Příklad 1 Příklad 2 Příklad 3

PŘÍKLADY Z MV2
ČÁST 1
Příklad 1
a) Jev spočívá v tom, že náhodně vybrané přirozené číslo je dělitelné pěti a jev v tom, že
toto číslo náhodně vybrané přirozené číslo zapsané v desítkové soustavě má na posledním
místě nulu. Co znamenají jevy = ∩ ,
= ∪ , = ̅∩ , = ∪ , = ∩ ?
b) Nechť jev spočívá v tom, že při jednom hodu běžnou hrací kostkou padne na horní stěně
liché číslo a nechť jev znamená, že padne číslo, které je dělitelné číslem 3. Charakterizujte
jevy = ∪ , = ∩ , = − , = , = ̅ ∩ ,
=( − )∩ .
c) Zjednodušte následující výrazy:
a. ( ∪ ) ∩ ( ̅ ∪ ) ∩ ( ∪ )
b. ( ̅ ∪ ) ∪ ( ∩ ) ∪ ( ̅ ∩ )
c.
∪ ∪ ∪
d) Navrhněte alespoň dva úplné systémy disjunktních jevů při házení standardní hrací kostkou.
e) Tvoří jevy ∩ , ̅ ∩ , ∩ ∩ , ∩ ̅ , ̅ ∩ ∩ ̅ úplný systém neslučitelných jevů?
f) Průmyslově vyráběný filtr je podroben třem různým zkouškám. Jev spočívá v tom, že
náhodně vybraný filtr obstojí při první zkoušce. Jev spočívá v tom, že náhodně vybraný filtr
obstojí ve druhé zkoušce. Jev spočívá v tom, že náhodně vybraný filtr obstojí ve druhé
zkoušce. Vyjádřete ve množinové symbolice pro popsané jevy , , , že filtr obstojí
a. jen v první zkoušce,
b. v první a ve druhé zkoušce, ale neobstojí ve třetí zkoušce,
c. ve všech třech zkouškách,
d. alespoň v jedné zkoušce,
e. alespoň ve dvou zkouškách,
f. právě v jedné zkoušce,
g. právě ve dvou zkouškách,
h. maximálně ve dvou zkouškách.
Příklad 2
a) Určete pravděpodobnost toho, že při jednom hodu běžnou hrací kostkou:
a. padne číslo 6;
b. padne liché číslo;
c. nepadne číslo 4.
b) V sadě 100 žárovek je 24 vadných (ostatní jsou v pořádku). Určete pravděpodobnost toho, že
mezi 11 náhodně vybranými žárovkami budou právě 2 vadné.
c) V krabici je 5 bílých, 6 modrých a 7 červených kuliček. Náhodně z ní (bez vracení do krabice)
vyberte 9 kuliček. Jaká je pravděpodobnost toho, že jste vybrali 2 bílé, 3 modré a 4 červené
kuličky?
d) V urně je 19 kuliček, z nichž je každá očíslovaná právě jedním z čísel 1, 2,..., 19. Náhodně z ní
vytáhneme jednu kuličku. Určete pravděpodobnost toho, že vytažená kulička je označená
číslem, které je dělitelné dvěma nebo třemi.
Příklad 3
a) Jaká je pravděpodobnost, že při hodu kostkou padne číslo větší než 4?
∀ ∃
1
PŘÍKLADY Z MV2
ČÁST 1
b) Házíme dvěma hracími kostkami. Jaká je pravděpodobnost, že součet padlých čísel je větší
než 3?
c) Z 32 hracích karet vybíráme 7. Jaká je pravděpodobnost toho, že mezi nimi budou tři srdce?
d) Jaká je pravděpodobnost, že při hodu mincí pětkrát po sobě padne hlava?
e) Kupující chce koupit jeden chléb a konzervu. V obchodě mají 30 kusů chleba, z toho 5 z
minulého dne a 20 konzerv s nečitelným datem výroby, z toho 1 po záruční lhůtě. Jaká je
pravděpodobnost, že zákazník koupí čerstvý chléb a konzervu v záruce?
f) Roztržitá sekretářka náhodně vloží tři dopisy do tří obálek. Jaká je pravděpodobnost, že
alespoň jeden adresát dostane správný dopis?
g) V obchodě je vystaveno 10 hrnců, z toho 2 mají skrytou vadu. Kupující si koupí dva kusy. Jaká
je pravděpodobnost, že alespoň jeden z nich má skrytou vadu?
h) Házíme sedmkrát kostkou. Jaká je pravděpodobnost, že šestka padne právě třikrát?
i) Test obsahuje 10 otázek, ke každé jsou čtyři různé odpovědi, právě jedna z nich je správná.
Na absolvování zkoušky je třeba správně odpovědět alespoň na 5 otázek. Jaká je
pravděpodobnost, že úplně nepřipravený uchazeč udělá zkoušku?
j) V osudí je 100 lístků označených čísly 1 až 100. S jakou pravděpodobností vytáhneme číslo,
které je dělitelné dvěma nebo pěti?
k) V bedně je 49 výrobků, z nich je celkem 43 vadných. Náhodně z bedny vytáhneme 6 výrobků.
Jaká je pravděpodobnost, že z vytažených výrobků jsou alespoň čtyři bez vady?
l) Házíme dvěma hracími kostkami. Jaká je pravděpodobnost, že součet padlých čísel je 9?
m) Jaká je pravděpodobnost, že při hodu hrací kostkou padne:
a. sudé číslo,
b. číslo dělitelné třemi,
c. číslo menší než šest?
n) V laboratoři je 60 baněk, z nichž je 6 špatně označených. Jaká je pravděpodobnost, že pokud
vybereme 5 baněk, budou z nich právě 3 správně označené?
o) Jaká je pravděpodobnost, že ve vytvořené trojici, kterou tvoříme z 19 chlapců a 12 dívek,
budou:
a. samí chlapci,
b. samé dívky,
c. 2 chlapci a 1 dívka?
p) V bedně s 30 výrobky jsou 3 vadné. Urči pravděpodobnost, že mezi pěti náhodně vybranými
výrobky budou nejvýše 2 vadné.
q) Chlapec napsal libovolné číslo od 1 do 20. Jaká je pravděpodobnost, že napsal prvočíslo?
r) Zuzka má k dispozici cifry 0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, každou z nich nejméně třikrát. Jaká je
pravděpodobnost, že jestliže vytvoří libovolné trojmístné číslo z daných cifer, tak to bude
číslo 445?
s) Ze 100 párů bot je 5 párů vadných. Kontrolor náhodně vybere 4 páry bot. Jaká je
pravděpodobnost, že alespoň jeden pár bude vadný?
Příklad 4
a) V osudí se losuje 5 čísel z 35. Za 3 uhodnuta čísla se vyplácí třetí cena. Jaká je
pravděpodobnost, že vyhrajeme právě třetí cenu, pokud podáme tiket s jednou pěticí čísel?
∀ ∃
2
PŘÍKLADY Z MV2
ČÁST 1
b) V obchodním domě mají 100 televizorů, z toho je 85 první a 15 druhé jakosti. Prvních deset
kupujících dostalo televizor první jakosti. Jaká je pravděpodobnost, že jedenáctému
předvedou televizor druhé jakosti?
c) V urně jsou 4 bílé a 3 modré kuličky. Náhodně vytáhneme 2 kuličky. Jaká je
pravděpodobnost, že:
a. obě kuličky jsou bílé,
b. jedna kulička je bílá a jedna modrá?
d) Házíme třemi kostkami.
a. Jaká je pravděpodobnost, že padne součet 9?
b. Jaká je pravděpodobnost, že padne součet 10?
c. Odůvodněte, proč při hodu třemi kostkami součet 10 padá častěji než součet 9.
e) Ve skladu je 800 součástek, z toho 20 vadných. Jaká je pravděpodobnost, že mezi 9 náhodně
vybranými součástkami nebudou více než 3 vadné?
f) Ve třídě je 30 žáků. Sedm z nich nemá domácí úkol. Učitel vyvolá náhodně 6 žáků. Jaká je
pravděpodobnost, že alespoň 4 z nich vypracovali domácí úkol?
g) Čtyři pánové si odloží v šatně čtyři stejné klobouky. Jaká je pravděpodobnost, že při odchodu
alespoň jeden z nich dostane zpět svůj klobouk?
h) Házíme třikrát kostkou. Jaká je pravděpodobnost, že poprvé padne sudé číslo, podruhé číslo
větší než čtyři a potřetí liché číslo?
i) Tři střelci střílejí – každý jednou – na stejný terč. První zasáhne cíl s pravděpodobností 70%,
druhý s pravděpodobností 80% a třetí s pravděpodobností 90%. Jaká je pravděpodobnost, že
cíl zasáhnou
a. alespoň jednou,
b. alespoň dvakrát?
j) Pravděpodobnost, že žárovka bude svítit déle než 800 hodin, je 0,2. Na chodbě jsou tři
žárovky. Jaká je pravděpodobnost, že po 800 hodinách provozu bude svítit alespoň jedna z
nich?
k) V sportce se losuje 6 čísel ze 49. Jaká je pravděpodobnost, že, pokud jsme tipovali jednu
šestici čísel, vyhrajeme
a. první cenu (tipneme 6 čísel správně),
b. druhou cenu (tipneme 5 čísel správně),
c. třetí cenu (tipneme 4 čísla správně),
d. čtvrtou cenu (tipneme 3 čísla správně)?
Příklad 5
a) Jsou známy pravděpodobnosti ( ) = 0,3; ( ) = 0,6; ( ∪ ) = 0,7. Vypočtěte
pravděpodobnost ( ∩ ) a rozhodnout, zda jsou jevy a nezávislé.
b) Stroj se porouchá, jakmile u některé z jeho šesti základních součástek nastane porucha.
Pravděpodobnost poruchy je 0,001. Poruchy základních součástek jsou nezávislé. Jaké je
pravděpodobnost, že se stroj porouchá?
c) Náhodná veličina udává, kolikrát při dvou hodech mincí padne panna. Odvoďte
pravděpodobnostní funkci veličiny , její distribuční funkci , střední hodnotu
a rozptyl
. Pomocí distribuční funkce pak vyjádřete pravděpodobnost, že panna padne právě
jednou a pravděpodobnost, že panna padne alespoň jednou.
∀ ∃
3