Úloha 1. Najděte největší přirozené číslo, které dělí výraz p 4 − 1 pro
Transkript
Úloha 1. Najděte největší přirozené číslo, které dělí výraz p 4 − 1 pro
TR ko Úloha 1. Najděte největší přirozené číslo, které dělí výraz p4 − 1 pro všechna prvočísla p > 4. Řešení. Jinými slovy hledáme největší společný dělitel a pro každé prvočíslo q potřebujeme zjisti, v jaké nejmenší mocnině může být p4 − 1 dělitelné prvočíslem q přes všechna p > 4. Je-li q > 4, je odpověď 0, protože p 6| p4 − 1. Zbývá q = 2 a q = 3. Rozložíme p4 − 1 = (p2 − 1)(p2 + 1) = (p − 1)(p + 1)(p2 + 1). Pro liché prvočíslo p bude každá z těchto tří závorek sudá a alespoň jedna ze závorek (p − 1), (p + 1) dokonce dělitelná čtyřma. Proto bude p4 − 1 dělitelné šestnácti, ale již nemusí být dělitelné číslem 32 (selže již p = 5). Podobně bude alespoň jedna z těchto dvou závorek dělitelná třemi, protože p není dělitelné třemi. Celkově tak p4 − 1 je dělitelné třemi, ale devíti již nemusí (selže již pro p = 5). bude vždy dělitelné třemi. Odpověď tak je 16 · 3 = 48. Úloha 2. Jsou dána reálná čísla a1 , a2 , . . . , an , jejichž součet je 0, ale součet jejich absolutních hodnot je 1. Dokažte |a1 + 2a2 + 3a3 + · · · + nan | ≤ n−1 2 Řešení. Stačí dokázat a1 + 2a2 + 3a3 + · · · + nan ≤ n−1 , 2 tedy bez absolutní hodnoty okolo. To proto, že je-li výraz nalevo záporný, stačí převrátit znaménka všem ai . Označme k součet kladných ai a z součet záporných ai . Platí k + z = 0, k − z = 1, tedy k = 1/2, z = −1/2. Můžeme odhadnout a1 + 2a2 + 3a3 + · · · + nan ≤ nk + z = což jsme chtěli dokázat. n−1 , 2 Úloha 3. Konvexní geometrický útvar U má tu vlastnost, že pro každou přímku p je kolmá projekce1 útvaru U na přímku p úsečkou o délce 1. Musí být už nutně U kruhem? Řešení. Nemusí, stejnou vlastnost zajistíme, když k e stranám rovnostranného trojúhelníku o straně délky 1 přilepíme kruhové úseče se středem v opačném bodě. Dohromady tyto úseče pokrývají úhel 180◦ , tedy pro každý směr se bude jedna rovnoběžka dotýkat oblouku úseče a druhá procházet protějším vrcholem. Úloha 4. Dokažte, že existuje nekonečně mnoho přirozených čísel, která nejdou vyjádřit ve tvaru a3 + b5 + c7 + d9 + e11 , kde a, b, c, d, e jsou přirozená čísla. Řešení. Zvolme přirozené číslo N a shora odhadneme počet čísel menších než N , které lze takto vyjádřit. Je-li a3 + b5 + c7 + d9 + e11 < N, musí 1 a < N 3, 1 b < N 5, 1 1 1 c < N 7, 1 1 d < N 9, 1 1 d < N 11 . 1 To dává celkově méně než N 3 · N 5 · N 7 , ·N 9 · N 11 = N 3043/3465 možností, co dosazovat za (a, b, c, d, e). Pod N je proto alespoň 3043 N − 1 − N 3465 čísel, které nejdou vyjádřit, přičemž tento počet lze našováním N učinit libovolně velký. Konkrétně pro dané n > 1 volíme N = n3465 a víme, že nevyjádřitelných čísel najdeme n3465 − 1 − n3043 > n3465 − n3044 > n(n3464 − n3043 ) > n. 1 Kolmá projekce vznikne tak, že každý bod X útvaru U nahradíme bodem přímky p, který je nejblíže k X. Úloha 5. Závaží mají postupně hmotnosti 1g, 2g, . . ., 200g. Tato závaží jsou rozestavená na rovnoramennou váhu tak, že je sto na jedné misce, sto na druhé a váha je vyvážená. Dokažte, že je možné vyměnit 50 závaží z jedné misky s 50 závažími z druhé, aby byla váha stále vyvážená. Řešení. Dvojici závaží, která má součet 201 nazveme párem. Rozlišíme dva případy. 1. Na jedné misce vah je alespoň 25 celých párů. Stejný počet celých párů bude i na druhé misce vah a každý pár váží stejně. Stačí proto prohodit 25 párů za 25 párů. 2. Na jedné misce vah je 50 závaží, které mají svůj doplněk do páru na druhé misce vah. Pak stačí těmto 50 závaží přinést jejich doplňky na první misku výměnou za nadbytečná závaží. Pak budou na obou miskách závaží spárovaná a proto budou obě vážit 201 · 50g.