Pr´ıklady, 24.10. 2007

Přı́klady, 24.10. 2007
Přı́klad 1. Vojenský konflikt dvou armád
ẋ(t) = −βy(t),
ẏ(t) = −αx(t),
kde x(t) je počet vojska státu X v čase t,
y(t) je počet vojska státu Y v čase t,
α > 0 je účinnost zbranı́ vojska státu X,
β > 0 je účinnost zbranı́ vojska státu Y .
Průběh boje: má smysl uvažovat jen prvnı́ kvadrant, mohou nastat
celkem tři různé průběhy a výsledky boje (viz obrázek, vodorovná osa je x,
svislá osa je y) v závislosti na počátečnı́ podmı́nce (x(0), y(0)):
p
(i) Je-li (x(0), y(0)) nad přı́mkou o rovnici y = ( α/β)x, pak po konečném
čase t jest y(t) > 0, x(t) = 0 ⇒ vı́tězı́ stát Y (hyperbola 1).
p
(ii) Je-li (x(0), y(0)) pod přı́mkou o rovnici y = ( α/β)x, pak po konečném
čase t jest x(t) > 0, y(t) = 0 ⇒ vı́tězı́ stát X (hyperbola 2).
p
(iii) Je-li (x(0), y(0)) na přı́mce o rovnici y = ( α/β)x, pak po nekonečném
čase t jest x(t) = y(t) = 0 ⇒ nikdo nevı́tězı́ (oboustranné vyčerpánı́
armád).
Závěr. Zvýšı́-li protivnı́k účinnost svých zbranı́ na dvojnásobek, pak
musı́ protistrana zečtyřnásobit počet svého vojska, pakliže ponechá účinnost
svých zbranı́ nezměněnu (analogicky, jestliže ztrojnásobı́ účinnost zbranı́,
musı́ protivnı́k zdevitinásobit počet vojsk)
Poznámka. Realističtějšı́ model uvažuje mı́sto konstant α, β funkce α(x, y), β(x, y).
Topologický typ průběhu boje a výsledku zůstane ale stejný, jako v přı́padě
konstant, i když přesný předpis funkcı́ α(x, y), β(x, y) nenı́ znám. Stran
1
topologického typu: čtverec a kruh jsou topologicky stejného typu.
Přı́klad 2. Dravec-kořist
Jednoduchý model aplikace matematiky v ekologii, pocházı́ z 20. let
minulého stoletı́.
ẋ = ax − bxy
ẏ = −cy + dxy
To, že se kořist (např. zajı́ci) množı́, můžeme znázornit rovnicı́ ẋ = ax,
kde a > 0 je konstanta (faktor množenı́). Dravci (např. lišky) bez potravy
vymı́rajı́, což lze znázornit rovnicı́ ẏ = −cy, kde c > 0 je konstanta (faktor
úhynu). A faktor, že dravec potká lišku jest hxy, kde h > 0 je konstanta
( b pro kořist, d pro dravce).
Velikost
populace
kořisti
Velikost populace dravců
Po uplynutı́ určitého času se systém vrátı́ do původnı́ho stavu a celý cyklus
se opakuje.
Přı́klad 3. Model vztahu Romea a Julie
Ṙ(t) = αJ(t) + γR(t)
˙
J(t)
= βR(t) + δJ(t)
2
(soustava dvou dif. rovnic s časem jako nezávisle proměnnou)
přepsáno do značenı́ z přednášky:
ẋ = γx + αy
ẏ = βx + δy
neboli lineárnı́ soustava s maticı́
µ
A=
γ α
β δ
¶
• R(t) je mı́ra lásky Romea k Julii. Je kladná, jestliže Romeo cı́tı́ sympatii k Julii a je záporná, jestliže Romeo cı́tı́ antipatii k Julii.
• α je stupeň, jakým Romeo odpovı́dá představám Julie.
• γ je mı́ra aktivity Romea vůči Julii. Je záporná, jestliže je Romeo
opatrný a je kladná, jestliže plane“.
”
• J(t) je mı́rá lásky Julie k Romeovy. Je kladná a záporná analogicky k
Romeovým pocitům.
• β je stupeň, jakým Julie odpovı́dá představám Romea.
• δ je mı́ra opatrnosti Julie analogicky k γ.
Poznámka: Bez újmy na obecnosti můžeme uvažovat hodnoty α, β, γ, δ
z intervalu [−1, 1], přičemž hodnota −1 znamená nejvı́ce negativnı́ stav a
hodnota +1 naopak nejvı́ce kladný stav.
Průběh vztahů:
Přı́pad I.
Ṙ(t) =
˙
J(t)
=
1
J(t) + 1R(t)
2
1
R(t) + 1J(t)
2
neboli soustava s maticı́
µ
A=
1 1/2
1/2 1
3
¶
J
R
Přı́pad II.
1
J(t) + 1R(t)
2
1
˙
J(t)
= 1R(t) + J(t)
2
neboli soustava se singulárnı́ maticı́
µ
¶
1 1/2
A=
1 1/2
Ṙ(t) =
J
R
Přı́pad III.
1
1
Ṙ(t) = − J(t) + R(t)
2
2
4
1
˙
J(t)
= 1R(t) − J(t)
2
neboli soustava s maticı́
µ
A=
1/2 −1/2
1 −1/2
¶
J
R
5