Teorie signálu pro pocítacovou grafiku

Transkript

Signál
Matematické pozadí
Shannonův-Nyquistův vzorkovací teorém
Rekonstrukce a filtrace signálu
Teorie signálu pro počítačovou grafiku
Pavel Strachota
FJFI ČVUT v Praze
19. února 2015
Aliasing
Signál
Obsah
1
Signál
2
3
4
5
Aliasing
Aliasing
Signál
Obsah
1
Signál
2
3
4
5
Aliasing
Aliasing
Signál
Obraz a signál
obraz = funkce f : Ω 7→ C, kde Ω je „plátno“ a C ⊂ R3 je
prostor barev.
obraz chápeme jako spojitý
signál = lib. funkce přenášející informaci (a tedy i obraz)
může záviset na čase
signál
spojitý
diskrétní = definovaný na nejvýše spočetné množině bodů
Aliasing
Signál
Digitalizace a rekonstrukce signálu
omezíme se na prostorový signál
vzorkování signálu = měření signálu v konečném počtu
bodů - diskretizace def. oboru Ω
kvantování signálu = převod na konečný počet barev diskretizace oboru hodnot
rekonstrukce signálu = vytvoření spojitého signálu s
využitím hodnot v diskrétních bodech
struktury s vysokou frekvencí nelze vzorkováním
postihnout =⇒ aliasing
Aliasing
Signál
Vzorkování
1. bodové vzorkování
„změříme“ signál (obvykle) na pravidelné síti bodů:
fij = f (ih, jh) ... h je velikost oka sítě
mohou nám snadno uniknout objekty s rozměry < h
Aliasing
Signál
Vzorkování
2. plošné vzorkování
integrujeme intenzitu signálu v nějakém „objemu“
(intervalu, ploše)
pixel = čtverec
libovolně malé objekty přispějí k intenzitě čtverce
úměrně své velikosti
bez ohledu na polohu v rámci pixelu
3. vážené plošné vzorkování
při integraci násobíme signál váhovou funkcí
různé hodnoty váhové funkce v různých místech pixelu
integrace i přes větší objem než 1 pixel
Aliasing
Signál
Vážené plošné vzorkování
Aliasing
Signál
Obsah
1
Signál
2
3
4
5
Aliasing
Aliasing
Signál
Fourierovy řady
Hilbertův prostor H, báze (úplný OG soubor) X = (x n )n∈N
Fourierova řada vektoru
v=
+∞
X
k =0
αk x k
kde αk =
h v| x k i
kx k k2
.
Aliasing
Signál
Trigonometrické Fourierovy řady
interval (a, b) ⊂ R , l = b − a.
OG
prostoru
L2 ((a, b)) :
bázeHilbertova
2πnx
cos 2πnx
∪
sin
l
l
n∈N0
n∈N
Fourierova řada funkce f ∈ L2 ((a, b))
+∞
2πnx
2πnx
a0 X
an cos
+
+ bn sin
f̃ (x) =
2
l
l
n=1
s koeficienty
2
an =
l
Zb
f (x) cos
2πnx
dx ∀n ∈ N0 ,
l
a
bn =
2
l
Zb
f (x) sin
a
2πnx
dx ∀n ∈ N.
l
Aliasing
Signál
Aliasing
Trigonometrické Fourierovy řady
Exponenciální tvar
Fourierova řada funkce f ∈ L2 ((a, b))
!
+∞
1 X
2πinx
f̃ (x) =
cn exp −
,
2 n=−∞
l
s koeficienty
2
cn =
l
Zb
!
2πinx
f (x) exp
dx
l
a
(c0 = a0 a pro n > 0 je cn = an + ibn a c−n = an − ibn )
oba tvary jsou ekvivalentní (viz eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ)
součet f̃ : periodická funkce s periodou l
Signál
Fourierova transformace
převod mezi tzv. prostorovou a frekvenční oblastí
Fourierova transformace v 1D
f : R 7→ R
Z+∞
F (u) =
f (x) e−2πiux dx
−∞
Z+∞
F (u) e+2πiux du
f (x) =
−∞
Aliasing
Signál
Fourierův obraz
F : R 7→ C ; značení: F = F [f ]
F (u) ... amplituda harmonické složky o frekvenci u
(u > 0)
arg F (u) ... fáze harmonické složky o frekvenci u
Schwartzův prostor S
ϕ : R → R, které v ±∞ klesají rychleji než x −n ∀n ∈ N
totéž platí pro všechny jejich derivace.
2
např. ϕ (x) = e−x .
S je vektorový prostor uzavřený vůči derivaci
a násobení polynomem
∀ϕ ∈ S platí rovněž F [ϕ] ∈ S a inverzní formule
F −1 [F [f ]] = f .
Aliasing
Signál
Skládání harmonických signálů
Aliasing
Signál
Fourierova transformace ve 2D
Fourierova transformace v 2D
f : R2 7→ R
Z+∞Z+∞
F (u, v ) =
f (x, y ) e−2πi(ux+vy ) dxdy
−∞ −∞
Z+∞Z+∞
F (u, v ) e+2πi(ux+vy ) dudv
f (x, y ) =
−∞ −∞
u ... frekvence ve směru x
v ... frekvence ve směru y
Aliasing
Signál
Diskrétní Fourierova transformace
Diskrétní Fourierova transformace v 1D
NN = {0, 1, 2, . . . , N − 1}
fn : NN 7→ R,
Fn =
N−1
X
fk e−2πink /N , n ∈ NN
k =0
fk
=
N−1
1 X
Fn e+2πink /N , n ∈ NN
N
n=0
Aliasing
Signál
Aliasing
Poissonův sumační vzorec
f ∈ S, nenulová pouze na (a, b) délky l = b − a
periodické prodloužení lze napsat jako
!
+∞
+∞
X
1 X
2πinx
f (x − kl) = f̃ (x) =
cn exp −
2 n=−∞
l
k =−∞
(intuitivní zápis = součet řady)
Fourierovy koeficienty
2
cn =
l
Zb
!
!
Z+∞
2πinx
2πinx
2
2 n
f (x) exp
f (x) exp
dx =
dx = F − .
l
l
l
l
l
a
−∞
po dosazení
+∞
X
k =−∞
!
+∞
2πinx
1 X n
f (x − kl) =
F − exp −
l n=−∞
l
l
Signál
Aliasing
!
+∞
+∞
X
1 X
2πinx
f (x − kl) = f̃ (x) =
cn exp −
2 n=−∞
l
k =−∞
2
cn =
l
Zb
!
!
Z+∞
2πinx
2πinx
2
2 n
f (x) exp
f (x) exp
dx =
dx = F − .
l
l
l
l
l
a
−∞
po dosazení a v bodě x = 0
+∞
X
k =−∞
+∞
1 X n
F −
f (−kl) =
l n=−∞
l
Signál
Aliasing
!
+∞
+∞
X
1 X
2πinx
f (x − kl) = f̃ (x) =
cn exp −
2 n=−∞
l
k =−∞
2
cn =
l
Zb
!
!
Z+∞
2πinx
2πinx
2
2 n
f (x) exp
f (x) exp
dx =
dx = F − .
l
l
l
l
l
a
−∞
po dosazení a v bodě x = 0 a subst k = −n, n = −n
+∞
X
+∞
1 X n
F
f (nl) =
l n=−∞
l
n=−∞
Signál
Konvoluce
Konvoluce v 1D
f , g : R 7→ R
Z∞
(f ∗ g) (x) =
f (t) g (x − t) dt
−∞
má-li g omezený support, nazývá se konvoluční jádro
potom
x+a
Z
(f ∗ g) (x) =
f (t) g (x − t) dt.
x−a
=⇒ (f ∗ g) (x) je vážený průměr hodnot f na okolí x
Aliasing
Signál
Aliasing
Konvoluční teorém
1
Fourierův obraz konvoluce funkcí je součin Fourierových obrazů
funkcí
F ±1 [f ∗ g] = F ±1 [f ] · F ±1 [g] .
2
Fourierův obraz součinu funkcí je konvoluce Fourierových obrazů
funkcí
F ±1 [fg] = F ±1 [f ] ∗ F ±1 [g] .
Důkaz.
F [f ∗ g] (u)
=

 ∞

+∞
+∞
Z
Z
Z∞

Z

 −2πiux



−2πiut 
−2πiu(x−t)
dx =
f (t) e
dx  dt
 f (t) g (x − t) dt  e
 g (x − t) e

−∞ −∞
=
−∞
−∞
+∞
Z
Z∞
f (t) e−2πiut dt
g (x) e−2πiux dx = F (u) G (u) = (F [f ] · F [g]) (u)
−∞
−∞
Signál
Distribuce
C∞ (R)
. . . hladké funkce s kompaktním supportem
D⊂
prostor distribucí D0 = lineární funkcionály na D
aplikace distribuce T ∈ D0 na tzv. testovací funkci ϕ ∈ D:
h T | ϕi .
distribuce T je regulární, jestliže existuje f ∈ L2 (R) tak, že
D E
h T | ϕi = f ϕ ,
kde uvažujeme skalární součin na L2 (R)
+∞
D E Z
fϕ =
f (x) ϕ (x) dx
−∞
Diracova δ-„funkce“ je distribuce h δ| ϕi = ϕ (0) , formálně
Z+∞
Z+∞
δ (x) ϕ (x) dx = ϕ (0) ,
δ (x) dx = 1.
−∞
−∞
Aliasing
Signál
Aliasing
Operace s distribucemi 1/2
operace na vektorovém prostoru D0
D
D E
E
T + S ϕ = h T | ϕi + S ϕ ∀ϕ ∈ D,
h αT | ϕi = α h T | ϕi ∀ϕ ∈ D
operace posunutí
operátor posunutí τh funguje na funkce (τh f ) (x) = f (x − h)
a na distribuce pak jako
h τh T | ϕi = h T | τ−h ϕi
pro regulární T (def. pomocí f ) pak totiž
h τh T | ϕi = h T | τ−h ϕi =
+∞
+∞
Z
Z
D
E
f (x) ϕ (x + h) dx =
f (x − h) ϕ (x) dx = τh f ϕ ,
−∞
−∞
tj. distribuce τh T je také regulární a def. pomocí τh f
násobení distribuce T funkcí g
D E D E
gT ϕ = T gϕ ∀ϕ ∈ D.
Signál
Aliasing
Operace s distribucemi 2/2
Derivace distribuce
D
D E
E
T 0 ϕ = − T ϕ0 .
potom totiž pro regulární distribuci definovanou funkcí
f alespoň třídy C1 (R)
D
Z+∞
Z+∞
D E
D E
E
0
0
T ϕ = − Tϕ = −
f (x) ϕ (x) dx =
f 0 (x) ϕ (x) dx = f 0 ϕ ,
0 −∞
−∞
tj. distribuce T 0 je rovněž regulární a odpovídá funkci f 0 .
okrajový člen v per-partes vypadne; ϕ má omezený
support
distribuce mají na rozdíl od funkcí vždy všechny derivace
=⇒ využití v teorii (parciálních) diferenciálních rovnic
Signál
Aliasing
Temperované distribuce, Fourierova transformace
lineární funkcionály na Schwartzově prostoru S
zjevně D ⊂ S, temperovaná distribuce funguje ∀ϕ ∈ D,
tj. je distribucí =⇒ S0 ⊂ D0 .
Fourierova transformace temperované distribuce
D
E
E D F [T ] ϕ = T F [ϕ] .
(1)
je-li distribuce T regulární a definovaná funkcí f =⇒
distribuce F [T ] je rovněž regulární a je def. funkcí F [f ]
Fourierovou transformací δ-distribuce je identita, tj. regulární
distribuce definovaná fcí f (x) = 1.
+∞
D
+∞
Z
Z
E
E D F [δ] ϕ = δ F [ϕ] = F [ϕ] (0) =
ϕ (x) e−2πi·0·x dx =
ϕ (x) dx = h 1| ϕi .
−∞
−∞
Signál
Aliasing
Diracův hřeben a jeho Fourierův obraz
Diracův hřeben s: δ-distribuce „vedle sebe“ s krokem h
s=
+∞
X
τnh δ,
n=−∞
Fourierova transformace
D
+∞ D
+∞ D +∞
X
X
X
E
E
E
E D F [s] ϕ = s F [ϕ] =
τnh δ F [ϕ] =
δ τ−nh F [ϕ] =
F [ϕ] (−nh) .
n=−∞
n=−∞
n=−∞
Poissonův sumační vzorec (lze změnit n ↔ −n a zase zpět)
+
+∞
+∞
+∞
*1 X
1 X n 1 X F [ϕ] (−nh) =
ϕ − =
δ τ− nh ϕ =
τ hn δ ϕ
h
h
h
h
n=−∞
n=−∞
n=−∞
n=−∞
+∞
X
výsledek
 +∞

+∞
 X
 1 X
F [s] = F 
τnh δ =
τn δ
h n=−∞ h
n=−∞
Signál
Aliasing
Konvoluce temperované distribuce s funkcí
definice pro všechna ϕ ∈ S
D
E
E D T ∗ g ϕ = T ϕ ∗ g̃
kde g̃ (x) = g (−x)
je-li T regulární a definovaná fcí f , pak
D
E D
E
T ∗ g ϕ = f ∗ g ϕ
konvoluční teorém pro distribuce
F [T ∗ g] = F [T ] · F [g]
F [Tg] = F [T ] ∗ F [g]
Důkaz.
(druhý případ)
E D E D
E
D
E D F [Tg] ϕ = Tg F [ϕ] = T gF [ϕ] = F [T ] F −1 [gF [ϕ]]
D
E D
E
[g] ∗ ϕ = F [T ] ∗ F [g] ϕ .
= F [T ] F −1 [g] ∗ ϕ = F [T ] F]
Signál
Obsah
1
Signál
2
3
4
5
Aliasing
Aliasing
Signál
Aliasing
Model diskrétního signálu
signál f - jednorozměrná data - funkce f : R → R
vzorkování signálu f H - zúžení f na spočetnou množinu
h
diskrétních hodnot Hh = { nh| n ∈ Z}; označme fn := f (hn).
ekvivalentní formulace: distribuce
fd = f · s kde s =
+∞
X
τnh δ je Diracův hřeben
n=−∞
skutečně, pro ∀ϕ ∈ S platí
+ *
+
+∞
+∞
+∞ D
X
X
X
D E *
E
fd ϕ = f ·
τnh δ ϕ =
τnh δ f ϕ =
τnh δ f ϕ
n=−∞
n=−∞
n=−∞
=
+∞ D +∞
+∞
+∞
X
X
X
X
E
(τ−nh (f ϕ)) (0) =
(f ϕ) (nh) =
δ τ−nh (f ϕ) =
fn ϕ (nh) ,
n=−∞
n=−∞
n=−∞
n=−∞
D E
=⇒ fd určena jen pomocí fn a naopak fn = fd ϕn kde
ϕn (x) = 1 jen pro x = nh, jinak ϕn (x) = 0
Signál
Aliasing
Rekonstrukce signálu, interpolace
nalezení fr : R → R def. jen pomocí fn , resp. diskrétního signálu fd
konvoluce s lib. g
D
+ *

+
*
+∞
+∞
+∞
X
X
X
E



fn (ϕ ∗ g̃) (nh)
τnh δ ϕ ∗ g̃ =
τnh δ ∗ g ϕ = f ·
fd ∗ g ϕ = f ·
n=−∞
n=−∞
n=−∞
=
+∞
X
fn
n=−∞
+
+∞
+∞ +∞
* X
Z
Z
+∞
X
fn g (t − nh) ϕ (t) dt =
fn τnh g ϕ .
ϕ (t) g (t − nh) dt =
n=−∞
n=−∞
−∞
−∞
fd ∗ g je tedy regulární a je definována funkcí
fr =
+∞
X
fn τnh g, tj. fr (x) =
n=−∞
+∞
X
fn g (x − nh) .
n=−∞
lineární interpolace vzorků



1 −
g (x) = 

0
|x|
h
pro |x| ≤ h,
pro |x| > h
Signál
Aliasing
Spektrum diskrétního signálu 1/2
Fourierův obraz diskrétního signálu fd je podle konvolučního
teorému
Fd := F [fd ] = F [f · s] = F [f ] ∗ F [s]
už víme (Fourierův obraz Diracova hřebenu)
F [s] =
+∞
1 X
τn δ
h n=−∞ h
po dosazení (označme F = F [f ])

 +∞
+∞
 1 X
 1 X
τ nh δ =
τn F
Fd = F ∗ 
h n=−∞
h n=−∞ h
protože τ nh δ ∗ F = τ nh F
+∞
n Z
n
τ n δ ∗ F ϕ = τ n δ ϕ ∗ F̃ = δ τ− n ϕ ∗ F̃ = ϕ ∗ F̃
=
ϕ (t) F t −
dt = τ n F ϕ
h
h
h
h
h
h
−∞
Signál
Aliasing
1
h
je vzorkovací frekvence
(počet vzorků na jednotku délky osy x)
spektrum diskrétního signálu = okopírované původní
spektrum s krokem h1 . Abychom mohli původní signál
rekonstruovat, nesmí „okopírováním“ dojít k překrytí
spekter.
| Fd ( u ) |
u
W
1
h
Signál
Aliasing
1
h
je vzorkovací frekvence
(počet vzorků na jednotku délky osy x)
spektrum diskrétního signálu = okopírované původní
spektrum s krokem h1 . Abychom mohli původní signál
rekonstruovat, nesmí „okopírováním“ dojít k překrytí
spekter.
| Fd ( u ) |
u
W
1
h
Signál
Aliasing
Aby bylo možné zrekonstruovat původní signál, musí být
vzorkovací frekvence alespoň dvakrát větší než nejvyšší
frekvence v signálu.
1
≥ 2W ... tzv. Nyquistova mez
h
| Fd ( u ) |
u
W
1
h
Signál
Nedostatečné vzorkování
Aliasing
Signál
Nedostatečné vzorkování
Moiré efekt (viz dále)
Aliasing
Signál
Obsah
1
Signál
2
3
4
5
Aliasing
Aliasing
Signál
Aliasing
Dokonalá rekonstrukce signálu 1/2
při dostatečné vzorkovací frekvenci lze izolovat spektrum F
ze spektra Fd
Fd vynásobíme obdélníkovým pulsem. Platí

1


h pro u < 2h ,
F = G · Fd
kde
G (u) = 

0 jinak.
konvoluční teorém:
f = F −1 (G · Fd ) = F −1 [G] ∗ fd .
tj. původní signál dostaneme konvolucí fd s g = F −1 [G]:
1
"
#1
Z+∞
Z2h
h 2πiux 2h
2πiux
2πiux
g (x) =
G (u) e
du = h
e
du =
e
2πix
−1
−∞
1
− 2h
=
h sinh
πx
i
kde sinc x =
sin x
x .
πx
h i
=
πx πx h
sin
= sinc
,
πx
h
h
2h
Signál
Dokonalá rekonstrukce signálu 2/2
sinc x =
sin (πx)
.
πx
Víme, že konvoluce je vlastně interpolace.
Funkce sinc se proto nazývá ideální interpolant.
Aliasing
Signál
Příklady rekonstrukce signálu
Aliasing
Signál
Příklady rekonstrukce signálu
Aliasing
Signál
Filtrace obrazu
odstranění vysokých frekvencí - tzv. „low pass filter“
násobení funkcí s omezeným supportem ve frekvenční
oblasti
násobení obdélníkovým pulsem (resp. válcovým ve 2D)
=⇒ konvoluce se sinc v prostorové oblasti
sinc nemá omezený support =⇒ informace z každého
místa obrazu se projeví v celém obraze ... „artefakty“
hladké filtry: např. Gaussova křivka - její Fourierův
obraz/vzor je opět Gaussova křivka
Aliasing
Signál
Krátkozrakost jako low pass filter :-)
Aliasing
Signál
Obsah
1
Signál
2
3
4
5
Aliasing
Aliasing
Signál
Aliasing a antialiasing
Aliasing = libovolný efekt způsobený nedostatečnou
vzorkovací frekvencí signálu/obrazu
Moiré = umělý výskyt nízkých frekvencí v obraze vzniklý
interferencí dvou pravidelných vzorků s blízkými
frekvencemi - případ aliasingu
Antialiasing = opatření vedoucí k potlačení aliasingu
předfiltrování signálu (konvoluce s vhodným filtrem, tj.
vhodná interpolace)
stochastické vzorkování, roztřesené vzorkování (jittered
sampling)
Nespojitý obraz (interpolace nejbližším sousedem) má
neomezené spektrum. Pomůže i lineární interpolace.
Aliasing
Signál
Příklady aliasingu
Aliasing
Signál
Aliasing
Signál
Moiré efekt
Aliasing
Signál
Aliasing
Signál
Úprava spektra obrazu I
Aliasing
Signál
Aliasing
Signál
Aliasing
Signál
Aliasing
Signál
Úprava spektra obrazu II
Aliasing
Signál
Aliasing
Signál
Aliasing
Signál
Aliasing
Signál
Antialiasing v praxi
nadvzorkování (supersampling) v paměti grafického
akcelerátoru
mip-mapping textur
adaptivní vzorkování
stochastické vzorkování - vzorkování na náhodně
generované síti =⇒ aliasing ve formě šumu
u metod fotorealistického zobrazování: Monte-Carlo,
stochastický raytracing
Aliasing
Signál
Literatura
J. Flusser. Zpracování a rozpoznávání obrazu II.
Přednášky, FJFI ČVUT v Praze.
L. Schwartz. Mathematics for the Physical Sciences,
Addison-Wesley (French original: Méthodes
mathématiques pour les sciences physiques, Hermann,
Paris, 1966).
R. Strichartz. A Guide to Distribution Theory and Fourier
Transforms. CRC Press, 1994.
F. G. Friedlander, M. Joshi. Introduction to the Theory of
Distributions, Cambridge University Press, 1998.
R. N. Bracewell. The Fourier Transform and its
Applications. McGraw Hill, 2000.
Aliasing

Teorie signálu pro pocítacovou grafiku

Transkript

Podobné dokumenty

Osnova

Odhad nadmorské výšky z obrazu

M etriky softw arove kvality S polehlivost v testovanı softw aru O

příklady

Sociologický časopis/Czech Sociological Review

Raytracing - Pavel Strachota

Digitální 16/8 kanálový MPEG-4 videorekordér s

příspěvek

Modelovani systemu a procesu

Studijní text - Personalizace výuky prostřednictvím e