MATEMATIKA II

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ
FAKULTA STAVEBNÍ
MATEMATIKA II
MODUL 4
OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2
STUDIJNÍ OPORY
PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA
Typeset by LATEX 2ε
c Josef Diblı́k, Oto Přibyl 2004
Obsah
1 Struktura řešenı́ LDR
1.1 Jaké lineárnı́ diferenciálnı́ rovnice budeme studovat?
1.2 Základnı́ pojmy z teorie LDR . . . . . . . . . . . .
1.3 Počátečnı́ úloha pro LDR . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Princip superpozice . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Lineárnı́ závislost systému funkcı́ . . . . . . . . . .
1.6 Wronskián systému řešenı́ LDR . . . . . . . . . . .
1.7 Počátečnı́ podmı́nky . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8 Obecné řešenı́ HLDR . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9 Počet nezavislých řešenı́ . . . . . . . . . . . . . . .
1.10 Obecné řešenı́ NHLDR . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11 LDR s pravou stranou nezávislou na řešenı́ . . . . .
1.12 Snı́ženı́ řádu homogennı́ rovnice . . . . . . . . . . .
2 Homogennı́ LDR s konstantnı́mi koeficienty
2.1 Exponenciálnı́ tvar řešenı́ . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Symbolické operátory . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Obecné řešenı́ homogennı́ rovnice . . . . . . . . .
2.4 Aplikace rovnic druhého řádu – harmonické kmity
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3
4
5
6
6
9
16
17
19
20
21
22
27
.
.
.
.
29
30
32
36
41
3 Partikulárnı́ho řešenı́ nehomogennı́ LDR
47
3.1 Metoda odhadu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.2 Metoda variace konstant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
i
ii
OBSAH
Úvod
Cı́le modulu
Cı́le studia tohoto modulu jsou průběžně popisovány na začátku každé kapitoly,
ke které se vztahujı́.
Požadované znalosti
Pro zvládnutı́ tohoto modulu je nezbytné zvládnout problematiku modulu BA02_M03:
Obyčejné diferenciálnı́ rovnice 1.
Doba potřebná ke studiu
Přibližně lze odhadnout potřebnou dobu ke studiu tohoto modulu na 25 hodin. Pro
zı́skánı́ dostatečné početnı́ praxe bude ještě zřejmě zapotřebı́ dalšı́ čas závislý na
individuálnı́ch schopnostech studenta.
Klı́čová slova
Homogennı́ lineárnı́ rovnice, lineárnı́ diferenciálnı́ rovnice, nehomogennı́ lineárnı́
rovnice, princip super pozice, lineárnı́ nezávislost systému funkcı́, Wronskián, fundamentálnı́ systém řešenı́, exponeciálnı́ tvar řešenı́, charakteristická rovnice, symbolický diferenciálnı́ operátor, harmonické kmity, kriticky tlumené kmity, silně tlumené
kmity, slabě tlumené kmity, amplituda, netlumené kmity, metoda neurčitých koeficientů, metoda odhadu, rezonance, metoda variace konstant.
1
2
OBSAH
Kapitola 1
Struktura řešenı́ lineárnı́ch
diferenciálnı́ch rovnic vyššı́ch
řádů;
lineárnı́ nezávislost řešenı́,
wronskián
Pan Hodný, váš hodný průvodce studiem: V této části bude osvětlena
struktura obecného řešenı́ lineárnı́ diferenciálnı́ rovnice n-tého řádu. Uvidı́me, že
obecné řešenı́ má jednoduchý a logický tvar. Právem je tato část chloubou obyčejných
diferenciálnı́ch rovnic. Pochopenı́m tvaru řešenı́ vstřebáte jakýsi nadhled nad situacı́,
který budete potřebovat v dalšı́ch částech modulu při řešenı́ konkrétnı́ch diferenciálnı́ch
rovnic.
Dı́lčı́ cı́l:
Po prostudovánı́ této části:
• si dále upevnı́te znalosti zı́skané v 1. kapitole prvnı́ho modulu o diferenciálnı́ch
rovnicı́ch;
• budete vědět, jak má obecné řešenı́ vypadat, i když jeho přesný konkrétnı́ tvar
vypočı́tat nepůjde;
• naučı́te se pracovat s pojmem lineárnı́ závislosti a nezávislosti řešenı́ diferenciálnı́ch rovnic;
• poznáte wronskián a načı́te se s nı́m pracovat.
Pan Přı́sný, váš přı́sný průvodce studiem: Využijeme některých poznatků
z předchozı́ho modulu. Půjde, napřı́klad, o samotný pojem lineárnı́ diferenciálnı́
3
4
KAPITOLA 1. STRUKTURA ŘEŠENÍ LDR
rovnice n-tého řádu, pojem řešenı́ diferenciálnı́ rovnice, partikulárnı́ho řešenı́
a parametrické množiny řešenı́, definici a pojem obecného řešenı́. Proto je
bezpodmı́nečně nutné, si tyto pojmy opět řádně zopakovat!
Pan Hodný, váš hodný průvodce studiem:
Alespoň malé ,,osvěženı́“ by
mělo přijı́t i v přı́padě počátečnı́ úlohy pro rovnici n-tého řádu.
1.1
Jaké lineárnı́ diferenciálnı́ rovnice budeme studovat?
V centru našı́ pozornosti bude speciálnı́ přı́pad lineárnı́ diferenciálnı́ rovnice n-tého
řádu
an (x)y (n) + an−1 (x)y (n−1) + · · · + a1 (x)y 0 + a0 (x)y = g(x).
(1.1)
Bez omezenı́ obecnosti předpokládejme nejenom, že an (x) 6= 0 na intervalu I (v
opačném přı́padě by rovnice nebyla rovnicı́ n-této řádu), ale i to, že tento koeficient
položı́me identicky roven jedné, tj. an (x) ≡ 1 na intervalu I. Pokud tento předpoklad
nenı́ splněn, lze jednoduše takovou rovnici na rovnici s jednotkovým koeficientem
převést. To je možné zajistit vždy dělenı́m celé rovnice na nenulový koeficient an (x) a
následných přeznačenı́m nově vzniklých koeficientů. Tento postup ilustrujme takto:
Za předpokladu an (x) 6= 0 na intervalu I z rovnice (1.1) dělenı́m na an (x) dostaneme
y (n) +
an−1 (x) (n−1)
a1 (x) 0 a0 (x)
g(x)
y
+ ··· +
y +
y=
.
an (x)
an (x)
an (x)
an (x)
Utvořı́me-li nové funkce pomocı́ předpisů
An−1 (x) :=
an−1 (x)
a1 (x)
a0 (x)
g(x)
, . . . , A1 (x) :=
, A0 (x) :=
, G(x) :=
,
an (x)
an (x)
an (x)
an (x)
pak má nová lineárnı́ rovnice n-tého řádu tvar
y (n) + An−1 (x)y (n−1) + · · · + A1 (x)y 0 + A0 (x)y = G(x).
Bez omezenı́ obecnosti se přidržı́me původnı́ho značenı́ pomocı́ malých pı́smen a
budeme se dále odvolávat na lineárnı́ rovnici n-tého řádu
y (n) + an−1 (x)y (n−1) + · · · + a1 (x)y 0 + a0 (x)y = g(x).
(1.2)
1.2. ZÁKLADNÍ POJMY Z TEORIE LDR
1.2
5
Homogennı́ a nehomogennı́ rovnice,
dalšı́ použité termı́ny a některé základnı́ vlastnosti
V teorii lineárnı́ch diferenciálnı́ch rovnic se vžily a dodnes se použı́vajı́ určité názvy
a termı́ny. Nebylo by však účelné kdybychom se s nimi neseznámili nebo kdybychom se je snažili nahradit nějakými jinými, které by dle našeho názoru byly třeba
i výstižnějšı́. Hodně bychom tı́m ztratili a ztráta pravděpodobně nejzávažnějšı́ by
byla ve ztı́ženı́ nebo dokonce znemožněnı́ komunikace s těmi odbornı́ky, kteřı́ by
užı́vali terminologii standardnı́. K tomu, bohužel, někdy ve vědeckých a odborných
disciplı́nách docházı́. Možná je to částečně podmı́něno bouřlivým vývojem některých
z nich, kdy je nutno v krátké době pojmenovat nové jevy, tj. zavést ,,novou“ terminologii. Stává se však, že odbornı́ci si v překotné práci nevšimnou, že něco podobného
je třeba již pojmenováno v jiném vědnı́m oboru. Tak může vzniknout a vžı́t se jiné
názvoslovı́. Nechme ale tuto širokou problematiku termı́nového chaosu či termı́nového
babylnu stranou a vrat’me se k lineárnı́m diferenciálnı́m rovnicı́m a k přı́slušné terminologii.
V rovnici (1.2), tj. v rovnici
y (n) + an−1 (x)y (n−1) + · · · + a1 (x)y 0 + a0 (x)y = g(x)
je y = y(x), y : I → R hledanou funkcı́ a y (i) (x) = y (i) , i = 1, 2, . . . , n jsou
jejı́ derivace. Připomeňme, že symbol I má stále stejný význam, tj., je jednı́m z
čı́selných intervalů tvaru [a, b], (a, b], [a, b), (a, b), (−∞, b], (−∞, b), [a, ∞), (a, ∞),
nebo (−∞, ∞), kde a < b. Funkce ai : I → R, i = 0, 1, . . . , n − 1 nazýváme
koeficienty rovnice (1.2). Pravou stranou rovnice (1.2) nazýváme funkci g : I → R.
Předpokládáme, že všechny koeficienty ai , i = 0, 1, . . . , n − 1 i pravá strana g jsou
spojitými funkcemi na intervalu I.
Homogennı́ a nehomogennı́ rovnice
Pokud nenı́ v rovnici (1.2) pravá strana identicky nulová, tj., pokud g 6≡ 0 na
intervalu I, pak rovnici nazýváme (kromě již dalšı́ch přı́vlastků, tj. lineárnı́ a n-tého
řádu) rovnicı́ nehomogennı́. V opačném přı́padě, tj., pokud g ≡ 0 na intervalu I je
rovnice (1.2) nazývána homogennı́.
Přidružená homogennı́ rovnice
Je-li dána rovnice (1.2), pak rovnici se stejnými koeficienty a s nulovou pravou
stranou
u(n) + an−1 (x)u(n−1) + · · · + a1 (x)u0 + a0 (x)u = 0
6
KAPITOLA 1. STRUKTURA ŘEŠENÍ LDR
nazýváme přidruženou (nebo asociovanou) homogennı́ rovnicı́ k rovnici (1.2). Bez
ztráty obecnosti úvah nenı́ nutné v přidružené rovnici značit hledanou funkcı́ jiným
symbolem (v našem přı́padě jsme užili pı́smena u) a můžeme hledanou funkci značit
stejně jako v nehomogennı́ rovnici, tj., můžeme přidruženou rovnici psát ve tvaru
y (n) + an−1 (x)y (n−1) + · · · + a1 (x)y 0 + a0 (x)y = 0
(1.3)
s vědomı́m, že řešenı́ přidružené homogennı́ rovnice (1.3) a řešenı́ výchozı́ nehomogennı́ rovnice (1.2) jsou různými funkcemi.
1.3
Počátečnı́ úloha pro lineárnı́ rovnice vyššı́ch
řádů
Slı́bili jsme, že se ještě vrátı́me k otázce existence řešenı́ počátečnı́ úlohy pro lineárnı́
rovnice. Uvažujme tedy počátečnı́ úlohu pro lineárnı́ nehomogennı́ rovnici n-tého
řádu (1.2), tj. uvažujme úlohu:


y (n) + an−1 (x)y (n−1) + · · · + a1 (x)y 0 + a0 (x)y = g(x),






y(x0 ) = y0 ,




y 0 (x0 ) = y00 ,





...





 (n−1)
y
(n−1)
(x0 ) = y0
(1.4)
.
kde x0 ∈ I. Následujı́cı́ věta má na rozdı́l od vět, uvedených v Kapitole ?? nelokálnı́
charakter.
Věta 1. Předpokládejme, že koeficienty an−1 (x), . . . , a1 (x), a0 (x) rovnice (1.2) a
jejı́ pravá strana - funkce g(x) - jsou spojitými funkcemi na intervalu I. Pak má
počátečnı́ úloha (1.4) jediné řešenı́ y = y(x), které je definováno na celém intervalu
I.
1.4
Princip superpozice
V takzvaném principu superpozice je soustředěna nejdůležitějšı́ vlastnost řešenı́
lineárnı́ch diferenciálnı́ch rovnic. Týká se struktury řešenı́ jak homogennı́ch tak i
nehomogennı́ch rovnic. V přı́padě homogennı́ch rovnic (po formulaci principu si
promyslete jakou volbou funkcı́ k homogennı́mu přı́padu dospějete) řı́ká, že součet
řešenı́ homogennı́ rovnice je opět řešenı́m homogennı́ rovnice a že výsledek násobenı́
řešenı́ homogennı́ rovnice libovolnou konstantou je opět řešenı́m homogennı́ rovnice.
V nehomogennı́m přı́padě si princip superpozice můžeme zjednodušeně vyložit tak,
že když má pravá strana komplikovaný tvar a lze ji rozložit na součet několika
(jednoduššı́ch) funkcı́ tak, že substituce každé z těchto jednoduššı́ch funkcı́ mı́sto
1.4. PRINCIP SUPERPOZICE
7
původnı́ do rovnice vede k rychlému nalezenı́ partikulárnı́ho řešenı́, je součet těchto
partikulárnı́ch řešenı́ také partikulárnı́m řešenı́m výchozı́ rovnice. Uved’me zněnı́
tohoto principu.
Věta 2 (Princip superpozice) Předpokládejme, že funkce g : I → R je lineárnı́
kombinacı́ dvou funkcı́ g1 a g2 s konstantami K1 , K2 , tj.,
g(x) = K1 g1 (x) + K2 g2 (x).
Označme y = y1 (x) partikulárnı́ řešenı́ nehomogennı́ rovnice
y (n) + an−1 (x)y (n−1) + · · · + a1 (x)y 0 + a0 (x)y = g1 (x)
(1.5)
a y = y2 (x) partikulárnı́ řešenı́ nehomogennı́ rovnice
y (n) + an−1 (x)y (n−1) + · · · + a1 (x)y 0 + a0 (x)y = g2 (x).
(1.6)
Předpokládejme dále, že funkce u = u1 (x) a u = u2 (x) jsou řešenı́ asociované homogennı́ rovnice se stejnými koeficienty
u(n) + an−1 (x)u(n−1) + · · · + a1 (x)u0 + a0 (x)u = 0.
Pak je lineárnı́ kombinace
y(x) = K1 y1 (x) + K2 y2 (x) + C1 u1 (x) + C2 u2 (x)
s libovolnými konstantami C1 , C2 řešenı́m rovnice (1.2) na intervalu I .
Důkaz. Charakter důkazu má výpočetnı́ charakter a proto jej v rámci procvičenı́
početnı́ch úkonů probı́hajı́cı́ch v lineárnı́ch rovnicı́ch provedeme. Dosazenı́ funkce
y(x) do levé strany rovnice (1.2) dává (samostatně zdůvodněte rozepsánı́ prvnı́ho
výrazu na následujı́cı́ čtyři)
y (n) + an−1 (x)y (n−1) + · · · + a1 (x)y 0 + a0 (x)y
(n)
(n−1)
+ · · · + a1 (x)y10 + a0 (x)y1
(n)
(n−1)
+ · · · + a1 (x)y20 + a0 (x)y2
(n)
(n−1)
+ · · · + a1 (x)u01 + a0 (x)u1
(n)
(n−1)
+ · · · + a1 (x)u02 + a0 (x)u2
= K1 y1 + an−1 (x)y1
+ K2 y2 + an−1 (x)y2
+ C1 u1 + an−1 (x)u1
+ C2 u2 + an−1 (x)u2
= K1 g1 (x) + K2 g2 (x) + 0 + 0 = g(x). 2
Na závěr ještě poznamenejme, že jsme uvedli variantu principu superpozice se dvěma
funkcemi g1 (x) a g2 (x) a dvěma řešenı́mi u1 (x) a u2 (x). Lze podle vašeho názoru
tento princip formulovat pro libovolný konečný počet funkcı́
g1 (x), g2 (x), . . . , gm (x)
8
KAPITOLA 1. STRUKTURA ŘEŠENÍ LDR
a pro libovolný počet řešenı́
u1 (x), u2 (x), . . . , us (x)?
Musı́ přitom platit m = s nebo může být m 6= s? Podpořte váš názor konkrétnı́mi
argumenty!
Přı́klad 1. Prověřte, že funkce u1 (x) = e3x a u2 (x) = e−3x vyhovujı́ diferenciálnı́
rovnici druhého řádu
u00 − 9u = 0
(1.7)
na intervalu I = R. Sestavte s pomocı́ principu superpozice dalšı́ řešenı́ této rovnice.
Řešenı́.
Pro dané funkce platı́
u1 (x) = e3x , u01 (x) = 3e3x , u001 (x) = 9e3x
a
u2 (x) = e−3x , u01 (x) = −3e−3x , u001 (x) = 9e−3x .
Nynı́ je zřejmé, že se jedná o řešenı́ rovnice (1.7). Podle principu superpozice je
řešenı́m také každá funkce
u(x) = C1 u1 (x) + C2 u2 (x) = C1 e3x + C2 e−3x
s libovolnými parametry C1 a C2 .
Přı́klad 2. Prověřte, že partikulárnı́m řešenı́m nehomogennı́ rovnice
y 000 + y 00 − 2y 0 = x
(1.8)
je funkce
1
y = y1 (x) = − x(x + 1)
4
a partikulárnı́m řešenı́m nehomogennı́ rovnice
y 000 + y 00 − 2y 0 = −ex
(1.9)
je funkce
1
y = y2 (x) = − xex .
3
Sestavte s pomocı́ principu superpozice partikulárnı́ řešenı́ rovnice
y 000 + y 00 − 2y 0 = x − ex .
(1.10)
1.5. LINEÁRNÍ ZÁVISLOST SYSTÉMU FUNKCÍ
Řešenı́.
9
Pro dané funkce platı́
1
1
1
y1 (x) = − (x2 + x), y10 (x) = − (2x + 1), y100 (x) = − , y1000 (x) = 0
4
4
2
a
y2 (x) = y20 (x) = y200 (x) = y2000 (x) = −ex .
Nynı́ je zřejmé, že se jedná o řešenı́ rovnic (1.8), (1.9). Podle principu superpozice
je partikulárnı́m řešenı́m rovnice (1.10) funkce
1
1
y(x) = y1 (x) + y2 (x) = − x(x + 1) − xex .
4
3
1.5
Co je to lineárnı́ závislost a lineárnı́ nezávislost
systému funkcı́?
Vysvětlı́me pojmy takzvané lineárnı́ závislosti a lineárnı́ nezávislosti systému
funkcı́. Jejich užitečnost brzy ocenı́me při konstrukcı́ch obecných řešenı́ homogennı́ch
a nehomogennı́ch lineárnı́ch diferenciálnı́ch rovnic n-tého řádu.
Definice 1. [Lineárnı́ závislost] Systém funkcı́ v1 , v2 , . . . , vk , zobrazujı́cı́ch interval I do R nazýváme lineárně závislým systémem na intervalu I, existujı́-li
konstanty
C1 , C2 , . . . , Ck ,
které nejsou všechny rovné nule tak, že pro každé x ∈ I platı́
C1 v1 (x) + C2 v2 (x) + · · · + Ck vk (x) = 0.
(1.11)
Jinými slovy můžeme řı́ci, že systém funkcı́ je lineárně závislý, pokud existujı́-li
konstanty C1 , C2 , . . . , Ck , které nejsou všechny rovné nule tak, že lineárnı́ kombinace daných funkcı́ s těmito konstantami je identicky rovna nule na intervalu
I. Opakem této definice je vysvětlenı́ pojmu lineárnı́ nezávislosti systému funkcı́.
Uved’me přı́slušnou definici.
10
KAPITOLA 1. STRUKTURA ŘEŠENÍ LDR
Definice 2. [Lineárnı́ nezávislost] Systém funkcı́ v1 , v2 , . . . , vk , zobrazujı́cı́ch
interval I do R nazýváme lineárně nezávislým systémem na intervalu I,
platı́-li vztah (1.11) pro každé x ∈ I pouze tehdy, když jsou všechny konstanty
nulové, tj. v přı́padě, že
C1 = C2 = · · · = Ck = 0.
Pro úplnost ještě dodejme následujı́cı́. Naše definice předpokládaly, že systémy
funkcı́ jsou systémy reálných funkcı́. Je ovšem možné předpokládat, že pracujeme s
funkcemi, které nabývajı́ komplexnı́ch hodnot a zněnı́ definic zůstane stejné.
Přı́klady lineárnı́ (ne:-)závislosti systémů funkcı́
Přı́klad 3. Jsou funkce
v1 (x) = 2, v2 (x) = cos 2x, v3 (x) = sin2 x
jsou lineárně závislé na libovolném intervalu I?
Řešenı́.
Protože platı́
cos 2x = 1 − 2 sin2 x
vidı́me, že také platı́
1
· v1 (x) − v2 (x) − 2v3 (x) = 0
2
pro každé x ∈ I ⊆ R. Pro k = 3 a
C1 =
1
, C2 = −1, C3 = −2
2
je splněna Definice 1 o lineárnı́ závislosti systému funkcı́. Daný systém funkcı́ je
lineárně závislým systémem funkcı́ na libovolném intervalu I.
Přı́klad 4. Zjistěte, zda jsou lineárně závislé funkce v1 , v2 : I := (−1, 1) → R,
definované předpisy
(
x5 je-li −1 < x ≤ 0,
0 je-li
0 < x < 1;
(
0, je − li −1 < x ≤ 0,
x5 , je − li
0 < x < 1.
v1 (x) =
v2 (x) =
1.5. LINEÁRNÍ ZÁVISLOST SYSTÉMU FUNKCÍ
Řešenı́.
11
Proved’me analýzu vztahu
C1 v1 (x) + C2 v2 (x) = 0
(1.12)
na intervalu I. Má-li tento vztah platit na celém intervalu I, pak musı́ platit i pro
hodnotu x = −1/2 ∈ I. V tomto, přı́padě je vztah (1.12) redukován na
−C1 ·
1
+ C2 · 0 = 0,
32
tj., vztah (1.12) může platit jen tehdy, když C1 = 0. Dosad’me dále (za podmı́nky,
že C1 = 0) hodnotu x = 1/2 ∈ I do vztahu (1.12). Potom
C2 ·
1
=0
32
a C2 = 0. Tı́m jsme prověřili, že vztah (1.12) může platit na celém intervalu I jen
tehdy, když
C1 = C2 = 0.
Podle Definice 2 jsou funkce v1 , v2 lineárně nezávislé na intervalu I.
Přı́klad 5. Jsou funkce
√
√
ω1 (x) = 2 x + 4, ω2 (x) = − x + 4x, ω3 (x) = 2x + 1, ω4 (x) = x5
lineárně závislé na intervalu I = (0, ∞)?
Řešenı́.
Prokážeme lineárnı́ závislost tohoto systému funkcı́. Můžeme se
přesvědčit, že na intervalu I platı́
1
· ω1 (x) + ω2 (x) − 2 · ω3 (x) + 0 · ω4 (x) = 0.
2
Pro k = 4 a
1
, C2 = 1, C3 = −2, C4 = 0
2
je splněna Definice 1 o lineárnı́ závislosti systému funkcı́. Daný systém funkcı́ je
lineárně závislým systémem funkcı́ na intervalu I.
C1 =
Přı́klad 6. Systém funkcı́, které se často objevujı́ jako řešenı́ lineárnı́ch diferenciálnı́ch
rovnic je systém
eλx , xeλx , . . . , xk−1 eλx ,
12
KAPITOLA 1. STRUKTURA ŘEŠENÍ LDR
ve kterém je čı́slo λ různé od nuly. Ukažme, že se jedná o systém lineárně nezávislých
funkcı́ na intervalu I = R.
Řešenı́.
Při řešenı́ postupujeme standardně. Sestavı́me lineárnı́ kombinaci
C1 eλx + C2 xeλx + · · · + Ck xk−1 eλx = 0,
která se po krácenı́ nenulovým výrazem eλx stává lineárnı́ kombinacı́
C1 + C2 x + · · · + Ck xk−1 = 0.
(1.13)
Zkuste chvilku přemýšlet o tom, jak zdůvodnit, proč je poslednı́ vztah nulový na intervalu I pouze, když jsou všechny koeficienty nulové, tj. když C1 = C2 = · · · = Cn =
0. Cest k tomu vede několik a většinou využı́vajı́ poznatky, které byly probı́rány již
na střednı́ch školách. Ukážeme dvě možnosti. Dosad’me do poslednı́ho vztahu mı́sto
x postupně k navzájem různých hodnot
x = λ1 , x = λ2 , . . . , x = λk .
Tı́m zjistı́me, že koeficienty C1 , C2 , · · · , Ck vyhovujı́ k lineárnı́m algebraickým rovnicı́m
C1 + C2 λ1 + · · · + Ck λk−1
= 0,
1
C1 + C2 λ2 + · · · + Ck λk−1
= 0,
2
...
(1.14)
C1 + C2 λk + · · · + Ck λk−1
= 0.
k
Determinant tohoto systému rovnic
1
1
...
1
λ1 . . . λk−1
1
k−1 λ2 . . . λ2 . . . . . . . . . λk . . . λkk−1 je tzv. Vandermondův determinant, který je uvažován v Přı́kladu 8, kde je ukázano,
že za uvedeného předpokladu navzájem různých hodnot λ1 , λ2 , . . . , λk , je Vandermondův determinant různý od nuly. Pak má systém (1.14) pouze řešenı́ C1 = C2 =
· · · = Cn = 0 a nezávislost daného systému funkcı́ je prokázána.
Úkol pro vás: Ukažte, že daný determinant a Vandermondův determinant z
Přı́kladu 8 jsou skutečně stejné. Přitom využijte svých poznatků o vlastnostech
determinantů.
Uved’me i odlišný způsob řešenı́ předchozı́ úlohy. Využijeme pouze tzv. hlavnı́ větu
algebry.
Tato věta řı́ká, že každá polynomiálnı́ rovnice stupně s má právě s kořenů (každý
1.5. LINEÁRNÍ ZÁVISLOST SYSTÉMU FUNKCÍ
13
kořen je počı́tán tolikrát, jaká je jeho násobnost). Necht’ vztah (1.13) platı́ pro nějaké
konkrétnı́ a ne všechny nulové hodnoty C1∗ , C2∗ , · · · , Ck∗ na intervalu I. Pak má polynomiálnı́ rovnice
C1∗ + C2∗ x + · · · + Ck∗ xk−1 = 0
(1.15)
vzhledem k neznámé veličině x nejvýše k − 1 kořenů x = x1 , x = x2 , . . . , x = xk−1 .
(Přijdete na to, proč za této situace nemusı́ být počet kořenů roven přesně čı́slu k −1
a kdy je počet kořenů přesně roven čı́slu k − 1?) Pak je ale výraz uvedený v (1.15)
roven nule pouze pro tyto uvedené hodnoty. Vezmeme-li jinou hodnotu, napřı́klad
x = x∗ tak, aby x∗ 6= x1 , x∗ 6= x2 , . . . , x∗ 6= xk−1 , musı́ platit
C1∗ + C2∗ x∗ + · · · + Ck∗ xk−1
6= 0.
∗
To je ale spor s výchozı́m předpokladem. Proto C1∗ = C2∗ = · · · = Ck∗ = 0 a nezávislost
daného systému funkcı́ je také tı́mto postupem prokázána.
Jak poznat lineárnı́ nezávislost systému funkcı́,
pojem wronskiánu
Nenı́ nutné vždy zjišt’ovat lineárnı́ závislost či lineárnı́ nezávislost systému funkcı́
přı́mo podle uvedených definic nebo na základě našich kombinačnı́ch schopnostı́.
V této části předkládáme postačujı́cı́ podmı́nku pro zjištěnı́, zdali je daný systém
funkcı́ lineárně nezávislý. Nejprve zavedeme název pro jeden konkrétnı́ druh determinantu, který nazýváme wronskiánem.
Definice 3. Necht’ je dán systém funkcı́ v1 , v2 , . . . , vk zobrazujı́cı́ch interval I
do R. Předpokládejme navı́c, že tyto funkce majı́ na intervalu I spojité derivace
do řádu k − 1 včetně. Pak determinant W : I → R definovaný předpisem
v (x)
1
v10 (x)
W (x) = W (v1 (x), v2 (x), . . . , vk (x)) := ···
(k−1)
v1
(x)
v2 (x)
v20 (x)
···
(k−1)
v2
(x)
...
...
···
...
vk (x) vk0 (x) .
· · · (k−1)
vk
(x) nazýváme wronskiánem systému funkcı́ v1 , v2 , . . . , vk .
Věta 3. Předpokládejme, že reálné funkce v1 , v2 , . . . , vk jsou definované na intervalu
I a majı́ zde spojité derivace do řádu k − 1 včetně. Jestliže pro některé x1 ∈ I platı́:
W (x1 ) = W (v1 (x1 ), v2 (x1 ), . . . , vk (x1 )) 6= 0,
(1.16)
14
KAPITOLA 1. STRUKTURA ŘEŠENÍ LDR
pak jsou funkce systému v1 , v2 , . . . , vn lineárně nezávislé na intervalu I. Opačné
tvrzenı́ neplatı́, tj., pro systém lineárně nezávislých funkcı́ nemusı́ v žádném bodě
x1 ∈ I platit nerovnost (1.16).
Důkaz. Prověrka formulované vlastnosti je připomenutı́m poznatků o řešenı́ algebraických rovnic. Pro snažšı́ přehlednost budeme uvažovat jen systém dvou funkcı́,
tj. položı́me k = 2. Předpokládejme, že pro některé x1 ∈ I platı́ W (x1 ) 6= 0 a že
existujı́ konstanty C1 a C2 takové, že
C1 v1 (x) + C2 v2 (x) = 0
(1.17)
pro všechny hodnoty x ∈ I. Ukážeme, že obě konstanty musı́ být nulové. Derivovánı́m vztahu (1.17) dostáváme
C1 v10 (x) + C2 v20 (x) = 0.
(1.18)
Uvažujme systém lineárnı́ch algebraických rovnic vzhledem ke konstantám C1 a C2 ,
který vznikne dosazenı́m hodnoty x = x1 do vztahu (1.17) a (1.18):
C1 v1 (x1 ) + C2 v2 (x1 ) = 0,
C1 v10 (x1 ) + C2 v20 (x1 ) = 0.
(1.19)
Systém (1.19) sestává ze dvou rovnic o dvou neznámých. Determinant jeho matice
koeficientů je wronskiánem W (x1 ). Podle předpokladu je W (x1 ) 6= 0. Proto má
systém (1.19) pouze jediné řešenı́. Protože jako řešenı́ vyhovujı́ hodnoty C1 = C2 = 0
nemůže jiná alternativa existovat. Jsou splněny podmı́nky Definice 2, uvažovaný
systém funkcı́ je tedy lineárně nezávislý. Tı́m je prvnı́ část věty dokázána.
To, že opačné tvrzenı́ neplatı́ prověřı́me na konkrétnı́m přı́kladu. Stačı́, napřı́klad,
položit k = 2 a použı́t funkce v1 a v2 , které byly definovány v Přı́kladu 4. Snadno
ověřı́me, že pro wronskián tohoto systému funkcı́ na intervalu (−1, 1) platı́
W (x) = W (v1 , v2 ) = 0.
Vı́me ale, že Přı́klad 4 ukazoval, že funkce v1 a v2 jsou na intervalu (−1, 1) lineárně
nezávislé. Opačné tvrzenı́ tedy neplatı́. 2
Přı́klad 7. Ukažme, že funkce v1 (x) = eλ1 x a v2 (x) = eλ2 x jsou na intervalu I = R
lineárně nezávislé v přı́padě, kdy pro konstanty λ1 a λ2 platı́ λ1 6= λ2 .
1.5. LINEÁRNÍ ZÁVISLOST SYSTÉMU FUNKCÍ
15
Řešenı́. Úlohu vyřešı́me pomocı́ wronskiánu uvedených funkcı́, vypočı́taný v
bodě x1 = 0. Wronskián v libovolném bodě je
W (x) = W e
λ1 x
,e
λ2 x
eλ1 x
= λ1 eλ1 x
eλ2 x λ2 eλ2 x a
1
W (0) = λ1
1 = λ2 − λ1 6= 0.
λ2 Tı́m je podle Věty 3 prokázána lineárnı́ nezávislost uvedených exponenciálnı́ch
funkcı́.
Přı́klad 8. [Vandermondův determinant] Funkce testované v právě vyřešeném Přı́kladu 7 se často objevujı́ jako řešenı́ lineárnı́ch diferenciálnı́ch rovnic. Řešme proto
obecnějšı́ úlohu - ukážme, že systém exponenciálnı́ch funkcı́
eλ1 x , eλ2 x , . . . , eλk x ,
ve kterém jsou všechna čı́sla λ1 , λ2 , . . . , λk navzájem různá, je systémem lineárně
nezávislých funkcı́ na intervalu I = R.
Řešenı́. Úlohu řešı́me podobně jako v Přı́kladu 7. Sestavı́me wronskián
eλ1 x
λ eλ1 x
λ1 x λ2 x
λk x
W (x) = W e , e , . . . , e
= 1
...
k−1
λ
eλ1 x
1
eλ2 x
λ2 eλ2 x
...
k−1 λ2 x
λ2 e
...
eλk x . . . λk eλk x ...
. . . λk x . . . λk−1
k e
a najdeme jeho hodnotu, napřı́klad, v bodě x = 0, tj. vypočı́táme
1
λ
W (0) = 1
...
k−1
λ
1
1
λ2
...
λk−1
2
...
1 . . . λk .
. . . . . . . . . λk−1
k
Právě tento determinant se nazývá Vandermondovým determinantem.
Připomeňme ještě, že předchozı́ přı́pad je speciálnı́m přı́padem našı́ úlohy. Odpověd’
uvádı́me pro všechny kategorie řešitelů (postup je uveden, napřı́klad, v knize [10]).
Hodnota determinantu je:
W (0) =
Y
1≤i<j≤k
(λj − λi ).
16
KAPITOLA 1. STRUKTURA ŘEŠENÍ LDR
Protože podle předpokladu nemůže být žádný z rozdı́lů čı́sel nulový, platı́ W (0) 6= 0.
Pan Hodný, váš hodný průvodce studiem:
Vandermondův determinant
je jeden z význačných determinantů, hodnotu kterého lze vypočı́tat. Nenı́ to ale
jednoduché. Může to pro vás být výzvou, pokusit se třeba během vı́kendové ,,nečinnosti“
ho pokořit. Jedná se o úlohu typu rekreačnı́ matematiky a hodně bude záležet na
vašem důvtipu.
1.6
Wronskián systému řešenı́ rovnice (1.3)
V procesu využitı́ wronskiánu nynı́ nastává kvalitativnı́ skok. Nebudeme již využı́vat
wronskián ke zkoumánı́ lineárnı́ nezávislosti libovolného systému funkcı́. Nynı́ budeme
předpokládat, že zkoumané systémy funkcı́ jsou řešenı́mi lineárnı́ homogennı́ rovnice
n-tého řádu (1.3), tedy rovnice
y (n) + an−1 (x)y (n−1) + · · · + a1 (x)y 0 + a0 (x)y = 0.
Teprve při zkoumánı́ takových systémů řešenı́ nabývá wronskián nové diagnostikačnı́
sı́ly a dává jednoznačnou odpověd’ na otázku, zdali je nebo nenı́ daný systém řešenı́
lineárně závislý nebo lineárně nezávislý na intervalu I. Pak tedy platı́ tvrzenı́ opačné
k prvnı́mu tvrzenı́ Věty 3.
Věta 4. Je-li na intervalu I dán systém řešenı́
y1 (x), y2 (x), . . . , yn (x)
rovnice (1.3), pak je tento systém lineárně nezávislým systémem řešenı́ tehdy a jen
tehdy, když
W (x) = W (y1 (x), y2 (x), . . . , yn (x)) 6= 0
pro každé x ∈ I.
Důkaz. Prvnı́ část věty je důsledkem předcházejı́cı́ Věty 3. Druhá část prověrky
je zajı́mavým zúročenı́m tvrzenı́ věty o jednoznačnosti řešenı́ počátečnı́ úlohy (viz
Věta 1) a prověřı́ vaši schopnost logické dedukce. Opět se, kvůli přehlednosti, omezı́me
na přı́pad n = 2, tedy na rovnici druhého řádu. Předpokládejme opak toho, co věta
uvádı́. Tedy předpokládejme, že W (x1 ) = 0 pro některou hodnotu x1 ∈ I. Ukážeme,
že pak je systém dvou řešenı́ lineárně závislým systémem funkcı́. Uvažujme systém
dvou rovnic
C1 y1 (x1 ) + C2 y2 (x1 ) = 0,
C1 y10 (x1 ) + C2 y20 (x1 ) = 0,
(1.20)
vzhledem k neznámým veličinám C1 a C2 . Z poznatků o řešenı́ rovnic pak vyplývá,
že systém (1.20) má netriviálnı́ rešenı́ C1 = C1∗ , C2 = C2∗ , tj. má takové řešenı́, že obě
dvě hodnoty C1∗ , C2∗ nejsou nulové. Vezměme tyto hodnoty a uvažujme na intervalu I
1.7. POČÁTEČNÍ PODMÍNKY
17
řešenı́ rovnice (1.3) určené následujı́cı́ lineárnı́ kombinacı́ (lineárnı́ kombinace řešenı́
je dle principu superpozice opět řešenı́m - viz Větu 2):
y(x) ≡ C1∗ y1 (x) + C2∗ y2 (x).
Potom z jednotlivých řádků systému (1.20) vyplývá, že
y(x1 ) = C1∗ y1 (x1 ) + C2∗ y2 (x1 ) = 0
a
y 0 (t1 ) = C1∗ y10 (x1 ) + C2∗ y20 (x1 ) = 0.
Podle již zmı́něné věty o jednoznačnosti řešenı́ počátečnı́ úlohy je řešenı́ y = y(x)
rovnice druhého řádu určené počátečnı́mi podmı́nkami
y(x1 ) = 0, y 0 (x1 ) = 0
jediné. Protože homogennı́ lineárnı́ rovnice má triviálnı́ (nulové) řešenı́ y = y(x) ≡ 0,
je těmito podmı́nkami určeno právě toto řešenı́ a žádné jiné. Proto musı́ na intervalu
I platit: y(x) ≡ 0, tj.
C1∗ y1 (x) + C2∗ y2 (x) ≡ 0.
V poslednı́m vztah vyjadřuje lineárnı́ závislost řešenı́ y1 a y2 . Logicky tedy - pokud
má být tento systém lineárně nezávislým, musı́ být jejich wronskián nenulový pro
všechny hodnoty x ∈ I. To je spor s našı́m výše uvedeným předpokladem. Tı́m je
tvrzenı́ prokázáno. 2
Okamžitým důsledkem Věty 4 je následujı́cı́ tvrzenı́.
Důsledek 1. Necht’ je dán na intervalu I systém řešenı́
y1 (x), y2 (x), . . . , yn (x)
rovnice (1.3). Pak je wronskián W (x) tohoto systému bud’ identicky nulový na intervalu I, anebo nenı́ roven nule v žádném bodě x ∈ I.
Pan Hodný, váš hodný průvodce studiem: Pokud jste si promysleli i tento
důsledek, a shledali ho správný, nezbývá než vám gratulovat. Překlenuli jste se přes
vrchol této problematiky a o úspěšném zvládnutı́ zbytku modulu již ve vašem přı́padě
nenı́ nejmenšı́ch pochyb, protože dalšı́ konstrukce budou využı́vat již jen logických a
konstruktivnı́ch obratů, které jsou analogické výše uplatněným.
1.7
Jak volit počátečnı́ podmı́nky, abychom dostali
lineárně nezávislá řešenı́
Poukažme na některé lineárnı́ přı́klady, jimiž jsme se zabývali, ze zřetelem na počet
lineárně nezávislých řešenı́, které jsme v těchto přı́kladech využili. Při rozboru
lineárnı́ rovnice
y 00 − 4y 0 + 4y = 0
18
KAPITOLA 1. STRUKTURA ŘEŠENÍ LDR
v Přı́kladu 3 na straně 9 předchozı́ho modulu se ukázalo, že jejı́mi řešenı́mi je
dvouparametrická množina funkcı́
y = (C1 + C2 x)e2x .
Fakticky je tato množina vytvořena superpozicı́ (to jest lineárnı́ kombinacı́) dvou
řešenı́
y1 (x) = e2x , y2 (x) = xe2x .
Tato řešenı́ jsou lineárně nezávislá, protože jsou tvořena funkcemi, které jsme prověřovali
v Přı́kladu 6.
Podobně při studiu lineárnı́ rovnice (1.7) v Přı́kladu 1 jsme pracovali s jejı́mi řešenı́mi
u1 (x) = e3x , u2 (x) = e−3x .
Také tato dvě řešenı́ jsou lineárně nezávislá, protože jsou tvořena funkcemi z Přı́kladu 8.
Můžeme si položit otázku, jedná-li se o zákonitost, kterou nynı́ zformulujeme poněkud
obecněji: Lineárnı́ homogennı́ rovnice n-tého řádu má alespoň n-lineárně nezávislých
řešenı́. Brzy uvidı́me, že jsme tı́mto tvrzenı́m téměř vystihli podstatu problematiky.
Upřesněnı́ je pouze v tom smyslu, že těchto lineárně nezávislých řešenı́ je přesně
n, tedy ani vı́ce ani méně. Pro systém n-lineárně nezávislých řešenı́ byl dokonce
zaveden speciálnı́ název, kterým je nazvána následujı́cı́ pasáž.
Fundamentálnı́ systém řešenı́ homogennı́ rovnice
V teorii lineárnı́ch homogennı́ch diferenciálnı́ch rovnic n-tého řádu hraje při konstrukci obecného řešenı́ zásadnı́ roli pojem takzvaného fundamentálnı́ho systému
řešenı́:
Definice 4. [Fundamentálnı́ systém] Předpokládejme, že systém funkcı́
y1 (x), y2 (x), . . . , yn (x)
je systémem lineárně nezávislých řešenı́ rovnice (1.3) na intervalu I. Pak tento
systém nazýváme fundamentálnı́m systémem řešenı́ rovnice (1.3) na intervalu I.
1.8. OBECNÉ ŘEŠENÍ HLDR
19
Počátečnı́ podmı́nky vytvářejı́cı́ fundamentálnı́ systém
Z Důsledku 1 ihned vyplývá, že na intervalu I budou fundamentálnı́ systém řešenı́
tvořit, napřı́klad, řešenı́ y1 , y2 , . . . , yn definovaná těmito počátečnı́mi podmı́nkami


 
y2 (x0 )

 y20 (x0 )


...

y1 (x0 )
1


0
 y10 (t0 ) 

=

 ,


.
.
.


.
.
.


(n−1)
0
(x0 )
y1

(n−1)
y2

 
0

1


=
 , ...,



.
.
.

(x0 )
0
yn (x0 )
0
0
 y 0 (x ) 
 
 n 0 
 =  ,

. . .


...
(n−1)
1
yn
(x0 )




kde x0 ∈ I. Vysvětlenı́ je snadné. Podle Důsledku 1 je wronskián těchto řešenı́ v
bodě x = x0 :
1
0
W (x0 ) = ...
0
0 ...
1 ...
... ...
0 ...
0 0 = 1 6= 0.
. . . 1 Řešenı́ s takto vybranými počátečnı́mi podmı́nkami jsou tedy lineárně nezávislá
na celém intervalu I. Podtrhněme ještě, že tyto počátečnı́ podmı́nky určujı́ jeden konkrétnı́ fundamentálnı́ systém. Jiná množina lineárně nezávislých počátečnı́ch
podmı́nek může určovat jiný fundamentálnı́ systém. Všechny fundamentálnı́ systémy
majı́ některé zajı́mavé vlastnosti. Nebudeme se jimi ale zabývat, nebot’ tato problematika již vybočuje za omezenı́ našich modulů.
1.8
Obecné řešenı́ homogennı́ rovnice
Přistupme k vyvrcholenı́ této kapitoly. Je jı́m tvrzenı́ o tom, jak vytvořit obecné
řešenı́ homogennı́ rovnice. Hlavnı́m předmětem této části je tedy vyjasněnı́ struktury obecného řešenı́ lineárnı́ homogennı́ rovnice n-tého řádu (1.3). Následujı́cı́ věta
obsahuje přı́slušné tvrzenı́:
Věta 5. Je-li na intervalu I dán fundamentálnı́ systém řešenı́
y1 (x), y2 (x), . . . , yn (x)
rovnice (1.3), pak je jejı́ obecné řešenı́ (1.3) určené lineárnı́ kombinacı́
y(x) = C1 y1 (x) + C2 y2 (x) + · · · + Cn yn (x),
(1.21)
s libovolnými konstantami C1 , C2 , . . . , Cn .
Důkaz. Opět uved’me jen to, co je podstatné. Proto se omezı́me na přı́pad dvou
rovnice a položı́me n = 2. Z principu superpozice (Věta 2) vyplývá, že lineárnı́ kombinace (1.21) je řešenı́m rovnice (1.3) pro libovolné konstanty. Tedy v našem přı́padě
(n = 2) pro libovolné konstanty C1 a C2 . To znamená, že zbývá dokázat opačné
20
KAPITOLA 1. STRUKTURA ŘEŠENÍ LDR
tvrzenı́, totiž že každé dané řešenı́ rovnice (1.3) je obsaženo v množině řešenı́ (1.21),
která má v našem přı́padě tvar
y(x) = C1 y1 (x) + C2 y2 (x).
(1.22)
Jinými slovy, stačı́ ukázat, že počátečnı́m podmı́nkám
y(x0 ) = b0 , y 0 (x0 ) = b1 ,
(1.23)
kde x0 ∈ I a b0 , b1 jsou libovolné reálné konstanty, vyhovuje právě jedno řešenı́
množiny (1.22). Derivovánı́m výrazu (1.22), tj. v našem přı́padě výrazu
y(x) = C1 y1 (x) + C2 y2 (x),
dostáváme vztah
y 0 (x) = C1 y10 (x) + C2 y20 (x).
Dohromady budeme na oba vztahy pohlı́žet jako na systém dvou rovnic vzhledem
ke koeficientům C1 a C2 a zapı́šeme je takto:
(
C1 y1 (x) + C2 y2 (x) = y(x),
C1 y10 (x) + C2 y20 (x) = y 0 (x).
(1.24)
Nynı́ sem dosad’me počátečnı́ hodnotu x = x0 a využijme počátečnı́ podmı́nky (1.23).
Systém (1.24) se změnı́ takto:
(
C1 y1 (x0 ) + C2 y2 (x0 ) = b0 ,
C1 y10 (x0 ) + C2 y20 (x0 ) = b1 .
(1.25)
Systém (1.25) je systémem dvou lineárnı́ch algebraických rovnic o dvou neznámých
C1 a C2 . Podle Věty 4 je hodnota determinantu matice daného systému, tj., hodnota
wronskiánu
W (x0 ) = W (y1 (x0 ), y2 (x0 )) 6= 0.
Proto má uvažovaný systém (1.25) jediné řešenı́ C1 = C10 , C2 = C20 . Výsledná
lineárnı́ kombinace (1.22), tj. kombinace
y(x)u = C10 y1 (x) + C20 y2 (x)
(1.26)
je jediným řešenı́m počátečnı́ úlohy (1.3), (1.23). Tı́m je naše věta dokázána. 2
1.9
Může mı́t homogennı́ rovnice vı́ce lineárně
nezávislých řešenı́ než je jejı́ řád?
Důsledkem právě zformulované a dokázané Věty 5 je tvrzenı́ o maximálnı́m počtu
lineárně nezávislých řešenı́, tj., o maximálnı́m počtu řešenı́ tvořı́cı́ch fundamentálnı́
systém. Tento počer je roven čı́slu n.
1.10. OBECNÉ ŘEŠENÍ NHLDR
21
Důsledek 2. Rovnice (1.3) nemůže mı́t na intervalu I vı́c než n lineárně nezávislých
řešenı́.
Důkaz. Pokusme se tento důsledek osvětlit. Předpokládejme, že máme n+1 lineárně
nezávislých řešenı́
y1 (x), y2 (x), . . . , yn (x), yn+1 (x)
(1.27)
rovnice (1.3) na intervalu I. Pak jsou na intervalu I lineárně nezávislá taky řešenı́
y1 (x), y2 (x), . . . , yn (x).
(1.28)
Podle předchozı́ Věty 5 musı́ pro některé vhodné konstanty
C1 = C1∗ , C2 = C2∗ , . . . , Cn = Cn∗
na intervalu I platit
yn+1 (x) = C1∗ y1 (x) + C2∗ y2 (x) + · · · + Cn∗ yn (x).
Tento vztah ale vyjadřuje, že řešenı́ yn+1 (x) je lineárnı́ kombinacı́ řešenı́ systému (1.28).
Proto je systém řešenı́ (1.27) systémem lineárně závislých řešenı́. 2
Poznámka 1. Poznamenejme, že z Věty 5 vyplývá, že řešenı́ rovnice n-tého řádu (1.3)
tvořı́ na intervalu I vektorový prostor dimenze n, jehož bázı́ je libovolný fundamentálnı́ systém řešenı́.
1.10
Obecné řešenı́ nehomogennı́ rovnice
Zbývá ještě osvětlit strukturu řešenı́ lineárnı́ nehomogennı́ rovnice n-tého řádu. To je
provedeno v následujı́cı́m tvrzenı́, které řı́ká, že obecné řešenı́ lineárnı́ nehomogennı́
rovnice n-tého řádu je rovno součtu obecného řešenı́ asociované homogennı́ rovnice
a některého partikulárnı́ho řešenı́ nehomogennı́ rovnice.
Věta 6. Je-li na intervalu I systém řešenı́
y1 (x), y2 (x), . . . , yn (x)
rovnice (1.3) fundamentálnı́m systémem a je-li yp (x) některé partikulárnı́ řešenı́
rovnice (1.2) na I, pak je obecné řešenı́ rovnice (1.2) dané lineárnı́ kombinacı́
y(x) = C1 y1 (x) + C2 y2 (x) + · · · + Cn yn (x) + yp (x),
kde C1 , C2 , . . . , Cn jsou libovolné konstanty.
(1.29)
22
KAPITOLA 1. STRUKTURA ŘEŠENÍ LDR
Důkaz. Důkaz provedeme pro n = 2 podobně jako v předchozı́ Větě 5. Z principu
superpozice (Věta 2) vyplývá, že výraz (1.29), tj. v našem přı́padě výraz
y(x) = C1 y1 (x) + C2 y2 (x) + yp (x),
(1.30)
je řešenı́m rovnice (1.2) pro libovolné konstanty C1 a C2 . Zbývá dokázat, že počátečnı́m
podmı́nkám (1.23) vyhovuje právě jedno řešenı́ množiny (1.30). Derivovánı́m vztahu (1.30) dostaneme
y 0 (x) = C1 y10 (x) + C2 y20 (x) + yp0 (x).
Dohromady budeme na oba vztahy pohlı́žet jako na systém dvou rovnic vzhledem
ke koeficientům C1 a C2 a zapı́šeme je takto:
(
C1 y1 (x) + C2 y2 (x) = y(x) − yp (x),
C1 y10 (x) + C2 y20 (x) = y 0 (x) − yp0 (x).
(1.31)
Nynı́ sem dosad’me počátečnı́ hodnotu x = x0 a využijme počátečnı́ podmı́nky (1.23).
Systém (1.31) se změnı́ takto:
(
C1 y1 (x0 ) + C2 y2 (x0 ) = b0 − yp (x0 ),
C1 y10 (x0 ) + C2 y20 (x0 ) = b1 − yp0 (x0 ).
(1.32)
Systém (1.32) je systémem dvou lineárnı́ch algebraických rovnic o dvou neznámých
C1 a C2 . Tento systém má jediné řešenı́ vzhledem ke koeficientům: C1∗∗ a C2∗∗ , protože
wronskián W (x0 ) = W (y1 (x0 ), y2 (x0 )) 6= 0. Pak je přı́slušná funkce daná vztahem (1.30), tj., funkce
y(x) = C1∗∗ y1 (x) + C2∗∗ y2 (x) + yp (x),
jediným řešenı́m úlohy (1.2) s n = 2, (1.23). 2
1.11
Rovnice y (n) = f (x)
Uvažujme nynı́ na intervalu I diferenciálnı́ rovnici n-tého řádu
y (n) = f (x)
(1.33)
se spojitou funkcı́ f . Jde o velmi speciálnı́ přı́pad lineárnı́ nehomogennı́ diferenciálnı́
rovnice n-tého řádu, které jsme v této části probı́rali. Rovnici (1.33) můžeme integrovat vzhledem k jejı́ jednoduchosti bud’ přı́mo, nebo můžeme ilustrovat vyloženou
teorii. Zvolı́me druhou variantu. (V dalšı́ch částech modulu budou probı́rány lineárnı́
rovnice s konstantnı́mi koeficienty. Způsob řešenı́, který bude ukázán lze pro řešenı́
rovnice (1.33) využı́t též.)
1.11. LDR S PRAVOU STRANOU NEZÁVISLOU NA ŘEŠENÍ
23
Obecné řešenı́ homogennı́ rovnice y (n) = 0
V souladu s obecnou teorii lineárnı́ch rovnice je obecné řešenı́ nehomogennı́ rovnice (1.33)
tvořeno součtem asociované homogennı́ rovnice
y (n) = 0
a některého partikulárnı́ho řešenı́ yp (x) rovnice (1.33). Protože y (n) =
můžeme rovnici (1.34) přepsat ve tvaru
y (n−1)
0
(1.34)
0
y (n−1) ,
= 0,
odkud integracı́ dostáváme
y (n−1) = C1 ,
kde C1 je libovolná konstanta. Podobný postup v dalšı́ch krocı́ch dává
y (n−2) = C1 x + C2 ,
C1 2
y (n−3) =
x + C2 x + C3 ,
2
...
C1
C2
C3
y0 =
xn−2 +
xn−3 +
xn−4 + · · · + Cn−1 ,
(n − 2)!
(n − 3)!
(n − 4)!
C1
C2
C3
y=
xn−1 +
xn−2 +
xn−3 + · · · + Cn−1 x + Cn ,
(n − 1)!
(n − 2)!
(n − 3)!
kde C1 , C2 , . . . , Cn jsou libovolné konstanty. Poslednı́ vztah obsahuje všechna řešenı́
rovnice (1.34) a je tedy obecným řešenı́m homogennı́ rovnice (1.34). Volbou nových
libovolných konstant
D1 =
C2
C3
C1
, D2 =
, D3 =
, . . . , Dn−1 = Cn−1 , Dn = Cn
(n − 1)!
(n − 2)!
(n − 3)!
lze obecné řešenı́ přepsat ve tvaru
y = D1 xn−1 + D2 xn−2 + D3 xn−3 + · · · + Dn−1 x + Dn .
Partikulárnı́ řešenı́ nehomogennı́ rovnice
Najděme nynı́ partikulárnı́ řešenı́ nehomogennı́ rovnice
yp(n) = f (x).
(1.35)
Budeme postupovat podobně jako v předchozı́ části. Přitom se domluvı́me, že u
neurčitých integrálů nebudeme psát integračnı́ konstanty, protože nás zajı́má pouze
jedno partikulárnı́ řešenı́. Dostáváme
yp(n−1)
0
= f (x),
24
KAPITOLA 1. STRUKTURA ŘEŠENÍ LDR
odkud integracı́
yp(n−1)
Z
=
f (x)dx.
Podobný postup v dalšı́ch krocı́ch dává
yp(n−2) =
ZZ
yp(n−3) =
ZZZ
f (x)dxdx,
f (x)dxdxdx,
...
yp0 =
ZZ
|
···
Z
{z
f (x) dxdx
|
{z. . . dx},
(n−1)-krát
}
(n−1)-krát
yp =
ZZ
|
···
{z
Z
n-krát
f (x) dxdx
{z. . . dx} .
|
}
n-krát
Obecné řešenı́
Napišme výsledek - obecné řešenı́ nehomogennı́ rovnice (1.33) je rovno součtu obecného
řešenı́ asociované homogennı́ rovnice (1.34) a partikulárnı́ho řešenı́ yp (x) nehomogennı́
rovnice (1.35), tj.
y(x) = D1 x
n−1
+ D2 x
n−2
+ D3 x
n−3
+ · · · + Dn−1 x + Dn +
ZZ
|
···
{z
Z
n-krát
f (x) dxdx
{z. . . dx},
|
}
n-krát
kde D1 , D2 , . . . , Dn jsou libovolné konstanty.
Přı́klad
Najděme řešenı́ počátečnı́ úlohy
(
y 00 = xe−x ,
y(0) = 1, y 0 (0) = 0.
(1.36)
Řešenı́. Nejprve najdeme obecné řešenı́ nehomogennı́ rovnice
y 00 = xe−x .
Obecné řešenı́ odpovı́dajı́cı́ asociované homogennı́ rovnici y 00 = 0 má tvar
y(x) = D1 x + D2 ,
kde D1 a D2 jsou libovolné konstanty. Najdeme partikulárnı́ řešenı́ nehomogennı́
rovnice. Procvičte si metodu integrace po částech na následujı́cı́ch dvou inegrálech.
1.11. LDR S PRAVOU STRANOU NEZÁVISLOU NA ŘEŠENÍ
25
Prvnı́ integracı́ metodou per partes dostaneme (integračnı́ konstanty v souladu s
předchozı́m postupem nebudeme zapisovat)
y0 =
Z
xe−x dx = −xe−x − e−x .
Dalšı́ integrovánı́ per partes vede k výsledku
y=
Z
(−xe−x − e−x + C1 ) dx = xe−x + 2e−x .
Obecné řešenı́ nehomogennı́ rovnice má tvar
y = D1 x + D2 + (x + 2)e−x .
Nakonec použijeme počátečnı́ podmı́nky. Použitı́ prvnı́ z nich dává:
y(0) = 1 = D2 + 2,
odkud máme D2 = −2. Použijeme druhou počátečnı́ podmı́nku. Nejprve nalézáme
y 0 = D1 − xe−x − e−x ,
a po dosazenı́ dostaneme
y 0 (0) = 0 = D1 − 1,
odkud D1 = 1. Řešenı́m počátečnı́ úlohy je funkce
y = (x + 2)e−x + x − 1.
Průhyb nosnı́ku
Uved’me ješte jednu aplikaci ze stavebnictvı́.
Přı́klad 9. Průhyb homogennı́ho nosnı́ku (napřı́klad trámu tvaru pravoúhlého hranolu) je často modelován diferenciálnı́ rovnicı́ čtvrtého řádu
EIy (4) = w(x),
(1.37)
kde E je Youngův modul pružnosti, I je moment setrvačnost průřezu trámu vzhledem k neutrálnı́ ose, y(x) je statický průhyb trámu v bodě x a w(x) je zatı́ženı́ trámu
vztažené na jednotku délky. Předpokládejme, že trám má délku L, je ve vodorovné
poloze a je na koncı́ch pevně uchycen. Dále předpokládejme, že zatı́ženı́ w(x) je
konstantnı́, tj. že w(x) ≡ w0 . Najděte funkci popisujı́cı́ statický průhyb trámu.
26
KAPITOLA 1. STRUKTURA ŘEŠENÍ LDR
Řešenı́. V této úloze využijeme podmı́nky, které nejsou ryze počátečnı́. Řı́káme
jim okrajové podmı́nky. Průhyb trámu vyhovuje těmto podmı́nkám:
y(0) = 0, y 0 (0) = 0, y(L) = 0, y 0 (L) = 0.
Podmı́nky y(0) = 0, y(L) = 0 vyjadřujı́, že trám je na koncı́ch pevně uchycen.
Podmı́nky y 0 (0) = 0, y 0 (L) = 0 vyjadřujı́, že trám je na koncı́ch v horizontálnı́
poloze. Přepišme rovnici (1.37) na tvar
y (4) =
w0
.
EI
(1.38)
Obecné řešenı́ rovnice (1.38) je
y(x) = D1 x3 + D2 x2 + D3 x + D4 +
= D1 x3 + D2 x2 + D3 x + D4 +
ZZZZ
w0
dxdxdxdx
EI
w0
· x4 ,
24EI
kde D1 , D2 , . . . , Dn jsou libovolné konstanty. Využitı́m prvnı́ podmı́nky dostáváme
y(0) = 0 = D4 .
Potom
w0
· x3 ,
6EI
y 0 (x) = 3D1 x2 + 2D2 x + D3 +
a využitı́ druhé podmı́nky dává
y 0 (0) = 0 = D3 .
Použitı́ zbývajı́cı́ch dvou podmı́nek vede k rovnicı́m:
y(L) = 0 = D1 L3 + D2 L2 +
w0
· L4 ,
24EI
y 0 (L) = 0 = 3D1 L2 + 2D2 L +
w0
· L3 ,
6EI
Řešenı́ této soustavy vede k hodnotám
D1 = −
w0 L
w0 L2
, D2 =
.
12EI
24EI
Průhyb trámu je určen křivkou
y(x) = −
w0 L
w0 L2 2
w0
w0
· x3 +
·x +
· x4 =
· x2 (x − L)2 .
12EI
24EI
24EI
24EI
Řada dalšı́ch přı́kladů, ukazujı́cı́ch aplikace diferenciálnı́ch rovnic ve stavebnictvı́, je
obsažena ve skriptu [8].
1.12. SNÍŽENÍ ŘÁDU HOMOGENNÍ ROVNICE
1.12
27
Snı́ženı́ řádu homogennı́ rovnice
Tuto kapitolu zakončı́me návodem, jak je možné snı́žit řád homogennı́ lineárnı́
rovnice za předpokladu, že známe nějaké jejı́ (nenulové) partikulárnı́ řešenı́ y =
y∗ (x). Úvahy provádı́me na některém intervalu na intervalu I. Ukážeme, že v tomto
přı́padě lze řád rovnice o jedničku snı́žit, tj., že lze rovnici n-tého řádu (1.3) převést
na homogennı́ lineárnı́ rovnici řádu n − 1. Pro většı́ srozumitelnost budeme uvažovat
jen rovnice řádu druhého n = 2, tedy rovnici
y 00 + a1 (x)y 0 + a0 (x)y = 0.
(1.39)
y(x) = y∗ (x) · z(x),
(1.40)
Zaved’me substituci
kde z je nová hledaná funkce. Potom derivovánı́m vztahu (1.40) dostáváme
y 0 (x) = y∗0 (x) · z(x) + y∗ (x) · z 0 (x),
y 00 (x) = y∗00 (x) · z(x) + 2y∗0 (x) · z 0 (x) + y∗ (x) · z 00 (x).
Po dosazenı́ do rovnice (1.39) dostaneme novou rovnici
y∗ (x) · z 00 + (a1 (x)y∗ (x) + 2y∗0 (x))z 0 + (y∗00 (x) + a1 (x)y∗0 (x) + a0 (x)y∗ (x)) · z(t) = 0.
Podle našeho předpokladu je funkce y∗ (x) nenulovým řešenı́m rovnice (1.39). Platı́
tedy
y∗00 (x) + a1 (x)y∗0 (x) + a0 (x)y∗ (x) ≡ 0
a nová rovnice má tvar
y∗ (x) · z 00 + (a1 (x)y∗ (x) + 2y∗0 (x))z 0 = 0.
Zavedeme-li novou proměnnou w(t) předpisem
w(x) = z 0 (x),
dostáváme nakonec výsledný tvar homogennı́ lineárnı́ rovnice prvnı́ho řádu:
w0 (x) +
(a1 (x)y∗ (x) + 2y∗0 (x))
w(x) = 0.
y∗ (x)
(1.41)
Ke stejnému výsledku bychom dospěli pomocı́ jedné substituce tvaru
y(x) = y∗ (x)
Z
w(x)dx,
(1.42)
kde nebereme do úvahy integračnı́ konstantu v integrálu. Rovnice (1.41) je lineárnı́
rovnicı́ prvnı́ho řádu, kterou umı́me řešit (viz část ??). Zamyslete se nad tı́m k
jakým změnám dojde v přı́padě, že metodu použijeme k rovnicı́m řádu vyššı́ho než
druhého.
28
KAPITOLA 1. STRUKTURA ŘEŠENÍ LDR
Přı́klad 10. Najděte obecné řešenı́ rovnice
2
2
y 00 − y 0 + 2 y = 0
x
x
(1.43)
na intervalu I = (−∞, 0), vı́te-li že jeho partikulárnı́m řešenı́m je funkce y∗ (x) = x.
Řešenı́.
V rovnici (1.43) použijeme substituci (1.42), tj. substituci
y(x) = x
Potom
y 0 (x) =
Z
Z
w(x)dx.
(1.44)
w(x)dx + xw(x), y 00 (x) = 2w(x) + xw0 (x).
Po dosazenı́ do rovnice (1.43) dostáváme lineárnı́ rovnici
2w(x) + xw00 (x) −
Z
Z
2
2
xw(x) + w(x)dx + 2 · x w(x)dx = 0,
x
x
tj., rovnici
xw0 (x) = 0
neboli rovnici
w0 (x) = 0,
která má obecné řešenı́
w(x) = C1
s libovolnou konstantou C1 . Užitı́m (1.44) máme
y(x) = x
Z
w(x)dx = C1 x2 + C2 x,
kde C1 a C2 jsou libovolné konstanty.
Kapitola 2
Homogennı́ lineárnı́ diferenciálnı́
rovnice s konstantnı́mi koeficienty
Tato část je věnována problematice nalezenı́ obecného řešenı́ lineárnı́ch diferenciálnı́ch
rovnic s konstantnı́mi koeficienty. Z teoretického pohledu již nic nového nepřinášı́,
protože otázky struktury řešenı́ byly vyřešeny v Kapitole 1. Z praktického pohledu
je však tato kapitolka (a také ta následujı́cı́) nesmı́rně užitečná. Dává praktický
návod, jak obecné řešenı́ sestavit. Našı́ odměnou za čas strávený nad těmito moduly
může být uspokojenı́ z užitečnosti celé problematiky a z průhlednosti celého postupu sestavenı́ obecného řešenı́. Abychom tedy byli konkrétnı́. Budeme se zabývat
konstrukcı́ obecného řešenı́ lineárnı́ homogennı́ rovnice n-tého řádu s konstantnı́mi
koeficienty. Lineárnı́ diferenciálnı́ homogennı́ rovnicı́ n-tého řádu s konstantnı́mi koeficienty nazýváme rovnici (1.3) ve které jsou mı́sto funkcı́ an−1 (t), . . . , a1 (t), a0 (t)
konstanty. Budeme tedy uvažovat rovnici
y (n) + an−1 y (n−1) + · · · + a1 y 0 + a0 y = 0,
(2.1)
kde an−1 , . . . , a1 , a0 jsou reálná čı́sla. Protože v rovnici (2.1) nejsou žádné funkce,
které by nějakým způsobem zužovaly definičnı́ obor, budou všechny naše úvahy
platit na celé oboru reálných čı́sel a můžeme položit I = R.
Cı́l:
Po prostudovánı́ této kapitoly by každý měl:
• rozpoznat to, čemu budeme řı́kat homogennı́ lineárnı́ diferenciálnı́ rovnice s
konstantnı́mi koeficienty;
• umět nalézt obecné řešenı́ takovéto rovnice.
29
30
KAPITOLA 2. HOMOGENNÍ LDR S KONSTANTNÍMI KOEFICIENTY
Pan Přı́sný, váš přı́sný průvodce studiem:
V následujı́cı́ části budeme
hodně pracovat s kořenovými vlastnostmi polynomů s reálnými koeficienty jedné
proměnné. Před vlastnı́m studiem této kapitoly nejprve v oboru komplexnı́ch čı́sel
vyřešte následujı́cı́ algebraické rovnice, určené násobnost kořenů daných rovnic a
proved’te zkoušku správnosti řešenı́:
1) λ2 − 4λ + 3 = 0,
2) λ2 + 2λ + 1 = 0,
3) λ2 + 4 = 0,
3
3
2
4) λ + λ = 0,
5) λ − 6λ + 11λ − 6 = 0, 6) λ4 − 1 = 0,
7) λ4 + 4 = 0,
8) λ4 + 8λ2 + 16 = 0,
9) λ5 + λ3 = 0.
2.1
Exponenciálnı́ tvar řešenı́ lineárnı́ homogennı́
rovnice s konstantnı́mi koeficienty,
charakteristická rovnice
Obecná teorie pro lineárnı́ diferenciálnı́ rovnice musı́ platit i pro rovnici (2.1). Jak
ale najı́t jejı́ fundamentálnı́ systém řešenı́? Vzpomı́náte si na význačnou vlastnost
exponenciálnı́ funkce y = ex ? Ano, je to výsledek jejı́ho derivovánı́, který je identický
s původnı́ funkcı́. A jaké derivace má funkce jen o něco málo složitějšı́ - funkce
y(x) = eλx , kde λ je nějaké nenulové čı́slo (třeba i komplexnı́)? I to je jednoduchá
otázka. Derivace takové funkce jsou:
y(x) = eλx , y 0 (x) = λeλx , y 00 (x) = λ2 eλx , . . . , , y (n) (x) = λn eλx .
Zkusme hledat některé řešenı́ rovnice (2.1) právě v exponenciálnı́m tvaru, tj. ve
tvaru funkce y(x) = eλx , kde λ = const je prozatı́m neznámý koeficient. Dosazenı́m
exponenciálnı́ho tvaru
y(x) = eλx ,
λ = const
(2.2)
do uvažované rovnice (2.1) dostáváme (z každého výrazu vytkneme funkci eλx )
(λn + an−1 λn−1 + · · · + a1 λ + a0 )eλx = 0.
Charakteristická rovnice
Vzhledem k důležitosti pojmu, který nynı́ zavedeme jsme si dovolili vložit do textu
mezititulek. Pokračujme v našich úvahách dále. Exponenciálnı́ funkce eλx nenı́ nikdy
rovna nule. Proto můžeme touto funkcı́ krátit. Pak dostáváme vztah - rovnici vzhledem ke hledanému koeficientu λ
λn + an−1 λn−1 + · · · + a1 λ + a0 = 0.
(2.3)
Rovnice (2.3) je polynomiálnı́ rovnicı́ n-tého řádu. Je pro ni užı́ván název charakteristická rovnice, odpovı́dajı́cı́ rovnici (2.1). Mnohočlen (polynom) v levé straně
rovnice (2.3) nazýváme charakteristický polynom a budeme pro něj užı́vat značenı́
p(λ) := λn + an−1 λn−1 + · · · + a1 λ + a0 .
(2.4)
2.1. EXPONENCIÁLNÍ TVAR ŘEŠENÍ
31
Tzv. hlavnı́ větu algebry jsme se již v našich modulech připomenuli (viz Přı́klad 6
na straně 11). Proto nynı́ můžeme řı́ci, že rovnice (2.3) má celkem n kořenů (přitom
každý kořen počı́táme tolikrát, jaká je jeho násobnost). Kořeny charakteristické
rovnice (2.3) jsou často nazývány charakteristickými kořeny. Dále můžeme řı́ci, že
jsme již našli řešenı́ rovnice (2.1) v exponenciálnı́m tvaru (2.2)? Každý kořen
λ1 , λ2 , . . . , λn
(2.5)
(nynı́ je každý kořen vypsán tolikrát jaká je jeho násobnost) rovnice (2.3) skutečně
určuje některé řešenı́ diferenciálnı́ rovnice (2.1) v předpokládaném exponenciálnı́m
tvaru, tj. každá funkce
yj (x) = eλj x ,
j = 1, 2, . . . , n.
(2.6)
je řešenı́m diferenciálnı́ rovnice (2.1).
Je již nalezen fundamentálnı́ systém řešenı́?
Logická otázka nynı́ je - tvořı́ n exponenciálnı́ch funkcı́ uvedených v předpisu (2.6)
fundamentálnı́ systéme řešenı́ diferenciálnı́ rovnice (2.1)? Pokud bedlivě sledujete
tento výklad odpovı́te asi vyhýbavě - pravděpodobně ne vždy je tento systém systémem
fundamentálnı́m. A zřejmě tuto odpověd’ zdůvodnı́te poukazem na kořeny charakteristické rovnice, které mohou být násobné. Skutečně je to tak. Pokud jsou kořeny
násobné, pak se v seznamu funkcı́ (2.6) musı́ objevit funkce, které jsou stejné. Vzhledem k linearitě rovnice (2.1) je každá lineárnı́ kombinace těchto řešenı́
y(x) = C1 eλ1 x + C2 eλ2 x + · · · + Cn eλn x
(2.7)
s konstantami C1 , C2 , . . . , Cn také některým řešenı́m. Tak jsme zı́skali řešenı́ diferenciálnı́ rovnice (2.1) s celkovým počtem n libovolných parametrů. Bohužel však v
této lineárnı́ kombinaci je pouze tolik lineárně nezávislých exponenciálnı́ch funkcı́,
kolik je různých kořenů ve výčtu (2.5). Pokud jsou však všechny kořeny ve výčtu
kořenů (2.5) navzájem různé, tj. pokud jsou navzájem různé kořeny charakteristické rovnice (2.3), pak nenı́ problémem se přesvědčit, že systém řešenı́ diferenciálnı́
rovnice (2.1)
y1 (x) := eλ1 x , y2 (x) := eλ2 x , . . . , yn (x) := eλn x
je fundamentamentálnı́m systémem řešenı́. Ověřenı́ tohoto tvrzenı́ je snadné. Proved’te
ho samostatně na základě výsledku Přı́kladu 8 na straně 15.
Jak doplnit systém řešenı́, aby byl fundamentálnı́m?
Jak ale postupovat v přı́padě, když má charakteristická rovnice (2.3) násobné kořeny?
Předpokládejme, napřı́klad, že existuje s různých kořenů
λ1 , λ2 , . . . , λs
32
KAPITOLA 2. HOMOGENNÍ LDR S KONSTANTNÍMI KOEFICIENTY
charakteristické rovnice (2.3), kde s < n . V tomto přı́padě lze vztah (2.7) zapsat
pouze s pomocı́ s libovolných konstant a proto tento vztah nenı́ obecným řešenı́m
diferenciálnı́ rovnice (2.1). Problém doplněnı́ systému na fundamentálnı́ budeme řešit
postupně a použijeme přitom zjednodušujı́cı́ho zápisu diferenciálnı́ rovnice (2.1) pomocı́ symbolů, kterým řı́káme symbolické operátory. Nynı́ ale ukážeme jaká dalšı́
řešenı́ mohou vznikat. V následujı́cı́m přı́kladu je v přı́padě násobného kořene charakteristické rovnice ukázán tvar dalšı́ho řešenı́, lineárně nezávislého s exponenciálnı́m
tvarem (2.2). Teoretický výklad této konstrukce je dán v následujı́cı́ části. V uvedeném přı́kladu jsou dalšı́ řešenı́, odlišná od výchozı́ho exponenciálnı́ho tvaru ,,uhodnuta“.
Přı́klad 11. Zkonstruujte obecné řešenı́ rovnice třetı́ho řádu
y 000 − 2y 00 + 4y 0 − 8y = 0.
Řešenı́.
(2.8)
Charakteristická rovnice, odpovı́dajı́cı́ diferenciálnı́ rovnici (2.8) je
λ3 − 2λ2 + 4λ − 8 = (λ − 2)3 = 0
a má trojnásobný reálný kořen λ1,2,3 = 2. Snadno ověřı́me, že kromě exponenciálnı́ho řešenı́ (2.2), tj., kromě řešenı́ y1 (x) = e2x existujı́ dalšı́ dvě, lineárně
nezávislá řešenı́, y2 (x) = xe2x a y3 (x) = x2 e2x . Věnujte chvilku samostatnému
prověřenı́ tohoto tvrzenı́! Tato tři řešenı́ tvořı́ fundamentálnı́ systém řešenı́. Proto
je obecné řešenı́ vyjádřeno vztahem
y(x) = C1 ex + C2 xe2x + C3 x2 e2x ,
kde C1 , C2 a C3 jsou libovolné konstanty.
Pan Hodný, váš hodný průvodce studiem: Porovnejte tuto situaci s dalšı́mi
přı́klady, které jsme již řešili (viz Přı́klad 1 na 5. straně a Přı́klad 3 na 9. straně
předchozı́ho modulu Obyčejné diferenciálnı́ rovnice 1).
2.2
Užitečnı́ pomocnı́ci - symbolické operátory
Právě řešený Přı́klad 11 ukazuje na obecnou situace ve vytvářenı́ fundamentálnı́
množiny řešenı́. Abychom obecnou situaci zvládli budeme potřebovat pomoc - ve
formě tzv. pomocných operátorů.
2.2. SYMBOLICKÉ OPERÁTORY
33
Zavedenı́ diferenciálnı́ho operátoru
V matematice je derivace často značena pı́smenem D. Tı́m mı́nı́me, že mı́sto symbolu
derivovánı́ můžeme psát pouze
dy
= Dy.
dx
Symbol D nazýváme symbolický diferenciálnı́ operátor. Jeho činnost je stejná
jako operace derivovánı́. Často také pouze schématicky pı́šeme
D :=
d
.
dx
Tento zápis vystihuje jen to, co operátor dělá. Vyzkoušejme, zdali jste činnost
operátoru pochopili. Prověřte, že
D(e8x ) = 8e8x , D(sin 5x) = 5 cos 5, D(3x7 − ln x) = 21x6 −
1
.
x
Správně! Vidı́me, že diferenciálnı́ operátor je jen jiným zápisem derivace. Proto,
podle známých vzorců pro derivovánı́, bude platit
D(af (x) + bg(x)) = aDf (x) + bDg(x),
kde a a b jsou konstanty a f (x) a g(x) jsou funkce Vzhledem k této vlastnosti řı́káme,
že diferenciálnı́ operátor je lineárnı́.
Derivace vyššı́ch řádů s pomocı́ diferenciálnı́ho operátoru
Co bude znamenat zápis D2 ? Význam tohoto symbolu spočı́vá ve dvojnásobném
použitı́ diferenciálnı́ho operátoru a je tedy zkratkou pro operaci nalezenı́ druhé
derivace:
D2 y = D(Dy) = D(y 0 ) = y 00 .
O symbolu D2 hovořı́me jako o druhé mocnině operátoru D. Podobně pro derivaci
k=tého řádu užı́váme operátor Dk a hovořı́me o k-té mocnině operátoru D. Mı́nı́me
tı́m:
Dk y = D(Dk−1 y) = D(y (k−1) ) = y (k) .
Pro úplnost a správné definovánı́ dalšı́ch výrazů ješte nadefinujeme operátor, kterému
řı́káme identický I a jehož činnost je charakterizována tı́m, že objekty na které
působı́ nechává beze změny. Mohli bychom řı́ci, že se jedná o diferenciálnı́ operátor
nulového řádu a definovat D0 := I. Tedy, napřı́klad,
Iy = y, I(x5 − 6) = x5 − 6.
Diferenciálnı́ operátor můžeme kombinovat a vytvářet lineárnı́ operátory, např. (D−
5I), (D3 + 2D + 4I) jsou lineárnı́ operátory, které působı́ na dané výrazy takto:
(D−5I)u = u0 −5u, (D3 +2D2 +4I) cos x = sin x−2 cos x+4 cos x = sin x+2 cos x.
34
KAPITOLA 2. HOMOGENNÍ LDR S KONSTANTNÍMI KOEFICIENTY
Jak pracujeme se s diferenciálnı́mi operátory?
S diferenciálnı́m operátorem D, s jeho mocninami a s identickým operátorem I
počı́táme podobně jako s polynomy. Vysvětleme to na přı́kladu operátoru D2 − I.
Jeho působenı́ bude zřejmé. Platı́ napřı́klad
(D2 − I)x2 = D2 x2 − Ix2 = 2 − x2 .
Chovejme se tedy k výrazům, obsahujı́cı́mi diferenciálnı́ operátory podobně jako k
polynomiálnı́m výrazům. Pak můžeme napsat tento rozklad:
D2 − I = (D − I)(D + I),
protože platı́
(D−I)(D+I) = (D−I)D+(D−I)I = DD−ID+DI−II) = D2 −D+D−I = D2 −I.
Přesvědčı́me se, že poslednı́ rozklad působı́ na daný výraz stejně jako původnı́ nerozložený polynomiálnı́ operátor (nejprve působı́ pravý výraz a pak levý výraz), tj.:
(D−I)(D+I)x2 = (D−I)[(D+I)x2 ] = (D−I)(2x+x2 ) = 2+2x−2x−x2 = 2−x2 .
Navı́c lze ukázat, že výrazy v rozkladu komutujı́. Tedy, je-li dán rozklad diferenciálnı́ho operátoru na součin diferenciálnı́ch operátorů, pak můžeme pořadı́ jednotlivých součinitelů libovolně měnit. V našem přı́padě platı́
D2 − I = (D − I)(D + I) = (D + I)(D − I).
Prověřme ještě toto poslednı́ tvrzenı́ na stejném přı́kladu:
(D+I)(D−I)x2 = (D+I)[(D−I)x2 ] = (D+I)(2x−x2 ) = 2−2x+2x−x2 = 2−x2 .
Na základě uvedených zdůvodněnı́ lze zapsat homogennı́ lineárnı́ diferenciálnı́ rovnici
n-tého řádu (2.1) v operátorové podobě. Proto definujeme operátor, který tuto
rovnici kopı́ruje. Nazývá se
Symbolický polynomiálnı́ operátor
Jeho definice je následujı́cı́. Symbolický polynomiálnı́ operátor p(D) vzhledem
k operátoru D je definovaný předpisem:
p(D) := Dn + an−1 Dn−1 + · · · + a1 D + a0 I,
kde I je identický operátor. Potom pro každou funkci y = y(x), která má n derivacı́,
je
p(D)y = Dn y + an−1 Dn−1 y + · · · + a1 Dy + a0 Iy.
Dále předpokládejme, že uvažované funkce majı́ tolik derivacı́, kolik jich budeme při
výpočtech potřebovat.
2.2. SYMBOLICKÉ OPERÁTORY
35
Jak zapsat homogennı́ rovnici pomocı́ symbolického polynomiálnı́ho operátoru?
Nynı́ se můžeme snadno přesvědčit, že pomocı́ definovaných operátorů lze zapsat
homogennı́ rovnici (2.1) jednoduchým vztahem
p(D)y = 0.
(2.9)
Vlastnosti symbolických polynomiálnı́ch operátorů
Zrekapitulujme a zobecněme vlastnosti o diferenciálnı́ch operátorech a o symbolických polynomiálnı́ch operátorech, které jsme již uvedli v předchozı́m textu. Základnı́
vlastnostı́ symbolického polynomiálnı́ho operátoru p(D) je jeho linearita. Definujme součet a násobenı́ dvou polynomiálnı́ch operátorů p(D) a q(D), kde
q(D) := Dm + bm−1 Dm−1 + · · · + b1 D + b0 I
a bm−1 , . . . , b1 , b0 jsou konstanty, jako nově vzniklé polynomiálnı́ symbolické operátory
s konstantnı́mi koeficienty, pomocı́ předpisů pro součet
[p(D) + q(D)]y := p(D)y + q(D)y
a pro součin
[p(D)q(D)]y := p(D)[q(D)]y.
Následujı́cı́ věta shrnuje některé vlastnosti polynomiálnı́ch operátorů, které budou
dále použity.
Věta 1. Necht’ R(λ) a S(λ) jsou obyčejné polynomy definované předpisy
R(λ) := p(λ) + q(λ),
S(λ) := p(λ)q(λ).
Potom pro součet polynomiálnı́ch operátorů platı́:
p(D) + q(D) = R(D)
a pro jejich součin:
p(D)q(D) = S(D).
Ověřenı́ platnosti tohoto tvrzenı́ nebudeme provádět. Je však jednoduché a a spočı́vá
v porovnánı́ výrazů na levých a pravých stranách daných vztahů. Pokuste se však
promyslet, jak byste při ověřenı́ postupovali. Z uvedených vlastnostı́ polynomiálnı́ch
operátorů také vyplývá, že součet a násobenı́ polynomiálnı́ch operátorů (závisejı́cı́ch
na D) je asociativnı́, komutativnı́ a distributivnı́. Proto tedy platı́ to, co jsme již na
přı́kladu prováděli - symbolický polynomiálnı́ operátor lze rozložit stejným způsobem
jako normálnı́ polynom. Tento závěr hned použijeme.
36
KAPITOLA 2. HOMOGENNÍ LDR S KONSTANTNÍMI KOEFICIENTY
Rozklad symbolického polynomiálnı́ho operátoru, přı́slušejı́cı́ho
homogennı́ rovnici
Předpokládejme, že kořeny charakteristické rovnice (2.3), tj. kořeny rovnice p(λ) =
0, kde polynom p(λ) je definován vztahem (2.4), jsou čı́sla
λ1 , λ2 , . . . , λn
(která nemusı́ být všechna navzájem různá). Pak platı́
p(λ) = (λ − λ1 )(λ − λ2 ) . . . (λ − λn )
a taktéž (v souladu s výše uvedenými vlastnostmi symbolického polynomiálnı́ho
operátoru) platı́
p(D) = (D − λ1 I)(D − λ2 I) . . . (D − λn I).
2.3
Obecné řešenı́ homogennı́ rovnice s konstantnı́mi
koeficienty
V této části uvedeme prvnı́ variantu konstrukce funkcı́, tvořı́cı́ch fundamentálnı́
systém řešenı́ homogennı́ rovnice (2.1). Výhodou této varianty je jednoduššı́ formulace výsledku. Nevýhodou je, že řešenı́ mohou být komplexnı́mi funkcemi. Tuto
nevýhodu v dalšı́ části odstranı́me, formulace výsledku pak bude o něco těžkopádnějšı́.
Jaké funkce mohou být řešenı́mi homogennı́ rovnice?
Ukážeme, jaké funkce jsou anulovány (tj. vynulovány nebo agresivněji řečeno ,,zničeny“) symbolickým polynomiálnı́m operátorem v přı́padě, že se nejedná o čisté exponenciály a mohou tedy sloužit jako řešenı́ homogennı́ch diferenciálnı́ch rovnic.
Některé řešené přı́klady nám tvary těchto funkcı́ napověděly (viz třeba Přı́klad 11)
Jinými slovy - ukážeme možné tvary řešenı́ homogennı́ rovnice (2.1) v (zejména)
přı́padě násobných kořenů charakteristické rovnice. Tvrzenı́ o tvaru těchto funkcı́
sformujeme jako následujı́cı́ lemmu a provedeme ověřenı́ jejı́ správnosti. Užitý symbol λ ∈ C značı́, že čı́slo λ je v obecném přı́padě komplexnı́.
Lemma 1. Předpokládejme, že λ ∈ C a že m je celé kladné čı́slo. Pak pro každé
x ∈ R a každé k = 0, 1, . . . , m − 1 platı́
(D − λI)m xk eλx = 0.
Důkaz. Nezávisle na tom, je-li čı́slo λ reálné nebo komplexnı́ platı́
(D − λI) xk eλx = kxk−1 eλx + λxk eλx − λxk eλx = kxk−1 eλx .
2.3. OBECNÉ ŘEŠENÍ HOMOGENNÍ ROVNICE
37
Právě zı́skaný vztah můžeme aplikovat k výpočtu výrazu
(D −λI)2 xk eλx = (D −λI) kxk−1 eλx = k(D −λI) xk−1 eλx = k(k −1)xk−2 eλx .
Tak můžeme pokračovat dále:
(D − λI)3 xk eλx = k(k − 1)(k − 2)xk−3 eλx
až po k-krocı́ch dostaneme
(D − λI)k xk eλx = k! eλx .
V přı́padě pokračovánı́ dostaneme
(D − λI)k+1 xk eλx = k!(D − λI)eλx = k!(λeλx − λeλx ) = 0.
Proto v přı́padě m > k platı́
(D − λI)m tk eλt = 0. 2
Ukážeme, že právě testované funkce tvaru
xk eλx
mohou sloužit jako řešenı́ homogennı́ diferenciálnı́ rovnice.
Obecné řešenı́ homogennı́ rovnice vyjádřené v komplexnı́m
tvaru
Právě dosažený výsledek o tvaru funkcı́, které jsou symbolickým polynomiálnı́m
operátorem anulovány využijeme v následujı́cı́ úvaze. Předpokládejme, že charakteristická rovnice (2.3) má kořeny λj ∈ C, j = 1, 2, . . . , q s násobnostmi mj kde
m1 + m2 + · · · + mq = n. Pak můžeme charakteristický polynom
p(λ) = λn + an−1 λn−1 + · · · + a1 λ + a0 ,
vyjádřit jako součin
p(λ) = (λ − λ1 )m1 (λ − λ2 )m2 . . . (λ − λq )mq .
Potom, na základě vlastnostı́ symbolických diferenciálnı́ch operátorů, můžeme polynomiálnı́ operátor p(D) rozložit podobně
(D − λ1 I)m1 (D − λ2 I)m2 . . . (D − λI )mq y
a diferenciálnı́ rovnici (2.1) lze přepsat ve tvaru
(D − λ1 I)m1 (D − λ2 I)m2 . . . (D − λq I)mq y = 0.
38
KAPITOLA 2. HOMOGENNÍ LDR S KONSTANTNÍMI KOEFICIENTY
Kromě toho můžeme jednotlivé součinitele tohoto součinu zapisovat v libovolném
pořadı́. Pak z Lemmy 1 vyplývá, že každá funkce
xk eλj x ,
(2.10)
kde k = 0, 1, . . . , mj − 1 a j = 1, 2, . . . , q, definuje některé řešenı́ rovnice (2.1).
Obecné řešenı́ rovnice (2.1) je pak definované jako lineárnı́ kombinace takovýchto
funkcı́, proto je taktéž řešenı́m rovnice (2.1). Snadno se dá ověřit, že všechny funkce
definované pomocı́ vztahu (2.10) (tj. celý systém těchto funkcı́ odpovı́dajı́cı́ch všem
hodnotám k = 0, 1, . . . , mj − 1 a j = 1, 2, . . . , q) jsou lineárně nezávislé a jejich
celkový počet je n. Tuto prověrku jsme prováděli jen částečně pro dva význačné
podsystémy tohoto systému funkcı́ (viz Přı́klad 6 a Přı́klad 8). Celkovou prověrku
již provádět nebudeme, i když nenı́ komplikovaná. Zesumarizujeme provedené úvahy
do následujı́cı́ věty. Připomeňme ještě, že výraz (2.11) v této je obecným řešenı́m
rovnice (2.1) podle Věty 5.
Věta 7 (Obecné řešenı́ rovnice (2.1)) Necht’ má charakteristická rovnice (2.3)
kořeny λj ∈ C, j = 1, 2, . . . , q s násobnostmi mj (kde m1 + m2 + · · · + mq = n). Pak
je výraz
y(x) = P1 (x)eλ1 x + P2 (t)eλ2 x + · · · + Pq (x)eλq x ,
(2.11)
kde Pj (x) jsou libovolnými polynomy stupně mj − 1 obecným řešenı́m rovnice (2.1).
Možná vás překvapilo, že se ve vzorci (2.11) nehovořı́ o libovolných konstantách.
Vše je ale v naprostém pořádku. Libovolných konstant je v obecném řešenı́ celkem
n. Jaké k tomuto přı́padu podáte vysvětlenı́?
Přı́klad 12. Najděte obecné řešenı́ lineárnı́ homogennı́ diferenciálnı́ rovnice čtvrtého
řádu
y (4) − 6y (3) + 12y 00 − 8y 0 = 0.
Řešenı́.
(2.12)
Charakteristická rovnice odpovı́dajı́cı́ rovnici (2.12) je
λ4 − 9λ3 + 27λ2 − 27λ = 0.
Snadno se přesvědčı́me, že platı́ rozklad
λ4 − 9λ3 + 27λ2 − 27λ = λ(λ − 3)3
a proto jsou jejı́ kořeny kořeny λ1 = 0 a λ2,3,4 = 3. Podle Věty 7 je obecné řešenı́
rovnice (2.12) dané vzorcem
y(x) = C1 + C2 e3x + C3 xe3x + C4 x2 e3x ,
kde C1 , C2 , C3 a C4 jsou libovolné konstanty.
2.3. OBECNÉ ŘEŠENÍ HOMOGENNÍ ROVNICE
39
Přı́klad 13. Najděte obecné řešenı́ lineárnı́ homogennı́ diferenciálnı́ rovnice čtvrtého
řádu
y (4) − 6y (3) + 12y 00 − 8y 0 = 0.
Řešenı́.
(2.13)
Charakteristická rovnice odpovı́dajı́cı́ rovnici (2.13)
λ4 − 6λ3 + 12λ2 − 8λ = 0,
má kořeny λ1 = 0 a λ2,3,4 = 2. Proto, dle Věty 7, je obecné řešenı́ rovnice (2.13)
dané relacı́
y(x) = C1 + C2 e2x + C3 te2x + C4 x2 e2x ,
kde C1 , C2 , C3 a C4 jsou libovolné konstanty.
Transformace komplexnı́ch řešenı́ homogennı́ rovnice na reálná
řešenı́
Ve Větě 7 byl uveden přesný tvar obecného řešenı́ rovnice (2.1). Často je však
potřebné pracovat pouze s reálnými výrazy. Tento doplňujı́cı́ požadavek Věta 7
nebere do úvahy, protože v jejı́ formulaci je předpoklad, že kořeny charakteristické
rovnice mohou být komplexnı́.
Předpokládali jsem, že koeficienty an−1 , . . . , a1 , a0 jsou reálnými čı́sly. Proto jsou také
koeficienty odpovı́dajı́cı́ charakteristické rovnice (2.3) reálné. Připomeňme známou
vlastnost kořenů polynomiálnı́ch rovnic s konstantnı́mi koeficienty - má-li charakteristická rovnice komplexnı́ kořen, pak je kořenem charakteristické rovnice taktéž
čı́slo komplexně sdružené; má-li charakteristická rovnice násobný komplexnı́ kořen,
pak je kořenem charakteristické rovnice taktéž čı́slo komplexně sdružené se stejnou
násobnostı́. Jinak řečeno, existuje-li q různých kořenů λ1 , λ2 , . . . , λq charakteristické
rovnice (2.3), kde q < n a je-li (pro některé j ∈ {1, 2, . . . , q}) čı́slo
λj = µ + iω
komplexnı́m kořenem násobnosti mj = m, potom pro některý jiný index k ∈
{1, 2, . . . , q}, k 6= j platı́
λk = λj = µ − iω a mk = m.
Těmto kořenům charakteristické rovnice odpovı́dajı́ ve vzorci (2.11) výrazy obsahujı́cı́ komplexnı́ čı́sla:
Pj (x) · eλj x + Pk (x) · eλk x ,
(2.14)
40
KAPITOLA 2. HOMOGENNÍ LDR S KONSTANTNÍMI KOEFICIENTY
kde Pj a Pk jsou polynomy stupně ne vyššı́ho než m − 1. Ukažme postup vedoucı́ k
zı́skánı́ reálných řešenı́. Upravı́me uvedené výrazy pomocı́ Eulerova vzorce. Předtı́m
ho ještě připomeneme - platı́
eλj x = eµx · (cos ωx + i · sin ωx)
a podobně
eλk x = eµx · (cos ωx − i · sin ωx) ,
kde i je tzv. komplexnı́ jednotka (platı́ pro ni i2 = −1). Nynı́ provedeme slibovanou
transformaci:
Pj (x) · eλj x + Pk (x) · eλk x =
Pj (x) · eµx · [cos ωx + i · sin ωx] + Pk (x) · eµx · [cos ωx − i · sin ωx] =
[Pj (x) + Pk (x)] · eµx · cos ωx + i · [Pj (x) − Pk (x)] · eµx · sin ωx) =
Q(x) · eµx · cos ωx + i · R(x) · eµx · sin ωx,
kde Q a R jsou polynomy stupně nejvýše m − 1, definované předpisy
Q(x) := Pj (x) + Pk (x),
R(x) := Pj (x) − Pk (x).
Výraz (2.14) je řešenı́m rovnice (2.1), proto je i ekvivalentnı́ výraz
Q(x) · eµx cos ωx + i · R(x) · eµx sin ωx
(2.15)
jejı́m řešenı́m. Komplexnı́ čı́sla, zapsaná v algebraickém tvaru jsou stejná, majı́li stejné reálné a imaginárnı́ složky. Poslednı́ výraz (2.15) je zapsán v algebraickém
tvaru. Protože je po dosazenı́ do rovnice (2.1) násoben pouze reálnými čı́sly, dospı́váme
k závěru, že řešenı́m rovnice (2.1) bude jak jeho samostatná reálná složka, tak
jeho samostatná imaginárnı́ složka. Proto můžeme komplexnı́ řešenı́ (2.14) nahradit
dvěma reálnými řešenı́mi
Q(x) · eµx · cos ωx a R(t) · eµt · sin ωt.
Větu 7 můžeme přeformulovat takto:
Věta 8 (Konstrukce obecného řešenı́ v reálném tvaru)
a) Každému k-násobnému reálnému kořenu λ charakteristické rovnice (2.3) odpovı́dá
celkem k partikulárnı́ch (a lineárně nezávislých) řešenı́
eλx , xeλx , x2 eλx , . . . , xk−1 eλx .
b) Každé dvojici s-násobných komplexně sdružených kořenů
λ1 = α + β · i, λ2 = α − β · i, α, β ∈ R
2.4. APLIKACE ROVNIC DRUHÉHO ŘÁDU – HARMONICKÉ KMITY
41
charakteristické rovnice (2.3) odpovı́dá celkem 2s partikulárnı́ch (a lineárně nezávislých)
řešenı́ tvaru
eαx cos βx, xeαx cos βx, x2 eαx cos βx, . . . , xs−1 eαx cos βx,
eαx sin βx, xeαx sin βx, x2 eαx sin βx, . . . , xs−1 eαx sin βx.
c) Součet násobnostı́ všech kořenů je roveň stupni n charakteristické rovnice (2.3),
proto je počet všech partikulárnı́ch řešenı́, konstruovaných podle bodů a) a b) roven
n. Obecné řešenı́ homogennı́ rovnice (2.1) je lineárnı́ kombinacı́ všech těchto partikulárnı́ch řešenı́ s n libovolnými koeficienty.
Přı́klad 14. Najděte obecné řešenı́ lineárnı́ homogennı́ diferenciálnı́ rovnice pátého
řádu
y (5) + 2y (4) + 2y 000 + 4y 00 + y 0 + 2y = 0.
Řešenı́.
(2.16)
Nenı́ těžké uhodnout, že jeden kořen charakteristická rovnice
λ5 + 2λ4 + 2λ3 + 4λ2 + λ + 2 = 0
odpovı́dajı́cı́ rovnici (2.16) je λ1 = −2. Rozkladem polynomu na levé straně
dostáváme
λ5 + 2λ4 + 2λ3 + 4λ2 + λ + 2 = (λ + 1)(λ4 + 2λ2 + 1) = (λ + 2)(λ2 + 1)2 .
Rovnice
(λ2 + 1)2 = 0
má kořeny
λ2 = λ3 = i, λ4 = λ5 = −i.
Podle Věty 8 je obecné řešenı́ diferenciálnı́ rovnice (2.16)
y = C1 e−2x + (C2 + C3 x) cos x + (C4 + C5 x) sin x,
kde C1 , C2 , . . . , C5 jsou libovolné konstanty.
2.4
Aplikace rovnic druhého řádu – harmonické
kmity
K důležitým typům rovnic s konstantnı́mi koeficienty patřı́ lineárnı́ rovnice druhého
řádu. Lze jimi popisovat, napřı́klad, kmity pružiny, jednoduché elektrické obvody i
třeba zjednodušený pohyb fyzikálnı́ho kyvadla. Proto se budeme podrobněji zabývat
lineárnı́ rovnicı́ druhého řádu s konstantnı́mi koeficienty tvaru
y 00 + 2ay 0 + b2 y = 0,
(2.17)
42
KAPITOLA 2. HOMOGENNÍ LDR S KONSTANTNÍMI KOEFICIENTY
kde předpokládáme a ≥ 0, b > 0. Tato rovnice uvedené jevy dobře popisuje.
Rovnici (2.17) nazýváme rovnicı́ tzv. lineárnı́ho oscilátoru. Charakteristická rovnice
λ2 + 2aλ + b2 = 0,
(2.18)
odpovı́dajı́cı́ rovnici (2.17), má kořeny
√
√
λ1 = −a + a2 − b2 , λ2 = −a − a2 − b2 .
Proved’me nynı́ diskusi řešenı́ rovnice (2.17).
Přı́pad I: a2 < b2 . Charakteristická rovnice (2.18) má komplexně sdružené kořeny:
√
√
λ1 = −a + i b2 − a2 , λ2 = −a − i b2 − a2 .
Pak je obecné řešenı́ rovnice (2.17) dáno vzorcem
√
√
y(x) = e−ax C1 cos b2 − a2 x + C2 sin b2 − a2 x
kde C1 , C2 jsou libovolné konstanty. V tomto přı́padě řı́káme, že jde o periodické
kmity, které se nazývajı́ podkriticky utlumené nebo slabě tlumené (viz náčrtek 2.1).
Přı́pad II: a2 = b2 . Charakteristické rovnice (2.18) má dvojnásobný reálný kořen
λ = λ1,2 = −a. Obecné řešenı́ rovnice (2.17) je popsáno vzorcem
y(x) = C1 e−ax + C2 xe−ax
nebo
y(x) = e−ax (C1 + C2 x)
kde C1 , C2 jsou libovolné konstanty. V tomto přı́padě jde o aperiodické kmity, které
jsou kriticky tlumené (viz náčrtek 2.2).
Přı́pad III: a2 > b2 . Kořeny charakteristické rovnice (2.18) jsou reálné a různé.
Obecné řešenı́ rovnice (2.17) je
y(x) = C1 eλ1 x + C2 eλ2 x
nebo
y(x) = e−ax C1 e
√
a2 −b2 x
+ C2 e−
√
a2 −b2 x
kde C1 , C2 jsou libovolné konstanty. V tomto přı́padě řı́káme, že jde o aperiodické
kmity, které jsou silně tlumené (viz náčrtek 2.3).
Přı́pad IV: a = 0. Kořeny charakteristické rovnice (2.18) jsou ryze imaginárnı́:
λ1 = ib, λ2 = −ib.
Obecné řešenı́ rovnice (2.17) je
y(x) = C1 cos bx + C2 sin bx
2.4. APLIKACE ROVNIC DRUHÉHO ŘÁDU – HARMONICKÉ KMITY
Obrázek 2.1: Slabě tlumené kmity
Obrázek 2.2: Kriticky tlumené kmity
43
44
KAPITOLA 2. HOMOGENNÍ LDR S KONSTANTNÍMI KOEFICIENTY
Obrázek 2.3: Silně tlumené kmity
Obrázek 2.4: Harmonické kmity
2.4. APLIKACE ROVNIC DRUHÉHO ŘÁDU – HARMONICKÉ KMITY
45
kde C1 , C2 jsou libovolné konstanty. V tomto přı́padě řı́káme, že jde o tzv. harmonický lineárnı́ oscilátor jehož kmity jsou netlumené (viz náčrtek 2.4).
Pro netriviálnı́ řešenı́ C12 + C22 6= 0 upravme poslednı́ vztah takto:

y(x) =
C1
q

C2
C12 + C22  q
cos bx + q
sin bx .
2
2
2
2
C1 + C2
C1 + C2
Kladné čı́slo
A=
q
C12 + C22
se nazývá amplitudou kmitánı́ a úhel φ vyhovujı́cı́ vztahům
C1
sin φ = q
C12
+
C22
,
C2
cos φ = q
2
C1 + C22
nazýváme fázı́ kmitánı́. Čı́slo b nazýváme kruhovou frekvencı́ kmitánı́. Nynı́ můžeme
řešenı́ zapsat ve tvaru
y(x) = A (sin φ · cos bx + cos φ · sin bx)
nebo
y(x) = A sin(bx + φ).
Pan Přı́sný, váš přı́sný průvodce studiem: Hodně zjednodušeně se dá řı́ci,
že kapitola, kterou jste právě prostudovali, vám vytvořila jen určité ,,předmostı́“
pro studium dalšı́ teorie – jen jakýsi ,,odrazový můstek“ pro Váš skok k dalšı́mu
pokořenı́ vyššı́ matematiky (jak se kdysi těmto partiı́m matematiky běžně řı́kalo).
A jak by vás poučil každý elementárnı́ kurz vojenské taktiky (o takové jste byli v
důsledku zrušenı́ vojenských kateder na civilnı́ch vysokých školách ochuzeni), nenı́
radno pouštět se do ,,nepřátelského vnitrozemı́“, nenı́-li řádně zajištěno ,,předmostı́
útoku“.
A zkuste si zaskákat, když ,,odrazový můstek“ je nakřivo nebo nedejbože dokonce
nepružı́.
Proto ještě než přistoupı́te ke studiu dalšı́ kapitoly, která je jakýmsi vyvrcholenı́m
tohoto modulu a těsně navazuje na kapitolu právě prostudovanou, pečlivě si vyřešte
úlohy následujı́cı́ho autotestu.
Autotest:
Určete obecné řešenı́ daných homogennı́ch lineárnı́ch diferenciálnı́ch rovnic s konstantnı́mi koeficienty:
1) y 00 − 4y 0 + 3y = 0,
4) y 000 + y 0 = 0,
7) y (4) + 4y = 0,
2) y 00 + 2y 0 + y = 0,
5) y 000 − 6y 00 + 11y 0 − 6y = 0,
8) y (4) + 8y (2) + 16y = 0,
3) y 00 + 4y = 0,
6) y (4) − y = 0,
9) y (5) + y (3) = 0
46
KAPITOLA 2. HOMOGENNÍ LDR S KONSTANTNÍMI KOEFICIENTY
a jedna malá, taková ,,na vydýchánı́“, nakonec
10) y 0 − 541147607y = 0.
Výsledky:
1 ) y = c1 e3x + c2 e2x
2 ) y = (c1 + c2 x)e−x
3 ) y = c1 cos 2x + c2 sin 2x
4 ) y = c1 + c2 cos x + c3 sin x
5 ) y = c1 ex + c2 e2x + c3 e3x
6 ) y = c1 ex + c2 e−x + c3 cos x + c4 sin x
7 ) y = (c1 ex + c2 e−x ) cos x + (c3 ex + c4 e−x ) sin x
8 ) y = (c1 + c3 x) cos 2x + (c2 + c4 x) sin 2x
9 ) y = c1 + c2 x + c3 x2 + c4 cos x + c5 sin x
10) y = ce541147607x
Pan S., ikona nové doby, který tady ale nemá vůbec co dělat: Pokud se
Vám předchozı́ přı́klady lı́bily, volejte na brněnské telefonnı́ čı́slo uvedené v indexu
v poslednı́m přı́kladu (s vypuštěnı́m koncového x) a chtějte pana Jana.
A pokud se nelı́bily, tak si trhněte...
Chvilka trapného ticha.
Jan Amos, všemi milený a rád vı́taný nejenom na stránkách této učebnı́
opory, se který jsme se potkali už v úvodu předchozı́ho modulu: Já pamatuju třicetiletou válku – to se tenkrát soldateska nechovala zrovna vychovaně,
a zažil jsem už kde co, ale pouštět taková individua do studijnı́ch opor, to je teda
skandál! To ani za Habsburka nebylo! Kde je pořádková služba!? A co pravı́ Průvodci,
aby dohlédli na pořádek a zabránili neoprávněnému pronikánı́?! Hanba!!
Dalšı́, poněkud kratšı́ chvilka ticha.
Pan Hodný, hodný průvodce studiem této učebnı́ opory: Vážený Jene
Amosi, prosı́m uklidněte se. Osobně a i jménem pana Přı́sného slibuji, že bude nastolen pořádek, aby už k žádnému dalšı́mu neoprávněnému vniknutı́ nedošlo.
Navı́c si dávám předsevzetı́, že se pokusı́m napravit pana S. Ale já s nı́m promluvı́m soukromě a věřı́m, že když se mi podařı́ ho nasměrovat k nějaké ušlechtilejšı́
činnosti, stane se i z něj řádný člen lidské společnosti, který nebude obtěžovat své
okolı́ vulgárnı́m chovánı́m.
Silně věřı́m, že právě já mám dost trpělivosti a sil ke splněnı́ tohoto jistě nelehkého
úkolu. Jen si počkejte na výsledek.
Kapitola 3
Nehomogennı́ lineárnı́ diferenciálnı́
rovnice. Stanovenı́ partikulárnı́ho
řešenı́
Předběžné cı́le studia této kapitoly, motivačnı́ poznámky:
O nehomogennı́ lineárnı́ diferenciálnı́ rovnici n-tého řádu jsme již diskutovali v Kapitole 1. Tam jsme uvedli poznatek o tom, z čeho se skládá jejı́ obecné řešenı́. Vı́me
(podı́vejte se na zněnı́ Věty 6), že obecné řešenı́ lineárnı́ nehomogennı́ rovnice n-tého
řádu je rovno součtu obecného řešenı́ asociované homogennı́ rovnice a některého
partikulárnı́ho řešenı́ nehomogennı́ rovnice. Vedeme-li opět debatu o nehomogennı́
rovnici, má to tento důvod: je možné najı́t jejı́ partikulárnı́ rešenı́? To nenı́ jednoduchá
otázka. Ukazuje se, že diskutovat o nalezenı́ partikulárnı́ch řešenı́ nehomogennı́ch
rovnic nenı́ možné bez toho, aniž bychom znali vlastnosti obecného řešenı́ asociované
homogennı́ rovnice. Můžeme to vyjádřit ještě výstižněji: tvar partikulárnı́ho řešenı́
závisı́ nejen na tvaru pravé strany rovnice, ale je podmı́něn i tvarem obecného řešenı́
přidružené homogennı́ rovnice.
V této kapitole se budeme věnovat postupům, jak partikulárnı́ řešenı́ určit. Jak
jsme již naznačili, bude přitom potřeba znát, jak vypadá obecné řešenı́ asociované
homogennı́ rovnice nebo vědět o tomto obecném řešenı́ některé informace, které jsou
vlastně jejı́mu sestavenı́ ekvivalentnı́.
Vysvětlı́me dvě nejznámějšı́ metody sestavenı́ partikulárnı́ho řešenı́ lineárnı́ nehomogennı́ diferenciálnı́ rovnice n-tého řádu. Jako prvnı́ bude vyložena tzv. metoda
odhadu (nebo též metoda neurčitých koeficientů). Tuto metodu můžeme použı́t
jen tehdy jestliže má pravá strana nehomogennı́ rovnice speciálnı́ tvar (kombinace
polynomů, exponenciál, sinů a kosinů) a je-li přidružená homogennı́ rovnice rovnicı́
s konstantnı́mi koeficienty. Pak můžeme funkci, která bude partikulárnı́m řešenı́m
,,odhadnout“ jako některou funkci podobného typu jako byla pravá strana a to s
přesnostı́ do koeficientů jistých polynomů. Tyto koeficienty je potom nutno dourčit
dosazenı́m předpokládaného tvaru partikulárnı́ho řešenı́ do výchozı́ nehomogennı́
47
48
KAPITOLA 3. PARTIKULÁRNÍHO ŘEŠENÍ NEHOMOGENNÍ LDR
rovnice a porovnánı́m koeficientů, kterými jsou násobeny stejné typy funkcı́.
Druhá metoda je tzv. metoda variace konstant. Jde o metodu univerzálnı́ v tom
smyslu, že pokud známe obecné řešenı́ asociované homogennı́ rovnice (může to být
obecná homogennı́ rovnice nikoliv s nutně konstantnı́mi koeficienty), nalezneme partikulárnı́ řešenı́ nehomogennı́ rovnice v přı́padě jakkoliv zadané pravé strany nehomogennı́ rovnice. Myšlenka této metody je ve stručnosti tato - partikulárnı́ řešenı́
nehomogennı́ rovnice lze najı́t ve tvaru, který je formálně podobný obecnému řešenı́
homogennı́ rovnice, a který vzniká náhradou libovolných konstant v obecném řešenı́
vhodnými funkcemi. Naše úvahy se v této kapitole vztahujı́ k určitému intervalu I.
Po prostudovánı́ této kapitoly by každý měl:
• umět se efektivně rozhodnout, kterou metodu pro hledánı́ partikulárnı́ho řešenı́
nehomogennı́ lineárnı́ diferenciálnı́ rovnice s konstantnı́mi koeficienty zvolit;
• následně takové partikulárnı́ řešenı́ nehomogennı́ LDR s konstantnı́mi koeficienty najı́t.
3.1
Určenı́ partikulárnı́ho řešenı́ nehomogennı́
lineárnı́ diferenciálnı́ rovnice metodou odhadu
Našı́m cı́lem bude určit partikulárnı́ řešenı́ nehomogennı́ lineárnı́ diferenciálnı́ rovnice
n-tého řádu tvaru
y (n) + an−1 y (n−1) + · · · + a1 y 0 + a0 y = g(x),
(3.1)
kde an−1 , . . . , a1 , a0 jsou konstanty za předpokladu, že pravá strana g(x) má speciálnı́
předepsaný tvar, který za chvı́li uvedeme. Vı́me, že z Věty 6 vyplývá, že obecné řešenı́
rovnice (3.1) je rovné součtu obecného řešenı́ přidružené homogennı́ rovnice
y (n) + an−1 y (n−1) + · · · + a1 y 0 + a0 y = 0
(3.2)
a některého partikulárnı́ho řešenı́ nehomogennı́ rovnice. Postup konstrukce obecného
řešenı́ přidružené homogennı́ rovnice s konstantnı́mi koeficienty byl vyložen v Kapitole 2. Informace o tomto obecném řešenı́ homogennı́ rovnice nám budou užitečné pro
nalezenı́ partikulárnı́ řešenı́ nehomogennı́ rovnice. Nı́že uvedená metoda se nazývá
metodou odhadu nebo též metodou neurčitých koeficientů. Některé učebnice také
pı́šı́ o zvláštnı́ pravé straně. Jejı́ použitı́ je možné jen v přı́padě, že pravá strana
rovnice (3.1) má speciálnı́ tvar. Naformulujeme tvrzenı́ o tom, že partikulárnı́ řešenı́
má jistý a dosti konkrétnı́ tvar. Důkaz tohoto tvrzenı́ nebudeme uvádět. Nebylo
by však obtı́žné ho provést, protože důkaz tvrzenı́, že jisté funkce mohou být partikulárnı́mi řešenı́mi lze provést s pomocı́ symbolických polynomiálnı́ch operátorů
podobným způsobem, jakým jsme v části 2.3 (viz Lemma 1) prověřovali, že funkce
uvedených typů jsou řešenı́mi homogennı́ rovnice.
3.1. METODA ODHADU
49
Věta o metodě odhadu
Použitı́ metoda odhadu je založena na následujı́cı́ větě.
Věta 9 (Metoda odhadu) Předpokládejme, že pravá strana rovnice (3.1) má tvar
i
h
g(x) = e αx · Ps1 (x) cos βx + Pm2 (x) sin βx ,
(3.3)
kde Ps1 (x) a Pm2 (x) jsou polynomy stupňů s a m. Potom má partikulárnı́ řešenı́
rovnice (3.1) (s přesnostı́ do koeficientů polynomů) tvar
h
i
yp (x) = xk e αx · Rr1 (x) cos βx + Rr2 (x) sin βx ,
kde Rr1 (x) a Rr2 (x) jsou polynomy stupňů nejvı́ce r = max{s, m}. Čı́slo k je rovné
nule, nenı́-li výraz α + i · β kořenem charakteristické rovnice asociované homogennı́
rovnice. V opačném přı́padě udává čı́slo k násobnost tohoto kořene.
Poznámka 2. Koeficienty polynomů Rr1 (x) a Rr2 (x) lze určit přesně dosazenı́m
tvaru partikulárnı́ho řešenı́ yp (x) do rovnice (3.1) a porovnánı́m koeficientů při
stejných funkcionálnı́ch výrazech. Takový je praktický postup přesného ,,dourčenı́“.
Jak již bylo uvedeno, v přı́padě, že pravá strana g(x) rovnice (3.1) nemá uvedený
tvar, metoda odhadu nenı́ funkčnı́. V takovém přı́padě lze užı́t univerzálnı́ metodu
- metodu varice konstant, kterou uvedeme v části 3.2.
Ilustrace metody odhadu
Ukážeme na přı́kladech, jak lze metodu odhadu použı́t.
Přı́klad 15. Nalezněte řešenı́ počátečnı́ úlohy
(
y 00 − 2y 0 + y = 2 − x,
y(0) = 3, y 0 (0) = 6.
(3.4)
Řešenı́. Pravá strana rovnice je polynomem prvnı́ho stupně. Je tedy funkcı́, definovanou na celém intervalu I = R. Proto zde bude definováno také řešenı́ počátečnı́
úlohy (3.4). Řešenı́ úlohy najdeme ve třech krocı́ch:
a) Prvnı́ krok spočı́vá v nalezenı́ obecného řešenı́ asociované homogennı́ rovnice
y 00 − 2y 0 + y = 0.
Charakteristická rovnice má tvar
λ2 − 2λ + 1 = 0
a jejı́ kořeny jsou
λ1 = λ2 = 1.
50
KAPITOLA 3. PARTIKULÁRNÍHO ŘEŠENÍ NEHOMOGENNÍ LDR
Obecné řešenı́ asociované homogennı́ rovnice je (podle Věty 8) určeno tvarem
y = (C1 + C2 x)ex ,
kde C1 a C2 jsou libovolné konstanty.
b) Ve druhém kroku najdeme partikulárnı́ řešenı́ nehomogennı́ rovnice. Snadno lze
ověřit, že pravá strana uvažované rovnice má tvar (3.3), uvedený ve Větě 9 pro
α = 0, β = 0, P11 (x) = −x + 2.
Čı́slo α + i · β = 0 nenı́ kořenem charakteristické rovnice. Proto budeme hledat
partikulárnı́ řešenı́ ve tvaru
yp (x) = x0 e0·x [(ax + b) cos(0 · x) + R2 (x) sin(0 · x)] = ax + b
kde a a b jsou vhodné konstanty. Můžeme je najı́t dosazenı́m předpokládaného partikulárnı́ho řešenı́ yp (x) do výchozı́ nehomogennı́ diferenciálnı́ rovnice. Dostáváme
yp00 − 2yp0 + yp = −2a + ax + b = 2 − x,
odkud a = −1 a b = 0. Po dosazenı́ vidı́me, že partikulárnı́ řešenı́ je určené vztahem
yp (t) = −x.
c) Ve třetı́m a poslednı́m kroku sestavı́me obecné řešenı́ výchozı́ nehomogennı́ rovnice
a zvolı́me hodnoty libovolných konstant tak, abychom obdrželi řešenı́, vyhovujı́cı́
daným počátečnı́m podmı́nkám. Obecným řešenı́m asociované nehomogennı́ rovnice
je funkce
y(x) = (C1 + C2 x)ex − x,
kde C1 a C2 jsou libovolné konstanty. Určeme je tak, aby partikulárnı́ řešenı́ vyhovovalo počátečnı́m podmı́nkám. Dosazenı́ počátečnı́ch podmı́nek do nalezeného řešenı́
a do jeho derivace
y 0 (x) = C2 ex + (C1 + C2 x)ex − 1
vede ke vztahům
3 = C1 ,
6 = C2 + C1 − 1.
Tento systém má řešenı́ C1 = 3, C2 = 4. Hledané řešenı́ počátečnı́ úlohy je
y(t) = (3 + 4x)ex − x.
Přı́klad 16. Najděte obecné řešenı́ nehomogennı́ rovnice
y 00 + y = x cos x + sin x.
(3.5)
3.1. METODA ODHADU
51
Řešenı́. I v tomto přı́kladu je pravá strana funkcı́, definovanou na celém intervalu
I = R. Na tomto intervalu bude určeno také obecné řešenı́ rovnice (3.5). Úlohu
vyřešı́me ve dvou krocı́ch:
a) Prvnı́ krok opět spočı́vá v nalezenı́ obecného řešenı́ asociované homogennı́ rovnice
y 00 + y = 0.
Charakteristická rovnice je tvaru
λ2 + 1 = 0
a má kořeny
λ1,2 = ±i.
Obecné řešenı́ asociované homogennı́ rovnice určı́me (podle Věty 8) jako
y = C1 cos x + C2 sin x,
kde C1 a C2 jsou libovolné konstanty.
b) Druhý krok spočı́vá v hledánı́ partikulárnı́ řešenı́ nehomogennı́ rovnice. Snadno
lze ověřit, že pravá strana uvažované rovnice má tvar (3.3), uvedený ve Větě 9 pro
α = 0, β = 1, P11 (x) = x, P02 (x) = 1.
Čı́slo α + i · β = i je kořenem charakteristické rovnice. Proto budeme hledat partikulárnı́ řešenı́ ve tvaru
yp (x) = xe0·x [(ax + b) cos x + (cx + d) sin x)] = (ax2 + bx) cos x + (cx2 + dx) sin x,
kde a, b, c a d jsou vhodné konstanty. Najdeme je dosazenı́m předpokládaného partikulárnı́ho řešenı́ yp (x) do výchozı́ nehomogennı́ diferenciálnı́ rovnice. Po předběžném
pomocném výpočtu
yp0 (x) = (2ax + b) cos x + (2cx + d) sin x − (ax2 + bx) sin x + (cx2 + dx) cos x =
cx2 + (d + 2a)x + b cos x + −ax2 + (−b + 2c)x + d sin x
a
yp00 (x) = (2cx + d + 2a) cos x + (−2ax − b + 2c) sin x −
cx2 + (d + 2a)x + b sin x + −ax2 + (−b + 2c)x + d cos x =
−ax2 − bx + 4cx + 2d + 2a cos x + −cx2 − 4ax − dx + 2c − 2b sin x
dostáváme
yp00 + yp = (4cx + 2d + 2a) cos x + (−4ax + 2c − 2b) sin x = x cos x + sin x.
Porovnánı́m koeficientů při stejných funkcı́ch vede k hodnotám koeficientů
1
1
1
a = 0, b = − , c = , d = .
4
4
2
Obecným řešenı́m nehomogennı́ rovnice je funkce
1
1 2
y(x) = C1 cos x + C2 sin x − x cos x +
x + x sin x,
4
4
kde C1 a C2 jsou libovolné konstanty.
52
KAPITOLA 3. PARTIKULÁRNÍHO ŘEŠENÍ NEHOMOGENNÍ LDR
Vznik rezonance
Využijeme metody odhadu k objasněnı́ matematické podstaty jevu, který nazýváme
rezonance. Hovořili jsme o nı́ v úvodu prvnı́ modulu – vzpomeňte si na obrázky
pochodujı́cı́ho vojska. Také jsme se zmı́nili o tom, co se může stát, pokud rezonance
vznikne.
Vztah tohoto jevu a stavebnictvı́ je velmi úzký – kmity konstrukcı́, desek, výškových
budov – to jsou jen některé přı́klady, kde k tomuto jevu může dojı́t.
V části 2.4 na straně 41 jsme vedli diskuzi o rovnici s konstantnı́mi koeficienty (2.17),
která má bohaté uplatněnı́ v různých disciplı́nách. Tuto rovnici jsme nesestavovali,
i když to nenı́ obtı́žné. Napřı́klad, při popisu kmitů závažı́ (hmotného bodu), upevněného na pružině je využit druhý Newtonův zákon. Pokud ve svých úvahách
zanedbáme třenı́, potom má rovnice popisujı́cı́ kmity závažı́ tvar rovnice (2.17), kde
a = 0, tj. rovnice má tvar
y 00 + b2 y = 0.
(3.6)
Jako y je značena odchylka závažı́ od některého zvoleného počátku souřadnic. Rovnice (3.6)
byla v části (2.4) vyřešena a jejı́ řešenı́ mělo tvar
y(x) = C1 cos bx + C2 sin bx
(3.7)
kde C1 a C2 jsou libovolné konstanty. Vidı́me, že kmity jsou periodické s periodou
2π/b. Předpokládejme, že na pružinu působı́ nějaká (nezanedbatelná) periodická
vnějšı́ sı́la s periodou 2π/ϕ popsaná vztahem
F (x) = F0 sin ϕx,
kde F0 je jejı́ amplituda. Rovnice, popisujı́cı́ pohyb závažı́ na pružině má v takovém
přı́padě tvar
y 00 + b2 y = F0 sin ϕx.
(3.8)
Najděme obecné řešenı́ rovnice (3.8). Obecné řešenı́ asociované homogennı́ rovnice je
popsáno vztahem (3.7). Proto začneme sestavovat partikulárnı́ řešenı́ nehomogennı́
rovnice. Charakteristická rovnice odpovı́dajı́cı́ rovnici (3.6):
λ2 + b = 0
má kořeny
λ1,2 = ±b.
Proto se, v souladu s návodem daným ve Větě 9, budeme zabývat dvěma přı́pady:
b 6= ϕ a b = ϕ.
Otázka pro vás:
Dokážete uspokojivě zdůvodnit, proč nelze hledánı́ omezit jen na jeden přı́pad?
3.1. METODA ODHADU
53
a) Přı́pad b 6= ϕ. Tento přı́pad značı́, že perioda vlastnı́ch (nebo též vnitřnı́ch)
kmitů závažı́ na pružině (čı́slo 2π/b) je různá od periody vnějšı́ sı́ly (tj. čı́sla 2π/ϕ).
Partikulárnı́ řešenı́ hledáme ve tvaru
yp (x) = M cos ϕx + N sin ϕx,
kde musı́me určit konstanty M a N . Protože
yp0 (x) = −M ϕ sin ϕx + N ϕ cos ϕx,
yp00 (x) = −M ϕ2 cos ϕx − N ϕ2 sin ϕx,
dosazenı́ partikulárnı́ho řešenı́ do rovnice (3.8) dává
M (−ϕ2 + b2 ) cos ϕx + N (−ϕ2 + b2 ) sin ϕx = F0 sin ϕx.
Odtud vyplývá:
M = 0, N =
F0
.
−ϕ2 + b2
Partikulárnı́ řešenı́ má tvar
yp (x) =
F0
sin ϕx.
−ϕ2 + b2
Obecné řešenı́ rovnice (3.8) je popsáno vzorcem
y(x) = C1 cos bx + C2 sin bx +
F0
sin ϕx,
−ϕ2 + b2
(3.9)
kde C1 a C2 jsou libovolné konstanty. Toto řešenı́ je rovno součtu dvou typů periodických funkcı́ s různými periodami. Graf partikulárnı́ho řešenı́ yp (x) je na náčrtku
(viz obr. 3.1)
b) Přı́pad b = ϕ. Tento přı́pad značı́, že perioda vlastnı́ch kmitů závažı́ na pružině
je stejná s periodou vnějšı́ sı́ly. Tento přı́pad popisuje naprosto jiný mechanismus
kmitů. Protože v tomto přı́padě je čı́slo ϕ kořenem charakteristické rovnice, hledáme
partikulárnı́ řešenı́ ve tvaru
yp (x) = M x cos bx + N x sin bx,
kde určı́me konstanty M a N . Protože
yp0 (x) =M cos bx + N sin bx − M bx sin bx + N bx cos bx,
yp00 (x) = − M b sin bx + N b cos bx − M b sin bx + N b cos bx
− M b2 x cos bx − N b2 x sin bx =
2N b cos bx − 2M b sin bx − M b2 x cos bx − N b2 x sin bx,
dosazenı́ partikulárnı́ho řešenı́ do rovnice (3.8) dává
2N b cos bx − 2M b sin bx − M b2 x cos bx − N b2 x sin bx +
b2 (M x cos bx + N x sin bx) = F0 sin bx.
54
KAPITOLA 3. PARTIKULÁRNÍHO ŘEŠENÍ NEHOMOGENNÍ LDR
Odtud vyplývá:
2N b cos bx − 2M b sin bx = F0 sin bx
a proto
N = 0, M = −
F0
.
2b
Partikulárnı́ řešenı́ má tvar
yp (x) = −
F0
x cos bx.
2b
Obecné řešenı́ rovnice (3.8) je nynı́ popsáno vztahem
y(x) = C1 cos bx + C2 sin bx −
F0
x cos bx,
2b
(3.10)
kde C1 a C2 jsou libovolné konstanty. Graf partikulárnı́ho řešenı́ yp (x) je na náčrtku
(viz obr. 3.1)
Význačnou změnou, která nastala ve vzorci (3.10) vzhledem k předchozı́mu obecnému
řešenı́ (3.9), je přı́tomnost výrazu yp (x) s neohraničenou amplitudou.
Interpretujeme-li x jako čas, potom s jeho růstem (tj. pro x → ∞) roste amplituda
výrazu do nekonečna. Proto popis kmitů závažı́ na pružině již nenı́ periodickým
výrazem. Vnějšı́ sı́la, která působı́ na závažı́ má v tomto přı́padě stejnou periodu
jakou majı́ vlastnı́ kmity závažı́ na pružině. Popsaná situace se nazývá rezonancı́.
Docházı́ k stále většı́mu rozkmitu a nakonec až k destrukci systému, což jste si jistě
schopni barvitě (i když možná někteřı́ méně nadanı́ jen černobı́le:-) představit.
Užitı́m metody odhadu určete obecné řešenı́ daných diferenciálnı́ch rovnic:
1) y 00 + y = sin x
3) y 00 + y = sin x + cos 2x
2) y 00 + y = cos 2x
4) y 00 − 3y 0 + 2y = x + 1 − e−2x
Výsledky:
1) y = c1 cos x + c2 sin x − 12 x cos x; 2) y = c1 cos x + c2 sin x − 13 cos 2x;
4) y = c1 ex + c2 e2x −
1 −2x
e
12
+ 21 x + 45 .
3.1. METODA ODHADU
Obrázek 3.1: Ilustrace ke vzniku rezonance
55
56
3.2
KAPITOLA 3. PARTIKULÁRNÍHO ŘEŠENÍ NEHOMOGENNÍ LDR
Určenı́ partikulárnı́ho řešenı́ nehomogennı́
lineárnı́ diferenciálnı́ rovnice metodou variace
konstant
Budeme se zabývat nehomogennı́ lineárnı́ diferenciálnı́ rovnici n-tého řádu (1.2).
y (n) + an−1 (x)y (n−1) + · · · + a1 (x)y 0 + a0 (x)y = g(x).
Ukážeme, jak lze najı́t jejı́ partikulárnı́ řešenı́ za předpokladu, že známe obecné
řešenı́ asociované homogennı́ lineárnı́ diferenciálnı́ rovnice (1.3)
y (n) + an−1 (x)y (n−1) + · · · + a1 (x)y 0 + a0 (x)y = 0.
Předpokládejme, že systém funkcı́
y1 (x), y2 (x), . . . , yn (x)
je fundamentálnı́m systémem řešenı́ asociované homogennı́ rovnice. Jejı́ obecné řešenı́
má potom tvar
y(x) = C1 y1 (x) + C2 y2 (x) + · · · + Cn yn (x),
kde C1 , C2 , . . . , Cn jsou libovolné konstanty. Pokusı́me se najı́t partikulárnı́ řešenı́
y = yp (x) rovnice (1.2) ve tvaru, který připomı́ná obecné řešenı́ asociované rovnice:
yp (x) = C1 (x)y1 (x) + C2 (x)y2 (x) + · · · + Cn (x)yn (x),
(3.11)
C1 (x), C2 (x), . . . , Cn (x)
(3.12)
kde
jsou prozatı́m neznámé funkce. Dalšı́ postup má svým cı́lem určit systém funkcı́ (3.12).
Přitom budeme požadovat, aby některé dalšı́ vlastnosti výrazu (3.11) byly analogické
vlastnostem obecného řešenı́ homogennı́ rovnice. Při vysvětlenı́ podstaty se omezı́me
na přı́pad rovnic druhého řádu.
Variace konstant v přı́padě rovnic druhého řádu
Uvažujme rovnici
y 00 + a1 (x)y 0 + a0 (x)y = g(x).
Předpokládejme, že systém funkcı́ y1 (x), y2 (x) je fundamentálnı́m systémem řešenı́
asociované homogennı́ rovnice.
y 00 + a1 (x)y 0 + a0 (x)y = 0.
3.2. METODA VARIACE KONSTANT
57
Jejı́ obecné řešenı́ má potom tvar
y(x) = C1 y1 (x) + C2 y2 (x),
kde C1 , C2 jsou libovolné konstanty. Pokusı́me se najı́t partikulárnı́ řešenı́ y = yp (x)
nehomogennı́ rovnice ve tvaru
yp (x) = C1 (x)y1 (x) + C2 (x)y2 (x),
(3.13)
C1 (x) a C2 (x)
(3.14)
kde
jsou prozatı́m neznámé funkce. Najděme prvnı́ derivaci výrazu (3.13). Přitom budeme
předpokládat, že výsledek bude mı́t formálnı́ tvar stejný, jako kdyby se jednalo o
derivaci obecného řešenı́ homogennı́ rovnice, tj., jako kdyby funkce C1 (x) a C2 (x)
byly konstantami. Tento předpoklad vede k požadavku, aby byla označená část
výsledku rovna nule:
yp0 (x) = C1 (x)y10 (x) + C2 (x)y20 (x) + C10 (x)y1 (x) + C20 (x)y2 (x) =
|
{z
=0
}
C1 (x)y10 (x) + C2 (x)y20 (x).
Najdeme druhou derivaci. Na rozdı́l od předchozı́ho výpočtu budeme předpokládat,
že označená část výsledku je rovna pravé straně nehomogennı́ rovnice, tj. funkci
g(x):
yp00 (x) = C1 (x)y100 (x) + C2 (x)y200 (x) + C10 (x)y10 (x) + C20 (x)y20 (x) =
|
{z
=g(x)
}
C1 (x)y100 (x) + C2 (x)y200 (x) + g(x).
Napišme oba předpoklady, které jsme učinili. Prvnı́ derivace hledaných funkcı́ C1 (x)
a C2 (x) musı́ vyhovovat systému rovnic:
(
C10 (x)y1 (x) + C20 (x)y2 (x) = 0,
C10 (x)y10 (x) + C20 (x)y20 (x) = g(x).
(3.15)
Systém (3.15) je systémem algebraických rovnic vzhledem k neznámým derivacı́m
C10 (x) a C20 (x). Determinant tohoto systému je wronskián
W (x) = W (y1 (x), y2 (x)),
který je na uvažovaném intervalu I nenulový. Proto má systém (3.15) jediné řešenı́.
Z principiálnı́ho hlediska nenı́ podstatné znát přesný tvar tohoto řešenı́ (které může
být snadno zapsáno s pomocı́ determinantů). Spokojı́me se jen s konstatovánı́m, že
toto řešenı́ může být zapsané ve tvaru
(
C10 (x) = ω1 (x),
C20 (x) = ω2 (x),
(3.16)
58
KAPITOLA 3. PARTIKULÁRNÍHO ŘEŠENÍ NEHOMOGENNÍ LDR
kde funkce ω1 (x) a ω2 (x) jsou spojitými funkcemi na intervalu I. Integracı́ jednotlivých vztahů, uvedených v (3.16) dostáváme hledané funkce C1 (x), C2 (x), vyhovujı́cı́ všem zapsaným požadavkům. Jejich dosazenı́m do předpokládaného tvaru
partikulárnı́ho řešenı́ (3.11) dostáváme
yp (x) = y1 (x)
Z
ω1 (x)dx + y2 (x)
Z
ω2 (x)dx.
O tom, že tento výraz je skutečně partikulárnı́m řešenı́m nehomogennı́ rovnice svědčı́
způsob jeho konstrukce. Můžeme se však zkouškou přı́mo přesvědčit o správnosti
tohoto tvrzenı́. Poznamenejme ještě, že v přı́padě, když budeme při integraci funkcı́
ω1 (x) a ω2 (x) zapisovat i přı́slušné libovolné integračnı́ konstanty, dostaneme po
dosazenı́ do předpokládaného tvaru partikulárnı́ho řešenı́ (3.13) obecné řešenı́ dané
nehomogennı́ rovnice.
Modifikace metody variace konstant v přı́padě rovnic libovolného řádu
Výše uvedený postup zůstane stejný. Vypišme jen tvar systému, který je analogický
uvedenému systému (3.15). Rovnice, kterým musı́ vyhovovat neznámé funkce (3.14),
jsou
 0
C1 (x)y1 (x)





C 0 (x)y10 (x)


 1
+ · · · + Cn0 (x)yn (x)
+ · · · + Cn0 (x)yn0 (x)
= 0,
= 0,
...


(n−2)


C10 (x)y1
(x) + · · · + Cn0 (x)yn(n−2) (x) = 0,



 0
(n−1)
0
(n−1)
C1 (x)y1
(x) + · · · + Cn (x)yn
(x) = g(x).
Dále postupujeme obdobně jako v přı́padě rovnic druhého řádu. Ukažme použitı́
metody variace konstant na přı́kladu.
Přı́klad 17. Najděte obecné řešenı́ rovnice
y 00 − 2y 0 + y =
ex
.
x2
(3.17)
Řešenı́. Řešenı́ rovnice (3.17) bude definované na množině I = R\{0} (zdůvodněte
proč). Postup řešenı́ rozdělı́me do dvou kroků:
a) Nejprve najdeme obecné řešenı́ přidružené homogennı́ rovnice
y 00 − 2y 0 + y = 0.
Odpovı́dajı́cı́ charakteristická rovnice
λ2 − 2λ + 1 = 0
3.2. METODA VARIACE KONSTANT
59
má dvojnásobný kořen λ1,2 = 1 a obecné řešenı́ je
y = C1 ex + C2 xex ,
kde C1 a C2 jsou libovolné konstanty.
b) Partikulárnı́ řešenı́ nehomogennı́ rovnice hledáme v souladu s metodou variace
konstant ve tvaru
yp (x) = C1 (x)ex + C2 (x)xex .
Zapišme přı́slušný systém (3.15):
C10 (x)ex + C20 (x)xex
= 0,
C10 (x)ex + C20 (x)(1 + x)ex =
ex
.
x2
Po úpravě (krácenı́ výrazem et ) dostaneme
C10 (x) + C20 (x)x
= 0,
1
C10 (x) + C20 (x)(1 + x) = 2 ,
x
odkud
C10 (x) = −1, C20 (x) =
1
x2
a po integraci
1
C1 (x) = −x, C2 (x) = − .
x
Partikulárnı́ řešenı́ má tvar
yp (x) = −xex −
1 x
·e .
x
Obecné řešenı́ rovnice (3.17) je
y = C1 ex + C2 xex − xex −
1 x
·e .
x
Toto obecné řešenı́ můžeme upravit takto (na základě vašich znalostı́ provedenou
úpravu zdůvodněte)
1
y = D1 ex + D2 xex − · ex ,
x
kde D1 a D2 jsou libovolné konstanty.
Cvičenı́:
Užitı́m metody variace konstant určete obecné řešenı́ daných diferenciálnı́ch rovnic:
60
KAPITOLA 3. PARTIKULÁRNÍHO ŘEŠENÍ NEHOMOGENNÍ LDR
y 00 + y = sin x
h
y = c1 cos x + c2 sin x − 21 x cos x ,
b) y 00 + y = tan x
h
cos x
y = c1 cos x + c2 sin x + cos ln 1+sin
,
x
a)
c)
i
i
y 00 + y = sin x + tan x
d) y 00 − 2y 0 + y =
ex
x
[y = (c1 + c2 x + x ln x)ex ].
Pánové Hodný a Přı́sný, tentokrát netradičně spolu:
Zvládli jste poslednı́ kapitolu tohoto soumodulı́ o diferenciálnı́ch rovnicı́ch, gratulujeme! Věřı́me, že vědomosti, které jste studiem těchto textů zı́skali, někdy v budoucnu
uplatnı́te ve Vašı́ inženýrské praxi. A na závěr, jako dárek na rozloučenou, malý autotest.
Autotest:
Vhodnými metodami nalezněte obecné přı́padně partikulárnı́ řešenı́ daných diferenciálnı́ch rovnic:
a) y 00 − 4y = 8x3
[y = c1 e2x + c2 e−2x − 3x − 2x3 ],
h
b) y 00 + y 0 = x
c)
y 00 + y 0 =
[y = c1 + c2 e−x + x − (1 + e−x ) · ln(1 + ex )],
1
1+ex
d) y 00 + y 0 = x +
i
y = c1 + c2 e−x + 21 x2 − x ,
1
.
1+ex
Literatura
[1] Aramanovič, I.G., Lunc, G.L., Elsgolc, L.E.: Funkcie komplexnej premennej,
operátorový počet, teria stability, Alfa, Bratislava, SNTL Praha, 1973.
[2] Borůvka, O.: Diferenciálne rovnice, SPN Bratislava, 1961.
[3] Diblı́k, J., Růžičková,M.: Positive solutions of singular initial problems for systems of ordinary differential equations, Studies of the University of Žilina, Mathematical Series, vol. 17 (2003), 47–60.
[4] Driver, R.D.: Ordinary and Delay Differential Equations, Springer-Verlag New
York Inc., 1977.
[5] Greguš, M., Švec, M., Šeda, V.: Obyčajné diferenciálne rovnice, Alfa, Bratislava,
SNTL, Praha, 1985.
[6] Hartman, P.: Ordinary Differential Equations, Second Edition, Birkhäuser, 1982.
[7] Hairer, E., Norsett, S.P., Wanner, G.: Solving Ordinary Differential Equations
I, Springer-Verlag, 1987.
[8] Havelka, J., Čermáková, H.: Matematika II4 , Obyčejné diferenciálnı́ rovnice,
Akademické nakladatelstvı́ CERM, s.r.o. Brno, 1997.
[9] Hronec, J.: Diferenciálne rovnice I, Slovenská akadémia vied, Bratislava, 1956.
[10] Chudý, J.: Determinanty a matice, SNTL, Práce, 1971.
[11] Jirásek, F., Benda, J., Čipera, S., Vacek, M.: Sbı́rka řešených přı́kladů z
matematiky III, SNTL, Praha, 1989.
[12] Kalas, J., Ráb, M.: Obyčejné diferenciálnı́ rovnice, MU Brno, PřF, 2001.
[13] Kamke, E.: Lsungsmethoden und Lsungen. I. Gewhnliche Differentialgleichungen.,
9. Aufl. Unvernd. Nachdr. d. 8., durchges. Aufl. (German) Stuttgart: B.G. Teubner.
XXVI, 1977
[14] Kluvánek, I., Mišı́k, L., Švec, M.: Matematika II, Alfa, Bratislava, 1961.
[15] Kuben, J.: Obyčejné diferenciálnı́ rovnice, VA Brno, 2000.
[16] Kurzweil, J.: Obyčejné diferenciálnı́ rovnice, SNTL Praha, 1978.
61
62
LITERATURA
[17] Lakshmikantham, V., Leela, S., Differential and Integral Inequalities, Vol. I Ordinary Differential Equations, Academic Press, New York, London, 1969.
[18] Matvejev, N.M., Metody integrirovanija obyknovennych differencialnych uravnenij,
Vyshejshaja shkola, Minsk, 1974.
[19] Medved’, M.: Dynamické systémy, VEDA, Bratislava, 1988.
[20] Neuman, F.: Global Properties of Linear Ordinary Differential Equations, Academia,
Praha, 1991.
[21] Nagy, J.: Elementárnı́ metody řešenı́ obyčejných diferenciálnı́ch rovnic, MVŠT IX,
SNTL, Praha, 1978.
[22] Nagy, J.: Soustavy obyčejných diferenciálnı́ch rovnic, MVŠT XV, SNTL, Praha,
1980.
[23] Nagy, J.: Stabilita řešenı́ obyčejných diferenciálnı́ch rovnic, MVŠT IX, SNTL,
Praha, 1980.
[24] Pták, P.: Diferenciálnı́ rovnice, Laplaceova transformace, ČVUT v Praze, 1999.
[25] Ráb, M.: Metody řešenı́ obyčejných diferenciálnı́ch rovnic, MU Brno, PřF, 1998.
Index
Řešenı́
Exponenciálnı́ tvar, 30
Nehomogennı́, 5
Obecné řešenı́
Exponenciálnı́ tvar, 30
Lineárnı́ diferenciálnı́ rovnice, 4
Lineárnı́ oscilátor, 41
Amplituda, 45
Charakteristická rovnice, 30
Komplexnı́ kořeny, 39
Metoda neurčitých koeficientů, 48
Metoda odhadu, 48
Metoda variace konstant, 56
Determinant
Vandermondův, 15
Nehomogennı́ lineárnı́ rovnice, 5
Nehomogennı́ lineárnı́ rovnice
Metoda neurčitých koeficientů, 48
Metoda odhadu, 48
Metoda variace konstant, 56
Partikulárnı́ řešenı́, 47
Nehomogennı́ rovnice
Obecné řešenı́, 21
Netlumené kmity, 45
Neurčité koeficienty, 48
Fáze, 45
Frekvence, 45
Fundamentálnı́ systém řešenı́, 18
Harmonické kmity, 41
Homogennı́ lineárnı́ rovnice, 5
Homogennı́ rovnice
Obecné řešenı́, 19
Snı́ženı́ řádu, 27
Identický operátor, 32
Obecné řešenı́, 19, 21
Operátor
Diferenciálnı́, 32
Identický, 32
Symbolický, 32
Kmity
Amplituda, 45
Fáze, 45
Frekvence, 45
Harmonické, 41
Kriticky tlumené, 42
Netlumené, 45
Silně tlumené, 42
Slabě tlumené, 42
Kořeny
Komplexnı́, 39
Kriticky tlumené kmity, 42
Počátečnı́ úloha, 6
Počátečnı́ podmı́nky, 17
Princip superpozice, 6
Rezonance, 52
Rovnice
Charakteristická, 30
Rovnice y (n) = f (x), 22
Lineárnı́ diferenciálnı́ rovnice
Asociovaná, 5, 6
Přidružená, 5, 6
Lineárnı́ rovnice
Homogennı́, 5
Silně tlumené kmity, 42
Slabě tlumené kmity, 42
Snı́ženı́ řádu, 27
Superpozice, 6
Symbolický diferenciálnı́ operátor, 32
63
64
Symbolický operátor, 32
Symbolický polynomiálnı́ operátor, 32
Systém řešenı́
Fundamentálnı́, 18
Systém funkcı́
Lineárnı́ nezávislost, 9
Lineárnı́ závislost, 9
Wronskián, 16, 18
Vandermondův determinant, 15
Variace konstant, 56
Wronskián, 13, 16
INDEX
Mohl by Komenský napsat svůj Labyrint v dnešnı́ době?
Měl by průvodce s potřebnými schopnostmi?
Uznávaný amatérský komeniolog František Pluháček z Lešné u Zlı́na se zamýšlı́, jak by to
asi vypadalo, kdyby se Komenského hrdina dostal do dnešnı́ doby.
Do doby, která rozsahem dosaženého vědeckého poznánı́ už dlouho nepřeje polyhistorům
různého raženı́ a všeznalosti–všudybylstvı́ obecně.
Poslednı́m Mohykánem kmene všudypřı́tomných byl jistý hrdina jednoho v dnešnı́ době
už mezi mládežı́ zapomenutého autora, Ondřeje Sekory.
Jmenoval se Pytlı́k, mezi přáteli nazývaný Brouk.
A jak jeho průvodcovánı́ dopadalo, raději zamlčet!
Esej Františka Pluháčka Lešenského se nedochovala v úplnosti – stala se obětı́ velkého
požáru, vzniklého z neopatrnosti švédské turistky Ulmy Johnssonové při manipulaci s
otevřeným ohněm. Přinášı́me část přeživšı́ho torza, kapitolu o tom, jaký dojem udělalo
působenı́ Všudybyla na vědecké konferenci o diferenciálnı́ch rovnicı́ch.
Varujeme čtenáře s pokleslejšı́m literárnı́m vkusem, že styl Františka Pluháčka silně koketuje se surrealismem. Už to, že hlavnı́ hrdina, Všudybyl, je přı́tomen na mı́stě konference, ale jen v důchovnı́m významu, je experiment docela nadreálný. Ne každému se něco
takového může lı́bit. Proto prosı́me o pochopenı́.
Stručné uvedenı́:
Vědecká konference o diferenciálnı́ch rovnicı́ch.
Organizačnı́ výbor se rozhodl pozvednout konferenčnı́ pracovnı́ morálku účastnı́ků
tı́m, že provádı́ důkladnou kontrolu přı́tomnosti před každou plenárnı́ přednáškou
zvlášt’, před každým jednánı́m v sekcı́ch.
Je potřeba vymýtit nešvary, které lze jednoduše shrnout do sloganu: Když je možno
být alespoň na dvou mı́stech, člověk nemusı́ být nikde.
Před přednesenı́m přednášky prof. RNDr. S. Staňka, CSc., na téma Singulárnı́ okrajové úlohy, nastává pozdviženı́: Chybějı́ José Chroustal z Brna a jakýsi Všudybyl,
podepisujı́cı́ se jako Všudybyl Komenský.
Následuje přı́sné vyšetřovánı́. Prokážı́ se závažné skutečnosti: José Chroustal nikdy
na žádné konferenci nebyl, ani nikdy nebude, nemůže být, snad jen kdyby si nechal
uvést podrobné zněnı́ přı́spěvku v elektronické části sbornı́ku. Jedná se fiktivnı́
postavu, duchovnı́ dı́tě jakéhosi Františka Kocourka – účastnický poplatek byl proto
zabaven ve prospěch organizačnı́ho výboru. Kdo ho zaplatil, se dodnes nevı́. (Raději
se po tom už nepátralo, byl-li problém úspěšně vyřešen. Kaz na důslednosti organizačnı́ho výboru.)
S panem Všudybylem je to těžšı́. Několik jedinců se při výslechu přiznalo, že ho na
konferenci osobně viděli, že s nı́m mluvili. Byl tu navı́c jeho podpis na prezenčnı́
listině. Proč se ale zapsal, vyslechl úvodnı́ řeč a zmizel?
Vysvětlenı́ podala až jistá Róssa Mámenyi. Ta se doznala, že je s panem Všudybylem
v kontaktu už z dřı́vějška.
Tolik stručné uvedenı́, převyprávěné z textu Františka Pluháčka autory této učebnı́ opory.
A nynı́ vlastnı́ Pluháčkův text – část, kdy Růžena Mámeniová (dovolili jsme si, pro internı́
potřeby tohoto textu, počeštit jejı́ jméno) vysvětluje chovánı́ pana Všudybyla:
Když on pořád někde lı́tá. Onehdá sestavoval vládu.
Nebo dneska: Ráno seká dřevo pod Hostýnem - bzum, a hned v poledne
Kralický Sněžnı́k - tam byl u sklizně ovsa. Měli byste ho vidět s těmi vidlemi, co mu tam dali do rukou. A ještě večer ho čeká Oděsa. Mezitı́m
vaše konference.
To všechno se on snažı́ stı́hat...
Pan Přı́sný: ,,Tak to už já nevydržı́m. Pche, pěkné surreálno! Spı́š pěkně ujetá postmoderna. Takové vršenı́ slov bez ladu a skladu, bez jakékoliv logiky. Vidle a vláda. Nebo kdo
mi vysvětlı́, jaká je souvislost mezi Hostýnem, Kralickým Sněžnı́kem a Oděsou? Je vůbec
nějaká? Prostě pitomina, která ani do takovéto učebnı́ opory nepatřı́. Jenom to zabı́rá
mı́sto!“
Pan Hodný: ,,Pane Přı́sný, nebud’te tak přı́krý. Dočkejte času a pochopı́te. Jenom
trpělivost. Byl jste přeci na začátku varován, že to nenı́ pro lidi s pokleslým vkusem. Tak
se tak neprojevujte. Raději se vrat’me k panı́ Mámeniové.“
Ptáte se mě, proč on přibyl na konferenci, sotva pobyl a už tu zas nenı́?
Má toho moc!
To vı́te, když se chce člověk dneska udržet na špici v oboru, musı́ na sobě
hodně pracovat. A on má tak těžký obor!
Jo, kdyby si zvolil třeba takovou matematiku. Ale on musel mı́t
všudybylstvı́! Že si to bral.
To máte tak. Dneska musı́ být jeden na všudybylstvı́ pěkný diblı́k, aby
všechno stı́hal. Ono se totiž pořád něco děje. A polevit, to by se mu ta jeho
živnost pěkně svezla: To by byl za chvilku jenom Jenon-někde-nebyl a za
nedlouho Jenom-někde-byl. Pak by to už následovalo v rychlém tempu. Relativně-skoro-nikde-nebyl a nakonec Vlastně-nikde-nebyl. To jsou ty konce.
Proto se on snažı́ všechno stihnout a proto už tu nenı́...
Těmito slovy torzo textu kdysi tak nadějného komeniologa Františka Pluháčka končı́.
Tato část studijnı́ opory byla autory pojata jako hold a poděkovánı́ průvodcům
této učebnı́ opory, pánům Hodnému a Přı́snému, za jejich nelehký a odpovědný
úkol, kterého se tak nezištně zhostili.
Aby bylo vidět, že v dnešnı́ době, kdy lehce selhávajı́, sklouzávajı́ k povrchnosti a nedůslednosti i v minulosti tak osvědčené kapacity, např. Komenského
Všudybyl, je někdo schopný průvodcovánı́ s plným nasazenı́m a odpovědnostı́
k Poutnı́kovi poznánı́m.
Za to jim patřı́ dı́k!
Autoři