Ub + U 0
UV = a2Ua + aUb + U0
UW = aUa + a2Ub + U0
UaU = Ua
UaV = a2Ua
UaW = aUa
Re
UbU
UbU = Ub
UbV = aUb
UbW = a2Ub
U0U = U0
U0V = U0
U0W = U0
70
Rozklad nesouměrné soustavy na souměrné
složky
Im
Im
Im
UaW
UW
UU
UV
Im
UbV
UaU
Re
U0
Re
Re
Re
UbW
UbU
UaV
Nesouměrná
soustava
činitel nesouměrnosti
ρ=
Ub
Ua
Sousledná
soustava
Zpětná
soustava
Nulová
soustava
činitel nevyváženosti
U0
η=
Ua
Při U0 = 0 je soustava vyvážená
Používají se např. pro posouzení kvality přenosu elektrické energie.
71
Rozklad nesouměrné soustavy na souměrné
složky
Nesouměrná
soustava
IU
Z
UV
IV
Z
UW
IW
Z
UU
ZN
IN
Výkon nesouměrné trojfázové soustavy
vyjádřený souměrnými složkami
S= 3(U a I*a + U b I*b + U 0 I*0 )
Proud IN je způsoben nulovou složkou,
při I0 = 0 je IN = 0, soustava je vyvážená
UaU
UbU
IU
Z
UaV
UbV
IV
Z
IU = Ia +
UbW
IW
Z
IV = a 2Ia + a Ib + I0
IW =a Ia + a 2Ib + I0
UaW
U0
ZN IN
Ib + I0
Rozklad na souměrné složky - důležitý v teorii točivých elektrických strojů
72
Konec
Kolejní 2906/4
612 00 Brno
Czech Republic
Tel.: 541 149 521
Fax: 541 149 512
e-mail: [email protected]
73