PDF 2.14 MB

Reakčně-difuzní systémy
Gray-Scottův model
Jan Kodovský, FJFI ČVUT v Praze
1. Úvod
Reakčně-difuzní systémy jsou systémy nelineárních parciálních diferenciálních rovnic parabolického typu následujícího tvaru:
∂u1
= ∇(D1 ∇u1 ) + f1 (u1 , . . . , un ),
∂t
..
.
∂un
= ∇(Dn ∇un ) + fn (u1 , . . . , un ),
∂t
kde uj = uj (x1 , . . . , xn , t) jsou neznámé, x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Ω ⊂ Rn jsou
prostorové souřadnice a t ∈ R je časová souřadnice. ∇(Dj ∇uj ) představují
difuzní členy (gradient je pouze přes prostorové souřadnice) a fj (u1 , . . . , un )
jsou tzv. reakční členy, které do systému vnáší nelinearity.
Dynamika reakčně-difuzních systémů je vlivem nelineárních členů velmi
pestrá. Nalézt analytické řešení však bývá často velice komplikovaná úloha,
proto jsou numerické simulace a kvalitativní analýza modelu mnohdy jedinými
prostředky, jak získat představu o časoprostorovém chování daného problému.
K uplatnění reakčně-difuzních systémů dochází v oblastech biologie a
ekologie (interagující biologické populace - např. modely dravec-kořist,
symbióza, růst bakterií; šíření epidemií; pohyb a růst buněk), ve fyzice (růst
krystalů, tuhnutí látek, modelování plazmatu), v chemii (modely chemických
reakcí - např. Bruselátor nebo Gray-Scottův model) či v počítačové grafice.
2. Gray-Scottův model
Jedná se o systém dvou rovnic, modelující následující chemickou reakci:
U + 2V
V
−−−→ 3V
−−−→ P
Látky U a V jsou vstupními reaktanty, P je vedlejší produkt. Látka V je
zároveň katalyzátorem celé reakce. Matematický model vypadá takto:
ut = D1 △u + F (1 − u) − uv 2 ,
vt = D2 △v − (F + k)v + uv 2 ,
(1)
kde u a v jsou koncentrace chemických látek U a V , F je míra přítoku
látky U do reaktoru a (F + k) je míra odvádění látky V z reaktoru. Při
studiu Gray-Scottova modelu jsem vycházel především z článků [9] a [7].
Článek [8] se zabývá sebereplikací v Gray-Scottově modelu v jednorozměrném
případě, článek [6] předkládá důkaz existence kruhově symetrického řešení ve
dvojrozměrném případě. Kompletní bifurkační studie modelu je k dispozici v
[3].
3. Matematická analýza modelu
3.1 Lokální dynamika
Nejdříve prozkoumejme, jaká bude dynamika modelu, pokud nebudeme
uvažovat difuzi (D1 = D2 = 0). Stacionární body nám dají za těchto
podmínek konstantní stacionární řešení celého systému.
Potřebujeme nalézt nulové body pravých stran, řešíme tedy následující
systém rovnic:
F (1 − u) − uv 2 = 0,
−(F + k)v + uv 2 = 0.
(2)
Prvním řešením, které je hned vidět, je bod [u, v] = [1, 0]. Označme jej p1 .
Jednoduchým postupným sečtením rovnic 2 dostaneme systém
(F + k)v + F u = F,
uv = F + k,
což jsou rovnice přímky a hyperboly (viz obr. 1):
Obrázek 1: Nulové body lokální dynamiky Gray-Scottova modelu
Tyto dvě křivky se v námi uvažované oblasti řešení (u ≥ 0, v ≥ 0) protínají v
bodech
#
"
r
r
(F + k)2 (F + k)2 F
1
,
1± 1−4
,
1∓ 1−4
[u, v] =
2
F
2(F + k)
F
což nastane pro F ≥ 4(F + k)2 , a právě pro tato F nám tedy vznikají další
dvě stacionární řešení (pro F = 4(F + k)2 se jedná o dvojnásobné řešení a
systém tak bude mít pouze dvě stacionární řešení). Označme tyto dva další
body p2 (vpravo dole) a p3 (vlevo nahoře).
Stabilita nalezených stacionárních bodů je dána vlastními čísly matice
linearizace soustavy (2) v těchto bodech (viz [5]), tedy vlastními čísly matice
−(F + v)2
−2uv
.
(3)
A=
v2
−(F + k) + 2uv
Pro pevný bod p1 dostaneme vlastní čísla λ1 = −F a λ2 = −(F + k), takže
bod p1 je ∀ F, k > 0 stabilním pevným bodem. Výpočet vlastních čísel matice
(3) v bodech p2 a p3 je výrazně komplikovanější, nicméně dospějeme k závěru
(viz [2]), že bod p2 je ∀ F, k > 0 nestabilní (jedná se o sedlo) a stabilita bodu
p3 závisí na parametrech F a k. Konkrétně platí (opět viz [2]), že bod p3 je
nestabilní právě když jsou splněny nerovnosti
1
0 < F +k < , 16(F +k)4 < F 2 < 2(F +k)3 a (F +k)4 −F 2 (F +k)+F 3 ≥ 0.
8
Na obrázku je lokální dynamika Gray-Scottova modelu pro některé hodnoty
parametrů F a k znázorněna.
F = 0.02, k = 0.08
F = 0.06, k = 0.04
Obrázek 2: Lokální dynamika Gray-Scottova modelu
3.2 Dynamika systému s nenulovou difuzí
V této části vycházím z článku Nishiury a Ueyamy [9]. Článek pojednává
o jednorozměrném Gray-Scottově modelu (1) s Neumannovými okrajovými
podmínkami a počáteční podmínkou ve tvaru jednoduchého pulsu s malým
omezeným nosičem uprostřed reaktoru. Článek popisuje pestrou dynamiku
tohoto modelu v závislosti na parametrech k a F . Pozornost je zaměřena
především na chování v okolí bifurkačních křivek v tomto parametrickém
prostoru, autoři kladou důraz na oblast s chaotickým chováním a prezentují
rovněž analytické opodstatnění takového chování.
Obrázek 3 jsem z článku [9] převzal. Zobrazuje výsek z parametrického
prostoru s vyznačenými oblastmi s kvalitativně různým chováním systému.
Pod grafem jsou vyobrazeny průběhy koncentrace v (horizontální osa) v čase
(vertikální osa) v jednotlivých oblastech.
Obrázek 3: 1. Stacionární puls, 2. Putující vlna, 3. Sebereplikace (zdvojování
pulsu), 4. Chaotické chování, 5. Putující čelo (nenulové konstantní stacionární
řešení), 6. Anihilace
4. Numerický přístup
4.1 Metoda přímek
Metoda přímek je jednoduchá a zároveň spolehlivá numerická metoda
pro nalezení řešení parciálních diferenciálních rovnic parabolického typu.
Použil jsem ji proto pro simulaci Gray-Scottova modelu, s implementací
adaptivní volby časového kroku, které se věnuji v následující části této
kapitoly.
Shrňme si stručně princip metody přímek. Metoda je založena na tzv.
semidiskretizaci původního systému parciálních diferenciálních rovnic. To
znamená, že diskretizaci uvažované úlohy provedeme pouze v některých
proměnných, zatímco zbylé proměnné nechámě měnit spojitě. Tím danou
rovnici převedeme na soustavu diferenciálních rovnic, která má menší počet
nezávislých proměnných. V našem případě diskretizujeme pouze prostorové
souřadnice, prostorové derivace aproximujeme diferencemi a převedeme
tak uvažovanou parabolickou úlohu na počáteční problém pro soustavu
obyčejných diferenciálních rovnic. Takovou úlohu již umíme řešit účinnými
numerickými metodami. Já jsem zvolil nejpoužívanější explicitní metodu, a
to Runge-Kuttovu metodu čtvrtého řádu (viz např. [4]).
Pro úplnost uvádím schema standardní Runge-Kuttovy metody, kterou
jsem pro řešení vzniklé počáteční úlohy použil:
1
2
1
2
1
2
0
1
2
1
0
0
1
1
6
1
3
1
3
1
6
4.2 Adaptivní volba časového kroku
Charakter řešení i jeho časových změn se může s časem měnit a v souvislosti s tím se může významně měnit i časový krok dt, který zajišťuje splnění
zadané přesnosti. Proto může adaptivní algoritmus regulace délky časového
kroku významně zvýšit efektivnost použité metody. Kromě toho zaručuje
tato adaptivita i jistou ”konvergenci” použité numerické metody, čímž mám
na mysli fakt, že je eliminována možnost, že by na některé časové hladině
došlo kvůli nesplnění CFL podmínky k neočekávané výrazné změně některé z
koncentrací.
Základním problémem je určit odhad chyby řešení způsobené danou časovou diskretizací. Jedním z nástrojů pro určení takového odhadu jsou
aposteriorní odhady pro danou úlohu. Kromě toho však existuje řada heuristických metod, které byly pro účely adaptivní regulace časového kroku
odvozeny a které se v praxi často používají. Já jsem zvolil metodu, která je
založena na srovnávání hodnot řešení na nové časové hladině získané s krokem
dt a hodnot řešení získaných pomocí dvou kroků délky dt2 .
Podívejme se na tuto metodu podrobněji. Řešíme diskretizovaný problém (1). Nacházíme se na časové hladině T a aktuální časový krok je dt.
Nejdříve použijeme Runge-Kuttovu metodu s časovým krokem dt. Označme
si napočítané řešení na nové časové hladině T + dt proměnnou udt (resp.
vdt ). Nyní se vraťme zpět ke známému řešení na hladině T a tentokrát
použijme dvakrát po sobě Runge-Kuttovu metodu s časovým krokem dt2 .
Takto spočítané řešení označme u2dt/2 . Schematicky můžeme zmíněný postup
zapsat následovně:
u
RK4(dt)
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
−−−−−−−−−−−−−→
u
−−−−−−−−−−−−−−−−→
RK4(dt/2)
udt
RK4(dt/2)
u
dt/2
−−−−−−−−−−−−−−−−→
u2dt/2
Nyní definujme novou proměnnou ε, pomocí níž právě napočítaná řešení udt
and u2dt/2 porovnáme:
ε := kudt − u2dt/2 kM AX
Tato veličina nám poslouží jako hledaný odhad chyby. Bude-li její hodnota
větší než jistá konstanta εM AX , znamená to, že je náš současný časový krok
dt příliš hrubý. V tomto případě zkrátíme aktuální časový krok na polovinu a
celou proceduru zopakujeme.
V případě, že bude hodnota veličiny ε menší než další zvolená konstanta εM IN ,
je to naopak známka toho, že je současný časový krok zbytečně jemný a můžeme si ho proto dovolit prodloužit na dvojnásobek. Poté opět celý postup
opakujeme. Shrnu-li podmínky pro změnu časového kroku, dostáváme
ε ≥ εM AX ⇒ dt := dt/2,
ε ≤ εM IN ⇒ dt := 2dt.
V ostatních případech je časový krok dt adekvátní a pro výpočet řešení na
další časové hladině proto zůstává nezměněn.
Konstanty εM AX a εM IN jsem volil heuristicky, za dostatečné hodnoty považuji
εM AX = 0, 1 a εM IN = 0, 000001.
4.3 Experimentální řád konvergence
Předpokládejme, že přesnost napočítaného řešení je závislá pouze na
velikosti oka sítě h a že je řádu O(hα ). Označme si napočítané řešení na síti s
velikostí oka h symbolem uh (resp. vh ) a přesné řešení u (resp. v). Numerická
chyba je potom norma rozdílu ku − uh k (resp. kv − vh k).
Vezmeměme dvě různé sítě (tzn. dvě sítě s různými velikostmi ok h1 a
h2 ) a spočítejme na nich řešení na časové hladině T . Dostaneme dvě obecně
různá numerická řešení na časové hladině T - uh1 a uh2 . Numerické chyby
budou tvaru ku − uh1 k = konst · hα1 a ku − uh2 k = konst · hα2 . Podělíme-li
tyto rovnice, zbavíme se neznámé konstanty a dostaneme vztah
!α
h2
ku − uh2 k
=
.
(4)
ku − uh1 k
h1
Napočítáme-li tedy řešení na dvou různých sítích, jsme schopni ze vzorce (4)
vyjádřit neznámou α a dostat tak jakýsi odhad řádu konvergence. Toto číslo
nazvu experimentálním řádem konvergence (podobně jako v [1]).
Vzhledem k tomu, že v případě Gray-Scottova modelu neznáme analytické řešení, postupoval jsem tak, že jsem si řešení napočítal na výrazně hustší
síti (konkrétně na síti 400 × 400), než na kterých počítám experimentální řád
konvergence. Toto řešení jsem považoval za dostatečně přesné a vzal jsem jej
za referenční řešení, vůči němuž jsem numerické chyby počítal.
Než předložím výsledky svého měření, popíši podrobně průběh experimentu:
Řeším Gray-Scottův problém s Neumannovými okrajovými podmínkami ve
dvojrozměrném případě. Hodnoty parametrů úlohy jsem zvolil D1 = 2·10−5 ,
D2 = 10−5 , F = 0.025, k = 0.0544 a L = 0.5. Počáteční podmínkou je puls
uprostřed reaktoru s malým omezeným nosičem. Zvolil jsem šest různých
sítí (25 × 25, 50 × 50, 100 × 100, 150 × 150, 200 × 200 a 250 × 250). Na
těchto sítích jsem postupně napočítal numerická řešení na časových hladinách
T = 1, 2, . . . , 10. Na stejných časových hladinách jsem napočítal řešení na síti
400 × 400 a vůči tomuto jsem na všech šesti sítích počítal příslušnou chybu.
Tu jsem počítal ve dvou různých normách, v L2 normě a v maximové normě.
Na tomto místě je nezbytné říci, jakým způsobem jsem počítal rozdíl dvou
řešení na různých sítích. Rozdíl jsem počítal na referenční síti 400 × 400 a
hodnoty řešení v jejích uzlech jsem dopočítal lineární interpolací. Třetí a
čtvrtý sloupec tabulky ukazuje maximální chybu ze všech deseti časových
hladin a z obou koncentrací u a v (v příslušných normách). V posledních
sloupcích jsou výsledné experimentální řády konvergence, počítané podle
vzorce (4) vždy s předchozí sítí (tedy síť 50 × 50 se sítí 25 × 25, síť 100 × 100
se sítí 50 × 50 atd.):
Síť
Velikost oka sítě
Chyba
Chyba
Nx ×Ny
h
L2
L∞
25×25
0.020800
7.216·10−3
1.957·10−1
50×50
0.010200
1.603·10−3
100×100
0.005050
150×150
EOC EOC
L2
L∞
4.863·10−2
2.111
1.954
3.389·10−4
1.416·10−2
2.211
1.755
0.003356
1.397·10−4
5.781·10−3
2.176
2.199
200×200
0.002513
7.267·10−5
2.185·10−3
2.240
3.335
250×250
0.002008
4.466·10−5
1.280·10−3
2.191
2.408
Závěr: naměřené hodnoty EOC se pohybují kolem hodnoty α = 2 a dá se
tedy předpokládat, že je použitá metoda druhého řádu konvergence.
5. Výsledky numerických výpočtů
Všechny numerické výpočty se týkají Gray-Scottova modelu (1) s Neumannovými okrajovými podmínkami. Programy byly napsány v jazyce C++
a výpočty prováděny převážně na počítači s procesorem AMD Athlon 1.84
GHz s pamětí 512 MB RAM. Vizualizaci jsem prováděl v programu Matlab.
Následuje ukázka mých výsledků ve dvojrozměrném případě.
T =0
T = 100
T = 250
T = 350
T = 450
T = 550
T = 650
T = 750
T = 850
Hodnoty parametrů úlohy: D1 = 2 · 10−5 , D2 = 1 · 10−5 , F = 0.02, k = 0.05,
L = 0.5. Počáteční podmínka pro koncentraci u0 = 1−v0 . Hodnoty numerických
parametrů: počet uzlů sítě = 100 × 100, εM AX = 0.1, εM IN = 1 · 10−6 .
T =0
T = 100
T = 200
T = 300
T = 400
T = 500
T = 600
T = 700
T = 1000
T = 1400
T = 2000
T = 10000
Hodnoty parametrů úlohy: D1 = 1 · 10−5 , D2 = 1 · 10−6 , F = 0.025, k = 0.05,
L = 0.5. Počáteční podmínka pro koncentraci u0 = 1−v0 . Hodnoty numerických
parametrů: počet uzlů sítě = 150 × 150, εM AX = 0.1, εM IN = 1 · 10−6 .
Literatura
[1] BENEŠ, M.: Diffuse-Interface Treatment of the Anisotropic MeanCurvature Flow; Applications of Mathematics No. 6, 437-453, 2003
[2] DKHIL FATHI: Analyse de systemes de reaetion-diffusion-advection apparaissant dans des modeles de chimie et de biomathematiques; Doctorat
de Mathematiques de l’Université de Cergy-Pontoise, 2002
[3] DOELMAN, A.; KAPER, T.J.; ZEGELING, P.A.: Pattern formation in the 1D Gray-Scott model; Nonlinearity 10, 523-563, 1997
(http://ej.iop.org/links/q00/0rqEYNHoazBdJ3ClAz0skQ/no7213.pdf)
[4] HOLODNIOK, M.; KLÍČ, A.; KUBÍČEK, M.; Marek, M.: Metody analýzy nelineárních dynamických modelů; Academia, Praha, 1986
[5] KODOVSKÝ, J.: Dynamické systémy reakčně-difuzních rovnic; rešeršní
práce, FJFI ČVUT, Praha, 2004
[6] KOLOKOLNIKOV, T.; WEI, J.: On Ring-like Solutions For the GrayScott Model: Existence, Instability and Self-Replicating Rings; 2004
(www.math.cuhk.edu.hk/ wei/gs4.ps)
[7] McGOUGH, JEFF S.; KYLE RILEY: Pattern formation in the GrayScott model;Nonlinear Analysis; Real World Applications, 2003
[8] NISHIURA, Y.; UEYAMA, D.: A skeleton structure of self-replicating
dynamics; Physica D 130, 73-104; 1999
[9] NISHIURA, Y.; UEYAMA, D.: Self-Replication, Self-Destruction, and
Spatio-Temporal Chaos in the Gray-Scott Model; 2000
Poděkování
Děkuji svému školiteli Doc. Dr. Ing. Michalu Benešovi za ideální podmínky pro práci, za poskytnutou literaturu a za čas, který mi věnoval.