prezentace

Programy a Algoritmy Numerické Matematiky 14
Dolnı́ Maxov 2008
APROXIMACE GRADIENTU VE VRCHOLECH
OSTŘE REGULÁRNÍCH TRIANGULACÍ
Josef Dalı́k
Fakulta stavebnı́ VUT v Brně
z6
u(a)rp
rp
rpp
pp
pp
pp
x1 pppppp
pp
pp
ppp
pp
pp
pp
pp
pp
pp
pp
rpp pp
ppp ppp
ppp ppp
pp pp
prp ppp ppp
pp pp pp
ppp ppp pp
pp pp
pp pp
ppp
pp a
pp
z6
rpp
ppp
pp
p
rppp pppp
ppp ppp
pp p
pp
pp
pp
pp
z = Πh (u)(x)
rpp
pp
pp
pp
pp
ppp
p
ppp
pp
pp
p
x1 pppppp
pp
-
x2
Obrázek 1
1
pp
pp
pp
pp
pp
pp
pp
pp
ppp
p
u(a)p
pp
pp
ppp
pp
pp
ppp
pp
pp
pp
ppp
pp
pp
pp
pp
pp
pp
pp
ppp
a
pp
ppp
pp
pp
pp
pp
pp
pp
ppp
ppp
pp
pp
ppp
pp
p
pp
ppp
pp
pp
ppp
ppp
p
ppp
ppp
pp
pp
ppp
p
-
x2
Definice 1. Nechť Ω ⊂ <2 je ohraničený polygon a T
S
triangulace Ω a vlastnostı́ T ∈T T = Ω. Řekneme, že
N (a) = {b | ab je strana trojúhelnı́ka z T }
je množina sousedů vrcholu a triangulace T a položı́me
hmax (a) = max |ab|,
hmin (a) = min |ab|.
b∈N (a)
b∈N (a)
Symbolem A(T ) označı́me plochu trojúhelnı́ka T a hT maximum délek jeho stran.
Definice 2. Triangulace T se nazývá ostře regulárnı́, když
∃ν > 0 : A(T ) > νh2T ∀ T ∈ T
a trojúhelnı́ky z T nemajı́ tupé vnitřnı́ úhly. Symbolem T
označı́me třı́du ostře regulárnı́ch triangulacı́ pevné oblasti Ω s
pevným parametrem ν.
2
Definice 3. Nechť a je vnitřnı́ vrchol triangulace T ∈ T.
Řekneme, že uspořádaná (n + 1)–tice (a1 , . . . , an , a) je prstenec
(okolo a v T ), když {a1 , . . . , an } = N (a) a T1 = aan a1 , T2 =
aa1 a2 , . . . , Tn = aan−1 an jsou stejně orientované trojúhelnı́ky z
S
T . Položı́me Θ(a) = ni=1 Ti .
arp 3
6ζ
pp
a
pp
r
pp
pp p p p C
pp
pp
ppp C
pp
ppp
pp
p
T
p
4 rp p p
C
a p p p p p p p p T4 ppppp 3p p p p p p
pppppp
p T2 C
p p p p p p pppp p p p p p
C a1
p p p p p p pp p p a
pp rppp p p p p p p p p p p p p p p p p p p Cp r p
ϕ
T5 p p p p p p pppppp T
1
pp
pp p
p p T pppp
pp
6 pp
p
r
ppr
a5
6
(a) :
a
2
(b) :
arp p3p
ppppppppppp
6ζ
p p p p p p p p pr a B
p p p p p p pp pppp ppppp pppp
p
B
p
p
p
p
p
p
p
ϕ
T4 p p p p p p p
pp p p
pppppppp B
T3 p p pppp pp ppp pppppp pppppp
4 rp p p p p p p p p p p p
B
a
p
p pppp p
T5 BB p p pppp ppppp p p pppppp T2 pppppp
ppr 1
p p pp p p p
pp
a
pp
pp p p p Br
p
p
pp T1
pp p p p a2
p
p
pp
T6 pppppp
pp p p p
rp p
pp
a5
rpp
6
Obrázek 2
3
a
Definice 4. Symbolem P 2 označı́me funkčnı́ prostor (reálných)
polynomů
P (x) = α1 + α2 x1 + α3 x2 + α4 (x1 )2 + α5 x1 x2 + α6 (x2 )2 .
(1)
Definice 5. Nechť r = (a1 , . . . , an , a) je prstenec v triangulaci T ∈ T a z jednotkový vektor.
(a) Pro libovolnou funkci u ∈ C(Ω) označı́me Πi (u) lineárnı́
interpolant funkce u splňujı́cı́
Πi (u)(x) = u(x) pro x = a, ai−1 , ai .
(b) Označı́me Fz (r) množinu všech vektorů f splňujı́cı́ch
f1
∂Πn (P ) ∂P
∂Π1 (P )
+ . . . + fn
=
(a) ∀P ∈ P 2 .
∂z
∂z
∂z
4
(2)
Věta 1. Pro každou konstantu C > 0 a funkci u ∈ C 3 (Ω)
existuje konstanta C1 > 0 tak, že
∂u
(a)
∂z
n
X
∂Πi (u) 2
−
fi
< C1 hmax (a)
∂z
i=1
pro všechny prstence r = (a1 , . . . , an , a) v triangulaci T ∈ T,
jednotkové vektory z a pro všechna f ∈ Fz (r), kf k∞ < C.
Věta 2. Existuje konstanta C2 > 0 tak, že pro každý
prstenec r = (a1 , . . . , an , a) v triangulaci T ∈ T a pro každý
jednotkový vektor z existuje f ∈ Fz (r) s vlastnostı́ kf k∞ < C2 .
5
Definice 6. Pro libovolný prstenec (a1 , . . . , an , a) v triangulaci T ∈ T, jednotkový vektor z a pro i = 1, . . . , n položı́me
→
→
z ⊥ = [−z2 , z1 ]> ϕi = (aai , z), ζi = (aai , z ⊥ ),
ti = ϕi−1 ζi − ϕi ζi−1 .
Pro bazi
→
→
→
F1 = (ax, z)
F2 = (ax, z ⊥ ) F3 = (ax, z)2
→
→
→
F4 = (ax, z)(ax, z ⊥ ) F5 = (ax, z ⊥ )2 F6 = 1
nabude systém rovnic (2) tvaru
6
M f = d,
kde

M=
1

 ϕ2n ζ1 −ϕ21 ζn


t
 ζ ζ (ϕ1 −ϕ )
 n 1 n 1

t1

ζn ζ1 (ζn −ζ1 )
t1
1
ϕ21 ζ2 −ϕ22 ζ1
t2
ζ1 ζ2 (ϕ1 −ϕ2 )
t2
ζ1 ζ2 (ζ1 −ζ2 )
t2
4
pppa
p p prp p p
6ζ
P
pp P
pppppp
p p p p p p a3
p p Pp P
qpP
P
rp
(a)
pp
p p p p p p p p p p p p a2
pp
pp PP
qpp prp p p p p
P
p
pp
pp
kp p p p
ppp
p
pp
pp p
p
p
p
p
pp
p
p p pppp p p p p p
p
p
pp p p p
1
p
a5rp p p p p p p p p p p p p p p a
p p p p pprppppp pp p p p p p p p p p p p p p p p p p rapp p
ϕ
pp p
ppp p p p
pp
pp
pp
pp
ppp
p p pkp p p
pp
p
pppppp
p
pp
p p p p p rppp
pp
pppppp
i
6 P
P
p
p
Pp pP
p p p p p p pp
a
7
p
PP
p p pp prp a
ppppp
···
···
···
···

1

ϕ2n−1 ζn −ϕ2n ζn−1 


tn
,
ζn−1 ζn (ϕn−1 −ϕn ) 


tn

ζn−1 ζn (ζn−1 −ζn )
tn

d=








1
0 
.
0 
0
5 ppppppp
a
pppp k
p
p
r
p
p
p
p pp p p
:
6 p p p
p p
p
p
p
p
p
a
p
p
pp
rp
ppp
pppppppp ppppppp
pp
p p p p
ζ
pp
pp
p p p p p p p ppp 6
p p
a1rp p p p p p p p p p p p p p p p pap p 4rp p p p p p p p p p p p p p p p pp pp pp pp pp ppp ppp pp rp a p pp p
p p p pp p p
ϕ
p
p
p
p p ppp
p
p
p
p pp p p p p p
p p p p p
p p p p p rp p 3
p pp pp pp
p
p
pp p
p
p
p
pp p
p p
9
a
p p p p rp
p p pkp p p p p
2
(b)
a
Obrázek 3
7
Věta 3. Uvažme prstenec r = (a1 , . . . , an , a) v triangulaci
T ∈ T s vlastnostı́ n ≥ 5 a jednotkový vektor z. Pak vektor f ,
vypočtený PROCEDUROU
Krok 1.
Krok 2.
Krok 3.
Krok 4.
1
m2
2
km k
1
h3 = 3∗ h3∗ pro h3∗ = m3 − (m3 , h2 )h2
kh k
4∗
h = m4 − (m4 , h3 )h3 − (m4 , h2 )h2
kh4∗ k = 0 =⇒ h1∗ = m1 − (m1 , h2 )h2 − (m1 , h3 )h3 jinak
h2 =
1
h4∗ a h1∗ = m1 −(m1 , h2 )h2 −(m1 , h3 )h3 −(m1 , h4 )h4
4∗
kh k
1
Krok 5. f =
h1∗
1
1∗
(m , h )
ležı́ v Fz (r) a kf k ≤ kgk pro všechna g ∈ Fz (r).
h4 =
8
Věta 4. Buďte z jednotkový vektor a r = (a1 , . . . , a4 , a)
prstenec v triangulaci T ∈ T s vlastnostı́ ζi 6= 0 pro i = 1, . . . , 4.
Pak pro vektor f :
f1 =
f2 =
f3 =
f4 =
1
−
4
1
−
4
1
−
4
1
−
4
1  kaa3 k
2 ka1 a3 k

1  kaa3 k
2 ka1 a3 k

1  kaa1 k
2 ka1 a3 k

1  kaa1 k
2 ka1 a3 k

+
+
+
+
kaa2 k 
ka2 a4 k

kaa4 k 
ka2 a4 k

kaa4 k 
ka2 a4 k

kaa2 k 
ka2 a4 k

+
+
+
+
platı́ f ∈ Fz (r) a kf k ≤ kgk pro všechna g ∈ Fz (r).
a1
ppr
pp
a2rp
pp ppppp
p
f2 pp
ppppp
p p p p p p p ppp
p pprp p p p f1
ppppp
p p p
ppppp
f3 pppp a
ppppp
ppppp
pp
f4
ppppp
pp
ppppp
p
ppppp
rp
r
3
4
a
a
9
Obrázek 4
(3)
Věta 5. Buďte z jednotkový vektor a r = (a1 , . . . , a4 , a)
prstenec v triangulaci T ∈ T s vlastnostı́ ζi = 0 právě když
i = 1 nebo i = 3. Pak vektor g ležı́ v Fz (r) právě když
g1 + g2 =
ϕ3
,
(ϕ3 − ϕ1 )
g3 + g4 =
ϕ1
.
(ϕ1 − ϕ3 )
a vektor f :
f1 =
ϕ3
= f2 ,
2(ϕ3 − ϕ1 )
f3 =
ϕ1
= f4
2(ϕ1 − ϕ3 )
má vlastnosti f ∈ Fz (r) a kf k ≤ kgk pro všechna g ∈ Fz (r).
a1
ppr
pp
a2rp
pp ppppp
p
f2 pp
ppppp
p p p p p p p ppp
p pprp p p p f1
ppppp
p p p
ppppp
f3 pppp a
ppppp
ppppp
ppp
f
ppppp
4
ppppp
ppp
ppppp
r
r
3
4
a
a
10
Obrázek 4
Uvažme funkci
u(x) = sin(2x1 − 3x2 + 0.5) − 2e1+x1 −0.5x2 ,
prstenec z Obr. 4 a položme


1 ∂Πh,1 (u) ∂Πh,2 (u) ∂Πh,3 (u) ∂Πh,4 (u) 
+
+
+
,
∂uah /∂x1 (a) ≡ 
4
∂x1
∂x1
∂x1
∂x1








1 ∂Πh,1 (u) ∂Πh,4 (u)  1  ∂Πh,2 (u) ∂Πh,3 (u) 
∂uwh /∂x1 (a) ≡ 
+
+
+
,
3
∂x1
∂x1
6
∂x1
∂x1
1 ∂Πh,1 (u) ∂Πh,4 (u)  1  ∂Πh,2 (u) ∂Πh,3 (u) 
∂uh /∂x1 (a) ≡ 
+
+
+
.
6
∂x1
∂x1
3
∂x1
∂x1
h ∂(u − uah )/∂x1 (a) ∂(u − uwh )/∂x1 (a) ∂(u − uh )/∂x1 (a)
2−1
0.7346385940
1.2053354926
0.2639416955
2−2
0.2913089720
0.5136507507
0.0689671933
−3
2
0.1247757380
0.2320220515
0.0175294244
−4
2
0.0569838937
0.1095556508
0.0044121367
−5
2
0.0271216729
0.0531369974
0.0011063485
−6
2
0.0132161090
0.0261552427
0.0002769753
Tabulka 1
11
Definice 7. Pro libovolnou triangulaci T ∈ T značı́ L
prostor funkcı́ spojitých na Ω a lineárnı́ch na trojúhelnı́cı́ch z T
a Π(u) značı́ L–interpolant funkce u ∈ C(Ω) ve vrcholech T .
Definice 8. Uvažme triangulaci T ∈ T, v nı́ž jsou všechny
hraničnı́ vrcholy polo–vnitřnı́ a funkci u ∈ L. Operátory Gx1 [u],
Gx2 [u] : L −→ L definujeme předpisem: Ke každému vrcholu a
triangulace T a prstenci (a1 , . . . , an , a) přiřadı́me
∂Πn (u)
∂Π1 (u)
+ . . . + fn
,
∂x1
∂x1
∂Πn (u)
∂Π1 (u)
Gx2 [u](a) = g1
+ . . . + gn
∂x2
∂x2
Gx1 [u](a) = f1
a položı́me G = (Gx1 , Gx2 ).
12
Věta 6. Operátor G je operátor rekonstrukce gradientu, t.j.
G má tyto vlastnosti (R1), (R2), (R3). (Ainsworth, Craigh)
(R1) (Konzistence)
G[Π(P )] = ∇P ∀P ∈ P 2 .
(R2) (Lokalizace) Pro každý trojúhelnı́k T ∈ T a pro každou
funkci u ∈ L závisı́ hodnoty G[u] na T na hodnotách funkce
u na sjednocenı́
[
Ω(T ) =
Θ(a).
a vrchol T
(R3) (Linearita a ohraničenost) Operátor G je lineárnı́ a existuje
konstanta C > 0 tak, že
kG[u]k0,∞,T ≤ C|u|1,∞,Ωh (T ) ∀u ∈ L.
13
Poznámka. ”Aproximaci gradientu hladké funkce u druhého
řádu ve vrcholu a je lineárnı́ kombinaci gradientů ∇Πi (u) na
trojúhelnı́cı́ch s vrcholem a.” Nutný předpoklad :
Fz (r) ∩ Fz ⊥ (r) 6= ∅ pro z = [1, 0]> .
(4)
V přı́padě n = 5 a za předpokladu ζi 6= 0, ϕi 6= 0 pro i =
1, . . . , 5 je podmı́nka (4) ekvivalentı́ s podmı́nkou
Yi
Xi
=
xi
yi
pro i = 1, . . . , 5.
ai+2
rp
ai−2
pr
ppp
ppp
ppp
ppp
a
ppp
ppp Y
rpp p
ppp i
pp pppp
ppp
p
ppp ppppp
ppp
pp
ppp yi
rp
r ppp xi ppp
p
rp
ai+1
ai−1
i
p
pp
pp p
p
Xipppppp
p
pp
pp
a
14
Obrázek 5