Frekvenční modulace

Frekvenční modulace
Řídíme-li frekvenci jednoho signálu okamžitou velikostí druhého signálu,
dostáváme tzv. frekvenční modulaci. Řízený signál bývá výlučně harmonický a
nazývá se nosný signál, řídicí signál se označuje jako modulační. Výsledným
produktem je frekvenčně modulovaný signál. Pokud bude nosný i modulovaný
signál harmonický, lze výsledný časový průběh frekvenčně modulovaného
signálu vyjádřit vztahem (viz literatura [1])


kω c
u FM ( t ) = U c sin ω c t +
sin ω m t  = U c sin (ω c t + β sin ω m t )
ωm


kde výraz
β=
kω c
ωm
=
∆f
fm
je tzv. index frekvenční modulace a ∆f = kωc/2π =k fc je frekvenční zdvih.
Činitel k je poměrná změna kmitočtu, která je úměrná amplitudě Um
modulačního signálu.
A
A
fc
f
fm
fc
f
spektrum FM (β = 3)
spektrum nemodulované nosné
Obr. 1 Amplitudové spektrum frekvenčně modulovaného signálu
Příklad frekvenčně modulovaného signálu v časové oblasti je nakreslen na
obrázku 2 a jeho spektrum ve frekvenční oblasti na obr. 1. Z teorie frekvenční
modulace je známo, že spektrum frekvenčně modulovaného signálu se skládá z
nekonečného počtu postranních frekvenčních složek, vzájemně od sebe
vzdálených o modulační frekvenci fm . Amplitudy těchto složek jsou určeny
Besselovými funkcemi prvního druhu a n-tého řádu, jejichž argumentem je
index kmitočtové modulace β.
u FM (t ) = U c ⋅ ( J 0 ( β ) cos ω c t + J 1 ( β )[cos(ω c + ω m )t − cos(ω c − ω m )] +
+ J 2 ( β )[cos(ω c + 2ω m )t + cos(ω c − 2ω m )t ] +
+ J 3 ( β )[cos(ω c + 3ω m )t − cos(ω c − 3ω m )t ] + …
1
)
um(t )
Amplitudu nosné vlny určuje funkce J 0 ( β ) , která dosahuje nulové hodnoty při
zcela konkrétních hodnotách β. Toho se využívá při měření indexu frekvenční
modulace metodou Besselových nul.
Um
a)
uc(t )
t
Uc
b)
uFM(t )
c)
t
t
Obr. 2 Průběhy signálů frekvenční modulace
Metoda Besselových nul
Metoda využívá předchozích poznatků. Při určitých hodnotách indexu
frekvenční modulace, a tudíž při určitých hodnotách modulačního napětí, je ve
spektru frekvenčně modulovaného signálu amplituda spektrální složky nosné
frekvence rovna nule. Amplituda nosné vlny v závislosti na indexu modulace je
určena Besselovou funkcí nultého řádu. Číselné hodnoty kořenů 1 až 6
funkce J 0 ( β ) , tj. velikost indexu modulace β, jsou uvedeny v tabulce.
Nevýhodou metody je její schopnost měřit index modulace β právě pouze
v těchto diskrétních nulových bodech. Metodu lze nicméně rozšířit i na měření
nulových bodů spektrálních složek na frekvencích fc ± n⋅fm , jejichž amplitudy
jsou dány absolutní hodnotou funkcí J n ( β ) . Tím docílíme hustší sítě nulových
bodů a tedy i měřitelných indexů modulace β (viz následující tabulka a obr. 3).
2
Pořadí nulového bodu
Nulový bod funkce J 0 ( β )
1.
2.
3.
4.
5.
6.
2.40
5
5,52
0
3,83
2
5,13
6
6,38
0
8,65
4
7,01
6
8,41
7
9,76
1
11,7
9
10,1
7
11,6
2
13,0
2
14,9
3
13,3
2
14,8
0
16,2
2
18,0
7
16,4
7
17,9
6
19,4
1
Nulový bod funkce J 1 ( β )
0
Nulový bod funkce J 2 ( β )
0
Nulový bod funkce J 3 ( β )
0
1,0
0,9
J0(β)
0,8
0,7
J1(β)
0,6
J2(β)
0,5
J0(β)
J1(β)
J2(β)
J3(β)
J3(β)
0,4
0,3
0,2
0,1
0
−0,1
−0,2
−0,3
−0,4
−0,5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
β
Obr. 3 Besselovy funkce nultého až třetího řádu
Doporučená literatura
[1]
[2]
[3]
Žalud, V.: Moderní radioelektronika. Praha, BEN − technická literatura
2000.
Vejražka, F.: Signály a soustavy. Praha, ČVUT 1992.
Agilent Technologies, Palo Alto: Spectrum analysis: Amplitude and
Frequency Modulation. Application Note 150-1, 2001.
3