Dějiny normální křivky

Dějiny normální křivky
V historii normální křivky nelze zamlčet její původ v teorii hazardní hry. V letošním
roce slaví své 276. narozeniny a na rozdíl od jiných vědeckých objevů je lze dokonce přesně
zjistit: bylo to 12. listopadu 1733. To je totiž datum uveřejnění malého spisku Abrahama de
Moivre, matematika - hugenota vyhnaného z Francie, který se všelijak protloukal v Londýně,
mimo jiné také tím, že radil hazardním hráčům. De Moivre započal své úvahy experimenty s
házením mincí, které jsme uvedli v části o binomickém rozdělení, a uskutečnil myšlenkový
skok od sloupků histogramu k plynulé křivce, až konečně objevil i křivkovou rovnici
normální křivky (viz seminář).
De Moivre už také pozoroval stejnorodost ploch uvnitř směrodatných odchylek. Pro
teorii hazardní hry nebylo však možno z jeho matematických poznatků získat mnoho nového
a jiné praktické možnosti použití elegantně zahnutých křivek nebylo v polovině 18. století
ještě možno nalézt; křivka i rovnice upadly v zapomenutí.
Až když se vynořil praktický problém, přímo prahnoucí po početním zvládnutí, byla
normální křivka znovuobjevena jako Gaussova - Laplaceova „křivka chyb“. Proč křivka
chyb? Na konci 18. a počátku 19. století byli astronomové neustále v nepříjemné situaci, která
vznikala tím, že při svých měřeních získávali hodnoty, které se více nebo méně navzájem
odlišovaly. Příčina spočívala v nedokonalosti používaných přístrojů, a tak se na věci nedalo
prozatím nic měnit. Bylo proto nutné nalézt cesty, jak by se ze spousty měřených dat získala
pravděpodobně správná hodnota.
Vzpomeneme-li si na obrázek ukazující zásahy kolem černého středu střeleckého
terče, lze si trochu představit problém, před kterým stáli astronomové, mezi nimi také Laplace
a Gauss, kteří měli z umístění zásahů pokud možno co nejpřesněji vypočítat polohu cíle. Z
množství měření navzájem více nebo méně odchylných, např. vzdáleností stálic, se měla určit
hodnota nejvíce se blížící skutečnosti.
Gauss se nejdříve, domníval, že za takovou správnou hodnotu lze považovat
aritmetický průměr všech měření, potom však došel, podobně jako Laplace, k představě
rozdělení četností výsledků měření: zcela nesprávné jsou ojedinělé extrémy, pak následují
měření stále více si podobná a zároveň četnější, doslova pak vrcholící ve střední hodnotě a
zároveň nejčetnější hodnotě normální křivky.
Jak Laplace, tak i Gauss se museli mimo jiné vypořádat s otázkou, zda nelze nalézt
stejné uplatnění pro kladné i záporné výsledky. Je zřejmě nesmyslné, aby chyby v měření +2
a +5 se navzájem prostě zrušily chybami -2 a –5 a přitom se tvrdilo, že per saldo se vlastně
žádná chyba nestala. Laplace postavený před tuto otázku se rozhodl pro absolutní hodnotu
chyby tím, že uvažoval asi takto: jestliže dvě více nebo dvě méně, obojí je „dvě špatně“.
Gauss volil jiné východisko, a sice to, které jsme již poznali při výpočtu směrodatné
odchylky: chyby umocnil na druhou, a tak dostal vesměs kladné hodnoty.
Vítězné tažení normálního rozdělení zahájil však teprve Adolphe-Lambert Quételet,
všestranný belgický vědec, který objevil normální rozdělení pro biometrii, vědu o měření
člověka. Quételet byl jedním ze zakladatelů Královské statistické společnosti v Londýně,
hlavním povoláním astronom, ze záliby statistik, jehož vášeň přecházela až do rozvernosti jednou prý spočítal celkovou váhu bruselského obyvatelstva.
Quételet, který se často a tak přesně zabýval statistickými tabulkami, během studia
zjistil, že překvapivě mnoho výsledků sčítání a měření vykazuje takové rozdělení četnosti,
jaké je charakteristické pro „křivku chyb“, která mu byla jako astronomovi dobře známa.
Provedl proto mnohá měření na vlastní pěst, mezi nimi jako jedno z prvních proslulé měření
obvodu prsou skotských vojáků. Na tomto základě dospěl k závěru, že - nepřihlíží-li se k
poměru mezi střední hodnotou a rozptylem - uspořádání četností vykazuje při těchto a jiných
biometrických měřeních skutečně přesně stejnou strukturu, jaká je v tabulkách chyb měření:
křivku normálního rozdělení. A pokud je známo, Ouételet byl první, kdo mluvil o
„normálním“ rozdělení.
Normální rozdělení podle Ouételeta neznamenalo však nic jiného než to, že příroda
se snaží vytvořit ideální typ, „homme moyen“, avšak v různé míře chybuje. V této souvislosti
použil také obrazu se střeleckým terčem – „... hodně smělá metafora“, jak kriticky
komentoval později logik a teoretik pravděpodobnosti John Venn. (Je to týž Venn, kterému
moderní matematika vděčí za Vennovy diagramy pro zobrazení množin.)
„Homme moyen“ se může doslova přeložit jako „průměrný člověk“ nebo „střední
člověk“, avšak bez onoho znevažujícího spodního tónu, který byl úplně cizí Ouételetovu
myšlení. Pro něho byl „homme moyen“ vznešenou, vysněnou představou, která svědomitému
statistikovi umožňovala přesně nahlédnout do dílny přírody a objevovat její nejtajnější cíle.
Tato představa narazila na rozhořčený odpor, zároveň však získal vášnivé a nadšené
stoupence. K těmto stoupencům patřila také sociální pracovnice Florence Nightingalová,
nadšená amatérská statistička, a biolog, kriminolog a afrikanista Francis Galton, který s
veškerou energií jako jeden z prvních zavedl kvantitativní metody do biologie a mimo jiné
navrhl měrné stupnice pro všechny možné tělesné znaky, ba dokonce i pro ženskou krásu.
Galton - ačkoliv vlastně nebyl básníkem - se nechal svým nadšením pro normální
rozdělení strhnout až k téměř básnickému projevu a mimo jiné napsal: „Stěží znám něco, co
může naši fantazii uchvátit tak jako obdivuhodná forma kosmického pořádku, který vyjadřuje
»zákon o četnosti chyb«. Kdyby byl znám Řekům, byli by jej personifikovali a uctívali jako
božstvo. V nejdivějším zmatku šíří harmonický klid; čím větší anarchie, tím svrchovanější je
jeho vláda. Za závojem chaosu se objevuje jeho netušený a nádherný tvar pravidelnosti.“
Karl Pearson, otec moderní matematické statistiky, byl rovněž obdivovatelem
normální křivky, ačkoliv znal i její nedostatky: stanovil, že v přírodě jsou i nenormálně
rozdělené veličiny, a také se pokusil vypracovat specifická schémata rozdělení pro tyto
případy. Přitom však zjistil, že z mnohých, na první pohled nenormálních rozdělení se po
pečlivém rozboru skutečností vyklubou spletence dvou nebo i více normálních rozdělení.
Vášnivé debaty o významu a bezcennosti, oprávněnosti a nesmyslnosti normální
křivky utichly až ve 20. století, i když úplně nevymizely. Přijímá se taková, jaká je - jako
cenná pomůcka statistické práce. O její filozofické nebo i vědeckoteoretické podstatě se však
příliš nemluví. Fyzik Gabriel Lipman prý k tomu jednou zlomyslně poznamenal: „Celý svět
pevně věří na normální rozdělení - matematici, protože jsou přesvědčení, že jde o
experimentálně dokázanou skutečnost, experimentátoři, protože jsou přesvědčeni, že se jedná
o matematickou poučku.“ Mezi nejoblíbenější „vysvětlení“ normální křivky stále ještě patří
Gaussovo: nesčetné dílčí vlivy vyvolávají větší nebo menší odchylky od „průměru“, který
všude nacházíme, a tato náhodná kombinace náhodných vlivů podléhá nakonec „zákonům“
hazardní hry, pravidlům binomického rozdělení s téměř nekonečným počtem „pokusů“. Tato
úvaha nachází matematický výraz v „centrální limitní větě“, jíž se na tomto místě nebudeme
blíže zabývat. S pomocí této věty však lze ukázat, že vždy se musí dojít alespoň přibližně k
normálnímu rozdělení, jestliže je znak určen působením většího počtu navzájem nezávislých
vlivů, ať už je každý z těchto jednotlivých faktorů rozdělen jakkoli.
S jemnou ironií se dá snad říci, že volná hra náhody je to jediné opravdu normální na
tomto světě. Einstein prý jednou řekl: „Bůh nehraje v kostky.“ Normální rozdělení však
nemůže posloužit jako důkaz opaku. Je to koneckonců otázka individuálního postoje, jestliže
se v něm spatřuje jen matematický výraz nahodilých kombinací nemajících zdánlivě smyslu
nebo pravěký zákon stvoření a důkaz božského řádu v kosmu, jak kdysi soudil de Moivre.