23 Neorientovaný plošný integrál

Neorientovaný plošný integrál
23
1
Neorientovaný plošný integrál
1. Necht’ Γ : M → R3 a f : Rm → R. Dělenı́ D oblasti M indukuje dělenı́ plochy na Γ(M1 ),
. . . , Γ(Mk ).
Označme
mj = inf f (x, y, z), [x, y, z] ∈ T (Mj )
a
Mj = sup f (x, y, z), [x, y, z] ∈ T (Mj ) ,
kde j = 1, . . . , k.
Pak označme dolnı́ součet vzhledem k dělenı́ D jako
s(D, f ) =
k
X
mj P Γ(Mj )
j=1
a hornı́ součet dělenı́ vzhledem k dělenı́ D jako
S(D, f ) =
k
X
Mj P Γ(Mj ) ,
j=1
kde P Γ(Mj ) je obsah plochy.
Nynı́ zaved’me dolnı́ plošný integrál jako
ZZ
f dS = sup s(D, f )
D
Γ
a hornı́ plošný integrál jako
ZZ
f dS = inf S(D, f ).
D
Γ
V přı́padě rovnosti
ZZ
ZZ
f dS =
f dS,
Γ
Γ
zı́skáváme neorientovaný plošný integrál a pı́šeme
ZZ
f dS.
Γ
2. Platı́
ZZ
ZZ
f (x, y, z) dS =
Γ
√
f Γ1 (s, t), Γ2 (s, t), Γ3 (s, t) EG − F 2 dsdt.
M
Přı́klad
RR
Vypočtěte integrál Γ z dS, kde Γ je stejně jako v přı́kladu 22.12 část šroubového konoidu
x = t cos s, y = t sin s, z = s pro 0 ≤ t ≤ 1 a 0 ≤ s ≤ 2π.
MA2
FSI VUT v Brně, 17. ledna 2008
Neorientovaný plošný integrál
2
Jak už vı́me z přı́kladu 22.12,
integrálu.
Z
ZZ
2π
z dS =
Γ
0
Z
1
√
√
EG − F 2 =
√
t2 + 1. Můžeme tedy rovnou přejı́t k výpočtu
+ 1 dt ds =
0
Z 2π √
√
√
√
1
=
s
2 + ln
2+1
ds = π
2 + ln
2+1
2
0
t2
3. Vlastnosti jsou obvyklé jako u Riemannova integrálu.
4. Aplikace neorientovaného plošného integrálu
Obsah plochy
ZZ
P (Γ(M )) =
dS.
Γ
Hmotnost plochy, kde %(x, y, z) je hustota
ZZ
m=
% dS.
Γ
Statické momenty
Z
Sxy =
z% dS,
Γ
Z
Syz =
x% dS,
Γ
Z
Sxz =
y% dS.
Γ
Těžiště
Syz Sxz Sxy
T =
,
,
.
m m m
Momenty setrvačnosti
ZZ
(y 2 + z 2 )%(x, y, z) dS,
Jx =
Γ
ZZ
Jy =
(x2 + z 2 )%(x, y, z) dS,
Γ
ZZ
Jz =
(x2 + y 2 )%(x, y, z) dS.
Γ
5. Přı́klad
Spočtěte hmotnost kulové plochy x2 + y 2 + z 2 = 25, je-li plošná hustota rovna vzdálenosti
od osy z.
p
p
Hustota je tedy %(x, y, z) = x2 + y 2 a z = 25 − x2 − y 2 = g(x, y). Pak platı́, že
q
dS = 1 + gx0 2 + gy0 2 dxdy.
MA2
FSI VUT v Brně, 17. ledna 2008
Neorientovaný plošný integrál
3
Nynı́ již můžeme přistoupit k výpočtu hmotnosti.
s
ZZ p
ZZ p
m=2
x2 + y 2 dS = 2
x2 + y 2 1 +
M
y2
x2
+
dxdy =
25 − x2 − y 2 25 − x2 − y 2
M
r
ZZ p
ZZ s
x2 + y 2
25
dxdy,
=2
x2 + y 2
dxdy
=
10
25 − x2 − y 2
25 − x2 − y 2
M
M
kde oblast M je kruh o poloměru r = 5 a středem v bodě [0, 0]. Zavedeme tedy polárnı́
souřadnice, pro jejiž meze platı́ 0 ≤ % ≤ 5 a 0 ≤ ϕ ≤ 2π.
s
!
!
Z 2π Z 5
d%
%2
d% dϕ = 10
%2 p
m = 10
%
dϕ =
2
25
−
%
25 − %2
0
0
0
0
!
Z 2π Z 5
% = 5 sin ξ 5
cos
ξ
dξ
= 10
= 25 sin2 ξ p
dϕ =
d% = 5 cos ξ dξ 25 − %2
0
0
!
π
Z Z 2π
Z 2π Z π
2
250 2π
sin 2ξ 2
π
2
ξ−
dϕ = 125
dϕ = 125π 2
= 250
sin ξ dξ dϕ =
2
2
2
0
0
0
0
0
Z
MA2
2π
Z
5
FSI VUT v Brně, 17. ledna 2008