Celý text - Katedra mechaniky

Západočeská univerzita v Plzni
Fakulta aplikovaných věd
Katedra mechaniky
Bakalářská práce
Modelovánı́ prouděnı́ nestlačitelné kapaliny
ve zvoleném typu bypassové anastomózy
V Plzni, 2009
Dagmar Jarkovská
Prohlášenı́
Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci zpracovala samostatně a že jsem uvedla všechny
použité prameny a literaturu, ze kterých jsem čerpala.
Plzeň, 29.05. 2009
...........................................
Poděkovánı́
Ráda bych poděkovala vedoucı́ své bakalářské práce Ing. Aleně Jonášové a konzultantovi
bakalářské práce Ing. Janu Vimmrovi, Ph.D. za množstvı́ poskytnutých rad a čas, který
mi při psanı́ této práce věnovali.
Dále děkuji své rodině za finančnı́ i psychickou podporu během celého mého studia.
Můj velký dı́k patřı́ také všem členům Katedry mechaniky za znalosti, jež mi v průběhu
studia předávali.
Abstrakt
Cı́lem této práce je provést numerické simulace laminárnı́ho prouděnı́ krve v side-to-side
anastomóze sekvenčnı́ho aorto-koronárnı́ho bypassu. Krev je uvažována jako nestlačitelná
newtonská kapalina, jejı́ž laminárnı́ prouděnı́ je popsáno nelineárnı́m systémem Navierových-Stokesových rovnic. Analýza hemodynamiky v bypassové anastomóze je realizována
pro dva různé modely. V prvnı́m přı́padě se jedná o dvourozměrný idealizovaný model paralelnı́ konfigurace side-to-side anastomózy. Pro modelovánı́ stacionárnı́ho prouděnı́
krve je v programovacı́m jazyce Fortran 90 vyvinut vlastnı́ program využı́vajı́cı́ metodu
konečných objemů v kombinaci s metodou umělé stlačitelnosti. Pro druhý, tentokrát trojrozměrný reálný model diamond konfigurace side-to-side anastomózy s reálnou geometriı́
je v komerčnı́m softwaru Altair Hypermesh 8.0 vytvořena nestrukturovaná tetrahedrová
výpočtová sı́t’. Numerická simulace nestacionárnı́ho prouděnı́ krve je provedena v prostředı́
programu Fluent 6.2. Zı́skané výsledky jsou vyhodnoceny se zřetelem na identifikaci problémových oblastı́ rozhodujı́cı́ch o přı́padném selhánı́ implantovaného bypassového štěpu.
Klı́čová slova: side-to-side anastomóza, laminárnı́ prouděnı́ krve, nestlačitelná newtonská
kapalina, systém Navierových-Stokesových rovnic, metoda umělé stlačitelnosti, Rungeovo-Kuttovo schéma, metoda konečných objemů, hemodynamika.
Abstract
The objective of this study is to perform a numerical simulation of laminar blood flow
in a side-to-side anastomosis of a sequential aorto-coronary bypass. The blood is assumed
to be an incompressible Newtonian fluid, whose laminar flow is described by the non-linear
system of the Navier-Stokes equations. The analysis of the hemodynamics in the bypass
anastomosis is performed for two different models. In the first case, a 2D idealized model
of the parallel side-to-side configuration is considered. In program language Fortran 90
own program using the finite volume method combined with the pseudo-compressibility
method is developed for numerical solution. For the second, 3D real model of the diamond
side-to-side configuration is considered, whose nonstructured tetrahedral grid is created
in comercial software Altair Hypermesh 8.0. The numerical simulation of unsteady blood
flow is implemented in Fluent 6.2. The obtained numerical results are analyzed with regard
to identification of problematic areas, which may lead to possible bypass graft failure.
Keywords: side-to-side anastomosis, laminar blood flow, incompressible Newtonian fluid,
system of Navier-Stokes equations, pseudo-compressibility method, Runge-Kutta scheme,
finite volume method, hemodynamics.
Obsah
Úvod
7
1 Oběhová soustava
1.1 Srdce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Cévy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Krev a jejı́ mechanické vlastnosti . . . . . . . .
1.3.1 Plazma . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Krevnı́ elementy . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Onemocněnı́ koronárnı́ch tepen a jejich léčba . .
1.5 Analýza hemodynamiky side-to-side anastomózy
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
9
9
10
11
12
12
13
15
2 Matematické modelovánı́ prouděnı́ nestlačitelné newtonské kapaliny
2.1 Matematický model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Metoda umělé stlačitelnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Numerické řešenı́ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Převod rovnic do bezrozměrového tvaru . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Prostorová diskretizace - metoda konečných objemů . . . . . . . .
2.3.3 Časová diskretizace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.4 Okrajové podmı́nky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
16
16
17
17
17
18
21
22
.
.
.
.
23
23
25
25
26
3 2D model side-to-side anastomózy
3.1 Vytvořenı́ modelu a výpočtové sı́tě
3.2 Numerické výsledky . . . . . . . . .
3.2.1 Rozloženı́ rychlosti . . . . .
3.2.2 Rozloženı́ tlaku . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
v
.
.
.
.
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
literatuře
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
4 Reálný 3Dmodel side-to-side anastomózy
4.1 Vytvořenı́ modelu a výpočtové sı́tě . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Nastavenı́ řešiče . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Numerické výsledky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Rozloženı́ rychlosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2 Rozloženı́ smykového napětı́ na stěně modelu side-to-side anastomózy
4.3.3 Rozloženı́ tlaku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
31
33
37
37
38
38
Závěr
43
5
OBSAH
Literatura
6
45
Úvod
Nemoci oběhové soustavy představujı́ jednu z nejčastějšı́ch přı́čin úmrtı́ v zemı́ch vyspělého
světa. Ischemická choroba srdečnı́, což je nedostatečné prokrvenı́ srdečnı́ho svalu, může
v krajnı́m přı́padě vést až k infarktu myokardu, kdy docházı́ k odumřenı́ části tkáně
kvůli omezenému přı́sunu okysličené krve do postižené oblasti. Jednu z možných metod
léčby představuje implantace koronárnı́ho bypassu, neboli přemostěnı́ neprůchodné oblasti
štěpem, nejčastěji žilnı́ho původu. Vznikajı́ tak různá spojenı́ cév - anastomózy. Rozlišujeme
tři typy: end-to-side, end-to-end a side-to-side. V poslednı́m přı́padě docházı́ k bočnı́mu
našitı́ cév. Z dostupné literatury zabývajı́cı́ se bypassovými anastomózami se většina věnuje
pouze typu end-to-side, např. [1]. Cı́lem této bakalářské práce je analýza hemodynamiky
v bypassové anastomóze typu side-to-side a identifikace oblastı́, kde lze předpokládat možný
rozvoj neointimálnı́ hyperplázie, nejčastějšı́ přı́činy selhánı́ implantovaných bypassových
štěpů. Studovány jsou dvě různé konfigurace tohoto typu anastomózy, a sice paralelnı́ a
diamond, [2].
Předkládaná bakalářská práce je rozčleněna do čtyř kapitol:
Prvnı́ z nich se věnuje oběhové soustavě, jejı́m onemocněnı́m a jejich léčbě. Jsou zde
vysvětleny lékařské termı́ny z oblasti kardiologie a kardiochirurgie, které jsou použı́vány
v této bakalářské práci. Na konci kapitoly jsou pak uvedeny poznatky o hemodynamice
koronárnı́ho bypassu, zı́skané z několika zahraničnı́ch studiı́ věnovaných dané problematice.
Ve druhé kapitole je popsán matematický model laminárnı́ho prouděnı́ nestlačitelné
newtonské kapaliny, který tvořı́ nelineárnı́ systém Navierových-Stokesových rovnic. Jedná
se o elipticko-parabolický systém parciálnı́ch diferenciálnı́ch rovnic, jenž je metodou umělé
stlačitelnosi, [4], převeden na hyperbolicko-parabolický systém. Ten je možné numericky
řešit za použitı́ časově závislých metod. K prostorové diskretizaci je zvolena metoda konečných objemů, k časové diskretizaci pak Rungeovo-Kuttovo dvoustupňové schéma druhého řádu přesnosti.
Třetı́ kapitola se zabývá dvourozměrným idealizovaným modelem paralelnı́ konfigurace side-to-side anastomózy. Numerická simulace laminárnı́ho prouděnı́ krve je provedena
prostřednictvı́m vlastnı́ho programu vyvinutého v programovacı́m jazyce Fortran 90. Jako
výstupnı́ okrajová podmı́nka jsou testovány tři varianty hodnot konstantnı́ho tlaku, jež
jsou vyhodnoceny z hlediska reálného průtoku krve koronárnı́m bypassem a celkového charakteru proudového pole.
Čtvrtá kapitola této bakalářské práce se věnuje trojrozměrnému modelu diamond konfigurace side-to-side anastomózy. V tomto přı́padě se jedná o reálnou geometrii, zı́skanou
ze snı́mků z počı́tačové tomografie, které byly poskytnuty Kardiochirurgickým oddělenı́m
Fakultnı́ nemocnice Plzeň. Dále je v této kapitole naznačena tvorba nestrukturované tetrahedrové sı́tě v komerčnı́m programu Altair Hypermesh 8.0. Vzhledem ke složitosti modelu je
7
Úvod
8
k numerickému řešenı́ nestacionárnı́ho prouděnı́ krve zvolen výpočetnı́ software Fluent 6.2.
Pro modelovánı́ prouděnı́ krve jsou použity fyziologické okrajové podmı́nky převzaté z [5],
jež jsou upravené pro potřeby našeho modelu. Zı́skané výsledky jsou analyzovány s ohledem na časový vývoj smykového napětı́ na stěně cév, rychlosti a tlaku v rámci jednoho
srdečnı́ho cyklu.
V závěru této bakalářské práce jsou numerické výsledky shrnuty a analyzovány z hlediska možného selhánı́ implantovaného koronárnı́ho bypassu pro obě uvažované konfigurace
side-to-side anastomózy. Uvedeny jsou rovněž přı́padné výhledy do budoucna týkajı́cı́ se
dané problematiky.
Vzhledem k tomu, že všechny veličiny v této práci jsou značeny standardně a jejich
význam je vždy vysvětlen za přı́slušnými vztahy, nenı́ součástı́ této práce seznam použitých
symbolů.
Kapitola 1
Oběhová soustava
1.1
Srdce
Srdce (cor ) je dutý svalový orgán o hmotnosti
260 - 320 g, [10], který zajišt’uje stálou cirkulaci
krve v lidském těle. Protože se vývojově řadı́ mezi
cévy, je jeho vnitřnı́ struktura v principu totožná
se stavbou většiny cév. Vnitřnı́ vrstva (epikard ) je
blána, která tvořı́ výstelku obou sı́nı́ a komor. Jejı́
součástı́ jsou i cı́paté chlopně: dvojcı́pá (mitrálnı́)
mezi levou sı́nı́ a levou komorou a trojcı́pá (trikuspidálnı́) mezi pravou sı́nı́ a pravou komorou.
Střednı́, nejsilnějšı́ vrstvou srdečnı́ stěny je svalová vrstva (myokard ), jež svou pravidelnou relaxacı́ a kontrakcı́ pumpuje krev do malého a
velkého krevnı́ho oběhu. Skládá se z přı́čně pruhovaných vláken, která svým specifickým
uspořádánı́m vytvářejı́ trámčitou strukturu myokardu. Povrch srdce pokrývá tenká blána (epiObrázek 1.1: Anatomie srdce.
kard ), přecházejı́cı́ podél připojených cév ve vazivové pouzdro - osrdečnı́k (perikard ).
Srdce je tvořeno dvěma sı́němi (atria) a dvěma komorami (ventriculi ), obr. 1.1. Při
staženı́ komor (systole) docházı́ k vypuzovánı́ krve ze srdce do aorty a plicnice, při svém
uvolněnı́ (diastole) se naopak obě komory plnı́ krvı́ ze sı́nı́. Tok krve uvnitř srdce je detailně
znázorněn na obr. 1.2, [7]. Odkysličená krev přitéká z celého těla žilami, které se před
srdcem spojujı́ v hornı́ (1) a dolnı́ (2) dutou žı́lu (vena cava superior, vena cava inferior )
ústı́cı́ do pravé sı́ně (3). Odtud pak krev protéká trojcı́pou chlopnı́ do pravé komory (4) a
dále plicnı́ tepnou (arteria pulmonalis) do plic (5, 6), kde docházı́ k jejı́mu okysličenı́. Poté
se již okysličená krev vracı́ plicnı́mi žilami (7) do levé sı́ně (8), odkud pokračuje dvoucı́pou
chlopnı́ do levé komory (9), z nı́ž je vypuzována do aorty (10) a vedena systémem tepen dále
do celého těla. Srdce takto přečerpá asi 5 litrů krve za minutu, [10], což přibližně odpovı́dá
celkovému objemu krve obsaženému v lidském organismu. Při této činnosti spotřebuje
srdečnı́ sval velké množstvı́ kyslı́ku, které mu dodává sı́t’ věnčitých (koronárnı́ch) tepen,
9
1.2. Cévy
10
obr. 1.3. Při omezenı́ přı́sunu kyslı́ku docházı́ k odumřenı́ tkáně, což může vést až k infarktu
myokardu.
Obrázek 1.2: Tok krve v srdci.
1.2
Obrázek 1.3: Koronárnı́ tepny: RCX - ramus
circumflexus, RIM - ramus intermedius, RD ramus diagonalis, RIA - ramus interventricularis anterior, RIVP - ramus interventricularis posterior, RPLD - ramus posterolateralis
dexter, [15].
Cévy
Oběhovou soustavu tvořı́ kromě srdce i cévy dělı́cı́ se podle své stavby na tepny (arterie),
které odvádı́ krev od srdce, žı́ly (veny), které vedou krev do srdce, a vlásečnice (kapiláry),
jež představujı́ přechod mezi oběma předchozı́mi typy.
Největšı́ tepnou lidského těla je aorta, která má průsvit asi 30 mm a dále se větvı́
na menšı́ tepny s průsvity 5 - 15 mm a tepénky (arterioly) o vnitřnı́m průměru kolem
3 mm, [10]. Vnitřnı́ vrstvu tepny (tunica intima) tvořı́ hladká, nesmáčivá výstelka (endotel),
obr. 1.4. Střednı́ vrstva (tunica media) se skládá z kruhovitě uspořádáné hladké svaloviny,
v nı́ž je vazivo umožňujı́cı́ změnu průsvitu tepny a tı́m i regulaci krevnı́ho toku a tlaku. Povrch cévy představuje vnějšı́ vazivová vrstva (tunica adventicia), která obsahuje kolagennı́
vlákna a je prostoupena vegetativnı́mi nervy.
Vnitřnı́ stavba žı́ly, obr. 1.5, se podobá stavbě tepny, pouze s tı́m rozdı́lem, že jejı́ stěna
je výrazně tenčı́, poddajnějšı́ a také obsahuje méně svaloviny. V porovnánı́ s arteriálnı́
částı́ oběhové soustavy proudı́ v žilách krev pomaleji kvůli tomu, že je vystavena menšı́mu
tlakovému spádu. Součást žil na dolnı́ch končetinách představuje i řada kapsovitých chlopnı́,
jejichž úkolem je zabraňovat zpětnému toku krve vlivem gravitace.
Vlásečnice jsou nejjemnějšı́ cévy o průsvitu v rozmezı́ 6 - 50 µm, [10]. Tvořı́ je pouze
jedna vrstva endotelových buněk, které svou strukturou umožňujı́ látkovou výměnu s mimocévnı́m prostorem.
11
1.3. Krev a jejı́ mechanické vlastnosti
Obrázek 1.4: Stavba tepny.
1.3
Obrázek 1.5: Stavba žı́ly.
Krev a jejı́ mechanické vlastnosti
Krev (haema, sanguis) je nestlačitelná vazká tekutina. Jejı́ objem v lidském těle závisı́
na pohlavı́ a hmotnosti člověka s tı́m, že průměrná hodnota se ve většina přı́padů pohybuje
kolem 5,5 l, [10]. Krev zastává v našem organismu tři životně důležité funkce:
• transport kyslı́ku z plic do tkánı́ a oxidu uhličitého z tkánı́ do plic, dále rozvod
živin, hormonů a enzymů potřebných pro látkovou výměnu a odvod odpadnı́ch látek
z organismu,
• zajištěnı́ stálého vnitřnı́ho prostředı́, tedy udržovánı́ stálého pH, teploty a acidobazické rovnováhy,
• obranu proti infekcı́m a cizorodým látkám.
Krev tvořı́ z 55% krevnı́ plazma a ze 45% krevnı́ elementy (červené a bı́lé krvinky a krevnı́ destičky). Poměr
červených krvinek vůči celkovému objemu krve se nazývá
hematokrit, který se stanovuje po odstředěnı́ krve obsahujcı́
soli zabraňujı́cı́ jejı́mu sráženı́, obr. 1.6. Normálnı́ hodnoty
se u mužů pohybujı́ v rozmezı́ 43,2% - 49,2% a u žen v rozmezı́ 35,8% - 45,4%, [10], přičemž hematokrit žilnı́ krve je
o trochu vyššı́ než hematokrit tepenné krve. Při zvýšené hla- Obrázek 1.6: Hematokrit.
dině červených krvinek se zvyšuje hustota krve, což může být
přı́činou vzniku trombózy - krevnı́ sraženiny uvnitř cévy.
Dalšı́ sledovanou hodnotou je rychlost sedimentace krevnı́ch částic. V proudı́cı́ krvi jsou
sledované elementy stejnoměrně rozptýleny a tvořı́ suspenzi ve viskóznı́ plazmě. V nesrážlivé
krvi odstavené v nádobě se rozdělı́ jejı́ součásti podle hustoty. Červené krvinky majı́ tendenci penı́zkovatět, neboli vytvářet sloupečky o velkém objemu a relativně malém povrchu.
Tyto shluky buněk klesajı́ ke dnu nádoby rychleji, než kdyby částice klesaly samostatně.
Při chorobných nebo i některých fyziologických stavech (těhotenstvı́) se zvyšuje rychlost
penı́zkovatěnı́ červených krvinek a velikost jejich shluků. Normálnı́ hodnoty sedimentace
jsou u mužů stanoveny v rozmezı́ 1 - 3 mm/hod a u žen v rozmezı́ 4 - 7 mm/hod, [9].
1.3. Krev a jejı́ mechanické vlastnosti
1.3.1
12
Plazma
Plazma je tekutá složka krve. Jedná se o průhlednou nažloutlou kapalinu skládajı́cı́ se
předevšı́m z vody (90%), anorganických (např. sodı́k, draslı́k, vápnı́k, hořčı́k) a organických
látek (cukry, tuky, bı́lkoviny). Mezi plazmatické bı́lkoviny patřı́ albuminy, které se tvořı́
v játrech a dobře vážou vodu, protože majı́ ve srovnánı́ s ostatnı́mi plazmatickými proteiny
poměrně malou molekulu. Kromě albuminů obsahuje plazma ještě globuliny a fibrinogen.
Globuliny vznikajı́ v mı́znı́ tkáni a hrajı́ důležitou roli v obranném systému organismu.
Z fibrinogenu se působenı́m enzymů vytvářı́ vláknitý fibrin tvořı́cı́ základ zátky, jež ucpává
narušenou cévnı́ stěnu. Plazma zbavená fibrinogenu se nazývá krevnı́ sérum.
1.3.2
Krevnı́ elementy
Mezi krevnı́ částice patřı́ červené krvinky (erytrocyty),
bı́lé krviny (leukocyty) a krevnı́ destičky (trombocyty),
obr. 1.7.
Červené krvinky, tvořı́cı́ 95% všech krevnı́ch elementů,
jsou bezjaderné buňky, obsahujı́cı́ červené krevnı́ barvivo hemoglobin. Majı́ plochý bikonkávnı́ tvar s průměrem okolo
8 µm a tloušt’kou 2 µm, [10]. Zdravý dospělý člověk má
přibližně 4,5 - 5,5 milionů červených krvinek v jednom miObrázek 1.7: Krevnı́ částice
lilitru krve, [9]. Vznikajı́ z mateřských buněk v červené kostnı́
(zleva červená krvinka,
dřeni a zhruba o 120 dnı́ později zanikajı́ ve slezině.
krevnı́ destička a bı́lá
Nejdůležitějšı́ funkcı́ erytrocytů je transport kyslı́ku, který
krvinka).
se váže na železo obsažené v hemoglobinu.
Bı́lé krvinky vlastnı́ na rozdı́l od těch červených jádro,
a řadı́ se tedy mezi pravé buňky. Majı́ oválný tvar s největšı́m průměrem 15 - 27 µm,
[10]. V jednom mililitru krve jich je obsaženo přibližně 4 000 - 10 000, [9]. Z hlediska své
funkce v našem těle představujı́ důležitou součást imunitnı́ho systému. Některé leukocyty
(granulocyty) obsahujı́ v cytoplazmě barvitelná zrna (granula). Podle toho, zda jsou granulocyty barvitelné kyselým nebo zásaditým barvivem, popřı́padě oběma, je rozlišujeme
na eozinofilnı́, bazofilnı́ a neutrofilnı́. Leukocyty bez barvitelných zrn (agranulocyty) dělı́me
na lymfocyty a monocyty.
Ke krevnı́m elementům řadı́me i trombocyty, což je nepřesný název, protože se nejedná o buňky v pravém smyslu slova, ale pouze o buněčné úlomky o průměru zhruba
2 - 4 µm, [9], odštěpené z velkých buněk kostnı́ dřeně. Na jeden mililitr krve jich připadá
asi 300 000, [9]. Funkčně a významově se podı́lı́ na procesu sráženı́ krve. V mı́stě poškozenı́
cévy se nahromadı́ a vytvořı́ zde zátku (destičkový trombus), do nı́ž se pak ukládajı́ vlákna
fibrinu.
1.4. Onemocněnı́ koronárnı́ch tepen a jejich léčba
1.4
13
Onemocněnı́ koronárnı́ch tepen a jejich léčba
Ischemická choroba srdečnı́ patřı́ k negativnı́m
důsledkům modernı́ho životnı́ho stylu. V České republice
způsobı́ každoročně až třetinu úmrtı́. Jedná se o onemocněnı́
koronárnı́ch tepen zásobujı́cı́ch srdečnı́ sval okysličenou krvı́.
Jeho nejčastějšı́ přı́činou je ateroskleróza. Při aterosklero- Obrázek 1.8: Aterosklerotickém procesu docházı́ k narušenı́ cévnı́ stěny. Na poško- tický proces.
zeném mı́stě vznikajı́ aterosklerotické pláty složené z lipidového jádra a fibróznı́ho krytu, obr. 1.8. Přesné přı́činy
nejsou dosud známy, ale vı́ se o faktorech, které zvyšujı́ nebezpečı́ vzniku a rozvoje aterosklerózy. Některé z nich jsou ovlivnitelné, jako napřı́klad kouřenı́, stres, vysoký krevnı́
tlak, cukrovka, zvýšená hladina krevnı́ch tuků a obezita spojená se špatnými stravovacı́mi
návyky a sedavým způsobem života, jiné naopak neovlivnitelné, k nimž se řadı́ věk
(s vyššı́m věkem riziko vzniku aterosklerózy stoupá), pohlavı́ (vı́ce jsou ohroženi muži) a
dědičnost.
Důsledkem aterosklerotického procesu se zužuje průsvit koronárnı́ arterie a jejı́ stěna ztrácı́ pružnost. Snı́žený
průtok krve tepnou má za následek to, že myokard nenı́
dostatečně zásobován krvı́ a živinami, což se projevuje
pálivou bolestı́ v srdečnı́ krajině, tzv. anginou pectoris.
Pokud se zúžená věnčitá tepna ucpe krevnı́ sraženinou
(trombem) a zcela se přerušı́ průtok krve, může dojı́t i
k úplnému odumřenı́ tkáně srdečnı́ho svalu. Tento stav se
označuje jako infarkt myokardu.
Při onemocněnı́ věnčitých tepen jsou nejprve postiženému podávány medikamenty. Pacient by měl zároveň
změnit svůj životnı́ styl, tzn. přejı́t na zdravějšı́ způsob
stravovánı́, zvýšit fyzickou aktivitu, popřı́padě přestat kouřit. Pokud se přesto projevy choroby zhoršujı́, přistupuje
se k invazivnı́ terapii. Prvnı́ možnostı́ je angioplastika.
Do mı́sta zúženı́ (stenózy) se pomocı́ katetru zavede balónek, jehož nafouknutı́m se tepna v postižené oblasti
rozšı́řı́. Tento zákrok však často nepřinášı́ trvalé zlepšenı́, Obrázek 1.9: Aplikace stentu
protože docházı́ k opětovnému zúženı́ (restenóze). Řešenı́ do zúžené koronárnı́ tepny, 1 představuje vloženı́ stentu, který napomáhá udržovat tep- vsunutı́ stentu do postiženého
nu roztaženou a zabraňuje tak vzniku restenózy v daném mı́sta arterie, 2 - roztaženı́
mı́stě. Jeho aplikace je znázorněna na obr. 1.9.
stentu pomocı́ balónku, 3 - obNemocnı́ s rozsáhlým postiženı́m, kde angioplastika novenı́ průtoku krve tepnou.
nebo stent nejsou dostatečně účinné, podstupujı́ chirurgický zákrok v podobě přemostěnı́ neprůchodné části, resp.
částı́, koronárnı́ arterie pomocı́ vhodného štěpu, neboli implantaci tzv. koronárnı́ho bypassu. Jedná se bud’ o aorto-koronárnı́ bypass, kde je prvnı́ (proximálnı́) část štěpu napojena na aortu a druhá (distálnı́) na koronárnı́ tepnu za mı́sto s přerušeným průtokem
krve, nebo o koronaro-koronárnı́ bypass, při němž jsou oba konce štěpu našity na koronárnı́
1.4. Onemocněnı́ koronárnı́ch tepen a jejich léčba
14
arterii. Kardiochirurgové se při implantaci bypassu snažı́ obnovit zásobovánı́ krvı́ pro co
největšı́ oblast myokardu, často proto jednı́m štěpem přemostı́ vı́ce neprůchodných mı́st,
neboli štěp, popřı́padě štěpy, připojı́ k několika větvı́m koronárnı́ho stromu najednou. Touto
technikou se vytvářı́ tzv. sekvenčnı́ bypass, obr. 1.10.
Běžně se užı́vajı́ syntetické a autolognı́ štěpy, jež se dále dělı́ na tepenné a žilnı́. Syntetická varianta se pro koronárnı́ bypass ukázala v praxi jako nevhodná a nacházı́ uplatněnı́
spı́še při přemostěnı́ tepen s většı́m průsvitem, např. u tepen dolnı́ch končetin (stehennı́,
podkolennı́). Přı́klad tepenného štěpu představuje prsnı́ nebo vřetennı́ tepna (arteria mammaria, arteria radialis). Nejčastěji se však použı́vajı́ žilnı́ štěpy odebrané z dolnı́ch končetin
(vena saphena magna, vena saphena parva). Při aplikaci bypassu vznikajı́ různé typy
vzájemného napojenı́ cév (anastomóz ), obr. 1.11, pro něž se v lékařstvı́ použı́vajı́ názvy
převzaté z anglické terminologie:
• end-to-side (obr. 1.11, vlevo nahoře): konec jedné cévy se našije na stěnu druhé,
• end-to-end (obr. 1.11, vlevo dole): konce cév se připojı́ k sobě,
• side-to-side (obr. 1.11, vpravo): bočnı́ spojenı́ cév.
Obrázek 1.10: Sekvenčnı́ aorto-koronárnı́
bypass, [3].
Obrázek 1.11: Typy bypassových anastomóz: end-to-side (vlevo nahoře),
end-to-end (vlevo dole) a side-to-side
(vpravo), [6].
Stejně jako u angioplastiky je i životnost koronárnı́ho
bypassu omezená, v porovnánı́ s nı́ je však delšı́. Zatı́mco
u angioplastiky docházı́ k restenóze většinou do dvou let,
40-60% bypassů ztrácı́ průchodnost až během deseti let,
[3]. K nejčastějšı́m přı́činám selhánı́ chirurgicky vytvořených přemostěnı́ patřı́ virové a bakteriálnı́ infekce, krevnı́
sraženiny (tromby) a neointimálnı́ hyperplázie, obr. 1.12. Obrázek 1.12: Řez distálnı́
Jedná se o pooperativnı́ proces hojenı́ poškozené tkáně, anastomózou postiženou inkterý může za určitých okolnostı́ vést ke ztrátě průchod- timálnı́ hyperpláziı́.
nosti koronárnı́ tepny nebo štěpu způsobené nadměrným
růstem vnitřnı́ výstelky cévnı́ stěny (tunica intima) v oblasti napojenı́ štěpu na nativnı́ arterii.
1.5. Analýza hemodynamiky side-to-side anastomózy v literatuře
1.5
15
Analýza hemodynamiky side-to-side anastomózy
v literatuře
Z dostupné literatury zabývajı́cı́ se prouděnı́m krve v koronárnı́m bypassu se problematice side-to-side anastomózy věnuje jen velmi
málo studiı́, z nichž jmenujme napřı́klad [2]
a [5]. V [2] je zkoumán stacionárnı́ i nestacionárnı́ tok krve ve dvou různých konfiguracı́ch tohoto typu anastomózy. Konkrétně se
jedná o diamond, při nı́ž jsou štěp a nativnı́
arterie k sobě umı́stěny křı́žem, a parelelnı́,
kdy jsou obě cévy uloženy rovnoběžně vedle
sebe, obr. 1.13, kde G (graft) značı́ štěp a H Obrázek 1.13: Dvě různé konfigurace side(host) tepnu. Pojmy označujı́cı́ tyto dvě konfi- to-side anastomózy, G (graft) - bypassový
gurace (diamond a paralelnı́) budou použity i štěp, H (host) - nativnı́ arterie.
pro potřeby našı́ práce. Z jejich porovnánı́ v [2]
vyšla lépe paralelnı́ varianta, kde byl pozorován menšı́ počet oblastı́ s extrémnı́ hodnotou
smykového napětı́ na stěně. Dalšı́m sledovaným aspektem byl poměr průměrů bypassového
štěpu a koronárnı́ tepny, na nı́ž je napojen. Bylo zjištěno, že lepšı́ch výsledků je dosaženo
při menšı́m průměru nativnı́ arterie než při shodném průměru cév. Na závěr je nutné poznamenat, že v této studii byl uvažován značně idealizovaný geometrický model side-to-side anastomózy, který neodpovı́dá jejı́mu chirurgickému provedenı́, a to zejména v oblasti
napojenı́ štěpu na tepnu.
V [5] byly sledovány rozdı́ly v hemodynamice side-to-side a end-to-side anastomózy.
Ovšem na rozdı́l od [2] byla použita reálná geometrie zı́skaná z CT vyšetřenı́ provedeného
dvěma pacientům, jimž byl implantován bypassový štěp. Z této práce jsme pro naše potřeby
převzali časový průběh objemového průtoku krve v side-to-side anastomóze v rámci jedné
periody odpovı́dajı́cı́ jednomu srdečnı́mu cyklu, obr. 1.14. Z nich jsme využili hodnotu
průtočného množstvı́ v bypassovém štěpu (řez 1) a v nativnı́ arterii (řez 3) před mı́stem
vzájemného napojenı́.
Obrázek 1.14: Objemový průtok Q(t) side-to-side anasotmózou: řez 1 - štěp před oblastı́
napojenı́, řez 2 - štěp za oblastı́ napojenı́, řez 3 - nativnı́ arterie před oblastı́ napojenı́,
řez 4 - nativnı́ arterie za oblastı́ napojenı́, řez 5 - nativnı́ arterie před mı́stem zúženı́.
Kapitola 2
Matematické modelovánı́ prouděnı́
nestlačitelné newtonské kapaliny
2.1
Matematický model
Uvažujeme časoprostorový válec ΩT = Ω × (0, T ), kde Ω ⊂ R2 je dvourozměrná výpočtová
oblast s hranicı́ ∂Ω = ∂Ωin ∪ ∂Ωout ∪ ∂Ωwall a (0, T ) je časový interval. Označenı́ ∂Ωin
představuje část hranice výpočtové oblasti na vstupu, ∂Ωout značı́ výstup a ∂Ωwall pevnou,
nepropustnou stěnu.
Výchozı́ kompaktnı́ systém rovnic popisujı́cı́ch izotermické laminárnı́ prouděnı́
nestlačitelné newtonské kapaliny, přičemž vnějšı́ objemové sı́ly neuvažujeme, je tvořen
• rovnicı́ kontinuity
∂vj
= 0,
∂yj
(2.1)
• Navierovými-Stokesovými rovnicemi
̺
∂
∂p
τij
∂vi
+̺
(vi vj ) +
=
,
∂t
∂yj
∂yi
∂yj
(2.2)
kde i, j = 1, 2, vi je i-tá složka vektoru rychlosti v = [v1 , v2 ]T ve směru kartézské souřadnice
yi vektoru prostorových proměnných y = [y1 , y2]T , ̺ je hustota kapaliny a τij je tenzor
napětı́ definovaný následujı́cı́m způsobem:
∂vi
∂vj
τij = η
.
+
∂yj
∂yi
(2.3)
Do (2.2) dosadı́me (2.3) a vydělı́me hustotou ̺
∂
∂ 2 vi
∂vi
+
(vi vj + P δij ) = ν
,
∂t
∂yj
∂yj ∂yj
16
(2.4)
17
2.2. Metoda umělé stlačitelnosti
kde P = ̺p je kinematický tlak, δij je Kroneckerova delta a ν = η̺ je kinematická vazkost.
Společně s rovnicı́ kontinuity (2.1) tak dostaneme systém Navierových-Stokesových rovnic
pro nestlačitelnou newtonskou kapalinu ve 2D, který můžeme po složkách vyjádřit jako
∂u
∂t
∂v
∂t
∂u ∂v
+
= 0,
∂x ∂y
2
∂ 2
∂
∂ u ∂2u
,
+
(u + P ) +
(uv) = ν
+
∂x
∂y
∂x2 ∂y 2
2
∂
∂ 2
∂ v ∂2v
.
+
(uv) +
(v + P ) = ν
+
∂x
∂y
∂x2 ∂y 2
(2.5)
(2.6)
(2.7)
Tento systém parciálnı́ch diferenciálnı́ch rovnic je elipticko-parabolický. K jeho numerickému řešenı́ použijeme metodu umělé stlačitelnosti, poprvé použitou Chorinem v roce
1967, [4].
2.2
Metoda umělé stlačitelnosti
Do rovnice (2.5) přidáme člen vyjadřujı́cı́ umělou stlačitelnost uvažované kapaliny. Zı́skáme
tak hyperbolicko-parabolický systém parciálnı́ch diferenciálnı́ch rovnic, který lze numericky
řešit pomocı́ metod vhodných pro řešenı́ hyperbolického systému parciálnı́ch diferenciálnı́ch
rovnic
∂u
∂t
∂v
∂t
1 ∂P
∂u ∂v
= 0,
+
+
β 2 ∂t
∂x ∂y
2
∂ 2
∂
∂ u ∂2u
+
(u + P ) +
(uv) = ν
+
,
∂x
∂y
∂x2 ∂y 2
2
∂
∂ 2
∂ v
∂2v
+
(uv) +
(v + P ) = ν
+
,
∂x
∂y
∂x2
∂y 2
(2.8)
(2.9)
(2.10)
kde parametr β [m s−1 ] je potřeba vhodně zvolit. V našem přı́padě ho √
odhadneme jako
největšı́ předpokládanu velikost rychlosti ve výpočtové oblasti, β = max2 u2 + v 2 .
Ω⊂R
2.3
2.3.1
Numerické řešenı́
Převod rovnic do bezrozměrového tvaru
Modifikovaný systém Navieorových-Stokesových rovnic pro prouděnı́ nestlačitelné newtonské kapaliny (2.8) - (2.10) převedeme do bezrozměrového tvaru podle následujı́cı́ch
vztahů:
18
2.3. Numerické řešenı́
x∗ =
β∗ =
x
lref
, y∗ =
y
lref
, u∗ =
u
uref
, v∗ =
v
uref
,
β
P
t · uref
ν
, P ∗ = 2 , ν∗ =
, t∗ =
,
uref
uref
νref
lref
kde bezrozměrové veličiny jsou označeny hvězdičkou a kde lref , uref a νref představujı́ referenčnı́ hodnoty. Zı́skáme tak bezrozměrový systém rovnic
∂u∗
∂t∗
∂v ∗
∂t∗
u
∗
∂v ∗
∂P ∗
∗2 ∂u
+β
+
= 0,
∂t∗
∂x∗ ∂y ∗
∂
ν ∗ ∂ 2 u∗ ∂ 2 u∗
∂
∗2
∗ ∗
∗
+ ∗ (u + P ) + ∗ (u v ) =
+
,
∂x
∂y
Re∞ ∂x∗ 2 ∂y ∗ 2
2 ∗
∂ v
∂
∂
ν∗
∂2v∗
∗ ∗
∗2
∗
+ ∗ (u v ) + ∗ (v + P ) =
+
,
∂x
∂y
Re∞ ∂x∗2 ∂y ∗2
(2.11)
(2.12)
(2.13)
·l
ref
kde Re∞ = ref
je Reynoldsovo čı́slo. V dalšı́m textu, pokud nebude výslovně uvedeno
νref
jinak, uvažujeme všechny veličiny bezrozměrově.
Rovnice (2.11) - (2.13) lze přepsat v kompaktnı́m vektorovém tvaru následujı́cı́m
způsobem:
∂w ∂f(w) ∂g(w)
∂fv (w) ∂gv (w)
1
,
+
+
=
+
∂t
∂x
∂y
Re∞
∂x
∂y
(2.14)
kde pro vektor neznámých, tzv. primitivnı́ch proměnných w a kartézské složky f(w), g(w)
vektoru nevazkého toku a kartézské složky fv (w) a gv (w) vektoru vazkého toku platı́
 
 2 
 2 
 
 
0
P
β u
β v
0
∂u
∂u
2
w =  u  , f(w) =  u + P  , g(w) =  uv  , fv (w) = ν  ∂x  , gv (w) = ν  ∂y  .
∂v
∂v
v
uv
v2 + P
∂x
∂y
2.3.2
Prostorová diskretizace - metoda konečných objemů
K prostorové diskretizaci modifikovaného systému Navierových-Stokesových rovnic (2.14)
použijeme metodu konečných objemů, [8], na strukturované čtyřúhelnı́kové sı́ti. Systém
rovnic (2.14) zintegrujeme přes každou čtyřúhelnı́kovou buňku Ωij , i = 1, ..., NCI ,
j = 1, ..., NCJ , kde NC = NCI × NCJ je počet všech buněk zvolené sı́tě,
Z
Ωij
∂w
dΩ = −
∂t
Z Ωij
Z 1
∂fv ∂gv
∂f(w) ∂g(w)
dΩ +
dΩ.
+
+
∂x
∂y
Re∞
∂x
∂y
Ωij
(2.15)
19
2.3. Numerické řešenı́
Přesné řešenı́ w(y, t) aproximujeme na čtyřúhelnı́kové buňce Ωij konstantnı́ funkcı́ wij ,
která je střednı́ hodnotou
1
wij ≈
|Ωij |
Z
(2.16)
w(y, t)dΩ,
Ωij
kde |Ωij | je obsah buňky vypočı́taný ze souřadnic jejı́ch uzlů, obr. 2.1,
1
|Ωij | = |(x3 − x1 )(y4 − y2 ) − (y3 − y1 )(x4 − x2 )|.
2
(2.17)
Obrázek 2.1: Čtyřúhelnı́ková buňka Ωij
Po dosazenı́ (2.16) do rovnice (2.15) a následném použitı́ Greenovy věty, která převádı́
plošné integrály na křivkové, zı́skáme rovnici
dwij (t)
|Ωij | = −
dt
I
1
(f(w)nx + g(w)ny )dl +
Re∞
I
(fv (w)nx + gv (w)ny )dl.
(2.18)
∂Ωij
∂Ωij
Křivkové integrály na pravé straně rovnice (2.18), vyjadřujı́cı́ celkový tok hranicı́ ∂Ωij
čtyřúhelnı́kové buňky Ωij , nahradı́me součtem integrálů přes jednotlivé strany buňky
4 Z
X
dwij (t)
y m
|Ωij | = −
(fm (w) x nm
ij + gm (w) nij )dl +
dt
m=1
(2.19)
Γm
ij
4 Z
1 X
y m
(fvm (w) x nm
+
ij + gvm (w) nij )dl,
Re∞ m=1
Γm
ij
x m y m
m
kde nm
ij = ( nij , nij ) je jednotkový vektor vnějšı́ normály k m-té straně Γij buňky Ωij .
Integrály v sumách v předchozı́ rovnici (2.19) nahradı́me aplikacı́ věty o střednı́ hodnotě
20
2.3. Numerické řešenı́
4
1 X
dwij (t)
y m
m
(fm (w) x nm
=−
ij + gm (w) nij )|Γij | −
dt
|Ωij | m=1
4
1 X
y m
m
x m
−
(fv (w) nij + gvm (w) nij )|Γij | ,
Re∞ m=1 m
(2.20)
kde |Γm
ij | je délka m-té strany čtyřúhelnı́kové buňky Ωij . Pokud zavedeme vektor vnějšı́
x
y T
normály Sm = (Sm
, Sm
) = (∆ym , −∆xm )T = (ym+1 − ym , −(xm+1 − xm ))T k m-té straně
této buňky, rovnici (2.20) můžeme přepsat
4 1 1 X dwij (t)
y
x
x
y
fm (w)Sm + gm (w)Sm −
fv (w)Sm + gvm (w)Sm .(2.21)
=−
dt
|Ωij | m=1
Re∞ m
Kartézské složky fm (w) a gm (w) nevazkého toku numericky aproximujeme následujı́cı́m
způsobem:
1
(f(wij )) + f(wi+1j ),
2
1
f3 (w) = (f(wij )) + f(wi−1j ),
2
f1 (w) =
1
f2 (w) = (f(wij )) + f(wij+1 ),
2
1
f4 (w) = (f(wij )) + f(wij−1 ).
2
Obrázek 2.2: Čtyřúhelnı́ková buňka Ωij a duálnı́ buňka Ωi+ 1 j přı́slušejı́cı́ jejı́ prvnı́ straně.
2
Výpočet vazkých toků provedeme pomocı́ duálnı́ch buněk zvolených podle obr. 2.2. K aproximaci derivacı́ rychlosti u na m-té stěně buňky Ωij (vyberme napřı́klad stěnu m = 1)
použijeme větu o střednı́ hodnotě a Greenovu větu
∂u
|Ωi+ 1 j |
2
∂x
|Ωi+ 1 j |
2
∂u
∂y
i+ 12 j
i+ 12 j
≈
Z Ωi+ 1 j
2
≈
Z Ωi+ 1 j
2
I
4
X
∂u
dΩ =
uk Skx ,
unx dl =
∂x
k=1
(2.22)
∂Ωi+ 1 j
2
I
4
X
∂u
uk Sky ,
dΩ =
uny dl =
∂y
k=1
∂Ωi+ 1 j
2
(2.23)
21
2.3. Numerické řešenı́
kde |Ωi+ 1 j | je obsah duálnı́ buňky přı́slušı́cı́ dané straně. Výpočet derivacı́ rychlostı́ na stěně
2
čtyřúhelnı́kové buňky Ωij pro m = 1 tedy provedeme následovně:
∂u
∂x
∂u
∂y
i+ 21 j
i+ 21 j
1
≈
|Ωi+ 1 j |
2
≈−
1
4
X
k=1
4
X
|Ωi+ 1 j |
2
uk ∆yk ,
(2.24)
uk ∆xk ,
(2.25)
k=1
kde ∆xk , ∆yk jsou souřadnice vektoru vnějšı́ normály Sk ke k-té stěně duálnı́ buňky a uk
jsou rychlosti na téže stěně duálnı́ buňky Ωi+ 1 j
2
u1 = 21 (uij + ui+ 1 j− 1 ),
2
2
u3 = 21 (ui+1j + ui+ 1 j+ 1 ),
2
2
u2 = 12 (u1+1j + ui+ 1 j− 1 ),
2
2
u4 = 12 (uij + ui+ 1 j+ 1 ).
2
2
Pro aproximaci derivacı́ rychlosti u na hranici výpočtové oblasti, tzn. neexistuje buňka
Ωi+1j , musı́me výpočet trochu pozměnit:
∂u
1
(2.26)
≈ △ (u1 ∆y1 + uB2 B4 ∆yB2 B4 + u4 y4 ),
∂x i+ 1 j
|Ω
1 |
i+ 2 j
2
1
∂u
(2.27)
≈ − △ (u1 ∆x1 + uB2 B4 ∆xB2 B4 + u4 x4 ),
∂y i+ 1 j
|Ω
1 |
i+ j
2
2
kde
|Ω△
|
i+ 21 j
je obsah trojúhelnı́kové duálnı́ buňky (B1 , B2 , B4 ).
∂v
)i+ 1 j , ( ∂v
) 1 určı́me obdobným způsobem, výměnou v za u.
Aproximace derivacı́ ( ∂x
∂y i+ j
2
2.3.3
2
Časová diskretizace
Pro řešenı́ soustavy obyčejných diferenciálnı́ch rovnic (2.21) použijeme dvoustupňové
Rungeovo-Kuttovo schéma druhého řádu přesnosti v čase.
4 1 n x
∆t X n x
y
n
n y
fij = wij −
f S + gm Sm −
f S + gvm Sm ,
w
|Ωij | m = 1 m m
Re∞ vm m
4 ∆t X n x
n+1
n
n y
x
y
em Sm
wij = wij −
fm Sm + gm
Sm + e
fm Sm
+g
−
2|Ωij | m=1
1 n x
y
n
x
y
n
e
evm Sm + Dwij
−
.
f S + gvm Sm + fvm Sm + g
Re∞ vm m
(2.28)
(2.29)
n
Z důvodu zajištěnı́ stability řešenı́ je do výpočtu přidána umělá vazkost Dwij
, která je
definována
n
n
n
n
n
Dwij
= (P1+1j
− 2Pijn + Pi−1j
)e + (P1j+1
− 2Pijn + Pij−1
)e,
přičemž e = [ε, 0, 0], ε > 0.
(2.30)
22
2.3. Numerické řešenı́
Časový krok
Při výpočtu časového kroku ∆t vycházı́me z podmı́nky stability
CF L
∆t ≤ min
,
ij
χ
kde volı́me CF L = 0, 8 pro Rungeovo-Kuttovo dvoustupňové schéma a
1
1
2
|λ1 (A(wij )|max |λ2 (B(wij ))|max
+
,
+
+
χ=
∆xij
∆yij
Re∞ ∆x2ij ∆yij2
(2.31)
(2.32)
kde vlastnı́ čı́sla Jacobiových matic A(wij ) a B(wij ) nevazkých toků f(w) a g(w) jsou
q
(2.33)
|λ1 (A(wij ))|max = |uij | + u2ij + β 2 ,
q
|λ2 (B(wij ))|max = |vij | + vij2 + β 2
(2.34)
a aproximace délek stran buňky Ωij počı́táme ze vzorců
∆xij =
2|Ωij |
,
|S1 − S3 |
∆yij =
2|Ωij |
,
|S2 − S4 |
(2.35)
přičemž |Ωij | je obsah buňky a Sm , m = 1, 2, 3, 4 jsou vnějšı́ normály jejı́ch stran.
Reziduum
Pro možnost sledovánı́ vývoje konvergence zvolené numerické metody určujeme reziduum
ve tvaru
v
2
n+1
u
n
uP
u |Ωij | Pij −Pij
∆t
u ij
P
.
(2.36)
Rez = u
t
|Ωij |
ij
Jedná se o vážený průměr časových derivacı́ kinematického tlaku v bezrozměrovém tvaru
ze všech buněk obsažených ve výpočtové oblasti.
2.3.4
Okrajové podmı́nky
Pro výpočet byly zvoleny následujı́cı́ typy okrajových podmı́nek:
• ∂Ωin (vstup): parabolický rychlostnı́ profil, hodnoty tlaku extrapolujeme z proudového pole,
• ∂Ωout (výstup): konstantnı́ tlak, hodnoty rychlosti zı́skáme extrapolacı́ z proudového
pole,
• ∂Ωwall (stěna): podmı́nka nulové rychlosti na stěně (no-slip boundary condition).
Kapitola 3
2D model side-to-side anastomózy
3.1
Vytvořenı́ modelu a výpočtové sı́tě
Pro dvourozměrný model side-to-side anastomózy byla vybrána diamond konfigurace, kdy
jsou bypassový štěp a nativnı́ arterie umı́stěny rovnoběžně vedle sebe, obr. 1.13 (vpravo).
Hodnoty průměrů obou cév, DG = 4, 297 mm pro štěp a DA = 1, 705 mm pro tepnu, byly
naměřeny na reálném modelu side-to-side anastomózy, jı́mž se zabývá následujı́cı́ kapitola
této práce. Pro zidealizovaný dvourozměrný geometrický model, obr. 3.1, byly použity
oblouky kružnic o poloměrech 700 mm pro implantovaný štěp a 500 mm pro tepnu. Zvolené
oblouky odpovı́daly středovým úhlům 18◦ (štěp) a 25◦ (tepna).
Obrázek 3.1: Dvourozměrný zidealizovaný model side-to-side anastomózy.
Ve srovnánı́ s modely side-to-side použitými v jiných pracı́ch, např. [2], geometrie znázorněná
na obr. 3.1 lépe odpovı́dá jejı́mu reálnému chirurgickému řešenı́, naznačenému na obr. 3.2.
Obrázek 3.2: Chirurgické řešnı́ side-to-side anastomózy (anchor technique), [6].
23
24
3.1. Vytvořenı́ modelu a výpočtové sı́tě
Pro potřeby následujı́cı́ch numerických výpočtů byla v programu Matlab 7.0 vytvořena
čtyřúhelnı́ková sı́t’ o 37 440 buňkách. Protože krev byla modelována jako vazká newtonská
kapalina, bylo provedeno zahuštěnı́ sı́tě v blı́zkosti stěn pro vhodné zachycenı́ meznı́ vrstvy.
Detail vygenerované výpočtové sı́tě v proximálnı́ části napojenı́ cév je znázorněn na obr. 3.3.
y [m]
0.506
0.505
0.504
0.503
0.502
0.501
0.5
0.499
−0.024
−0.022
−0.02
−0.018
−0.016
−0.014
−0.012
−0.01
x [m]
Obrázek 3.3: Detail výpočtové sı́tě v proximálnı́ části napojenı́ cév.
S využitı́m metod numerického řešenı́ nelineárnı́ho systému Navierových-Stokesových
rovnic, uvedených v předchozı́ kapitole, byl v programovacı́m jazyce Fortran 90 vytvořen
vlastnı́ numerický řešič prouděnı́ krve v side-to-side anastomóze. Parametry určujı́cı́ tokové
vlastnosti krve protékajı́cı́ bypassovou anastomózou byly nastaveny podle hodnot běžně
užı́vaných v literatuře, např. [2] nebo [5],
• hustota: ρ = 1060 kg·m−3 ,
• dynamická vazkost: η = 0, 0037 kg·m−1 · s−1 .
Okrajové podmı́nky
A
Na obou vstupnı́ch částech (∂ΩG
in a ∂Ωin ) uvažovaného modelu side-to-side anastomózy
byly předepsány parabolické rychlostnı́ profily, lišı́cı́ se pouze hodnotou střednı́ rychlosti
G
A
v̄in
= 0, 141 m · s−1 pro štěp a v̄in
= 0, 022 m · s−1 pro koronárnı́ tepnu. Tyto hodnoty
byly převzaty z [5] a upraveny tak, aby vyhovovaly rozměrům modelu použitého v této
A
práci. Na výstupech (∂ΩG
out a ∂Ωout ) byly zadány konstantnı́ tlaky, pro něž byly testovány
tři varianty hodnot, tab. 3.1, tak aby bylo možné sledovat změny proudového pole v části
koronárnı́ tepny za napojenı́m. Vzhledem k tomu, že stěny modelu (∂Ωwall ) jsou uvažovány
pevné a nepropustné, byla na dané části hranice uvažována podmı́nka nulové rychlosti (noslip boundary condition).
25
3.2. Numerické výsledky
pG
out [Pa]
varianta č. 1 12 000
varianta č. 2 12 000
varianta č. 3 12 000
pA
out [Pa]
12 000
11 930
11 900
Tabulka 3.1: Hodnoty tlaku definovaného na výstupu implantovaného štěpu pG
out a nativnı́
A
arterie pout .
3.2
Numerické výsledky
Pro numerickou simulaci prouděnı́ krve byl použit dvourozměrný idealizovaný model paralelnı́ konfigurace side-to-side anastomózy. V rámci vlastnı́ho řešiče vyvinutého v programovacı́m jazyce Fortran 90 byl bezrozměrový systém Navierových-Stokesových rovnic
(2.11) - (2.13) numericky řešen za použitı́ následujı́cı́ch referenčnı́ch hodnot: lref = DG =
G
= 0, 004 297 m, uref = v̄in
= 0, 141 m · s−1 a νref = ν = ηρ = 0,0037
= 3, 490 6 · 10−6 m2 · s−1 .
1060
Při výpočtu umělé vazkosti (2.30) byl pro všechny uvažované varianty okrajových podmı́nek
zvolen jednotný koeficient umělé vazkosti ε = 0, 001.
Vývoj konvergence metody umělé stlačitelnosti byl sledován pomocı́ rezidua definovaného vztahem (2.36), obr. 3.4. Výsledné rozloženı́ rychlosti a tlaku pak bylo zobrazeno pomocı́ vizualizačnı́ch prostředků softwaru Matlab 7.0. Pro vytvořenı́ jisté představy
o dosažených hodnotách v uvažovaném dvourozměrném modelu jsou rychlosti a tlaky v této
práci znázorněny rozměrově.
0
0
10
10
−5
−5
Rez
10
Rez
10
−10
−10
10
10
−15
10
0
−15
5
10
Pocet iteraci
15
5
x 10
10
0
5
10
Pocet iteraci
15
5
x 10
Obrázek 3.4: Vývoj rezidua časové derivace tlaku v průběhu výpočtu - varianta č. 1, 2, 3.
3.2.1
Rozloženı́ rychlosti
Ze zobrazenı́ rychlostnı́ch profilů ve vybraných řezech v oblasti napojenı́ cév, obr. 3.5,
je patrné, že při aplikaci prvnı́ varianty výstupnı́ch okrajových podmı́nek se průtok krve
po našitı́ bypassového štěpu výrazně nezvýšil a bypass tak neplnil svou funkci. Prvnı́ varianta okrajové podmı́nky se tedy ukázala jako nevhodná. U dalšı́ch dvou použitých variant, obr. 3.6 a 3.7, již bylo možné pozorovat zřetelný nárůst průtoku krve na výstupu
nativnı́ arterie. V distálnı́ oblasti anastomózy, kde se tok krve rozděloval mezi bypassový štěpu a koronárnı́ tepnu, však docházelo k nárazu proudu na stěnu tvořı́cı́ napojenı́
obou cév. Toto mı́sto představujı́cı́ našitı́ štěpu na koronárnı́ tepnu tak lze označit jako
3.2. Numerické výsledky
26
potenciálnı́ problematickou oblast, jež může významně přispět k selhánı́ bypassu. Z hlediska hemodynamiky představujı́ oblast se zvýšeným rizikem vzniku intimálnı́ hyperplázie
a následného selhánı́ bypassu mı́sta s nı́zkými rychlostmi. Nedocházı́ zde totiž k dostatečné
stimulaci endotelových buněk cévnı́ stěny, což zapřı́čiňuje jejı́ zbytněnı́. Na obr. 3.8 - 3.10
je znázorněno rozloženı́ izočar rychlosti v celém modelu side-to-side anastomózy, v oblasti
napojenı́ cév a v jeho distálnı́ části, kde lze identifikovat zónu nı́zké rychlosti při spodnı́
stěně nativnı́ arterie. Velikost této oblasti se zmenšuje se zvětšujı́cı́m se rozdı́lem výstupnı́ch
tlaků předepsaných na štěpu a nativnı́ arterii. Třetı́ varianta okrajových podmı́nek se tedy
v tomto ohledu jevı́ jako nejvýhodnějšı́, protože zde docházı́ k rovnoměrnějšı́mu rozdělenı́
toku krve mezi štěp a nativnı́ arterii, a tı́m i zmenšenı́ zóny nı́zké rychlosti.
V distálnı́ části napojenı́ je možné sledovat poruchy proudového pole, jejichž intenzita
se zvyšuje s rostoucı́m rozdı́lem výstupnı́ch tlaků. Tento fakt je pravděpodobně způsoben
ostrým úhlem napojenı́ cév a při budoucı́m modelovánı́ side-to-side anastomózy by bylo
vhodné jej zaoblit a přiblı́žit tak vı́ce reálné geometrii. Je ovšem nutné poznamenat, že
přestože idealizovaná geometrie použitá v této bakalářské práci nenı́ plně vyhovujı́cı́, odpovı́dá chirurgickému řešenı́ side-to-side anastomózy, obr. 3.2, lépe než geometrie použité
v jiných pracı́ch, např. [2]. Oproti studiı́m, které se zabývajı́ end-to-side anastomózou,
[1], [5], nebyla v našem přı́padě zjištěna žádná recirkulačnı́ zóna, jejı́ž nebezpečı́ spočı́vá
ve zvýšeném riziku hromaděnı́ krevnı́ch elementů v dané oblasti a tudı́ž ohroženı́ vznikem
trombóz.
3.2.2
Rozloženı́ tlaku
Dalšı́ veličinou, která má velký význam v oběhové soustavě, je krevnı́ tlak. Měřenı́ tlaku
patřı́ k běžně prováděným lékařským vyšetřenı́m, kdy se pomocı́ tlakoměru (tonometru)
zjišt’uje systolický a diastolický tlak krve v pažnı́ tepně. Jako normálnı́ hodnoty se uvádı́
120 Torr (16 kPa) pro systolický tlak a 80 Torr (10,7 kPa) pro diastolický tlak, [9]. Vlivem
ztráty pružnosti cévnı́ch stěn může dojı́t k patologickému zvýšenı́ krevnı́ho tlaku - hypertenzi. Tlak hraje důležitou roli již před samotnou aplikacı́ bypassu, kdy je při selektivnı́
koronarografii zjišt’ován transstenotický tlakový gradient, z jehož hodnoty se určuje stupeň
zúženı́ koronárnı́ tepny.
V přı́padě modelovaného dvourozměrného bypassového štěpu a nativnı́ arterie spojených anastomózou typu side-to-side bylo pozorováno rovnoměrné rozloženı́ tlaku, přičemž
v oblasti napojenı́ vzniklo plato s konstantnı́ hodnotou tlaku. Z porovnánı́ různých variant
okrajových podmı́nek, obr. 3.11 - 3.13, lze vypozorovat, že čı́m většı́ byl rozdı́l výstupnı́ch
tlaků, tı́m vı́ce byla namáhána distálnı́ část napojenı́, což je v souladu s výsledným rozloženı́m rychlosti. U třetı́ varianty, obr. 3.10, zde totiž lze zaznamenat náraz proudu do mı́sta
sešitı́ cév v distálnı́ části anastomózy.
3.2. Numerické výsledky
27
Obrázek 3.5: Varianta č. 1 - rychlostnı́ profily ve zvolených řezech v oblasti napojenı́ cév.
Obrázek 3.6: Varianta č. 2 - rychlostnı́ profily ve zvolených řezech v oblasti napojenı́ cév.
Obrázek 3.7: Varianta č. 3 - rychlostnı́ profily ve zvolených řezech v oblasti napojenı́ cév.
3.2. Numerické výsledky
28
Obrázek 3.8: Varianta č. 1. - rozloženı́ izočar rychlosti v celém modelu (nahoře), v oblasti
napojenı́ cév (uprostřed) a v distálnı́ části napojenı́ (dole).
Obrázek 3.9: Varianta č. 2 - rozloženı́ izočar rychlosti v celém modelu (nahoře), v oblasti
napojenı́ cév (uprostřed) a v distálnı́ části napojenı́ (dole).
3.2. Numerické výsledky
29
Obrázek 3.10: Varianta č. 3 - rozloženı́ izočar rychlosti v celém modelu (nahoře), v oblasti
napojenı́ cév (uprostřed) a v distálnı́ části napojenı́ (dole).
Obrázek 3.11: Varianta č. 1 - rozloženı́ izočar tlaku v celém modelu a v oblasti napojenı́
cév.
3.2. Numerické výsledky
30
Obrázek 3.12: Varianta č. 2 - rozloženı́ izočar tlaku v celém modelu a v oblasti napojenı́
cév.
Obrázek 3.13: Varianta č. 3 - rozloženı́ izočar tlaku v celém modelu a v oblasti napojenı́
cév.
Kapitola 4
Reálný 3Dmodel side-to-side
anastomózy
4.1
Vytvořenı́ modelu a výpočtové sı́tě
Reálný trojrozměrný model sekvenčnı́ho aorto-koronárnı́ho bypassu byl vytvořen na základě vyšetřenı́
srdce počı́tačovou tomografiı́ (CT), obr. 4.1, u pacienta, muže ve věku šedesáti dvou let trpı́cı́ho aterosklerózou. Jednalo se o kuřáka s nadváhou a rodinnými
dispozicemi ke vzniku kardiovaskulárnı́ choroby. Zúženı́
(stenóza) koronárnı́ tepny bylo nejprve řešeno aplikacı́
stentu. Přibližně po jednom roce však byly na jeho
koncı́ch objeveny prvnı́ náznaky restenózy a muselo
se přistoupit k chirurgickému vytvořenı́ dvojitého bypassu. Prvnı́ větev, tzv. mamárnı́ bypass, byla vedena
levou prsnı́ tepnou (arteria mammaria sinistra) k jedné
z koronárnı́ch tepen (ramus interventricularis anterior, Obrázek 4.1: Snı́mek z počı́tačové
RIA), obr. 1.3. Pro druhou větev byl použit žilnı́ stěp tomografie s vyznačenou polohou
(konkrétně vena saphena magna), jehož proximálnı́ část side-to-side anastomózy.
byla našita k vzestupné aortě. Distálně byl štěp napojen k ramu diagonalis (RD) a ramu marginalis (RM), což jsou koronárnı́ tepny nacházejı́cı́
se na levé části srdce, obr. 1.3.
Pomocı́ komerčnı́ho softwaru Amira pro rekonstrukci trojrozměrných objektů byl
z 2Dsnı́mků, zı́skaných z počı́tačové tomografie, vytvořen 3Dmodel druhé větve bypassu, tj.
aorto-koronárnı́ho bypassu, obr. 4.2. Ten byl dále upravován v programu Altair Hypermesh
8.0. Část představujı́cı́ side-to-side anastomózu (v obr. 4.2 vyznačená červeně), kterou se
v této práci zabýváme, byla oddělena od zbytku modelu a konce cév byly uzavřeny rovinnými plochami (funkce trim with surface), jež byly voleny tak, aby byly přibližně kolmé
na stěnu dané cévy. Před samotným vytvořenı́m výpočtové sı́tě bylo nutné model upravit
a začistit, jelikož nerovnosti a drobné mezery na jeho povrchu by jinak mohly představovat
problém při následném sı́t’ovánı́.
31
4.1. Vytvořenı́ modelu a výpočtové sı́tě
32
Obrázek 4.2: Reálný model sekvenčnı́ho aort-koronárnı́ho bypassu, side-to-side anastomóza
je znázorněna červeně.
Po zı́skánı́ spojitého modelu složeného z celé řady na sebe navazujı́cı́ch ploch bylo
možné přistoupit ke generovánı́ vlastnı́ sı́tě. Nejprve byla po částech (včetně uzávěrů cév)
vytvořena povrchová trojúhelnı́ková sı́t’, tzv. shell. Počet elementů byl určen na každé
hraně daného úseku zvlášt’. Bylo přitom třeba volit hodnoty tak, aby sı́t’ na povrchu tepny
byla dostatečně jemná a zároveň ne přı́liš hustá v přı́padě štěpu. Zvláštnı́ pozornost byla
rovněž věnována oblasti napojenı́ cév. Jako typy elementů byly použity výhradně pravoúhlé
trojúhelnı́ky. Ačkoliv byly testovány i jiné tvary (obecné trojúhelnı́ky), ukázaly se v našem
přı́padě jako nejvhodnějšı́ právě pravoúhlé trojúhelnı́ky, jež byly schopny vhodně diskretizovat povrch modelu. Předběžný návrh sı́tě byl dále upravován, napřı́klad změnou algoritmu, jı́mž byla vytvořena. Problémy vznikaly hlavně v oblasti napojenı́ bypassového
štěpu na nativnı́ arterii, kde bylo dokonce nutné přistoupit k ručnı́mu vytvořenı́ některých
elementů tak, aby byl zajištěn přirozený přechod mezi oběma cévami. Nakonec musela být
ověřena spojitost a návaznost jednotlivých buněk tak, aby povrchová sı́t’ modelu tvořila
uzavřený objem.
Ve finále bylo na základě předem připravené povrchové sı́tě přistoupeno k tvorbě trojrozměrné sı́tě složené ze čtyřstěnů (tetrahedrů). Ta již, na rozdı́l od shellu, nebyla konstruována po částech, ale celá najednou aplikacı́ vestavěné funkce pro vytvářenı́ speciálnı́ch
sı́tı́ určených k numerické simulaci prouděnı́ (CFD mesh). S přihlédnutı́m k vstupnı́ a
výstupnı́ části modelu musely být definovány plochy, jimiž proudı́ kapalina, tzn. uzávěry
cév, a plochy představujı́cı́ povrch modelu. Vzhledem k tomu, že modelujeme vazkou kapalinu, bylo nutné vygenerovat sı́t’ se zahuštěnı́m v oblasti meznı́ vrstvy, jeho parametry
byly nastaveny takto
• celková tloušt’ka meznı́ vrstvy (total BL thickness): 0,015 mm,
• tloušt’ka prvnı́ vrstvy (first layer thickness): 1, 75 · 103 mm,
• ukazatel růstu tloušt’ky jednotlivých vrstev (growth rate): 1,2,
• koeficient potlačenı́ přechodů (smoth transition ratio): 0,8.
Výsledná trojrozměrná sı́t’ je zobrazena na obr. 4.3, kde hornı́ obrázek představuje výslednou
3Dsı́t’ side-to-side anastomózy, vpravo dole pak můžeme vidět detail sı́tě uvnitř oblasti na-
4.2. Nastavenı́ řešiče
33
pojenı́ bypassového štěpu na nativnı́ arterii a vlevo dole se nacházı́ detail vstupnı́ části
žilnı́ho štěpu. Oblast meznı́ vrstvy je ve všech přı́padech znázorněna žlutě.
Obrázek 4.3: Trojrozměrná výpočtová sı́t’ se zahuštěnı́m
v oblasti meznı́ vrstvy (žlutě) složená ze čtyřstěnů, nahoře
uprostřed - celý model side-to-side anastomózy, vlevo dole
- detail vstupnı́ část štěpu, vpravo dole - detail vnitřku sı́tě
v oblasti napojenı́ štěpu na koronárnı́ arterii.
Obrázek 4.4: Rozmı́stěnı́
okrajových
podmı́nek
na modelu side-to-side
anastomózy.
Výpočtová tetrahedrová sı́t’ byla z programu Altair Hypermesh 8.0 exportována do preprocesoru Gambit 2.2, v němž byla pro vybrané plochy 3Dmodelu provedena specifikace
okrajových podmı́nek, konkrétně jejich typů. Jejich rozmı́stěnı́ je naznačeno na obr. 4.4,
kde na vstupu štěpu a koronárnı́ tepny budou ve Fluentu předepsány vstupnı́ rychlosti
(velocity inlet), na výstupech obou cév hodnoty tlaku (pressure outlet) a na zbývajı́cı́ch
částech modelu podmı́nka pevné, nepropustné stěny (wall ).
4.2
Nastavenı́ řešiče
Výsledný trojrozměrný model výpočtové sı́tě obsahujı́cı́ 658 847 čtyřstěnných buněk byl
importován do komerčnı́ho softwaru Fluent 6.2. V něm bylo pomocı́ implementovaného
řešiče založeného na dřı́ve zmı́něné metodě konečných objemů, [12], provedeno numerické
řešenı́ systému Navierových-Stokesových rovnic pro nestlačitelnou newtonskou kapalinu.
Před spuštěnı́m vlastnı́ho výpočtu bylo nutné nastavit parametry řešiče a modelu. S ohledem na datový původ modelu bypassu vycházejı́cı́ z CT snı́mků bylo nejprve třeba stanovit
rozměrové jendotky importované sı́tě, a to milimetry. Poté bylo provedeno nastavenı́ řešiče
• Define → Models → Solver → Segregated; Implicit; 3D; Unsteady; 2-nd Order Implicit; Cell-Based; Superficial Velocity, Second Order Upwind
Dále byly definovány vlastnosti proudı́cı́ kapaliny, tedy hustota a dynamická vazkost krve,
jež byly převzaty z [5],
34
4.2. Nastavenı́ řešiče
• Define → Materials → Density = 1 060 [kg/m3]; Viscosity = 0,0037 [kg/m·s].
v(t) [m/s]
Typy okrajových podmı́nek pro jednotlivé hraničnı́ plochy modelu byly specifikovány již v preprocesoru Gam0.4
Bypassovy step
bit 2.2. V rámci výpočtového systému Fluent byly určeNativni arterie
0.3
ny jejich konkrétnı́ hodnoty.
Na obou výstupech modelu, obr. 4.4, byly apliko0.2
vány konstantnı́ hodnoty tlaku určené na základě vý0.1
sledků uvedených v předchozı́ kapitole, 12 000 Pa u bypassového štěpu a 11 900 Pa u nativnı́ arterie. Pro
0
výstupnı́ tlaky byla vyzkoušena i jiná rozmezı́ hod−0.1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
not s tı́m, že z hlediska reálného průtoku připojenou
t [s]
tepnou se výše uvedené hodnoty ukázaly být nejvhodnějšı́. Na vstupnı́ch částech modelu byl předepsán ob- Obrázek 4.5: Vstupnı́ rychlost
délnı́kový rychlostnı́ profil proměnný v čase, jehož kon- (modře - bypassový štěp, červeně
stantnı́ rychlost měla časový průběh znázorněný - nativnı́ arterie).
na obr. 4.5 pro obě cévy. K definovánı́ rychlostı́ pro
potřeby numerického řešiče byl v prostředı́ Fluentu použit soubor unsteady velocity.c, který
zahrnoval dvě funkce popisujı́cı́ průběhy rychlostı́, prvnı́ na vstupu bypassového štěpu (unsteady velocity g) a druhá na vstupu koronárnı́ tepny (unsteady velocity a):
#include "udf.h"
DEFINE_PROFILE(unsteady_velocity_g, thread, position)
{
face_t f;
real t = CURRENT_TIME;
real omega;
real A0;
real A[8];
real B[8];
real Q;
int k;
int n;
real D;
real D1;
real pi;
pi = 3.14159265358979;
omega = 2 * pi;
A0 = 1.6023;
A(1) = -0.314049;
B(1) = 1.176580;
A(2) = -0.655275;
B(2) = 0.016720;
A(3) = -0.126041;
B(3) = -0.221331;
A(4) = 0.004796;
B(4) = -0.029649;
A(5) = -0.026146;
B(5) = -0.012491;
A(6) = -0.021781;
B(6) = 0.002927;
A(7) = -0.032187;
B(7) = 0.000484;
A(8) = -0.020977;
B(8) = -0.020584;
4.2. Nastavenı́ řešiče
n = 8;
D = 0.0038;
D1 = 0.004297;
begin_f_loop(f, thread)
{Q = A0;
for (k = 1; k <= n; k++)
{Q = Q+A[k]*cos(k*omega*t)+B[k]*sin(k*omega*t);}
F_PROFILE(f, thread, position) = (4*D1*Q*pow(10,-6))/(pi*pow(D,3));}
end_f_loop(f, thread)
}
DEFINE_PROFILE(unsteady_velocity_a, thread, position)
{
face_t f;
real t = CURRENT_TIME;
real omega;
real A0;
real A[8];
real B[8];
real Q;
int k;
int n;
real D;
real D1;
real pi;
pi = 3.14159265358979;
omega = 2*pi;
A0 = 0.1532;
A(1)= -0.091668;
B(1)=-0.393487;
A(2)= -0.058554;
B(2)=-0.036685;
A(3)= -0.066023;
B(3)=-0.040746;
A(4)= -0.017091;
B(4)=-0.055792;
A(5)= 0.009549;
B(5) =-0.008183;
A(6)= -0.007700;
B(6) =-0.002537;
A(7)= -0.005439;
B(7) =-0.008535;
A(8)= -0.012313;
B(8) =-0.006249;
n = 8;
D = 0.003;
D1 = 0.001705;
begin_f_loop(f, thread)
{Q = A0;
for (k = 1; k <= n; k++)
{Q = Q+A[k]*cos(k*omega*t)+B[k]*sin(k*omega*t);}
F_PROFILE(f, thread, position) = (4*D1*Q*pow(10,-6))/(pi*pow(D,3));}
end_f_loop(f, thread)
}
35
36
4.2. Nastavenı́ řešiče
V obou přı́padech se jednalo o předpis rychlostı́ v závislosti na průtočném množstvı́
Q(t) [ml · s−1 ], které bylo v souladu s [5], obr. 1.14 (řezy 1 a 3), dáno ve tvaru Fourierovy řady
8
X
[Ak cos(kωt) + Bk sin(kωt)],
(4.1)
Q(t) = A0 +
k=1
označuje úhlovou rychlost danou periodou T srdečnı́ho cyklu (dle [5] byla
kde ω = 2π
T
v našem přı́padě zvolena hodnota T = 1 s). Přı́slušné koeficienty řady (4.1) jsou uvedeny
v tab. 4.1 pro štěp a v tab. 4.2 pro tepnu. Časově proměnné průtočné množstvı́ v bypassovém štěpu i v koronárnı́ arterii bylo přepočı́táno na rychlost s využitı́m znalosti průměrů
cév použitých v [5] a v našem modelu, pro který byla jejich hodnota přibližně odměřena
v softwaru Altair Hypermesh. Pro obě cévy byl použit stejný vztah
vi (t) =
4 · 10−6 di Qi (t)
πDi3
[m · s−1 ],
pro i = A, G,
(4.2)
kde vi (t) [m · s−1 ] je časově proměnná rychlost (v arterii vA a v štěpu vG ), Qi (t) [ml · s−1 ]
představuje průtočné množstvı́ dané předpisem (4.1) pro obě cévy, di [m] průměr cévy
použité v [5] (arterie dA = 0, 003 m a štěpu dG = 0, 0038 m) a Di [m] průměr cévy
našeho modelu (arterie DA = 0, 001 705 m a štěpu DG = 0, 004 297 m). Jako okrajová
podmı́nka na vstupu bylo rovněž testováno průtočné množstvı́ (Mass Flow Inlet Boundary
Condition), v našem přı́padě se však ukázalo jako nevyhovujı́cı́ a obtı́žně aplikovatelné
na naši tetrahedrovou sı́t’.
k Ak [ml·s−1 ] Bk [ml·s−1 ]
1
-0,314049
1,176580
2
-0,655275
0,016720
3
-0,126041
-0,221331
4
0,004796
-0,029649
5
-0,026146
-0,012491
6
-0,021781
0,002927
7
-0,032187
0,000484
8
-0,020977
-0,020584
A0 = 1, 6023 [ml · s−1 ]
k Ak [ml·s−1 ] Bk [ml·s−1 ]
1
-0,091668
-0,393487
2
-0,058554
-0,036685
3
-0,066023
-0,040746
4
-0,017091
-0,055792
5
0,009549
-0,008183
6
-0,007700
-0,002537
7
-0,005439
-0,008535
8
-0,012313
-0,006249
−1
A0 = 0, 1532 [ml · s ]
Tabulka 4.1: Koeficienty Fourierovy řady
popisujı́cı́ časový průběh průtočného
množstvı́ na vstupu bypassového štěpu.
Tabulka 4.2: Koeficienty Fourierovy řady
popisujı́cı́ časový průběh průtočného
množstvı́ na vstupu nativnı́ arterie.
Po stanovenı́ hodnot okrajových podmı́nek byly dále specifikovány počátečnı́ podmı́nky
odpovı́dajı́cı́ volnému proudu (tzv. free-stream podmı́nky). Vzhledem k nestacionárnı́mu
charakteru aplikovaných okrajových podmı́nek bylo nutné před zahájenı́m výpočtu předem
definovat animace zobrazujı́cı́ rozloženı́ smykového napětı́ na stěně, rychlosti a tlaku v rámci
modelu side-to-side anastomózy.
37
4.3. Numerické výsledky
4.3
Numerické výsledky
V předchozı́ch podkapitolách byla popsána tvorba tetrahedrové sı́tě v programu Altair
Hypermesh 8.0 pro model diamond konfigurace side-to-side anastomózy, jejı́ž reálná geometrie byla zı́skána ze snı́mků z počı́tačové tomografie. Pomocı́ komerčnı́ho softwaru Fluent
6.2 bylo numericky simulováno nestacionárnı́ laminárnı́ prouděnı́ nestlačitelné newtonské
kapaliny.
V průběhu výpočtu byly ve Fluentu vygenerovány animace popisujı́cı́ rozloženı́ smykového
napětı́ na stěně, rychlosti a tlaku v trojrozměrném
modelu side-to-side anastomózy v průběhu jedné
periody srdečnı́ho cyklu. Aby bylo možné porovnat změny veličin v rámci jedné periody, musel
být pro každou z nich určen jednotný rozsah hodnot, tab. 4.3.
Pro vyhodnocenı́ výsledků byly do této práce
zvoleny vizualizace rozloženı́ smykového napětı́
na stěně, rychlosti a tlaku v celkem šesti různých
časech během jedné periody srdečnı́ho cyklu,
obr. 4.6. Tyto časy byly vybrány tak, aby zachy- Obrázek 4.6: Časy zvolené pro vizualicovaly charakter nestacionárnı́ho prouděnı́ krve zaci výsledků.
v průběhu této periody. S ohledem na to, že systola nastává v čase t = 0, 2 s a diastola v čase
t = 0, 8 s, [5], byly časy určeny, tak aby bylo možné zobrazit stav proudového pole před
a po systole, resp. diastole. Model je vždy znázorněn v pohledu zpředu, kdy je našitı́ cév
skryto. Pouze u vizualizace výsledného rozloženı́ smykového napětı́ na stěně je uveden i
pohled zezadu, při němž je anastomóza viditelná.
Rozsah
Rychlost [m · s ]
0 ÷ 1,37
Tlak [Pa]
11 900 ÷ 13 000
Smykové napětı́ na stěně [Pa]
0 ÷ 90
−1
Tabulka 4.3: Rozsahy hodnot sledovaných veličin.
4.3.1
Rozloženı́ rychlosti
Přestože na vstupnı́ch částech obou cév byla předepsána konstantnı́ rychlost proměnná
v čase, je z obr. 4.7 patrné, že poměrně rychle docházı́ k plnému vyvinutı́ rychlostnı́ho
profilu. V proximálnı́ části arterie je možné pozorovat zpětný tok krve, obr. 4.6, který trval
přibližně 40% celkové doby srdečnı́ho cyklu. Byl kompenzován přı́tokem krve z bypassového
štěpu, který ve svém maximu po systole dosahoval rychlosti 1,37 m · s−1 , obr. 4.7c. Naopak
při zvýšenı́ průtoku krve proximálnı́ částı́ nativnı́ arterie se přı́tok krve z bypassového štěpu
snı́žil. Tı́m byl zajištěn průtok krve distálnı́ částı́ koronárnı́ tepny po celou dobu srdečnı́ho
cyklu. Maximálnı́ hodnoty rychlosti proudu krve se zde pohybovaly okolo 0,4 m · s−1 , což
se blı́žı́ rychlostem běžně se nacházejı́cı́m v koronárnı́ch arteriı́ch, [9]. Aplikace bypassu se
4.3. Numerické výsledky
38
tedy ukázala jako vhodná, protože obnovila průtok krve v dané koronárnı́ tepně a v klinické
praxi by tak zajistila výživu srdečnı́ tkáně v přı́slušné oblasti.
Z hlediska hemodynamiky krve se v tomto modelu bypassu jako nejproblematičtějšı́
jevila hornı́ stěna proximálnı́ části štěpu v oblasti napojenı́ na nativnı́ arterii, kde byla
pozorována zóna nı́zké rychlosti. Jejı́ umı́stěnı́ bylo částečně dáno i použitou geometriı́
side-to-side anastomózy. Výrazné zkosenı́ rychlostnı́ch profilů v této části modelu je dáno
předevšı́m obloukovým zakřivenı́m bypassového štěpu, obr. 4.7c.
4.3.2
Rozloženı́ smykového napětı́ na stěně modelu side-to-side
anastomózy
Jednou z veličin důležitých pro popis charakteru prouděnı́ krve v cévách je i smykové
napětı́ na jejich stěně, obr. 4.8 a 4.9. Většina arteriı́ má snahu změnou svého vnitřnı́ho
průsvitu udržet jeho hodnotu mezi 1 Pa až 2 Pa, [8]. Nı́zké hodnoty smykového napětı́
na stěně tepny mohou způsobovat zánětlivé procesy (ateroskleróza) a zbytněnı́ cévnı́ stěny
v důsledku nedostatečné stimulace endotelových buněk na jejı́m vnitřnı́m povrchu (intimálnı́ hyperplázie), vedoucı́ až k selhánı́ aorto-koronárnı́ho bypassu.
Rizikovými oblastmi vzhledem ke zvýšené pravděpodobnosti pozdějšı́ho selhánı́ bypassu
jsou mı́sta, v nichž docházı́ k velkým oscilacı́m hodnot smykového napětı́ na stěně cévy
v průběhu periody srdečnı́ho cyklu. V našem modelu představuje takovou oblast hornı́ stěna
distálnı́ části štěpu v oblasti napojenı́ (shodně s výsledky v [5]). Hodnoty smykového napětı́
na cévnı́ stěně se zde pohybovaly mezi hodnotami blı́zkými 0 Pa, obr. 4.9b, a hodnotami
dosahujı́cı́mi až 90 Pa, obr. 4.8c. Vysoké hodnoty smykového napětı́ v proximálnı́ části
štěpu byly pravděpodobně způsobeny předepsanou vstupnı́ okrajovou podmı́nkou v podobě
obdélnı́kového rychlostnı́ho profilu proměnného v čase. Dalšı́mi kritickými oblastmi jsou,
jak bylo již výše zmı́něno, mı́sta s trvale velmi nı́zkými hodnotami smykového napětı́.
V side-to-side anastomóze se taková zóna objevila v proximálnı́ část arterie v mı́stě před
napojenı́m bypassového štěpu. Poslednı́ problematickou oblast pak představovalo mı́sto
samotného našitı́ cév, viditelné na pohledu zezadu (vždy vpravo). V některých časových
okamžicı́ch zde těsně sousedila oblast s velmi nı́zkým smykovým napětı́m s oblastı́ tvořenou
velmi vysokými hodnotami, jak je patrné zejména z obr. 4.8b a 4.8c.
4.3.3
Rozloženı́ tlaku
S ohledem na význam tlaku v bypassové hemodynamice, zmı́něný na konci předchozı́ kapitoly, můžeme zhodnotit zbývajı́cı́ numerické výsledky, obr. 4.10. V určitých fázı́ch srdečnı́ho
cyklu, obr. 4.10b-4.10d, došlo ke zvýšenému namáhánı́ spodnı́ stěny proximálnı́ části bypassového štěpu, kde hodnoty tlaku dosahovaly až 13 000 Pa. Tento jev mohl být způsoben obloukovým tvarem štěpu. Ve zbylých fázı́ch srdečnı́ho cyklu, jež jsou zobrazeny na obr. 4.10a,
4.10e a 4.10f, se tlak rozložil rovnoměrně a v oblasti napojenı́ vzniklo plato s konstantnı́
hodnotou tlaku stejně jako v přı́padě dvourozměrného modelu v předchozı́ kapitole.
39
4.3. Numerické výsledky
(a) t1 = 0, 02 s
(b) t2 = 0, 16 s
(c) t3 = 0, 28 s
(d) t4 = 0, 40 s
(e) t5 = 0, 48 s
(f) t6 = 0, 78 s
Obrázek 4.7: Rychlostnı́ profily ve vybraných řezech side-to-side anastomózy v časech t1 ,
t2 , t3 , t4 , t5 a t6 .
4.3. Numerické výsledky
40
(a) t1 = 0, 02 s
(b) t2 = 0, 16 s
(c) t3 = 0, 28 s
Obrázek 4.8: Smykové napětı́ na stěně side-to-side anastomózy v pohledu zepředu a zezadu
v časech t1 , t2 a t3 .
4.3. Numerické výsledky
41
(a) t4 = 0, 40 s
(b) t5 = 0, 48 s
(c) t6 = 0, 78 s
Obrázek 4.9: Smykové napětı́ na stěně side-to-side anastomózy v pohledu zepředu a zezadu
v časech t4 , t5 a t6 .
42
4.3. Numerické výsledky
(a) t1 = 0, 02 s
(c) t3 = 0, 28 s
(e) t5 = 0, 48 s
(b) t2 = 0, 16 s
(d) t4 = 0, 40 s
(f) t6 = 0, 78 s
Obrázek 4.10: Rozloženı́ tlaku v side-to-side anastomóze v časech t1 , t2 , t3 , t4 , t5 a t6 .
Závěr
Aplikace koronárnı́ho bypassu je chirurgická technika, při nı́ž je neprůchodná část, popř.
části, koronárnı́ arterie přemostěna štěpěm, nejčastěji žilnı́ho původu. Při tom vznikajı́
různá uměle vytvořená napojenı́ cév - anastomózy. Rozlišujeme tři základnı́ typy: end-to-side, end-to-end a side-to-side anastomózu. Cı́lem této bakalářské práce byla analýza
hemodynamiky side-to-side anastomózy, kdy docházı́ k bočnı́mu napojenı́ cév.
V rámci předložené bakalářské práce byl nejprve vytvořen idealizovaný dvourozměrný
model paralelnı́ konfigurace, pro nějž byla v softwaru Matlab 7.0 autorkou vygenerována
čtyřúhelnı́ková výpočtová sı́t’ se zahuštěnı́m v blı́zkosti pevných, nepropustných stěn. Vstupnı́ okrajovou podmı́nku představoval parabolický rychlostnı́ profil a pro výstupnı́ podmı́nku
byly testovány tři různé varianty hodnot konstantnı́ho tlaku. K numerické simulaci ustáleného prouděnı́ krve v side-to-side anastomóze byl využit vlastnı́ řešič založený na metodě
konečných objemů v kombinaci s metodou umělé stlačitelnosti.
Z testovaných okrajových podmı́nek reálnému průtoku krve v bypassové anastomóze
nejlépe odpovı́dala třetı́ varianta, protože zde došlo k nejvýraznějšı́mu nárůstu průtoku nativnı́ arteriı́. Zároveň se zde však objevovaly největšı́ poruchy proudového pole způsobené
ostrým úhlem napojenı́ cév. Při dalšı́m modelovánı́ side-to-side anastomózy by bylo vhodné
tento problém odstranit, např. plynulejšı́m přechodem mezi oběma cévami v oblasti napojenı́. Kvůli zvýšenému riziku vzniku intimálnı́ hyperplázie byla identifikována zóna s nı́zkou
rychlostı́, a to na spodnı́ stěně nativnı́ arterie v oblasti napojenı́, přičemž největšı́ byla zaznamenána u prvnı́ varianty okrajových podmı́nek.
Ve druhé stěžejnı́ části této práce byl ze snı́mků z počı́tačové tomografie zı́skán trojrozměrný model diamond konfigurace side-to-side anastomózy, pro nějž byla v programu
Altair Hypermesh 8.0 zkonstruována nestrukturovaná tetrahedrová výpočtová sı́t’. Numerické řešenı́ proběhlo v prostředı́ komerčnı́ho softwaru Fluent 6.2, kde byly na vstupnı́ch
oblastech obou cév specifikovány konstantnı́ rychlosti proměnné v čase a na výstupech
konstantnı́ hodnoty tlaku zvolené na základě výsledků z předchozı́ch numerických simulacı́. Jako mı́sto s potenciálnı́ možnostı́ rozvoje intimálnı́ hyperplázie byla určena proximálnı́
část bypassového štěpu v oblasti napojenı́, kde se nacházela zóna s trvale nı́zkými rychlostmi, dále mı́sto, v němž smykové napětı́ na stěně cév dosahovalo extrémnı́ch hodnot,
a to distálnı́ část štěpu v oblasti napojenı́. Riziková oblast se objevila i přı́mo v mı́stě
našitı́ bypassového štěpu na nativnı́ arterii, stýkaly se zde totiž zóny s velmi vysokým a
velmi nı́zkým smykovým napětı́m, což může vést ke zvýšenému nebezpečı́ vzniku krevnı́ch
sraženin - trombů.
Při porovnánı́ této práce se studiemi, jež se věnujı́ anastomóze typu end-to-side, [1],
[5], bylo zřejmé, že side-to-side anastomóza má lepšı́ hemodynamické vlastnosti a riziko
přı́padného selhánı́ je zde tedy nižšı́. Při jejı́m budoucı́m modelovánı́ by bylo možné
43
Závěr
44
přistoupit k určitým vylepšenı́m, a to nejen z hlediska geometrie a použité numerické
metody, ale napřı́klad i způsobu vizualizace výsledků, jenž se v přı́padě trojrozměrného
modelu ukázal jako nedostačujı́cı́.
Literatura
[1] Bertolotti, C. a Deplano, V.: Three-dimensional numerical simulations of flow
through a stenosed coronary bypass. Journal of Biomechanics, 33, (2000), 1011-1022.
[2] Bonert, M., Myers, J. G., Fremes, S., Williams, J. a Ethier, C. R.: A Numerical Study of Blood Flow in Coronary Artery Bypass Graft Side-to-Side Anastomoses. Annals of Biomedical Engineering, 30, (2002), 599–611.
[3] Dominik, J.: Kardiochirurgie, Grada, Praha, 1998.
[4] Chorin, A. J.: A Numerical Method for Solving Incompressible Viscous Flow Problems. Journal of Computational Physics, 2, (1967), 12-26.
[5] Frauenfelder, T., Boutsianis, E., Schertler, T., Husmann, L.,
Leschka, S., Poulikakos, D., Marincek, B. a Alkadhi, H.: Flow and wall
shear stress in end-to-side and side-to-side anastomosis of venous coronary artery
bypass grafts. BioMedical Engineering OnLine, 6:35, (2007), doi: 10.1186/1475-925X6-35.
[6] Hoballah, J. J.: Vascular reconstructions: anatomy, exposures and techniques,
Springer-Verlag, New York, 2000.
[7] Institut klinické a experimentálnı́ medicı́ny: http://www.ikem.cz
[8] Jonášová, A.: Finite volume modelling of blood flow in a bypass model, Diplomová
práce, ZČU v Plzni, Plzeň, 2001.
[9] Klementa, J., Machová, J., Malá, H.: Somatologie a antropologie, Státnı́ pedagogické nakladatelstvı́, Praha, 1981.
[10] Křen, J., Rosenberg, J., Janı́ček, P.: Biomechanika, ZČU v Plzni, Plzeň, 2001.
[11] Manuál Altair Hypermesh (verze 8.0)
[12] Manuál Fluent (verze 6.2)
[13] Manuál Gambit (verze 2.2)
[14] Manuál Matlab (verze 7.0)
[15] Nemocnice na Homolce: http://www.homolka.cz
45