MAT2-ekniha

MATEMATIKA 2
Úlohy, otázky, aplikace
•
elektronický učebnı́ text
Václav NÝDL, Renata KLUFOVÁ, Radka ŠTĚPÁNKOVÁ
Katedra aplikované matematiky a informatiky
Ekonomická fakulta, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicı́ch
1
Tato publikace vznikla v rámci projektu IP15 02/2/ - Inovace výuky matematiky na EF
”
JU se zaměřenı́m na paralelnı́ výuku v anglickém jazyce“
Zvláštnı́ oceněnı́ autorů si zasloužı́ studentka oboru Ekonomická informatika EF JU Anna
Stepura, která se významným způsobem podı́lela na kontrole výsledků většiny úloh v této
publikaci.
c Václav Nýdl, 2015
⃝
2
TÉMA 8.A Derivace
x ...
y ...
y′ =
nezávisle proměnná
funkce proměnné x, tj. y = y(x) (závisle proměnná)
dy
dx
= f ′ (x) =
y ′ (a) = f ′ (a) =
df
dx
df
(a)
dx
...
prvnı́ derivace funkce y=f (x) podle x
...
hodnota derivace funkce y = f (x)
v bodě a def. oboru funkce f
bod a takový, že f ′ (a) = 0
stationárnı́ bod funkce f . . .
Poznámky
• Derivace f ′ (a) je hodnota tg α, kde α je úhel mezi tečnou grafu funkce y=f (x) v bodě
[a, f (a)] a osou x“ (tzv. sklon tečny neboli gradient).
”
• Můžeme užı́vat i jiných symbolů než y a x.
Přı́klady: f ′ (t), du
.
dt
• Když f ′ (a) existuje, pak f je spojitá v bodě a, a lim f (x) = f (a);
x→a
když f ′ (x) existuje pro každé x ∈ (a, b), pak f je spojitá na intervalu (a, b).
• I bud’ otevř. interval a f (x)=g(x) pro každé x∈I. Pak f ′ (x)=g ′ (x) pro každé x∈I.
• Je-li y = f (t), kde t je čas, pak y ′ = f ′ (t) je funkce vyjadřujı́cı́ okamžitou rychlost
procesu. Tedy f ′ (a) je okamžitá rychlost změny y při t = a.
• Marginálnı́ analýza v ekonomice. Jsou-li C(x) náklady na produkci x jednotek a je
-li R(x) přı́jem zı́skaný z prodeje x jednotek, pak hodnota C ′ (a) (marginálnı́ náklady)
odhaduje náklady na produkci (a+1)-nı́ jednotky a R′ (a) (marginálnı́ přı́jem) odhaduje
přı́jem zı́skaný z prodeje (a+1)-nı́ jednotky. Dále, je-li zisk P (x) = R(x) − C(x), pak
hodnota P ′ (a) (marginálnı́ zisk) odhaduje zisk z prodeje (a+1)-nı́ jednotky.
Techniky derivovánı́
(k)′ = 0
pro každé k ∈ R,
(Derivace k-násobku) [k · f (x)]′ = k · f ′ (x)
(Derivace součtu/podı́lu) [f (x) ± g(x)]′ = f ′ (x) ± g ′ (x)
(Derivace součinů) [f (x) · g(x)]′ = f ′ (x) · g(x) + f (x) · g ′ (x);
[f (x) · g(x) · h(x)]′ = f ′ (x) · g(x) · h(x) + f (x) · g ′ (x) · h(x) + f (x) · g(x) · h′ (x)
[
f (x)
(Derivace podı́lu)
g(x)
]′
f ′ (x) · g(x) − f (x) · g ′ (x)
, pokud g(x) ̸= 0
[g(x)]2
(Derivace slož. funkcı́) [f (g(x))]′ = f ′ (g(x))·g ′ (x) či
dy
= dy · du ,
dx du dx
kde y=f (u), u=g(x);
[f (g(h(x)))]′ = f ′ (g(h(x))) · g ′ (h(x)) · h′ (x)
Základnı́ vzorce
(x)′ = 1,
(Derivace mocniny) (xr )′ = r · xr−1 (r ̸= 0),
(sin x)′ = cos x,
(arcsin x)′ = √
1
,
1−x2
(cos x)′ = − sin x,
(tg x)′ =
−1
(arccos x)′ = √
,
1−x2
1
,
cos2 x
(arctg x)′ =
3
1
,
1+x2
(ex )′ = ex ,
(cotg x)′ = −
(ln x)′ =
1
,
sin2 x
(arccotg x)′ =
−1
.
1+x2
1
,
x
ÚLOHY
Úloha 8A.1 [nespojitost] Znázorněte graf funkce a spočı́tejte, kolik má bodů nespojitosti.
(a) y = 2·sign(x)
(b) y = sign(x2 +1) (c) y = sign(x2 )
(d) y = ch{1} (x)+sign(x2 )
(e) y = ch{1} (−x) (f ) y = ch{0,2} (x)
(g) y = ch(0,2) (x)
(h) y = ch{1} (x)+ch(0,2) (x)
Úloha 8A.2 [technika derivovánı́]
′
(A) Derivujte zadané výrazy užitı́m vzorce (c · xa ) = c · a · xa−1 .
√
√
5
(a) 3 x
(b) √3x
(c) 5x0.8
(d) x0.8
(e) x2 − 5 3 x
′
(B) Derivujte užitı́m vzorců (f · g) = f ′ · g + f · g ′ ,
(b) 3· sin x· ln x
(c)
x
ex
′
(C) Užijte vzorce (sin[f (x)]) = cos[f (x)]·f ′ (x),
a dále
ef (x)
f
g
√
(a) x3 ex
(
( )′
)′
(a) sin(2x+1)
= ef (x) ·f ′ (x),
(b) cos5 x
′
(d)
=
(f ) 7x5 −
√
3
x
10
f ′ g−f g ′
.
g2
2ex
x0.8 +1
(e)
x
ln x
−
ln x
x
(cos[f (x)])′ = − sin[f (x)]·f ′ (x),
(f (x)a )′ = a·f (x)a−1 ·f ′ (x) a derivujte zadané výrazy.
√
(c) e2x+1
(d) 2x+1 (e) cos[sin(x)]
(f ) esin x− cos x
· f ′ (x) platı́, kdykoliv f ′ (x) existuje a je f (x) > 0. Pro
zadané funkce určete hodnoty y(−2) a y ′ (−2) na 3 desetinná mı́sta.
(a) y = ln(x2 −1)
(b) y = ln[cos(x+2)]
(c) y = ln(1−x2 )
(d) y = ln[ln(x+3)]
(D) Vzorec (ln[f (x)]) =
1
f (x)
Úloha 8A.3 [vzorce pro derivovánı́] Jsou dány funce f a g, o nichž vı́me, že platı́:
f (2) = 2, g(2) = 4, f ′ (2) = 11, g ′ (2) = −3, g ′ (4) = 5, f ′ (4) = −5.
V každé z následujı́cı́ch úloh určete hodnotu F ′ (2), jestliže vı́me, že F ′ (2) existuje:
g(x) f (x)
+
f (x) g(x)
(a) F (x) = 12f (x)−2g(x)
(b) F (x) =
(d) F (x) = [f (x)]3 + g(x)
(e) F (x) = f [g(x)]−g[f (x)]
√
(c) F (x) = f (x)·g(x)+ ln(g(x))
(f ) F (x) = f [f (x)]+g[g(x)]
Úloha 8A.4 [derivovánı́ funkcı́ definovaných po částech] Derivujte:
(a) funkce h: pro x ∈ (−∞, 0) je h(x) = x · ex , a dále pro x ∈ (0, +∞) je h(x) = x · e−x ,
√
√
(b) funkce k: pro x ∈ (−10, −1) je k(x) = −x, a dále pro ∈ (10, 100) je k(x) = x,
(c) funkce y = x2 + x2 sign (x),
(d) funkce y = x2 + x2 ch(1,8) (x)
(e) funkce y = ln |x|.
Úloha 8A.5 [úhel tečny] Určete velikost úhlu α mezi tečnou grafu zadané funkce v zadaném
bodě a a osou x“.
”
1
(a) y = x3 − 2x − 4, a = 2,
(b) y = x ln x, a = 1,
(c) y = sin 3x + 1+x
, a = 0.
Úloha 8A.6 [úlohy s parametrem] Je zadána funkce f : y = x3 + px2 + 2x + 1, kde p je
parametr. Najděte všechny hodnoty parametru takové, že:
(a) y ′ (−1) = 5,
(b) y ′ (−1) > 5,
(c) a = 2 je stacionárnı́m bodem funkce f ,
(d) a = −2 nenı́ stacionárnı́m bodem funkce f ,
(e) y ′ (p) = 7.
4
OTÁZKY
Otázky 8A.1 [špatné derivovánı́]
V pěti ukázkách nı́že vidı́te přı́klady nesprávných postupů při derivovánı́ jak jsme je zaznamenali u našich studentů. U každé ukázky vysvětlete, v čem byla chyba.
′
′
(a) (x · ex ) = 1 · ex = ex
(
4
x2 + 1
(d)
(
)′
1
√
3
2t + 1
(e)
=
)′
′
(b) (ex ) = xex−1
(c) (sin 2x) = cos 2x
4′ (x2 + 1) − 4(x2 + 1)′
x2 + 1 − 4(2x + 0)
x2 − 8x + 1
=
=
(x2 + 1)2
(x2 + 1)2
(x2 + 1)2
(
= (2t + 1)−3
)′
= (−3)(2t + 1)−3−1 · 2 = −
6
.
(2t + 1)4
Otázky 8A.2 [správné derivovánı́]
(a) Připomeňme si vzorec pro derivaci součinu 3 funkcı́ (f ·g ·h)′ = f ′ ·g ·h+f ·g ′ ·h+f ·g ·h′ .
′
′
Užijte ho na (x2 ln x sin x) . Analogicky derivujte součin 4 funkcı́ (x3 ex ln x cos x) .
(b) Při derivaci
(
xex
)′
x+1
=
xex
x+1
použijeme vzorce pro derivaci podı́lu a pro derivaci součinu. Takže
(xex )′ (x+1)−(xex )(x+1)′
(x+1)2
= . . .. Dokončete. Analogicky derivujte
x
.
ex (x+1)
(c) Při derivaci sin (ln ex ) použijeme vzorce pro derivaci dvakrát
složené
funkce [f (g(h(x)))]′ =
(
)
f ′ (g(h(x)))·g ′ (h(x))·h′ (x). Analogicky pak při derivaci sin ln e2x použijeme vzorce pro derivaci třikrát složené funkce [f (g(h(m(x))))]′ = f ′ (g(h(m(x))))·g ′ (h(m(x)))·h′ (m(x))·m′ (x).
Proved’te.
(d) Pro derivaci funkce y = 2x vyjdeme z přepisu 2x = ex·ln 2 , takže můžeme užı́t vzorce
(
ef (x)
)′
= ef (x) ·f ′ (x) a dostáváme:
(
Analogicky bude (xx )′ = ex·ln x
)′
(
(2x )′ = ex·ln 2
)′
= ex·ln 2 · ln 2 = 2x · ln 2.
= . . .. Dokončete výpočet. Proč vyšlo xx (ln x + 1) ?
Otázky 8A.3 [kreativnı́ úlohy] Kvadratická funkce má tvar y = ax2 + bx + c, kde a ̸= 0.
Je možno vytvořit kvadratickou funkci takovou, že
(a) y ′ (5) = 11
(b) y ′ (5) < −1100
(c) y ′ (5) = 11 a zároveň y(5) = 11
(d) y ′ (5) = 3 · y ′ (4)
(e) y ′ (5) = 3 · y(4)
(f ) y ′ (1) + y ′ (2) = y ′ (3) ?
Otázky 8A.4 [stacionárnı́ body] U každé ze zadaných funkcı́ zdůvodněte, proč nemá žádné
stacionárnı́ body.
(a) y = 4e2t−4
(c) y = ln(q 2 − 4)
(b) y = t3 + 27t
(d) y =
q+4
.
q+5
Otázky 8A.5 [úhel tečny - úloha s parametrem]
Uved’me si některé význačné hodnoty
√
√
3
0
0
0
funkce tg α: tg 45 = 1, tg 60 = 3, tg 30 = 3 . Najděte hodnotu parametru p ve funkci
x−p
f (x) =
tak, aby byla splněna zadaná podmı́nka pro velikost úhlu α mezi tečnou grafu
x−1
funkce f v bodě a a osou x“.
”
(a) a = 2, α = 450
(b) a = 0, α = −300
(c) a = 3, α = 600
(d) a = p, α = −450 .
5
APLIKACE
Aplikace 8A.1 [marginálnı́ analýza] [Hoffmann & Bradley, 1992]
Výrobce předpokládá, že jeho náklady na výrobu x jednotek určité komodity budou C(x) =
x2
+ 6x + 200 USD a že p(x) = 60−x
USD je jednotková cena při úrovně prodeje x jednotek.
4
2
(a) Zjistěte vzorce pro marginálnı́ náklady a marginálnı́ přı́jem.
(b) Při produkci 10 jednotek odhadněte náklady na 11-tou jednotku.
(c) Při produkci 10 jednotek odhadněte přı́jem z prodeje 11-té jednotky.
Řešenı́.
( 2
)′
(a) Marginálnı́ náklady jsou C ′ (x) = x4 + 6x + 200 = x2 + 6. Přı́jem z prodeje x jednotek
za jednotkovou cenu p(x) =
′
R (x) =
(
80x−x2
2
)′
=
80−2x
2
80−x
3
je R(x) = x · p(x) =
80x−x2
.
2
Marginálnı́ přı́jem je pak
= 40 − x.
(b) Odhad nákladů na 11-tou jednotku při úrovni produkce 10 jednotek zı́skáme z funkce
pro marginálnı́ náklady a sice C ′ (10) = 10
+ 6 = 11 USD.
2
(c) Odhad přı́jmu z prodeje na 11-té jednotky při úrovni prodeje 10 jednotek zı́skáme
z funkce pro marginálnı́ přı́jmy a sice R′ (10) = 40 − 10 = 30 USD.
Aplikace 8A.2 [rychlost] [Hoffmann & Bradley, 1992]
Podle odborné environmentálnı́ studie se předpokládá, že ve √
sledované oblasti bude koncentrace znečist’ujı́cı́ch látek v ovzdušı́ podléhat funkci m(p) = 0.4p2 + 18 PPM při velikosti
populace p tisı́c obyvatel. Na nejbližšı́ léta se předpokládá velikost populace podle funkce
p(t) = 3.2 + 0.1t2 tisı́c obyvatel, přičemž t je čas v letech od nynějška. Jakou ročnı́ rychlostı́
poroste znečištěnı́ ovzdušı́ 4 roky od nynějška?
Řešenı́.
1
Našı́m cı́lem je zı́skat hodnotu dm
pro t = 4. Nejdřı́ve dm
= 12 · (0.4p2 + 18)− 2 · 0.4 · (2p) =
dt
dp
√ 0.4p . Further, dp
= 0.2t. A nynı́ derivujeme složenou funkci:
dt
2
0.4p +18
0.08pt
dm
dm dp
0.4p
· 0.2t = √
=
·
=√
2
dt
dp dt
0.4p + 18
0.4p2 + 18
0.08·4.8·4
Je-li t = 4, pak p = p(4) = 3.2 + 0.1 · 42 = 4.8. Konečně dm
= √0.4·4.8
2 +18 ≈ 0.294 PPM
dt
ročně. Jakou ročnı́ rychlostı́ poroste znečištěnı́ ovzdušı́ 5 let od nynějška?
Aplikace 8A.3 [rozhodovánı́ o investici] [Simon & Blume, 1994]
Tržnı́ cena Vašı́ nemovitosti
se bude řı́dit v nejbližšı́ch letech (t je čas v letech od nynějška)
√
0.2 t
funkcı́ V (t) = 10 000e
EUR. Předpokládejme, že 6 let od nynějška budete moci investovat
penı́ze se ziskem 5 % p.a. Bude výhodné v té době prodat Vaši nemovitost za tržnı́ cenu a
zı́skané penı́ze investovat?
Řešenı́.
Rychlost růstu tržnı́ hodnoty dané nemovitosti je
√
− 21
√
0.2 t
− 12
V ′ (t) =
(
√
10 000e0.2
t
)′
=
10 000e0.2 t · 0.2 ·√ 12 · t
= 10 000e
EUR ročně.
Šest let od nynějška bude
· 0.1 · t
√
1
0.2 6
′
0.2 6
V (6) = 10 000e
≈ 16 321 EUR a dále V (6) = 10 000e
· 0.1 · 6− 2 ≈ 666 EUR ročně.
Pokud bychom prodali nemovitost za tržnı́ cenu, tj. za 16 321 EUR, a hned penı́ze investovali
na 5 % p.a., pak bychom dosáhli růstu hodnoty těchto peněz 0.05 · 16 321 ≈ 816 EUR ročně,
což dává většı́ zisk.
6
TOPIC 8.B. Aplikace derivacı́
y ′′ =
d2 y
dx2
= f ′′ (x) =
d2 f
dx2
druhá derivace funkce y=f (x) podle x
d2 f
(a)
hodnota druhé derivace funkce y=f (x) v bodě a definičnı́ho oboru funkce f
y ′′ (a) = f ′′ (a) =
y (k) =
dk y
dxk
dx2
= f (k) (x) =
dk f
dxk
y (k) (a) = f (k) (a) . . .
k-tá derivace funkce y=f (x) podle x
hodnota k-té derivace funkce y=f (x) v bodě a definičnı́ho oboru funkce f
Poznámky
• Derivace vyššı́ch řádů se zı́skajı́ opakovaným derivovánı́m.
3
• Je možno užı́vat jiných symbolů než y a x.
Přı́klady: f ′′′ (t), ddt3u .
• Je-li y = f (t), kde t je čas, pak y ′′ = f ′′ (t) udává okamžité zrychlenı́ popisovaného
procesu.
Aplikace derivacı́ funkce y = f (x)
Tečná přı́mka grafu funkce f v bodě a je y − f (a) = f ′ (a) · (x − a); v dotykovém bodě
[a, f (a)] s grafem je pak kolmice k tečně normálou grafu funkce f .
Diferenciál funkce f v bodě a je dfa = f ′ (a) · dx. Použı́vá se k aproximaci hodnoty
funkce f v bodě x = a + h blı́zkém k a; za dx dosadı́me hodnotu přı́růstku h. Užı́váme
.
vzorec f (x) = f (a) + f ′ (a) · h.
L’Hospitalovo pravidlo (limity neurčitých výrazů)
f (x)
= 00 x→a g(x)
Necht’ lim
nebo = ∞
.
∞
f ′ (x)
′
x→a g (x)
Je-li lim
f (x)
x→a g(x)
= L, pak lim
= L.
(Upozorněnı́: čitatel a jmenovatel se derivujı́ každý zvlášt’!)
Monotonie a konvexnost v bodě a nebo na otevřeném intervalu I:
f ′ (a) > 0 ⇒ f je rostoucı́ v a,
f ′ (a) < 0 ⇒ f je klesajı́cı́ v a,
f ′′ (a) > 0 ⇒ f je konvexnı́ v a,
f ′′ (a) < 0 ⇒ f je konkávnı́ v a,
(∀x∈I) f ′ (x) > 0 ⇒ f je rostoucı́ na I, (∀x∈I) f ′ (x) < 0 ⇒ f je klesajı́cı́ na I,
(∀x∈I) f ′′ (x) > 0 ⇒ f konvexnı́ na I, (∀x∈I) f ′′ (x) < 0 ⇒ f konkávnı́ na I.
Taylorův mnohočlen k-tého stupně v a pro funkci y=f (x) :
T (x) = f (a) +
f ′ (a)
(x
1!
− a) +
f ′′ (a)
(x
2!
− a)2 +
f ′′′ (a)
(x
3!
− a)3 + . . . +
f (k) (a)
(x
k!
− a)k
Lokálnı́ extrémy a inflexnı́ body funkce y=f (x)
Stacionárnı́ bod funkce f je takový bod a, že f ′ (a) = 0.
Je-li a stacionárnı́ bod funkce f ∧ f ′′ (a) < 0, pak f má lokálnı́ maximum v a.
Je-li a stacionárnı́ bod funkce f ∧ f ′′ (a) > 0, pak f má lokálnı́ minimum v a.
Je-li f ′′ (a) = 0 ∧ f ′′′ (a) ̸= 0, pak f má inflexnı́ bod v a.
Absolutnı́ extrémy spojité funkce f na uzavřeném intervalu ⟨p, q⟩
Weierstrassova věta zaručuje existenci absolutnı́ch extrémů.
K jejich nalezenı́ vyhodnotı́me funkci f pouze ve:
stacionárnı́ch bodech + bodech, kde derivace neexistuje + bodech p, q.
7
ÚLOHY
Úloha 8B.1 [tečna a normála] Je dán bod a a hodnoty f (a) a f ′ (a). Najděte rovnici tečny
a normály grafu funkce f v bodě a ve tvaru y = kx + q.
(i) a = 2, f (a) = 3, f ′ (a) = 4,
(ii) a=f (a)=f ′ (a)= − 2,
(iii) a = 1, f (a) = 0, f ′ (a) = −1.
Úloha 8B.2 [diferenciál a Taylorův mnohočlen] Jsou dány body a, b a hodnoty f (a), f ′ (a)
a f ′′ (a). Najděte přibližné hodnoty f (b) jednak užitı́m diferenciálu funkce f v bodě a a jednak
užitı́m Taylorova mnohočlenu stupně 2 funkce f v bodě a.
(i) a = 2, b = 2.01, f (a) = 3, f ′ (a)=f ′′ (a)=6,
(ii) a = 1, b = 0.99, f (a)=f ′ (a)=f ′′ (a)=2.
Úloha 8.B.3 [poloměr křivosti]
(√
)3
Necht’ y = f (x) je funkce, a bod definičnı́ho oboru funkce f . Pokud
1 + [f ′ (a)]2
existujı́ f ′ (a) a f ′′ (a) a přitom f ′′ (a) ̸= 0, pak poloměr křivosti R R =
|f ′′ (a)|
funkce f v bodě a je definován vzorcem napravo.
V úlohách nı́že určete poloměr křivosti R funkce f v bodě a, jestliže znáte vzorec Taylorova
mnohočlenu T (x) nějakého stupně pro funkci f v bodě a.
(i) T (x) = 7 + 4(x − a) + 0.5(x − a)2 + 20(x − a)3 − 48(x − a)4 + 12.37(x − a)5 − 56(x − a)6 ,
(ii) T (x) = −(x − a) + 2(x − a)2 − 3(x − a)3 + 4(x − a)4 − 5(x − a)5 − 7(x − a)7 + 8(x − a)8 .
Úloha 8.B.4 [L’Hospitalovo pravidlo] Najděte všechny hodnoty parametru p takové,
že na výpočet dané limity je možno použı́t L’Hospitalovo pravidlo.
x2 + px − 2
,
x→2 x2 − 4x + 3
(a) lim
ln x
,
2
x→1 p − x
(b) lim
Úloha 8.B.5 [monotonie funkce]
symbolů:
ND . . . a nenı́ v def. oboru funkce f ,
IN . . . f je rostoucı́ v a,
DE . . . f klesajı́cı́ v a,
S . . . a je stacionárnı́ bod funkce f .
(c)
x2 + x
,
x→+∞ x2 + px
lim
ex+1 − p
.
x→−1 x + 1
(d) lim
Vyplňte polı́čka v tabulce užitı́m následujı́cı́ch
a=
f (x) = x − 4x
f (x) = 2 − e−x
f (x) = 3/x + 2x
f (x) = ln(1 − x)
−1
−0.5
0
1
2
3
Úloha 8.B.6 [konvexnost, konkávnost] Vyplňte polı́čka v tabulce užitı́m následujı́cı́ch
symbolů:
a=
−1 −0.5
0
1
2
3
ND . . . a nenı́ v def. oboru funkce f , f (x) = x − 4x
f (x) = 2 − e−x
UP . . . f je konvexnı́ v a,
DO . . . f je konkávnı́ v a,
f (x) = 3/x + 2x
I . . . a je inflexnı́m bodem funkce f . f (x) = ln(1 − x)
Úloha 8.B.7 [funkce s parametrem] Ve funkci g(x) = x3 + px2 + 3 najděte všechny
hodnoty parametru p tak, že (i) a = 0 je inflexnı́ bod funkce g,
(ii) g nemá stacionárnı́ bod, (iii) g má jeden stacionárnı́ bod, (iv) g je konkávnı́ v x=1.
8
OTÁZKY
Otázky 8B.1 [vlastnosti funkce]
(a) Funkce y = −e2x nemá body nespojitosti. Proč?
(b) Funkce y = 3e2x nenı́ nikde rostoucı́. Proč?
(c) Funkce y = 2e3x je všude konvexnı́. Proč?
(d) Funkce y = −2e−3x je všude konkávnı́. Proč?
(e) Funkce y =
x+1
x+2
nemá stacionárnı́ bod. Proč?
(f ) Funkce y =
x+2
x+1
nemá inflexnı́ bod. Proč?
(g) Funkce y =
x+1
x+2
nenı́ nikde klesajı́cı́. Proč?
(h) Funkce y =
x+2
x+1
nenı́ nikde rostoucı́. Proč?
Otázky 8B.2 [nesprávné užitı́ L’Hospitalova pravidla]
Nı́že vidı́te šest přı́kladů nesprávného použitı́ L’Hospitalova pravidla. V každém přı́padě
vysvětlete, v čem je chyba.
2x2 − 2
(2x2 − 2)′
4x
=
lim
= lim
= 2.
2
2
′
x→−1 x + 1
x→−1 (x + 1)
x→−1 2x
(a) lim
2x2 + x − 10
(2x2 + x − 10)′
4x + 1
(4x + 1)′
4
(b) lim 2
= lim
= lim
= lim
= lim = 2.
x→2 x − 3x + 2
x→2 (x2 − 3x + 2)′
x→2 2x − 3
x→−1 (2x − 3)′
x→2 2
(c)
e2t +3
3t
t→+∞ e +2
lim
(e2t +3)′
3t
′
t→+∞ (e +2)
= +∞
= lim
+∞
2e2t
3t
t→+∞ 3e
= lim
+∞
= +∞
=
(2e2t )′
(3e3t )′
4e2t
3t
t→+∞ 9e
= lim
= . . .;
výpočet nikdy neskončı́.
Otázky 8B.3 [Taylorův mnohočlen]
[
]
[
]
√
1 ′
1
1 ′
Je-li f (x) = 2x − 4, určı́me f ′ (x) = (2x − 4) 2 = (2x−4)− 2 and f ′′ (x) = (2x − 4)− 2 =
−(2x − 4)− 2 . Je-li a = 4, pak f (a) = f (4) = 2, f ′ (a) = f ′ (4) = 21 , f ′′ (a) = f ′′ (4) = − 18 .
Taylorův mnohočlen stupně 2 pro funkci f v bodě a je:
3
T (x) = f (a) +
f ′ (a)
(x−2)
1!
+
f ′′ (a)
(x
2!
− a)2 = 2 + 21 (x − 4) +
1
(x
16
− 4)2 .
1
(4.02 − 4)2 = 2.0099750, ale kalkulačka ukazuje
Nynı́ je T (4.02) = 2 + 12 (4.02 − 4) + 16
√
√
f (4.02) = 2 · 4.02 − 4 = 4.04 ≈ 2.0099751. Které čı́slo je tedy správné?
Otázky 8B.4 [nesprávná aplikace Weierstrassovy věty]
′
. Použijeme Weierstrassovu větu a
Je-li g(x) = x182 , pak g ′ (x) = (18x−2 ) = −36 · x−3 = −36
x3
najdeme absolutnı́ extrémy funkce g na intervalu I = ⟨−2, 3⟩.
x −2 3
= 0 → . . . žádné řešenı́. Funkce nemá
Stacionárnı́ body: g ′ = 0 → −36
x3
g(x)
4.5 2
stacionárnı́ body. To znamená, že do tabulky hodnot použijeme pouze
krajnı́ body intervalu I.
Výsledek: absolutnı́ maximum funkce g na I je 4.5 a absolutnı́ minimum funkce g na I je
2. ALE: 1 ∈ I a hodnota g(1) = 18, což je většı́ než 4.5. Co bylo špatně?
9
APLIKACE
Aplikace 8B.1 [optimálnı́ čas prodeje] [Simon & Blume, 1994, str. 99 - 100]
1
Tržnı́ hodnota pozemku zakoupeného za účelem spekulace je dána vzorcem V (t) = 2000et 4
USD, kde t je čas v letech od nynějška. Je-li dlouhodobě úroková mı́ra z finančnı́ch investic
10 %, jak dlouho bychom měli čekat s prodejem, abychom dosáhli maxima současné hodnoty?
Řešenı́. Je-li dlouhodobě úroková mı́ra finančnı́ch investric konstantně na úrovni r, pak
pro současnou hodnotu platı́ P (t) = V (t)e−rt . Hledáme čas t0 , kdy P (t) nabývá maxima.
′
Problém maximalizace řešı́me položenı́m prvnı́ derivace rovné nule (V (t)e−rt ) = 0 −→
′
(t)
V ′ (t)e−rt − rV (t)e−rt = 0 −→ VV (t)
= r.
′
(t)
Výsledkem je optimálnı́ čas prodeje. Výraz VV (t)
je nazýván optimalnı́ rychlost růstu. Na
druhou stranu, r udává úrokovou mı́ru, která v bance vyjadřuje procentický růst peněžnı́ch
investic v bance. Pokud hodnota P (t) roste rychleji, než úrok peněžnı́ch investic v bance,
neměli bychom pozemek prodávat. Pokud ale peněžnı́ investice v bance dosahujı́ většı́ho
úroku měli bychom pozemek prodat a utržené penı́ze bezprostředně investovat v bance s
′ (t)
úrokem r. Časový okamžik t0 , kdy nastane tato možnost změny, se určı́ z rovnice VV (t)
= r.
Dostáváme
1
1
2000et 4 · 14 t 4 −1
V ′ (t)
1 −3
= r −→
= 0.10 −→
t 4 = 0.10 −→ t0 = 3.393 let.
1
V (t)
4
2000et 4
Určete optimálnı́ čas t0 pro prodej stejného pozemku, je-li úroková mı́ra 8 %.
Aplikace 8B.2 [psychologie - teorie učenı́] [Barnett & Ziegler, 1988]
L. L. Thurstone, považovaný za zakladatele kvantitativnı́ teorie učenı́, navrhnul v roce 1917
model f (x) = ax+b
k vyjádřenı́ závislosti počtu úspěšných akcı́ za časovou jednotku, které
cx+d
je schopna sledovaná osoba provést, na počtu praktických sezenı́ x.
, kde f (x) je počet
Předpokládejme, že pro studenta kurzů psanı́ na stroji je f (x) = 31.5x+28
0.5x+2.4
slov napsaných za minutu, x je počet lekcı́. Určı́me limitu užitı́m L’Hospitalova pravidla.
lim 31.5x+28 = lim 31.5
= 63; tj. student bude mı́t po absolvovánı́ dostatečného počtu
x→+∞ 0.5x+2.4
x→+∞ 0.5
lekcı́ výkonnost 63 slov za minutu.
Byl navržen i jiný model pro stejný jev, totiž g(x) = 63 − 51 · e−0.12x . Provnejte f (x) a g(x).
Aplikace 8B.3 [absolutnı́ extrémy znečištěnı́] [Barnett & Ziegler, 1988]
Dvě centra těžkého průmyslu, A a B, jsou vzdálena od sebe 10 mil. Koncentrace sledované
látky ve vzduchu v jednotkách PPM klesá úměrně s převrácenou hodnotou vzdálenosti od
zdroje znečištěnı́. Jestliže zdroj A emituje sedmkrát vı́ce polutantu než zdroj B, pak hodnota
koncentrace v mı́stě na spojnici A a B vzdáleném x mil od A, je dána jako
1.2
8.4
0.5 ≤ x ≤ 9.5 Najděte extrémnı́ hodnoty c(x) pro x ∈ ⟨0.5, 9.5⟩.
c(x) = 2 +
x
(x − 10)2
Řešenı́. Funkce c(x) má derivaci na intervalu I = (0, +∞) a proto je na něm spojitá.
Protože(a = 0.5 a b =) 9.5 patřı́ do I, můžeme užı́t Weierstrassovu větu na interval ⟨0.5, 9.5⟩:
′
1.2
2.4
+
= −16.8
+ (x−10)
c′ (x) = 8.4
2
2
3 ; nynı́ stacionárnı́ body:
x
(x−10)
x3
c′ (x) = 0 →
−16.8
x3
2.4
+ (x−10)
3 = 0 → 7 =
(
x
x−10
)3
→ x1 = 6.56.
Tabulka extremálnı́ch hodnot pro c(x) na ⟨0.5, 9.5⟩ je vpravo.
Absolutnı́ minimum je v x1 = 6.56.
10
x
0.5 6.56 9.5
c(x) 33.61 0.30 4.89
TOPIC 9.A Neurčité integrály
Základnı́ pojmy a vlastnosti
• Funkce F (x), pro nı́ž F ′ (x) = f (x) pro každé x ∈ (a, b), se nazývá primitivnı́ funkcı́
k f (x) na otevřeném intervalu (a, b). Každá funkce, která je spojitá na otevřeném
intervalu I, má na I primitivnı́ funkci.
• Množina všech primitivnı́ch funkcı́ k funkci f (x) na otevřeném intervalu (a, b) se
nazývá neurčitý integrál funkce f (x) na tomto intervalu. Každé dvě primitivnı́ funkce
k funkci f (x) na daném intervalu se lišı́ o nějakou konstantu.
∫
• Pro neurčitý integrál užı́váme označenı́ f (x)dx = F (x) + C, kde diferenciál dx
specifikuje, že proměnná je x; C se nazývá integračnı́ konstanta.
Metody integrace
(Nalezenı́ vhodných otevřených intervalů je ponecháno na čtenáři; integračnı́ konstanta
je vynechána.)
∫
f (x) ± g(x)dx =
∫
f (x)dx ±
∫
Je-li
∫
∫
∫
f (x)dx = F (x), pak
n
x dx =
xn+1
,
n+1
∫
∫
a dále
∫
x
e dx = e
F (at + b)
a
f (at + b)dt =
(tzv. lineárnı́ substituce).
∫
∫
−1
x dx =
1
dx = ln |x|
x
∫
f ′ (x)
dx = ln |f (x)|,
f (x)
x
k · f (x)dx = k ·
g(x)dx
např.
∫
f (x)dx
pro lib. a ̸= 0 a lib. b ∈ R
na (−∞, 0), (0, +∞).
∫ 1
1
x
dx =
dx = ln | ln x|
x ln x
ln x
Malá tabulka neurčitých integrálů (libovolný výraz tvaru f 0 (x) zaměňte za 1)
∫
(ax + b)n dx =
[mt1]
∫
[mt2]
(ax + b)n+1
pro n ̸= −1, a ̸= 0
a · (n + 1)
∫
1
ln |ax + b|
dx =
ax + b
a
x
b
x
dx = − 2 · ln |ax + b| pro a ̸= 0
ax + b
a a
2ax + b − √D 1
1
√ [mt3]
dx = √ · ln ax2 + bx + c
D
2ax + b + D 2
a ̸= 0, D = b − 4ac
pro D > 0
∫
∫
[mt4]
x
ln |ax2 + bx + c|
b
dx
=
−
·
ax2 + bx + c
2a
2a
∫
xn ekx dx =
[mt5]
∫
xn ekx n
−
k
k
[mt6]
∫
[mt7]
xk lnn xdx =
n
∫
2
2ax + b
=√
· arctg √
−D
−D
pro D < 0
1
dx
ax2 + bx + c
∫
ln x dx = x · ln x − n ·
n
−2
2ax + b
pro D = 0
=
∫
xn−1 ekx dx , a speciálně
∫
∫
n−1
ln
x dx , a
n
xk+1 · lnn x
−
·
k+1
k+1
ekx
k
lnn x
lnn+1 x
dx =
x
n+1
∫
xk lnn−1 x dx
11
ekx dx =
pro a ̸= 0
pro k ̸= 1.
pro k ̸= 0
pro n ̸= −1
ÚLOHY
Úloha 9A.1 [definice primitivnı́ funkce] Prověřte pomocı́ derivovánı́, zda na nějakém intervalu (o který se blı́že nezajı́máme) platı́ daný vztah.
∫
∫
∫
2
x−1
1
x2
x2
(a)
dx =
+C
(b) 2xe dx = e +C
(c) ln x dx = +C
2
(x + 1)
x+1
x
∫
∫
2
2x cos x dx = x sin x+C
(d)
∫
2
2 sin x cos x dx = sin x+C
(e)
Úloha 9A.2 [technika integrovánı́]
∫
√
(a) 3 x − 1
3
(b) √
2x + 3
∫
(B) Integrujte užitı́m
(a)
8
2x + 1
(b)
Ve vzorcı́ch jsme vynechali integračnı́ konstantu C.
(ax+b)n dx =
(A) Integrujte užitı́m
(ax+b)n+1
, kde a ̸= 0, n ̸= −1, a dále
a(n + 1)
(c) 5x
f ′ (x)
dx = ln |f (x)|, speciálně
f (x)
ex
ex + 3
(c)
∫
(d)
∫
1
dx = ln |x|.
x
√
3
x
(f ) 7x −
10
√
2
(e) − 5 3 x
x
5
(d) 0.8
x
0.8
cos x
sin x
1
dx = ln x +C
x
(f )
5
1
1
dx = ln |ax + b| pro a̸=0.
ax + b
a
6x
2
x + 17
(e)
1
1
= x
x ln x
ln x
(C) Zintegrujte nı́že zadané výrazy užitı́m vzorců (a ̸= 0, int. konst. C opět vynechána):
∫
∫
eax+b dx = a1 eax+b ,
(a) e
2x+1
+ 2e
−x
∫
sin(ax+b) dx = − a1 cos(ax+b),
(
)
x
(b) cos
−1
2
cos(ax+b) dx =
x
1
a
sin(ax+b).
(e) 2 sin(3x + 1) − 3 cos 2x
(c) sin 4x + e 4
(D) Užijte vzorce [mt3] a [mt4] výše a integrujte výrazy.
(a)
x2
3x
+ 9x − 8
(b)
x2
2
−4
(c)
x2
7
+4
(e)
2x2
x+1
+ 12x + 18
(f )
x2
4
+x
(E) Užijte rekurentnı́ vzorce [mt5],[mt6] a [mt7] výše a integrujte výrazy.
(a) ln2 x
(b) x ln x
(c) xe2x
(d) x2 e−x
(e) x ln2 x
(f ) x2 ln x
Úloha 9A.3 [role intervalu u neurčitého integrálu]
Posud’te pravdivost každého z dvojice výroků, v nichž hraje roli volba intervalu I.
∫
∫
−1
1
1
(a) Na intervalu I = (−20, −10) platı́:
du = ln(−u) + C a také
dt =
+ C,
2
u
t
t
∫
∫
−1
1
1
dt
=
+
C
a
také
dt =
(b) Na intervalu I = (−10, 10) platı́:
2
(t + 11)
t + 11
t2
−1
+ C,
t
∫ √
∫
√
−1
1
3
(c) Na intervalu I = (0, +∞) platı́:
3 x du = x + C a také
dt =
+ C,
2
t
t
∫
∫
1
2u
(d) Na I = (−∞, +∞) platı́:
dq = ln |q| + C a také
du = ln(u2 +1)+C.
q
1+u2
12
OTÁZKY
Otázky 9A.1 [špatné integrovánı́]
V šesti ukázkách nı́že vidı́te přı́klady nesprávných postupů při integrovánı́ jak jsme je zaznamenali u našich studentů. U každé ukázky vysvětlete, v čem byla chyba.
∫
(a)
∫
∫
(d)
∫
(e)
∫
ln x dx =
(c)
∫
1
ln x dx = + C
x
(b)
ln x dx = x ln x − 1 ·
1
1
∫
1
t−1+1
t0
dt = t−1 dt =
= . . . not defined.
t
−1 + 1
0
∫
ln x dx = x ln x −
0
∫
1 · x dx = x ln x −
x2
+C
2
∫
(3t + 1)−2+1
1
1
√
dt = (3t + 1)−2 dt =
=
+ C.
3 · (−2 + 1)
−3(3t + 1)
3t + 1
∫
x2
x cos x dx =
· sin x + C
2
(f )
eq+1
e dq =
+C
q+1
q
Otázky 9A.2 [správné integrovánı́]
(a) Pro integraci funkce y = 2x vyjdeme z přepisu 2x = ex·ln 2 , takže můžeme užı́t vzorce
∫
∫
2x dx =
[mt5] a dostáváme:
∫
(b) Pro výpočet
ex·ln 2 dx = . . . dokončete výpočet.
∫ ′
2x
f (x)
dx = ln |f (x)|,
dx
máme
dvě
možnosti;
jednak
vzorec
f (x)
x2 + 1
a jednak dvojici formulı́ [mt4],[mt3]. Zjistěte, zda dostaneme stejný výsledek. Co je rychlejšı́?
2
− 1 = ln 2x. To
∫
∫ 2x
znamená, že ln 2x dx = x · ln 2x − x + C. Druhou možnostı́ pro výpočet
ln 2x dx je následujı́cı́:
(c) V této ukázce nejdřı́ve derivujeme: (x · ln 2x − x)′ = 1 · ln 2x + x
∫
∫
ln 2x dx =
∫
(ln 2 + ln x) dx =
∫
ln 2 dx +
ln x dx = x ln 2 + x ln x − x + C. Vyšlo totéž?
Otázky 9A.3 [role intervalu] U každého ze zápisů nı́že určete maximálnı́ otevřený interval na
kterém platı́.
∫ (√
)
√
3
3
2
2
(a)
x − 2 + 1 − x dx = (x − 2) 2 − (1 − x) 2 + C
3
3
(b)
(c)
(d)
(e)
(f )
∫ (√
x−1+
)
√
3
3
2
2
2 − x dx = (x − 1) 2 − (2 − x) 2 + C
3
3
∫ (√
x−2+
)
√
3
3
2
2
1 + x dx = (x − 2) 2 + (1 + x) 2 + C
3
3
∫ (√
x+2+
)
√
3
3
2
2
1 − x dx = (x + 2) 2 − (1 − x) 2 + C
3
3
∫ (√
x+2+
)
√
3
3
2
2
1 + x dx = (x + 2) 2 + (1 + x) 2 + C?
3
3
∫ (√
x+1−
)
√
3
3
2
2
2 − x dx = (x + 1) 2 + (2 − x) 2 + C.
3
3
13
APLIKACE
[Hoffmann & Bradley, 1992]
Aplikace 9A.1 [ekonomická analýza]
(a) Ropný√vrt, který dává 300 barelů za měsı́c, bude vytěžen za 3 roky. Odhaduje se, že vztah
p(t) = 18 + 0.3 t vyjadřuje cenu za jeden barel t měsı́ců od nynějška a vytěžená ropa bude za tuto
cenu vždy okamžitě prodána. Máme určit celkový přı́jem za prodej ropy za uvedené obdobı́ 3 let.
Řešenı́. Funkce R(t) bude vyjadřovat přı́jem (revenue) z prodeje ropy za prvnı́ch t měsı́ců od
počátku těžby. Máme tedy: {přı́růstek přı́jmu za měsı́c ∫t} = {300 × aktuálnı́ cena} = 300 · p(t),
√
√
3
což zapı́šeme jako R′ (t) = 300(18 + 0.3 t) −→ R(t) = 300(18 + 0.3 t) dt = 5400t + 60t 2 + C.
3
Protože R(0) = 0 je nutně C = 0 a konečný přı́jmový model je R(t) = 5400t + 60t 2 . Nakonec je
3
R(36) = 5400 · 36 + 60 · 36 2 = 207 360 USD. Jaký bude přı́jem za prvnı́ rok těžby?
(b) Ve vybrané firmě bylo zjištěno, že marginálnı́ náklady jsou 30(q − 4)2 Kč za jednotku zbožı́
při produkci
na úrovni q jednotek zbožı́, tj. C ′ = 30(q −4)2 . Integrovánı́m určı́me nákladovou funkci
∫
C(q) =
30(q − 4)2 dq = 10(q − 4)3 + k. Dále je známa hodnota fixnı́ch nákladů C(0) = 4 360 Kč,
takže můžeme určit hodnotu integračnı́ konstnty k : 4 360 = 10 · (0 − 4)3 + k −→ k = 3 720 Kč.
Určete náklady na 12 jednotek produkce.
(c) Výrobce předpokládá, že při úrovni produkce q jednotek je marginálnı́ přı́jem roven 100q − 2
EUR na jednotku a dále marginálnı́ náklady jsou rovny 0.4q EUR na jednotku. Vı́me ještě, že při
úrovni produkce 16 jednotek je dosažený zisk 520 EUR. Určete hodnotu zisku při úrovni produkce
25 jednotek.
1
′
′
Řešenı́. Vı́me, že R′ (q) = 100q − 2 a C ′ (q) =
∫ 0.4q a tedy dostáváme P (q) = [R(q) − C(q)] =
1
(
)
100q − 2 − 0.4q dq = 200q 2 − 0.2q 2 + k. Nynı́ již
R′ (q) − C ′ (q) = 100q − 2 − 0.4q −→ P (q) =
√
máme profitovou funkci P (q) = 200 q − 0.2q 2 + k; zbývá určit hodnotu integračnı́ konstanty k z
podmı́nky P (16) = 520 EUR. Dokončete úlohu,
1
1
1
Aplikace 9A.2 [modely růstu a poklesu]
(a) Zůstatková hodnota průmyslového stroje y klesá postupně v desetiletém obdobı́ tak, že
rychlost poklesu této ∫hodnoty závisı́ na stářı́ stroje x v letech podle vztahu y ′ = 220(x − 10) EUR
za rok. Je tedy y =
220(x − 10) dx = 110x2 − 2200x + C. V modelu y = 110x2 − 2200x + C
zbývá určit konstantu C. Jestliže vı́me, že pořizovacı́ cena stroje byla 12 000 EUR, tj. y(0) = 12000,
dostáváme rovnici 12000 = 110 · 02 − 2200 · 0 + C −→ C = 12000. Jaká bude zůstatková hodnota
stroje po uplynutı́ 9 let a 6 měsı́ců?
(b) V jednom americkém supermarketu je současná cena za 1 kg kuřecı́ho
√ masa rovna 3 USD.
′
Předpokládáme, že t týdnů od nynějška bude cena růst rychlostı́ p∫ (t) = 3 t + 1 centů za týden.
√
3
Integrovánı́m zı́skáme předpis pro cenovou funkci p(t): p(t) =
3 t + 1 dt = 2(t + 1) 2 + C.
3
Hodnotu C určı́me z faktu, že p(0) = 300 centů/kg: 300 = 2(0 + 1) 2 + C −→ C = 298. Určete
cenu po 8 týdnech.
(c) Předpokládá se, že v jedné zemi bude x let od nynějška jejı́ populace růst rychlostı́ e0.02x
miliónů lidı́ ročně. Odhadněte velikost populace za 10 let, je-li jejı́ současná velikost 30 miliónů.
Řešenı́. Je-li f (x) funkce vyjadřujı́cı́ velikost
populace v miliónech lidı́ x let od nynějška, máme
∫
f ′ (x) = e0.02x . Po zitegrovánı́ f (x) =
e0.02x dx = 50e0.02x + C. Dále vı́me, že f (0) = 30, tj.
30 = 50e0 + C −→ C = −20. Dokončete výpočet.
14
TÉMA 9.B Určité integrály
Základnı́ pojmy a vlastnosti
• Je-li F (x) primitivnı́ funkce k f (x) na otevřeném intervalu I, pak pro libovolné a, b ∈ I je
(Newtonův) určitý integrál z f (x) od a do b čı́slo
∫b
f (x)dx = [F (x)]ba = F (b) − F (a),
a
f (x) . . . integrand, a, b. . . integračnı́ meze,
a. . . dolnı́ mez,
b. . . hornı́ mez.
Poznámky
• Hodnota
∫b
f (x)dx nezávisı́ na volbě primitivnı́ funkce k f (x).
a
• Je-li f (x) spojitá na otevřeném intervalu I a a, b ∈ I, pak
∫b
f (x)dx existuje.
a
• Je-li ve výše uvedené definici b = +∞, pak [F (x)]+∞
= lim {F (u) − F (a)}.
a
u→+∞
Analogicky jsou definovány i ostatnı́ přı́pady tzv. nevlastnı́ch integrálů.
Aplikace určitého integrálu
(f (x), g(x) jsou funkce spojité na otevřeném intervalu I, a, b ∈ I, a J = ⟨a, b⟩)
• Obsah A oblasti mezi grafem funkce f (x) a osou x na J:
je-li f (x) ≥ 0 na J, pak A =
∫b
∫b
je-li f (x) ≤ 0 na J, pak A = − f (x)dx,
f (x)dx,
a
a
jsou-li hodnoty f (x) na J jak kladné tak záporné, pak A se počı́tá po částech, tj. J se
rozdělı́ na takové části, že na každé z nich bud’to f (x) ≥ 0 nebo f (x) ≤ 0.
• Je-li f (x) ≥ g(x) na J, pak
∫b
a
{f (x) − g(x)} dx počı́tá obsah A oblasti mezi grafy funkcı́
f (x) a g(x) na J.
• Necht’ nezáporná funkce f (t) je modelem vyjadřujı́cı́m rychlost změny úrovně nějaké veličiny
(v intervalu I). Akumulované množstvı́ této veličiny mezi t = a a t = b je vyjádřeno jako
∫b
a f (t) dt.
• Střednı́ hodnota y funkce y = f (x) na intervalu J:
y=
∫b
· f (x) dx
1
b−a
a
• Objem V rotačnı́ho tělesa tvořeného rotacı́ oblasti pod křivkou y = f (x) ≥ 0 kolem osy
x na J:
∫b
V = π · {f (x)}2 dx.
a
• Integrálnı́ kritérium konvergence: Necht’ funkce f (x) je nezáporná na (1, ∞) ⊂ I;
najdeme L =
+∞
∫
1
(1) L ∈ R ⇒
f (x) dx a pak pro řadu
∞
∑
∞
∑
f (n) platı́ následujı́cı́:
n=1
f (n) je konvergentnı́,
(2) L = +∞ ⇒
n=1
∞
∑
n1
15
f (n) je divergentnı́.
ÚLOHY
Úloha 9.B.1 Zjistěte hodnotu určitého integrálu a střednı́ hodnotu proměnné na J (výsledky
zaokrouhlujte).
∫e
(a)
∫1
x ln x dx
(b)
1
x
dx
x2 + 7x + 10
∫6
(c)
−2
0
2
√
dx
x+3
∫2 (
(d)
)
1 − e−0.9t dt.
0
Úloha 9.B.2 Ur4ete obsah oblasti mezi grafem nezáporné funkce a osou x na J.
(a) y = e−x , J = ⟨0, 1⟩
x
,
x2 +1
(b) y =
J = ⟨0, 4⟩
(c) y =
10
,
x4
J = ⟨1, +∞).
y
Úloha 9.B.3 Určete obsah oblasti mezi grafem funkce y = f (x) a osou
x na intervalu J tak, že určı́te odděleně obsahy oblastı́ nad a pod osou x
(pro prvnı́ úlohu, tj. (a), je vpravo načrtnut obrázek).
(a) y = − 32 x2 + 9x − 12, J = ⟨1, 4⟩,
(c) y =
3 2
2x
− 9x + 12, J = ⟨2, 5⟩,
1
O
-1
(b) y = 10 − x, J = ⟨0, 11⟩,
-2
(d) y = 16 −
-3
x2 , J
= ⟨−5, 5⟩.
6
1
(a) f (x) = 32 x2 − 3x + 32 ,
(b) f (x) =
x2
+ 4,
(c) f (x) = x2 − 22,
g(x) = x + 3,
g(x) = x + 6,
a = 0, f (x) = g(x) ⇒ b = 3,
-
5 x
4
66
y = x+2
5
4
3
2
a = 0, b nutno najı́t,
g(x) = 10 − x2 ,
3
y = − 32 x2 + 9x − 12
-4
Úloha 9.B.4 Jsou dány funkce f (x) a g(x); pro x ≥ 0 určete obsah
oblasti omezené ze třı́ stran dvěma funkcemi a osou y (pro prvnı́ úlohu, tj.
(a), je vpravo načrtnut obrázek).
2
y=
3 2
x
2
− 3x +
3
4
3
2
1
a = 0, b nutno najı́t.
O
1
2
-
5x
Úloha 9.B.5 Vypočtěte objem rotačnı́ho tělesa tvořeného otáčenı́m grafu funkce y = f (x) kolem
osy x na intervalu J:
√
10
(a) y = (x+2)
(b) y = 2x + 1, J = ⟨1, 4⟩ (c) y = ln x, J = ⟨1, e⟩.
3 , J = ⟨0, +∞)
Úloha 9.B.6 Funkce h : y =
6
x+1
je spojitá a nezáporná na (−1, +∞).
Najděte hodnotu parametru p > 0 tak, že
(a) obsah oblasti mezi grafem funkce h a osou x na ⟨0, p⟩ je rovna 12,
(b) střednı́ hodnota funkce h(x) na ⟨0, p⟩ je rovna
12
p ,
(c) objem rotačnı́ho tělesa vytvořeného otáčenı́m grafu funkce y = h(x) kolem osy x na ⟨1, p⟩
je roven 10π.
6
Úloha 9.B.7 Funkce m : y = 2 je spojitá a nezáporná na (0, +∞). Určete hodnotu parametru
x
p > 0 tak, že
(a) obsah oblasti mezi grafem funkce funkce m a osou x na ⟨p, +∞) je roven 12,
(b) objem rotačnı́ho tělesa vytvořeného otáčenı́m grafu funkce y = m(x) kolem osy x na
⟨p, +∞) je roven 32 π.
Úloha 9.B.8 Testujte konvergenci užitı́m integrálnı́ho kritéria.
∞
∞
∞
∑
∑
∑
3
3
(a)
me−m
(b)
(c)
3
2
n
q + 2q
m=1
n=1
q=1
16
(d)
∞
∑
k=1
k2
k
+ 6k + 9
OTÁZKY
∫b
Otázky 9.B.1 [obsahy]
Funkce f (x) =
16
x2
je nezáporná a proto
f (x) dx počı́tá obsah oblasti
a
mezi grafem funkce f a osou x na intervalu ⟨a, b⟩. Spočı́táme dva obsahy:
∫8
A1 =
−4
[
16
−16
dx =
x2
x
]8
∫8
16 16
=− +
=2
8
4
−4
A2 =
−2
[
16
−16
dx =
x2
x
]8
−2
=−
16 16
+
= 6.
8
2
Nenı́ to divné? Interval I1 = ⟨−4, 8⟩ je většı́ než interval I2 = ⟨−2, 8⟩ a přitom obsah A1 je menšı́,
než obsah A2 . Dokážete vysvětlit tento paradox?
Otázky 9.B.2 [střednı́ hodnota]
(a) Jana a Anna počı́taly střednı́ hodnotu y funkce f : y = x2 − 6x na intervalu ⟨0, 9⟩ dvěma
různými metodami (viz nı́že). Který výsledek je správný?
Jana: y =
f (9)−f (0)
2
∫9
=
27−0
2
= 13.5,
1
9−0
Anna: y =
(
[
)
x2 − 6x dx =
1 x3
9 3
− 3x2
]9
= 0.
0
0
(b) Jana se ještě stále snažı́ přesvědčit Annu, že jejı́ metoda je jednoduššı́. Navrhla to vyzkoušet
na jednoduchém přı́kladě určenı́ střednı́ hodnoty y funkce f : y = 6x na intervalu ⟨0, 9⟩. Posud’te
výsledky výpočtů nı́že.
Jana: y =
f (9)−f (0)
2
[
∫9
=
54−0
2
= 27, Anna: y =
1
9−0
1
9
6x dx =
]9
3x2
= 27.
0
0
Otázky 9.B.3 [obsahy] Na obrázku je znázorněna část paraboly g : y =
3 2
2 x − 9x + 12. Na intervalu ⟨1, 4⟩ jsme zvýraznili útvar mezi grafem funkce
g a osou x. Nynı́ vypočı́táme obsah tohoto obrazce (viz výpočet nı́že). Co
si myslı́te o výsledku?
∫4 (
Area =
3 2
2x
[
)
− 9x + 12 dx =
x3
−
2
9x2
2
]4
+ 12x
y
56 y=
− 9x + 12
4
3
2
1
O
=0
3 2
x
2
1
2
3
4
-
5x
1
1
Otázky 9.B.4 [kritéria konvergence]
∞
∑
(a) Vivian a Laura testovaly konvergenci řady
n=1
6
.
n2
Užily dvě různé metody. Vivian aplikovala
limitnı́ podı́lové kritérium, Laura integrálnı́ kritérium. Kdo to má správně?
an+1
= lim
n→∞ an
n→∞
Vivian: lim
∫k
Laura: lim
k→+∞
6
(n+1)2
6
n2
[
n2 + 2n + 1
=1
n→∞
n2
= lim
−6
6
dx = lim
2
k→+∞
x
x
]k
[
= lim
k→+∞
1
1
(b) Peter a Lee testovali konvergenci řady
→ nelze rozhodnout.
]
−6
+6 =6
k
∞
∑
n=1
√6 .
n
→ řada je konvergentnı́.
Užili dvě různé metody. Peter aplikoval
limitnı́ odmocninové kritérium, Lee integrálnı́ kritérium. Kdo to má správně?
Peter: lim
√
n
n→∞
∫k
Lee: lim
k→+∞
1
√6
n
√
n
6
= lim √ √
=
n
n→∞
n
[
√1
1
√
6
√ dx = lim 12 x
k→+∞
x
=1
]k
1
→ nelze rozhodnout.
√
= lim (12 k−12)] = +∞ → řada je divergentnı́.
k→+∞
17
APLIKACE
Aplikace 9B.1 [přebytek spotřebitele] [Bradley & Patton, 1999, str. 414 - 416]
Přebytek spotřebitele (consumer surplus) CS je definován jako rozdı́l mezi tı́m, kolik je spotřebitel
ochoten vydat za postupný nákup v rozmezı́ Q = 0 až Q = Q0 jednotek zbožı́, a aktuálnı́mi výdaji
za nákup Q0 jednotek zbožı́ za tržnı́ cenu P0 za jednotku, tj.
CS =
Q
∫0
(poptávková funkce) dQ − P0 Q0 .
Je-li např. poptávková funkce
0
P = 140/(Q + 2) a tržnı́ cena P0 = 10, pak určı́me hodnotu Q0 takto:
P = 140/(Q + 2) → P0 = 140/(Q0 + 2) → 10 = 140/(Q0 + 2) → Q0 = 12. Nakonec je
∫12
CS =
[
]12
140
dQ − 10 · 12 = 140 ln(Q + 2)
− 120 ≈ 152.4.
0
Q+2
0
Analogicky určete hodnotu CS, je-li P = 60 − 2Q a P0 = 12.
Aplikace 9B.2 [přebytek výrobce] [Bradley & Patton, 1999, str. 418 - 420]
Přebytek výrobce (producer surplus) P S je definován jako rozdı́l mezi přı́jmem, který obržı́
výrobce z prodeje Q0 jednotek zbožı́ při tržnı́ ceně P0 za jednotku a přı́jmem, který je ochoten
akceptovat za postupný prodej zbožı́ v rozmezı́ Q = 0 až Q = Q0 jednotek, tj.
P S = P0 Q0 −
Q
∫0
Je-li např. nabı́dková funkce P = 2e0.8Q
(nabı́dková funkce) dQ.
0
a Q0 = 5, pak zı́skáme hodnotu P0 takto: P0 = 2e0.8Q0 → P0 = 2e4 ≈ 109.2. Nakonec je
P S = 109.2 · 5 −
∫5
[
2e0.8Q dQ = 546 − 2.5e0.8Q
]5
0
≈ 412.
0
Analogicky určete hodnotu P S, je=li P = Q2 + 6Q a Q0 = 4.
Aplikace 9B.3 [celkový prodej] [Budnick, 1993, str. 924]
Výrobce odhaduje,
že prodej jeho mikropočı́tarových systémů v přı́štı́ch letech bude mı́t trend
√
přı́růstku
1.2t + 10 tisı́c jednotek ročně (v roce t od nynějška). Jaký očekává celkový prodej v
přı́štı́ch 10 letech?
Řešenı́. Celkový prodej =
∫10 √
[
1.2t + 10 dt =
5
9 (1.2t
3
+ 10) 2
]10
0
≈ 39.8 tisı́c jednotek.
0
Aplikace 9B.4 [asimilace léku] [Barnett & Ziegler, 1988, str. 436]
Když pacient přijme lék, jeho tělo neasimiluje celé množstvı́ obsažené látky. Jednou z možnostı́ jak
zjistit skutečnost je sledovat jakou rychlostı́ je tato látka vylučována z organismu. V konkrétnı́m
matematickém modelu je rychlost vylučovánı́ látky z těla (in mililitrech na min.) dána jako R(x) =
xe−0.2x , kde x je čas v minutách od okamžiku podánı́ léku. Určete, kolik látky bylo celkově vyloučeno
z těla.
Řešenı́. Užijeme tabulkový integrál [mt5]
∫T
Celkové množstvı́ =
lim
T →+∞
xe
0
−0.2x
∫
xn ekx dx =
[
dx =
lim
T →+∞
mililitrů.
18
xn ekx
k
−5x − 25
e0.2x
−
n
k
∫
xn−1 ekx dx.
]T
(
=
0
lim
T →+∞
)
−5T − 25
+ 25
e0.2T
= 25
TÉMA 10. Obyčejné diferenciálnı́ rovnice
Obyčejná diferenciálnı́ rovnice je rovnice obsahujı́cı́ neznámou funkci, obvykle y, a jednu nebo
vı́ce jejı́ch derivacı́. Také může obsahovat symbol nezávisle proměnné, např. x.
y ...
neznámá funkce y proměnné x, tj. y = y(x)
řád k dif. rovnice . . .
je řád nejvyššı́ derivace y v rovnici
řešenı́ . . .
libovolná funkce y(x) spolu s otevřeným intervalem J, na
němž se funkce na levé rovná funkci na pravé straně rovnice
obecné řešenı́ . . .
obsahuje k volitelných konstant
partikulárnı́ řešenı́ . . .
řešenı́ splňujı́cı́ počátečnı́ podmı́nku(y)
počátečnı́ podmı́nka(y) . . .
majı́ vliv na výběr konstant v obecném řešenı́
Poznámky
• V diferenciálnı́ rovnici můžeme použı́vat jiných symbolů než y a x.
• Někdy se dif. rovnice zapisujı́ v tzv. diferenciálnı́m tvaru, např. dy − x2 dx = 0.
Řešenı́ některých dif. rovnic
Dif. rovnice tvaru y (k) = f (x) (f je lib. funkce, k ≥ 1)
Užijeme integrovánı́ opakovaného k-krát. Výsledek má k volitelných konstant
C1 , C2 , . . . , Ck ∈ R. K určenı́ hodnot Ci potřebujeme k počátečnı́ch podmı́nek.
Separovaná dif. rovnice má tvar y ′ = f (x) · h(y) (f, h libovolné funkce)
1
dy
= f (x)·h(y) ⇒
dy = f (x) dx ⇒
dx
h(y)
∫
1
dy =
h(y)
∫
f (x) dx ⇒ H(y)+C1 = F (x)+C2
Položı́me C = C2 − C1 a máme G(y) = F (x) + C, tzv. implicitně popsané řešenı́.
Lineárnı́ dif. rovnice 1. řádu má tvar y ′ + f (x) · y = g(x) (f, g lib. funkce)
Neprve definujeme integračnı́ faktor I(x) = eF (x) , kde F (x) je primit. funkce k f (x).
Obecné řešenı́ bude y =
1 ∫
I(x) ·
I(x)·g(x) dx.
Dva zvláštnı́ přı́pady lineárnı́ch dif. rovnic 1. řádu
• g(x) = 0 (homogennı́ lineárnı́ dif. rovnice 1. řádu tvaru y ′ + f (x) · y = 0):
obecné řešenı́ je y = C · e−F (x) .
• f (x) = b = konstanta ̸= 0 ∧ g(x) = k = konstanta ̸= 0 (tj. y ′ + b · y = k):
obecné řešenı́ je y = C · e−b·x + kb .
Homogennı́ lineárnı́ dif. rovnice 2. řádu ay ′′ + by ′ + cy = 0 ( a̸=0, b, c ∈ R)
Charakteristická rovnice je az 2 + bz + c = 0, kde D = b2 − 4ac.
Obecné řešenı́ má 2 volitelné konstanty C1 , C2 a jeho tvar závisı́ na D:
y = C1 ez1 x + C2 ez2 x . . . je-li D > 0, z1,2 =
y = C1
ezx
+ C2
xezx
. . . je-li D = 0, z =
−b
2a
√
−b± D
2a
(2 různé reálné kořeny),
(jeden dvojnásobný reálný kořen),
√
y = epx (C1 cos qx + C2 sin qx) . . . je-li D < 0, z1,2 = −b±i2a −D =p ± qi (2 komplex. koř.).
Nehomogennı́ lineárnı́ dif. rovnice 2. řádu ay ′′ + by ′ + cy = g(x), (g̸=0 je funkce)
Obecné řešenı́ je y = ypart + yhom , kde ypart je libovolné partikulárnı́ řešenı́ dané rovnice a
yhom je obecné řešenı́ přı́slušné homog. dif. rovnice (princip superpozice).
Speciálně, je-li g(x) polynom, pak ypart lze najı́t též ve tvaru polynomu.
19
ÚLOHY
Úloha 10.1 [vytvořenı́ diferenciálnı́ rovnice] [Hoffmann & Bradley, 1992, str. 443]
Napište diferenciálnı́ rovnici, která vyjadřuje popsanou situaci. Vysvětlete význam proměnných
veličin. Rovnici ale neřešte.
Ukázka: Do nádoby s vodou bylo umı́stěno 10 kg cukru. Je známo, že rychlost rozpouštěnı́ cukru
ve vodě je přı́mo úměrná množstvı́, které ještě nenı́ rozpuštěno.
Odpověd’: Označı́me S(t) množstvı́ cukru (in kg), který je již rozpuštěn t sekund po začátku
experimentu. Pak S ′ (t) udává rychlost, se kterou přibývá rozpuštěného cukru v okamžiku t; k bude
koeficient úměrnosti. Můžeme tedy formulovat diferenciálnı́ rovnici S ′ = k(10 − S).
(a) Hodnota investice P (t) v čase t roste rychlostı́ rovnou 7 procentům jejı́ okamžité velikosti.
(b) Výrobce má marginálnı́ náklady C ′ (x) rovny 60 USD na jednotku.
(c) Populace v jednom městě roste rychlostı́ 500 lidı́ za rok.
(d) Počet bakteriı́ v kultuře roste rychlostı́ úměrnou jejich okamžitému množstvı́.
(e) V jedné komunitě majı́cı́ 2000 lidı́ se šı́řı́ určitá epidemie. Vı́me, že rychlost šı́řenı́ epidemie
je úměrná jak počtu lidı́, kteřı́ již jsou nemocnı́, tak počtu lidı́, kteřı́ ještě nejsou nemocnı́.
Úloha 10.2 [prověřit řešenı́]
renciálnı́ rovnice.
xy ′ = 2y,
(a) y = Cx2 ,
Ukažte, že navržená funkce y je obecným řešenı́m zadané dife(b) y =
C
x,
xy ′ = −y,
2
(c) y = ex + C,
y ′ = 2xex .
2
Úloha 10.3 [přı́má integrace] Řešte přı́mou integracı́ a pak najděte partikulárnı́ řešenı́ zadané
rovnice splňujı́cı́ uvedené podmı́nky.
(a) y ′ =
2
,
x2
y(1) = −7,
(b) y ′ = 6 sin(2x), y(2) = 4,
Úloha 10.4 [separovaná dif. rovnice]
jež může být v implicitnı́m tvaru.
(a) y ′ =
1+x2
1+y 2
(b) y ′ =
Řešte separováné dif. rovnice. Uved’te pouze obecné řešenı́,
(c) y ′ = xy + x,
xex
ln y
(c) y ′′ = 4 + ln x, y(1)=2, y ′ (1)=6.
(d) y ′ = ex+y ,
Úloha 10.5 [homogennı́ lineárnı́ dif. rovnice 1. řádu]
rovnice splňujı́cı́ uvedenou podmı́nku
(a) y ′ − 2xy = 0, y(1) = 3e,
(b) y ′ + y sin x = 0, y(0) = 3,
(e) y ′ = 2y 2 − y.
Najděte partikulárnı́ řešenı́ zadané
(c) y ′ +
y
x
= 0, y(2) = 0.4.
Exercise 10.6 [integračnı́ faktor]
Pro diferenciálnı́ rovnice tvaru y ′ + f (x) · y = g(x) najděte obecné řešenı́ ve dvou krocı́ch.
KROK 1: připravit∫integračnı́ faktor I(x) = eF (x) , kde F (x) je primitivnı́ funkce k f (x).
1
KROK 2: y =
I(x) · g(x) dx.
I(x)
(c) y ′ − 2y = e3x ,
(d) y ′ + xy = ex .
(a) y ′ + 4y = x,
(b) y ′ + xy = x1 ,
Úloha 10.7 [homogennı́ lineárnı́ dif. rovnice 2. řádu]
rovnice splňujı́cı́ uvedené podmı́nky.
(a) y ′′ − y = 0, y(0) = 3, y(1) = 10,
Najděte partikulárnı́ řešenı́ zadané
(b) y ′′ + 10y ′ + 25y = 0, y(0) = 4, y ′ (0) = 1.
Úloha 10.8 [nehomogennı́ lineárnı́ dif. rovnice 2. řádu]
Nejdřı́ve najděte partikulárnı́ řešenı́
ve tvaru ypart = k nebo ypart = ax + b; pak hledejte partikulárnı́ řešenı́ zadané rovnice splňujı́cı́
uvedené podmı́nky.
(a) y ′′ + y ′ − 2y = 6, y(0) = 0, y ′ (0) = 0,
(b) y ′′ − 2y ′ + y = 2x + 3, y(0) = −10, y(1) = 12.
20
OTÁZKY
Otázky 10.1
Analyzujte neúspěšný postup při řešenı́ dif. rovnice. Co je špatně?
y ′′ = 6 → y ′ = 6x + C → y = 3x2 + Cx + C. Dostali jsme obecné řešenı́.
Protože máme dif. rovnici 2. řádu, potřebujeme pro partikulárnı́ řešenı́ 2 podmı́nky; např.: y(1) =
7, y(2) = 15. Dostáváme
y(1) = 7 → 7 = 3 · 12 + C · 1 + C → C=2; y(2) = 15 → 15 = 3 · 22 + C · 2 + C → C=1.
To ale nenı́ možné, nebot’ jsme dostali dvě různé hodnoty pro konstantu C.
Otázky 10.2 [separovaná dif. rovnice]
rovnice. Co je špatně?
Analyzujte neúspěšný postup při řešenı́ separované dif.
∫
∫
dy
8x
3y 2 dy = 8x dx ⇒ y 3 + C1 = 4x2 + C2 .
= 2 → 3y 2 dy = 8x dx →
dx
3y
To je obecné řešenı́ v implicitnı́m tvaru. Pro určenı́ konstant C1 , C2 potřebujeme dvě podmı́nky;
např.: y(1) = 13, y(2) = 20. Dostáváme
13 + C1 = 4 · 12 + C2 , 23 + C1 = 4 · 22 + C2 →
C1 −C2 = 3, C1 −C2 = 8. To nemá řešenı́.
Otázky 10.3 [homogennı́ lineárnı́ dif. rovnice 2. řádu] Tři studenti, Dan, Ben, and Jan, řešili 3
dif. rovnice, ale jen jeden z nich má správný výsledek. Vysvětlete podrobněji:
Dan:
y ′′ − 6y ′ + 9y = 0
−→
Ben:
y ′′ + 9y = 0
−→
y = C1 e3x + C2 e−3x ,
Jan:
y ′′ − 9y = 0
−→
y = C1 e3x + C2 e−3x .
y = C1 e3x + C2 e3x ,
Otázky 10.3 [lineárnı́ dif. rovnice 2. řádu]
(a) y ′′ − 5y ′ = 0
→
z 2 − 5z = 0
(b) y ′′ − 5y ′ + 6 = 0
→
Následujı́cı́ postupy jsou nesprávné. Proč?
z1 = 5, z2 = 0
→ z 2 − 5z + 6 = 0
→
→ z1 = 2, z2 = 3
Otázky 10.4 [nehomogennı́ lineárnı́ dif. rovnice 2. řádu]
postupy nesprávné:
y = C1 e5x + C2 e0x = C1 e5x .
→ y = C1 e2x + C2 e3x .
Vysvětlete, proč jsou následujı́cı́ dva
(a) y ′′ − 5y ′ = 15 je nehomogennı́ lineárnı́ dif. rovnice 2. řádu. Nejdřı́ve napı́šeme obecné řešenı́
přı́slušné rovnice homogennı́: y = C1 e5x + C2 . Abychom zı́skali partikulárnı́ řešenı́ původnı́ rovnice
nehomogennı́ ypart , všimneme si, že pravá strana má tvar konstanty, tj. g(x) = 15. Proto zkusı́me
′
′′
ypart = k, kde k je neznámá konstanta. Máme pak ypart
= k ′ = 0, ypart
= 0′ = 0 a nakonec po
dosazenı́ do původnı́ rovnice nehomogenı́ dostaneme:
y ′′ − 5y ′ = 15
→
′
′′
= 15
− 5ypart
ypart
→
0 − 5 · 0 = 15
→
to nemá řešenı́.
(b) y ′′ − 5y ′ + 6y = 15x je nehomogennı́ lineárnı́ dif. rovnice 2. řádu. Nejdřı́ve napı́šeme obecné
řešenı́ přı́slušné rovnice homogennı́: y = C1 e2x +C2 e3x . Abychom zı́skali partikulárnı́ řešenı́ původnı́
rovnice nehomogennı́ ypart , všimneme si, že pravá strana má tvar g(x) = 15x a proto zkusı́me
ypart = kx, kde k je neznámá konstanta.
′′
′
= k ′ = 0 a dosadı́me do původnı́ rovnice nehomogennı́:
= (kx)′ = k, ypart
Dostaneme ypart
y ′′ − 5y ′ + 6y = 15x
kx − 5k = 15x + 0
→
→
′
′′
+ 6ypart = 15x
− 5ypart
ypart
k=
15x
x−5 .
→
0 − 5 · k + kx = 15x
→
To je ale špatně, nebot’ výsledek má být konstanta k.
21
APLIKACE
Aplikace 10.1 [Náklady z marginálnı́ch nákladů] [Bradley & Patton, 2006, str. 425]
Marginálnı́ náklady (Maginal Cost) pro zvolený produkt popisuje vztah M C = 10/Q, kde Q je
počet vyrobených jednotek.
(i) Napište diferenciálnı́ rovnici pro náklady (T C − T otalCost) v proměnné Q.
(ii) Napište nákladovou funkci, jestliže vı́te, že T C = 500 pro Q = 10.
dTC
10
Řešenı́. (i) M C = 10/Q znamená, že M C =
= .
dQ
Q
∫
dTC
10
10
=
→ TC =
d Q = 10 ln Q + C.
dQ
Q
Q
Obecné řešenı́ je T C = 10 ln Q + C, což je obecný tvar nákladové funkce [Q ≥ 1].
(ii) Řešı́me diferenciálnı́ rovnici:
Máme ještě podmı́nku T C = 500 pro Q = 10. Po jejı́m dosazenı́ do obecného řešenı́ zı́skáme
hodnotu C: 500 = 10 ln(10) + C → C ≈ 500 − 23.03 = 476.97.
Tedy T C = 10 ln Q + 476.97.
Aplikace 10.2 [dieta] [Barnett & Ziegler, 1988, str. 575] V časopise College Mathematics Journal
(leden 1987, 18:1), navrhnul Arthur Siegel následujı́cı́ model pro průběh diety na snı́ženı́ nebo
A
zvýšenı́ tělesné hmotnosti: ddwt + 0.005w = 3500
, kde w(t) je váha osoby (v librách) po uplynotı́ t
dnı́ konzumace přesně A kaloriı́ denně. Jestliže osoba vážı́cı́ 160 liber nastoupı́ dietu 2100 kaloriı́
denně, určete
(i) Jaká bude jejı́ váha po 30 dnech této diety?
(ii) Jak dlouhá dieta bude potřebná ke snı́ženı́ váhy o 10 liber?
(iii) Najděte lim w(t) a vysvětlete, co znamená výsledek.
t→∞
A
Řešenı́. Nejdřı́ve sestavı́me modelovou funkci w = w(t). Protože 3500
= 2100
3500 = 0.6, budeme
′
řešit lineárnı́ diferenciálnı́ rovnici w + 0.005w = 0.6. Nejdřı́ve napı́šeme obecné řešenı́ této lineárnı́
0.6
= Ce−0.005t +
diferenciálnı́ rovnice 1. řádu s konstantnı́ pravou stranou, tj. w(t) = Ce−0.005t + 0.005
−0.005·0
120. Dále vı́me, že w(0) = 100 a tudı́ž 160 = Ce
+ 120 → C = 40.
−0.005·t
Výsledný model je w(t) = 40e
+ 120.
(i) w(30) = 40e−0.005·30 + 120 ≈ 154.4 liber.
(ii) 150 = 40e−0.005·t + 120 → 0.75 = e−0.005·t → t =
(
)
ln 0.75
−0.005
≈ 57.5 dnı́.
(iii) lim w(t) = lim 40e−0.005·t + 120 = 120 liber je očekávaná konečná hmotnost.
t→∞
t→∞
Aplikace 10.3 [snı́ženı́ veřejného dluhu] [Barnett & Ziegler, 1988, str. 584] Domarúv model
oddluženı́ popisuje průběh snižovánı́ veřejného dluhu D(t) pomocı́ diferenciálnı́ rovnice D′′ (t) −
βD(t) = 0, kde t je čas a β je konstantnı́ relativnı́ přı́růstek přı́jmů [0 < β < 1].
(i) Najděte obecné řešenı́ uvedené diferenciálnı́ rovnice pro libovolnou hodnotu
β.
√
′
(ii) Najděte partikulárnı́ řešenı́ splňujı́cı́ podmı́nky D(0) = 1, D (0) = − β.
(iii) FNajděte limitnı́ hodnotu tohoto partikulárnı́ho řešenı́ pro t → ∞.
Řešenı́. (i) Řešı́me lineárnı́ diferenciálnı́ rovnici √
2. řádu s konstantnı́mi
koeficienty. Zpracujeme
√
2
charakteristickou
√ rovnici: z − β = 0 → z1 = β, z2 = − β. Obecné řešenı́ je pak D(t) =
√
c1 e
βt
+ c2 e−
βt
.
′
(ii) Hodnoty c1 , c2 pro partikulárnı́
model
√
√
√
√ určı́me z počátečnı́ch podmı́nek: D(0) = 1, D (0) =
− β → c1 +c2 = 1, c1 β−c2√ β = − β → c1 +c2 = 1, c1 −c2 = −1, → c1 = 0, c2 = 1.
Partikulárnı́ model je D(t) = e− βt .
√
(iii) lim D(t) = lim e− βt = e−∞ = 0.
t→∞
t→∞
22