Modelován´ı tren´ı v kontaktn´ıch vazbách

Modelovánı́ třenı́ v kontaktnı́ch vazbách
Snahou autora tohoto studijnı́ho textu je čtenáře seznámit s problematikou třecı́ch sil
a přiblı́žit mu možný postup při řešenı́ kontaktnı́ úlohy s uvažovánı́m třenı́. Předkládaný
studijnı́ materiál přı́mo navazuje na předchozı́ text zabývajı́cı́ se určenı́m kontaktnı́ch
normálových sil, které jsou spolu s koeficientem třenı́ využı́vány pro výpočet třecı́ch účinků,
vyskytujı́cı́ch mezi dvěmi vzájemně se pohybujı́cı́mi se tělesy. Nejprve jsou popsány kinematické vazby, které sloužı́ k určenı́ relativnı́ch rychlostı́ kontaktnı́ch ploch. Následuje
představenı́ několik modelů třenı́, jež se obvykle užı́vajı́ pro popis koeficientu třenı́. Dále
jsou jednotlivé modely aplikovány na jednoduchý mechanický systém. Výsledky jsou vzájemně porovnány a vyhodnoceny.
Kinematika kontaktnı́ch ploch
Pro výpočet třecı́ch sil je nutné znát vzájemnou polohu elementárnı́ch kontaktnı́ch plošek
popřı́padě jejich průnik, který sloužı́ pro určenı́ normálové kontaktnı́ sı́ly. Dále je zapotřebı́ určit relativnı́ rychlosti ploch. Ty se zı́skajı́ obdobným způsobem jako průniky
ploch, na nichž přı́mo závisı́ i kontaktnı́ (normálová) sı́la, viz obrázek 1.
Uvažovaná kontaktnı́ plocha A se rozdělı́ na elementárnı́ kontaktnı́ plošky Aj , kde index
j = 1, . . . , n. Ve středu každé elementárnı́ plošky se zvolı́ lokálnı́ souřadný systém ξj ηj ζj ,
jak je vyznačeno na obr. 1. Relativnı́ rychlost cAj určená rozdı́lem rychlostı́ elementárnı́ch
kontaktnı́ch ploch
cAj = q̇1,Aj − q̇2,Aj .
(1)
Rychlosti středů kontaktnı́ch plošek jsou určeny vztahy
q̇1,Aj = T1,Aj q̇1,C ,
q̇2,Aj = T2,Aj q̇2,C .
(2)
Tzv. skluzová rychlost se vypočı́tává pro střed kontaktnı́ plošky a určuje celkovou relativnı́
rychlost ploch jako skalárnı́ veličinu. Jejı́ velikost je popsána v rovině ξj ηj vztahem
q
cA j =
c2Aj ,ξ + c2Aj ,η ,
(3)
viz obrázek 1.
Určenı́ třecı́ho koeficientu
Obecně lze řı́ci, že pokud je těleso v kontaktu, je charakter jeho pohybu ovlivňován
třenı́m. Pohyb těles s kontaktem má podle dostupné literatury, např. [Yang et al. (1998)],
tři základnı́ fáze:
• tělesa jsou zatěžovaná v tečném směru, ale sı́la nepřesáhne zvolenou mez. Tato fáze
se nazývá sticking. Tělesa se vzájemně nepohybujı́.
1
Obrázek 1: Rozklad relativnı́ rychlosti do směru os ξ a η.
• tělesa jsou zatěžovaná v tečném směru, avšak tečná sı́la nenı́ dostatečně velká k
udrženı́ vzájemného pohybu. V kontaktnı́ ploše docházı́ pouze k lokálnı́m posuvům.
Fáze známá pod jménem stick-slip. Docházı́ k trhavým relativnı́m pohybům těles.
• tělesa jsou zatěžovaná v tečném směru a sı́la přesáhla kritickou mez. Tělesa po sobě
klouzajı́, odpor v kontaktu ke kluznému pohybu je roven třecı́ sı́le.
Velikost třecı́ sı́ly TAj ,ξ je určena předpisem pro nenulovou relativnı́ rychlost ve směru ξ
TAj ,ξ = −NAj f (cAj )
cAj ,ξ
,
cA j
(4)
kde cAj ,ξ je prvek vektoru cAj ve směru ξ. Analogický vztah platı́ i pro složku třecı́ sı́ly ve
směru osy η
TAj ,η = −NAj f (cAj )
cAj ,η
.
cA j
(5)
Koeficient třenı́ f (cAj ) lze uvažovat jak konstantnı́ po celou dobu výpočtu, tak proměnný
v závislosti na relativnı́ rychlosti. V následujı́cı́m přehledu jsou uvedeny často použı́vané
modely pro určenı́ koeficentu třenı́, respektujı́cı́ relativnı́ rychlost třecı́ch ploch:
• s konstantnı́ koeficientem třenı́ f = 0, 2,
• ve tvaru funkčnı́ závislosti f = fs tgh(kvr ), kde fs je koeficient statického třenı́, k je
volitelná konstanta a vr je relativnı́ rychlost [Brůha (2010)],
• model užı́vaný v MSC.ADAMS
f = fs sin (Carctg((B∆vr ) − E((B∆vr ) − arctg(B∆vr )))), fs koeficient statického
třenı́, vr je relativnı́ rychlost, B, C a E jsou volitelné konstanty [MSC software (2000)].
V tomto přı́padě byly zvoleny B = 0, 5, C = 1, 7 a E = −2,
2
• určené předpisem respektujı́cı́ vliv jevu mikro-slip, kdy je rychlost menšı́ než kritická
rychlost, jako f = (fd + (fs − fd )e−dvr ) vvkr , kde fd je koeficient dynamického třenı́,
d je volená konstanta a vk je kritická rychlost, při nı́ž docházı́ na ke změně výpočtu
koeficientu třenı́. Po překročenı́ rychlosti jevu mikro-slip je koeficient třenı́ určen jako
f = (fd + (fs − fd )e−dvr ) [Pešek et al.],
• určené předpisem popsaným v manuálu k systému ANSYS, f = (fd (1+FACT)e−DCvr ),
kde FACT = 2 a DC = 2 jsou volené parametry.
Složky třecı́ sı́ly (4) a (5) se složı́ do vektoru sil přı́slušné plochy Aj , kde je na třetı́
pozici kontaktnı́ (normálová) sı́la. Sı́ly pro těleso 1 má tvar
T
(2,1)
fAj = TAj ,ξ , TAj ,η , FAj ,N , 0, 0, 0
.
(6)
(1,2)
(2,1)
Dı́ky platnosti principu akce a reakce pro sily působı́cı́ na těleso 2 platı́ vztah fAj = −fAj .
Uvedené vektory sil (6) popisujı́ velikost třecı́ch sil v elementárnı́ kontaktnı́ plošce. Je
nezbytné tyto sı́ly zpětně transformovat do zvolených bodů tělesa Ci kde i = 1, 2. Zpětná
trasformaci je provedena transponovanou maticı́ TT1,Aj a TT2,Aj . Výraz pro transformace sil
ze souřadného systému ξj ηj ζj do xc yc zc má tvar
X
(2,1)
f1,c =
TT1,Aj fAj ,
j
f2,c =
X
(1,2)
TT2,Aj fAj .
(7)
j
Výsledný matematický model s uvažovaným kontaktem zahrnutý pomocı́ vektoru sil
má tvar
M1 0
0 M2
+
K1
0
q̇1
+
+
q̇2


..
.


 f1,c 
 . 
0
q1
f1 (t)

=
+
 ..  ,
K2
q2
f2 (t)
 f 
 2,c 
..
.
q̈1
q̈2
B1 0
0 B2
(8)
kde M, B, K jsou matice hmotnosti, tlumenı́ a tuhosti. Vektory q̈, q̇ a q, jsou zrychlenı́,
rychlosti a výchylky uzlů. Vektor pravé strany f(t) značı́ zatı́ženı́ vnějšı́ silou.
Aplikačnı́ úloha
Pro porovnánı́ představených modelů třenı́ byl zvolen model dvou lopatek, viz obrázek 2.
Lopatky jsou na jedné straně vetknuté a na druhé straně majı́ bandáž. Vzhledem k násobně
většı́ tuhosti bandáže oproti lopatce byla bandáž považována za tuhou. Soustava dvou
lopatek (obrázek. 3(a)) byla vybuzena skokovou silou (obrázek. 3(b)).
3
Obrázek 2: Soustava dvou lopatek s kontaktnı́ vazbou.
F [N]
10
0
(a) Soustava dvou lopatek zatı́žená přı́tlačnou silou.
t [s]
(b) Průběh přı́tlačné sı́ly.
Obrázek 3: Směr zatı́ženı́ soustavy lopatek a jeho průběh.
4
Průběhy velikostı́ koeficientu třenı́ v závislosti na relativnı́ rychlosti je vidět na obrázku 4(a). Relativnı́ rychlosti jsou uvažovány pouze kladné. Pro záporné rychlosti platı́
středově souměrné modely. Tyto modely třenı́ pak byly použity na model s diskretizacı́
kontaktnı́ch ploch 4×5. Přechodové kmity lopatky 1 jsou patrné na obrázku 4(b).
Na obr. 4(a) je patrná dobrá shoda průběhů poslednı́ch dvou modelů třenı́. Tomuto
výsledku odpovı́dajı́ i přechodové kmity, kdy se výchylky pro zmı́něné dva modely také
téměř shodujı́. Pro ilustraci jsou na obr. 4(c) uvedeny i relativnı́ rychlosti ve zvolené kontaktnı́ plošce. Z nich je dobře parno, že nejvyššı́ relativnı́ rychlosti dosahuje kontaktnı́ model použı́vaný v systému ANSYS, jehož dynamický koeficient třenı́ odpovı́dá konstantnı́mu
třenı́ f = 0, 2 a statický f = 0, 4. Při výpočtu nenı́ uvažována žádná meznı́ tečná sı́la, kterou kontakt v módu sticking v systému ANSYS uvažuje, proto docházı́ k velkému nárůstu
relativnı́ rychlosti. S klesajı́cı́ rychlostı́, však vzrůstá koeficient třenı́ a tak v konečném
důsledku docházı́ k rychlejšı́mu útlumu kmitů, než u zbývajı́cı́ch modelů.
Z relativnı́ch rychlostı́ 4(c) je také dobře patrno, že relativnı́ rychlosti všech modelů se
postupně snižujı́, vyjma modelu s konstantnı́ hodnotou koeficientu třenı́. Avšak pro nı́zké
relativnı́ rychlosti (nižšı́ než 10−4 ) je pro modely tgh a MSC.ADAMS třecı́ koeficient již
nižšı́ než statický koeficient třenı́. Proto se na přechodových kmitech (obr. 4(b)) kontaktnı́
model s konstantnı́m koeficientem třenı́ začı́ná rychleji utlumovat.
Závěr
Cı́lem této práce bylo čtenáři osvětlit modelovánı́ třenı́ v kontaktnı́ch vazbách. V prvnı́
části byla stručně nastı́něna problematika modelovánı́ třenı́, byly představeny základnı́
stavy vyskytujı́cı́ se při řešenı́ kontaktnı́ch úloh. Dále bylo představeno několik modelů
třenı́, které se při modelovánı́ třenı́ často použı́vajı́. V závěru bylo pomocı́ představených
modelů třenı́ popsáno chovánı́ soustavy dvou lopatek s třecı́ vazbou v oblasti přechodových
kmitů. Jednotlivé přechodové kmity byly porovnány a výsledky objasněny.
5
0.4
Konstantni ft
ft aproximace Tgh
0.35
ft − MSC.ADAMS
0.3
f aproximace ck=10(−3)
Koeficient treni
t
ft − Ansys
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
1
2
3
4
Relativni rychlost [m/s]
−3
x 10
(a) Velikost třecı́ho koeficientu v závislosti na relativnı́ rychlosti.
−5
2.5
−4
x 10
3.5
Vychylky pro f staticky
x 10
Relativni rychlost pro f staticky
t
t
3
Vychylky pro f tanh
t
Vychylky pro − MSC.ADAMS
(−3)
Vychylky pro − ck=10
Vychylky pro Ansys
1.5
t
Relativni rychlost pro − MSC.ADAMS
(−3)
Relativni rychlost pro − ck=10
Relativni rychlost pro Ansys
2.5
Vychylky [m]
Vychylky [m]
2
Relativni rychlost pro f tanh
1
2
1.5
1
0.5
0.5
0
0
0.005
0.01
0.015
Cas [s]
0.02
0.025
0
0
0.03
(b) Přechodové kmity lopatky 1 ve směru osy z
pro různé modely třenı́.
0.005
0.01
0.015
Cas [s]
0.02
0.025
0.03
(c) Relativnı́ rychlosti kontaktnı́ch ploch.
Obrázek 4: Závislost koeficientu třenı́ na relativnı́ rychlosti a vliv na chovánı́ kontaktu.
6
Literatura
[Brůha (2010)] Bruha, J., Kmitánı́ lopatek s třecı́ kontaktnı́ plochou, bakalářská práce
Západočeská univerzita v Plzni, (2011).
[MSC software (2000)] http://www.mscsoftware.com/support/library/conf/
adams/na/2000/32 ford steering shafts.pdf
[Pešek et al.] Pešek, L., Půst, L., Zeman, V., Hajžman, M, Byrtus, M., Brůha, J., Experimental and Numerical Investigation of Friction Element Dissipative Effects in Blade
Shrouding, Nonlinear Dynamics (v recenzi).
[Rivin (1999)] Rivin, E., Stiffness and Damping in Mechanical Design, Wayne State University, Detroit, Michigan, Dekker, Inc., (1999).
[Rychecký (2011)] Rychecký, D., Kmitánı́ mechanických soustav s kontaktnı́mi vazbami,
Diplomová práce, Plzni, (2011).
[Yang et al. (1998)] Yang, B. D., Chu, M. L., Menq, C. H., Stick-Slip–Separation Analysus
and Non-linear Stiffness and Damping Characterization of Friction Contacts Having
Variable Normal Load, Journal of Sound and Vibration, Volume 210, 461-481, (1998).
7