jjmax

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE – FAKULTA STAVEBNÍ
Doktorský studijní program: STAVEBNÍ INŽENÝRSTVÍ
Studijní obor: POZEMNÍ STAVBY
___________________________________________________________________________
PRŮMYSLOVÉ BETONOVÉ PODLAHY
INDUSTRIAL CONCRETE FLOORS
Ing. Petr Žalský
Školitel: Prof. Ing. Jaroslav Procházka, CSc.
PÍSEMNÁ PRÁCE KE STÁTNÍ DOKTORSKÉ ZKOUŠCE
Praha, leden 2003
Obsah:
TITULNÍ LIST
1
OBSAH
2
POUŽITÉ ZNAČKY
4
ÚVOD
6
1.
PODLOŽÍ
7
2.
ZATÍŽENÍ PODLAH A JEHO ÚČINKY
8
2.1.
Rovnoměrná plošná zatížení
9
2.2.
Rovnoměrná liniová zatížení
11
2.3.
Osamělá břemena
12
2.3.1. Vnitřní břemena
13
2.3.2. Okrajová břemena
15
2.3.3. Rohová břemena
16
2.4.
17
2.4.1. Smršťování od vysýchání
17
2.4.2. Zatížení změnou teploty
21
2.4.3. Určení účinků smršťování
21
2.5.
3.
Nepřímá zatížení
Přenos zatížení spárou
23
ZÁSADY DIMENZOVÁNÍ
25
Metoda lomových čar
26
3.1.
3.1.1. Mechanismus porušení podlahy z prostého betonu
26
3.1.2. Mechanismus porušení drátkobetonové podlahy
28
3.2.
Dílčí součinitele spolehlivosti pro zatížení
29
3.3.
Podlahy z prostého betonu
30
3.3.1. Dílčí součinitel spolehlivosti materiálu
31
3.3.2. Mezní stavy
31
3.4.
Podlahy ze slabě vyztuženého betonu
33
3.5.
Podlahy železobetonové
33
3.5.1. Dílčí součinitelé spolehlivosti materiálu
34
3.5.2. Mezní stav únosnosti
34
3.5.3. Mezní stav použitelnosti
35
3.6.
Betonové podlahy vyztužené vlákny
36
3.6.1. Betonové podlahy vyztužené polypropylénovými vlákny
3.7.
Drátkobetonové podlahy
36
37
3.7.1. Dílčí součinitelé spolehlivosti drátkobetonu
38
3.7.2. Ekvivalentní pevnost drátkobetonu v tahu
38
3.7.3. Posouzení ohybové únosnosti v souladu s TR34 [4]
41
3.7.4. Posouzení protlačení
42
3.7.5. Posouzení ohybové únosnosti v souladu s českou směrnicí pro drátkobetonové konstrukce
43
3.8.
Rozměrové tolerance
44
2
4.
5.
6.
SPÁRY
45
4.1.
Konstrukční (dilatační) spáry
45
4.2.
Smršťovací (kontrakční) spáry
47
4.3.
Oddělovací (izolační) spáry
47
4.4.
Těsnění spár
48
POVRCH PODLAHY
52
5.1.
Kritéria rovinnosti povrchu podlah dle ČSN 74 4505
52
5.2.
Kritéria rovinnosti povrchu podlah ve světě
53
ZÁVĚR
56
POUŽITÉ INFORMAČNÍ ZDROJE
57
Příloha 1 - Podrobnější pohled na smršťování podlahových desek od vysýchání
3
60
Použité značky
a
součinitel teplotní délkové roztažnosti
[ K-1 ]
součinitel závislý na účinnosti přenosu zatížení
[-]
d
dynamický součinitel
[-]
ecs
smrštění betonu
[-]
ecT
přetvoření způsobené změnou teploty
[-]
f
úhel vnitřního tření
[ rad, ° ]
g
dílčí součinitelé bezpečnosti
[-]
m
součinitel tření
[-]
l
součinitel únavy, štíhlost drátků
[ -, - ]
s
napětí v betonu
[ MPa ]
sz
svislá složka napětí v zemině
[ MPa ]
sor
původní geostatické napětí
[ MPa ]
sol
průměrné svislé zatížení základové spáry
[ MPa ]
n
Poissonovo číslo
[-]
t
smykové napětí
[ MPa ]
xt, xt4 součinitel přenosu zatížení
[-]
Ac
plocha betonového průřezu
[ m2 ]
A s1
plocha výztuže
[ m2 ]
Ec
modul pružnosti betonu
[ MPa ]
H
relativní vlhkost
[%]
L
vzdálenost
[m]
N
celkový počet zatěžovacích cyklů
[-]
P, P1 osamělé břemeno
[ kN ]
T, T0 počet zatížení za den, teplota
[ -, K ]
W
[ m3 ]
elastický průřezový modul desky
a,b,x,s rozměry
[m]
de
ekvivalentní průměr
[m]
ffte
ekvivalentní pevnost drátkobetonu v tahu
[ MPa ]
fyk
charakteristická hodnota meze kluzu výztuže
[ MPa ]
g
stálé zatížení
[ kN/m2 ]
h
tloušťka desky
[m]
k
modul reakce podloží (modul stlačitelnosti podloží)
[ MPa/m ~ MN/m3 ]
l
poloměr relativní tuhosti desky
[m]
m
ohybový moment , součinitel strukturní pevnosti zeminy
[ kNm/m, - ]
4
mf
hmotnostní koncentrace drátků
[ kg/m3 ]
p
liniové zatížení
[ kN/m ]
q
plošné zatížení, nahodilé zatížení
[ kN/m2 ]
r
poloměr ekvivalentní kruhové zatěžovací plochy
[m]
s
sedání, procento z celkového smrštění
[ m, % ]
t
počet dnů
[-]
u
obvod betonového průřezu
[m]
ucr
kritický odvod
[m]
vsd , vrd smyková síla a únosnost vztažená na metr kritického obvodu
[ kN/m ]
w
[m]
průhyb
5
Úvod
Nedílnou součástí většiny pozemních průmyslových staveb jsou podlahy. Materiálová základna je u
těchto stavebních prvků poměrně široká; velmi často jsou používány podlahy betonové, a to z betonu prostého,
železového, předpjatého a i drátkobetonu, případně vláknobetonu. Podlahy mohou být konstruovány jako prosté
desky se spárami, nebo jako podlahy bezespáré. Při extrémních zatíženích nebo při špatných základových
poměrech je možné podlahové desky uložit na základové rošty nebo i na piloty.
Problematika návrhu podlah byla často považována ze vedlejší, avšak výskyt mnoha závad ukazuje na
důležitost správného projekčního řešení a pečlivého provedení, neboť následné sanace jsou velmi nákladné a
z provozního hlediska často i obtížně proveditelné (nutnost dočasného omezení využití podlahy). Návrh správně
fungující a ekonomicky přijatelné podlahy je poměrně složitou inženýrskou činností, která vyžaduje znalosti z
několika oborů, zejména z mechaniky zemin a betonového stavitelství.
Konečný vzhled a kvalita průmyslové podlahy závisí na mnoha činitelích, z nichž většinu lze příznivě či
nepříznivě ovlivnit návrhem a následným provedením podlahy. Aby vůbec bylo možné k navrhování přistoupit,
je třeba pro podlahu vytýčit vstupní požadavky. Čím obsáhlejší a kompletnější bude seznam požadavků, tím
efektivněji a v požadované kvalitě za přijatelných finančních podmínek lze podlahu navrhnout a provést.
Vytyčování požadavků musí začínat u budoucího uživatele (investora) a pravděpodobně si vyžádá konzultaci
s architektem, stavebním inženýrem a geotechnikem.
Seznam vstupních požadavků pro průmyslové podlahy slouží k přesnému vymezení rozsahu a kvality
budoucího díla a měl by být přílohou smlouvy o dílo. V budoucnu lze na jeho základě rozhodnout o oprávněnosti
případných reklamačních nároků.
Betonové podlahy se používají ve výrobních, prodejních a skladovacích halách, v objektech
zemědělských, v pozemních garážích, ale i v objektech občanských. Tato práce se týká návrhu a provádění
průmyslových betonových podlah uložených přímo na podloží.
Typickou skladbu takové průmyslové betonové podlahy znázorňuje následující obrázek.
Obr. 1 Skladba průmyslové podlahy s typickými tloušťkami jednotlivých vrstev
Rostlá zemina, podkladní vrstva a nosná deska jsou vrstvy nutné pro splnění základní funkce průmyslové
podlahy, zatímco vrstva stabilizované zeminy, kluzná spára a povrchová úprava nutné nejsou. Dosahuje-li
původní zemina v místě staveniště dostatečných kvalit, není vrstva stabilizované zeminy nutná. V opačném
případě bude tuto vrstvu tvořit původní zemina s vylepšenými vlastnostmi, nebo jiná navezená zemina.
6
1. Podloží
Podložím (podklad, stabilizovaná zemina a zemina) se nazývá zhutněná zemina pod betonovou podlahou,
která se nalézá v dosahu účinku zatížení podlahy. Míní se tím hloubka odpovídající deformační zóně zeminy zz ,
která ovlivňuje přetvoření (sedání a úhlová pootočení) betonové podlahy. Hloubka deformační zóny zz se určí
z rovnosti svislé složky napětí sz od přitížení podlahou a původního geostatického napětí sor násobeného
opravným součinitelem strukturní pevnosti zeminy m [31].
σ z = mσ or
[ kPa ]
(1.1)
Původní geostatické napětí sor závisí na objemové tíze zeminy, hladině podzemní vody a uvažované hloubce
vztažené k původnímu povrchu. Svislá složka napětí sz od přitížení podlahou závisí při vyčíslení v hloubce z na
půdorysných rozměrech podlahy a samozřejmě na velikosti přitížení zeminy podlahou sol. Pro různé typy
zatížení proto bude hloubka deformační zóny různá. Například při zatížení podlahy vysokozdvižným vozíkem
bude ve styku podlahové desky s podložím vznikat menší kontaktní napětí nežli při zatížení podlahy
rovnoměrným plošným zatížením. Aktivní deformační zóna pod vozíkem nebude tak hluboká a zasáhne
převážně podkladní vrstvu a částečně vrstvu stabilizované zeminy, pro plošné zatížení však bude podstatně
hlubší a kromě podkladní vrstvy a vrstvy stabilizované zeminy možná zasáhne i do původní neupravené, méně
kvalitní zeminy.
Interakce podloží a horní stavby se v běžných případech určí buď na základě jednoduchého Winklerova
jednoparametrického modelu podloží bez smykového přenosu do sousedních nezatížených oblastí, nebo na
základě víceparametrických modelů podloží se smykovým přenosem do okolí a tudíž spojitou křivkou sedání.
Chování skutečných zemin leží někde mezi těmito modely, pro jednoduchost a praktičnost se však pro stanovení
kontaktního napětí pod podlahovou deskou značně rozšířil tzv. Winklerův model, který vychází z předpokladu,
že průhyb desky a od průhybu vznikající napětí v základové spáře jsou úměrné. Použití tohoto modelu je
konzervativnější a tudíž bezpečnější především při zatěžování rohů a hran navzájem nepropojených desek, kdy
dochází k průhybu pouze zatížené desky a sousední nezatížená zůstává v původní poloze, zatímco při použití
modelu se smykovým přenosem by se prohnula i sousedící deska.
Jako charakteristika základové půdy se zavádí modul reakce podloží k. Hodnota modulu reakce podloží
nezávisí jen na vlastnostech zeminy, ale také na tvaru a velikosti zatěžovací plochy. Jeho hodnota klesá
s rostoucím rovnoměrným zatížením. Není proto pro danou zeminu konstantní a shoda výpočtu se skutečností do
značné míry závisí na výběru jeho velikosti. Velikost průměrné hodnoty modulu reakce podloží se určí jako
k=
σ ol
s
[ MPa/m ]
(1.2)
[ MPa/m ]
(1.3)
a jeho průběh po délce (šířce) základu pomocí vztahu
3

x 
k ( x) = 0,81k 1 + 0,94  
 d  

kde sol je velikost průměrného svislého přitížení základové spáry, s je příslušné sedání pod charakteristickým
bodem podlahy, x je vzdálenost počítaného bodu od středu základu a d je poloviční délka (šířka) základu [32].
V tabulce 1.0 jsou uvedeny orientační hodnoty průměrných modulů reakce podloží pro některé typy zemin.
7
Tab 1.0 Typické hodnoty modulu reakce podloží
3
Typ zeminy
k [MN/m ]
min.
max.
humózní zemina rašelina
5,0
15,0
navážky
10,0
20,0
neulehlý písek
10,0
30,0
ulehlý písek
30,0
100,0
velmi dobře zhutněný písek
100,0
150,0
vlhká hlína a jíl
30,0
60,0
suchá hlína a jíl
80,0
100,0
jíl s příměsí písku
80,0
100,0
ulehlý štěrkopísek
80,0
150,0
hrubý štěrk
200,0
250,0
ulehlý štěrk
200,0
300,0
Rozsah inženýrskogeologického průzkumu má být přiměřený významu a půdorysné rozloze podlah,
úrovni znalostí místních základových poměrů a musí se průzkumem stanovit požadované vlastnosti podloží. U
průmyslových podlah má odpovídat intenzitě zatížení a zjištěné homogenitě podloží. Spodní hranici požadavků
na průzkum představuje zatřídění zemin a ověření deformačních vlastností zemin in situ. Mezi nejběžnější
zkušební metody deformačních vlastností zemin patří zatěžování deskou průměru 750mm, presiometrické a
penetrační zkoušky.
Základní požadavky kladené na podloží průmyslových podlah jsou homogenita, dostatečná míra zhutnění
kontrolovaná například poměrem Edef,2/E def,1 a modul pružnosti od 30 MPa výše, to vše v rozsahu celé
deformační zóny podlahy. Modul reakce podloží by pro běžné podlahy neměl být menší nežli 30 MN/m3 .
Zkoušení a ověřování podloží
Zatěžovací zkouška deskou patří mezi nejstarší polní zkoušky a je v současná době velmi používaná.
Provádí se pomocí tuhé kruhové desky obvykle o průměru 750mm, která se prostřednictvím hydraulického lisu
s protizávažím vtlačuje do zeminy. Při zkoušce jsou obvykle sledovány hodnoty modulu přetvárnosti Edef,1 a
E def,2 obdržené při prvním a druhém zatěžovacím cyklu. Obvykle poměr E def,2 /Edef,1<2,0 znamená dobře zhutněné
podloží, naopak poměr E def,2 /Edef,1>2,5 indikuje nevhodné podloží. Tato metoda byla původně používána
výhradně v dopravním stavitelství pro ověření podloží silnic a z toho plynou i jistá omezení metody pro použití u
podlah. Podlahy zatížené převážně dopravou bez plošných zatížení větší intenzity mají relativně malou aktivní
deformační zónu, tj. jsou svým charakterem silnicím velmi podobné a zkouška je u nich dostatečná. Avšak
podlahy zatížené mnohapatrovými regály mají hloubku deformační zóny mnohem větší v řádu několika metrů a
touto zkouškou u nich nelze přetvárný vliv hlouběji položených vrstev postihnout. Potom je třeba dát přednost
jiné zkoušce podloží a nebo výpočtu s uvážením celé ovlivněné zóny.
Při penetrační zkoušce dochází k zarážení případně vtlačování obvykle kuželovitého hrotu upevněného na
tyči nebo soutyčí do zeminy konstantní velikostí dynamické síly nebo statického tlaku. Přitom se sleduje
8
penetrační odpor zeminy proti pronikání hrotu. Parametrem zhutnění je měrný penetrační odpor, zahrnující
podmínky zkoušky.
Zlepšování základové půdy pod podlahami
Existuje celá řada způsobů, jak vylepšit základovou půdu, avšak běžně se používají následující postupy:
● nahrazování původní zeminy jinou zeminou (pohozy, plomby, polštáře, štěrkopískové piloty)
● zhutňování zeminy dynamickou konsolidací, tj. spouštění desky stanovené hmotnosti z určité výšky
● stabilizace zemin injektáží (cementem)
● vyztužování pomocí geotextílií a dalších přídavných materiálů
● zatlačování kameniva do podloží
Nejčastější závady podloží podlah
● z úsporných důvodů nebyl proveden průzkum
● nevhodné skladování dočasně vytěžené zeminy
● nerespektování klimatických podmínek při těžbě, ukládání, rozhrnování a hutnění zeminy
● chybná technologie provádění, případně nedodržení předepsané technologie
● při těžbě zemin s následným použitím není respektována hladina podzemní vody
● projektová dokumentace není na potřebné technické úrovni
● vedoucí pracovníci nemají potřebné znalosti a zkušenosti
9
2. Zatížení podlah a jeho účinky
Na průmyslové podlahy působí několik specifických druhů zatížení, které můžeme rozdělit do
následujících skupin:
1.
Rovnoměrná plošná zatížení [kN/m2] … Jedná se o rovnoměrně rozdělená zatížení působící na
relativně velkých plochách. Pokud by plošná zatížení byla stejná v celé ploše podlahy (vlastní tíha
desky a podlahové úpravy), žádné větší namáhání by nebylo vyvozeno. Zatížení jsou ale většinou
uspořádána v plochách či pruzích (skladovací haly), mezi nimiž jsou nezatížené uličky umožňující
dopravu. A právě uprostřed uliček dochází ke vzniku záporných ohybových momentů.
2.
Rovnoměrná liniová zatížení [kN/m] … Mohou to být zatížení od stěn a příček, nebo od mobilních
regálů.
3.
Osamělá břemena [kN] … Tato zatížení jsou tvořena dvěma skupinami – tlaky kol, která mohou
vyvozovat i dynamické účinky a statickými tlaky noh skladovacích regálů. Účinky těchto zatížení je
nutné vyšetřit nejen pro jednotlivá břemena, ale i pro možné kombinace břemen. Kromě ohybových
momentů se u velkých sil působících na malé roznášecí ploše musí ověřit i protlačení podlahou. Již
předem je třeba upozornit, že nejhorší účinky z hlediska namáhání podlahy vyvozuje břemeno
umístěné v rohu desky. Pokud to tedy jde, je třeba se těchto zatížení vyvarovat.
4.
Nesilová zatížení … Především se jedná o účinky smršťování a dotvarování betonu a o zatížení
teplotními změnami.
5.
Kontaktní napětí [kPa] … Povrchové napětí vznikající pod lokálním zatížením.
6.
Horizontální zatížení [kN] … Zatížení vzniklá např. bržděním a rozjížděním vozidel.
Trendem v požadavcích na
průmyslové podlahy se stává stále větší zatížení a používání těžších
vysokozdvižných vozíků s malými tvrdými koly při současném přísnějším požadavku na rovinnost povrchu
podlahy. Tyto požadavky zvyšují nákladnost podlahy. Aby podlaha skutečně všechny požadavky splňovala, je
nutné, aby se projektant nejprve podrobně seznámil s budoucím provozem a veškerým zařízením, které se na
budoucí podlaze bude vyskytovat. Je nutné získat přesné specifikace a technické parametry dopravních
prostředků a skladovacích regálů, jejich rozměry a umístění atd. Jedině tak lze navrhnout kvalitní podlahovou
konstrukci. Některé orientační hodnoty různých typů zatížení uvádí následující tabulka:
Tab 2.0 Některé orientační hodnoty různých typů zatížení
Kategorie
zatížení
Typické kritické hodnoty
zatížení
pozn: plocha palety cca 1 m2
lehké
palety ukládané do regálů
nebo na sebe
4 vrstvy palet o hmotnosti 750kg (1 vrstva přímo
2
na podlaze); tomu odpovídá plošné zat. 30kN/m
případné mezipatro
max. zatížení od nohy regálů
3,5 kN/m
40 kN
vysokozvižné vozíky
nosnost 2000kg; odpovídající síly na přední kola
jsou 25,5kN, na zadní kola 4,0kN, při rozvoru
0,8m, rozchodu 1,15m a kontaktní ploše
0,1x0,1m.
10
2
střední
palety ukládané do regálů
nebo na sebe
4 vrstvy palet o hmotnosti 1000kg (1 vrstva
přímo na podlaze); tomu odpovídá plošné zat.
2
40kN/m
případné mezipatro
5 kN/m2
max. zatížení od nohy regálů
54 kN
vysokozvižné vozíky
nosnost 3000kg; odpovídající síly na přední kola
jsou 36,0kN, na zadní kola 5,0kN, při rozvoru
0,9m, rozchodu 1,4m a kontaktní ploše
0,2x0,2m.
těžké
palety ukládané do regálů
nebo na sebe
velmi těžké
4 vrstvy palet o hmotnosti 1500kg nebo 6 vrstev
o hmot. 1000kg (vždy 1 vrstva přímo na
2
podlaze); tomu odpovídá plošné zat. 60kN/m
případné mezipatro
7,25 kN/m2
max. zatížení od nohy regálů
80 kN
palety ukládané do regálů 5 vrstev palet o hmotnosti 1500kg nebo 7 vrstev
nebo na sebe
o hmot. 1000kg (vždy 1 vrstva přímo na
2
podlaze); tomu odpovídá plošné zat. 75kN/m
2
případné mezipatro
9,5 kN/m
max. zatížení od nohy regálů
100 kN
Pozn. Tabulka převzata z [4], hodnoty pro vysokozdvižné vozíky z [11]. Údaje jsou pouze
orientační a lze je použít pouze v případech, kdy zatížení není specifikováno přesněji.
2.1. Rovnoměrná plošná zatížení
S tímto druhem zatížení se lze setkat ve výrobních, skladových a prodejních halách a je způsobeno
výrobními linkami, skladovacími regály a skladovaným materiálem a zbožím. Charakteristické je pro toto
zatížení půdorysně pásové uspořádání, kde se zatížené pásy střídají s pásy nezatíženými (dopravními uličkami).
Výsek takto zatížené podlahy je schematicky znázorněn na následujícím obrázku 2.1.
Obr. 2.1 Schéma uspořádání plošného zatížení
Při zachování předpokladů teorie lineární pružnosti lze výpočtem namáhání takto zatížené podlahy
odvodit průběh ohybových momentů též vyznačený v obrázku 2.1. Největší záporné ohybové momenty mvznikají uprostřed nezatížených pásů a největší kladné ohybové momenty m+ uprostřed pásů zatížených. Velikost
těchto momentů se určí pomocí následujících vztahů (viz. [5], [9]).
m− = −
[
]
q −λa
e sin (λa ) − e −λb sin (λb )
2
2λ
q − 2 λb  1 
e
sin  λb 
2λ2
2 
[ kNm/m ]
(2.1)
[ kNm/m ]
(2.2)
1
m+ =
kde:
11
q
je velikost plošného zatížení podlahy
[ kN/m2 ]
λ=4
3k
Ec h 3
[ m-1 ]
k
modul reakce podloží
[ MPa/m ]
Ec
modul pružnosti betonu
[ MPa ]
h
tloušťka podlahové desky
[m]
a
šířka nezatížených pásů
[m]
b
šířka zatížených pásů
[ m ].
(2.3)
Uvažujeme-li
a = a crit = 2,209l
b = bcrit = (2 ÷ 3)a crit
kde l je poloměr relativní tuhosti desky
Ec h 3
1
1
l=
=
≅
2
2
4
12k (1 −ν ) λ 2 1 − ν
λ 2
[m]
n
[-]
4
Poissonovo číslo
(2.4)
vychází největší namáhání uprostřed nezatíženého pásu a hodnotu maximálního záporného ohybového momentu
mmax- určíme jako
−
mmax
= −0,168
q
λ2
[ kNm/m ]
(2.5)
[ kPa ]
(2.6)
čemuž při uvažování pružného působení materiálu odpovídá napětí v desce
σ=
−
− 6 mmax
E
1,008q
= 2 2 = 0,582q c
2
h
λh
kh
Pro rychlý odhad velikosti dovoleného pásového zatížení na podlahovou desku (případně i pro odhad
napětí desky v tahu za ohybu vyvolaného určitým plošným zatížením) je v literatuře [3] uvedena pomocná
tabulka Tab. 2.1, která je zde uvedena po některých formálních úpravách a po převodu z americké soustavy
jednotek do soustavy jednotek SI. Je zkonstruována pro modul reakce podloží k=13,6 MPa/m, modul pružnosti
betonu Ec=27,5 MPa a pro napětí betonu v tahu za ohybu 2,4MPa, ale vzhledem k tomu, že mezi zatížením a
odpovídajícím napětím v desce platí přímá úměrnost, je možné stanovit libovolné dovolené zatížení pro určité
napětí v desce a obráceně, tedy pro jakékoliv zatížení lze určit napětí desky v tahu za ohybu.
Budeme-li například chtít zjistit napětí v desce tloušťky 200 mm při plošném pásovém zatížení 20 kN/m2,
modulu reakce podloží k=13,6 MPa/m a při šířce nezatíženého pásu a=3,7 m z Tab. 2.1, stanovíme nejprve
přípustné zatížení desky tloušťky 200mm pro napětí 2,4 MPa, což je 49,1 kN/m2. Hledané napětí desky v tahu za
ohybu je potom rovno 2,4.(20,0/49,1)=0,98 MPa.
12
Tab. 2.1 Mezní plošná zatížení bezespárých podlahových desek
2
Tloušťka
Napětí desky
Kritická šířka
Mezní plošná zatížení v [kN/m ] při různých
desky
v tahu za ohybu
uličky acrit
šířkách a nezatížených pásů (uliček)
[m]
[MPa]
[m]
a=acrit
1,80 m
2,40 m
3,10 m
3,70 m
4,30 m
0,125
1,70
34,0
34,2
37,6
45,5
58,7
68,0
0,150
1,95
37,6
37,6
38,8
43,6
52,7
65,6
2,45
43,1
44,8
43,1
44,7
49,1
56,5
0,250
2,85
47,2
52,0
47,9
47,4
49,6
53,6
0,300
3,30
51,0
59,4
53,4
51,2
51,7
53,9
0,350
3,70
54,8
68,5
59,6
56,0
54,8
55,5
0,200
2,4
Šířka zatížených pásů b byla uvažována 7,6 m.
Napětí s při jiném modulu reakce podloží k než při již známém modulu k0 a napětí s0 lze dle literatury
[5] i dle vztahu (2.6) určit jako
σ =σ0
k0
k
[ kPa ]
(2.7)
2.2. Rovnoměrná liniová zatížení
Je-li na povrchu podlahy stěna nebo jiné liniové zatížení, závisí hodnota maximálního ohybového
momentu pod tímto zatížením na umístění zatížení v rámci půdorysu desky (u okraje nebo rohu desky, a nebo
uprostřed podlahové desky), jak je znázorněno na obrázku 2.2. Za vnitřní lze považovat zatížení umístěné na
desce ve vzdálenosti rovné minimálně trojnásobku poloměru relativní tuhosti desky od okraje.
Obr. 2.2 Schéma uspořádání liniového zatížení
Maximální hodnota kladného ohybového momentu m max+ pod liniovým zatížením p umístěným uvnitř
plochy podlahové desky se určí dle teorie lineární pružnosti vztahem (2.8), maximální hodnotu záporného
ohybového momentu mmax- vztahem (2.9) [10]. Tento extrém záporného ohybového momentu je ve vzdálenosti
(p/2l) od linie zatížení.
+
mmax
=
p
p
= 0,25
4λ
λ
[ kNm/m ]
13
(2.8)
m
−
max
π
p −2
p
=
e = 0,052
4λ
λ
l viz vztah (2.3)
[ kNm/m ]
(2.9)
Maximální hodnota záporného ohybového momentu mmax- pod liniovým zatížením umístěným na okraji
podlahové desky se určí vztahem (2.10). Tato maximální hodnota se vyskytuje ve vzdálenosti (p/4l) od hrany a
tedy i od linie zatížení.
m
−
max
π
−
p
p
π 
= − χ t e 4 sin   = −0,322 χ t
λ
λ
4
[ kNm/m ]
(2.10)
kde xt je součinitel přenosu zatížení (více viz. kapitola 2.5).
Využije-li se při výpočtu namáhání plastická teorie lomových čar, lze celkový maximální moment mtot
vyvozený kritickým zatížením umístěným uvnitř plochy podlahové desky určit dle literatury [7] jako
 0,184

mtot = χ t p
− 0,087b 
λ


[ kNm/m ]
(2.11)
kde b je šířka liniového zatížení v [m] a xt je součinitel přenosu zatížení.
Výpočtem celkového momentu od kritického liniového zatížení na hraně a rohu desky lze dle teorie
lomových čar odvodit vztah ekvivalentní vztahu 2.10. V tomto případě tedy plastický výpočet namáhání nedává
proti pružnému výpočtu žádnou rezervu.
Pokud je liniové zatížení stěnou rozhodující nebo alespoň významné z hlediska návrhu podlahy, je možné
podlahovou desku pod stěnou zesílit [3]. Šířka tohoto zesílení by měla být alespoň patnáctinásobkem tloušťky
zesílení zvětšeným o šířku stěny (obr. 2.3).
Obr. 2.3 Zesílení podlahové desky pod stěnou
2.3. Osamělá břemena
Obr. 2.4 Způsoby umístění osamělých břemen na desce
14
Při zatížení podlahy osamělými břemeny P je pro výsledné namáhání velmi důležité jejich umístění
(vnitřní, okrajová a rohová břemena) a plocha, na které toto zatížení působí. Ve výpočtech je velikost styčné
plochy většinou charakterizována poloměrem ekvivalentní kruhové zatěžovací plochy r. Pro jiné než kruhové
zatěžovací plochy se ekvivalentní poloměr stanoví z předpokladu rovnosti ploch, například pro obdélníkovou
zatěžovací plochu o rozměrech a, b vychází
r=
ab
π
[m]
(2.12)
2.3.1. Vnitřní břemena
Vychází-li se z předpokladů teorie lineární pružnosti, lze určit maximální napětí smax pod osamělým
břemenem P1 jako součet napětí s1 od tohoto břemene a napětí si stanovených v místě působení břemene P1 od
dalších břemen Pi. Pro napětí vyvozené břemenem P1 platí
σ 1 = 0,275(1 + ν )

Ec h 3 
P1


log
0
,
36

h2
kr *4 

[ MPa ]
(2.13)
[m]
(2.14)
kde
r* = (1,6r2 + h2)1/2 – 0,675h
pro r < 1,724h
r* = r
pro r > 1,724h
k , E c, h, n
viz. vztah 2.3 a 2.4
Zvětšení napětí v působišti břemene P1 od dalšího břemene Pi , které je ve vzdálenosti si, se určí vztahem 2.15.
Pokud jsou břemena ve vzdálenosti si < (2r + h), sloučí se obě břemena v jedno a velikost ekvivalentního
poloměru se určí z rovnosti plochy ekvivalentního kruhu se součtem zatěžovacích ploch jednotlivých břemen.
 M  6P
σ i =  t  2i
 P h
[ MPa ]
(2.15)
Poměr tangenciálního momentu Mt k síle P se určí pomocí grafu (obr. 2.5) v závislosti na poměru vzájemné
vzdálenosti břemen si k poloměru relativní tuhosti l. Maximální napětí s max pod osamělým břemenem P1 bude
tedy součtem napětí od všech břemen.
σ max = σ 1 + ∑ σ i
[ MPa ]
15
(2.16)
Obr. 2.5 Poměr tangenciálního momentu Mt k síle P
Původní Westergaardův vzorec pro výpočet napětí pod osamělým břemenem byl uveden ve tvaru
σ1 =
3(1 + ν )P1 
l

 log + 0,6159 
2
2π .h 
r*

[ MPa ]
(2.17)
kde mají jednotlivé značky stejný význam jako ve vztahu 2.13 případně 2.4.
Průhyb podlahové desky w pod osamělým břemenem P lze za předpokladu pružného rozdělení napětí po
výšce průřezu stanovit jako
w=
P
8kl 2

1
1 +
 2π
2
 r 
 r  
ln
−
0
,
673




 2l
 l 
  
  
[m]
(2.18)
kde k je modul reakce podloží, l poloměr relativní tuhosti desky (2.4) a r je ekvivalentní poloměr
zatěžovací plochy.
Při použití plastické teorie lomových čar lze pro výpočet celkového maximálního momentu mtot od
osamělého břemene P1 použít dle literatury [4] Meyerhofův vztah
mtot =
P1
[ kNm/m ]
 2r 
61 + 
l 

(2.19)
Je-li podlaha zatížena kombinací dvou stejných břemen P, která jsou vzájemně umístěna ve vzdálenosti x
a průměr jejich kontaktní plochy je d=2×r, lze maximální moment určit tak, že se určí ekvivalentní průměr
kontaktní plochy de a jemu příslušný moment se stanoví vztahem 2.19 pro r=de/2 a P1=2×P. Pak je ještě nutné
ověřit, zda nevychází větší moment pro pouze jedno břemeno P bez příspěvku druhého břemene. Ekvivalentní
průměr kontaktní plochy de se určí pomocí grafu znázorněného na obrázku 2.6 v závislosti na vzájemné
vzdálenosti břemen a průměru kontaktní plochy d.
Další informace o výpočtu namáhání dle plastické teorie lomových čar při kombinacích několika zatížení
jsou uvedeny v literatuře, např. v [7], [8], [12] a [13].
16
Obr. 2.6 Ekvivalentní průměr kontaktní plochy pro dvě břemena
2.3.2. Okrajová břemena
Při řešení napjatosti desky vycházejícím z teorie pružnosti lze předpokládat, že kontaktní plocha pod
osamělým okrajovým břemenem P1 je kruhová o poloměru r. Napětí s1 vznikající pod tímto břemenem se pak
stanoví ze vztahu
σ 1 = 0,529 χ t (1 + 0,54ν )

P1
Ec h 3 


log
0
,
2

h2
kr *4 

[ MPa ]
(2.20)
kde x t je součinitel přenosu zatížení, který se uplatní při spolupůsobení sousedních desek, význam
ostatních značek je stejný jako ve vztahu 2.13.
Již v první polovině 20. století odvodil Westergaard vztahy pro výpočet napětí s1 a průhybů w
vyvozených okrajovým břemenem P1 s kontaktní kruhovou plochou (2.21 a 2.22) i kontaktní polokruhovou
plochou s rovnou stranou na okraji desky (2.23 a 2.24).
σ1 =
w=
3(1 + ν )P1
π (3 + ν )h 2
2 + 1,2νP1  (0,76 + 0,4ν ) 
r
1 −
l

Ec h 3 k 
3(1 + ν )P1
σ1 =
π (3 + ν )h 2
w=
  Ec h 3 
4ν (1 + 2ν )r 

+
3
,
84
−
+
ln 

4 
3
2l 
  100kr 
  Ec h 3
ln 
4
  100kr

4ν 1 − ν 1,18(1 + 2ν )r 
 + 1,84 −
+
+

3
2
2l


2 + 1,2νP1  (0,323 + 0,17ν ) 
r
1 −
l

Ec h 3 k 
17
[ MPa ]
(2.21)
[m]
(2.22)
[ MPa ]
(2.23)
[m]
(2.24)
kde význam jednotlivých značek je stejný jako ve vztahu 2.13.
Při spolupůsobení jednotlivých sousedních desek lze samozřejmě tyto Westergaardovy vztahy také upravit
pomocí součinitele přenosu zatížení xt. Při zatížení okraje více osamělými břemeny se maximální napětí pod
určitým břemenem určí jako součet napětí od tohoto břemene a příspěvků napětí od jiných břemen vyčíslených
v tomto místě.
Při použití plastické teorie lomových čar lze celkový maximální moment mtot vznikající od působení
osamělého okrajového břemene P1 stanovit ze vztahu
mtot =
χ t P1
7  3r 
1 + 
l 
2
[ kNm/m ]
(2.25)
kde je význam jednotlivých značek stejný jako ve vztazích 2.13 a 2.20.
2.3.3. Rohová břemena
Za předpokladu platnosti teorie pružnosti lze napětí s1 pod osamělým rohovým břemenem P1 s
kruhovou kontaktní zatěžovací plochou stanovit ze vztahu
σ 1 = 3χ t 4
P1 
r *
1− 2 
2 
h 
l 
[ MPa ]
(2.26)
podle plastické teorie lomových čar lze celkový maximální ohybový moment mtot stanovit ze vztahu
mtot =
χ t 4 P1
 4r 
21 + 
l 

[ kNm/m ]
(2.27)
kde xt4 je součinitel přenosu zatížení na styku čtyř desek, význam ostatních značek je stejný jako ve
vztazích 2.13 a 2.20.
Vztah pro výpočet namáhání rohu při zatížení osamělým rohovým břemenem prošel poměrně dlouhým
vývojem [16]. Již v roce 1919 uvedl Goldbeck [14] první jednoduchý vztah vycházející z teorie pružnosti a
předpokladu, že roh desky působí jako nepodepřená konzola (obr. 2.7). Průřezový modul desky W ve vzdálenosti
x od rohu desky (měřeno po diagonále) má velikost 2.x.h2 /6, pro napětí pak platí vztah
σ1 =
Px
3P
m
= 1
= 21 ,
1
W
h
2 xh 2
6
[ MPa ]
příslušný záporný ohybový moment má pak velikost mmax- = P1/2.
Obr. 2.7 Roh desky zatížený osamělým břemenem
18
[ kNm/m ]
(2.28)
O několik let později uvážil Westergaard kontaktní plochu zatížení o poloměru r a pro napětí s1 působící
ve vzdálenosti x = 2 rl 2 od rohu desky a průhyb w rohu desky odvodil za předpokladu podepření tohoto rohu
pružně stlačitelným podložím vztahy
0,6
3P1   r 2  


σ 1 = 2 1− 
,
h   l  


w=
P1
kl 2

 r 2 

1,1 − 0,88

l



[ MPa ]
(2.29)
[m]
(2.30)
kde je význam značek stejný jako ve vztazích 2.13 a 2.20.
V důsledku nerovnoměrného vysýchání, popřípadě nerovnoměrné teploty po výšce desky podlahy
dochází často k nadzvedávání okrajů a hlavně rohů desek. Ve skutečnosti tedy roh při jeho nadzvednutí působí
jako konzola, naopak při malém zvednutí jsou ve velké části půdorysu splněny předpoklady plného podepření.
Skutečné působení bude většinou někde mezi těmito případy. Bradbury se s tímto problémem vypořádal tak, že
použil vztah Westergaardův, ale modul reakce podloží k uvážil pouze jako čtvrtinu modulu skutečného. Další
úpravu Westergaardova vztahu (2.29) navrhl Kelley, který uvažoval exponent 1,2 místo 0,6. Vypočtené výsledky
tak lépe vystihovaly skutečné působení rohu desky.
TR 550 [13] doporučuje pro výpočet maximálního napětí poloempirický Pickettův vztah (2.31). Tento
vztah přihlíží k nedostatečnému podepření rohu a také ke skutečnosti, že rozdělení momentu v kritickém průřezu
(v místě lomové čáry) není rovnoměrné.

r

P
l
σ 1 = α 12 1 −

r
h
 0,925 + 0,22
l







[ MPa ]
(2.31)
Součinitel a závisí na účinnosti přenosu zatížení do sousedních desek. Pro desku s volným okrajem se
doporučuje hodnota 4,2 a pro desku s možností přenosu zatížení 3,36. V literatuře [15] jsou tyto hodnoty
uvedeny i nižší, a to a = 3,5 pro desku s volným okrajem a 2,3 s možností přenosu zatížení.
2.4. Nepřímá zatížení
Existují v podstatě dva hlavní druhy těchto zatížení, smršťování betonu od vysýchání a zatížení teplotou.
Pokud není smršťování desky bráněno, není příliš nebezpečné, neboť při něm nevznikají výrazná napětí.
Podlahová deska ovšem leží na podkladní vrstvě, která tomuto smršťování brání a následkem toho vznikají
v horizontální rovině desky tahové síly. Předpoklad vzniku pouhé tahové síly je značně zjednodušený a
nepřesný. Ve skutečnosti je totiž jak smršťování od vysýchání, tak i smršťování od zatížení teplotou po výšce
podlahové desky značně nerovnoměrné a v důsledku toho dochází i k ohybu desky. Výsledné namáhání podlahy
je tedy kombinací stěnové a deskové napjatosti desky uložené na pružném podloží.
2.4.1. Smršťování od vysýchání
19
Tahová napětí způsobená smršťováním cementového tmele lze snížit vhodným postupem betonáže,
návrhem betonové směsi (vodní součinitel do 0,5), snížením tření v kontaktní spáře mezi podkladní vrstvou a
betonovou deskou apod. Smrštění je také závislé na vyztužení prvku. Výztuž totiž brání volnému smršťování
v důsledku čehož je výsledné smrštění menší. V betonu ale vznikají napětí (tahová i tlaková v závislosti na
rozmístění výztuže v prvku) a často mohou v důsledku těchto napětí vzniknout i trhliny.
Smršťování betonu od vysýchání, zjednodušeně řečeno, je objemová změna způsobená ztrátou vody a
chemickými reakcemi, které v betonu probíhají (více v Příloze 1 – Podrobnější pohled na smršťování
podlahových desek od vysýchání). Ztráta vody je výsledkem fyzikálních a chemických procesů, které v betonu
probíhají před, během a po zatvrdnutí. Pro většinu betonů je typická hodnota celkového smrštění (0,5-0,7),
výsledná hodnota je ovšem velice závislá na mnoha činitelích. Přibližně 20% až 50% z celkového smrštění
proběhne během prvních dnů při tuhnutí a tvrdnutí betonu. Dlouhodobé studie ukazují, že přibližně 75%
z celkového smrštění proběhne do jednoho až dvou let, přibližně 90% do šesti až osmi let.
Je-li nutné stanovit (např. při návrhu druhu těsnění do spár), kolik procent z celkového smrštění podlahy
v daném okamžiku již proběhlo, lze použít následující vztahy uvedené v literatuře [1]. Předpokládá se nižší
tekutost směsi a tloušťka podlahové desky do 150mm.
s = 100t / (35 + t )
pro H=40%
s = (1,4 − 0,01H )[100t / (35 + t )]
pro 40%<H<80%
s = (3,0 − 0,3H )[100t / (35 + t )]
pro 80%<H<100%
(2.32)
kde s značí procento z celkového smrštění, t je počet dnů od ukončení ošetřování povrchu a H je relativní
vlhkost okolního vzduchu v procentech.
V souvislosti se smršťováním je také třeba upozornit na to, že velikost smrštění je výsledkem
kumulativního efektu mnoha činitelů (Tab. 2.2) [3].
Tab. 2.2 Kumulativní efekt smršťování
Nevhodné praktiky, které mohou způsobit větší
Přírustek smrštění
smršťování
Kumulativní efekt
[%]
Teplota betonu při ukládání směsi je 27 °C, zatímco mohla
8
1.00 x 1.08 = 1.08
10
1.08 x 1.10 = 1.19
10
1.19 x 1.10 = 1.31
25
1.31 x 1.25 = 1.64
Použit cement, který se relativně hodně smršťuje
25
1.64 x 1.25 = 2.05
Kamenivo obsahuje příliš prachových částic, které nebyly
25
2.05 x 1.25 = 2.56
50
2.56 x 1.50 = 3.84
být pouhých 16°C
Použit vyšší vodní součinitel tak, že sednutí kužele je 180
mm místo 100 mm
Velká dopravní vzdálenost směsi, dlouhé čekací doby na
stavbě, vysoká rychlost autodomíchávače
Použito kamenivo max. frakce 16mm, zatímco mělo být
kamenivo max. frakce 32mm
odstraněny při čištění, nebo se do směsi dostaly při ukládání
směsi
Užití kameniva špatných vlastností z hlediska smršťování
20
Užití přísady, která zvyšuje smrštění
30
Celkový přírůstek smrštění:
3.84 x 1.30 = 5.00
Suma = 183%
Kumulace = (5.001.00) x 100 = 400%
Velikost smrštění betonu e cs lze nalézt v mnoha publikacích, doporučeních a normách. Například
evropská norma pro navrhování betonových konstrukcí [17] udává velikost základního smrštění v závislosti na
náhradní tloušťce průřezu a relativní vlhkosti vzduchu. Uvážíme-li, že pro desku vysychající při obou površích je
náhradní tloušťka 2×Ac/u rovna skutečné tloušťce, lze si pro základní hodnoty celkového smrštění uvést
následující tabulku (Tab. 2.3). Pro desku vysýchající pouze při horním povrchu bude velikost náhradní tloušťky
rovna polovině skutečné tloušťky desky.
Tab. 2.3 Hodnoty základního smrštění betonu
Základní hodnoty smrštění ecs
Umístění prvku Relativní vlhkost
[ °/oo ]
[%]
2×Ac/u < 150mm 2×Ac/u > 600mm
uvnitř
50
-0,6
-0,5
venku
80
-0,33
-0,28
V tabulce lze lineárně interpolovat
Doporučení zpracované firmou BEKAERT [12] doporučuje používat pro drátkobetonové konstrukce
umístěné na volném prostranství hodnotu ecs=-0,2 a pro vnitřní konstrukce ecs=-0,4. Eurokódy tedy
doporučují hodnoty přibližně o 50% vyšší (tj. konzervativnější, ovšem platné pro nevyztužený beton).
Při relativní vlhkosti vzduchu 50% lze velikost celkového smrštění betonu určit přesněji v závislosti na
obsahu cementu ve směsi a na vodním součiniteli betonu pomocí grafu znázorněného na obrázku 2.8 [12].
Korekci smrštění na jinou relativní vlhkost vzduchu nežli je 50% lze provést pomocí grafu znázorněného na
obrázku 2.9.
21
Obr. 2.8 Celkové smrštění betonu v závislosti na množství cementu ve směsi a na vodním součiniteli směsi
Obr. 2.9 Korekce celkového smrštění betonu na jinou relativní vlhkost vzduchu nežli 50%
Poměrně přesný odhad celkového smrštění desky lze provést pomocí internetové stránky
www.fsv.cvut.cz/~kristek, odkud se po vyplnění vstupního formuláře dozvíme jak koeficient dotvarování, tak i
velikost celkového smrštění prvku. Výpočet vychází z Bažantova modelu B3, který je v současnosti asi
22
nejvýstižnějším modelem pro vyšetřování dotvarování a smršťování betonu. Způsob použití této internetové
stránky je popsán například ve sborníku z Betonářských dnů 2000 [23].
2.4.2. Zatížení změnou teploty
Poměrně velký rozdíl lze očekávat v teplotách podlah umístěných ve venkovních a vnitřních prostorách.
U podlah umístěných venku jsou běžné denní změny teploty povrchu podlahy kolem 25-35 °C (může být však až
80°C). U podlah umístěných uvnitř objektů běžně tyto změny dosahují pouhých 5-10 °C, je však třeba uvážit i
možné nárazové změny (přerušení vytápění či klimatizování, přerušení provozu), které mohou být podstatně
vyšší (20-25 °C); při výpočtu je ovšem nutné s nimi počítat.
Známe-li změnu povrchové teploty podlahy, neznamená to, že i celá podlaha bude namáhána právě touto
teplotní diferencí. Díky setrvačnosti materiálu se budou nižší vrstvy betonové desky ohřívat a ochlazovat
mnohem pomaleji a z krátkodobého hlediska tam teplotní změny nedosáhnou zdaleka tak vysokých hodnot jako
při povrchu.
Přetvoření ecT od průměrné změny teploty podlahové desky lze určit jako
ε cT = α (T − T0 )
[-]
(2.33)
kde a je koeficient teplotní roztažnosti betonu (12x10-6), T referenční teplota (např. teplota při betonáži)
a T0 je okamžitá hodnota teploty.
Zatím se v praxi většinou přihlíží pouze k účinku průměrné změny teploty podlahové desky, i když
účinek nerovnoměrného oteplení může být v některých případech též významný. Uvážíme-li teplotní rozdíl mezi
horním a dolním povrchem desky (Tu-Tb), lze pro maximální napětí vznikající v krajních vláknech desky odvodit
jednoduchý vztah σ ∆T = E cα (Tu − Tb ) .
2.4.3. Určení účinků smršťování
Obr. 2.10 Smykové namáhání desky v kontaktní spáře při smršťování
Nepočítá-li se přesněji, lze pro přibližný výpočet tahových napětí vnitřní části podlahové desky od tření
v kontaktní spáře podlahy použít vztah
σ=
µ (g + k t q )
L
h
kt =
δL1 + δL2
L
= (ε cs + ε cT )
δL
δL
[ MPa ]
23
(2.34)
kde m je součinitel tření, g je stálé zatížení podlahy, q je dlouhodobé nahodilé zatížení, L vzdálenost
posuzovaného místa od okraje smršťovacího celku podlahy (vzdálenost rohu a středu smršť. celku), h je tloušťka
podlahy, dL je vodorovný posun nutný k mobilizaci plného tření v kontaktní spáře (např. dL=1,5mm), dL1 je
vodorovný posun od smršťování a dL2 vodorovný posun od změny teploty.
Tento vztah vychází z předpokladu, že od středu smršťovacího celku podlahy nejprve rostou lineárně
smyková napětí t x v kontaktní spáře a teprve po překonání smykové pevnosti tu vzniká prokluz s fyzikálním
třením (obr. 2.10). Překonání smykové pevnosti se předpokládá při posunutí větším nežli je dL. V případě, že
dochází k prokluzu po zemině, rozhoduje o mezním smykovém napětí v zemině vztah tu=(g+q)×tgf+c, kde f
je úhel vnitřního tření a c soudržnost jemnozrnné zeminy. Součinitel tření lze vyjádřit vztahem m= tgf.
Dochází-li k prokluzu po podkladním betonu nebo po separační vrstvě (kluzné spáře), rozhoduje o smykovém
napětí součinitel tření m. Výsledná tahová síla se získá integrací (součtem) smykových napětí tx (před
dosažením smykové pevnosti) nebo tu (po dosažení tahové pevnosti) od okraje ke středu smršťovacího úseku.
Zanedbá-li se postupný nárůst smykových napětí tx v kontaktní spáře a v celé délce L se uváží tření se
součinitelem tření m, lze pro výslednou tahovou sílu Nt v desce odvodit zjednodušený vztah
N t = µ (g + q )
L
2
[ kN ]
(2.35)
kde je význam jednotlivých značek stejný jako v předešlém vztahu 2.34.
Nahodilé zatížení však většinou nebude působit od samotného vybetonování podlahy a tudíž je možné výpočet
tahové síly rozdělit na dvě období tak, že v prvním období působí pouze stálé zatížení (vlastní tíha podlahy) a
teprve po určité době, kdy již část smršťování proběhla (tuto část lze určit například ze vztahů 2.32), bude
působit i zatížení nahodilé.
Výsledná síla a tedy i napětí od smršťování jsou přímo úměrné a závisí na součiniteli tření. Výstižný
odhad tohoto součinitele je však problematický, neboť kromě materiálu styčných ploch závisí i na kvalitě
(drsnosti) těchto ploch. Obecně je tedy nutné požadovat, aby styčná plocha podlahové desky a vrstvy pod deskou
byla co nejhladší a nevyskytovaly se na ní nepředpokládané zarážky a nerovnosti. Hodnoty součinitele tření m
uvádí například literatura [4], [12], [18] a jsou porovnány v následující tabulce 2.4.
Tab. 2.4 Součinitel tření
Součinitel tření m mezi betonovou deskou a podkladem
Literatura:
materiál podkladu
[4]
m0 k překonání
další
[12]
[18]
průměrně
m0 k překonání
počáteční adheze pohyby
další
počáteční adheze pohyby
mastixový kryt
3,2
-
3,2
-
-
drsný podklad
-
-
-
1,0 - 2,0
0,6 - 1,0
asfaltová emulze
2,5
1,3
2,0
-
-
plastická zemina
2,1
1,3
1,7
-
-
směs písku a štěrku
1,9
1,4
1,6
-
-
24
zrnitý podklad
1,7
0,9
1,3
-
-
písková vrstva
1
0,7
0,9
-
-
0,9
0,5
0,7
-
-
0,5
-
-
-
0,4 - 0,5
-
polyetylénová vrstva
polyetylénová vrstva - dvojitá
-
fólie na zarovnaném pískovém loži
-
-
Zvláštní chování desek lze sledovat při použití natavitelných asfaltových izolačních pásů NAIP (IPA
400H, IPA 500H, Sklobit, Bitagit S, Foalbit aj.) uložených mezi deskou podlahy a podložím [20]. Při pomalých
vodorovných posunech ve spáře (cca 10-8 m.s-1 a nižších) působí asfaltová vrstva na konstrukci podlahy
viskózním odporem, který závisí především na teplotě a rychlosti posunu. Při vyšší rychlosti posunu viskózní
odpor vzrůstá, až posuv přechází v prokluz a dále se již jedná o obyčejné tření. Při smršťování od vysýchání,
které probíhá poměrně pomalu, můžeme kluznou spáru považovat za viskózní. Naopak při tepelných
deformacích se ve spáře mezi deskou a podložím uplatní obyčejné tření.
2.5. Přenos zatížení spárou
Některé spáry musí být schopné přenášet svislé zatížení mezi sousedními deskami. Bez přenosu zatížení
by totiž okolí spáry bylo velmi náchylné na porušení.
Nejčastějším případem, kde je přenos zatížení vyžadován, jsou spáry vystavené dopravě. Spáry pod
fixním zatížením, jako jsou nohy regálů nebo provozní zařízení, nemusí přenos zatížení zajišťovat, pokud se
s tím ovšem neuvažovalo v návrhu podlahy. Oddělovací spáry by žádné zatížení přenášet neměly, neboť by to
bylo proti jejich podstatě.
Přenos zatížení lze zajistit různými způsoby, například procházející výztuží, ocelovými hmoždinkami a
lištami, ocelovými propojovacími pruty, perem a drážkou nebo zámkem z kameniva. Výběr způsobu závisí na
typu spáry a na velikosti zatížení, které je nutné přenášet.
Míru přeneseného zatížení lze vyjádřit několika způsoby. Firma BEKAERT [2] používá součinitel
přenosu zatížení xt, který pro spáry propojené hmoždinkami uvažuje hodnotou 0,6.
Pro smršťovací spáry (zde míněny spáry řezané), které fungují na principu zámku z kameniva, firma
BEKAERT určuje hodnotu součinitele xt podle velikosti rozevření spáry. Účinnost přenosu zatížení označená
LTE, je pro případ zámku z kameniva znázorněna grafem na obrázku 2.11. Tento graf vychází z podkladů PCA a
platí pro prostý beton. Lze předpokládat, že pro vláknobeton bude účinnost přenosu zatížení ještě vyšší. Známeli účinnost přenosu zatížení LTE, lze součinitel přenosu zatížení xt pro spáru určit ze vztahu (2.36) a pro průsečík
dvou stejných spár xt4 ze vztahu (2.37)
χt = 1−
LTE
200
χ t 4 = 1 − 2 (1 − χ t )
[-]
(2.36)
[-]
(2.37)
Je zřejmé, že hodnota xt se bude pohybovat v intervalu od 0,5 do 1,0. To je celkem logické, neboť spára
se 100% účinností přenosu rozdělí toto zatížení rovnoměrně na obě sousedící desky. Toto ovšem platí pouze za
předpokladu, že zatížení leží přímo na okraji jedné z desek. Ve skutečnosti je zatížení rozloženo na určité
roznášecí ploše, takže působiště zatížení není na okraji desky a větší část z tohoto zatížení tedy zůstane v první
desce.
25
Velikost součinitele xt4 bude v rozmezí od 0,293 do 1,0. Teoreticky se zatížení na průsečíku dvou spár
může rovnoměrně rozdělit do čtyř desek, čemuž by odpovídala minimální hodnota součinitele xt4=0,25. Vztah
(2.37) je proto o něco bezpečnější nežli vztah (2.36).
Obr. 2.11 Účinnost přenosu zatížení spárou fungující na principu zámku z kameniva
Dle starších podkladů firmy BEKAERT [12] lze pro spáru s hmoždinkami uvažovat, že se přenese 40%
zatížení (~xt=0,6), pro smršťovací spáru přenos 20% zatížení (~xt=0,8) a pro průsečík dvou smršťovacích spár
přenos 60% zatížení (~xt4 =0,4).
Dle příručky J. W. E. Chandlera [21] lze při dostatečném přenosu zatížení napětí v rohu desky redukovat
o 30% (~xt4=0,7) a napětí na hraně desky o 15% (~x t=0,85). Příručka bohužel neurčuje, kdy je přenos zatížení
dostatečný.
Trochu odlišný způsob výpočtu namáhání doporučuje The Concrete Society v TR34 [4]. Nejprve se určí
napětí, které v desce vznikne od zatížení umístěného ve vzdálenosti do 300mm od spáry při 100% účinnosti
přenosu (~xt=0,5) a následně se toto napětí procentuelně zvýší v závislosti na typu spáry. Pro těsné spáry
propojené výztuží nebo propojovacími pruty se napětí nezvyšuje. Pro spáry široké 1mm až 6mm s hmoždinkami
se napětí zvýší o 33% (pro přímý výpočet možno použít ~xt=0,67). Pro spáry s hmoždinkami rozevřené více jak
6mm a indukované smršťovací spáry rozevřené více jak 1mm se napětí zvýší o 85% (pro přímý výpočet možno
použít ~xt=0,93).
26
3.
Zásady dimenzování
Ve světě v podstatě existují dva základní přístupy k dimenzování betonových podlah. Je to metoda
stupně bezpečnosti SF a metoda dílčích součinitelů spolehlivosti g. Stupeň bezpečnosti je používán nejen
v amerických a anglických příručkách, ale i v doporučení The Concrete Society TR34 [4]. Původně na základě
stupně bezpečnosti prováděla návrhy podlah i firma BEKAERT [12]. Princip spočívá v tom, že se buď zatížení
vynásobí, nebo materiálové charakteristiky vydělí stupněm bezpečnosti. Velikost stupně bezpečnosti se pro
podlahy pohybuje od 1,5 do 2,0 a závisí především na přesnosti vstupních údajů pro výpočet, počtu zatěžovacích
cyklů, použitém materiálu a důležitosti konstrukce. Jeho velikost může ovlivnit i sám projektant.
Metoda dílčích součinitelů spolehlivosti spočívá v tom, že se zatížení vynásobí součinitelem spolehlivosti
zatížení a materiálové charakteristiky se podělí součinitelem spolehlivosti materiálu. Stejný přístup používají
stávající české normy i eurokódy a lze pro další výpočty doporučit právě tuto metodu, neboť odděluje náhodné
vlastnosti zatížení od náhodných vlastností materiálů.
Způsob dimenzování průmyslové betonové podlahy závisí především na použitém druhu betonu pro
konstrukci podlahy (prostý, slabě vyztužený, železový, předpjatý beton nebo drátkobeton) a na tom, zda lze
v podlaze připustit vznik trhlin. Chování všech druhů betonu lze do vzniku trhlin považovat za zcela pružné,
proto i veškeré výpočty namáhání do vzniku trhlin je třeba provádět na základě tohoto předpokladu.
Pro podlahové konstrukce z prostého betonu je mez vzniku trhlin zároveň mezním stavem únosnosti
(MSÚ), který ovšem nevede ke zřícení konstrukce, nýbrž pouze k porušení, které znemožní další užívání
podlahy. Z těchto důvodů je třeba u desek z prostého betonu uvažovat na mezi vzniku trhlin návrhové hodnoty
zatížení i pevnosti betonu. Za jistých podmínek lze pro výpočet namáhání podlahy z prostého betonu namáhané
osamělými břemeny použít i metodu lomových čar. Bližší vysvětlení je uvedeno v kapitole 3.1.1.
Rozdíly v chování jednotlivých druhů betonu nastávají až po vzniku trhlin. Zatímco deska z prostého
betonu ztratí v místě trhliny prakticky ihned svou únosnost, je možné u drátkobetonu případně slabě vyztuženého
betonu využít reziduální únosnosti desky v místě trhliny. U drátkobetonu je reziduální únosnost charakterizována
tzv. ekvivalentní pevností drátkobetonu v tahu ffte, u slabě vyztuženého betonu únosností průřezu při využití
meze kluzu použité výztuže. Obě tyto reziduální únosnosti bývají zpravidla menší než únosnost průřezu při
vzniku trhlin; u drátkobetonu s větší hmotnostní koncentrací vhodných drátků může však reziduální únosnost
průřezu dokonce převýšit únosnost průřezu při vzniku trhlin. Významné je, že drátkobeton i slabě vyztužený
beton umožňují po vzniku trhliny plastické chování vedoucí k redistribuci namáhání v podlahové desce. Lze tedy
na mezi únosnosti použít plastický výpočet např. podle teorie lomových čar a využít tak houževnatost
drátkobetonu, popř. slabě vyztuženého betonu.
U podlahových desek ze železového a předpjatého betonu rozhoduje o mezním stavu únosnosti bezpečně
únosnost průřezu po vzniku a rozvoji trhlin, tj. po vyloučení tažené části betonového průřezu a využití tahové
výztuže na mez kluzu. Při výpočtu mezního stavu únosnosti lze proto uvažovat plastické chování betonu v tlaku
a výztuže v tahu. Mez vzniku trhlin je zde mezním stavem použitelnosti (MSP), v řadě případů však rozhoduje o
provozních podmínkách průmyslového objektu. Proto je nutné podlahu posoudit i na tento mezní stav
použitelnosti, a to za předpokladu pružného chování betonové podlahové desky.
27
3.1. Metoda lomových čar
V mezním stavu únosnosti podlahové betonové desky lze stejně jako u běžných železobetonových
stropních desek uvažovat vznik plastických kloubů. Místa s plastickými klouby se také nazývají lomovými
čárami. V deskách s plastickými klouby dochází k výrazné redistribuci ohybových momentů a kritické zatížení
tak může být výrazně vyšší nežli při uvážení pružného chování konstrukce.
Chování desek z prostého betonu je poněkud odlišné od chování desek železobetonových a
drátkobetonových. Mechanismus porušení jednotlivých materiálových typů desek lze názorně vysvětlit na
modelu desky, která je postupně přitěžována osamělým břemenem umístěným uprostřed této desky.
3.1.1. Mechanismus porušení podlahy z prostého betonu
Podlahová deska z prostého betonu umístěná na pružném podloží, která je uprostřed zatížena osamělým
břemenem, se až do vzniku první trhliny chová zcela pružně (obr. 3.1a). Maximální velikost ohybových
momentů, které lze za tohoto stavu dosáhnout, je rovna momentu únosnosti při vzniku trhlin mR,cr.
První trhlinka se pod osamělým břemenem objeví při zatížení Pcr,1 (obr. 3.1b). Například u nosníku
z prostého betonu by v tuto chvíli již došlo ke kolapsu a zřícení, u desky na pružném podloží však dojde pouze
k přerozdělení radiálních mr a tangenciálních mt momentů do méně namáhaných míst. Deska tedy v místě trhliny
rázem ztrácí svoji únosnost, jako celek se stává poddajnější, je ale schopna přenášet ještě další přitížení.
Při zvětšování velikosti osamělého břemena nad hodnotu Pcr,1 dochází v místě lomových čar k rozvoji
trhlin u spodního okraje desky a současné redistribuci radiálních momentů k hornímu povrchu a tangenciálních
momentů k okrajům desky (obr. 3.1c).
Při zatížení osamělým břemenem o velikosti Pcr,2 dochází při spodním okraji desky ke vzniku průběžných
trhlin a tím i k dosažení meze únosnosti. Po celé délce trhlin je velikost tangenciálních momentů samozřejmě
nulová, radiální momenty však ani ve svých kladných ani záporných hodnotách nedosahují hodnoty mR,cr.
28
Obr. 3.1. Průběh redistribuce ohybových momentů v poli desky z prostého betonu zatížené osamělým
břemenem uprostřed
Technical Report 34 [4], který je jakýmsi standardem v navrhování podlah v Evropě, připouští i pro
podlahové desky z prostého betonu použít při návrhu metodu lomových čar. A nejen že to připouští pro osamělá
břemena umístěná uprostřed desek, kdy trhliny vznikají při spodním povrchu, ale i pro osamělá břemena
působící na hranách a v rozích desek, kdy se trhlina lomové čáry rozevírá při horním povrchu. Za tohoto
předpokladu lze ještě dále rozvést myšlenku o tom, co nastane, když i po vzniku průběžných trhlin u spodního
povrchu desky zatížené uprostřed osamělým břemenem budeme dále zvyšovat zatížení nad hodnotu Pcr,2 . Deska
se v tom případě rozdělí na čtyři jednotlivé díly a v místech lomových čar se budou přenášet pouze posouvající
síly. Každý díl bude možné považovat za desku na pružném podloží zatíženou osamělým břemenem o velikosti
P/4 umístěným v rohu této desky. Zatížení pak bude možné zvyšovat až do té doby, než vznikne sekundární
29
lomová čára (trhlina při horním povrchu) v jisté vzdálenosti od osamělého břemene. Velikost kritického břemene
by pak vycházela ze vztahu odvozeného pro desku zatíženou osamělým břemenem umístěným v rohu desky a
moment únosnosti mRd by se rovnal momentu únosnosti při vzniku trhlin mR,cr.
Je třeba ještě jednou připomenout, že všechny tyto úvahy o lomových čárách v deskách z prostého betonu
lze použít pouze pro mezní stav únosnosti, v mezním stavu použitelnosti musí být veškeré namáhání stanoveno
na konstrukci lineárně pružné.
3.1.2. Mechanismus porušení drátkobetonové podlahy
I drátkobetonová podlaha umístěná na pružném podloží, která je uprostřed zatížena osamělým břemenem,
se až do vzniku první trhlinky chová pružně (obr. 3.2a) a ohybové momenty dosahují maximálně hodnoty mR,cr.
Po vzniku prvních trhlinek pod osamělým břemenem Pcr,1 se deska v místě trhlinek zplastizuje a díky
ekvivalentní pevnosti drátkobetonu v tahu je schopna přenášet ekvivalentní ohybový moment únosnosti mRe.
Tento moment může být v závislosti na hmotnostní koncentraci a druhu drátků menší, nebo i větší nežli moment
únosnosti na vzniku trhlin mR,cr. Ve valné většině případů však bude menší (obr. 3.2b).
Při dalším zvyšování zatížení nad hodnotu Pcr,1 dochází v místě lomových čar k dalšímu rozvoji trhlin a
redistribuci radiálních momentů k hornímu povrchu desky a tangenciálních momentů k okrajům desky. Velikost
tangenciálních momentů se v místě trhlin ustálí na hodnotě mRe (obr. 3.2c). Celková tuhost desky bude nižší
nežli před vznikem trhlin.
Při zatížení Pcr,2 vzniknou v rozsahu celé desky primární lomové čáry a v nich bude velikost
tangenciálních momentů rovna hodnotě mRe. Od tohoto okamžiku začnou výrazně růst záporné hodnoty
radiálních momentů mr (obr. 3.2d) a dojde k dalšímu snížení tuhosti desky.
Meze únosnosti se dosáhne při vytvoření sekundárních lomových čar (trhliny při horním povrchu)
v určité vzdálenosti od osamělého břemene (obr. 3.2e). V těchto lomových čárách dosáhne velikost záporných
ohybových momentů hodnoty mR,cr . Velikost celkového momentu únosnosti mRd,tot při zatížení kritickým
břemenem PRd se tedy rovná součtu momentu únosnosti na mezi vzniku trhlin mR,cr a ekvivalentního momentu
únosnosti mRe.
Aby se pro výpočet drátkobetonové podlahy mohl celkový moment únosnosti uvažovat jako součet
momentu únosnosti na vzniku trhlin a ekvivalentního momentu únosnosti, musí ekvivalentní pevnost v tahu
dosahovala alespoň 30% z pevnosti drátkobetonu v tahu za ohybu. V opačném případě se jedná o příliš křehký
drátkobeton, který neumožňuje vytváření plastických kloubů. Výpočty je pak nutné provádět stejně jako u
podlah z prostého betonu.
Velmi podobné chování, jaké při postupném zatěžování vykazují podlahy drátkobetonové, lze očekávat i
u podlah železobetonových vyztužených při obou površích.
30
Obr. 3.2. Průběh redistribuce ohybových momentů v poli drátkobetonové desky zatížené osamělým břemenem
uprostřed
3.2. Dílčí součinitele spolehlivosti pro zatížení
V mezním stavu únosnosti lze pro podlahy uložené na podloží uvažovat snížené součinitele spolehlivosti
zatížení i materiálu, neboť podlahy se při porušení nemohou zřítit ani ohrozit lidské životy. Evropská norma
ENV 1992-1-1 [6] všeobecně uvažuje součinitele stálého g G a nahodilého g Q zatížení hodnotami 1,35 a 1,5;
v příloze návrhu normy ENV 1992-1-6 [19] jsou pro betonové základy doporučeny hodnoty 1,3 a 1,3, tedy
hodnoty snížené.
The British Standard 8110 a stejně tak i firma BEKAERT doporučuje pro zatížení podlah používat dílčí
součinitel g f =1,2.
31
Kromě těchto standardních (statických) součinitelů zatížení je třeba uvážit i dynamické a cyklické projevy
zatížení, které vznikají především při zatížení dopravou (dynamický součinitel a součinitel únavy), ale i při
opakovaném zatěžování a odtěžování regálů. Příloha 5 návrhu normy [19] doporučovala uvažovat pro součinitel
únavy l a dynamický součinitel d vztahy
T 

λ = log10 + 
16 

δ = 1+
0,3.v 2
v 2 + 200
[-]
(3.1)
[-]
(3.2)
[-]
(3.3)
kde T značí počet přejezdů přes spáru za den a v rychlost přejezdu v km/h.
Firma BEKAERT používá pro výpočet dynamického součinitele drátkobetonu gd vztah

 log (N ) 

γ d = 1 + 0,2.
6 
 log (2.10 ) 

kde N znamená celkový počet opakování zatížení.
Stávající česká norma ČSN 73 0035 [11] používá pro zatížení vyvozené vysokozdvižnými vozíky dynamický
součinitel 1,3.
S ohledem na vyšší houževnatost je možné pro vláknobetony používat nižší hodnotu dynamického
součinitele nežli pro prostý beton nebo železobeton.
Pro mezní stavy použitelnosti doporučuje ČSN P ENV 1992-1-1 [6] volit dílčí součinitele spolehlivosti
stálého i nahodilého zatížení hodnotou 1,0.
3.3. Podlahy z prostého betonu
Nové evropské normy sice nedoporučují navrhovat takové konstrukce z prostého betonu, kde rozhoduje o
únosnosti prvků pevnost betonu v tahu, ale jelikož již podlah z prostého betonu, a to i velmi kvalitních podlah,
bylo v minulosti realizováno velké množství, nelze je rozhodně zcela zavrhnout.
Minimální tloušťka podlahové desky z prostého betonu uložené přímo na podloží by měla být 150mm.
Minimální pevnostní třída betonu by měla být C12/15 a vyšší. Poznamenejme, že kvalitnější betony se více
smršťují, a proto je často lépe navrhnout podlahu tlustší z obyčejnějšího betonu, nežli podlahu tenkou z
kvalitního betonu.
Z důvodu omezení účinků smršťování se v podlahách navrhují spáry, jež jsou půdorysně rozmístěny
v určitém rastru protínajícím podlahu ve dvou směrech. Protože v podlaze není žádná výztuž, musí být spáry
umístěny v poměrně malých vzdálenostech tak, aby nedocházelo ke vzniku náhodných trhlin. Jaká že je tedy
maximální bezpečná vzdálenost mezi spárami? Různí odborníci doporučují různé hodnoty, nikdo si však asi
nedovolí doporučit vzdálenost větší než 6m.
Portland Cement Association doporučuje vzdálenosti spár na základě tekutosti směsi a maximální
velikosti zrn kameniva . Pro jemnější kamenivo a vyšší tekutost by vzdálenost spár neměla překročit 24 násobek
tloušťky desky, pro beton s malým smršťováním (nízká tekutost a hrubší kamenivo) lze připustit až 36 násobek
tloušťky desky. Stejně by ale vzdálenost spár neměla překročit 6m a v případě výrazněji tepelně namáhané
(venkovní) podlahy 5m. Menší vzdálenost spár (max. 5m) by měla být navržena také u podlah bez povrchové
krycí vrstvy.
32
Někteří projektanti navrhují vzdálenost spár maximálně do 4m, což jim s vysokou pravděpodobností
zaručuje, že v podlaze trhliny nevzniknou. Je to ovšem na úkor zvýšeného množství a tedy i ceny spár.
Jednotlivé smršťovací celky by měly být nejlépe čtvercového popř. obdélníkového tvaru s maximálním
poměrem stran 3:2. Pokud v některých místech podlahu nelze takto rozdělit a vzniknou celky tvaru L nebo T,
pak je třeba vyduté rohy vyztužit. Pokud je někde úhel sevřený dvěma spárami menší než 60° a vznikne tak
„štíhlý“ roh, potom by nejkratší délka strany pole v tomto místě měla být 600mm, jinak dojde ke vzniku trhliny u
tohoto „štíhlého“ rohu.
Mezi výhody podlah z prostého betonu patří nízké náklady, jednoduchost konstrukce, minimální riziko
plastického sesedání a následného vzniku trhlinek nad výztužnými pruty. V případě, že bude provoz vozidel
řízen pomocí vodících drátů, tak nemůže docházet k jejich interferenci s výztuží.
Nevýhodou těchto podlah je, že velikost náhodných trhlin je zcela nekontrolována, případné těsnění spár
je nákladné, je-li nutné zajistit přenos zatížení spárou, pak je to také relativně dosti nákladné a z dlouhodobého
hlediska je nákladná i údržba početného množství spár.
Všeobecně lze říci, že podlahy z prostého betonu často vycházejí jako nejlevnější a to zejména
v případech, kdy není nutné zajistit přenos svislého zatížení spárou a kdy není nutné spáru utěsňovat. Jsou tedy
dobrou variantou tam, kde je nízké zatížení dopravou a kde nejsou kladeny vysoké požadavky na čistotu spár.
3.3.1. Dílčí součinitel spolehlivosti materiálu
ČSN P ENV 1992-1-6 doporučuje pro základní kombinaci zatížení dílčí součinitel spolehlivosti prostého
betonu v tahu g C =1,2.1,5=1,8. V případě, že se charakteristická pevnost betonu v tahu zjišťuje přímo
zkouškami, je možné uvážit hodnotu součinitele g C =1,8/1,2=1,5 [22].
Návrh normy ENV1992-3 [19] doporučoval pro podlahy z prostého betonu volit sníženou hodnotu
součinitele spolehlivosti g C =1,5, a to i v případech, kdy se návrhová pevnost betonu v tahu odvodí od pevnosti
tlakové. S ohledem na předchozí odstavec by zřejmě při hodnocení betonu na základě zkoušek pevnosti v tahu
bylo možné hodnotu stupně bezpečnosti ještě snížit na g C =1,5/1,2≈1,3.
Poznamenejme, že součinem dílčího součinitele spolehlivosti zatížení a materiálu získáme hodnotu
stupně bezpečnosti SF=1,2.1,5=1,8. Tato hodnota odpovídá stupňům bezpečnosti používaným v Anglii [4] i ve
Spojených státech [3], a lze proto pro výpočty sníženou hodnotu součinitele g C doporučit.
3.3.2. Mezní stavy
Dle návrhu části 3 normy ENV1992-1-6 [19] se při posuzování podlahové desky musí prokázat splnění
podmínek spolehlivosti
σ cbd ≤ f cbd
σ cg + σ cq
f cbk
+
σ ct
≤ 1,0
f ctk
[ MPa ]
(3.4)
[-]
(3.5)
kde scbd je výsledné návrhové napětí betonu v tahu za ohybu vyvozené zatížením a určí se ze vztahu
σ cbd = γ G .σ cg + γ Q .σ cq
[ MPa ]
33
(3.6)
a scg je napětí v tahu za ohybu od účinku charakteristického stálého zatížení (včetně případných
osamělých břemen od regálových stojanů), scq napětí v tahu za ohybu od účinku charakteristického užitného
zatížení a sct je charakteristická hodnota napětí v dostředném tahu od účinku smršťování (smršťování od
vysýchání a tepelné smršťování).
Návrhová pevnost betonu v tahu za ohybu se určí jako fcbd=fcbk/gC, kde fcbk odpovídá 1,3 násobku střední
hodnoty pevnosti betonu v tahu, tedy fcbk≈ fctk0,95=1,3.fctm. K obdobné hodnotě lze dospět i při uvážení vztahů
uvedených v normě pro betonové konstrukce ČSN 73 1201. Ta pro posouzení ohybu používá součinitel
gradientu průřezu gg, jehož velikost je pro prostý ohyb rovna hodnotě 1,75. Aplikací tohoto součinitele získáme
totiž rovnost fcbk≈ g g .fctk0,05=1,75.fctk0,05=1,75.0,7.fctm≈1,3.fctm. Nový návrh normy ENV 1992-1-1 zapracoval do
vztahu pro pevnost betonu v tahu za ohybu fctm,fl, i vliv tzv. rozměrového efektu, takže má tvar
f ctm , fl = [1,6 − h]. f ctm > f ctm
[ MPa ]
(3.7)
kde h je výška prvku v metrech.
Návrhová pevnost betonu v prostém tahu fctd=fctk/g C vychází z dolní charakteristické pevnosti betonu
v tahu fctk= fctk0,05=0,7.fctm.
Střední hodnotu charakteristické pevnosti betonu v tahu fctm lze určit na základě charakteristické hodnoty
válcové pevnosti betonu v tlaku fck jako
2
f ctm = 0,3. f ck3
[ MPa ]
(3.8)
Velikost pevnosti betonu v tahu za ohybu, která je pro návrh rozhodující, lze stanovit několika způsoby.
Hodnota fctk0,95 , kterou používají eurokódy, se určí jako
2
2
f ctk 0,95 = 1,3. f ctm = 1,3.0,3. f ck3 = 0,39. f ck3
[ MPa ]
(3.9)
[ MPa ]
(3.10)
The Concrete Society v TR34 [4] používá pro určení této hodnoty vztah
2
f ct = 0,393. f cu3
který vychází z charakteristické hodnoty krychelné pevnosti betonu v tlaku fcu. Stejný vztah přejala i firma
BEKAERT. V USA se pro výpočet pevnosti betonu v tahu za ohybu MOR používá po převodu na jednotky SI
vztah (3.11), který je odvozen z válcové pevnosti betonu v tlaku fck.
MOR = 0,623. f ck
[ MPa ]
(3.11)
Tyto vztahy (3.8), (3.9), (3.10) a (3.11) bohužel vycházejí z nepřesného předpokladu, že pevnost betonu
v tahu závisí na jeho pevnosti v tlaku. Pokud je proto při návrhu tahová pevnost betonu rozhodující, jako tomu u
podlah je, měl by projektant stanovit přímo její požadovanou velikost. Pevnost betonu v tahu za ohybu by pak
měla být prokazována na zkušebních trámcích tzv. trojbodovým nebo čtyřbodovým ohybem. Návrh
podlahové desky tak bude efektivnější a ekonomičtější.
Výpočet namáhání by měl být proveden na základě lineární pružnosti, pro bodová zatížení lze ovšem dle
TR34 [4] připustit i výpočet na základě lomových čar, což vede k výrazným úsporám oproti klasickému
Westergaardovu pružnému řešení. Možnost použít vztahy odvozené na základě teorie lomových čar byla ověřena
jak množstvím pokusů na reálných konstrukcích, tak i praxí.
34
Velmi důležité z hlediska použitelnosti podlahy je dodržení dostatečné rovinnosti a vodorovnosti povrchu
podlahy. Je tedy nutné vypočítat hodnoty sedání a natočení a porovnat je s hodnotami mezními. Požadavky na
rovinnost povrchu jsou specifikovány v kapitole o povrchu podlahové konstrukce.
3.4. Podlahy ze slabě vyztuženého betonu
Podlahy ze slabě (nominálně) vyztuženého betonu upřednostňují někteří zákazníci i dodavatelé před
podlahami z prostého betonu a to většinou v případech, kdy se podlaha betonuje ve velkých celcích najednou
(pásy s plochou až 2000m2 – 7500m2). Používá se jedna vrstva svařovaných sítí, které se umísťují přibližně
50mm nad spodní povrch desky (nebo až do středu desky) a procházejí i budoucími indukovanými smršťovacími
spárami. Plocha výztuže by měla být od 50 do 140 mm2/m. Těžší síť by mohla zabránit vzniku indukovaných
spár a zapříčinit tak vznik nechtěných trhlin mimo spáry.
Návrh podlahy ze slabě vyztuženého betonu se provádí stejně jako u podlahy z prostého betonu, obdobně
se postupuje i u rozvržení a vzdálenosti spár. Vzhledem k použité výztuži se proti podlaze z prostého betonu
vzdálenosti spár připouští zvýšit o 20-25%.
Lze pochybovat, že takto malé množství výztuže má na vznik trhlin v podlaze významnější vliv. Někteří
zákazníci (a není jich málo) se ovšem domnívají, že správná betonová podlaha prostě nějakou výztuž obsahovat
musí. A pro ty jsou právě podlahy ze slabě vyztuženého betonu ideálním řešením. Výztuž v tomto případě však
nezastává funkci statickou, nýbrž psychologickou. Proto tento typ podlah nelze příliš doporučovat, respektive
nelze od nich očekávat víc než od podlah z prostého betonu.
3.5. Podlahy železobetonové
Tento typ podlahových desek se od předchozích liší tím, že návrh záměrně při určité hladině zatížení
předpokládá vznik trhlin. Šířka trhlin je omezena výztuží, která se provádí v jedné nebo dvou vrstvách, a to jako
vázaná nebo ze svařovaných sítí. Pro únosnost podlahy je důležité správné umístění výztuže v desce.
Problematika vzdálenosti spár není tak důležitá jako u předchozích typů a většinou se provádějí pouze spáry
nutné z hlediska realizace podlahy (dilatační spáry) a spáry oddělovací. Lze takto také provádět i podlahy
bezespáré.
Minimální pevnostní třída betonu by měla být C16/20, pro vyztužení lze doporučit žebírkové výztuže
s vysokou tažností 10 505(R) a 10 425(V) případně i 10 245(K) nebo KARI sítě.
Pokud se výztuž navrhuje především pro omezení smršťování (a následného vzniku trhlin) a nikoliv pro
únosnost od svislého zatížení, pak ji stačí umístit jen v jedné vrstvě přibližně do středu výšky desky nebo až
50mm pod povrchem desky. Tato výztuž musí přenést tahové síly vzniklé od tření desky o podloží.
Pro podlahy, které jsou extrémně hodně zatíženy, je železobetonová konstrukce s výztuží při obou
površích často jediným rozumným řešením. Jiné typy podlah totiž zdaleka nemohou dosahovat tak vysokých
únosností.
Mezi výhody železobetonových podlahových desek patří kromě již zmíněné vysoké únosnosti také malé
množství spár a z toho plynoucí nízké dlouhodobé náklady na údržbu. Také se lze často vyhnout hranovým a
rohovým zatížením, což vede k dalším úsporám materiálu.
Provádění železobetonových podlah je ovšem poměrně náročné v porovnání s nevyztuženými nebo
drátkobetonovými podlahami. Použitá výztuž zvyšuje cenu této podlahy a navíc trhlinky mohou v některých
případech působit neesteticky. Pracnost provádění a přítomnost trhlinek jsou asi hlavními důvody, proč
35
železobetonové podlahy nejsou příliš populární. Přitom z hlediska pravděpodobnosti porušení a následných
oprav je přítomnost malých předpokládaných trhlinek výhodnější, nežli velké množství spár. Toto však uživatelé
často neakceptují a domnívají se, že dobře provedená spára vypadá úhledně, zatímco trhlinky jim připadají jako
nedbalé a náhodné poruchy. Projektant a provádějící firma potom mohou očekávat stížnosti. Je proto lepší o
přítomnosti trhlinek informovat již předem.
Přítomnost trhlin lze omezit dilatováním na jednotlivé smršťovací celky, jejichž maximální velikost by
neměla přesahovat 10m.
Poměrně běžným způsobem provádění železobetonových podlah je betonáž v pásech dlouhých 60m a
více a širokých kolem 4,5m. V tomto případě je nejekonomičtější výztuž umístit pouze v podélném směru a
v příčném směru buď použít pouze výztuž konstrukční nebo žádnou. Podélné spáry mezi sousedními pásy by
měly být propojeny.
Dimenzování železobetonových podlah se provádí dle ČSN P ENV 1992-1-2 nebo dle ČSN 73 1201.
3.5.1. Dílčí součinitelé spolehlivosti materiálu
Norma ČSN P ENV 1992-1-2 doporučuje pro základní kombinaci zatížení dílčí součinitel spolehlivosti
betonu pro železobetonové konstrukce g C =1,5 a pro výztuž g S=1,15. Dle návrhu normy ENV1992 [19] lze pro
beton i ocel železobetonových podlah volit snížené hodnoty g C =1,25 a g S=1,0. Toto snížení opět souvisí s nižší
pravděpodobností ohrožení života.
3.5.2. Mezní stav únosnosti
V mezním stavu únosnosti železobetonové podlahy lze předpokládat plastické chování jak tlačeného
betonu, tak i tažené oceli. Minimální A s1, min a maximální A s1, max plocha tahové výztuže by měla splňovat
podmínky
 0,6

As1,min = max
; 0,0015bd
 f [MPa ]

 yk

[ m2 ]
(3.12)
As1,max = 0,04bd
[ m2 ]
(3.13)
kde fyk je charakteristická hodnota meze kluzu výztuže, b je posuzovaná šířka (obvykle 1m) a d je účinná výška
průřezu. Únosnost průřezu se posoudí některým z běžných početních postupů pro kombinaci normálové síly a
momentu, nebo pouze pro momenty.
Při výpočtu ohybového namáhání lze pro všechny typy zatížení uvažovat možnost plastického chování
podlahové desky a výpočty lze tedy provést na základě teorie lomových čar.
Pro velká bodová zatížení na malých roznášecích plochách by mělo být ověřeno protlačení podlahovou
deskou. To lze provést stejně jako pro běžnou základovou desku. V případě, že protlačení nevychází, je nutné
zvýšit tloušťku podlahy nebo použít kvalitnější beton. The Concrete Society [4] doporučuje délku kritického
obvodu ucr určit ze vztahu (3.14), kde se předpokládá jeho vzdálenost 1,5.h od zatěžovací plochy a jeho tvar
čtvercový nebo obdélníkový bez zaoblení rohů. Návrhovou smykovou sílu vSd vztaženou na metr kritického
obvodu lze určit ze vztahu (3.15) a smykovou únosnost vRd ze vztahu (3.16).
u cr = u + 12h
[m]
36
(3.14)
v Sd =
P ×γ f
u cr
v Rd = τ Rd k (1,2 + 40 ρ l )d
[ kN/m ]
(3.15)
[ kN/m ]
(3.16)
kde u je obvod zatěžovací plochy, P je charakteristická hodnota velikosti bodového zatížení, tRd návrhová
hodnota smykové pevnosti betonu, k=1,6-d součinitel výšky průřezu a r l je stupeň vyztužení podélnou výztuží.
Pro splnění smykové únosnosti musí platit následující podmínka.
v Sd ≤ v Rd
[ kN/m ]
(3.17)
[ MPa ]
(3.18)
Návrhovou hodnotu smykové pevnosti betonu tRd lze určit ze vztahu
τ Rd =
f ctk 0, 05
4γ C
pro g C =1,25, nebo jeho tabelovanou hodnotu převzít z ČSN P ENV 1992-1-2, kde je vyčíslena pro g C =1,3.
Při návrhu výztuže na zachycení tahových sil vzniklých třením podlahy o podloží se předpokládá, že
celou sílu vyjádřenou vztahem (2.35) musí přenést výztuž. Nutná plocha výztuže Ast,min se pak určí ze vztahu
Ast ,min =
µ (g + q )Lγ
f
[ m2 ]
2 f yd
(3.19)
kde fyd je návrhová hodnota meze kluzu výztuže.
3.5.3. Mezní stav použitelnosti
Při posuzování mezních stavů použitelnosti musí být veškeré výpočty prováděny za předpokladu
pružného chování materiálu.
Pro omezení trhlin bez přímého výpočtu je třeba dodržet minimální množství výztuže As, min vykazující
soudržnost s betonem (3.20), a to ve všech tahem namáhaných průřezech. Přitom se kontroluje i vzdálenost a
průměr použitých vložek.
As ,min =
k c kf ct ,eff Act
[ m2 ]
σs
(3.20)
kde Act je tažená plocha průřezu těsně před vznikem trhliny; ss je největší napětí ve výztuži po vzniku trhliny
(možno až fyk); fct,eff je účinná pevnost betonu v tahu při vzniku trhliny a zjednodušeně ji lze uvažovat hodnotou
3,0 MPa; kc je součinitel rozdělení napětí před vznikem trhlin a je roven 1,0 pro prostý tah a 0,4 pro ohyb bez
normálové síly; k je součinitel nerovnoměrných vlastních napětí od vynucených přetvoření a pro jejich vznik
z vnějších příčin ho lze uvažovat hodnotou 1,0.
Při přímém výpočtu šířky trhlin je nejprve potřeba ověřit, zda trhliny skutečně vznikají. Pro výpočet se
použijí veličiny ideálního obdélníkového průřezu. Pokud trhliny vznikají, tak potom vypočtená šířka trhlin wk
musí být menší nežli mezní šířka wlim. Nejsou-li na podlahu kladeny zvláštní požadavky, pak stačí šířku trhlin
omezit na 0,3 mm. Někdy lze v podlahách připustit i trhliny širší. Je-li požadována nepropustnost podlahy, pak
trhliny nesmějí za provozu vznikat nebo musí být omezeny na šířku přibližně 0,1 mm.
37
Velmi důležitým z hlediska použitelnosti podlahy je dodržení dostatečné rovinnosti a vodorovnosti
povrchu podlahy. Je tedy nutné vypočítat provozní hodnoty sedání a natočení a porovnat je s hodnotami
mezními. Požadavky na rovinnost povrchu budou specifikovány v kapitole o povrchu podlahové konstrukce.
3.6. Betonové podlahy vyztužené vlákny
Pro zlepšení vlastností prostého betonu je při míchání možné do směsi přidat rozptýlenou vláknovou
výztuž. Nejběžněji se používají vlákna ocelová (drátkobeton), polypropylénová a skleněná. Vlákna jsou v betonu
rozptýlena náhodně, všesměrně a musí být v rozsahu celé konstrukce rozptýlena stejnoměrně. Pokud jsou vlákna
dávkována v určitých minimálních hmotnostních koncentracích, účinně omezují plastické smršťování a sedání a
následný vznik trhlin v ranném stádiu tuhnutí. Dále rozptýlená vlákna zvyšují houževnatost a odolnost proti
rázovému a únavovému zatížení a odolnost proti tepelným šokům a povrchové abrazi. Ocelová vlákna také
částečně zvyšují tahovou i tlakovou pevnost betonu a po vzniku trhliny především umožňují i tzv. ekvivalentní
tahovou pevnost, díky níž se výrazně zvyšuje ohybová únosnost drátkobetonu proti betonu prostému.
Mezi základní vlastnosti ( závisí na nich výsledné vlastnosti vláknobetonu) jednotlivých typů vláken patří
jejich objemová hmotnost, tahová pevnost, modul pružnosti, mezní protažení, délka L a průměr D, tvar vláken a
struktura jejich povrchu. Štíhlostní poměr vlákna l se definuje jako poměr L/D, kde D je buď skutečný průměr
pro kruhové profily vláken nebo ekvivalentní kruhový průměr pro ostatní profily. Na štíhlosti vlákna závisí míra
jeho zakotvení do okolního betonu. Platí, že čím vyšší je štíhlostní poměr vlákna, tím lepší je zakotvení vlákna
ale horší zpracovatelnost směsi.
Složení betonové směsi i pevnostní třídy betonu pro vláknobetony jsou podobné jako pro betony bez
vláken. Obsah cementu nezávisí na typu vláken a pohybuje se od 325kg/m3 do 400kg/m3.
Díky mnoha nesporným výhodám se vláknobetony pro průmyslové podlahy hojně používají a zhruba 8595% podlah prováděných v současné době obsahuje některý z typů rozptýlených vláken.
3.6.1. Betonové podlahy vyztužené polypropylénovými vlákny
Polypropylénová vlákna se v betonových podlahách používají poměrně často a to především pro omezení
povrchových trhlin od plastického smršťování, pro omezení plastického sedání betonu v okolí výztuže, pro vyšší
odolnost na rázové zatížení a tepelné šoky a také pro zlepšení povrchových vlastností (redukce povrchových
diskontinuit vzniklých únikem vody, zvýšení odolnosti proti abrazi). Dále polypropylénová vlákna zpomalují
rychlost vysýchání (tzv. „pocení“) a omezují tak následnou segregaci směsi a odlučování povrchových zrn.
Podlahy s polypropylénovými vlákny budou trvanlivější než podlahy z prostého betonu stejného složení.
Polypropylénová vlákna lze dělit dle způsobu výroby na monofilamentní a fibrilovaná. Monofilamentní
vlákna jsou vyráběna dělením jednotlivých vláken s hladkým kruhovým průřezem na požadovanou délku a
následnou aviváží. Díky vyšší hladkosti a ohebnosti nevystupují z povrhu a je tak docíleno hladkého povrchu
podlahy. Fibrilovaná vlákna se vyrábějí rozvlákněním (rozřezáním) folie, následným dělením na požadované
délky vláken s drsnějším hranatým průřezem a avivážováním. Avivážování zajišťuje, že při styku vláken
s vlhkostí dojde k rozdělení jednotlivých pastilek a rozmíšení jednotlivých vláken v celém objemu betonu.
38
Obecně platí, že soudržnost polypropylénových vláken s betonem je řádově nižší než je tomu u ocelových
vláken, a proto prakticky nedochází k vyčerpání únosnosti přetržením, nýbrž jejich vytržením z betonové
matrice.
Standardně se polypropylénová vlákna dávkují v množství 0,9-1,0 kg/m3 betonu, někteří výrobci však
v současné době připouštějí i nižší dávky. Jejich pevnost v tahu se pohybuje v rozmezí 200-750 MPa, modul
pružnosti 4-8 GPa, mezní protažení 8-20%, průměr vláken od 0,01mm do 0,5mm, délka 10-60 mm a objemová
hmotnost je přibližně 900-910 kg/m3.
Vzdálenosti dilatačních spár v podlahách z betonu s polypropylénovými vlákny (bez další výztuže) by
měly být zhruba stejné jako v podlahách z prostého betonu. Někteří projektanti tuto vzdálenost lehce zvyšují,
maximálně však o 20-25%.
Někteří výrobci tvrdí, že jejich polypropylénovými vlákny lze nahradit rozptýlená ocelová vlákna či
klasickou výztuž a to i se zvýšením pevnosti betonu v tahu a dosažením určité ekvivalentní pevnosti po vzniku
trhlin. Obecně toto ovšem neplatí a pokud by se s tím mělo uvažovat, bylo by nutné takovéto vlastnosti prokázat
zkouškami. Polypropylénová vlákna mají oproti ocelovým vláknům i klasické výztuži některé výhody a některé
nevýhody, nelze však tyto způsoby vyztužení vzájemně nahradit, lze je však účinně kombinovat.
3.7. Drátkobetonové podlahy
Drátkobetonové podlahy se v současné době těší veliké oblibě a provádí se u nás takto asi 70-80% ze
všech průmyslových podlah. Tento trend plyne z velmi dobrých vlastností za přijatelnou cenu. Je ovšem třeba
říci, že ačkoliv se drátkobetony takto intenzivně rozvíjejí, nejsou ještě příliš sjednoceny normy a předpisy pro
navrhování a zkoušení. A výsledky jednotlivých předpisů není radno zaměňovat. Při návrhu i zkoušení je lépe se
držet pouze předpisu jednoho.
Vlákna pro drátkobeton se definují jako krátké ocelové drátky se štíhlostním poměrem zhruba od 30 do
100, tvarem zvlněným, přímým nebo přímým se zploštělými či ohnutými konci a které jsou tak velké, aby mohly
být náhodně rozptýleny v čerstvém betonu při standardních metodách míchání. Drátky kruhového průřezu se
vyrábějí stříháním nebo sekáním drátů, které mají typické průměry od 0,25mm do 1,0mm. Ploché drátky o
tloušťce od 0,15-0,41mm a šířce 0,25-1,14mm se vyrábějí stříháním plechů nebo zplošťováním drátů. Typické
délky drátků se pohybují mezi 20mm až 80mm. Jejich pevnost v tahu se pohybuje v rozmezí 500-1700 MPa,
modul pružnosti je kolem 210 GPa.
Výsledné vlastnosti drátkobetonu jsou ovlivněny především jakostí betonu, typem drátků a jejich
hmotnostní koncentrací. Štíhlostní poměr drátků pro podlahy bývá od 40 do 80, hmotnostní koncentrace od 20
kg/m3 do 40 kg/m3 betonu. Všeobecně se právě 20 kg/m3 považuje za absolutně minimální možnou hmotnostní
koncentraci drátků. Je zřejmé, že účinnost zakotvení štíhlých drátků se zahnutými konci do okolního betonu
bude při stejné hmotnostní koncentraci vyšší než tomu bude u rovných drátků s nižší štíhlostí. Tato závislost je
vyjádřena v publikaci Výkonové třídy železového vláknobetonu [24] a pro minimální hmotnostní koncentraci
drátků mf,min je zde odvozen následující vztah (3.21).
m f ,min =
68950
≥ 20,0
λ2
[ kg/m3 ]
(3.21)
Uvedené hodnoty používaných štíhlostních poměrů a hmotnostních koncentrací jsou pro podlahy vhodné proto,
že zaručují dostatečnou míru únosnosti při relativně snadné zpracovatelnosti směsi.
39
Na rozdíl od polypropylénových vláken mají ocelová vlákna výrazný vliv na pevnost betonu, především
pak na tahovou pevnost, která je pro návrh podlah nejdůležitější. Maximální hodnota tahové pevnosti se zvýší
pouze nepatrně, rozdíl je však v chování po vzniku trhliny. Zatímco pevnost prostého betonu po vzniku trhliny
rapidně klesá, pevnost drátkobetonu se ustálí na tzv. ekvivalentní pevnosti drátkobetonu v tahu ffte a k celkovému
kolapsu dojde až při mnohem větším přetvoření. Díky tomu, že po vzniku trhliny dokáže drátkobeton přenášet
ještě určité namáhání (které je většinou menší něž při vzniku trhliny), lze připustit vznik plastických kloubů
v podlaze a následnou redistribuci momentů do jiných částí desky.
V drátkobetonových podlahách lze proti podlahám z prostého betonu výrazně redukovat množství spár.
Typické vzdálenosti smršťovacích spár se pohybují od 8m do 12m, lze ovšem provádět i bezespáré
drátkobetonové podlahy.
Mezi hlavní výhody drátkobetonových podlah bezesporu patří jejich houževnatost, nižší smršťování a
únosnost po vzniku trhlin, která přináší v porovnání s prostým betonem výrazné materiálové úspory. Lepší je
také odolnost proti opakovanému a dynamickému zatížení. Odolnost proti abrazi vzrůstá proti prostému betonu
přibližně o 15%. Drátkobeton vyrobený ze stejné betonové směsi jako prostý beton je trvanlivější. V porovnání s
železobetonovými podlahami jsou drátkobetonové podlahy méně náročné na pracnost provádění a odpadají
problémy se špatně umístěnou výztuží.
Je ovšem třeba si také uvědomit, že drátkobetonovou podlahu by měla provádět firma, které je pro to
dostatečně kvalifikována. Proti podlahám železobetonovým i podlahám z prostého betonu je třeba u práce
s drátkobetonem mít některé zvláštní znalosti a dovednosti („know-how“), které běžné betonářské firmy
nevlastní. Při míchání a ukládání směsi se musí zamezit vzniku shluků drátků (tzv. ježků), drátky musí být ve
směsi i ve výsledné konstrukci rozmístěny rovnoměrně a při zarovnávání by neměly trčet z povrchu ven.
3.7.1. Dílčí součinitelé spolehlivosti drátkobetonu
Úprava české směrnice [28] doporučuje pro drátkobeton v tahu a ekvivalentním tahu používat součinitel
spolehlivosti g f1 (3.22) a pro drátkobeton v tlaku g f2 (3.23). Tyto hodnoty jsou závislé na hmotnostní
koncentraci drátků mf1 [kg/m3] ve směsi.
γ f 1 = 1,5 − 0,1κ f 1 ≥ 1,3
[-]
(3.22)
γ
[-]
(3.23)
≥0
[-]
(3.24)
≥0
[-]
(3.25)
f2
= 1,8 − 0,5κ f 2 ≥ 1,3
κ f1 =
κ f2 =
m f 1 − 20
25
m f 1 − 20
40
Firma BEKAERT používá pro součinitel spolehlivosti drátkobetonu v tahu hodnotu g c =1,5 a pro
součinitel spolehlivosti ekvivalentní tahové pevnosti hodnotu g SF =1,2.
Technical Report 34 [4] i americký průvodce navrhováním podlah [3] používají při výpočtu podlah
stupeň bezpečnosti SF. Jeho základní hodnotu (bez dynamického a únavového příspěvku) doporučují o velikosti
1,4 až 1,6, čemuž odpovídá (při velikosti dílčího součinitele zatížení 1,2-1,3) velikost dílčího součinitele
drátkobetonu 1,2-1,3.
40
3.7.2. Ekvivalentní pevnost drátkobetonu v tahu
Pro vyjádření chování betonových a drátkobetonových prvků je nejcharakterističtější pracovní diagram
vztahu napětí a deformace. Zatímco v tlaku se u prostého betonu i drátkobetonu projevuje plastické chování, je
při tahovém namáhání chování betonu prakticky pružné až do vzniku trhliny, kdy nastane křehké porušení.
Výztuž rozptýlená v drátkobetonu nejen že zvyšuje mezní poměrné přetvoření v tlaku, ale hlavně umožňuje po
vzniku trhlin přenášet ekvivalentní tahová napětí při kvaziplastickém chování až do přípustného poměrného
protažení.
Hodnocení prostého betonu a jeho zatřídění se zpravidla provádí na základě ověření pevnosti v tlaku a
zřídka i na základě ověření pevnosti v tahu (ač by to pro podlahy bylo velice vhodné). Hodnocení jakosti
drátkobetonu a jeho zatřídění se provádí vždy na základě ověření pevnosti v tlaku ff, pevnosti v tahu fft a někdy i
ekvivalentní pevnosti v tahu ffte. Označení drátkobetonu pevnostní třídou má proto být širší oproti zatřídění
prostého betonu. Např. označení FC16/20–2,60/1,60 značí, že se jedná o drátkobeton s vlastnostmi běžného
betonu třídy C16/20, který má ovšem navíc zaručenu pevnost v příčném tahu při vzniku trhlin fftg =2,60 MPa a
ekvivalentní pevnost po vzniku trhlin ffteg= fftek =1,60 MPa. Charakteristickou hodnotu pevnosti drátkobetonu
v dostředném tahu lze určit jako fftk0,05 =0,85. fftg a v tahu za ohybu jako fftk0,95 =1,6. fftg.
Požadavek na ověření tahové pevnosti drátkobetonu plyne ze skutečnosti, že na rozdíl od obyčejného
betonu je drátkobeton konstrukčním materiálem, u kterého může být jeho schopnost odolávat účinkům tahového
napětí zaručena a tudíž lépe využívána.
Při tahovém namáhání tedy zůstává drátkobetonu i po vzniku trhliny jistá residuální únosnost, která se
označuje jako ekvivalentní pevnost v tahu za ohybu ffte. Velikost této pevnosti lze stanovit kontrolními
zkouškami na drátkobetonových trámcích tzv. trojbodovým či čtyřbodovým ohybem (obr. 3.3). Dle české
směrnice [25] i podle japonské normy, která je ve světě hojně užívána, se zkoušky provádějí na
drátkobetonových trámcích o rozměrech 150x150x600mm. Velikost trámků se ale musí přizpůsobit délce drátků
tak, aby nejmenší rozměr trámku byl alespoň dvojnásobkem a lépe trojnásobkem délky drátku. Zajistí se tak, že
drátky budou v trámku uspořádány všesměrně a nikoliv převážně v podélném směru.
Obr. 3.3. Schéma uspořádání zkoušky drátkobetonového trámku čtyřbodovým ohybem
Doporučuje se, aby zkouška byla provedena na zkušebním zařízení, které umožňuje zkoušení v režimu
konstantního nárůstu deformace zkušebního trámce. Maximální přípustná hodnota průhybu flim zkoušeného
trámce obvykle bývá 1/150 teoretického rozpětí, což u nejběžnějšího typu zkušebních trámků jsou 3mm. Proto se
také ekvivalentní pevnost v tahu často v zahraniční literatuře značí jako fe,3 .
41
Z uspořádání zkoušky vyplývá, že při zatížení silou Pe,3, což je průměrná hodnota zatěžovací síly
zaznamenaná zkušebním zařízením od počátku zkoušky do dosažení hodnoty přípustného přetvoření (3mm), lze
za předpokladu pružného chování velikost tahového napětí v dolních vláknech trámce určit ze vztahu 3.26. Tento
vztah používá jak japonská norma JSCE-SF4 pro drátkobetonové konstrukce, tak The Concrete Society v TR34
[4] i firma BEKAERT [12].
Pe.3 L
bh 2
f e ,3 =
[ MPa ]
(3.26)
Grafické znázornění pracovního diagramu drátkobetonu v tahu za ohybu s vyznačením důležitých bodů je na
následujícím obrázku 3.4.
Obr. 3.4. Charakteristický pracovní diagram drátkobetonu v tahu za ohybu
Hodnota Pft značí velikost zatěžovací síly na mezi vzniku trhlin, Pfte=Pe,3 je hodnota ekvivalentní síly
určená jako poměr houževnatosti Tb a mezního přetvoření flim vztahem (3.28). Houževnatost Tb je v podstatě
suma celkové energie potřebné k dosažení mezního průhybu flim a definuje se jako plocha omezená zatěžovací
křivkou od počátku do místa mezního průhybu (3.27). Houževnatost je vhodná veličina pro porovnání kvality
různých drátkobetonů.
Tb =
f lim
∫ P ⋅ dx
[ kN.mm ]
(3.27)
[ kN ]
(3.28)
0
Pfte = Pe ,3 =
Tb
f lim
42
Pevnost drátkobetonu v tahu za ohybu fft se určí pomocí vztahu 3.26 obdobně jako ekvivalentní pevnost,
na místo ekvivalentní síly Pe,3 se ale dosadí velikost zatěžovací síly na mezi vzniku trhlin Pft.
Česká směrnice pro drátkobetonové konstrukce [25] předpokládá pro stanovení ekvivalentní pevnosti
plastické rozdělení napětí po průřezu dle obrázku 3.5.
Obr. 3.5. Plastické rozdělení napětí v drátkobetonovém průřezu
Z momentové výminky lze potom ekvivalentní pevnost v prostém tahu stanovit vztahem 3.32, kde Me je
hodnota ekvivalentního ohybového momentu určená vztahem 3.29, x značí polohu neutrální osy určené dle
vztahu 3.30 a z je rameno vnitřních sil určené vztahem 3.31. Velikost ekvivalentní síly Pfte se opět určí ze vztahu
3.28.
Me =
x=
Pfte L
6
Me
0,32bhf f
z = 0,5h + 0,1x
f fte =
Me
zb(h − x )
[ kNm ]
(3.29)
[m]
(3.30)
[m]
(3.31)
[ MPa ]
(3.32)
Další zásady a doporučení, případně i jiné konfigurace kontrolních zkoušek pro určení tahových i
tlakových vlastností drátkobetonů lze nalézt především v již zmíněných směrnicích.
3.7.3. Posouzení ohybové únosnosti v souladu s TR34 [4]
Pro návrh podlah používá The Concrete Society v Technical Reportu 34 metodu stupně bezpečnosti, která
ale již neodpovídá současným zvyklostem. Proto jsou zde vztahy uvedeny v pozměněné formě tak, aby výpočty
bylo možné provést na základě metody dílčích součinitelů. Úprava vztahů spočívá v tom, že na místo jednoho
stupně bezpečnosti SF budou použity dílčí součinitelé materiálu g m a zatížení g f, stejně jako je tomu v
eurokódech. V současnosti i firma BEKAERT přechází ve svých propočtech z metody stupně bezpečnosti na
metodu dílčích součinitelů.
Posouzení ohybového namáhání desky vychází z Meyerhofovy teorie, jejíž podstata je vysvětlena
v kapitole 3.1.2. Návrhové hodnoty celkových ohybových momentů mSd,tot od jednotlivých typů zatížení musí být
menší nežli součet návrhových hodnot momentu únosnosti při vzniku trhlin mRd,cr a ekvivalentního momentu
únosnosti po vzniku trhlin mRd,e (3.33).
43
mSd ,tot ≤ mRd ,tot = m Rd ,cr + mRd ,e = ( f ftd + f e ,3d )
bh 2
6
[ kNm ]
(3.33)
kde b je jednotková šířka desky a h její tlušťka. Charakteristickou hodnotu pevnosti drátkobetonu v tahu za
ohybu fftk lze přibližně určit stejně jako u prostého betonu vztahem (3.10), lépe však je určit její velikost
kontrolními zkouškami. Charakteristická hodnota ekvivalentní pevnosti drátkobetonu v tahu fe,3k se určí pomocí
koeficientu houževnatosti Re,3, který v procentech vyjadřuje poměr mezi ekvivalentní pevností v tahu fe,3 a
pevností v tahu za ohybu fft. Někteří výrobci dodávají drátkobetony, u kterých je právě tato tzv. „Re hodnota“
zaručena. Vztah (3.33) je potom výhodné upravit na tvar (3.34), ztrácí se tak ale možnost použít pro pevnost
v tahu za ohybu a ekvivalentní pevnost v tahu různé součinitele spolehlivosti materiálu.
 R 
bh 2
mSd ,tot ≤ 1 + e,3  f ftd
6
 100 
[ kNm ]
(3.34)
Bezpečnější, než použít „Re hodnotu“, je samozřejmě ověřit ekvivalentní pevnost kontrolními zkouškami
a její velikost určit ze vztahu (3.26). Je-li drátkobeton dodáván již v zatřídění se zaručenými pevnostmi v tlaku a
tahu, lze hledané tahové pevnosti odvodit přímo ze třídy drátkobetonu.
Návrhové hodnoty jednotlivých pevností se určí podělením charakteristických hodnot součiniteli
spolehlivosti drátkobetonu.
Pokud se v mezním stavu únosnosti připouští plastické chování drátkobetonového průřezu a tedy i vznik
trhlin, lze obvykle zanedbat vliv objemových změn (smrštování). Na druhou stranu je však třeba uvážit, že
využití tažené oblasti průřezu na ekvivalentní pevnost v tahu po vzniku trhlin vychází z předpokladu, že nedojde
v trhlinách ke korozi a následnému porušení ocelových vláken. Proto je předpoklad o využití ekvivalentní
pevnosti podmíněn u prostého drátkobetonu požadavkem, aby při provozní kombinaci zatížení nedocházelo ke
vzniku trhlin, nebo aby se trhliny objevily pouze krátkodobě. Dlouhodobé výzkumy drátkobetonů ukazují, že
v suchém prostředí dochází ke korozi drátků velmi zřídka, a proto se často i za provozu vznik trhlin připouští. Ve
vlhkém prostředí navíc existuje možnost použít drátky s antikorozní povrchovou úpravou.
3.7.4. Posouzení protlačení
Protlačení břemene drátkobetonovou podlahou lze posoudit obdobně jako protlačení u železobetonové
podlahy, je ovšem nutné uvážit absenci průběžné betonářské výztuže, ale také přítomnost ocelových vláken.
Smyková únosnost běžného metru drátkobetonového průřezu vRd3 lze dle doporučení firmy BEKAERT [29]
určit následujícím vztahem (3.35).
v Rd 3 = v Rd 1 + v fd + v wd
[ kN/m ]
(3.35)
Hodnota vRd1 je únosnost samotného betonu a určí se vztahem (3.16). Při vyčíslení vztahu (3.16) musí být
součinitel výšky průřezu pro prostý drátkobeton k=1,0, neboť u desky není žádná průběžná výztuž a z téhož
důvodu musí být i stupeň vyztužení r l=0. Hodnota vwd
vyjadřuje příspěvek smykové výztuže k celkové
únosnosti. Příspěvek ocelových vláken vfd k celkové únosnosti se určí vztahem (3.36), kde d je účinná výška
průřezu a tfd návrhová hodnota přírůstku smykové pevnosti od ocelových vláken.
v fd = τ fd × d
[ kN/m ]
44
(3.36)
Pro ocelová vlákna se zahnutými konci, která vyrábí firma BEKAERT, lze přírůstek smykové pevnosti
určit ze vztahu
τ fd = 0,54 f fctk 0 ,05 Rt / γ c
[ MPa ]
(3.37)
[-]
(3.38)
kde lze součinitel materiálu g c uvážit hodnotou 1,5 a hodnotu Rt určit pomocí vztahu
Rt =
1,1 × W f × λ
180 × C + W f × λ
kde lze velikost koeficientu C pro vlákna se zahnutými konci uvážit hodnotou 20, l je štíhlostní poměr
vláken a Wf je hmotnostní koncentrace drátků v [kg/m3].
Návrhová hodnota posouvající síly vsd vztažená na běžný metr kritického obvodu se určí pomocí vztahu
(3.15) a musí pro ni platit podmínka únosnosti
v Sd ≤ v Rd 3
[ kN/m ]
(3.39)
Od posouzení drátkobetonových podlah na protlačení se často upouští, neboť zpravidla vychází příznivěji
nežli posouzení jejich ohybového namáhání.
3.7.5. Posouzení ohybové únosnosti v souladu s českou směrnicí pro drátkobetonové konstrukce
Ekvivalentní ohybový moment únosnosti mRd,e desky z prostého drátkobetonu lze dle české směrnice pro
drátkobetonové konstrukce [25] určit na základě plastického rozdělení napětí v průřezu (obr. 3.5). Při určení
polohy neutrální osy se vychází z rovnosti tlakové nfc a tahové nft síly v průřezu. Platí potom
0,8 x0,8 f fd = (h − x ) f fted
x=
f fted
0,64 f fd + f fted
h
.
[m]
(3.40)
[m]
(3.41)
[ kNm/m ]
(3.42)
Rameno vnitřních sil z se podle obr. 3.5 stanoví jako
z = 0,6 x + 0,5(h − x ) = 0,5h + 0,1x
a ekvivalentní moment na mezi únosnosti je
mRd ,e = n fc z = n ft z = (h − x )zf fted
kde ffd a ffted jsou návrhové hodnoty únosnosti drátkobetonu v tlaku a ekvivalentním tahu, h je výška desky
a x je vzdálenost neutrální osy od tlačeného okraje průřezu.
Moment únosnosti mRd,cr desky při vzniku trhlin se určí na základě pružného rozdělení napětí v průřezu a
lze jej stanovit ze vztahu
mRd ,cr = γ g f ftd W =
γ g f ftd h 2
[ kNm/m ]
6
(3.43)
kde g g je součinitel gradientu přetvoření a lze jej pro prostý ohyb uvažovat hodnotou 1,75, fftd je návrhová
hodnota pevnosti drátkobetonu v tahu a h je výška desky.
Protože ekvivalentní moment únosnosti mRd,e je většinou menší nežli moment únosnosti při vzniku trhlin
mRd,cr, rozhoduje při pružném výpočtu desky podmínka
mSd ,e ≤ m Rd ,cr
[ kNm/m ]
45
(3.44)
kde mSd,e je největší hodnota návrhového ohybového momentu určená pružným výpočtem namáhání
desky. Použije-li se pro výpočet namáhání desky plastická teorie lomových čar, kdy se v primárních lomových
čárách předpokládá působení ekvivalentního momentu únosnosti mRd,e a v sekundárních lomových čárách
působení momentu únosnosti při vzniku trhlin mRd,cr, platí pro celkový moment únosnosti mRd,tot
mRd ,tot = m Rd ,cr + mRd ,e
[ kNm/m ]
(3.45)
[ kNm/m ]
(3.46)
a musí být splněna podmínka
mSd ,tot ≤ m Rd ,tot
kde mSd,tot je součet absolutních hodnot kladného a záporného momentu v podlahové desce určených pro danou
zatěžovací situaci.
Pokud vychází ekvivalentní moment únosnosti mRd,e větší než moment únosnosti při vzniku trhlin mRd,cr ,
je možné pro celkový moment únosnosti mRd,tot místo vztahu 3.45 použít vztah
mRd ,tot = 2 × mRd ,e
[ kNm/m ]
(3.47)
Při využití plastického chování průřezu na mezi únosnosti se kontroluje, zda při provozním
(charakteristickém) zatížení není překročena mez vzniku trhlin. Pokud se vznik trhlin připouští, je výpočtem
třeba ověřit jejich šířku [25].
3.8. Rozměrové tolerance
Definuje-li se výpočtem určitá staticky nutná tloušťka betonové desky, je třeba ještě zvážit možné
rozměrové tolerance povrchu podloží a tloušťky samotné desky. Bude-li například podloží srovnáno s přesností
±20mm a betonová desky betonována s přesností ±10mm, což jsou poměrně běžné hodnoty, bude poměr tuhosti
nejtlustší a nejslabší části 150mm tlusté desky (150+20+10)3/(150-20-10)3=3,375. Takto velké rozdíly v tuhosti a
potažmo i únosnosti mohou vést ke vzniku lokálních trhlin a je nutné se jim vyvarovat. Různé předpisy
doporučují jiné hodnoty rozměrových tolerancí. Poměrně logický se zdá přístup firmy BEKAERT [3], která pro
podlahy tloušťky 150mm požaduje podloží srovnané s tolerancí ±10mm, pro podlahy tloušťky 450mm požaduje
podloží srovnané s tolerancí ±30mm a pro mezilehlé tloušťky podlah lze tolerance interpolovat. Rozměrová
tolerance pro nosnou podlahovou desku obvykle bývá –5 až +10mm, popř. ±10mm nebo i ±15mm. Hodnoty
tolerancí jsou často udány v normách (např. ČSN ENV 13670-1).
46
4.
Spáry
Spára je místem plánovaného přerušení spojitosti betonové podlahy, neplánované přerušení spojitosti se
nazývá trhlina. Spárou se míní především spára svislá protínající podlahu od povrchu dolů, nikoliv spára
vodorovná umístěná mezi jednotlivými vrstvami podlahy.
Provádění velkoplošné podlahy lze usnadnit jejím rozdělením do několika částí, které se provádějí
v různých dnech. Spáry mezi jednotlivými částmi podlahy se nazývají konstrukční, nebo též dilatační. Pro
omezení napětí od smršťování je navíc většina podlah opatřena spárami smršťovacími (kontrakční) a spárami
oddělovacími (izolační). Typický způsob půdorysného rozmístění jednotlivých spár je vyznačen na obrázku 4.1.
Obr. 4.1 Typické rozmístění konstrukčních, smršťovacích a oddělovacích spár
4.1 Konstrukční (dilatační) spáry
Konstrukční spáry dělí podlahu na jednotlivé části, ve kterých provádějící firma stihne betonovou směs
uložit během jednoho dne. Tvar a rozměry jednotlivých částí závisí na způsobu provádění podlahy a v podstatě
existují tři základní způsoby: v úzkých pásech, širokých pásech a ukládání plošné.
Pokládá-li se beton v úzkých dlouhých pásech, kde šířka pásů bývá od 4m do 6m a probíhají většinou
přes celou délku podlahy (jen u velmi rozlehlých podlah je třeba vložit i příčné spáry), lze poměrně snadno
kontrolovat rovinnost povrchu podlahy. Nevýhodou je poměrně velké množství konstrukčních spár a tedy i
spotřeba postranního bednění a pracnost při jeho instalaci. Jelikož jsou jednotlivé pásy úzké, nehrozí vznik
podélných smršťovacích trhlinek a často není nutná ani příčná výztuž pásu. Naopak v podélném směru se musí
vzniku trhlinek zamezit a to buď příčnými smršťovacími spárami, podélnou výztuží nebo předpětím.
Pokládá-li se beton v širokých pásech s šířkou do 25m, je třeba počítat i s příčnými konstrukčními
spárami. Tyto mohou být vytvořeny pomocí bednění, anebo je lze provést jako klasické technologické spáry
47
používané v betonovém stavitelství při přerušení betonáže. Při provádění technologických spár je nutné přísně
dodržovat technologickou a pracovní kázeň, neboť jinak se stanou potenciálním místem budoucích poruch.
Plošná pokládka betonu se provádí buď pomocí vodících lišt a nebo pomocí laserového zarovnávacího
zařízení – lejzrovače. Vodící lišty se používají dřevěné, ocelové a betonové a pokládka s jejich pomocí probíhá
obdobně jako v úzkých i širokých pásech, ovšem po obou stranách lišt. Většinou se lišty používají pouze
dočasně za účelem zarovnání povrchu betonu a brzy po tom se vyjmou a drážka se vyplní čerstvým betonem.
Používají se ovšem i vodící lišty, které v podlaze zůstávají. Mohou to být tzv. ocelové „omega“ profily
vytvářející propojení desek na pero a drážku a nebo prefabrikované betonové kolejničky s otvory pro
propojovací pruty nebo hmoždinky. Propojení na pero a drážku není pro podlahy zatížené dopravou vhodné,
neboť při rozevření spáry již díky náběhům není dostatečně zajištěn přenos zatížení z jedné desky do druhé,
naopak betonové kolejničky s propojovacími pruty nebo hmoždinkami vhodné jsou a lze s nimi dosáhnout i
vysoké rovinnosti podlahy, jsou ovšem nákladnější.
Ač jsou velmi drahé, uplatňují se v posledních letech výrazněji i lejzrovače (obr. 4.2). Zarovnávání lze
s nimi provádět víceméně automaticky, dosahuje se vysokých denních výkonů a rovinnost povrchu je
srovnatelná s pokládkou v úzkých pásech.
Obecně lze říci, že konstrukční spáry jsou nákladné a jsou zdrojem mnoha poruch. Především při zatížení
podlah dopravou je tedy vhodné jejich množství co nejvíce omezit. Aby se poruchám spár co nejvíce zamezilo,
musí se provádět s maximální pečlivostí při dodržení konstrukčních doporučení. Postranní bednění má mít ostré
hrany a jeho vnitřní horní hrana (blíže betonu) nemá být níž nežli hrana vnější. Při ukládání betonu sousední
desky se musí dbát, aby na povrchu desky již hotové nezůstaly zbytky betonu. Hrany spár by měly být ostré,
pravoúhlé. Pouze u podlah, které nejsou zatíženy dopravou a u nichž je vzhled důležitější nežli trvanlivost, lze
hrany zaoblit nebo zkosit. Tvar a velikost spáry je třeba navrhnou s ohledem na její budoucí výplň. Kde výplň
není nutná, je výhodné provést spáru co nejtenčí.
Obr. 4.2 Laserové zarovnávací zařízení – lejzrovač (laserscreed)
48
4.2 Smršťovací (kontrakční) spáry
Pomocí smršťovacích spár se v podlahové desce omezují tahová napětí od tepelného smršťování a
smršťování betonu od vysýchání a řídí se tak vznik trhlinek v podlaze. Nejsou-li konstrukční spáry propojeny
výztuží nebo propojovacími pruty plní zároveň, stejně jako oddělovací spáry, i funkci spár smršťovacích.
Obvykle však bývají nutné ještě další smršťovací spáry. Tyto se většinou provádějí jako dodatečné jejich indukcí
a jsou to v podstatě plánované trhliny. Průřez podlahové desky se ve vybraných místech oslabí a při vzniku
tahových napětí v desce dojde v oslabených místech ke vzniku trhliny. Průřez desky lze oslabit drážkou
provedenou v čerstvé betonové směsi, zatlačením dřevěných, plastových či kovových profilů do čerstvé směsi, a
nebo řezáním drážek v částečně zatvrdlé směsi.
Drážky v čerstvé směsi se provádějí ručně a je obtížné takto vytvořit drážku hlubokou a s ostrými
hranami. Proto se tento způsob používá spíše u tenčích desek do tloušťky 100mm a hrany drážek se zaoblují
s poloměrem do 3mm. Takto upravené spáry nejsou vhodné pro zatížení dopravou.
Profily zatlačované do čerstvé směsi bývají tenké, tuhé pásky, které se většinou v podlaze ponechávají.
Některé pásky mohou být opatřeny i povrchovými úchyty, s jejichž pomocí se později odstraní a v betonu
zůstane drážka pro těsnění. Protože se takto vytvoří poměrně ostré hrany, mohou být spáry zatíženy i dopravou.
Zatlačování pásků není příliš vhodné pro superrovné podlahy, neboť v okolí pásků se obtížněji kontroluje
pravidelnost povrchu.
4.3. Oddělovací (izolační) spáry
Oddělovací (izolační) spáry oddělují podlahovou desku od ostatních součástí stavby tak, aby byla podlaze
ponechána možnost volného pohybu a zároveň aby byl eliminován vliv vynucených přetvoření způsobených
ostatními prvky stavby.Podlahová deska by tedy měla být oddělena od všech prvků, které mohou působit jako
nechtěné podpory, především od stěn, sloupů základů pro stroje atd.
Izolační spáry se vyplňují měkkým stlačitelným materiálem při jehož stlačení na polovinu původní
tloušťky musí postačit tlak max. velikosti 1MPa. Standardní tloušťka izolačních spár u stěn je 15-20mm.
Izolační spáry u sloupů se provádějí následujícími způsoby. Nejjednodušší a nejlevnější je sloup obalit
nejméně 25mm výplňového materiálu (obr. 4.3 a)). Doporučuje se potom podlahovou desku v okolí sloupu
diagonálně přivyztužit 5R12 délky 1,0-1,5m u každého rohu, a to zvláště pokud se jedná o vnitřní sloup, ke
kterému nedobíhají žádné spáry. Sloupy lze též odizolovat tak, že se malá část podlahy kosočtvercového nebo
kruhového tvaru (obr. 4.3 b) c), obr. 4.4) pevně spojí se sloupem a až kolem tohoto bloku se vytvoří spára. Tento
způsob je sice nákladnější, spíše se tak ale předejde vzniku trhlinek v okolí sloupu. I v tomto případě je vhodné
přidat diagonální výztuž. Tlouš‘tka spár bývá 20-25mm, ale např. u předpjatých desek velkých rozměrů nemusí
postačit ani spáry tloušťky 40mm. U bezespárých drátkobetonových podlah doporučuje firma BEKAERT ke
sloupům přidat kromě diagonální výztuže ještě síť 8 - 150mm / 8 - 150mm v ploše cca 2x2m.
49
Obr. 4.3 Izolační spáry u sloupů
Obr. 4.4 Izolační spára kruhového tvaru u sloupu
4.4. Konstrukce spár
Častým požadavkem na spáry bývá schopnost přenášet namáhání z jednoho úseku
podlahy do úseku přilehlého. Podle tohoto můžeme spáry rozdělit na ty, které nepřenášejí žádné
síly a na spáry schopné přenášet posouvající síly. Pro všechny spáry je společný základní
požadavek - umožnění vodorovných deformací každého celku podlahy. Existuje několik
základních způsobů konstrukčního uspořádání spár (viz obr. 4.5 až 4.11). Konstrukční
uspořádání je nutné volit podle typu spáry.
Obr. 4.5 Styk těsný
Obr. 4.6 Spára bez propojení
50
Obr. 4.7 Řezaná spára
Obr. 4.8 Zazubená spára na pero a drážku
Obr. 4.10 Plošná čtvercová hmoždinka
Obr. 4.9 Tyčová hmoždinka
Obr. 4.11 Podélná lišta
Poměrně jednoduchý způsob uspořádání spáry je těsný styk (obr. 4.5). Případnou
propojovací výztuž je vhodné antikorozně upravit. Podobné je uspořádání dilatační spáry bez
propojení (obr. 4.6), kde je mezi oběmi částmi vynechána mezera přibližně 20mm, která je
51
vyplněna trvale pružným materiálem. Další možností je dodatečné řezání smršťovacích spár
(obr. 4.7), které může být prováděno buď záhy po betonáži, řádově po 1 hodině - tzv. mokré
řezání, nebo až po zatuhnutí betonu, tj. po 12-24 hodinách. K jednoduchým způsobům
konstrukce spár patří i zazubená spára na pero a drážku (obr. 4.8).
Složitější jsou konstrukce s různými druhy propojovacích hmoždinek a podélných lišt,
jejichž hlavním úkolem je přenášení smykových sil ze sousedních částí desek při nezávislých
vodorovných posunech obou částí. Tyto prvky lze ještě kombinovat s výztužnými ocelovými
pásky horních hran, jejichž úkolem je zpevňování extrémně lokálně namáhaných horních okrajů
desek u spár (např. při přejezdu těžkých vozidel).
Původně měly propojovací hmoždinky převážně tvar tyčový s kruhovým či čtvercovým
průřezem (obr. 6) na jedné straně přímo zabetonovaným a na druhé straně uloženým do vodorovné
kapsy. V současné době se jako výhodnější tvar jeví plošně čtvercové hmoždinky (obr. 7). Tyto
hmoždinky jsou v konstrukci lépe využity a je jich tedy zapotřebí méně [2]. Je možné používat i
podélné lišty tvaru U, které jsou z jedné strany spáry a ze strany druhé jsou do této lišty zasunuty
hmoždinky (obr. 8).
4.5. Těsnění spár [39]
Spáry se utěsňují proto, aby nedocházelo k jejich zaplnění prachem, špínou a betonovou drtí z hran spáry,
aby se zabránilo pronikání vody a chemikálií a v neposlední řadě také proto, aby se podlahy snadněji čistily a
dobře vypadaly. Dále musí těsnění tvořit výztuhu pro hranu spáry tam, kde hrozí porušení od přejíždějících
vozidel a hrany nejsou chráněny ocelovými výztuhami. V některých málo náročných provozech nebo mimo
oblasti dopravního zatížení někdy ani není těsnění spár nutné [4].
Mezi základní požadavky kladené na těsnící materiály patří trvanlivost, odolnost proti abrazi a dostatečná
tvárnost, u spár přejížděných vozidly také vysoká pevnost. Spáry musí být schopné se přizpůsobit dodatečnému
rozevření po jejich utěsnění. Z tohoto důvodu je nutné znát, jak velké rozevření spáry lze po jejím utěsnění ještě
očekávat. U běžných betonových a drátkobetonových podlah, které mají smršťovací spáry rozmístěny zhruba po
5-10m, lze při smrštění (0,3-0,4) očekávat celkové rozevření spár od 1,5mm do 4mm. Těsnící materiály se
většinou aplikují minimálně měsíc po vybetonování a do té doby proběhne zhruba 30-50% z celkového smrštění
podlahy. Dodatečné rozevření spáry po aplikaci těsnícího materiálu tedy bude 1mm až 3mm a pokud je spára
propojena výztuží, bude dodatečné rozevření ještě menší.
V závislosti na způsobu vytvrzování lze těsnící tmely rozdělit na jednosložkové a dvousložkové
(vícesložkové). Tmely jednosložkové dosahují svých konečných vlastností díky přítomnosti vzduchu nebo
vlhkosti vzduchu, zatímco dvousložkové tmely nabudou konečných vlastností smísením jednotlivých složek.
V podlahářství se tmely často dělí na pružné, polotuhé a tuhé. V zásadě pak platí, že pružné tmely
připouštějí velké deformace (i 100-200%), mají nižší pevnost i soudržnost s podkladem a obtížně se povrchově
upravují (natírají). Tuhé tmely mají víceméně opačné vlastnosti, tedy malou deformabilitu (2-5%), vysokou
pevnost i soudržnost s podkladem a většinou se i snadno natírají. Tmely polotuhé jsou potom jakýmsi
kompromisem mezi předchozími skupinami. V některých případech může mít tmel vyšší pevnost i soudržnost
52
něžli okolní beton. Toho je třeba se vyvarovat, neboť potom i při malých vodorovných deformacích dochází v
betonu ke vzniku trhlin umístěných paralelně se spárami.
Poznamenejme, že ideální těsnící materiál pro průmyslové podlahy pojížděné vozidly by měl být pružný,
pevný, adhezivní, snadno natíratelný, chemicky a požárně odolný a dlouhodobě trvanlivý. Bohužel takový
materiál dosud neexistuje.
Kromě již zmíněných tmelů se pro těsnění spár používají i za tepla zpracovávané materiály, např. asfalt a
dehet. Tyto materiály ovšem mají příliš negativních vlastností (nižší tažnost, pevnost, adhezi, chemickou i
požární odolnost, trvanlivost, nelze je natírat, obtížně se aplikují do užších spár), díky nimž je nelze doporučit i
přes jejich nízkou cenu.
Poslední variantou, nepříliš často používanou, jsou pryžové popř. neoprénové předem lisované profily,
které se do spár zatlačují. Tyto profily nejsou příliš tuhé, nedají se natírat a jsou středně deformabilní, jejich
jedinou výhodou je, že mohou být zatěžovány okamžitě po aplikaci. Proto se někdy tyto profily používají jako
dočasné těsnění, které je v budoucnu nahrazeno některým z kvalitnějších typů.
Těsnící materiály musí být aplikovány do dokonale čistých spár zbavených jakýchkoliv nečistot, prachu,
betonové drtě atd. Pro zajištění dostatečného přilnutí těsnícího materiálu ke stěnám spáry je nutné před aplikací
některých materiálů penetrovat podklad. Aby při provádění těsnění nedocházelo k vylití těsnícího materiálu na
povrch podlahy v okolí spáry, kde při přejezdu vozidel vzniká potenciální místo poruch, je vhodné na povrch
v okolí spáry nalepit ochranné pásky, které se po aplikaci a zarovnání těsnícího materiálu sejmou ( i s případným
vyhřezlým tmelem).
Pokud se trvalý těsnící materiál do spáry neaplikuje ihned po jejím vytvoření (proříznutí), musí se i
vnitřní strany spáry ošetřovat proti nadměrnému vysýchání. Lze to provést tak, že se do spáry vtlačí vlhký
provazec nebo vsype vlhký písek, případně se spára vyplní dočasným těsněním [34, 35].
Následující tabulka 4.1 shrnuje orientační vlastnosti materiálů použitelných pro těsnění spár.
5-20 let
možná
5-20 let
dobrá vysoká střední -40 až +80
odolné proti abrazi
špatná nízká střední -50 až +160
možná střední
pro podlahy nevhodné
možná vysoká
špatná nízká nižší
možná střední střední -40 až +80
nižší abrazívní odolnost
silikony
±50% 20 let i více
pryskyřice, epoxidy ±5-20%
akrylátové tmely
±5-25% 5-20 let
asfalt, dehet
±12%
3-10 let
pryžové profily
±50%
do 20 let
nízká střední -30 až +65
poznámka
natíratelnost
±50%
±5-25%
provozní
teplota
životnost
polysulfidy
polyuretany
chemická
odolnost
přípustné
přetvoření
Orientační
vlastnosti
těsnících
materiálů
odolnost proti
dopravě
Tab. 4.1. Tabulka orientačních vlastností materiálů určených pro těsnění spár
po aplikaci se smrští
ne pro úzké spáry
často jako dočasné
Pro spáry zatěžované tvrdými koly se jako těsnící materiál používají tuhé a polotuhé tmely, což mohou
být polyuretany, akryláty, lité epoxidy, pryskyřice nebo i polysulfidy. Tyto materiály jsou málo elastické, jejich
maximální protažení se pohybuje kolem 2-25% (běžné provozní hodnoty 1-10%), díky své tuhosti však tvoří
výztuhu hran spáry. Výplně se musí aplikovat co nejpozději (min. 90 dnů po betonáži), aby větší část smrštění
desek již proběhla. Pokud se tak neučiní, je velmi pravděpodobné, že do jednoho roku dojde k poruše v těsnění
53
spáry. Z tohoto důvodu se spáry často nejprve dočasně vyplní některým z pružnějších těsnících materiálů a
teprve po jednom až dvou letech se dočasné těsnění odstraní, spára se začistí a aplikuje se tuhý tmel.
Řezané spáry je třeba tuhými a polotuhými tmely vyplňovat celé, aby se zatížení od přejíždějících vozidel
přeneslo tmelem až do paty spáry a nedošlo k postupnému zatlačení těsnění do spáry (obr. 4.5). Pokud je těsnění
prováděno do spáry, která probíhá na celou výšku podlahy, tak musí být podepření tmelu patou spáry nahrazeno
jiným způsobem. Nejlépe se toho dosáhne zvětšením hloubky, do které se těsnící materiál aplikuje. Díky větší
postranní kontaktní ploše tak dojde ke zvýšení svislé odolnosti tmelu proti zatlačení. Všeobecně se za postačující
považuje hloubka rovná dvoj až trojnásobku šířky spáry, ne však méně než 50mm. Zkosení hran spáry se
nedoporučuje, neboť vozidla potom snadněji vytlačují tmel ze spáry na povrch a dochází tak k narušení spojitosti
povrchu podlahy.
Obr. 4.5 Správné a nesprávné provedení tuhého těsnění spáry
Tam, kde je těsnění požadováno pouze jako ochrana proti pronikání vody nebo z důvodu ochrany před
prachem, lze použít měkké pružné tmely nebo pryže. Trvanlivější jsou polysulfidy a tvarované neoprénové
pásky. Pro úzké spáry, které mají být úhledné, jsou možné i silikonové tmely.
Při použití těchto tmelů je třeba spodní část těsněné spáry (zvláště jedná-li se o řezanou spáru indukující
trhlinu) nejprve vyplnit polyetylénovým pramencem nebo páskem, který zabrání přilnutí těsnícího materiálu ke
spodní straně drážky. Toto opatření zabrání porušení těsnění na spodní straně při opakovaných deformacích
spáry. Průměr polyetylénového pramence by měl být přibližně o 25-33% větší, než je šířka spáry. Pouze tak
bude pramenec dostatečně těsnit (obr. 4.6).
Obr. 4.6 Správné a nesprávné provedení pružného těsnění spáry
Při výběru těsnícího materiálu je třeba si uvědomit, že přetvoření povrchové vrstvy tohoto těsnění není
stejné jako přetvoření (rozevření) spáry. Na základě rozsáhlých laboratorních testů rozpracoval podrobně E.
Tons zásady použití elastoplastických tmelů [33]. Vychází z předpokladu potvrzeného zkouškami, že deformace
54
povrchové vrstvy tmelu je větší než deformace samotné spáry, neboť deformace povrchové vrstvy tmelu má
parabolický charakter. Vzájemný vztah mezi poměrným přetvořením spáry 100(W-WMI N)/WMIN a poměrným
přetvořením povrchové vrstvy tmelu 100(L-WMIN)/WMI N při různých poměrech K (poměr hloubky vyplnění spáry
D k počáteční šířce spáry WMIN) je znázorněn grafem na obrázku 4.7.
Je zřejmé, že při malých hloubkách vyplnění není nárůst přetvoření tmelu vůči přetvoření spáry výrazný.
Hloubka vyplnění spáry pružnými tmely nemá překročit dvojnásobek šířky spáry, a doporučuje se, aby nebyla
větší než šířka spáry. Těsnící materiál tak bude účinnější a navíc se i ušetří.
Ve všech případech by se měl výrobce podlahy předem informovat o sortimentu a vlastnostech
nabízených těsnění a tomu přizpůsobit tvar a hlavně šířku spáry. A opačně, tvaru spáry je třeba přizpůsobit
těsnící materiál. Těsnění spár není věčné, a proto je třeba provádět pravidelné prohlídky a údržbu spár.
Obr. 4.7 Závislost přetvoření povrchové vrstvy pružného tmelu na přetvoření spáry
55
5.
Povrch podlahy
Požadavky na kvalitu povrchu patří k nejdůležitějším, neboť povrch je v podstatě jediná součást podlahy,
se kterou uživatel přichází přímo do styku. Problém totiž vždy nastává v okamžiku, kdy se porucha projeví na
povrchu podlahy. Proto se tyto požadavky musí sestavit s mimořádnou pečlivostí a jejich dodržení je pro
konečné užitné vlastnosti podlahy rozhodující.
Patří sem požadavky na rovinnost, vodorovnost a obrusnost povrchu (abrazívní odolnost) [36], dále pak
na hrubost povrchu (jemný hrubý, leštěný), požadavky na dodatečné povrchové úpravy, přípustné barevné
variace, přípustný počet odprýsknutí povrchu na m2 a přípustný rozsah oprav povrchu ( 1, 2, 3, 4, 5, jiné %
povrchu).
Existují v podstatě dvě nejběžnější metody měření rovinnosti a vodorovnosti povrchu podlah. První
spočívá v přikládání rovné latě k povrchu podlahy. Latě mohou být různých délek a pro každou délku je dána
maximální velikost mezery pod latí. Druhá metoda je poněkud sofistikovanější a spočívá v proměření výškové
úrovně vybraných bodů podlahy pomocí optického, laserového či jiného zařízení. Naměřené hodnoty se
statisticky zpracují a vyhodnotí.
5.1. Kritéria rovinnosti povrchu podlah dle ČSN 74 4505
Rovinnost povrchu podlahy se u nás většinou kontroluje podle ČSN 74 4505 „Podlahy: Základní
ustanovení“ pomocí dvoumetrové latě přiložené k povrchu podlahy. Mezera vzniklá mezi latí a nejnižším bodem
povrchu podlahy pod latí nesmí být větší nežli 2mm (obr. 5.1). Velkou výhodou této metody je její jednoduchost
a dostupnost. K nevýhodám patří to, že kritérium 2mm/2m je pro průmyslové podlahy poměrně přísné a navíc
není jasně definováno, ve kterých místech podlahy je třeba měření provádět. Pro ověření rovinnosti celého
povrchu podlahy by bylo nutné provést nespočetně měření.
Obr. 5.1. Kontrola rovinnosti dvoumetrovou latí
K dalším nevýhodám patří fakt, že touto metodou nelze dostatečně zkontrolovat celkovou vodorovnost
podlahy, že nelze rozlišit více kategorií podlah a že nelze postihnout vlnitost povrchu. Přitom vlnitost povrchu je
např. pro bezproblémový provoz vysokozdvižných vozíků rozhodující. Povrchy podlah vyznačené v obrázku 5.2
jsou z hlediska kritéria 2mm/2m rovnocenné, z hlediska skutečného provozu však diametrálně odlišné.
56
Obr. 5.2 Povrchy podlah s různou vlnitostí
5.2. Kritéria rovinnosti povrchu podlah ve světě
Ve světě existuje několik uznávaných předpisů pro kontrolu rovinnosti a vodorovnosti povrchu
průmyslových podlah. Podlahy se dělí na podlahy s předem definovanými a neměnnými dopravními trasami a na
podlahy s náhodně uspořádanou dopravou.
Pro podlahy s předem definovanými dopravními trasami je nejpropracovanější systém doporučený
v Technical Reportu 34 [4]. Dle tohoto doporučení se sledují tzv. charakteristiky (charakteristika 1, 2, 3) a tyto
se porovnávají s mezními hodnotami těchto charakteristik. Každá z charakteristik má dvě mezní hodnoty, z nichž
první hodnota může být překročena maximálně v 5% ze všech provedených měření, druhá hodnota být
překročena nesmí. Charakteristika 1 vyjadřuje převýšení bodů umístěných ve stopě kola ve vzdálenostech
300mm. Charakteristika 2 se určí jako rozdíl dvou následných charakteristik 1. Charakteristika 3 se určí jako
převýšení bodů mezi jednotlivými rovnoběžnými stopami kol (ve stopě se měří místa ve vzdálenostech 300mm).
Jednotlivé charakteristiky jsou graficky znázorněny na obr. 5.3.
Obr. 5.3 Charakteristiky určené pro kontrolu rovinnosti podlahy s předem definovaným provozem
Za účelem posouzení rovinnosti se podlahy dělí do tří kategorií; superrovné, rovné a běžné. Každé
kategorii přísluší jiné mezní hodnoty jednotlivých charakteristik (Tab. 5.1). Vodorovnost podlahy se pak
kontroluje pomocí přípustné výškové tolerance vzhledem ke srovnávací rovině (rovina získaná průměrováním
všech měření povrchu). Pro superrovné a rovné podlahy se připouští výšková tolerance ±10mm a pro běžné
podlahy ±15mm od srovnávací roviny.
57
Tab. 5.1 Mezní hodnoty charakteristik pro podlahy s předem definovaným provozem
Přípustné hodnoty jednotlivých charakteristik povrchu [mm]
charakteristika 1 charakteristika 2
charakteristika 3
rozchod kol do 1,5m rozchod kol nad 1,5m
5%
0%
5%
0%
5%
0%
5%
0%
Kategorie
podlah
Superrovné
Rovné
Běžné
-sklady s velmi úzkými
uličkami a rychle se
pohybujícími vozíky, které
zakládají zboží do velkých
výšek (nad 13m)
-sklady s velmi úzkými
uličkami, kde se zboží
zakládá do výšky 8 až 13m
-ostatní sklady s velmi
úzkými uličkami
0,75
1,00
1,00
1,50
1,50
2,50
2,00
3,00
1,50
2,50
2,50
3,50
2,50
3,50
3,00
4,50
2,50
4,00
3,25
5,00
3,50
5,00
4,00
6,00
V TR34 je zpracován i systém posouzení rovinnosti podlah s náhodně uspořádaným provozem. Sledují
se opět tzv. charakteristiky (charakteristika 2, 4). V ploše podlahy se vytvoří základní rastr bodů vzájemně
v obou směrech vzdálených 3m a charakteristika 4 sleduje převýšení mezi jednotlivými sousedními body.
Charakteristika 2 se stanoví stejně jako u podlah s předem definovaným provozem a měří se na všech spojnicích
bodů základního rastru (obr. 5.4). Jednotlivé hodnoty se opět porovnávají s hodnotami mezními (Tab. 5.2). Pro
kategorii FM1 se připouští výšková tolerance ±10mm a pro kategorie FM2 a FM3 ±15mm od srovnávací roviny.
Obr. 5.4 Rozmístění bodů určených pro kontrolu podlahy s náhodně uspořádaným provozem
Tab. 5.2 Mezní hodnoty charakteristik pro podlahy s náhodně uspořádaným provozem
Přípustné hodnoty jenotlivých charakteristik [mm]
charakteristika 2
charakteristika 4
Kategorie
podlah
FM1
FM2
FM3
-limity jsou velmi přísné a použijí se jen ve
výjimečných případech (např. zakládání do
výšek nad 13m)
-sklady s širokými uličkami, kde se zakládá
do výšky nad 8m
-sklady se širokými uličkami, kde se zakládá
do výšky nepřesahující 8m, maloobchodní
sklady, prodejní haly, výrobní haly
58
3%
0%
10%
3%
0%
2,50
4,00
3,00
4,50
7,00
3,50
5,50
6,00
8,00
12,00
5,00
7,50
8,00
10,00
15,00
Pro posouzení rovinnosti a vodorovnosti podlahy s náhodně uspořádaným provozem se jako nejlepší a
nejpropracovanější jeví americký systém tzv. čísel rovinnosti FF a vodorovnosti FL. Je podobný výše uvedenému
systému z TR34, dokonalejším způsobem však zpracovává naměřená data, rovněž jeho klasifikace podlah je
jednodušší. V současné době se v USA začíná používat nový systém klasifikace podlah, tzv. „index vlnitosti“.
V našich podmínkách se pro posouzení rovinnosti povrchu podlah často používá normy DIN 18 202,
která dělí podlahy do čtyř kategorií. Každá kategorie musí splňovat mezní výškové tolerance měřené na pěti
různých vodorovných vzdálenostech (100mm, 1m, 4m, 10m a 15m). Tato norma má však jednu velkou
nevýhodu. Definuje dva postupy stanovení výškových tolerancí, přičemž výsledky jednotlivých postupů jsou
vzájemně nezaměnitelné a často i diametrálně odlišné.
59
6.
Závěr
Konečný vzhled a kvalita průmyslové podlahy závisí na mnoha činitelích, z nichž většinu lze příznivě či
nepříznivě ovlivnit návrhem a následným provedením podlahy. Aby vůbec bylo možné k navrhování přistoupit,
je třeba pro podlahu vytýčit vstupní požadavky. Čím obsáhlejší a kompletnější bude seznam požadavků, tím
efektivněji a v požadované kvalitě za přijatelných finančních podmínek lze podlahu navrhnout a provést.
Vytyčování požadavků musí začínat u budoucího uživatele (investora) a pravděpodobně si vyžádá konzultaci
s architektem, stavebním inženýrem a geotechnikem. Někteří investoři mohou při sestavování seznamu
požadavků získat představu o možných nárocích kladených na budoucí podlahu a po konzultaci s dodavatelem
zjistit i finanční náročnost svých speciálních přání. Pro dodavatele je pak seznam požadavků základním
vodítkem při návrhu a provádění podlahy.
Seznam vstupních požadavků pro průmyslové podlahy slouží k přesnému vymezení rozsahu a kvality
budoucího díla a měl by být přílohou smlouvy o dílo. V budoucnu lze na jeho základě rozhodnout o oprávněnosti
případných reklamačních nároků.
Je zcela zřejmé, že díky konečným uživatelům se věnuje problematice průmyslových betonových podlah
stále vyšší a vyšší pozornost. Uživatelé požadují podlahy odolnější, únosnější a dostatečně trvanlivé. Realizační
firmy a potažmo i projektanti musejí být schopni takové podlahy navrhnout a dodat, samozřejmě při
minimalizaci vstupních nákladů. Případné vady v projektu či vady prováděcí mohou vyústit v rozsáhlá
reklamační řízení a nehledě na výsledek takového řízení lze konstatovat, že následné opravy jsou většinou velmi
obtížné a technicky náročné.
Tato práce seznamuje s vybranými kapitolami z problematiky průmyslových betonových podlah
uložených přímo na podloží. Některé části jsou zpracovány poměrně podrobně (Zatížení podlah a jeho účinky,
Zásady dimenzování), některé podávají alespoň základní informace (Podloží, Spáry, Povrch podlah) a všude jsou
uvedeny poměrně četné odkazy na další podrobnější nebo doplňující informační zdroje. Práce neobsahuje nové
poznatky (snad kromě přílohy 1), nýbrž pouze shrnuje současný stav vědění. Avšak již tato část by měla být
velmi přínosná, neboť většina informací je čerpána ze zahraniční literatury a podkladů realizačních firem. Navíc
(alespoň pokud vím) u nás zatím žádná ucelená práce tohoto druhu neexistuje. Na základě této práce by statik
měl být schopen navrhnout podlahy vyhovující nejrozmanitějším vstupním požadavků, avšak důležité informace
zde najde i zástupce realizační firmy.
V další části se práce bude podrobněji zabývat uspořádáním spár a způsobem přenosu smykových sil
spárami. Budou provedena porovnání účinnosti, kvality a nákladnosti jednotlivých způsobů. Problematika spár je
totiž velmi důležitá, neboť většina poruch průmyslových podlah je zapříčiněna právě nesprávným návrhem nebo
provedením spár.
60
Použité informační zdroje:
[1] GARBER,George. Design and construction of concrete floors, 1. edition, Edward Arnold, London, 1991,
ISBN 0-340-53918-6
[2] BEKAERT. Design of ground supported steelfiber reinforced floors based on the Losberg Yield Line model,
NV Bekaert SA, 2001
[3] RINGO,B.C. and ANDERSON,R.B. Designing Floor Slabs On Grade: Step-by step procedures, sample
solutions and commentary, 2. edition, The Aberdeen Group, Addison, 1996, ISBN 0-924659-75-0
[4] THE CONCRETE SOCIETY. Technical Report 34:Concrete Industrial Ground Floors-A guide to their
Design and Construction, 2. edition, The Concrete Society, Slough, 1994, ISBN 0-946691-49-5
[5] DEPARTMENTS OF THE ARMY AND THE AIR FORCE. Concrete floor slabs on grade subjected to
heavy loads : Technical Manual TM-5-809-1, U.S. Government printing office, Washington, D.C., September
1987
[6] ČSN P ENV 1992-1-1, Navrhování betonových konstrukcí, Část 1.1 Obecná pravidla a pravidla pro pozemní
stavby
[7] MAYERHOF, G.G. Load carrying capacity of concrete pavements, Journal of the Soil Mechanics and
Foundations Division, Proceedings ASCE, June 1962
[8] LOSBERG, A. Design metods for structurally reinforced concrete pavements, 1961
[9] BEKAERT. Industrieböden aus Dramix Stahldrahtfaserbeton, N.V. Bekaert S.A, 1990
[10] HOŘEJŠÍ, J. ŠAFKA, J. a kol. Statické tabulky, SNTL, Praha, 1987,
[11] ČSN 73 0035: Zatížení stavebních konstrukcí, Vydavatelství úřadu pro normalizaci a měření, Praha, 1986
[12] BEKAERT. Steel fibre reinforced industrial floor design in accordance with the Concrete Society TR34,
N.V. Bekaert S.A. 1999
[13] CHANDLER, J.W.E. Technical Report 550: Design of floors on ground, Cement and Concrete Association,
Slough, , June 1982
[14] GOLDBECK, A.T. Thickness of concrete slabs, Public Roads, Vol. 1, No. 12, April 1919
61
[15] BRADÁČ, J. KRÁTKÝ, J. PROCHÁZKA, J. Průmyslové betonové podlahy, Stavební ročenka 1999, ČSSI
a ČKAIT Praha 1999
[16] BECKETT, D. Concrete ground slabs: an appraisal of corner loading, Concrete, September 2000
[17] PROCHÁZKA, J. KRÁTKÝ, J. Navrhování betonových konstrukcí podle Eurocode 2, Vydavatelství
ČVUT, Praha 1995
[18] LOHMEYER, G. Betonböden im Industriebau, Hallen und Freiflächen, Bundesverband der Deutschen
Zementindustrie, 4. überarbeitete und ergänzte Auflage, Köln 1993
[19] ENV 1992-3: Design of concrete structures. Part 3: Concrete Foundations, návrh 11/95
[20] BRADÁČ, J. Betonové konstrukce velkých půdorysných rozměrů, Beton a zdivo,
[21] CHANDLER, J.W.E. Design of floors on ground. Cement and Concrete Association, Wexham
Springs, 1982, p. 9.
[22] PROCHÁZKA, J. KRÁTKÝ, J. Navrhování konstrukcí z prostého betonu podle ČSN P ENV 1992-1-6,
sborník ke školení „Navrhování betonových konstrukcí podle ENV 1992“, ČVUT Praha, Fakulta stavební,
katedra betonových konstrukcí a mostů, Praha, září 1999, s. 71 – 86, ISBN 80-01-02040-1
[23] PETŘÍK, V. KŘÍSTEK, V. Praktická pomůcka pro výpočet vlivů smršťování a dotvarování betonu, sborník
příspěvků z konference „Betonářské dny 2000“, Česká společnost pro beton a zdivo, 1. vydání, Pardubice,
listopad 2000, s. 380 – 384
[24] FALKNER, H. TEUTSCH, M. KLINKERT, H. Výkonové třídy železového vláknobetonu, Institut pro
stavební materiály, masivní konstrukce a protipožární ochranu, Braunschweig, 1999, ISBN 3-89288-122-7
[25] KRÁTKÝ, J. TRTÍK, K. VODIČKA, J. Drátkobetonové konstrukce:Směrnice pro navrhování, provádění,
kontrolu výroby a zkoušení drátkobetonových konstrukcí, Informační centrum ČKAIT, 1. vydání, Praha, září
1999, ISBN 80-86364-00-3
[26] KRÁTKÝ, J. TRTÍK, K. VODIČKA, J. Komentář a příklady ke směrnici pro drátkobetonové konstrukce,
Sdružení KTV, 1. vydání, Praha, 1999
[27] ACI COMMITTEE 360. ACI 360R-92:Design of slabs on grade, American Concrete Institute, Farmington
Hills, Michigan, 1999
62
[28] KRÁTKÝ, J. Navrhování konstrukcí z prostého drátkobetonu podle zásad EUROKÓDU 2, sborník
semináře „CONCON 2000“: Nové druhy betonu, objemové změny betonu a jejich vliv na konstrukce, Česká
společnost pro beton a zdivo, 1. vydání, Praha, únor 2000
[29] BEKAERT. Design guidelines for Dramix steel wire fibre reinforced concrete, N.V. Bekaert S.A. 2000
[30] Kim, J Hjelmstad, K.Three-dimensional finite element analysis of multi-layered systems: Compressive
Nonlinear Analysis of Rigid Airport Pavement Systems, Center of Excellence for Airport Pavement Research,
COE Report No. 10, Urbana, Illinois, January 2000
[31] ČSN 73 1001: Základová půda pod plošnými základy, Vydavatelství úřadu pro normalizaci a měření, Praha,
[32] Bradáč, J. Řehák, K. Směrnice pro navrhování základů výškových skladů:Státní úkol A11-152-801, Hutní
projekt Praha, závod Ostrava, červen 1988
[33] HOŠEK, J. Nauka o materiálech 27:Materiály a technologie pro rekonstrukce staveb, 2. vydání,
Vydavatelství ČVUT Praha, 2001, s. 84–88, ISBN 80-01-02291-9
[34] DEPARTMENT OF THE ARMY: Technical Manual 5-805-6:Joint Sealing for Buildings, Washington
DC, September 1994
[35] METZGER, S. A closer look at industrial floor joints [on-line], The Aberdeen Group, 1996, [cit. 07-052002], dostupné z <http://www.worldofconcrete.com>
[36] PLAČEK, J. Co měříme? Odolnost proti obrusu! [on-line], 2001, [cit. 07-05-2002], dostupné z
<http://www.propodlahy.cz>
[37] PILHOFER, W. KŘÍSTEK, V. Stress distribution in steel fibre reinforced slabs due to drying effects,
sborník semináře „CONCON 98“: Betonové podlahy, ČVUT, Stavební fakulta, katedra betonových konstrukcí a
mostů, 1. vydání, Praha, leden 1998, ISBN 80-01-01772-9
[38] PROCHÁZKA, J. ŽALSKÝ, P. Betonové podlahy z prostého betonu namáhané objemovými změnami,
sborník odborného semináře „Funkční způsobilost a optimalizace staveb“, 1. vydání, Praha, únor 2002, ISBN
80-01-02508-X
[39] ŽALSKÝ, P. Těsnění spár průmyslových betonových podlah, BETON TKS, Beton TKS, s.r.o., Praha,
5/2002, ISSN 1213-3116
[40] Holický, M. Zásady ověřování spolehlivosti a životnosti staveb, ČVUT Praha, Fakulta stavební, Praha,
listopad 1998, s. 35 – 39, ISBN 80-01-01880-6
63
[41] Vorlíček, . 1961
[42] Kala, Z. Respecting the influence of geometrical and material imperfections of steel frames when
calculating their load-carrying capacity, Proceedings of the II. Internationl Scientific Conference „Quality and
reliability in building industry“, Levoča 10/2001, pp. 248-255, ISBN 80-7099-707-9
[43] Kala, Z. Aproximační a zdokonalené numerické simulační metody, Sborník z II. ročníku celostátní
konference SPOLEHLIVOST KONSTRUKCÍ, Dům techniky Ostrava 3/2001, ISBN 80-02-01410-3
[44] Florian, A. An efficient sampling scheme: Updated Latin hypercube sampling, Probabilistic Engineering
Mechanics 7, pp. 123-130, 1992
[45] Bittnar, Z. Šejnoha J. Numerické metody mechaniky 2, Vydavatelství ČVUT, pp. 231-240, Praha 1992,
ISBN 80-01-00901-7
64
7.
Citlivostní analýza vlivu vstupních parametrů na chování železobetonové podlahy
Deterministické modely navrhování a posuzování průmyslových betonových podlah uložených přímo na
podloží jsou založeny na určitých charakteristických hodnotách vstupních veličin, které reprezentují minimální,
maximální nebo průměrné hodnoty a obvykle se volí na základě předešlých zkušeností nebo na základě zkoušek.
Dostatečná spolehlivost konstrukce se poté zajistí pomocí dílčích součinitelů spolehlivosti. Ve skutečnosti je
však většina vstupních veličin náhodného charakteru a pro každou takovou veličinu existuje celé spektrum
hodnot, kterých veličina může nabývat. Pokud tedy využijeme pouze jedné hodnoty z mnoha možných,
zanedbáváme tak vědomě existující cenné informace o náhodné proměnlivosti dané veličiny a současně se
zbavujeme možnosti posuzovat spolehlivostní hledisko problému.
Místo deterministického modelu je možné použít model stochastický, který na veličiny hledí jako na
náhodné, zatížené určitými nejistotami. Při analýze stavebních konstrukcí a potažmo i podlah se v současné době
často používají složité matematické modely založené na moderních numerických metodách. Závislost mezi
vstupními veličinami a sledovaným výstupem tak není explicitně matematicky vyjádřitelná a je zprostředkována
více či méně složitým algoritmem. Má-li se v takovém případě model chovat stochasticky, je nutné použít
metody umožňující vliv nejistot vstupních veličin zahrnout do výpočtu. Takové výpočty lze provádět na základě
-
přesné analytické metody
-
přibližné analytické metody (First Order Reliability Method – FORM; Second Order Reliability
Method – SORM; momentová metoda)
-
metody numerické integrace (numerická integrace; metoda momentů druhého řádu;
pravděpodobnostní metoda konečných prvků – PMKP)
-
simulační metody (základní varianta metody Monte Carlo – MC; zdokonalené varianty metody MC,
především metoda Importance Sampling – IS, Adaptiv Sampling – AS a stratifikovaná metoda
latinských hyperkrychlí – Latin Hypercubes Sampling – LHS, Updated Latin Hypercubes Sampling
– ULHS ; metoda aproximace oblasti poruchy - Response Surface – RS)
-
kombinace předchozích metod.
Ačkoliv přesnost simulačních metod záleží do značné míry na počtu náhodně generovaných pokusů, jsou
pro jejich jednoduchost a názornost v praxi velmi oblíbené. Používání moderních simulačních metod lze
považovat za určitý kvalitativní skok v možnostech analýzy konstrukcí. Oproti deterministickým metodám jdou
simulační metody ve schopnostech modelovat realitu dále, daný problém řeší spolehlivěji a výstižněji a zahrnují
v sobě všechny možnosti a přednosti dosavadních deterministických metod. Simulační metody proto umožňují
analyzovat i problémy jinými metodami jen velmi těžko řešitelné či zcela neřešitelné.
7.1. Cíl práce
V porovnání s jinými stavebními konstrukcemi se průmyslové podlahy poměrně často navrhují pomocí
jednoduchých analytických vztahů vyjadřujících odezvu konstrukce na různé typy zatížení. Jsou odvozeny
vztahy pro plošná, liniová a bodová zatížení, případně i pro zatížení smršťováním betonu a teplotními změnami.
Stejně tak samozřejmě lze pro analýzu podlah použít i složité numerické modely. Tyto však musí být dostatečně
výstižné, neboť jinak pozbývají smyslu a je pak vhodnější a zcela postačující použít přibližné analytické vztahy a
nikoliv složitý „špatný“ model.
65
Cílem této práce je prezentovat některé metody vhodné pro stochastickou analýzu betonových podlah,
předvést aplikaci na vhodném ilustrativním příkladu z běžné praxe a provést citlivostní analýzu jednotlivých
vstupních veličin. Bude ukázáno, že i při přibližných hodnotách vstupních veličin je taková analýza možná a
smysluplná, a že lze s její pomocí dospět k všeobecným požadavkům na přesnost jednotlivých vstupních veličin.
V rámci ilustrativního příkladu bude provedena komplexní spolehlivostní analýza svislých posunů,
ohybových momentů a napětí železobetonové desky uložené přímo na podloží a vystavené účinkům různých
typů zatížení. Bude určena relativní důležitost jednotlivých vstupních parametrů a tedy citlivost modelu na
nejistoty v jednotlivých vstupních veličinách. Pro konstrukci bude opakovaně pro náhodně vygenerované vstupní
hodnoty metodou ULHS použit nelineární výpočet Newton-Raphsonovou metodou v systému FEAT98.
7.2. Náhodné veličiny
V teorii spolehlivosti stavebních konstrukcí se často uplatňují spojité náhodné veličiny. Souhrn všech
možných realizací x náhodné veličiny X se nazývá základní soubor. Distribuční funkce F(x) udává pro každou
hodnotu x pravděpodobnost, že náhodná veličina X bude menší nebo rovna x: F(x) = P[X ≤ x] a hustota
pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny f(x) je derivací distribuční funkce: f(x) = dF(x)/dx. Základním
parametrem popisujícím polohu základního souboru vzhledem k nule je průměr (střední hodnota) m, míru
rozptylu vzhledem k průměru vyjadřuje rozptyl s2 a jeho odmocnina označuje směrodatnou odchylku s, mírou
nesymetrie základního souboru je šikmost a a mírou strmosti je špičatost e. Bezrozměrným parametrem
základního souboru je variační koeficient w definovaný jako poměr směrodatné odchylky k průměru.
µ = ∫ xϕ ( x)dx a jeho výběrová charakteristika bude m =
σ 2 = ∫ ( x − µ ) 2ϕ ( x )dx ; s 2 =
1
∑ xi
n i
1
( xi − m ) 2
∑
n −1 i
(7.2)
α=
1
1
( x − µ ) 3ϕ ( x)dx ; a =
∑ ( xi − m ) 3
3 ∫
(n − 1)(n − 2) s 3 i
σ
ε=
1
n(n + 1)
( x − µ ) 4ϕ ( x)dx ; e =
4 ∫
(n − 1)(n − 2)(n − 3)s 4
σ
w=
(7.1)
σ
s
; v=
µ
m
∑(x
i
i
(7.3)
− m) 4 −
3(n − 1) 2
(n − 2)(n − 3)
(7.4)
(7.5)
Nejdůležitějším typem rozdělení spojité náhodné veličiny je z praktického i teoretického hlediska
rozdělení normální (Laplace-Gaussovo). Toto rozdělení je symetrické, je definováno na intervalu -∞<x<∞ a
závisí pouze na dvou parametrech, na průměru m a směrodatné odchylce s. Symbolicky se značí N(m, s). Je
vhodné pro symetrické náhodné veličiny s relativně malým rozptylem. Šikmost a špičatost tohoto rozdělení jsou
nulové. Hustota pravděpodobnosti normální náhodné veličiny X s průměrem m a směrodatnou odchylkou s je
dána známým vztahem
66
ϕ ( x) =
 1  x − µ 2 
1
exp − 
 .
σ 2π
 2  σ  
(7.6)
Důležitým typem rozdělení náhodných veličin je obecné, jednostranně omezené, nesymetrické
lognormální rozdělení, které je definováno na intervalu x0<x<∞ nebo -∞<x<x0 , je závislé na třech parametrech
– průměru m, směrodatné odchylce s a šikmosti a a značí se LN(m, s,a). Zvláštní případ je oblíbené
lognormální rozdělení s dolní mezí v nule (x0=0), které stejně jako normální rozdělení závisí pouze na dvou
parametrech, střední hodnotě a směrodatné odchylce a symbolicky se značí LN(m, s). Šikmost tohoto rozdělení
je dána hodnotou variačního koeficientu w podle vztahu a =3w+w3 a hustota pravděpodobnosti je dána vztahem
 
x 1 + w2
ϕ ( x) =
exp −  ln
 
µ
x ln(1 + w 2 ) 2π

1
2


 (2 ln (1 + w 2 ))−1  .




(7.7)
Lognormální rozdělení s počátkem v nule má vždy kladnou šikmost, jejíž hodnota může být i poměrně vysoká a
neuvážené aplikace tohoto rozdělení mohou vést k nereálným modelům zpravidla podceňujícím výskyt
záporných a zveličujícím výskyt kladných odchylek od průměru. Jelikož je u většiny mechanických veličin
výskyt záporných hodnot nereálný, zdá se být lognormální rozdělení s dolní mezí v nule na první pohled lepší
nežli rozdělení normální. Z praktického hlediska se však u normálního rozdělení výskyt záporných hodnot
zpravidla stává zanedbatelným. Příkladem potvrzujícím výjimku z pravidla může být například popis tloušťky
krycí vrstvy výztuže, která nemůže být záporná. Lognormální rozdělení se proto pro krycí vrstvu jeví jako
vhodnější než rozdělení normální, dle [40] však krycí vrstvě výztuže ještě lépe odpovídají další typy rozdělení,
tzv. gama rozdělení nebo beta rozdělení. Hodnocení výstižnosti jednotlivých typů rozdělení se provádí
různými statistickými testy dobré shody, v praktických aplikacích však tyto testy často selhávají a volba
vhodného modelu náhodné veličiny je pak závislá na jejím charakteru, dostupných zkušenostech a ustálených
zvyklostech.
7.2.1. Náhodné veličiny dvou a více proměnných
Souhrn všech možných realizací x a y dvojice sdružených náhodných veličin X a Y se nazývá
dvourozměrným základním souborem; obecně souhrn všech realizací x1, x2…xn n sdružených náhodných veličin
X 1 , X2…X n, který se značí X[X1, X 2…Xn], se nazývá n-rozměrným základním souborem. Dvourozměrná
distribuční funkce F(x,y) udává pro každou dvojici x, y pravděpodobnost, že náhodná veličina X je menší nebo
rovna x a náhodná veličina Y je menší nebo rovna y: F(x,y) = P[X ≤ x; Y ≤ y]. Hustota pravděpodobnosti spojité
náhodné veličiny je potom derivací distribuční funkce
ϕ ( x, y) =
∂ 2 Φ ( x, y )
.
∂x∂y
(7.8)
Obdobně jako jednorozměrné náhodné veličiny se i dvou a vícerozměrné veličiny popisují momentovými
parametry a různými typy rozdělení. Kromě jednorozměrných momentů, které vedou k definici průměru mx a my
a směrodatné odchylky s x a sy, se u dvourozměrných veličin uplatňují rovněž sdružené momenty obou veličin X
a Y. Nejdůležitější je sdružený centrální moment prvního řádu sxy, který se nazývá kovariace a určí se jako
67
σ xy2 = ∫ ϕ ( x, y )( x − µ x )( y − µ y )dxdy
s xy2 =
případně výběrová kovariace se určí jako
1
∑ ( xi − mx )( yi − my )
n −1
(7.9)
Na základě kovariace se definuje korelační koeficient, případně výběrový korelační koeficient jako
ρ xy =
σ xy
σ xσ y
s xy
; rxy =
(7.10)
sx s y
Výběrový korelační koeficient lze dle [45] odhadnout též pomocí vztahu
n ∑ xi yi − ∑ xi ∑ y i
rxy =
i
n ∑ (xi )
2
i


−  ∑ xi 
 i

i
2
i
n ∑ ( yi )
2
i


−  ∑ yi 
 i

2
(7.xx)
Výběrový korelační koeficient se často používá k numerickému vyjádření vzájemné lineární závislosti
mezi veličinami X a Y a vždy nabývá hodnot z intervalu <–1,+1>. Rovná-li se jeho hodnota –1 nebo +1,
znamená to, že mezi X a Y je přesná lineární závislost. Jsou-li veličiny nezávislé, je korelační koeficient roven 0.
Stavební konstrukce a systémy jsou zpravidla popsány řadou základních náhodných veličin X1 , X2…X n a
funkční závislost mezi těmito základními veličinami a veličinou hledanou zapíšeme symbolicky ve tvaru
F = f(X) = f(x1, x2…xn)
(7.11)
Přesné vyjádření takové funkce je možné jen v některých jednodušších případech (viz např. vztah 7.17).
V obecném případě je však nutné aplikovat různé numerické metody, přibližné analytické metody nebo metody
simulační. Přesným analytickým řešením různých typů funkcí náhodných proměnných se zabývá například
publikace [41]. Při zanedbání členů vyššího řádu Taylorova rozvoje lze přibližnou analýzou momentů druhého
řádu pro průměrnou hodnotu mF a směrodatnou odchylku sF normálně rozdělené veličiny F stanovit obecnou
funkční závislost
µ F = f (µ x1 , µ x 2 ...µ xn )
 ∂F

σ F = ∑ 
σ xi 
i =1  ∂xi

n
(7.12)
2
(7.13)
Takto stanovené hodnoty průměrných hodnot a směrodatných odchylek mohou být v řadě případů zcela
dostačující a především v případě relativně malých směrodatných odchylek jednotlivých veličin budou
vykazovat jen nepatrné chyby.
7.2.2. Citlivostní analýza a statistická závislost
Při studiu chování složitějších systémů symbolicky popsaných funkční závislostí (7.11) nás velmi často
zajímá, jaký vliv mají jednotlivé vstupní náhodné veličiny X1 , X 2…Xn na výsledek F. Jednou z možností, jak
tento vliv vystihnout, je výpočet parciálních variačních koeficientů vFi funkce F pro proměnnou xi za
předpokladu, že ostatní veličiny se ustálí na středních hodnotách. Příslušné citlivostní koeficienty získáme jako
podíl parciálních variačních koeficientů a celkového variačního koeficientu vF funkce F, tedy
68
CK =
v Fi σ Fi
≅
vF σ F
[-]
(7.14)
Při simulačních metodách nebo v případech, kdy nemáme k dispozici hodnoty realizací náhodných
proměnných, ale známe jejich pořadí, nebo pokud náhodné veličiny nemají stejné rozdělení, se pro hodnocení
statistické závislosti používá Spearmanův koeficient pořadové korelace
6∑ (d ij(α ) )
n
R ( xi , x j ) = 1 −
2
α =1
(7.15)
n(n − 1)(n + 1)
v němž dij(a) je rozdíl pořadí prvků v uspořádaných souborech a n je rozsah statistických souborů xi a xj. Přitom
R(xi,xj) nabývá hodnot z intervalu <–1,+1>. Hledá-li se tedy závislost mezi určitou vstupní veličinou xi a
výslednou funkcí F, odpovídají veličině xj právě funkční hodnoty funkce F. Pro velké soubory náhodných
veličin se tento koeficient přibližně rovná korelačnímu koeficientu.
Poznamenejme, že některé typy vstupních veličin jsou svou podstatou zcela nezávislé, některé se ovšem
navzájem dokáží určitou měrou ovlivňovat a říkáme o nich potom, že jsou statisticky závislé. Míra závislosti se
určuje také pomocí korelačních či Spearmanových koeficientů. V případě, že máme náhodný výběr více než
dvou náhodných veličin, je korelace mezi nimi vyjádřena tzv. korelační maticí K, která je čtvercová, symetrická
a na hlavní diagonále má jedničky. Jsou-li vstupní veličiny navzájem zcela lineárně nezávislé, je korelační
matice K jednotková. V praktických úlohách je možno mezi náhodnými veličinami uvažovat i závislosti velmi
složité, viz například [42]. Takové statistické závislosti mezi vstupními veličinami mohou v některých případech
značně ovlivnit výsledek a experimentálním výzkumem by proto měly být tyto závislosti pečlivě zkoumány.
7.3. Základy teorie spolehlivosti
Konstrukce musí být navržena tak, aby po dobu předpokládané životnosti s příslušným stupněm
bezpečnosti a hospodárnosti vyhověla požadovanému účelu a odolala všem zatížením při provádění a provozu.
Obecně může být přijata rozdílná úroveň spolehlivosti pro únosnost a použitelnost. Jako ukazatel spolehlivosti se
uvádí pravděpodobnost poruchy pf a index spolehlivosti b. Stavební konstrukci považujeme za bezpečnou,
pokud pravděpodobnost vzniku poruchy pf je nižší než referenční pravděpodobnost poruchy pd. Pro stavební
konstrukce je nutné požadovat co největší vnitřní rezervu, tzn. aby pravděpodobnost vzniku poruchy byla číslo
blízké nule a obvykle se referenční hodnota pravděpodobnosti poruchy pd a tomu odpovídající index
spolehlivosti b uvažují dle následující tabulky 7.1.
Tab. 7.1. Referenční úrovně a jim příslušné pravděpodobnosti vzniku poruchy
referenční pravděpodobnost
poruchy - pd
index spolehlivosti - b
méně významé
0,000 500
3,29
běžné
0,000 072
3,80
velmi důležité
0,000 008
4,32
Konstrukce:
Základní úlohou teorie spolehlivosti stavebních konstrukcí je rozbor zdánlivě jednoduché podmínky mezi
účinkem zatížení E a odolností konstrukce R ve tvaru nerovnosti E<R. Jelikož E a R jsou obecně náhodné
69
proměnné, nelze platnost této podmínky zaručit absolutně a je nutné připustit, že s určitou malou
pravděpodobností dojde k překročení meze porušení a porucha nastane. Základním cílem teorie spolehlivosti je
stanovit pravděpodobnost porušení pf. Pro podmínku vyhovujícího stavu ve tvaru nerovnosti lze
pravděpodobnost poruchy zapsat ve tvaru
p f = P( E > R)
[-]
(7.16)
Obrázek 7.1 ukazuje příklad rozdělení pravděpodobnosti účinku zatížení E a odolnosti R a jejich
vzájemnou polohu. Hustoty pravděpodobnosti se na obrázku překrývají a je tedy zřejmé, že může dojít
k současnému výskytu takových nepříznivých realizací e a r veličin E a R, že platí e>r a nastává porucha. Aby
k takovému stavu došlo pouze s přijatelně malou pravděpodobností pf, musí být v závislosti na typech rozdělení
splněny určité podmínky o vzájemné poloze a rozptýlení veličin E a R. Jednou z takových podmínek je
nerovnost mE<mR, která je například na obrázku 7.1 splněna. Tato podmínka však není dostačující.
Obr. 7.1 Účinek zatížení E a odolnost R jako náhodné veličiny
Za předpokladu normálního rozdělení veličin E a R se stanoví tzv. rezerva spolehlivosti G jako rozdíl
veličin E a R a má též normální rozdělení s parametry mG a sG:
G = R − E;
µ G = µ R − µ E ; σ G2 = σ R2 + σ E2
(7.17)
Pravděpodobnost poruchy lze potom modifikovat na tvar
p f = P( E > R) = P(G < 0) = Φ G (0) = Φ G ( β )
[-]
(7.18)
kde b je index spolehlivosti funkce G a v podstatě značí vzdálenost průměru mG rezervy spolehlivosti od
počátku, vyjádřenou v jednotkách směrodatné odchylky sG. Obecně je index spolehlivosti definován jako
β = −Φ u−1 ( p f )
kde
[-]
(7.19)
Φ u−1 ( p f ) označuje inverzní distribuční funkci normálního rozdělení. Takto formálně definovaný
index spolehlivosti je dnes všeobecně používanou mírou spolehlivosti konstrukcí.
70
7.3.1. Nejistoty
Průmyslové podlahy se ve všech stádiích návrhu, provádění a působení střetávají s významnými
nejistotami a lze rozlišovat několik základních skupin nejistot:
-
přirozené náhodnosti zatížení, vlastností materiálů a geometrických veličin
-
statistické nejistoty v důsledku omezeného rozsahu dostupných dat
-
nejistoty výpočetních modelů způsobené zjednodušením skutečných podmínek
-
hrubé chyby zapříčiněné člověkem.
Přirozené náhodnosti a statistické nejistoty vstupních dat nelze odstranit, lze je však poměrně snadno
popsat dostupnými prostředky teorie pravděpodobnosti a matematické statistiky. Problémem je nedostatek
věrohodných experimentálních údajů na jejichž základě by bylo možné tyto nejistoty popsat.
Nejistoty výpočetních modelů lze do jisté míry stanovit na základě teoretického a experimentálního
výzkumu. Při volbě modelu by prioritou měla být volba co nejpřesnějšího dosažitelného výpočtového modelu.
Postupy založené na metodě konečných prvků v řadě případů vedou k řešení rozsáhlých systémů rovnic, a proto
nemusí být cena strojového času zanedbatelná, nevýhodou může být i pracnost přípravy vstupních dat a přípravy
modelu. Jedním výpočtem pak získáme pouze jeden specifický výsledek pro daný problém a nikoliv obecné
řešení. Přestože při narůstající výkonnosti počítačů a preprocesorů se tyto problémy zmenšují, je někdy výhodné
využít jednodušší řešení, pokud existuje. Pak je možné provádět rozsáhlé parametrické či statistické studie.
Nejméně teoretických prostředků je k dispozici pro popis a analýzu hrubých chyb, které jsou však při
vzniku poruchy často rozhodujícím faktorem. Účinným prostředkem pro omezení hrubých chyb může být
systém řízení jakosti včetně metod statistické přejímky. Jedna z aplikací těchto metod je naznačena například
v kapitole 5.2 týkající se kontroly rovinnosti a vodorovnosti povrchu podlah.
7.3.2. Stochastický model
Stochastický model je výpočtový model zahrnující pokud možno veškeré možnosti dané
deterministickým modelem a přitom respektující náhodnou proměnnost jednotlivých vstupních veličin. Používá
se ve třech základních oblastech analýzy konstrukcí, ve statistické, pravděpodobnostní a citlivostní analýze. Tyto
souhrnně nazýváme jako spolehlivostní analýza výpočetních modelů.
Účelem statistické analýzy je získání statistických parametrů charakterizujících náhodné chování
konstrukce (například náhodné chování průhybů, napětí, šířky trhlin atd.). Patří sem nejen získávání odhadů
středních hodnot, směrodatných odchylek, variačních koeficientů, šikmosti, špičatosti (viz kapitola 7.2),
minimálních a maximálních hodnot v souboru, ale i odhad vhodného typu rozdělení pro popis náhodného jevu.
Cílem
pravděpodobnostní
analýzy
je
kvantifikace
spolehlivosti
konstrukce
prostřednictvím
pravděpodobnosti splnění či nesplnění určité podmínky.
Účelem citlivostní analýzy je posoudit relativní citlivost náhodné proměnlivosti sledovaného jevu na
náhodné proměnlivosti jednotlivých vstupních veličin. Jinými slovy, jak náhodná proměnlivost určité vstupní
veličiny ovlivňuje (v porovnání s ostatními) náhodnou proměnlivost sledovaného chování konstrukce (viz
kapitola 7.2.2).
Důležitou skupinou metod umožňujících analýzu stochastického chování jsou simulační metody.
71
7.4. Simulační metody
Simulační metody se používají jak v případech, kdy závislost mezi vstupními veličinami a sledovaným
výstupem není explicitně vyjádřitelná a je zprostředkována algoritmem realizovaným na počítači, tak i
v případech složitějších, explicitně vyjádřitelných vztahů.
Předpokládejme, že závislost náhodných vstupních veličin qij = q1 j , q2 j ...qkj , kde k je počet vstupních
veličin, je dána vztahem:
F = f (qij ) ;
(7.20)
kde operátor f( . ) představuje libovolný deterministický výpočtový model buď ve tvaru počítačového
algoritmu a nebo ve tvaru matematicky uzavřených vztahů. Podstatou simulačních metod je opakované vyčíslení
tohoto vztahu pro N různých realizací vstupních veličin, jejichž prvky splňují určité podmínky. Výsledkem
numerické simulace je statistický soubor výsledných dat f = (f1, f2…fN), který dále slouží jako podklad pro
statistickou, pravděpodobnostní a citlivostní analýzu. V případě složitých výpočetních modelů je třeba, aby počet
simulací N byl při zachování dostatečné přesnosti výsledků co nejmenší. Jednotlivé realizace vstupních veličin je
pak nutno vybírat zvláště opatrně. A právě v tom se jednotlivé simulační metody navzájem odlišují.
Nejuniverzálnější, časově však nejnáročnější je metoda Monte Carlo (MC). Je použitelná jak pro analýzu
pravděpodobnosti poruchy, tak i pro určení statistických parametrů (střední hodnoty, směrodatné odchylky atd.)
hledané závislosti. Především pro určení pravděpodobnosti poruchy konstrukce jsou určeny aproximační metody
FORM a SORM, dále pak i vylepšené simulační metody MC, např. IS nebo AS. Naopak pro statistickou a
citlivostní analýzu složitých, časově náročných problémů se hodí metoda LHS případně ULHS. Pokud je to
možné, je vhodné dát přednost kvalitnější metodě ULHS před LHS. Je-li vzhledem ke složitosti problému nutné
metodami LHS a ULHS provést i pravděpodobnostní analýzu poruchy konstrukce, nedoporučuje se vyčíslovat
přímo pravděpodobnost poruchy, ale použít pro kvantifikaci spolehlivosti index spolehlivosti b daný přibližným
vztahem
β=
mF − f lim
;
sF
[-]
(7.21)
kde mF a sF jsou střední hodnota respektive směrodatná odchylka získané s vysokou přesností a
spolehlivostí ze statistické analýzy a flim je daná mez, pravděpodobnost jejíhož překročení či podkročení
určujeme. Odhad příslušné pravděpodobnosti poruchy je poté možné získat ze vztahu 7.18.
7.4.1. Metoda Monte Carlo (MC)
Metoda MC je experimentální numerická metoda, která řeší danou úlohu experimentováním se
stochastickým
modelem,
v němž
se
využívá
vzájemného
vztahu
mezi
hledanými
veličinami
a
pravděpodobnostmi, se kterými nastanou určité jevy. Metodou MC se řeší například některé soustavy lineárních
rovnic, výpočty vícerozměrných integrálů, funkcionální rovnice apod. Chyba metody je úměrná výrazu (D/N)1/2,
kde D je jistá konstanta a N je počet simulovaných pokusů.
V technické praxi se při řešení problémů často realizuje velké množství simulací. Například pro zjištění
statistických parametrů funkčních hodnot stochastických modelů jsou potřeba řádově tisíce simulací. Pokud však
chceme přímou metodu MC použít k odhadu pravděpodobnosti vzniku poruchy, která je obvykle velmi malá
(viz. tabulka 7.1), musíme provádět velké množství simulací, řádově statisíce až milióny.
72
Metoda je založena na náhodném výběru vstupních veličin qij podle typu jejich rozdělení tak, že
pravděpodobnost jednotlivých realizací musí být stejná. Generace vstupních hodnot se provádí pomocí
generátorů pseudonáhodných čísel a uplatňuje se varianta rovnoměrného rozdělení pseudonáhodných čísel na
intervalu 0,1 . Pro každý náhodně vybraný vzorek qijk je spočtena odezva Fk a se souborem všech realizací
odezvy Fk lze potom operovat jako s jakýmkoliv souborem dat, tedy vyhodnotit statistické parametry, provést
citlivostní analýzu a případně vyhodnotit typ rozdělení.
7.4.2. Metoda Latin Hypercube Sampling (LHS)
Metoda LHS poskytuje ve srovnání s jednoduchou metodou MC velmi dobré odhady střední hodnoty,
směrodatné odchylky, šikmosti a špičatosti distribuční funkce při mnohem menším počtu simulací. Výpočet
konkrétní realizace vektoru vstupních veličin qij; kde j=1…N a N je počet simulací, je založen na následující
strategii [43].
Mějme realizaci vektoru náhodných vstupních veličin qij = q1 j , q2 j ...qkj , kde k je počet vstupních veličin.
Označíme-li hodnotu odezvy jako F, můžeme zapsat F=f(qij), kde význam operátoru f( . ) je stejný jako ve
vztahu 7.20.
Obr. 7.2 Schéma výběru vstupních veličin metodou LHS
Uvažujme distribuční funkci F(qi ) libovolné náhodné vstupní veličiny. Rozdělíme interval platnosti
distribuční funkce Φ( qi ) ∈ 0,1 na N dílků na svislé ose. Potom dle obrázku 7.2. odpovídá hodnotě distribuční
funkce v polovině j-té vrstvy hodnota qij náhodné veličiny qi. Dále vygenerujeme N pseudonáhodných čísel
z intervalu 0,1 a každé j-té vrstvě tak přísluší jedno vygenerované pseudonáhodné číslo. Seřazením těchto čísel
podle velikosti určíme požadovanou permutaci čísel 1,2…N. Protože středu každé vrstvy odpovídá konkrétní
hodnota na vodorovné ose qi, vygenerovali jsme také N konkrétních realizací náhodné veličiny qi. Opakováním
postupu u ostatních náhodných veličin dostaneme N konkrétních realizací vstupních veličin.
N-krát opakovaným řešením vztahu 7.20 dostáváme podobně jako u metody MC výstupní statistický
soubor konkrétních realizací výstupní náhodné veličiny F, u kterého lze dále vyhodnotit střední hodnoty,
73
směrodatné odchylky či další statistické momenty. S využitím např. Pearsonova testu dobré shody lze zvolit
vhodnou aproximační funkci rozdělení pravděpodobnosti veličiny F a stanovit odhad teoretické
pravděpodobnosti poruchy dle vztahu 7.21.
7.4.3. Metoda Updated Latin Hypercube Sampling (ULHS)
Zdokonalenou variantou metody LHS je metoda ULHS, viz např. [44]. Zlepšení spočívá v minimalizaci
nechtěné statistické závislosti mezi vstupními náhodnými veličinami.
Pro každou vstupní veličinu qj; j=1…N se generuje N náhodných čísel R k(1), … Rk(N) rovnoměrně
rozdělených na intervalu 0,1 . Pořadí n-té hledané vrstvy se určí jako počet všech čísel Rk(j) < R k(n) zvětšených o
jedničku. Tak se vytvoří následující přiřazení:
náhodná čísla:
Rk(1), … Rk(N)
pořadí:
ck(1), … ck(N) pro k=1,2…N
Soustava přirozených čísel ck(1), … ck(N) tvoří náhodnou permutaci, podle níž se v jednotlivých bězích
(výpočtech, simulacích) vybírají realizace prvků q j tak, že k číslu vrstvy ck(n) se najde podle obr. 7.2. hodnota qi,j.
Pro lepší orientaci slouží tabulka 7.2. náhodných permutací.
Tab. 7.2. Tabulka náhodných permutací
simulace
č.
q1
1
c1
(1)
2
c1
(2)
n
c1(n)
N
c1
(N)
q2
c2
(1)
c2
(2)
náhodná veličina:
qi
qj
c2(n)
c2
ci
(1)
ci
(2)
ci(n)
(N)
ci
(N)
qK
cj
(1)
ck
(1)
cj
(2)
ck
(2)
cj(n)
cj
(N)
ck(n)
ck
(N)
Předpokládáme-li, že jednotlivé vstupní veličiny jsou navzájem nezávislé, musí být nezávislé i statistické
soubory tvořící sloupce v tabulce 7.2. Zda tabulka skutečně splňuje předpoklady statistické nezávislosti, se
můžeme přesvědčit např. pomocí Spearmanových koeficientů pořadové korelace. Pokud je koeficient korelace
mezi jednotlivými sloupci menší než předem zadaná dostatečně malá hodnota e max (tj. korelační matice T
příslušná k tabulce 7.2. musí být za předpokladu statistické nezávislosti dostatečně blízká jednotkové matici),
tabulka je přijata. V opačném případě se generuje nová tabulka a postup se opakuje.
Pro potřeby této práce byl vytvořen jednoduchý program v systému FAMULUS, jehož zdrojový kód je
uveden v příloze 2 této práce. Program generuje právě takovou tabulku náhodných permutací přirozených čísel
1,2…N, jak je popsáno v předchozím odstavci.
V radě případů je mezi vstupními veličinami zřetelná statistická závislost (např. mezi pevností a tuhostí
materiálu). V bezrozměrném tvaru se tato závislost zadává pomocí korelační matice R příslušné k vektoru
vstupních veličin qi,j. Stejnou korelační matici by potom měl mít i vektor c={c1,c2…cN}, jehož prvky jsou
reprezentovány statistickými soubory ck(n) uvedenými po sloupcích v tabulce 7.2. Při náhodném generování
bude korelační matice T příslušná k tabulce odlišná od zadané matice R a tabulku je proto třeba modifikovat.
74
Pouhé opakování náhodné generace celé tabulky a následné ověřování, zda nově vygenerovaná tabulka není
dostačující, je velmi zdlouhavé a neefektivní. Proto se doporučuje tabulku přetransformovat na matici H s prvky
 c (n) 
hk( n ) = G −1  k  ;
 N + 1
[-]
(7.22)
kde G je distribuční funkce standardního normálního rozdělení. Matice H má stejné pořadí prvků jako
tabulka, je však určeno jen velikostí číselných hodnot. Tabulka i matice H tudíž mají i stejnou korelační matici.
Využije-li se rozkladu zadané korelační matice R a aktuální matice korelačních koeficientů T na součin
T
R = B.B
T
-T
T = Q.Q ;
kde B i Q jsou dolní trojúhelníkové matice, potom transformace H*=H.Q
povede
k přibližně jednotkové korelační matici a následná transformace
T
-T
T
H**=H*.B =H.Q .B ;
[-]
(7.23)
poskytne matici, jejíž korelační matice bude blízká zadané matici R. Postup lze opakovat, až je dosaženo
uspokojivého výsledku. Nakonec se vyjádří pořadí v tabulce 7.2. pomocí přirozených čísel.
Tento postup lze využít jak k odstranění nežádoucích závislostí mezi vstupními veličinami, tak i
k nastavení velikosti případných závislostí.
7.5. Řešený ilustrativní příklad
Ve skladové hale je požadována průmyslová betonová podlaha uložená přímo na podloží. Základní
modulový systém sloupů haly je navržen v rastru 6,0x10,0m a předpokládá se, že hala bude klimatizována.
Ekonomickou analýzou různých materiálových variant byla jako nejvýhodnější zvolena podlaha železobetonová.
Velikost jednotlivých smršťovacích celků podlahy je navržena 6,0x10,0m a tloušťka podlahy h=200mm.
Výpočtový model lze idealizovat jako výsek podlahy šířky 1,0m a délky 10,0m (obr. 7.3).
Obr. 7.3 Výpočtové schéma konstrukce
Analýzou vnitřního uspořádání haly bylo stanoveno zatížení charakteristického smršťovacího celku
podlahy. Ve vzdálenosti 2,5m od levého okraje působí plošné pásové zatížení maximální intenzity
qmax=40kN/m´, šířky 1,5m a reprezentující např. dvě řady palet se zbožím. Ve vzdálenosti 2,5m a 4,0m od
75
pravého okraje působí břemena reprezentující např. linii stojek regálových stojanů. Jejich maximální velikost
dosahuje hodnoty Fmax =50kN a minimální hodnoty Fmin =10kN. Z hlediska nahodilosti těchto zatížení lze
uvažovat, že jakákoliv hodnota z intervalu
´
0;40,0 kN/m pro q a
10,0;50,0 kN pro F má stejnou
pravděpodobnost výskytu. Jedná se tedy o veličiny s obdélníkovým rovnoměrným rozdělením hustoty
pravděpodobnosti.
Kromě užitných zatížení je podlaha dále zatížena vlastní tíhou a nerovnoměrnou změnou teploty. Jelikož
bude hala klimatizována, budou se v průběhu užívání haly měnit teploty horního povrchu podlahy jen málo, pro
výpočet se uvažuje normální rozdělení se směrodatnou odchylkou 5°C.
K dalším parametrům vstupujícím do výpočtu patří modul pružnosti betonu E c, tloušťka podlahové desky
h a modul reakce podloží k. Modul pružnosti betonu včetně jeho směrodatné odchylky lze stanovit z norem a pro
beton s krychelnou pevností 30MPa je střední hodnota modulu pružnosti rovna 30GPa a příslušná směrodatná
odchylka je 1,5GPa.
Určení typu rozdělení a směrodatné odchylky pro tloušťku podlahy a pro modul reakce podloží není
nikterak snadné. Neexistuje totiž dostatek měřených dat, podle kterých by se na typ rozdělení a především
rozptyl hodnot dalo usuzovat. Lze ale předpokládat, že „dostatečně správné“ bude normální rozdělení těchto
veličin. Na směrodatnou odchylku tloušťky podlahy je možné hledět též jako na přesnost, se kterou musí být
deska provedena. Z kapitoly 3.8 vyplývá, že u desky tloušťky 200mm by měla být přesnost provedení ±15mm.
Při troše nadsázky lze tuto hodnotu považovat i za směrodatnou odchylku. Největší neznámou se velikost
směrodatné odchylky modulu reakce podloží. Jelikož se jedná o běžné štěrkopískové podloží se střední hodnotou
modulu reakce 30,0MPa/m a jelikož lze u charakteristiky podloží očekávat relativně velké rozdíly v kvalitě, je
pro tento výpočet uvažován variační koeficient modulu reakce podloží o velikosti 0,2, tedy směrodatná odchylka
6,0MPa/m.
Náhodné vstupní hodnoty uvažovaná v tomto příkladu jsou shrnuty v následující tabulce 7.3.
Tab. 7.3. Statistické parametry vstupních veličin
Veličina
Modul pružnosti betonu C25/30
Tloušťka podlahové desky
Modul reakce podloží
Zatížení nerovn. změnou teploty
Zatížení plošné, pásové
Zatížení břemenem
symbol
Ec
h
k
(T-T0)
q
F
jednotka
[GPa]
[m]
[MPa/m]
[K,°C]
2
[kN/m ]
[kN]
typ
střední
rozdělení hodnota
m
normální
normální
normální
normální
rectang.
rectang.
30,00
0,20
30,00
0,00
20,00
30,00
směrodatná variační
odchylka
koeficient
s
w
1,50
0,015
6,00
5,00
11,55
11,55
0,050
0,075
0,200
0,577
0,385
Vlastní model a výpočet konstrukce je proveden programem FEAT98, který umožňuje postihnout
nelineární chování podloží užitím iteračního postupu Newton-Raphsonovou metodou. Aby bylo možné sledovat
chování okrajů podlahy i při nadzvedávání, musí být na styku podlahy s podložím vyloučeno tahové namáhání.
Modul reakce podloží je proto roven hodnotě uvedené v tabulce 7.3. v případě deformace směrem dolů a je
roven nule při nadzvednutí (obr. 7.4).
76
Obr. 7.4 Modul reakce podloží
Model podlahy je rozdělen celkem na 100 prvků délky 0,1m. Pro simulaci náhodného chování vstupních
veličin je použita metoda ULHS a je nastavena tak, že počet provedených simulací N=10 je roven počtu vrstev
metody ULHS.
7.5.1 Postup výpočtu konstrukce metodou ULHS
Vlastní výpočet konstrukce lze rozdělit do několika kroků:
1) Určení požadovaných lineárních závislostí mezi vstupními veličinami pomocí korelační matice R
vstupních veličin. V našem případě jsou všechny vstupní parametry nezávislé, proto je matice R jednotková (viz
tab. 7.4). O nezávislosti plošného užitného zatížení a osamělých břemen by však mohla být vedena polemika,
neboť určitou závislost by mezi nimi bylo možné zavést. Když se jedno z těchto zatížení bude blížit např. své
minimální hodnotě, tzn. že hala je v této části zcela vyskladněna, bude nejspíše vyskladněna i o kousek vedle a i
druhé z těchto zatížení se bude blížit minimální hodnotě. Avšak pravidlo to být nemusí a pro výpočet je tedy
uvážena pouze jednotková korelační matice.
Tab. 7.4. Požadovaná korelační matice vstupních veličin R
NPE
NPh
NPk
NPE
NPh
NPk
NPT
NPq
NPF
1,000
0,000
1,000
0,000
0,000
1,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
1,000
0,000
1,000
0,000
0,000
1,000
NPT
NPq
NPF
symetrie
2) Vygenerování náhodných permutací pro „zamíchání“ vstupních veličin do náhodného souboru.
Generování je provedeno algoritmem popsaným v kapitole 7.4.3. V našem případě jsou pro 10 vrstev vstupních
veličin metody ULHS a 6 náhodných veličin vygenerovány následující permutace (tab. 7.5).
Tab. 7.5. Náhodné permutace pořadí vstupních veličin
NPE
NPh
NPk
NPT
NPq
NPF
9
8
9
4
10
9
77
10
2
5
4
7
3
1
6
8
3
1
10
5
4
9
6
2
7
2
6
5
4
3
1
8
7
10
3
8
9
1
6
7
2
10
5
8
9
6
2
3
5
7
4
1
2
3
5
6
10
4
7
8
1
Příslušná matice Spearmanový koeficientů náhodných permutací má pro tento případ následující podobu
(tab. 7.6).
Tab. 7.6. Matice Spearmanových koeficientů
Matice Spearmanových koeficientů náhodných permutací vstupních veličin mimodiagonální prvky ~ 0, veličiny jsou skoro lineárně nezávislé:
NPE
NPE
NPh
NPk
NPT
NPq
NPF
1,000
0,006
0,067
-0,079
-0,018
-0,018
1,000
0,055
-0,055
-0,067
-0,006
1,000
-0,030
0,042
0,067
1,000
0,018
0,018
1,000
0,055
NPh
NPk
NPT
NPq
symetrie
NPF
1,000
Je zřejmé, že všechny mimodiagonální prvky matice se svou hodnotou blíží k nule a tudíž jsou
vygenerovány téměř nezávislé permutace.
3) Rozdělení vstupních hodnot podle pravděpodobnosti jejich výskytu do jednotlivých vrstev metody
ULHS. V našem případě je vrstev N=10, střed první vrstvy má proto pravděpodobnost 0,5/N=0,5/10 a
pravděpodobnost středů dalších vrstev se zvyšuje po 1/N=1/10.Dle typu rozdělení jsou potom ke každé
pravděpodobnosti výskytu přiřazeny konkrétní realizace vstupních veličin. Tabulka náhodných permutací udává,
v jakém pořadí jsou jednotlivé hodnoty zavedeny do výpočtu. Například hodnota modulu pružnosti Ec=27,5MPa
bude použita v 9. simulaci, hodnota Ec=28,4MPa v 10. simulaci, hodnota h=0,175m v 8. simulaci atd (viz tab.
7.7).
Tab. 7.7. Hodnoty vstupních veličin a jejich pořadí do výpočtu
Počet simulací = počtu vrstev metody ULHS = N = 10
Pravděpodobnost Ecm NPE
střední hodnoty [MPa]
h
[m]
NPh
k
NPk T - T0 NPT
q
NPq F NPF
[MPa/m]
[K-1]
[kN/m2]
[kN]
1
0,05
27,5
9
0,175
8
20,1
9
-8,22
4
2,0
10
12,0
9
2
0,15
28,4
10 0,184
3
23,8
2
-5,18
3
6,0
8
16,0
2
3
0,25
29,0
2
1
26,0
6
-3,37
8
10,0
9
20,0
3
0,190
78
4
0,35
29,4
5
0,194 10
27,7
5
-1,93
9
14,0
6
24,0
5
5
0,45
29,8
4
0,198
5
29,2
4
-0,63
1
18,0
2
28,0
6
6
0,55
30,2
7
0,202
4
30,8
3
0,63
6
22,0
3
32,0
10
7
0,65
30,6
3
0,206
9
32,3
1
1,93
7
26,0
5
36,0
4
8
0,75
31,0
1
0,210
6
34,0
8
3,37
2
30,0
7
40,0
7
9
0,85
31,6
6
0,216
2
36,2
7
5,18
10
34,0
4
44,0
8
10
0,95
32,5
8
0,225
7
39,9
10
8,22
5
38,0
1
48,0
1
NP - náhodná permutace jednotlivých veličin udávající, ve kterém běhu programu
bude daná hodnota použita.
4) Setřídění vstupních veličin pro jednotlivé simulace (tab. 7.8).
Tab. 7.8. Hodnoty vstupních veličin setříděné pro jednotlivé simulace
Simulace
č.
1
Ecm
[MPa]
31,0
h
[m]
0,190
k
[MPa/m]
32,3
T - T0
-1
[K ]
-0,63
q
2
[kN/m ]
38,0
F
[kN]
48,0
2
29,0
0,216
23,8
3,37
18,0
16,0
3
30,6
0,184
30,8
-5,18
22,0
20,0
4
29,8
0,202
29,2
-8,22
34,0
36,0
5
29,4
0,198
27,7
8,22
26,0
24,0
6
31,6
0,210
26,0
0,63
14,0
28,0
7
30,2
0,225
36,2
1,93
30,0
40,0
8
32,5
0,175
34,0
-3,37
6,0
44,0
9
27,5
0,206
20,1
-1,93
10,0
12,0
10
28,4
0,194
39,9
5,18
2,0
32,0
5) Opakování výpočtu vždy s pozměněnými vstupními hodnotami a zápis sledovaných výsledků.
V našem případě je sledován průběh ohybových momentů mk, napětí v krajních vláknech desky s, průhybů s a
délky nadzvednutí okrajových částí desky L l a Lp. Výsledky jednotlivých výpočtů jsou zaznamenány
v následující tabulce (tab. 7.9) a grafech (obr. 7.5 až 7.7).
Tab. 7.9. Výsledky jednotlivých simulací
Obr. 7.5 Průběhy ohybových momentů
Obr. 7.6 Průběhy pružných napětí v krajních vláknech
Obr. 7.7 Průběhy sedání
6) Výpočet korelačních koeficientů mezi jednotlivými vstupními veličinami a sledovanými výsledky.
Například pro výpočet korelačního koeficientu mezi sednutím v bodě x=1,0m a modulem pružnosti betonu Ec se
použijí hodnoty modulu pružnosti z 2. sloupce tabulky 7.8 a hodnoty výsledných sednutí bodu vzdáleného 1,0m
od levého okraje desky uvedené v 1. sloupci následující tabulky. Ostatní korelační koeficienty se určí obdobně.
79
80
Příloha 1 – Podrobnější pohled na smršťování podlahových desek od vysýchání
Důležitým činitelem ovlivňujícím namáhání betonové podlahy je její volná vlhkost. Vedle volné vlhkosti
je v betonu též vlhkost chemicky vázaná, která se však na objemových změnách nepodílí. Přibližně lze uvažovat,
že dvě pětiny celkového obsahu vlhkosti v betonu tvoří vlhkost vázaná a zbytek tvoří vlhkost volná H.
Po vybetonování podlahy je vlhkost betonu H = 100% ve všech místech konstrukce. Postupně však v
místech kontaktu konstrukce s ovzduším dochází k vysýchání a vyrovnávání vlhkosti konstrukce a vzduchu.
Tento proces je výrazně nelineární a dlouhodobý. Časový průběh vlhkosti v betonu lze modelovat jako difúzní
proces, který je popsán parciální diferenciální rovnicí
∂H ∂ 
∂H 
= * C ( H , t )
∂t ∂z 
∂z 
(P.1)
kde H je hledaná vlhkost v čase t a hloubce desky z. Difuzivita betonu C(H,t) je výrazně závislá na
okamžité hodnotě vlhkosti a na čase. Časový průběh vysýchání betonových prvků a řešení jejich následné
napjatosti lze modelovat pomocí numerického programu HUTEM. Podrobnější popis tohoto programu a teorie
na níž je založen lze nalézt např. v [37].
Hydroizolace a smršťování podlahy od vysýchání
Dále jsou uvedeny výsledky porovnávacího výpočtu časového průběhu vysýchání betonové nevyztužené
desky tloušťky 150mm. V případě, že pod betonovou deskou je hydroizolační vrstva, nemůže docházet k
volnému vysýchání na spodní straně a vlhkost ze spodní části desky uniká jako poslední. Na obr. P.1 je typický
průběh nerovnoměrného vysýchání této betonové desky. Na počátku vysýchání byla vlhkost v celé tloušťce
desky 100%, následně se vlhkost při horním povrchu během prvních 14 dnů lineárně snížila na hodnotu 60% a
dále se předpokládalo stálé udržování této vlhkosti. Pevnost betonu v tahu byla uvažována hodnotou 3,0 MPa.
Při smršťování horních vrstev desky dochází ke vzniku tahových napětí, která dosahují pevnosti betonu
v tahu a k následnému vzniku trhlin.
V konečných fázích postupného vysychání desky je již gradient vlhkosti u horního povrchu malý a deska
se zde prakticky nesmršťuje. Naopak při spodním povrchu těsně nad izolací může ještě dojít k úbytkům vlhkosti
a tedy i ke smrštění. Nastává tedy opačný proces nežli na počátku vysychání, okraje desky se ohýbají zpět dolů a
tahová napětí se přemísťují do spodních vrstev podlahové desky. Typický průběh napětí v čase po tloušťce desky
způsobený smršťováním od vysychání je znázorněn na obr. P.2.
V místech, kde došlo k nadzvednutí okrajů a rohů desek, by mohla vlhkost omezeně unikat i při spodním
povrchu. Proto v dalším případě byla uvažována deska uložená na podloží umožňujícím únik vlhkosti. Tento
únik vlhkosti nebývá tak intenzívní jako při horním povrchu, dochází ale k současnému přetváření vrstev desky
při horním i dolním povrchu a výsledná deformace podlahové desky jako celku se tedy oproti jednostrannému
vysýchání sníží.
Uvážíme-li stejný model desky jako v případě jednostranného vysýchání, ale s tím rozdílem, že se sníží i
vlhkost na rozhraní desky a izolační fólie ze 100% na 80%, obdržíme časový vývoj vlhkosti znázorněný na obr.
P.3. Tomuto průběhu vysýchání odpovídá časový průběh napětí znázorněný na obr. P.4.
Je zřejmé, že v ranných fázích vysýchání vznikají při obou površích desky tahová napětí, která jsou
kompenzována tlakovým napětím ve středu desky. Po uplynutí 14 dnů již deska při površích nevysýchá a
81
vysýchá potom pouze uprostřed. Tahová namáhání se postupně přemísťují do středu desky a při obou površích
začínají vznikat tlaková napětí. Poznamenejme, že tahové napětí vznikající ve středu desky je poměrně malé a
v našem případě nepřekračuje pevnost betonu v tahu.
Existuje ještě jeden způsob izolování betonové podlahy a to zabráněním vysýchání při obou površích.
V tom případě je pod podlahou umístěna hydroizolační vrstva a na povrch podlahy je aplikována vrstva
vodonepropustného materiálu. Dojde tak k uzavření betonové desky, vysýchání prakticky neprobíhá a průběh
tvrdnutí je velmi podobný průběhu tvrdnutí betonu umístěného pod vodou. Pokud je horní vrstva nepropustná,
může někdy dojít ke vzniku „puchýřů“ v důsledku zabránění unikání vlhkosti z betonu.
Obr. P.1 Vysýchání desky tl. 150mm
Obr. P.2 Napětí od vysýchání
Obr. P.3 Vysýchání desky tl. 150mm
Obr. P.3 Napětí od vysýchání
82
Příloha 2 – Výpis programu pro generování náhodných permutací vstupních veličin pro ULHS
Algoritmus pro generaci permutací posloupností náhodných čisel
linearne zavislych dle pozadovane korelacni matice.
Copy right Ing. Petr Žalský
9.11.2003
- - - - - - - - - proměnné‚, konstanty, procedury a funkce - - - - - - USES LINALG
!...pouzita knihovna pro linearni algebru
N=6
!...pocet nahodnych promennych
I=10
!...pocet simulaci
MOSKK=0.08
!...max. odchylka Spearmanova korelacniho
!...koeficientu vuci pozadovanemu
PROCEDURE Choleski_Decomp(INT N,REAL A[,], VAR L[,])
!**********************************************************************
!***Procedura vypocte dolní trujuhelnikovou matici L[,] ze symetricke**
!***pozitivne definitni matice A[,] Choleskeho metodou odmocnin.*******
!**********************************************************************
INT r,s,i
REAL suma1, suma2
BEGIN
FOR r=1 TO N DO
FOR s=1 TO N DO L[r,s]=0 END
END
FOR r=1 TO N DO
suma1=0
FOR s=1 TO r-1 DO
suma1=suma1+L[r,s]^2
END
L[r,r]=(A[r,r]-suma1)^0.5
FOR i=r+1 TO N DO
suma2=0
FOR s=1 TO r-1 DO
suma2=suma2+L[r,s]*L[i,s]
END
L[i,r]=(A[i,r]-suma2)/L[r,r]
L[r,i]=0
END
END
END
PROCEDURE TransMat(A[i=iMin TO iMax,j=jMin TO jMax],
AT[ii=iiMin TO iiMax,jj=jjMin TO jjMax])
!**************************************************************
!***Procedura provede transpozici matice A[i,j] na AT[j,i]*****
!**************************************************************
BEGIN
FOR ALL i DO FOR ALL j DO AT[j,i]=A[i,j] END END
END
FUNCTION Korelace(x[i=iMin TO iMax],y[])
!...funkce spocita soucinitel korelace vektoru x[] a y[]
REAL a,b,c,d,e
INTEGER N
BEGIN
N=iMax-iMin+1
a=0; b=0; c=0; d=0; e=0
83
FOR ALL i DO
a=a+x[i]*y[i]
b=b+x[i]
c=c+y[i]
d=d+x[i]*x[i]
e=e+y[i]*y[i]
END
Korelace=(N*a-b*c)/(((N*d-b^2)^0.5)*((N*e-c^2)^0.5))
END
PROCEDURE Korel_Mat(M[i=iMin TO iMax,n=nMin TO nMax],
KM[j=jMin TO jMax,k=kMin TO kMax])
!*******************************************************************
!***Procedura vypocte ctvercovou matici soucinitelu korelace KM[,]**
!***ze vstupni matice M[,], matice M[,] zustane beze zmeny.*********
!*******************************************************************
REAL X[i],Y[i]
BEGIN
FOR ALL j DO
FOR ALL k DO
FOR ALL i DO
X[i]=M[i,j]
Y[i]=M[i,k]
END
KM[k,j]=Korelace(X[],Y[])
END
END
END
FUNCTION SPEARMAN(INT I,x[],y[])
!...funkce vypocte Spearmanuv koef. poradove korelace vektoru x[] a y[]
REAL SOUCET
INTEGER F
BEGIN
SOUCET=0
FOR F=1 TO I DO SOUCET=SOUCET+(x[F]-y[F])*(x[F]-y[F]) END
SPEARMAN=1-6*SOUCET/(I*(I-1)*(I+1))
END
PROCEDURE SPEARM_KOREL_MAT(VAR REAL SKM[,], INT N,I,M[,])
!**********************************************************************
!***Procedura vypocte matici SKM[,] Spearmanovych koef. poradove*******
!***korelace pro matici M[,]. M[,] zustava nezmenena.******************
!**********************************************************************
INTEGER AA,BB,CC,X[1 TO I],Y[1 TO I]
BEGIN
FOR AA=1 TO N DO
FOR BB=1 TO N DO
FOR CC=1 TO I DO
X[CC]=M[CC,AA]
Y[CC]=M[CC,BB]
END
SKM[AA,BB]=SPEARMAN(I,X[],Y[])
END
END
END
84
PROCEDURE SORT(Pole[a=aMin TO aMax],INT Indexy[])
!************************************************************
!***Procedura do pole Indexy[] vlozi poradi prvku ulozenych**
!***v poli Pole[]. Pole[] zustane beze zmeny.****************
!************************************************************
INT I,i,j,index
BEGIN
I=aMax-aMin+1
FOR i=1 TO I DO
index=1
FOR j=1 TO I DO IF Pole[j]<Pole[i] THEN index=index+1 END END
Indexy[i]=index
END
END
PROCEDURE Cisla(VAR MT[i=iMin TO iMax,n=nMin TO nMax])
!******************************************************************
!***Procedura generuje vychozi matice MT[I,N] nahodnych cisel z****
!***intervalu (0,1).***********************************************
BEGIN
FOR ALL i DO FOR ALL n DO MT[i,n]=rnd() END END
END
PROCEDURE Pozadovana_Korel_Mat(K[i=iMin TO iMax,j=jMin TO jMax])
!...Procedura nastavi prvky pozadovane korelacni matice K[i,i]
BEGIN
!...nejprve se tvori jednotkova korelacni matice
FOR ALL i DO FOR ALL j DO K[i,j]=0 END
K[i,i]=1
END
!...a dale se meni pozadovane mimodiagonalni prvky
K[3,2]=0.5
K[2,3]=0.5
END
PROCEDURE Porovnej_Korel_Mat(MAX,K[i=iMin TO iMax,j=jMin TO jMax],
KM[k=kMin TO kMax,l=lMin TO lMax],
VAR BOOLEAN VYHOVUJE)
REAL nejvetsi
BEGIN
nejvetsi=0
FOR ALL i DO
FOR ALL j DO
IF abs(K[i,j]-KM[i,j])>nejvetsi THEN nejvetsi=abs(K[i,j]-KM[i,j]) END
END
END
IF nejvetsi>MAX THEN VYHOVUJE=FALSE ELSE VYHOVUJE=TRUE END
END
PROCEDURE Porovnej_Spearm_Mat(VAR MAX,K[i=iMin TO iMax,j=jMin TO jMax],
SKM[k=kMin TO kMax,l=lMin TO lMax])
REAL nejvetsi
BEGIN
nejvetsi=0
FOR ALL i DO
FOR ALL j DO
IF abs(K[i,j]-SKM[i,j])>nejvetsi THEN nejvetsi=abs(K[i,j]-SKM[i,j]) END
85
END
END
MAX=nejvetsi
END
PROCEDURE Hledane_permutace(INT I,N, REAL MOSKK)
!**************************************************
!...Vykonna procedura hledajici vhodnou permutaci**
!**************************************************
!...deklarace promennych
REAL MAX=0.01
!...maximalni odchylka od pozadovane korelacni matice
REAL SKOROJEDNA=0.999
INT pocet,pocet1,ii,jj,index[1 TO I]
INT MaxPocetCyklu=10000
BOOLEAN VYHOVUJE
REAL MMM,NOVY
REAL
K[1 TO N,1 TO N]
!...pozadovana korelacni matice
REAL
B[1 TO N,1 TO N]
REAL
TB[1 TO N,1 TO N]
REAL
Q[1 TO N,1 TO N]
REAL
IQ[1 TO N,1 TO N]
REAL
TIQ[1 TO N,1 TO N]
REAL
TM[1 TO I,1 TO N]
!...matice nahodnych cisel
REAL
KM[1 TO N,1 TO N]
!...korelacni matice
REAL
C1[1 TO I,1 TO N]
REAL
Pole[1 TO I]
REAL
SKM[1 TO N,1 TO N]
!...Spearmanova korelacni matice
INT
Permutace[1 TO I,1 TO N],PermutaceV[1 TO I,1 TO N]
BEGIN
Pozadovana_Korel_Mat(K[,])
!...pozadovana korelacni matice K[,]
WRITELN "Pozadovana korelacni matice K[N,N]:"
WRITE TAB K[,]:6:3
WRITELN
Choleski_Decomp(N,K[,],B[,]) !...dekompozice K[,] na dolni trojuh. B[,]
TransMat(B[,],TB[,])
!...transpozice B[,] na horni trojuh. TB[,]
MMM=1; pocet=0
LOOP
pocet=pocet+1
Cisla(TM[,])
!...generuje matici nahodnych cisel
VYHOVUJE=FALSE;
pocet1=0
WHILE (VYHOVUJE=FALSE) AND 50>pocet1 DO
pocet1=pocet1+1
Korel_Mat(TM[,],KM[,])
FOR ii=1 TO N DO
FOR jj=ii+1 TO N DO
IF abs(KM[jj,ii])>SKOROJEDNA THEN pocet1=pocet1+50 END
END
END
Porovnej_Korel_Mat(MAX,K[,],KM[,],VYHOVUJE)
IF (VYHOVUJE=TRUE) OR pocet1>50 THEN VYHOVUJE=TRUE
!...Timto se ukonci cyklus WHILE protoze bud je dosazeno
!...pozadovane presnosti korelacni matice nebo reseni
!nekonverguje.
ELSE
Choleski_Decomp(N,KM[,],Q[,])
InvMat(Q[,],IQ[,])
TransMat(IQ[,],TIQ[,])
MultMat(TM[,],TIQ[,],C1[,])
86
MultMat(C1[,],TB[,],TM[,])
END
END
!...konec cyklu WHILE
FOR ii=1 TO N DO
FOR jj=1 TO I DO Pole[jj]=TM[jj,ii] END
SORT(Pole[],index[])
FOR jj=1 TO I DO Permutace[jj,ii]=index[jj] END
END
SPEARM_KOREL_MAT(SKM[,],N,I,Permutace[,])
Porovnej_Spearm_Mat(NOVY,K[,],SKM[,])
IF MMM>NOVY THEN
MMM=NOVY
FOR ii=1 TO I DO
FOR jj=1 TO N DO PermutaceV[ii,jj]=Permutace[ii,jj] END
END
END
WRITELN MMM:8:4,pocet
IF MOSKK>MMM OR pocet>MaxPocetCyklu THEN
!... vypis vysledku na obrazovku
WRITE MMM:8:4,pocet
WRITE "
PermutaceV[,]:"
WRITE TAB PermutaceV[,]:3
SPEARM_KOREL_MAT(SKM[,],N,I,PermutaceV[,])
WRITE "
Spearman SKM[,]:"
WRITE TAB SKM[,]:7:3
EXIT END
END
!...konec cyklu LOOP
END
!...telo programu
BEGIN
Hledane_permutace(I,N,MOSKK)
END
87