str. 41, př. 1 Nakreslete grafy funkcí y=sinx, y=sin(x/2)

Strana 1 (celkem 3)
str. 41, př. 1
Nakreslete grafy funkcí y=sinx, y=sin(x/2), y=2sinx, y=sin(x+pi/6)
str. 41, př. 2
Nakreslete grafy funkcí y=3cos(x/2+2pi/3)
str. 41, př. 3
Nakreslete grafy funkcí y=1/3sin(2x-pi/3)
Strana 2 (celkem 3)
str. 41, př. 4
Nakreslete grafy funkcí y=tan(x+pi/3)
str. 41, př. 5
Nakreslete grafy funkcí y=cotg(2x+pi/2)
str. 41, př. 1
1 − cos ( x ) )′
0 + sin ( x ) )′
1 − cos ( x )
(
(
cos ( x ) 1
lim
= lim
= lim
= lim
=
2
0
0
0
x →0
x
→
x
→
x
→
2
2
x
′
2 ′
2
x
(
)
x
( )
sin ( 5 x ) − sin ( 3 x )
5cos ( 5 x ) − 3cos ( 3 x ) −5 + 3
= lim
=
=2
x →π
x →π
sin ( x )
cos ( x )
−1
1 − cos2 ( x )
0 + 2sin ( x ) .cos2 ( x ) 0
lim
= lim
= =0
x →0
x →0
1
1
x
 sin ( x ) sin 2 ( x ) 

 sin ( x )

sin ( x )
2sin ( x ) .cos ( x ) 
2
limπ 
− tan ( x )  = limπ 
−
−
 = limπ 
=
2
2
2
cos ( x )  x→  −2cos ( x ) .sin ( x ) 2cos ( x ) .sin ( x ) 
x →  cos ( x )
x →  cos ( x )

2
2
2


sin ( x )
1
1 2 1
= limπ 
+ 1 =
+1 = − + =
2.1
2 2 2
−
x →  −2cos ( x ) .sin ( x )

lim
2
π
π


sin  x − 
1.cos  x − 
6
6  1.1


limπ
= limπ
=
=2
1
0 + sin ( x )
3
x→
x→
6
6
− cos ( x )
2
2
Strana 3 (celkem 3)
1
π

2 cos ( 2 x ) .tan  − x  − sin ( 2 x ) .
π

π

4

sin ( 2 x ) .tan  − x 
cos  − x 
π

4
 = lim
4
=
limπ tan ( 2 x ) .tan  − x  = limπ
π
−
x
x
4
cos
2
2
sin
2
x→
( )
x→
( )

 x→ 4
4
4
sin ( 2 x ) .
limπ
x→
sin (π / 4 − x )
cos (π / 4 − x )
−2 sin ( 2 x )
4
sin ( 2 x )
= lim
x→
sin (π / 4 − x )
cos (π / 4 − x )
= lim
cos ( 2 x )
π
4
x→
π
4
sin ( 2 x ) .sin (π / 4 − x )
=
cos ( 2 x ) .cos (π / 4 − x )
2
.0 − 1.1
−1 1
2
=
=
=
limπ
−2.1 + 1.0
−2 2
x → −2 sin ( 2 x ) cos ( π / 4 − x ) + cos ( 2 x ) sin ( π / 4 − x )
2 cos x.sin (π / 4 − x ) − sin ( 2 x ) .cos ( π / 4 − x )
2.
4
str. 41, př. 1
∫ sin ( x ) dx =∫
2
1 − cos ( 2 x )
cos ( 2 x )
1
1
1
dx = ∫ dx − ∫
dx = x − sin ( 2 x ) + C
2
2
2
2
2
str. 41, př. 2
∫ sin ( x ) .sin ( 5x )dx =
−4 x = a dx = − da / 4 1 cos ( a )
1
1 cos ( b )
−
x
−
x
dx
=
=
da
−
=
cos
4
cos
6
(
)
(
)
(
)
db = db / 6
6x = b
2∫
2 ∫ −4
2∫ 6
1
1
1
1
= sin a − sin b = sin ( −4 x ) − sin ( 6 x ) + C
8
12
8
12
str. 41, př. 3
tan ( x / 2 ) = t
1
∫ 1 + cos x dx = ∫
∫ 1+ t
1
dx =
1 − tan 2 ( x / 2 )
1+
1 + tan 2 ( x / 2 )
2 (1 + t 2 )
2
+ t + t +1− t + t − t
2
str. 41, př. 4
4
2
2
4
dt = ∫
(1/ 2 ) x = arctan ( x )
x = 2 arctan ( x ) = ∫
dx =
2 (1 + t 2 )
2
dt
1+ t2
1
2
2
dt = ∫
dt =
.
2
2
1− t 1+ t
1− t 2 t 2 − t4
2
+
1+
1+ t +
1+ t2
1+ t2 1+ t2
x
dt = ∫ dt = t = tg   + C
2 + 2t
2
2