Numerická integrace

Numerická integrace
KMA / NGM
F. Ježek ([email protected])
Základní pojmy
Neurčitý a určitý integrál
„ Princip numerických metod
„ Lichoběžníková metoda
„ Simpsonův vzorec
„ Zjemňování
„
Neurčitý a určitý integrál
Neurčitý integrál, primitivní funkce
„ Určitý integrál – plocha „pod funkcí“
„
Neurčitý integrál
y
f( )
f(x)
F ( x) = ∫ f ( x)dx
t
tgα
α
x
Určitý integrál
f(x)
y
b
∫ f ( x)dx
a
x
a
b
Princip numerických metod
„
„
„
Integrand (integrovanou funkci) aproximujeme
j d d šší ffunkcí
jednodušší
k íg
Určíme integrál z funkce g
Typické aproximace:
… Po
částech konstantní funkce – obdélníková metoda
… Po částech lineární funkce – lichoběžníková metoda
… Po částech kvadratická funkce – Simpsonova metoda
Li h běž ík á metoda
Lichoběžníková
t d
x1
y
∫
x0
f ( x0 ) + f ( x1 ) h
f ( x)dx
d ≈h
= ( f ( x0 ) + f ( x1 ))
2
2
f(x)
x0 = a
x1 = a + h
Li h běž ík á metoda
Lichoběžníková
t d
b
∫
a
h
f ( x)dx
d ≈ ( f ( x0 ) + f ( xn )) + h( f ( x1 ) + ... + f ( xn −1 ))
2
y
f(x)
x0
x1
xn
Si
Simpsonova
metoda
t d
p2 ( x) = ax 2 + bx + c
y
f(x)
b
p2 ( x )
∫
a
h
f ( x)dx ≈ [ f ( x0 ) + f ( xn ) +
3
+ 2( f ( x2 ) + f ( x4 ) + ... + f ( xn − 2 )) +
+ 4( f ( x1 ) + f ( x3 ) + f ( xn −1 ))]
x0 = a
x1 = a + h
x2 = a + 2 h
Zjemňování
Přesnost zlepšujeme použitím polovičního
kroku h
„ Zjemňování ukončíme
ukončíme, pokud se dvě po
sobě jdoucí hodnoty již liší méně než daná
přesnost.
přesnost
„ Při výpočtu se snažíme využít již známých
funkčních hodnot.
„