4. Věty o střední hodnotě, l`Hospitalovo pravidlo, asymptoty grafu

4. Věty o střední hodnotě, l’Hospitalovo pravidlo,
asymptoty grafu
(PEF — PaA)
Petr Gurka
aktualizováno 26. října 2011
Obsah
1 Globální spojitost funkce
1.1 Funkce spojitá na intervalu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Příklady funkcí spojitých na intervalech . . . . . . . . . . . . . .
1
1
2
2 Věty o střední hodnotě
2
3 L’Hospitalovo pravidlo
3
4 Asymptoty grafu funkce
3
1
Globální spojitost funkce
1.1
Funkce spojitá na intervalu
Definice 1. Nechť J ⊂ D(f ) je interval libovolného typu.
• Je-li J otevřený interval, je funkce f spojitá na J , jestliže je spojitá
v každém jeho bodě.
• Je-li J je polouzavřený nebo uzavřený interval, je funkce f spojitá na J , jeli spojitá v každém jeho vnitřním bodě a jednostranně spojitá v krajních
bodech. (Tj. pokud tomuto intervalu náleží jeho levý, resp. pravý, krajní
bod, pak je f v tomto krajním bodě spojitá zleva, resp. zprava.)
Věta 2 (Spojitost elementárních funkcí). Nechť f je elementární funkce a nechť
J je interval libovolného typu, který je podmnožinou definičního oboru funkce f .
Potom f je spojitá na J .
1
1.2
Příklady funkcí spojitých na intervalech
Funkce na obrázku je spojitá na uzavřeném intervalu ha, bi.
Funkce na obrázku je spojitá na intervalech h−2, −1), (−1, 0i, (0, 1) a h1, 2).
2
Věty o střední hodnotě
Věta 3 (Rolleova věta o střední hodnotě). Nechť funkce f je spojitá na uzavřeném intervalu ha, bi ⊂ D(f ), má vlastní derivaci f 0 (x) v každém bodě x
otevřeného intervalu (a, b) a f (a) = f (b). Potom existuje bod c ∈ (a, b) tak, že
f 0 (c) = 0.
Věta 4 (Lagrangeova věta o střední hodnotě). Nechť funkce f je spojitá na
uzavřeném intervalu ha, bi ⊂ D(f ) a má vlastní derivaci f 0 (x) v každém bodě x
otevřeného intervalu (a, b). Potom existuje bod c ∈ (a, b) tak, že platí
f (b) − f (a) = f 0 (c) (b − a),
tj.
Zobecněním Lagrangeovy věty je:
2
(a)
kp = f (b)−f
= f 0 (c)= kt .
b−a
Věta 5 (Cauchyova věta o střední hodnotě). Nechť funkce f , g jsou spojité na
uzavřeném intervalu ha, bi ⊂ D(f ) ∩ D(g) a mají vlastní derivace f 0 (x), g 0 (x)
v každém bodě x ∈ (a, b). Potom existuje bod c ∈ (a, b) tak, že platí:
g 0 (c) f (b) − f (a) = f 0 (c) g(b) − g(a) .
3
L’Hospitalovo pravidlo
Věta 6. Nechť a, A ∈ R∗ . Nechť pro funkce f , g platí:
• lim f (x) = lim g(x) = 0,
x→a
x→a
• existuje
f 0 (x)
= A.
x→a g 0 (x)
lim
f (x)
= A.
g(x)
Tvrzení věty platí také pro jednostranné limity.
Potom existuje
lim
x→a
Věta 7. Nechť a, A ∈ R∗ . Nechť pro funkce f , g platí:
• lim g(x) = ∞,
x→a
• existuje
f 0 (x)
= A.
x→a g 0 (x)
lim
f (x)
= A.
x→a g(x)
Tvrzení věty platí také pro jednostranné limity.
Potom existuje
lim
Vynecháme-li některý z předpokladů, pak tvrzení nemusí platit.
4
Asymptoty grafu funkce
Asymptotu grafu funkce chápeme jako přímku, ke které se graf funkce „neomezeně
přibližujeÿ, jestliže se „neomezeně vzdalujemeÿ od počátku soustavy souřadnic. Rozlišujeme svislé a šikmé asymptoty.
Definice 8 (Svislá asymptota). Přímku p : x = a (rovnoběžnou s osou y), kde
a ∈ R je takový bod, že aspoň jedna z jednostranných limit funkce f v a je
nevlastní, tj.
lim f (x) = A
x→a−
nebo
lim f (x) = A,
x→a+
nazveme svislou asymptotou grafu funkce f .
3
kde A ∈ {−∞, ∞},
Definice 9 (Šikmá asymptota). Přímku p : y = k x + q, kde
f (x)
, q = lim f (x) − k x
k = lim
x→−∞
x→−∞ x
nebo
f (x)
k = lim
, q = lim f (x) − k x ,
x→∞ x
x→∞
nazveme šikmou asymptotou grafu funkce f .
y
5
-1
x
1
4
-5
4
6