Geometrie ve starém Egyptě

Transkript

Starý Egypt
Písmo
Matematické texty
Geometrie
Jindřich Bečvář
Katedra didaktiky matematiky,
Matematicko-fyzikální fakulta UK, Praha
38. Kalsem, 24. května 2016
[email protected]ff.cuni.cz
[email protected]
Jindřich Bečvář
Katedra didaktiky matematiky, Matematicko-fyzikální fakulta UK, Praha
Starý Egypt
Písmo
Matematické texty
Geometrie
Osnova
1 Starý Egypt
2 Písmo
3 Matematické texty
4 Geometrie
Jindřich Bečvář
Starý Egypt
Jindřich Bečvář
Písmo
Matematické texty
Geometrie
Starý Egypt
Písmo
Matematické texty
Geometrie
Starý Egypt
Předdynastická doba (asi 4500 až 3150 př. Kr.)
Archaická doba (3150–2700)
– I. a II. dynastie
– sjednocení Egypta
(vítězství Horního Egypta nad „Deltouÿ)
– vznik státu, hlavní město Mennofer (Memfis)
Stará říše (2700–2180)
– III. až VI. dynastie
– první rozmach Egypta
– pohřebiště, chrámy, pyramidy (Sakkára, Gíza, Abúsír)
– Džoser, Chufu, Rachef, Menkaure
– hieroglyfy, hieratika
Jindřich Bečvář
Starý Egypt
Písmo
Matematické texty
Geometrie
První přechodná doba (2180–1994)
– VII. až XI. dynastie
– rozpad říše, hlavní města Hérakleopolis, Mennofer
Střední říše (1994–1797)
– XII. dynastie
– sjednocení říše, hlavní město Veset (Théby)
– druhý velký rozmach staroegyptského státu
– „klasické období Egyptaÿ
– velké administrativní reformy
– zavlažovací kanály, budování chrámů
– pronikání semitských kmenů do Egypta
– rozvoj písemnictví
– Káhúnské papyry, Dřevěné tabulky, Moskevský papyrus,
Berlínský papyrus, předloha Rhindova papyru
Jindřich Bečvář
Starý Egypt
Písmo
Matematické texty
Geometrie
Druhá přechodná doba (1797–1543)
– XIII. až XVII. dynastie
– nadvláda Hyksósů
– Rhindův papyrus, Kožený svitek
Jindřich Bečvář
Starý Egypt
Písmo
Matematické texty
Geometrie
Druhá přechodná doba (1797–1543)
– XIII. až XVII. dynastie
– nadvláda Hyksósů
– Rhindův papyrus, Kožený svitek
Nová říše (1543–1078)
– XVIII. až XX. dynastie
– nový rozvoj říše, největší územní rozmach
– velká vojenská tažení za hranice Egypta
– války s Lybijci a mořskými národy
– hrobky v Údolí králů, chrámy v Karnaku, Luxoru
– Thutmose III., Achnaton, Ramesse II.
Třetí přechodná doba (1078–715)
– XXI. až XXIV. dynastie
– rozpad říše, sever ovládán Lybijci
Jindřich Bečvář
Starý Egypt
Písmo
Matematické texty
Geometrie
Pozdní doba (715–332)
– XXV. až XXXI. dynastie
– krátký rozvoj říse za XXVI. dynastie
– okupace Asýrií a Perskou říší
– démotické písmo
– Thalés, Hérodotos, Démokritos v Egyptě
Jindřich Bečvář
Starý Egypt
Písmo
Matematické texty
Geometrie
Pozdní doba (715–332)
– XXV. až XXXI. dynastie
– krátký rozvoj říse za XXVI. dynastie
– okupace Asýrií a Perskou říší
– démotické písmo
– Thalés, Hérodotos, Démokritos v Egyptě
Ptolemaiovská doba (332–30 př. Kr.)
– XXXII. až XXXIII. dynastie, helénské období
– založení Alexandrie (331), smrt Alexandra Velikého (323)
– smrt Kleopatry (30)
– koptské písmo
Římská doba (30 př. Kr. – 395)
Arabská doba (od 640)
– dobytí Alexandrie Araby (642)
Jindřich Bečvář
Starý Egypt
Písmo
Matematické texty
Geometrie
Písmo
Vznik písma (konec 4. tisíciletí př. Kr.)
– zhruba ve stejné době jako u Sumerů, nezávisle
• hieroglyfy
řecky: hieros – posvátný, glyfein – tesat, rýt
psalo se tak 3500 let (až do 4. stol. n. l.)
• hieratika
řecky: hieratikos – kněžský
zjednodušená verze, nesloužila k monumentálním nápisům,
ale k psaní na papyrus a keramiku
jen o málo mladší než hieroglyfy
• démotika
řecky: démos – lid
Jindřich Bečvář
didaktiky matematiky, Matematicko-fyzikální fakulta UK, Praha
velmi zjednodušenéKatedra
písmo,
vzniká kolem 7. stol. př. Kr.
Starý Egypt
Písmo
Matematické texty
Geometrie
Písaři
mocná kasta s výjimečným postavením
byli oslavováni v literatuře a výtvarném umění
výchova písařů: čtení, psaní, počítání, výcvik paměti
tělesné tresty
Jindřich Bečvář
Starý Egypt
Písmo
Matematické texty
Geometrie
Písaři
tělesné tresty
Chlapec má uši na zádech. Poslouchá, jen když je bit.
Jindřich Bečvář
Starý Egypt
Písmo
Matematické texty
Geometrie
Písaři
tělesné tresty
Chlapec má uši na zádech. Poslouchá, jen když je bit.
Papyrus (cyperus papyros)
znak Dolního Egypta (znakem Horního Egypta byl lotos)
univerzální materiál: stavby, stavby lodí, palivo, . . .
Řekové označovali papyros slovem býblos (. . . bíblos, biblion)
slovo pápyros začal užívat až Theofrastos (asi 370 až 286)
Jindřich Bečvář
Starý Egypt
Písmo
Matematické texty
Geometrie
Písařská dílna
Následují ukázky
a) hieratického písma z doby XII. dynastie
b) hieratického písma z doby XX. dynastie
c) démotického písma ze 3. stol. př. Kr.
a hieroglyfických přepisů (první dvě ukázky jsou dále též zvětšené)
Jindřich Bečvář
Starý Egypt
Jindřich Bečvář
Písmo
Matematické texty
Geometrie
Starý Egypt
Jindřich Bečvář
Písmo
Matematické texty
Geometrie
Starý Egypt
Písmo
Matematické texty
Geometrie
Matematické texty
Rhindův (Londýnský) papyrus – Britské muzeum v Londýně
– roku 1858 zakoupen v Luxoru (A. H. Rhind)
– opsán písařem Ahmósem v době XV. dynastie
ze staršího textu z doby XII. dynastie
– uchováván ještě v době XVIII. dynastie
– 319×33 cm + 206×33 cm = 525×33 cm (ze 14 listů)
obsah: tabulka n2 , úlohy R1 až R87
– tematicky členěná sbírka úloh s návody a řešeními
Jindřich Bečvář
Starý Egypt
Písmo
Matematické texty
Geometrie
Úvodní slova Rhindova papyru:
Začátek výpočtů pro proniknutí do věcí, pro poznání všeho toho,
co je zastřené [. . .], všeho skrytého. Věru, tento svitek z 33. roku
4. měsíce doby záplav [z doby krále Horního] a Dolního Egypta
Auserrea obdařeného životem, je kopií staré knihy sepsané v době
[krále Horního a Dolního Egypta Nimaatrea]; písař Ahmose to byl,
kdo opsal tento soupis.
Následuje
– První část Rhindova papyru s úvodem
– Část Rhindova papyru — R49, R50, R51, R52, R53, R54
Jindřich Bečvář
Starý Egypt
Jindřich Bečvář
Písmo
Matematické texty
Geometrie
Starý Egypt
Jindřich Bečvář
Písmo
Matematické texty
Geometrie
Starý Egypt
Písmo
Matematické texty
Geometrie
Moskevský (Goleniščevův) papyrus
– Puškinovo muzeum v Moskvě
– sepsán asi v době XIII. dynastie
– patrně opis textu z XII. dynastie
– palimpsest (původní text je nečitelný)
– 544×8 cm (z 11 listů)
– obsah: úlohy M1 až M25
– tematicky neuspořádaná učební pomůcka?
– test znalostí?
Jindřich Bečvář
Starý Egypt
Písmo
Matematické texty
Geometrie
Káhúnské papyry – Britské muzeum v Londýně
– nalezeny r. 1889
– patrně palimpsesty
– pocházejí z XII. dynastie
– pět zlomků, největší 41×14 cm, další jsou menší
– obsah: tabulka n2 , výpočty
Jindřich Bečvář
Starý Egypt
Písmo
Matematické texty
Geometrie
Káhúnské papyry – Britské muzeum v Londýně
– nalezeny r. 1889
– patrně palimpsesty
– pocházejí z XII. dynastie
– pět zlomků, největší 41×14 cm, další jsou menší
– obsah: tabulka n2 , výpočty
Dřevěné tabulky – Egyptské muzeum v Káhiře
– pocházejí asi z XII. dynastie
– 46,5×26 cm, 47,5×25 cm
– obsah: seznamy osob, výpočty (egyptské míry)
1 1 1
2, 4, 8,
Jindřich Bečvář
...,
1
64
Starý Egypt
Písmo
Matematické texty
Geometrie
Horovo oko
Zlomky vzniklé postupným půlením jednotky.
Jindřich Bečvář
Starý Egypt
Písmo
Matematické texty
Geometrie
Berlínský papyrus – Egyptská sbírka Pruské akademie
v Berlíně (Neues Museum)
– dva zlomky, větší 14,5×14,2 cm
– popsány z obou stran
– obsah: řešené úlohy
– viz další obrázek
Jindřich Bečvář
Starý Egypt
Písmo
Matematické texty
Geometrie
Berlínský papyrus – Egyptská sbírka Pruské akademie
v Berlíně (Neues Museum)
– dva zlomky, větší 14,5×14,2 cm
– popsány z obou stran
– obsah: řešené úlohy
Kožený svitek – Britské muzeum v Londýně
– nalezen údajně s Rhindovým papyrem
– zakoupen roku 1864
– 41,1×26 cm
– obsah: ve čtyřech sloupcích tabulka sčítání zlomků,
tabulka opsána dvakrát a s chybami
Jindřich Bečvář
Starý Egypt
Jindřich Bečvář
Písmo
Matematické texty
Geometrie
Starý Egypt
Jindřich Bečvář
Písmo
Matematické texty
Geometrie
Starý Egypt
Písmo
Matematické texty
Geometrie
Geometrie
Obsahy rovinných útvarů
Objemy těles
Sklony rovin
Praktická geometrie (vyměřování, vytyčování staveb)
R41 až R60
M4, M6, M7, M17, M18, M14, M10
K2, K5
Zdá se, že ještě neproběhla abstrakce.
Jindřich Bečvář
Starý Egypt
Písmo
Matematické texty
Geometrie
R49. Metoda výpočtu (obsahu) plochy.
Řekne-li se ti: čtyřúhelníkové pole o (rozměrech) 10 k 2.
Jaký je (obsah) jeho plochy? Postup:
10 chet
...............................................................................................................
...
...
..
..
...
...
....
....
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
.....
...
.............................................................................................................
2 chet
Chyba: výpočet pracuje se stranami délek 10 a 1.
1
1 000
10
10 000
100
100 000
1
10
1
10
z 100 000, je to 10 000
z
1
10
z toho, je to 1 000
To je plocha.
Přepočty jednotek: 1 chet = 100 loktů
Jindřich Bečvář
Starý Egypt
Písmo
Matematické texty
Geometrie
„Obrácená úlohaÿ:
M6. Metoda výpočtu pravoúhelníka.
Řekne-li se ti: pravoúhelník o (obsahu) plochy 12,
kde
11
24
z délky přísluší šířce.
Počítej s
11
2 4,
až najdeš 1, vyjde 1 13 .
Počítej s těmito 12, což je (obsah) plochy, 1 13 krát, vyjde 16.
Vypočti odmocninu (z toho), vyjde 4 pro délku,
11
2 4,
je to 3, pro šířku.
Jindřich Bečvář
Starý Egypt
Písmo
Matematické texty
Geometrie
R51. Metoda výpočtu (obsahu) trojúhelníkové plochy.
Řekne-li se ti: trojúhelník, jenž má 10 chet na výšku
a jeho základna 4 chet.
Jaký je (obsah) jeho plochy? Postup:
10 chet
.
....................
................
...
.................
.................
...
.................
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
.............
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
.................
.................
...
.................
....
.................
.................
..
.................
................. ....
............
Jindřich Bečvář
4 chet
Vypočti 12 ze 4,
je to 2, pro udání
jeho obdélníka.
Počítej s 10
2-krát, to je
(obsah) jeho plochy.
Starý Egypt
Písmo
Matematické texty
Geometrie
„Obrácená úlohaÿ:
M7. Metoda výpočtu trojúhelníka.
Řekne-li se ti:
trojúhelník o (obsahu) plochy 20, s poměrem stran 2 12 .
Zdvojnásob (obsah) plochy, vyjde 40.
Počítej (s tím) 2 12 -krát, vyjde 100.
Vypočti (z toho) odmocninu, vyjde 10.
Proveď 1 : 2 21 , to, co vyjde, je
1 1
3 15 .
Vypočti to z 10, vyjde 4. Je to 10 na délku, 4 na šířku.
Poznámka: v příkladech R51, M4, M7 je stejný trojúhelník.
Poznámka: jde opravdu o výšku?
Jindřich Bečvář
Starý Egypt
Písmo
Matematické texty
Geometrie
Příklad M17
Jindřich Bečvář
Starý Egypt
Písmo
Matematické texty
Geometrie
R52. Metoda výpočtu lichoběžníkového pole.
Řekne-li se ti: lichoběžníkové pole, jež má 20 chet na výšku,
jeho (dolní) základna je 6 a 4 chet má (horní) základna.
Jaký je (obsah) jeho plochy?
Sečti (dolní) a (horní) základnu, vyjde 10.
Spočti 21 z 10, je to 5, pro udání jeho obdélníka.
Počítej s 20 5-krát, vyjde 100, to je (obsah) jeho plochy.
Postup:
20 .chet
........
....................................................... ...
........................................................
.
4 chet
1 1000
1
500
2
\ 1 2000
2 4000
\ 4 8000
...
.
...
....
...
...
...
...
...
...
...
..
........................................................
........................................................ ....
.......
6 chet
Celkem 10 000, převeď na
plochu: 20sic
To je obsah jeho plochy.
Jindřich Bečvář
Starý Egypt
Písmo
Matematické texty
Geometrie
R50. Metoda výpočtu (obsahu) kruhové plochy o průměru 9 chet.
Jaký je obsah její plochy?
Odečti 91 z toho, je to 1, zbytek je 8.
Počítej s 8 8-krát, vyjde 64.
Toto je její obsah v ploše: 64 secat.
1
9
1
9
1
Odečíst od toho, zbytek 8.
1
...........................
.......
.....
....
.....
...
...
..
...
.
...
.....
..
...
..
...
..
...
.
.
...
..
.
.
.....
.....
......
................................
9
Obsah plochy
64 secat
8
4 32
2 16
\ 8 64
Vztah jednotek: 1 secat = 1 (chet)2
Jindřich Bečvář
Starý Egypt
Písmo
Matematické texty
Geometrie
Příklad R48
Jindřich Bečvář
Starý Egypt
Písmo
Matematické texty
Geometrie
R48. Bez textu, jen výpočet a obrázek
1
8 secat
2 16 secat
\1
9 secat
2 18 secat
4 32 secat
4 36 secat
\ 8 64 secat
\ 8 72 secat
.................................................................................
......
... ........
..... ....
... .......
.... ..
... ...
... ...
.....
.....
......
......
...
...
.
...
..
........
....
......
.......
.
. ...
... ...
.
.
.... ..
.... .........
..... .....
......
..
......
..................................................................................
9
celkem 81 secat
Porovnání obsahu čtverce a obsahu kruhu?
Poznámka: v příkladech R41, R42, R43 se počítá objem válce,
průměry podstavy jsou 9, 10, 9.
Následují tři úvahy o egyptské metodě výpočtu obsahu kruhu.
Jindřich Bečvář
Starý Egypt
Písmo
Matematické texty
..............................................................................................................................................................
............
.........
...
...
...
....... ..
...
.... ...................
...
........... ....
..........
...........
...
...
..
...
..........
..............
.
.
.
.
..
.
.
...
.
.
.
.........
.. .
........ ....
....
....
... ..............
....... ..
...
...
... ...........
...... ..
..... ..
...
...
... ......
.....................................................................................................................................................
.....
...
...
......
......
...
...
......
....
...
...
....
...
...
...
...
.
..
...
...
...
...
...
...
....
........
...
...
.......
...
...
......
......
...............................................................................................................................................
... ..
....
....
.... ...........
.... ..
...
...
... ...........
....... ..
........ ...
...
...
... ...........
...........
.
.
.
..........
.
.
....
.
.
...
.
..........
.... ....
...
....
...
...
..........
..........
.......... ....
...
... ....................
...
.......... ..
.
.
.
.
..
.
...
.
...
. ....
...............................................................................................................................................................................
d
3
d
3
d
3
7
9
Geometrie
d2 . . .
8
9
d
2
S = (d − 91 d)2
63
81
64 2
d 2 . . . 81
d
d
.
1
4 π = 0, 7854
63
7 .
81 = 9 = 0, 7777
64 .
81 = 0, 7901
S = πr 2 = 14 πd 2
Ze všech zlomků
Jindřich Bečvář
1
n
je
1
9
nejlepší. Egyptské π =
+0, 0077
−0, 0047
256
81
.
= 3, 160 493 ....
Starý Egypt
Písmo
Matematické texty
Geometrie
Obsah kruhu „nahradímeÿ obsahem „vhodnéhoÿ čtverce:
a
4
...............................
.
..............
.....................................................................................................................................................
. .
.... ..
....
....
....
..... ..........
..... ...
.
.....
... .........
..
...
... ...
..... ....
... .....
...
...
... ...
... ..
.. ...
.
.
... ....
...
...
.
......
.. ...
.
......
...
...
....
.
.
..........................................................................................................................................
...
... ...
..
......
.....
.... ....
...
... ... d ....
... ....
.. ...
...
... ...
..
... ...
...
... .... 2 ....
... ....
.... ...
...
......
...
.. .
... ...
... .................................................................................................................................... ....
.
.
.
... ..
.
.
.
... ...
... ...
..
..
..
.
.
.
... ...
... ...
....
....
....
... ...
... ..
.
.
.
.
.
.
.
... ...
.....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
....
....
............................................................................................................................................
.
.
.
... ....
...
...
...
.. ....
.
... .....
...
...
...
.
.
... .......
...
...
...
..... ....
.
.
. .........
.....
...
.
.
.
...
...... ..
...
...
... .......
..
.. .
.................................................................................................................................................
.............
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.....................
2
a
2
+
2
a
4
=
2
d
2
d 2 = 3, 2 r 2
a2 =
4
5
a=
√2
5
d=
√8
80
d
a
8
. 8
a= √ d= d
9
81
Jindřich Bečvář
Starý Egypt
Písmo
Matematické texty
.....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
................................................................... ................ ... ... ... ... ... ................ ...................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
....................................................................... ... ... ... ... ... ... ... .........................................................................
.................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ............................................
......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
............................. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...............................
...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
............................. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..............................
..................................................................................................................................................................................................................................................................................
... ......... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .......... ...
..
..
.......................................................................................................................................................................................................................................................................
.. .. .... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .... ... ..
. . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. .
............................................................................................................................................................................................................................................................................
.... .... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .... .....
.....................................................................................................................................................................................................................................................................
..
..
... .... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... ...
...................................................................................................................................................................................................................................................
.
... .... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... ...
....................................................................................................................................................................................................................................................
...... ...... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...... ......
..........................................................................................................................................................................................................................................................................
... .... ........ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ....... ... ...
.....................................................................................................................................................................................................................................................
... ......... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ......... ...
................................................................................................................................................................................................................................................
................................................ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .................................................
.......................................................................................................................................................................................................................................................................................
............................................... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..............................................
..........................................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .........................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................
... . .
. . . . . . . . .. .
. .. .
..
........................................................................................................................................................................... .... .... .... .... .... .... .... .........................................................................................................................................................................
. . .
. ..
. . .
. . . .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................ ........................ ... ... ... ......................... ........................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................................................................
Geometrie
18 × 18 = 324
Velký čtverec: 182 = 324
Odebereme 4 · 32 + 8 · 22 = 68, zůstane 324 − 68 = 256 = 162 .
Ze čtverce 162 odebráno 4 · 8 = 32, přidáno 4 · 8 = 32.
Jindřich Bečvář
Starý Egypt
Písmo
Matematické texty
Geometrie
R44. Metoda počítání čtverhranné sýpky, jejíž délka je 10, šířka
10 a výška 10. Co to je, co do ní vejde v obilí?
Počítej se 100 10-krát, vyjde 1 000.
Připočti 12 z 1000, je to 500, vyjde 1500.
1
z 1500, vyjde 75.
To je její objem v pytlích. Vypočti 20
To je to, co do ní vejde ve stovkách čtyřnásobných měřic.
75 stovek čtyřnásobných měřic obilí. Metoda řešení tohoto:
1
10
10
100
1
100
1 1000
1
2
500
1
1500
1
10
1
20
150
75
10 1000
Jindřich Bečvář
Starý Egypt
Písmo
Matematické texty
1
75
1
10
10
750
1
10
\ 20
1500
2
3
Geometrie
150
z
z
15
1
10
1
10
z
1
10
10
R45. Objem je 75, vypočte se výška 10.
R46. Objem je 25, vypočte se výška 3 31 .
Jedná se o stejnou obilnici (sýpku).
Jindřich Bečvář
Starý Egypt
Písmo
Matematické texty
Geometrie
R41. Metoda výpočtu kruhové sýpky (o rozměrech) 9, 10.
Odečti 91 z 9. Je to 1, zbytek 8.
Počítej se 64 10-krát, vyjde 640.
Přidej k tomu 21 z toho, vyjde 960. To je jeho objem v pytlích.
1
z 960. Je to 48.
Vypočti 20
To je to, co do ní vejde ve stovkách čtyřnásobných měřic:
48 stovek čtyřnásobných měřic obilí.
Tvar řešení tohoto:
1
8
2 16
4 32
\8
celkem 960
64
1
10
96
\ 10 640
1
20
48
1
\
Jindřich Bečvář
64
1
2
320
Starý Egypt
Písmo
Matematické texty
Geometrie
R42. Kruhová sýpka (o rozměrech) 10, 10.
Odečti
–
1
9
1
z 10, je to 1 19 , zbytek je 8 23 16 18
. . . . atd.
numericky poměrně náročné
Následuje příklad M14
– hieroglyfický přepis
– kopie originálu
Jindřich Bečvář
Starý Egypt
Jindřich Bečvář
Písmo
Matematické texty
Geometrie
Starý Egypt
Jindřich Bečvář
Písmo
Matematické texty
Geometrie
Starý Egypt
Jindřich Bečvář
Písmo
Matematické texty
Geometrie
Starý Egypt
Písmo
Matematické texty
Geometrie
M14. Metoda výpočtu komolé pyramidy.
Řekne-li se ti: komolá pyramida o výšce 6, dolní základně 4 a horní
základně 2.
Vypočti tyto 4 v mocnině, vyjde 16.
Zdvojnásob 4, vyjde 8.
Vypočti tyto 2 v mocnině, vyjde 4.
Sečti těch 16 s těmi 8 a těmi 4, vyjde 28.
Vypočti
1
3
z 6, vyjde 2.
Hle, je to 56. Nalezl jsi správně.
[zlomky výpočtu]
Jindřich Bečvář
V =
h
· a2 + ab + b 2
3
Starý Egypt
Písmo
Matematické texty
Geometrie
První možné vysvětlení: uvažujme rozdíl dvou krychlí a3 − b 3
a−b
b
........................................................................................................................................
......
... ..
... ..
..... .
..... ..
..... ..
.....
..... ...
..... ....
..... ....
.
.....
.....
.
..
...
.
.
.....
...
. .........
.
.
.
.
.
.
.
....
.
.
...
.. ........
.....
.....
...
.......
.....
.....
.
.
.
.
.
...
.
.
.
.
.
.......................................
...
.
.
.
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
......
...
....... .
.
.
.
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... ... ...
... ..
...
....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.....................................................................................................................................
..
..
.....
...
..
...
.... ....
. ..
...
...
...
..
...
.
...
...
...
...
...
...
.... ..
.
.... ................................ ...
....
...
.
.
.
.
.
.
.
...
.
...
.
.
.
.
.
.
...
............. ... ...
......... ..
...
...
..
.......................................
...
.
...
.
. ...
..
...
...
...
...
.
...
.
.
...
...
...
.
..
.. ...
...
.
.
..
. ..
...
.
...
.....
.....
...
.
.
...
. ..
.
..
...
...
...
.
...
..
. ...
.
...
.
.
.
...
.
.
.
.
.
..
....
.....
...
.....
.... ...
...
.
...
...
...
...
...
... ..
..
. ..
...
.
...
.
.
.
...
......... ....... ....... ....... .......... ......... .......... .......... .......... ....... ...........
...
.
.
..
.. ......
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
.
..
.. .......
..
....
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
.
.....
...
.....
.....
... .. ..
...
..... ....
.....
..
...
...
...
.....
.....
.....
.... ........
...
...
... ..... ....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
.
.
..
..
.
.
. ..
.... ....................................
... ....
... ....
... ...
... .......
. ..
.. ..
. ...
.............................................................................................................................................
a2 (a − b),
3
2
ab(a − b)
a − b = (a − b)(a + ab + b 2 )
Jindřich Bečvář
3
b 2 (a − b),
a
Starý Egypt
Písmo
Matematické texty
Geometrie
.....................................................................................................................................
.......
... ..
..... ..
..... ..
.....
..... ....
..... ....
.
...
.....
.
.
.
.
.....
...
.
.
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.....
.....
....
....
.....
.....
.
.
.
.
...
.
.
...
...
.
.
.
.
...
.
.
.
.
.
...
...
...
.
.
...
.
.
.
.
.
.
...
...
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.....................................................................................................................................
...
..
..
.
.....
.....
...
...
.
...
...
..
.......................
.
...
.
.
.
...
...
.. ..
.. ...
.
.
.
.
.
....
...
. .
.
....
....
...
...
............................. ...
.
.
...
..
.
.
.
.
...
.
...
...
...
..
..
...
.
.
.
...
.
.
.
..
...
.
.
.
.
...
.
.
...
...
.......................
...
..
.
..
.
...
.
. .
... .....
... .....
.
.....
.....
...
....
.....
...
.
.
...
...................
.....
...
....
...
....
....
...
...
...
...
...
.
.
.
...
......... ....... ....... ....... ....... ....... .......... ....... ....... ....... ............
.
.
.
...
.
.
.
...
.
.
.
.
...
.
.
.
.
...
.
.
.....
.
.....
...
.
...
..
...
...
.....
.....
.....
...
...
..
.....
...
...
.....
.....
... .........
... ....
... ......
... ...
. ....
.. ..
..........................................................................................................................................
Jindřich Bečvář
Starý Egypt
Písmo
Matematické texty
Geometrie
......................................................................................................................................
.
.... .. ......
. ..
......
...
.... ....
......
...
....
......
....
.
.
...
......
....
.
...
......
....
...
...
......................
..
.
.....
...
.
..
.
...
.
...
...
...
...
...
.
..
.
....
...
...
...
...
...
...
.......................
...
...
.
...
.
...
...
....
...
.
...
.
.
.
.
.
...
.
...
.....
...
.
....
...
.
...
...
.
.
.
...
.
...
.
.
.
....
...
.
...
....
...
...
.
.
.
.
.
...
.
... ....
.
.
...
.
.
... ....
... . ...
. ...
... .....
.......
........
................................................................................................................................
Jindřich Bečvář
Starý Egypt
Písmo
Matematické texty
Geometrie
.........................................................................................................................................
......
.... ..
.
..... ...
..... .....
..... ....
....
.
.
.
....
.... .....
.
..
...
... ...
.....
...
.....
...
...
.....
...
.
...
...
.
.
.
...
...
.
...
...
.
.
.
...
...
...
...
.
.
.
.
.
...
...
.
.
.
...
.....
.....
.
...
.
.
...
...
...
.
.
...
...
.
.
...
...
.
.
...
...
.
.
.
....
....
.
......................................
...
...
...
...
....
....
...
...
...
.
.
...
...
...
..
.
...
...
...
.
.
.
.....
.....
........................................
.
.
.
.
.
...
...
.
.
.
.
.......
...
.
.
.
...
...
.
.
.
.
.
.
.......
...
.
.
.
.
.
.
.
.
....
....
.......
..
.......
...
... ........
.......
.
... ......
.
.......
....... .....
... ......
.......................................................................................................................................
Šest shodných komolých jehlanů. Objem jednoho je
1
1 a−b 2
h
(a−b)(a2 +ab +b 2 ) = ·
·(a +ab +b 2 ) = ·(a2 +ab +b 2 )
6
3
2
3
Jindřich Bečvář
Starý Egypt
Písmo
Matematické texty
Geometrie
Druhé možné vysvětlení: komolý jehlan rozdělíme na devět těles:
– hranol b2 h = 13 h · 3b 2
– čtyři poloviny hranolu 4 ·
– čtyři jehlany 4
dohromady
1
3h ·
1 a−b
1
2 · 2 · b · h = 3 h · 3(a − b)b
a−b
1
2
· 31 · a−b
2 · 2 · h = 3 h · (a − b)
3b2 + 3(a − b)b + (a − b)2 = 13 h · (a2 + ab + b 2 )
........................................................................................................................................................................................
............
... . ..... .......
........... .. ..
..... .. ........ ..........
................. ... .....
.
..... ... .............. .................
.
.
.
.
.
.........
.....
..............
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... .... .........
.
.........
.
.
.
.
.
...
...........
.........
... ......
...
........................................................................................................................................................................................
.........
... .......
...
.........
...................
..
...
.....
.....................
...
.....
...............................
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...............................................................................................................................................................................................................................................
.
.
.
.
.
.....
.
.
. ...
. ... .... ........ ..
.................
.
.
.
....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.....
.
.....
.
. ..
. .. ... .........
...................
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.....
.
.
.
.
.....
.. .
.
... ......... ...
.....
.. ..
.. ..
.....
...................
... ......
... ... .........
.....
.. ....
.. ....
.....
.
.............................
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... .. .. .....
..... .....
....
. ..
. ..
..... ........
..................................................................................................................................................................................................................................
.
.
..
..
.
................
.....
... ...
...
..
..
.....
.....
...............
..
..
.....
... ....
...
..
..
.....
......................
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.....
...
.
.
.
.
...
................
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
..... ....
.
.
..........
.. ..
.. ..
..........................................................................................................................................................................................................................
.
.
.
..........
...
...
...
..
..
.....
...........
...
.....
............
.. ......
.. ......
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
. ...
. ...
....
.........
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... ......
.....
.....
.....
.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
h
a
a−b
2
Jindřich Bečvář
b
a−b
2
Starý Egypt
Písmo
Matematické texty
Geometrie
Jak sečíst (bez symboliky) objem uvažovaných těles?
1
b2 h + b(a − b)h + (a − b)2 h
3
b
b2 h
a−b
...................................................................................................................................................................................
......
.... .
....
..... ....
.....
......
......
..
.....
.....
...
.
......
..
......
.......................................................................................................................................................................................
...
...
...
...
...
...
...
...
...
.
..
.
.
.
...
....
....
....
....
..
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
........................................................................................................................
.
.
.
.
.
.
...
...
.
.
....
.... ...
.
.
.
.
.
.
...
...
.
.
...
... ...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
.
....
....
....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
...
.
....
....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
..
...
...
......
.... ........
...
......
......
.......................
......
......
..
......
......
.....
......
.
.
.
...............................................................................................................................
.
.....
...
...
.....
...
...
......
.....
...
...
......
...
... ..........
...
. ....
...............................................................................................................................
b ......................
h
b(a − b)h
a−b
1
3 (a
Jindřich Bečvář
− b)2 h
Starý Egypt
Písmo
Rozdělíme na vrstvy vysoké
b
Geometrie
1
3h
a−b
......................................................................................................................................................................................
.......
.... .
.... ..
..... ....
..... ..
..
......
......
.
.....
.....
...
...
..
.
.....
.....
..
...
.........................................................................................................................................................................................
...
..
...
...
...
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.. .
.. ...
..
.
.....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
.
. .
. .
.. .
.... ....... ...
.... ....... ...
.... ....... ...
..
...
..
... .....
.. .....
... .....
...
.......................................................................................................................................
..
...
...
...
...
...
.
.
.
.
.
.
.
...
..................................................... ............................................................. ..........................
.
.
.
...
.
.
... ..
... ...
... ...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
..
..
.
...
.... .......
... ........
.... .......
.
....
................................................................................................................................................................................
...
..
...
...
....
..........
.........
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
...
.
.
..................................................................................................................................
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
.
.
... .......
.
...
....
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
.
.
..
..
..
... ......
......
.... ..........
... ....... ..........
.....
.. .....
.... ...... ........
.. .....
.....
...........................................................................................................................................................
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
..
...
....
....................................................................................................................................
......
......
...
...
...
....
......
...
...
....
.....
.
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
...
.....
... .......
....
.....
... .....
... ..........
.
..
...........................................................................................................................
b ...................... .......
b2 h
Matematické texty
h
b(a − b)h
a−b
1
3 (a
Jindřich Bečvář
− b)2 h
Starý Egypt
Písmo
Matematické texty
Geometrie
Jeden z kvádrů přesuneme na jiné místo.
b
a−b
....................................................................
...... ..
... ..
...... ...
...... ...
.....
.
.
.
......
.
...
...
.
....
......
.
.
.
.
...
.
.
.
.
.
...........................................................
...
..
....
..
.
.
.
.
...
............................................................................................................................................................................
.
.
.
...
.
... ..
... ..
.
.
.
.
...... ..
.
.
.
.
.
...
.
. .
.
..
...... ....
..
..
.... ..........
... ........
.....
. ...
. .
.
......
....
.
................................................................................................................................................................................
...
.
..
....
....
...
.. ......................................................................................
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
.
... ....
... ...
... ..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
.
.
..
.. .
.... ....... ..
... ........ ...
.... ....... ....
..
... ......
... ......
... ......
...
...
.
..
..
...
.
...
.............................................................................................................................................................................................................
.
.
.
.
...
.
..
... ..
... ...
.
.
.... ..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
................. ........................................................................................... ......... .........................
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... .......
.
..
..
...
....
....
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.. ....
.. ..... ......
. ........
...
.
....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.. ....
.. .... .....
....
.. .....
.....
......
....................................................................................................................................................
.
......
.
.
.... .....
....
.... ......
......
......
......
.....
.....................................................................................................................................................................................................
.
.
.
.
.
.
.
....
....
....
....
.....
....
.....
....
....
......
...
...
...
....
....
......
....
....
...
...
...
.....
....
....
... ..........
... ......
... ......
. .....
. .....
. .....
.........................................................................................................................................................................................
b
h
a−b
Jindřich Bečvář
Starý Egypt
Písmo
Matematické texty
Geometrie
Bez neviditelných hran
b
a−b
............................................................................................................................................................................................
......
... ..
...
......
...... ...
......
.....
.
.....
.
.
......
.
...
.
......
.
....
......
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
............................................................................................................................................................................
...
..
....
..
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
....
..
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
.
.
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
....
......
.
.
.
.
.
.
...
.
.
...
....
.... ...
.
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
...
...
....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
.
...
....
....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
. ........
....
....
.
.
.
.
.
.
.
.
...
.
.
..
....
.. ......
.........................
......
......
....
......
......
......
......
......
.............................................................................................................................
.....
.
.
.
.
.
.
....
....
....
.....
......
...
...
......
...
...
.....
... ..........
...
. .....
...
.........................................................................................................................
b
h
a−b
Jindřich Bečvář
Starý Egypt
Písmo
Matematické texty
Geometrie
Jeden z kvádrů přesuneme na jiné místo.
b
a−b
....................................................................
......
... ..
......
...... ...
.....
.
.
.....
.
.
...
.
......
....
.
.
.
.
.
.
.
...
.
.
..........................................................
...
..
....
.
...
...
...........................................................................................................................
.
.
.
.
...
...
.
...
.
.
.
...... ...
.
...
...
.
..
...... ...
... ..........
...
.....
....
.....................................................................................................................................
...
...
...
..
...
...
...
...
....
..
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
.
.
.
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
......
....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
....
.... ...
....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
...
...
....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
....
....
....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. ........
....
....
....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
....
....
....
.. ......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
...........................................................................................................................................................................................
.....
.
.
.
.
.
.
....
....
.....
....
.....
......
...
...
...
......
...
...
...
.....
... ..........
...
...
. .....
...
.
.....................................................................................................................................................................................
b
h
a−b
Jindřich Bečvář
Starý Egypt
Písmo
Matematické texty
Geometrie
Třetí možné vysvětlení: uvažujeme tři komolé jehlany, které
rozložíme na části a přeskládáme.
..........................................................................................
....
....
....
....
...
...
...
...
..
..
..
..
.....................................................................................................
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
...............................................................................................
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
..
..
.....................................................................................................
............................................................................................................
.... .... .... .... .... .................................................................. .... .... .... .... ....
... ... ... ... ... ................................... ... ... ... ... ...
.. .. .. .. .. ................................. .. .. .. .. ..
..............................................................................................................
....................
...................................
..................
...................
....................
....................
..................
..................
....................
......................
.....................
....................
....................
..................
..................................
..................
.
......................................................................................................
.. .. .. .. .. ................................. .. .. .. .. ..
... ... ... ... ... .................................... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ................................... ... ... ... ... ...
. . . . . ............................... . . . . .
................................................................................................................
............................................................................................................................................
... ... ... ... ... ......... ....... ....... ..... .... .... ... ... ...
... ... ... ... ... ......... ....... ....... ..... ... ... ... ... ...
... .. .. .. .. ......... ....... ....... ..... .. .. .. .. ....
................................................................................................
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
.................................................................................................
... ... ... ... ... ......... ....... ....... ..... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... .......... ....... ....... ...... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ......... ....... ....... ..... ... ... ... ... ...
..................................................................................................................................................
a2 h
b2 h
abh
3V = a2 h + b 2 h + abh
Praktické prověření: objemy sýpek, nádrží, výkopů, stavba pyramid
(vrstvy)
Jindřich Bečvář
Starý Egypt
Písmo
Matematické texty
Geometrie
Sklony rovin – příklady o pyramidách
seked – vodorovná vzdálenost, na které se výška zvětší
o jednotku délky
........
..... .. .....
..... .. .....
..... .... .........
.
.
.
.
.....
.....
.....
....
.....
.....
...
.....
.....
.....
.....
...
....
.
....
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
.
.................
.
.
.
...
.
.
.
.
...... .......
.
.
.
...
.
.....
.
.
.
......
.
.
.....
.
...
.
.
.
.
......
.
.
.....
.
....
.
.
.....
.
......
.
.
.
.....
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.....
....
.
...
.
.
.
.
.....
.
.
.
.
....
.
...
.....
.
.
.
.
.
.
.
.
.....
....
.
...
.
.
.
.
.
.
.
....
.
....
.
...
.
.
.
.
.
.
.
.... .....
.
....
.
....
.
.
.
... .........
.
.
.
.
....
.
.....
..
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.....
..
.....
.....
........
....
..
.....
.
...................................................................................................................................................................................................................................
v
1
α
z
2
seked
z, v – v loktech
seked s =
seked s =
z
2v
7z
2v
Jindřich Bečvář
– v loktech
(s = cotg α)
– v dlaních
Starý Egypt
Písmo
Matematické texty
Geometrie
R56. z = 360,
v = 250
1
)
(s = 5 25
R57. z = 140,
s = 5 14
(v = 93 13 )
R58. z = 140,
v = 93 31
(s = 5 14 , tj. 5 dlaní a jeden prst)
R59. z = 12,
v =8
(s = 5 41 )
R59b. z = 12,
s = 5 41
(v = 8)
R60. z = 15,
v = 30
(s = 4)
s=
2v
z
Naopak??!!
Pozn. R57 a R58 – jeden objekt
R59 a R59b – jeden objekt
Jindřich Bečvář
Starý Egypt
Písmo
Matematické texty
Geometrie
Záhadný příklad M10
Jindřich Bečvář
Starý Egypt
Písmo
Matematické texty
Geometrie
Záhadný příklad
M10. Metoda výpočtu koše.
Řekne-li se ti: koš o 4 12 . . . ku 4 21 . . .
Nu, udej mi jeho plochu.
Vypočti
1
9
z 9, neboť koš, to je
1
2
. . . Vyjde 1.
Vypočti zbytek, je to 8.
Vypočti
1
9
z 8, vyjde
21 1
3 6 18 .
Vypočti zbytek z těch 8 za těmi
21 1
3 6 18 ,
vyjde 7 19 .
Počítej se 7 91 4 12 -krát, vyjde 32.
Hle, toto je jeho plocha. Nalezl jsi správně.
9−
Jindřich Bečvář
1 1 1
8 8 1
·4 = 9·
· · 4 = 32
·9 · 1−
9
9
2
9 9 2
Starý Egypt
Písmo
Matematické texty
Geometrie
Pokusy o objasnění příkladu M10, tj. výpočtu
9−
1 1
8 8 1
1 ·4 = 9·
· · 4 = 32
·9 · 1−
9
9
2
9 9 2
1. Obsah polokruhu (d = 9)
8 2 1
8 8 1
d · =9· · ·4
9
2
9 9 2
2
– proč tak složitě?
9 − 91 · 9 · 21
S=
2. Povrch polokoule (d = 4 21 )
S=
8 2 1
4πr 2
πd 2
π
·4
=
= 2d · · d = 9 ·
2
2
4
9
2
– příliš odvážné?
– přibližný výpočet povrchu kupole obilnice (polokoule)
Jindřich Bečvář
Starý Egypt
Písmo
Matematické texty
Geometrie
3. Povrch poloviny pláště válce (d = 4 12 , v = 4 12 )
P=
o
2
·v
kruh:
o
2
·
d
2
P = 2d ·
= S, tedy
o
2
=2·
S
d
8 8
8 8 1
· ·v =9· · ·4
9 9
9 9 2
– pravděpodobné vysvětlení?
4. Povrch čtvrtiny pláště válce (d = 9, v = 4 12 )
P=
o
4
·v
kruh:
o
4
=
S
d
8 8
8 8 1
· ·v =9· · ·4
9 9
9 9 2
– malá modifikace předchozího
P=d·
Jindřich Bečvář
Starý Egypt
Písmo
Matematické texty
Geometrie
Vyměřování, vytyčování půdorysů staveb atd.
– extrémně přesná orientace pyramid (severo-jižní směr)
– patrně podle hvězd
odchylky: často jen několik minut
– extrémně přesná příprava vodorovné roviny – základny
– extrémně přesné rozměry
Chufuova pyramida (největší):
hrana 230,4 m, diference délek hran 6 cm
výšková odchylka vrcholů základny necelé 3 cm
odchylky hran od směrů S-J a V-Z nejvýše 6′
Jindřich Bečvář
Starý Egypt
Písmo
Matematické texty
Geometrie
Vytyčování půdorysu
– náboženský ceremoniál, slavnostní obřad
„zatloukání kolíkůÿ, „napínání provazuÿ
(např. v Karnaku, Dendeře, Abú Ghúrábu, Abúsíru, Edfu)
– skutečné exaktní vyměřování
Z Horova chrámu v Edfu:
Uchopil jsem kolíky a rukojeť palice, držíme spolu s bohyní
Safchet lano. Můj zrak sleduje chod hvězd; až můj pohled
dojde k sedmihvězdí a naplní se mně stanovený oddíl čísla
hodin, postavím kolíky do rohů božího domu.
Obřad zatloukání kolíků (následující dvě vyobrazení)
– chrám v Karnaku
– chrám bohyně Hathory v Dendeře (1, 5 × 3 metry)
Jindřich Bečvář
Starý Egypt
Jindřich Bečvář
Písmo
Matematické texty
Geometrie
Starý Egypt
Jindřich Bečvář
Písmo
Matematické texty
Geometrie
Starý Egypt
Písmo
Matematické texty
Geometrie
Mytologie
Bohyně nebeské klenby Nút a bůh země Geb
– sourozenci a současně manželé
– od sebe je „oddalujeÿ jejich otec Šov
Dochovalo se několik znázornění této situace.
Geometrie polohy ve starém Egyptě
Jindřich Bečvář
Starý Egypt
Jindřich Bečvář
Písmo
Matematické texty
Geometrie
Starý Egypt
Písmo
Matematické texty
Geometrie
DĚKUJI ZA POZORNOST
A ZA KVĚTINOVÉ DARY !
Jindřich Bečvář

Geometrie ve starém Egyptě

Transkript

Podobné dokumenty

Historický vývoj deskriptivní geometrie a historie deskriptivní

Prezentace aplikace PowerPoint - Střední škola stavebních řemesel

Československá komunita v Egyptě

Mastitida může být příběh s koncem

Potřeby pro Seder Pesah

Autoexpert 6/2013

Pozvánka / ProgramVelikost: 385.56 kB