Geometrically induced properties of the ground state of quantum

Posudek vedoucího na diplomovou práci Bc. Michala Jexe:
Geometrically induced properties of the ground state
of quantum mechanical Hamiltonians with contact
lnteractlons
Diplomová práce uzavírá základní cyklus vysokolškolskéhostudia a jako taková
má prokázat, že adept je schopen použítzískanéznalosti k samostatné práci,
jaká se od něj coby absolventa university očekává. Mohu s klidným svědomím
prohlásit, že v práci Bc, Michala Jexe bylo tohoto úče|udosaženo.
Námětem práce je spekrální problém z oblasti kvantové mechaniky. Úkol, jenZ
byl před diplomanta postaven, se týkal analýzy vztahů mezi energií základního
stavu a geometrickou konfigurací interakce v několika třídách řešitelných modelů.
Práce přirozeně navázala na výsledky dosažené uchazečem v bakalářském studiu
zakončeném obhájenou prací a v tzv. výzkumném úkolu.
Vyšetřované systémy zahrnovaly hamiltoniány s bodovými interakcemi v dimensi jedna, dva a tři, dále pak rozšířeníjednorozměrného případu z přímky na
kvantové grafy s přitažlivou ó vazbou. Dalšízobecnění se týkalo případu, kdy
nosičem singulární interakce jsou variety kodimense jedna v euklidovském prostoru, např. krivky v rovině, a konečně byl vyšetřen případ jednorozměrné bodové
interakce v kombinaci s přitažlivým potenciálem,
Ve většině těchto případů byla demonstrována jednoduchá zákonitost, totiž
pokles nejnižšívlastní hodnoty, jinými slovy vzrůst vazbové energie základního
stavu při sbližováníkomponent nosiče interakce; v jednorozměrném případě to
platí, pokud je interakce přitažlivá, Pokud je ovšem topologie konfiguračního
prostoru složitější,bylo dokázáno, že situace se můžezměnit, jak ukazujívýsledky
týkajícíse pro kvantových grafů s netriviálním větvením.
Uchazeč se musel seznámit s řadou pojmů a výs|edků teorie singulárních
interakcí, jež jsou shrnuty v obsáhlé druhé kapitole diplomové práce. Dalšíkapitoly
obsahují výsledky, jenž podle mého soudu přesvědčivě prokazují, že diplomant
úspěšnězvládl a dokázal použítrůznémetody od čistě funkcionálně-analytických
až po numerické za zmínku stojí, že výsledky týkajícíse kvantových grafů byly
publikovány v časopise Phys. Let, A.
S ohledem na tyto skutečnost navrhuji, aby diplomová práce pana Bc. Michala
Jexe byla přijata k obhajobě a klasifikována známkou výborně.
V Bruselu
dne 9. května 2012
/,)
'/l
l14
Prof. RNDr. Pavel Exner, DrSc.
Oponentský posudek na diplomovou práci Bc. M. Jexe'oGeometrically induced
properties of the ground state of quantum mechanical Hamiltonians with contact
interactions"
Práce je věnována studiu spektrálních vlastností Schródingerových operátorů
s kontaktními interakcemi soustředěnými v bodech v jedno- až třírozměrných
prostorech včetně kvantových grafli, na křivkách v dvojrozměrných prostorech nebo
plochách v trojrozměmých prostorech. Přestože jde o oblast studovanou již několik
desítek let, stále přináší nové matematicky rigorosně řešitelné úlohy a zůstává tak
aktuální tematikou. Diplomová práce se zabývá téměř výhradně přitažlivými
interakcemi typu 6 (odpovídajícíminázorné představě, že ,,potenciálem je Diracova 6funkce"). Už svojí volbou výchozího symetrického operátoru, jehož samosdruženým
rozšířenímje Hamiltonián uvažovanéhosystému, vynechává (alespoň
vjednorozměrném případu) celou třídu dalšíchkontaktních interakcí, pro kterou
ziskané výsledky už patrně obecně neplatí.
V práci jsou studovány vlastnosti základního stavu zvolených systémů,
především závislost jeho energie na geometrických parametrech typu vzdálenosti
nosičůkontaktních interakcí. Některé výsledky lze snad intuitivně očekávat, důkazy
však nejsou předem zŤqméa jejich provedení považuji za autorův přínos k oboru.
Zajímavéje, že určitézávěry pro kvantové gra§ ziskává jen kombinatorickými
úvahami o možnémtvaru vlnových funkcí na jednotlivých žebrech grafu a
možnostech jejich navázání ve vrcholech.
K práci mám následující dotazy, znichž některé jsou jen upozorněními na
překlepy.
1. Podle autora ekvivalentní podmínky (2.53) a (2.5{ se patrně lišíznakem
vazbové konstanty u (provedl jsem jen testovací výpočet pro d:3 programem
MATHEMATICA).
2. Na str. 24 nahoŤeíl'2(|,) znamenáH2,2110,1,;;.
3. Yěta 2.10 patmě plati za předpokladů vdůkazu užitévěty
2,9, ve větě 2.10
nevypsaných.
4. Y
(2.70) autor uvádí rotačně symetrické řešení pro vektor z defektního
podprostoru a teprve pak provádí rozklaď do vlastních podprostorů momentu
hybnosti. Dokáže bez tohoto rozkladu poznat, že řešení(2.70) je jediné?
osobně se domnívám, že nikoliv.
5. V předpokladech věty 2.25 a) vystupují nespecifikované funkce í a s. Co tato
podmínka znamená,máblr splněna pro všechnaí,g z nějakého oboru?
6. V důkazu věty 3.3 v nerovnosti (3.34) mábý na levé straně nn_ misto nn+; totéž
platí o řádku pod rovnicí. Autor v důkazu uvádí, že T<1 pro určitéhodnoty
parametrů di a dostatečně velká li. Jak provede důkaz pro obecné hodnoty
parametrů tuto podmínku nesplňuj ící?
7 . Císla obrázků 3.3 a 3.4 jsou patrně v textu na str. 60 zaměnéna,
8. Mínil autor odkazemnarovnici (2.16) na str. 64 (začátek důkazu pro 2-d případ)
skutečně rovnici (2.16) na str. 14?
9. Nechybí vpředpokladech podle literatury citovaného lemmatu 4.1 otevřenost
množin Q1, §)2? Dovede autor definovat Laplacian na množině, která není
otevřená? Pro autorovu aplikaci lemmatu tato námitka není překážkou.
10. V lemmatu4.3je třeba číst/ jakop aYl jako Y.
11.Musí bY,t vpoznámce 6 (str. 70) n-bodová množina interakčníchbodů
podmnožinou m-bodové? Autor tento předpoklad explicitně neuvádí.
73by snad bylo vhodné zapsatponěkud jasněji (patrně jde o
průsečíkykřivek a nikoliv bodů na křivkách, atd.?).
13. Popis obrázků 6.I, 6.2 by mohl b;ýt podrobnější. Čten፠mlůžepouze hádat, co je
zde u a jaký je význam barev.
14. Ve vňazích (6.I9-20)je zřejmě třeba čístV(.L) jako V(x+.L). Celé odvození by
bylo vhodné trochu podrobněji popsat, funkce ynapravé a levé straně rovnice v
(6.19) zíejmě nejsou stejné, ale lišíse posunutím.
15. V důkazu lemmatu 6.2 se patrně vztah v@)>ty(x+c) užívápro všechna x4
(nejen pro napsané r:y).
12. Podmínku d) na str.
Uvedené poznámky mají spíšejen formulaění charakter a íezpochybňují výsledky
jinak velmi pěkné práce. Navrhuji proto hodnocení známkou A - výbomě.
28.5.2012.
7,
fu,//1;*
RNDr. Jaroslav Dittrich, CSc.
Ústav jademéfyziky AV ČR, v. v. i.