Konstrukce trojúhelníku, rovnoramenný a rovnostranný trojúhelník

10.2. Druhy trojúhelníků a jejich konstrukce
Trojúhelník je rovinný útvar skládající se ze tří stran. Co nám tyto strany mohou říci? Jestli to vůbec je
trojúhelník, jak vypadá a jaké má vlastnosti.
Trojúhelníková nerovnost – ta nám říká, zda daný trojúhelník vůbec
existuje, souvisí s délkou stran:
- v každém trojúhelníku je součet délek libovolných dvou
stran větší než délka třetí strany
a+b>c
a+c>b
b+c>a
Kdyby tomu tak nebylo, nešlo by o trojúhelník (ukážeme si to při konstrukci trojúhelníku).
Podle velikostí stran trojúhelníky dělíme na:
- obecné trojúhelníky – jednotlivé strany jsou různě dlouhé
- rovnoramenné trojúhelníky – dvě strany jsou stejně dlouhé a třetí je jiné délky
- rovnostranné trojúhelníky – všechny strany jsou stejně dlouhé
Vlastnosti rovnoramenného ∆ABC (podle obrázku):
- dvě stran jsou stejně dlouhé … a = b, tyto strany se nazývají ramena
- třetí strana má jinou délku … c, nazývá se základna a je naproti
hlavního vrcholu
- úhly u základny jsou stejně dlouhé … α = β , jsou to úhly naproti stejně
dlouhých ramen
- úhel naproti základně má jinou velikost
- trojúhelník má jednu osu souměrnosti … jde středem základny, je na ni
kolmá a prochází hlavním vrcholem
Vlastnosti rovnostranného ∆ABC (podle obrázku):
- všechny strany jsou stejně dlouhé … a = b = c
- úhly jsou stejně dlouhé … α = β = γ , jsou to úhly naproti stejně dlouhých
stran
- trojúhelník má tři osy souměrnosti … prochází středy stran, jsou na ně
kolmé a prochází jednotlivými vrcholy
Konstrukce trojúhelníku:
a) ze tří stran
je dán ∆ABC: a = 5 cm, b = 8 cm, c = 4 cm
nejprve si ověříme, zda platí trojúhelníková nerovnost (stačí součet dvou menších stran aby byl větší
než strana největší … a + c > b
rozbor – náčrtek, do kterého si barevně zaznačíme, co známe a budeme do něj přikreslovat i to, jak
budeme při rýsování postupovat
C
k2
k1
a
b
A
B
postup konstrukce – jde o matematický zápis toho, jak postupujeme při rýsování trojúhelníku
1. AB; AB= c = 4 cm
znamená to: narýsujeme úsečku AB dlouhou 4 cm
narýsujeme kružnici, střed v bodě B, poloměr 5cm
2. k1; k1 (B; r = a = 5 cm)
3. k2; k2 (A; r = b = 8 cm)
narýsujeme kružnici, střed v bodě A, poloměr 8cm
4. C; C ∈ k1 ∩ k2
bod C leží tam, kde se kružnice protnou
5. ∆ABC
dokončíme trojúhelník
počet řešení – 1 v dané polorovině (kružnice se mohou protnout totiž ještě v jednom bodě, a to dole
pod úsečkou AB, zpravidla se kreslí jenom jedno řešení)
! pokud by neplatila trojúhelníková nerovnost – kružnice by se neprotly a nešel by narýsovat trojúhelník
b) ze dvou stran a jednoho úhlu
je dán ∆ABC: a = 6 cm, c = 8 cm, β = 40°
rozbor:
a
c
postup konstrukce:
1. AB; AB= c = 8 cm
2. k; k (B; r = a = 6 cm)
3.
ABX;  ABX = 40°
4. C; C ∈ k ∩ →BX
5. ∆ABC
počet řešení – 1 v dané polorovině
tzn.: narýsujeme úsečku AB dlouhou 8 cm
narýsujeme kružnici, střed v bodě B, poloměr 6 cm
narýsujeme úhel ABX, X je libovolný bod na rameni úhlu
bod C leží tam, kde se protne kružnice a polopřímka BX
dokončíme trojúhelník
c) z jedné strany a dvou úhlů
je dán ∆ABC: a = 6 cm, β = 45°, γ = 65°
rozbor:
a
postup konstrukce:
1. BC; BC= a = 6 cm
tzn.: narýsujeme úsečku BC dlouhou 6 cm
2.
BCY;  BCY = 65°
narýsujeme úhel BCY, Y je libovolný bod na rameni úhlu
3.
CBX;  CBX = 45°
narýsujeme úhel CBX, X je libovolný bod na rameni úhlu
4. C; C ∈ →BX ∩ →CY
bod C leží tam, kde se protnou polopřímky BX a CY
dokončíme trojúhelník
5. ∆ABC
počet řešení – 1 v dané polorovině
(pokud se ramena neprotnou – není řešení, součet úhlů v trojúhelníku je roven 180°, pokud by zadané
dva úhly měly víc než 180°, nikdy se ramena neprotnou)