Funkce lokálně závislé na konečně mnoha souřadnicích, 1999 MFF

Funkce lokálně závislé na konečně mnoha souřadnicích, 1999 MFF

Universita Karlova
Fakulta matematicko-fyzikální
Lokální závislost
na konečně mnoha souřadnicích
Jakub Šolc
Diplomová práce
Vedoucí diplomové práce: doc. RNDr. Václav Zizler, DrSc.
Matematický ústav AV ČR
Praha, prosinec 1999
Prohlášení
Prohlašuji, že jsem tuto diplomovou práci
vypracoval samostatně a uvedl v ní veškerou
použitou literaturu. Svoluji k zapůjčení diplomové práce ke studijním účelům.
V Praze 17. prosince 1999
Jakub Šolc
Poděkování
Děkuji vedoucímu diplomové práce dr. Václavu Zizlerovi
za hodnotné náměty, cenné rady i připomínky.
Předmluva
V této diplomové práci jsou zkoumány Banachovy prostory, na
kterých existuje spojitá funkce s omezeným neprázdným nosičem,
která lokálně závisí na konečně mnoha souřadnicích. Jsou řešeny
i odvozené otázky. Pozornost je věnována zvláště topologii duálu
takového prostoru.
První kapitola obsahuje souhrn základních pojmů a používaných
nástrojů.
V druhé kapitole je definována lokální závislost na konečně mnoha
souřadnicích. Je zde podáno i několik příkladů. Na prostoru, který
připouští existenci takových funkcí, je zkoumána separabilita duálu
prostoru a separabilita obrazu subdiferenciálního zobrazení.
Třetí kapitola přináší jisté zobecnění druhé kapitoly — lokální
závislost na reflexivním separabilním podprostoru duálu.
Ve čtvrté kapitole se ukazuje, že „reflexivníÿ závislost je obecnější
vlastnost než „konečnáÿ závislost. Řeší se zde otázka, zda je prostor
nasycen c0 , pokud připouští existenci funkce s některou z těchto
vlastností.
Pátá kapitola ilustruje, co se týče velikosti duálu, jistou paralelu
mezi existencí funkce s omezeným nosičem, která je Gâteaux diferencovatelná, a funkcí, která je lokálně závislá na konečně mnoha
souřadnicích, resp. na reflexivním prostoru.
Šestá kapitola popisuje chování funkcí na ne-Asplundově prostoru. Ukazuje se, že funkce mají jisté vlastnosti společné s harmonickými funkcemi.
V sedmé kapitole se vyšetřuje, jaké požadavky musí prostor splňovat, aby na něm existovaly funkce lokálně závislé na konečně mnoha
souřadnicích. Dokazuje se, že jednou z postačujících podmínek je
existence Talagrandova operátoru.
4
Obsah
Předmluva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Obsah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1. Úvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2. Lokální závislost na konečně mnoha souřadnicích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3. Lokální závislost na reflexivním separabilním prostoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4. Nasycenost c0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5. Densita duálu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6. Harmonické chování . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
7. Talagrandův operátor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
8. Literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5
1. Úvod
V této práci se užívá značení obvyklého v teorii Banachových prostorů. Banachovým
prostorem se vždy bude rozumět prostor nad tělesem reálných čísel R. Uzavřená jednotková koule v prostoru (X, k · k) je značena BX , jednotková sféra SX . Je-li funkce na
Banachově prostoru f : X −→ R ∪ {∞}, pak dom(f ) je množina {z; f (z) < ∞}. Dolní
anihilátor množiny B ⊂ X ∗ znamená množinu B⊥ = {x ∈ X; ∀x∗ ∈ B : x∗ (x) = 0},
horní anihilátor množiny A ⊂ X je A⊥ = {x∗ ∈ X ∗ ; ∀x ∈ A : x∗ (x) = 0}. Často
budeme využívat pojem subdiferenciálu. Zde je jeho definice.
Definice 1.1. Je-li konvexní funkce f definována na konvexní podmnožině C Banachova
prostoru X a je-li x ∈ C, pak subdiferenciálem ∂f (x) v tomto bodě nazveme množinu
všech funkcionálů x∗ ∈ X ∗ , které splňují nerovnost
x∗ (y − x) ≤ f (y) − f (x)
pro všechna y ∈ C.
Množinou C bude v této práci vždy celý prostor X. Symbolem ∂f (X) rozumíme obraz
množiny X při tomto zobrazení, tj.
[
∂f (X) =
∂f (x).
x∈X
Stejného symbolu ∂ se užívá i pro hranici množiny, z kontextu vždy jasně vyplyne, o
který pojem se jedná.
Definice 1.2. Jestliže (X, k · k) je normovaný lineární prostor, množinu B ⊂ SX ∗
nazveme Jamesovou hranicí, pokud pro každé x ∈ SX existuje x∗ ∈ B, pro které
x∗ (x) = 1.
Ukažme si tvrzení, které je velmi užitečné a pro tuto práci přímo klíčové. Dává totiž
dobrý prostředek k hledání bodu, ve kterém se funkce příliš „neodchylujeÿ od nějakého
zadaného lineárního funkcionálu. Viz např. [Ph 3.13], [DGZ I.2.4].
Tvrzení 1.3 (Ekeland). Nechť f je zdola polospojitá funkce z Banachova prostoru
X do reálných čísel rozšířených o {∞} taková, že je zdola omezená a dom(f ) 6= ∅.
Předpokládejme, že ε > 0 a že f (x0 ) ≤ inf{f (x); x ∈ X} + ε. Pak pro každé λ > 0
existuje bod z ∈ dom(f ) takový, že
(i) λkz − x0 k ≤ f (x0 ) − f (z)
(ii) kz − x0 k ≤ ε/λ
(iii) λkx − zk + f (x) > f (z) pro x 6= z.
Z tohoto tvrzení budeme nejčastěji využívat (iii). Všimněme si, že nezávisí na volbě ε.
Body (i) a (ii) upřesňují polohu hledaného z. K důkazu budeme potřebovat následující
definici a lemma.
6
Definice 1.4. Pro λ ∈ R, 0 < λ < 1 definujme uzavřený konvexní kužel v Banachově
prostoru X
Kλ = {(x, r) ∈ X × R; λkxk ≤ −r} .
Poznámka 1.5. Je zřejmé, že pro takové kužely platí
Kλ = Kλ + Kλ .
Lemma 1.6. Předpokládejme, že A je uzavřená neprázdná podmnožina Banachova
prostoru X × R taková, že inf{r; (x, r) ∈ A} = 0. Potom pro každé λ ∈ R, 0 < λ < 1
a každý bod (x0 , r0 ) ∈ A existuje bod (x, r) ∈ A splňující
(x, r) ∈ A ∩ [Kλ + (x0 , r0 )]
(1)
{(x, r)} = A ∩ [Kλ + (x, r)] .
(2)
a také
Důkaz lemmatu 1.6: Definujme projekci R : X × R −→ R, která vrací druhou složku,
tj. R(x, r) = r. Označme
A0 = A ∩ [Kλ + (x0 , r0 )] .
Množina A0 je neprázdná — obsahuje například prvek (x0 , r0 ). Vyberme z A0 takový
prvek (x1 , r1 ), že pro r1 platí
r1 < inf R(A0 ) + 1.
Z vlastností infima plyne, že takový prvek (x1 , r1 ) existuje. Induktivně vytvoříme členy
posloupností množin {An } a bodů {(xn , rn )} pro n ∈ N předpisy
An = A ∩ [Kλ + (xn , rn )] ,
rn+1 < inf R(An ) +
1
,
n+1
(xn+1 , rn+1 ) ∈ An .
Dokažme, že pro každé n ∈ N platí
(a) An+1 ⊂ An
a
(b) diam An → 0.
Platnost (a) je vidět z inkluze
Kλ + (xn+1 , rn+1 ) ⊂ Kλ + [Kλ + (xn , rn )] = Kλ + (xn , rn ),
zprůnikujeme-li obě strany s množinou A. Dokažme nyní (b). Volme (y, s) ∈ An , chceme
ukázat, že
1
1
+ .
(3)
ky − xn k + |s − rn | ≤
nλ n
7
Platí |rn − s| < 1/n, neboť s ≤ rn a
s ≥ inf R(An ) ≥ inf R(An−1 ) > rn − 1/n.
Protože (y, s) ∈ An ⊂ Kλ +(xn , rn ), pro první člen v (3) platí λky −xn k ≤ rn −s < 1/n,
takže celkově |rn − s| < 1/n a ky − xn k < 1/nλ, čímž je (3) dokázána.
Protože A i Kλ jsou uzavřené, všechny množiny Ai jsou také uzavřené. Banachův
prostor T
je úplný metrický prostor, můžeme tedy použít Cantorovu větu, která praví, že
průnik An je jednobodová množina. Označme tento bod (x, r). Protože (x, r) ∈ A0 ,
požadavek (1) z lemmatu je splněn. Ukázat splnění druhého požadavku též není obtížné:
Pro každé n ∈ N
Kλ + (x, r) ⊂ Kλ + [Kλ + (xn , rn )] = Kλ + (xn , rn ),
takže pokud (y, s) ∈ A ∩ [Kλ + (x, r)], pak (y, s) musí být v An pro všechna n ∈ N,
tedy je (y, s) = (x, r).
Důkaz tvrzení 1.3: Bez újmy na obecnosti můžeme přepokládat, že inf E f = 0, takže podle předpokladů tvrzení máme f (x0 ) ≤ ε. Přenormujme X novou ekvivalentní
normou |||x||| = 2λkxk a použijme lemma 1.6 na kužel K = K1/2 a množinu
A = {(x, s) ∈ X × R; s ≥ f (x)} .
Podle předpokladů tvrzení je tato množina uzavřená. Tím získáme bod (z, r) v X × R,
pro který
(z, r) ∈ A ∩ [K + x0 , f (x0 ) ]
(4)
a
{(z, r)} = A ∩ [K + (z, r)]
(5)
Ze (z, r) ∈ A plyne 0 ≤ f (z) ≤ r < ∞ a ze (4) plyne
λkz − x0 k ≤ f (x0 ) − r ≤ f (x0 ) − f (z) ≤ f (x0 ) ≤ ε,
což ukazuje, že podmínky (i) a (ii) jsou splněny. Podmínka (iii) je zřejmá v případě,
kdy f (x) = ∞. Prokažme její platnost v obecném
případě. Pokud f (z) < r, potom
(z, r) 6= z, f (z) , takže z (5) plyne, že z, f (z) není v K +(z, r), což je spor s f (z) < r,
protože kužel se rozevírá dolů. Tedy r = f (z). Opět podle (5) jestliže f (x) < ∞ a x 6= z,
pak x, f (x) není v K + (z, r), čili podle definice kužele
λkx − zk > r − f (x) = f (z) − f (x),
což bylo dokázati.
8
2. Lokální závislost na konečně mnoha souřadnicích
Definice 2.1. Nechť X je Banachův prostor. Spojitá funkce ϕ : G −→ R definovaná
na G ⊂ X je lokálně závislá na konečně mnoha souřadnicích, jestliže pro každé x0 ∈ G
existuje Ux0 ⊂ G okolí x0 , existuje nxo ∈ N, existují funkcionály
n
o
g1x0 , g2x0 , . . . , gnx0xo ⊂ X ∗
a reálná funkce ψ ∈ C(Rnxo ) taková, že pro každé x ∈ Ux0 platí
ϕ(x) = ψ
g1x0 (x),
g2x0 (x),
... ,
gnx0xo (x)
.
Pro normu k · k definujeme, že lokálně závisí na konečně mnoha souřadnicích kromě
počátku, jestliže pro každé x0 ∈ SX existuje Ux0 ⊂ X okolí x0 , existuje nxo ∈ N,
existují funkcionály
n
o
g1x0 , g2x0 , . . . , gnx0x
0
⊂ X∗
a reálná funkce ψ ∈ C(Rnxo ) taková, že pro každé x ∈ Ux0 platí
kxk = ψ g1x0 (x), g2x0 (x), . . . , gnx0xo (x) .
Poznámka 2.2. Lze snadno nahlédnout, že pokud máme dvě funkce ϕ1 a ϕ2 , obě
lokálně závislé na konečně mnoha souřadnicích, jejich součet nebo jejich maximum bude
mít také tuto vlastnost: Pokrytí systémy otevřených množin, na kterých jsou funkce
ϕ1 a ϕ2 popsány konečně mnoha funkcionály, mají totiž společné zjemnění. Na tomto
zjemnění můžeme příslušné konečné množiny funkcionálů sjednotit a tak získat pokrytí
a konečné množiny funkcionálů pro funkci ϕ1 + ϕ2 nebo max{ϕ1 , ϕ2 }.
Rovněž je zřejmé, že je-li F : R −→ R reálná funkce, pak složená funkce F (ϕ1 ) je lokálně
závislá na konečně mnoha souřadnicích. Použitím omezené vnější funkce F tedy lze
získat omezenou funkci při zachování lokální závislosti na konečně mnoha souřadnicích.
Nyní si ukažme, že funkce lokálně závislé na konečně mnoha souřadnicích opravdu
existují.
Příklad 1. Funkce na c0 .
1
Uvažme pokrytí c0 množinami
U
=
y;
ky
−
xk
<
kxk
pro všechna x ∈ c0 \ {0} a
x
3
1
v počátku množinou U0 = y; kyk < 3 ε pro nějaké zvolené ε > 0.
Ke každému x ∈ c0 , x 6= 0 vyberme množinu indexů
1
Ix = i; |x(ei )| > kxk .
3
9
a definujme funkce ψx : Ux −→ R takto:
ψx (y) = max {ε, max {|y(ei )|; i ∈ Ix }} ,
kde množina Ix je pro všechna x 6= 0 konečná, protože limi→∞ |x(ei )| = 0. Pro y ∈ U0
je kyk < 31 ε < ε, takže ψ0 (y) = ε pro všechna y ∈ U0 a množinu I0 můžeme volit
prázdnou. Nyní je potřeba ukázat, že všechny funkce ψy definované v nějakém bodě
x mají v tomto bodě stejnou hodnotu. Z toho pak vyplyne, že existuje nějaká funkce
ϕ : c0 −→ R, pro kterou ϕ(x) = ψy (x), je-li x ∈ Uy a y ∈ c0 .
Ukažme tedy, že ψy (x) = ψx (x) pro všechna x ∈ Uy ∩ Ux . Pišme y jako x + δ. Protože
x ∈ Uy , velikost kδk lze odhadnout v závislosti na kxk takto:
kδk <
1
1
max{kyk, ε} ≤ max{kxk + kδk, ε},
3
3
po odečtení 31 kδk od každé strany a vynásobení
kδk <
3
2
dostáváme
1
1
max{kxk, ε − kδk} ≤ max{kxk, ε}.
2
2
Také 31 kyk lze odhadnout:
kxk kδk
kxk
kyk
≤
+
≤
+ max
3
3
3
3
ε kxk
,
6
6
≤
1
max {ε, kxk} .
2
Pro maxima platí max A ≥ max B pokud A ⊃ B. Do maxim též můžeme přidávat další
členy, jestliže jsou bezpečně menší než původní. Proto platí následující odhady
max{ε, kxk} = max ε, max {|x(ei )|; i ∈ N} ≥
kyk
= ψy (x) ≥
≥ max ε, max |x(ei )|; |x(ei )| >
3
max {ε, kxk}
≥
≥ max ε, max |x(ei )|; |x(ei )| >
2
(6)
max {ε, kxk}
≥ max ε, max |x(ei )|; |x(ei )| >
,
2
max {ε, kxk}
≥
max |x(ei )|; |x(ei )| ≤
2
≥ max {ε, max {|x(ei )|; i ∈ N}} = max {ε, kxk} .
Poněvadž v (6) nastává rovnost, pro libovolná y1 a y2 a pro x ∈ Uy1 ∩ Uy2 je
ψy1 (x) = max {ε, kxk} = ψy2 (x).
Můžeme tedy definovat funkci ϕ : X −→ R, ϕ(x) = max{ε, kxk}. Tato funkce je lokálně
závislá na konečně mnoha souřadnicích, protože na okolí každého bodu x ji lze lokálně
popsat funkcí ψx a konečnou množinou souřadnicových funkcionálů {e∗i ; i ∈ Ix }.
10
Příklad 2. Potřebujeme-li vyrobit funkci na omezeném nosiči, definujme například
Φ(x) = max{0, 1 − ϕ(x) + ε}.
Z rovnosti (6) totiž plyne, že funkce Φ má neprázdný omezený nosič
supp Φ = {x ∈ X; kxk ≤ 1 − ε}.
Ovšem ne na každém Banachově prostoru existuje funkce lokálně závislá na konečně
mnoha souřadnicích, kterou lze takto vhodně „seříznoutÿ.
Příklad 3. Funkce na `1 .
Uvažme funkci Ψ = ϕ|`1 , kde ϕ je funkce z příkladu 1. Tato funkce je rovněž lokálně závislá na konečně mnoha souřadnicích, ale na jednotkové kouli normy `1 nabývá
libovolně malých hodnot, takže množina vznikající „seříznutímÿ
{x ∈ X; Ψ(x) < ε}
je neomezená. Funkci s omezeným nosičem na `1 tedy tímto způsobem vyrobit nelze.
Že na některých prostorech takové funkce opravdu neexistují, ukazuje následující tvrzení
(viz [FZ]).
Tvrzení 2.3 (Fabian, Zizler). Nechť X je separabilní Banachův prostor a nechť
existuje ϕ : X −→ R spojitá funkce na omezeném neprázdném nosiči, která je lokálně
závislá na konečně mnoha souřadnicích. Potom X ∗ je separabilní prostor.
Předpoklad existence funkce s omezeným nosičem lze oslabit v tom smyslu, že, zhruba
řečeno, předpokládáme omezenost nosiče jen v určitých směrech, což je formulováno
pomocí „převrácené hodnotyÿ funkce, která je zdola omezená nějakou konvexní funkcí.
V případě předešlého tvrzení tato konvexní funkce roste v každém směru k nekonečnu,
což v obecném případě nemusí.
Tvrzení 2.4. Nechť X je separabilní Banachův prostor, f je konvexní funkce na X, ϕ
je spojitá funkce lokálně závislá na konečně mnoha souřadnicích a nechť platí ϕ ≥ f .
Potom ∂f (X) je separabilní.
Důkaz: Pro každý bod x ∈ X máme z definice lokální závislosti otevřenou množinu
Ux , pro kterou x ∈ Ux . Systém těchto množin je pokrytí X. Protože X je separabilní,
podle Lindelöfovy vlastnosti můžeme z každého pokrytí otevřenými množinami vybrat
spočetné podpokrytí. Nechť {Uxn }∞
n=1 je takové podpokrytí.
Označme pro každé n ∈ N konečnou množinu funkcionálů z lokální závislosti
Gn = {g1xn , g2xn , . . . , gnxnxn }
a sjednoťme
G=
∞
[
n=1
11
Gn .
Pak funkce ϕ lokálně závisí na konečně mnoha funkcionálech, které můžeme volit ze
spočetného systému G.
Volme libovolně h ∈ ∂f (X). Ukážeme, že libovolně blízko k h se nalézá nějaký funkcionál z G, tedy pro nějaké předem volené ε > 0 existuje e
h ∈ G, pro který
dist (e
h, h) < ε.
Ukažme, že funkce ϕ − h je zdola omezená:
Protože h ∈ ∂f (X), znamená to, že existuje nějaké x0 ∈ X, pro které h ∈ ∂f (x0 ).
Podle definice 1.1 subdiferenciálu ∂f (x0 ) pro všechna x z X platí
f (x) ≥ h(x − x0 ) + f (x0 ).
Funkce ϕ je majorantou funkce f , platí tedy pro každé x ∈ X
(ϕ − h)(x) ≥ (f − h)(x) = f (x) − h(x0 ) − h(x − x0 ) ≥
≥ h(x − x0 ) + f (x0 ) − h(x0 ) − h(x − x0 ) = (f − h)(x0 ),
čili ϕ − h je zdola omezena na X hodnotou (f − h)(x0 ).
Funkce ϕ − h je i zdola polospojitá, můžeme tedy použít Ekelandův variační princip
1.3. Podle něj existuje x1 ∈ X takové, že
(ϕ − h)(x) ≥ (ϕ − h)(x1 ) − εkx − x1 k
(7)
pro všechna x ∈ X.
Bod x1 je pokryt některou množinou spočetného pokrytí, řekněme Uxn . Z definice
lokální závislosti funkce ϕ na konečně mnoha souřadnicích pro množinu Uxn lze získat
množinu funkcionálů {g1 , g2 , . . . , gk } ⊂ G a funkci ψ ∈ C(Rk ).
Buď
W = {x ∈ X; g1 (x) = g2 (x) = . . . = gn (x) = 0} = span{g1 , g2 , . . . , gk }⊥ .
Volme δ > 0 takové, aby B(x1 , δ) ⊂ Uxn . Potom pro každé w ∈ W, kwk < δ máme
ϕ(x1 + w) − ϕ(x1 ) = ψ g1 (x1 + w), g2 (x1 + w), . . . , gk (x1 + w) −ϕ(x1 )
= ψ g1 (x1 ) + g1 (w), g2 (x1 ) + g2 (w), . . . , gk (x1 ) + gk (w) −ϕ(x1 )
= ψ g1 (x1 ), g2 (x1 ), . . . , gk (x1 ) −ϕ(x1 )
= ϕ(x1 ) − ϕ(x1 ) = 0.
Nerovnost (7) můžeme upravit na
h(x) ≤ ϕ(x) − (ϕ − h)(x1 ) + εkx − x1 k
12
Tato nerovnost platí pro každé x ∈ X, tedy i pro x = x1 + w, kde w ∈ W, kwk < δ.
Dále tedy dostáváme
h(w) = h(x1 + w) − h(x1 ) ≤ ϕ(x1 + w) − ϕ(x1 ) + εkwk = εkwk.
(8)
Nechť h0 je restrikce h na W . Potom z (8) plyne, že kh0 k ≤ ε v normě prostoru W ∗ .
Buď h normu zachovávající Hahn-Banachovské rozšíření h0 na X.
Označme e
h = h − h. Pro libovolné w ∈ W platí e
h(w) = h(w) − h(w) = 0, tedy e
h ∈ W ⊥.
Podle věty o bipoláře
W ⊥ = (span{g1 , g2 , . . . , gk }⊥ )⊥ = span{g1 , g2 , . . . , gk }
w∗
= span{g1 , g2 , . . . , gk }
protože konečně rozměrné podprostory X ∗ jsou w∗ -uzavřené.
Konečně, protože e
h ∈ W ⊥ ⊂ G, platí
dist (h, span G) ≤ dist (h, e
h) = kh − e
hk = khk ≤ ε.
Tedy ∂f (X) ⊂ span G, span G je separabilní, z čehož plyne, že ∂f (X) je separabilní.
Platí následující tvrzení (viz [T]).
Tvrzení 2.5 (Tang). Nechť X je separabilní Banachův prostor a f je lipschitzovská
konvexní funkce definovaná na X. Pak následující tvrzení jsou ekvivalentní.
(i) Množina ∂f (X) je separabilní.
(ii) Pro ∂f existuje selektor s takový, že s(X) = {s(x); x ∈ X} je separabilní.
(iii) Pro funkci f existuje spojitě Fréchet diferencovatelná majoranta ϕ, tj.
ϕ ≥ f na X.
(iv) Funkce f může být na X stejnoměrně aproximována Fréchet diferencovatelnými funkcemi.
(v) Pokud h je konvexní funkce na X taková, že h ≤ f na X, pak h je Fréchet
diferencovatelná na Gδ husté podmnožině X.
Implikace (iii) ⇒ (i) ⇒ (v) platí dokonce i bez předpokladu lipschitzovskosti konvexní
funkce f .
Kombinací tvrzení 2.4 s implikací (i) ⇒ (v) v tvrzení Wee-Kee Tanga dostáváme tento
zajímavý důsledek:
Důsledek 2.6. Nechť X je separabilní Banachův prostor a ϕ nechť je spojitá funkce
lokálně závislá na konečně mnoha souřadnicích. Potom pro každou konvexní funkci h
splňující h ≤ ϕ na X platí, že h je Fréchet diferencovatelná na Gδ husté podmnožině X.
13
3. Lokální závislost na reflexivním
separabilním prostoru
V této kapitole poněkud zobecníme vlastnost lokální závislosti na konečně mnoha souřadnicích. V důkazu tvrzení 2.4 jsme využili fakt, že konečně rozměrný podprostor Banachova prostoru je w∗ -uzavřený. Reflexivní separabilní prostory jsou také w∗ -uzavřené,
proto definujeme lokální závislost na reflexivním separabilním prostoru.
Definice 3.1. Spojitá funkce ϕ na Banachově prostoru X je lokálně závislá na separabilním reflexivním podprostoru X ∗ , jestliže pro každé x0 ∈ X existuje Uxo ⊂ X okolí
x0 , reflexivní separabilní prostor Zxo ⊂ X ∗ a existuje spojitá funkce ψxo : X|Zxo ⊥ −→ R
taková, že pro každé x ∈ Uxo platí
ϕ(x) = ψxo (b
x).
Poznámka 3.2. Každý konečně rozměrný prostor je zároveň reflexivní i separabilní.
Je tedy zřejmé, že je-li nějaká funkce lokálně závislá na konečně mnoha souřadnicích,
bude i lokálně závislá na reflexivním separabilním prostoru.
Následující tvrzení zobecňuje tvrzení 2.3.
Tvrzení 3.3. Nechť X je separabilní Banachův prostor a nechť existuje ϕ : X −→ R
spojitá funkce s omezeným neprázdným nosičem, která je lokálně závislá na reflexivním
separabilním podprostoru X ∗ . Potom X ∗ je separabilní prostor.
Důkaz: Pro každý x ∈ X získáme z definice lokální závislosti otevřenou množinu Ux ,
ve které leží bod x. Systém těchto množin je pokrytí X. Protože X je separabilní,
podle Lindelöfovy vlastnosti můžeme z každého pokrytí otevřenými množinami vybrat
spočetné podpokrytí. Nechť {Un ; n ∈ N} je takové podpokrytí. Označme ϕn příslušnou
funkci a Zn ⊂ X ∗ příslušný separabilní reflexivní prostor.
Definujme funkci Ψ : X −→ R ∪ {∞} takto:
−2
ϕ (x) pro x : ϕ(x) 6= 0
Ψ(x) =
∞
pro x : ϕ(x) = 0.
Funkce Ψ je zdola polospojitá taková, že {x ∈ X; Ψ(x) < ∞} je neprázdná otevřená množina, a navíc je zdola omezená nulou. Je zřejmé, že je-li ϕ lokálně závislá na
reflexivním separabilním prostoru, bude taková i Ψ (viz poznámka 2.2).
Volme libovolně g ∈ X ∗ a ε > 0. Naším cílem bude najít takovou spočetnou množinu
G, že pro libovolnou volbu g ∈ X ∗ bude existovat funkcionál h ∈ G splňující
kg − hk < 2ε.
14
Z Ekelandova variačního principu 1.3 použitého na funkci Ψ − g plyne, že existuje
xe ∈ X takové, že
(Ψ − g)(x) ≥ (Ψ − g)(xe ) − εkx − xe k
(9)
pro všechna x ∈ X.
Po označení x = xe + z pro z ∈ X můžeme (9) upravit na
Ψ(xe + z) − Ψ(xe ) + εkzk ≥ g(xe + z) − g(xe )
(10)
Bod xe je pokryt množinou Un pro nějaké n ∈ N. Dále známe z definice lokální závislosti
reflexivní separabilní Banachův prostor Zn a funkci ψn splňující
Ψ(x) = ψn (b
x) = ψn (xd
+ z)
pro libovolná x ∈ Un a z ∈ Zn ⊥ .
Buď
W = Zn ⊥ = {x ∈ X; x∗ (x) = 0 ∀x∗ ∈ Zn }.
Můžeme se omezit na případ, kdy je W netriviální. Kdyby tomu tak nebylo, podle věty o
w∗
bipoláře (Zn⊥ )⊥ = Zn . Dále si všimněme, že v reflexivním prostoru Zn⊥ = π(Zn ⊥ ), kde
π je kanonické vnoření Zn do Zn∗∗ . Reflexivní prostor je w∗ -uzavřený, čili po ztotožnění
Zn a Zn∗∗ prostřednictvím π
(Zn ⊥ )⊥ = π
π −1 (Zn ⊥ )
w∗
⊥
Z
=
(Z
)
=
⊥
n = Zn .
n
⊥
Kdyby W = Zn ⊥ = {0}, pak by {0}⊥ = Zn , ale {0}⊥ = X ∗ . Tedy X ∗ = Zn . Protože
X ∗ je stejně jako Zn separabilní, je tvrzení již dokázáno.
Volme δ > 0 tak, aby B(xe , δ) ⊂ Un . Potom pro každé w ∈ W, kwk < δ je
Ψ(xe + w) − Ψ(xe ) = ψn (xd
xe ) = ψn (c
xe ) − ψn (c
xe ) = 0.
e+w) − ψn (c
Vzhledem k předchozí rovnosti z (10) dostáváme:
g(w) = g(xe + w) − g(xe ) − Ψ(xe + w) + Ψ(xe ) ≤ εkwk.
(11)
Nechť g0 je restrikce g na W . Potom z (11) plyne kg0 k ≤ ε v normě prostoru W ∗ .
Buď g normu zachovávající Hahn-Banachovské rozšíření g0 z W na X.
Označme ge = g − g. Protože g vzniklo jako rozšíření g0 , je ge(w) = 0 pro w ∈ W , tedy
podle věty o bipoláře ge ∈ W ⊥ = Zn .
15
Každý z prostorů Zk pro k ∈ N je separabilní, řekněme, že má spočetnou hustou
podmnožinu Gk . Množina
∞
[
Gk
G=
k=1
je též spočetná; je to spočetné sjednocení spočetných množin. Protože G obsahuje i Gn ,
která je hustá v Zn , existuje h ∈ G, pro které ke
g − hk < ε. Je tedy
g − hk < ε + ε = 2ε
kg − hk = kg − e
g+e
g − hk = kg + ge − hk ≤ kgk + ke
a platí
X ∗ ⊂ G,
což znamená, že X ∗ je separabilní.
Důsledek 3.4. Nechť na Banachově prostoru X existuje ϕ : X −→ R spojitá funkce
na omezeném neprázdném nosiči, která je lokálně závislá na reflexivním separabilním
podprostoru X ∗ . Potom X je Asplundův prostor.
Důkaz: Buď Y libovolný separabilní podprostor X. Beze ztráty obecnosti můžeme předpokládat, že 0 ∈ supp ϕ. Pak ϕ|Y je spojitá funkce na neprázdném omezeném nosiči.
Je-li Z ⊂ X ∗ reflexivní separabilní prostor, Z ∩ Y ∗ je též reflexivní separabilní. Pokud
v definici závislosti nahradíme h ∈ Z funkcionály h|Y ∈ Z ∩ Y ∗ , není těžké nahlédnout,
že funkce ϕ|Y je lokálně závislá na reflexivním separabilním podprostoru Y ∗ . Potom
podle tvrzení Y ∗ je separabilní. Má-li každý separabilní podprostor X separabilní duál,
je X Asplundův prostor.
Poznámka 3.5. Tento důsledek samozřejmě ve speciálním případě platí i pro funkce
lokálně závislé na konečně mnoha souřadnicích.
Tvrzení 3.6. Nechť X je separabilní Banachův prostor, f je konvexní funkce na X,
nechť existuje taková spojitá funkce ϕ, že ϕ ≥ f a ϕ je lokálně závislá na reflexivním
separabilním podprostoru X ∗ . Potom ∂f (X) je separabilní.
Důkaz: Je obdobný důkazu tvrzení 3.3. Pro každý x ∈ X získáme z definice lokální
závislosti otevřenou množinu Ux , ve které leží bod x. Systém těchto množin je pokrytí
X. Protože X je separabilní, podle Lindelöfovy vlastnosti můžeme z každého pokrytí
otevřenými množinami vybrat spočetné podpokrytí. Nechť {Un ; n ∈ N} je takové
podpokrytí. Označme ψn příslušnou funkci a Zn ⊂ X ∗ separabilní reflexivní prostor.
Volme g ∈ ∂f (X) a ε > 0. Ukážeme, že g lze vždy dobře aproximovat prvkem z nějaké
spočetné množiny.
Protože g ∈ ∂f (X), existuje x0 ∈ X takové, že g ∈ ∂f (x0 ). Funkce f − g má lokální
minimum v bodě x0 , neboť 0 ∈ ∂(f − g)(x0 ) a podle definice subdiferenciálu 1.1 platí
16
pro každé x ∈ X
(f − g)(x) − (f − g)(xo ) ≥ 0.
Podle předpokladu pro každé x ∈ X platí ϕ(x) ≥ f (x), čili
ϕ(x) − g(x) ≥ f (x) − g(x) ≥ (f − g)(x0 )
a funkce ϕ − g je tedy zdola omezená.
Protože ϕ − g je i zdola polospojitá, jsou splněny předpoklady Ekelandova variačního
principu pro funkci ϕ − g. Jeho použitím získáme xe ∈ X takové, že
(ϕ − g)(x) ≥ (ϕ − g)(xe ) − εkx − xe k
pro všechna x ∈ X, čili po úpravě
(g − ϕ)(x) − (g − ϕ)(xe ) ≤ εkx − xe k
a po označení x = xe + z pro z ∈ X
g(xe + z) − ϕ(xe + z) − g(xe ) + ϕ(xe ) ≤ εkzk.
(12)
Existuje nějaké n ∈ N, pro které je bod xe pokryt množinou Un . K tomuto Un zároveň
známe i příslušnou funkci ψn a prostor Zn . Buď
W = Zn ⊥ = {x ∈ X; x∗ (x) = 0
∀x∗ ∈ Zn }
Beze ztráty obecnosti můžeme považovat W za netriviální. V případě nulového W platí
tvrzení okamžitě, jak je ukázáno v důkazu tvrzení 3.3.
Volme δ > 0 takové, aby B(xe , δ) ⊂ Un .
Potom pro každé w ∈ W, kwk < δ je
ϕ(xe + w) − ϕ(xe ) = ψn (xd
xe ) = ψn (c
xe ) − ψn (c
xe ) = 0.
e+w) − ψn (c
Vzhledem k předchozí rovnosti z (12) dostáváme:
g(w) = g(xe + w) − g(xe ) − ϕ(xe + w) + ϕ(xe ) ≤ εkwk.
(13)
Nechť g0 je restrikce g na W . Potom z (13) plyne kg0 k ≤ ε v normě prostoru W ∗ .
Buď g normu zachovávající Hahn-Banachovské rozšíření g0 na X.
Označme ge = g − g. Protože g vzniklo jako rozšíření g0 , je ge(w) = 0 pro w ∈ W , tedy
podle věty o bipoláře ge ∈ W ⊥ = Zn .
17
Každý z prostorů Zk pro k ∈ N je separabilní, řekněme, že má spočetnou hustou
podmnožinu Gk . Množina
∞
[
Gk
G=
k=1
je též spočetná; je to spočetné sjednocení spočetných množin. Protože G obsahuje i Gn ,
která je hustá v Zn , existuje h ∈ G, pro které ke
g − hk < ε. Je tedy
g − hk < ε + ε = 2ε
kg − hk = kg − e
g+e
g − hk = kg + ge − hk ≤ kgk + ke
a platí
∂f (X) ⊂ G,
což znamená, že ∂f (X) je separabilní.
18
4. Nasycenost c0
Tvrzení 4.1. Nechť X je nekonečně dimensionální Banachův prostor, nechť ϕ : X −→
R je spojitá funkce s omezeným neprázdným nosičem, která je lokálně závislá na konečně mnoha souřadnicích. Pak X je nasycen c0 , tj. každý nekonečně dimensionální
podprostor X obsahuje isomorfní vnoření c0 .
Důkaz: Probíhá podle [DGZ V.2.5].
Splňuje-li funkce ϕ předpoklady tvrzení, splňuje je též její restrikce na nekonečně dimensionální podprostor. Stačí tedy dokázat, že X obsahuje isomorfní kopii c0 .
Nejdříve sestrojme spojitou funkci f , která má následující vlastnosti:
(i) f (0) = 0
(ii) f (x) = 1 pro x 6∈ BX
(iii) f (x) = f (−x) pro x ∈ X
(iv) f lokálně závisí na konečně mnoha souřadnicích.
Předpokládejme, že supp ϕ ⊂ BX a že ϕ(0) 6= 0. Není-li tomu tak, existuje x0 ∈ X
takové, že ϕ(x0 ) 6= 0. Transformací
ϕ1 (x) = ϕ x0 + M x ,
kde M = diam supp ϕ
obdržíme funkci ϕ1 , která tento předpoklad splňuje. Nyní zaveďme funkci
f : X −→ R
f (x) =
2ϕ2 (0) − ϕ2 (x) − ϕ2 (−x)
.
ϕ2 (0) 2 + ϕ2 (x) + ϕ2 (−x)
Tato funkce lokálně závisí na konečně mnoha souřadnicích a má i ostatní požadované
vlastnosti, jak se můžeme dosazením snadno přesvědčit.
Platí následující tvrzení (viz kompaktní variační princip, [DGZ, V.2.2]).
Tvrzení 4.2. Nechť X je Banachův prostor, který neobsahuje izomorfní vnoření c0 .
Nechť U je omezená otevřená symetrická množina v X obsahující počátek a f spojitá
reálná funkce na U taková, že
f (0) ≤ 0,
f (x) = f (−x) pro všechna x ∈ U
a f (x) > 0 pro všechna x ∈ ∂U,
potom existuje kompaktní symetrická množina K ⊂ U a symetrické okolí počátku V
s následujícími vlastnostmi:
(i) K + V ⊂ U
19
(ii) supk∈K f (k) = 0
(iii) supk∈K f (x + k) > 0 pro všechna x ∈ V , x 6= 0.
Budeme předpokládat, že c0 6⊂ X, a z použití uvedeného tvrzení vyvodíme spor.
Volíme-li U = {x ∈ X; f (x) 6= 1}, sestrojená funkce splňuje předpoklady tohoto
tvrzení. Existuje tedy kompaktní symetrická množina K a δ0 > 0 takové, že pokud V =
Int B(0, δ0 ), pak pro x ∈ V , x 6= 0 máme supk∈K f (x+k) > 0, zatímco supk∈K f (k) = 0.
Protože funkce f je lokálně závislá na konečně mnoha souřadnicích, v každém bodě
k ∈ K máme nějaké δk > 0, nk ∈ N, konečnou množinu funkcionálů
{f1k , f2k , . . . , fnkk } ⊂ X ∗
a spojitou funkci ϕk na Rnk takovou, že pro každé x ∈ Int B(k, δk ) platí
f (x) = ϕk f1k (x), f2k (x), . . . , fnkk (x) .
Protože K je kompaktní, z tohoto pokrytí K množinami Int B(k, δk /2) můžeme vybrat
konečné pokrytí množinami Int B(ki , δki /2) pro i = 1, . . . , n. Sjednotíme-li konečné
množiny Fki funkcionálů z definice lokální závislosti, získáme konečnou množinu
F =
n
[
Fki ,
i=1
která generuje konečně rozměrný prostor. Protože X je nekonečně rozměrný,
F⊥ = {x ∈ X; fj (x) = 0 pro všechna fj ∈ F }
je netriviální. Označme δ =
1
2
min{δ0 , δk1 , δk2 , . . . , δkn } a volme
x0 ∈ F⊥ takové, že 0 < kx0 k < δ.
Protože K je pokryto okolími Int B(ki , δki /2), existuje pro každé k ∈ K nějaké i ∈
{1, 2, . . . , n}, pro které kk − ki k < δki /2. Proto když x ∈ Int B(k, δ), bude
kx − ki k ≤ kx − kk + kk − ki k < δ + δki /2 ≤ δki .
Pro x ∈ Int B(k, δ) je funkce f závislá na konečně mnoha funkcionálech:
ki
ki
ki
f (x) = ϕki f1 (x), f2 (x), . . . , fnk (x) .
i
Toto platí speciálně i pro x = k + x0 ∈ Int B(k, δ). Připomeňme, že x0 ∈ F⊥ . Funkce f
ve směru udaném x0 zůstává konstantní:
f (k + x0 ) = ϕki f1ki (k + x0 ), . . . , fnkki (k + x0 )
i
ki
= ϕki f1 (k), . . . , fnkki (k) = f (k).
i
20
Protože rovnost platí pro libovolné k ∈ K, dostáváme
sup f (x0 + k) = sup f (k) = 0.
k∈K
k∈K
Ale podle použitého kompaktního variačního principu je též
sup f (x + k) > 0 pro všechna x ∈ Int B(0, δ), x 6= 0,
k∈K
což je spor, který dokazuje tvrzení.
Nemůžeme očekávat, že by podobné tvrzení mohlo platit i pro lokální závislost na
reflexivním separabilním podprostoru duálu. Zde je protipříklad:
Příklad 4. Na prostoru `2 definujme funkci Φ : `2 −→ R takto:
Φ(x) = max {0, 1 − kxk`2 } .
Lze se přesvědčit, že Φ je spojitá funkce lokálně závislá na reflexivním separabilním
podprostoru duálu (Celý duál je sám o sobě reflexivní i separabilní). Funkce Φ má
omezený nosič supp Φ = B`2 . Ale `2 neobsahuje c0 , natož aby jimi byla nasycena, jak
by pravilo hypotetické tvrzení.
To ukazuje, že vlastnost lokální závislosti na reflexivním separabilním prostoru není
ekvivalentní lokální závislosti na konečně mnoha souřadnicích.
21
5. Densita duálu
Tato kapitola ukazuje jistou analogii mezi Gâteaux diferencovatelností a lokální závislostí na konečně mnoha souřadnicích, resp. na reflexivním prostoru.
Definice 5.1. Nechť X je normovaný lineární prostor. Densitou prostoru X
dens(X)
budeme rozumět kardinalitu nejmenší husté podmnožiny X.
Poznámka 5.2. V 2. kapitole jsme dokázali, že platí tvrzení, které lze pomocí density
formulovat takto: Je-li X separabilní a existuje na něm spojitá funkce lokálně závislá
na konečně mnoha souřadnicích s omezeným neprázdným nosičem, pak platí
dens(X ∗ ) ≤ dens(X).
Ukážeme, jaký je vztah mezi těmito prostory, pokud prostor X připouští existenci
Gâteaux diferencovatelné funkce na omezeném neprázdném nosiči.
Tvrzení 5.3 (Kadec). Pokud je norma Banachova prostoru X Gâteaux hladká, pak
dens(X ∗ ) ≤ card(X).
Důkaz: Je obsažen například v [AL].
Můžeme se omezit na případ, kdy X je nekonečně rozměrný. Zobrazení
∂k · k : SX −→ exp(X ∗ )
zobrazuje bod na jednobodovou množinu, kardinalita obrazu se tedy proto nezvětší.
Máme-li funkcionál f ∈ SX ∗ , který nabývá své normy v bodě x ∈ SX , pak je f =
∂k · k(x), protože vzhledem k hladkosti normy podle Šmulyanova lemmatu v každém
bodě jednotkové sféry existuje nejvíce jeden opěrný funkcionál. Obraz ∂k · k(X) tedy
obsahuje všechny funkcionály jednotkové sféry X ∗ , které nabývají své normy. Podle
Bishop-Phelpsovy věty jsou tyto funkcionály husté v SX ∗ . Platí tedy
dens(X ∗ ) ≤ dens(∂k · k(X)) ≤ card(∂k · k(X)) ≤ card(X).
Podobně lze popsat densitu duálu i pomocí Gâteaux hladké funkce s omezeným neprázdným nosičem na X:
22
Tvrzení 5.4. Nechť X je Banachův prostor a nechť ψ : X −→ R je Gâteaux diferencovatelná funkce na neprázdném omezeném nosiči. Potom
dens(X ∗ ) ≤ card(X).
Důkaz: Označme S = {x ∈ X; ψ(x) 6= 0}.
Definujme funkci Ψ : X −→ R ∪ {∞} takto:
ψ −2 (x) pro x ∈ S
Ψ(x) =
∞
pro x ∈
/ S.
Tím jsme z funkce na neprázdném omezeném nosiči vyrobili zdola polospojitou funkci
zdola omezenou, ovšem Gâteaux hladkost na S zůstala zachována:
Derivujeme-li funkci Ψ ve směru h ∈ SX , dostáváme
ψ −2 (x + th) − ψ −2 (x)
Ψ(x + th) − Ψ(x)
= lim
=
t→0
t→0
t
t
lim
ψ(x) − ψ(x + th) ψ(x + th) + ψ(x)
2ψ 0 (x)(h)
· 2
=
−
t→0
t
ψ (x)ψ 2 (x + th)
ψ 3 (x)
= lim
Protože Ψ je Gâteaux hladká, je ∂Ψ(x) vždy jednobodová. Platí tedy
card X ≥ card S ≥ card ∂Ψ(S).
Nyní potřebujeme dokázat, že ∂Ψ(S) je hustá množina v X ∗ . Buď tedy f libovolný
funkcionál z X ∗ a ε > 0. Podle Ekelandova variačního principu 1.3 pro funkci Ψ − f
existuje takové xe ∈ S, že pro každé x ∈ X platí
(Ψ − f )(x) ≥ (Ψ − f )(xe ) − εkx − xe k.
Při označení x = xe + th pro reálné t a h ∈ SX
Ψ(xe + th) − Ψ(xe ) ≥ f (xe + th) − f (xe ) − εtkhk
f (h)
Ψ(xe + th) − Ψ(xe )
≥
−ε
tkhk
khk
Ψ(xe + th) − Ψ(xe )
.
t
Protože Ψ je Gâteaux hladká, pro t → 0 existuje limita pravé strany.
ε ≥ f (h) −
ε ≥ f (h) − ∂Ψ(xe )(h)
Uvedená nerovnost platí pro všechna h ∈ SX , takže bude platit i pro supremum
k∂Ψ(xe ) − f k ≤ ε.
23
Vidíme, že ∂Ψ(S) je hustá množina v X ∗ , a proto
dens(X ∗ ) ≤ card ∂Ψ(S) ≤ card(S) ≤ card(X).
Vraťme se ještě k lokální závislosti na reflexivním separabilním prostoru. Pozměňme
poněkud definici 3.1 tak, že vynecháme požadavek separability a maximální densitu
všech reflexivních prostorů, na kterých funkce závisí, označíme α. Nová definice tedy
zní:
Definice 5.5. Spojitá funkce ϕ na Banachově prostoru X je lokálně závislá na reflexivních podprostorech s maximální densitou α, jestliže pro každé x0 ∈ X existuje Ux0 ⊂ X
okolí x0 , reflexivní prostor Zx0 ⊂ X ∗ splňující
dens(Zx0 ) ≤ α
a existuje spojitá funkce ψx0 : X|Zxo ⊥ −→ R taková, že pro každé x ∈ Ux0 platí
ϕ(x) = ψx0 (b
x).
Potom můžeme formulovat tvrzení:
Tvrzení 5.6. Nechť X je Banachův prostor a nechť na něm existuje ϕ : X −→ R
spojitá funkce s omezeným neprázdným nosičem, která je lokálně závislá na reflexivních
podprostorech s maximální densitou α. Potom pro densitu duálu platí
dens(X ∗ ) ≤ α card(X).
Důkaz: až na drobné změny sleduje důkaz tvrzení 3.3, proto uvádím pouze odlišnosti.
Prostor X obecně nemusí být lindelöfovský, proto uvažujeme pokrytí X množinami
Uxβ β≤card(X) ,
tj. okolími každého bodu xβ ∈ X, na kterých platí závislost na reflexivním prostoru.
Tento systém okolí má mohutnost nejvýše card(X).
Postupem uvedeným v důkazu 3.3 k libovolnému g ∈ X ∗ a ε > 0 najdeme reflexivní
prostor Zβ ⊂ X ∗ a ge ∈ Zβ , pro které
kg − e
g k < ε.
Z každého prostoru Zγ ⊂ X ∗ , γ ≤ card(X), můžeme vybrat hustou podmnožinu Gγ
mohutnosti nejvýše α. Potom v Gβ existuje prvek h, který je dostatečně blízko k ge. Pro
již dané ε > 0 je tedy
ke
g − hk < ε.
24
Celkově tedy platí
přičemž
kg − hk = kg − ge + ge − hk ≤ kg − e
g k + ke
g − hk < ε + ε = 2ε,
h∈
[
Gγ .
γ≤card(X)
Je tedy
X∗ ⊂
[
Gγ ,
γ≤card(X)
čili pro densitu
dens(X ∗ ) ≤ α · card(X).
Poznámka 5.7. Toto tvrzení platí ve speciálním případě i pro lokální závislost na
konečně mnoha souřadnicích. Potom α = ℵ0 < card(X), čili dostáváme
dens(X ∗ ) ≤ card(X).
Jak se ukazuje v tvrzeních 5.4 a 5.6, jestliže na X existuje spojitá funkce s omezeným
neprázdným nosičem, pro densitu duálu platí stejný vztah bez ohledu na to, zda je ona
funkce Gâteaux hladká nebo lokálně závislá na konečně mnoha souřadnicích.
Poznámka 5.8. Podobným způsobem lze modifikovat i tvrzení 3.6 a obdržet tak výsledek pro densitu ∂f (X), je-li konvexní f majorizována nějakou funkcí lokálně závislou
na reflexivních prostorech duálu s maximální densitou α.
25
6. Harmonické chování
Tvrzení 6.1. Nechť X je Banachův prostor, který není Asplundův. Nechť U je omezená
otevřená množina a f : U −→ R je spojitá funkce lokálně závislá na konečně mnoha
souřadnicích. Pak funkce f |U uvnitř U je jednoznačně určena funkcí f |∂U v bodech
hranice U .
Důkaz: Předpokládejme, že f1 a f2 jsou funkce, pro které platí
f1 (x) = f2 (x)
pro každé x ∈ ∂U.
Sestrojíme funkci ϕ : X −→ R:
ϕ(x) =
f1 (x) − f2 (x) pro x ∈ U
0
pro x 6∈ U
Tato funkce je spojitá, je lokálně závislá na konečně mnoha souřadnicích a má omezený
nosič. Pokud X není Asplundův, přichází v úvahu pouze jediná taková funkce, a to
identicky nulová. To ovšem znamená, že
f1 (x) = f2 (x)
pro x ∈ U ,
čímž je tvrzení dokázáno.
Buď nyní U otevřená množina a nechť pro spojitou funkci ϕ : X −→ R existuje funkce
ψ ∈ C(Rn ) a funkcionály fi ∈ X ∗ , i = 1, . . . , n tak, že platí
ϕ(x) = ψ (f1 (x), . . . , fn (x)) .
Jestliže má funkce ψ totální diferenciál v bodě [f1 (x), . . . , fn (x)], tak je Fréchetova
derivace ϕ0 (x) kompaktní operátor. Pokud ϕ bude funkce lokálně závislá na konečně
mnoha souřadnicích a bude Fréchet diferencovatelná, pak pro ni lze použít tvrzení (viz
[DGZ I.1.3]):
Tvrzení 6.2. Nechť X je Banachův prostor, který není Asplundův, a nechť Y je libovolný Banachův prostor. Buď U omezená otevřená podmnožina X a buď ϕ : U −→ Y
spojité zobrazení, které je Fréchet diferencovatelné v každém bodě U . Pokud je pro
každé x ∈ U Fréchetova derivace ϕ0 (x)
kompaktní operátor z X do Y , pak ϕ(∂U ) je
v normové topologii Y husté ve ϕ U .
Požadavek Fréchet diferencovatelnosti funkce lokálně závislé na konečně mnoha souřadnicích je možné odstranit. Nejdříve si připravme jednoduché, ale zajímavé lemma.
Lemma 6.3. Nechť X je Banachův prostor, který není Asplundův. Nechť U je otevřená
množina a nechť ϕ : U −→ R je spojitá funkce lokálně závislá na konečně mnoha
souřadnicích. Pak pro každé α ∈ R je každá komponenta G souvislosti množiny
{x ∈ U ; ϕ(x) < α}
26
prázdná, neomezená, nebo
G ∩ ∂U 6= ∅.
Důkaz: Předpokládejme, že G je neprázdná omezená komponenta souvislosti množiny
{x ∈ U; ϕ(x) < α} a že G ⊂ U . Definujme funkci f : X −→ R

 max{0, ϕ(x) − α} pro x ∈ G
f (x) = 0
pro x ∈ U \ G .

0
pro x ∈ X \ U
Pak f je spojitá funkce lokálně závislá na konečně mnoha souřadnicích a s neprázdným
nosičem. Protože však X není Asplundův prostor, takové funkce na něm nemohou
existovat. To je spor, který dokazuje tvrzení.
Tvrzení 6.4. Nechť X je Banachův prostor, který není Asplundův. Nechť U je omezená
otevřená množina a f : U −→ R je spojitá funkce lokálně závislá na konečně mnoha
souřadnicích. Pak platí
ϕ(∂U ) = ϕ U .
Důkaz: Nechť a je libovolný prvek množiny U . Ukážeme, že pro každé ε ∈ R, ε > 0,
existuje bod b ∈ ∂U , pro který |ϕ(b) − ϕ(a)| < ε. Jestliže je funkce ϕ lokálně závislá na
konečně mnoha souřadnicích, podle poznámky 2.2 bude mít stejnou vlastnost i funkce
|ϕ(x) − ϕ(a)|.
Uvažme množinu
{x ∈ U ; |ϕ(x) − ϕ(a)| < ε}.
Tato množina není prázdná; obsahuje totiž bod a. Nechť G je komponenta souvislosti,
která obsahuje bod a. Pro G platí předešlé lemma 6.3. Protože množina U je omezená,
zbývá pouze možnost, že
G ∩ ∂U 6= ∅,
tedy musí existovat hledaný b ∈ ∂U , pro nějž platí
|ϕ(b) − ϕ(a)| < ε.
Tím je tvrzení dokázáno.
Poznámka 6.5. Mohlo by se zdát, že jemnou modifikací důkazu by se podařilo dokázat
ϕ(∂U ) = ϕ(U ), kdybychom na ∂U vytvářeli pro ε & 0 do sebe vnořené uzavřené
množiny Un = {x ∈ ∂U ; |ϕ(x) − ϕ(a)| ≤ ε} a nakonec vzali jejich průnik. Tento průnik
však může být prázdný, protože nemusí být diam Un → 0. Například uzavřené intervaly
hn, ∞) mají prázdný průnik v R a něco podobného se může stát na jednotkové sféře.
Zda tedy platí
ϕ(∂U ) = ϕ(U ),
zůstává otevřeným problémem.
27
7. Talagrandův operátor
V této kapitole ukážeme podmínky, za jakých na Banachově prostoru vždy existuje
nějaká ekvivalentní norma, která je mimo počátek lokálně závislá na konečně mnoha
souřadnicích. Postupem uvedeným v příkladu 2 lze z takové normy vždy „seříznutímÿ
vyrobit funkci na neprázdném omezeném nosiči.
Definice 7.1. Nechť X je podprostor `∞ (L). Operátor T : X −→ c0 (L) je Talagrandův
operátor, jestliže pro každé x ∈ SX existuje f ∈ L takové, že
|x(f )| = 1
a
(T x)(f ) 6= 0.
Příklad 5. Banachův prostor se spočetnou Jamesovou hranicí J.
Nechť J = {bi ; i ∈ N}. Definujme Talagrandův operátor
(T x)(i) =
bi (x)
i
pro i ∈ N.
Potom existuje pro každé x ∈ SX nějaký funkcionál bn , který nabývá v x své normy,
protože J je Jamesova hranice, a
(T x)(n) =
bn (x)
6= 0.
n
Příklad 6. Uvažme množinu L = [0, ω1 ) a prostor
{f ∈ C([0, ω1 )); lim f (α) = 0}.
α→ω1
Pro funkci f ∈ C([0, ω1 )) definujme Talagrandův operátor
(T f )(α) = f (α + 1) − f (α)
pro α < ω1 .
Pokud kf k > 0, vzhledem k tomu, že lim f (α) = 0 a f je spojitá, má množina
α→ω1
{α; |f (α)| = kf k, α < ω1 }
svůj největší prvek β. Pro ten musí platit
(T f )(β) = f (β + 1) − f (β) 6= 0.
Lemma 7.2. Nechť L je Jamesova hranice Banachova prostoru X. Potom je X isometricky isomorfně vnořen do `∞ (L).
28
Důkaz: Definujme operátor
A : X −→ `∞ (L)
(Ax)(f ) = f (x)
pro f ∈ L.
Je zřejmé, že A je isomorfismus. Je-li L Jamesova hranice, pro dané x ∈ X existuje
f0 ∈ L; f0 (x) = kxk. Pak nastává rovnost v
kxk = sup |f (x)| ≥ sup |f (x)| ≥ |f0 (x)| = kxk
f ∈BX ∗
f ∈L
a protože supf ∈L |f (x)| = kAxk`∞ (L) , je A isometrie.
Tvrzení 7.3. Nechť L je Jamesova hranice Banachova prostoru X ⊂ `∞ (L) a nechť
T : X −→ c0 (L) je Talagrandův operátor. Potom na X existuje ekvivalentní norma,
která mimo počátek lokálně závisí na konečně mnoha souřadnicích.
Důkaz: Definujme novou normu následujícím předpisem
|||x||| = sup |x(f )| + |(T x)(f )|
(14)
f ∈L
Nejdříve ukážeme, že je k · k kromě počátku lokálně závislá na konečně mnoha souřadnicích. Volme libovolně x ∈ X. Talagrandův operátor nám zaručuje existenci nějakého
f0 , pro které
|x(f0 )| = 1 a (T x)(f0 ) 6= 0.
Podle předešlého lemmatu 7.2 je
sup |x(f )| = kxk,
f ∈L
podle (14) tedy platí
|||x||| ≥ kxk + |T x(f0 )|.
Protože T x ∈ c0 (L), pro každé kladné ε je množina
{f ∈ L; |(T x)(f )| ≥ ε}
konečná. Takže speciálně
Lf = {f ∈ L; |(T x)(f )| ≥ |(T x)(f0 )|}
je také konečná množina.
Pokud zvolíme libovolně nějaký f ∈ L \ Lf , podle rovnosti (15) máme
|f (x)| + |(T x)(f )| ≤ kxk + |(T x)(f )| < kxk + |f0 (T x)| ≤ |||x|||.
29
(15)
Z toho plyne, že funkcionály f ∈ L \ Lf není třeba zahrnovat mezi funkcionály, přes
něž se dělá supremum v definici (14) nové normy. Jinými slovy, lze psát
|||x||| = sup |x(f )| + |(T x)(f )|
f ∈Lf
a tedy po vhodné volbě pokrytí podobně jako třeba v příkladu 1 vidíme, že nová norma
lokálně závisí na konečně mnoha funkcionálech množiny Lf .
Nyní už zbývá jen ukázat ekvivalenci se starou normou:
kxk < |||x||| ≤ kxk + kT xk ≤ (1 + K)kxk,
kde K je taková konstanta, že
kT xk = max x(f ) ≤ Kkxk.
f ∈L
Další podmínky pro existenci normy mimo počátek lokálně závislé na konečně mnoha
souřadnicích udává Hájkova věta (viz [H]).
Tvrzení 7.4 (Hájek). Nechť X je normovaný lineární prostor. Následující tvrzení
jsou ekvivalentní:
(i) X má ekvivalentní normu se spočetnou Jamesovou hranicí.
(ii) X má ekvivalentní normu s Jamesovou hranicí B takovou, že existuje
posloupnost v normě kompaktních množin {Kn }n∈N v X ∗ splňující
B⊂
[
Kn .
n∈N
(iii) X je separabilní a má ekvivalentní normu až na počátek lokálně závislou
na konečně mnoha souřadnicích.
(iv) X je separabilní a má ekvivalentní kromě počátku C ∞ -hladkou normu,
která až na počátek lokálně závisí na konečně mnoha souřadnicích.
30
8. Literatura
[AL] D. Amir, J. Lindenstrauss, The Structure of Weakly Compact Sets in Banach
Spaces, Ann. of Math. 88 (1968)
[DGZ] R. Deville, G. Godefroy, V. Zizler, Smoothness and Renormings in Banach Spaces, Pittman Monographs and Surveys in Pure and Applied Mathematics 64
(Longman, Harlow, 1993).
[FPZ] M. Fabian, J. Pelant, V. Zizler, The Weak Topology and Smoothness, Lecture
Notes in Math., Springer-Verlag, to appear.
[FZ] M. Fabian, V. Zizler, A Note on Bump Functions That Locally Depend on Finitely
Many Coordinates, Bull. Austral. Math. Soc. 56 (1997), 441–451.
[HHZ] P. Habala, P. Hájek, V. Zizler, Introduction to Banach Spaces I, II, Matfyzpress
Praha, 1996
[H] P. Hájek, Smooth Norms That Depend Locally on Finitely Many Coordinates,
Proc. Amer. Math. Soc. 123 (1995), 3817–3821.
[JZ] K. John, V. Zizler, Smoothness and Its Equivalents in Weakly Compactly Generated Banach Spaces, Journal of Functional Analysis 15 (1974) 1–11.
[Ph] R. R. Phelps, Convex Functions, Monotone Operators and Differentiability, Lecture Notes in Math., Springer-Verlag 1364 (1993), 2nd Edition.
[T] Wee-Kee Tang, On Fréchet Differentiability of Convex Functions on Banach Spaces, Comment. Math. Univ. Carolinae 36,2 (1995) 249–253.
[T2] Wee-Kee Tang, Thesis.
31