Sborník XXXVII. Seminář ASŘ 2013 - Fakulta strojní - VŠB

Transkript

Sborník XXXVII. Seminář ASŘ 2013 - Fakulta strojní - VŠB

VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ - TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA
FAKULTA STROJNÍ
KATEDRA AUTOMATIZAČNÍ TECHNIKY A ŘÍZENÍ
XXXVII. Seminar ASR '2013
“Instruments and Control”
Ostrava, April 26, 2013
XXXVII. Seminar ASR '2013 “Instruments and Control”
© 2013, VŠB-TUO, Ostrava, ISBN 978-80-248-2967-8
Programme Committee
R. FARANA
K. JARACZ
V. KEBO
K. KOSTÚR
Š. KOZÁK
I. PETRÁŠ
J. PLUTA
D. POPESCU
B. SAPINSKI
M. ŠEDA
J. ŠEMINSKÝ
B. ŠULC
I. ŠVARC
I. TAUFER
J. TŮMA
V. VAŠEK
J. VÁSÁRHELYI
A. VÍTEČEK
F. ZEZULKA
FS VŠB - TU Ostrava
Pedagogic Academy Krakow, Poland
HGF VŠB-TU Ostrava
TU Košice, F BERG, Slovakia
FEI STU Bratislava, Slovakia
TU Košice, F BERG, Slovakia
University of Science and Technology, Krakow, Poland
University of Craiova, Romania
University of Science and Technology, Krakow, Poland
FSI VUT v Brně
TU v Košicích, Slovensko
FS ČVUT v Praze
FSI VUT v Brně
Univerzita Pardubice
FS VŠB-TU Ostrava
FAI UTB ve Zlíně
TU Miskolc, Hungary
FS VŠB - TU Ostrava
FEKT VUT v Brně
Organizing Committee
M. MAHDAL, P. SMUTNÝ, R. WAGNEROVÁ
Secretary Office
 Department CSI (ATŘ-352), VŠB-TU Ostrava
av. 17. listopadu 15, 708 33 Ostrava - Poruba
+420 59 732 1280
 +420 59 691 6129
http://akce.fs.vsb.cz/2013/asr2013/
Proceedings Editors
P. SMUTNÝ
This Proceedings has been elaborated in the framework of the project Opportunity for young researchers, reg.
no. CZ.1.07/2.3.00/30.0016, supported by Operational Programme Education for Competitiveness and cofinanced by the European Social Fund and the state budget of the Czech Republic.
ISBN 978-80-248-2967-8
2
Table of Contents
Application of Evolutionary Planning Box Method in KPI Determination for the Process of
Rocks Disintegration .................................................................................................................. 5
BARANOVÁ, Vladena, LANDRYOVÁ, Lenka & FUTÓ, Jozev
The Electronic Variable Pitch Drive ........................................................................................ 11
GEBAUER, Jan & KOČÍ, Petr
Testování vlastností typových piezoaktuátorů ......................................................................... 19
LOS, Jaroslav & MAHDAL, Miroslav
Benchmark of Learning Algorithms for Piecewise-Linear Neural Network ........................... 25
MARIŠKA, Martin & DOLEŽEL, Petr
Pattern Recognition in Motion Analysis Using Neural Network ............................................. 31
MORE, Marcel & LÍŠKA, Ondrej
Optimization of The Permanent Magnet Synchronous Motor Design Using Femm and
Measuring Hysteresis Loop ...................................................................................................... 37
NOVÁK, Zdeněk, NOVÁK, Martin & CHYSKÝ, Jan
Analytical Expression of the Lengths of Tricept Telescopic Rods Ejection ............................ 45
OMACHELOVÁ, Milada, MARTIŠOVITŠ, Ilja,
KUREKOVÁ, Eva & KOLLÁTH,
Ľudovíth
Experimentálna verifikácia technologických parametrov rezacích strojov s nekonvenčnou
kinematikou .............................................................................................................................. 53
ONDEROVÁ, Iveta, KUREKOVÁ, Eva
KOLLÁTH, Ľudovít & PLOSKUŇÁKOVÁ, Lucia
Development of Applications for the STM32 Processors and Their Industrial Deployment .. 63
PODEŠVA, Petr & FOJTÍK, David
Řídicí jednotka pro model soustruhu ........................................................................................ 69
STŘÍBNÝ, Martin
Modální analýza modelu pro aktivní tlumení vibrací............................................................... 77
ŠURÁNEK, Pavel, TŮMA, Jiří & MAHDAL, Miroslav
Přístupy k volbě vzorkovací periody ........................................................................................ 89
VÍTEČKOVÁ, Miluše & VÍTEČEK, Antonín
PID Control of Temperature Fields in Casting Die ................................................................ 103
VLČEK, Marcel, VITÁLOŠ, Filip & BELAVÝ, Cyril
Využití dvourozměrné Fourierovy transformace pro odhalování periodicit v obraze ........... 111
ZAVADIL, Jaromír
3
Preface
Annual „Seminář ASŘ“ (Seminary of Automatic Control Systems), organized by the
Faculty of Mechanical Engineering , Department of Control Systems and Instrumentation in
collaboration with the Committee of Applied Cybernetics and Informatics – KAKI Ostrava,
achieved on this year 2013, was held thirty-seven times.
The seminaries of ASR demonstrate as important Workshops every year their fixed
position at the large offer of science-research actions with international range and with a
reputable special even social level. The workshop „Seminary ASR“ was distinctly signed on
this times as an effective platform for meeting teachers and Ph.D. students from the VŠB Technical University of Ostrava with scientists and students from other universities of Czech
Republic, Slovakia, Poland, Hungary and other countries, even with experts from industrial
companies and other institutions. In 2013 the Seminary of ASR is split into two parts. The
first one is a student competition – STOČ 2013 as the 18th Student Science Workshop which
takes place at the Tomáš Baťa University of Zlín and the second part is a traditional
XXXVIIth Seminary of ASR “Instruments & Control” as a Ph.D. seminary and student
competition.
The goal of Seminary of ASR´13 "Instruments and Control" is to present results of
R&D projects, reciprocal interchange of participant's information, experiences and retrieval of
possibilities for cooperation on common projects, mainly between Ph.D. students. The other
goal of this year's Seminary of ASR is to introduce the professional public, experts and
scientific workers from universities, research institutions, industry, design and supply firms
with the most up-to-date knowledge from the areas of automation, measuring, diagnostics and
control systems, program systems for control, SCADA/HMI systems, CAD, and other areas,
and to provide an exchange of experience.
The main topics of Seminary ASR´2013 “Instruments and Control” there are:






The methods and algorithms of automatic control
Modeling and simulation of control elements and systems
Measuring and diagnostic systems
The means of automation devices
Program support of control and diagnostic systems
Applied informatics (Computer Science)
The new series of international conferences, known as International Carpathian Control
Conference (ICCC), were established in the year 2000 in collaboration with three partners
which are technical universities such as TU Košice (faculty of BERG), AGH Krakow (faculty
of FMIR) and VŠB-TU Ostrava (faculties of FME and MGF).
This year's conference will be held in May 2013 in Poland as an “ICCC´2013”. Now the
ICCC conference is organized by five technical universities from Poland, Slovakia, Czech
Republic, Hungary and Romania in the alternate venues.
PROF. ING. JIŘÍ TŮMA, CSC.
Chairman
PROF. ING. RADIM FARANA, CSC.
Co-Chairman
4
Application of Evolutionary Planning Box Method in KPI
Determination for the Process of Rocks Disintegration
BARANOVÁ, Vladena1, LANDRYOVÁ, Lenka2 & FUTÓ, Jozev3
1
Ing.
Department of Control Systems and Instrumentation VSB – Technical University
Ostrava, Ostrava, Czech Republic,
[email protected]
2
doc. Ing. CSc.
3
doc. Ing. Ph.D.
[email protected]
[email protected].
Abstract: This paper shows an unconventional view of a particular application of theory and
modeling in solving large scale technical problems. KPIs (Key Performance Indicators) are
quantifiable values that reflect the critical success factors of operation, enterprises and
companies. The selection of these indicators depends on the type of the company and/or a
system. An example of the technological process in finding the optimal mode, KPI
respectively, is the disintegration of the rock process, where the theoretical starting point is
the energy theory for the disintegration process, which is based on the instantaneous speed of
the indentor progress, the specific amount of work during the disintegration process (the
amount of energy used for rock disintegration per volume unit) depending on the downforce.
Finding the optimum on an experimental stand using the evolutionary planning method and
considering the MISO type of model is, for example, enabled by using the values measured
during the process of rock disintegration - the KPIs.
Keywords: planned experiment, modeling, process optimization, disintegration energy, KPI,
MISO
1 Used a mathematical model of the system indentor – rock
In general, this system has q inputs and outputs, which can be described in the operating
point and its vicinity equations.
x1 t   Ax t   But  ,
(1)
yt   Cxt  ,
(2)
where xt , ut , yt  are the state variables, input and output, A, B, C are matrices with
appropriate dimensions. The starting point for the identification of the system are measured
values, that means, inputs and outputs. Consequently in a well-defined conditions "ideal"
experiments can be designed assumptions tested and compared methods [FUTÓ, J.,
IVANIČOVÁ, L., KREPELKA, F., 2010, HANZELOVÁ, M., FLOREKOVÁ, Ľ. 2004,
MALINDŽÁKOVÁ, M., 2009, HANZELOVÁ, M., FLOREKOVÁ, Ľ., BENKOVÁ, M.,
2002].
5
Figure 1 – Diagram of the indentor-rock
Fig. 1 shows the diagram of a simple dynamic system indentor-rock, on which there are
two crucial input variables downforce and speed. Measurable (calculated) output of this
system is monitored indicator - KPI.
The classic way of determining the optimum system for the indentor-rock is the use of the
energy theory disintegration of rocks w or incapacitation isolating tool . It is assumed that to
determine the optimum such systems it is possible to use a non-standard method, for example
measuring acoustic manifestations temperature in the technological process (acoustic energy
signal - E) [KUMIČÁKOVÁ, D., POPPEOVÁ, V., 1994, LEŠŠO, I., FLEGNER, P., 2009,
LEŠŠO, I., FLEGNER, P., LACIAK, M., FERIANČIKOVÁ, K., 2011].
2 Variables characterizing the process of the disintegration of
rocks to determine the optimal mode of disintegration
In search of optima using energy theory disintegration of rocks is based on the
instantaneous velocity procedure for isolating the instrument measuring volume work
disintegration depending on downforce, respectively speed. The general course of the given
variables, and the relationship between them is shown in Fig. 2.
6
Fig. 2 One-parametric depending on the instantaneous velocity in drilling v, measuring
volume work disintegration w and sharing these values to  downforce F, respectively speed n
Disintegration energy density w is the share amount of energy delivered to the system
and open-volume V .
P
w 1
V , (W/m3, W,m3).
(3)

Working ability isolating instrument
is the proportion of the instantaneous velocity v
and disintegration energy density w

v
w , (W/m3, W,m3),
(4)
the ability to work disconnecting the instrument is dependent on the speed F and
downforce n.
The optimal mode of the disintegration set operating point and its surroundings is
determined by the minimum energy density w or disintegration maximum value of
incapacitation isolating tool . The energy signal is one of a number of energy used in
the process of disintegration of the transformed energy fed to the tool [KRÚPA, V.,
PINKA, J., 1998].
The energy acoustic signal can be calculated as power multiplied by time. In the
case of digital data to calculate the energy of the acoustic signal we can use the
relationship:
N 1
N 1
k 0
k 0
E  P.N   pk    s 2 k 
(5)
Where signal energy E, (J), average power P, (W) p instantaneous signal power (W)
with the original value of the digital signal (W) [KAČUR, J. - LACIAK, M. - DURDÁN, M.,
2010, KAČUR, J. - LACIAK, M. - DURDÁN, M., 2011, KOČÍ, P. 2007, STEHLÍKOVÁ, B.
- KOSTÚR, K. - JACO, M., 2005].
3 Evolutionary Planning Box Method
Experiments carried out in laboratory conditions UGt SAV in Košice boxes allow the
application of evolutionary planning methods in pursuit of two input variables (factors),
which were maintained at approximately constant in the system, namely: speed and
downforce. Fig. 4 to Fig. 6 shows cross sections of surfaces of the second degree, for which
output variable (endpoint) is another method of measurement and physical interpretation.
Isolines are considering the used graphical environment replaced by a square (quadratic)
network structure, which is dividing the observed variable process parameters [BENKOVÁ,
M. - FLOREKOVÁ, Ľ. - BOGDANOVSKÁ, G., 2005, FLOREKOVÁ, Ľ., 1998, JOHNSON
– LEONE, 1987].
In Fig. 3, we can monitor the progress of measuring energy disintegration, which is
calculated according to equation (3), depending on speed and downforce w = f (F, n). Twodimensional surface is characterized by a parabolic section, which is extreme in infinity. The
arrow indicates the direction towards the optimum procedure in this case the minimum energy
consumed in the process of disintegration.
7
Fig. 3 Two-dimensional cut during the disintegration of specific energy-w
In Fig. 4, we can monitor the progress of the work ability isolating tool, which is
calculated according to equation (4), depending on downforce and speed  = f (F, n). We can
accompany the change the nature of the cut two-dimensional surface, which is characterized
by a saddle point of a hyperbolic course. Relation (4) already takes into account some
technological variables that affect the process of disintegration and change the nature of the
reference section cut. The optimum direction indicated by the arrow and in this case dictated
by a maximum value of variable  .
Fig. 4 Two-dimensional cut during incapacitation isolating tool- 
In Fig. 5, we can monitor the progress of acoustic energy that arises in the process of
disintegration. It is calculated according to relationship (5) as a function of the feed pressure
8
and speed E = f (F, n). A cut in a two-dimensional surface is characterized by straight lines,
whose extreme "does not exist". The arrow indicates the direction of advancement towards
optimum, in this case to the minimum acoustic energy consumed in the process of
disintegration.
Fig. 5 Two-dimensional cut during acoustic energy - movement phenomenon in the
process of disintegration-E
In Fig. 3-5 we see applications of Box method use in the case, when two variables
(downforce, speed) enter into the system and output follows a single variable generally
designated KPI (Fig. 2). Each of Fig. 3-5 thus expresses other KPI. Individual colored bands
represent change in control variables speed and downforce. In all three cases, the inputs to the
system are the same, but the cuts have a different character, as well as the procedure to
process the direction of the maximum. It is a typical example of the importance of choosing
the studied variables - indicator - KPI tracking system.
4 Conclusions
Modeling itself is a theoretical cognitive process and is based on the abstraction of
thought. Abstraction is the fact that the observed process (object) considers only those
properties that are subject to examination and are all identical. Even in this case, we highlight
the importance of models and modeling, which contribute not only to addressing specific
tasks, but primarily to acquire new knowledge about the structure and behavior of the system.
Unlike mathematics, which is characterized by rich mathematical apparatus, engineering and
technology uses multiple experiments and methods of dimensional analysis and physical
similarity to generalize the achievements obtained by measuring the test STAND, models,
reviewing the adequacy of its structure and behavior. Along with the new concepts of models,
the improved mathematical model brings the possibility of generalising the results obtained
and their use on another device (object, process) which has a physically similar model.
Acknowledgement
The paper was prepared within the project VEGA 1/0729/12, and VSB-TUO project
SP2013/85.
9
5 References
BENKOVÁ, M. - FLOREKOVÁ, Ľ. - BOGDANOVSKÁ, G.: Variabilita parametrov kvality
a stratová funkcia, In: Acta Montanistica Slovaca, roč. 10, č. 1 (2005), s. 57-61.
ČARNOGURSKÁ, M.: Rozmerová analýza a teória podobnosti a modelovania v praxi,
Košice, ISBN/ISSN 80-7099-386-3.
FLOREKOVÁ, Ľ.: Metódy štatistického hodnotenia kvality – SPC, Acta Montanistica
Slovaca, vol. 1, 1998, pp. 1–20.
FUTÓ, J., IVANIČOVÁ, L., KREPELKA, F.: Hydraulika a pneumatika 1-2, 2010, s. 9-13
HANZELOVÁ, M., FLOREKOVÁ, Ľ., BENKOVÁ, M.: A protection of air from the point of
view of local producer of polluting substances / emissions. In 3rd International Control
Conference 2002. Malenovice, Czech republc, 27. – 30. may 2002, p. 569 – 574, ISBN
80 – 248 – 0089 – 6
HANZELOVÁ, M., FLOREKOVÁ, Ľ.: Environmental performance evaluation, In 5th
International Control Conference 2004. Zakopane, Poland, 25. – 28. may 2004, pp. 915
– 918. ISBN 83 – 89772 – 00 – 0.
JOHNSON – LEONE: Statistics and Experimental Design, New York, 1987.
KAČUR, J. - LACIAK, M. - DURDÁN, M.: Meranie relevantných veličín v procese
podzemného splyňovania uhlia. In: AT&P journal. Roč. 17, č. 11 (2010), s. 51-55. ISSN 1335-2237
KAČUR, J. - LACIAK, M. - DURDÁN, M.: Remote monitoring and control of the UCC
process. In: ICCC 2011, Proceedings of the 12th International Carpatian Control
Conference, Velké Karlovice, Czech Republic, p 180-184, ISBN 978-1-61284-359-9
KOČÍ, P. Výpočetní technika, VŠB-TU Ostrava,1. vyd. Ostrava, VŠB-TUO, 2007, 240s.
ISBN 978-80-248-1515-2
KOŽEŠNÍK, J.: Teórie podobnosti a modelování v praxi, Academia, Praha, 1983.
KRÚPA, V., PINKA, J.: Rozpojovanie hornín, Košice, F BERG TU Košice, 1998, ISBN 80888896-10-X
KUMIČÁKOVÁ, D., POPPEOVÁ, V.: Možnosti využitia akustickej emisie na monitorovanie
rezného procesu, Zborník referátov, Hluk a vibrácie v praxi, Kočovce, 1994
LEŠŠO, I., FLEGNER, P., LACIAK, M., FERIANČIKOVÁ, K.: Hilbert spaces as an
efficient instrument for signal processing in geotechnics application of vector
quantisation method in Hilbert space for effective and quality process control of rock
disintegration by rotary drilling. M). In: ICCC 2011, Proceedings of the 12th
International Carpatian Control Conference, Velké Karlovice, Czech Republic, p. 253256, ISBN 978-1-61284-359-9
LEŠŠO, I., FLEGNER, P.: Špecifikácia príznakov procesu rozpojovania hornín rotačným
vŕtaním pre účely riadenia procesu, In: Sborník vědeckých prací Vysoké školy báňské Technické univerzity Ostrava : Řada stavební. vol. 9, no. 2 (2009), p. 155-165. ISSN
1213-1962
MALINDŽÁKOVÁ, M.: Synergický efekt vzájomnej podpory EMS a LCA, In: Kvalita
pro život. Vol. 10, no. 2 (2009), p. 27-29. ISSN 1803-9138.
STEHLÍKOVÁ, B. - KOSTÚR, K. - JACO, M.: Technological process distortions
identification by digital cameras taken / - 2005. In: ICCC '2005. Volume 1. - Miskolc :
University of Miskolc, 2005 P. 355-360. - ISBN 9636616442
10
The Electronic Variable Pitch Drive
GEBAUER, Jan1 & KOČÍ, Petr2
1
Ing.,
Katedra ATŘ-352, VŠB-TU Ostrava, 17. listopadu, Ostrava - Poruba, 708 33
[email protected],
2
doc., Ph.D.,
[email protected]
Abstract: This contribution describes procedures and results obtained at the Department of
Control Systems and Instrumentation of the VŠB-Technical University of Ostrava during
research and mathematical modelling of variable pitch systems behaviour. The wiring scheme
and control strategy of the electronic variable pitch drive mounted on new testing stand are
presented. Ability of machines to fly had been based on the complex mechanical units until the
end of last century. Development of high-quality and affordable sensors brings the innovation
to this sector. The presented stand was created for testing of the new optimised control
algorithms for UAV devices (multicopter). The complex mechanical parts can be replaced by
electronics. The construction of EVP testing stand includes BLDC motor, power electronics
(ESC), microcontroller, sensors and simple frame. It doesn´t require complex mechanical
parts. Management and control is compared with conventional helicopter eased considerably.
Keywords: Variable pitch, Propeller propulsion, EVP
1 Introduction
The current concept where propellers (without a variable pitch) are used is not effective
in whole RPM spectrum. Currently used (fixed pitch) propellers are appropriate only for a
multikopter with a constant weight. If the weight of the model is changed, it is necessary to
change the type of the propeller and even of the engine to optimize the propulsion unit
efficiency.
Figure 1 – Testing stand for EVP propeller drive
11
Figure 2 – Variable pitch (EVP) system.
Different configurations of modules (sensors which are placed on the multikopter) have
to be set for different industrial application. The number of these modules changes the total
weight of the construction. Before the final configuration can be set it is necessary to define
the number of engines, arms and propeller parameters.
To avoid modifying the construction for different applications, propulsion drives with
variable pitch can be used (see Fig. 2). Such a modified multikopter can be used in a wide
range of applications (no need to recalculate suitable propellers).
The control loop of the variable pitch system will be different from the previous one. To
achieve a better efficiency of the whole propulsion mechanism the thrust will be modified by
changing the propeller blades pitch while the RPM is controlled by another control loop.
Figure 3 – The EVP stand schematic.
2 The propeller analysis
As a propeller’s blade rotates through the air, the airfoil is inclined to the flight direction
at some angle. The angle between the chord line and the incoming air direction is called the
angle of attack and has a large effect on the thrust generated by a propeller.
12
The magnitude of the lift generated by an object depends on the shape of the object and
how it moves through the air. For thin airfoils (like the NACA0009 used on stand) the lift is
directly proportional to the angle of attack for small angles.
Figure 4 gives technical definitions of a wing's geometry, which is one of the chief
factors affecting airplane lift.
D
U
α
W
V T
L
α
c
Figure 4 – Forces on the airfoil.
Where: L [N] means lift, D [N] is a force in a direction opposed to the motion called drag,
U [ms-1] is a fluid input speed, c [m] as an airfoil dimension and s [m] is the foil span in the
transverse direction (not shown in picture).
The angle of blade alpha will oscillate between negative and positive values. When the
angle is zero, there will be zero thrust because the lift force will be purely vertical. For a
symmetric foil the lift force will be zero in this case, as there is no circulation. As the angle is
increased, the thrust force will increase until a certain point where stalling occurs and the lift
starts to decrease.
As air passes through the rotating blades, it gets energised, its speed increases. In the
process the required thrust to propel the aircraft is produced.
We consider the propeller as a thin disc rotating in air as shown in Fig. 5. The pressure
and velocity away from the disc are p0 and V0. The disc imparts momentum and energy to the
incoming air such that the pressure and velocity in the disc are ΔV and
respectively. At far
downstream the conditions are V1 and p1.
In the figure 4, you can see a scheme of a propeller propulsion system and some of the
equations defining how a propeller produces thrust at the bottom.
13
Propeller
-1
V0 [ms ]
V1 [ms-1]
p0 [Pa]
p1 [Pa] ≈ p0 [Pa]
Motor
S [m2]
Δp [Pa]
V0
ΔV
p0
Δp
V1
p1
Figure 5 – Analysis of the propeller.
Where:
velocity,
is the input stream velocity,
is the area of rotating disc,
is the downstream velocity,
is the input pressure,
is inducted
is the output pressure,
is
the pressure jump in rotating disc area.
If the angle of attack and the rotation speed are known, the climb rate H [m] could be
calculated.
H
n
V1
Figure 6 – The propeller climb rate.
14
H – climb rate [m]
n – RPM [min-1]
H
α
Figure 7 – The propeller climb rate calculation.
The theoretical airspeed
is:
-1
[ms ].
The total airspeed based on the Fig.4 is:
[ms-1],
where:
[ms-1],
where [m] means distance from the centre of propeller rotation and:
[ms-1],
from:
,
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
then we can define airspeed on the whole propeller blade profile as shown in Fig. 8:
n
α1
W3
α3
W4
D
W5
α5
α6
r1
W2
α2
α4
r2
W1
W6
Figure 8 – Propeller blade airfoil decomposition.
[ms-1],
and inducted airspeed is:
(6)
[ms-1].
(7)
A spinning propeller sets up a pressure which is lower than free stream in front of the
propeller and higher than free stream behind the propeller. Downstream of the disk the
pressure eventually returns to free stream conditions. But at the exit, the velocity is greater
15
than free stream because the propeller works on the airflow. The Bernoulli's equation can be
applied to the air in front of the propeller and to the air behind the propeller. Thrust can be
described as:
[N]
(8)
The Bernoulli's equation says that:
,
(9)
then:
(10)
total pressure in free stream:
,
(11)
total pressure in downstream:
,
(12)
and pressure jump is:
,
(13)
after substitution with (10) and (13) and (14):
.
(14)
The downstream velocity
can be substituted by (5). The free stream velocity
for hovering flight. So the total thrust equation will be:
(15)
This thrust is an ideal number that does not account for many losses that occur in
practical, high speed propellers, like tip losses and propeller stall.
3 Conclusions
The introduced EVP stand was used for validation of the mathematical approach.
Measurements revealed that the approximation of the propeller thrust was corresponding to
the actual values. The model does not include losses and various properties of the propeller,
which can’t be easily described mathematically, it is primarily a phenomenon known as
separation of the streamlines (propeller stall). There is a decrease in the buoyancy and
increase in the burden on the drive unit. This phenomenon is observed only at high airspeeds
and at high angles of attack. In figures (10) to (13) you can see the measured data for few
angles of attack.
Figure 9 – The thrust measurement, angle of attack 4 degrees. No stalling.
16
Figure 10 – The thrust measurement, angle of attack 7 degrees. No stalling.
Figure 11 – The thrust measurement, angle of attack 10 degrees. Stalling at 7 200 RPM.
Figure 12 – The thrust measurement, angle of attack 12 degrees. Stalling at 6 900 RPM.
4 References
ANITA I. ABREGO, ROBERT W. BULAGA, Performance Study Of A Ducted Fan System,
NASA Ames Research Center, Moffett field, CA, Document ID: 20020052231
ASTROM K. J. and WITTENMARK B., Computer-Controlled Systems: Theory and Design,
Prentice-hall, Information and Systems Sciences Series, third edition, 1996. ISBN
0133148998.
17
GORDON Leishman J., Principles Of Helicopter Aerodynamics, Cambridge University Press,
2000. ISBN 0-5216606-0-2.
MORT, K.W. and GAMSE, B., A Wind Tunnel Investigation of a 7-Foot-Diameter Ducted
Propeller, NASA, august 1967, TN D-4142.
18
Testování vlastností typových piezoaktuátorů
LOS, Jaroslav1 & MAHDAL, Miroslav2
1
Ing.,
2
Ing., Ph.D.,
VŠB –
[email protected]
VŠB – Technická univerzita Ostrava, Česká republika,
Technická
univerzita
[email protected]
Ostrava,
Česká
republika,
Abstrakt: Piezoelectric actuators are interesting actuators which are used at more
applications more often in latest years. Applications of these actuators are in the area of
active vibration control by which we also deal with at our department. For that reason
knowledge of these actuators is main assumption for their usage. This paper is focused on
actuator static characteristic's measurement and decline of extension in dependence on static
load. Five piezoelectric actuators have been tested and are divided according to whether they
include inner measurement or not. Their size and maximum extension are the same.
Differences will be introduced and compared. All measurements have been realized at
laboratory model assembled for these tests. Comparison of measured data of tested
piezoelectric actuators results from this paper.
Klíčová slova: akční člen, piezoaktuátor, piezo, charakteristika
1 Piezoelektrické akční členy
Piezoelektrické akční členy, které jsou někdy také označovány jako piezoaktuátory,
představují přímočaré motory pracující na principu zpětného piezoelektrického jevu. Tento
jev je chápán jako deformace krystalové mřížky piezoelektrického materiálu vlivem působení
elektrického pole. Toto pole způsobí změnu polarity na okrajích krystalové mřížky
piezoelektrického materiálu a tím i změnu tvaru, tedy deformaci. Přírodní piezoelektrické
materiály jsou například křemen a topaz. Tyto přírodní materiály dosahují velice malého
prodloužení. Proto se pro piezoelektrické akční členy používají speciální keramiky PZT, které
mají daleko lepší vlastnosti.
X3
-
+
X2
+
-
+
+
+
Y
Y
-
-
-
+
-
+
X1
X1
Obrázek 1 – Deformace krystalové mřížky
V dnešní době jsou nejrozšířenější tři typy piezoelektrických akčních členů. První typ
jsou piezoaktuátory, které převádí přímočarý pohyb na pohyb rotační. Tyto akční členy jsou
označovány jako ultrasonické motory. Dalším typem jsou piezoelektrické bimorfy. Tyto akční
členy jsou vetknuté piezoelektrické nosníky, které při působení elektrického pole ohýbají
tento nosník, čímž dochází k pohybu požadovaným směrem. Třetím typem nejčastěji
používaných piezoaktuátorů jsou tzv. piezoelektrické stack aktuátory. Jedná se o akční členy,
které jsou složeny z více piezoelektrických elementů. Mezi jednotlivými elementy jsou
19
umístěny tenké elektrody, kterými se stimuluje elektrické pole odpovídající požadovanému
prodloužení. Počet a tvar těchto elementů určuje výsledné vlastnosti, jako jsou maximální
prodloužení nebo maximální možné zatížení. V tomto příspěvku se zaměřujeme právě
piezoelektrické akční členy typu stack. Tyto akční členy jsou na našem pracovišti používané
pro aktivní řízení vibrací. Proto je nutností znát dokonale vlastnosti těchto akčních členů.
DL
fD
fD+DD
+
L+DL
U
+
L
L
-
Obrázek 2 – Piezoelektrické akční členy typu stack
2 Vlastnosti piezoaktuátorů
Zatížen
Pokles
Nezatížen
Zatížen
Aktuátor
Posunutí [m]
ks
Nezatížen
Aktuátor
m
Max
Max
Pokles
Hmotnost
Posunutí [m]
Základní vlastností piezoelektrických akčních členů je, že v otevřené smyčce vykazují
hysterezi a jedná se tedy o nelineární člen. V dnešní době jsou známé způsoby, jak tuto
hysterezi odstranit. Základní způsob je použití zpětné vazby, která ovšem potřebuje měřicí
člen zapojený právě do zpětné vazby. Druhý způsob je kompenzace prostřednictvím
inverzního modelu, který po odladění již nepotřebuje pro svou správnou funkci měřicí člen.
K vytvoření inverzního modelu je nutné znát dokonale vlastnosti daného piezoaktuátoru, což
zahrnuje i znalost průběhů hystereze. Z tohoto důvodu se dále zaměřujeme na měření
statických charakteristik, které jsou používány k sestavení inverzního modelu k danému
akčnímu členu.
Důležitou vlastností, se kterou je nutné u těchto akčních členů počítat, je pokles
maximálního prodloužení vlivem zatížení. Toto zatížení může být statické nebo dynamické.
Dynamické zatížení představuje vzrůstající zatížení od počátečního stavu. Zde dochází
k poklesu prodloužení v závislosti na tuhosti zatěžování a na samotné tuhosti piezoaktuátoru.
Při tomto zatížení se mění průběh hystereze. U statického prodloužení dochází k poklesu
prodloužení vlivem tuhosti samotného piezoeaktuátoru, ale nedochází ke změně průběhu
hystereze. V tomto příspěvku se zaměřujeme na ověření poklesu maximální prodloužení při
působení právě statické síly.
Pokles
0
Max
Napětí [V]
0
Obrázek 3 – Statické a dynamické zatížení piezoakuátorů
20
Max
Napětí [V]
3 Testované piezoaktuátory
Jak již bylo zmíněno, testované piezoaktuátory se řadí do skupiny stack. Tyto akční
členy jsou a budou používané pro aktivní řízení vibrací na našem pracovišti a proto je nutné
podrobně znát vlastnosti těchto akčních členů.
Otestováno bylo 5 kusů těchto akčních členů, které se od sebe liší pouze tím, jestliže
obsahují vnitřní odměřování nebo nikoli. Vnitřní odměřování slouží k realizaci zpětné vazby a
tím i k linearizaci výstupu. V otevřené smyčce však všechny tyto akční členy vykazují
hysterezi. Modely piezoaktuátorů s označením P-844.60 neobsahují vnitřní odměřování, ale
P-845.60 ano. Byly testovány dva piezoaktuátory, které neobsahují vnitřní odměřování a tři
s odměřováním. Základní tabulkové hodnoty, které uvádí výrobce, jsou uvedeny v Tabulce 1.
Jak lze vidět vlastnosti těchto akčních členů pro otevřenou smyčku jsou stejné. Odchylky
v maximálním prodloužení o 20 procent jsou velké a je tedy nutné tyto hodnoty ověřit.
Tabulka 1: Základní vlastnosti testovaných piezoaktuátorů
Model
P-844.60 (2x)
P-845.60 (3xVO)
90±20%
90±20%
Maximální prodloužení [m]
38±20%
38±20%
Statická tuhost [N/m]
Síla v tahu [N]
700
700
Síla v tlaku [N]
3000
3000
Rezonanční frekvence [kHz]
5,5±20%
5,5±20%
4 Laboratorní zařízení
Jelikož se zabýváme využitím piezoaktuátorů pro aktivní řízení, bylo žádoucí ověřit si
naše možnosti měření udávaných vlastností těchto akčních členů v našich podmínkách.
Z tohoto důvodu bylo přikročeno k sestavení laboratorního zařízení, na kterém by bylo možné
tyto vlastnosti ověřovat. Zařízení bylo navrženo s ohledem na možnou variantnost celého
systému. To představuje možnost testovat jak piezoaktuátory typu P-844.60 a P-845.60, tak
také menší typ P-842.40. Protože je toto laboratorní zařízení sestavené z hliníkových profilů
umožňující jednoduché a pevné spojení, je možné změnit nastavení podle požadavků a tím
toto zařízení použít i pro jiné účely.
Jelikož pro zatížení piezoaktuátoru statickou silou
přibližně 3000 N bychom v ideálním případě potřebovali
velikou hmotnost o váze přibližně 300 kg a manipulace
s touto hmotností v laboratorních podmínkách by nebyla
lehká, přistoupili jsme k možnosti zatěžování nosníku
pomocí předepnutí pružiny. Tato varianta je daleko
úspornější a co do rozměru zařízení a manipulace je
jednodušší. Nevýhodou ovšem je tuhost použitých pružin,
které při maximálním prodloužení způsobí nárůst zatížení
přibližně o 18 N, nejde tedy o dokonalé zatížení statickou
silou. Z důvodu rozsahu přibližně 3000 N, se ovšem
jedná o zanedbatelnou sílu. Stlačování pružiny je
realizováno prostřednictvím šroubu, který má své vedení
upevněné v horní části konstrukce. Tímto šroubem se
nastavuje výsledné zatížení, které působí na
piezoaktuátor. Unifikační jednotka snímače síly obsahuje
i grafický výstup v podobě aktuálního zatížení a proto je
možné ruční nastavení zatěžující síly prostřednictvím
šroubu.
Obrázek 4 – Laboratorní zařízení
21
5 Způsob měření
Základní princip zatěžování piezoaktuátoru byl již nastíněn a jedná se tedy o zatěžování
prostřednictvím předepnuté pružiny, která působí na nosník. Nosník je z jedné strany upevněn
prostřednictvím kloubového spoje a na druhé straně působí piezoaktuátor jako podpěra.
Pružina tedy působí jako generátor síly a maximální zatížení, které je schopna vyvinout, je
stanoveno výrobcem na 5500 N. Po přepočtu na místo působení piezoaktuátoru můžeme
teoreticky dosáhnout síly 4200 N, jelikož pružina nepůsobí přímo nad piezoaktuátorem, ale
působí v blízké vzdálenosti od piezoaktuátoru.
V testu dosahuje maximální zatížení piezoaktuátorů přibližně 1700 N, což představuje
větší polovinu rozsahu maximálního zatížení piezoaktuátorů. Měření při vyšších zatíženích je
omezeno rozsahem snímače sil. Při testu se nastavila počáteční zatěžující síla, aby byly
odstraněny nežádoucí vůle, které mohou vzniknout v zatěžujícím mechanismu. Následně byl
zvolen krok zatížení, pro který byly měřeny jednotlivé charakteristiky.
Snímání odchylek bylo realizováno prostřednictvím kapacitního snímače CS05 od
výrobce micro-epsilon, který má měřicí rozsah 0,5 mm. Tento snímač byl umístěn nad místem
působení piezoakutátoru, aby byly elimininovány možné odchylky.
Data ze snímačů síly a odchylek byla zaznamenávána prostřednictvím multifunkčního
signálového analyzátoru Pulse od firmy Brüel & Kjaer.
Obrázek 5 – Laboratorní zařízení
Měření bylo realizováno tak, že po zatížení piezoaktuátoru prostřednictvím pružiny
danou silou, byl na vstup zesilovače piezoaktuátorů přiveden signál. Tento signál stoupal po
skokových změnách 1 V od 0-10 V a následně klesal po skokové změně 1 V od 10-0 V.
Časový interval jednotlivých skoků byl 4 sec. Tento signál byl budícím signálem pro
piezoaktuátory a byl generován prostřednictvím I/O USB jednotky připojené k PC. Odezva
piezoaktuátoru v podobě prodloužení byla následně snímána prostřednictvím snímače
odchylek. Ze získané odezvy byly sestavovány charakteristiky pro jednotlivá zatížení
piezoaktuátoru.
5 Vyhodnocení
Vyhodnocení v tomto příspěvku je pouze grafické z důvodu názornosti. Nejsou zde uváděny
odchylky měření a procentuální odchylky od udávaných hodnot. Chceme ukázat, že ačkoli se
22
jedná o typově stejné piezoaktuátory, jejich charakteristiky jsou pro stejné podmínky různé.
Na následujícím obrázku jsou zobrazeny statické charakteristiky jednotlivých piezoaktuátorů.
V prvním sloupci jsou zobrazeny statické charakteristiky při statickém zatížení a je zde vidět
pokles v prodloužení, který je způsoben tuhostí piezoaktuátoru. V pravém sloupci jsou
zobrazeny průběhy hysterezí pro jednotlivé zatížení. V tomto grafu lze vidět, že průběh
hystereze se relativně nemění a zůstává stejný pro jednotlivá zatížení.
Piezoaktuátor P-844.60 -6103
100
100
80
60
80
Prodloužení [m]
40
20
0
0N
-20
336 N
-40
641 N
-60
946 N
60
0N
336 N
40
641 N
946 N
20
1099 N
1251 N
-80
1557 N
1557 N
0
-100
0
2
4
6
Vstupní napětí [V]
8
10
0
12
2
4
6
8
10
12
100
100
80
60
80
40
20
0
0N
-20
336 N
-40
641 N
-60
946 N
60
0N
336 N
40
641 N
946 N
20
1099 N
1251 N
-80
1557 N
1557 N
0
-100
0
2
4
6
8
10
0
12
2
4
6
8
10
12
100
100
80
60
80
40
20
0
0N
-20
336 N
-40
641 N
946 N
-60
60
0N
336 N
40
641 N
946 N
20
1099 N
1251 N
-80
1557 N
1557 N
0
-100
0
2
4
6
8
10
0
12
2
4
6
8
10
12
100
100
80
60
80
40
20
0
0N
-20
336 N
-40
641 N
946 N
-60
60
0N
336 N
40
641 N
946 N
20
1099 N
1251 N
-80
1557 N
1557 N
0
-100
0
2
4
6
8
10
0
12
2
4
6
8
10
12
100
100
80
60
80
40
20
0
0N
-20
336 N
-40
641 N
946 N
-60
60
0N
336 N
40
641 N
946 N
20
1099 N
1251 N
-80
1557 N
1557 N
0
-100
0
2
4
6
8
10
0
12
2
4
6
8
10
12
Obrázek 6 – Grafické vyhodnocení naměřených statických charakteristik
23
Piezoaktuátor s označením 3103 se svými vlastnostmi liší od ostatních a to tak, že
nezachovává průběh hystereze při působení zatížení, ale jeho hystereze mají různé průběhy
při různých zatíženích. Zvláštností je potom jeho závislost, kdy maximálního prodloužení
dosahuje při nejvyšším zatížení a naopak při relativně nulovém zatížení dochází
k nejmenšímu prodloužení. Předmětem tohoto příspěvku ovšem nebylo hlubší zkoumání této
nežádoucí vlastnosti.
6 Závěr
Tento příspěvek vzniknul z potřeby znalosti vlastností piezoaktuátorů, které budou
používané pro aktivní potlačování vibrací. Pro simulace aplikací s aktivním řízením, kde se
využívá piezoaktuátorů je znalost matematických modelů těchto akčních členů potřebná.
Simulační modely piezoaktuátorů jsou v dnešní době realizované prostřednictvím Praisachova
a Prandltova-Išlinského modelu hystereze. Pro vytvoření simulačního modelu piezoaktuátorů
prostřednictvím těchto dvou modelů je znalost průběhů hystereze nezbytná. Z průměrných
naměřených průběhů hysterezí pro jednotlivé piezoaktuátory budou vytvořeny právě
simulační modely těchto akčních členů. Tyto modely se dají dále použít pro kompenzaci
hystereze prostřednictvím inverzního modelu.
Na následujícím obrázku jsou zobrazeny průměrné statické charakteristiky jednotlivých
piezoaktuátorů obsahující hysterezi. Z těchto charakteristik jsou patrné rozdíly mezi
jednotlivými piezoaktuátory. Všechny měřené piezoaktuátory pracují v rozmezí maximálního
prodloužení 90±20% µm. Nejmenšího prodloužení bylo dosaženo piezoaktuátorem
s označením 3103, který dosáhl průměrného prodloužení 76 µm. Toto prodloužení je na
spodní hranici daného rozsahu výrobce. Největšího prodloužení dosáhl piezoaktuátor
s označením 1473 a to 101,5 µm.
Pokles prodloužení v závislosti na
zatěžující síle
Průměry jednotlivých piezoaktuátorů
100
100
80
80
6104
1473
3103
60
6104
6103
40
3104
3103
20
3104
60
6103
40
20
1473
0
0
0
2
4
6
8
10
12
0
500
1 000
Statické zatížení [N]
1 500
Obrázek 7 – Průměrné průběhy statických charakteristik a závislost poklesu prodloužení
na zatěžující síle
7 Použitá literatura
Physik Instrumente, 2009, Piezoelectrics in Positioning, Tutorial on Piezotechnology in
Nanopositionnig Applications. Dostupný z:
<http://www.physikinstrumente.com/en/pdf_extra/2009_PI_Piezo_University_Designing_wit
h_Piezo_Actuators_Tutorial.pdf>
24
2 000
Benchmark of Learning Algorithms for Piecewise-Linear Neural
Network
MARIŠKA, Martin & DOLEŽEL, Petr
Nám. Čs. legií 565, 532 10 Pardubice, University of Pardubice, Faculty of Electrical
Engineering, Department of Process Control,
e-mail: [email protected], [email protected]
Abstract: Article introduces a benchmark of algorithms for training of piecewise-lienar
artificial neural networks (ANN) with linear saturated activation function in hidden layer.
Special topology of the ANN is used because of its expediential usage for plant control.
Accuracy and speed of convergence is important for next usage of this special approach in
plant control, and article aims on discovering the best general purpose training algorithm for
software framework called Encog. Benchmarking data are based on real problems.
Keywords: piecewise-linear neural network, benchmark, machine learning algorithms,
process control
1 Introduction
An artificial neural network (ANN) is an adaptive mathematical structure that reorganizes
and changes its structure based on external or internal information that flows through the
network. Nowadays, it is especially used for modeling of complex nonlinear relationships
between input and output datasets or decision making tools. The ANN is now widespread thru
plenty of scientific domains. The ANN models have been found useful and efficient,
particularly in problems for which the characteristics of the processes are difficult to describe
by physical equations or have a complex structure.
2 Motivation
A special topology used for linearization of the nonlinear model exists for the ANN. This
approach can be used for process control and detailed methodology is described in Doležel et
al. (2011).
This piecewise-linear (PWL) ANN is one-layered feed-forward neural network that can
have only one neuron in output layer. Besides it has saturated linear activation functions in
hidden layer and linear activation function in output layer (see Fig. 1). However, the
methodology doesn’t have any recommendation about the machine learning algorithms.
Methodology only describes that approximation quality of real system is given by quality of
training. Therefore, the problem is in speed and performance of the machine learning
algorithm. The main purpose of this contribution is to identify the fastest general purpose
algorithm that can be used for training of the PWL ANN with linear saturated activation
functions in hidden layer.
25
∑
∑
∑
Output
layer
∑
Input
layer
Hidden
layer
Figure 1 – Typical structure of piecewise – linear neural network
3 Algorithms
For training of the piecewise-linear ANN, the supervised machine learning algorithms are
selected because the input and output data are always known. Most of the machine learning
algorithms use back propagation of actual error, thus these algorithms need derivative
activation functions. The ANN topology uses the saturated linear activation functions in
hidden layer due to piecewise-linear modeling. The saturated linear function is not
differentiable at starting point of saturation so the derivative function is replaced by derivative
function of hyperbolic tangent function. Brief information about selected benchmarked
learning algorithms:
 Levenberg–Marquardt (LM) – the algorithm that combines the advantages of
gradient-descent and Gauss-Newton methods. Algorithm is described in
Levenberg (1944), Marquardt (1963) and in this concrete implementation of
algorithm is added Bayesian regularization to overcome the problem in
interpolating noisy data, more information in Foresee et al. (1997).
 Scaled Conjugate Gradient (SCG) – the algorithm based on conjugate directions
but it does not perform a line search at each iteration. For more details see Moller
(1990).
 Resilient Propagation – (RPROP) the algorithm based only on change of the sign
of the partial derivative over all patterns (not the magnitude), and it acts
independently on each "weight". For each weight, if there is a sign change of the
partial derivative of the total error function compared to the last iteration, the
update value for that weight is multiplied by a factor η−, where η−< 1. If the last
iteration produced the same sign, the update value is multiplied by a factor of η+,
where η+> 1. The update values are calculated for each weight as described above.
At the end, each weight is changed by its own update value in the opposite
direction of that weight's partial derivative, so as to minimize the total error
function. See more in Riedmiller et al. (1993), Igel et al. (2000).
 Quick Propagation (QP) –the algorithm based loosely on Newton’s method but
fundamentally it is more heuristic than formal. It makes two risky assumptions. At
first, the error vs. weight curve for each weight can be approximated by a
parabola whose arms are opened upward. At second, the slope change of the error
curve, as seen by each weight, is not affected by all other weights which are
26
changing at the same time. For each weight independently, the algorithm uses the
previous and current error slopes and the weight-change between the points at
which these slopes were measured to determine a parabola. QP then jumps
directly to the minimum point of this parabola. More in Fahlman (1988).
The basic Backpropagation algorithm can’t reach target error. In most cases of measuring
it was inapplicable for benchmark, therefore it is discarded from algorithm set for
benchmarking.
4 Benchmark
For measuring performance, the Caliper was used (Caliper is Google's open-source
framework for java). Framework handles a lot of inconveniences and inaccuracies connected
with measuring or benchmarking code in java. The PWL ANN was implemented in
framework called Encog (Machine Learning Framework) in version 3.1.0. The main idea is to
measure the speed of training in time units. Training speed in time units depends on the speed
of convergence, computational demands or other performance characteristics (for example
quality of implementation and code design). For comparative reasons, we propose the
algorithm that defines same rules for all measurements (see Fig. 2). Start and end points in
flow chart define place where measuring of time starts and stops.
start
read: trainingSet
read: validationSet
read: network
read: targetError
i = 0, replications
reset network
TM := create train method
TM add train reset strategy
epoch := 1
reset network
process Train Iteration
trainError := network.computeError(trainingSet)
epoch := epoch + 1
YES
trainError = Infinity
NO
trainError < targetError
NO
YES
validationError := network.computeError(validationSet)
validatioError < targetError OR epoch > 30000
YES
NO
end
Figure 2 – Algorithm in flowchart for measure function
One of the most important parameters is target error. The target error determines escape
condition for training. If calculated error from validation set is less than target error, the
training ends. Measure algorithm uses important strategy (this strategy isn’t in flowchart
27
exactly, but it is a part of benchmarked function). If training error isn’t less than target error
after 500 iterations (this is coefficient in benchmark), network weights are reset to new
values. This strategy helps to set the appropriate initial values of weights and helps to speed
up training.
In flowchart, there is some operation that needs an explanation. The operation “reset
network” means resetting the weight matrix and the bias values by Nguyen – Widrow
randomizer described in Nguygen et al. (1990). Input parameters for measure are training and
validation data, network, targeted error and number of replications.
The standard Mean Square Error (MSE) is used for determine error (1). Where ii is the
ideal value and ai is the actual value.
1 n
2


MSE   ii  ai  
n i1
5 Benchmark data sets
Most contributions present the performance results of the algorithms only for a very small
number of problems. In most cases, less than three problems are presented and one or several
of these problems are meaningless synthetic problems. One of the reasons could be that it is
difficult to get data for real problems. For this paper a subset of benchmark problems from
Proben1 is used. The Proben1 is set of standard datasets for the ANN evaluation based on real
problems. Brief explanation is presented in paragraphs below of chosen datasets. All datasets
descriptions are taken from Prechelt (1994):
 Cancer (classification problem) – Diagnosis of breast cancer. Try to classify a
tumor as either benign or malignant based on cell descriptions gathered by
microscopic examination.
 Glass (classification problem) – Classify glass types. The results of a chemical
analysis of glass splinters (percent content of 8 different elements) plus the
refractive index are used to classify the sample to be either float processed or non
float processed building windows, vehicle windows, containers, tableware, or
head lamps.
 Heart (classification problem) – Predict heart disease. Decide whether at least one
of four major vessels is reduced in diameter by more than 50%. The binary
decision is made based on personal data such as age, sex, smoking habits,
subjective patient pain descriptions, and results of various medical examinations
such as blood pressure and electro cardiogram results.
 Thyroid (classification problem) – Diagnose thyroid hyper- or hypofunction.
Based on patient query data and patient examination data, the task is to decide
whether the patient's thyroid has overfunction, normal function, or underfunction.
 Flare (approximation problem) – Prediction of solar flares. Try to guess the
number of solar flares of small, medium, and large size that will happen during
the next 24-hour period in a fixed active region of the sun surface. Input values
describe previous are activity and the type and history of the active region.
The topology requires only one neuron in output layer. Some datasets have more than one
output. In these cases outputs are transformed to only one value by (2).
n

output   ideal i  10i 

i 1
Where n is the number of ideal outputs and ideal is the appropriate dataset output. For
each input values normalization to interval <–1, 1> is used. For more detailed information
about datasets see Prechelt (1994).
28
6 Results
Each experiment is usually measured in 7 trials and if needed for required standard
deviation accuracy 5 more trials can be additionally measured. The threshold of standard
deviation is at least one digit place lower than measured result. The trials are executed with
replication parameter. The number of replications changes from 500 to 1000 and it depends
on the speed of executed code in benchmark function.
All results are introduced in Table 1. and they are presented in milliseconds. All results
were measured on computer with this hardware configuration: Intel Core i5 2.53GHz, 4GB
RAM, Windows 7 x64 and model: Acer Aspire 5820TG.
Some train methods converge slowly, therefore values above the threshold of 2000
milliseconds are rather approximate to real values. It cannot be measured with required
accuracy because of time and performance issues. This problem appears especially in HEART
and THYROID datasets.
Table 1. Benchmark Results
Parameters
Results [ms]
Target
Dataset
RPROP
Error
0,15
2,42
CANCER
0,10
2,89
0,05
3,95
0,15
0,84
GLASS
0,10
0,92
0,05
1,35
0,15
4,34
FLARE
0,10
5,38
0,05
7,79
0,15
39,78
THYROID
0,10
42,04
0,05
63,83
0,15
15,65
HEART
0,10
22,67
0,05
42,97
QP
SCG
LM
2,08
2,47
3,39
0,47
0,46
1,30
1,18
1,18
1,41
78,59
89,29
79,75
10722
19586
57324
40,7
64,7
91,4
0,80
15,46
27,8
3,02
3,13
3,7
2866,3
2830,7
4427,1
18,6
2055,1
8716,4
539.0
628.0
889,2
196,0
297,9
805,7
2094
2036
2016,7
3128,1
3342,1
83617
103788
206405
186146
QP has best results in three types of datasets (cancer, glass, flare). On the other hand, it
has notably bad results in heart dataset. If we consider that the Rprop is nearly as fast as QP
and faster in results from heart and thyroid, it could be considered as the best general purpose
algorithm. RPROP requires less adjustment of parameters than QP and hence Rprop is more
stable than QP.
7 Conclusions
The article is focused on indentifying the best machine learning algorithms for feed
forward artificial neural network with saturated linear activation function in hidden layer,
called piecewise-linear artificial neural network. Benchmark’s results in Table 1. prove and
show that the best training methods for this type of the ANN’s topology is the Quick
propagation but it is not suitable for all types of datasets. The best general purpose training
method seems to be the Resilient propagation. RPROP is more stable on vary problems than
others, and it has simple algorithm of calculation in each iteration, that is why it is fast and
robust. In addition, the benchmark shows that normally efficient LM algorithm is
computationally more demanding than others (especially this implementation). In benchmark
29
comparison, the LM is significantly slower than training algorithms preferred by this
contribution.
8 References
DOLEŽEL, P., TAUFER, I. A MAREŠ, J. Piecewise-linear neural models for process
control. In: 18th International Conference on Process Control. June 2011, s. 14-17.
FAHLMAN, S. E. An Empirical study of learning speed in back-propagation networks.
Technical report CMU-CS-88-162, September 1988.
FORESEE, D. F., HAGAN, M.T. Gauss-newton approximation to bayesian learning. In:
Neural Networks 1997, International Conference. On June 1997, pp.1930-1935 vol.3, 912.
IGEL,C., HUSKEN, M. Improving the rprop learning algorithm. In: Proceedings of the
Second International Symposium on Neural Computation. 2000, pp. 115–121.
LEVENBERG, K. A method for the solution of certain problems in leastsquares. In: Quart.
Appl. Math. 01/1944, vol. 2, pp. 164–168.
MARQUARDT, D. W. An algorithm for least-squares estimation of nonlinear parameters. In:
J. Soc. Ind. Appl. Math. 1963, vol. 11, pp. 431–441.
MOLLER, M. F. A Scaled conjugate gradient algorithm for fast supervised learning.
University of AarhusDenmark, November 1990.
NGUYEN, D., WIDROW, B. Improving the learning speed of 2-layer neural networks by
choosing initial values of the adaptive weights. In: Proceedings of the International Joint
Conference on Neural Networks. Stanford University, June 1990, pp. 21–26.
PRECHELT, L. A set of neural network benchmark problems and benchmarking rules.
Universita Karlsruhe Germany, September 1994.
RIEDMILLER , M., BRAUN, H. A direct adaptive method for faster backpropagation
learning: the RPROP algorithm. Inst. fuer Logik, Komplexitat und Deduktionssyteme,
Karlsruhe University, 1993 vol.1, pp. 586 – 591.
TAUFER, I., DRÁBEK, O., SEIDL, P. 2008. Umělé neuronové sítě – základy teorie a
aplikace (10). In: CHEMagazín, vol. XVII, issue 1, pp. 35-37. ISSN 1210-7409.
30
Pattern Recognition in Motion Analysis Using Neural Network
MORE, Marcel1 & LÍŠKA, Ondrej2
1
Ing.,
Department of Automation, Control and Human Machine Interaction, Faculty of
Mechanical Engineering, Technical University of Košice, Letná 9, 04200 Košice, Slovakia
[email protected],
2
doc. Ing, CSc.,
[email protected]
Abstract: Application potential of motion analysis today is extensive. Thanks to still more
affordable sensors for motion measurement and high performance computers, this can be
used not only in professional fields, but it is still more used in devices used for entertainment
or daily use. One of the applications of motion analysis, which can be fully automated, is
recognition of motions. Systems that can recognize gestures and specific patterns in signals
from motion sensors can be utilized in medical practice, where they help to speed up routine
activities related to measurement processing, but also in devices like cell phones or remote
controllers, where this technology is used as non-standard form of input. Although today
there are several approaches to solve this problem, it’s still challenging to assemble
sufficiently reliable system. This paper describes how we use artificial neural network to solve
this problem. In difference to other solutions, this one doesn’t require to build model for each
specific sensor, thus can be used in combination with various measuring systems without need
for extensive structural changes.
Keywords: pattern, recognition, motion, analysis, neural, network
1 Introduction
Today there are various ways to track and analyze human motions. There are contactless
methods based on cameras, that can recognize key points in image and by change in their
position they can determinate motion in two dimensional space, or when using more cameras
even in third dimension. Another technique is to use sensors that can measure velocity and
direction of motion and therefore determine change in position of an object. Such sensors are
for example accelerometers and gyroscopes which today, mainly thanks to MEMS
technology, have miniature dimensions and can be therefore used in devices like
wristwatches, wearable sensor networks, cell phones, etc. Data measured by these methods
can be evaluated in different ways and for different purposes. One of the first applications of
motion analysis was in medicine, both for diagnostic purposes, but also in sports medicine to
analyze progress in training. Although from the beginning there were attempts to use
computers for this task, in some stage there was always need for human intervention. Of
course procedure like this was demanding, time consuming and it was not possible to use it in
larger scope.
2 Pattern recognition in motion analysis
With progress in information technologies there was also developed new methods for
automatic signal processing. These make whole process of motion analysis easier by
transferring routine activities from humans to computers. Today there are systems that can
process even complex signals from motion sensors and within them they can identify key
components characteristic for different kinds of motions. With complete automation of this
31
process, there appear also new possibilities of its use. With still more affordable sensors for
motion measurement and availability of more powerful computers, some parts of motion
analysis are being used in devices designed for entertainment or for daily use. Such devices
are for example cell phones or remote controllers, where gestures recognized in their
movement are used to control them (Fig.1,2). Controlling devices by gestures, mostly by
hand, instead of standard input devices have many advantages. Usage of gestures is for many
people more natural and requires less fine motor skills than usage of keyboards or touch
screens. For some people, this is actually the only way to operate various devices.
Figure 1 – Concept of gesture controlled TV
remote [1]
Figure 2 – Concept of cell phone controlled
by gestures [1]
Although higher power of today’s computers allows us to use in analysis more complex
algorithms than before, recognition of match between measured signals and reference model
remains still a nontrivial task. It is mainly because of fact, that even if we try to repeat the
same movement identically, measured signal will still have larger or smaller deviations
compared to previous measurements. Therefore, when designing system for recognition, it is
necessary to consider that processed signal can be time-shifted, dilated or it can have some
other form of deformation. This effect is even worse when there is more time elapsed between
measurements or when the same movement is performed by multiple subjects. This means
that the recognition system must be sensitive enough to discern a signal slightly different from
the reference, but also robust enough to not return false positive results. Currently, when it
comes to pattern recognition, usual choice is to use Hidden Markov Model (HMM) [2], [3]. It
is being used in motion recognition as well as in speech and image processing. But this
method is complicated because there is need to assemble complex model for each sensor used.
This is why we decided to use another approach and that is pattern recognition using neural
network.
3 Using neural network for pattern recognition
In our project we use inertial measurement unit (IMU) consisting of 3-axis analog
accelerometer MMA7431 from FreeScale and 3-axis digital gyroscope ITG3200 from
InvenSense (Fig.3,4). Data from these sensors are acquired by microcontroller unit Atmel
ATmega32L and send to computer at speed of 100 kilobauds. With this assembly we can
track movement in all six degrees of freedom with sampling frequency much higher than it is
necessary to study human motions. Although accelerometers and gyroscopes are principally
designed to measure different components of motion, most complex gestures generates
32
waveforms in acceleration and angular velocity domain unique enough to identify them. That
is why it is not necessary to use data from both sensors. This paper describes usage of same
system to process data from sensors which are usually not interchangeable.
Figure 3,4 - Inertial measurement unit used for testing [4]
Function of recognition system
IMU don’t process data, it just transferred them to computer. Before they enter neural
network, they go through very little processing. First, data from both sensors are cleared from
offset, which is difference between measured value and zero in state, when the device is not
moving. Besides that, data from accelerometer are run through low-pass filter, because signal
from it is fairly noisy. This data are continually monitored and program waits for one of the
values to exceed threshold values of acceleration or angular velocity, which could mean that
there is a gesture in progress. After system detects beginning of motion, measured data are
recorded until they fill up given frame. Length of the frame and sampling frequency is
adjustable, but for backward compatibility it is convenient to choose and use same values.
Determination of right frame length is not critical, but it has significant impact on overall
system performance. If the frame is too short, it cannot span over whole gesture and therefore
recognition capability is limited. But if it is too long, it contains lot of unnecessary data that
are not important for functionality, but slow down whole process. Therefore right frame
length should be determined based on the expected inputs.
Figure 5,6 - Gesture waveform measured by gyroscope (left) and accelerometer (right)
33
Frame processed like this is an input to the neural network, where the number of neurons
in the input layer is equal to the number of samples in one frame. Because we use data from
all three axes, there is one neural network for each of them and final result is based on mean
value of these three partial results. This solution has proved to be more reliable over the use of
one neural network for all data. But this way, when we try to use gesture that has not
significant waveform in some dimension (like X axis on Fig.7), neural network assign to this
axis will be unable to learn properly and will always return uncertain result. But this is
sufficiently compensated by averaging this result with other two certain results (Fig.7).
Important role in this is also right setup of threshold, which is the value by which the final
result is considered positive.
Figure 7 – Final result based on three partial
results
Figure 8 - Change of error during learning
cycles
Training of neural network
In our project we use Backpropagation method to train neural networks. This is a form of
supervised training in which the neural network tries to learn the relationship between inputs
and outputs based on a given examples. When preparing training sets for the network,
procedure of data processing must be same as when we use it. Gesture which we want to be
recognized is entered in form of several samples. These samples must have some level of
diversity, so that trained network will eventually be sufficiently sensitive. When building
training sets, it is preferable to take measurements with more than one subject and also not all
of them in one time. This helps to reach required level of variance. To achieve correct results,
it is also important to assign negative examples. These are motions and gestures, which we
don’t want to be recognized. If we know in advance what group of gestures will be used, we
can set all other gestures from the group as negative examples and therefore increase
reliability of recognition. Selection of appropriate training sets and proper selection of
parameters of neural network is crucial for right function of whole system.
Training of neural network is pretty time consuming, require lot of computing power and it’s
getting worst with increasing number of training sets, longer frames, etc. But on the other
side, use of trained network is pretty quick and saved neural network requires only few
kilobytes of memory. Because of this, there isn’t problem to build up libraries containing
more trained networks and use them as needed.
34
Verification of accuracy
As it was mentioned above, correctly working system for recognition must be able to
recognize gestures with slight differences, but at the same time it must be solid enough so that
it don’t return false-positive results. Accuracy of recognition depends on many factors.
Besides right setup of the network it is also dependant on type and number of gestures used.
To verify attributes of our system, we setup simple experiment. For every variant of input we
conducted series of 150 measurements and their results are in Table 1.
Table 1. Accuracy of recognition using different inputs
Sensor
Signal processing
Accuracy
Comment
gyroscope
internal low-pass
97,3%
accelerometer
low-pass
94,6%
accelerometer
none
78,6%
gyroscope
internal low-pass
false-positive results test
0%
As it can be seen in this table, best results come from gyroscope. It is mainly because data
coming from accelerometer are, regardless of filtering, affected by noise. This is noticeably
worst when there is no filter used. Last test was aimed to find out if our system generates any
false-positive results. As an input in this test were used gestures evidently different from
reference and goal was to find out how many times system return positive result. From the
150 measurements, none of the results come back positive, which means that well trained
neural network has potential to serve as system for pattern recognition in motion analysis.
4 Conclusions
Applications of MEMS sensors for motion measurement today are still greater. Thanks to
their affordability and useful characteristics, they find their usage in many devices. One of the
ways they can be used in modern gadgets is for gesture control. Today there are systems that
can recognize patterns in waveforms generated by motion sensors and base on them they can
identify different gestures. But it is still difficult task to build such an algorithm and it
involves several complications. In our project we decided to take less conventional approach
and we use artificial neural network instead of standard algorithm. We've put together system
that, thanks to the specific characteristics of neural networks can work with different kinds of
sensors without need for significant changes in his structure. To verify his properties, we
conducted simple experiment, which showed that well trained neural network is capable to
reliably recognize simple gestures. Further development of this system should focus on
recognition of complex gestures and also sequential movements. In the future we would also
like to explore the possibilities of its use in portable devices, in which recognition of gestures
has most significant use.
Acknowledgment
The research work is supported by the Project of the Structural Funds of the EU,
Operational Programme Research and Development, Measure 2.2 Transfer of knowledge and
technology from research and development into practice. Title of the project: „Research and
development of intelligent nonconventional actuators based on artificial muscles”, ITMS
code: 26220220103.
35
References
[1] BORZA, P. Motion-based Gesture Recognition with an Accelerometer : Bachelor’s Thesis
[online] Babes-Bolyai University of Cluj-Napoca, Romania, 2008 [cit. 2013-04-23].
Available from www: <URL:accelges.googlecode.com/files/ThesisPaper.pdf>
[2] BENBASAT, A., PARADISO, J. An Inertial Measurement Framework for Gesture
Recognition and Applications [online].[cit. 2013-04-23]. Available from www:
<URL:http://pdf.aminer.org/000/238/224/an_inertial_measurement_framework_for_ges
ture_recognition_and_applications.pdf>
[3] HIESEY, J., MELLINA, C., ZAVAIN, D. Incorporating Weighted Clustering in 3D
Gesture Recognition [online] Standford, 2011,. [cit. 2013-04-23]. Available from www:
<URL:http://cs229.stanford.edu/proj2011/HieseyMellinaDarIncorporatingWeightedClusteringIn3DGestureRecognition.pdf>
[4] ŠIMŠÍK, D. et al. Design of inertial module for rehabilitation device . In SAMI 2013.
Herľany SR : Budapest IEEE, 2013, ISBN 978-1-4673-5926-9.
[5] ŽIDEK, K., ŽUPA, T., FERIANČIK, M. Využitie MEMS snímačov pre meranie
nebezpečného náklonu mobilných zariadení. In Automatizácia a riadenie v teórii a
praxi ARTEP 2010. Stará Lesná SR : Košice TU, 2010, ISBN 978-80-553-0347-5.
[6] SHI, G. et al. Towards HMM based Human Motion Recognition using MEMS Inertial
Sensors . In Proceedings of the 2008 IEEE International Conference on Robotics and
Biomimetics [online] Bangkok Thailand, 2008,[cit. 2013-04-23]. Available from www:
<URL:http://edge.rit.edu/content/P10010/public/PDF/getPDF2.pdf>
[7] ŠIMŠÍK, D. et al. Trendy vo využívaní MEMS snímačov. In Automatizácia a riadenie v
teórii a praxi ARTEP 2013. Stará Lesná SR : Košice TU, 2013, ISBN 978-80-5531330-6.
[8] ŽIDEK, K., HOŠOVSKÝ, A., MAXIM, V. Real-time safety circuit based on combined
MEMS sensor data for rehabilitation device. In ICCC 2012. Podbanské SR : Piscataway
IEEE, 2012, ISBN ISBN 978-1-4577-1866-3.
36
Optimization of The Permanent Magnet Synchronous Motor
Design Using Femm and Measuring Hysteresis Loop
NOVÁK, Zdeněk, NOVÁK, Martin & CHYSKÝ, Jan
Ing.,
Czech Technical University in Prague, Faculty of Mechanical Engineering,
Department of Instrumentation and Control Engineering, Technická 4, 166 07 Prague,
Czech Republic,
[email protected],
http://control.fs.cvut.cz/cz/lide/novak-zdenek
doc. Ing., Ph.D.,
martin
doc. Ing., CSc.,
[email protected],
[email protected],
http://control.fs.cvut.cz/cz/lide/novak-
http://control.fs.cvut.cz/cz/lide/chysky-jan
Abstract: When a wire is connected to a power source and electric current starts to flow
inside the circuit, then the magnetic field is created around current-carrying wire. This
magnetic field can be amplified with using a ferromagnetic material. This effect is used for
example in electric motors. This paper deals with the measuring of hysteresis loop of the
toroidal shape core, so it is possible to obtain its characteristics and also total loss of power
consumed by the magnetic material in the AC magnetization. These results will be used for
improvements of design of the permanent magnet synchronous motor (PMSM), where the
toroidal core will be used as a stator. To automate process of measuring hysteresis loop,
software LabVIEW is used, while the Matlab software is used to automate the optimization
process of design.
Keywords: Hysteresis loop, PMSM, LabVIEW, Toroidal core
1 Introduction
Knowledge of the hysteresis loop for the material of stator core in the permanent magnet
synchronous motor (PMSM) is a very important part of the motor’s design. The hysteresis
characteristics itself consists of the dependence between the magnetic field intensity H (t) and
the magnetic flux density B (t). Its dimensions and shape widely influence stator core losses
of the PMSM which are not negligible [1, 6]. Using software such as FEMM (Finite Element
Method Magnetics) it is possible to implement data of the known B-H curve in the process of
the motor’s design and improve its properties, so the core power losses can be decreased.
Measurement of the hysteresis loop of the toroidal shape core is made by using
LabVIEW. Similar papers and literature about this topic have been already published [2, 3].
One of our goals is to check the dependence between the frequency of the generated signal
and the shape – and therefore losses – of the hysteresis loop for our stator material. Also if
possible, we would like to find an influence of the core’s operating temperature to our results.
This all has to be made by using low cost amplifier and other devices, because professional
equipment used in the industry is expensive [4].
2 Design of the hysteresis measurement
Measuring procedure is based on [2] and is shown in figure Fig. 1. Signal generator is a
frequency generator with a given frequency and amplitude of a generated sinusoidal signal.
This signal is then amplified by the 400W amplifier and the current i1 (t) is measured by the
current probe.
37
Output from the current probe is a voltage and it is measured by the NI USB-6210
(National Instruments data acquisition device with USB PC connection). Due to the current
flow in the primary winding of the toroidal shape core, the magnetic field intensity H (t) is
created. Its magnitude can be calculated based on Ampere’s law as [2]:
N i (t )
(1)
H (t )  1 1
2r
where N1 is the number of turns in the primary winding, i1 (t) is the current in the same
winding and r is the middle radius of the toroidal shape core (value of denominator is the
equivalent to the magnetic length of the material).
Result of the magnetic field intensity H (t) is the creation of the magnetic flux  (t ) inside
the core. Then, the magnetic flux density B (t) can be measured and calculated based on the
induced voltage u2 (t) as [2]:
t
1
(2)
B(t )  B0 
u 2 ( )d
SN 2 0
where N2 is the number of turns in the secondary winding, u2 (t) is the induced voltage of
the secondary coil, S is the cross section of the toroidal shape core and B0 is an offset.
The integration is a time consuming method and with increasing frequency the noise is
expected to increase. Based on the [2] direct voltage measurement can be applied only up to
200 Hz and some filters has to be used to cut the added noise. Therefore using analog RC
passive integrator seems to be a good way how to increase possible applied frequency (up to 1
kHz [2]) and even not to use any further signal processing algorithms, because it is working as
a low-pass filter. Measured voltage is then given by [2]:
t
1
(3)
v2 (t )  
u 2 ( )d
RC 0
where v2 (t) is the measured voltage on capacitor, R is the value of used resistor, and C is
the value of used capacitor in the integrator circuit. After acquiring data from measured
voltage, induced voltage can be then easily calculated and substituted into equation (2)
without offset B0.
In the end, all the data from measurements are saved in PC and ready for further analysis.
Figure 1 – Measuring procedure
38
2.1 Using LabVIEW for data acquisition
For the purposes of our measurements, adjustable graphical user interface (GUI) was
created. Because in the future we would like to measure different materials of toroidal shape
cores, variables such as N1, N2, frequency of modulated signal, number of data samples/s, S, r
can be changed without having to interfere with values in the program block diagram. GUI is
shown in Fig. 2 and program block diagram can be found in Fig. 3. All acquired data together
with input variables are saved in a data file, from where they can be used for further analysis
in the future.
Figure 2 – GUI from LabVIEW
Figure 3 – Program block diagram
39
3 Analyzing acquired data
Parameters of tested toroidal shape core together with supplementary parameters can be
found in Tab. 1. During measurement, current value was set as constant while the frequency
was changing. With increasing frequency the current is dropping so to keep its value constant,
amplitude of a generated signal has to be increased.
The sampling rate per channel was 12500 samples per second. If the testing time was set
as 5 seconds (to be able to cut possible disturbances from the beginning of the measurement),
it give us around 62500 data for one chosen current and frequency. These data can be now
analyzed.
There is more than one way how to do it. First - the easier one - is to choose only a part of
measured signal, for example 4 periods. Then the hysteresis loop can be plotted only from
these 4 periods and the result is shown in Fig.4.
Table 1. Parameters of tested toroidal core with supplementary parameters
Name of used toroidal core
0078090A7 (Magnetics)
N1 [ ]
300
N2 [ ]
300
2
S [m ]
0,000134
r [m ]
0,0188775
Applied frequencies [Hz]
30~700 / 1
/
30~400 / 2
Applied current [A]
30~250 / 3
L1 [H]
0,008592
L1 [H]
0,008867
R1 [Ω]
7,2
R2 [Ω]
7,3
Figure 4 – Hysteresis loop of the toroidal shape core; applied current 3 A, applied
frequency 250 Hz
40
Figure 5 – Single-sided amplitude spectrum of u2(t); applied current 3A, applied
frequency 250 Hz
The second choice is to use wider interval of acquired data (or again just 4 periods) and
use some method for digital signal processing, such as Fast Fourier Transform (FFT). With
FFT, it is possible to bring down complexity of acquired data [5] and then analyze only the
simplified signal which one still has the key role in the measurement. Because we used RC
passive integrator, calculated induced voltage should be already filtered from added noise of
higher frequencies. But still, it is possible to check the induced voltage with FFT to find
frequency components of a signal. The result can be seen in Fig.5. It is clearly visible that for
generated signal of frequency 250 Hz the induced signal is composed with also different
frequencies (mostly lower one). The next steps would be to limit these additional frequencies,
reconstruction of original signal with inverse FFT and computing B-H curve again.
At this point, it is not necessary to make further analysis of achieved B-H curves. From
the Fig. 4 it is visible, that hysteresis curve is not very wide, if we consider it as a loop. If we
plot other B-H curves with the same value of the current, but for different (lower) frequencies,
we would obtain almost same progress as shown in Fig. 4. If we use a lower current, it will
only lower magnitude of B. This is due to the parameters of the used coil. Its length due to
number of turns is high (for this measurement) and therefore its resistance is also high.
Commonly used coils in high speed PMSM have their resistance less than 1  [7, 8].
Summary, to achieve more adequate hysteresis curve for our material, it is necessary to
decrease number of turns of our coil, which will lead to a smaller resistance of the primary
and secondary winding, and therefore possibility to use higher frequencies and current.
During the measurement, the toroidal shape core was located in the tank with mixing the
water and the water temperature controller (set to 30°C). It was possible to keep toroidal core
at nearly same temperature as surrounding water, but for higher currents and frequencies,
there was a bigger temperature difference. Therefore, how to maintain same temperature of
the core during the whole measurement needs further investigation.
3.1 Application of acquired data
Even when it wasn’t possible to achieve B-H characteristic for the higher frequencies and
current, it is already possible to use acquired data to check design of our PMSM. After
implementing data of B-H curve into FEMM software we can compute results of FEM
analysis with current 3A in only one active pole pair B+ and B- is in Fig. 6. Used permanent
magnet is type N42.
41
Figure 6 – Result of FEM analysis with one active pole pair B+ and B-; current 3A
With using a built in computing functions, it is now possible to analyze hysteresis losses
per cycle and compare them with analytical method solutions [6, 9]. Also, because our
prototype of PMSM is already built, we can use obtained data from FEMM for a comparison
with the real losses. Other functions such as computing the torque can be used.
3.2 Optimization process
After successful measurement of B-H curve for higher currents, the optimization process
will be used to find ideal dimension of our PMSM. FEMM is using the Lua extension
language and it allows us to use scripts, which will eventually draw whole design by using
different calling functions. This script can be written for example in Matlab, which will use
ActiveX interface for interprocess communication.
So far, optimization process was used to obtain ideal dimensions for the tooth width. The
results will be shown in the future, when the procedure will be confirmed for higher currents
and different stator cores.
4 Conclusion
Based on the measuring procedure, the measuring workplace was assembled and required
data for the hysteresis characteristic of the toroidal shape core were measured. The B-H curve
was plotted using acquired data and analyzed. Due to the high resistance of used coil, it is
necessary to continue with another measurement and find optimal parameters for frequency
and current in our PMSM, so the power losses in stator core will be kept at an acceptable
level. A good plan for the future is also, if possible, finding an influence of the core’s
operating temperature to our results while measuring its hysteresis characteristics.
Obtained B-H characteristic was implemented into FEMM software and generated results
from its computational core will be compared with data from real PMSM, so the design of
PMSM can be improved in the future. This will be done using Lua script and Matlab
software. Also, with the new measurement for different frequencies and current, the B-H
characteristic will be updated. Based on these results, other materials for the toroidal shape
core can be considered.
42
5 Nomenclature
H (t)
B (t)
N1
N2
S
r
B0
 (t )
i1 (t)
u2 (t)
v2 (t)
R
C
L1
L2
R1
R2
U2 (f)
magnetic field intensity
magnetic flux density
number of turns in the primary coil
number of turns in the secondary coil
cross section of the toroidal shape core
middle radius of the toroidal shape core
offset
magnetic flux inside the core
current of the primary coil
induced voltage on the secondary coil
measured voltage on the capacitor in the RC circuit
value of the resistor in the RC integrator circuit
value of the capacitor in the RC integrator circuit
inductance of the primary coil
inductance of the secondary coil
resistance of the primary coil
resistance of the secondary coil
discrete Fourier transform (DFT) of vector u2 (t)
(A·m-1)
(T)
()
()
(m2)
(m)
(T)
(Wb)
(A)
(V)
(V)
( )
(F)
(H)
(H)
( )
( )
(V)
6 References
[1] KRISHNAN, R. Permanent magnet synchronous and brushless DC motor drives. Boca
Raton: CRC Press/Taylor, 2010, 575 p. ISBN 08-247-5384-4.
[2] POLIK, Z. a M. KUCZMANN. Measuring and control the hysteresis loop by using analog
and digital integrators. In: Journal of optoelectronics and advanced materials. 2008,
Vol. 10, No. 7, pages 5. ISSN 1454-4164.
[3] TUMANSKI, S. Handbook of magnetic measurements. Boca Raton, FL: CRC Press.
ISBN 978-143-9829-523.
[4] ADLY, A.A., M.M. ABD-EL-AZIZ a H.H. ZEINELDIN. A low cost device for deducing
B-H curves of magnetic materials. In: 2003 46th Midwest Symposium on Circuits and
Systems. IEEE, 2003, p. 886-888. DOI: 10.1109/MWSCAS.2003.1562428. Available:
http://ieeexplore.ieee.org/lpdocs/epic03/wrapper.htm?arnumber=1562428
[5] DUHAMEL, P. a M. VETTERLI. Fast fourier transforms: A tutorial review and a state of
the art. In: Signal Processing. Vol. 19, No. 4, p. 259-299. ISSN 01651684. DOI:
10.1016/0165-1684(90)90158-U.
[6] CHYSKÝ, J. - NOVÁK, J. - NOVÁK, M. - NOVÁK, Z.: Determination of Losses in
Ferromagnetic Circuit of a Sinusoidal Filter Powered with Frequency Inverter. In:
Proceedings of 15th Mechatronika 2012. Praha: Czech Technical University in
Prague, 2012, p. 251-256. ISBN 978-80-01-04985-3.
[7] NOVÁK, M. - NOVÁK, J. - CHYSKÝ, J.: Experimental Verification of High-Speed
Permanent Magnet Synchronous Motor Model. In: Proceedings of the XXth
International Conference on Electrical Machines ICEM2012. Marseille: IEEE, 2012,
p. 2433-2438. ISBN 978-1-4673-0141-1.
[8] PFISTER, PIERRE-DANIEL: Very high-speed slotless permanent-magnet motors: theory,
design and validation. Lausanne: EPFL, 2009. Dissertation. École polytechnique
fédérale de Lausanne EPFL. Advisor: Perriard, Yves.
[9] PFISTER, P.-D., C. KOECHLI, M. MARKOVIC a Y. PERRIARD. Analysis of
Hysteresis Losses in Synchronous Permanent Magnet Motors. In: 12th Biennial IEEE
Conference on Electromagnetic Field Computation. IEEE, 2006, s. 144-144.
43
44
Analytical Expression of the Lengths of Tricept Telescopic Rods
Ejection
OMACHELOVÁ, Milada1, MARTIŠOVITŠ, Ilja2, KUREKOVÁ, Eva3,
KOLLÁTH, Ľudovíth4
1,3,4
Slovak University of Technology, Faculty of Mechanical Engineering, Bratislava,
Slovakia, [email protected]
2
Microstep spol. s.r.o, Bratislava, Slovakia, [email protected]
Abstract: The actual trend in the field of production machines is represented by multiprofessional and multi-technological devices based on a closed parallel kinematic structure
(PKS). Tricept belongs among those devices. Such machines offer several advantages
comparing to the conventional machine tools with serial kinematics, such as high flexibility,
high stiffness, and high accuracy. To achieve a desired positioning accuracy and stability, the
static and dynamic properties of the machine must be searched and mathematically described.
The calculation of the estimate of positioning deviation, including respective uncertainty and
covariances, is much more complicated task comparing to the serial kinematics. This article
briefly describe provides an analytical calculation of lengths of Tricept telescopic rods
ejection.
Keywords: parallel kinematic structures, Tricept, telescopic rods
1 Introduction
Parallel kinematics structures (PKS) are arranged as parallel motion members where one
of end is located on the base frame and the second on a moving platform. Each type of PKS is
different from other types by the number of parallel members. The number of parallel
members depends on the number of degrees of freedom taken away by the construction. PKS
with a greater number of parallel members are coupled with joints which take away fewer
number of degrees of freedom. PKS are known as mechanisms with closed kinematics chains
with one or more loops.
For control purposes it is of the utmost importance to analysis workspace and also to
compute inverse and direct dynamics based on suitable mathematical models (e.g. Jacobian
matrix).
2 Tricept – A typical representative of PKS
Seeing from the kinematics point of view, Tricept has a form of a fixed platform
connected to the movable platform by three driven telescopic rods and a central rod without a
drive (see Fig. 1). The central rod is rigidly connected to a movable platform, while the fixed
platform connection enables a translation movement of a central rod without the possibility to
rotate. [1]
Work space of Tricept depends especially of distance of joints and position of joints at a
telescopic rod. The Tricept’s resulting workspace is represented by an intersection of
workspaces generated by individual rods. Thus it is an intersection of three similar discshaped spaces having the center of rotation at different places within a single cone. Discshaped spaces have the same orientation, parallel axes and their spherical points are located at
a single defined circle. [2]
45
The inhomogeneous workspace regarding to the positioning accuracy and the stiffness
represents the main disadvantage of Tricept kinematics. The first step in analysis must be then
determination of required extension of telescopic rod in relation to a desired position of a
searched point (end point of an effector).Indicate each of the addresses of the organizations in
a separate paragraph, with margins to the centre. If more organizations are used, specify them
by upper numerals in the order of their record. The address may also contain email or URL
address. [3]
Figure 1 – Tricept
a) Basic parts of Tricept,
b) Draw of the location of the axes of the Cartesian coordinate system
3 Derivation of motion equations of Tricept telescopic rods
ejection
To get a desired position of a technological effector, one must be able to calculate and to
set up the required length of each telescopic rod. Movement carried out by Tricept can be
simplified to the movement of the reference point to along any spatial curve. One option is to
program Tricept to define transition along the sections of the given curve. Adjacent parts of
the curve are joined in nodal points. If those points are located sufficiently close together, the
curve can be approximated by straight line segments.
Let us have reference point q that is tightly connected with a movable platform. When it
shall move to the desired coordinates in the workspace, one needs to calculate the extensions
of individual telescopic rods (AA´, BB´, CC´), see Fig. 2.
46
Figure 2 – Basic geometry of Tricept
a) Schematic representation of joints at platforms
b) General rotation angles from the starting point to a new point Q
Translation from the starting point q with coordinates [qx, qy, qz] (where rotation angles
about x, y and z axes are zero as well as translation along z axis to a new point Q with
coordinates [Qx, Qy, Qz] relative to a fixed platform is obtained as a transformation comprising
of rotation around the y axis by angle given by a matrix Oy(), rotation around the x axis by
angle  given by matrix Ox() as well as of translation along the z axis given by vector
q  ze3  .

 
Q  O y  .Ox  
. q  ze3  ,
(1)
That is
 Qx   cos 
  
 Qy    0
 Q    sin 
 z 
0 sin    1
0
0   qx 



1
0 . 0 cos  sin  . q y 
0 cos    0  sin  cos    q z  z 
(2)
Unknown angles  and movement along the axis z must by expressed as a function’s
of containing initial and target coordinate of reference point.
If (1) is multiplied from the left by the matrix O Ty   we get

 
OTy  .Q  Ox  
. q  ze3 
(3)
we get three equations after multiplication
Qx .cos   Qz .sin   qx
(4)
Qy  q y .cos   q z  z .sin 
(5)
Qz .cos   Qx .sin   q z  z .cos   q y .sin 
(6)
We powered the equation (4) to (6) and afterwards we get the new equation
Qx2 .cos 2   2Qx .Qz .sin  .cos   Qz2 .sin 2   qx2
(7)
Qy2  q y2 .cos 2   2q y .q z  z .sin  .cos   q z  z  .sin 2 
2
47
(8)
Qz2 . cos 2   2Qx .Qz .sin  . cos   Qx2 .sin 2   q z  z  . cos 2  
2
(9)
2q y .q z  z .sin  . cos   q y2 .sin 2 
If we add together the equations (7) to (9), after adjustment and simplification we obtain
the equation
Qx2  Qy2  Qz2  q x2  q y2  q z  z  ,
2
(10)
from which we can express movement along the z-axis as:
z  q z  S Qx2  Qy2  Qz2  q x2  q y2
(11)
where variable S = (1).
If the element q x2 is subtracted in the equation (10) and the square root of the new
equation is obtained, we get
Qx2  Qy2  Qz2  q x2  q y2  q z  z 
2
(12)
1
Equations (4) and (6) are multiplied by element
1
multiplied by the element
Qx
Qx2  Qz2
q y2  q z  z 
selected form
Qx2  Qz2
Qx2  Qz2
.sin  
q y2  q z  z 
2
Qx
Qx2  Qz2
and the equation (5) is
. Three new equations are obtained.
qy
. cos  
qx  z
The element
Qz

2
Qx2  Qz2
2
. cos  
Qy
Qz
q y2  q z  z 
Q  Qz2
2
x
qx
. cos  
.sin  
(13)
Qx2  Qz2
qz  z
q y2  q z  z 
2
qx  z
Qx2  Qz2
. cos  
.sin 
qy
Qx2  Qz2
(14)
.sin 
(15)
is taken from the last equation. We expand it by 1 in properly
Qx2  Qz2
Qx2  Q y2  Qz2  q x2
Qx2  Q y2  Qz2  q x2
.
and we use substitution using the
Qx2  Qz2
equation (12). Afterwards we get
qx  z
Qx2  Qz2

qz  z
q y2  q z  z 
2
.
Qx2  Q y2  Qz2  q x2
(16)
Qx2  Qz2
Analogical procedure is applied to the equation
48
qy
Qx2  Qz2
, we get
qy
qy

Qx2  Qz2
2
2
Qz
(17)
Qx2  Qz2
qy
 cos  ,
q y2  q z  z 
and
.
q y2  q z  z 
qx  z
Let us
Qx2  Q y2  Qz2  q x2
Qx
 sin  ,
q y2  q z  z 
2
Qx2  Qz2
 sin  ,
 cos  , where  and  are fictitious angles.
Q Q
If we substitute these substitutions into equations (13) to (15), where we have used
relations (16), (17) and use the formulas for trigonometric functions, we obtain
2
x
2
z
qx
sin  . cos   cos  . sin  
Qy
q y2  q z  z 
2
Qx2  Qz2
 sin . cos   cos .sin  
cos  . cos   sin  .sin   cos  . cos .
sin  .sin .
Qx2  Q y2  Qz2  q x2
qx
 sin     
Qy
q y2  q z  z 
2
Qx2  Q y2  Qz2  q x2
Qx2  Qz2
 sin    
(19)

 cos     cos   .
Qx2  Qz2
(18)
Qx2  Qz2
Qx2  Q y2  Qz2  q x2
Qx2  Qz2
(20)
Applies that cos 2      1  sin 2     , using the relations (19) and (12) obtained
cos 2      1 
Q y2
q y2  q z  z 
2
 1
Q y2
Qx2  Q y2  Qz2  q x2
Of that
cos     K 1 
Q y2
Qx2  Q y2  Qz2  q x2
K
Qx2  Qz2  q x2
where K=(1) (21)
Qx2  Q y2  Qz2  q x2
As we want to calculate sin, following transformation is used
sin   sin        sin   .cos   cos   .sin 
(22)
Due to properties of sinus and cosines functions, the equation (22) can be written as
sin    sin   .cos   cos   .sin 
(23)
Inserting equations (18), (20) a (21) into the equation (23) we get
sin   

qx
Q x2  Q z2
.
Qz
Q x2  Q z2
K
 q x .Q z  K . Q  Q  q .Q x
2
x
2
z
2
x
Q x2  Q z2
49
Q x2  Q z2  q x2
Q x2  Q z2
.
Qx
Q x2  Q z2

(24)
Analogically cos can be calculated
cos   K

Qx2  Qz2  q x2
Qx2  Qz2
.
Qz
Qx2  Qz2

qx
Qx2  Qz2
.
Qx
Qx2  Qz2

(25)
K . Q  Q  q .Qz  q x .Qx
2
x
2
z
2
x
2
x
Q  Qz2
sin (analogically also cos ) can be calculated using previous substitutions
sin   sin        sin   .cos   cos   .sin 
(26)
After substituting and modification we get
sin  
cos  
S .Qy . Qx2  Qy2  Qz2  qx2  q y2  K . Qx2  Qz2  qx2 .q y
Qx2  Qy2  Qz2  qx2
K .S . Qx2  Qz2  qx2 . Qx2  Qy2  Qz2  qx2  q y2  Qy q y
Qx2  Qy2  Qz2  qx2
(27)
(28)
When using the position of the reference point Q, we can calculate transformation of the
position of the movable platform. Let us represent the location of the joints of telescopic rods
at platform by a set of M = {-1, 0, 1}, see Fig. 3. The radius r designates the circle on
which the secondary joints on mobile platform are located. The radius of the
circle on which lie primarily joints is designated as R.
Figure 3 – Scheme of placement of primary and secondary joints of telescopic rods at
movable and fixed platforms
Using Pythagorean theorem, length of rods can be expressed as
2
 
R 

AM2   qM  QqM , z,  ,  
r

(29)
Therefore
50
2
 
R 

AM2   qM  QqM , z,  ,   
r

T

  R 

 
R 
. qM  ze3  . qM  Oy  .Ox  
. qM  ze3  
 qM  Oy  .Ox  
r
 r

T
(30)
T

 T R   R  
R  
. qM   Oy  .Ox  
. qM  ze3  . qM    qM  .
r

r
 r




 T
Oy  .Ox  . qM  ze3   Oy  .Ox  . qM  ze3  .Oy  .Ox  . qM  ze3 
R  
 qM 
r



 r. cos M .120


Where qM   r. sin M .120

0

By
calculation

 and q
M


and
using


 r. cos M .120


 ze3    r. sin M .120

z

a
property


 T .   T .
we
can
T


 T R  
R  
. qM  ze3 .
 ze3  . qM  rewrite to form  qM  .Oy  .Ox  
r

r

After multiplying and further processing of the equation we get
O  .O  . q
y

 .
x
M



z. sin  . sin M .120   r. sin  . sin  . sin M .120 . cos M .120  
z. sin  . cos  . cos M .120 ]

AM2  R 2  r 2  z 2  2 R[r. cos  . cos 2 M .120  r. cos  . sin 2 M .120 



(31)

If we put in AM2 for M value -1, we get:




A21  R 2  r 2  z 2  2 R[r. cos  . cos 2  1.120  r. cos  . sin 2  1.120 



 

z. sin  . sin  1.120  r. sin  . sin  . sin  1.120 . cos  1.120 
1
3
z. sin  . cos  . cos  1.120 ]  R 2  r 2  z 2  2 R[r. cos  .  r. cos  . 
4
4
 3
  3  1
1
  r. sin  . sin  .
.    z. sin  . cos  .  
z. sin  .



 2
 2 
 2  2


(32)
Extension of the rod that is located among joints C a C´ can be then calculated as (see
Fig. 2):
1
1
3
1
3



A1  R 2  r 2  z 2  2 R r. cos  .  cos  . r  z. sin   
sin  . z  r. sin   
2
2
4
 2


4
Analogically we derive formulas for calculation of the other two lengths of telescopic
rods AA´ a BB´:
A0  R2  r 2  z 2  2Rr. cos  .  z. sin  . cos  
1
1
3
1
3



A1  R 2  r 2  z 2  2 R r. cos  .  cos  . r  z. sin   
sin  . z  r. sin   
2
2
4
 2


4
51
Because the resulting relationships are not complicated, the calculation extension
telescopic rods relatively simple and quick, which is beneficial in terms of programming
Tricept movement.
4 Conclusions
The results of a study on the kinematic modeling of the vertical Tricept are reported in
this paper. The focus of the paper is prepare a theoretical basis for the calculation of Tricept
workspace and also for programming of its motion.
Acknowledgements
The research work described in the paper was performed by a financial support of the
Slovak Scientific Grant Agency (VEGA), grant No. 1/0584/12.
5 References
[1]
[2]
[3]
KOLLÁTH, Ľ., HALAJ, M. & KUREKOVÁ, E. 2009. Positioning accuracy of nonconventional production machines. Proceedins of the 19th World Congress
Fundamental and Applied Metrology IMEKO, Lisboa, S. 2099-2102
KOLLÁTH, Ľ., MARTIŠOVITŠ, I. & OMACHELOVÁ, M. 2013. Riešenie
problematiky pracovného priestoru v paralelnej kimematickej štruktúre. (in Slovak).
Proceedins of conference ERIN, Častá - Papiernička
DOVICA, M. a kol. 2006. Metrológia v strojárstve. (in Slovak). 1. vyd. Košice:
EMILENA. 350 s. ISBN 80-8073-407-0.
52
Experimentálna verifikácia technologických parametrov rezacích
strojov s nekonvenčnou kinematikou
ONDEROVÁ, Iveta1, KUREKOVÁ, Eva2, KOLLÁTH Ľudovít3 & PLOSKUŇÁKOVÁ,
Lucia4
1
Ing., PhD.,
STU v Bratislave, Strojnícka fakulta, Nám. Slobody 17, 812 31 Bratislava
SR,
e-mail [email protected],
URL www.sjf.stuba.sk
2
doc. Ing., CSc.,
3
doc. Ing., CSc.,
4
Ing.
Abstract:
The paper deals with machines employing parallel-kinematics structures (PKS). They
represent a relatively new generation of machine tools. Paper presents the theoretical design
to verify experimentally the structural and technological parameters of the parallel kinematic
structure. In order to achieve a desired positioning accuracy and stability, the static and
dynamic properties of the machine must be researched and mathematically described. The
calculation of the estimate of positioning deviation, including the respective uncertainty and
covariances, is a much more complicated task compared to serial kinematics.
The next stage is focused on the test methods and verification of structural and
technological parameters of Tricept. The experiment is designed based on the standard EN
ISO 9283 and involves testing of technological parameters: one-way positioning accuracy
and repeatability of the position.
Keywords: parallel kinematic structure, quality, positioning accuracy, repeatable positioning
accuracy, designe of the experiment
1 Paralelné kinematické štruktúry (PKŠ)
Obmedzenia vývoja konvenčných obrábacích strojov viedlo k vývoju iných typov
strojov. So stále sa zvyšujúcim trendom zrýchľovania sa činnosti stroja, a pri zachovaní jeho
presnosti, sa vyskytla prekážka v podobe jeho stavby. Sériová kinematika stroja neumožňuje
neustále zvyšovanie rýchlosti a preto sa dospelo k vývoju nového nekonvenčného
usporiadania jednotlivých uzlov obrábacieho stroja. Paralelná kinematika predstavuje
usporiadanie pohyblivých členov vedľa seba v uzavretej kinematike.
Spektrum aplikácie PKŠ je ohraničené ich výhodami a nevýhodami. Výhody vyplývajú
z lepšieho dynamického správania sa vplyvom menšej pohybujúcej sa hmoty, vyššej tuhosti a
presnosti. Tieto výhody sa zvýrazňujú v technológiách, kde sú potrebné veľké rýchlosti
a zrýchlenia stroja. Ďalšou požiadavkou je pôsobenie malých zaťažujúcich síl, pretože veľké
sily by spôsobovali nežiaduce deformácie.
Nevýhodou je, že paralelná kinematika je doplnená sériovou kinematikou, ktorá dopĺňa
PKŠ ešte dvomi rotačnými pohybmi. Vzniká tzv. hybridná kinematická štruktúra. A tá
vyžaduje zložitejšie riadenie.
Rozmanitosť konštrukcií PKŠ je veľká, líšia sa podľa mnohých hľadísk. Jednotlivé
zmeny v konštrukcii sú realizované z dôvodu lepšieho prispôsobenia sa na konkrétne
53
požadované podmienky. Jedným z variantov je tripod, ktorý je charakterizovaný tromi
rovnako dlhými teleskopickými tyčami spájajúcimi pevnú a pohyblivú platformu. Pridaním
centrálnej tyče, ktorá odoberá ďalšie 2 stupne voľnosti, vznikne iný typ konštrukcie
s odlišnými vlastnosťami, tzv. tricept (pozri obrázok 1). Nosiču treba odobrať pomocou tyčí
toľko stupňov voľnosti, aby nemal možnosť pohybu bez vysunutia tyčí. Ostatné stupne
voľnosti sú odobrané upravenými kĺbmi tak, aby bola sústava jednoznačná. Pokiaľ by sa
zvyšoval počet tyčí, viedlo by to k zvyšovaniu hmotnosti a teda aj zotrvačnosti, ale súčasne by
bola zvyšovaná tuhosť konštrukcie. [1]
Obrázok 1 – Kinematické schémy sériovej a paralelnej kinematickej štruktúry
V rámci výskumu na ÚSETM sa rieši paralelná kinematická štruktúra typu tricept
(obrázok 2). Pevná platforma je spojená s pohyblivou platformou pomocou troch
teleskopických tyčí s pohonmi a jednou centrálnou tyčou bez pohonu. Medzi pohyblivou
platformou a centrálnou tyčou je pevné spojenie. Uloženie centrálnej tyče na pevnej platforme
umožňuje jej translačný pohyb bez možnosti pootočenia.
Obrázok 2 – Počítačový a reálny model triceptu: 1-pevná platforma, 2-centrálna tyč,
3- univerzálny (primárny) kĺb, 4-teleskopická tyč, 5-sférický (sekundárny) kĺb,
6-pohyblivá platforma
Takýto typ mechanizmu je vytvorený z kinematických dvojíc typu HPS ( univerzálny,
posuvný a sférický kĺb).
54
Univerzálny kĺb (pozri obrázok 3) je vytvorený dvomi otočnými kĺbmi. Jeho úlohou je
prenášať otočný pohyb teleskopickej tyči, pri dostatočnej presnosti, tuhosti a nízkom trení v
kĺbe. Umiestnenie primárnych bodov je dôležité pri vytváraní programu, ktorým bude riadené
vysúvanie teleskopických tyčí. Pohyb týchto otočných kĺbov je zabezpečený dvojicou ložísk,
ktoré sú umiestnené v osi kolmej na ďalšiu dvojicu ložísk. Vďaka ložiskám je možné plynulé
a presné natočenie teleskopických tyčí, ktoré sú pripojené pomocou univerzálnych kĺbov na
pevnú platformu mechanizmu.
Obrázok 3 – Primárny kĺb
Posuvný kĺb je tvorený teleskopickou tyčou, ktorá prenáša rotačný pohyb motora na
pohyblivú platformu. Teleskopické tyče sú najdôležitejšou a najviac namáhanou časťou
triceptu (pozri obrázok 4). Premieňajú rotačný pohyb servomotora na lineárny pohyb.
Vysúvanie je vykonávané vnútorným valcom, ktorý sa vysúva z vonkajšieho valca. Vnútorný
valec je jednou časťou upevnený pomocou sekundárneho kĺbu na nosič. Vonkajší valec je
upevnený pomocou primárneho kĺbu na pevnú platformu. Zároveň je vnútorný valec posuvne
uložený vo vonkajšom valci. Obe tyče sú štíhle, preto sú teleskopické tyče najnamáhanejšie.
Presnosť tyčí najviac vplýva na výslednú polohu nástroja. Okrem toho, že teleskopické tyče
sú namáhané z hľadiska prenosu síl, sú citlivé aj na javy, ktoré vznikajú pri dlhých a štíhlych
tyčiach. Sú namáhané aj na vzper a pri vysokom rozsahu pracovných teplôt, aj skracovanie a
predlžovanie ako výsledok tepelnej rozťažnosti. Teleskopická tyč je vytvorená pomocou
pohyblivej skrutky. Vysunutie je možné na dĺžke 300 mm.
Obrázok 4 – Výsuvná tyč triceptu
Guľový kĺb prenáša pohyb z teleskopických tyčí na nosič. Musí dovoliť sférický pohyb
teleskopickej tyče vzhľadom na nosič. Okrem funkcii tohto kĺbu je dôležité jeho umiestnenie
na nosiči. Musí byť čo najbližšie k stredu nosiča, čím zmenšíme rozmery nosiča, a tým
minimalizujeme sekundárnu kružnicu.
Doterajšie analýzy ukazujú, že miesto umiestnenia je dôležité aj z hľadiska vznikajúcich
napätí. Dôležitý vplyv na napätia má sklon teleskopických tyčí na centrálnu tyč. Čím je sklon
menší, tým väčšie napätia vznikajú v teleskopických tyčiach pri pôsobení rovnakej sily. Z
dynamickej analýzy vyplýva určitý minimálny sklon teleskopickej tyče na centrálnu tyč a ten
musí byť dodržaný aj v najnepriaznivejšej polohe. Ak by bol sklon menší, napätie v tyčiach
začne výrazne narastať. Samotný guľový kĺb je vytvorený guľovým čapom upevneným
v lôžku s inverzným tvarom tohto čapu. Kvôli zjednodušeniu neobsahuje žiadne valivé
telieska, ale je zabezpečený klzne.
55
2 Tricept a jeho hodnotenie kvality
U sériových kinematických štruktúr je geometrický tvar pracovného priestoru plne
určený relatívnym pohybom koncového bodu TCP (Tool Centre Point; programovaný bod
nástroja). Tento relatívny pohyb je bežne realizovaný posuvnými alebo rotačnými sériovými
pohybmi v smere jednotlivých súradnicových osí spolu s odpovedajúcimi priamočiarymi
alebo rotačnými vedeniami k ľubovoľnému referenčnému súradnicovému systému.
Všetky časti sériového rámu musia byť efektívne konštruované, aby mali dostatočné
predpoklady na elimináciu nežiaducich zaťažení ohybovými, torznými silami a momentmi.
Pri paralelných kinematických štruktúrach s odpovedajúcim počtom stupňov voľnosti
(obrázok 2) relatívnu priestorovú polohu koncového člena (TCP) zabezpečuje koordinované
rotačné a paralelné lineárne pohyby určitý počet pasívnych a aktívnych lineárnych vedení
alebo rotačných členov.
Na obrábacie stroje je kladených množstvo požiadaviek, ktoré musí každý stroj spĺňať.
Tieto požiadavky vychádzajú z prioritnej potreby užívateľa vyrábať súčiastky s požadovanou
presnosťou tvarov, rozmerov a drsnosti obrobeného povrchu. Časť požiadaviek kladených na
obrábacie stroje je povinných na základe príslušnej legislatívy, ktoré sú definované zákonmi,
predpismi, štandardmi a normami. Ďalšie požiadavky sú determinované samotnými
zákazníkmi, ktorí tieto požiadavky určujú alebo sú všeobecne predpokladané. Na základe
analýzy a zohľadnenia týchto požiadaviek môžeme charakterizovať určité parametre alebo
vlastnosti, ktoré sú nevyhnutné pre každý obrábací stroj a dokážu tieto požiadavky naplniť.
Podľa toho, s akou mierou tieto parametre resp. vlastnosti obrábacieho stroja spĺňajú
stanovené požiadavky, môžeme hodnotiť a rozlišovať, či je obrábací stroj kvalitný, menej
kvalitný alebo nekvalitný (obrázok 5).
Obrázok 5 – Požiadavky na kvalitu obrábacieho stroja
Výhody obrábacích strojov s paralelnou kinematickou štruktúrou sú:
 vysoká tuhosť a nízka hmotnosť,
56






vysoká pracovná rýchlosť a zrýchlenie,
vysoká presnosť,
malé posuvové hmoty,
jednoduchá konštrukcia rámu,
minimálne namáhanie nosných častí na ohyb,
jednoduchá montáž.
Nevýhody obrábacích strojov s paralelnou kinematickou štruktúrou sú:
 je potrebné šesťosové riadenie pre priamočiare pohyby,
 vysoká cena riadenia z dôvodu potrebnej transformácie súradníc pre všetkých šesť osí,
 je obmedzený uhol natočenia základne, pre obrábanie z piatich strán je potrebné
použiť prídavnú otočnú alebo naklápaciu os,
 pre zaručenie tuhosti a presnosti je potrebný drahý odmeriavací systém,
 nepriaznivý pomer veľkosti pracovného priestoru k celkovej veľkosti stroja.
Na hodnotenie kvality triceptu sa využívajú normalizované skúšky. V norme STN EN
9283:2001 Manipulačné priemyselné roboty - Technické parametre a súvisiace skúšobné
metódy, sú popísané dôležité technické parametre, ktoré významne ovplyvňujú činnosť
obrábacieho stroja a metódy, akými by mali byť skúšané [2]. Predmetom tejto medzinárodnej
normy je určenie a skúšanie týchto technických parametrov:
 jednosmerná presnosť polohy a opakovateľnosť polohy,
 zmena viacsmernej presnosti polohy,
 presnosť vzdialenosti a opakovateľnosť vzdialenosti,
 čas stabilizácie polohy,
 prekmit polohy,
 drift polohy,
 dráhová presnosť a dráhová opakovateľnosť,
 vrcholové odchýlky,
 dráhová rýchlosť,
 minimálny čas polohovania,
 statická poddajnosť.
3 Základné pojmy
Zadaná (naprogramovaná) poloha – je poloha stanovená pomocou programovania
učením, ručným zadávaním údajov alebo explicitným programovaním (pozri obrázok 6).
Naprogramované (zadané) polohy pre roboty špecifikované pomocou programovania
učením musia byť definované ako merací bod na robote. Tento bod sa dosiahne počas
programovania pohybom robota čo najbližšie k definovaným bodom v kocke (P1, P2, ...). Keď
je výpočet presnosti založený na dosiahnutých polohách, ktoré nasledujú po sebe, tak sú
meracím systémom vyjadrené súradnice použité ako naprogramované polohy.
Dosiahnutá poloha – je poloha, ktorú dosiahne robot v automatickom režime ako
odpoveď na naprogramovanú polohu (pozri obrázok 6).
Parametre presnosti a opakovateľnosti polohy vyjadrujú odchýlky, ktoré sa vyskytujú
medzi zadanou a dosiahnutou polohou a tiež kolísania v dosiahnutej polohe pri sérii nábehov
do naprogramovanej polohy. Tieto chyby môžu byť spôsobené vlastnosťami vnútorných
riadiacich funkcií, chybami transformácie súradníc, rozdielmi medzi rozmermi kĺbovej
konštrukcie a rozmermi použitými v modeli riadiaceho systému, mechanickými poruchami
ako napr. vôľa, hysterézia, trenie a teplota.
57
Metóda na zaznamenávanie údajov zadanej polohy súvisí s možnosťami riadenia robotu
a významne ovplyvňuje parametre presnosti. Z tohto dôvodu musí byť zvolená metóda jasne
uvedená v protokole o vykonaní skúšky. V prípade, ak je zadaná poloha naprogramovaná
explicitným programovaním, je vzájomný vzťah (vzdialenosť a orientácia) medzi rôznymi
zadanými polohami známy, alebo je možné ho určiť, a je potrebný pre špecifikáciu a meranie
parametrov vzdialenosti. [3,4]
Obrázok 6 – Vzťah medzi zadanou a dosiahnutou polohou
4 Presnosť polohy a opakovateľnosť polohy
Jednosmerná presnosť polohy (AP) – vyjadruje odchýlku medzi zadanou polohou a
priemerom z dosiahnutých polôh pri pohybe do zadanej polohy v tom istom smere.
Jednosmernú presnosť rozlišujeme:
-
jednosmerná presnosť polohovania – rozdiel medzi zadanou polohou a barycentrom
množiny dosiahnutých bodov (pozri obrázok 7),
jednosmerná presnosť orientácie – rozdiel medzi naprogramovanou orientáciou a
strednou hodnotou dosiahnutej uhlovej orientácie (pozri obrázok 8).
Obrázok 7 – Jednosmerná presnosť a opakovateľnosť nastavenia polohy
58
Obrázok 8 – Jednosmerná presnosť a opakovateľnosť orientácie
Výpočet jednosmernej presnosti polohovania:
√ ̅
̅
̅
̅
pričom:
̅
̅
∑
̅
∑
∑
̅
̅
kde ̅ ̅ ̅ sú súradnice barycentra množiny bodov dosiahnutých po opakovaní tej istej
polohy n-krát,
xc, yc, zc sú súradnice zadanej polohy,
xj, yj, zj sú súradnice dosiahnutej polohy.
Výpočet jednosmernej presnosti orientácie:
̅
(̅
)
pričom platí:
∑
̅
̅
∑
̅
∑
̅
kde ac, bc, cc sú uhly naprogramovanej polohy,
aj, bj, cj sú uhly j-tej dosiahnutej polohy.
Postup merania: Tricept sa postupne pohybuje svojím mechanickým prepojením
(interface) od bodu P1 do polôh P5, P4, P3, P2, postupne naspäť do P1. (pozri obrázok 9)
Každá z polôh musí byť dosiahnutá pomocou jednosmerného priblíženia, teda z tej istej
strany. Samotné merania sa vykonávajú až vtedy, keď v danej polohe je tricept v ustálenom
stave. Pomocou súradníc naprogramovaných polôh, stredných hodnôt súradníc dosiahnutých
polôh a stredných hodnôt orientácií uhlov pri n-opakovaniach rovnakej polohy vypočítame
pre každú polohu pomocou jednoduchých vzťahov jednosmernú presnosť polohovania a
orientácie.
Jednosmerná opakovateľnosť polohy (RP) - vyjadruje stupeň zhody medzi
umiestneniami a orientáciami dosiahnutých polôh po n-opakovaniach pohybu do rovnakej
zadanej polohy v rovnakom smere. Pre danú polohu je opakovateľnosť vyjadrená:

hodnotou polomeru gule RPl, ktorej stred je barycentrum (pozri obrázok 7),
59

rozptylom uhlov ± 3Sa, ± 3Sb, ± 3Sc okolo stredných hodnôt ā, b, c , pričom Sa, Sb
a Sc sú smerodajné odchýlky (pozri obrázok 6).
Obrázok 9 – Schéma postupu merania
Výpočet jednosmernej opakovateľnosti polohy (RP):
̅
,
̅
kde:
∑
√
∑
√
,
̅
̅
̅
̅
Výpočet jednosmernej opakovateľnosti orientácie:
∑
̅
∑
√
̅
∑
̅
√
√
Postup merania: Robot sa postupne pohybuje svojím mechanickým prepojením podľa
zvoleného cyklu rovnako, ako pri meraní jednosmernej presnosti s tým rozdielom, že pri
60
meraní jednosmernej opakovateľnosti polohy sa vypočítajú pre každú polohu polomer gule
RP a uhlové odchýlky RPa, RPb, RPc.
5 Záver
Realizácia experimentov na tricepte prebehne po dokončení elektroinštalácie, ktorá je
v súčasnosti vo fáze dokončenia. Výsledky experimentov budú základom pre vykonanie
optimalizácie konštrukčného riešenia triceptu, ako aj základom pre úpravu riadiaceho
systému.
6 Použitá literatúra
CHREN, O., KOLLÁTH, Ľ.: Konštrukčné a kinematické osobitosti triceptu. In:
Strojárska technológia a automatizácia : V. medzinárodná konferencia pri príležitosti
40. výročia založenia Katedry obrábania a automatizácie. Žilina, 17.-18.októbra 2007.
Žilina : Žilinská univerzita, 2007. ISBN 978-80-89276-09-7. - nestr.
[1] EN ISO 9283Manipulačné a priemyselné roboty – Technické parametre a súvisiace
skúšobné metódy
[2] ONDEROVÁ, I., LOEBL T.: verification of technologic parameters of CNC laser
cutting machine, In: Automatizace výrobních strojů 2007 : Sborník příspěvků.
1. ročník mezinárodní Ph.D. konference. - Praha, 7.-8. 2. 2007. - Praha :
České vysoké učení technické v Praze, 2007. - ISBN 978-80-01-03660-0. S. 116-121
[4] ONDEROVÁ, I.: Prínos k zvyšovaniu vybraných technologických parametrov deliacich
centier, Dizertačná práca, Bratislava, Slovenská technická univerzita v Bratislave,
Strojnícka fakulta, 2010
[1]
61
62
Development of Applications for the STM32 Processors and Their
Industrial Deployment
PODEŠVA, Petr1 & FOJTÍK, David2
1
Ing.,
ATŘ-352, VŠB-TU Ostrava, 17. listopadu, Ostrava - Poruba, 708 33,
[email protected],
2
Ing., Ph.D.,
[email protected],
Abstract: This article describes the development of applications for the ARM processor
STM32F407 fitted to STM32F4 Discovery evaluation board, development environments,
components and options that the board provides for education and deployment in industry. It
also describes the measurement system made for rangefinders Riftek, based on the board
STM32F4 Discovery, equipped with a touch screen with graphic interface and LAN
transducer to connect to the configuration and data collecting application.
Keywords: STM32F4, Riftek, Data acquisition
1 Introduction
There are many industry applications which require more computing power than low cost
single chip 8 bit microcontrollers can provide, but PC or PLC is unnecessary powerful and
expensive. There are many evaluation boards on the market, which provide middle class
power, low energy consumption and special features. Solution substituting basic PLC or
controller can be made for fraction of the price which is opportunity for small industry
companies and education institutions. One of this low cost microcontroller boards is
STM32F4 Discovery.
2 STM32F4 Discovery evaluation board
The evaluation board STM32F4VG6 Discovery is one of the relatively extensive series
boards published by STM in support of their processors STM32F0 to F4. The advantage of
these boards, inter alia, in their very low cost comparable with price of 8 bit development
boars. The STM32F4VG6 board contains:
 Processor STM32F4
o ARM Cortex M4 in 100 pin version, 168MHz, 1 instruction per cycle
o 196kB of RAM, 1MB Flash with fast access
o hardware floating-point, 16b numbers division in one cycle
o 12x16bit timers, timer 2x32Bit
o 16x12bit the A / D converter channels through DMA can create groups of three
channels to increase the speed and accuracy
 The programmer / debugger circuit ST-LINK/V2
 Three-axis accelerometer 8 bit LIS302DL
 MP45DT02 audio sensor with a microphone and CS43L22 audio amplifier type D
 DSP instructions and advanced math library functions
63
3 Digital range meters data acquisition unit
Developed software is part of a system for material thickness measurement using
triangulation laser range finders Riftek the series RF6xx. This software is intended for control
board STM32F4 VG6 with processor STM32F4. Its purpose is to provide communication
between the superior PC connected via UART / LAN transducer and laser rangefinders Riftek
connected to the board via UART. Software allows:
 automatic detection and configuration USART / LAN converter Connect One,
 automatic detection and configuration of lasers Riftek,
 distance measurement according to the desired frequency and synchronization,
measuring period fixed, dynamic or forced to wait for completion,
 communication with PC via LAN by using this protocol,
 visualize alarm conditions.
4 Description of the unit hardware
The hardware part of the communication unit was created in three stages by RMT
Paskov. Basis of unit (figure 1) is an evaluation board STM32F4VG6 Discovery from STM
mounted on the expansion board equipped including power, signal distribution, UART to
LAN transducer from Connect One and four half-duplex MAX3085 converters for connecting
measuring devices. The second version has been designed for use in industry and component
layout was modified, improved power and was retrofitted with LED signal for status display.
The third option was upgraded with LCD display with touch panel safety features and the fifth
power transducer MAX3085 as an alternative option to communicate with PC through this
channel.
Figure 1 – Prototype board for Data acquisition unit
4.1 The Nano SocketLAN Transducer
Nano SocketLAN transducer allows you to connect a LAN to the device through the SPI,
USART or USB. Transmission is via TCP / UDP. This is not only a simple transducer with
serial transfer line to LAN. Unlike conventional transmitters from lower category, this type
can be run either on the server with a web interface, or the mode of transparent
communication named as "SerialNet". Configuration with AT commands from the host
system, require the creation of an initialization algorithm and function to replace the local
configuration of the PC.
64
4.2 Triangulation laser rangefinders RF603/485
The basic requirement for developed system was the ability to collect data from digital
measurement instruments from the company Riftek. RF603 is series of short range
triangulation rangefinders. They are characterized by a special binary communication
protocol. Communication interface is half / full duplex RS485. Half-Duplex transducer
MAX3085 is used to convert RS485 to UART. Signal flow control line cannot connect to the
data line.
Each Riftek device has the baud rate set to 2400 kbps multiplied by the factor 1 to 196
and network address 1 to 127 The basic requirement for the functionality of the baud rate is
115200 bps and address corresponding to the port to which the device is connected, ie. 1 to 4.
When detecting, devices are gradually searched by various combinations of speed and
addresses. Detection is based on attempt to read multiplier factor stored in memory of device
and compare it with multiplier set on appropriate UART. Parameters needed to be written and
tested gradually on device because the change takes effect immediately. After changing the
baud rate multiplier is necessary to change the baud rate of the channel, and the same applies
to the device address.
Figure 2 – Triangulation laser rangefinders RF603
5 Development
Cortex M4 processors like STM32 family are supported by wide number of development
environments. Most of them are C/C++ based, but there are JAVA or .NET language IDEs
too. For example, there are these representatives:
uVision Keil
 The biggest support and lot of libraries,
 integrated RTOS,
 very good compiler/debugger,
 intuitive, wide number of easy accessible options and tools,
 lack of auxiliary editor function,
Attolic True studio
 less intuitive,
 advanced modern editor,
 to 32kB free even for commercial purpose.
Microsoft Micro Framework
 SDK for MS Visual Studio, C #, VB.NET,
 not officially for Discovery board,
 easier, faster programming,
 not a real-time.
At begin the program for Data Acquisition Unit was developed in KEIL environment. It
is clean, has a fast and efficient compiler, and a number of debugging tools. The disadvantage
65
of this environment is the lack of modern processor features such as syntax checking,
keyword help and especially predictive lists of functions and variables.
After learning the basic properties of STM32F4, the program was further developed in
the Attolic Studio development environment based on Eclipse. This environment is not as
intuitive as KEIL, but its complexity makes up a large amount of the above-mentioned
auxiliary editing functions, working with macros, syntax checking, and reference during
editing and much more.
5.1 Auxiliary software
To verify the functionality of the individual parts of communication have created various
helper application for Windows PC.
Serial test terminal
This application was originally created to verify the correct channel configuration for
UART unit STM32F4. Additional features to increase the use of this application were
gradually added during the development. At the end it served to:
 testing the proper configuration and functionality UART channels STM32F4 units
connected to the PC via UART / USB converter,
 verify the functionality of communication with half / duplex RS485 transducers,
 testing communication with LAN transducers connected via UART converter / USB to
PC,
 replacing LAN transducer in the development of the protocol LAN/STM32 in order to
eliminate possible errors in the configuration of LAN transducer,
 testing of sensors and the development of Riftek protocol processing.
TCP / IP client
The client application attended for testing of LAN transducer and communication with
sensors via LAN. It was used to verify the correctness of the application protocol Riftek and
its encapsulation in a custom protocol in the communication chain "STM32 unit - LAN - PC".
Test UART/LAN/RS485
The Applications for testing transmission of the character over UART/USB chain,
UART/RS485/USB or UART/LAN chain. It monitors speed of transmission and transmission
error count. The application was created due to problems with the transmission of longer
chains. The original idea was the connection configuration Riftek Win32 applications using
LAN and virtual serial port for exclusive access to the ports. Experiments with
communication chain were:
 LAN - virtual port 0 - virtual port 1 – Riftek Win32 app
 LAN - LAN / virtual port – RiftekCfg
 UART / USB – virtual port 0 - virtual port 1 – Riftek Win32 app
It appeared that the transmission is too slow and high latency, making it unusable. Thus
was created a library for VB.net application, replacing the original configuration utility,
except the data collection, which was the original application and in this configuration
unnecessary.
The maximum achieved transfer rate when communication between the PC and the unit
STM32 was purely through from UART to LAN with http protocol was 2.2 MBps. LAN
transducer was connected via UART with transfer speed 3 MBps.
66
5.2 Structure of application
The basis of application is usually main() function containing the initialization part and
the main program loop, and in this case also the leap into feature allows direct communication
between LAN transducer and RS485 transducers. The general structure of this function is
shown in figure 3. The initialization must enable internal clocks first, and then enable required
buses, and then GPIO ports of STM32F4 processor. Ports are then gradually assigned to
functions of UART, digital outputs for LED and signal input and control signal outputs. The
following is the initialization of LAN transducer.
Figure 3 – Structure of main function
5.3 Initialization of STM32F4
On figure 4 is generally shown the procedure for initializing the STM32 and peripherals.
At the beginning of the UART channels are initialized and filled with structures representing
the properties of these channels. This is followed by the timer and digital outputs intended for
67
half-duplex RS485 control, signaling, control signals LAN converter. The following is a
limited attempt to initialize the LAN converter and detection.
Figure 4 – Structure of HW initialization
8 Conclusions
In this paper was presented STM32F4 Discovery evaluation board from
STMicroelectronics and described its use for deployment in industry. Industrial application of
the unit was for data acquisition from a RF60x series of laser range finders Riftek Company,
which was part of a system for measuring the thickness of the material. It briefly describes the
hardware part, application development, auxiliary software and the possibilities of
development environments. Unit was successfully deployed in industry in two versions, with
and without LCD, and further expansion is expected.
9 References
RIFTEK Laser Triangulation Sensors RF603 Series User Manual [online].
STMicroelectronics,
Inc.,
2013.
Available
from
www:
<URL:
http://www.riftek.com/media/documents /rf60x/manuals/RF603_riftek_eng.pdf
ST STM32F4 Reference Manual, [online]. STMicroelectronics, Inc., 2013. Available from
www:
<URL:
http://www.st.com/web/catalog/tools/FM116/SC959/SS1532/PF252419/DM00031020.p
df >.
ST STM325F4 Discovery Getting Started, [online]. STMicroelectronics, Inc., 2013. Available
from
www:
<URL:
http://www.st.com/web/catalog/tools/
FM116/SC959/SS1532/PF252419/STM325F4Discovery_Getting_StartedDM00037368.
pdf>.
ST STM32F4 Discovery User Manual, [online]. STMicroelectronics, Inc., 2013. Available
from
www:
<URL:
http://www.st.com/web/catalog/tools/FM116/SC959
/SS1532/PF252419/STM32F4_Discovery_UserManual_DM00039084.pdf >.
68
Řídicí jednotka pro model soustruhu
STŘÍBNÝ, Martin
Ing,
VŠB-TU Ostrava 17.listopadu 15/2172, Ostrava-Poruba, 708 33
Abstrakt: Cílem práce bylo vytvořit kompletní řetězec pro ovládání modelu soustruhu
od uživatelského rozhraní, přes komunikační protokol až po výkonové zesílení pro otáčení
krokovými motory. Základ tvoří deska osazena jednočipovým mikro kontrolérem
PIC16F628A-I/P. Mikro kontrolér slouží jako prostředník mezi osobním počítačem a
modulem pro výkonové zesílení. Je v něm řešena logika pro otáčení krokovými motory a
komunikace s osobním počítačem. Mikro kontrolér přijímá příkazy od osobního počítače,
které vykoná a následně potvrdí splnění úkolu. Komunikace je řešena pomocí sběrnice USB,
se kterou se pracuje jako s běžnou sériovou linkou. Uživatelské rozhraní je vytvořeno
v programu ControlWeb a umožňuje uživateli zadat souřadnice a rychlost pro posun nástroje.
Ten se může pohybovat v jedné i ve dvou osách současně a dokáže tak vyrábět i šikmé plochy.
Systém je řešený modulárně a je připraven na další rozšíření. Například pro ovládání frézky,
která má více os, nebo přidáním dalších příkazů, které může mikro kontrolér provádět.
Klíčová slova: PIC, ControlWeb, CNC
1 Úvod
V dnešní době se CNC stroje běžně používají pro jakoukoli sériovou výrobu v průmyslu,
a vytlačují tak obráběcí stroje ovládané lidmi. Jejich výhoda spočívá hlavně v rychlosti a
přesnosti s jakou dokážou vyrobit téměř jakékoliv výrobky.
Moderní CNC systémy jsou vysoce automatizované, využívají Computer-Aided Design
(CAD) a Computer-Aided Manufacturing (CAM) programy, které generují počítačový soubor
obsahující sled příkazů k provozu konkrétního stroje pomocí postprocesoru. Tyto příkazy jsou
následně nahrány do CNC stroje a ten je interpretuje jako sled pohybů nástrojů, obrobků a
dalších částí tak, aby byl na konci vyroben výsledný produkt.
Popisovaný model je v současném stavu mnohem jednodušší. Momentálně je realizován
pouze pohyb z bodu A do bodu B. Toto je však základ, na který se dá navázat a systém je
možné rozšířit o sofistikovanější možnosti ovládání. Na rozdíl od velkých CNC strojů, kde se
o polohování stará výkonný počítač, se v našem případě o samotný pohyb stará pouze jeden
mikrokontrolér. Vlastní výpočet trajektorie konce nástroje je prováděn a optimalizován v PC.
2 Popis navrhovaného systému
Řešení úlohy mělo celkem 5 rovin, které bylo zapotřebí splnit, aby byl projekt úspěšně
dokončen.
1.
2.
3.
4.
5.
Navržení a sestavení základní desky pro mikročip.
Sestavení desky pro výkonové zesílení krokového motoru.
Vytvoření obslužného programu v prostředí ControlWeb.
Vytvoření programu pro ovládání soustruhu v mikročipu.
Navržení a naprogramování komunikačního protokolu mezi mikročipem a
ControlWebem.
Celý systém je složen z několika na sobě nezávislých částí, které mohou sloužit i jako
samostatné jednotky a jsou propojeny navzájem. Základ tvoří model CNC soustruhu. Ten
69
obsahuje dva krokové motory, pomocí kterých je možné posouvat s obráběcím nástrojem
v osách x a y. Rotaci obrobku zajišťuje nezávislý motor, u kterého nejdou regulovat, jen lze
tento motor spustit a vypnout. V našem případě jsou nejdůležitější právě krokové motory,
které budeme ovládat.
Druhou částí je deska s jednočipem PIC (řídicí jednotka). Ta realizuje řízení krokových
motorů. Mikrokontroler zajišťuje příjem příkazů z nadřazené úrovně (nejčastěji osobní
počítač) a podle přijatých příkazů generuje sekvence pro jednotlivé cívky krokových motorů
daného modelu.
Třetí částí je samotný počítač, ve kterém běží aplikace s uživatelským rozhraním. Zde je
možné zadávat jednotlivé souřadnice, kam se má nástroj posunout. Tato část je řešena aplikací
v prostředí ControlWeb 6.1, které umožňuje vytvářet uživatelská rozhraní a generovat příkazy
pro připojené periférie (řídicí jednotku).
Mezi modelem a jednočipem se nachází modul výkonového zesílení, který převádí
logický signál na výkonový. Výkonové zesílení je realizováno pomocí samostatné desky, kde
se nachází výkonové členy s obvodovými prvky, v našem případě výkonové tranzistory.
Obrázek 1: Členy řídícího řetězce
3 Řídicí jednotka na bázi jednočipového procesoru PIC
Mikrokontrolery PIC jsou programovatelné polovodičové součástky, které vyrábí firma
Microchip Technology. Jsou založeny na Harvardské architektuře, kde paměť pro data a
pro program jsou navzájem oddělené. Programová paměť a datová paměť nemusí mít stejně
dlouhé datové slovo.
Obrázek 2: Jednočipy PIC
Pro naši potřebu jsem zvolili jednočip PIC16F628A-I/P, který má podporu
pro komunikaci po sériové lince a má dostatečný počet výstupů pro ovládání dvou krokových
motorů modelu soustruhu. Tímto jednočipem byla osazena deska, kterou vidíte na obrázku:
70
Obrázek 3: Schéma desky s jednočipem
Obrázek 4: Sestavená deska s jednočipem
Tato deska je univerzální. Může být napájená přes USB konektor počítače nebo i
přes externí zdroj. Komunikace s PC je řešena pomocí USB sběrnice přes integrovaný obvod
FT232RL.
Samotný software v mikrokontroléru zajišťuje komunikaci s počítačem a dle přijatých
příkazů následně otáčí krokovými motory se zadanými rychlostmi tak, aby výsledný pohyb
odpovídal zadání. Jakmile je příkaz vykonán, tak se motory zastaví, potvrdí se vykonání
příkazu a čeká se na další instrukce.
Komunikace je vnitřně zajištěna pomocí sériové linky. Jakmile dorazí nějaký příkaz, je
nejprve ověřeno, jestli souhlasí kontrolní součty pro případ, kdyby došlo k chybě po lince, a
teprve poté je dále interpretován. Jednotlivé příkazy, na které jednočip reaguje, budou
popsány dále při popisu protokolu.
Otáčení motoru ovlivňuje to, jak jsou nastavené jednotlivé výstupy. Pro obsluhu jednoho
motoru jsou vždy zapotřebí 4 piny, jejichž hodnoty se cyklicky mění v pořadí: 1000 > 0100 >
0010 > 0001 > 1000. Rychlost přepínání mezi jednotlivými bránami ovlivňuje rychlost
výsledného posuvu.
Software jednočipu také umožňuje svázat pohyby mezi osami X a Y a dosáhnout tak
šikmých pohybů pod přesně daným úhlem. Toho je dosaženo tak, že je do jednočipu zaslán
71
počet virtuálních kroků (vnitřní stav), které má celkově vykonat, a reálné kroky jednotlivých
os jsou s tímto vnitřním stavem svázány určitým poměrem.
Má-li například soustruh otočit motor reprezentující osu X o 10 kroků a motor
reprezentující osu Y o 5 kroků, pak budou virtuální kroky nabývat hodnoty 10 a poměry
budou pro osu X: 1 a pro osu Y: 2. To znamená, že motor X vykoná krok při každé změně
vnitřního stavu a motor Y pouze při každém druhém. Zjednodušeně řečeno pokud pro danou
osu platí podmínka (virtuální kroky) (modulo) (poměr) == 0, pak vykonej krok motoru.
3 Popis protokolu
Komunikační protokol je navržen obecně pro zařízení až se 4mi osami. Skládá se vždy
z příkazu, který je dlouhý 2 bajty a dále z odeslaných hodnot, které jsou vždy závislé
na příkazu, který je odeslán na začátku. Níže je seznam příkazů, které protokol obsahuje.
Tabulka 1: Příkazy z ControlWebu pro mikročip
Příkaz reprezentovaný
Význam příkazu
desítkovým číslem
1
Posuň se o zadaný počet kroků a potvrď přijetí. Za
příkazem jsou následovány informace o posuvu.
2
Posuň se o zadaný počet kroků a bez potvrzení přijetí. Za
příkazem jsou následovány informace o posuvu. Používá se
pro krátké posuvy (do 20ti kroků), kdy se motorek otočí
rychleji, než je zpracován příkaz.
3
Zastav se. (Po zastavení odešle mikročip informace o stavu
motorků – Příkaz 5 z následující tabulky)
4
Odešli znovu předchozí data, nesouhlasí mi kontrolní
součty.
5
Resetuj se / vypni napájení motoru.
V případě příkazů 1 a 2, které posílá ControlWeb mikročipu následují odeslaná data. Celý
blok dat, která jsou v případě těchto příkazů odeslána, má následující formát.
Tabulka 2: Odesílaný rámec do mikročipu
Příkaz
Počet kroků
Váhy pro
(2 bajty)
(4 bajty)
jednotlivé
osy
(4 x 2 bajty)
Směry pro
jednotlivé
osy
(4 x 2 bajty)
Perioda
kroků
(2 bajty)
Kokntrolní
součty
(4 bajty)
V mikročipu jsou data čtena za sebou dokud se nepřečtou všechna. Jestliže nějaká data
nedorazí z důvodu chyby v přenosu, pak se čeká dál. Z uživatelského pohledu se nebude nic
dít. V tomto případě je nutné odeslat příkaz znovu. Přijatá data však budou interpretována
špatně a nebudou souhlasit kontrolní součty. Mikročip proto vyprázdní vstupní buffer a bude
čekat na nová data. Teprve při dalším zaslání příkazu bude mikročip reagovat adekvátně.
Tabulka 3: Příkazy z mikročipu pro ControlWeb
Příkaz reprezentovaný
Význam příkazu
desítkovým číslem
1
Zasílám informativní data o stavu motorků. (Následují
informace o motorcích.)
2
Přijal jsem špatná data, odešli mi je znovu.
3
Posílám naposledy přijatá data, o která jsi mě žádal.
(Následují informace o motorcích.)
72
Potvrzují úspěšné přijetí dat.
Dokončil jsem svou práci a čekám na další. (Následují
informace o motorcích.)
4
5
Po příkazech 1, 3 a 5 dojde k odeslání dat o stavu motorků, které si ControlWeb přečte.
Blok dat, který je při těchto příkazech odeslán má následující formát.
Tabulka 4: Odesílaný rámec do ControlWebu
Příkaz
Počet kroků,
Směry, kterými
(2 bajty)
které urazily
se točily motory.
motory.
(4 x 2 bajty)
(4 x 2 bajty)
Informace zdali
se motory ještě
otáčí.
(2 bajty)
Kontrolní součty
(4 bajty)
4 Výkonové zesílení
Deska pro výkonové zesílení se skládá pouze z několika odporů a tranzistorů
pro výkonové spínání. A je propojena pomocí konektoru s deskou pro mikročip. Schéma
jedné části desky je na obrázku 5. Celá deska obsahuje celkem 4 stejné bloky.
Obrázek 5: Schéma zapojení tranzistorů pro jeden motor
Výsledné zapojení je na obrázku 6.
Obrázek 6: Deska pro výkonové zesílení
73
5 Aplikace v PC
Aplikace v počítači je vytvořena v prostředí systému ControlWeb 6.1. Toto rozhraní
mezi uživatelem a samotným strojem umožňuje ovládání řízeného stroje. Aby mohl uživatel
soustruh přesně ovládat, tak je nejprve zapotřebí najít výchozí pozici a vynulovat souřadný
systém. Poté již může zadávat jednotlivé souřadnice, na které má nástroj dojet. Během
pohybu je informován o aktuální pozici, a dokud není příkaz potvrzen, tak kromě zastavení
stroje není možné zaslat příkaz další.
Obrázek 7: Uživatelské rozhraní pro posun
nástroje
Obrázek 8: Uživatelské rozhraní pro
nastavení počátku souřadnic
Informace o tom, na jakých souřadnicích se nástroj nachází, je udržována pouze
v počítači a samotný jednočip pouze vykonává zadané příkazy.
Hlavní část aplikace má na starosti přepočet pozice, kterou zadal uživatel na kroky
jednotlivých motorů, kterými má jednočip otočit. Nejprve se vždy vypočítají dráhy a určí
směry, kterými se má nástroj posunout. To se určí jako rozdíl aktuální a zadané pozice.
Následně se jednotlivé dráhy v milimetrech přepočítají na kroky motorů. To se realizuje
velice snadno, protože určité vzdálenosti odpovídá určitý počet kroků. Stačí tedy zjistit jen
správný poměr a tím vzdálenost násobit.
Když je potřeba vykonat šikmý pohyb, musí se vypočítat virtuální kroky jako nejmenší
společný násobek všech jednotlivých kroků a dopočítat poměry, podle kterých se určují
skutečné posuny v jednotlivých osách.
Jakmile je vše spočítáno, tak se vypočítají kontrolní součty a příkaz je odeslán jednočipu,
který jej vykoná. Dle typu příkazu se buď čeká, nebo nečeká na potvrzení. Při seřizování
stroje a hledání výchozí pozice nástroje, kdy se pohybuje v jednotlivých osách pouze
o jednotky kroků, není třeba vyžadovat potvrzení. Pro delší pohyby již vyžadováno je.
Vzhledem k tomu, že zařízení neobsahuje žádnou zpětnou vazbu a systém určuje změny
polohy pouze na základě vykonaných kroků, tak jsou tato potvrzení nutná, abychom věděli
jistě, zda se nástroj nachází již tam, kde má být.
6 Závěr
V rámci tohoto příspěvku byl vytvořen řídicí systém pro ovládání modelu CNC
soustruhu, který lze ovládat pomocí rozhraní v osobním počítači. Pomocí sběrnice USB je
počítač spojen s řídící jednotkou, která má na starosti otáčení krokovými motory. Navržené
programy jsou vytvořeny tak, že dokážou ovládat nejen soustruh, ale i víceosé stroje,
například frézky, dopravníky nebo i jiná zařízení, pro jejichž řízení jsou využity krokové
motory. Pomocí navržených programů je možné vykonávat pohyby nezávislé na sobě, ale i
pohyby, které jsou navzájem svázané. Na soustruhu například různé úkosy nebo kužely.
Při vytváření programu pro jednočip jsem se dostal k jeho limitům. Pro další vývoj je proto
nutné využít vyšší řady mikročipů PIC, které poskytují více paměti. Pro víceosý systém je
také potřeba aby měl mikropočítač i více výstupu, které by byly napojeny na další krokové
motory. Samotný program je pro tuto variantu již připraven. Stačí jen dodat potřebný
hardware a může být dále použit. V případě že by jednočip obsahoval více paměti RAM i
74
paměti pro program, tak by bylo možné vytvořit nové instrukce. Jednou z možností je
doprogramovat pohyb po křivce. Nebo také zásobník příkazů pro zpracování, kdy by si
jednočip pamatoval několik příkazů dopředu, a nemusel tak stále komunikovat s nadřazeným
počítačem.
HRBÁČEK, J. 1996. Mikrořadiče PIC16CXX a vývojový kit PICSTART. Praha BEN technická literatura, 1996, ISBN80-901984-0-6
HRBÁČEK, J. 1997. Programování mikrokontroléru PIC16CXX. Praha, BEN - technická
literatura, 1997, ISBN 80-86056-16-3
VLACH, J. 1999. Řízení a vizualizace technologických procesů. Praha, BEN - technická
literatura, 1999, ISBN 80-86056-66-X
8x RGB LED řízené z PC. [online]. [cit. 2013-04-20]. Dostupné z: <URL:
http://pandatron.cz/?554&8x_rgb_led_rizene_z_pc>
PIC Tutorial Hardware. [online]. [cit. 2013-04-20]. Dostupné z: <URL:
http://www.winpicprog.co.uk/pic_tutorial_hardware.htm>
PIC16F627A/628A/648A Data Sheet. [online]. [cit. 2013-04-20]. Dostupné z: <URL:
http://ww1.microchip.com/downloads/en/DeviceDoc/40044F.pdf>
UART Library (mC PRO for PIC). [online]. [cit. 2013-04-20]. Dostupné z: <URL:
http://www.mikroe.com/esupport/index.php?_m=knowledgebase&_a=viewarticle&kbarticlei
d=157>
75
76
Modální analýza modelu pro aktivní tlumení vibrací
ŠURÁNEK, Pavel1, TŮMA, Jiří2 & MAHDAL, Miroslav3
1
Ing.,
2
prof. Ing., CSc.,
[email protected],
3
Ing., Ph.D.,
VŠB-TU
[email protected],
VŠB-TU Ostrava, 17. listopadu 15, 703 88 Ostrava,
[email protected],
VŠB-TU Ostrava, 17. listopadu 15, 703 88 Ostrava,
Ostrava,
17.
listopadu
15,
703
88
Ostrava,
Abstrakt: Na katedře automatizační techniky a řízení VŠB-TUO byl vytvořen laboratorní
model pro aktivní tlumení vibrací. Na tomto modelu bylo pomocí piezoaktuátorů a vhodného
řízení dosaženo výrazného zvýšení tlumení u vetknutého nosníku. Na laboratorní model
skládající se ze stavebnicového rámu a ocelového vetknutého nosníku byla aplikována
modální analýza za účelem porozumění dynamickému chování konstrukce jako celku.
Klíčová slova: vetknutý nosník, modální analýza, piezoaktuátor, zpracování signálů
1. Úvod
Pro pokusy s aktivním tlumením mechanických vibrací byl na katedře ATŘ vytvořen
laboratorní model vetknutého nosníku. Model se skládá z několika částí:
Duralový rám
Laserový snímač
Vetknutý
nosník
Piezoaktuátor
Obrázek 1 – Laboratorní model vetknutého nosníku
Nosník je vyroben z pásové oceli. Výchylka kmitů je měřena laserovým triangulačním
snímačem Micro-Epsilon ILD 1300-20, který má měřicí rozsah 20mm. Jako akční člen slouží
piezoaktuátor Physical Instruments PI P-845.60, který má zdvih 90 μm. Funkci regulátoru
zastal signálový procesor dSPACE který se skládá z procesorové karty DS 1005 a I/O karty
DS 2211. Ocelový nosník, piezoaktuátor a triangulační snímač byly uchyceny v rámu
sestaveném ze stavebnicového systému ITEM.
77
Vhodnou regulací bylo u modelu docíleno přibližně osmkrát rychlejšího dokmitu, než je
přirozené chování nosníku.
Průběh bez regulace
10
8
6
výchylka [mm]
4
2
0
-2
-4
-6
-8
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
čas [s]
Obrázek 2 – Přirozené dokmitání nosníku
Průběh s regulací
12
10
8
výchylka [mm]
6
4
2
0
-2
-4
-6
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
čas [s]
Obrázek 3 – Dokmitání s aktivním tlumením
2. Modální analýza
S cílem porozumět dynamickému chování celé konstrukce, byla tato sestava podrobena
modální analýze. Tento experiment umožnil zjistit, jakým způsobem konstrukce kmitá a při
kterých vibracích rezonují které stavební celky.
Konstrukce byla označena 122 body a rovněž byla v program Me'Scope vytvořena
struktura o stejném počtu bodů, která odpovídala laboratorní konstrukci. Aby bylo
v programu Me'Scope možno vizualizovat vibrační chování, bylo nutno naměřit přenosové
funkce mezi označenými body.
78
Obrázek 4 – Struktura v Me’Scope, s označenými body, na které byly umístěny akcelerometry
2.1 Měření frekvenční přenosové funkce
Frekvenční přenos lze vyjádřit jako poměr výstupu a vstupu při dané frekvenci.
Existuje několik druhů frekvenčních přenosů, podle toho, které veličiny se měří. Odezvu
je obvyklé měřit jako výchylku, rychlost nebo zrychlení.
Průběh výchylky v komplexní rovině je:
x(t )  Xe it
(1)
Průběh rychlosti je derivace výchylky:
v(t )  x (t )  iXe it
(2)
Průběh zrychlení je derivace rychlosti:
a(t )  v(t )   2 Xe it
(3)
Frekvenční přenos, kdy vstupem je síla a odezva je ve formě výchylky se nazývá
receptance:
   
X
F
(4)
Jestliže je výstupní parametr rychlost, nazývá se přenos pohyblivost:
Y   
V
X
 i  i  
F
F
(5)
A nakonec pro případ, kdy je výstupní parametr zrychlení, se přenos nazývá inertance:
A  
A
X
  2  2  
F
F
(6)
Měření lze provádět několika způsoby. Silové buzení lze provádět budičem, přičemž se
soustava budí harmonickým nebo náhodným signálem. Při tomto uspořádání se obvykle budí
v jednom bodě a odezva se měří na více místech.
79
Druhým možným přístupem k měření je použití impulsního signálu. Nejčastěji se používá
impulsní kladívko, lze také použít rázovadlo. Při použití impulsního buzení se obvykle jeden
bod osadí snímačem a impuls je aplikován ve zvolených bodech.
Pro měření přenosových funkcí bylo zvoleno osazení rohu konstrukce třemi
akcelerometry. Čtvrtý akcelerometr byl umístěn na konec nosníku. Měřené body jsou
znázorněny na obrázku 4.
Všechny čtyři akcelerometry byly připojeny k signálovému analyzátoru PULSE 3560-C.
Na pátý kanál bylo připojeno rázové kladívko.
Obrázek 5 – System PULSE
Roh hliníkové konstrukce byl osazen třemi snímači Brüel & Kjær DeltaTron 4507 B 004,
které byly orientovány tak, aby byly měřeny všechny tři osy zrychlení. Tyto snímače mají
rozsah ± 700 ms-2. Citlivost je 10,13 mV/ms-2.
Obrázek 6 – Roh konstrukce s připevněnými akcelerometry
Jelikož na konci nosníku lze očekávat mnohem větší vibrace než na hliníkovém rámu, byl
na nosník upevněn akcelerometr s menší citlivostí (1,004 mV/ms-2). Tento akcelerometr má
pak rozsah ± 7000 ms-2. Akcelerometry jsou typu CCLD, tudíž jsou napájeny stejnosměrným
proudem stejnými vodiči, kterými jsou do analyzátoru PULSE přiváděny signály. Protože
stejnosměrná složka slouží k napájení předzesilovačů ve snímačích, neměří tyto snímače
statické hodnoty zrychlení.
Akcelerometry je tedy měřena vibrační odezva. Vibrace se budily pomocí impulsního
kladívka Endevco 2302 citlivostí 1,18 mV/N. Klepáním impulsním kladívkem ve všech 122
označených bodech na konstrukci bylo naměřeno celkem 488 přenosů. (V každém bodě byly
změřeny čtyři přenosy, pro každý akcelerometr jeden.)
80
Obrázek 7 – Modální kladívko Endevco 2302
Průběh buzení by se měl co nejvíce blížit impulsu. Ideálního impulsu samozřejmě nelze
docílit, tudíž má průběh budicí síly tvar tlumené sinusovky v matematickém tvaru:
f (t )  A  e t  sin(t )
(7)
Změřený průběh buzení je na následujícím obrázku:
Obrázek 8 – Časový záznam signálu z kladívka
Důležité je, aby frekvenční spektrum impulsu obsahovalo všechny frekvenční složky
v pásmu, ve kterém daný fyzický model testujeme. Ideální je, když se funkční hodnota
spektrální funkce blíží v daném rozsahu konstantě, podobně jako spektrum impulsu na
následujícím obrázku:
81
Obrázek 9 – Autospektrum vstupního signálu (kladívko)
Výstup z akcelerometru je také tlumená sinusovka, lépe řečeno součet nekonečného
množství tlumených sinusovek, protože každý mód tělesa vyvolá svou odezvu a počet módů u
plastického tělesa je nekonečný. Doznívání trvá u výstupu daleko déle než u vstupního
impulsu. Na následujícím průběhu je zobrazeno zrychlení na konci vetknutého nosníku.

a(t )   Ak  e  k t  sin( k t )
k 1
(8)
Obrázek 10 – Časový záznam výstupu (zrychlení)
Protože spektrum vstupního signálu bylo téměř konstantní, na spektru zrychlení již bude
možno pozorovat rezonanční špičky, které signalizují, že při těchto frekvencích bude mít
konstrukce tendenci kmitat.
82
Obrázek 11 – Autospektrum výstupu
Výsledná frekvenční funkce je podílem výstupního a vstupního spektra. Na následujícím
obrázku je označena frekvenční funkce mezi vetknutým a volným koncem nosníku, označeny
jsou ty rezonanční vrcholy, které odpovídají rezonančním frekvencím nosníku.
Obrázek 12 – Frekvenční přenosová funkce mezi pevným a volným koncem nosníku
Takto tedy probíhá měření jedné frekvenční odezvové funkce, celkem těchto funkcí bylo
naměřeno 488 a byly připraveny.
2.2 Implementace do programu Me’Scope
ME’scopeVES (Visual Engineering Series) je software, který umožňuje sledovat,
analyzovat a dokumentovat vibrační problémy ve strojírenství a stavebnictví.
Do tohoto prostředí bylo nahráno všech 488 přenosových frekvenčních funkcí. Na
následujícím obrázku jsou nakresleny ve vzájemném překrytí:
83
Obrázek 13 – Překryté frekvenční přenosové v programu Me’ScopeVES
Pomocí maxim v imaginární části charakteristiky bylo definováno 22 módů kmitů:
Obrázek 14 – Detekování módů v imaginární části přenosu
V následující tabulce jsou tyto módy shrnuty. Je zde uvedena frekvence kmitání, tlumení
a je řečeno, která součást konstrukce kmitá.
Tabulka 1: Zjištěné vlastní frekvence konstrukce
č.
Frekvence [Hz]
Tlumení [%]
Popis kmitání
1
96.1
0,318
Celá konstrukce se kroutí kolem osy z
2
126
0,281
Celá konstrukse se smýká podél roviny xz
3
326
0,184
Spodní deska se ohýbá
4
376
0,0617
Svislé nohy se ohýbají
5
384
0,116
6
394
0,180
Celá konstrukce se smýká podél roviny yz
7
486
0,283
Dlouhé vodorovné pruty na vrchní části konstrukce se ohýbají
84
8
518
0,275
Krátké vodorovné pruty na vrchní části konstrukce se ohýbají
9
548
0,203
Celá konstrukce se kroutí podél osy z
10
604
0,038
Kmitá vetknutý nosník
11
650
0,042
12
657
0,028
13
677
0,154
14
686
0,039
Celá konstrukce se ohýbá kolem osy z
15
773
0,149
Vrchní část konstrukce se ohýbá podél osy z
16
966
0,039
Kmitá nosník
17
987
0,149
Kmitá základna
18
1370
0,090
Svislé nohy
19
1380
0,072
Svislé nohy
20
1400
0,035
Svislé nohy
21
1430
0,090
Svislé nohy
22
394
0,046
Vetknutý nosník
Například při frekvenci 96 Hz má konstrukce tendenci deformovat se do vrtule, jak je
naznačeno na následujících obrázcích.
Obrázek 15 – Vizualizace modelu při frekvenci 96 Hz.
85
3. Závěr
Na laboratorním modelu pro aktivní tlumení vibrací vetknutého nosníku byla provedena
modální analýza. Pomocí měření signálovým analyzátorem PULSE byly naměřeny přenosy
ve 122 bodech mezi impulsním kladívkem a čtveřicí akcelerometrů. Tyto přenosy poté byly
implementovány do prostředí Me’Scope, kde byly určeny módy kmitů jejich příslušné
frekvence a tlumení.
Již dříve byla prováděna modální analýza v menším rozsahu pouze na vetknutém
nosníku, kde byly patrné některé úseky frekvenčních odezvových funkcí, u kterých bylo
podezření, že pocházejí od hliníkového rámu. Tento experiment potvrdil, že opravdu rám
v malé míře ovlivňuje chování nosníku, a také pomohl lépe porozumět chování celé
konstrukce
Použitá literatura
BILOŠOVÁ A., Aplikovaný mechanik jako součást týmu konstruktérů a vývojářů: část modální
zkoušky, 1. vyd. Ostrava: Skripta VŠB - TU Ostrava, 2012. 129 s ISBN 978-80-2482758-2
FULLER CH.C., Active control of vibration. Academic Press, 1996, ISBN 0-387-40649-2.
86
GAWRONSKI W.K., Advanced Structural Dynamics and Active Control of Structures, Springer
New York, ISBN 0-387-40649-2.
PREUMONT A., SETO K., Active control of structures. New York: WILEY, 2008, 296 s. ISBN
978-0-470-03393-7.
JULIŠ, K & BREPTA, R. 1987. Mechanika II.díl –Dynamika; Technický průvodce. 1. vyd.
Praha: SNTL, 1987. 687 s.
NOSKIEVIČ, P. 1999 Modelování a identifikace systémů. 1. vyd. Ostrava: Montanex, 1999.
280 s. ISBN 80-7225-030-2
ŠURÁNEK, P. 2012 Aktivní tlumení vibrací: diplomová práce. Ostrava: VŠB-TUO, Katedra
automatizační techniky a řízení, 49 s. Vedoucí práce: Tůma, J
TŮMA, J. Diagnostika strojů, 1. vyd. Ostrava: Skripta VŠB - TU Ostrava, 2009. 138 s. ISBN
978-80-248-2116-0.
TŮMA, J. Signal processing, 1. vyd. Ostrava: Skripta VŠB - TU Ostrava, 2009. 156 s. ISBN
978-80-248-2114-6.
TŮMA, J. Složité systémy řízení, I. Díl: Regulace soustav s náhodnými poruchami, 1. vyd.
Ostrava : Skripta VŠB - TU Ostrava, 1998. 151 s. ISBN 80-7078 - 534 - 9.
VÍTEČEK, A. & VÍTEČKOVÁ M., 2008 Základy automatické regulace. 1. vyd. Ostrava: Katedra
ATŘ VŠB-TU Ostrava, 2008. 244 s. ISBN 978-80-248-1924-2
87
88
Přístupy k volbě vzorkovací periody
VÍTEČKOVÁ, Miluše1 & VÍTEČEK, Antonín2
1
prof. Ing., CSc.,
katedra automatizační techniky a řízení, Fakulta strojní, VŠB-TU
Ostrava,
17.
listopadu
15,
708
33
Ostrava-Poruba,
Česká
republika,
e-mail: [email protected],
2
prof. Ing., CSc., Dr.h.c.,
e-mail. [email protected]
Abstrakt Příspěvek je věnován volbě vzorkovací periody při seřizování konvenčních
číslicových regulátorů. Jsou zde uvedena nejdůležitější kritéria pro její volbu.
Klíčová slova: vzorkovací perioda, číslicový regulátor, seřizování regulátorů, kvalita
regulace
1 Úvod
Ačkoliv vzorkovací perioda T má zásadní vliv na stabilitu regulačního obvodu, a tedy i na
kvalitu regulace, její volbě není většinou v odborné literatuře věnována velká pozornost. Je to
dáno tím, že problém je poměrně složitý. Celková chyba při vzorkování (časové diskretizaci)
je dána jednak vlastním vzorkováním, ale také kvantizací (diskretizací v úrovni). Přitom
kvantizační chyba závisí na vlastnostech konkrétního A/Č převodníku. Naštěstí v regulačním
obvodu, díky záporné zpětné vazbě, kvantizační chyba nemá velký vliv na kvalitu regulačního
pochodu. Proto se dále předpokládá, že kvantizační chyba je zanedbatelně malá a dále nebude
uvažována. Z tohoto důvodu pojmy diskrétní a číslicový budou považovány za ekvivalentní.
Další problém spočívá v nejednotnosti názorů na její volbu, zda má být určena na základě
vlastnosti soustavy, uzavřeného regulačního obvodu, přípustného snížení hodnoty zvoleného
kritéria kvality regulace atd. [1-3, 5-12, 14-16, 18-21].
Vzorkování probíhá v uzavřeném regulačním obvodu, a proto je zřejmé, že volba
vzorkovací periody by měla být provedena na základě jeho vlastností. Vystupuje zde však
problém, protože vlastnosti regulačního obvodu před jeho seřízením nejsou známé.
Vzorkovací perioda musí často vyhovovat více kritériím, a proto při její volbě je třeba
přijmout určitý kompromis. Proto cílem příspěvku je najít jednoduché vztahy pro její volbu.
Vždy je vhodné, pokud je to možné, pro zvolenou vzorkovací periodu kvalitu regulačního
pochodu simulačně ověřit.
Volbu vzorkovací periody u číslicové regulace je třeba provádět ze dvou hledisek. Jednak
z hlediska snížení kvality regulace při zastoupení analogového regulátoru číslicovým
regulátorem a jednak z hlediska možnosti použití při seřizování číslicových regulátorů metod
seřizování pro odpovídající analogové regulátory. Příspěvek je mírně upravený referát [21].
2 Snížení kvality regulace
Je uvažován regulační obvod s číslicovým regulátorem na obr. 1, kde ČR je číslicový
regulátor, S – regulovaná soustava, Č/A – číslicově analogový převodník, A/Č – analogově
číslicový převodník, w – žádaná veličina, e – regulační odchylka, u – akční veličina, uT –
tvarovaná akční veličina, y – regulovaná veličina, v a v1 – poruchové veličiny.
Pro větší názornost jsou diskrétní (číslicové) veličiny na obr. 1, 2 a 3 zaznačeny tučnou
čarou.
89
v1 (t )
v(t )
u (kT )
w(kT ) e(kT )
ČR
y(kT )
uT (t )
Č/A
y (t )
S
A/Č
Obrázek 1 – Regulační obvod s číslicovým regulátorem
Při použití konvenčního číslicového regulátoru, ve srovnání se stejným typem
analogového regulátoru, vždy dochází ke snížení kvality regulačního pochodu. Je to
způsobeno tím, že mezi okamžiky vzorkování číslicový regulátor není informován o skutečné
regulační odchylce e a navíc zvyšováním velikosti vzorkovací periody T dochází
k destabilizaci regulačního obvodu [20]. Vyplývá to přímo z přenosu konvenčního
číslicového regulátoru PID (PSD)
 T z
T z 1 
 ,
GR ( z )  K P 1 
 D
 TI z  1 T z 
(1)
kde KP je zesílení regulátoru, TI – integrační časová konstanta, TD – derivační časová
konstanta.
Je zřejmé, že vyšší hodnota vzorkovací periody T zvýší váhu sumační složky a současně
sníží váhu diferenční složky v (1), tj. v obou případech způsobí snížení stability regulačního
obvodu.
Při použití diferenční složky je nutno vždy použít vhodnou filtraci [1, 15, 16, 20].
Jednodušší číslicové regulátory se z přenosu (1) snadno získají odpovídající volbou
kombinace TI → ∞ a TD = 0.
Při volbě vzorkovací periody T je třeba uvažovat především zhoršení kvality regulačního
pochodu.
Přesune-li se A/Č převodník ze zpětné vazby u regulačního obvodu s číslicovým
regulátorem na obr. 1 za soustavu v souladu s obr. 2 (nahoře), pak na soustavu, která má na
vstupu Č/A převodník a na výstupu A/Č převodník lze pohlížet jako na diskrétní (číslicovou)
soustavu. Pro analýzu a syntézu regulačního obvodu s číslicovým regulátorem lze použít
diskrétní regulační obvod na obr. 2 (dole), kde GS(z) je přenos regulované soustavy daný
vztahem
GS ( z ) 

z 1 
  G ( s) 

Z L1  S 
.
z
s



t  kT 


(2)
Schéma diskrétního regulačního obvodu na obr. 2 (dole) lze použít pro libovolně velkou
vzorkovací periodu T. Umožňuje provádět jeho analýzu a syntézu přesně (samozřejmě není
uvažováno kvantování). Seřízení číslicového regulátoru je v tomto případě náročným úkolem.
Poměrně jednoduchá je metoda požadovaného modelu [18-20], která např. pro regulovanou
soustavu s přenosem
GS ( s) 
k1
e Td s ,
T1s  1
(3)
90
umožňuje seřídit analogový i číslicový konvenční regulátor PI na mezní nekmitavý regulační
pochod (T1 je časová konstanta, k1 – koeficient přenosu, Td – dopravní zpoždění):
v1 (t )
v(t )
uT (t )
u (kT )
w(kT ) e(kT )
ČR
S

A/Č
V1 ( z )
V (z )
U (z )
W (z ) E (z )
y(kT )
y (t )
Č/A
Y (z )
GR (z )
GS (z )
Obrázek 2 – Transformace regulačního obvodu s číslicovým regulátorem na diskrétní
regulační obvod
analogový regulátor PI

1 
 ,
GS ( s)  K P 1 
 TI s 
k *T *
K P*  o I , TI*  T1 ,
k1
1
k o* 
,
e Td
číslicový regulátor PI
(4)
(5a)
(5b)
 T z 
 ,
GR ( z )  K P 1 
 TI z  1 
(6)
T

k *T *
c
 o I , TI*  1 T , c1  e T1 ,
k1
1  c1
1
ko* 
,
(4  e)T  e Td
K P*
(7a)
(7b)
kde ko je zesílení otevřeného regulačního obvodu a * hvězdička označuje hodnoty zajišťující
mezní aperiodický regulační pochod.
Vztah (7b) je přibližný s chybou menší než 0,1 % pro T ≤ Td, tj. lze ho tedy považovat
prakticky za přesný.
Pro jednotkový skok žádané veličiny w a pro aperiodický regulační pochod bez překmitu
lze snadno určit pro proporcionální regulovanou soustavu a pro analogový i číslicový
regulátor s integrační složkou lineární regulační plochu [18-20]
91


T
1
1
1
I A   ew (t ) d t  lim 
 I  ,

s 0 1  G ( s )G ( s ) s
0
R
S

 k1K P ko
(8)


TI
1
z 
1
I Č  T  ew (kT )  T lim 
 ,

z

1
k 0
1  GR ( z )GS ( z ) z  1 k1K P ko
(9)
kde ew je regulační odchylka.
Je zřejmé, že vztahy (8) a (9) platí i pro absolutní regulační plochu a pro jednotkovou
skokovou změnu poruchové veličiny v1. Pro jednotkovou skokovou změnu poruchové
veličiny v tyto plochy jsou rovny k1/ko.
Při zastoupení analogového regulátoru PI (4) číslicovým regulátorem PI (6) pro
regulovanou soustavu (3) při seřízení na mezní nekmitavý regulační pochod [viz vztahy (5b) a
(7b)] dojde v souladu se vztahy (8) a (9) k relativnímu poklesu kvality regulace
I Č*  I *A
I *A

(4  e)T
.
e Td
(10)
Pro relativní pokles kvality regulace δ vyjádřený lineární regulační plochou lze psát
eT
(4  e)T
  T  d  .
e Td
4e
(11)
Např. pro často uvažovanou hodnotu δ = 15 % (0,15) se dostane
T  0,32Td .
(11)
Vzhledem k náročnosti analytického určení vzorkovací periody T, se často používají
přibližné metody vycházející ze zkušeností a z uzavřeného regulačního obvodu s analogovým
regulátorem.
Velmi jednoduchá metoda volby vzorkovací periody T vychází z mezního úhlového
kmitočtu ωm (mezní úhlový kmitočet ωm odpovídá poklesu modulu kmitočtového přenosu
řízení z hodnoty 1 na hodnotu 1 / 2 ) uzavřeného regulačního obvodu s analogovým
regulátorem. Pro vzorkovací kmitočet
v 
2
,
T
(13)
je nejčastěji doporučováno rozmezí [1, 2, 5, 6, 10-12, 15, 16, 20, 21]
v  (6  30)m .
(14)
Pro nekmitavý regulační pochod bez překmitu lze přenos řízení uzavřeného regulačního
obvodu vyjádřit ve tvaru
Gwy ( s) 
1
e Td s ,
n
(Tw s  1)
(15)
kde Tw je časová konstanta uzavřeného regulačního obvodu.
92
Pro modul kmitočtového přenosu řízení (15) platí
1
Awy ( ) 
[(Tw ) 2  1]n
,
(16)
a proto mezní úhlový kmitočet ωm lze určit z rovnosti
1
[(mTw )  1]
2
n

1
1
 m 
Tw
2
n
2 1 .
(17)
Na základě vztahů (17), (14) a (13) se obdrží (hodnoty jsou zaokrouhleny)
n 1
T  (0,2  1,0)Tw
n2
T  (0,3  1,6)Tw
n3
T  (0,4  2,0)Tw
n4
T  (0,5  2,4)Tw
(18)
Podobně pro regulační pochod s překmitem lze přenos řízení zapsat ve tvaru (ξw je
relativní tlumení)
Gwy ( s) 
Tw2 s 2
1
e Td s
 2 wTw s  1
(19)
a jeho modul je dán vztahem
Awy ( ) 
1
[1  (Tw ) ]  4 w2 (Tw ) 2
2 2
.
(20)
Z rovnosti
1
[1  (mTw ) ]  4 mTw )
2 2
2
w(
2

1
2
a vztahů (14) a (13) se dostane
 w 1
w 
w 
1
2
1
2
m 
1
Tw
m 
1
Tw
m 
1
Tw
2 1
T  (0,3  1,6)Tw
T  (0,2  1,0)Tw
5 1
2
(21)
T  (0,16  0,8)Tw
Obdržené hodnoty (21) pro ξw = 1 musí odpovídat vztahům (18) pro n = 2.
Častým kritériem pro volbu vzorkovací periody T je požadavek, aby rychlost odezvy to
byla 4 až 10 krát větší než je vzorkovací perioda T [1, 10, 12],
93
to  (4 10)T , T  (0,1  0,25)to ,
(22)
kde rychlost odezvy to je definována jako doba od dosažení 10 % do dosažení 90 % ustálené
hodnoty na přechodové charakteristice uzavřeného regulačního obvodu.
Rychlost odezvy to nezávisí na dopravním zpoždění Td, a proto bude stejná pro přenos
řízení (15) i přenos
Gwy ( s) 
1
.
(Tw s  1) n
(23)
Rychlost odezvy to byla vypočtena pro přenos řízení (23) numericky. Po uvažování (22) a
zaokrouhlení se dostane
n 1
to  2,2Tw
T  (0,2  0,6)Tw
n2
to  3,4Tw
T  (0,3  0,9)Tw
n3
to  4,2Tw
T  (0,4  1,1)Tw
n4
to  4,9Tw
T  (0,5  1,2)Tw
(24)
Pro přenos řízení
Gwy ( s) 
Tw2 s 2
1
.
 2 wTw s  1
(25)
i pro přenos (19) rychlost odezvy to bude stejná. Podobně jako v předchozím případě
numerickým výpočtem se dostane
 w 1
t o  3,4Tw
T  (0,3  0,9)Tw
1
2
1
w 
2
t o  2,1Tw
T  (0,2  0,5)Tw
t o  1,6Tw
T  (0,2  0,4)Tw
w 
(26)
Dalším kritériem pro volbu vzorkovací periody T je, že by měla vyhovovat vztahu [3, 20]
 1 1
T    t0,95 ,
 15 6 
(27)
kde t0,95 je doba, kdy nekmitavá přechodová charakteristika uzavřeného regulačního obvodu
dosáhne 95 % své ustálené hodnoty, přičemž se neuvažuje případné dopravní zpoždění.
Doba t0,95 pro přenos řízení (23) může být s dostatečnou přesností určena na základě
jednoduchého vzorce [4]
t0,95  1,5(1  n)Tw ,
(28)
Po dosazení (28) do (27) se po zaokrouhlení dostane
94
n 1
T  (0,2  0,5)Tw
n2
T  (0,3  0,8)Tw
n3
T  (0,4  1,0)Tw
n4
T  (0,5  1,3)Tw
(29)
I když výsledky (29) dávají pro maximální hodnoty vzorkovací periody T menší hodnoty
než předchozí kritéria, je zřejmé, že jde o poměrně dobrou shodu.
U kmitavé přechodové charakteristiky regulačního obvodu počet vzorků během doby
kmitu by měl být v rozmezí od 15 do 45 [12].
Protože pro  w  1 / 2 je kmitavost zanedbatelná, je uvažován pouze případ  w  0,5 ,
pro který doba kmitu je [18, 19]
2
1 
2
w
Tw 
2
Tw .
0,75
(30)
Po uvažování (30) a odpovídajícího vztahu z (21) pro ξw = 0,5 se dostane počet vzorků
během doby kmitu v rozmezí od 9 do 45, což je velmi dobrá shoda.
Vztahy (24), (26) a (29) dávají nižší hodnoty vzorkovací periody T než odpovídající
vztahy (18) a (21), ale je třeba si uvědomit, že přenosy řízení (23) a (25) neobsahují dopravní
zpoždění Td.
V uvedených vztazích pro volbu vzorkovací periody T vystupuje časová konstanta Tw,
stupeň n a dále tam může vystupovat koeficient tlumení ξw. Jsou to parametry seřízeného
regulačního obvodu a tyto parametry před seřízením nejsou známy.
Lze to částečně obejít. Např. v metodě SIMC [17, 19, 20] pro regulovanou soustavu (3),
regulátor PI (4) a pro T1 ≤ 8Td je doporučeno volit Tw = Td. V tomto případě se ze vztahů (18)
pro n = 1 dostane
T  (0,2  1,0)Td .
(31)
V metodě požadovaného modelu [18-20] se pro stejnou soustavu a regulátor, pro n = 2,
a mezní nekmitavý proces dostane Tw ≈ Td, a proto ze vztahů (18) pro n = 2 se obdrží
T  (0,3  1,6)Td .
(32)
Je zřejmé, že zvolí-li se vzorkovací perioda T při dolní hranici ve vztazích (31) a (32),
pak její hodnota bude vyhovovat i již dříve získanému výsledku (12) pro kritérium lineární
regulační plochy.
Použije-li se metoda násobného dominantního pólu pro regulovanou soustavu
GS ( s) 
1
(T1s  1) n
(33)
a regulátor PI (4), pak pro n ≥ 2 se dostane [19]:
Tw 
n 1
T1
2
(34)
Vzhledem k tomu, že vztahy (24) a (29) jsou podobné, budou uvažovány pouze vztahy
(24). Po dosazení (34) do (24) se obdrží
95
n2
T  (0,5  1,4)T1
n3
T  (0,8  2,2)T1
n4
T  (1,3  3,0)T1
(35)
Hodnoty vzorkovací periody T (35) pro metodu násobného dominantního pólu vycházejí
vyšší. Je to způsobeno tím, že tato metoda seřízení je robustní, ale současně je silně
konzervativní a dává pomalou odezvu [19].
Pro regulovanou soustavu (33) a pro n = 2 lze použít seřízení regulátoru PI (4) metodou
optimálního modulu s kompenzací [19, 20], kde
Tw  2T1 ,  w 
1
2
(36)
a proto se z odpovídajícího vztahu (26) dostane
T  (0,3  0,7)T1
(37)
Na základě výše uvedených úvah a výsledků lze učinit závěr, že pro regulovanou
soustavu s přenosem
GS ( s) 
k1
e  Td s
n
(T1s  1)
(38)
z hlediska poklesu kvality regulace vzorkovací perioda T by měla vyhovovat jednoduchým
vztahům
T  0,3T1 a T  0,3Td
(39)
Nerovnosti by pro n = 1 neměly být překročeny. Pro vyšší řád vzorkovací perioda T může
být rovněž vyšší. V každém případě je vhodné simulačně ověřit snížení zvoleného kritéria
kvality regulace.
3 Zjednodušené seřízení číslicového regulátoru
Pokud se přesune A/Č převodník ze zpětné vazby (obr. 1) před číslicový regulátor (obr. 3
nahoře), pak na číslicový regulátor s oběma převodníky lze pohlížet přibližně jako na
analogový regulátor. Proto pro přibližnou syntézu regulačního obvodu s číslicovým
regulátorem lze použít spojitý regulační obvod na obr. 3 (dole).
96
v1 (t )
v(t )
uT (t )
u (kT )
e(kT )
w(t )e(t )
A/Č
y (t )
Č/A
ČR
S
AR

U (s)
E (s)
W (s)
V1 ( s)
V (s)
Y (s)
GS (s)
GR (s)
Obrázek 3 – Transformace regulačního obvodu s číslicovým regulátorem na spojitý regulační
obvod
Za předpokladu, že Č/A převodník má vlastnosti vzorkovače a tvarovače nultého řádu,
tvarovaná akční veličina uT(t) má tvar stupňovité časové funkce, viz obr. 4.
 T
u t    uT (t )
2

u (t )
u (kT )
8T
6T
0
10T
4T
2T
kT
t
uT (t )
Obrázek 4 – Průběhy akčních veličin v regulačním obvodě s číslicovým regulátorem
Z průběhu tvarované akční veličiny uT(t) vyplývá, že pro dostatečně malou vzorkovací
periodu T může být přibližně vyjádřena jako u(t – T/2). Proto regulační obvod s číslicovým
regulátorem může být zastoupen spojitým regulačním obvodem se soustavou
GS ( s)  GS ( s)e

T
s
2
 G ( s )e
 Td s
e

T
s
2
 G ( s )e
T

  Td   s
2

kde G(s) je část přenosu regulované soustavy neobsahující dopravní zpoždění.
97
(40)
Pro tuto soustavu se navrhne a seřídí vhodný analogový regulátor GR(s). Hodnoty jeho
stavitelných parametrů spolu se vzorkovací periodou T se pak použijí u odpovídajícího
číslicového regulátoru.
Oprávněnost takového postupu bude nově ukázána na regulované soustavě (3).
Diskrétní přenos regulované soustavy v souladu s (2) má tvar
GS ( z ) 

Td
z 1 
  G(s) 
 d
d
Z L1 

 z  G( z ) z , d 
z
T

  s  t  kT 

(41)
kde d je celočíselné relativní dopravní zpoždění (předpoklad celočíselnosti není podstatný,
pouze zjednodušuje odvození).
Komplexní proměnná z může být aproximována vztahem
x
2
ex 
x
1
2
(42)
T
s
2
z  eTs 
T
1 s
2
(43)
1
tj.
1
V kmitočtové oblasti pro ωT/2 < 0,25 je aproximace (43) pro praxi dostatečně přesná,
proto lze psát
GS ( s)  e Td s G( z )
T
1 s
z 2
T
1 s
2
 GS ( s) e

T
s
2
 GS ( s)
(44)
Pro regulovanou soustavu (3) se dostane
GS ( z ) 

T
z 1 
a1k1
  1 k1 
 d
Z L1 
z d , d  d

z 
z
z  a1  1
T

  s T1s  1 t  kT 


T
T1
Td
T
V souladu se vztahem (44) lze psát
a1  1  e
, d
GS ( s)  e Td s
a1k1
T
z  a1  1 z  1 2 s
T
1 s
2
(45a)
(45b)
 T 
T

1  s k1
  Td   s
k1
2 
 Td s

2


e

e
2  a1
2  a1
Ts  1
Ts  1
2a1
2a1
(46)
Použitím aproximace (42) lze vztah (46) zjednodušit
a1  1  e

T
T1

2T
2  a1

T  T1
2T1  T
2a1
98
(47)
tj.

T
  Td   s
k1
GS ( s) 
e  2
T1s  1
(48)
Chyba aproximace (47) pro T/T1 ≤ 0,5 je menší než 2 %.
Při tomto přístupu vzniká problém snížení kvality regulace zastoupením přesné metody
seřízení číslicového regulátoru přibližnou metodou vycházející se seřízení odpovídajícího
analogového regulátoru.
Podobně jako v předchozím případě bude tento problém ukázán na regulované soustavě
(3), analogovém regulátoru PI (4) a číslicovém regulátoru PI (6) pro seřízení na mezní
nekmitavý regulační pochod.
V souladu s metodou požadovaného modelu pro mezní nekmitavý regulační pochod a
lineární regulační plochu platí vztahy (5) a (7), (8) a (9) s tím, že ve vztahu (5b) je třeba
uvažovat hodnotu Td + T/2, tj.
T

I *A  e Td   , I Č*  (4  e)T  e Td
2

(49)
Relativní pokles kvality regulačního pochodu při použití zjednodušeného seřízení
číslicového regulátoru PI je dán vztahem
I *A  I Č*
I Č*
T
3
 (4  e)T
e 4
 2
 2
(4  e)T  e Td 4  e e Td
T
e
(50)
Např. pro relativní snížení kvality regulace o 1 % při zjednodušeném seřízení se ze
vztahu (50) dostane Td/T < 2,38.
4 Shrnutí
I když některé úvahy a výpočty byly prováděny pro konkrétní regulované soustavy
a regulátor a také pro konkrétní kritérium kvality regulačního pochodu, lze na základě
zkušeností autorů tyto úvahy a výsledky zobecnit a učinit důležitý závěr, že pro regulované
soustavy, jejichž přenos může být aproximován vztahem (38)
GS ( s) 
k1
e  Td s
n
(T1s  1)
vzorkovací perioda T by měla vyhovovat vztahům
T  0,3T1 a T  0,3Td
(51)
Lze pak předpokládat, že snížení kvality regulace, jak použitím číslicového regulátoru,
tak i použitím zjednodušeného přístupu k jejich seřízení, je pro technickou praxi přijatelné.
Nerovnosti (51) je třeba chápat jako mezní pro regulované soustavy se setrvačností prvního
řádu. Pro vyšší řád je možno použít delší vzorkovací periodu T.
99
5 Závěr
Příspěvek se zabývá volbou vzorkovací periody v regulačních obvodech s číslicovým
regulátorem. Volba vzorkovací periody je analyzována z hlediska snížení kvality regulace při
zastoupení konvenčního analogového regulátoru stejným typem číslicového regulátoru a dále
z hlediska možnosti použití zjednodušeného seřízení číslicových regulátorů. Výsledkem jsou
velmi jednoduché vztahy umožňující volbu vzorkovací periody na základě přenosu
regulované soustavy a možnost použití většiny metod pro seřizování konvenčních
analogových regulátorů.
Příspěvek vznikl za podpory projektu GAČR č. 101/12/2520.
[1] ÅSTRÖM, K.J. & WITTENMARK, B. 1997. Computer-Controlled Systems. 3rd
Edition. Prentice Hall: Tsinghua University Press, 1997, 569 p.
[2] BRZÓZKA, J. 2002. Regulatory cyfrowe w automatyce. Warszawa: Wydawnictwo
MIKOM, 2002, 358 s.
[3] ČERNÝ, M., KREYSA, K. & ŠUBRT, J. 1984. Číslicová regulace elektrických
pohonů. Praha: SNTL – Nakladatelství technické literatury, 1984, 208 s.
[4] DODDS, S. J. 2008. Setting time formulae for the design of control systems with linear
closed loop dynamics. In Proceedings of the 3rd Annual Conference “Advanced in
Computing and Technology” AC&T, 2008, p. 31-39
[5] FADALI, M.S. 2009. Digital Control Engineering. Analysis and Design. Burlington:
Academic Press Elsevier, 2009, 523 p.
[6] FRANKLIN, G.F., POWELL, J.D. & WORKMAN, M.L. 1998. Digital Control
Systems. 3rd Edition. Menlo Park: Addison Wesley Longman, 1998, 742 p.
[7] HOUPIS, C.H. & LAMONT, G.B. 1992. Digital Control Systems. Theory, Hardware,
Software. 2nd Edition. Singapore: McGraw-Hill, 1992, 752 p.
[8] KROKAVEC, D. & FILASOVÁ, A. 2008. Diskrétne systémy. 2. prepracované vydanie.
Košice: Elfa, 2008, 334 s.
[9] KUO, B. C. 1992. Digital Control Systems. 2nd Edition. New York: Sounders College
Publishing, 1992, 751 p.
[10] LANDAU, I.D. & ZITO, G. 2006. Digital Control Systems. Design, Identification and
Implementation. London: Springer – Verlag, 2006, 484 p.
[11] MEDVEDEV, R. B., BONDAR, JU. D. & ROMANENKO, V. D. 1987. ASU TP v
metalurgii. Moskva: Metallurgia, 1987, 256 s.
[12] MOUDGALYA, K. M. 2007. Digital Control. Chichester: John Wiley & Sons, 2007,
543 p.
[13] O'DWYER, A. 2009. Handbook of PI and PID Controller Tuning Rules. 3rd Edition.
London: Imperial College Press, 2009, 608 p.
[14] OGUNNAIKE, B. A. & RAY, W. H. 1994. Process Dynamics, Modelling, and Control.
Oxford: Oxford University Press, 1994, 1260 p.
[15] PIVOŇKA, P. 2003. Číslicová řídicí technika. Brno: FEKT VUT v Brně, 2003, 151 s.
[16] PIVOŇKA, P. & SCHMIDT, M. 2007. Comparative Analysis of Discrete Derivative
Implementation in PID Controllers. In: Proceedings of the 11th WSEAS International
Conference on SYSTEMS, Agios Nikolaos, Crete Island, Greece, July 23-25, 2007, p.
33-37
100
[17] SKOGESTAD, S. 2004. Simple Analytic Rules for Model Reduction and PID
Controller Tuning. Modelling, Identification and Control, Vol. 25, No. 2, 2004, p. 85120.
[18] VÍTEČKOVÁ, M. 1996. Syntéza číslicových regulačních obvodů metodou inverze
dynamiky. Ostrava: Habilitační práce, FS VŠB-TU Ostrava, 1996, 90 s.
[19] VÍTEČKOVÁ, M. & VÍTEČEK, A. 2008. Základy automatické regulace. 2.
přepracované vydání. Ostrava: FS VŠB-TU Ostrava, 2008, 244 s.
[20] VÍTEČKOVÁ, M. & VÍTEČEK, A. 2011. Vybrané metody seřizování regulátorů.
Ostrava: FS VŠB-TU Ostrava, 2011, 230 s.
[21] VÍTEČKOVÁ, M. & VÍTEČEK, A. 2013. Volba vzorkovací periody. In: Sborník
příspěvků workshopu „Automatizácia a riadenie v teórii a praxi ARTEP 2013“. 20.2.22.2.2013, Stará Lesná, Slovensko. str. 70/1-70/14. ISBN 978-80-553-1330-6
101
102
PID Control of Temperature Fields in Casting Die
VLČEK, Marcel1, VITÁLOŠ, Filip2 & BELAVÝ, Cyril 3
1
Ing.,
ÚAMAI SjF STU Bratislava, Nám. Slobody 17, 812 31 Bratislava,
[email protected]
2
Ing.,
3
doc., Ing., Ph.D.,
[email protected]
[email protected]
Abstract: This paper deals with PID control of temperature fields in the casting die. The
purpose is to preheat the casting die on the desired temperature profile. Dynamics of such
kind of systems are described by partial differential equations, which are nowadays very
frequently solved by numerical methods based on finite element method. In the software
environment COMSOL Multiphysics the task of modelling the temperature fields of a casting
die is solved. Results of numerical solutions are exported to the MATLAB & Simulink
environment, where lumped and distributed dynamic models for a control synthesis purposes
are formulated. In the MATLAB & Simulink by means of blocks of DPS Blockset, feedback
parameters of PID control loop are optimized according the quadratic norm of control error.
Keywords: casting die, PID controller, finite element method, distributed parameter systems
1 Introduction
Many systems of the real world are distributed through the space. Their dynamics depend
on the time and position. Systems such as these are called distributed parameter systems
(DPS). To solve them, we have to take into consideration vast spectrum of engineering
applications, from modelling, identification, optimization up to design the controlling process.
The behaviour of the DPS can be mathematically described by partial differential equations
(PDE) as infinite-dimensional systems with regard to their environmental conditions [1], [2].
Typical examples, where the space distribution cannot be ignored are the devices in
petrochemical, energetics, metallurgy, smart and vibrant structures. However, because of a
finite number of actuators and sensors for practical sensing and control is at disposal, such
infinite-dimensional systems need to be approximated by finite-dimensional systems.
The casting technology is typical case of DPS. In order to obtain the desired structure
during solidification, the process requires a specific temperature field of the die, which is
defined on complex-shape 3D definition domain. For the casting process dynamic analysis as
DPS, especially the temperature fields in casting die, the benchmark casting plant was
designed at Faculty of Mechanical Engineering STU in Bratislava.
For PID control synthesis purpose, finite-element dynamic models were created in the
COMSOL Multiphysics environment. Each parameter of the controller was optimized in
MATLAB-Simulink and the feedback controlling process was simulated with the help of
Distributed Parameter Systems Blockset for MATLAB & Simulink, a third-party software
product of The MathWorks, Inc., [3]. PID control synthesis based on optimization the
quadratic norm of control error has been done. PID controller was used to control of
preheating casting simulation in accordance to casting technology requirements.
103
2
Approximation models of distributed parameter systems
An adequate mathematical model of the process is essential to many applications such
as system analysis, numerical simulation, control design and optimization. The DPS has the
time-space coupled nature described by the PDE. This spatially distributed feature requires an
infinite-dimensional modelling, which is more difficult and complicated than modelling of
lumped parameter systems (LPS). However, from the practice point of view the infinitedimensional systems need to be approximated by finite-dimensional systems. For this kind of
problem a lot of solution methods exist. Methodical approach of time-space separation with
model reduction is presented in [4]. Continuous and approximation theories aimed to
parabolic systems, presents [5]. Variety examples of transfer functions for systems, described
by PDE are illustrated in [6]. DPS are frequently represented in an engineering practice in the
form of lumped-input/distributed-output systems (LDS) [7].
Distributed output of the linear LDS either in the time domain or in s-domain is in the
following form:
n
n
i 1
i 1
n
n
i 1
i 1
Y  x , t    Yi  x , t    G i ( x , t )  U i  t 
(1)
Y  x , s    Yi  x , s    Si ( x , s)U i  s 
(2)
where x  ( z, y, z) is position vector in 3D space, U i  t  is lumped input quantity, G i ( x , t ) is
i-th distributed pulse response,  denotes convolution product, Yi  x , t  is system response to
the i-th input, Si is i-th transfer function. If U i  t  is a unit-step (Heaviside) function, Yi  x , t 
is in the form of distributed transient response function Hi  x , t  .
For discrete-time system let’s consider zero-order hold (ZOH) units, the overall
distributed output variable of LDS and ZOH can be expressed in the form:
5
5
i 1
i 1
Y  x , k    Yi  x , k    G Hi ( x , k )  U i  k 
(3)
For the points xi  ( zi , yi , zi ) surrounded by lumped input variables U i  t  , where the
partial distributed transient responses Hi  x , t  attain maximal amplitudes, partial particular
distributed output variables are obtained in the time-domain and next either continuous, or
discrete transfer functions are identified.
(4)
Yi  xi , t   Gi ( xi , t ) Ui t i1..n  Yi  xi , s   Si ( xi , s)Ui  s i1..n
Y  x , k   G H ( x , k ) U  k 
i
i
i
i
i
i 1..n
 Yi  xi , z   SH i ( xi , z )U i  z i 1..n
(5)
For the space dependency and in steady-state we can define reduced transient step
responses between i-th input variable at the point xi  ( zi , yi , zi ) and the corresponding partial
particular distributed output variable in steady-state:

HH i  x ,   


(6)
 HHRi  x ,   

H
H
x
,





i
i

i 1,n
Dynamics of LDS is decomposed to time and space components. In time dependency,
there are transfer functions either in the form Si ( xi , s)i 1..n , or SH i ( xi , z )i 1..n with the
sampling period T. In the space direction there are  HHRi  x ,  i 1..n .
104
3
Transient thermal analysis of the casting die model
For the aluminium alloy casting need, the 3D solid model of the casting die was
created in the engineering simulation software (CAE) COMSOL Mutlhyphisics based on
finite element method analysis (FEM). Before the casting process will held, we need to take
into consideration the preheating profile in the die, Figure 1.
Figure 1 - 3D solid model of the casting die and the bottom side with its active and passive
elements.
The core item is the two-part steel die of a complex-shape, mounted in the frame of
the ejector mechanism. Inside the casting die are built in electric heated elements, copper
chills and thermocouples. Location of these elements has been carefully designed in order to
have the possibility of preheating the die in order to achieve desired temperature profile. The
main heating circuit is divided into five independent circuits. The set of material properties
respect with boundary and initial conditions are shown in table 1 and 2.
quotation

Ρ
value
76,2
7870
Cp
H
440
15
Zone
Heat sources
Qi [W / m3 ]
Table 1 - PDE parameters
unity
W / (m  K )
kg / m3
J / (kg  K )
W / ( m2  K )
quantity
thermal conductivity coef.
density
heat capacity
heat transfer coefficient
Table 2 - Heat sources in different zones
1
2
3
4
7
7
7
2,91026 10
4,35639 10
2,91026 10
2,91026 107
5
5,82052 107
Distribution of temperatures T ( x , t ) in the casting die over the definition domain
  E3 for lumped input variables U i i 1..5 in the form of heat sources Qi [W / m3 ] where
i  1..5 , is modeled by PDE of the parabolic type with initial condition Tinit and boundary
conditions for heat flux:
105
5
T  x , t 
 a2T  x , t    ui  x , t 
t
í 1
n  T  x , t    h Text  T  x , t  
(7)
(8)
T  x ,0   Tinit
(9)
where a    C p is temperature conductivity [m2  s 1 ] , Text is an external temperature and
Tinit is initial temperature.
After we assigned a properly mesh quality, we computed the temperature fields in the
form of transient analyses. Actuating of heating elements was performed separately in each
zone. Obtained temperature fields were analyzed by means of various forms of plots. Several
results are in the Figure 2.
Figure 2 – Steady state temperature field and isosurface plot in Zone#5.
The lumped input variables U i i 1..5 are in the form of step functions, affected over the
Zone 1-5 subdomains i i1..5 , each with its own heating elements. All necessary lumped
and distributed responses were obtained from 11 data measured points, designed in CAE as
thermocouples and properly placed.
Figure 3 – Transient temperature in 11 measured places H5  xi , t  and steady state
temperature profile  HHRi  x ,  i 1..n in Zone#5.
106
Temperature fields of the die obtained by FEM solution in COMSOL were exported to
Matlab-Simulink, in order to determine lumped and distributed models. Transfer functions
SHi ( xi , z)i 1..5 are used to control synthesis in time domain TS and reduced transient step
responses in steady-state  HHRi  x ,  i 1..5 serve as basic functions for approximation task
solution in the control synthesis in space domain SS.
Transfer functions were identified in MATLAB with GUI ident of the System
Identification Toolbox for  xi  ( zi , yi , zi )i 1..5 in each zone, where the temperatures attain
maximal values, e.g. for actuating in Zone #5 the result of identification is on Figure 4.
Obtained continuous and discrete transfer functions are in the form
K (Tz  s  1)
, e.g. Zone#5:
Si ( xi , s) 
(Tp1  s  1)  (Tp 2  s  1)
S5 ( x5 , s) 
317,1(872,9s  1)
(3278, 2s  1)(779, 2s  1)
SH 5 ( x5 , s) 
(10)
1,081z  1,069
, T  300s
z  1,984 z  0,9842
(11)
2
Figure 4 - Identification of partial transient response in Zone #5.
4
Simulation of control the preheating process of casting die
For a software support to model, control and design of the distributed parameter systems
given on complex 3D domains of definition, DPS Blockset for MATLAB 7 Simulink as
Third-Party MathWorks product has been developed [3]. The block HLDS models controlled
distributed parameter systems as lumped-input/distributed output systems with zero-order
hold units. The DPS Control Synthesis provides feedback to distributed parameter controlled
systems in control loops with block for PID control, see in Figure 5.
107
Figure 5 – PID feedback control loop in DPS Blockset.
Synthesis of PID controllers was adjusted in order to assure aperiodic running of the
quadratic norm of distributed control error E  x , k  .
E  x, k   W  x, k  Y  x, k 
(12)
Control process was realized for reference variable temperature given in 11 positions,
where thermocouples are embedded. Various tuning relations for the PID controllers design
are also presented in [8]. In this case, the optimal parameters of the PID controllers were
obtained as a result of the multidimensional optimization task for criteria function (13), with
respect of constraints depicted on Figure 6.
N
J  min  W  x , k   Y  x , k 
(13)
k 0
Figure 6 – The result of the optimization process with relevant constraints.
108
As a control variables we have chosen the saturated input voltage of heating elements
ui  0  10V for i  1..5 . Performance of control, both in time and space domain is given by
the quadratic norm of the distributed control error. Results of the PID control process are on
Figure 7.
Figure 7 – PID control of temperature field of the casting die: distributed reference variable
W  x , k  , output variable Y  x , k  , control variables U i  k  and quadratic norm of distributed
control error E  x , k  .
5
Conclusions
On the present is actual to formulate and solve tasks of the control in various
engineering branches, including the casting area, by means of methods and tools of distributed
parameter systems. Methodical approach presented in the paper demonstrates simple
possibilities, how to exploit the distributed dynamical characteristics on the complex
definition domains, obtained by FEM modeling and identification for the PID control
synthesis of DPS according to technological requirements. The key factor is to reduce
manufacturing costs, shorten lead times for die developing and improve casting process and
quality.
6
Acknowledgment
Research funded by grants VEGA 1/0138/11 “Control of dynamic systems represented by
numerical structures as distributed parameter systems”, APVV-0131-10 „High-tech solutions
for technological processes and mechatronic components as controlled distributed parameter
systems
109
7
References
[1]
BUTKOVSKIJ, Anatolij Grigorevovič: Optimal control of distributed parameter
systems. Nauka, Moscow, 1965. (in Russian)
LIONS, Jacques-Louis: Optimal control of systems governed by partial differential
equations. Springer-Verlag, Berlin – Heidelberg – New York, 1971.
HULKÓ, Gabriel et al.: Distributed Parameter Systems Blockset for MATLAB &
Simulink – Third-Party MathWorks product. Bratislava – Natick, MA, USA, 2004.
LI, Han-Xiong, QI, Chenkun: Modeling of distributed parameter systems for
applications-A synthesized review from time-space separation. In: Journal of Process
Control, No 20 (2010), pp. 891-901.
LASIECKA, Irena - TRIGGIANI, Roberto: Control Theory for Partial Differential
Equations: Continuous and approximation theories I. Abstract parabolic systems.
Cambridge UK: Cambridges University Press, 2000. 644 pgs. ISBN 0-521-43408-4
CURTAIN, Ruth – MORRIS Kirsten: Transfer functions of distributed parameter
systems: A tutorial. In: Automatica 45 (2009), pp. 1101-1116.
HULKÓ, Gabriel et al.: Modeling, Control and Design of Distributed Parameter
Systems with Demonstrations in MATLAB. Bratislava: Publishing House of STU
Bratislava, 1998. 265 pgs. ISBN 80-227-1083-0
VÍTEČKOVÁ, Miluše, VÍTEČEK, Antonín: Vybrané metody seřizování regulátorů.
Ostrava: VŠB - TU Ostrava, 2011. 229 s. ISBN 978-80-248-2503-8, (in Czech).
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
[7]
[8]
110
Využití dvourozměrné Fourierovy transformace
pro odhalování periodicit v obraze
ZAVADIL, Jaromír
Ing.,
Katedra automatizační techniky a řízení, VŠB-TU Ostrava,
17. listopadu, Ostrava - Poruba, 708 33,
[email protected],
http://www.vsb.cz
Abstrakt: Dvourozměrná Fourierova transformace představuje velice užitečný nástroj
využívaný zejména pro filtrování obrazu. Tuto transformaci je však možné využít také pro
odhalování periodicit v obrazových (dvourozměrných) datech. Tento příspěvek popisuje
použití dvourozměrné Fourierovy transformace pro detekci periodicit v obraze. Těmito
periodicitami mohou být například pruhy nebo obecně jakékoli opakující se vzory. Sada
obrazů byla generována a následně zpracována pomocí dvourozměrné Fourierovy
transformace za účelem ověření vlastností této transformace. Výsledky spolu s popisem
hlavních algoritmů jsou prezentovány v příspěvku.
Klíčová slova: Fourierova transformace, periodicity, obraz, MATLAB
1 Úvod
Fourierova transformace je významný nástroj používaný pro frekvenční analýzu a
zpracování signálů. Dvourozměrná Fourierova transformace (2D FT) se často používá
v oblasti filtrace obrazu (zaostřování, rozmazávání, potlačování šumu atd.). Tato publikace se
však zabývá mírně odlišným úkolem, kterým je zkoumání periodicit. Obrazová data mohou
obsahovat periodicky se opakující vzory, které nejsou na první pohled zřejmé. Tato práce se
zaměřuje na využití 2D FT jako nástroje pro zkoumání těchto periodicit. Soubor několika
obrazů byl generován a následně zpracován za účelem demonstrace vlastností 2D FT.
Experimenty prokazují výhody této transformace pro zkoumání periodicit v obraze.
2 Teoretický základ
Fourierova transformace, pojmenovaná po francouzském matematikovi a fyzikovi Josefu
Fourierovi, je matematická transformace, která převádí signál z oblasti časové do oblasti
frekvenční. Obecně se dá říci, že Fourierova transformace vyjadřuje signál jako kombinaci
harmonických signálů (sinus a cosinus). Tato transformace se používá v mnoha odvětvích
zpracování signálů a technické diagnostiky.
2.1 Jednorozměrná Fourierova transformace
Při práci se spojitými jednorozměrnými signály (například zvukové signály nebo vibrace)
má Fourierova transformace následující tvar
X ( ) 

 x (t )e
 j t
dt
(1)

111
inverzní transformace je pak
1
x (t ) 
2

 X ( )e
j t
d
(2)

kde x(t) je spojitý signál nekonečné délky t  ( ,  ) , X ( ) je frekvenční funkce, kde
  2f .
Na rozdíl od spojitých signálů, diskrétní signály se skládají s period konečné délky.
Diskrétní Fourierova transformace má tedy tvar
Xk 
N 1
 x n e  j 2 n k / N , k  0, 1, ..., N  1
n 0
a její inverze
xn 
(3)
1
N
N 1
 X k e j 2 n k / N , n  0,1, ...,N  1
(4)
k 0
kde N vyjadřuje počet vzorků signálu.
2.2 Dvourozměrná Fourierova transformace
Na rozdíl od zpracování časových signálů se v oblasti zpracování obrazu pracuje většinou
s dvourozměrnými daty. Pro tyto účely je vhodná dvourozměrná Fourierova transformace.
Digitální obraz může být vyjádřen jako funkce f(x,y) pro x = 0, 1, 2, ..., M-1 a y = 0, 1, 2, ...,
N-1, kde MxN je rozměr obrazu. Dvourozměrná Fourierova transformace funkce f(x,y) je pak
dána rovnicí
F ( u, v ) 
M 1N 1
  f ( x, y )e  j 2 (u x / M  v y / N )
(5)
x 0 y 0
pro u = 0, 1, 2, ..., M-1 a v = 0, 1, 2, ..., N-1. Výsledná matice se pak označuje jako spektrální
mapa. Inverzní 2D DFT je dána vztahem
f ( x, y ) 
1
MN
M 1N 1
  F (u, v)e j 2 (u x / M  v y / N )
(6)
u 0 v 0
pro x = 0, 1, 2, ..., M-1 and y = 0, 1, 2, ..., N-1.
K analýze výsledku transformace se nejčastěji používá spektrum amplitudové
F (u, v )  R 2 (u, v )  I 2 (u, v )
(7)
anebo spektrum výkonové
2
P(u, v)  F (u, v)  R 2 (u, v)  I 2 (u, v)
(8)
Důležitou matematickou vlastností Fourierovy transformace je skutečnost, že výsledek
transformace je nekonečně periodický. Nicméně FT vypočítá jen jednu periodu. Fourierovo
spektrum je také symetrické podle počátku
F (u, v)  F ( u,v)
(9)
112
Princip periodicity 2D DFT vysvětluje obrázek 1. Čárkované čtverce představují periody
DFT. Světle šedý čtverec znázorňuje výsledek výpočtu 2D DFT. Z obrázku je patrné, že
užitečné informace se nachází v rozích výsledné spektrální mapy rozdělené na čtvrtiny (tmavě
šedé čtverce v rozích představují nízké frekvence). Analýza spektra je přehlednější posunem
počátku souřadného systému do středu frekvenční mapy (spektra) tak, že se nízké frekvence
objeví ve středu obrazu. Posun spektra se provádí násobením f ( x, y )  ( 1)
výpočtem 2D DFT.
x y
před
Obrázek 1 – Princip posunu spektra
3 Experimenty a výsledky
Pro účely experimentů s 2D DFT byly v prostředí MATLAB generovány obrázky ve
stupních šedi a následně transformovány do frekvenční oblasti. Rozměr generovaných
obrázků byl 128x128 pixelů. Výsledky transformace těchto obrázků jsou zobrazeny na
následujících stranách.
První generovaný obraz se skládá s pruhů tvořených pomocí rovnice
 16 x 
f ( x, y )  cos 

 129 
(10)
Jedná se o funkci cosinus, která generuje harmonické pruhy ve směru osy x (obrázek 2a,
8 pruhů v ose x). Jelikož FT vyjadřuje signál pomocí kombinace harmonických signálů, je
výsledná spektrální mapa (obrázek 2b) této funkce velice jednoduchá. Pohledem na toto
spektrum je velice snadné určit počet pruhů (period) v každém směru obrázku. Spektrální
mapa obsahuje dvě špičky, které odpovídají frekvenci opakování změn kontrastu obrázku.
a)
b)
Obrázek 2 – Funkce (10) zobrazená jako obraz a), a její Fourierovo spektrum b)
113
Pokud vygenerujeme obraz použitím podobné funkce s větším množstvím period pruhů
(obrázek 3a, 16 pruhů ve směru osy x)
 32 x 
f ( x, y )  cos 

 129 
(11)
bude změna frekvence opakování patrná z výsledné spektrální mapy (obrázek 3b)
a)
b)
Další obrázek obsahuje rozdílný počet pruhů v každém směru. Tyto pruhy byly
generovány použitím rovnice
 2 (8 x  16 y ) 
f ( x, y )  cos 

129


(12)
Jedná se opět o funkci cosinus, která generuje harmonické pruhy, ale tentokrát generuje
odlišný počet pruhů pro každou stranu obrazu (obrázek 3a). Výsledná spektrální mapa
(obrázek 4) opět obsahuje dvě špičky, které odpovídají periodě opakování v obou směrech.
a)
b)
Po prahování předchozího obrázku s prahovací hranicí 0 vznikne nový binární obraz
(obrázek 5a). Tento obrázek na rozdíl od předchozích obsahuje ostré přechody (hrany)
v místech změny z černé barvy na bílou a naopak. Tyto ostré přechody se projeví ve
výsledném spektru (obrázek 5b), které bude obsahovat více než jen dvě špičky. Nejvyšší šička
ve středu spektrální mapy (u=0, v=0) se nazývá stejnosměrná složka Fourierovy transformace
a je rovna MxN násobku průměrné hodnoty funkce f(x,y). V tomto případě, jelikož spektrum
bylo vyděleno hodnotou MxN, je stejnosměrná složka rovna průměrné hodnotě f(x,y).
114
a)
b)
Obrázek 5 – Funkce (12) po prahování zobrazená jako obraz a), a její Fourierovo spektrum b)
Další příklad je kombinace kosinových funkcí v obou směrech obrazu na základě
následující rovnice
 16 x ) 
 16 y ) 
f ( x, y )  cos 
  cos 

 129 
 129 
(13)
V tomto případě se ve spektru objeví čtyři špičky (obrázek 6b). Samozřejmě i v tomto
případě špičky ve spektru odpovídají frekvenci změn v obraze (obrázek 6a, periody v obou
směrech x i y).
a)
b)
Dalším generovaným vzorem byla černobílá šachovnice složená ze čtverců 8x8 pixelů
(obrázek 7a). Jelikož tento obrázek obsahuje ostré hrany, výsledné spektrum (obrázek 7b), na
rozdíl od předchozího obsahuje periodicky opakující se špičky. Nicméně i v tomto případě je
možné rozpoznat počet period opakování vzoru v obraze.
a)
b)
Obrázek 7 – Šachovnice se čtverci 8x8 pixelů a), a její Fourierovo spektrum b)
Poslední příklad je 2D DFT obrazu topografie povrchu ocelového plechu (obrázek 8a).
Vypočtené spektrum (obrázek 8b) je daleko složitější a obsahuje daleko více složek než
spektra předchozích obrazů. Navzdory tomu i v tomto spektru došlo ke zvýraznění periodicit,
které nebyly na první pohled úplně zřejmé v obraze. Výsledné spektrum je zobrazeno v 3D
pohledu a s logaritmickou stupnicí v ose z.
115
a)
b)
Obrázek 7 – Obraz povrchu plechu 5x5mm a),
a jeho Fourierovo spektrum (logaritmická stupnice z) b)
4 Závěr
Provedené experimenty demonstrují vlastnosti a výhody použití dvourozměrné
Fourierovy transformace pro odhalování periodicit v obraze. Pro harmonické signály je
možné určit počet period přímo ze spektra. Transformace komplexnějších signálů (obrazy
s ostrými hranami) vede na složitější spektra. I tato spektra ale znázorňují periodicity, které
nemusí být na první pohled patrné přímo v obraze. Analýza reálných obrazů je úkolem dalších
kroků tohoto projektu.
9 Reference
BROUGHTON, S. A., Bryan, K., Discrete Fourier analysis and wavelets: applications to
signal and image processing, Willey, 2008, ISBN 978-0-470-29466-6
GONZALEZ, WOODS, EDDINS, Digital Image Processing Using MATLAB, Second
Edition, 827 s., Gatesmark Publishing, 2009, ISBN 978-0-9820854-0-0
MCANDREW, A. Introduction to Digital Image Processing with MATLAB, Thomson, 2004,
509p., ISBN: 0-534-40011-6
SOLOMON, C., BRECKON, T., Fundamentals of Digital Image Processing, A Practical
Approach with Examples in MATLAB, Willey-Blackwell, 2011, 344 p., ISBN: 978 0
470 84472 4
TŮMA, J., Signal Processing, VŠB – Technická univerzita Ostrava, 17. listopadu 15/2172,
Ostrava – Poruba, 2009, ISBN 978-80-248-2114-6
116
Author index
Š
ŠURÁNEK, Pavel ................................77
B
BARANOVÁ, Vladena ........................ 5
BELAVÝ, Cyril ................................. 103
T
TŮMA, Jiří ...........................................77
D
DOLEŽEL, Petr ................................... 25
V
VITÁLOŠ, Filip ................................103
VÍTEČEK, Antonín .............................89
VÍTEČKOVÁ, Miluše .........................89
VLČEK, Marcel ................................103
F
FOJTÍK, David .................................... 63
FUTÓ, Jozev.......................................... 5
G
GEBAUER, Jan ................................... 11
Z
ZAVADIL, Jaromír ............................111
CH
CHYSKÝ, Jan ..................................... 37
K
KOČÍ, Petr .......................................... 11
KOLLÁTH, Ľudovíth .......................... 45
KUREKOVÁ, Eva .............................. 45
L
LANDRYOVÁ, Lenka .......................... 5
LOS, Jaroslav ...................................... 19
LÍŠKA, Ondrej ................................... 31
M
MAHDAL, Miroslav ..................... 19, 77
MARIŠKA, Martin ............................. 25
MARTIŠOVITŠ, Ilja .......................... 45
MORE, Marcel .................................... 31
N
NOVÁK, Zdeněk ................................. 37
NOVÁK, Martin .................................. 37
O
OMACHELOVÁ, Milada ................... 45
P
PODEŠVA, Petr .................................. 63
S
STŘÍBNÝ, Martin ............................... 69
117
Autor:
Kolektiv autorů
Editor:
Ing. Pavel Smutný, PhD.
Katedra, institut:
Katedra automatizační techniky a řízení
Název:
XXXII. Seminar ASR '2013 “Instruments and Control”
Místo, rok, vydání:
Ostrava, 2013, 1. vydání
Počet stran:
117
Vydala:
VŠB - TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA
Tisk:
Katedra ATŘ-352, VŠB-TUO, 17. listopadu 15, 708 33 Ostrava - Poruba
Náklad:
100 ks
352
Neprodejné
Text neprošel jazykovou úpravou, za věcnou správnost příspěvků odpovídají autoři.
Tato publikace ani její části nesmí být reprodukovány a přepisovány bez písemného svolení
vydavatele a autorů příspěvků.
ISBN 978-80-248-2967-8

Sborník XXXVII. Seminář ASŘ 2013 - Fakulta strojní - VŠB

Transkript

Podobné dokumenty

VOJTĚCH DLASK ZA BUKEM / QUITE NEAR (2013)

PEARSON EduTour 2016

HGMini - Enthalpy

Factsheet Polymerní liner