Kuželosečky

Kapitola 3
Kuželosečky
3.1
Elipsa
D EFINICE 3.1.1:
Množinu všech bodů v rovině E2 , které mají od dvou různých pevně
zvolených bodů F1 , F2 konstantní součet vzdáleností 2a, nazýváme
elipsa; tj.
ke = {X ∈ E2 : |XF1 | + |XF2 | = 2a = konst., 0 < |F1 F2 | < 2a}.
Dané pevné body F1 , F2 se nazývají ohniska1 , spojnicím XF1 a XF2 říkáme průvodiče. Střed S úsečky F1 F2 je tzv. střed elipsy. Vzdálenost
ohnisek od středu se nazývá lineární výstřednost (excentricita) a
označuje se e
|SF1 | = |SF2 | = e.
Zdůrazněme jen, že kdybychom v definici elipsy nepředpokládali různost
bodů F1 a F2 a připustili bychom, že ohniska mohou splynout, potom
bychom mezi elipsy zařadili i kružnici jakožto speciální případ elipsy s
nulovou výstředností.
Bezprostředně z definice vyplývá tzv. bodová konstrukce elipsy:
Úsečku P Q o délce 2a rozdělíme libovolným bodem R na dvě části
1F
— zkr. focus, z lat. ohnisko
1
Geometrie II
s délkami r1 a r2 (tj. r1 + r2 = 2a) a sestrojíme dvě dvojice kružnic k1 (F1 , r1 ), k2 (F2 , r2 ) a k10 (F1 , r2 ), k20 (F2 , r1 ). Je zřejmé, že kružnice
k1 , k2 (resp. k10 , k20 ) se protínají v bodech elipsy (k1 ∩ k2 = {1 X,2 X},
k10 ∩k20 = {3 X,4 X}). Různou volbou bodu R získáváme různé poloměry
kružnic a tím i různé body elipsy.
Na základě bodové konstrukce snadno nahlédneme, že elipsa je osově
souměrná podle přímky F1 F2 i podle osy úsečky F1 F2 a středově souměrná podle středu úsečky F1 F2 .
Body A, B, ve kterých přímka F1 F2 protíná elipsu, jsou tzv. hlavní
vrcholy. Přímku AB nazýváme hlavní osa a — nemůže-li dojít k
záměně — označujeme týmž názvem i vzdálenost |AB|. Délku |SA| =
|SB| = a nazveme hlavní poloosa. Body C, D, ve kterých osa úsečky
F1 F2 protíná elipsu, jsou tzv. vedlejší vrcholy. Přímku CD nazýváme
vedlejší osa a opět — nemůže-li dojít k záměně — označujeme týmž
názvem i vzdálenost |CD|. Délku |SC| = |SD| = b nazveme vedlejší
poloosa.
P
C
3
A
Q
R
x2
1
X
F1
S
4
D
Xa
X
F2 B x1
e
2
X
Obr. 3.1.0.1
Pro vedlejší vrcholy C, D nastává |F1 C| = |F2 C| = |F1 D| = |F2 D| = a.
Pravoúhlý trojúhelník Fi SC, resp. Fi SD (i = 1, 2) je tzv. charakteristický trojúhelník elipsy s odvěsnami b, e a přeponou a, a proto
platí
a2 = b2 + e2 .
(3.1)
Z toho plyne, že k určení elipsy stačí dva z prvků a, b, e (a > b, e).
2
3.1. Elipsa
Poznamenejme ještě, že všechny body roviny E2 je možné charakterizovat na základě jejich polohy vzhledem k elipse:
a) |F1 X| + |F2 X| < 2a ⇔ X je vnitřní bod elipsy;
b) |F1 X| + |F2 X| = 2a ⇔ X je bod elipsy;
c) |F1 X| + |F2 X| > 2a ⇔ X je vnější bod elipsy.
Tečna elipsy, ohniskové vlastnosti. Přímka může mít s elipsou trojí možnou vzájemnou polohu. Nemá-li s elipsou žádný společný
bod, nazývá se vnější přímkou (všechny body takovéto přímky jsou
vnějšími body elipsy). Přímka, která má s elipsou právě jeden společný
bod a jejíž všechny ostatní body jsou vnější, se nazývá tečna elipsy;
společný bod nazýváme bod dotyku. Má-li přímka s elipsou společné
dva průsečíky, nazývá se sečna (speciálními sečnami jsou tzv. průměry procházející středem elipsy — např. hlavní a vedlejší osa)).
g1
g2
C
A
F1
tX
G2
X
P2
S
F2 B
D
v
Obr. 3.1.0.2
Buď tX tečna elipsy v jejím libovolném bodě X. Označme dále Gi
bod souměrně sdružený s ohniskem Fi (i = 1, 2) podle tečny tx a
Pi = tX ∩ Fi Gi patu kolmice spuštěné z ohniska Fi na tečnu tX . Potom platí:
• Tečna elipsy tX v jejím libovolném bodě X půlí vnější úhel průvodičů F1 X a F2 X.2
2 Ze čtyř úhlů, které tvoří průvodiče bodu X elipsy, vždy jeden obsahuje střed
elipsy — tento úhel a úhel s ním vrcholový se nazývají vnitřní úhly průvodičů.
Úhly vedlejší k vnitřním úhlům nazýváme vnější úhly průvodičů.
3
Geometrie II
• Všechny paprsky vycházející z ohniska F1 (resp. F2 ) se na elipse
odrážejí do druhého ohniska F2 (resp. F1 ).
• Bod G2 (resp. G1 ) souměrně sdružený s ohniskem F2 (resp. F1 )
podle tečny tX leží na kružnici g1 (F1 , 2a) (resp. g2 (F2 , 2a)), která
se nazývá řídicí kružnice elipsy.
• Paty kolmic P1 , resp. P2 spuštěných z ohniska F1 , resp. F2 na
tečnu tX leží na kružnici v(S, a) — tzv. vrcholové kružnici
elipsy, která je obrazem řídicí kružnice g1 , resp. g2 ve stejnolehlosti
se středem F2 , resp. F1 a koeficientem 21 .
Výše uvedené věty (tzv. ohniskové nebo fokální věty) lze využít pro
řadu konstrukcí týkajících se elipsy. Např. je možné pomocí nich sestrojit tečnu tX v bodě elipsy X — sestrojíme bod G2 (G2 ∈7→ F1 X a
|F1 G2 | = 2a), tečna tX je potom osou úsečky F2 G2 .
Analytický popis elipsy. Zvolíme kartézskou soustavu souřadnic s počátkem ve středu elipsy S a souřadnou osou x1 v hlavní ose
elipsy AB a souřadnou osou x2 ve vedlejší ose elipsy CD — jsou-li
souřadné osy osami souměrnosti elipsy (tj. počátek je současně středem
elipsy), potom říkáme, že elipsa je v tzv. základní poloze.
Pro libovolný bod elipsy X[x1 , x2 ] platí |XF1 | + |XF2 | = 2a, tj.
q
q
(e + x1 )2 + x22 + (e − x1 )2 + x22 = 2a.
Po úpravě a umocnění získáváme
q
e2 + 2ex1 + x21 + x22 = 4a2 − 4a (e − x1 )2 + x22 + e2 − 2ex1 + x21 + x22 ,
neboli po zjednodušení
q
ex1 − a2 = −a (e − x1 )2 + x22 .
Rovnici ještě jednou umocníme a po úpravě dostaneme
(a2 − e2 )x21 + a2 x2 = a2 (a2 − e2 ).
Dosadíme (3.1) a obdržíme tzv. středovou rovnici elipsy
b2 x21 + a2 x2 = a2 b2
popř.
4
x21
x2
+ 22 = 1.
2
a
b
(3.2)
3.1. Elipsa
Možná parametrická vyjádření elipsy jsou
x = x(ϕ) = (a cos ϕ, b sin ϕ) ,
nebo
kde 0 5 ϕ < 2π
(3.3)
1 − t2
2t
x = x(t) = a
, b
,
kde t ∈ R.
(3.4)
1 + t2 1 + t 2
V druhém případě je elipsa popsána parametricky pomocí racionálních
funkcí a jde tedy o racionální parametrizaci.
Opět připomínáme, že kdybychom v definici elipsy připustili i možnost,
že ohniska mohou splynout (tj. e = 0, a proto a = b), potom bychom z
(3.2) dostali známou rovnici kružnice a z (3.3) a (3.4) známá parametrická vyjádření kružnice.
Trojúhelníková a proužková konstrukce elipsy. Parametrizaci (3.3) použijeme ke zdůvodnění tzv. trojúhelníkové konstrukce elipsy. Sestrojíme dvě pomocné kružnice ka (S, a) a kb (S, b) a
zvolíme body Xa ∈ ka , Xb ∈ kb oba příslušné k témuž parametru ϕ
(tyto body tedy získáme jako průsečíky téže polopřímky vycházející ze
středu elipsy S s oběma kružnicemi)
xa = (a cos ϕ, a sin ϕ) a xb = (b cos ϕ, b sin ϕ) ,
ka
Xa
C
X
kb
A
kde 0 5 ϕ < 2π.
Xb
S
B
H
V
D
Obr. 3.1.0.3
Bod X[x1 , x2 ], který má stejnou první souřadnici jako bod Xa a stejnou
druhou souřadnici jako bod Xb , tj. bod popsaný souřadným vektorem
x = (a cos ϕ, b sin ϕ) ,
5
kde 0 5 ϕ < 2π
Geometrie II
leží na elipse se středem S a poloosami a, b. Konstrukci dal název pravoúhlý trojúhelník Xb XXa .
Z trojúhelníkové konstrukce snadno odvodíme tzv. proužkovou konstrukci elipsy. Bodem X vedeme rovnoběžku s přímkou SXa . Tato
rovnoběžka protne hlavní, resp. vedlejší osu v bodě H, resp. V , přičemž platí |V X| = a, |HX| = b (rovnoběžníky V XXa S a SHXXb ).
Odtud již vyplývá princip zmíněné konstrukce: Na proužek papíru s
přímým okrajem vyznačíme kolineární body V , H a X tak, aby platilo
|V X| = a, |HX| = a (tj. |V H| = a − b = konst.). Nyní pohybujeme
proužkem papíru tak, aby bod V ležel stále na vedlejší ose a současně
bod H na hlavní ose; potom je bod X bodem elipsy.
Oskulační kružnice elipsy. Při praktickém sestrojování elipsy
ji nahrazujeme v okolí vrcholů tzv. oskulačními kružnicemi, tj. kružnicemi, které se ve vrcholech elipse co nejvíce přibližují.
Každá kružnice, která se dotýká elipsy např. ve vrcholu B, ji přibližně
v blízkém okolí tohoto vrcholu nahrazuje. Uvažujeme-li umístění elipsy
v kartézské soustavě souřadnic tak, že její rovnice má tvar
x2
x21
+ 22 = 1,
2
a
b
potom rovnice takové dotykové kružnice nabývá tvaru
(x1 − sB )2 + x22 = (a − sB )2 ,
kde bod [sB , 0] (0 < sB < a) je jejím středem. Pro první souřadnice
společných bodů kružnice a elipsy platí
(x1 − a) · [(b2 − a2 )x1 + ab2 − a3 + 2a2 sB ] = 0.
(3.5)
Společné body tedy leží jednak na přímce x1 − a = 0 a jednak na
přímce (b2 − a2 )x1 + ab2 − a3 + 2a2 sB = 0. Splynou-li i další průsečíky
s vrcholem B, tj. jestliže i druhá přímka bude mít rovnici x1 − a = 0,
potom příslušná kružnice bude nejlépe nahrazovat elipsu v okolí bodu
vrcholu B.
Případ, že i rovnice druhé přímky nabude tvaru x1 − a = 0, nastává
2
2
právě když sB = ea . Kružnice se středem SB = [ ea , 0] a poloměrem
2
2
%B = a − ea = ba je tudíž hledanou oskulační kružnicí, střed SB je tzv.
6
3.1. Elipsa
střed křivosti a %B tzv. poloměr křivosti elipsy ve vrcholu B. Pro
případ vrcholu A samozřejmě dostáváme týž poloměr
%A = %B =
b2
.
a
Obdobně najdeme poloměr křivosti i ve vedlejších vrcholech C, D; a to
%C = %D =
a2
.
b
S využitím výše uvedeného již snadno odvodíme konstrukce oskulačních
kružnic kA , kB , kC a kD ve vrcholech elipsy: Nechť E je průsečík tečen
elipsy ve vrcholech B a C. Kolmice z bodu E na přímku BC protne
hlavní (resp. vedlejší) osu ve středu SB (resp. SC ) oskulační kružnice
ve vrcholu B (resp. C). Z podobnosti trojúhelníků 4SB BE ∼ 4SCB
totiž plyne
|SB B| : |BE| = |SC| : |BS|,
a proto
C
rB = |SB B| =
b2
.
a
E
kC
kB
S
A
SB
B
V
D
SC
Obr. 3.1.0.4
Obdobně bychom zdůvodnili i konstrukci středu SC . Oskulační kružnice
kA , resp. kD je souměrně sdružená s oskulační kružnicí kB , resp. kC
podle středu elipsy S.
Při praktické konstrukci elipsy narýsujeme nejprve v okolí vrcholů elipsy
oblouky oskulačních kružnic. Dále např. pomocí proužkové konstrukce
najdeme několik dalších bodů elipsy a s využitím křivítka pak dokreslíme oblouky elipsy procházející sestrojenými body a dotýkající se oblouků oskulačních kružnic.
7
Geometrie II
Poznamenejme ještě, že oskulační kružnice je samozřejmě možné sestrojit v každém bodě elipsy. Není-li však tento bod vrcholem, má oskulační
kružnice s elipsou společný ještě další bod. Oproti tomu oskulační kružnice ve vrcholech mají s elipsou společný výhradně vrchol (čtyřnásobný
průsečík!) — proto se jim také říká hyperoskulační kružnice.
Afinní vlastnosti elipsy. Je zřejmé, že mezi kružnicí ka (S, a),
popř. kb (S, b) a elipsou ke se středem S a poloosami a, b platí vztah
pravoúhlé osové afinity, která je dána rovnicemi
A1 :
x01
x02
= x1
,
= ab x2
x01
x02
resp. A2 :
= ab x1
= x2
(3.6)
a jejíž osou je hlavní, resp. vedlejší osa elipsy.
Zmíněnou osovou afinitu A1 mezi kružnicí ka a elipsou ke je možné využít k řadě konstrukcí týkajících se elipsy. Výchozí konstrukční úlohu
převedeme pomocí afinity A−1
1 na úlohu týkající se kružnice. Tuto úlohu
vyřešíme a výsledek převedeme zpět pomocí afinity A1 . Např. při konstrukci tečny tX v bodě X ∈ ke sestrojíme tečnu tXa afinně sdružené
kružnice ka v bodě Xa , jemuž odpovídá bod X v afinitě A1 . Obrazem
tečny tXa v afinitě A1 je hledaná tečna tX . Obdobně je možné využít i
afinitu A2 .
Výše uvedené afinity A1 , popř. A2 mezi kružnicemi ka , popř. kb a
elipsou ke jsou speciálními příklady geometrických korespondencí mezi
kružnicí a elipsou. Abychom našli obecné afinní vlastnosti elipsy, je
nutné zkoumat obraz kružnice v obecné osové afinitě.
o
k0
P0
ke
M0
P
M
S0
S
N
N0
Q
Obr. 3.1.0.5
8
Q0
3.1. Elipsa
Zobrazme tedy kružnici k0 (S0 , r0 ) na elipsu ke v osové afinitě A, která
je jednoznačně určena osou o a dvojicí afinně sdružených bodů [S0 , S].
Dva navzájem kolmé průměry P0 Q0 , M0 N0 kružnice k0 se zobrazí na
průměry P Q, M N elipsy ke , které již obecně nemusejí být kolmé. Na
rozdíl od kolmosti je rovnoběžnost afinní vlastností, a proto platí
tp k RS k tQ
a
t R k P Q k tS ,
kde tP , tQ , tM , tN jsou tečny elipsy v bodech P , Q, M , N .
D EFINICE 3.1.2:
Dva průměry d1 = P Q, d2 = M N elipsy se nazývají sdružené
průměry, jestliže tečny v krajních bodech jednoho průměru jsou
rovnoběžné s druhým průměrem.
Z vlastností kružnice a osové afinity navíc plyne, že tětivy rovnoběžné
s jedním průměrem elipsy jsou půleny průměrem sdruženým.
Připomeňme ještě jednou, že sdružené průměry elipsy jsou obrazy dvou
navzájem kolmých průměrů kružnice v afinitě A : k0 → ke . Na rozdíl
od svých vzorů však již sdružené průměry elipsy nemusejí být na sebe
kolmé. Existuje právě jeden pár sdružených průměrů elipsy, které jsou
na sebe kolmé — a to osy elipsy.
A0
o
I.
k0
ke
A
S0
C0
C
D0
S
B0
D
B
t
II.
Obr. 3.1.0.6
Existují různé konstrukce os elipsy z daného páru jejích sdružených
průměrů — nejznámější je tzv. Rytzova konstrukce:
Nechť jsou dány sdružené průměry P Q a M N . K průměru M N vedeme
středem S = M N ∩P Q kolmici, na kterou naneseme délku |T S| = |M S|
9
Geometrie II
(body T , Q leží v téže polorovině s hraniční přímkou M N ). Bod T
spojíme s krajním bodem Q druhého průměru; střed R úsečky T Q je
středem pomocné kružnice procházející středem elipsy S, která protíná
přímku T Q v bodech U , V . Přímky SU a SV udávají polohu hlavní a
vedlejší osy (přímka jdoucí tupým úhlem daných průměrů udává polohu
vedlejší osy). Pro délky poloos platí a = |SA| = |SB| = |T V | a b =
|SC| = |SD| = |T U |.
T R
Q
U
M
V
S
N
P
Obr. 3.1.0.7
3.2
Hyperbola
Hyperbola se definuje obdobně jako elipsa a rovněž její ohniskové vlastnosti se podobají ohniskovým vlastnostem elipsy.
D EFINICE 3.2.1:
Množinu všech bodů v rovině E2 , které mají od dvou různých pevně
zvolených bodů F1 , F2 konstantní absolutní hodnotu rozdílu vzdáleností 2a, nazýváme hyperbola; tj.
kh = {X ∈ E2 : | |XF1 | − |XF2 | | = 2a = konst., 0 < 2a < |F1 F2 |}.
Analogicky jako u elipsy označujeme dané pevné body F1 , F2 ohniska,
spojnicím XF1 a XF2 říkáme průvodiče a střed S úsečky F1 F2 je tzv.
střed hyperboly. Vzdálenost ohnisek od středu se nazývá lineární
10
3.2. Hyperbola
výstřednost (excentricita) a označuje se e
|SF1 | = |SF2 | = e.
Protože neexistuje bod, pro který by současně platilo |XF1 | − |XF2 | =
2a a |XF2 | − |XF1 | = 2a, je zřejmé, že hyperbola se skládá ze dvou
částí, jimž říkáme větve hyperboly a které nemají žádný společný
bod.
Bezprostředně z definice vyplývá tzv. bodová konstrukce hyperboly: Na prodloužení úsečky P Q o délce 2a volíme za bodem Q libovolný bod R; označme r1 = |P R| a r2 = |QR| (tj. r1 − r2 = 2a). Sestrojíme dvě dvojice kružnic k1 (F1 , r1 ), k2 (F2 , r2 ) a k10 (F1 , r2 ), k20 (F2 , r1 ).
Je zřejmé, že kružnice k1 , k2 (resp. k10 , k20 ) se protínají v bodech hyperboly (k1 ∩ k2 = {1 X,2 X}, k10 ∩ k20 = {3 X,4 X}). Různou volbou bodu
R získáváme různé poloměry kružnic a tím i různé body hyperboly.
Na základě bodové konstrukce snadno nahlédneme, že hyperbola je
osově souměrná podle přímky F1 F2 i podle osy úsečky F1 F2 a středově souměrná podle středu úsečky F1 F2 .
a2
3
P
x2 Q
X
CE
F1 A
S
4
X
a1
1
B
a D
R
X
F2
2
x1
X
e
Obr. 3.2.0.8
Body A, B, ve kterých přímka F1 F2 protíná hyperbolu, jsou tzv.
(hlavní) vrcholy. Přímku AB nazýváme hlavní osa a — nemůželi dojít k záměně — označujeme týmž názvem i vzdálenost |AB|. Délku
|SA| = |SB| = a nazveme hlavní poloosa. Osa úsečky F1 F2 je tzv.
11
Geometrie II
vedlejší osa — ta ovšem na rozdíl od elipsy hyperbolu neprotíná. Vedlejší poloosou rozumíme úsečku o velikosti b, pro niž platí
e2 = a2 + b2 ,
(3.7)
tj. k určení hyperboly stačí dva z prvků a, b, e (e > a, b). Pravoúhlý
trojúhelník s odvěsnami a, b a přeponou e (např. 4SBE) se nazývá
charakteristický trojúhelník hyperboly. V případě a = b hovoříme
o tzv. rovnoosé hyperbole.
Všechny body roviny E2 je možné charakterizovat na základě jejich
polohy vzhledem k elipse:
a) | |XF1 | − |XF2 | | > 2a ⇔ X je vnitřní bod hyperboly;
b) | |XF1 | − |XF2 | | = 2a ⇔ X je bod hyperboly;
c) | |XF1 | − |XF2 | | < 2a ⇔ X je vnější bod hyperboly.
Tečna hyperboly, ohniskové vlastnosti. Přímka, která má
s hyperbolou právě jeden společný bod a jejíž všechny ostatní body
jsou vnější, se nazývá tečna hyperboly; společný bod nazýváme bod
dotyku. Nemá-li přímka s hyperbolou žádný společný bod, nazývá se
vnější přímkou (tj. všechny body takovéto přímky jsou vnějšími body
hyperboly; příkladem může být vedlejší osa hyperboly. Ostatní přímky
nazýváme sečny (speciálními sečnami jsou tzv. průměry procházející
středem hyperboly — např. hlavní osa). O některých speciálních případech tečen (asymptoty) a sečen (asymptotické sečny), které do jisté
míry (tj. v eukleidovské rovině bez nevlastních prvků) odporují předcházejícím definicím, je nutné se ještě zmínit.
Buď tX tečna hyperboly v jejím libovolném bodě X. Označme dále
Gi bod souměrně sdružený s ohniskem Fi (i = 1, 2) podle tečny tx a
Pi = tX ∩ Fi Gi patu kolmice spuštěné z ohniska Fi na tečnu tX . Potom
platí:
• Tečna hyperboly tX v jejím libovolném bodě X půlí vnější úhel
průvodičů F1 X a F2 X.3
• Všechny paprsky vycházející z ohniska F1 (resp. F2 ) se na hyperbole odrážejí do druhého ohniska F2 (resp. F1 ).
3 Ze čtyř úhlů, které tvoří průvodiče bodu X hyperboly, vždy jeden obsahuje střed
hyperboly — tento úhel a úhel s ním vrcholový se nazývají vnější úhly průvodičů.
Úhly vedlejší k vnitřním úhlům nazýváme vnitřní úhly průvodičů.
12
3.2. Hyperbola
• Bod G2 (resp. G1 ) souměrně sdružený s ohniskem F2 (resp. F1 )
podle tečny tX leží na kružnici g1 (F1 , 2a) (resp. g2 (F2 , 2a)), která
se nazývá řídicí kružnice hyperboly.
• Paty kolmic P1 , resp. P2 spuštěných z ohniska F1 , resp. F2 na
tečnu tX leží na kružnici v(S, a) — tzv. vrcholové kružnici hyperboly, která je obrazem řídicí kružnice g1 , resp. g2 ve stejnolehlosti se středem F2 , resp. F1 a koeficientem 21 .
Výše uvedené věty (tzv. ohniskové nebo fokální věty) lze analogicky
jako u elipsy využít pro řadu konstrukcí týkajících se hyperboly.
tX
g1
X
G2
P2
S
F1 A
g2
B
F2
v
Obr. 3.2.0.9
Analytický popis hyperboly. Zvolíme kartézskou soustavu
souřadnic s počátkem ve středu hyperboly S a souřadnou osou x1 v
hlavní ose a souřadnou osou x2 ve vedlejší ose — jsou-li souřadné osy
osami souměrnosti hyperboly (tj. počátek je současně středem hyperboly), potom říkáme, že hyperbola je v tzv. základní poloze.
Pro libovolný bod hyperboly X[x1 , x2 ] platí | |XF1 | − |XF2 | | = 2a, tj.
2
q
q
2
2
2
2
(e + x1 ) + x2 − (e − x1 ) + x2
= 4a2 .
Po obdobných úpravách jako v případě elipsy obdržíme tzv. středovou
13
Geometrie II
rovnici hyperboly
b2 x21 − a2 x2 = a2 b2
x21
x22
−
= 1.
a2
b2
popř.
(3.8)
Možná parametrická vyjádření hyperboly jsou např.
x = x(ϕ) = (±a cosh ϕ, b sinh ϕ) ,
kde ϕ ∈ R
(3.9)
a kde na základě definic hyperbolických funkcí platí
sinh ϕ =
1 ϕ
(e − e−ϕ ),
2
cosh ϕ =
1 ϕ
(e + e−ϕ ),
2
a proto
cosh2 ϕ − sinh2 ϕ = 1;
nebo
x = x(t) =
1 + t2
2t
a
, b
1 − t2 1 − t 2
,
kde t ∈ R.
(3.10)
V druhém případě jde o tzv. racionální parametrizaci hyperboly.
Asymptoty hyperboly. Asymptotou rovinné křivky nazýváme takovou přímku, že vzdálenost d libovolného bodu P na křivce od této
přímky konverguje k nule, jestliže alespoň jedna souřadnice bodu P
roste nade všechny meze. U křivek y = f (x) rozeznáváme tzv. nesměrnicové (vertikální) asymptoty rovnoběžné s osou y a směrnicové
asymptoty o rovnici y = kx + q, pro něž platí
f (x)
,
x→±∞ x
k = lim
q = lim [f (x) − kx].
x→±∞
Abychom mohli využít výše uvedené vztahy, upravíme (3.8) na explicitní tvar
s
a2
b
x2 = x1 1 − 2 , x1 = a,
a
x1
tj. nezkoumáme celou hyperbolu, ale jen její oblouk v prvním kvadrantu.
Výpočtem limit určíme x2 = ab x1 . Postup zopakujeme i pro zbývající
kvadranty — pro třetí kvadrant obdržíme stejný výsledek, ve druhém
a čtvrtém kvadrantu vypočteme x2 = − ab x1 . Asymptoty hyperboly
a1 , a2 tedy procházejí jejím středem a mají rovnice
b
a1,2 : x2 = ± x1 ,
a
popř.
14
bx1 ∓ ax2 = 0.
(3.11)
3.2. Hyperbola
Je vidět, že asymptoty hyperboly svírají s hlavní osou úhel α, pro který
platí tg α = ab a úhly sevřené asymptotami jsou půleny osami hyperboly (tj. asymptoty hyperboly a1 , a2 získáme jako úhlopříčky obdélníka,
který má svůj střed ve středu hyperboly a jeho strany s délkami 2a a
2b jsou rovnoběžné s hlavní a vedlejší osou hyperboly). Navíc snadno
nahlédneme, že osy rovnoosé hyperboly jsou na sebe kolmé.
Zdůrazněme ještě, že každá z větví hyperboly se nachází ve vnitřku
jednoho z dvojice vrcholových úhlů vymezených asymptotami a1 , a2 , v
nichž neleží vedlejší osa hyperboly. Hyperbola popsaná rovnicí
−
x22
x21
+
= 1,
a2
b2
(3.12)
která se nachází ve zbývajících dvou vrcholových úhlech, má s hyperbolou o rovnici (3.8) společné asymptoty, společný střed i osy — hlavní osa
hyperboly (3.12) je však vedlejší osou hyperboly (3.8) a naopak (hlavní
vrcholy C, D hyperboly (3.12) jsou ekvivalenty vedlejších vrcholů elipsy,
neboť |CS| = |DS| = 2b).
Závěrem se vrátíme k diskuzi vzájemné polohy přímky a hyperboly Ačkoliv nemají v eukleidovské rovině E2 asymptoty s hyperbolou žádný
společný bod (body na obou větvích hyperboly se totiž k asymptotám
stále více blíží, nikdy je však neprotnou), přesto se díky svým vlastnostem řadí k tečnám hyperboly (např. splňují ohniskové věty).
Rovněž přímky rovnoběžné s jednou z asymptot, ale neprocházející středem vykazují jisté zvlášnosti. Tyto přímky mají s hyperbolou jediný
společný bod, přesto však nejde o tečny (leží na nich totiž jak body
vnitřní, tak vnější). Takovéto přímky nazýváme asymptotické sečny.
Oskulační kružnice hyperboly. Oskulační kružnice ve vrcholech hyperboly se definují obdobně jako u elipsy a mají poloměr (tzv.
poloměr křivosti hyperboly ve vrcholech)
%=
b2
.
a
Uveďme opět konstrukci oskulačních kružnic kA , kB ve vrcholech hyperboly: Tečna ve vrcholu B protne asymptotu a1 v bodě E, v němž
vztyčíme kolmici k asymptotě a1 . Průsečík kolmice s hlavní osou je středem SB oskulační kružnice ve vrcholu B. Z podobnosti trojúhelníků
15
Geometrie II
4SB BE ∼ 4EBS totiž plyne
|SB B| : |EB| = |EB| : |BS|,
a proto
rB = |SB B| =
a1
a2
b2
.
a
kB
E
F1 A
S
B F2
SB
Obr. 3.2.0.10
Oskulační kružnice kA je souměrně sdružená s oskulační kružnicí kB
podle středu elipsy S.
3.3
Parabola
Definice paraboly se poněkud odlišuje od definice elipsy a hyperboly.
D EFINICE 3.3.1:
Množinu všech bodů v rovině E2 , které mají od pevného bodu F a
pevné přímky d, jenž tímto bodem neprochází, stejné vzdálenosti,
nazýváme parabola; tj.
kp = {X ∈ E2 : |XF | = |X, d|, F 6∈ d}.
Pevný bod F se nazývá ohnisko a pevná přímka d řídicí přímka. 4
Vzdálenost ohniska od řídicí přímky se značí p a nazývá se parametr.
Spojnice bodu s ohniskem a kolmice daným bodem k řídicí přímce jsou
průvodiče.
4d
— zkr. directrix
16
3.3. Parabola
Z definice plyne tzv. bodová konstrukce paraboly: Z ohniska F
spustíme kolmici o na řídicí přímku d a její patu označíme D. Střed V
úsečky DF je evidentně bodem paraboly (|V, d| = |V D| = |V F |). Další
body paraboly získáme tak, že v libovolném bodě R polopřímky V F
vedeme rovnoběžku s řídicí přímkou a najdeme její společné body 1 X,
2
X s kružnicí o středu F a poloměru |DR.
Na základě bodové konstrukce snadno nahlédneme, že parabola je osově
souměrná podle přímky o (F ∈ o a o ⊥ d).
x2
kp
v
d
1
D V
o
F R
2
p
X
x1
X
Obr. 3.3.0.11
Osa souměrnosti o se nazývá osa paraboly, její průsečík V s parabolou
je tzv. vrchol paraboly.
Všechny body roviny E2 je možné charakterizovat na základě jejich
polohy vzhledem k parabole:
a) |XF | < |X, d| ⇔ X je vnitřní bod paraboly;
b) |XF | = |X, d| ⇔ X je bod paraboly;
c) |XF | > |X, d| ⇔ X je vnější bod paraboly.
Tečna paraboly, ohniskové vlastnosti. Přímka, která má
s parabolou právě jeden společný bod a jejíž všechny ostatní body
jsou vnější, se nazývá tečna paraboly; společný bod nazýváme bod
dotyku. Nemá-li přímka s parabolou žádný společný bod, nazývá se
17
Geometrie II
vnější přímka (všechny její body jsou vnějšími body paraboly); příkladem je direkční přímka. Ostatní přímky nazýváme sečny. Speciálními případy sečen jsou přímky rovnoběžné s osou paraboly, které mají
s parabolou jediný společný bod, přesto se však nejedná o tečny (leží na
nich totiž jak vnitřní, tak vnější body paraboly) — tyto sečny nazýváme
průměry paraboly.
d
tX
v
X
G
kp
P
o
D V F
Obr. 3.3.0.12
Buď tX tečna hyperboly v jejím libovolném bodě X. Označme dále G
bod souměrně sdružený s ohniskem F podle tečny tx a P = tX ∩ F G
patu kolmice spuštěné z ohniska F na tečnu tX . Potom platí:
• Tečna hyperboly tX v jejím libovolném bodě X půlí vnější úhel
průvodičů.5
• Všechny paprsky rovnoběžné s osou se na parabole odrážejí do
ohniska F .
• Bod G souměrně sdružený s ohniskem F podle tečny tX leží na
řídicí přímce paraboly d.
• Pata kolmice P spuštěné z ohniska F na tečnu tX leží na vrcholové tečně paraboly v, která je obrazem řídicí přímky d ve
stejnolehlosti se středem F a koeficientem 21 .
5 Ze čtyř úhlů, které tvoří průvodiče bodu X hyperboly, vždy jeden obsahuje bod
D = o ∩ d — tento úhel a úhel s ním vrcholový se nazývají vnější úhly průvodičů.
Úhly vedlejší k vnitřním úhlům nazýváme vnitřní úhly průvodičů.
18
3.3. Parabola
Výše uvedené věty (tzv. ohniskové nebo fokální věty) lze opět využít
pro řadu konstrukcí týkajících se paraboly.
Analytický popis paraboly. Zvolíme kartézskou soustavu souřadnic s počátkem ve vrcholu paraboly V a souřadnou osou x1 v ose
paraboly — je-li jedna ze souřadných os osou paraboly a počátek je
současně jejím vrcholem, potom říkáme, že parabola je v tzv. zá-
kladní poloze. Vzhledem ke zvolené soustavě souřadnic je F p2 , 0
a d : x1 + p2 = 0.
Libovolný bod X[x1 , x2 ] leží na parabole, právě když
r
p
p
|XF | = (x1 − )2 + x22 = |X, d| = x1 + .
2
2
Po úpravě obdržíme tzv. vrcholovou rovnici paraboly
x22 − 2px1 = 0.
(3.13)
Parametrická vyjádření paraboly je např.
2 t
,t ,
kde t ∈ R;
x = x(t) =
2p
(3.14)
jde o tzv. polynomickou parametrizaci.
Oskulační kružnice paraboly. Při rýsování paraboly ji nahrazujeme v okolí vrcholu oskulační kružnicí, jejíž střed leží na polopřímce
V F a poloměr se rovná parametru paraboly p.
d
v
kp
kV
o
D V F SV
Obr. 3.3.0.13
19
Geometrie II
3.4
Společné vlastnosti elipsy, hyperboly a
paraboly
Elipsu, hyperbolu a parabolu budeme označovat souhrnným názvem
regulární kuželosečky. A ačkoliv je každá z těchto křivek zavedena
speciální množinově-bodovou definicí, lze k nim uplatnit jednotný přístup.
d2
ke
d2
X
kh
X
F2
F2
Obr. 3.4.0.14
Obr. 3.4.0.15
Nechť jsou elipsa ke , resp. hyperbola kh v základní poloze vzhledem
k souřadnému systému, tj. jejich rovnice mají tvar (3.2), resp. (3.8).
Pro libovolný bod X[x1 , x2 ] ∈ ke (resp. kh ) platí, že jeho vzdálenost od
ohniska F2 je
ex1
a2 − ex1
|XF2 | = a −
=
.
a
a
2
Buď d2 přímka rovnoběžná s vedlejší osou ve vzdálenosti ae ; tzv. direkční přímka ohniska F2 . Vzdálenost bodu X od direkční přímky d2
je
a2
a2 − ex1
|X, d2 | =
− x1 =
.
e
e
Odtud plyne, že pro každý bod X elipsy, resp. hyperboly platí vztah
|XF2 | : |X, d2 | = e : a = ε = konst. > 0,
kde e je lineární excentricita a a je hlavní poloosa. Číslo ε se nazývá
číselná excentricita (výstřednost) elipsy, resp. hyperboly, příčemž
20
3.4. Společné vlastnosti elipsy, hyperboly a paraboly
je zřejmé, že pro elipsu je ε < 1 (neboť a > e) a pro hyperbolu je ε > 1
(neboť a < e).
Vzhledem k definici paraboly je |XF | = |X, d|, a proto pro každý bod
X paraboly dostáváme
|XF2 | : |X, d2 | = ε = 1.
Věta 3.4.0.1:
Všechny body X ∈ E2 , jejichž vzdálenosti od pevně zvoleného bodu
F a od pevně zvolené přímky d (F 6∈ d) jsou v konstantním poměru
|XF | : |X, d| = ε > 0,
leží na regulární kuželosečce, jejímž ohniskem je bod F a jejíž direkční přímkou příslušnou k ohnisku F je přímka d. Navíc platí:
• ε < 1 ⇔ k je elipsa
• ε = 1 ⇔ k je parabola
• ε > 1 ⇔ k je hyperbola.
d
Xh
Xp
Xe
ke
F
kp
kh
Obr. 3.4.0.16
Poznamenejme ještě, že kdybychom uvažovali kružnici jako speciální
případ elipsy (a = b, e = 0), potom by pro ni zřejmě platilo ε = 0.
21
Geometrie II
Rovněž parabolu je možné získat z elipsy, a to následující úvahou. Nechť
jsou vrchol A a ohnisko F1 elipsy pevné, zatímco střed S, ohnisko F2 a
vrchol B se od nich vzdalují po hlavní ose. V limitním případě dostáváme |AS| = a → ∞, |F1 F2 | = 2e → ∞ a |AB| = 2a → ∞. Je tudíž
patrné, že parabolu lze považovat za elipsu, pro níž je a = e → ∞.
Výše uvedený jednotný přístup k elipse, hyperbole a parabole umožňuje mj. sestavit jejich společnou rovnici v polární soustavě souřadnic
hO; %, ϕi; pól volíme v ohnisku a polární osa je (hlavní) osou k (tj. elipsy,
hyperboly nebo paraboly). Polární rovnici má potom tvar
k: %=
p
,
1 + ε · cos ϕ
kde ε = ae je číselná výstřednost a p je tzv. parametr (u paraboly jsme
2
o parametru již hovořili, v případě elipsy a hyperboly je p = ba ).
3.5
Řezy na kuželové ploše
Název kuželosečka napovídá, že tyto křivky je možné získat jako rovinné řezy kuželové plochy. Snadno dokážeme, že všechny řezy na kuželové ploše jsou algebraickými křivkami 2. stupně, tj. je možné je popsat
kvadratickou rovnicí f (x1 , x2 ) = 0.
Definujme nejprve pojem kuželové plochy:
D EFINICE 3.5.1:
Nechť je v eukleidovském prostoru E3 dán pevný bod V , pevná
přímka o procházející bodem V a úhel α = ∠(o, a), kde a 6= o,
a 6⊥ o je libovolná přímka procházející bodem V . Rotační kuželovou plochou K(V, o, α) rozumíme množinu všech přímek (tzv.
povrchových přímek, resp. površek), které svírají s přímkou o
(tzv. osou kuželové plochy) úhel o velikosti α. Bod V se nazývá
vrchol kuželové plochy.
Je zřejmé, že pomocí transformace soustavy souřadnic, je možné každou
rovinu ztotožnit se souřadnou rovinou x1 x2 (x3 = 0), tj. bez újmy na
obecnosti je možné předpokládat řez obecné rotační kuželové plochy
souřadnou rovinou σ = x1 x2 .
22
3.5. Řezy na kuželové ploše
Uvažujme kuželovou plochu K(V, o, α). Nechť směr osy o je dán jednotkovým směrovým vektorem e. Bod X leží na kuželové ploše K, právě
když vektory x−v a e mají odchylku buďto α, anebo π −α, α ∈ (0, π2 ). S
využitím skalárního součinu můžeme tuto podmínku vyjádřit ve tvaru
(x − v) · e = ±|x − v| cos α,
(3.15)
tj po úpravě z (3.15) dostáváme
[(x1 − v1 )e1 + (x2 − v2 )e2 + (x3 − v3 )e3 ]2 −
− [(x1 − v1 )2 + (x2 − v2 )2 + (x3 − v3 )2 ] · cos2 α = 0
(3.16)
Rovnici pro řez rovinou x1 x2 obdržíme z (3.16), dosadíme-li x3 = 0.
Výsledná rovnice je kvadratickou rovnicí v x1 , x2 a všimneme-li si pouze
kvadratických členů, potom má tvar
(e21 − cos2 α)x21 + (e22 − cos2 α)x22 + 2e1 e2 x1 x2 + . . . = 0
(3.17)
přičemž platí, že alespoň jeden z koeficientů u kvadratických členů je
nenulový, jak lze snadno ukázat.
Při pevně zvolené kartézské soustavě souřadnic vyhovují tedy souřadnice každého bodu X : x = [x1 , x2 ]T kuželosečky k tzv. obecné rovnici
kuželosečky
k : a11 x21 + 2a12 x1 x2 + a22 x22 + 2a01 x1 + 2a02 x2 + a00 = 0,
(3.18)
kde aij ∈ R a (a11 , a12 , a22 ) 6= (0, 0, 0).
Je patrné, že elipsa o rovnici
x21
a2
x2
x22
x21
a2 + b2 = 1, hyperbola o rovnici
x22 = 2px1 jakožto konkrétní příklady
− b22 = 1 a parabola o rovnici
kvadratických křivek patří samozřejmě mezi kuželosečky.
Rovnici (3.18) je rovněž možné zapsat maticově ve tvaru
k : xT Ax + 2aT x + a = 0,
(3.19)
kde
A=
a11
a12
a12
a22
6= O,
a=
23
a1
a2
=
a01
a02
,
a = a00 ;
Geometrie II
resp. ve tvaru
T e
k: e
x ·A
·e
x = 0,
(3.20)
kde

e
x = (1, x1 , x2 )
a00
e =  a01
a A
a01
a01
a11
a12

a02
a aT

=
.
a12
a A
a22
e nazýváme maticí kuželosečky a její determinant D = det(A)
e
Matici A
se nazývá diskriminant kuželosečky.
• Je-li D 6= 0, potom hovoříme o tzv. regulárních kuželosečkách
a uvidíme, že se jedná o řezy kuželové plochy rovinou, která není
vrcholová (V 6∈ σ).
• Je-li D = 0, potom hovoříme o singulárních kuželosečkách a
lze je získat jako řezy kuželové plochy vrcholovou rovinou (V ∈ σ),
jak ukážeme.
Označme ještě ∆ determinant det(A), kde A je matice z rovnice (3.19).
Dá se dokázat, že jak diskriminat kuželosečky D, tak jeho subdeterminant ∆ jsou tzv. ortogonálními invarianty, tj. jejich hodnota se
nemění při jakékoliv transformaci kartézských souřadnic. Tuto vlastnost
využijeme v kapitole věnované třídění kuželoseček.
3.6
Kuželosečka a přímka
Průsečíky přímky s kuželosečkou. Uvažujme kuželosečku k
danou jednou z rovnic (3.18), (3.19), (3.20) a přímku p : x = m + tu.
Hledání společných bodů kuželosečky k a přímky p převedeme na řešení
rovnice
(m + tu)T A(m + tu) + 2aT (m + tu) + a = 0,
tj. po úpravě
αt2 + 2βt + γ = 0,
T
α = u Au =
a11 u21
+ 2a12 u1 u2 +
kde
a2 u22 ,
β = (mT A + aT )u = u1 (a11 m1 + a12 m2 + a01 )+
+u2 (a12 m1 + a22 m2 + a02 ),
24
(3.21)
3.6. Kuželosečka a přímka
γ = mT Am + 2aT m + a = a11 m21 + 2a12 m1 m2 + a22 m22 + 2a01 m1 +
+a02 m2 + a00 .
Všimněme si, že parametr γ rozhoduje o tom, zda bod M (ne)leží na
kuželosečce.
Provedeme diskuzi počtu řešení rovnice (3.21) v závislosti na parametrech α, β, γ.
1. Jestliže je α 6= 0, potom je (3.21) kvadratickou rovnicí a o počtu
řešení (společných bodů) rozhodne diskriminat (2β)2 − 4αγ =
4(β 2 − αγ):
(a) β 2 −αγ > 0 — existují dva reálné různé kořeny t1 , t2 , kterým
odpovídají dva společné body (průsečíky) P1 , P2 , a přímka
p je sečnou kuželosečky k.
(b) β 2 − αγ = 0 — existuje jeden dvojnásobný reálný kořen
t1 = t2 (= t0 ) a přímka p je tečnou kuželosečky k mající s
kuželosečkou společný (dvojnásobný) bod dotyku T .
(c) β 2 − αγ < 0 — pro komplexně sdružené parametry t1 , t2
nedostáváme žádné reálné průsečíky a přímka p je vnější
přímkou kuželosečky k.
2. Jestliže je α = 0, potom v rovnici (3.21) vypadne kvadratický člen
a dále budeme diskutovat rovnici 2βt + γ = 0. Směr, který je dán
nenulovým vektorem u splňujícím vztah α = a11 u21 + 2a12 u1 u2 +
a22 u22 = 0 se nazývá asymptotický směr kuželosečky a příslušná přímka p se nazývá přímka asymptotického směru.
(a) β 6= 0 — rovnice 2βt+γ = 0 je lineární rovnicí, která má vždy
právě jeden kořen, a proto přímka asymptotického směru p
má s kuželosečkou k společný jediný bod;
(b) β = 0 — v rovnici 2βt+γ = 0 vypadne lineární člen a jestliže
dále
i. γ 6= 0, potom neexistuje žádný kořen, a proto přímka
p nemá s kuželosečkou k společný žádný bod. Přímka
asymptotického směru, která nemá s kuželosečkou žádný
společný bod se nazývá asymptota kuželosečky.
25
Geometrie II
ii. γ = 0, potom je rovnice 0t2 +0t+0 = 0 splněna pro každé
t (tzv. identicky), neboli každý bod přímky leží současně
i na kuželosečce — přímka asymptotického směru p je
součástí kuželosečky. Dá se dokázat, že obsahuje-li kuželosečka přímku, potom je její diskriminant roven nule
a jde o singulární kuželosečku.
Asymptotické směry. Pro souřadnice nenulového vektoru u, náležející asymptotického směru kuželosečky musí platit rovnice
uT Au = a11 u21 + 2a12 u1 u2 + a22 u22 = 0,
O jejíž řešitelnosti rozhoduje diskriminant
4a212 − 4a11 a22 = 4(a212 − a11 a22 ) = −4∆.
Snadno nahlédneme, že
• pro ∆ > 0 nemá kuželosečka žádný asymptotický směr;
• pro ∆ = 0 má kuželosečka jediný asymptotický směr;
• pro ∆ < 0 má kuželosečka dva asymptotické směry.
Střed a singulární bod kuželosečky. Uvažujme rovnici
(3.21) pro případ α 6= 0, β = 0. Jedná se o kvadratickou rovnici bez
lineárního členu, tj. je-li kořenem této rovnice číslo t0 , potom je samozřejmě vždy kořenem i číslo −t0 . Pro libovolnou volbu směrového
vektoru u tedy platí: leží-li na kuželosečce k bod p1 = m + t0 u, leží na
ní i bod p2 = m − t0 u. Navíc
p1 + p2
m + t0 u + m − t0 u
=
= m,
2
2
a proto bod M je středem každé tětivy P1 P2 jím procházející. Bod M
je středem kuželosečky k.
Podmínka, kterou musí bod M splňovat, je
β = (mT A + aT )u = (Am + a)T u = 0.
Má-li být tato podmínka splněna pro každý vektor u, potom dostáváme
Am + a = o,
26
(3.22)
3.6. Kuželosečka a přímka
tj. po rozepsání
a11 m1 + a12 m2 + a01
a12 m1 + a22 m2 + a02
=
=
0
0.
Soustava (3.22) slouží k nalezení středu(ů) kuželosečky:
• je-li hod(A) = hod(A, a) = 2 (∆ 6= 0), potom má soustava právě
jedno řešení a kuželosečka má právě jeden střed (tzv. středová
kuželosečka);
• je-li hod(A) = hod(A, a) = 1, potom má soustava nekonečně
mnoho řešení a kuželosečka má celou přímku středů;
• je-li hod(A) 6= hod(A, a), řešení neexistuje a kuželosečka nemá
žádný střed.
Bod kuželosečky, který je současně jejím středem nazýváme singulární
bod kuželosečky. Je zřejmé, že singulární bod M musí splňovat 2 podmínky — (3.22) a γ = 0
mT A + aT = o a mT Am + 2aT m + a = 0.
Ovšem vzhledem k tomu, že mT Am + 2aT m + a
=
(mT A + aT )m + aT m + a = 0, lze druhou podmínku nahradit jednodušším vztahem. Tím dostáváme soustavu pro hledání singulárního
bodu:
Am + a = o
aT m + a = 0,
(3.23)
resp.
e =e
eT A
m
o,
e T = (1, m1 , m2 )
kde m
neboli po rozepsání
a11 m1 + a12 m2 + a01
a12 m1 + a22 m2 + a02
a01 m1 + a02 m2 + a00
=
=
=
0
0
0.
Platí, že má-li kuželosečka singulární bod, potom je její diskriminant
roven nule a jde o singulární kuželosečku.
27
Geometrie II
Tečna a polára kuželosečky. Vraťme se k rovnici (3.21). Pokud
bod M leží na kuželosečce k, je γ = 0 a pro parametry t1 , t2 společných
bodů přímky p a kuželosečky k platí
t1 = 0 a
β
t2 = − .
α
Přímka p je tečnou kuželosečky k v bodě T , právě když t1 = t2 = 0, tj.
právě když směrový vektor u splňuje podmínku β = 0:
β = (mT A + aT )u = (Am + a)T u = 0.
To znamená, vektor n = Am + a 6= o je normálovým vektorem tečny.
Rovnice tečny t kuželosečky k v bodě M ∈ k má tedy tvar
nT (x − m) = (Am + a)T (x − m) = (Am + a)T x − mT Am − aT m = 0.
(3.24)
Vzhledem k tomu, že M ∈ k, tj. mT Am + 2aT m + a = 0, lze rovnici
(3.24) zjednodušit a dostáváme:
(Am + a)T x + aT m + a = mT Ax + aT (x + m) + a = 0,
(3.25)
resp.
ee
eT A
m
x = 0,
(3.26)
neboli po rozepsání
(a11 m1 + a12 m2 + a01 )x1 + (a12 m1 + a22 m2 + a02 )x2 +
(3.27)
+a01 m1 + a02 m2 + a00 = 0.
Jestliže pro M ∈ k nastává n = Am + a = o — viz (3.23), potom je
bod M singulárním bodem (singulární) kuželosečky k a v bodě M tedy
tečna neexistuje.
Otázkou zůstává, jak nalezneme rovnici tečny kuželosečky z vnějšího
bodu R. Můžeme zopakovat úvahu, kterou jsme již použili u kružnice.
Kdybychom znali dotykový bod T , mohli bychom podle předcházejícího
postupu zapsat rovnici tečny v bodě T : tT Ax + aT (x + t) + a = 0. Tato
tečna byla vedena z bodu R, a proto souřadnice bodu R musejí rovnici
vyhovovat, tj.
tT Ar + aT (r + t) + a = 0
(3.28)
28
3.7. Klasifikace kuželoseček
Jelikož platí tT Ar + aT (r + t) + a = rT At + aT (t + r) + a = 0, na (3.28)
se opět můžeme dívat i jiným způsobem, a to jako na vyjádření vztahu
T ∈ r, kde r je přímka o rovnici
rT Ax + aT (x + r) + a = 0
(3.29)
ee
erT A
x = 0,
(3.30)
resp.
neboli po rozepsání
(a11 r1 + a12 r2 + a01 )x1 + (a12 r1 + a22 r2 + a02 )x2 +
+a01 r1 + a02 r2 + a00 = 0.
(3.31)
Přímka r se nazývá polára kuželosečky k vzhledem k pólu R. Průsečíky
poláry r vnějšího bodu R jsou dotykovými body tečen vedených z bodu
R ke kuželosečce k. jestliže leží pól na kuželosečce, potom polára je
totožná s tečnou.
3.7
Klasifikace kuželoseček
Naším cílem je pomocí vhodné transformace soustavy kartézských souřadnic převést obecnou rovnici kuželosečky (3.18) na takovou rovnici,
z níž již bez problémů vyčteme jak druh kuželosečky, tak všechny její
metrické charakteristiky. Tuto transformaci získáme složením vhodného
otočení kolem počátku O a vhodné translace.
Pomocí otočení
R : x = Ry
(RT = R−1 , det(R)= 1)
kolem počátku O přejde (3.19) na tvar
k : yT By + 2bT y + a = 0,
kde
B = RT AR, b = RT a,
přičemž R volíme tak, aby matice B byla diagonální, tj.
b11 0
B=
.
0 b22
29
(3.32)
Geometrie II
Při volbě matice R využijeme následující větu:
Věta 3.7.0.2:
Ke každé symetrické matici A existuje ortonormální matice R taková, že RT AR = B je diagonální matice — prvky bii na diagonále
matice B jsou všechna vlastní čísla λi matice A (počítána i s jejich
násobností) a sloupcové vektory matice R jsou jednotkové vzájemně
ortogonální vlastní vektory matice A příslušné k vlastním číslům λi .
Jako vlastní čísla (nebo také charakteristická čísla) matice A označujeme kořeny polynomu
p(λ) = det(A − λI) = λ2 − (a11 + a22 )λ + det(A) = 0.
Vlastním vektorem ei matice A příslušným k vlastnímu číslu λi rozumíme každý vektor, který je řešením homogenní soustavy rovnic
(A − λi I) · ei = o.
V souladu s výše uvedenou větou volíme jednotkové vlastní vektory
si =
ei
.
|ei |
Zdůrazněme ještě, že vlastní čísla reálných symetrických matic (což matice A je) jsou vždy reálná.
= 2, potom jsou obě vlastní
Je-li hod(A)
λ1 0
čísla různá od nuly B =
; je-li hod(A) = 1, potom je právě
0 λ2
λ1 0
jedno z vlastních čísel nulové (např. λ2 ) a B =
.
0 0
Pomocí otočení R : x = Ry jsme eliminovali smíšený kvadratický člen
(b12 = 0), tj. souřadné osy yi jsou rovnoběžné s osami kuželosečky. V
dalším kroku použijeme translaci
T : y = z + t,
čímž z rovnice (3.32) dostaneme
k : zT Bz+2cT z+c = 0,
kde c = Bt+b, c = tT Bt+2bT t+a. (3.33)
Naší snahou je zvolit vektor t tak, aby se rovnice (3.33) co nejvíce
zjednodušila.
30
3.7. Klasifikace kuželoseček
• Jestliže hod(B) = hod(B, b) (= 2 nebo 1), potom podle Frobeniovy věty existuje řešení soustavy Bt + b = o a pomocí translace
T je tudíž možné z rovnice (3.33) eliminovat lineární člen.
– Je-li hod(B) = hod(B, b) = 2, potom
−
t=
b1
b2
,−
λ1
λ2
T
λ1 , λ2 6= 0.
,
(3.34)
– Je-li hod(B) = hod(B, b) = 1 (v případě λ2 = b2 = 0),
potom
t=
−
b1
,0
λ1
T
λ1 6= 0.
,
(3.35)
• Jestliže hod(B) = 1 6= hod(B, b) = 2 (v případě λ2 = 0, b2 6= 0),
potom se lineární člen eliminovat nepodaří. Translace (3.35) převede v tomto případě rovnici (3.33) na tvar
k : λ1 z12 + 2b2 z2 + c = 0,
c=a−
b21
.
λ1
(3.36)
V případě c 6= 0 je tudíž nutné použít ještě jednu translaci kartézské souřadné soustavy
c
T : z = z + 0, −
2b2
0
0
T
,
která převede rovnici (3.36) na jednodušší tvar bez absolutního
členu
2
k : λ1 z10 + 2b2 z 0 2 = 0.
31
Geometrie II
Věta 3.7.0.3:
Transformace kartézských souřadnic
x = Ry = R(z + t)
kde sloupcové vektory matice R jsou jednotkové vlastní vektory příslušné k vlastním číslům λi (λ1 6= 0) matice A a
T
(i) pro λ2 6= 0 je t = − λb11 , − λb22 , resp.
T
(ii) pro λ2 = 0 a b2 = 0 je t = − λb11 , 0 , resp.
T
(iii) pro λ2 = 0 a b2 6= 0 je t = − λb11 , − 2bc2 ,
převádí rovnici kuželosečky k : xT Ax+2aT x+a = 0 na kanonickou
rovnici:
I. λ1 z12 + λ2 z22 + c = 0, resp.
II. λ1 z12 + c = 0, resp.
III. λ1 z12 + 2b2 z2 = 0,
kde b = RT a a c = λ1 t21 + λ2 t22 + 2b1 t1 + 2b2 t2 + a.
Na základě výše uvedené věty můžeme podrobně charakterizovat
všechny typy kuželoseček popsané rovnicí (3.19):
I. λ1 x21 + λ2 x22 + c = 0 (λ1 , λ2 6= 0)
=0 ⇔ c=0
6= 0 ⇔ c 6= 0
∆ = λ1 λ2 =
6 0, tj. všechny kuželosečky tohoto typu jsou středové.
Pro kuželosečky tohoto typu platí D = λ1 λ2 c {
a
1. Jestliže je c 6= 0, potom jde o regulární kuželosečku.
(a) pro ∆ = λ1 λ2 > 0 nemá kuželosečka žádný asymptotický
směr
i. λ1 , λ2 , c > 0 nebo λ1 , λ2 , c < 0, potom lze rovnici upravit
na tvar
r
r
x21
x22
c
c
+
=
−1,
kde
a
=
,
b
=
a2
b2
λ1
λ2
32
3.7. Klasifikace kuželoseček
a daná kuželosečka je imaginární elipsa (kdybychom
uvažovali pouze reálné body, potom by množina bodů
kuželosečky byla prázdná).
ii. λ1 , λ2 > 0, c < 0 nebo λ1 , λ2 < 0, c > 0, potom lze
rovnici upravit na tvar
r
r
x22
c
c
x21
+
=
1,
kde
a
=
−
,
b
=
−
2
2
a
b
λ1
λ2
a daná kuželosečka je (reálná) elipsa.
(b) pro ∆ = λ1 λ2 < 0 má kuželosečka dva různé asymptotické
směry a rovnici lze upravit na jeden z tvarů
s s c c x21
x22
− 2 = ±1, kde a = , b = 2
a
b
λ1
λ2
a daná kuželosečka je hyperbola.
2. Jestliže je c = 0, potom jde o singulární kuželosečku.
(a) pro ∆ = λ1 λ2 > 0 nemá kuželosečka žádný asymptotický
směr a rovnici lze upravit na tvar
x21
a2
x1
a
x2
+ b22 = 0
resp.
+ xb2 xa1 − xb2 i = 0,
s s 1
1
kde a = , b = λ1
λ2
a daná kuželosečka je dvojice imaginárních různoběžek
protínajích se v reálném bodě, který je singulárním bodem
dané kuželosečky (kdybychom uvažovali pouze reálné body,
potom by kuželosečka byla tvořena jen jedním bodem).
(b) pro ∆ = λ1 λ2 < 0 má kuželosečka dva různé asymptotické
směry a rovnici lze upravit na tvar
x21
a2
x1
a
x2
− b22 = 0
resp.
x1
x2
x2
+ b
= 0,
a − b
s s 1
1
kde a = , b = λ1
λ2
a daná kuželosečka je dvojice (reálných) různoběžek
(směry těchto přímek jsou asymptotickými směry kuželosečky), jež se protínají v singulárním bodě kuželosečky.
33
Geometrie II
II. λ1 x21 + c = 0 (λ1 6= 0)
Pro kuželosečky tohoto typu platí D = ∆ = 0, tj. všechny kuželosečky
tohoto typu jsou singulární, mají jediný asymptotický směr a přímku
středů.
1. Jestliže je c 6= 0, potom
(a) pro λ1 , c > 0 nebo λ1 , c < 0 lze rovnici upravit na tvar
x1 + a2 = 0
resp.
(x1 + a)(x1 − ai) = 0,
r
kde a =
c
λ1
a daná kuželosečka je dvojice imaginárních rovnoběžek, jejichž směr je asymptotickým směrem kuželosečky a
jejichž reálná osa je přímkou středů (kdybychom uvažovali
pouze reálné body, potom by množina bodů kuželosečky byla
prázdná).
(b) pro λ1 > 0, c < 0 nebo λ1 < 0, c > 0 lze rovnici upravit na
tvar
x1 − a2 = 0
r
c
resp.
kde a = −
λ1
(x1 + a)(x1 − a) = 0,
a daná kuželosečka je dvojice (reálných) rovnoběžek, jejichž směr je asymptotickým směrem kuželosečky a jejichž
osa je přímkou středů.
2. Jestliže je c = 0, potom má rovnice tvar
x21 = 0
a daná kuželosečka je dvojice (reálných) splývajících přímek
(směr této přímky je jediným asymptotickým směrem kuželosečky
a každý bod kuželosečky je současně i jejím středem).
III. λ1 x21 + 2b2 x2 = 0 (λ1 , b2 6= 0)
Pro kuželosečky tohoto typu platí D = −λ1 b22 a ∆ = 0, tj. všechny
kuželosečky tohoto typu jsou regulární, mají jediný asymptotický směr
a nemají žádný střed.
34
3.7. Klasifikace kuželoseček
Rovnici lze upravit na tvar
x21 = 2px2 ,
kde p = −
b2
λ1
a daná kuželosečka je parabola (směr její osy je asymptotickým směrem).
Vraťme se k úvodnímu zavedení kuželoseček jakožto řezů kuželové plochy K(V, o, α) rovinou σ : x3 = 0. Budeme uvažovat dva případy —
rovina σ je vrcholová (V ∈ σ, tj. v3 = 0), resp. rovina σ není vrcholová
(V 6∈ σ, tj. v3 6= 0). Pouhým výpočtem diskriminantu D se dá dokázat, že pro případ v3 = 0 popisuje rovnice (3.17) singulární kuželosečku
(tj. D = 0) a pro případ v3 6= 0 regulární kuželosečku (tj. D 6= 0).
Vypočtěme dále subdeterminant ∆:
2
e1 − cos2 α
e1 e2
= cos2 α[cos2 α − (e21 + e22 )].
∆=
e1 e2
e22 − cos2 α Označíme-li β = ∠(o, σ), potom s využitím vzorce (?) můžeme psát
sin β = |e3 |.
Odtud již dostáváme
e21 + e22 = 1 − e23 = 1 − sin2 β = cos2 β,
a proto

 >0 ⇔ β>α
=0 ⇔ β=α
∆ = cos2 α(cos2 α − cos2 β)

<0 ⇔ β<α
(3.37)
V závislosti na velikostech úhlů α a β mohou tedy nastat tyto případy:
a) Není-li rovina σ vrcholová (tj. V 6∈ σ), potom pro průsečnou
křivku k platí
• β > α ⇔ k je elipsa (přičemž pro β =
• β = α ⇔ k je parabola
• β < α ⇔ k je hyperbola.
35
π
2
je k kružnice)
Geometrie II
V
V
ke
V
kp
kh
Obr. 3.7.0.17
Obr. 3.7.0.18
Obr. 3.7.0.19
b) Je-li rovina σ vrcholová (tj. V ∈ σ), potom pro průsečnou křivku
k platí
• β > α ⇔ k je bod (tj. vrchol kuželové plochy)
• β = α ⇔ k je dvojice splývající přímek (tj. dvě splývající
površky)
• β < α ⇔ k je dvojice různoběžných přímek (tj. dvě různé
površky).
Jak je vidět, ačkoliv jsme kuželosečky zavedli jakožto řezy na kuželové ploše a všechny reálné regulární kuželosečky je také možné takto
znázornit, u singulárních kuželoseček ne zcela uspějeme. Jako určitý nedostatek se jeví nemožnost vymodelovat situaci, kdy řezem jsou různé
rovnoběžky!
V tomto případě je nutné provést jednu doplňující úvahu. Jestliže je vrchol kuželové plochy K(V, o, α) nevlastním bodem (bodem v nekonečnu)
osy o (tj. současně α = 0), potom se plocha K stává rotační válcovou
plochou. Stejně jako u kuželové plochy je pro případ β > α(= 0) řezem
elipsa (navíc je-li β = π2 , potom je opět řezem kružnice) a pro případ
β = α(= 0) je řezem buďto dvojice splývajících přímek nebo dvojice
různých rovnoběžek. Dvojice různých rovnoběžných přímek tak právem
patří mezi kuželosečky.
Ještě konkrétněji hovoří v případě regulárních kuželoseček tzv.
Quételetova-Dandelinova věta:
36
3.7. Klasifikace kuželoseček
Věta 3.7.0.4:
Řezem na rotační kuželové ploše rovinou, která není vrcholová je kuželosečka, jejímiž ohnisky jsou dotykové body kulových ploch, které
lze vepsat do kuželové plochy tak, že se dotýkají roviny řezu. Jestliže
rovina protíná všechny povrchové přímky kuželové plochy, je řezem
elipsa (je-li rovina navíc kolmá k ose plochy, potom je řezem kružnice jakožto speciální případ elipsy - dotykové body vepsaných kulových ploch potom splývají); je-li rovina řezu rovnoběžná právě s
jednou površkou plochy, je řezem parabola (do kuželové plochy lze
vepsat jedinou kulovou plochu splňující dané podmínky); je-li rovina
řezu rovnoběžná se dvěma površkami plochy, je řezem hyperbola a
ony povrchové přímky udávají směry asymptot.
37