113. hodina ČÍSLO HODINY : 113. TÉMA : Další pravidelné n

113. hodina ČÍSLO HODINY : 113. TÉMA : Další pravidelné n

113. hodina
ČÍSLO HODINY : 113.
TÉMA : Další pravidelné n-úhelníky
OČEKÁVANÉ VÝSTUPY : Žáci sestrojují pravidelné n-úhelníky s atypickým počtem
vrcholů, vyhledají v předložené tabulce potřebné údaje a z nich určí velikost strany
pravidelného n-úhelníka, přesně rýsují.
OBSAH HODINY :
I. opakování
Nejprve se se žáky zopakují postupy konstrukcí pravidelných mnohoúhelníků, které ovládají
z výuky geometrie v šesté třídě, a to vepisováním do kružnic.
Žáci by měli ovládat konstrukci čtverce, pravidelného šestiúhelníku, pravidelného
osmiúhelníku, pravidelného dvanáctiúhelníku …….
Konstrukce se provádějí pouze kružítkem a pravítkem a jsou založeny na znalosti konstrukce
osy úhlu.
Diskutujeme se žáky o tom, které další pravidelné mnohoúhelníky lze takto sestrojit.
II. Euklides a jeho pravidlo
Vyučující žákům sdělí, že konstrukci pravidelných n-úhelníků zkoumal už řecký učenec
Euklides.
Tento učenec vyvodil pravidlo, že kružítkem a pravítkem lze sestrojit pravidelné n-úhelníky
s takovým počtem vrcholů, který splňuje podmínku
3 . 2k , 4 . 2k a 5. 2k , kde k je nezáporné celé číslo
Žáci na základě tohoto pravidla určí, kolik vrcholů mají n-úhelníky jež lze sestrojit pouze za
použití pravítka a kružítka.
Pro k=0………. pravidelné n-úhelníky s 3, 4 a 5 vrcholy
Pro k=1………..pravidelné n-úhelníky s 6, 8 a 10 vrcholy
Pro k=2…….…pravidelné n-úhelníky s 12, 16 a 20 vrcholy
Pro k=3……….pravidelné n-úhelníky s 24, 32 a 40 vrcholy
III. konstrukce atypických n-úhelníků
Problémem tedy zůstává sestrojení pravidelných n-úhelníků s jiným počtem vrcholů než
podle Euklida.
Například sestrojení pravidelného sedmiúhelníku či jedenáctiúhelníku.
Základním problémem je souvislost velikosti strany pravidelného n-úhelníku a velikosti
poloměru kružnice, do které je tento pravidelný n-úhelník vepsán.
113. hodina
To popisuje následující tabulka :
n
n
r
a
3
4
5
6
7
8
0,577
0,707
0,851
1,000
1,152
1,307
9
10
11
12
13
14
n
r
a
1,462
1,618
1,775
1,932
2,089
2,247
15
16
17
18
19
20
r
a
2,405
2,563
2,71
2,879
3,038
3,196
n je počet vrcholů pravidelného n-úhelníku
r je poloměr kružnice opsané pravidelnému n-úhelníku
a je délka strany pravidelného n-úhelníku
Pomocí této tabulky lze sestrojovat pravidelné n-úhelníky – až do počtu vrcholů n=20 –
pokud je dána velikost jeho stran.
a) nejprve se žáky sestrojíme pravidelný jedenáctiúhelník se stranami velikosti 3 cm
r
= 1,775
a
r = 1,775 . 3
-
z tabulky zjistíme, že pro pravidelný jedenáctiúhelník platí poměr
-
z toho určíme poloměr opsané kružnice r = 1,775 . a 

r = 5,325 = 5,3 cm
sestrojíme kružnici s poloměrem 5,3 cm
vezmeme do kružítka délku strany 3 cm a tuto velikost naneseme jedenáctkrát
po obvodu narýsované kružnice
vyznačené vrcholy spojíme
-
113. hodina
b) dále žákům zadáme samostatnou práci, kterou lze ohodnotit :
Sestrojte pravidelný sedmiúhelník se stranou o velikosti 2, 5 cm
c) na závěr zadáme žákům domácí úkol :
Sestrojte další dva pravidelné mnohoúhelníky - pravidelný devítiúhelník a pravidelný
třináctiúhelník. Velikost jejich stran si zvolte sami.