Příklady k procvičení

MECHANIKA - PŘÍKLADY
1
Přı́klad 1 Vypočı́tejte reakce RAy a RBy . Maximálnı́ velikost spojitého zatı́ženı́ je q0
L1
+ L2
2
RAy = q0
L1 + L2
L1
L1
2
RBy = q0
L1 + L2
L1
a)
q
A
B
L1
L2
q
B
L1
L2
q
B
L1
L2
q
B
L1
L2
q
B
L1
L2
f)
RAy
q
A
B
L1
L2
L1
L2
− L2
3
2
RAy
L1
L1 2L1
L2
+ L2
+ L1
3
2
RBy = q0 2
L1
L1
= q0 2
e)
A
L1
L2 L2
−
2
2
3
RAy = q0
L1
L2 L2
L1
+
+ L1
L1
2
2
3
RBy = q0
L1
L1
d)
A
L2 L2
L1
−
3
2
3
RAy
L1
L1 2L1
L2 L2
+
+ L1
3
2
3
RBy = q0 2
L1
L1
= q0 2
c)
A
L1
L2
− L2
2
2
RAy = q0
L1
L1
L2
L1
+ L2
+ L1
2
2
RBy = q0
L1
L1
b)
A
RBy
L1
= q0 2
L1
L2 2L2
+ L2 +
3
2
3
L1 + L2
L1 2L1
L2 L2
+
+ L1
3
2
3
= q0 2
L1 + L2
Vytvořeno pro studenty FVTM UJEP
Připomı́nky a náměty posı́lejte na [email protected]
MECHANIKA - PŘÍKLADY
2
L2 2L2
L1
+ L2 +
L1
2
2
3
RAy = q0
L1 + L2
L2 L2
L1
L1
+
+ L1
2
2
3
RBy = q0
L1 + L2
q
A
B
L1
L2
h)
q
B
L1
L2
i)
q
RAy
A
L1
= q0 2
B
L1
L2
L3
RBy
j)
RAy = q0
A
RBy = q0
q
RAy
A
B
L1
L2
L3
RBy
l)
F1
F2
A
B
L1
L2
L3
L2 L2
2L1
+
+ L1
3
2
3
L1 + L2 + L3
L2 L2
L1
+
+ L1
2
2
3
L1 + L2 + L3
L1
= q0 2
2L1
L2
+ L2
+ L1
3
2
L1 + L2 + L3
RAy =
F1 (L2 + L3 ) + F2 (L3 )
L1 + L2 + L3
RBy =
F1 (L1 ) + F2 (L2 + L1 )
L1 + L2 + L3
Vytvořeno pro studenty FVTM UJEP
Připomı́nky a náměty posı́lejte na [email protected]
L1
L2
+ L2 + L3 + L2
+ L3
3
2
L1 + L2 + L3
L1
L1
= q0 2
L1
L2 2L2
+ L2 + L3 +
+ L3
2
2
3
L1 + L2 + L3
L3
k)
B
L2
L2 2L2
L1
+ L2 + L3 +
+ L3
3
2
3
L1 + L2 + L3
L1
= q0 2
L1
q
L1
L1
L2
+ L2 + L2
3
2
RAy
L1 + L2
L1 2L1
L2
+ L2
+ L1
3
2
RBy = q0 2
L1 + L2
L1
= q0 2
A
g)
MECHANIKA - PŘÍKLADY
3
m)
F1
RAy =
F2
A
B
L1
L2
RBy =
L3
n)
F1
RAy =
F2
A
L1
L3
F1
L2
RBy =
L3
p)
F1
A
F2
B
L1
L2
F1
B
L2
−F1 (L2 ) − F2 (L3 + L2 )
L1
F1 (L2 + L1 ) + F2 (L3 + L2 + L1 )
L1
RAy =
F2
A
RBy =
L3
F1 (L2 ) − F2 (L3 )
L1 + L2
F1 (L1 ) + F2 (L3 + L2 + L1 )
L1 + L2
RAy =
RBy =
L3
q)
L1
RAy =
F2
B
L1
−F1 (L1 + L2 ) − F2 (L2 )
L3
RBy =
o)
−F1 (L1 ) + F2 (L2 )
L2 + L3
F1 (L1 + L2 + L3 ) + F2 (L2 + L3 )
L3
B
L2
A
F1 (L1 + L2 + L3 ) + F2 (L3 )
L2 + L3
F1 (L1 + L2 ) − F2 (L3 )
L2
−F1 (L1 ) + F2 (L3 + L2 )
L2
r)
−M1 − M2
L1 + L2 + L3
M1 + M2
=
L2 + L2 + L3
RAy =
M1
A
L1
M2
L2
B
L3
RBy
s)
−M1 + M2
L1 + L2 + L3
M1 − M2
=
L2 + L2 + L3
RAy =
M1
A
L1
M2
L2
B
L3
RBy
t)
−M1 + M2
L2
M1 − M2
=
L2
RAy =
M1
A
L1
M2
B
L2
L3
RBy
Vytvořeno pro studenty FVTM UJEP
Připomı́nky a náměty posı́lejte na [email protected]
MECHANIKA - PŘÍKLADY
4
u)
−M1 + M2 − M3
L2
M1 − M2 + M3
=
L2
RAy =
M1
A M2
L1
M3
B
L2
L3
RBy
v)
RAy =
F1
A M1
L1
M2
B
L2
L3
RBy =
w)
F1
A M1
L1
B
L2
L3
M2
F2
RAy =
F1
RAy =
A
L1
F1 (L1 ) − F2 (L3 + L2 ) − M1 + M2
L2
−F1 (L1 + L2 ) + q0 L1
L2
M1
B
L2
F1 (L1 ) − M1 + M2
L2
−F1 (L1 + L2 ) + F2 (L3 ) + M1 − M2
L2
RBy =
x)
q
−F1 (L1 + L2 ) + M1 − M2
L2
L3
RBy =
F1 (L1 ) − q0 L1
Vytvořeno pro studenty FVTM UJEP
Připomı́nky a náměty posı́lejte na [email protected]
L2
L1
+ L2 + M1
2
L1
+ M1
2
MECHANIKA - PŘÍKLADY
5
Přı́klad 2 Vypočı́tejte reakce v bodech A a B. Sı́ly působı́ v rozı́ch nebo polovině hrany.
a)
F~1
F~2
RAx = F2
√
60◦
RAy = −F1 + F2
b
A
RBy = F2
B
a
b)
F~1
b
45◦
45◦
A
RBy
B
a
c)
F~3
b
45◦
RAx
45◦
A
a
F~1
3b
2a
√
3b 1
−
−
2a
2
!
!
√
2
2
RAx = F1 + F2
− F3
2
2
√ !
3b
RAy = −F1 + F2
2a
√
√
!
2 b
2
b
= −F1 − F2
+ 1 − F3
a
2 a
2
b
+1
2a
d)
F~1
B
F~3
b
45◦
A
F~2
a
!
√ !
√ !
√
2a
2
2a
2
+ F3
+
−
RB = F2
2b
2
2b
2
√
√
√
√
2
2
2a
2a
− F3
− RB = F1 + F2
− F3
= F1 + F2
2
2
2b
2b
√
√
2
2
RAy = −F2
− F3
2
2
√
F~2
B
√
√
F~2
F~3
3
2
√
√ !
√
b
2
2
2b
RB = F1 + F2
+ F3
−
a
2
2
4a
√
√
2
2
− F3
RAx = F1 + F2
2
2
√
2b
b
RAy = −F1 + F3
a
4a
45◦
Vytvořeno pro studenty FVTM UJEP
Připomı́nky a náměty posı́lejte na [email protected]
MECHANIKA - PŘÍKLADY
6
e)
F~1
√ !
√
2a
2a
2
+ F3
+
RB = −F2
2b
2b
2
√
√ !
√
2a
2
2a
+ F3
+
RAx = F2 −
2b
2
2b
√
√
2
2
RAy = −F1 − F2
− F3
2
2
√
B
F~3
b
45◦
A
F~2
a
45◦
f)
F~1
F~2
F~3
b
45◦
45◦
A
a
B
45◦
√ b
b
b
+ F3 −1 +
RB = −F1 2 + F2 −1 −
a
a
2a
√
√
!
b
2b
2b
+ F2
− F3
RAx = F1 1 +
a
2a
4a
√
√
2b
2b
b
RAy = F1 + F2
− F3
a
2a
4a
!
!
g)
F~1
b
a
2
+ F3
RB = F2
a−b
a−b
√
2(2a − b)
b
RAx = F2
+ F3
2(a − b)
2(a − b)
√
√
2b
2b
RAy = −F1 + F2
+ F3
2(a − b)
4(a − b)
B
a−
45◦
F~3
b
45◦
A
F~2
a
45◦
h)
F~1
F~2
60◦
F~3
b
45◦
45◦
A
a
B
60◦
2(b − 2a)F3 +
√
2(−2b − 2a)F2 − 2bF1
2a
√ √
√ √ 2a − 2 3b F1 +
2 3(−2b − 2a) + 2 2a F2
RB =
RAx =
√
√
+
√
RAy = −
4a
√
√ 2 3(b − 2a) − 2 2a F3
√
4a
√
2bF3 − 2 2bF2 + 2 3a − 2b F1
4a
Vytvořeno pro studenty FVTM UJEP
Připomı́nky a náměty posı́lejte na [email protected]
MECHANIKA - PŘÍKLADY
7
i)
B
F~3
F~2
60◦
45◦
√ !
√
2a
2a
6
a
+ F2
+ 1 + F3
−
RB = F1
2b
b
4b
2
√
√ !
3
2a
a
a
RAx = F1 − +
− F2
− F3
2b
2
2b
4b
√ !
√
!
2a
1
1+ 3
a
a
+ F2
+ F3
−
−
RAy = F1
2b 2
2b
4b
2
√
45◦
b
A
30◦
a
F~1
j)
B
F~3
60◦
60◦
Napı́šeme rovnice rovnováhy
P
posuv v ose x
Fx = 0
F~2
60◦
RAx + RB cos 60◦ − F1 sin 45◦ − F2 sin 60◦ − F3 cos 60◦ = 0
b
posuv v ose y
A
a
moment kolem osy z
F~1
45◦
P
P
Fy = 0
RAy − RB sin 60◦ + F1 sin 45◦ + F2 cos 60◦ + F3 sin 60◦ = 0
M =0
a
−RB b cos 60◦ + F1 a sin 45◦ + F2 a cos 60◦ + F2 b sin 60◦ + F3 sin 60◦ + F3 b cos 60◦ = 0
2
dosadı́me za sin a cos
√
√
1
2
3
1
RAx + RB − F1
− F2
− F3 = 0
2
2
2
2
√
√
√
3
2
3
1
RAy − RB
+ F1
+ F2 + F3
=0
2
2
2
2
√
√
√
2
1
3
3
1
1
+ F2 a + F2 b
+ F3 a/2
+ F3 b = 0
−RB b + F1 a
2
2
2
2
2
2
a tuto soustavu vyřešı́me
√
√
3aF3 + 2aF2 + 2(2a − 2b)F1
RAx = −
4b
√ √
√ √ 3aF3 + 4b + 2 3a F2 + 2 2 3a − 2 2b F 1
RAy =
4b
√
√
√ 2b + 3a F3 + 2 3b + 2a F2 + 2 2aF1
RB =
2b
Vytvořeno pro studenty FVTM UJEP
Připomı́nky a náměty posı́lejte na [email protected]
MECHANIKA - PŘÍKLADY
8
Přı́klad 3 Vypočı́tejte maximálnı́ hmotnost m2max a minimálnı́ hmotnost m2min tělesa 2 tak, aby se soustava
nepohybovala. Zadané parametry: µ1 = 0.12; µ2 = 0.14; µ3 = 0.1; µ4 = 0.15; µ5 = 0.2
a)
µ1
m1
µ3
m2max =
m1 µ1 eµ3 α3
=
sin 70◦ − µ2 cos 70◦
7
70◦
µ2
m2
10 · 0.12e0.1 18 π
= 1.52kg
=
0.94 − 0.14 · 0.34
m2min = 0kg
b)
µ3
µ1
m1
m2max = m1 (sin 30◦ + µ1 cos 30◦ )eµ3 α3 =
√ !
3 2π
1
e 3 = 7.4463kg
+ 0.12
= 10
2
2
30◦
m2min = m1 (sin 30◦ − µ1 cos 30◦ )e−µ3 α3 =
√ !
3 −2π
1
= 10
e 3 = 3.2123kg
− 0.12
2
2
m2
c)
µ3
m2max = m1 eπµ3 = 10 · e0.1π = 13.69kg
m2min = m1 e−πµ3 = 10 · e−0.1π = 7.30kg
m1
m2
Vytvořeno pro studenty FVTM UJEP
Připomı́nky a náměty posı́lejte na [email protected]
MECHANIKA - PŘÍKLADY
9
d)
µ4
30◦
m2max = m1 eπ(µ3 3 +µ4 2 +µ5 6 ) =
1
µ3
60◦
1
1
= m1 eπ(0.1 3 +0.15 2 +0.2 6 )
1
1
1
17
= 10e 120 π = 15.606kg
µ5
m2min = m1 e−π(µ3 3 +µ4 2 +µ5 6 ) =
1
1
1
= m1 e−π(0.1 3 +0.15 2 +0.2 6 )
1
1
1
17
= 10e− 120 π = 6.408kg
m1
m2
e)
µ5
µ3
m2max = m1 eµ3 α3 eµ4 α4 eµ5 α5 =
= m1 eµ3 α3 +µ4 α4 +µ5 α5 =
= m1 e0.1π+0.15π+0.2π = 10e0.45π = 41.112kg
m2min = m1 e−µ3 α3 e−µ4 α4 e−µ5 α5 =
= m1 e−(µ3 α3 +µ4 α4 +µ5 α5 ) =
= m1 e−(0.1π+0.15π+0.2π) = 10e−0.45π = 2.432kg
m1
m2
µ4
f)
µ4
30◦
µ3
m2
m1
Vytvořeno pro studenty FVTM UJEP
Připomı́nky a náměty posı́lejte na [email protected]
MECHANIKA - PŘÍKLADY
10
g)
µ3
µ1
m1
30◦
45◦
µ2
m2
Pokud by byla m2 většı́ než m2max , bude těleso 2
klesat. Třecı́ sı́la působı́ proti směru pohybu. Přerušı́me lano mezi tělesem 1 a pevným bubnem
a zavedeme v lanu tahové sı́ly FL1 . Po přerušenı́
lana mezi tělesem 2 a pevným bubnem a zavedeme v lanu tahové sı́ly FL2 Pro každou část
zavedeme rovnice rovnováhy.
−µ1 m1 g cos 30◦ − m1 g sin 30◦ + FL1 = 0
FL2 = FL1 eµ3 α3
m2max
−FL2 − µ2 m2max g cos 45◦ + m2max g sin 45◦ = 0
√
!
3 1 µ3 5
e 12
+
m1 µ1
2
2
(µ1 m1 cos 30◦ + m1 sin 30◦ ) eµ3 α3
√
=
=
=
sin 45◦ + µ2 cos 45◦
2
(1 − µ2 )
2
√
!
3 1
1
10 0.12
e 24
+
2
2
√
=
= 11.32kg
2
(1 − 0.14)
2
Pokud by byla m2 menšı́ než m2min , bude těleso 1 klesat.
µ1 m1 g cos 30◦ − m1 g sin 30◦ + F1 = 0
FL2 = FL1 e−µ3 α3
−FL2 + µ2 m2min g cos 45◦ + m2min g sin 45◦ = 0
(−µ1 m1 cos 30◦ + m1 sin 30◦ ) e−µ3 α3
=
sin 45◦ + µ2 cos 45◦
√
√
!
!
3 1 − 10 µ3
3 1 −1
e 24
e 24
+
10 −0.12
+
−µ1
2
2
2
2
√
√
=
= 4.311kg
2
2
(1 + µ2 )
(1 + 0.14)
2
2
m2min =
m1
=
Vytvořeno pro studenty FVTM UJEP
Připomı́nky a náměty posı́lejte na [email protected]
MECHANIKA - PŘÍKLADY
11
Dynamika
Přı́klad 4 Vypočı́tejte zrychlenı́ soustavy a2 , je-li dáno: µ1 = 0.12, µ2 = 0.14, µ3 = 0.1, µ4 = 0.15, µ5 = 0.2,
m1 = 10kg, I3 = 0.1kg m2 , I4 = 0.3kg m2 , I5 = 0.5kg m2 , R3 = 0.15m, R4 = 0.2m, R5 = 0.25m
a)
µ1
m1
I3
R3
a2 =
70◦
g[m2 (sin 70◦ − µ2 cos 70◦ ) − m1 µ1 ]
= 7.5416m s−2
I3
m1 + m2 + 2
R3
µ2
m2
b)
I3
R3
µ2
m2
30◦
a2 =
g[m2 (sin 30◦ − µ2 cos 30◦ ) − m1 ]
= 2.3895m s−2
I3
m1 + m2 + 2
R3
m1
c)
I3
R3
µ1
m1
30◦
a2 =
g[m2 − m1 (sin 30◦ + µ1 cos 30◦ )]
= 8.0542m s−2
I3
m1 + m2 + 2
R3
m2
Vytvořeno pro studenty FVTM UJEP
Připomı́nky a náměty posı́lejte na [email protected]
MECHANIKA - PŘÍKLADY
12
d)
I3
R3
a2 =
m1
g(m2 − m1 )
= 7.7147m s−2
I3
m1 + m2 + 2
R3
m2
e)
I4
R4
30
◦
I3
R3
60◦
a2 =
I5
R5
g(m2 − m1 )
= 6.7944m s−2
I4
I5
I3
m1 + m2 + 2 + 2 + 2
R3 R4 R5
m1
m2
Vytvořeno pro studenty FVTM UJEP
Připomı́nky a náměty posı́lejte na [email protected]
MECHANIKA - PŘÍKLADY
13
f)
µ4
Počátečnı́ rychlost je vždy 0.
−m1 g − m1 a1 = 0 =⇒ FL1 = m1 (g + a1 ) = m1 (g + a2 )
30◦
µ3
R3
−FL1 R3 −
60◦
I3
a2
I3 + FL2 R3 = 0 =⇒ FL2 = FL1 + a2 2
R3
R3
FL3 = FL1 eµ4 α4
a2
−FL3 R5 −
I5 + FL4 R5 = 0 =⇒
R5
I5
FL4 = FL3 + a2 2
R5
µ5
R5
m1
m2
−FL4 − m2 a2 + m2 g = 0
a2
a2
m1 (g + a2 )
I3 eµ4 α4 + 2 I5 + m2 (a2 − g) = 0
R3 62
R5
g)
µ4
R4
30
◦
µ3
60◦
µ5
a2 =
g(m2 − m1 e(µ3 α3 +µ5 α5 ) )
I4
m1 e(µ3 α3 +µ5 α5 ) + m2 + 2 eµ5 α5
R4
m1
m2
Vytvořeno pro studenty FVTM UJEP
Připomı́nky a náměty posı́lejte na [email protected]
MECHANIKA - PŘÍKLADY
14
h)
I3
I5
R3
R5
a2 =
g(m2 − m1 )
= 6.794m s−2
I4
I5
I3
m1 + m2 + 2 + 2 + 2
R3 R4 R5
R4
m1
m2
I4
i)
I3
R3
µ1
m1
a2 =
30◦
45◦
g[m2 (sin 45◦ − µ2 cos 45◦ ) − m1 (sin 30◦ − µ1 cos 30◦ )]
I3
m1 + m2 + 2
µ2
R3
m2
= 4.873m s−2
Vytvořeno pro studenty FVTM UJEP
Připomı́nky a náměty posı́lejte na [email protected]
MECHANIKA - PŘÍKLADY
15
j)
Zadánı́ dle obrázku v přı́kladu
3a)
m1 (µ1 g + a2 ) eµ3 α3 + m2 g cos 70◦ µ2 − m2 g sin 70◦ + m2 a2 = 0
a2 =
g(m2 (sin 70◦ − µ2 cos 70◦ ) − m1 µ1 eµ3 α3 )
= 7.5297m s−2
m2 + m1 eµ3 α3
k)
Zadánı́ dle obrázku v přı́kladu
3b)
a2 =
l)
Zadánı́ dle obrázku v přı́kladu
3c)
g(m2 − m1 (sin 30◦ + µ2 cos 30◦ ) eµ3 α3 )
= 8.0643m s−2
m2 + m1 eµ3 α3
a2 =
m)to je k necemu jinymu
Zadánı́ dle obrázku v přı́kladu
3d)
a2 =
g(m2 − m1 eµ3 α3 )
= 7.4473m s−2
µ
α
3
3
m2 + m1 e
(100 − 10)9.81
9
(m2 − m1 )g
=
= 9.81 = 8.026m s−2
m1 + m2
100 + 10
11
n)
Zadánı́ dle obrázku v přı́kladu
3e)
m1 (g + a2 )e(µ3 α3 +µ4 α4 +µ5 α5 ) + m2 a2 = m2 g
a2 =
9, 81 (100 − 10e0,6π )
m2 g − m1 geµ3 α3 +µ4 α4 +µ5 α5
=
= 2.633m s−2
m2 + m1 eµ3 α3 +µ4 α4 +µ5 α5
100 + 10e
Vytvořeno pro studenty FVTM UJEP
Připomı́nky a náměty posı́lejte na [email protected]
MECHANIKA - PŘÍKLADY
16
Přı́klad 5
Vypočı́tejte minimálnı́ dráhu na které může automobil zastavit, aby bedna umı́stěná na korbě nenarazila
do kabiny. Automobil zpolmaluje konstantnı́m zrychlenı́m. Součinitel třenı́ mezi podlahou korby a bednou
je µ = 0.5, rychlost automobilu je v = 20m/s. Vzdálenost bedny od kabiny automobilu b = 3m.
Kinetická energie bedny se přeměnı́ na práci třecı́ sı́ly. Bedna urazı́ dráhu L
1
kinetická energie
Ek = mv02
2
třecı́ sı́la
Ft = mgµ
práce vykonaná třecı́ silou
EFt = Ft L
Ek = EFt
1 2
mv = mgµL
2 0
v2
odtud zı́skáme dráhu bedny
L = 0 = 40.775m
2gµ
v02
− b = 37.775m
2gµ
rovnice rychlosti automobilu pro rovnoměrně zpomalený pohyb
dráha automobilu bude kratšı́ o b
l =L−b=
vA = v0 − aA tA
⇒
tA =
v0 − vA
v0
=
aA
aA
rovnice dráhy automobilu pro rovnoměrně zpomalený pohyb
l = v0 tA − aA t2A
l = v0 tA − aA t2A =
v2
−v02 1 v02
−
=− 0
aA
2 aA
2aA
v02
aA =
2
v02
−b
2gµ
!
=
⇒
aA =
v02
v02
=
2l
2(L − b)
v02 gµ
= 5.29455ms−2
v02 − 2bgµ
Vytvořeno pro studenty FVTM UJEP
Připomı́nky a náměty posı́lejte na [email protected]
MECHANIKA - PŘÍKLADY
17
rovnice rychlosti bedny pro rovnoměrně zpomalený pohyb
vB = v0 − aB tB
⇒
tB =
v0
v0 − vB
=
aB
aB
rovnice dráhy bedny pro rovnoměrně zpomalený pohyb
l = v0 tB − aB t2B
l = v0 tB − aB t2B =
aB =
−v02 1 v02
v2
−
= 0
aB
2 aB
2aB
⇒
aB =
v02
2L
v02
v 2 gµ
! = 0
= 4.905ms−2
v02
v02
2
2gµ
tuto hodnotu je možné zı́skat jednodušeji ze vztahu
mgµ = maB
tA =
čas do zastavenı́ automobilu
tB =
čas do zastavenı́ bedny
v0
aB
v0
aA
X
Fx = maB
⇒
aB = gµ = 4.905ms−2
= 3.77747s
= 4.07747s
zrychlenı́ bedny vůči automobilu aBA = aB − aA = −0.3895ms−2
závislost rychlosti na čase
vB = v0 − aB t
t ∈ h0, tB i
vA = v0 − aA t
t ∈ h0, tA i
závislost rychlosti bedny vůči kabině automobilu
vBA = −aBA t
t ∈ h0, tA )
vBA = −aBA tA + aB (t − tA )
t ∈ htA , tB i
závislost dráhy na čase
1
xB = v0 t − aB t2
2
1
xA = b + v0 t − aA t2
2
poloha bedny vůči kabině automobilu
1
xBA = b − aBA t2
2
xBA
t ∈ h0, tB i
t ∈ h0, tA i
t ∈ h0, tA )
1
1
1
1
= xA − xB = b + v0 tA − aA t2A − v0 t − aB t2 = b − aA t2A + aB t2
2
2
2
2
Vytvořeno pro studenty FVTM UJEP
Připomı́nky a náměty posı́lejte na [email protected]
t ∈ htA , tB i
MECHANIKA - PŘÍKLADY
18
a [m/s2 ]
0
−1
Zpomalenı́ bedny je µg = 0.5 · 9.81 = 4.905ms−2 .
Zpomalenı́ automobilu je 5.294546ms−2 .
Plocha pod křivkou je rovna −v0 .
Platı́ tedy, že koncová rychlost automobilu i bedny
je rovna 0.
v0 − aA tA = 0, v0 − aB tB = 0.
−2
−3
−4
aB
−5
aA
0
1
2
t [s]
3
4
5
v [m/s]
20
15
10
vA
Počátečnı́ rychlost automobilu i bedny je v0 =
20m/s. Konečná rychlost automobilu i bedny je
v = 0m/s.
vB
5
0
0
1
2
t [s]
3
4
5
s [m]
40
30
sA
20
Počátečnı́ dráha automobilu je b = 3m. Celková
dráha je 40.775m.
sB
10
0
0
1
2
t [s]
3
4
5
Vytvořeno pro studenty FVTM UJEP
Připomı́nky a náměty posı́lejte na [email protected]
MECHANIKA - PŘÍKLADY
19
Přı́klad 6
Vypočı́tejte čas, za který dopadne závažı́ o hmotnosti m3 = 3kg z výšky h = 2m. Určete dopadovou rychlost v3 a čas t za který dopadne, je-li počátečnı́ rychlost v03 = 1ms−1 . Určete posunutı́ válce L.
m1 = 5kg, I1 = 0.08kg, m2 = 2kg, I2 = 0.02kg, R1 = 0.2m, r1 = 0.1m, R2 = 0.15m
Lano se posune o délku h, válec se otočı́ o n otoček
a odvalı́ se o délku L
L
2πR1
z válce o poloměru r1 se při n otočenı́ch odvine l lana
L = 2πnR1 ⇒ n =
l = 2πnr1 = 2π
L
r1
r1 = L
2πR1
R1
r1
R1
R1 + r1
R1
h=L
⇒L=h
R1
R1 + r1
h=L+l =L+L
0.2
4
R1
=2
= = 1.33333m
R1 + r1
0.2 + 0.1
3
Posunutı́ válce a tělesa jsou ve stejném poměru jako rychlosti a zrychlenı́.
L=h
vypočı́táme posunutı́ válce
L
a1
v1
=
=
h
v3
a3
⇒
v1 = v3
L
R1
= v3
h
R1 + r1
a1 = a3
L
R1
= a3
h
R1 + r1
h−L
= 2πn = φ1
r1
h−L
φ1 =
r1
h − L = l = 2πnr1 ⇒
Vytvořeno pro studenty FVTM UJEP
Připomı́nky a náměty posı́lejte na [email protected]
MECHANIKA - PŘÍKLADY
20
L
v3 − v3
v3 − v1
h = v h−L
=
ω1 =
3
r1
r1
r1 h
L
a3 − a3
a3 − a1
h =a h−L
ǫ1 =
=
3
r1
r1
r1 h
v3
a3
ω2 =
ǫ2 =
R3
R3
1
Energie soustavy zůstává zachována. Platı́ tedy, že energie v počátečnı́m stavu E 1 složená z kinetické EK
2
a potenciálnı́ energie EP1 se přeměnı́ na energii v končném stavu E 2 složené z kinetické EK
a potenciálnı́
2
energie EP .
E1 = E2
1
2
E 1 = EK
+ EP1 = E 2 = EK
+ EP2
1
1
1
1
2
2
2
2
1
1
1
1
+ I1 ω01
+ I2 ω02
+ m3 v03
=
EK
= EK1
+ EK2
+ EK3
= m1 v01
2
2
2
2

1 2 
R1
= v03
m1
2
R1 + r1
2
+ I1
h−L
r1 h
!2
+ I2
1
R2

2
+ m3 
EP1 = m3 gh
1
1
1
1
2
EK
= m1 v12 + I1 ω12 + I2 ω22 + m3 v32 =
2
2
2
2

2
1
R1
= v32 m1
2
R1 + r1

1 2 
R1
v03 m1
2
R1 + r1

2
v3 =
+ I2
1
R2
2
EP2 = m3 g0 = 0
+ I1
1
R1
= v32 m1
2
R1 + r1
h−L
r1 h
+ I1
!2
2
h−L
r1 h
+ I1
+ I2
h−L
r1 h
v

u
2
u
R1
u
2 
u 2m3 gh + v03 m1
u
R1 + r1
u

u
2
u
u
R1
m1
t
+ I1
R1 + r1
!2
!2
1
R2
+ I2
2
+ I1
h−L
r1 h
h−L
r1 h
!2
+ m3 

+ m3  + m3 gh =
1
R2
!2
+ I2

2

+ m3  + 0
+ I2
1
R2
2
1
R2
2
h=
+ m3 

+ m3 
v3 = 3.9387ms−1
2h
v03 + v3
t⇒t=
2
v03 + v3
t = 0.80993s
Vytvořeno pro studenty FVTM UJEP
Připomı́nky a náměty posı́lejte na [email protected]

MECHANIKA - PŘÍKLADY
21
Přı́klad 7
Těleso koná složený pohyb. Vzdálenost bodu A od
počátku je r(t) a úhel natočenı́ ϕ(t). Určete polohu,
rychlosti a zrychlenı́ v čase t = 2s.
ϕ(t) = b1 t2 + b2 t + b3
ϕ(t) = 0.1t2 + 0.2t + 0.3
r(t) = c1 t2 + c2 t + c3
r(t) = 0.03t2 + 0.1t + 0.2
ϕ(2) = 0.1 · 22 + 0.2 · 2 + 0.3 = 0.4 + 0.4 + 0.3 = 1.1rad
r(2) = 0.03 · 22 + 0.1 · 2 + 0.2 = 0.12 + 0.2 + 0.2 = 0.52m
unášivá úhlová rychlost
ω(t) = 2b1 t + b2
ω(2) = 2 · 0.1 · 2 + 0.2 = 0.4 + 0.2 = 0.6rad/s
relativnı́ rychlost
v32 (t) = 2c1 t + c2
v32 (2) = 2 · 0.03 · 2 + 0.1 = 0.12 + 0.1 = 0.22m/s
ǫ(t) = 2b1
ǫ(2) = 2 · 0.1 = 0.2rad/s2
relativnı́ zrychlenı́
a32 (t) = 2c1
a32 (2) = 2 · 0.03 = 0.06m/s2
unášivé normálové zrychlenı́
a21n (t) = ω 2 (t)r(t)
a21n (2) = ω 2 (2)r(2) = 0.62 · 0.52 = 0.36 · 0.52 = 0.1872m/s2
unášivé tečné zrychlenı́
a21t (t) = r(t)ǫ(t)
a21t (2) = r(2)ǫ(2) = 0.52 · 0.2 = 0.104m/s2
Coriolisovo zrychlenı́
acor (t) = 2v(t)ω(t)
acor (2) = 2v(2)ω(2) = 2 · 0.22 · 0.6 = 0.44 · 0.6 = 0.264m/s2
unášivá rychlost
v21 (t) = r(t)ω(t)
v21 (2) = r(2)ω(2) = 0.52 · 0.6 = 0.312m/s
Vytvořeno pro studenty FVTM UJEP
Připomı́nky a náměty posı́lejte na [email protected]
MECHANIKA - PŘÍKLADY
x-ová poloha
22
x(t) = r(t) cos(ϕ(t))
x(2) = r(2) cos(ϕ(2)) = 0.52 cos(1.1) = 0.23587m
y-ová poloha
y(t) = r(t) sin(ϕ(t))
y(2) = r(2) sin(ϕ(2)) = 0.52 sin(1.1) = 0.46343m
A
A
A
~v31
= ~v21
+ ~v32
A
A
A
~v31x
= ~v21x
+ ~v32x
= −v21 sin ϕ + v32 cos ϕ
A
~v31x
(2) = −0.17827m/s
A
A
A
~v31y
= ~v21y
+ ~v32y
= v21 cos ϕ + v32 sin ϕ
A
~v31y
(2) = 0.33759m/s
~aA
aA
aA
aA
aA
aA
aA
aA
31 = ~
21 + ~
32 + ~
cor = ~
21n + ~
21t + ~
32 + ~
cor
~aA
aA
aA
aA
aA
31x = −~
21n cos ϕ − ~
21t sin ϕ + ~
32 cos ϕ − ~
cor sin ϕ
2
~aA
31x (2) = −0.38566rad/s
~aA
aA
aA
aA
aA
31y = −~
21n sin ϕ + ~
21t cos ϕ + ~
32 sin ϕ + ~
cor cos ϕ
2
~aA
31y (2) = 0.05356rad/s
Vytvořeno pro studenty FVTM UJEP
Připomı́nky a náměty posı́lejte na [email protected]
MECHANIKA - PŘÍKLADY
23
Přı́klad 8
Určete nejkratšı́ čas a dráhu automobilu, za který
zrychlı́ z klidu na rychlost v = 20m/s tak, aby se
bedna na korbě automobilu nepohybovala. Součinitel
třenı́ mezi bednou a korbou automobilu je µ = 0.3.
Automobil jede do kopce β = 10◦ .
Pro benu platı́
X
Fx = maA
−G sin β + Ft = maA
X
Fy = 0
−G cos β + FN = 0 =⇒ FN = G cos β
Ft = µFN = µG cos β
ma = −G sin β + Ft = −G sin β + µG cos β
ma = G(− sin β + µ cos β)
ma = mg(− sin β + µ cos β)
a = g(µ cos β − sin β) = 1.1948m/s2
v = aA t ⇒ t =
20
v
=
= 16.7392s
aA
1.1948
1
1
s = at2 = · 1.1948 · 16.73922 = 167.3919m
2
2
Přı́klad 9
Vypočı́tejte potřebnou tažnou sı́lu F tak, aby bedna
sjela po nakloněné tažené rovině za čas t = 2s o dráhu
b = 2m.
Hmotnost bedny m = 50kg, hmotnost posouvané nakloněné roviny mR = 100kg, součinitel mezi bednou a nakloněnou rovinou µ = 0.2, součinitel mezi
posouvanou nakloněnou rovinou a pevnou rovinou
µR = 0.3, úhel nakloněné roviny β = 10◦ .
Vytvořeno pro studenty FVTM UJEP
Připomı́nky a náměty posı́lejte na [email protected]
MECHANIKA - PŘÍKLADY
24
Pro bednu platı́
X
Fx′ = m(a cos β − aB )
−G sin β + Ft = m(a cos β − aB )
X
Fy′ = −ma sin β
FN − G cos β = −ma sin β
Ft = µFN
Ft − µG cos β − µma sin β
FN = G cos β − ma sin β
−G sin β + µG cos β − µma sin β = ma cos β − maB
a(µm sin β + m cos β) = maB + G(µ cos β − sin β)
am(µ sin β + cos β) = m[aB + g(µ cos β − sin β)]
Zrychlenı́ nakloněné roviny
a=
aB + g(µ cos β − sin β)
µ sin β + cos β
1
2b
4
b = aB t2 ⇒ aB = 2 = 2 = 1m/s2
2
t
2
aB + g(µ cos β − sin β)
= 1.2052m/s2
a=
µ sin β + cos β
FN = 472.5845N
Ft = 94.5169N
Výpočet sı́ly F.
Pro nakloněnou rovinu platı́:
X
Fx = mR a
F + FN sin β − Ft cos β − FtR = mR a
X
Fy = 0
−FN cos β − Ft sin β − GR + FN R = 0
FN R = GR + FN cos β + Ft sin β =
= mR g + FN (cos β + µ sin β) = 1462.8176N
FtR = µR FN R = 438.8453N
F = mR a + FtR + Ft cos β − FN sin β = 570.3787N
Vytvořeno pro studenty FVTM UJEP
Připomı́nky a náměty posı́lejte na [email protected]
MECHANIKA - PŘÍKLADY
25
Přı́klad 10
Vypočı́tejte zrychlenı́ ~a a minimálnı́ součinitel třenı́
µ tak, aby se válcové těleso odvalovalo. Je dán
úhel sklonu roviny β, hmotnost tělesa m a moment
setrvačnosti tělesa I.
Napı́šeme rovnice rovnice rovnováhy pro těleso v rovině
X
Fx = −ma
−G sin β + Ft = −ma = −Fs
X
Fy = 0
FN − G cos β = 0
X
M = Iǫ
Vypočı́táme moment ke středu tělesa
Ft R = Iǫ = MS
Pro třecı́ sı́lu platı́
Ft = µFN = µmg cos(β)
Vztah mezi zrychlenı́m a a úhlovým zrychlenı́m ǫ
a = Rǫ
mg sin β − µmg cos β = ma
Z této rovnice zı́skáme zrychlenı́ a
a = g(sin β − µ cos β)
Upravı́me momentovou podmı́nku
µmg cos βR = Iǫ =
a dosadı́me za zrychlenı́ a
µmg cos βR =
I
a
R
I
g(sin β − µ cos β)
R
z této rovnice vyjádřı́me součinitel třenı́ µ
µm cos βR2 = I sin β − Iµ cos β
µ cos β(mR2 + I) = I sin β
µ=
I
I sin β
= tan β
2
+ I) cos β
mR + I
(mR2
Vytvořeno pro studenty FVTM UJEP
Připomı́nky a náměty posı́lejte na [email protected]
MECHANIKA - PŘÍKLADY
26
Přı́klad 11
Automobil má zastavit na dráze L = 100m. Úhel
sklonu vozovky β = 5◦ , hmotnost automobilu m =
16000kg. Počátečnı́ rychlost v0 = 20m/s. Určete
práci spotřebovanou brzdami a maximálnı́ brzdný výkon.
1
v2
E = EK + EP = mv 2 + mgh = m
+ gL sin β
2
2
202
π
E = 16000
+ 9.81 · 100 sin
2
36
!
!
= 4567966.5J
E = FL
E
P = Fv = v
L
4567966.5
P =
20 = 913599.3W
100
Přı́klad 12
Určete minimálnı́ a maximálnı́ velikost sı́ly F tak, aby
se tyč opřená o zed’ nepohybovala. Na svislé stěně je
součinitel třenı́ nulový, na horizontálnı́ je součinitel
třenı́ µ.
Vytvořeno pro studenty FVTM UJEP
Připomı́nky a náměty posı́lejte na [email protected]
MECHANIKA - PŘÍKLADY
27
Provedeme výpočet minimálnı́ sı́ly F .
Pro tyč napı́šeme podmı́nky rovnováhy
X
Fx = 0
X
Fy = 0
X
M =0
RA − F cos γ − FtB = 0
−G + RB − F sin γ = 0
L
L
cos β + F (cos γ sin β + sin γ cos β) = 0
2
4
RA = F cos γ + FtB = F cos γ + RB µ
−RA L sin β + G
RB = G + F sin γ
RA = F (cos γ + µ sin γ) + µG
−4F (cos γ + µ sin γ) sin β − µ4G sin β + 2G cos β + F (cos γ sin β + sin γ cos β) = 0
F =
2G(cos β − 2µ sin β)
3 cos γ sin β + 4µ sin γ sin β − sin γ cos β
Pro maximálnı́ velikost sı́ly F vyjdeme ze
stejných podmı́nek, pouze změnı́me směr
třecı́ sı́ly FtB
X
Fx = 0
RA − F cos γ + FtB = 0
Po úpravě dostaneme vztah pro maximálnı́
velikost sı́ly F .
F =
2G(cos β + 2µ sin β)
3 cos γ sin β − 4µ sin γ sin β − sin γ cos β
Vytvořeno pro studenty FVTM UJEP
Připomı́nky a náměty posı́lejte na [email protected]
MECHANIKA - PŘÍKLADY
28
Přı́klad 13
Vypočı́tejte úhel sklonu tyče, která je konci opřena
o dvě nakloněné roviny skloněné o úhel β a γ.
X
Fx = 0
X
Fy = 0
X
M =0
RA sin β − RB sin γ = 0
RA cos β + RB cos γ − G = 0
−RA L(cos β cos α + sin β sin α) + G
RA = RB
sin γ
sin β
sin γ
+ RB cos γ − G = 0
tan β
G
G
!
=
sin β
sin γ
sin β
cos β +
+ cos γ
tan γ
tan β
sin γ
RB
RA =
−2RA (cos β cos α + sin β sin α) + G cos α = 0
−2
(cos β cos α + sin β sin α) + cosα = 0
sin β
cos β +
tan γ
−2
−2 tan γ
cos α +
sin α + cos α = 0
1
1
tan γ + tan β
+
tan β tan γ
2 tan γ
2 tan β tan γ
= cos α 1 −
tan β + tan γ
tan γ + tan β
!
2 tan β2 tan γ sin α = (tan γ + tan β − 2 tan γ) cos α
tan β − tan γ
tan α =
2 tan β tan γ
tan β − tan γ
α = arctan
2 tan β tan γ
!
Vytvořeno pro studenty FVTM UJEP
Připomı́nky a náměty posı́lejte na [email protected]
L
cos α = 0
2
MECHANIKA - PŘÍKLADY
29
Na zvedacı́m mechanismu je naložena bedna o hmotnosti m. Vypočı́tejte velikost sı́ly F tak, aby se mechanizmus nepohyboval.
Použijeme metodu virtuálnı́ch pracı́
Rameno natočı́me o virtuálnı́ úhel γ
R
R
[cos β, sin β] do polohy [cos(β + δ), sin(β + δ)].
2
2
"
#
b h
Těžiště tělesa se posune z polohy R[cos β, sin β] + a + ,
do polohy R[cos(β + δ), sin(β + δ)] +
2 2
"
#
b h
a+ , .
2 2
Sı́la F se posune z polohy
Sı́la F se posune ve směru osy x o R2 (cos(β + δ) − cos δ) směru osy y o R2 (sin(β + δ) − sin δ).
Těžiště tělesa se posune ve směru osy x o R(cos(β + δ) − cosβ) ve směru osy y o R(sin(β + δ) − sinβ).
R
(cos(β + δ) − cos β).
2
Polohová energie tělesa se změnı́
R
Ep = mg (cos(β + δ) − cos β)
2
EF = Ep
Sı́la F vykoná práci EF = F
F = 2mg
Vytvořeno pro studenty FVTM UJEP
Připomı́nky a náměty posı́lejte na [email protected]
MECHANIKA - PŘÍKLADY
30
Přı́klad 14
Určete maximálnı́ a minimálnı́ velikost sı́ly F tak, aby
soustava zůstala v klidu.
X
F − FtB = 0
⇒
Fx = 0
FtB = F
−G + RA + RB = 0
X
RA = G − RB
RA = G1 −
F
µ
M =0
L
− Fh = 0
2
!
L
F
− Fh = 0
G b + G1 b −
µ
2
−RA b + G1 b −
F
!
b
L
−h =G
µ
2
F = G1
L
!
b
−h
2
µ
V tomto přı́padě může dojı́t k překlopenı́. Sı́la v bodě A musı́ být RA ≥ −m2 g a tedy
L
G b−
+ m2 gb
2
F ≤
b
RB =
Fy = 0
⇒
X
⇒
Vytvořeno pro studenty FVTM UJEP
Připomı́nky a náměty posı́lejte na [email protected]
F
µ
MECHANIKA - PŘÍKLADY
31
Pro opačný směr sı́ly platı́
Změnı́ se pouze rovnice momentové rovnováhy
P
M =0
−RA b + G1
L
b−
+ Fh = 0
2
Výsledek je tedy
F =G
L
!
b
+h
2
µ
Vytvořeno pro studenty FVTM UJEP
Připomı́nky a náměty posı́lejte na [email protected]
MECHANIKA - PŘÍKLADY
32
Přı́klad 15
Vypočı́tejte maximálnı́ sı́lu F a zrychlenı́ a tak,
aby se těleso nepřeklopilo. Kola majı́ hmotnost
m2 a moment setrvačnosti I2
Při dosaženı́ maximálnı́ sı́ly F bude reakce v podpěře
nulová a taktéž i třecı́ sı́la. Těleso i kola budou mı́t
zrychlenı́ a. Kola budou mı́t úhlové zrychlenı́ ǫ =
a/R. Úhlové zrychlenı́ tělesa musı́ být nulové, aby se
těleso nepřeklopilo. provedeme rozklad soustavy na
těleso a kola a napı́šeme rovnice.
F − FAx = m1 a = FS1
FAy − G1 = 0
F h − FS1
L
h
− G1 = 0
2
2
FAx − Ft = m2 a − FS2
FN − G2 − FAy = 0
a
Ft R = I2 ǫ = I2 = MS2
R
FAy = G1
FAx = F − m1 a
Vytvořeno pro studenty FVTM UJEP
Připomı́nky a náměty posı́lejte na [email protected]
MECHANIKA - PŘÍKLADY
33
m1 a = 2F − G1
F = G1
L
h
L
1
+ FS1
2h
2
L
1
+ FS2 + FS1
2h
2
1
m2 + I2 2 + m1
R
G1
Přı́klad 16
Tyč délky L je opřena o zed’. Stanovte rychlost těžiště
T a bodu A, jestliže se bod B pohybuje rychlostı́ v.
L2 = x2 + y 2
dy
dx
+ 2y
dt
dt
B
0 = 2xv + 2yv B
0 = 2x
vA = vB
x
y
~v A = ~v B + ~v AB
v AB =
v AB =
v
u
u
t(v B )2
=
q
(v B )2 + (v A )2
v
u
u
x2
x2
+ (v B )2 2 = v B t1 + 2 =
y
y
v
u 2
u
Bt y
v
+ x2
vB
BL
=
v
=
y2
y
sin ϕ
Vytvořeno pro studenty FVTM UJEP
Připomı́nky a náměty posı́lejte na [email protected]
MECHANIKA - PŘÍKLADY
34
Mějme bod C, jehož vzdálenost od bodu B je c.
Rychlost bodu C vůči bodu B je
v CB = v AC
vB c
c
=
L
sin ϕ L
Tuto rychlost rozložı́me do složek v ose x a y
vxCB = v CB sin ϕ
vyCB = v CB cos ϕ
C
v =
r
(v B −
vxCB )2
+ vyCB
=
Pro těžiště T dosadı́me c =
T
2
=
v
u
u
t
vB c
sin ϕ
vB −
sin ϕ L
v
u
u
Bt
1−
v
c
L
2
cx
+
Ly
!2
vB c
cos ϕ
+
sin ϕ L
!2
=
!2
c
1
L
, tedy = ,
2
L
2
v =
v
u
u
Bt
v
1−
1
2
2
1x
+
2y
!2
v
u
vB u
t1 + x
=
2
y
!2
Přı́klad 17
Tyč délky L je opřena o schod výšky h. Stanovte
rychlost těžiště T a bodu A, jestliže se bod B pohybuje
rychlostı́ v.
Vytvořeno pro studenty FVTM UJEP
Připomı́nky a náměty posı́lejte na [email protected]
MECHANIKA - PŘÍKLADY
35
Přı́klad 18
Tyč délky L a hmotnosti m je vložena do drážky s
poloměrem R. Určete jak velkou silou musı́me působit
v bodě B, aby spojnice středu S a bodu B svı́rala se
svislicı́ úhel β.
π
6
Zapı́šeme rovnice rovnováhy
R = 1m, L = 3m, β =
X
kde
X
Fx = 0 :
Fy = 0 :
X
RC sin γ − RB sin β = 0
RC cos γ + RB cos β − G − F = 0
M =0:
−RC b + G
q
L
cos γ = 0
2
b = R cos2 β + (1 + sin β)2
tan γ =
cos β
1 + sin β
RC = G
L
cos γ
2b
Vytvořeno pro studenty FVTM UJEP
Připomı́nky a náměty posı́lejte na [email protected]
MECHANIKA - PŘÍKLADY
36
RB = RC
sin γ
L sin γ cos γ
=G
sin β
2b sin β
L sin γ cos γ
L
F =G
cos2 γ +
−1
2b
2b tg β
!
Vytvořeno pro studenty FVTM UJEP
Připomı́nky a náměty posı́lejte na [email protected]