doc. Zednik - Linearni algebra 2.cast

Zrejme a E 1V, nebot pro každé a E AI je a = 1· a E W, tedy M ~ lV. Zrejme
každý podprostor obsahující M musí obsahovat aspon všechny lineární kombinace
libovolných vektoru z 1'11. Je tedy lV minimální podprostor s vlastností 1'11 ~ W,
proto lV = [M]. Platí tedy
r
[al,'" ,ar] = {a EV; :3ki E IR: a =
kiad
L
i=l
Poznamenejme, že podprostor [M] se také nazývá lineární obal množiny M,
nebot je nejmenším podprostorem, který obsahuje všechny lineární kombinace
vektoru z M. Dále poznamenejme, že [S] = S, práve když S je podprostor.
Pro podprostory S, lV vektorového'prostoru V klademe
S
+W =
{x + y; x E S, Y E W}
a rekneme, že je to soucet podprostoru S, lV. Je-li S + 1V = V a Sn lV = {o},
rekneme, že V je direktním neboli prímým souctem podprostoru S, 1V.
Veta 20 Soucet podprostoTU je zase podprostor daného vektorového prostoru a
rovná se podprostoru, který je generován sjednocením daných podprostoTU.
Dukaz. Budte S, W libovolné podprostory vektorového prostoru V Nejprve ukážeme, že S + lV je pod prostor. Pro libovolné x, y E S + lV existují a, b E
S, c, d E W tak, že x = a + c, y = b + d a dále pro libovolné skaláry k, l platí
= (ka+lb)+(kb+ld)
E S+ 1V,nebot S, W jsou
kx+ly = k(a+c)+l(b+d)
pod prostory, a tedy ka + lb E S, kb + ld E TV.
Dále ukážeme, že S + W je podprostor v [S U lV]. Pro každý vektor x E S + W
existují a E S, b E TV tak, že x = a + b E [S U W], nebot [S U lV] obsahuje
všechny lineární kombinace vektoru z S U lV. Tedy S + Hl ~ [S U lV]. Obrácene
S = S + {o} ~ S + 1V, l'V = {o} + lV ~ S + TV, odtud S U 1V ~ S + Hl, tedy
[SUW] ~ [S+lV] = S+W, nebot S+lV je pod prostor. Celkem S+lV = [SUIV].
Obsahuje-li vektorový prostor V konecnou (úplne usporádanou) podmnožinu
M takovou, že 1'11 generuje V, tj. [1'11] = V, pak rekneme, že V má konecnou
dimenzi. Jsou-li navíc všechny vektory z 1'11 lineárne nezávislé, pak rekneme, je to
báze ve V. Pocet prvku libovolné konecné báze nazýváme dimenze nebo rozmer
vektorového prostoru V, píšeme dim V. Budeme studovat pouze prostory konecné
dimenze. Existují však i prostory s dimenzí nekonecnou nebo i takové, že nemají
bázi.
Je-li al, ... , an báze ve V, pak, pro každé x E V existují skaláry Xi E IR
takové, že
n
X
=
LXiai
i=l
nebot báze generuje V. Kdyby ješte existovaly skaláry Yi tak, že x = L~=l Yiai,
pak x = Lr=l Xiai = L~l Yiai, tedy L~l (Xi - Yi)ai = o, odtud Xi - Yi = O, tj.
Xi = Yi pro každé = 1,2, ... ,n, nebot bázi tvorí lineárne nezávislé vektory.
i
41
Klademe sa(x) = (Xl, ... ,Xn) a rekneme, že Xi je i-tá souradnice, sa(x) je souradnicový vektor vektoru x a sa je souradnicová funkce vzhledem k bázi al, ... , an,
strucne a-bázi. Odvodili jsme
Veta 21 Bází jsou souradnice
vektoru urceny jednoznacne.
Mejme dva reálné vektorové prostory V,1V a necht
vlastnostmi
f(x
+ y) =
f(x)
+ f(y),
f(kx)
=
f
je zobrazení V do W s
kf(x)
pro všechny vektory x, y z V a pro každé reálné císlo k, pak rekneme, že f zachovává operace z V a že je to tzv. homomorfismus
V do 1V. Protože homomorfismus vektorových prostoru vlastne zachovává lineární kombinace vektoru, ríká se
mu casteji lineární zobrazení. Bijektivní homomorfismus se nazývá izomorfismus.
Existuje-li izomorfismus jednoho vektorového prostoru na druhý vektorový prostor, pak rekneme, že jsou izomorfní. Izomorfní vektorové prostory považujeme
ze zobecnujícího algebraického hlediska za stejné.
Veta 22 Každý vektorový prostor (konecné dimenze) je izomorfní
vektorovým
s aritmetickým
prostorem.
Dukaz. Bud V vektorový prostor s bází al, ... , ano Ukážeme, že souradnicová
funkce Sa je izomorfismus V na n-rozmerný aritmetický vektorový prostor. Podle
21 je Sa zobrazenÍ. Jeho injektivnost i surjektivnost, tedy bijektivnost je zrejmá.
Ukažme, že zachovává všechny operace vektorového prostoru, tedy, že zachovává
lineární kombinace. Necht x, y E V, k, l E IR a oznacme
Pak x
= xlai + ... + xnan, y = Ylal + ... + Ynan a odtud
kx + ly = (kXI + lYI)al + ... + (kxn + lYn)an
tedy
sa(kx
Proto je
I !II
'I
III!I
I
!Iill
I
I
(kXI
+ lYI,
... , kXn
lil III
I
Veta 23 Z každé množiny
+ I·
sa(Y)
generátoru
vektorového
prostoru
V
=I-
{o} lze vybrat
bázi.
1IIII11
I
1:111
Dukaz. Necht [al, a2, ... , an] = V. Není-li to báze, pak vektory al, a2, ... , an jsou
lineárne závislé a podle 15 je mezi nimi jeden, napríklad al, který je lineární
kombinací ostatních. Proto [a2, ... , an] = [al, a2, ... , an] = V. Protože V =I- {o},
po konecném poctu kroku dostaneme lineárne nezávislé vektory, tedy bázi.
Bázi lze tedy také definovat jako maximální množinu lineárne nezávislých
vektoru. Zvláštní duležitost pro vektorové prostory konecné dimenze má tzv. veta
Steinitzova.
42
III li
k· sa(x)
Sa
I
I
I
+ lYn) =
izomorfismus.
Poznámka: Veta 22 má zvláštní duležitost. Ríká, že až na izolIlorfismus nejsou
jiné vektorové prostory konecné dimenze než aritmetické.
I
III!'
+ ly) =
I,UII
I
I
Veta 24 (Steinitz)
Bud V reálný vektorový prostor, necht nenulové vektory
al, ... ,an E V a necht lineárne nezávislé vektory Xl, ... ,Xr E [al, ... , an]. Pak je
n 2: r a r generátoru podprostoru [al, ... ,an] lze zamenit za vektory Xl, ... ,Xr,
tj. pri vhodném oznacení indexu, je
Dukaz. Oznacme W = [al, ... ,an].
1. krok: Protože o :/: Xl E Hl, je xl = 2:::7=1 kiai pro vhodná reálná císla ki,
tedy 111 = [Xl, al, ... , an] a vektory Xl, al, ... , an jsou nenulové a lineárne závislé.
Podle 16 lze mezi nimi vybrat vektor, pri vhodném oznacení indexu an, který je
lineární kombinací predchozích. OdtudW = [Xl, al,""
an-l].
2. krok: Protože o :/: X2 E W, je X2 = IIXI + 2:::~2Iiai pro vhodná reálná
císla li. Proto Hl = [Xl, X2, al,""
an-2] a vektory Xl, X2, al,""
an-2 jsou nenulové a lineárne závislé. Zase podle 16 existuje mezi nimi vektor, který je lineární
kombinací predchozích. Nemuže to být X2, nebot Xl, ... ,Xr jsou lineárne nezávislé. Je to tedy jeden z al, ... , an-2, pri vhodném oznacení indexu an-2' Pak
Hl = [Xl, X2" al ... , an-3].
Po konecném poctu r kroku máme 1V = [Xl"",
Xr, al,""
an-r],
tedy r ~ n.
Dusledky Steinitzovy vety:
Veta 25
Každé dve báze vektorového
pocet vektoru. (Tím se také dodatecne
storu je korektne definována.)
Dukaz. Báze mají obe vlastnosti
rovnost r = n.
Veta 26
Každý podprostor
lému prostoru.
prostoru s konecným rozmerem mají týž
zduvodnuje, že dimenze vektorového pro-
z 25, zámenou a-vektoru
vektorového
prostoru
o stejné
V n-rozmerném
prostoru je každá (n + l)-tice
a žádná (n - 1) -tice vektoru negeneruje celý prostor.
Veta 27
Veta 28
Každá lineárne nezávislá
rového prostoru.
množina
za x-vektory
vektoru
dimenzi
dostaneme
se rovná ce-
vektoru lineárne
závislá
se dá doplnit na bázi vekto-
Veta 29
K tomu, aby n vektoru v prostoru o dimenzi n tvorilo bázi, je nutné a
stací, aby bud byly lineárne nezávislé, nebo aby generovaly daný prostor.
Všimneme si nyní nejednodušších,
tzv. jednotkových
prostorech. Napríklad jednotkovou bázi v prostoru
matice Eik, které definujeme tak, že mají samé
Zrejme
L L aikEik
=
Ilaikll
=
O {:}
k
43
aik
=
bází, v nekterých
konkrétních
n tvorí
(i,k), kde je 1.
.Mmn matic typu m x
O
až na místo
O
pro každé i, k
Tedy dim Mmn = mn.
Speciálne, jednotkovou
vektory
I I
I
bázi v aritmetickém
vektorovém prostoru
el =
e2 =
(1,0,0,
,0)
(0,1,0,
,0)
en =
(0,0,0, ... ,1)
JRn
tvorí
Souradnicemi aritmetického vektoru v jednotkové bázi jsou tedy prímo jeho
složky, nebot souradnicovou funkcí pri jednotkové bázi je identita. Dále urcete
napríklad jednotkovou bázi a dimenzi prostoru symetrických matic, jeho podprostoru diagonálních matic a opet jeho pod prostoru skalárních matic. Podobne
urcete dimenzi prostoru polynomu jedné promenné stupne :s: n; n-árních lineárních forem.
Veta 30 (Grassmannuv vzorec) Pro podprostory S, ~V konecné dimenze vektorového prostoru V platí
dim (S
\
\
+ vF) =
dim S
+ dim
W - dim (S
n vV)
Dukaz. Oznacme dim S = k, dim W = l, dim S n Hl = m. Je-li S podprostor ~V
nebo naopak, není co dokazovat. Jinak oznacíme
\
I I
VI, V2,
WI, W2,
bázi ve Hl
, VI
, Wm
bázi v S
n Hl
Podle Steinitze, zámenou vektoru dostaneme nové báze, které se mohou pri vhodném oznacení vektoru napsat takto
Oznacíme-li
pak [.M] = [S U ~V] = S + Hl. Stací tedy dokázat, že vektory z AI jsou lineárne
Odtud pak už vzorec plyne triviálne dosazením
nezávislé, aby tvorily bázi v S +
dimenzí m + (k - m) + (l - m) = k + l - m.
Nezávislost ./11 se dokáže takto. Položme
~v.
m
LCiWi+
i=1
I
k
L
j=m+1
djUj+ L
s=m+1
44
bsvs=o
Odtud
m
L
k
c;Wi
i=1
I
+ L
djUj
j=m+1
s=m+1
L
Tedy z puvodní
Sn W
nezávislosti
rovnosti
vektoru
zbyde
k
i=1
=
C2
vektoru
= ... =
Takž_~:"yektory z 1\1 jsou lineárne
djUj
j=m+1
nezávislosti
CI
i=1
báze ve Hl plyne
LCiWi + L
opet z lineární
L aiwi
(-bs)vs =
m
Odtud
E
m
I
s=m+1
z lineární
(-bs)vs
patrí do S a pravá do W. Proto existují skaláry al, ... ,am tak,
nebot levá strana
že
Odtud
= L
Cm
=
=o
báze v S plyne
dm+1
= ... =
dk
=
nezávislé.
~ríklag.'Najdete
nejakou bázi podprostoru
generovaného
(2,1,1, O), a3 = (1,1,1,1,),
a4 = (1,2,3,4), a5 = (0,1,2,3)
ostatních vektoru v této bázi.
Rešení: Položíme
a rešíme tedy soustavu
01121
01132
(12110)
-1
O 1 4
lineárních
-t
3
O
homogenních
01121
01132
(12110)
O 2 2
rovnic s maticí
-t
5
vektory al = (1, O,O, -1), a2
a urcete souradnice
3
01121
00011,
(12110)
p~
soustava má tedy nekonecne mnoho rešení závislých na dvou parametrech.
Z redukované matice je videt, že bázi podprostoru
generovaného všemi danými vektory
tvorí napríklad vektory al, a2, a5. Zvolíme-li za parametry
tretí a ctvrtou složku,
tedy k3 = U, k4 = v, pak obecné rešení je tvaru
(u + v, -u - v, u, v, -v)
Pri volbe parametru
u = -1, v = O dostaneme
(-1,1,-1,0,0)
45
~",~
partikulárnÍ
rešení
=
odtud
a3
a pri volbe parametru u
= O,v = -1
= -al + a2
máme partikulární
rešení
(-1,1,0,-1,1)
odtud
<Li
= -al + a2 + as
Je tedy videt, že ve zvolené bázi al, a2, as má vektor a3 souradnice -1,1,
vektor <Li má souradnice -1, 1, 1.
5.3
I
°a
Cvicení
I
I
kde
---------
al = (5, -8, -1, 2)
= (2,-1,4, -3)
a3 = (- 3, 2, - 5, 4)
a2
~
,I
ypoctete vektor x z rovnice:
3(al - x)
--541
kde
+ 2(a2 + x) =
5(a3
t Zo-z - 50..J =' Gx
a1 = (2, 5, 1, 3)
+ x)
20)- (2o,.!>I-~j)~t.).-
(&/SjJ,Qj.t(2o/2/0
{(?I 12 (181 2:.r).:
a2 = (10,1,5,10)
a3 = (4,1, -1,1)
-t:;,
Gx
(0 ZAL!)
--------
Rozhodnete, zda následující množiny vektoru jsou lineárne závislé:
~I
= (1,2,3)
5.
a2 :: (3,3,2)
{ara3 -= (8,1,3)
(5,4,3)
8.
4. { al
~'
a2
7.
= (3,6, 7)
{ a2
al
= (6 -3 9)
= (4,-2,6)
"
a2 :: (2, =2,1,3)
a3 - (6, 3,3,9)
{ar<Li = (4,
(4,-5,2,6)
-1,5,6)
46
6.
a2 = (3,-1,5)
, -4 , 3)
{ara 3 = (1
(2,-3,1)
9.
a2 :: (0,1, O,3, 4)
a3 - (O,0,1,4,7)
{ara4 = (2,
(1,0,0,2,5)
-3,4,11,12)
Najdete všechny
al,""
as:
hodnoty
k, pro které
11.
a3 = (1, -6, 1)
. a2 = (7,2,1)
a3 = (4,1,6)
{ b
al == (5,9,k)
(4,4,3)
a2
(3, -2,
7,8).k)
10. { al
(2,3,5)
b === (7,
13.
a2
=
14.
(2,4, 7)
a3 = (5, 6, k)
16.
a2 :: (1,2,3,4)
a3 =- (1,2,0,0)
(3,6, O, O)
{ al
17.
a2=(4,2,-6,2)
a3 = (6,3, -9,3)
al == (2,1,
-3,1)
~
(1,1,1,1)
19.
vektory:
a2 = (2,3,4,5)
a3 = (3, 4, 5, 6)
{ al
a4 = (1,2,3,4)
(4,5,6, 7)
al = (1,2,3)
a2 = (2,3,4)
18. ~ a3 = (3, 2, 3)
a4 = (4,3,4)
a5=(1,1,1)
20.
a2
{
= (3,2, -5)
21.
a3 = (1, - 1, 1)
al = (2,1, -3)
x=(6,2,-7)
L
Najdete nejakou ~i
~podprostoru generovaného
radnice ostatních vektoru v této bázi:
{
(6,8,7)
{ ba2
al ==
= (9,12,
(3,4,2) k)
al, ... ,ar tvorí bázi a vypoctete _s0!:lr-~dnice vektoru
-- ---.--
a2 = (1,1,2)
a3 = (1,2,3)
{ xal == (6,9,14)
(1,1,1)
22.
vektoru
a2 = (7,3,9)
generovanS'ch
--~--"-----------
Ukažte, že vektory
bázi:
12.
kombinací
a3 = (5, 1, 3)
všechny
báze podprostoru
.
15.
{
b lineární
{ bal == (k,
(3,2,6)
2, 5)
{ bal == (1,3,5)
(3,2,5)
Najdete
je vektor
a2=(4,1,-2,3)
a3 = (1, 1, - 1, - 2)
al == (3,4,-1,2)
(5,2, -3, 1)
a4
23.
al = (2,
a2 = (4,
a3 = (3,
a4 = (4,
al = (1,2,-1,-2)
a2 = (2,3,0,-1)
a3 = (1, 2, 1,4)
~=(1,3,-1,0)
x = (7,14, -1, 2)
danými
-1,3,5)
-3, 1,3)
-2, 3, 4)
-1, 15, 17)
a5 = (7, - 6, - 7, O)
x v této
vektory
a urcete
sou-
al = (1,2,3, -4)
a2 = (2,3, -4, 1)
24.
a3 = (2, -5, 8, -3)
a4 = (5,26, -9, -12)
a5 = (3, -4, 1,2)
Výsledky:
1. (1,4,-7,7). 2. (0,1,2,-2). 3. (1,2,3,4). 4 Nezávislé. 5. Závislé. 6. Nezávislé.
7. Závislé. 8. Závislé. 9. Nezávislé. 10. k = 15. 11. k libovolné. 12. k libovolné. 13. k
=/:
12. 14. k neexistuje.
15. al, a2 nebo a2, a3' 16. Libovolné
47
dva.
17. Ctvrtý s prvním, druhým nebo tretím. 18. Libovolná trojice krome al, a2, a5
nebo a3,~, a5' 19. (1,2,3). 20. (1,1,1). 21. (0,2,1,2). 22. Napríklad pri bázi:
al, a2, a4 je a3 = al - a2· 23. Pri bázi: al, a2, a3 je a4 = 2al - 3a2 + 4a3, a5 =
al + 5a2 - 5a3' 24. Pri bázi: al, a2, a5 je a3 = a} - a2 + a5, a4 = 3a} + 4a2 - 2a5.
I
I
I
I
II
II
I II
II I
II
I
I'
:11
I
I
1'11'
I,
I I
I
I,
I
lili
I
0-48
Kapitola 6
Determinanty
6.1
Poradí a permutace
Nyní budeme pracovat s konecnými množinami. Vždy vezmeme množinu
{1,2,
...
,n}
pro vhodné prirozené n. Poradím z prvku 1,2, ... ,n nazveme libovolnou usporádanou n-tici (kl' ... ' kn), ve které se každý z prvku vyskytuje práve jednou.
Poradí (1,2, ... , n) nazýváme základní. Dvojice císel tvorí inverzi v poradí, stojí-li
vetší císlo pred menším. Pocet inverzí v poradí (kl' ... ' kn) oznacíme [kl' ... ' kn].
Rekneme, že poradí je sudé, má-li sudý pocet inverzí a priradíme mu znaménko
= signum = sgn = +1, jinak je poradí liché a má znaménko -1. Pocet inverzí
v poradí urcujeme tak, že secteme pocty inverzí s císly 1,2, ... ,n-1, nebo si napíšeme pod základní poradí dané poradí, spojíme stejná císla a spocítáme prusecíky
spojnic. Napríklad
[3,4,2, 1,5] = 3 + 2 + O + O = 5,
tedy sgn (3,4,2, 1,5) = -1.
Už víme, že bijekce množiny na sebe se nazývá permutace. Dvojrádkový zápis
permutace vypadá formálne tak, že se napíší dve poradí pod sebe. V prvním
rádku jsou vzory, obvykle v základním poradí, a pod nimi jejich obrazy
kde ip(i) = ki. Permutace je sudá a má znaménko +1, mají-li oba rádky tutéž
paritu, jinak je lichá a má znaménko -1. Prvek nazýváme samodružný, jestliže
je v nejakém zobrazení sám svým obrazem. Permutace, která má všechny prvky
samodružné až na dva i,k se nazývá transpozice (výmena) prvku i,k, znací se (i
k). Prvky i,k tvorí tzv. vratnou neboli involutorní dvojici, nebot si vzájemne slouží
jako vzor a obraz. Permutace, která má všechny prvky bud samodružné nebo
49
patrící k nejaké vratné dvojici se nazývá involuce. Napríklad osová soumernost
v rovine je involuce. Je zrejmé, že involuce jsou sami k sobe inverzní zobrazení.
Veta 31
Transpozice
mení znaménko
poradí.
Dukaz. Pro sousedy: Provedeme-li v poradí
transpozici (kiki+d,
I
II
I
I
tedy sousedu, dostaneme poradí
Pocet inverzí prvku ki, ki+1 vzhledem ostatním prvkum se nezmenil. Záleží tedy
pouze na tom, zda prvky ki, ki+1 tvorily inverzi, pak ovšem po výmene prvky
ki+1, ki inverzi netvorí a naopak. V každém prípade se však zmení znaménko
poradí.
Pro nesousedy: Provedeme-li v poradí
transpozici (kski), s < i, tedy nesousedu, dostaneme poradí
Tutéž transpozici však lze provést postupnou výmenou sousedu prvku ks s prvky
stojícími mezi prvky ks, ki, pak vymeníme opet sousedy ks, ki a pak postupnou
výmenou sousedu prvku ki se stejnými prvky, se kterými jsme menili prvek ks.
Celkový pocet výmen sousedu je tedy lichý, proto se i nyní, podle první cásti
dukazu, zmení znaménko poradí.
Veta 32
Z n prvku lze napsat n! poradí a lze je sretezit tak, že každé následující
dostaneme z predchozího poradí jedinou transpozicí. Pritom lze zacít libovolným
poradím.
Dukaz. Dukaz povedeme matematickou
n
n
Predpokládejme,
= 1:
= 2: (1,2)
indukcí. Pro
(1);
1-+(12)
n!
=1
(2,1);
n!
=2
že pro nekteré prirozené císlo n veta platí. Vezmeme prvky
0,1,2, ... , n v poctu n + 1. Podle indukcního predpokladu lze z techto n + 1
prvku napsat n! poradí tvaru (O, kOl, ... , kon), která jsou sretezena tak, že každé
následující dostaneme z predchozího poradí jedinou transpozicí. Pritom lze zacít
libovolným poradím, které má na O-tém míste císlo O. V posledním z techto
poradí zameníme prvek O s následovníkem a zase podle indukcního predpokladu
50
dostaneme retez délky n! napsaný z poradí tvaru (ku, O,kI2"'"
kIn)' Po n + 1
takových krocích dostaneme celkem (n + l)n! = (n + I)! poradí z n + 1 prvku
sretezených tak jak bylo požadováno. Podle principu matematické indukce platí
tedy tato veta pro každé prirozené císlo n.
Z vet 31 a 32 plynou dva dÍlsledky:
Veta 33 Z n
>
1 je polovina,
tj. n!/2 poradí (a také permutací)
sudých
a polo-
vina lichých.
Veta 34 Parita (trída) permutace
které lze danou permutaci
6.2
se rovná parite
(tríde) poctu
transpozic,
na
rozložit.
Definice a vlastnosti determinantu
Název determinant zavedl francouzský matematik Cauchy (Augustin Luis, 17891857), který byl zakládajícím clenem svetoznámé školy Ecole polytechnique v Paríži. Idea determinantu má však pocátek již v r. 1693 u Leibnitze
(Gottfried Wilhelm, 1646-1716, narozen v Lipsku), dále v r. 1750 u Cramera (Gabriel, 1704-1752, Svýcar), Lagrange (Joseph Luis, 1736-1813, nar. v Turine a
mel italsko-francouzský puvod) a u Laplace (Piere Simon, 1749-1827, puvodem
z Normandie, žil v Paríži). Japonec Seki Kova snad používal ideu determinantu
už pred rokem 1683 a maticová metoda v Cíne se používala již za dynastie Sung.
DEFINICE:
Bud A1n množina všech reálných ctvercových matic rádu n.
stupne n nazýváme zobrazení
Potom determinantem
n
A1n
~
JR :
A
= Ilaij 111-+IAI = laijl =
L sgn II
kde
cp
ai<p(i)
cp
<{J
i=1
je libovolná permutace z prvku 1,2, ... , n. Soucin
n
II
ai<{J(i)
i=1
=
al<{J(I)a2<{J(2) ...
an<{J(n)
který má n cinitelu a každý z nich zastupuje práve jeden rádek a práve jeden
sloupec matice A, se nazývá clen determinantu IAI; sgn cp, tj. znaménko permutace tvorené indexy cinitelu clenu, se nazývá znaménko clenu. Determinant
stupne n je pak souctem všech n! svých clenu i s jejich znaménky. Znacíme také
IAI = det A = A. O matici A determinantu IAI casto mluvíme také jako o determinantu, nedojde-li k nedorozumení. Napríklad mluvíme o rádcích nebo o sloupcích, spolecne pak o radách, determinantu IAI·
Príklady: Determinant stupne n = 2 se vypocte podle definice tak, že od
soucinu prvku ležících na hlavní diagonále odecteme soucin prvku ležících na
vedlejší diagonále, tedy
51
AI=
Pro usnadnení výpoctu determinantu stupne n = 3 se používá tzv. Sarrusovo
Bud sepíšeme první dva rádky pod determinant nebo napíšeme první
dva sloupce za determinant a pak násobíme trojice prvku ve smeru hlavní diagonály a dostaneme tri cleny determinantu se znaménky + 1 a pak násobením
trojic prvku ležících ve smeru vedlejší diagonály dostaneme zbývající tri cleny se
znaménky -1, tedy je-li
pravidlo:
IIi!
a31
a22
a33
a32
a23a31
a21
a13
a12
all a21
all
all
I
Poznámky:
1. Determinanty stupne> 3 se pocítají pomocí Laplaceova rozvoje. O tom
budou pojednávat speciální odstavce.
I
IIHII
II
I
2. Místo pojmu permutace lze k definici determinantu
IAI =
L
(-l)lil,
...,jn]aljl··
použít pojmu poradí
.anjn
(jl, ...,jn)
II
3. Z 33 plyne, že determinant stupne n > 1 má polovinu clenu se znaménkem
+ 1 a druhou polovinu se znaménkem -1.
4. Považujeme-li všechny prvky determinantu
stupne n je n2-ární forma stupne n.
za promenné, pak determinant
5. Považujeme-li pouze prvky jednoho sloupce za promenné, pak determinant
stupne n je lineární n-ární forma.
6. Má-li determinant pod nebo nad hlavní diagonálou samé nuly, rovná se
svému hlavnímu clenu, tj. alla22 ... ann.
Následující vety budou obsahovat vlastnosti determinantu.
Veta 35
Transponováním
(matice)
se determinant
52
nemení.
Dukaz. Oznacíme
IBI
=
IAI
n
=
=
laijl, IA'I
lajil
n
=
Ibij I
=
IBI. Platí
n
Lcp sgn rp i=1
I1bicp(i)= L sgn rp I1acp(i)i= L sgn
cp
i=1
cp-I
rp-I
I1aicp-I(i) = IAI
i=1
nebot sgn rp-I = sgn rp a probehne-li rp všechny permutace stupne n, pak rp-I je
probehne také.
Tato veta má duležitý dusledek: Platí-li nejaká vlastnost pro sloupce platí i
pro rádky determinantu
a naopak. V následujících vetách bude tedy rec pouze
o sloupcích, s tím, že je mužeme kdykoliv použít také na rádky. Sloupce budeme
symbolicky znacit jako vektory
aj = (alj,
Z poznámky
Veta 36
a2j,· .. , anj)',
5 plynou tri následující
Determinant
lo,a2,··· ,ani =
se rovná
j
= 1,2,
... ,n
tvrzenÍ.
nule,
má-li
v jednom
sloupci
samé
nuly.
Tj.
O.
Dukaz. Každá nula z toho nulového sloupce se dostane
Podobne odvodíme následující dve vety.
Veta 37 Determinant
jeho sloupec.
násobíme
klal,'
..
práve do jednoho
skalárem tak, že tímto skalárem
,ani
= Ikal,a2,."
clenu.
násobíme jeden
,ani
Veta 38
Jestliže má determinant
v jednom sloupci mnohocleny
o m clenech,
pak se rovná souctu m determinantu,
které mají v tomto sloupci práve jeden clen
onoho mnoho clenu (ostatní sloupce se opisují).
Napríklad
lal
Veta 39
+ b, a2, ...
Determinant
, ani = lal, a2, ... , ani + lb, a2, ... ,ani
zmení znaménko,
vymeníme-li
v nem dva sloupce.
vymeníme v nem r-tý a
Dukaz. Oznacíme lAJ = laij I puvodní determinant,
s-tý sloupec a nový determinant
oznacímelBI = Ibijl . Platí tedy Ibijl = laia(j)1,
kde a je transpozice (rs). Platí
n
n
n
IBI
=
Lcp sgn
rp
I1bicp(i)= L
sgn
cp
i=1
=-
Lcp sgn
rp
r.pa
I1aia(cp(i» = L
-sgn
cp
i=1
n
rpa
I1ai(cpa)(i) =
i=1
I1ai(cpa)(i) = -IAI
i=1
nebot sgn rp = -sgn rpa, podle 31 a probehne-li
pak rpa je probehne také.
53
r.p všechny
permutace
stupne
n,
Veta 40 Determinant se rovná nule, má-li dva sloupce stejné.
Dukaz. Zameníme-li
a jednak
to nula.
ty stejné sloupce, pak se jednak determinant
zrejme nezmení
podle 39 zmení znaménko. Takovou vlastnost má jediné reálné císlo, a
Veta 41 Determinant se nezmení, pricteme-li k jednomu sloupci lineární kombinaci ostatních.
Dukaz. Plyne to z vet 38, 37 a 40 takto
n-I
lal, a2,···,
an-I, an
+
L kiail
i=1
n-I
= IAI +
L
lal, a2,···,
i=1
an-l, kiail
=
n-I
= IAI +
Veta 42 Postacující
,
L
kilal,
i=l
a2,···,
an-I, ail
= IAI + 0= IAI
i nutná
podmínka k tomu, aby se determinant rovnal nule
je, aby mel sloupce lineárne závislé.
I
Dukaz. Zatím dokážeme pouze to, že daná podmínka stací k tomu, aby se determinant rovnal nule. Její nutnost dokážeme pozdeji, až pomocí hodnosti matice.
Necht tedy má determinant
lineárne závislé sloupce, pak existuje jeden, napríklad
poslední, který je lineární kombinací ostatních. Pro vhodná ki tedy platí
11111
n-I
IAI = lal, ... , ani = lal' ... ' an-I,
I
f
-------
n-I
L
kiail = L kilal,
i=1
i=1
... , an-I, ail
=
O
Mejme determinant
IAI stupne n > 1. Vybereme-škrtneme
r < n rádku, napríklad s indexy i1 < i2 < ... < ir a r sloupcu, napríklad s indexy jI < j2 ... < jr.
Prvky které stojí práve v techto vybraných radách, jsou tedy dvakrát škrtnuté,
tvorí ctvercovou matici stupne r. Její determinant
oznaCÍme
1-6.3
,il
Laplaceuv rozvoj
III
(je-li r = 1, pak je to pouze prvek aidl = aij) a rekneme, že je to subdetermiIAI. Prvky stojící v radách, které jsme
nant nebo minor stupne r determinantu
nevybrali, nejsou tedy vubec škrtnuté, tvorí matici stupne n - r a je-li r > 1 její
determinant
znacíme
ji
a nazveme pridruženým
minorem k puvodnímu
minoru. Je-li r = 1, pridružený
minor k prvku aij oznacíme Mij. Konecne klademe, je-li r > 1
A
..
= (-1)2:::=)
( JI~.1
M*
is+js
~.r).
..
JI
(~.1
Jr
~.r)
Jr
a rekneme, že je to algebraický doplnek v IAI k puvodnímu subdeterminantu.
r = 1 klademe
A··Z) --
(-IY+jM·
Pri
1)
a rekneme, že je to algebraický doplnek k prvku aij.
Veta 43 (Laplaceuv rozvoj dle jednoho rádku)
se rovná souctu soucinu
doplnky, tj.
prvku vybraných
z jednoho
Determinant
rádku s jejich
Dukaz.
(a) Necht IAI má tvar
anI
a21
(k),...,kn)
l:
ann
a2n
...
...
(-I)[k), ...,knJalla2k2 ... ankn
O
all
O
an2
I a22
=
(b) Necht IAI má tvar
O
O
ann
aln
an,j-l
al,j-l
..
....
O
...
an2
an,j+l
O
anj
.. anI
....
a··
...
al,j+l
alj
Z)
(_I)i-ll
O
O
a12
all
(a). = (_I)(i-l)+(j-l)
O
an2
anI
all
1)
I
anI
alj
a·
anj
O
55
-
stupne n >
algebraickými
1
(c) Obecný determinant IAI si predstavíme jako soucet n determinantu
které mají v i-tém rádku n-cleny typu
aij =
O
+
O
+ ...
+ aij +
O
typu (b),
+ ... + O pro j = 1,2, ... , n
O
Podle (b) a vety 38 pak platí (c).
Dusledkem poslední vety je
Veta 44 Soucet soucinu prvku vybraných z jednoho rádku determinantu s algebraickými doplnky prvku jiného rádku je roven nule, tj.
n
:L aijAkj =
O
j=l
Dukaz: Jakoby mel determinant
II
pro
i
=I-
k
stejný i-tý a k-tý rádek.
Veta 45 (Obecný Laplaceuv rozvoj), dle rádku i1, ...
IAI=:LM(
Z.l
z.r
J1
..
Jr
)A("
kde se scítá pres všechny kombinace (j1,""
z?
J1·
..
..
, ir,
bez dukazu:
z.r
Jr
.)
jr) r-té trídy z n císel 1,2, ... , n.
Víme, že je jich (~).
Slovy: Determinant stupne n > 1 se rovná souctu soucinu minoru vybraných
všemi možnými zpusoby z pevne zvolených r < n rádku s jejich algebraickými
doplnky.
Odtud plyne zase analogický dusledek:
Veta 46 Jestliže r rádku determinantu IAI stupne n > r >
než n - r sloupcích samé nuly, pak je IAI =
6.4
O
obsahuje ve více
O.
Praktický výpocet determinantu
Zásady: Determinanty více než 3-radé pocítáme pomocí Laplaceova rozvoje.
Nejprve si však determinant upravíme tak, aby mel v nekteré rade v absolutní
hodnote co nejmenší prvky (prictením vhodné lineární kombinace rovnobežných
rad) nejlépe O a podle této rady jej pak rozvineme.
Príklad.
=3
3 -2
56
-2
2 4 4-2
5
1-2O4241 -23 2(3) 3 -3 +3(1)
52
2 3O
2(-2)4 - -2
3(2)+ 2(1)
3 - 3(3) 2 2- +3(-2)
4 + 2(2)
-2
+8(-1)
1) /58
62/ = -286
y
-2
58
62
OO
8-2 -6
8248 - 30
37
84 58(4)
-2
8-2+8(8)
-1 O
5548+
8 -1
xy
y=(_1)2+3
x ...
y
30 37
y
y
y
...
x
+ (n
+ (n
= [x + (n
al
1
=
I :
1
al
n
- l)y
- l)y]
O...a2
aa2
22
1
a2
an
1Oa2...n-l
O
y
y
...
y
x
- l)y
x + (n - l)y
x + (n - l)y
x
O -1
x
y
y
x
y
y
y
y
x
y
y
Y
x
1
y
y
O
x - y
y
I O
O
O
O
=
[x
+ (n -
l)y]
1 y
1 x
y
y
1
y
x
1
y
y
y
y
y ,-
...
x
y
O
O
x-y
O
...a2determinant:
an
Príklad.
Vandermonduv
a2(a2 - n-2(
ad
)
1
al
57
x-y
=
[x
+ (n
- l)y](x
-
yr-1
n
= (a2
= [(a2
- al)'"
- al)(a3
- al)(a3
-
(an - al)Vn-1(a2,
al) ...
(an - al)][(a3
a3,···
an)
=
II
(ak - ai)
k>i=l
=
- a2) ... (an - a2)] ... [(an - an-l)]
Poznamenejme, že první úprava spocívá v tom, že (n - 1)-ní sloupec násobíme
(-ad a pricteme k n-tému, (n- 2)-hý sloupec násobíme (-al) a pricteme k (n1)-nímu, atd., I-ní sloupec násobíme (-al) a pricteme k 2-hému. Pak determinant
rozvineme podle prvního rádku a nakonec použijeme indukce.
6.5
Násobení determinantu
Veta 47 (O násobení determinantu)
Pro každé dve ctvercové matice téhož
rádu je determinant jejich soucinu roven soucinu determinantu jednotlivých matic, tj. IABI = IAI . IBI·
Dukaz. Podle Laplaceova rozvoje podle prvních n rádku je
o
o
,
,;
I
...
o
bll
-1
b1n
=1
...
-E B I = I -E
I
= (-lt2-nIABI
N
1=
bnn
= (_I)(n+l)+".+2n+(1+2+.,,+n)1
_ EI . IABI =
Ildll',
A AB
A N
o
IA/'IBI=
(-lt2
(-ltIABI
=
= (_I)n(n-l)IABI = IABI
Nejprve jsme si matici rozdelili na ctvercové bloky o rozmerech n x n, pak jsme
v tomto blokovém schématu násobili zprava první sloupec maticí B a pricetli ke
druhému sloupci. Poslední matici jsme si znovu predstavili napsanou po prvcích
a rozvinuli jsme ji podle posledních n rádku.
Poznamenejme, že matice násobíme pouze "rádky x sloupce", kdežto determinanty mužeme násobit ješte dalšími tremi zpusoby, což plyne z toho, že
determinant se transponováním nemenÍ.
6.6
Cramerovo pravidlo
Veta 48 (Cramerovo pravidlo) Soustava n lineárních rovnic
allXl
a21Xl
+ a12X2 +
+ a22X2 +
+ alkxk +
+ a2kxk +
58
+ alnXn =
+ a2nXn =
b1
b2
o n neznámých
s determinantem
soustavy
IAI = laikl i- O má jediné rešení o složkách
IAkl
Xk
= W'
,
kde k
= 1,2,
... , n
a kde IAkl je determinant,
který dostaneme z IAI zámenou k-tého sloupce za
ak-l, b, ak+l,"" ani, pri oznacení aj =
pravé strany rovnic. Tj. IAkl = lal,""
(alj, a2j,···, anj)', b = (bl, b2, ... , bn)'.
Dukaz. Každé
rešení
dané soustavy
je i rešením
libovolné
lineární
kombinace
jejích rovnic. Opak platit nemusí, vi~ napríklad
triviální lineární kombinace.
Utvorme, pro každé k, lineární kom~ihaci rovnic dané soustavy s koeficienty
Alk, A2k, ... ,Ank, což jsou algebraické dopli'íky k prvkum z k-tého sloupce. Podle
Laplaceova rozvoje a jeho dusledku bude
kde k
=
1,2, ... , n. Odtud
IAkl
Xk=W
kde k = 1,2, ... ,n. Overme, že jsou to složky jediného
že provedeme zkoušku dosazením do i-té rovnice
IAkl pro k
vytkneme 111 a determinanty
sloupce, tam jsou ty pravé strany
IAll =
IA21
blAn
=
blA12
=
rešení dané soustavy
1,2, ... , n rozvineme
+ b2A2l +
+ b2A22 +
podle
+ bnAnl
+ bnAn2
a máme dále
1
n
n
= IAI (ail )=1
L: bjAjl + ... + ain )=1
L: bjAjn) =
prerovnáme
dle
1
bs
(viz soustavu
rovností
n
nahore)
n
n
= IAI (bl j=l
L: aijAlj + ... + bi j=l
L: aijAij + ... + bn j=l
L: aijAnj) =
odtud podle Laplaceova
rozvoje a jeho dusledku
1
= TAfbi
1
n
f;
aijAij
59
••
zbyde pouze
= TAfbilAI = bi
tím,
k-tého
I
I
I
Príklad. Pomocí Cramerova
pravidla
rešte soustavu:
2x - 3y = 4
4x - 5y = 10
Rešení: Vypocteme
nejprve determinant
IAI
Dále vypocteme
IAxl
= 11~
soustavy
= 4 -5 = -10 + 12 = 2
12
-31
oba pomocné
=~I = -20
determinanty:
+ 30 = 10
IIII
I
1/
I
'I
II
,,11,1,
60
IAyl
=I
~ 1~ I = 20 - 16 = 4
Odtud
_ IAxl
x - lAT
2=
Soustava má tedy jediné rešen~ (x,
6.7
IAyl
10
=
5,
=
y)
Y
4
= lAT = 2 = 2
(5,2).
Cvicení
Urcete pocet inverzí v poradích:
1.2,3,5,4,1.
5.1,3,5,7,
2.6,3,1,2,5,4.
...,2n - 1,2,4,6,8,
4532869751
58
22 2 permutace
Následující
rozložte
~)
)
3.1,9)6,3,2,5,4,7,8.
... ,2n. 6.2,4,6,
4.7,5,6,4,1,3,2.
... ,2n, 1,3,5, ... ,2n
v soucin nezávislých
-
1.
cyklu a v soucin transpozic:
~ 8.
10. (~(~
7. ( ~
Následující
permutace
11. (1 5)(234)
rozložené
na cykly napište
12. (1 3)(2 5)(4)
Rozhodnete který z následujících
jeho znaménko:
17. Vyberte hodnoty
determinantu
18. Vyberte
determinantu
Vypoctete
1
19.
22.
dvourádkove:
13. (7 5 3 1)(2 4 6)(8)(9)
soucinu muže být clenem determinantu
i, k tak, aby soucin
a urcete
a62ai,5a33ak,4a46a21
mohl být clenem
6-tého stupne se znaménkem mínus.
hodnoty i, k tak, aby soucin a47a63al,ia55a7,ka24a31
7-tého stupne se znaménkem plus.
mohl být clenem
determinanty:
1
1 -1
1
1
1
1
1 1 -1 1
1 1 1 -1
-3 9 3 6
-5 8 2 7
4 -5 -3 -2
7 -8
-4 -5
2 -5
-3
7
5 -9
4 -6
1 1 1
1 O 1 1
1 1 O 1
o
20.
1 1
23.
1
O
8
3 -3 -5
2
4
-6
-3
2
-4
-5 -7
3
61
5
5 -6
1
2
-1
4
2 7
1 2
-5
3 -4
2
24.
4 3
7
5
4
-9
8 5
-3
2
-5 3