ěÍZENÍ TRŽNÍCH RIZIK POMOCÍ VALUE AT RISK – ÚSKALÍ A

(.2120,&.e52=+ď$'<(&2120,&5(9,(:
92/80(52ý1Ë.
Petr Strnad
ěÍZENÍ TRŽNÍCH RIZIK POMOCÍ VALUE AT RISK
– ÚSKALÍ A PROBLÉMY
Abstract: During the nineties, the Value at Risk indicator (VaR) evolved, without
any doubts, into the most frequently used comprehensive tool for evaluation of
market risks undertaken by banks and financial institutions. It aims to assess the
maximum probable loss on a portfolio of financial assets and liabilities incurred
due to the adverse movements of market rates. The great importance of Value at
Risk is witnessed by the fact that it may be used even for the calculation of capital
requirements within capital adequacy framework. The aim of this paper is to stress
the pitfalls linked to VaR usage. VaR fails to deliver the complete picture of market
risks; it is also liable to manipulations. Different VaR models lead to significantly
differing results and the usual methods do not reflect the risk of insufficient market
liquidity.
Key words: risk management, market risk, Value at Risk
JEL: G 1, G 21, G 32, E 44
Úvod
Podstata obchodování na finanþních a kapitálových trzích je stejná jako v pĜípadČ každého jiného podnikání – instituce musí pĜijmout urþitou míru rizika, bez níž
nemĤže dosáhnout zisku. Tuto nespornou pravdu potvrzuje i slavné první pravidlo
Ĝízení rizik, které na svých stránkách uvádí RiskMetrics a které zní: „There is no
reward without risk.“
Rizika je však nutné Ĝídit tak, aby nemohla ohrozit samotnou existenci firmy.
ěízení rizik nabývá obzvláštní dĤležitosti u bank a velkých finanþních institucí, jejichž pád by mohl ohrozit velký poþet (nejen) drobných vkladatelĤ a destabilizovat
platební systém i celou ekonomiku.
Vedle rizika kreditního a operaþního je pĜi obchodování na finanþních a kapitálových trzích klíþové zejména riziko nepĜíznivých pohybĤ tržních sazeb, nazývané
obecnČ rizikem tržním.
Standardem pro mČĜení a Ĝízení tržních rizik se v devadesátých letech stal beze
sporu ukazatel hodnoty v riziku (Value at Risk, VaR), jež kvantifikuje maximální
ztrátu, která nebude se zvolenou pravdČpodobností pĜekroþena v horizontu nČkolika
nejbližších dní. Pro podrobný popis Value at Risk viz napĜ. [24].
91
ISSN 0323-262X
,668(ýË6/2
(.2120,&.e52=+ď$'<(&2120,&5(9,(:
92/80(52ý1Ë.
O velkém významu VaRu svČdþí i fakt, že tuto metodu je možné používat mimo jiné i k výpoþtu kapitálových požadavkĤ k tržním rizikĤm pro úþely kapitálové
pĜimČĜenosti (viz [6]).
PĜestože Value at Risk je dnes základním stavebním kamenem systému Ĝízení
tržních rizik ve vČtšinČ finanþních institucí, je tĜeba si uvČdomit, že VaR není sám
o sobČ schopen podat úplný obraz tržních rizik. Cílem tohoto þlánku je tedy zdĤraznit právČ problémy spojené s používáním VaRu.
V první kapitole ukazujeme, že VaR nevypovídá nic o velikosti velmi málo pravdČpodobných ztrát, v nČkterých pĜípadech mĤže být umČle snižován þi obcházen, což
dokládá i druhá kapitola, která se zabývá subaditivitou rizikových ukazatelĤ.
TĜetí kapitola se zamČĜuje na skuteþnost, že VaR není vpĜed hledící, není tedy
schopen postihnout ty zmČny na finanþních trzích, které nejsou explicitnČ obsaženy
v historických datech.
ýtvrtá kapitola objasĖuje, že VaR podceĖuje celkové riziko, protože vĤbec neuvažuje náklady likvidace. Pátá kapitola zdĤrazĖuje, že VaR je statický (neuvažuje zmČny
portfolia) a nastiĖuje, jakým zpĤsobem je možné výpoþet VaRu „dynamizovat“.
Nejobsáhlejší je však šestá kapitola, která popisuje jednotlivé modely používané
pro výpoþet Value at Risk, navzájem je porovnává a zdĤrazĖuje jejich silné a slabé
stránky. ýlánek je zakonþen krátkým závČrem, který shrnuje a uzavírá celou práci.
Po nČm následuje již jen pĜehled použité literatury.
VaR necharakterizuje velmi málo pravdČpodobné ztráty
Velkou výhodou Value at Risk je fakt, že dává k dispozici jedno souhrnné þíslo
popisující míru vystavení portfolia tržním rizikĤm, což umožĖuje velmi jednoduchou
komunikaci podstupovaných rizik jak vĤþi akcionáĜĤm tak vĤþi managementu.
Na druhou stranu je však nutno zdĤraznit, že Value at Risk v žádném pĜípadČ
nepĜedstavuje maximální možnou ztrátu, ani neĜíká nic o velikostech ztrát, které
mohou nastat s nižší než zvolenou pravdČpodobností. Ty nejenže mohou VaR mnohonásobnČ pĜevyšovat, ale u dvou portfolií se stejným VaRem se mohou výraznČ
lišit. VaR spoþítaný na jedné zvolené hladinČ pravdČpodobnosti tedy neumí odlišit
dvČ portfolia s velmi rozdílným rizikovým profilem na nízkých hladinách pravdČpodobnosti. Proto je vhodné nesledovat VaR pouze na jedné hladinČ pravdČpodobnosti,
ale vyþíslovat potenciální ztráty na rĤznČ extrémních hladinách pravdČpodobnosti.
KvĤli tomu, že Value at Risk nevypovídá o „málo pravdČpodobných“ ztrátách,
neumí dobĜe podchytit riziko takových strategií, které s velkou pravdČpodobností vedou k malým ziskĤm a s velmi malou pravdČpodobností pak k obrovským ztrátám (aĢ
již se jedná napĜíklad o nČkteré opþní pozice nebo dlouhé pozice v kreditním riziku).
Pokud si obchodníci uvČdomují tento fakt, mohou VaR umČle snižovat a zakrývat skuteþné riziko portfolia - napĜíklad pomocí beznákladových opþních strategií,
v rámci nichž jsou prodávány opce s menší pravdČpodobností realizace než je hrani-
92
ISSN 0323-262X
,668(ýË6/2
(.2120,&.e52=+ď$'<(&2120,&5(9,(:
92/80(52ý1Ë.
ce pravdČpodobnosti pokrytá VaRem a naopak nakupovány opce s vyšší pravdČpodobností realizace.
Pokud obchodníci pĜesnČ znají i pĜedpoklady modelu pro výpoþet Value at
Risk1, mohou snadno zaujímat takové pozice, jejichž skuteþné riziko je výraznČ vČtší
než pĜedpovídá daný model. Pokud napĜíklad znají korelace mezi aktivy používané
pro výpoþet Value at Risk, mohou zaujmout takové pozice, které budou vykazovat
pomČrnČ nízký VaR, které však mohou vést k obrovským ztrátám pĜi zmČnČ korelací2. Tento fakt zĜejmČ hrál svoji roli i pĜi pádu LTCM, kdy stejné korelaþní matice
založené na pĜíliš krátkých þasových Ĝadách byly využívány jak k tvorbČ obchodní
strategie, tak k mČĜení rizik (viz [15]).
Výše popsané pĜíklady ukazují, že použití VaRu, který je vyþíslován jen na
jedné hladinČ pravdČpodobnosti a není doplnČn dalšími ukazateli, mĤže stimulovat
využívání velmi rizikových a nebezpeþných obchodních strategií. Jelikož podle
konceptu kapitálové pĜimČĜenosti (viz [6]) musí být3 minimálnČ trojnásobek 99-ti
procentního VaRu s horizontem deset pracovních dní pokryt vlastním kapitálem,
jsou to ve skuteþnosti právČ „málo pravdČpodobné ztráty“, které mohou ohrozit
existenci firmy.
VaR není subaditivní
Artzner, Delbaen, Eber a Heath (viz [2] a [3]) se zabývají otázkou, jaké vlastnosti by mČl splĖovat „dobrý“ rizikový ukazatel. Takový ukazatel nazývají koherentní a definují þtyĜi kritéria, která by mČl splĖovat.
Ukazují, že pokud zisky a ztráty z portfolia finanþních nástrojĤ nelze popsat
nČkterým z eliptických rozdČlení4, VaR nesplĖuje dĤležitou vlastnost nazývanou
subaditivita, která volnČ Ĝeþeno hovoĜí, že riziko portfolia lze omezit souþtem rizik
jeho subportfolií. VaR tedy není obecnČ koherentním rizikovým ukazatelem.
Jelikož VaR není subaditivní, lze v nČkterých pĜípadech jeho velikost umČle snižovat tak, že portfolio „vhodnČ“ rozdČlíme do subportfolií (dceĜinných spoleþností)
a jejich VaRy seþteme, þímž získáme nižší hodnotu než kdybychom vyþíslovali VaR
pĤvodního portfolia. To lze ukázat na jednoduchém pĜíkladu:
MČjme portfolio sto rĤzných dluhopisĤ, každý o nominální hodnotČ 100. Každý
dluhopis utrpí ztrátu celé nominální hodnoty v jiné situaci, pravdČpodobnost ztráty
je u každého dluhopisu jedno procento, s pravdČpodobností 99 % každý dluhopis vy1
2
3
4
Pro lepší pĜedstavu o tom, jak jednotlivé pozice pĜispívají do celkového Value at Risk slouží tzv.
Incremental VaR neboli IVaR, který udává, jak se zmenší þi zvČtší VaR v pĜípadČ pĜidání nové pozice
do portfolia.
Slabá místa jednotlivých modelĤ jsou podrobnČ vysvČtlena v kapitole Modely pro výpoþet VaRu. Zde
je také zmínČno, že korelace je pouze ukazatel lineární závislosti, pohyby tržních sazeb však ve skuteþnosti vykazují mnohem složitČjší než lineární závislosti (viz napĜ. [26]).
V pĜípadČ použití vlastních modelĤ.
Mezi nejznámČjší eliptická rozdČlení patĜí zejména normální a studentovo t-rozdČlení.
93
ISSN 0323-262X
,668(ýË6/2
(.2120,&.e52=+ď$'<(&2120,&5(9,(:
92/80(52ý1Ë.
dČlá úrok ve výši 1. Na hladinČ 95% pak celé portfolio mĤže utrpČt ztrátu maximálnČ
405, každý jednotlivý dluhopis však naopak s pravdČpodobností 95% nejen že nic
neztratí, dokonce vydČlá hodnotu jedna. Souþet VaRĤ spoþítaných zvlášĢ pro každý
dluhopis tedy významnČ podhodnocuje riziko celého portfolia.
Jelikož VaR nepodchycuje málo pravdČpodobné ztráty, odrazuje ve výše popsaném pĜípadČ také zcela nesmyslnČ od diverzifikace rizik – pozice v jednom dluhopisu se z pohledu VaRu jeví ménČ riziková než diverzifikovaná pozice ve sto rĤzných
dluhopisech.
Jako pĜíklady koherentních rizikových ukazatelĤ lze uvést Expected Tail Loss
(ETL) þi testování stresových scénáĜĤ. ETL navíc vypovídá o extrémních rizicích
více než VaR, proto ho nČkteĜí teoretici považují za lepší rizikový ukazatel.
VaR není vpĜed hledící
Jako každý model, je i ukazatel VaR založen na ĜadČ pĜedpokladĤ, které nemusí
být vždy realistické. Základním východiskem VaRu bývá pĜedpoklad, že pĜírĤstky
tržních sazeb v budoucnosti se budou chovat zhruba stejnČ jako v nedávné minulosti5.
To je pomČrnČ silný pĜedpoklad, neboĢ finanþní trhy se neustále mČní a vyvíjejí, pružnČ reagují na zmČny v mČnové a fiskální politice, informace o stavu ekonomiky þi
rĤzné krizové situace (teroristické útoky, války, ekologické katastrofy,…), postupující
globalizace a standardizace navíc zvyšuje jejich vzájemnou propojenost a závislost.
VaR, který je zpravidla založen výhradnČ na historických datech tak nebývá
schopen vþas odhadnout náhlé dramatické zmČny na finanþních trzích a zachytit
pĜíchod finanþní krize. Typickým pĜíkladem jsou mČnové krize, které vznikají když
se fixní kurz stane neudržitelným. Takovéto krize jsou z pohledu VaRu naprosto
neoþekávané, neboĢ jim pĜedchází velice nízká volatilita v období fixního kurzu.
Pro pĜípady fixních kurzĤ proto napĜíklad nový koncept kapitálové pĜimČĜenosti výslovnČ zmiĖuje nutnost provádČt stresové testování pĜi výpoþtu hodnoty kolaterálu
(viz [7] s. 39, odst. 158).
KvĤli výše zmínČným nedostatkĤm bývá VaR doplĖován testováním hypotetických stresových scénáĜĤ, které jsou buć subjektivnČ sestavené skupinou odborníkĤ
na základČ jejich zkušeností, pozic v portfoliu, makroekonomické i politické situace
þi mechanicky generované (více viz [25]).
5
KromČ historických volatilit a korelací mĤže VaR používat i volatility a korelace implikované z opþních
cen, množství empirických studií dokonce ukazuje, že implikované volatility poskytují nejlepší odhad
skuteþných volatilit a jsou schopny tedy nejlépe pĜedpovČdČt pĜíchod krizi – viz napĜ. [23] þi [18].
V praxi se však implikované volatility pro výpoþet VaRu pĜíliš nepoužívají, pro mnoho instrumentĤ buć
opþní trhy vĤbec neexistují nebo nejsou dostateþnČ likvidní.
94
ISSN 0323-262X
,668(ýË6/2
(.2120,&.e52=+ď$'<(&2120,&5(9,(:
92/80(52ý1Ë.
VaR neuvažuje náklady likvidace
Další nevýhodou bČžnČ používaných modelĤ pro výpoþet VaRu je fakt, že zde
mnohdy nejsou zohlednČna rizika spojená s likvidací pozic. Portfolia þasto bývají ocenČna s pomocí stĜedových (mid) cen a i v pĜípadČ, že je pĜi jejich ocenČní zohlednČno
tržní rozpČtí (jak vyžaduje IFRS – viz [1], IAS 39, odstavec AG 72), nebývá ve VaRu
zahrnuto riziko jeho zvýšení (viz napĜ. [4]). Pokud tedy bude nutno likvidovat pozice
za zvýšeného tržního rozpČtí, mĤže instituce utrpČt vČtší ztráty než odhaduje VaR.
V pĜípadČ vČtších pozic nabývá velkého významu volba vhodné likvidaþní strategie. Subjekt má buć možnost pozice rychle zlikvidovat, avšak za cenu vysokých
nákladĤ (akceptování velkého tržního rozpČtí nebo prodej po þástech s rizikem, že
pozdČjší obchody se uskuteþní již za ceny stlaþené obchody pĜedcházejícími) nebo
mĤže s likvidací vyþkávat, þímž ovšem dochází k vyššímu podstupovanému riziku
nepĜíznivého pohybu tržních sazeb.
Žádný z popsaných problémĤ pĜi uzavírání velkých pozic (široké tržní rozpČtí,
stlaþení cen, dlouhý þasový horizont likvidace) nebývá v bČžných VaR modelech
brán v úvahu.
PĜitom je tĜeba si uvČdomit, že v nČkterých pĜípadech nemá subjekt na výbČr
a svoje pozice musí likvidovat rychle i za cenu velmi nepĜíznivého dopadu na tržní
ceny. Pokud napĜíklad banka þelí neþekaným odlivĤm finanþních prostĜedkĤ (napĜíklad z dĤvodu nutnosti doplnit prostĜedky na maržových úþtech þi kvĤli neþekanČ
vysokému odlivu prostĜedkĤ klientĤ z bČžných úþtĤ), musí velmi rychle hledat dodateþné zdroje financování, nČkdy nelze postupovat jinak než prodávat stávající aktiva
bez ohledu na to, že kvĤli nedostateþné tržní likviditČ dojde k výraznému stlaþení
jejich cen. Pokles cen mĤže snížit i hodnotu ostatních držených aktiv v portfoliu
a mĤže vést k novým maržovým výzvám (margin call), þímž vzniká nutnost dalších
likvidací a firma se dostává do tzv. likviditního cyklu.
Dnešní finanþní trhy jsou velmi globalizované a napodobování obchodních strategií i zpĤsobĤ Ĝízení rizik6 mĤže vést k situacím, kdy se trhy stávají jednosmČrnými,
neboĢ všichni hráþi usilují ve stejný okamžik o likvidaci stejných rizikových pozic.
To vede k obtížnému hledání vhodné protistrany obchodu a k obrovskému propadu
cen, který se mĤže pĜelít i na další trhy. Nervozita se projeví také ve zvýšené volatilitČ. Vzniklé krize pĜedstavují velké riziko nejen pro individuální firmy, ale ohrožují
stabilitu celého finanþního systému a stojí tedy samozĜejmČ i v centru pozornosti
regulátorĤ.
6
Je tĜeba si uvČdomit, že rĤst volatility vede sám o sobČ k rĤstu VaRu. Pro udržení rozumné úrovnČ
kapitálové pĜimČĜenosti jsou pak mnozí hráþi nuceni likvidovat rizikové pozice, další je musí uzavírat
napĜíklad kvĤli maržovým výzvám a stop-loss limitĤm.
95
ISSN 0323-262X
,668(ýË6/2
(.2120,&.e52=+ď$'<(&2120,&5(9,(:
92/80(52ý1Ë.
VaR je statický
VaR pĜedstavuje statickou metodu, která nebere v úvahu zmČny portfolia, což
mĤže nČkdy zpĤsobovat problémy. NČkteĜí obchodníci napĜíklad obchodují aktivnČ
bČhem dne a pĜed koncem dne své rizikové pozice témČĜ uzavírají. Výpoþet Value
at Risk, který by vycházel ze stavu portfolia na konci dne, by pak maximální ztrátu
mohl výraznČ podhodnocovat.
V minulé kapitole jsme zdĤrazĖovali, že velké pozice není rozumné uzavĜít
bČhem krátkého období. DobČ potĜebné pro likvidaci by mČl logicky odpovídat i horizont pro výpoþet VaRu. PĜi likvidaci se ale pozice postupnČ zmenšují, což bČžné
VaR modely nezohledĖují, neboĢ pracují s nemČnným složením portfolia.
Postupy používané pro výpoþet VaRu lze však upravit, aby lépe zohledĖovali
mČnící se strukturu portfolia. Postupujeme tak, že simulujeme scénáĜe pohybu tržních sazeb (pĜípadnČ i jiných veliþin) v þase a v závislosti na jejich vývoji modifikujeme pĜedem zvoleným zpĤsobem pozice v portfoliu (napĜíklad je uzavíráme pokud
potĜebujeme okamžitČ získat likvidní prostĜedky nebo jsme se dostali na stop-loss
limity þi se management v dĤsledku ztrát rozhodl snížit limity tržních rizik, aby
udržel riziko v relaci ke kapitálu). Pro každý scénáĜ pohybu zkoumaných parametrĤ
dospČjeme k vývoji hodnot portfolia, dynamický VaR pak urþíme jako kvantil získaných hodnot. Jednoduchý dynamický model tohoto typu popisují Marrison a kol.
(viz [19]).
Modely pro výpoþet VaRu
V praxi je používáno velké množství modelĤ pro výpoþet Value at Risk. Cílem
této kapitoly je tyto metody porovnat a ukázat jejich silné a slabé stránky, jakož i základní pĜedpoklady, na nichž jsou založeny.
Jako výchozí modely jsem zvolil dvČ þasto v praxi používané metody založené
na simulacích - metodu historických simulací a metodu Monte Carlo s pĜedpokladem nepodmínČného normálního rozdČlení. Jejich spoleþnými nedostatky jsou
špatné konvergenþní vlastnosti, velká nároþnost na výpoþetní techniku a hlavnČ
pĜedpoklad nezávislého stejného rozdČlení pĜírĤstkĤ tržních sazeb.
96
ISSN 0323-262X
,668(ýË6/2
(.2120,&.e52=+ď$'<(&2120,&5(9,(:
92/80(52ý1Ë.
Tab. þ. 1
Pramen: vlastní schéma autora.
Všechny metody založené na simulacích trpí pĜi použití nižšího poþtu scénáĜĤ
špatnou konvergencí výbČrového kvantilu ke skuteþnému kvantilu. Zatímco u metod
Monte Carlo je generování vČtšího poþtu scénáĜĤ zpravidla pouze otázkou dostupného hardwaru, u metody historických simulací je problém závažnČjší – dlouhé
þasové Ĝady þasto nejsou dostupné a VaR tak vĤbec nelze odhadnout, zejména na
vyšších hladinách pravdČpodobnosti. U historických simulací lze konvergenþní
vlastnosti þásteþnČ zlepšit použitím „pseudohistorických“ scénáĜĤ (napĜíklad zrcadlových scénáĜĤ), které však jsou založeny na dosti silných pĜedpokladech o tvaru
pravdČpodobnostního rozdČlení pĜírĤstkĤ tržních sazeb (zrcadlové scénáĜe napĜíklad
pĜedpokládají symetrii rozdČlení, nejþastČji kolem nuly).
Dalším zpĤsobem, jak vylepšit konvergenþní vlastnosti metody historických
simulací je vyhladit empirickou distribuþní funkci napĜíklad s použitím jádrových
odhadĤ (viz [10]).
ObČ metody založené na simulacích jsou také pomČrnČ nároþné na výpoþetní
techniku, což v minulosti pĜedstavovalo vážný problém. Hledalo se tedy takové
zjednodušení, které by ve spojitosti s pĜedpokladem normality vedlo k jednoduchému výpoþtu VaRu, nejlépe za existence analytického Ĝešení. Toho bylo možné docílit, když se plná oceĖovací funkce nahradila pouze jedním þi dvČma prvními þleny
97
ISSN 0323-262X
,668(ýË6/2
(.2120,&.e52=+ď$'<(&2120,&5(9,(:
92/80(52ý1Ë.
jejího Taylorova rozvoje7, pĜípadnČ kvadratickou funkcí, která minimalizuje souþet
þtvercĤ odchylek skuteþného a aproximovaného ocenČní.
PĜi použití prvního þlenu Taylorova rozvoje hovoĜíme o metodČ delta (variance-kovariance), zmČna hodnoty portfolia má normální rozdČlení a VaR lze jednoduše
vypoþítat ze znalosti první derivace oceĖovací funkce, stĜední hodnoty a kovarianþní
matice pĜírĤstkĤ tržních sazeb8. PĜi použití dvou þlenĤ Taylorova rozvoje hovoĜíme
o metodách delta-gamma, zmČna hodnoty portfolia má podobu souþtu nezávislých
náhodných veliþin s necentrovaným χ2 rozdČlením, jehož kvantil zpravidla odhadujeme pomocí vhodné aproximace (viz napĜ. [9]). Metody založené na použití
Taylorova rozvoje pĜinášejí oproti Monte Carlu jedinou výhodu, kterou je nižší nároþnost na strojový þas, díky þemuž umožĖují výpoþet v reálném þase i pro složitá
portfolia. Nevedou však k dobrým výsledkĤm, pokud nelze oceĖovací funkci dobĜe
aproximovat nČkolika málo þleny Taylorova rozvoje, což bývá problém zejména v pĜípadČ opþních portfolií. Pro tyto pĜípady jejich použití rozhodnČ nedoporuþuji, díky
rychlému vývoji výpoþetní techniky jsou dnes zpravidla dostupné lepší alternativy.
Další možností, jak urychlit výpoþet VaRu, je soustĜedit se pouze na hlavní rizikové
faktory. PĜi výbČru hlavních rizikových faktorĤ vycházíme zpravidla hlavnČ ze znalosti
portfolia, je však možné také využít analýzu hlavních komponent (viz napĜ. [17]).
Snad nejzávažnČjším spoleþným problémem obou metod založených na simulacích je pĜedpoklad, že pĜírĤstky tržních sazeb jsou nezávislé a stejnČ rozdČlené
v þase. To je v pĜíkrém rozporu s empirickými pozorováními, které zdĤrazĖují, že
rozdČlení pĜírĤstkĤ se v þase mČní, typické je zejména stĜídání období charakterizovaných vysokou a nízkou volatilitou nazývané „volatility clustering“. Proto bývá
pĜedpoklad nepodmínČného normálního rozdČlení v metodČ Monte Carlo nahrazován podmínČným normálním rozdČlením, pĜiþemž aktuální volatilita a korelace se
odhadují nČkterou z metod typu EWMA (viz [22]) þi GARCH (viz [23] nebo [11]),
pĜípadnČ se používá implikovaných volatilit, resp. korelací. ObdobnČ lze také postupovat v pĜípadČ historických simulací, kdy lze minulá pozorování pĜírĤstkĤ tržních
sazeb „updatovat“ na souþasné volatility a korelace (viz napĜ. [14] þi [5]), tento
postup však ponČkud diskvalifikuje hlavní pĜednost historických simulací, kterou je
nulový pĜedpoklad o tvaru pravdČpodobnostního rozdČlení pĜírĤstkĤ tržních sazeb.
7
Pokud h: R n+1ĺ R je oceĖovací funkce diferencovatelná do k-tého Ĝádu, která vypoþítá hodnotu portfolia v závislosti na n tržních faktorech f1,…,fn a þase t, pak mĤžeme hodnotu portfolia v þase t+T pĜi
úrovni sazeb ft+T vyjádĜit pomocí Taylorova rozvoje k-tého Ĝádu následujícím zpĤsobem:
8
Za tČchto velmi zjednodušujících podmínek zároveĖ platí, že D-denní VaR je roven √D-krát jednodenní
VaR. Tento vztah je v praxi široce používán a to v mnohem obecnČjším kontextu, kdy již postrádá teoretické opodstatnČní.
98
ISSN 0323-262X
,668(ýË6/2
(.2120,&.e52=+ď$'<(&2120,&5(9,(:
92/80(52ý1Ë.
Výsledný VaR se však rychleji adaptuje na náhlé zvýšení volatility a tak nedochází
ke kumulaci pĜekroþení VaRu v krátkém období.
Další metodou, která si klade za cíl zohlednit existenci „volatility clustering“ je
tzv. hybridní metoda, kterou pĜedstavují Boudoukh, Richardson a Whitelaw (viz [8]).
Hybridní metoda je založena na exponenciálním vážení scénáĜĤ pĜi výpoþtu VaRu,
novým pozorováním je pĜiĜazována nejvČtší váha. Tato metoda však ponČkud postrádá
hlubší teoretické opodstatnČní, parametry jsou vybrány ad hoc a jejich odhad se neopírá o žádnou statistickou metodu. MetodČ BRW však nelze upĜít, že díky exponenciálnímu vážení nedochází narozdíl od klasické verze historických simulací k výrazným
jednorázovým zmČnám VaRu v situaci, kdy extrémní scénáĜe opouští klouzavé okno.
Aplikace exponenciálního vážení, stejnČ jako nČkterých GARCH modelĤ mĤže
vést k použití velmi krátkých þasových Ĝad, které mohou výraznČ podhodnocovat
rizika, jež nebyla pozorována v nedávné historii, pĜesto se ale þas od þasu opakují
napĜíklad v souvislosti s prĤbČhem hospodáĜského cyklu9. ObecnČ krátké þasové
Ĝady z období s nízkou volatilitou mohou vést k tomu, že VaR silnČ podhodnocuje
riziko náhlého zvýšení volatility.
Na druhou stranu ani použití velmi dlouhých þasových Ĝad nemusí být optimální
– data z dávné minulosti nebývají mnohdy relevantní pro popis souþasných tržních
podmínek. OsobnČ se pĜikláním k názoru, že pro výpoþet VaRu je v pĜípadČ vČtšiny
rizikových faktorĤ vhodné použití cca roþních þasových Ĝad, což odpovídá i obvyklé
praxi. Delší historii je však rozhodnČ vhodné zvážit pĜi aplikaci stresových scénáĜĤ.
V praxi se dále ukazuje jako nerealistický pĜedpoklad normálního rozdČlení
pĜírĤstkĤ tržních sazeb a to nejen v nepodmínČné, ale i v podmínČné verzi. Empirické studie ukazují, že rozdČlení pĜírĤstkĤ vykazuje tČžší chvosty než by odpovídalo
jak nepodmínČnému tak podmínČnému normálnímu rozdČlení. NČkteré pĜírĤstky
navíc vykazují zápornou šikmost. V praxi se objevilo velké množství alternativních
VaR modelĤ, které si kladly za cíl lépe popsat existenci tČžkých chvostĤ, pĜípadnČ
záporné šikmosti. Jedná se zejména o použití smČsice normálních rozdČlení (viz
napĜ. [27] nebo [28]) þi studentova t-rozdČlení (viz napĜ. [13]), model RiskMetrics
GED (viz [22]), aplikaci odhadovacích funkcí (viz [16]) þi teorie extrémních hodnot
(viz napĜ. [21] þi [26]).
SmČsice normálních rozdČlení nachází teoretickou podporu v teorii hluþného
obchodování þi teorii spekulativních bublin, když pĜedpokládá existenci „klidných“
a „rušných“ dnĤ, pĜiþemž rušné dny jsou charakteristické vyšší volatilitou, pĜípadnČ
i zápornou stĜední hodnotou pĜírĤstkĤ tržních sazeb.
Teorie extrémních hodnot zase využívá limitních vČt pro extrémy, její aplikace
je tedy silnČ teoreticky podložena. Teorie extrémních hodnot (EVT) bohužel v zá9
Jako pĜíklad lze uvést kreditní spready, které se mohou skokovČ zvýšit pĜi prvních známkách pĜíchodu
recese þi pozice v mČnách rozvíjejících se trhĤ, které mohou mít tendenci skokovČ oslabit pokud nastane globální averze k riziku (zvláštČ v situaci, kdy tyto mČny nesou vysoké úroky a jsou hojnČ využívány
v rámci tzv. carry trades).
99
ISSN 0323-262X
,668(ýË6/2
(.2120,&.e52=+ď$'<(&2120,&5(9,(:
92/80(52ý1Ë.
kladní verzi pĜedpokládá nezávislé, stejnČ rozdČlené pĜírĤstky tržních sazeb, což není
realistický pĜedpoklad, v pokroþilejší podobČ však umožĖuje komplexní zkoumání
zmČn parametrĤ rozdČlení extrémních pĜírĤstkĤ tržních sazeb v þase, þímž dospívá
mnohem dále než klasické „updatování“ volatilit.
I kdyby bylo možné považovat marginální rozdČlení pĜírĤstkĤ tržních sazeb za
normální, rozhodnČ to ještČ neznamená, že sdružené rozdČlení je mnohorozmČrné
normální. Naopak, mnohorozmČrné normální rozdČlení není schopno dobĜe popsat
nelineární typy závislostí, selhává tedy nejen v oblasti jednorozmČrné (nepodchycuje tČžké chvosty), ale i pĜi popisu závislostí. Pokud pĜírĤstky nejsou v mnohorozmČrném normálním rozdČlení stoprocentnČ korelované, jsou asymptoticky nezávislé,
což by znamenalo, že extrémní pohyby na rĤzných trzích prakticky nenastávají
souþasnČ. To je v pĜíkrém rozporu s empirickými pozorováními.
Pro komplexní popis mnohorozmČrného rozdČlení pĜírĤstkĤ tržních sazeb je
praktické postupovat ve dvou krocích – nejprve analyzovat podobu jednorozmČrných rozdČlení a pak zkoumat jejich vzájemné závislosti – hledat vhodnou copula
funkci. Empirické studie jasnČ ukazují, že Studentova copula lépe charakterizuje
strukturu závislostí pĜírĤstkĤ tržních sazeb než normální copula (viz napĜ. [20]),
ještČ lepších výsledkĤ je možno dosáhnout pĜi použití copula funkcí, které umožĖují
popsat asymetrické závislosti jako napĜíklad Gumbelova copula þi dokonce smČsice
rĤzných copula funkcí (viz napĜ. [26]). StejnČ jako volatilita, i struktura závislostí
mezi pĜírĤstky se bohužel mČní v þase.
PĜestože zkoumání copula funkcí je velmi zajímavé z hlediska teoretického,
v praxi nastávají velké problémy pĜi parametrizaci a to zejména pĜi monitorování
závislostí mezi vČtším poþtem pĜírĤstkĤ. Tyto problémy jsou tak závažné, že pro
úþely VaRu považuji za snazší nepokoušet se o detailní podchycení závislostí mezi
tržními sazbami a radši analyzovat pĜímo jednorozmČrné rozdČlení ziskĤ a ztrát na
daném portfoliu.
Proto jako poslední model pro výpoþet VaRu bych rád zmínil tzv. CaViaR, který
zkoumá jednoduše pĜímo náhodný proces popisující rozdČlení VaRu (viz [12]). Parametry CaViaRu jsou odhadovány pomocí kvantilové regrese a nejsou tĜeba žádné
zjednodušující pĜedpoklady o tvaru rozdČlení pĜírĤstkĤ tržních sazeb. CaViaR však
není zatím v teoretických pracích pĜíliš obsáhle charakterizován a rozhodnČ si zaslouží další teoreticky i prakticky zamČĜený výzkum.
ZávČr
Cílem tohoto þlánku bylo ukázat, že pĜestože Value at Risk je dnes základním
stavebním kamenem systému Ĝízení tržních rizik ve vČtšinČ finanþních institucí, není
sám o sobČ schopen podat úplný obraz tržních rizik.
VaR totiž nevypovídá o rizicích pĜesahujících rámec zvolené pravdČpodobnosti,
v dĤsledku þehož mĤže podnČcovat mnohdy velmi rizikové obchodní strategie þi
nesmyslnČ odrazovat od diverzifikace. Ze stejného dĤvodu lze rozdČlením portfolia
100
ISSN 0323-262X
,668(ýË6/2
(.2120,&.e52=+ď$'<(&2120,&5(9,(:
92/80(52ý1Ë.
do více subportfolií a seþtením jejich VaRĤ dospČt k výraznČ nižšímu odhadu rizika
než jaké bychom získali výpoþtem VaRu pro celé portfolio.
Základním východiskem VaRu bývá pĜedpoklad, že pĜírĤstky tržních sazeb
v budoucnosti se budou chovat zhruba stejnČ jako v nedávné minulosti. Jelikož
finanþní trhy se chovají velmi dynamicky v þase, rozdČlení tržních faktorĤ pozorovaných v minulosti nemusí nutnČ pĜedstavovat dobrý odhad pro budoucnost. Value
at Risk tak mnohdy nebývá schopen vþas odhadnout náhlé dramatické zmČny na
finanþních trzích a zachytit pĜíchod finanþní krize.
Je tĜeba si uvČdomit, že používaný model Value at Risk je pouze modelem, který je
založen na ĜadČ pĜedpokladĤ, jež nemusí být vždy realistické. RĤzné metody pro výpoþet
VaRu tak vedou k pomČrnČ odlišným výsledkĤm v závislosti na zvoleném pravdČpodobnostním rozdČlení, zpĤsobu odhadu parametrĤ, rĤzné délce þasových Ĝad, ale i zahrnutí
þi ignorování korelací mezi rĤznými tĜídami rizik. PĜesto, že modely mnohdy vychází ze
sofistikované matematiky, nemohou plnČ postihnout složitost finanþních trhĤ. Proto je
dobré se ptát, jak se rizikové ukazatele zmČní, pokud se zmČní pĜedpoklady modelu.
Ani tak však není pĜi Ĝízení tržních rizik možné stoprocentnČ spoléhat pouze na
metody založené na statistice, je potĜeba využívat též vlastní cit, zkušenosti, znalosti
trhĤ, historické analogie a zobecnČní. I proto dnes dochází k velkému rozmachu stresového testování, které pĜedstavuje výraznČ subjektivnČjší pohled na riziko a v souþasnosti se stává nejþastČji používaným doplnČk VaRu.
Navíc je nutné zdĤraznit, že rizika nejsou nezávislá. Nedostateþné zabezpeþení
zdrojĤ financování þi snížení kapitálu v dĤsledku utrpČných ztrát si mĤže vynutit
rozsáhlé výprodeje aktiv za nepĜíznivé ceny. V pĜípadČ selhání protistrany mohou
také vzniknout obrovské otevĜené pozice, které je složité a drahé rychle uzavĜít –
podobný problém mĤže ale také nastat napĜíklad v pĜípadČ hromadného uplatnČní
rozvazovacích klauzulí (break-clause).
Ve všech tČchto situacích je instituce nucena do rychlé likvidace pozic, þímž
mĤže utrpČt ztráty, které bČžné modely pro výpoþet Value at Risk opomíjejí.
Literatura
[1] INTERNATIONAL ACCOUNTING STANDARDS BOARD, (2006). International Financial
Reporting Standards 2006, IASCF Publications Department, London.
[2] ARTZNER, P. – DELBAEN, F. – EBER, J.-M. – HEATH, D., (1999). Coherent Measures of Risk.
In: Mathematical Finance, 9, 203–228.
[3] ARTZNER, P. – DELBAEN, F. – EBER, J.-M. – HEATH, D., (2000). In: Thinking Coherent.
Extremes and Integrated Risk Management, edited by P. Embrechts, London.
[4] BANGIA, A. – DIEBOLD, F. X. – SCHUERMANN, T. – STROUGHAIR, J. D., (1999). Modeling
Liquidity Risk, With Implications for Traditional Market Risk Measurement and Management.
In: Wharton School, Working Paper 99–06.
[5] BARONE–ADESI, G. – GIANNOPOULOS, K. – VOSPER, L., (1999). VaR without Correlations
for Portfolios of Derivative Securities. In: Journal of Futures Markets, August 1999.
[6] BASEL COMMITTEE ON BANKING SUPERVISION, (2005): Amendment to the Capital Accord
to Incorporate Market Risks. Updated, 2005.
101
ISSN 0323-262X
,668(ýË6/2
(.2120,&.e52=+ď$'<(&2120,&5(9,(:
92/80(52ý1Ë.
[7] BASEL COMMITTEE ON BANKING SUPERVISION, (2006): International Convergence of Capital
Measurement and Capital Standards. A Revised Framework. Comprehensive Version, June 2006.
[8] BOUDOUKH, J. – RICHARDSON, M. – WHITELAW, R., (1998): The Best of Both Worlds.
In: Risk, 11, pp. 64–67, May 1998.
[9] BRITTEN–JONES, M. – SCHAEFER, S. M., (1999): Non–Linear Value-at-Risk. In: European
Finance Review, 2, pp. 161–187.
[10] BUTLER, J. S. – SCHACHTER, B., (1998): Estimating Value-at-Risk with a Precision Measure by
Combining Kernel Estimation with Historical Simulation. In: Review of Derivatives Research, 1, pp.
371–390.
[11] DEGIANNAKIS, S. – XEKALAKI, E., (2003): Autoregressive Conditional Heteroscedasticity
(ARCH) Models. In: A Review. Athens University of Economics and Business.
[12] ENGLE, R. F. – MANGANELLI, S., (2004): CAViaR: Conditional autoregressive Value at Risk by
regression quantiles. In: Journal of Business and Economic Statistics, 22(4): pp. 367–381.
[13] GLASSERMAN, P. – HEIDELBERGER, P. – SHAHABUDDIN, P., (2000): Portfolio Value-at-Risk
with Heavy Tailed Risk Factors. In: Working Paper, Paine Weber working paper series, Columbia
Business School.
[14] HULL, J. – White, A., (1998): Incorporating Volatility Updating into the Historical Simulation
Method for Value at Risk. In: Journal of Risk, pp. 5–19, Fall 1998.
[15] JORION, P., (2000): Risk Management Lessons from Long–Term Capital Management. In: European
Financial Management, Vol. 6, N. 3, pp. 277–300.
[16] LI, D. X., (1999): Value at Risk Based on the Volatility, Skewness and Kurtosis. In: RiskMetrics.
[17] LORETAN, M., (1997): Generating market risk scenarios using principal components analysis: methodological and practical considerations. In: Federal Reserve Board.
[18] MALZ, A. M., (2001): Financial crises, implied volatility and stress testing. In: RiskMetrics Group
Working Paper N. pp. 01–01.
[19] MARRISON, CH. – SCHUERMANN, T. – STROUGHAIR, J. D., (2000): Changing Regulatory Capital
to Include Liquidity and Management Intervention. In: The Journal of Risk Finance, Summer 2000.
[20] MASHAL, R. – ZEEVI, A., (2002): Beyond Correlation: Extreme Co-movements Betweeen Financial
Assets. Columbia University.
[21] MCNEIL, A. J., (2000): Extreme Value Theory for Risk Managers. In: Extremes and Integrated Risk
Management, edited by P. Embrechts, London.
[22] MORGAN GUARANTY TRUST COMPANY, (1996). In: RiskMetrics Technical Document, 4th edn.
[23] POON, S. – H. – GRANGER, C. W. J., (2003): Forecasting Volatility in Financial Markets:
In: A Review. Journal of Economic Literature, Vol. XLI, pp. 478–539, June 2003.
[24] STRNAD, P., (2005): MČĜení tržních rizik pomocí metody Value at Risk. In: E + M Ekonomie
a Management, 2/2005, Liberec.
[25] STRNAD, P., (2006): Stresové testování jako doplnČk VaRu. In: E + M Ekonomie a Management,
3/2006, Liberec.
[26] STRNAD, P., (2006): ěízení tržních rizik s použitím teorie extrémních hodnot a copula funkcí. In: Sborník vybraných pĜíspČvkĤ z konference ěízení a modelování finanþních rizik, Ostrava,
pp. 339–348.
[27] ZANGARI, P., (1996): An improved methodology for measuring VaR. In: RiskMetrics Monitor, 2Q
1996, pp. 7–25.
[28] ZANGARI, P., (1997): What risk managers should know about mean reversion and jumps in prices.
In: RiskMetrics Monitor, 4Q 1997, pp. 12–41.
Poznámka: Príspevok neprešiel jazykovou úpravou.
102
ISSN 0323-262X
,668(ýË6/2