Kapitola 1 Teorie her

Kapitola 1
Teorie her
Dosud jsme se věnovali jedno či vícekriteriální optimalizaci, kde ve všech úlohách byly předem pevně
dané podmínky a ty se nijak neměnily v závislosti na našem rozhodnutí. Také jsme uvažovali modely
(rozhodování za rizika a nejistoty), kde nebyly podmínky pro rozhodování jisté, neboť závisely ještě
na dalších okolnostech, o kterých jsme neměli jistotu, jak dopadnou. V této kapitole se budeme
zabývat řešením tzv. konfliktních situací. Jedná se o situace, kdy okolí na naše rozhodnutí může
nějakým způsobem zareagovat, udělat nějaké protiopatření, čímž se může zcela změnit naše situace.
Typickými příklady konfliktních situací jsou válečné situace, společenské (salónní) hry (z této
oblasti byly převzaty i některé pojmy v teorii her), boj o ovládnutí trhu, boj zemědělců s přírodou
apod.
Příklad 1. Příkladem takové situace z ekonomie je oligopol. Pokud se bude rozhodovat jeden oligopolista sám a nebude brát v úvahu okolí, stanoví svůj objem výroby tak, aby maximalizoval své tržby.
Spočítá si své jednotkové náklady závislé na objemu produkce, podle statistik dopočítá, kolik bude
jednotkový zisk v závislosti na objemu produkce dodávané na trh (uvažuje, že na trh dodává sám)
a odtud stanoví optimální výrobní plán.
Pokud bude postupovat takto a nebude brát v úvahu okolí, je na nejlepší cestě skončit s podnikáním.
Nevzal v úvahu ostatní oligopolisty. Pokud budou i oni vyrábět, potom se cena na trhu sníží (není sám,
kdo dodává stejné zboží) a jeho zisky vůbec nemusí být, pro jím stanovený objem výroby, optimální.
1.1
Základní pojmy
1.1.1
Základní pojmy
Teorie her pracuje s těmito základními pojmy:
hra – každá konfliktní situace (v dalším textu se omezíme pouze na hry, které lze matematicky
modelovat),
hráč – aktivní účastník hry, který svým chováním může ovlivnit její výsledek (fyzická nebo právnická
osoba, popř. skupina osob se stejnými zájmy),
racionální (inteligentní) hráč – hráč, který usiluje o optimální výsledek hry
indiferentní (neinteligentní) hráč – hráč, kterému je výsledek hry lhostejný,
strategie hráče – možnost chování hráče při hře, množinu všech strategií určitého hráče budeme
nazývat prostorem strategií tohoto hráče,
výplata hráče – kvantitativně vyjádřený výsledek hry, posuzovaný z hlediska uvažovaného hráče;
přitom kladná hodnota výplaty představuje skutečný užitek hráče ze hry (je to např. získaná
částka peněz, počet bodů apod.), záporná výplata je prohrou; výplata hráče je vždy závislá na
volbě strategií všech hráčů, takže ji lze vyjádřit jako funkci uvažovaných strategií. Předpis pro
1
2
KAPITOLA 1. TEORIE HER
zisk v závislosti na zvolené strategii se nazývá výplatní funkce hráče. Naším cílem je zvolit
optimální strategii.
Poznámka. Příkladem indiferentního hráče je příroda či nějaká instituce. Naopak každá fyzická osoba
je pokládána za racionálního hráče. Obecně, není-li řečeno jinak, či ze zadání jasně nevyplývá, že se
jedná o indiferentního hráče (příroda), všechny hráče pokládáme za racionální.
1.1.2
Klasifikace her dle různých kritérií
Hry můžeme z různých hledisek rozdělit do skupin, které se vyznačují stejným nebo podobným
způsobem řešení.
Podle počtu hráčů rozlišujeme hry dvou hráčů a více hráčů.
Podle součtu výplat všech hráčů rozlišujeme hry s konstantním součtem (antagonistický
konflikt) a nekonstantním součtem (neantagonistický konflikt). Zvláštním případem
her s konstantním součtem jsou hry s nulovým součtem.
Poznámka. Většina salonních her jsou hry s nulovým součtem – hráči vloží nějakou částku do
banku a tuto částku si následně rozdělí dle výsledku hry. V takovém případě je součet „výplatÿ
všech hráčů nulový.
Naopak příkladem hry s nekonstantním součtem jsou např. situace na trhu, podle toho, jak se
zachovají hráči, vnější činitelé (kupující), vloží různou částku do hry (investují).
Hry dvou hráčů s konstantním, ale nenulovým součtem výplat lze převést na hry s nulovým
součtem. Způsob řešení je tedy stejný, viz řešený příklad 4.
U neantagonistických konfliktů musíme rozlišit, kdy hráči spolupracují a kdy ne. Jde o tzv.
kooperativní a nekooperativní hry.
Podle velikosti prostoru strategií rozlišujeme hry konečné, kde prostor strategií každého hráče
je konečný (tj. každý hráč má jen konečný počet všech možných strategií). Jestliže alespoň
jeden z hráčů má k dispozici nekonečný počet strategií, uvažovaná hra je nekonečná.
Poznámka. Častou aplikací nekonečných her jsou hry, ve kterých hráči hledají nejvhodnější
okamžik k provedení určité akce. Řada námětů pro tento typ her je vojenského charakteru.
Podle informace, kterou mají hráči k dispozici. U konfliktů, v nichž strategie hráčů jsou tvořeny posloupností tahů, rozlišujeme hry s úplnou informací (hráči mají před každým tahem
přesnou informaci o všem, co se dosud ve hře dělo) a hry s neúplnou informací (informace
o dosavadních tazích hráčů jsou jen částečné).
Poznámka. Příkladem hry s úplnou informací jsou šachy. Charakter her s neúplnou informací
má většina karetních her.
Podle informací o důsledku volby dělíme hry na deterministické (zvolíme-li strategii, víme
přesně, kolik získáme v závislosti na tom, jakou strategii zvolí protihráč) a stochastické (do hry
vstupuje náhoda – zvolíme-li danou strategii, náš zisk má nějaké pravděpodobnostní rozdělení).
Poznámka. Příkladem deterministických her jsou hry karetní, hra Kámen-Nůžky-Papír aj.
Zvolí-li hráči své strategie, pravidla udávají, jaký bude výsledek (kdo kolik vyhraje). Naopak příkladem stochastických her může být situace na trhu, kde po zvolení strategií všech
prodávajících se jejich zisky řídí nějakým pravděpodobnostním rozdělením (nemůžu dopředu
určit, kolik přesně přijde zákazníků). (Stochastické hry se často pro jednoduchost snažíme řešit
nějakým vhodným deterministickým modelem.)
Podle racionality hráčů dělíme hry na hry racionálních hráčů a hry hrané proti přírodě, kde
předpokládáme, že jeden hráč je indiferentní.
1.1. ZÁKLADNÍ POJMY
3
Podle počtu hraných her dělíme hry na hry řešené v ryzích strategiích a na hry řešené ve
smíšených strategiích. To je vlastně rozlišení případů, kdy hru budeme hrát jen jednou
(neopakovatelná situace) a případu, kdy hru budeme opakovat a tedy je možné jednotlivé
strategie volit s nějakými pravděpodobnostmi. (Př. Kámen-Nůžky-Papír.) Neuvedeme-li jinak,
uvažujeme ryzí strategie.
1.1.3
Používaná symbolika
Abychom mohli naše teorie srozumitelně zapisovat, budeme používat následující (běžné) značení:
X
Y
x
prostor strategií 1. hráče,
prostor strategií 2. hráče,
strategie prvního hráče (v případě konečného počtu (m) strategií prvního hráče,
můžeme značit xi , kde i = 1 . . . m),
y
strategie druhého hráče (v případě konečného počtu (n) strategií druhého hráče,
můžeme značit yj , kde j = 1 . . . n),
f1 (x, y) výplatní funkce prvního hráče,
f2 (x, y) výplatní funkce druhého hráče.
Hra je dána výčtem strategií jednotlivých hráčů a výplatními funkcemi.
Smysl značení si ukážeme na následujícím příkladu.
Příklad 2. Uvažujme hru o jednom tahu, ve které hráč A volí mezi dvěma čísly 1 a 2 a hráč B
rovněž volí mezi dvěma čísly 1 a 2. Při výplatě dostává hráč A od hráče B 1 Kč v případě, jsou-li
zvolená čísla různá, a hráč A zaplatí 1 Kč hráči B v případě, že jsou tato čísla stejná. Výplatní
matice hráče A je následující.
-1 1
A=
.
1 -1
Prostorem strategií X hráče A v tomto případě jsou dvě strategie – strategie x1 – zvolit číslo 1
a strategie x2 – zvolit číslo 2. Hráč B má také prostor strategií Y dvouprvkový. Výplatní funkci hráče
A můžeme zapsat do výplatní matice následovně:
B
A
”1”
”2”
”1”
-1
1
”2”
.
1
-1
V této matici prvek matice aij odpovídá hodnotě výplatní funkce f1 (xi , yj ). Například tedy prvek
a12 (má hodnotu 1) odpovídá výplatě prvního hráče za předpokladu, že první hráč – A – zvolil svou
první strategii (x1 – zvolil číslo 1) a druhý hráč – B – zvolil svou druhou strategii (y2 – zvolil číslo
2).
Řešený příklad 1. Předpokládáme, že slečna vlastní kožich, jehož hodnota je 20000 Kč. Může si
tento kabát za 100 Kč na jeden rok pojistit a v případě, že jí bude kožich v tuto dobu zničen požárem,
bude jí škoda nahrazena. Má či nemá si slečna kožich pojistit?
Řešení. V této hře je jedním hráčem slečna a druhým „přírodaÿ. Strategie (prostor X) prvního
hráče, tj. slečny, jsou pojistit a nepojistit si kabát (tj. x1 – pojistit, x2 – nepojistit, X = {x1 , x2 }).
Strategie „přírodyÿ (prostor Y ) jsou kabát slečně shoří a nestane se s kabátem nic (tj. y1 – kabát
shoří, y2 – nestane se nic, Y = {y1 , y2 }). Výplatní funkce slečny (u „přírodyÿ nemají smysl) jsou
podle ceny kabátu, ceny pojištění a ceny náhrady, kterou pojišťovna slečně poskytne v případě, že
by slečně kožich shořel. Pro slečnu můžeme napsat výplatní matici.
Výplatní matice slečny má tedy následující tvar:
4
KAPITOLA 1. TEORIE HER
pojistí
nepojistí
OK zničen
-100 -100
0
-20000
Jak se má slečna rozhodnout?
2
Poznámka. Všimněte si podobnosti tohoto řešení a řešení úloh rozhodování za nejistoty.
V tomto příkladu je jeden hráč racionální (předpokládáme to o slečně) a jeden indiferentní. V tom
případě se skutečně jedná o tutéž situaci jako v rozhodování za nejistoty.
Poznámka. Všimněme si, že určitě nemusí platit, že počet strategií prvního a druhého hráče je
stejný. Pojisťujeme-li si například auto, potom nejsou strategie „přírodyÿ pouze zničit, nezničit, ale
také různé částečné poničení. Nám zůstávají strategie dvě – pojistit, nepojistit.
1.2
Maticové hry – úvod
Důležité místo v teorii her mají konečné hry dvou hráčů s konečným počtem strategií, které nazýváme
maticovými hrami.
Tyto hry můžeme rozdělit na hry, kde jsou oba hráči racionální (ty pak dále dělíme na hry
antagonistické a neantagonistické) a na hry, kde jeden z hráčů je indiferentní, jde o hry hrané
proti přírodě (indiferentním hráčem může být skutečně příroda nebo nějaká instituce).
1.2.1
Dominované a nedominované strategie
Stejně jako ve vícekriteriálním hodnocení variant, i zde můžeme narazit na tzv. dominované a nedominované varianty, resp. strategie.
Definice 1. Řekneme, že strategie xk prvního hráče dominuje strategii xl tohoto hráče, jestliže pro
všechny možné strategie yj druhého hráče platí, že
f (xk , yj ) ≥ f (xl , yj )
a zároveň existuje alespoň jedna strategie y0 taková, že
f (xk , y0 ) > f (xl , y0 ).
Neboli ať zvolí druhý hráč jakoukoliv stategii, v každém případě je pro prvního hráče výhodnější
(nebo stejně výhodné) zvolit strategii xi1 než volit strategii xi2 . Druhá podmínka uvádí, že alespoň
v jednom případě (při alespoň jedné strategii druhého hráče) je pro prvního hráče (ostře) výhodnější
zvolit strategii xi1 oproti strategii xi2 . (Pokud by tato podmínka nebyla splněna a byla splněna první
podmínka, znamenalo by to, že obě varianty jsou pro hráče stejné.)
A proto RACIONÁLNÍ HRÁČ NIKDY NEVOLÍ DOMINOVANOU VARIANTU!
Příklad 3. Představme si, že slečna z příkladu 1 si může sjednat jeden z následujících tří druhů
pojištění. Sjedná-li si pojištění I, potom za toto pojištění zaplatí za rok 100 Kč a v případě požáru
dostane jako náhradu 20000 Kč, sjedná-li si pojištění II, zaplatí roční sazbu 70 Kč a v případě požáru
dostane náhradu 15000 Kč, pojištění III stojí 75 Kč a náhrada je také 15000 Kč. Napišme matici
této hry:
1.3. JEDNOMATICOVÉ HRY
5
pojištění I
pojištění II
pojištění III
bez pojištění
OK
-100
-70
-75
0
zničen
-100
-5070
-5075
-20000
V tomto příkladu je již ze zadání zřejmé, že pojištění III je pro slečnu nevýhodná varianta, poněvadž pojištění II je levnější a nabízí jí totéž. Po zápisu do výplatní matice vidíme, že skutečně
varianta pojištění III je dominována variantou pojištění II. Matematicky zapsáno, v této matici
platí, že a21 > a31 a zároveň a22 > a32 . (Připomeňte si, že u jednomaticové hry aij = f (xi , xj ).)
1.3
1.3.1
Jednomaticové hry
Antagonistický konflikt
Antagonistickým konfliktem rozumíme konflikt (s konstantním součtem), kde proti sobě stojí dva
racionální hráči a zisk jednoho hráče je roven ztrátě druhého hráče (př. sázky mezi dvěma lidmi).
Nebo obecněji o co jeden získá více, o to druhý více ztratí (mají si nějakým způsobem rozdělit fixní
částku, přičemž se povoluje, že jeden dostane částku celou a ještě navíc něco od druhého).
Matematickým modelem je tzv. hra s konstantním součtem, tzn. f1 (x, y) + f2 (x, y) = k. Je možné
ukázat, že bez újmy na obecnosti můžeme uvažovat pouze o hrách se součtem nula, neboť všechny
hry s konstantním součtem je možné převést na hry se součtem nula.
Poznámka. Uvědomte si, že nemá žádný smysl mluvit o kooperaci v antagonistickém konfliktu.
Problém: Rozmyslete si, že je skutečně jedno, zda řeším hru s konstantním součtem obecné k nebo
nulovým.
Máme-li konečný prostor strategií, tzv. konečnou hru, můžeme hru přepsat do matice A, kde řádky
budou tvořit možné strategie prvního hráče a sloupce možné strategie druhého hráče. Jednotlivými
prvky matice aij je potom výplata prvního hráče v případě, že první hráč zvolí svou i-tou strategii
a druhý hráč zvolí svou j-tou strategii.
Hráče, kteří se účastní maticové hry, označíme písmeny A a B a hru budeme sledovat vždy
z hlediska hráče A. Jeho výplatu budeme nazývat výhrou a výplatu hráče B prohrou.
Má-li hráč A k dispozici m strategií x1 , x2 , . . . , xm a hráč B n strategií y1 , y2 , . . . , yn , výhry
hráče A (a tedy prohry hráče B) při všech možných dvojicích strategií (xi , yj ) můžeme sestavit do
matice typu m × n, kterou nazýváme výplatní maticí (též maticí hry).
Prvek aij matice nám udává výplatu prvního hráče, pokud první zvolí i-tou strategii, tj. strategii
xi , a druhý hráč zvolí j-tou strategii, tj. strategii yj , tedy aij = f1 (xi , yj ), kde f1 (xi , yj ) značí výplatní
funkci hráče A. Protože se jedná o antagonistický konflikt, potom je aij s opačným znaménkem, tj.
−aij , výplatou druhého hráče, při stejných strategiích, tedy pro výplatní funkci hráče B s označením
f2 (xi , yj ) platí f2 (xi , yj ) = −f1 (xi , yj ) = −aij . K popisu maticové hry stačí jedna výplatní funkce,
kterou budeme značit f (xi , yj ).
Jedná se tedy o tzv. jednomaticovou hru.
Uvedené pojmy a konstrukci výplatní matice ilustrujeme na několika příkladech.
Řešený příklad 2. Uvažujme následující hru. Hrají dva hráči. Každý má pět sirek. Teď si každý
může vzít do ruky kolik chce sirek (z těch pěti) a na povel ruce otevřou. Kdo bude mít v ruce více
sirek, vyhrál, pokud mají stejně, je remíza.
Řešení. Ze zadání příkladu je zřejmé, že je rozumné, aby každý hráč vzal do ruky všech pět sirek.
Ukažme si, že stejně nám dovede poradit i teorie her.
Napišme si výplatní matici A prvního hráče a výplatní matici B druhého hráče. V obou maticích
budou řádky odpovídat jednotlivým strategiím prvního hráče, postupně 1, 2,. . . , 5 sirkám v jeho ruce
6
KAPITOLA 1. TEORIE HER
(předpokládejme, že musí alespoň jednu vzít) a sloupce steným způsobem jednotlivým strategiím
druhého hráče. Výplatní matice mají tedy tvar:



A=


0 −1 −1 −1 −1
1 0 −1 −1 −1
1 1
0 −1 −1
1 1
1
0 −1
1 1
1
1
0









B=


0
1
1
1
−1 0
1
1
−1 −1 0
1
−1 −1 −1 0
−1 −1 −1 −1
1
1
1
1
0






2
Poznámka. Všimněme si, že skutečně platí A = −B, a tedy je zbytečné pro zápis takovéto hry
používat dvě matice.
Řešený příklad 3. Hráč A napíše slabiku ”ná” nebo ”tá” a hráč B, který nezná volbu hráče A,
napíše slabiku ”ta”, ”bor” nebo ”chod”. Když obě slabiky dají dohromady slovo, zaplatí hráč A hráči
B korunu a když vzniklé slovo bude představovat jméno města, dostane hráč B od hráče A navíc ještě
prémii 3 koruny. Kdyby spojení obou slabik nedávalo smysl, hráč B zaplatí hráči A 2 koruny. Jaké
slabiky mají oba hráči volit, aby vyhrávali co nejvíc?
Řešení. Tuto společenskou hru můžeme zobrazit pomocí matice, jejíž řádky jsou nadepsány strategiemi hráče A, tj. slabikami „náÿ a „táÿ a nad sloupci jsou nadepsány strategie hráče B, tj. slabiky
„taÿ, „borÿ a „chodÿ. Prvky této matice (označme ji A) lze odvodit z podmínek hry.
Matice A:
„náÿ
„táÿ
„taÿ
2
-1
„borÿ
-1
-4
„chodÿ
-4
2
2
Řešený příklad 4. Dvě konkurující si firmy I a II uvažují o vybudování motelu na dálnici v jednom
z míst P, Q, R, S (viz schéma, kde je uvedena též vzdálenost mezi potenciálními místy motelu).
Postaví-li obě firmy motel v témže místě, na každou z nich připadne polovina celkové poptávky
(potencionálním nocležníkům nezbude než dojet do zvoleného místa a tam si náhodně vyberou jeden
ze dvou motelů). V ostatních případech je procento poptávky přímo úměrné délce trasy přiřazené
zvolenému místu (např. jestliže firma I se rozhodne pro místo Q a firma II pro R, procento poptávky
pro firmu I je úměrné délce úseku
1
|P Q| + |QR| = 40).
2
(Předpokládá se, že potencionální zákazník si vybere nejbližší možný hotel, tedy ten, kdo bude mezi
body P, Q zvolí hotel v místě Q, a ti, co budou mezi místy Q, R, s 50% pravděpodobností budou
blíže ke Q, a tedy zvolí Q. Ostatní budou blíže druhému hotelu a zvolí tedy hotel II. firmy. Navíc
se předpokládá, že rozdělení potencionálních zákazníků na celém úseku je rovnoměrné.) Poněvadž
celková délka trasy je 100 km a firma I svým výběrem místa obsadila 40 km z této trasy, předpokládá
se, že při volbě těchto strategií bude firma I obsluhovat 40% zákazníků.
V jakém místě mají obě firmy motel vybudovat, aby dosáhly co největšího procenta poptávky?
1.3. JEDNOMATICOVÉ HRY
7
Řešení. V uvedené konfliktní situaci má každá firma 4 strategie (stavbu motelu v místě P nebo Q
nebo R nebo S), přičemž za její výhry lze považovat procenta poptávky, kterých může dosáhnout.
Výplatní matice pro firmu I má podobu matice F (viz dále), přičemž prvky výplatní matice pro firmu
II (označme ji G) můžeme z matice F odvodit jakožto doplňky do 100. Jde tedy o konečnou hru dvou
hráčů, s konstantním, ale nenulovým součtem výplat.
Uvažovanou konfliktní situaci můžeme zobrazit pomocí jedné matice, jestliže zaujmeme stanovisko
firmy I a za výplaty zvolíme procenta poptávky u této firmy, zmenšená o procenta poptávky u firmy
II (neboli o kolik procent více poptávky získala při daných strategiích firma I oproti firmě II). Takto
formulovaná konfliktní situace pak představuje hru s nulovým součtem (má-li firma I o x% více
poptávky než firma II, potom má firma II právě o −x% více poptávky než firma I). Výplatní matice
takto formulované hry má podobu matice H.
P
Q
R
S
Matice F:
P
Q

50 10
 90 50

 70 60
50 40
R
30
40
50
20
Matice G:
P
Q R
S

50
60 

80 
50

P
50
Q 
 10
R  30
S
50
90
50
40
60
S
70
60
50
80
P

50
40 

20 
50

P
0
Q 
80

R  40
S
0
Matice H:
Q
R
-80 -40
0 -20
20
0
-20 -60
S

0
20 

60 
0
2
1.3.2
Řešení jednomaticových her – obecně
Účelem „hraní hryÿ s konstantním součtem je pro hráče A jeho maximální výhra a pro hráče B
je cílem jeho minimální prohra. Poněvadž uvažujeme hry s konstantním součtem, jsou snahy obou
hráčů v jakémsi protikladu (čím větší je výhra prvního hráče, tím větší je prohra druhého hráče
a naopak.) Tyto snahy obou hráčů ale přece jen dovedou hráče k jejich optimálním strategiím, které
mohou být jednak ryzí, jednak smíšené.
Ryzí strategie hráče představuje jednu z jeho možných strategií. Jak jsme již zmínili, je to
vlastně řešení pro hru, která se hraje pouze jednou, nedochází k opakování. (Pokud existuje ryzí
strategie i v případě, kdy se má hra opakovat, potom hráč bude stále hrát stejnou strategii.)
Smíšená strategie hráče znamená náhodné střídání jeho strategií a je určena rozložením pravděpodobností na prostoru ryzích strategií (vyjadřujeme ji vektorem pravděpodobností, s jakými hráč
A
A
volí jednotlivé své strategie). Pro hráče A budeme smíšenou strategii označovat pA = (pA
1 , p2 , . . . , pm ),
kde pA
i nám udává pravděpodobnost, s jakou má první hráč volit svou i-tou strategii, tj. strategii
B
B
xi . Smíšenou strategii hráče B bude obdobně představovat vektor pB = (pB
1 , p2 , . . . , pn ), kde opět
B
pj udává pravděpodobnost, s jakou má druhý hráč volit svou j-tou strategii, tj. strategii yj . Složky
vektorů) pA a pB (jedná se o pravděpodobnosti úplné kolekce nezávislých jevů) tvoří nezáporná
čísla, jejichž součet je roven jedné.
Z uvedené definice vyplývá, že ryzí strategie je zvláštním případem smíšené strategie (např. ryzí
strategii Ai lze vyjádřit vektorem, jehož i-tá složka se rovná jedné a ostatní složky jsou nulové).
Poznámka. Všimněme si, že v této terminologii tedy první hráč usiluje o maximalizaci:
max f (xi , yj ) = max aij ,
i
i
přičemž on může ovlivnit pouze volbu i (pouze výběr své strategie) a volbu j (volbu strategie protihráče) ovlivnit nemůže, kdežto druhý hráč usiluje o minimalizaci
min f (xi , yj ) = min aij ,
j
kde druhý hráč může ovlivnit volbu j, ale ne i.
j
8
1.3.3
KAPITOLA 1. TEORIE HER
Řešení v ryzích strategiích
Hledáme-li optimální řešení antagonistického konfliktu v ryzích strategiích, hledáme vlastně stabilní
řešení. Stabilní v tom smyslu, že řešení musí být takové, aby se ani jednomu hráči nevyplatilo od
této strategie „utéciÿ. Tj. má to být takové řešení, aby pokud pouze jeden hráč změní svou strategii
a druhý hráč strategii nezmění, potom by si měl hráč, který svou strategii změnil, pohoršit. V takovém
případě je řešení stabilní, neboť žádný hráč nemá zájem na změně své strategie. Ne vždy ale takovéto
řešení existuje. Existuje-li takovéto řešení, mluvíme o sedlovém bodě hry, rovnovážném řešení.
Podívejme se ještě jednou podrobněji, jak lze k tomuto stabilnímu řešení dospět. Jestliže hráč A
volí strategii xi , musí počítat s tím, že inteligentní hráč B mu odpoví strategií, která jeho výhru zredukuje na minimum, neboli hráč A má při volbě této strategie zaručenou minimální výhru v hodnotě
min aij
j
(ve výplatní matici jde o nejmenší prvek v i-tém řádku). Protože hráč A chce hrát opatrně, zvolí
strategii, při které bude toto minimum největší, tzn. nabude hodnoty maxi minj aij (z čísel, která
představují minimální prvky v řádcích výplatní matice, vybereme největší). Tuto strategii hráče A
nazýváme strategií maximinovou, přičemž číslo
max min aij
i
j
označujeme jako dolní cenu hry.
Úvaha hráče B je podobná. Jestliže volí strategii yj , nemůže prohrát více než
max aij
i
(ve výplatní matici je to největší prvek v j-tém sloupci). Hráč B zvolí takovou strategii, při které
toto maximum bude minimální, tj. při které neprohraje víc než
min max aij
j
i
(z čísel, která představují maximální prvky ve sloupcích výplatní matice, vybereme nejmenší). Tuto
strategii hráče B nazýváme strategií minimaxovou, přičemž číslo minj maxi aij označujeme jako
horní cenu hry.
Lze dokázat, že v každé maticové hře je dolní cena hry nejvýše rovna horní ceně. Jestliže se obě
ceny sobě rovnají, tzn. jestliže platí
max min aij = min max aij ,
i
j
j
i
(1.1)
použití příslušných strategií zaručuje oběma hráčům optimální výsledek, neboli jde o ryzí optimální strategie.
Je-li splněna rovnost (1.1), ve výplatní matici musí existovat prvek, který je nejmenší ve svém
řádku a zároveň největší ve svém sloupci; tento prvek nazýváme sedlovým bodem. Existence
sedlového bodu ve výplatní matici je nutnou a postačující podmínkou proto, aby příslušná hra měla
řešení v oboru ryzích strategií, existovalo rovnovážné řešení. Hodnota sedlového bodu je cenou
hry.
Jestliže v dané výplatní matici existuje více sedlových bodů, je pro každou dvojici ryzích optimálních strategií cena hry stejná. V dané hře pak existuje nekonečně mnoho smíšených optimálních
strategií, které jsou konvexní kombinací ryzích optimálních strategií.
Obecněji, nejen pro hry s konečným počtem strategií, definujeme optimální řešení antagonistického konfliktu v ryzích strategiích (sedlový bod) následovně:
1.3. JEDNOMATICOVÉ HRY
9
Definice 2. Kombinace strategií (x0 , y0 ) určuje optimální řešení v ryzích strategiích tehdy a
jen tehdy, pokud platí:
f (x, y0 ) ≤ f (x0 , y0 ) ≤ f (x0 , y)
∀x ∈ X, ∀y ∈ Y,
(1.2)
neboli existuje dvojice (x0 , y0 ) taková, že
min max f (x, y) = f (x0 , y0 ) = max min f (x, y),
y
x
x
y
(1.3)
kde f je výplatní funkce hry.
Poznámka. Ještě jednou připomeňme, že sedlový bod je v podstatě rovnovážným bodem v tom
smyslu, že žádnému hráči se nevyplatí změnit strategii. Sedlový bod je určen nerovnostmi (1.2).
V tomto vztahu první nerovnost vyjadřuje, že pokud by první hráč libovolně změnil svou strategii
(a druhý ne – zůstal by v y0 ), potom by výplata prvního hráče buď zůstala stejná nebo by se zmenšila.
Tedy první hráč nemá zájem na změně strategie. Druhá nerovnost udává stejnou podmínku pro
druhého hráče (připomeňme, že výhry druhého hráče jsou hodnoty −f (x, y), tedy čím menší hodnota
f (x, y), tím je to pro druhého hráče lepší).
Na obrázku 1.1 je vidět, jak sedlový bod vypadá – že je to skutečně bod, kde dvourozměrná
funkce nabývá maxima přes proměnnou x a zároveň minima přes proměnnou y.
Obrázek 1.1: Sedlový bod
Poznámka. Rozmyslete si, jak souvisí vztah (1.1) se vztahem (1.3).
Obecně matice mohou mít žádný, jeden nebo více sedlových bodů. Pokud nemají žádný, neexistuje
rovnovážná strategie (a hru lze vyřešit pouze ve smíšených strategiích), pokud mají jeden, určuje
rovnovážnou strategii, pokud jich mají více, určují alternativní rovnovážné strategii.
Problém: Rozmyslete si, že v případě antagonistického konfliktu jsou skutečně alternativní rovnovážné strategie ekvivalentní ve smyslu zisku jednotlivých hráčů. Tj. v případě více sedlových bodů je
jedno, který hráč zvolí který sedlový bod.
Řešený příklad 5. Uvažujme příklad 2, jehož výplatní matice je


0 −1 −1 −1 −1
 1 0 −1 −1 −1 


.
1
1
0
−1
−1
A=


 1 1
1
0 −1 
1 1
1
1
0
10
KAPITOLA 1. TEORIE HER
Existuje v tomto případě sedlový bod?
Řešení. Sedlový bod, jak již bylo zmíněno výše, hledáme tak, že zjistíme minima v řádcích a poté
maxima ve sloupcích. Pokud někde odpovídá řádkové minimum sloupcovému maximu, jedná se o sedlový bod.
V následujících maticích jsou v první matici tučně označená minima v řádcích a v druhé jsou
tučně vyznačena maxima ve sloupcích.



A=


0 -1 -1 -1 -1
1 0 -1 -1 -1
1 1 0 -1 -1
1 1 1 0 -1
1 1 1 1 0









A=


0 −1 −1 −1 −1
1 0 −1 −1 −1
1 1
0 −1 −1
1 1
1
0 −1
1 1
1
1
0






Hledáme pozici v této matici, ve které máme zároveň označeno minimum v řádku a maximum
ve sloupci. Takováto pozice v této matici je jediná a jedná se o prvek a55 = 0. Nebo-li tato hra má
sedlový bod, má jediný sedlový bod, existuje tedy rovnovážné řešení. Tím řešením je, aby každý hráč
vzal do ruky pět sirek.
2
Poznámka. V tomto případě bylo řešení zjevné již od začátku, nebylo třeba úlohu řešit takto složitou
metodou, ale tento příklad měl sloužit jen jako demonstrace. Nadále uvidíme, že většinou správné
řešení hry není od počátku vidět a je zapotřebí zmíněných metod užít.
Řešený příklad 6. Uvažujme známou hru Kámen-Nůžky-Papír. V této hře hrají proti sobě dva hráči,
každý volí jednu ze tří možných strategií Kámen, Nůžky či Papír. Pokud oba hráči zvolí stejnou
strategii, jedná se o remízu, zisk obou je 0. Další pravidla jsou, že Kámen vyhrává nad Nůžkami,
Nůžky nad Papírem a Papír nad Kamenem. Řekneme, že hráči hrají při každé hře o jednu korunu,
tedy možná výhra je 1. Existuje u této hry sedlový bod?
Řešení. Asi tušíte, že tato hra nemá sedlový bod, jinak by nebyla tak populární k rozhodování
různých sporů. Zkusme tedy tuto hru analyzovat. Nejprve napišme matici hry.
Kámen
Nůžky
Papír
Kámen

0
 1
-1
Nůžky
-1
0
1
Papír

1
-1  .
0
V dalším kroku, podobně jako v předchozím příkladu, vyznačme v matici minima v řádcích a ve
druhé matici maxima ve sloupcích.
Kámen
Nůžky
Papír
Kámen

0
 1
-1
Nůžky
-1
0
1
Papír

1
-1  ,
0
Kámen
Nůžky
Papír
Kámen

0
 1
-1
Nůžky
-1
0
1
Papír

1
-1  .
0
Teď je vidět, že tentokrát neexistuje prvek, který by byl minimální ve svém řádku a zároveň maximální ve svém sloupci. Tedy tato hra nemá sedlový bod, neexistuje tedy řešení v ryzích strategiích.
2
1.3. JEDNOMATICOVÉ HRY
11
Řešený příklad 7. Uvažujme následující hru. Hráč A může volit číslo od 5 do 8 a hráč B volí mezi
čísly od 1 do 4. Výhry jsou stanoveny následovně: bude-li součet hráči zvolených čísel menší nebo
roven 7, potom hráč A zaplatí hráči B 30 Kč, bude-li součet mezi 8 a 10, dostane hráč A od hráče
B 5 Kč a v případě, že součet čísel bude větší než deset, dostane hráč A od hráče B 10 Kč.
Poznámka. Byli byste raději v pozici hráče A či hráče B?
Řešení. Sestavme nejprve matici této hry.
„1ÿ
„2ÿ
„3ÿ
-30
 -30

 5
5
-30
5
5
5
5
5
5
10

„5ÿ
„6ÿ
„7ÿ
„8ÿ
„4ÿ

5
5 
.
10 
10
V dalším kroku opět v matici vyznačíme minima v řádcích a maxima ve sloupcích.
„1ÿ
„5ÿ
„6ÿ
„7ÿ
„8ÿ

-30
 -30

 5
5
„2ÿ
-30
5
5
5
„3ÿ
5
5
5
10
„4ÿ

5
5 
.
10 
10
„5ÿ
„6ÿ
„7ÿ
„8ÿ
„1ÿ
„2ÿ
„3ÿ
-30
 -30

 5
5
-30
5
5
5
5
5
5
10

„4ÿ

5
5 
.
10 
10
Tentokrát vidíme, že tato úloha má čtyři sedlové body – a31 , a32 , a41 , a42 , jejichž hodnota je 5. Aby
výsledek hry byl v sedlovém bodě, potom první hráč musí volit buď číslo 7 nebo 8 a druhý hráč číslo
1 nebo 2. Také je z matice vidět, že když oba hráči zvolí libovolnou strategii vedoucí do sedlového
bodu, potom skutečně výsledek hry bude v sedlovém bodě. (Tato vlastnost platí u antagonostických
konfliktů ale neplatí obecně u neantagonistických konfliktů, jak si ukážeme dále.)
2
Spravedlivé a nespravedlivé hry Jak jsme již zmínili výše, výplatu, která odpovídá rovnovážnému stavu (sedlový bod) nazýváme cenou hry. Je-li nulová, potom hru nazýváme spravedlivou.
V opačném případě se jedná o hru nespravedlivou.
Poznámka. Je tedy vidět, že v případě hry 2 se jedná o spravedlivou hru, ale hra 7 je nespravedlivá
(hodnota v sedlovém bodě je 5).
Má-li hra sedlový bod a znají-li oba hráči své optimální strategie, nemá smyslu takovou hru hrát.
Stačí, když oba hráči ohlásí své optimální strategie a konflikt skončí rozumnou dohodou.
Jestliže ve výplatní matici neexistuje sedlový bod (dolní cena hry je menší než horní cena hry),
místo volby maximinové a minimaxové strategie je pro oba hráče výhodnější náhodné střídání strategií (tzn. volba smíšených strategií), které hráči A zaručí větší výhru než je dolní cena hry a hráči
B menší prohru než je horní cena hry.
1.3.4
Řešení ve smíšených strategiích
Při volbě smíšených strategií pA , pB je výplata hráčů náhodná veličina, jejíž očekávanou hodnotu
budeme značit E f (pA , pB ).
Jestliže hráči volí strategie pA a pB nezávisle na sobě, je pravděpodobnost, že výhra hráče A
B
bude aij , dána součinem pravděpodobností pA
i a pj , tzn. pro jeho očekávanou výhru platí
A
B
E f (p , p ) =
m X
n
X
i=1 j=1
B
aij pA
i pj
12
KAPITOLA 1. TEORIE HER
Pomocí očekávané výplaty hráčů lze nyní rozšířit pojem optimální strategie i na smíšené strategie.
B
Dvojice smíšených strategií pA
0 , p0 je optimální právě tehdy, když pro všechny ostatní strategie
A
B
p , p platí
A
B
A
B
E f (pA , pB
0 ) ≤ E f (p0 , p0 ) ≤ E f (p0 , p )
Uvedený vztah znamená, že při jakékoli odchylce od optimální smíšené strategie si hráč pohorší,
jestliže protihráč zvolil optimální smíšenou strategii.
Očekávaná hodnota výplaty, která odpovídá optimálním smíšeným strategiím obou hráčů, tj.
B
E f (pA
0 , p0 ), představuje cenu hry v.
B
Trojice údajů (pA
0 , p0 , v) představuje řešení hry v oboru smíšených strategií.
Podle základní věty maticových her existuje pro každou maticovou hru řešení ve smíšených
strategiích.
Důsledek volby optimální smíšené strategie se neprojeví při jednotlivém rozhodování v konkrétní
situaci, ale při opakovaném provádění hry budou na tom hráči rozhodně lépe, když se přidrží svých
optimálních strategií.
1.3.5
Grafické řešení maticových her
Pokud je hra m × 2 nebo 2 × n, lze ji řešit jednoduchým grafickým způsobem. Vzpomeňte na grafické
odvozování velikosti koeficientu α u Hurwitczova přístupu při rozhodování za nejistoty. Do podobné
soustavy souřadnic budeme zakreslovat prvky výplatní matice. Pokud budeme řešit hru 2 × n, na ose
x budeme zjišťovat, jaké jsou smíšené strategie hráče A. Na osu v (kolmice na osu x v bodě 0) budeme
vynášet číslo , které je ve výplatní matici na pozici (1, k), kde k = 1, 2, . . . , n. Na osu z (kolmice na
osu x v bodě 1) budeme vynášet číslo, které je ve výplatní matici na pozici (2, k), kde k = 1, 2, . . . , n.
Oba body (prvky výplatní matice), příslušející jedné strategii hráče B, vždy spojíme přímkou. Když
máme zakreslené všechny úsečky příslušející strategiím hráče B, hledáme část úsečky, pod kterou se
nenachází body jiné úsečky. Tato část představuje graf minimální očekávané výhry hráče A. Pokud
řešíme hry typu m × 2, vynášíme na osy v,z prohry hráče B při jednotlivých strategiích hráče A.
Postup budeme ilustrovat na následujících příkladech.
Řešený příklad 8. Mějme matici
A=
1 −2 5
3 4 0
.
S jakými pravděpodobnostmi má hráč A volit svě strategie? Jaká je cena hry?
Řešení. x01 =
4
, x02
11
=
7
,v
11
20
.
11
=
Grafické řešení viz obrázek 1.2.
v
z
v
0
1
x 02
x 01
x
Obrázek 1.2: Grafické řešení příkladu 8
2
1.3. JEDNOMATICOVÉ HRY
13
Řešený příklad 9. Mějme matici
A=
1 −1 3
4 −5 2
.
S jakými pravděpodobnostmi má hráč A volit své strategie a jaá je cena hry?
Řešení. x01 = 1, x02 = 0, v = −1. Grafické řešení viz obrázek 1.3.
v
0
z
1
v
x 01
x
Obrázek 1.3: Grafické řešení příkladu 9
2
Řešený příklad 10. Mějme matici


5 −2
B =  3 1 .
2 0
S jakými pravděpodobnostmi má hráč B volit své strategie a jaká je cena hry?
Řešení. y01 = 0, y02 = 1, v = 1. Grafické řešení viz obrázek 1.4.
v
z
v
0
1
y 02
x
Obrázek 1.4: Grafické řešení příkladu 10
2
Řešený příklad 11. Mějme matici
14
KAPITOLA 1. TEORIE HER
v
z
v
0
1
y 02
x
y 01
Obrázek 1.5: Grafické řešení příkladu 11
B=
2 −1
1 3
.
S jakými pravděpodobnostmi má hráč B volit své strategie a jaká je cena hry?
Řešení. y01 = 45 , y02 = 15 , v = 57 . Grafické řešení viz obrázek 1.5.
2
1.3.6
Řešení maticových her metodami LP
Mějme výplatní matici



A=

a11
a21
..
.
a12
a22
..
.
...
...
..
.
a1n
a2n
..
.
am1 am2 . . .
amn



.

Následující soustavou nerovnic lze vyjádřit požadavek, aby optimální strategie hráče A tomuto
hráči zajistila výhru nejméně v hodnotě ceny hry v, ať už hráč B volí jakoukoliv ze svých ryzích
strategií:
a11 x01 + a21 x02 + · · · + am1 x0m ≥ v
a12 x01 + a22 x02 + · · · + am2 x0m ≥ v
..
.
a1n x01 + a2n x02 + · · · + amn x0m ≥ v
V případě, že matice obsahuje záporná čísla, ke všem jejím prvkům přičteme dostatečně velké
kladné číslo. Tím získáme strategicky ekvivalentní hru, jejíž cena bude o přičítanou konstantu vyšší.
Pokud je nezápornost prvků matice splněna, vydělíme cenou každou nerovnici soustavy a podíly xv0i
nahradíme symbolem ti pro i = 1, 2, . . . , m. Soustava má pak tvar
a11 t1 + a21 t2 + · · · + am1 tm ≥ 1
a12 t1 + a22 t2 + · · · + am2 tm ≥ 1
..
.
a1n t1 + a2n t2 + · · · + amn tm ≥ 1
1.3. JEDNOMATICOVÉ HRY
Do podmínky
Pm
i=1
15
x0i = 1 za x0i dosadíme součin vti . Potom platí
v
Xm
i=1
ti = 1, neboli
m
P
i=1
ti = v1 .
Danou úlohu můžeme zapsat jako úlohu LP. Na množině nezáporných
řešení soustavy linePm
árních nerovnic hledáme minimum lineární funkce f = i=1 ti . Cena hry se rovná převrácené
hodnotě účelové funkce a pro optimální strategii hráče A platí x0i = vti pro i = 1, 2, . . . , m.
Nyní zformulujeme model z hlediska hráče B. Očekávaná prohra hráče B nesmí být větší než cena
hry, ať už hráč A volí kteroukoliv ze svých ryzích strategií. Musí platit
a11 y01 + a12 y02 + · · · + a1n y0n ≤ v
a21 y01 + a22 y02 + · · · + a2n y0n ≤ v
..
.
am1 y01 + am2 y02 + · · · + amn y0n ≤ v
I u hráče B upravíme výplatní matici tak, aby cena hry byla kladná a položíme
1, 2, . . . , n. Soustavu pak můžeme napsat ve tvaru
y0j
v
= sj , j =
a11 s1 + a12 s2 + · · · + a1n sn ≤ 1
a21 s1 + a22 s2 + · · · + a2n sn ≤ 1
..
.
am1 s1 + am2 s2 + · · · + amn sn ≤ 1
Pn
y0j = 1 za y0j dosadíme součin vsj . Potom platí
P
P
v nj=1 sj = 1, neboli nj=1 sj = v1 .
P
Snaha hráče B je minimalizovat cenu hry neboli maximalizovat součet nj=1 sj . Stejně jako u hráče
A, i zde je možné úlohu zformulovat jako úlohu LP. Na množině P
nezáporných řešení soustavy
lineárních nerovnic hledáme maximum lineární funkce z = nj=1 sj . Úlohy jsou duálně sdružené.
Do podmínky
j=1
Příklad 4. Pro hru Kámen-Nůžky-Papír zapíšeme výplatní matici (strategie jsou v pořadí kámen,
nůžky, papír) a určíme optimální smíšené strategie pomocí LP.


0
1 −1
1 .
A =  −1 0
1 −1 0
Výplatní matici upravíme přičtením čísla 1, aby matice neobsahovala záporná čísla.


1 2 0
A =  0 1 2 .
2 0 1
Z hlediska hráče A je model následující:
t1 + 2t3 ≥ 1
16
KAPITOLA 1. TEORIE HER
2t1 + t2 ≥ 1
2t2 + t3 ≥ 1
t1 , t2 , t3 ≥ 0
f = t1 + t2 + t3 → min
Z hlediska hráče B je model následující:
s1 + 2s2 ≤ 1
s2 + 2s3 ≤ 1
2s1 + s3 ≤ 1
s1 , s2 , s3 ≥ 0
f = s1 + s2 + s3 → max
Výsledky pro hráče A: t1 = 31 , t2 = 13 , t3 = 13 , f = 1 ⇒ v ‘ = 1, v = v ‘ − 1 = 0 Výsledky pro
hráče B: s1 = 13 , s2 = 31 , s3 = 31 , z = 1 ⇒ v ‘ = 1, v = v ‘ − 1 = 0.
1.3.7
Hry hrané proti přírodě
To je téma velmi podobné rozhodování za nejistoty, připomeňme řešený příklad 1.
Při řešení her hraných proti přírodě má smysl hovořit jen o optimální strategii hráče A. Tento
pojem však není zcela vyjasněn, přičemž různý přístup k problému optimální strategie hráče A ve
hrách proti přírodě může vést u téže hry k odlišným výsledkům.
Jednou z možností pro řešení her s přírodou je uplatnění principu minimaxu. Tento přístup, který
předpokládá zákeřnost přírody, je projevem přílišné opatrnosti a může vést k nepřijatelným rozhodnutím. Správnější přístup k řešení her proti přírodě spočívá v aplikaci postupů známých pro jednokriteriální hodnocení rizikových variant (viz rozhodování za rizika). Ve srovnání s těmito postupy
však princip minimaxu umožňuje řešení her proti přírodě ve smíšených strategiích, tzn. připouští
kombinace některých rozhodnutí.
Různé možnosti řešení her hraných proti přírodě ilustrujeme na následujícím příkladu.
Řešený příklad 12. Pacient je postižen chorobou, která mohla být vyvolána pěti kmeny bakterií.
Lékař ještě nezjistil přesnou diagnózu a rozhoduje se o předepsání jednoho ze tří léků. První lék
zaručuje na 50 % zničení prvních čtyř bakteriálních kmenů. Druhý lék bezpečně ničí první kmen.
Třetí lék ničí v 50 % druhý kmen a je zaručeným prostředkem proti pátému kmenu. Pro který lék se
má lékař rozhodnout, chce-li maximalizovat pravděpodobnost zničení všech bakteriálních kmenů?
Uvedený rozhodovací problém představuje hru hranou proti přírodě, ve které strategie lékaře jsou
dány předepsáním prvního nebo druhého nebo třetího léku a strategie „přírodyÿ spočívají ve výskytu
jednotlivých bakteriálních kmenů. V příslušné výplatní matici (označme ji A) prvek aij představuje
pravděpodobnost, s jakou i-tý lék ničí j-tý bakteriální kmen (i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3, 4, 5).
Řešení.
lék 1
lék 2
lék 3
kmen I

0,5
 1
0
Matice A:
kmen II kmen III
0,5
0
0,5
0,5
0
0
kmen IV
0,5
0
0
kmen V

0
0 
1
1.4. DVOUMATICOVÉ HRY – HRY DVOU HRÁČŮ S NEKONSTANTNÍM SOUČTEM
17
Pokud připustíme zlomyslnost přírody, řešíme danou úlohu jako hru hranou podle minimaxu.
Matice A nemá sedlový bod, takže lékař se nemůže jednoznačně rozhodnout pro jeden ze tří
uvažovaných léků.
Jestliže v matici A vynecháme řádky a sloupce, které odpovídají dominovaným strategiím, získáme
matici 2 × 2 tvaru
lék 1
lék 3
kmen III
0,5
0
kmen V
0
1
Jestliže na tuto matici aplikujeme vzorce (6,2) a (6,3), bude platit x01 = 23 , x03 = 31 , v = 13 .
Podle tohoto výsledku by měl lékař pacientovi předepsat lék 1 a lék 3 a nařídit mu, aby tyto léky
užíval v poměru 2:1. Očekávaný úspěch této léčby by byl přibližně 33 %.
Při optimistickém přístupu lékaře k předepisování léků by se jako nejúčinnější jevil lék 2 nebo lék
3 (za předpokladu, že bakteriální kmen bude typu I nebo V).
Jestliže lékař zjistil, že uvažované bakteriální kmeny se vyskytují v poměru 1:3:3:2:5, tj. s prav1 3 3 1 5
, 14 , 14 , 7 , 14 , mohl by uplatnit některé pravidlo pro rozhodování za rizika. Např.
děpodobnostmi 14
při použití pravidla očekávané (střední) hodnoty porovnáme očekávané pravděpodobnosti účinnosti
9 1 13
jednotlivých léků, tj. zlomky 28
, 14 , 28 . Z tohoto porovnání vychází nejlépe lék 3.
2
Rozmysli: Rozmyslete si, že se vskutku jedná o stejnou situaci jako u jednokriteriálního hodnocení variant. Řešení této úlohy přes tzv. zaručenou výhru (zaručený zisk) dává stejné řešení
jako řešení při rozhodování za nejistoty pesimistickým pravidlem. A podobně řešení této úlohy přes
maximální možný zisk dává stejné řešení jako řešení rozhodování za nejistoty optimistickým pravidlem.
1.4
1.4.1
Dvoumaticové hry – hry dvou hráčů s nekonstantním
součtem
Model neantagonistického konfliktu dvou hráčů
Při neantagonistickém konfliktu každý z hráčů sleduje své zájmy, které ovšem nemusí být v protikladu
se zájmy protihráče. Jedná se o hry s nekonstantním součtem. Hráč A má opět možnost volit strategie
x1 , x2 , . . . , xm , hráč B má možnost volit mezi strategiemi y1 , y2 , . . . , yn . Připomeňme, že výplatu
hráče A při volbě strategií xi , yj značíme f1 (xi , yj ). Výplata hráče B je f2 (xi , yj ). U her s konstantním
součtem bylo možné z výplaty jednoho hráče odvodit i výplatu protihráče. U neantagonistického
konfliktu toto možné není, neboť
f1 (xi , yj ) + f2 (xi , yj ) 6= konst.
Z tohoto důvodu je nutné pro každého hráče napsat matici jeho výplat. Tyto hry se proto nazývají
dvoumaticové hry. Hry tohoto typu mohou být nekooperativní a kooperativní. Kooperativní hry pak
můžeme rozdělit na hry s přenosnou výhrou (hráči se dohodnou na rozdělení společné výhry) a na
hry s nepřenosnou výhrou (hráči se dohodnou pouze na volbě strategií).
1.4.2
Nekooperativní hry
Tak jako u her s konstantním součtem jsme hledali optimální strategie hráčů, i v tomto typu her
hledáme optimální strategie - zde hledáme Nashův rovnovážný bod. Tento bod reprezentuje
dvojici strategií (x0 , y0 ) - tzv. rovnovážné strategie.
f1 (xi , y0 ) ≤ f1 (x0 , y0 ) ∀i ∈ {1, 2, . . . , m}
f2 (x0 , yj ) ≤ f2 (x0 , y0 ) ∀j ∈ {1, 2, . . . , n}
18
KAPITOLA 1. TEORIE HER
Neboli opět hledáme takový bod, ze kterého se nevyplatí žádnému hráči utéci, tj. bod, ve kterém
když jeden z hráčů sám změní strategii, potom si tento hráč pohorší. (Rozmyslete si, že přesně to je
smyslem výše zapsaných nerovnic.)
U her s nekonstantním součtem si při odchýlení od optimální strategie hráč sám pohorší a může
způsobit i zhoršení výplaty protihráče. U her s konstantním součtem hráč, který se odchýlil, zajistí
protihráči vyšší výplatu (dokonce, přesně o kolik si pohoršil, o tolik protihráči přilepšil).
Řešený příklad 13. Uvažujme dva investory, kteří přemýšlejí o vstupu na trh ve třech různých
odvětvích, ve kterých si mohou konkurovat. Každý z nich volí jedno odvětví, do kterého se rozhodne
vstoupit, to znamená, nejprve si v něm udělá reklamu a poté do něj vstoupí. Tabulka uvádí zisky
jednotlivých investorů v jednotlivém odvětví v případě, že tam vstoupí sami či oba.
1. investor
2. investor
zisk
1. odvětví
2. odvětví
3. odvětví
1. odvětví
2. odvětví
3. odvětví
sami
9,5
13
12
8,9
8
10
oba
6
7
8
5,5
7
7
Řešení. Tuto hru můžeme zapsat více způsoby. Jedna možnost je zapsat ji pomocí dvou samostatných matic, kdy první matice vyjadřuje výplatu prvního hráče a druhá výplatu druhého hráče.
Druhou možností je zapsat hru do jedné matice, kde na každé pozici budou dva prvky, první bude
udávat výplatu prvního hráče a druhý výplatu druhého. Pro ilustraci uveďme obě možnosti.
A=
1. odv.
2. odv.
3. odv.
1. odv.

6
 13
12
2. odv.
9,5
7
12
1. odvětví
2. odvětví
3. odvětví
3. odv.

9,5
13  ,
8
 1. odvětví
(6 , 5,5)
 (13 , 8,9)
(12, 8,9)
B=
1. odv.
2. odv.
3. odv.
2. odvětví
(9,5 , 8)
(7,7)
(12, 8)
1. odv.

5,5
 8,9
8,9
2. odv.
8
7
8
3. odv.

10
10  .
7
3. odvětví
(9,5,10)
(13 , 10) 
(8,7)
Na tomto příkladu budeme ilustrovat hledání Nashova rovnovážného bodu. Ten se hledá následujícím způsobem:
• V matici, reprezentující výplaty hráče A, nalezneme ve sloupcích maxima a příslušné pozice si
zaznamenáme.
• V matici B najdeme maxima v řádcích a příslušné pozice si také zaznamenáme.
• Zjistíme, zda existuje pozice, na které je zároveň maximum ve sloupci matice A a zároveň
maximum v řádku matice B. Pokud taková či takové pozice existují, určují Nashův či Nashovy
rovnovážné body.
Vyznačme tedy v zadaném příkladu maxima ve sloupcích matice A a maxima v řádcích matice B.
1.4. DVOUMATICOVÉ HRY – HRY DVOU HRÁČŮ S NEKONSTANTNÍM SOUČTEM
1. odvětví
2. odvětví
3. odvětví
1. odvětví
(6 , 5,5)
 (13 , 8,9)
(12, 8,9)
2. odvětví
(9,5 , 8)
(7,7)
(12, 8)
19
3. odvětví
(9,5 , 10)
(13 , 10) 
(8,7)
Vidíme, že v tomto případě máme právě jeden rovnovážný bod, a to bod na pozici [2, 3].
2
Existuje-li právě jeden rovnovážný bod (jako v tomto případě), potom nám tento bod udává
optimální strategie hráčů. Neboli v tomto případě má první hráč investovat do 2. odvětví a druhý
hráč do 3. odvětví. Pokud by od této strategie jeden z nich upustil a druhý ji dodržel, potom by si
ten, kdo změnil strategii, pohoršil (viz matice zisků).
Ovšem ne každá úloha má takto jednoduché řešení, ve skutečnosti mohou nastat ještě dvě jiné
možnosti – buď Nashův rovnovážný bod vůbec neexistuje nebo jich existuje více. V případě, že
Nashův rovnovážný bod vůbec neexistuje, pak je možné úlohu řešit buď kooperací (viz dále) nebo
pomocí metod rozhodování za nejistoty (viz příslušná kapitola). V případě existence více Nashových
bodů rozlišujeme dvě situace – rozlišujeme, zda existuje či neexistuje Nashův rovnovážný bod, který
všechny ostatní Nashovy body dominuje.
Definice 3. Předpokládejme úlohu, která má k Nashových rovnovážných bodů, kde k ≥ 2. Strategie,
které určují tyto body označme ([i1 , j1 ], [i2 , j2 ], . . . , [ik , jk ]). Potom řekneme, že jeden z nich – bod
[i0 , j0 ] – je dominujícím Nashovým rovnovážným bodem, pokud platí
ai0 > ail ∀l = 1, . . . , k, i0 6= il ∧ bi0 > bil ∀l = 1, . . . , k, i0 6= il .
Pokud jeden z Nashových rovnovážných bodů ostatním dominuje, potom si hráči přirozeně vyberou tento a problém je vyřešen. Pokud tomu tak není, může se stát, že každý z hráčů zvolí jiný
rovnovážný bod, čímž se dostanou do oboustranně nevýhodné situace.
Příklad 5. Uvažujme obdobný příklad jako předchozí, jen pozměňme možné zisky jednotlivých investorů.
1. investor
2. investor
zisk
1. odvětví
2. odvětví
3. odvětví
1. odvětví
2. odvětví
3. odvětví
sami
9,5
9,8
12
8,9
11
10
oba
6
6
8
5,5
6
7
V takovém případě je matice zisků následující.
1. odvětví
2. odvětví
3. odvětví
 1. odvětví
(6 , 5,5)
 (9,8 , 8,9)
(12, 8,9)
2. odvětví
(9,5 ,11)
(6,6)
(12, 11)
3. odvětví 
(9,5,10)
(9,8 , 10) 
(8,7)
Vyznačme v zadaném příkladu opět maxima ve sloupcích matice A a maxima v řádcích matice B.
20
KAPITOLA 1. TEORIE HER
1. odvětví
2. odvětví
3. odvětví
 1. odvětví
(6 , 5,5)
 (9,8 , 8,9)
(12, 8,9)
2. odvětví
(9,5 , 11)
(6,6)
(12, 11)
3. odvětví 
(9,5 , 10)
(9,8 , 10) 
(8,7)
V tomto případě máme dva rovnovážné body, bod a32 a a23 . Tentokrát máme štěstí, protože bod a32
dominuje bod a23 , neboli pro oba investory je výhodnější zvolit bod a32 než volit bod a23 . A tedy jejich
rozhodnutí je zřejmé.
Příklad 6. Opět uvažujme obdobný příklad, jen s jinými zisky jednotlivých investorů.
1. investor
2. investor
zisk
1. odvětví
2. odvětví
3. odvětví
1. odvětví
2. odvětví
3. odvětví
sami
9,5
9,8
12
8,9
9
10
oba
6
6
8
5,5
6
7
Zapišme matici zisků.
1. odvětví
2. odvětví
3. odvětví
 1. odvětví
(6 , 5,5)
 (9,8 , 8,9)
(12, 8,9)
2. odvětví
(9,5 ,9)
(6,6)
(12, 9)
3. odvětví 
(9,5,10)
(9,8 , 10) 
(8,7)
Vyznačme v zadaném příkladu maxima ve sloupcích matice A a maxima v řádcích matice B.
1. odvětví
2. odvětví
3. odvětví
 1. odvětví
(6 , 5,5)
 (9,8 , 8,9)
(12, 8,9)
2. odvětví
(9,5 , 9)
(6,6)
(12, 9)
3. odvětví 
(9,5 , 10)
(9,8 , 10) 
(8,7)
Tentokrát máme dva rovnovážné body, bod a32 a a23 , ovšem pro prvního hráče by byl výhodnější bod
a32 a pro druhého a23 . Tedy žádný z bodů není dominující. Pokud se první hráč rozhodne pro bod a32
a druhý pro a23 , tedy první hráč zvolí investici do 3. odvětví a stejně tak druhý, dostanou se oba do
nevýhodné situace, do bodu a33 se zisky 8 a 7. Pokud by se oba rozhodli volit bod, který je výhodnější
pro druhého z nich, potom by se dostali ještě do horší situace, oba by zvolili investici do 2. odvětví
a dosáhli by zisku pouze po 6.
V tomto případě nelze úlohu řešit přes Nashovy rovnovážné body a je nutné ji buď řešit kooperací,
je-li to možné, nebo přes zaručené zisky.
1.4. DVOUMATICOVÉ HRY – HRY DVOU HRÁČŮ S NEKONSTANTNÍM SOUČTEM
1.4.3
21
Známé příklady nekooperativních her
Vězňovo dilema. Uvažujme dva lidi ve vyšetřovací vazbě, kteří společně spáchali nějaký trestný
čin. Oba vědí, že situace je následující. Pokud se ani jeden z nich nepřizná, potom se vyšetřovatelům
nepodaří najít proti nim dostatek důkazů a budou odsouzeni každý k maximálně dvou letům vězení.
V případě, že se jeden z nich přizná a druhý nikoliv, ten, co se přiznal, dostane pouze jeden rok,
přiznání je polehčující okolnost a druhý dostane deset let. V případě, že se přiznají oba, dostanou
po šesti letech. Jak se mají rozhodnout, přiznat, nepřiznat?
Vězňovo dilema je model konfliktu, ve kterém obtížnost situace spočívá v tom, že oboustranně
výhodné řešení existuje, ale je pro oba zúčastněné riskantní, neboť jednostranné porušení solidárního
jednání vede k podstatné výhodě pro toho, kdo toto jednání porušil a k nevýhodě pro toho, kdo na
oboustrannou solidárnost spoléhal.
Matice této hry je následující.
N
P
N
P
(2 , 2) (10 , 1)
(1, 10) (6, 6)
Nashův rovnovážný bod této hry existuje, je jím přiznání obou aktérů. (Připomeňme, že tentokrát
se hráči snaží minimalizovat svůj pobyt za mřížemi, pro hledání sedlového bodu tedy používáme
minima ve sloupcích první matice a minima v řádcích druhé matice.) Je ale vidět, že pokud by se
vězni mohli domluvit nebo si věřit, potom by pro ně bylo výhodnější se nepřiznávat.
Dalším typem konfliktu je tzv. manželský spor. Uvažujeme situaci, kdy se manželé rozhodují,
jak stráví volné odpoledne. Muž by rád odpoledne strávil na sportovním stadiónu, kdežto žena by
dala přednost kulturnímu odpoledni. Avšak oba chtějí trávit odpoledne společně. Vyjádřeno pomocí
preferencí, žena by nejraději strávila kulturní odpoledne, ovšem pouze za předpokladu, že tam s ní
bude i její muž. Další varianta v pořadí je pro ni strávení sportovního odpoledne s mužem a pokud by
měla trávit odpoledne sama, nebude z toho mít žádný užitek. Podobně je na tom muž, nejraději by
byl na sportovním stadiónu se svou ženou, potom by preferoval kulturní odpoledne se ženou a trávení
odpoledne bez ženy by mu žádný užitek nepřineslo.
Toto je typ konfliktu, kdy existuje více dvojic rovnovážných strategií, z nichž žádná není dominující. Matici tohoto sporu můžeme zapsat například následovně.
K
S
K
S
(2 , 1) (0 , 0)
(0, 0) (1,2)
Tentokrát tedy existují dva Nashovy rovnovážné body, a to kombinace (K, S) a kombinace (S, K).
Problémem tentokrát je, že žádný z těchto dvou bodů není dominující (pro ženu je výhodnější kombinace (K, S), ale pro muže (S, K)). V takovémto případě je problém, že pokud by se každý z hráčů
rozhodl pro jiný rovnovážný bod, potom společně dojdou k řešení, které je oboustranně nevýhodné
(například žena půjde za kulturou a bude totéž čekat od muže, ale ten půjde na stadión (a totéž čeká
od ženy), tím se oba dostanou do situace, ze které ani jeden z nich nebude mít užitek).
Další typ konfliktu nazveme prestiž. Uvažujme situaci inspirovanou filmem Rebel bez příčiny.
Dva lidé jedou autem po cestě, která končí prudkým vysokým srázem do moře. Jedná se o to, který
z nich první situaci nevydrží a z auta vyskočí, ten ztratí svou prestiž, druhý vyjde jako vítěz.
Matici této hry můžeme napsat například následovně. (U – ustoupit, N – neustoupit)
22
KAPITOLA 1. TEORIE HER
U
N
U
N
(0 , 0)
(-5 , 5)
(5, -5) (-100,-100)
Předpokládáme, že ztráta prestiže je pro účastníky nepříjemná, ale stále příjemnější, než ztráta
života, ke které by došlo, pokud by ani jeden z účastníků neustoupil.
Každý z hráčů může buď ustoupit nebo neustoupit. Pokud oba hráči ustoupí, je výsledek neutrální,
jednostranná ústupnost vede ke ztrátě prestiže toho, kdo ustoupil, oboustranná neústupnost vede ke
krajně nepříznivým výsledkům u obou hráčů.
Nashovy rovnovážné body jsou opět dva a žádný není dominující.
Poslední typ konfliktu, který popíšeme, nazveme auta. Modeluje situaci, kdy jede kolona aut,
ve které je sem tam mezera pro jedno auto, ovšem na zařazení do této kolony čekají dvě auta stojící
proti sobě. V případě, že se jedno z aut rozhodne zařadit a druhé nezařadit, první auto z toho má
velký užitek (jede dál), ale druhé auto také něco získá, zůstane samo čekající, tedy příští mezera je
jeho. Pokud se obě rozhodnou nezařadit, pak z této mezery neměla obě žádný užitek a v případě, že
se rozhodnou zařadit obě auta zároveň, dojde ke srážce a tedy užitek pro obě auta je záporný.
Matici této hry můžeme zapsat například následovně (J – jede, N – nejede):
J
N
J
N
(-100 , -100) (5 , 2)
(2, 5)
( 0, 0)
Tato hra má opět dva Nashovy rovnovážné body, z nichž žádný není dominující. Navíc, pokud se
v tomto případě hráči nestrefí do rovnovážného bodu, oba si pohorší. Jediným východiskem je opět
(viz příklad 6) buď kooperace nebo řešení přes zaručený zisk. V jiném případě je hra velmi riskantní.
1.4.4
Kooperativní hry s přenosnou výhrou
V případě her s nekonstantním součtem, až na výjimky, hráči mohou dosáhnout vyšších zisků, pokud
se spolu dohodnou, jak hrát. V mnoha případech není z principu problému možné (někdy to není
legální), aby hráči spolupracovali (kooperovali). Podívejme se, jak se dvoumaticové hry řeší kooperativním způsobem. Předpokládáme tedy, že hráči se dopředu mohou dohodnout, jak budou hrát.
V takovém případě chtějí maximalizovat společný zisk (popř. minimalizovat společnou ztrátu). Stačí
tedy zapsat matici společného zisku, což je matice A + B (matice A je maticí zisku prvního hráče,
matice B je maticí zisku druhého hráče). Matematicky zapsáno řešíme:
max(aij + bij ).
i,j
Obecněji
max(f1 (x, y) + f2 (x, y)),
x,y
kde f1 je zisková funkce prvního hráče a f2 je funkce zisku druhého hráče.
Maximalizujeme tedy společný zisk. V tomto případě budou mít hráči dohromady minimálně
stejně jako v rovnovážném bodě. To, co budou mít případně navíc, nazýváme superaditivním
efektem.
Řešený příklad 14. Uvažujme dvoumaticovou hru, kde každý hráč má tři možné strategie a výplatní
matice hráčů vypadají následovně:


5 3 1
A= 3 2 2 
0 1 0


2 5 3
B= 3 7 5 
4 3 2
1.4. DVOUMATICOVÉ HRY – HRY DVOU HRÁČŮ S NEKONSTANTNÍM SOUČTEM
23
Řešení. Nejprve se podívejme, zda má tato hra nějaký rovnovážný bod. Standardním způsobem
zjistíme, že má právě jeden rovnovážný bod, a to strategie (1, 2), v takovém případě dosahují zisku 3
a 5. Budeme-li tuto hru řešit s možností kooperace, potom hledáme maximum v matici (hráči hledají
maximální společný zisk)


7 8 4
A + B =  6 9 7 .
4 4 2
Optimální strategií tedy bude kombinace strategií (2, 2), největší možný společný zisk je 9 a je tedy
oproti předchozímu řešení vyšší. Superaditivní efekt je v tomto případě 1 (9 − (3 + 5)).
2
Ovšem tím, že hráči znají optimální strategie k dosažení společného maximálního zisku, problém
nekončí. Nastává další problém, a to je problém rozdělení tohoto společného zisku. (Všimněte si, že
kdyby si měl každý ponechat jen to, co si skutečně vydělal, potom by první hráč na kooperaci tratil,
protože by měl zisk pouze 2, kdežto v Nashově rovnovážném bodě měl zisk 3.)
Všechny varianty, jak si mohou hráči zisk rozdělit, se nazývají jádro hry. To můžeme zakreslit
na grafu, viz obrázek 1.6. Osa x představuje výhru prvního hráče (v1 ), osa y výhru druhého hráče
(v2 ). Předpokládáme, že společná výhra má hodnotu v a první hráč musí obdržet minimálně výhru
z1 a druhý minimálně z2 . Potom jádrem hry je úsečka AB, kde jsou všechny kombinace, jak si mohou
hráči výhru rozdělit.
Obrázek 1.6: Jádro hry
Jádro hry může vycházet buď z minimaxu, z Nashova rovnovážného bodu (problém nastane, když
existují dva nebo neexistuje) nebo z úvahy – nechceme, aby někdo utekl. Všechny tyto varianty si
vysvětlíme dále.
Řešený příklad 15. Jakými způsoby si mohou účastníci hry řešeného příkladu 14 rozdělit zisk?
24
KAPITOLA 1. TEORIE HER
Řešení. V tomto případě existuje jeden rovnovážný bod, v němž mají účastníci hry zisky 3 a 5.
To můžeme vzít za základ pro dělení výhry a každému dát to, co by získal v rovnovážném bodě.
Zbývající zisk (superaditivní efekt), v tomto případě má hodnotu 1, můžeme mezi hráče libovolně
podělit, například spravedlivě napůl. V takovém případě by první hráč získal z dosaženého zisku 3, 5
a druhý 5, 5.
Druhou metodou je dělení podle minimaxu neboli zaručeného zisku. První hráč má zaručený zisk
2 (když zvolí druhou strategii, musí dosáhnout zisku alespoň 2) a druhý hráč má zaručený zisk 3
(pokud zvolí druhou strategii). Tato metoda tedy radí dát každému jeho zaručený zisk a zbytek
nějakým způsobem mezi hráče rozdělit (třeba napůl).
Třetí metodou je dělení na principu „aby se nikomu nevyplatilo utéciÿ. Hráčům je doporučeno pro
maximalizaci společného zisku zahrát strategie (2, 2). Pokud by první hráč měl ze společného zisku
zaručen příjem menší než 3, hrozilo by, že na poslední chvíli změní svou strategii (není-li vázán žádnou
smlouvou a nehrozí mu žádné sankce) a zahraje první strategii. Tím by měl šanci (za předpokladu,
že druhý hráč zůstane u druhé strategie) získat výhru v hodnotě 3. Druhý hráč má největší možnou
výhru v případě, že první hráč bude volit druhou strategii, právě v bodě společného maxima. Je tedy
motivován v tomto bodě setrvat, ale vyplatilo by se mu po realizaci se svou výhrou utéci. Pokud by
to nebylo možné, potom by měl mít zisk alespoň 5, aby neměl motivaci měnit strategii.
2
Řešený příklad 16. Uvažujme dvoumaticovou hru s
B následující.

3 2

6 2
B=
0 2
maticí A jako v předchozím příkladu a s maticí

5
3 
1
Řešení. V tomto případě neexistuje Nashův rovnovážný bod. Ale kooperativní řešení opět existuje!
Dělba zisku by v tomto případě musela proběhnout buď podle minimaxu nebo strategie „aby někdo
neuteklÿ.
2
1.4.5
Kooperativní hry s nepřenosnou výhrou
Zde se sleduje odděleně výhra každého hráče v1 a v2 (v Nashově rovnovážném bodě). V maticích
zisků pak hledáme čísla aij a bij tak, aby platilo
aij > v1 a zároveň bij ≥ v2 nebo aij ≥ v1 a zároveň bij > v2 .
Neboli hledáme, zda existují strategie (i a j) takové, že při volbě těchto strategií dosáhnou oba hráči
alespoň takového zisku, jako kdyby hráli samostatně a jeden hráč dosáhne lepšího zisku, než jaký
má zaručen bez kooperace. Pokud takové strategie existují, je výhodné alespoň pro jednoho hráče
smlouvu o kooperaci uzavřít.
1.5
Oligopol
Oligopolem rozumíme situaci na trhu, kdy jej ovládá několik málo firem. Tyto firmy nemohou ovlivnit cenu výrobku, tu určuje trh, ale určují množství výrobků na trh dodávaných. Pokud trh ovládají
pouze dvě firmy, mluvíme o duopolu. V této kapitole popíšeme pro jednoduchost právě situaci duopolu. Modely ostatních oligopolů by se řešily podobným způsobem.
1.5. OLIGOPOL
1.5.1
25
Značení
Nejprve zaveďme značení.
q1 , q2 – objem výroby prvního, resp. druhého výrobce,
Q = q1 + q2 – celkový objem výroby na trhu,
p – cena výrobku (tu utvoří trh), společná pro oba (závisí na objemu výroby – Q, který je na
trhu),
c1 , c2 – náklady prvního, resp. druhého výrobce (závisí na jeho objemu produkce),
z1 , z2 – zisk prvního, resp. druhého výrobce.
Je tedy zřejmé, že platí
z1 = p · q1 − c1 (q1 )
z2 = p · q2 − c2 (q2 ),
(1.4)
(1.5)
kde p závisí na Q, tedy p můžeme psát jako funkci dvou proměnných p(q1 , q2 ).
1.5.2
Nekooperativní model
Pokud duopolisté nemohou či nechtějí spolupracovat, potom každý z nich se snaží maximalizovat
svůj zisk, tedy funkci z1 , resp. z2 . Ovšem každá z těchto funkcí závisí na obou hodnotách q1 i q2 .
Jedná se tedy o hru dvou hráčů s nekonstantním součtem a s nekonečnou množinou všech strategií.
Oba duopolisté musí brát v úvahu svého kolegu, neboť cena se určí dle množství výrobků na trhu,
což je q1 + q2 . A bez znalosti ceny nemohou určit svůj zisk.
Stejně jako v případě maticových her je možno tuto situaci řešit pomocí sedlového bodu. Opět hledáme takovou kombinaci strategií, aby se žádnému z hráčů (v tomto případě duopolistů) nevyplatilo
utéci. U oligopolů se v případě nekooperativních modelů používají dva typy řešení – Stackelbergův
model a Cournotův model. Cournotův model předpokládá, že oligopolisté jsou si zhruba rovni, tedy
jeden nemůže nic diktovat druhému, jsou ve stejné situaci. Stackelbergelův model předpokládá, že jeden oligopolista je silnější, může určit objem výroby a druhý se mu bude muset přizpůsobit. V dalších
dvou částech popíšeme oba tyto modely.
Cournotův model
Vychází z konkurence v objemu výroby. Předpokládá, že oba duopolisté chtějí maximalizovat svůj
zisk za předpokladu, že vědí, že stejným způsobem se bude chovat také jejich protivník. Pokud
první oligopolista předpokládá, že druhý bude na trh dodávat množství výrobků q20 , potom on pro
maximalizaci svého zisku řeší následující rovnici:
∂p
∂z1
(q1 , q20 ) = p(q1 , q20 ) + q1 ·
(q1 , q20 ) − c01 (q1 ) = 0,
∂q1
∂q1
kde c01 (q1 ) je první derivace funkce c1 (q1 ) podle q1 .
Konkurent bude podle stejné filozofie řešit obdobnou rovnici (předpokládá, že objem výroby
prvního duopolisty je q10 ):
∂p 0
∂z2 0
(q1 , q2 ) = p(q10 , q2 ) + q2 ·
(q , q2 ) − c02 (q2 ) = 0.
∂q2
∂q2 1
Poněvadž oba předpokládají, že stejně se chová jejich konkurent, řeší následující soustavu dvou rovnic
o dvou neznámých:
∂z1
(q1 , q2 ) = p(q1 , q2 ) + q1 ·
∂q1
∂z2
(q1 , q2 ) = p(q1 , q2 ) + q2 ·
∂q2
∂p
(q1 , q2 ) − c01 (q1 ) = 0.
∂q1
∂p
(q1 , q2 ) − c02 (q2 ) = 0
∂q2
26
KAPITOLA 1. TEORIE HER
Uvědomme si, že řešení těchto rovnic odpovídá přesně hledání Nashova rovnovážného bodu. Budeli řešení v bodě (q10 , q20 ), potom se skutečně žádnému oligopolistovi nevyplatí utéci, poněvadž, pokud
by druhý také nezměnil strategii, on sám by si pohoršil (za předpokladu, že druhý strategii nezmění,
má v tomto bodě lokální extrém).
V tomto modelu lze také zapsat funkci závislosti množství výroby jedné firmy na objemu výroby
druhé.
Řešený příklad 17. Předpokládejme duopol, kde se cena utváří p = 80 − Q, náklady prvního
oligopolisty jsou c1 (q1 ) = 200 + 2q1 a druhého c2 (q2 ) = 150 + 5q2 . Předpokládejme možné rozsahy
výroby q1 ∈ [0, 50] a q2 ∈ [0, 40].
Řešení. Nejprve připomeňme, že v tomto případě máme rovnice zisku jednotlivých oligopolistů
v následujícím tvaru, viz rovnice (1.4), (1.5):
z1 = (80 − q1 − q2 )q1 − (200 + 2q1 ) = −q12 − q1 q2 + 78q1 − 200,
z2 = (80 − q1 − q2 )q2 − (150 + 5q2 ) = −q22 − q1 q2 + 75q2 − 150.
Chceme-li získat optimální řešení pomocí Cournotova modelu, potřebujeme vyřešit následující soustavu dvou rovnic o dvou neznámých.
∂z1
= −2q1 − q2 + 78 = 0
∂q1
∂z2
= −2q2 − q1 + 75 = 0
∂q2
Vyřešením této soustavy získáme řešení q1 = 27, q2 = 24. Cena se tedy ustálí na hodnotě p =
80 − 27 − 24 = 29. Zisk prvního oligopolisty při této ceně a rozsahu výroby 27 bude z1 = 29 · 27 −
(200 + 2 · 27) = 529, zisk druhého oligopolisty bude 426.
Z této soustavy rovnic také můžeme vyjádřit funkční předpis pro objem výroby jednotlivých
oligopolistů v závislosti na objemu výroby jeho konkurentů (funkce reakce oligopolistů). V tomto
případě získáváme:
q1 = 39 − 1/2q2
q2 = 37, 5 − 1/2q1 .
Toto by bylo úplné řešení problému, pokud bychom neuvažovali omezené možnosti výroby jednotlivých oligopolistů. Uvažujeme-li navíc omezení v rozsahu výroby, potom ještě musíme ověřit, jak
to vypadá na krajích definičního oboru. Je zřejmé, že nemusíme uvažovat případ, kdy jedna z firem
nevyrábí (dolní hranice definiční oboru), to by určitě nebyl rovnovážný bod, protože ať by byla cena
jakákoliv, firmě by se vyplatilo začít něco vyrábět, neboli utéci od strategie nulové výroby.
Podívejme se tedy na situaci, kdy by první firma vyráběla na horní hranici svých výrobních
možností, vyráběla by tedy množství 50. V takovém případě by zisková funkce druhé firmy byla
z2 (50, q2 ) = −q22 − 50q2 + 75q2 − 150 = −q22 + 25q2 − 150.
Tato funkce nabývá extrému v bodě q2 = 12, 5. Pokud ovšem hodnotu 12, 5 pro q2 dosadíme do
funkce zisku prvního oligopolisty, získáme funkci
z1 (q1 , q2 ) = −q12 − 12, 5q1 + 78q1 − 200 = −q12 + 65, 5q1 − 200.
Derivace této funkce (podle q1 ) je
0
z1 = −2q1 + 65, 5,
1.5. OLIGOPOL
27
a tedy v bodě 50 je to funkce klesající, prvnímu oligopolistovi by se tedy vyplatilo změnit strategii.
Tedy tento bod také není rovnovážným řešením.
Podobný výsledek získáme, pokud budeme uvažovat, že druhý oligopolista stanoví svůj objem
výroby na horní hranici svých výrobních možností. Zjistíme, že při objemu výroby 40 druhého oligopolisty by bylo pro prvního výhodné vyrábět 19. Ale pokud by první vyráběl 19, potom by zisková
funkce druhého oligopolisty v bodě 40 byla klesající, a tedy také se nejedná o rovnovážné řešení.
2
1.5.3
Stackelbergerův model
Tento model také vychází z předpokladu konkurence v objemu výroby, má stejné zadání jako předchozí model, ale liší se v tom, že v tomto modelu se předpokládá, že jedna firma bude vůdce a druhá
následník. Jedna firma může urči objem výroby a druhá firma se jí přizpůsobí. Tedy vedoucí firma
dovede zapsat závislost svého zisku pouze na objemu své výroby (objem výroby druhého výrobce je
vlastně funkcí její vlastní výroby, viz předchozí model). Z této funkce jedné proměnné potom maximalizuje svůj zisk. Druhá firma potom stanoví svůj objem výroby dle této první firmy. Tento model
bude fungovat, pokud jedna z firem je ochotná být následníkem. Budou-li chtít být následníkem obě,
nastává vlastně předchozí případ. Pokud ovšem obě firmy budou stanovovat svůj objem výroby dle
toho modelu a obě jako vůdci, potom se dostanou do oboustranně nevýhodné situace.
Řešený příklad 18. Uvažujme opět stejné zadání jako v řešeném příkladě 17. Předpokládejme, že
druhá firma je vůdce. Ona tedy počítá s tím, že pokud sama stanoví objem výroby q20 , potom první
firma stanoví svůj objem výroby jako q1 = 39 − 1/2q2 (funkce reakce, viz předchozí příklad).
Řešení. V tomto případě druhá firma může svůj zisk psát jako
1
2
z2 (q2 ) = −q2 − 39 − q2 q2 + 75q2 − 150
2
1
= − q22 + 36q2 − 150.
2
Jedná se tedy o funkci jedné proměnné, kterou chceme maximalizovat. Hledáme tedy q2 tak, aby
první derivace této funkce byla nulová, tj. aby
−q2 + 36 = 0.
Získáme řešení q2 = 36. (Poněvadž se jedná o parabolu a její vrchol leží uvnitř definičního oboru,
je zřejmé, že právě v tomto bodě nabývá tato funkce svého maxima (nemusíme tedy dopočítávat
hodnoty v krajních bodech intervalu).) Z toho vypočteme q1 = 21, cena bude p = 23 a zisky z1 = 451
a z2 = 498. Druhý oligopolista si polepšil.
2
Řešený příklad 19. Předpokládejme stejný příklad a situaci, že oba chtějí být vůdci.
Řešení. Nejprve se tedy podívejme, jaký rozsah výroby stanoví první oligopolista, pokud vychází
z předpokladu, že on je vůdce. První oligopolista tedy předpokládá, že druhá firma bude stanovovat objem výroby podle funkce reakce na jeho objem výroby, tedy dle funkce q2 = 37, 5 − 1/2q1 .
Předpokládá tedy, že jeho funkce zisku má následující tvar:
1
2
z1 (q1 ) = −q1 − 37, 5 − q1 q1 + 78q1 − 200
2
1
= − q12 + 40, 5q1 − 200.
2
28
KAPITOLA 1. TEORIE HER
Tato funkce nabývá maxima v bodě 40, 5.
Pokud tedy první oligopolista předpokládá, že on je vůdce, stanoví svůj rozsah výroby na hodnotu
40, 5 a předpokládá, že druhý oligoplista stanoví svůj objem výroby na 17, 25. A tedy, že cena se ustálí
na hodnotě 22, 25, při které může dosáhnout zisku 620, 125. (Očekává tedy, že si výrazně polepší.)
Pokud oba duopolisté budou realizovat své řešení získané za předpokladu, že právě oni jsou vůdci,
tedy první stanoví rozsah výroby na 40, 5 a druhý 36, oba na tom prodělají. Společně totiž vyrobí
příliš mnoho výrobků a cena (kterou utváří trh) bude velmi nízká. V našem případě bude cena 3, 5.
Oligopolisté tedy budou realizovat zisk z1 = −139, 25 a z2 = −204, neboli oba se dostanou do ztráty.
2
1.5.4
Kooperace – model kartelu
V nekooperativním modelu první oligopolista maximalizuje svou ziskovou funkci z1 a druhý ziskovou
funkci z2 . V kooperativním modelu společně maximalizují funkci společného zisku, což je z1 + z2 .
Hledáme tedy maximum funkce z = z1 + z2 , což je funkce dvou proměnných q1 a q2 . Funkce
dvou proměnných nabývá svého maxima buď v krajních bodech definičního oboru (je-li definiční
obor omezen) nebo v bodě, kde jsou její parciální derivace prvního řádu rovny nule a matice druhých
parciálních derivací je negativně definitní.
S využitím výše popsaného značení je tedy naším cílem maximalizovat funkci
z(q1 , q2 ) = p(q1 + q2 ) − c1 (q1 ) − c2 (q2 ).
Často ještě tuto funkci máme jen na omezené množině (oligopolisté mají omezený rozsah výroby),
proto maximum nastává buď v bodech, kde jsou první parciální derivace nulové nebo v krajních
bodech množiny.
Po nalezení optimální strategie výroby je tu ještě jeden problém, stejně jako v případě kooperativních her, a to problém přerozdělení zisku nebo-li nalezení jádra hry.
Řešený příklad 20. Uvažujme zadání řešeného příkladu 17. Jaká je optimální struktura výroby
duopolistů za předpokladu, že spolupracují?
Řešení. Tentokrát duopolisté chtějí maximalizovat společný zisk, který můžeme vyjádřit rovnicí
z(q1 , q2 ) = z1 (q1 , q2 ) + z2 (q1 , q2 )
= (80 − q1 − q2 )(q1 + q2 ) − (200 + 2q1 ) − (150 + 5q2 )
= −q12 − q22 − 2q1 q2 + 78q1 + 75q2 − 350.
Hledáme-li maximum funkce dvou proměnných, řešíme následující soustavu dvou rovnic o dvou neznámých.
∂z
= −2q1 − 2q2 + 78 = 0
∂q1
∂z
= −2q2 − 2q1 + 75 = 0
∂q2
Ovšem tato soustava nemá řešení (např. není splněna Frobeniova podmínka). Budeme tedy muset
hledat řešení v krajích definičního oboru (funkce jsou omezené, máme omezené výrobní možnosti).
(Kdyby nějaké řešení existovalo, museli bychom zkontrolovat, zda spadá do možných rozsahů výroby
pro oba oligopolisty, a tedy je to kandidát na maximum. Pokud by tomu tak bylo, vyšetřili bychom
ještě kraje přípustné množiny a ze všech kandidátů vybrali toho nejlepšího.)
1.5. OLIGOPOL
29
Začneme tedy kraji definičního oboru, kde první proměnná nabývá svého minima, tj. položme
q1 = 0. Potom zisková funkce má tvar
z(0, q2 ) = −q22 + 75q2 − 350.
Maximum této funkce pro q2 ∈ [0, 40] je buď v krajích intervalu nebo v bodě 37, 5 (je to bod, kde
je první derivace této funkce (podle q2 ) nulová). Dosazením zjistíme, že maximum je v bodě 37, 5
(dosazením jednotlivých bodů postupně jsme získali hodnoty −350, 1056, 5, 1050).
Neboli jeden z kandidátů na maximum je bod výroby (0, 37, 5), v němž duopolisti dosahují
společného zisku 1056, 5.
V dalším kroku položme q1 = 50 (první proměnná nabývá svého maxima) a optimalizujeme
z(50, q2 ) = −502 − q22 − 100q2 + 78 · 50 + 75q2 − 350
= −q22 − 25q2 + 1050.
Derivace této funkce je nulová v bodě q2 = −12, 5, což není přípustný rozsah výroby, tudíž maxima
se nabývá v jednom z krajních bodů, a tedy při q2 = 0. Hodnota maxima pak je 1050.
Další z kandidátů na maximum je bod výroby (50, 0), v němž duopolisti dosahují společného
zisku 1050.
Dále položme q2 = 0 (druhá proměnná nabývá svého minima) a optimalizujeme
z(q1 , 0) = −q12 + 78q1 − 350.
Derivace této funkce je nulová v bodě q1 = 39, tudíž „podezřelýmiÿ body jsou q1 = 0, 39, 50. Po
dosazení zjistíme, že maximum je v bodě 39 s hodnotou 1171.
Získáváme tak dalšího kandidáta na maximum, bod výroby (39, 0), v němž duopolisti dosahují
společného zisku 1171.
Nakonec položme q2 = 40 a optimalizujeme
z(q1 , 40) = −q12 − 402 − 80q1 + 78q1 + 75 · 40 − 350
= −q12 − 2q1 + 1050.
Bod, ve kterém je nulová první derivace, je −1, tudíž maximum bude opět v jednom z krajních
bodů intervalu, a to v bodě 0 se ziskem −390.
V následující tabulce shrneme body, které jsou podezřelé, že v nich funkce společného zisku oligopolistů nabývá maxima. Zároveň u každého tohoto bodu uvedeme, jaká je v něm hodnota společného
zisku.
bod
společný zisk
(0, 37, 5) (50, 0) (39, 0) (0, 40)
1056,5
1050
1171
−390
Je tedy vidět, že největšího společného zisku mohou oligopolisté dosáhnout při rozsahu výroby
q1 = 39, q2 = 0, při čemž vytvoří společný zisk 1171 a cena se ustálí na hodnotě 41.
2
Dále nastává problém, který už známe z teorie her, přerozdělení zisku. V tuto chvíli totiž první
oligopolista má zisk 1321 a druhý má ztrátu 150. Pokud by tedy nedošlo k přerozdělení zisku, potom
by druhý oligopolista neměl zájem tuto dohodu dodržovat.
A jak tedy přerozdělit zisk?
Je to stejný problém jako u teorie her, můžeme zde mluvit o jádru oligopolu. Pokud bychom
chtěli vyjít z Nashova rovnovážného bodu, potřebujeme nejprve spočítat rovnovážné řešení, a pak
stačí výsledky odečíst a podělit. Rovnovážné řešení máme spočítáno v řešeném příkladu 17.
30
KAPITOLA 1. TEORIE HER
Pokud bychom chtěli vyjít z minimaxu, pak musíme zaručené zisky ještě dopočítat. Co je zaručeným ziskem prvního oligopolisty? Nejhorší varianta, která může pro prvního oligopolistu nastat, je
že druhý oligopolista vyrábí maximum, co může, to je v našem případě 40. Zisk prvního oligopolisty
v tomto případě bude v závislosti na objemu jeho výroby
z1 (q1 , 40) = (40 − q1 )q1 − 200 − 2q1 .
Tato funkce nabývá svého maxima v bodě q1 = 0, v tomto případě je zisk prvního oligopolisty −200.
Stejným způsobem spočítáme zaručený zisk druhého oligopolisty a z toho poté vycházíme při tvorbě
jádra oligopolu, spec. při rozdělování zisku.
V tomto případě nemá smysl mluvit o přerozdělování zisku třetím způsobem, tj. tak, aby se
nikomu nevyplatilo utéci, neboť zde se situace neustále opakuje a strategie utéci není trvale výhodná.
Tím jsme vyřešili problémy duopolu. Řešíme-li situaci oligopolu, ve kterém vystupují více než
dva subjekty, řešení je v mnohém stejné. Musíme si však řádně ohlídat jednu věc navíc. Pokud řešíme
situaci koluzivního oligopolu a přerozdělujeme zisk, potom musíme nejen ohlídat, aby každý jedinec
dostal co mu patří, ale také každá možná subkoalice.
Shrnutí: V tabulce shrneme výsledky, ke kterým jsme dospěli řešením předchozích modelů. V prvním
sloupci uvedeme výsledky pro Cournotův model, v dalších třech pro Stackelbergerův, přičemž ve
druhém sloupci je předpoklad, že první firma je vůdce a druhá se přizpůsobí, ve třetím sloupci se
předpokládá, že druhá firma je vůdcem a první se jí přizpůsobí. Ve čtvrtém sloupci je vypočteno,
co by se stalo, kdyby obě firmy předpokládaly, že právě ony jsou vůdci a čekaly, že se jim druhá
přizpůsobí. V posledním sloupci jsou uvedeny výsledky pro model kartelu.
cena
výroba 1. firmy
výroba 2. firmy
zisk 1. firmy
zisk 2. firmy
společný zisk
Cournotův model
29
27
24
529
426
955
1. vůdce 2. vůdce oba vůdci kooperace
22, 25
23
3, 5
41
40, 5
21
40, 5
39
17, 25
36
36
0
620, 125
451
−139, 25
147, 56
498
−204
767,69
949
−343, 25
1171
Z tabulky je patrné, že pro spotřebitele je velmi nevýhodné, pokud firmy mohou spolupracovat,
neboť společnou dohodou zvýší cenu výrobku na trhu.
1.6. PŘÍKLADY
1.6
31
Příklady
Cvičení 1. Ve hře Kámen-Nůžky-Papír povolme ještě strategii Studna (palec a ukazováček vytvoří
kruh). Do studny může cokoliv spadnout, neboli v kombinaci Studna + cokoliv jiného vyhrává Studna,
padnou-li dvě Studny je remíza. Má tato hra ještě smysl? Má sedlový bod?
Cvičení 2. Dva podniky rychlého občerstvení MacChicken a MacPig uvažují o vynaložení prostředků na reklamu v částkách 7 (strategie 1), 9 (strategie 2) a 12 (strategie 3) mil. Kč. Pokud
přesáhnou náklady na reklamu obou dohromady 20 mil. Kč, vzrostou celkové tržby z původních 200
na 270 mil. Kč. Různý podíl nákladů na reklamu bude mít za následek také různý podíl obou firem
na těchto částkách:
• Vynaloží-li oba stejně, rozdělí se na polovinu
• Vynaloží-li jeden 7 a druhý 9 mil. Kč, získá první 45% a druhý 55% tržeb
• Vynaloží-li jeden 7 a druhý 12 mil. Kč, bude mít první 35% a druhý 65% tržeb
• Vynaloží-li jeden 9 a druhý 12 mil. Kč, bude mít první z tržeb už o výši 270 mil. Kč 40%
a druhý 60%.
Řekněme, že rentabilita tržeb je 10% a že se oba budou snažit maximalizovat rozdíl mezi ziskem
a náklady na reklamu, tedy hodnoty tržby·0, 1·podíl na trhu – náklady na reklamu. Sestavte matici
zisků obou firem při různých kombinací nákladů vložených do reklamy.
Cvičení 3. Změňte zadání v úloze 2 tak, že upravíte prostředky vynaložené na reklamu na 7, 8 a 12
mil. Kč a růst tržeb při nákladech na reklamu nad 20 mil. Kč na 310 mil. Kč. Sestavte matici zisků
a určete optimální strategie obou firem.
Cvičení 4. Město nabídlo investorovi pozemky na výstavbu podniku, z jehož provozu získá 80 mil. Kč
na daních. Problémem je postoj několika majitelů pozemků, kteří požadují za odkoupení 40 mil. Kč,
zatímco město nabízí pouze 10 mil. Kč. Protože hrozí odstoupení investora, nabízí město – pokud
oba odstoupí – cenu 20 mil. Kč. Sestavte matici výher obou hráčů.
Cvičení 5. Jeníček a Mařenka se rozhodují, jestli se večer budou dívat na televizi nebo zda půjdou
do kina. Jeníček by se nejraději díval na televizi i s Mařenkou. Na druhém místě by šel do kina
s Mařenkou, na třetím místě je pro něj varianta zůstat doma sám bez Mařenky a nejhorší by bylo,
kdyby měl jít do kina bez Mařenky. Mařenka by nejraději šla do kina s Jeníčkem. Na druhém místě
je pro ni dívat se na televizi s Jeníčkem, pak jít do kina bez Jeníčka a nejhorší by pro ni bylo být
doma u televize sama. Sestavte dvojmatici jejich možných rozhodnutí (použijte ordinální stupnici
pro ohodnocení užitku).
Cvičení 6. Výrobce vyrábí určité výrobky, z nichž některé mohou být vadné. Servisní organizace
účtuje tomuto výrobci za záruční opravu 8 PJ/kus. Výrobce však může provést před expedicí výrobku
kontrolu kvality (stoprocentně účinnou) a vadné výrobky ještě před expedicí opravit. Průměrné
náklady na opravu jednoho výrobku před expedicí činí 4 PJ/kus a náklady na kontrolu činí 3 PJ/kus.
Zisk z prodeje jednoho kusu výrobku činí 9 PJ/kus. Výrobce se rozhoduje, zda má dělat výstupní
kontrolu.
Cvičení 7. Majitel penzionu se má rozhodnout, jakou zásobu uhlí si má v létě udělat. Zná následující
údaje:
Mírná zima
Normální zima
Chladná zima
Potřeba uhlí v tunách
4
5
6
Průměrná cena za tunu
7,0
7,5
8,0
Tyto ceny (v tisících Kč) odpovídají nákupu během zimy. V létě lze koupit uhlí za 6,0 tis.Kč za tunu,
v domku je možnost uskladnit maximálně 6 tun. Uhlí, které po zimě zbude, musí majitel odepsat.
Jaká je optimální strategie tohoto majitele penzionu?
32
KAPITOLA 1. TEORIE HER
Cvičení 8. Dvě televizní stanice A a B stojí před problémem, jaký typ pořadu zařadit ve vybraný den
v týdnu v nejsledovanější čas mezi 20. a 22. hodinou. Řekněme, že se rozhodují mezi thrillerem, krimi
a veselohrou. Průzkumem sledovanosti pořadů byla sestavena matice sledovanosti, kde jednotlivé
hodnoty představují počet diváků v mil. Kč, kteří by pořad stanice A sledovali z celkového počtu 5
milionů možných diváků:
Thriller
Krimi
Veselohra
Thriller Krimi Veselohra
1, 3
0, 8
3, 0
2, 2
2, 8
2, 0
1, 9
0, 7
3, 5
Cvičení 9. 1
2
1
2
(4 , -4) (-9 , -8)
(3, 4)
(-4,5)
Cvičení 10. 1
2
1
2
(4 , 5) (-1 , -2)
(-1, 0)
(8,9)
Cvičení 11.
Cvičení 12.
1
2
3
1
(-3 , -2)
(-1, -1)
(8, 9)
1
2
3
1
2
3
(8,9) (-1 , -2) (8 , 9)
(-1, -1)
(4,4)
(0,-1)
(8, 9)
(-1,-2)
(8,9)
Cvičení 13. 1
2
1.7
2
3
(-1 , -2) (8 , 9)
(4,4)
(-4,-3)
(-1,-2) (-3,-3)
1
2
(0 , 4) (2 , 3)
(1, 2) (0,4)
Otázky
• Bylo by možné jednomaticové úlohy řešit metodami pro dvoumaticové? A opačně?
• Proč u her s konstantním součtem nemluvíme o kooperaci?
• Proč racionální hráč nikdy nevybere dominovanou variantu?
• Může se stát, že indiferentní hráč zvolí dominovanou variantu?
• Co by se stalo, kdyby hra Kámen-Nůžky-Papír měla sedlový bod?
• Jaké problémy mohou nastat v řešení dvoumaticových her, má-li hra více rovnovážných bodů?
• Proč v případě vězňova dilematu lze předpokládat, že se oba vězni přiznají, když by pro ně
bylo výhodnější, kdyby oba zapírali?
• Platí při kooperativním řešení, že hráči vždy docílí vyššího společného zisku než bez kooperace?
Literatura
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
[7]
Brožová, H., Houška, M., Šubrt, T. (2003): Modely pro vícekriteriální rozhodování. ČZU, Praha.
Fiala, P., Jablonský, J., Maňas, M. (1997): Vícekriteriální rozhodování. VŠE, Praha.
Fotr J., Dědina, J. (1997): Manažerské rozhodování. Ekopress, Praha.
Gros, I. (2003): Kvantitativní metody v manažerském rozhodování. Grada Publishing, Praha.
Holman, R. (2003): Ekonomie. C. H. Beck, Praha.
Jablonský, J. (2002): Operační výzkum. Professional Publishing, Praha.
Jablonský, J., Dlouhý, M. (2004): Modely hodnocení efektivnosti produkčních jednotek. Professional Publishing, Praha.
[8] Soukupová, J. (2002): Mikroekonomie. Management Press, Praha.
[9] Vaněčková, E. (1996): Ekonomicko-matematické metody. ZF JU, skripta, České Budějovice.
[10] Vaněčková, E. (1998): Rozhodovací modely. ZF JU, skripta, České Budějovice.
33