Úlohy ke cvičení z Fyziky II

Úlohy ke cvičení z Fyziky II
KEF/FYB2, KEF/FYCH2, 1 hodina týdně
1. Mechanika
1.1 Poloha hmotného bodu je dána vztahem x = 9,75 + 1,50t3 , kde x měříme v centimetrech a t v sekundách. Určete
průměrnou rychlost v intervalu ⟨2 s,3 s⟩, okamžitou rychlost i zrychlení pro okamžiky t = 2 s, t = 2,5 s, t = 3 s a okamžitou
rychlost v bodě ležícím uprostřed mezi x(2) a x(3). Úkoly řešte početně i graficky (6).
1.2 Pohyb hmotného bodu pohybujícího se v rovině je popsán rovnicemi
x = A sin ωt,
y = B cos ωt,
kde A = 0,4 m, B = 0,2 m, ω = 0,5 rad·s−1 . Určete
a) rovnici trajektorie hmotného bodu;
b) rychlost a zrychlení bodu v okamžiku, kdy x = 0;
c) rychlost a zrychlení bodu v okamžiku, kdy y = 0;
d) poloměr křivosti trajektorie v okamžiku, kdy x = 0, a v okamžiku, kdy y = 0.
1.3 Osobní automobil dojíždí rychlostí v0 = 30 m·s−1 nákladní auto, jehož rychlost v1 = 10 m·s−1 .
Ve vzdálenosti s0 od nákladního vozu zjistí řidič osobního automobilu, že nákladní vůz nelze předjet,
proto začne brzdit a pohybuje se se zpomalením a = −5 m·s−2 , nákladní vůz se přitom pohybuje
dále stále stejnou rychlostí. Dojde ke srážce vozidel? Jestliže ano, určete na kterém místě a jaká
je relativní rychlost vozidel při srážce. Jestliže ne, určete nejmenší vzdálenost mezi vozidly. Úlohu
řešte pro tři různé počáteční vzdálenosti a) s0 = 30 m, b) s0 = 40 m, c) s0 = 50 m (5).
1.4 Nákladní automobil vyjel v 7 h 0 min z Prahy do Brna po dálnici D1 a pohyboval se stálou
rychlostí 80 km·h−1 ; vzdálenost obor měst je 200 km. V 7 h 30 min za ním vyjel osobní automobil
jedoucí stálou rychlostí 110 km·h−1 , ve stejném okamžiku vyjel po dálnici z Brna do Prahy jiný
osobní automobil, který udržoval stálou rychlost 100 km·h−1 . Graficky i výpočtem určete, kdy a
kde se nákladní automobil setká s oběma osobními automobily (15).
Obr. 1.1: K úloze 1.7
1.5 Plavec, jehož rychlost vzhledem k vodě je 0,65 m·s−1 , plave v řece tekoucí rychlostí 0,25 m·s−1 . Určete dobu, za kterou
doplave do vzdálenosti s = 72 m proti proudu a zpět a dobu, za kterou doplave do místa vzdáleného 2s = 144 m ve směru
kolmém na proud.
1.6 Určete, jakou dobu potřebuje osobní vlak k překonání vzdálenosti 2,4 km mezi sousedními stanicemi, jestliže se rozjíždí
se stálým zrychlením o velikosti 0,70 m·s−2 , po dosažení rychlosti 90 km·h−1 se pohybuje rovnoměrně a nakonec brzdí se
zrychlením o velikosti 0,55 m·s−2 až do zastavení. Sestrojte graf rychlosti a graf dráhy popsaného pohybu (15).
1.7 (Krajské kolo 54. ročníku FO kategorie A)
Dvě lodě L1 , L2 se v určitém okamžiku nacházejí v bodech A a B, jejichž vzdálenost je l0 , a pohybují se stejnou rychlostí
v1 = v2 = v tak, že první loď se pohybuje po přímce kolmé na úsečku AB a druhá po přímce, která svírá s úsečkou AB úhel
α (viz obr. 1.1).
a) Určete, za jakou dobu t od chvíle, kdy se lodi nacházely v bodech A a B bude vzájemná vzdálenost lodí nejmenší a jaká
bude tato vzdálenost.
b) V okamžiku, kdy se loď L2 nachází v průsečíku C trajektorií obou lodí, je z lodi L1 vyslán člun s důležitou poštou,
pohybující se rychlostí v3 = 2v po nejkratší přímé dráze k lodi L2 . Jaký úhel β musí svírat přímka, po které se pohybuje
člun, s přímkou, po které se pohybuje loď L1 ? Jak dlouho bude trvat jízda člunu?
Řešte nejprve obecně, pak pro hodnoty: l0 = 1,00 km, α = 35°, v = 5,0 m·s−1 .
1.8 Pozorovatel stojící v okamžiku, kdy se rozjíždí vlak, u začátku prvního vagónu zjistil, že první vagón projel kolem něho
za dobu t1 = 4 s. Za jakou dobu tn kolem něho projede n-tý vagón? Předpokládejte, že rozjíždění vlaku odpovídá rovnoměrně
zrychlenému pohybu a všechny vagóny jsou stejně dlouhé. Vypočtěte dobu průjezdu 6. vagónu (5).
1.9 Automobil se pohybuje přímočaře stálou rychlostí o velikosti v0 po vodorovné silnici. V dezénu pneumatiky o poloměru
R se zachytil kamínek. Zvolme počátek vztažné soustavy pevně spojené s vozovkou v místě, kde se nachází střed pneumatiky
v čase t = 0 s, směr osy x shodně se směrem pohybu automobilu a směr osy y vzhůru. V čase t = 0 s se kamínek dotýká
vozovky.
a) Určete souřadnice polohového vektoru, rychlosti a zrychlení kamínku jako funkce času ve dané vztažné soustavě.
b) V téže soustavě určete závislost velikosti rychlosti a zrychlení na čase.
c) Určete největší a nejmenší velikost rychlosti kamínku vzhledem k vozovce (8).
1.10 Vůz F1 o celkové hmotnosti m = 600 kg se pohybuje s účinným výkonem motoru (tj. výkonem spotřebovávaným pouze
na zrychlování vozu) P = 200 kW zatáčkou tvaru kruhového oblouku o poloměru r = 100 m ve vodorovné rovině okamžitou
rychlostí o velikosti v = 150 km·h−1 ; g = 9,81 m·s−2 .
a) Určete velikosti tečného, normálového a celkového zrychlení.
b) Určete přetížení pilota, tj. poměr velikostí výsledné síly působící na pilota a jeho tíhové síly (8).
1.11 Do propasti pustíme olověnou kuličku. Její dopad na dno uslyšíme za dobu τ = 7 s. Jaká je hloubka propasti, je-li
rychlost šíření zvuku ve vzduchu v = 340 m·s−1 , tíhové zrychlení g = 10 m·s−2 ? Odpor vzduchu zanedbejte (5).
Typeset by XƎLATEX
1
Poslední úpravy: 17. února 2016
1.12 Kostka o hmotnosti M = 3,3 kg se může volně pohybovat po hladké vodorovné podložce. Kostka je nehmotným vláknem
vedeným přes nehmotnou pevnou kladku otáčející se bez tření spojena s druhou kostkou o hmotnosti m = 2,1 kg, která klesá
svisle dolů. Určete zrychlení obou kostek a sílu napínající vlákno (6).
1.13 V roce 1896 byl ve městě Wasco v Texasu proveden následující experiment. Před zraky třiceti tisíc diváků byly proti
sobě postaveny dvě lokomotivy na koncích trati o délce 6,4 km, byly roztopeny kotle na lokomotivy poslány plnou parou
proti sobě. Čelný náraz měl katastrofické důsledky, zahynulo několik osob. Předpokládejme, že tíha každé z lokomotiv byla
1,2·106 N a pohybovaly se s konstantním zrychlením 0,26 m·s−2 . Jaká byla celková kinetická energie obou lokomotiv před
srážkou (6)?
1.14 Sáně, které mají i s nákladem hmotnost 15 kg a nacházejí se v klidu na úpatí
svahu se sklonem β = 15°, vytáhneme silou F o velikosti 70 N vzhůru do vzdálenosti
s = 8 m pomocí provazu rovnoběžného se svahem (obr. 1.2). Součinitel smykového
tření mezi sáněmi a svahem je f = 0,12. Určete práce, které vykonají jednotlivé
síly působící na sáně – síla provazu, tíhová síla a reakce svahu (16).
R
R2
F
F1
β
β
R1 = Ft
1.15 Vyznavač bungee-jumpingu se chystá ke skoku z mostu vysokého 45 m. Jeho
F2
FG
hmotnost je 61 kg a pružné lano, které hodlá použít, má v nenapjatém stavu délku
25,0 m. Předpokládejme, že se lano řídí Hookovým zákonem (což je jen velmi hrubé
Obr. 1.2: K úloze 1.14
přiblížení!) a jeho tuhost je 160 N·m−1 . Tělo skokana považujte při pohybu za
hmotný bod: (Proč je tato podmínka zjednodušující?)
a) Jaká je výška chodidel skokana nad hladinou řeky pod mostem v okamžiku, kdy se let zastaví v dolním bodě obratu?
F
b) Jaká výsledná síla působí na skokana v tomto bodě obratu (6)?
F
R
R
1.16 Kvádr o hmotnosti m máme vléci rovnoměrným pohybem po vodorovné podložce. FSoučinitel
R smykového tření mezi
R
kvádrem a podložkou je f . Určete úhel α mezi působící silou a podložkou tak, aby velikost síly F co nejmenší a určete tuto
velikost Fmin (8).
1.17 (celostátní kolo 40. ročníku FO)
Při vrhu koulí je počáteční výška koule h a její počáteční rychlost má velikost
v0 .
a) Jaké největší dálky vrhu můžeme dosáhnout? Jaký elevační úhel α musíme
zvolit?
b) Jaký bude v tomto případě úhel β dopadu na zem? (Za úhel dopadu
považujte odchylku vektoru rychlosti od vodorovného směru.)
Řešte obecně a potom pro h = 2 m, v0 = 14 m·s−1 , g = 9,81 m·s−2 . Odpor
vzduchu zanedbáváme.
1.18 Pirátská loď je zakotvena 560 m od pobřežní pevnosti, která chrání
vjezd do přístavu. Obránci mají k dispozici dělo umístěné v úrovni mořské
hladiny, které může vystřelit náboj rychlostí 82 m·s−1 (6).
a) Pod jakým elevačním úhlem musí být nastavena hlaveň, aby náboj pirátskou loď zasáhl?
b) Pro oba úhly z části a) vypočtěte dobu letu střely.
c) V jaké vzdálenosti od pevnosti bude pirátská loď mimo dostřel?
R
y
Α
F
r
F
r
Β
b
x
O
a
i
j
b 1.17
i
j
Obr. 1.3: K úloze
a b
k
k
a
a b
1.19 Při hře odpálil golfista míček rychlostí 30 m·s−1 šikmo vzhůru. Míček
Obr. 1.4: K úloze 1.24
stoupal nejprve vzhůru a pak klesal až do dopadu zpět na „green“ (trávník);
největší dosažená výška byla 25 m. Jakou rychlost měl míček v nejvyšší poloze, jak dlouho byl ve vzduchu a v jaké vzdálenosti
dopadl na trávník (19)?
1.20 Když pustíme malý míček ve výšce h0 = 2,00 m nad podlahou, dopadne na ni rychlostí v0 , ale odrazí se od podlahy
rychlostí o velikosti v1 = 0,8v0 . Určete do jaké výšky míček po odrazu vyskočí. Zakreslete graf závislosti v = v(t) pro prvních
6 odrazů za předpokladu, že i nadále platí vn+1 = 0,8vn (19).
1.21 Jaká musí být počáteční výška H horské dráhy na obr. 1.5, má-li vozík bezpečně projet vertikálním kruhovým obloukem
o poloměru R? Valivý odpor kol, tření v ložiskách a odpor vzduchu zanedbejte. Vozík považujte za hmotný bod (16).
1.22 Lano o hmotnosti m a délce l je volně přehozeno přes malou kladku, jejíž rotační pohyb (a tedy i kinetickou energii)
zanedbejme. Lano je v rovnovážné poloze, když na každé straně kladky visí jeho polovina. Pokud za jeden konec potáhneme,
rovnováha se poruší, na jedné straně bude o málo větší část lana a v důsledku toho se lano začne pohybovat. Určete, jakou
rychlostí lano opustí kladku (19).
1.23 Lyžař o hmotnosti 80 kg (i s lyžemi) jede s kopce o sklonu 0,3 sportovní disciplinu sjezd po trase délky 1 800 m.
Součinitel smykového tření při jízdě lyží po sněhu je 0,07, tíhové zrychlení g ≈ 10 m·s−2 . Navíc působí ještě odporová síla
daná koeficientem C = 0,5, obsah příčného řezu lyžaře je asi 0,6 m2 a hustota vzduchu ϱ = 1,2 kg·m−3 . Určete mezní rychlost
tohoto lyžaře (18).
1.24 Známá Halleyova kometa obíhá okolo Slunce po velmi protáhlé elipse. V periheliu se nachází ve vzdálenosti 0,03a od
středu Slunce, kde a je velikost hlavní poloosy. Polovinu dráhy blíže ke Slunci urazí kometa přibližně za 14,55 let (obr. 1.4).
Na základě těchto údajů vypočtěte oběžnou dobu Halleyovy komety a velikost hlavní poloosy a její oběžné dráhy. Pro obsah
plochy ohraničené elipsou s hlavní poloosou a a vedlejší b platí S = pab.
2
1.25 Pozorování světla z jisté hvězdy nám naznačuje, že tato hvězda je součástí dvojhvězdy. Viditelná hvězda má oběžnou
rychlost v = 270 km·s−1 (což zjistíme pomocí Dopplerova jevu), dobu oběhu T = 1,70 dní a hmotnost rovnu přibližně
m1 = 6M⊙ . Předpokládáme-li, že obě složky dvojhvězdy obíhají okolo těžiště po kruhových drahách, určete přibližnou
hmotnost m2 druhé neviditelní složky (7).
1.26 Na niti vedené přes kladku jsou zavěšena závaží o hmotnostech
m1 = 0,45 kg, m2 = 0,55 kg. Určete zrychlení soustavy a sílu, která působí na osu kladky. Tření a hmotnost kladky i niti zanedbejte (5).
1.27 Žebřík je opřen jedním koncem o vodorovnou podlahu, druhým o svislou stěnu. Součinitel statického tření žebříku o podlahu je µ1 = 0,5, o stěnu
µ2 = 0,4; předpokládejte, že těžiště žebříku je přesně v polovině délky. Určete nejmenší úhel α, který může žebřík svírat s vodorovnou rovinou, aniž
by spadl (5).
1.28 Homogenní prstenec, kotouč a koule o stejné hmotnosti m a stejném
poloměru R jsou současně uvolněny v nejvyšším bodě nakloněné roviny
o délce L = 2,5 m a úhlu sklonu α = 12°. Které z těles dorazí na konec
nakloněné roviny nejdříve a jaká bude rychlost těles na konci nakloněné
roviny (6)?
v
H
R
m
Obr. 1.5: K úloze 1.21
1.29 Koule o hmotnosti m1 je zavěšena na vlákně délky l1 , které je vychýleno z rovnovážné polohy o úhel α. Při průchodu rovnovážnou polohou
narazí koule na jinou kouli o hmotnosti m2 , která je zavěšena na vlákně
délky l2 a je před nárazem v klidu. V okamžiku nárazu jsou vlákna rovnoběžná. Určete, o jaký úhel β se po rázu vychýlí druhá koule, je-li ráz
dokonale pružný. Hmotnosti vláken zanedbejte (5).
1.30 Na jednozvratné páce máme zdvihnout těleso o hmotnosti m umístěné
ve vzdálenosti d od podpěry. Páku tvoří homogenní tyč s lineární hustotou
λ. Určete délku tyče x1 tak, aby síla udržující na jejím konci rovnováhu
byla minimální a určete velikost této síly Fmin . Řešte obecně a poté pro
hodnoty m = 120 kg, d = 40 cm, λ = 8,00 kg·m−1 , g = 9,81 m·s−2 (8).
1.31 Vypočtěte intenzitu gravitačního pole velmi tenké homogenní tyče
délky a a hmotnosti m v bodě P , který leží na prodloužené podélné ose
tyče ve vzdálenosti b od jejího konce (5).
1.32 Představme si románového hrdinu Tarzana. jak se zhoupne ze skalního
výběžku na liáně dlouhé 18 m (obr. 1.6). Nejnižší bod trajektorie leží 3,2 m
pod úrovní výběžku. Liána vydrží zátěž 950 N, Tarzan váží 70 kg. Přetrhne se liána? Jestliže ne, jaká největší síla napíná liánu během Tarzanova
zhoupnutí?
Obr. 1.6: K úloze 1.32 (převzato z (6))
1.33 Horolezkyně o hmotnosti m = 55 kg odpočívá při lezení „komínem“.
Má zapřena ramena a nohy ve spáře, jejíž šířka je w = 1,0 m (obr. 1.7).
Její těžiště je ve vzdálenosti d = 0,2 m od stěny, na které má zapřena
ramena. Činitel statického tření mezi botami a stěnou je f1 = 1,1 a mezi
rameny a stěnou f2 = 0,7. Jakou minimální silou musí působit na stěny,
aby nespadla? Jaká musí být při této síle svislá vzdálenost h mezi rameny
a chodidly (7)?
1.34 Dva krasobruslaři směřují ke společnému místu kluziště, kde se
Obr. 1.7: K úloze 1.33 (převzato z (7))
při setkání obejmou a realizují tak nepružnou srážku. Aleš o hmotnosti mA = 83 kg se před srážkou pohyboval východním směrem rychlostí
6,2 km·h−1 . Barbora o hmotnosti mB = 72 kg směřovala před srážkou na sever rychlostí 7,8 km·h−1 (6).
a) Jakou rychlostí v se dvojice pohybuje po srážce?
b) Jakou rychlostí se pohybuje těžiště soustavy před srážkou i po srážce?
c) Jak se při srážce změnila kinetická energie soustavy obou krasobruslařů?
1.35 Jojo je vyrobeno ze dvou mosazných kotoučů o tloušťce b = 8,5 mm a poloměru R = 3,5 cm spojených krátkou osičkou
o poloměru R0 = 3,2 mm (6).
a) Vypočtěte moment setrvačnosti joja vzhledem k jeho ose symetrie. Při výpočtu zanedbejte moment setrvačnosti osičky.
Hustota mosazi je ϱ = 8 400 kg·m−3 .
b) Vlákno navinuté na osičce má délku l = 1,1 m, jeho tloušťka je zanedbatelná. Zjistěte, s jakým zrychlením se jojo odvaluje
podél vlákna.
c) Jak velkou takovou silou působí na tělísko joja jeho vlákno?
1.36 Nádobu tvaru polokoule o poloměru R naplníme vodou do výšky h0 a potom začneme otáčet kolem svislé osy a postupně
zvyšovat frekvenci.
a) Jaký tvar zaujme hladina vody v rotující nádobě?
b) Při které frekvenci f1 se hladina dotkne dna?
3
c) Při jaké frekvenci f2 začne voda přetékat přes okraj?
1.37 Určete, do jaké hloubky h1 se ponoří plný homogenní kužel výšky h a hustoty ϱ1 plovoucí v kapalině o hustotě ϱ2 (5).
1.38 Výraz „špička ledovce“ se užívá k označení jevu, kdy malá část je zjevná a zbytek je skryt. Jakou část tvoří vynořená
část ledovce (7)?
1.39 Vypočtěte dobu, za kterou vyteče voda z kulové nádoby o vnitřním poloměru R. V čase t = 0 je nádoba plná, výtokový
otvor na spodku nádoby je velmi malý a pří výtoku vniká seshora malým otvorem do nádoby vzduch (5).
1.40 Průřez vodorovné trubice, kterou proudí voda, se zužuje z S1 = 20 cm2 na S2 = 10 cm2 . Manometrické trubice umístěné
v místech oboru průřezů ukazují rozdíl hladin ∆h = 20 cm. Určete objemový průtok vody v trubici (5).
1.1
Domácí cvičení
D1.1 Určete průměrnou rychlost automobilu, který se pohybuje
a) první třetinu doby pohybu rychlostí v1 = 6 m·s−1 a dále rychlostí v2 = 1,5 m·s−1 ;
−1
−1
[b) první−1třetinu celkové
] dráhy rychlostí v1 = 6 m·s a dále rychlostí v2 = 1,5 m·s .
−1
a) 3 m·s , b) 2 m·s
D1.2 Hmotný bod koná po dobu 8 s přímočarý pohyb, jehož dráha je určena funkcí
s(t) = −
1 3
t + 2t2 .
12
Najděte závislosti rychlosti v = v(t) a zrychlení a = a(t) na čase a sestrojte grafy závislostí s = s(t), v = v(t) a a = a(t) pro
prvních 8 s (8).
]
[
1
1
v(t) = − t2 + 4t; a(t) = − t + 4.
4
2
D1.3 Hmotný bod se pohybuje po přímé dráze, přičemž závislost dráhy na čase je dána vztahem
s = 3t − 6t2 + 4t3 ,
kde dráhu měříme v metrech a čas v sekundách. Určete počáteční rychlost, čas, kdy je rychlost rovna nule, počáteční zrychlení
a[ čas, kdy je zrychlení rovno nule.
]
v0 = 3 m·s−1 ,
t = 0,5 s,
a0 = −12 m·s−2 ,
t = 0,5 s
D1.4 Železniční stanice Zábřeh na Moravě se nachází 46 km od stanice Olomouc hlavní nádraží. Ze Zábřehu vyjel nákladní
vlak rychlostí 40 km·h−1 a z Olomouce v tu samou chvíli opačným směrem rychlík rychlostí 75 km·h−1 V témže okamžiku
vystartuje z čelního okna lokomotivy rychlíku moucha-vytrvalkyně a rychlostí 100 km·h−1 letí vstříc nákladnímu vlaku.
Jakmile se s ním setká, nerozplácne se na okně, ale jen se dotkne nožkou a hned letí zpátky dokud se nesetká z čelem
lokomotivy rychlíku, pak zase letí zpět atd., dokud se lokomotivy obou vlaků na trati nemíjejí (naštěstí je dvoukolejná).
Kolik kilometrů moucha nalétala? Uvažovaný úsek trati považujte za přímý, ani jeden z vlaků v něm nikde nezastavuje.
[40 km]
D1.5 Žáci Mach a Šebestová pozorují v dáli průjezd vlaku tunelem. Přitom se jim podařilo změřit, že vlak vjel do tunelu za
dobu šesti sekund a celý jím projel za čtyřicet sekund. Sluchátko jim sdělilo, že tunel má délku 730 m. Jak dlouhý je vlak?
Jakou
jede rychlostí
[
] (12)?
130 m, 80 km·h−1
D1.6 Může jedno z největších současných dopravních letadel Airbus A 380 vzlétnout brněnského letiště, jehož vzletová
dráha měří 2 650 m? Model A 380 startuje se zrychlením 0,84 m·s−2 a k odpoutání od země potřebuje dosáhnout rychlosti
260 km·h−1 (12).
[Nemůže, potřebuje dráhu 3,1 km]
D1.7 Automobil o hmotnosti 1 200 km jede stálou rychlostí 90 km·h−1 po vodorovném úseku dálnice. Když začne předjíždět,
dosáhne rychlosti 126 km·h−1 za 20 s. Určete, jak dlouhý je úsek nutný k získání zvýšené rychlosti a jakou práci je nutné
vynaložit (19).
[s = 600 m; W = 360 kJ]
D1.8 Loupežník Zlomený Zub o hmotnosti 75 kg opouští svoje sídlo v koruně stromu pomocí lana na pevné kladce, jeho tělo
vyvažuje kámen o hmotnosti 65 kg. Jakou rychlostí dopadne náčelník na zem? Spouští se z výšky 8 m a kámen na druhém
lana na počátku leží na zemi (12)?
[konci nataženého
]
3,3 m·s−1
D1.9 Natočíme-li zahradní hadici svisle vzhůru, stříká voda do výše H = 9,5 m nad ústí hadice. Zahradník bude zalévat
vodorovný záhon na terase ve výšce h = 1,5 m nad ústím hadice.
a) Stanovte maximální vodorovnou vzdálenost místa dopadu vody na záhon od ústí hadice.
b) Určete pro tento případ elevační úhel α vytékající vody.
c) Určete pro tento případ velikost v a směr rychlosti v místě dopadu (úhel, který svírá vektor rychlosti v tomto bodě
s vodorovným směrem).
4
Úlohu řešte nejprve obecně, pak pro dané hodnoty. Odpor vzduchu zanedbejte (13).
[a) d = 17,4 m b) α = 47,5°c) φ = −42,5°]
D1.10 Na obr. 1.8 je znázorněna dvojitá nakloněná rovina. Vypočtěte zrychlení soustavy,
je-li hmotnost obou závaží stejná
[
]
a α1 = 30°, α2 = 60°. Uvažujte součinitel smykového tření a) µ = 0 a b) µ = 0,1. a) a = 1,8 m·s−2 ,
b) a = 1,13 m·s−2
D1.12 Planeta Merkur má trajektorii s poměrně velkou výstředností. Její vzdálenost
od Slunce v periheliu činí 46·106 km a v afeliu 70·106 km. Kolikrát je rychlost planety
Merkur v periheliu větší než v afeliu (12)?
[1,5×]
m1
m2
D1.11 Od prosince 2005 jezdí na našich tratích soupravy Pendolino 680. Vagony
soupravy jsou zavěšeny tak, že se v zatáčkách mohou naklápět o úhel až 8°. Jakou
maximální rychlostí může tento vlak projíždět zatáčkou o poloměru 500 m a se sklo]aniž by to cestující uvnitř vlaku poznal (12)?
[nem kolejnic 10°,
F = 140 km·h−1
α2
α1
Obr. 1.8: K DCV D1.10
D1.13 Vypočtěte potenciál gravitačního pole velmi tenké homogenní tyče délky a a hmotnosti m v bodě P , který leží na
prodloužené
podélné
ose
(
[
)] tyče ve vzdálenosti b od jejího konce (5).
a+b
m
φ = −G ln
a
b
D1.14 Při archeologickém výzkumu byl na dně jezera v hloubce 15 m pod hladinou objeven kamenný sloup o výšce 8 m a
hmotnosti 6 000 kg. Sloup nejprve opatrně postavili do svislé polohy, upevnili na rameno jeřábu a začali vytahovat vzhůru.
Zvedání bylo ukončeno tak, že sloup byl dolním koncem postaven na lešení ve výšce 5 m nad hladinou vody v jezeře. Hustota
materiálu sloupu byla 2 500 kg·m−3 , hustota vody je 1 000 kg·m−3 . Jako práci vykonal jeřáb při zvedání sloupu od okamžiku
kdy stál svisle na dně (19)?
[W = 936 kJ]
D1.15 Jak velkou tlakovou silou působí voda na svislou obdélníkovou stěnu nádoby, je-li výška vody v nádobě h = 40 cm a
šířka stěny a = 30 cm (5)?
[F = 235 N]
2. Molekulová fyzika a termika
2.1 Ocelový drát o teplotě 830° má délku a = 130 cm a průměr d = 1,1 mm. Je upnut mezi dva pevné svěráky. Jaké
mechanické napětí vznikne v drátu při ochlazení na 20° (7)?
2.2 Uvažujme dva tenké pásky stejné tloušťky d z různých kovů pevně spojené
po celé ploše, v níž se dotýkají. Při teplotě t0 mají oba pásky stejnou délku l0 a
jsou rovné. Teplotní součinitele délkové roztažnosti materiálů jsou α1 , α2 , α1 > α2 .
Nestejná teplotní roztažnost obou materiálů způsobí, že se pásky budou se změnou
teploty deformovat (obr. 2.1). Odvoďte závislost poloměru křivosti bimetalového
pásku r na teplotě t vzorku (9).
2.3 Skleněný pyknometr má hmotnost m0 = 53 g, po naplnění rtutí při teplotě 0 ◦C má hmotnost m1 = 1 384 g. Zahřejeme-li pyknometr na teplotu 40 ◦C,
část rtuti vyteče a pyknometr má hmotnost m2 = 1 376 g. Určete součinitel objemové roztažnosti skla pyknometru β2 , je-li součinitel objemové roztažnosti rtuti
β1 = 1,8·10−4 K−1 (5).
Obr. 2.1: K úloze 2.2
2.4 Za horkého letního dne vyjíždí z Las Vegas tanker vezoucí 9 785 galonů nafty.
Během cesty se ohladí a do přístavu v Paysonu vjíždí za teploty o 41 °F nižší než v Las Vegas. Jaký bude objem nafty
v paysonu? Součinitel objemové roztažnosti nafty je 9,5·10−4 ◦C−1 , součinitel délkové roztažnosti oceli, z níž jsou vyrobeny
nádrže 11·10−6 ◦C−1 . Kdo zaplatí chybějící množství (7)?
2.5 V lázních provádějí rehabilitační cvičení v bazénu o rozměrech dna 300 cm × 400 cm, voda se do něj napouští do výšky
120 cm. Voda se vyměňuje vždy přes noc, a to dvakrát týdně. Když nechají přitékat studenou vodu o teplotě 15 ◦C, naplní
se bazén za 3 h, když nechají přitékat teplou vodu o teplotě 75 ◦C, naplní se za 8 h. Za jak dlouho se bazén naplní, když
přitékají teplá i studená voda současně? Jaká bude výsledná teplota vody v bazénu? Měrná tepelná kapacita vody je
c = 4 200 J·kg−1 ·K−1 (20).
2.6 Menší tepelná elektrárna má výkon 340 MW a spaluje méněhodnotné uhlí o výhřevnosti 13 MJ·kg−1 . Určete spotřebu
uhlí připadajícího na 1 kW·h odevzdanou z této elektrárny a denní (24 hodin) spotřebu uhlí, víte-li, že elektrárna pracuje
trvale na 80 % jmenovitého výkonu. Účinnost elektrárny je 36 % (20).
2.7 Při stálé rychlosti 54 km·h−1 táhne lokomotiva nákladní vlak, přičemž překonává valivý odpor a odpor vzduchu. Odhadněme tahovou sílu lokomotivy na 50 kN. Celková účinnost parní lokomotivy je maximálně 12,5 %, elektrické 60 %, ale
účinnost elektrárny je menší 35 %. Odhadněte výkon lokomotivy, spotřebu paliva o výhřevnosti 29,4 MJ·kg−1 za dobu jízdy
30 min a úsporu paliva díky užívání elektrické trakce (20).
2.8 Dřevěná chata má tři stěny, strop a podlahu dobře izolovány. Jen jedna stěna v níž je krb, je cihlová. Má šířku 4,5 m,
výšku 2,8 m a tloušťku 30 cm. Součinitel teplotní vodivosti materiálu cihel je 0,60 W·m−1 ·K−1 . Uvnitř chaty se udržuje
5
teplota 20 ◦C, vně −10 ◦C. Určete únik tepla za dobu 10 h a minimální výkon topného tělesa, které udržuje v chatce stálou
teplotu (20).
2.9 První veřejné vystoupení se svým horkovzdušným balonem předvedli bratři Joseph a Jacques Montgolfierové v červnu
roku 1783. Jejich téměř kulový balon měl průměr 12 m a byl zhotoven z plátna a papíru o celkové hmotnosti 219 kg. Balon
tehdy vystoupal do výšky 1 830 m. Kolik kilogramů vzduchu muselo z balonu uniknout, aby se vznesl? Jakou hustotu musel
mít vzduch v balonu a na jakou minimální teplotu musel být zahřátý (12)?
2.10 Uvažujte dva cykly s ideálním jednoatomovým plynem podle obr. 2.2. Určete poměr
účinností obou cyklů.
2.11 V ideálním plynu s jednoatomovými molekulami, jehož látkové množství je n, probíhá kruhový děj, který se skládá z izochorického zahřátí, izotermické expanze, izochorického ochlazení a izotermické komprese. Při izochorickém zahřátí plyn přijme teplo Q1 a
při izotermické expanzi teplo Q2 . Nejnižší teplota plynu během cyklu je Tmin .
a) maximální teplotu Tmax plynu během děje;
b) teplo odevzdané plynem při izochorickém ochlazení a při izotermické kompresi;
c) celkovou práci plynu při jednom cyklu;
d) teoretickou účinnost tepelného motoru, který by pracoval podle uvedeného cyklu.
p
2p0
p0
6
I
*
II ?
6 V0
2V0
3V0 V
Obr. 2.2: K úloze 2.10
2.12 Jaké největší teplo Q, které může být odebráno z chladničky při vynaložení práce W = 1 kJ, je-li teplota chlazeného
prostoru −9 ◦C, teplota okolního prostředí 12 ◦C (5)?
2.13 Švédská firma Nibe je jedním z největších výrobců tepelných čerpadel v Evropě. Její čerpadlo Fighter 1220 čerpá
teplo ze spodní vody nebo ze země. Podle technických parametrů dává tepelné čerpadlo tepelný výkon 11,7 kW při příkonu
kompresoru 2,5 kW a příkonu oběhových čerpadel 420 W. Průtok vody ve vytápěcím okruhu je 0,26 l·s−1 (12).
a) Jaká je účinnost zařízení?
b) Jaký výkon odebírá čerpadlo z vnějšího prostředí (země nebo vody)?
c) Jak se změní teplota vody při průchodu vytápěcím systémem objektu.
2.14 Při izobarickém zvětšení objemu určitého množství dusíku na objem V2 = 12 l při tlaku p = 105 Pa se jeho vnitřní
energie zvýšila o ∆U = 510 J. Vypočtěte počáteční objem dusíku V1 (5).
2.15 Kyslík o hmotnosti m = 10 g, jehož počáteční tlak je p1 = 1,0·105 Pa, teplota t1 = 0 ◦C, stlačíme na objem V2 = 1,4 l.
Vypočtěte tlak a teplotu po stlačení, je-li děj a) izotermický, b) adiabatický (5).
2.16 Železný předmět o hmotnosti m1 = 0,2 kg a teplotě t1 = 100 ◦C byl ponořen do kalorimetru obsahujícího m2 = 0,3 kg
vody o teplotě t2 = 12 ◦C. Jak se změní entropie soustavy po vyrovnání teplot? Tepelnou kapacitu kalorimetru zanedbejte.
Měrné teplo železa c1 = 0,45 kJ·kg−1 ·K−1 , měrné teplo vody c2 = 4,18 kJ·kg−1 ·K−1 (5).
2.17 Určete teplotu t, při níž má kyslík o hustotě 100 kg·m−3 tlak 7·106 Pa. Kyslík považujte za ideální plyn a poté plyn
řídící se van der Waalsovou rovnicí a konstantami a = 0,14 J·m3 /mol2 a b = 3,2·10−5 m3 ·mol−1 (5).
2.18 Při tlaku p0 = 105 Pa je teplota tání ledu tt = 0,00 ◦C, měrné skupenské teplo ledu je lt = 332 kJ·kg−1 . Vypočtěte
za jakou hodnotu je třeba změnit tlak, aby se teplota tání snížila na t′t = −0,01 ◦C. Hustota vody je 1 000 kg·m−3 a ledu
917 kg·m−3 (5).
2.19 Uzavřená válcová nádoba je pístem rozdělena na 2 stejné části. V jedné z nich se nachází vzduch, ve druhé voda a vodní
pára. Při pomalém zahřívání celé nádoby se píst začne pohybovat a v určitém okamžiku se zastaví. V tomto okamžiku dělí
objem nádoby v poměru 1:3. Najděte poměr hmotnosti vody a vodní páry na začátku děje. Teploty v obou částech nádoby
jsou po celou dobu stejné, objem vody vůči objemu vodní páry zanedbejte.
2.20 V uzavřené válcové nádobě o objemu V0 = 5 l je vodní pára o hmotnosti m = 2 g a teplotě t1 = 95 ◦C. Nádobu budeme
velmi pomalu ochlazovat na teplotu t2 = 25 ◦C. Určete, jak se při tomto izochorickém ochlazování bude měnit hmotnost a
tlak vodních par v nádobě v závislosti na teplotě. Výsledek shrňte do tabulky, teplotu snižujte po 5 ◦C. Grafická závislost
tlaku vodních par v nádobě na teplotě je na obr. 2.3.
2.21 Jakou největší výšku může mít čedičová hora? Mez pevnosti v tlaku čediče je 300 MPa (12), hustota čediče je asi
2 900 kg·m−3 .
2.22 Ocelová krychle o hraně a0 = 10 cm je podrobena jednostrannému tlaku σ = 3·105 Pa. Modul pružnosti v tahu pro ocel
je E = 2·1011 Pa, Poissonovo číslo µ = 0,3. Jak se změní objem krychle (5)?
2.23 Jakou práci musíme vykonat, abychom nafoukli mydlinovou bublinu o poloměru R = 7 cm? Povrchové napětí mýdlového
roztoku σ = 0,04 N·m−1 (5).
2.24 Určete hustotu mořské vody v hloubce h = 5 km, je-li její hustota na hladině moře ϱ0 = 1 030 kg·m−3 , součinitel stlačitelnosti γ = 5·10−10 Pa−1 . Při výpočtu hydrostatického tlaku považujte hustotu vody a tíhové zrychlení za konstantní (5).
2.25 Do kalorimetru o tepelné kapacitě K = 80 J·K−1 obsahujícího m1 = 0,5 kg vody o teplotě t1 = 25 ◦C jsme přidali
m2 = 0,1 kg ledu o teplotě t2 = −10 ◦C, Když led všechen roztál, ustálila se v kalorimetru teplota t = 7,3 ◦C. Určete měrné
skupenské teplo tání ledu. Měrné teplo vody c1 = 4,18 kJ/kg/K, měrné teplo ledu c2 = 2,10 kJ/kg/K (5).
2.26 Jakou rychlost musí mít olověná střela, aby se po nárazu na ocelovou desku roztavila? Teplota střely t0 = 27 ◦C,
teplota tání olova za normálního tlaku tt = 327 ◦C, měrné skupenské teplo tání olova lt = 22,6 kJ/kg, měrné teplo olova
c = 0,129 kJ/kg/K. Při výpočtu předpokládejte, že ocelová deska nepřijímá a neodvádí žádné teplo.
6
t
C
95
90
85
80
75
70
65
60
55
50
45
40
35
30
25
700
◦
600
p/hPa
500
400
300
200
100
0
20
30
40
50
60
70
80
90
100
t/oC
Obr. 2.3: K řešení dcv 2.20
ps
hPa
845,3
701,1
578,0
473,6
385,4
311,6
250,1
199,2
157,6
123,3
95,86
73,73
56,26
42,40
31,73
mp
g
2,00
2,00
1,75
1,45
1,2
0,99
0,8
0,65
0,52
0,42
0,33
0,26
0,20
0,15
0,12
p
hPa
680,2
670,9
578,0
473,6
385,4
311,6
250,1
199,2
157,6
123,3
95,86
73,73
56,26
41,40
31,73
2.27 Kolik tepla musíme dodat ledu o hmotnosti m = 720 g a o teplotě −10 ◦C, abychom dostali vodu o teplotě 15 ◦C? Jaký
bude výsledný stav a teplota, dodáme-li pouze teplo 210 kJ (7)?
2.28 Do nádoby nalijeme určité množství vody při pokojové teplotě t0 = 17 ◦C. Nádobu hermeticky uzavřeme a pomalu
zahříváme. Při teplotě t = 115 ◦C a tlaku p = 3·105 Pa všechna voda vyvřela. Jakou část objemu nádoby vyplňovala voda na
začátku? Molární hmotnost vody je Mm = 18 g·mol−1 , její hustota ϱ = 1 g·m−3 , tlak v nádobě na počátku byl p = 105 Pa.
2.29 Ve třídě o rozměrech 6 m × 8 m × 4 m je vzduch teploty 25 ◦C a relativní vlhkosti 65 %. Jakou hmotnost mají vodní
páry ve třídě (12)?
2.30 Ve vápenné omítce vzlíná voda do výšky asi 1,5 m. O jaké střední velikosti mezer to vypovídá (12)?
2.1
Domácí cvičení
D2.1 O kolik procent se zvětší objem měděného tělesa při zahřátí z teploty t1 = 18 ◦C na t2 = 150 ◦C? Součinitel teplotní délkové roztažnosti mědi
α = 17·10−6 K−1 (5).
[0,67 %]
D2.2 V současné době se již mezi železničními kolejnicemi nenechávají dilatační
mezery, kolejnice se svařují. Jak velké napětí vzniká v kolejnicích za extrémních
teplot −30 ◦C a 50 ◦C, byly-li svařovány při teplotě 15 ◦C? Délka ocelových kolejnic
je 25 m (12).
[110 MPa; 88 MPa]
D2.3 Za zimního rána, když do ústředního topení výškového domu přitéká horká
voda, jeho stoupací trubky vydávají zvuk podobný praskání. S rostoucí teplotou
se roztahují a po malých skocích se postupně protlačují přes stropy zespodu do
Obr. 2.4: K dcv D2.8
vyšších pater. O kolik se prodlouží stoupací trubky dvanáctipodlažního domu?
Výška jednoho podlaží je 2,7 m, teplota vody vzroste z 20 ◦C na 65 ◦C, trubky jsou ze železa (12).
[1,7 cm]
D2.4 Když jede automobil rychlostí 90 km·h−1 , má spotřebu 6,8 l na 100 km trasy. Benzin má výhřevnost 46 MJ·kg−1 , z čehož
pouze 22 % připadne na mechanickou práci nutnou k udržení rychlosti. Hustota benzinu je 700 kg·m−3 . Jak velký je výkon
automobilu a jaká je tažná síla motoru (20)?
[P = 12,0 kW; F = 482 N]
D2.5 Pro snížení tepelných ztrát u chaty z úlohy 2.8 byla cihlová stěna z vnějšku nahozena vnější omítkou o tloušťce
d1 = 5 cm s teplotním součinitelem λ1 = 0,25 W·m−1 ·K−1 a vnitřní omítkou o tloušťce d3 = 2 cm s teplotním součinitelem
λ3 = 0,70 W·m−1 ·K−1 . Jak se zmenšily tepelné ztráty a jaký musí být nyní výkon topného tělesa (20)?
[P = 519 W; ]
D2.6 Marcela si jednou dávala na zákusek šlehačku z láhve s bombičkou oxidu dusného. Napadlo, kolik asi plynu v bombičce
je. Vážením zjistila, že plná bombička měla hmotnost 30,8 g, zatímco prázdná 23,9 g. Jaký objem by zaujal oxid dusný ze
šlehačkové bombičky za běžných podmínek 100 kPa a 20 ◦C (12).
[3,8 l]
D2.7 Na obr. 2.5 je idealizovaný model pracovního diagramu čtyřdobého zážehového motoru. Pracovní látkou je vzduch
o látkovém množství n, který můžeme přibližně považovat za ideální plyn s dvouatomovými molekulami. Kompresní poměr
motoru je ε = V1 /V2 = 4. Jednotlivé části kruhového děje jsou:
1 − 2 – adiabatické stlačení vzduchu s nepatrným množstvím benzinových par,
7
2 − 3 – izochorické ohřátí vzduchu spálením benzínu,
3 − 4 – adiabatické rozepnutí zahřátého vzduchu,
4 − 1 – izochorický pokles tlaku při výfuku.
Izobarické děje 1–5 a 5–1 při výfuku a sání, kterými se v motoru obnoví počáteční
podmínky
nemusíme uvažovat.]Určete teoretickou účinnost motoru.
[
T1
η = 1 − T2 , η0 = 1 − TT13 > η
D2.8 Ideální tepelný stroj, jehož pracovní látkou je ideální plyn, pracuje v cyklu
tří po sobě následujících dějů (obr. 2.4):
1 − 2 – plyn izobaricky ohřejeme z původního objemu V1 a teploty T1 , objem se
zvětší 3×.
2−3 – plyn se adiabaticky rozepne tak, že jeho teplota poklesne na původní teplotu
T1 ,
3 − 1 – plyn izotermicky stlačíme na původní objem V1 .
Obr. 2.5: K dcv D2.7
Najděte účinnost tohoto kruhového děje a ukažte, že je stejná pro plyn s jednoatomovými
i dvouatomovými
molekulami.
[
]
2 − ln 3
η=
≈ 45 %
2
D2.9 Jeden kilomol ideálního plynu se prochází termodynamickým cyklem složeném ze čtyř procesů. Nejprve je termodynamický systém převeden ze stavu A (pA = 105 Pa, TA = 273 K) do stavu B vratným izotermickým procesem, potom ze
stavu B do stavu C (pC = 0,5·105 Pa, TC = 546 K) vratným izobarickým dějem, potom ze stavu C do stavu D vratným
izochorickým dějem a konečně ze stavu D zpět do stavu A vratným adiabatickým dějem. Uvažujte CV = 3R/2.
a) Načrtněte pV diagram daného cyklu a určete hodnoty p, V , T pro termodynamické stavy A, B, C, D.
b)
[ Pro každý z3výše uvedených dějů cyklu zjistěte ∆Q, ∆W3, ∆U a výsledky zapište tabulkou.
a) VA = 22,7 m ; B : TB = TA = 273 K, VB = 2VA = 45,4 m ,
pB = pC = 0,5·105 Pa; C : VC = 2VB = 4VA = 90,8 m3 ; D : TD = 108,3 K, pD = 9 921 Pa;
6
b) ∆WAB = 1,57·106 J, ∆WBC = 2,27·106 J, ∆WCD = 0 J, ∆WDA = −2,05·10
] J,
6
6
6
∆UAB = 0 J, ∆UBC = 3,40·10 J, ∆UCD = −5,46·10 J, ∆UDA = 2,05·10 J
D2.10 V zimě nabral turista do rychlovarné konvice vodu s ledem o teplotě 0 ◦C, vody bylo 900 g, ledu 600 g. Za jak dlouho
se bude voda vařit při středním výkonu konvice 2 kW a účinnosti 85 %. Měrná tepelná kapacita vody je c = 4,2 kJ·kg−1 ·K−1 ,
měrné skupenské teplo tání ledu je lt = 332 kJ·kg−1 (20).
[τ = 8,1 min]
D2.11 V kalorimetru je m1 = 200 g vody o teplotě 8 ◦C. Přidáme do něj m2 = 300 g ledu o teplotě −20 ◦C. Jaká bude teplota
v kalorimetru po dosažení rovnovážného stavu? Jaké množství vody a ledu bude v kalorimetru po dosažení rovnováhy?
Tepelnou kapacitu kalorimetru zanedbejte (5).
[t = 0 ◦C; m′1 = 182 g; m′2 = 318 g]
D2.12 Určete, jak se změní teplota varu vody v okolí 100 ◦C, zvýší=li se tlak o ∆p = 160 Pa. Měrný objem vody
v1 = 0,001 m3 ·kg−1 , vodní páry v2 = 1,675 m3 ·kg−1 , měrné skupenské teplo varu vody lv = v1 = 2 257 kJ·kg−1 (5).
[ Vzroste o 0,044 ◦C]
D2.13 Určete poloměr kapiláry, v níž je voda o výšku 2 cm nad hladinou v širší
nádobě. Povrchové napětí vody σ = 0,073 N·m−1 , hustota ϱ = 1 000 kg·m−3 ,
krajový úhel ϑ = 0 (5).
[r = 0,74 mm]
D2.14 Jak velký je přetlak uvnitř mýdlové bubliny o průměru d = 2 mm, je-li
povrchové napětí mýdlového roztoku σ = 0,04 N·m−1 (5)?
[p = 160 Pa]
D2.15 Kapilára o vnitřním poloměru r = 0,75 mm a délky l = 20 cm je na
Obr. 2.6: K úloze 3.2
jednom konci zatavena. Kapilára je vodorovně ponořena do rtuti tak, že v ní
všechen vzduch zůstane. Jaká je délka l1 vzduchu v kapiláře, je-li ponořena v hloubce h = 10 cm? Barometrický tlak je
105 Pa, povrchové napětí rtuti 0,49 N·m−1 .
[l1 = 0,178 m]
3.
Mechanické kmity a vlny, akustika
3.1 Těleso o hmotnosti m = 0,40 kg zavěšené na pružině kmitá s periodou T = 0,25 s a s amplitudou výchylky ym = 0,050 m.
Určete maximální velikost Pm okamžitého výkonu, s nímž se potenciální energie oscilátoru mění na kinetickou a naopak (8).
3.2 Setrvačník o hmotnosti m a momentu setrvačnosti J0 je hřídelí o poloměru r položen na vodorovné kolejnice (obr. 2.6. Ve
vzdálenosti r1 od osy je k setrvačníku připevněn malý přívažek o hmotnosti m1 . Odvalíme-li setrvačník z rovnovážné polohy
tak, že se otočí o malý úhel αm , bude po uvolnění osa setrvačníku konat harmonické kmity. Určete úhlovou frekvenci těchto
kmitů.
8
3.3 Určete dobu kmitu kotouče na obr. 3.4 kolem vodorovné osy jdoucí bodem O kolmo na rovinu kotouče, plná část kotouče
je homogenní (17).
3.4 Určete periodu malých kmitů homogenní kuličky o poloměru r, kterou položíme na dno misky tvaru kulového vrchlíku
o poloměru R > r a vychýlíme z rovnovážné polohy (17).
3.5 Tenká svislá tyč délky l se skládá se dvou homogenních částí o hustotách ϱ1 a ϱ2 o délkách z a l − z, přičemž ϱ1 > ϱ2 .
Tyč rozkmitáme podle vodorovné osy kolmé k tyči procházející koncem tyče s materiálem o hustotě ϱ2 . Amplituda kmitů
byla dostatečně malá, aby bylo možné považovat kmity za harmonické.
a) Určete periodu kmitů T .
b) Dokažte, T bude za daných podmínek minimální pro z = l.
3.6 V meteorologické raketě byly umístěny hodiny s nepokojem a kyvadlové hodiny, jejichž kyvadlo lze považovat za matematické. Raketa se pohybovala svisle vzhůru se zrychlením a = 5g. Ve výšce h = 30 km skončil motor rakety svou činnost a
raketa se dále pohybovala setrvačností. Určete, jaký čas budou ukazovat hodiny s nepokojem a kyvadlové hodiny v nejvyšším
bodě dráhy rakety. Odpor vzduchu a závislost gravitačního zrychlení na vzdálenosti od povrchu Země zanedbejte (10).
3.7 Odvoďte vztah pro výpočet periody matematického kyvadla délky l, bude-li se kyvadlo nacházet ve výšce h Ć RZ nad
hladinou moře. Odvozený vztah pak použijte k výpočtu relativní chyby periody kmitu ve Vysokých Tatrách na Lomnickém
štítu. O kolik sekund se zpozdí pohyb matematického kyvadla a) za každou hodinu, b) za jeden den (9)?
3.8 Kmity krystalové mřížky a studium vlastností pevných látek obecně
představují složitou a přitažlivou problematiku. Určitou představu o povaze
těchto kmitů si ovšem lze udělat i na podkladě studia velmi hrubého modelu
např. kovové mřížky. Při zkoumání pohybu iontu se z trojrozměrné struktury nejprve omezíme na tzv. lineární řetízek a posléze si z této soustavy
na přímce a ve stejných vzdálenostech od sebe ležících iontů vybereme jen
nejbližší sousedy zkoumaného iontu (obr. 3.1). Odvoďte vzorec pro výpočet
frekvence kmitů iontu v krystalové mřížce (9).
Obr. 3.1: K úloze 3.8
3.9 V trubici tvaru U a o průřezu S = 5·10−5 m2 je m = 0,136 kg rtuti. Určete periodu harmonického pohybu, který vznikne, zvedne-li se na okamžik
rtuť v jednom rameni. Hustota rtuti je ϱ = 13 600 kg·m−3 , tíhové zrychlení
g = 10 m·s−2 , tření zanedbejte (5).
3.10 Uvažujme komoru tvaru válce o příčném průřezu S a délce L na obou
koncích uzavřenou. Uprostřed komory je vzduchotěsný píst o hmotnosti m,
který rozděluje válec na dvě části o stejném objemu. Na počátku je v obou
částech komory stejný tlak o velikosti p0 . Píst mírně vychýlíme z rovnovážné
polohy o x Ć L a uvolníme tak, že začne konat kmitavý pohyb (obr. 3.2).
Při řešení úlohy předpokládejte, že nedochází k tepelné výměně mezi plynem
a okolím, tj. že děj je adiabatický. Odvoďte vztah pro výpočet periody T
kmitavého pohybu. Tření mezi pístem a válcem neuvažujte. Řešte nejprve
obecně, potom pro hodnoty m = 0,50 kg, L = 0,50 m, p0 = 1,0·105 Pa,
S = 1 dm2 , κ = 1,40 (9).
3.11 Složte graficky dva harmonické stejnosměrné kmity v témže směru,
jsou-li kmitočty v poměru 3:1 a amplitudy v poměru 1:2. V čase t = 0 mají
oba dílčí kmity stejnou fázi φ = 0 (10).
Obr. 3.2: K úloze 3.10
Obr. 3.3: K úloze 3.12 (převzato z (7))
3.12 Tučňák na obr. 3.3 se chystá ke skoku z homogenního skokanského
můstku tvořeného prknem, které se vlevo volně otáčí kolem čepu a vpravo je
pevně spojeno s pružinou. Délka prkna L = 2,0 m, jeho hmotnost m = 12 kg,
tuhost pružiny k činí 1 300 N·m−1 a její hmotnost je zanedbatelná. Skok tučňáka vyvolá kmitání prkna a pružiny s malou amplitudou. Za předpokladu,
že prkno je pevné a neprohýbá se, určete periodu kmitů (7).
3.13 Při pružném protažení pružiny o 4 cm byla vykonána práce 10 J. Určete
kmitočet pružiny při náhlém zavěšení závaží o hmotnosti 0,5 kg (10).
3.14 Když zkrátíme matematické kyvadlo o 1/5 jeho délky, větší se jeho
frekvence o 1/5 Hz, a když je prodloužíme o 1/5 jeho délky, zmenší se jeho
frekvence o 1/5 Hz. Jak dlouhé je kyvadlo (10)?
3.15 Hodiny, jejichž kyvadlo považujeme za matematické, mají na povrchu
Země dobu kmitu 1 s. Jak se změní jejich chod za dobu jednoho dne (24 h),
jestliže je umístíme ve výši 400 m na povrchem Země nebo když je spustíme
do šachty hluboké 400 m (10)?
Obr. 3.4: K úloze 3.3
3.16 Zapište rovnici vlnění, které má frekvenci 1 kHz, amplitudu výchylky 0,3 mm a postupuje rychlostí c = 340 m·s−1
v kladném směru osy x (10).
3.17 Struna má délkovou hustotu µ = 525 g·m−1 a je v ní vyvoláno napětí τ = 45 N. Podél stuny postupuje vlna s frekvencí
120 Hz a amplitudou ym = 8,5 mm. Jaký je výkon přenášený vlnou (6)?
9
3.18 Rovinná zvuková vlna šířící se ve vodě rychlostí c1 = 1 450 m·s−1 dopadá na ocelovou desku pod úhlem 30°. V oceli se
zvuk šíří rychlostí c2 = 5 000 m·s−1 .
a) Určete směr šíření rovinné vlny po dopadu na rovinné rozhraní mezi vodou a deskou.
b) Určete úhel dopadu, pro který nastane úplný odraz (10).
3.19 Motor automobilu vydává tón o frekvenci o kmitočtu 70 Hz, automobil jede rychlostí 108 km·h−1 . Cyklista je rychlostí
18 km·h−1 proti směru automobilu. Jakou frekvenci bude cyklista vnímat při přibližování a vzdalování automobilu? Rychlost
zvuku c = 340 m·s−1 (10).
3.20 Podle Dopplerova principu můžeme určit rychlost vzdalujících se objektů. Spektrální čára mlhoviny je posunuta o ∆λ
směrem k větším vlnovým délkám. Potom
∆λ
v
≈ ,
λ
c
kde c = 3·108 m·s−1 je rychlost světla ve vakuu. Jakou rychlostí se vzdaluje mlhovina, je-li ∆λ = 3·10−8 m a vlnová délka
čáry hélia je λ = 587 nm (10)?
3.21 Zvuková intenzita elektrofonické kytary byla zesílena z I1 = 10−10 W·m−2 na I2 = 10−4 W·m−2 . Kolika decibelům
odpovídá zesílení (10)?
3.22 K určení směru, z něhož k nám přichází zvuk, využívá náš mozek časový rozdíl ∆t, s nímž zvuk dorazí k bližšímu
a vzdálenějšímu uchu. Vzdálenost mezi ušima označme l0 . Předpokládejme, že zdroj zvuku je dostatečně vzdálený, takže
přicházející vlnoplochy jsou přibližně rovinné. Nalezněte vztah pro ∆t vyjádřený pomocí vzdálenosti l0 a úhlu θ mezi spojnicí
uší a čelem vlnoplochy (7).
3.23 Tryskové letadlo proletělo rychlostí 600 m·s−1 po přímé dráze ve vzdálenosti 3 km od pozorovatele. V jaké vzdálenosti
od pozorovatele bylo letadlo, když pozorovatel uslyšel jeho zvuk (10)?
3.24 Základní tón ocelové struny o průměru 0,4 mm zní o kvintu výše než základní tón hliníkové struny o průměru 0,6 mm.
Relativní kmitočet hudebního intervalu kvinta je 3/2. Vypočtěte, v jakém poměru jsou síly, které obě struny napínají (10).
3.25 Otevřená píšťala má základní kmitočet 110 Hz při teplotě 0 ◦C.
a) Jak se změní její kmitočet, jestliže teplota vzduchu stoupne o 30 ◦C?
b) Jak bychom museli změnit délku píšťaly, aby se při teplotě 30 ◦C kmitočet píšťaly nezměnil (10)?
3.26 V roce 1976 vytvořila skupina Who rekord v hlasitosti koncertu. Hladina intenzity zvuku byla ve vzdálenosti 46 m před
reproduktory β2 = 120 dB. Jaký je poměr intenzity I2 zvuku v daném místě ku intenzitě I1 bucharu pracujícího s hladinou
intenzity zvuku β1 = 92 dB (7)?
3.27 Netopýři se orientují a hledají kořist vysíláním a přijímáním odrazů ultrazvukových vln, jejichž frekvence jsou vyšší než
je schopen slyšet člověk. Předpokládejme, že netopýr letí k mušce rychlostí vn = 9,0 m·s−1 (vůči zemi), kdežto muška letí
k netopýrovi rychlostí 8,0 m·s−1 (také vůči zemi). Netopýr ze svých nozder vysílá ultrazvukové vlny o frekvenci fnv , které se
odrážejí od mouchy a vracejí zpět k netopýrovi s frekvencí fn0 . Netopýr upraví vysílanou frekvenci fnv takovým způsobem,
že odražená vlna bude mít frekvenci fn0 rovnou 83 kHz, na které je sluch netopýra nejcitlivější (7).
a) Jakou frekvenci fm slyší muška, když fn0 = 83 kHz?
b) Jakou frekvenci fnv vysílá netopýr, když muška slyší frekvenci fn0 = 83 kHz?
3.28 Na obr. 3.5 je závislost intenzity na vlnové délce světla přicházející z mezihvězdného plynu, který se nachází ve dvou
protilehlých oblastech galaxie M87. Jedna křivka má „peak“ (ostré maximum) pro vlnovou délku 499,8 nm (modrá vlevo),
druhá pro 501,6 nm (červená vpravo). Plyn obíhá okolo jádra galaxie ve vzdálenosti r = 100 ly; při jedné straně se tedy plyn
pohybuje směrem k nám, na druhé od nás (7).
a) Jaká je relativní rychlost plynu vzhledem k nám?
b) Plyn obíhá okolo jádra galaxie, které na něj, díky své hmotnosti M , působí gravitační silou. Jaká je tato hmotnost
v poměru k M⊙ ?
3.29 Jak daleko od nultého pražce kytary musí být první a druhý pražec? Struna má délku 64,3 cm. Kytara má podobně
jako klavír tzv. temperované ladění, tzn., že relativní výška dvou sousedních tónů je 1,059 46, napětí struny se nemění (12).
3.30 Stavební a zvukově izolační materiály charakterizuje tzv. součinitel průzvučnosti, který udává poměr intenzity zvuku
dopadajícího a procházejícího. Součinitel průzvučnosti okna z plastových profilů zaskleného izolačním dvojsklem je asi 30 dB,
neomítnuté zdi z plných cihel tloušťky 450 mm asi 60 dB. Kolikrát zeslabuje zvuk okno s izolačním dvojsklem a kolikrát zeď
z plných cihel (12)?
3.1
Domácí cvičení
D3.1 Najděte vztah pro dobu kmitu homogenní tyče délky l a hmotnosti m, která kmitá kolem osy kolmé k tyči procházející
jejím
koncem 
(17).

√
2l
T = 2p

3g
10
Obr. 3.5: K úloze 3.28 (originál dostupný z http://hubblesite.org/newscenter/archive/releases/1994/23/image/b/)
D3.2 Tenká obruč zavěšená na skobě se po malém vychýlení z rovnovážné polohy stane kyvadlem. Určete jeho dobu kmitu
a redukovanou délku. (17).

√
2R ⋆
T = 2p
, l = 2R
g
D3.3 Určete frekvenci sinusového kmitání hmotného bodu pružiny, jestliže za dobu 0,1 s po projití rovnovážnou polohou
urazí 1/8 celkové
dráhy kmitu (10).
[
]
5
f ≈ Hz
6
D3.4 Pružina byla zatížena tělesem o hmotnosti m = 0,5 kg, v rovnovážné poloze je prodloužena o 4 cm. Závaží rozkmitáme
s amplitudou 2 cm. Vypočtěte dobu kmitu, frekvenci a celkovou energii kmitavého pohybu tělesa (10).
[T ≈ 0,4 s; f ≈ 2,5 Hz; E ≈ 0,025 J]
D3.5 Závaží zavěšené na pružině koná harmonické kmity o amplitudě 12 cm. Za dobu 0,1 s po projití rovnovážnou polohou
urazil hmotný střed závaží dráhu 4 cm.
a) Vypočtěte dobu kmitu a frekvenci.
b) Vypočtěte rychlost a zrychlení v době t = 0,1 s po projití rovnovážnou polohou (10).
D3.6 Jiřina si všimla, že když jde s fotoaparátem zavěšeným na krku, zleva doprava se jí rozkmitá, nejvíce při určité rychlosti
chůze. Je-li délka kroku Jiřiny asi 55 cm a délka závěsu fotoaparátu asi 25 cm, odhadněte rychlost chůze, při které se fotoaparát
rozkmitá
nejvíce
(12).
[
]
3,9 km·h−1
D3.7 Hodiny s mosazným kyvadlem jdou správně při teplotě 0 ◦C. O kolik se hodiny opozdí za den, zvýší-li se teplota na
20 ◦C? Součinitel délkové roztažnosti materiálu kyvadla je α = 19·10−6 K−1 (5).
[za 24 h o 16 s]
D3.8 Těleso o hmotnosti 280 g je zavěšeno na pružině o tuhosti 15,2 N·m−1 . V čase t0 = 0 s se nachází 1,00 cm pod rovnovážnou
polohou a pohybuje se rychlostí 20,0 cm·s−1 směrem dolů. Kde se bude nacházet v čase t = 1,1 s?
[2,38 cm pod rovnovážnou polohou]
D3.9 Stanovte fázový rozdíl mezi dvěma body ležícími na přímce rovnoběžné se směrem šíření vlnění, je-li jejich vzájemná
vzdálenost x2 − x1 = 1,7 m. Rychlost šíření vlnění c = 340 m·s−1 , perioda T = 0,002 s (10)?
[∆φ = p]
D3.10 V lékařské diagnostice se používají ultrazvukové sondy s frekvencemi od 1 MHz až po 4 MHz. Sonda s nízkou frekvencí
má menší rozlišovací schopnost, se sní však možné zobrazit struktury ve větší hloubce, u sond s vyšší frekvencí je tomu
naopak. Jaká je rozlišovací schopnost sondy pracující na frekvenci 2,5 MHz. V jednotlivých tkáních (krev, sval, játra) se
rychlost ultrazvuku pohybuje okolo 1 540 m·s−1 (12).
[v = 0,6 mm]
11
D3.11 Jakou rychlostí se pohyboval závodní motocykl, jestliže poměr kmitočtu blížícího se vozidla a kmitočtu vzdalujícího
−1
se
pro
[ vozidla byl−1
] stojícího pozorovatele 5/4 (velká tercie)? Rychlost zvuku c = 340 m·s (10).
v = 37,7 m·s
D3.12 Vypočtěte kmitočet struny o délce 60 cm, která je napjata silou 225 N. Hmotnost struny je 2,4 g (10).
[f ≈ 198 Hz]
D3.13 Vypočtěte změnu intenzity zvuku I, jestliže se ochranným zařízením snížila hladina intenzity z 90 dB na 60 dB(10).
[Snížila se 1 000×]
D3.14 Varhany mívají frekvenční rozsah od tzv. velkého C (65,41 Hz) po takzvané tříčárkované g3 (1 567,98 Hz). Pokud
předpokládáme, že se používají otevřené píšťaly, jaké délky píšťal tomu odpovídají (12)?
[11 cm − 2,6 m]
D3.15 Na jaké frekvence zvuku mají lidé uši nejcitlivější? Při vnímání zvuku hrají důležitou roli rezonanční vlastnosti
lidského ucha, především vnějšího zvukovodu, který může zesilovat zvuk až o 12 dB. Průměrná délka vnějšího zvukovodu
ucha dospělého člověka je 2,7 cm. Předpokládejte, že zvukovod se chová jako rezonanční dutina uzavřené píšťaly (12).
[okolo 3 kHz]
Použitá literatura
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
[7]
[8]
[9]
[10]
[11]
[12]
[13]
[14]
[15]
[16]
[17]
[18]
[19]
[20]
Bajer J.: Mechanika 1. Olomouc: PřF UP 2004, ISBN: 80-244-0819-8.
Bajer J.: Mechanika 2. Olomouc: PřF UP 2004, ISBN: 80-244-0884-8.
Bajer J.: Mechanika 3. Olomouc: PřF UP 2006, ISBN: 80-244-1293-4.
Bartsch, H. J.: Matematické vzorce. Praha: Academia, 2006, ISBN: 80-200-1448-9.
Fuka J., Široká M.: Cvičení z obecné fyziky I. Olomouc: UP 1980.
Halliday D., Resnick R., Walker J.: Fyzika. Vysokoškolská učebnice obecné fyziky. Část 1: Mechanika. Brno a Praha:
VUTIUM a Prometheus 2000, ISBN: 80-214-1868-0.
Halliday D., Resnick R., Walker J.: Fyzika. Vysokoškolská učebnice obecné fyziky. Část 2: Mechanika –
Termodynamika. Brno a Praha: VUTIUM a Prometheus, 2000, ISBN: 80-214-1868-0.
Jírů J.: Diferenciální počet ve fyzice. Hradec Králové: MAFY 2006. Dostupné z: http://fo.cuni.cz/texty/dif.pdf.
Kapoun M: Aproximace ve fyzikálních úlohách. Hradec Králové: MAFY 2012. Dostupné
z: http://fyzikalniolympiada.cz/texty/aproxim.pdf
Kružík M.: Sbírka úloh z fyziky pro žáky středních škol. Praha: SPN 1979.
Kvasnica J.: Matematický aparát fyziky. Praha: Academia 1989. ISBN: 80-200-0088-7.
Nahodil J.: Sbírka úloh z fyziky kolem nás. Praha: Prometheus, 2011, ISBN: 978-80-7196-409-4.
Polák Z., Šedivý P.: Vrhy. Knihovnička FO č. 46. Hradec Králové: MAFY 2002. Dostupné
z: http://fo.cuni.cz/texty/vrhy.pdf.
Rektorys K. a kol.: Přehled užité matematiky I, II. SNTL, Praha 1988.
Šedivý P., Volf I.: Dopravní kinematika a grafy. Knihovnička FO č. 35. Hradec Králové: MAFY 1998. Dostupné
z: http://fo.cuni.cz/texty/dopkin.pdf.
Šedivý P., Volf I.: Práce – výkon – energie. Knihovnička FO č. 47. Hradec Králové: MAFY 2000. Dostupné
z: http://fo.cuni.cz/texty/prace.pdf.
Šedivý P., Volf I., Horáková R.: Harmonické kmity mechanických soustav. Knihovnička FO č. 44. Hradec Králové:
MAFY 2000. Dostupné z: http://fo.cuni.cz/texty/kmity.pdf.
Volf I., Jarešová M.: Fyzika je kole nás (pohyb a síla). Knihovnička FO č. 76. Hradec Králové: MAFY 2007. Dostupné
z: http://fo.cuni.cz/texty/fyzika1.pdf.
Volf I., Jarešová M.: Fyzika je kole nás (práce – výkon – energie). Knihovnička FO č. 79. Hradec Králové: MAFY 2007.
Dostupné z: http://fo.cuni.cz/texty/fyzika2.pdf.
Volf I., Jarešová M., Ouhrabka M.: Přenos tepla. Knihovnička FO č. 44. Hradec Králové: MAFY 2007. Dostupné
z: http://fo.cuni.cz/texty/texttz.pdf.
12