příklad na průměrný index řetězový neboli geometrický průměr

příklad na průměrný index řetězový neboli geometrický průměr

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ
NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR
Ze serveru www.czso.cz jsme sledovali sklizeň obilovin v ČR.
Sklizeň z několika posledních let jsme vložili do tabulky 10.10.
V kapitole 7. Indexy základní, řetězové a tempo přírůstku v příkladu 7.1 jsme počítali
index základní, index řetězový a tempo přírůstku, které jsou je uvedené v tabulce 10.10.
Připomínáme, že index řetězový v tomto příkladě porovnává, na kolik procent se změnila sklizeň obilovin v
každém roce vždy oproti předchozímu roku.
a) Vypočteme průměrnou roční výrobu obilovin a formulujeme odpověď.
b) Vypočítáme průměrný index řetězový.
c) Pro průměrný index řetězový formulujeme odpovědi typu na kolik %, o kolik % a kolikrát.
d) Do tabulky 10.10 doplníme, jaká by byla v uvedených letech výroba obilovin, kdyby se vyvíjela podle
průměrného indexu řetězového. Vypočteme odhad na rok 2012.
e) Formulujeme odpověď pro odhad výroby obilovin v roce 2012.
Tabulka 10.10: Sklizeň obilovin v ČR
Ukazatel
2006
6,4
100,0
1,000
x
x
x
x
Výroba v mil. tun
Index základní v %
Index základní
Index řetězový v %
Index řetězový
Tempo přírůstku v %
Tempo přírůstku
Výroba dle průměrného
indexu řetězového
2007
7,1
110,9
1,109
110,9
1,109
10,9
0,109
2008
8,4
131,3
1,313
118,3
1,183
18,3
0,183
Rok
2009
7,8
121,9
1,219
92,9
0,929
-7,1
-0,071
2010
6,9
107,8
1,078
88,5
0,885
-11,5
-0,115
Pramen: http://www.czso.cz
Řešení: Výpočty a slovní popis
Ad a) Vypočteme průměrnou roční výrobu obilovin a formulujeme odpověď.
Výpočet prostého aritmetického průměru:
• sečteme hodnoty číselných statistických znaků souboru x 1 , x 2 , ... x n
• a výsledek vydělíme počtem prvků souboru n
Aritmetický průměr prostý
x
z číselných statistických znaků se tedy počítá podle vztahu:
n
x
x
i 1
n
i

x1  x2  ...  xn
n
2011
8,2
128,1
1,281
118,8
1,188
18,8
0,188
2012
x
x
x
x
x
x
x
U nás:
• Hodnoty x 1 , x 2 , ... x n jsou výroby obilovin v jednotlivých letech,
• a počet let je n = 6.
Vztah má v našem příkladě tvar:
n 6
x
x
i 1
n
i

x1  x2  x3  x4  x5  x6 6,4  7,1  8,4  7,8  6,9  8,2

 7,47 mil. t
6
6
V období 2006 až 2011 byla průměrná roční výroba obilovin 7,47 mil. tun.
Výpočet v Excelu je
=PRŮMĚR(B19:G19)
Výjde:
7,46667
Ad b) Vypočítáme průměrný index řetězový.
7
8
,
,
1
4
6
6
,
,
4
4
m
m
i l
i l
.
.
t
t
m
m
i
i
l
l
.
.
t
t


1
1
,
1
,
3
0
1
9
3


1
1
1
3
0
1
,
,
9
3
%
%
Víme, že index řetězový jako poměrné číslo v našem případě říká, kolikrát se změnila sklizeň
obilovin v každém roce vždy oproti předchozímu roku.
Průměrný index řetězový jako poměrné číslo bude říkat, kolikrát se průměrně změnila sklizeň
obilovin v každém roce oproti minulému roku.
Geometrický průměr lze použít ke stanovení průměrného koeficientu růstu neboli průměrného
indexu řetězového a počítá se podle vztahu:
Gn
n
x
i
 n x1.x2 . ... .xn
i 1
Hodnoty x 1 , x 2 , ... x n jsou jednotlivé indexy řetězové ve tvaru poměrného čísla.
Povšimněme si, že indexů řetězových je pouze 5, tj. o jedno méně, než je hodnot výrob obilovin!
Průměrný index řetězový se počítá v našem případě podle vztahu:
G5
5
x
i
 5 x1 .x 2 .x 3 .x 4 .x 5
i 1
G  5 1,109.1,183.0,929.0,885.1,188  5 1,281  1,0508
Poznámka:
• Všimněme si, že součin indexů řetězových je roven indexu základnímu v posledním uvedeném roce,
u nás 1,109.1,183.0,929.0,885.1,188 = 1,281.
• To není náhoda, to je zákonité.
• Dokázali byste odvodit, proč tomu tak je?
V Excelu lze průměrný index řetězový G vypočítat několika způsoby:
i) Pomocí součinu indexů řetězových a odmocniny.
Pátá odmocnina je realizována jako mocnina (1/5).
=(1,109*1,183*0,929*0,885*1,188)^(1/5)
Kvůli vyšší přesnosti je lepší nabrat indexy řetězové jako buňky:
=(C23*D23*E23*F23*G23)^(1/5)
Znak mocniny se tvoří pomocí „^“, který se na české klávesnici udělá pomocí trojkombinace
pravé Alt + š + mezerník.
Místo součinu indexů řetězových lze dosadit rovnou index řetězový v posledním uvedeném období,
tj. koeficient 1,281.
ii) Pomocí funkce POWER, kde v argumentu je součinu indexů řetězových a mocnina 1/5.
=POWER(1,109*1,183*0,929*0,885*1,188;1/5)
Kvůli vyšší přesnosti je lepší načíst indexy řetězové jako buňky, například:
=POWER(C23*D23*E23*F23*G23;1/5)
iii) Pomocí funkce GEOMEAN:
=GEOMEAN(C23:G23)
Za argument funkce nutno nabrat oblast tabulky C23 až G23, kde jsou umístěné jednotlivé indexy
řetězové ve tvaru poměrného čísla.
Ve všech případech vyjde průměrný index řetězový:
1,05082
Ad c) Pro průměrný index řetězový formulujeme odpovědi typu na kolik %, o kolik % a kolikrát.
Průměrný index řetězový je 1,0508, což znamená:
V období 2006 až 2011 rostla výroba obilovin v ČR každý rok průměrně 1,0508 oproti minulému roku,
neboli výroba rostla na 105,08 %, čili rostla o 5,08 %.
Uvědomíme si:
• Číslo 105,08 % je průměrný index řetězový vyjádřený v procentech.
• Číslo 5,08 % je průměrné tempo přírůstku vyjádřené v procentech.
Ad d) Do tabulky 10.10 doplníme, jaká by byla v uvedených letech výroba obilovin, kdyby se vyvíjela podle
průměrného indexu řetězového. Vypočteme odhad na rok 2012.
Postup:
• Je nutné se ukotvit do nějaké hodnoty.
• Proto v roce 2006 opíšeme hodnotu výroby podle skutečnosti, tj. 6,4 mil. t .
• Hodnota výroby v roce 2007 podle průměrného indexu řetězového, tj. kdyby stoupala 1,0508
oproti minulému roku se spočítá:
6,40 mil. t  1,0508 = 6,73 mil. t
V Excelu se vzorec napíše tak, že v řádku „Výroba dle průměrného indexu řetězového“ a ve sloupci
rok 2007 nabereme buňku na stejném řádku vlevo a násobíme buňkou, ve které je vypočten
průměrný index řetězový.
=B224*$B124
• Hodnota výroby v roce 2008, kdyby stoupala 1,0508oproti minulému roku, se spočítá:
6,73 mil. t 1,0508 = 6,4 mil. t  1,05082 = 7,07 mil t
V Excelu se vzorec napíše tak, že v řádku „Výroba dle průměrného indexu řetězového“ ve sloupci
rok 2008 nabereme buňku na stejném řádku vlevo a násobíme buňkou, ve které je vypočten
průměrný index řetězový.
=C237*$B121
Je zřejmé že, tento vzorec můžeme zkopírovat do konce tabulky doprava.
• Hodnota výroby v roce 2009, kdyby stoupala 1,0508oproti minulému roku, se spočítá:
7,07 mil. t 1,0508 = 6,4 mil. t  1,05083 = 7,43 mil t
• Hodnota výroby v roce 2010, kdyby stoupala 1,0508oproti minulému roku, se spočítá:
7,43 mil. t  1,0508 = 6,4 mil. t  1,05084 = 7,80 mil t
• Hodnota výroby v roce 2011, kdyby stoupala 1,0508oproti minulému roku, se spočítá:
7,80 mil. t  1,0508 = 6,4 mil. t  1,05085 = 8,20 mil t
Lze dokonce spočítat odhad výroby obilovin za další roky 2012 i 2013 (odhad na více než 2 roky
dopředu již je nepřesný):
• Hodnota výroby v roce 2012, kdyby stoupala 1,0508oproti minulému roku, se spočítá:
8,2 mil. t  1,0508 = 6,4 mil. t  1,05086 = 8,62 mil t
• Hodnota výroby v roce 2013, kdyby stoupala 1,0508oproti minulému roku, se spočítá:
8,62 mil. t  1,0508 = 6,4 mil. t  1,05087 = 9,05 mil t
Uvědomíme si:
• To, že podle průměrného indexu řetězového roční výroba obilovin roste průměrně o 5,08 %,
neznamená stejný přírůstek výroby. Přírůstek výroby je zobrazen pod tabulkou 10.11.
* Jde o nárůst o 5,08 % z hodnoty vždy vyšší.
* Tím, že průměrný index řetězový je větší než 1, základ 100 % je stále vyšší číslo.
* Roční výroba podle průměrného indexu řetězového stoupá podle geometrické řady
s kvocientem q > 1 (u nás q = 1,0508, exponenciální nárůst).
• Kdyby podle průměrného indexu řetězového sledovaná veličina klesala,
* průměrný index řetězový by byl menší než 1, základ 100 % by se stále snižoval.
* Veličina podle průměrného indexu řetězového by klesala podle geometrické řady
s kvocientem q < 1 (exponenciální pokles).
Vyplněná tabulka 10.10, nyní tabulka 10.11, vypadá takto:
Tabulka 10.11: Sklizeň obilovin v ČR
Ukazatel
Výroba v mil. tun
Index základní v %
Index základní
Index řetězový v %
Index řetězový
Tempo přírůstku v %
Tempo přírůstku
Výroba dle průměrného
indexu řetězového
2006
6,4
100,0
1,000
x
x
x
x
2007
7,1
110,9
1,109
110,9
1,109
10,9
0,109
2008
8,4
131,3
1,313
118,3
1,183
18,3
0,183
Rok
2009
7,8
121,9
1,219
92,9
0,929
-7,1
-0,071
6,40
6,73
7,07
7,43
2010
6,9
107,8
1,078
88,5
0,885
-11,5
-0,115
2011
8,2
128,1
1,281
118,8
1,188
18,8
0,188
7,80
8,20
Pramen: http://www.czso.cz
Meziroční rozdíly v mil t
0,33
0,34
Ad e) Formulujeme odpověď pro odhad výroby obilovin v roce 2012.
V roce 2012 je odhad výroby obilovin v ČR asi 8,62 mil. t .
0,36
0,38
0,40
2012
x
x
x
x
x
x
x
8,62