0.1 Pomalá Lorentzova transformace

0.1
Pomalá Lorentzova transformace
V případě, že vzájemná rychlost pohybu inerciálních soustav je malá, je možné zjednodušit odvozené
transformační vztahy pro Lorentzovu transformaci, které pak reprezentují tzv. pomalou Lorentzovu
transformaci. Označíme-li V /c0 = β, potom v případě pomalé Lorentzovy transformace budeme zanedbávat členy obsahující β n , kde n > 1. Z tohoto důvodu pak můžeme považovat Lorentzův faktor za
přibližně roven jedné, tj. γ ≈ 1. Vezmeme-li v úvahu tento předpoklad, potom transformační vztahy
obecné Lorentzovy transformace můžeme nahradit následujícími vztahy
r ≈ r − Vt ,
t ≈ t −
r·V
.
c20
(1)
(2)
Vztahy (1) a (2) představují transformační vztahy pomalé Lorentzovy transformace.
Z inverzních transformačních vztahů obecné Lorentzovy transformace dostaneme analogickým přístupem následující transformační vztahy pro inverzní pomalou Lorentzovu transformaci, tj.
r ≈ r + Vt ,
t ≈ t +
r · V
.
c20
(3)
(4)
Porovnáme-li pomalou Lorentzovu transformaci s Galileiho transformací, tak se liší pouze členem v
transformačním vztahu pro čas. Pomocí transformačních vztahů (1) a (2) nelze odvodit vztahy pro
kontrakci délky či dilataci času, což je dáno tím, že se jedná o jevy druhého řádu, tj. jevy, které jsou
popsány transformačními vztahy obsahujícími členy s β 2 . Jediným relativistickým jevem, který je nižší
než druhého řádu je vztah ukazující na relativistické pojetí současnosti. Pro tento případ je možné dojít
pomocí transformačního vztahu (2) k následující rovnosti
r1 · V
r2 · V
(r2 − r1 ) · V
Δr · V
Δt = t2 − t1 ≈ t1 −
−
t
−
−
t
−
=
Δt
−
.
(5)
=
t
2
2
1
c20
c20
c20
c20
0.1.1
Pomalá transformace síly
Jelikož je síla rovna časové změně hybnosti, podíváme se nejprve na transformační vztah pro hybnost.
Vzhledem k tomu, že hybnost je dána jako součin hmotnosti a rychlosti, budeme při transformaci
hybnosti postupovat níže uvedeným způsobem.
Pro okamžitou rychlost v nečárkované soustavě S můžeme psát, že
v=
dr
dr dt
= .
dt
dt dt
(6)
Derivací transformačního vztahu (3) podle času t dostaneme
dr
dr
≈
+ V = v + V .
dt
dt
(7)
Derivací transformačního vztahu (2) podle času t dospějeme k tomuto vztahu
1 dr
v·V
dt
≈1− 2
·V=1− 2 .
dt
c0 dt
c0
1
(8)
Dále derivací transformačního vztahu (4)) podle času t dospějeme k tomuto vztahu
dt
1 dr
v · V
≈
1
+
·
V
=
1
+
.
dt
c20 dt
c20
(9)
Přímo ze vztahu (9) dostáváme, že
1−
dt
1
1
=
≈
dt
1 + vc·V
1 + vc·V
2
2 1 −
0
0
v ·V
c20
v ·V
c20
=
1−
1−
v ·V
c20
v2 V 2
c40
v · V
≈1−
.
c20
Při úpravě výrazu (10) byl zanedbán člen obsahující β 2 .
Dosazením vztahů (7) a (10) do vztahu (6) dostaneme
v · V
v ≈ (v + V) 1 −
.
c20
Vektor rychlosti v si vyjádříme jako
v = v + v⊥ ,
(10)
(11)
(12)
kde v je podélná složka rychlosti, která leží ve směru vektoru V.
Na základě vztahu (12) pak můžeme transformační vztah (11) zapsat jako
v · V
v · V
v · V
v = v + v⊥ ≈ (v + v⊥ + V) 1 −
= (v + V) 1 −
+ v⊥ 1 −
.
c20
c20
c20
(13)
Leží-li v ve směru vektoru V, potom ze vztahu (13) přímo vyplývá transformační vztah pro příčnou
složku rychlosti
v · V
(14)
v⊥ ≈ v⊥ 1 −
c20
a tedy
v · V
v ≈ (v + V) 1 −
.
(15)
c20
Vzhledem k tomu, že příčné složky hybnosti se při Lorentzově transformaci nemění, tj. p⊥ = p⊥ , takže
mv⊥ = m v⊥ .
(16)
Dosadíme za v⊥ z transformačního vztahu (14), čímž dostaneme, že
v · V
≈ m v⊥ ,
mv⊥ 1 −
2
c0
a odtud pak pro transformace hmotností dostáváme, že
·V
v ·V
v
m 1 + c2
m 1 + c20
v · V
m
0
=
=
≈m 1+
.
m≈
2 2
v ·V
c20
1 − vc·V
1 − vc·V
1 − v cV4
2
2 1 + c2
0
0
0
(17)
(18)
0
Při úpravách pro nalezení transformačního vztahu pro hmotnosti jsme zanedbali člen obsahující β 2 .
Pro nalezení transformačního vztahu pro hybnost využijeme vztahy (11) a (18), tak můžeme psát, že
v · V
v 2 V 2
v · V
(v +V) 1 −
= m (v +V) 1 + 4
≈ m (v +V) = p +m V .
p = mv ≈ m 1 +
2
2
c0
c0
c0
(19)
2
Nyní již můžeme přistoupit k hledanému transformačnímu vztahu pro vektor síly. Pro sílu v nečárkované
soustavě S platí, že
dp dt
dp
= .
(20)
F=
dt
dt dt
Pomocí vztahu (19) můžeme napsat, že
dp
dp
dm
dm
≈
+
V
=
F
+
V
.
dt
dt
dt
dt
(21)
Dosadíme ze vztahu (21) do vztahu (20)
dp
≈
F=
dt
dm dt
F +V .
dt
dt
(22)
Pro další úpravu vztahu (22) použijeme rovnost E = mc20 a skutečnosti, že v čárkované soustavě je
E = m c20
dm
1 dE F · v
=
=
,
(23)
dt
c20 dt
c20
takže dostáváme, že
dp
≈
F=
dt
F · v dt
dt
F · v dt
F +V 2
= F
+V 2
.
c0
dt
dt
c0 dt
(24)
Pro další úpravu použijeme následující rovnosti, která vyplývá přímo ze vztahu (1)
v
dr dt
dr
dt
= =
=v−V.
dt
dt dt
dt
(25)
Nalezený vztah (25) použijeme v posledním členu rovnosti (24), pro předposlední člen použijeme vztahu
(8)
v·V
F · (v − V)
v·V
F · v
F ≈F 1− 2
≈
F
.
(26)
+V
1
−
+
V
c0
c20
c20
c20
Opět jsme při úpravě výrazu (26) zanedbali člen obsahující β 2 .
V rovnici (26) můžeme roznásobit závorku, čímž po úpravě dostaneme
F ≈ F +
1
[V(v · F ) − F (v · V)] .
c20
(27)
S ohledem na známou vektorovou identitu „BAC-CAB , tj.
A × (B × C) = B(A · C) − C(A · B) ,
přepíšeme výsledný vztah (27) do následujícího finálního tvaru
F ≈ F +
1
v × (V × F ) .
c20
Vztah (28) představuje hledanou pomalou transformaci síly.
3
(28)
0.2
Shrnutí získaných poznatků ze speciální teorie relativity
Speciální teorie relativity vychází ze dvou postulátů, jejichž splnění není možné zajistit Galileiho transformací, a proto tato transformace musí být nahrazena transformací jinou, kterou nazýváme Lorentzova
transformace. Pomocí této transformace je možné dospět, z pohledu klasické mechaniky, k překvapivým
závěrům. Z výsledků, ke kterým jsme dospěli v předchozích kapitolách, vyplývá, že speciální teorie
relativity významně mění naše chápání prostoru a času. Z nalezených vztahů je možné vysledovat skutečnost, že při rychlostech srovnatelných s rychlostí světla je nutné vzít v úvahu, že prostor a čas nejsou
nezávislé pojmy. Z těchto vztahů jednoznačně vyplývá, že při rychlostech srovnatelných s rychlostí světla
tedy není možné chápat prostor a čas nezávisle na pohybu vyšetřovaných objektů a vztažných soustav,
takže absolutní prostor a čas, jak je zaveden v klasické mechanice, je již neobhajitelný. Speciální teorie
relativity nemění jen naše pojímání prostoru a času, ale i hmoty a energie, jelikož existuje těsná souvislost mezi hmotností tělesa a jeho energií. Závěrem je nutné konstatovat, že speciální teorie relativity je
plně slučitelná s teorií elektromagnetického pole.
0.3
Vlastnosti dielektrik
Mezi nelineární dielektrika patří skupina krystalických látek zvaná feroelektrika. Feroelektrika se chovají
v elektrickém poli obdobně jako feromagnetické látky v magnetickém poli. U těchto dielektrik pozorujeme ve feroelektrickém stavu velmi vysoké hodnoty relativní permitivity (εr = 103 − 104 ). Relativní
permitivita těchto látek velmi výrazně závisí na směru (anizotropní dielektrikum) a teplotě. Relativní
permitivita se mění také v případě časově proměnných elektrických polí1 . Mezi feroelektrika patří např.
Seignettova sůl (vínan sodnodraselný NaKC4 H4 O6 .4H2 O), fosforečnan draselný (KH2 PO4 ), titaničitan
barnatý (BaTiO3 ) aj. Feroeletrické látky mají doménovou strukturu, tj. obsahují oblasti (domény), ve
kterých jsou elementární dipólové momenty rovnoběžné, tedy tyto oblasti se vyznačují spontánní (samovolnou) vnitřní elektrickou polarizací. Ve feroelektrickém stavu v látce celé oblasti spontánní elektrické
polarizace. Feroelektrický stav trvá jen pod tzv. Curieovou teplotou, při které látka přechází do paraelektrického stavu a její permitivita prudce klesá2 . Ve feroelektrickém stavu se u těchto látek pozoruje
elektrická hystereze, která se při kruhové změně intenzity elektrického pole E projeví hysterezní smyčkou závislosti P (E).
Některé feroelektrické látky, jako je směs pryskyřice a vosku, karnaubský vosk, organické sklo aj., polarizované silným elektrickým polem v tekutém stavu, si podržují konstantní hodnotu vektoru polarizace
i bez elektrického pole, necháme-li je ztuhnout v tomto polarizovaném stavu. Takovéto látky nazýváme
elektrety a představují obdobu permanentních magnetů.
Při působení elektrického pole na iontové krystaly dochází při polarizaci krystalu také k deformaci
krystalové mřížky a tím ke změně rozměrů krystalu. Tento jev deformace krystalu vyvolaný elektrickým
polem nazýváme elektrostrikcí nebo také obráceným piezoelektrickým jevem. Elektrostrikce se využívá
zejména pro generování ultrazvukových polí a v krystalových elektronických oscilátorech.
Piezoelektrický jev pozorujeme při mechanickém namáhání (tlakem, tahem, ohybem) některých krystalů, což vede ke změně elektrické polarizace krystalu, která se projeví jako indukovaný povrchový elektrický náboj, čímž vznikne mezi deformovanými plochami elektrické napětí. Povrchová hustota náboje
u piezoelektrických krystalů je úměrná mechanickému napětí, kterému je krystal vystaven. Piezoelektrický jev se projevuje jen u těch krystalů, kde elementární krystalová buňka není elektricky symetrická.
Takovou látkou jsou všechny krystaly ve feroelektrickém stavu nebo křemen (SiO2 ). Pomocí piezoelektrického materiálů dochází k přeměně mechanické energie na elektrickou, čehož se využívá k detekci
1
2
Například u vody při velmi vysokých frekvencích dochází k poklesu relativní permitivity až na hodnotu cca 1,77.
Existují i feroelektrika, která nemají Curieovu teplotu (bod) a nachází se ve feroelektrickém stavu až do teploty tání.
4
deformací, pohybu, sil, tlaku či vibrací zpracováním vytvořeného signálu.
U některých dielektrik se můžeme setkat i s pyroelektrickým jevem. Zahřejeme-li takovéto dielektrikum
(např. turmalín), tak dojde u něho k objemovým změnám a na dielektriku se objeví povrchové náboje.
0.4
Rozdělení látek podle jejich magnetických vlastností
U látek nacházejících se v magnetickém poli pozorujeme rozdílné chování. Přiblížíme-li vzorky materiálů
k permanentnímu magnetu, tak zjistíme, že některé některé vzorky jsou silně k magnetu přitahovány,
zatímco vzorky jiných materiálů na přítomnost magnetického pole magnetu téměř nereagují. Díky této
pozorované skutečnosti můžeme materiály rozdělit do dvou skupin:
1. Slabě magnetické látky - jedná se o látky, které slabě reagují na přítomnost magnetického pole.
Citlivým měřením bylo zjištěno, že na základě chování vzorků látek spadajících do této skupiny,
které se nachází v nehomogenním magnetickém poli, je možné je dále rozdělit na další dvě skupiny.
Látky jedné skupiny jsou do nehomogenního magnetického pole slabě vtahovány. Jejich magnetická susceptibilita má malou kladnou hodnotu, tj. χm > 0 (μr > 1). Tuto skupinu slabě magnetických látek nazýváme látky paramagnetické či paramagnetika. Druhou skupinou jsou látky,které
jsou z nehomogenního magnetického pole naopak slabě vytlačovány. Magnetická susceptibilita u
těchto látek má malou zápornou hodnotu, tj. χm < 0 (μr < 1). Látky patřící do této skupiny se
nazývají látky diamagnetické či diamagnetika.
2. Silně magnetické látky - jedná se o látky, které silně reagují na přítomnost magnetického pole.
Jejich magnetická susceptibilita dosahuje vysokých kladných hodnot, tj. χm 0 (μr 1).
Významnou skupinou látek patřící mezi silně magnetické látky jsou látky feromagnetické či jen
feromagnetika. U feromagnetik není magnetická susceptibilita, a tedy i relativní permeabilita,
konstantní, ale závisí na velikosti intenzity magnetického pole v látce. Jedná se tedy o nelineární
magnetika.
Látky diamagnetické
Jejich magnetická susceptibilita χm je záporná a většinou v absolutní hodnotě značně menší než magnetická susceptibilita ostatních látek. Je to způsobeno tím, že atomy nebo molekuly těchto látek mají
bez přítomnosti vnějšího magnetického pole nulový Ampérův magnetický moment (elektrony jsou spárovány a jejich magnetické momenty jsou vzájemně vykompenzovány), tj. je-li Bo = 0 je mi = 0, a
tudíž i Δmi = 0.
Působením vnějšího magnetického pole získá každý elektron přídavný, tzv. indukovaný magnetický moment, který je orientován proti vnějšímu magnetickému poli (výsledné pole v diamagnetické látce má
tedy menší indukci než primární pole ve vakuu). Jedná se indukovanou magnetickou polarizaci Pm ,
resp. magnetizaci M a tyto vektory mají opačnou orientaci než vektor magnetické indukce Bo vnějšího
magnetického pole. Jejich magnetická susceptibilita χm nezávisí na teplotě ani na velikosti intenzity
magnetického pole.
Do této skupiny látek patří některé kovy (Cu, Ag, Pb, Bi apod.), některé další látky pevného, kapalného
či plynného skupenství (npř. voda, HCl, vzácné plyny) a většina látek organického původu.
Látky paramagnetické
Do této skupiny patří látky, jejichž atomy či molekuly mají vlastní nenulový Ampérův magnetický
moment, mi = 0. Nepůsobí-li na látku z této skupiny magnetické pole, jsou Ampérovy magnetické
5
momenty těchto látek chaoticky
orientovány, takže jejich vektorový součet v makroskopickém objemu
ΔV
ΔV je roven nule, tj. Δmi = α mαi = 0.
Vložíme-li do vnějšího magnetického pole paramagnetikum, dojde k částečnému uspořádání Ampérových magnetických momentů molekul, takže jsou orientovány shodně s vektorem magnetické indukce
Bo (zesilují vnější magnetické pole]. Toto uspořádání je však narušováno tepelným pohybem molekul
paramagnetika, a proto magnetická susceptibilita χm paramagnetických látek závisí nepřímo úměrně
na absolutní teplotě látky, tj.
C
,
(29)
χm =
T
kde T je absolutní teplota látky a C Courierova konstanta.
Magnetická polarizace Pm paramagnetických látek v nepříliš silných magnetických polích je při dané
teplotě lineární funkcí intenzity magnetického pole (lineární magnetikum).
Do této skupiny patří např. Al, Pt, Cr, Mn, vzduch.
Feromagnetické látky
Mezi tyto látky patří např. Fe, Co, Ni, nebo některé slitiny. Jejich magnetické vlastnosti se výrazně
odlišují od vlastností slabě magnetických látek. Jde zejména o následující rozdíly:
• Vzhledem k vysokým hodnotám magnetické susceptibility χm a relativní permeability μr dosahuje
magnetická polarizace vysokých hodnot již v přítomnosti slabých vnějších magnetických polí, takže
magnetická indukce B ve feromagnetických látkách je značně větší než magnetická indukce Bo
vnějšího magnetického pole.
• Jedná se o nelineární magnetika.
• Feromagnetické látky dosahují nasyceného stavu, tj. souhlasná orientace Ampérových magnetických momentů všech molekul s vnějším magnetickým polem, již v poměrně slabých magnetických
polích. Po dosažení nasyceného stavu zůstává magnetická polarizace konstantní i při dalším zvyšování intenzity vnějšího magnetického pole.
• Magnetická susceptibilita χm feromagnetické látky závisí nejen na intenzitě přiloženého magnetického pole, ale i na předchozím stavu látky, tj. jeví hysterezi.
• Magnetická susceptibilita χm závisí na teplotě látky způsobem, že pro každou feromagnetickou
látku existuje tzv. Curierova teplota Tc , při jejímž překročení se látka stává parametrickou3 . V
paramagnetickém stavu se magnetická susceptibilita χm řídí Curierovým-Weissovým zákonem
χm =
C
,
T − Tp
(30)
který platí pro teploty T Tc . Teplota Tp je tzv. paramagnetická Curierova teplota, která je o
několik desítek stupňů vyšší než Curierova teplota Tc .
Atomy či molekuly feromagnetické látky mají i bez přítomnosti vnějšího magnetického pole nenulový
Ampérův magnetický moment mi = 0, podobně jako u paramagnetik, avšak existuje dostatečně silné
vzájemné působení se sousedními atomy, tzv. výměnná interakce. Výsledkem tohoto působení je vznik
malých oblastí, tzv. magnetických domén, které jsou spontánně zmagnetovány do nasyceného stavu,
viz obr. ??. Objem feromagnetických domén může být řádově v rozmezí 10−3 mm3 až mm3 . Zahřátím
3
Pro železo je Tc = 769 ◦ C, pro nikl Tc = 358 ◦ C
6
feromagnetické látky nad Curierovu teplotu Tc vymizí v látce doménová struktura a tím i spontánní
magnetizace domén. Při snížení teploty látky pod Curierovu teplotu se v látce ustanoví nová doménová
struktura. Pokud není vzorek látky ve vnějším magnetickém poli, jsou magnetické momenty těchto
domén chaoticky orientovány, takže vektorový součet všech jejich magnetických momentů v makroskopickém objemu látky ΔV je roven nule. V takovém případě je látka nezmagnetována.
Sledujme nyní závislost indukce závislost magnetické indukce pole ve feromagnetiku v závislosti na
Obrázek 1: Oblasti spontánní magnetizace - domény.
velikosti intenzity vnějšího magnetického pole, B = f (H), ze stavu H = 0 dosud nemagnetovaného feromagnatika. S rostoucí hodnotou intenzity vnějšího magnetického pole se zvyšuje i velikost magnetické
indukce (případně velikost magnetizace) v uvažovaném feromagnetiku. Nárůst magnetické indukce se
děje po tzv. křivce prvotní magnetizace. Při jisté hodnotě intenzity vnějšího magnetického pole H se
dosáhne nasyceného stavu, kdy jsou již magnetické momenty všech domén orientovány souhlasně s vnějším magnetickým polem, takže magnetizace M feromagnetika zůstává konstantní při dalším zvyšování
intenzity H a magnetická indukce B jen nepatrně roste vlivem zvyšujícího se vnějšího magnetického
pole.
Budeme-li nyní intenzitu vnějšího magnetického pole snižovat, nebude se magnetická indukce B snižovat
po křivce prvotní magnetizace, ale po tzv. hysterezní křivce. Při H = 0, tj. při vypnutí vnějšího magnetického pole, zůstane látka částečně zmagnetována a magnetická indukce bude mít hodnotu B = Br ,
která se nazývá remanentní magnetická indukce. Změní-li se orientace magnetické intenzity H, tak
dochází k postupnému snižování magnetické indukce B až dosáhne nulové hodnoty, které odpovídá
hodnota magnetické indukce H = Hk , jenž se nazývá koercitivní intenzita. Další magnetování probíhá
po hysterezní křivce. Provedeme-li celý magnetizační cyklus, dostaneme uzavřenou hysterezní křivku
zvanou hysterezní smyčka feromagnetika. Celá popsaná situace je zachycena na obrázku 2. Hysterezní
smyčky různých feromagnetických látek se od sebe liší jak tvarem, tak i plošným obsahem, který smyčka
ohraničuje. Velikost této plochy souvisí se hysterezními ztrátami (čím větší plocha, tím jsou větší). Feromagnetika se širokou hysterezní smyčkou se nazývají magneticky tvrdé (vhodné pro výrobu permanentních magnetů), viz obr. 3 a), kdežto feromagnetika se úzkou hysterezní smyčkou se nazývají magneticky
měkké (vhodné pro použití ve střídavých magnetických polích), viz obr. 3 b).
7
B
Br
Hk
O
H
Obrázek 2: Hysterezní smyčka feromagnetika.
B
B
H
H
b)
a)
Obrázek 3: Hysterezní smyčka feromagnetika a) tvrdého b) měkkého.
8