Grupy a okruhy

Transkript

Grupy a okruhy

Zpět
Začátek
Algebra II
pro distanční studium
Str. zpět
Jdi na
Str. vpřed
Konec
Vpřed
Obsah
Rejstřík
Hledej
Okno
Zavřít
(1)
Obsah
Zpět
Předmluva . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Začátek
Str. zpět
I.
Struktury s jednou binární operací
1. Základní vlastnosti grup . . .
2. Podgrupy . . . . . . . .
3. Grupy permutací . . . . . .
4. Homomorfismy grup
. . .
5. Vnoření pologrupy do grupy .
6. Cyklické grupy . . . . . .
7. Grupy řádu n < 8 . . . . . .
8. Rozklad podle podgrupy . .
9. Normální podgrupy . . . . .
10. Kongruence . . . . . . .
11. Faktorové grupy . . . . . .
12. Direktní součiny grup . . .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
.
. .
.
. .
.
. .
.
. .
.
. .
.
. .
5
5
22
28
40
48
55
63
69
78
84
88
98
Jdi na
Str. vpřed
Konec
Vpřed
Obsah
Rejstřík
Hledej
Okno
Zavřít
II.
Struktury se dvěma binárními operacemi
1. Od okruhu k tělesu . . . . . . .
2. Okruh polynomů . . . . . . .
3. Homomorfismy a ideály . . . . .
4. Faktorové okruhy . . . . . . .
5. Prvoideály a maximální ideály . .
6. Dělitelnost v oboru integrity . .
7. Gaussovy okruhy . . . . . . . .
8. Okruhy hlavních ideálů . . . .
9. Vnoření okruhů do těles. . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. 107
107
. 121
126
. 137
144
. 152
158
. 162
168
(2)
Zpět
Začátek
Str. zpět
Jdi na
Literatura
Rejstřík
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
Str. vpřed
Konec
Vpřed
Obsah
Rejstřík
Hledej
Okno
Zavřít
(3)
Předmluva
Zpět
Toto skriptum je určeno studentům matematických oborů na PřF OU,
jako doplňkový text ke kurzu Algebra 2, respektive ke kurzu Algebraické
struktury.
Skriptum shrnuje základní poznatky z teorie algebraických struktur
s jednou nebo se dvěma binárními operacemi.
Ke čtení tohoto skripta je zapotřebí povrchní znalost lineární algebry.
V části věnované algebraickým strukturám s jednou operací jsou
představeny grupy včetně speciálních tříd – grup permutací a cyklických
grup. V této části se studují homomorfismy grup a jejich souvislost s faktorovou grupou. V jedné z kapitol je uveden výčet grup až do řádu 15.
Poslední kapitola řeší otázku, kdy je grupa direktním součinem svých
podgrup.
Třetí část popisuje okruhy, tělesa a obory integrity. Podobně jako
v kapitole o grupách je zde ukázána provázanost homomorfismů a faktorových okruhů. Dále je zde také popsána dělitelnost v oborech integrity
Začátek
Str. zpět
Jdi na
Str. vpřed
Konec
Vpřed
Obsah
Rejstřík
Hledej
Okno
Zavřít
(4)
následovně speciální třídy okruhů – Gaussovy okruhy, Eulerovy okruhy
a okruhy hlavních ideálů. Závěr je věnován vnoření oboru integrity do
tělesa.
Tato verze má datum 28. listopad 2006.
Zpět
Začátek
Str. zpět
Jdi na
Str. vpřed
Konec
Vpřed
Obsah
Rejstřík
Hledej
Okno
Zavřít
I.1
I.
(5)
Struktury s jednou binární operací
Zpět
Začátek
1.
Základní vlastnosti grup
Str. zpět
Jdi na
Binární operací na množině G je libovolné zobrazení G × G → G. Každé
uspořádané dvojici prvků z G (operandům) přiřazuje jeden prvek (výsledek) z téže množiny. Obvykle používáme pro binární operaci, která
dvojici (a, b) přiřadí prvek c, multiplikativní zápis a · b = c, nebo zápis
aditivní a + b = c, setkáme se ale také s jiným označením např. , ◦, ∗
∗ atp.
1.1. Definice. Mějme dánu neprázdnou množinu G a binární operaci ·
na G, dvojici (G, ·) nazýváme grupoidem.
Str. vpřed
Konec
Vpřed
Obsah
Rejstřík
Hledej
Máme-li dán grupoid (G, ·) tak, že je z kontextu zřejmé jakou operaci máme na mysli, pak píšeme obvykle pouze G.
Okno
Zavřít
Operace v grupoidu (G, ·) může splňovat vlastnost
I.1
(6)
a·b =b·a
potom říkáme, že operace je komutativní respektive, že grupoid je komutativní, někdy se také používá pojem grupoid abelovský1 .
Zpět
1.2. Příklad.
1. Množina přirozených čísel spolu s operací sčítání (N, +) je komutativní grupoid.
2. Množina přirozených čísel spolu s odčítáním není grupoid, protože
pro m, n ∈ N, m < n je rozdíl n − m záporný a tedy odčítání není
binární operací na množině N.
3. Množina lichých přirozených čísel spolu se sčítáním (2k + 1)N, +
,
grupoidem není, nebot součtem dvou lichých čísel je číslo sudé a
tedy sčítání není binární operací na množině (2k + 1)N.
4. Množina lichých přirozených čísel spolu s násobením (2k + 1)N, ·
je komutativním grupoidem.
5. Množina čtvercových matic stupně 2 spolu s operací násobení matic
tvoří nekomutativní grupoid.
Začátek
Str. zpět
Jdi na
Str. vpřed
Konec
Vpřed
Obsah
Rejstřík
Hledej
Okno
1
Abel, Niels Henrik, 1802–1829, norský matematik.
Zavřít
V multiplikativních grupoidech budeme často v součinech vynechávat znaménko operace, tedy místo a · b budeme psát jen ab.
I.1
(7)
1.3. Definice. Operace v grupoidu (G, ·) je asociativní, pokud pro všechna
a, b, c ∈ G platí
(a · b) · c = a · (b · c) .
Grupoid (G, ·), ve kterém je operace · asociativní, nazýváme pologrupou.
Jestliže pro tři prvky platí asociativní zákon říkáme tím, že součin těchto prvků, v daném pořadí, je určen jednoznačně. Indukcí lze
asociativní zákon rozšířit na libovolnou n-tici prvků pologrupy G, tedy
v pologrupě je součin libovolné uspořádané n-tice prvků určen jednoznačně. V dalším textu tedy můžeme v pologrupách vynechávat všechny
závorky.
1.4. Příklad.
1. Množina přirozených čísel spolu se sčítáním (N, +) je pologrupou.
2. Množina čtvercových matic stupně 2 spolu s operací násobení je
pologrupou.
Zpět
Začátek
Str. zpět
Jdi na
Str. vpřed
Konec
Vpřed
Obsah
Rejstřík
3. Vektorový prostor R3 spolu se sčítáním vektorů je pologrupou.
4. Vektorový prostor R3 spolu s operací vektorového násobení × není
pologrupa. Vektor
(u × v) × w = (u · w)v − (v · w)u ,
Hledej
Okno
Zavřít
je lineární kombinace2 vektorů v a u a obecně není shodný s vektorem
I.1
(8)
u × (v × w) = −(v × w) × u = −(v · u)w + (w · u)v ,
lineární kombinací vektorů w a v.
Neutrálním prvkem v grupoidu (G, ·) nazýváme prvek e ∈ G, který
pro všechny a ∈ G splňuje vlastnost
ea = ae = a .
Neutrální prvek e je v grupoidu G jediný. Jestliže je také e0 další
neutrální prvek grupoidu G, pak e0 = ee0 = e.
Jestliže nemůže dojít k záměně s čísly 1 a 0, lze namísto obvyklého
označení písmenem e v případě multiplikativního grupoidu značit neutrální prvek znakem 1 a v případě aditivního grupoidu znakem 0.
1.5. Definice. Pokud v pologrupě (G, ·) existuje neutrální prvek e říkáme
trojici (G, ·, e) monoid.
1.6. Příklad.
1. Množina přirozených čísel s operací násobení je monoidem s neutrálním prvkem e = 1.
2
Operace · tady představuje skalární součin vektorů.
Zpět
Začátek
Str. zpět
Jdi na
Str. vpřed
Konec
Vpřed
Obsah
Rejstřík
Hledej
Okno
Zavřít
2. Množina čtvercových matic stupně 2 s operací násobení matic je
monoidem s neutrálním prvkem
E=
1
0
0
1
I.1
(9)
.
3. Vektorový prostor R3 spolu se sčítáním vektorů je monoid s neutrálním prvkem o = (0, 0, 0).
Zpět
Začátek
Str. zpět
Mějme monoid (G, ·) s neutrálním prvkem e. Jestliže k prvku a ∈ G
existuje prvek a−1 ∈ G s vlastností
a · a−1 = a−1 · a = e ,
Jdi na
Str. vpřed
Konec
Vpřed
říkáme prvku a−1 inverzní prvek k prvku a.
V monoidu (G, ·) je inverzní prvek k prvku a ∈ G, pokud existuje, určený jednoznačně. V případě, že existují k jednomu prvku a ∈ G
−1
−1
−1
dva různé inverzní prvky, a−1
1 ∈ G a a2 ∈ G, potom a1 = a1 e =
−1
−1
−1
= a−1
1 aa2 = ea2 = a2 .
1.7. Definice. Jestliže v pologrupě (G, ·) existuje neutrální prvek e
a·e =e·a=a
Obsah
Rejstřík
Hledej
Okno
Zavřít
a pro každý prvek a ∈ G existuje inverzní prvek a−1
I.1
(10)
a · a−1 = a−1 · a = e
nazýváme tuto pologrupu grupou.
1.8. Příklad.
1. Množina celých čísel spolu s operací sčítání (Z, +) tvoří komutativní
grupu, kde neutrálním prvkem je e = 0 a inverzním prvkem k prvku
a ∈ Z je −a.
2. Vektorový prostor R3 spolu se sčítáním tvoří komutativní grupu.
3. Množina regulárních čtvercových matic stupně 2 spolu s operací
násobení tvoří nekomutativní grupu označovanou GL2 (R), kde neutrálním prvkem je
1 0
E=
.
0 1
Mějme regulární matici
Zpět
Začátek
Str. zpět
Jdi na
Str. vpřed
Konec
Vpřed
Obsah
A=
a
c
b
d
Rejstřík
,
její determinant ad − bc je nenulový, tedy existuje regulární matice
d
−b
−1
ad−bc
ad−bc
A =
,
−c
a
ad−bc
ad−bc
Hledej
Okno
Zavřít
inverzní prvek k matici A.
I.1
(11)
4. Množina všech čtvercových matic stupně 2 spolu s operací násobení
netvoří grupu, protože singulární matice nemají inverzní prvky.
Pokud v grupě G dále zkoumáme vlastnost inverze prvku a ∈ G,
dostáváme
a = ae = a a−1 (a−1 )−1 =
Zpět
= (aa−1 )(a−1 )−1 = e(a−1 )−1 =
Začátek
= (a−1 )−1 .
Str. zpět
Pro součin dvou prvků a, b grupy G platí ab(ab) = e, pokud tuto
rovnost pronásobíme zleva postupně inverzními prvky k a a b, obdržíme
Str. vpřed
(ab)−1 = b−1 a−1 .
Konec
Necht pro prvky a, b1 , b2 grupy G platí rovnost ab1 = ab2 . Obě
strany rovnice můžeme zleva vynásobit inverzním prvkem a−1 , tedy
a−1 (ab1 ) = a−1 (ab2 ) uplatníme-li asociativnost a vlastnost inverzí obdržíme eb1 = eb2 a tedy b1 = b2 . Obdobně z rovnosti b1 a = b2 a plyne
,
rovnost b1 = b2 . Existence inverzních prvků v (G, ·), tedy zajišt uje, že
Vpřed
−1
,
ab1 = ab2
implikuje
b1 = b2 .
Říkáme, že v grupě lze krátit zleva, podobně bychom zavedli pojem krácení zprava.
Jdi na
Obsah
Rejstřík
Hledej
Okno
Zavřít
Prvku ep grupoidu (G, ·) s vlastností aep = a, pro všechna a ∈
∈ G, říkáme pravý neutrální prvek. Obdobně prvku el grupoidu (G, ·)
s vlastností el a = a říkáme levý neutrální prvek.
Mějme v grupoidu pravý neutrální prvek ep . Prvku a−1
p s vlastností
−1
aap = ep říkáme pravý inverzní prvek k prvku a. Obdobně prvku a−1
l
s vlastností a−1
l a = ep říkáme levý inverzní prvek prvku a.
Obdobně také s levým neutrálním prvkem.
I.1
1.9. Věta. Jestliže v pologrupě (G, ·) existuje pravý neutrální prvek ep a
pro každý prvek a ∈ G existuje alespoň jeden pravý inverzní prvek a−1
p ,
pak je (G, ·) grupou.
Začátek
= ep ep = ep = aa−1
p .
inverzních prvků k a−1
dop
ep aa−1
p
Důkaz. V grupě G pro každé a ∈ G platí
Pronásobíme-li obě strany rovnosti jedním z
staneme ep aep = aep tedy ep a = a a prvek ep je neutrálním prvkem
pologrupy G. Dále jej tedy značme bez indexu, pouze e.
Mějme prvek a ∈ G a jeden jeho pravý inverzní prvek a−1
p . Platí
−1
−1
−1
ap = a−1
e
=
a
aa
.
Pokud
pronásobíme
obě
strany
této
rovnosti
p
p
p
−1
jedním z inverzních prvků k a−1
,
dostaneme
rovnost
e
=
a
ae
= a−1
p
p
p a
−1
a prvek ap je inverzním prvkem k prvku a. Pologrupa G splňuje tedy
obě vlastnosti grupy.
Předchozí větu můžeme vyslovit také pro levé neutrální a levé inverzní prvky. Věta 1.9 nám usnadňuje rozhodování, zda struktura je
(12)
Zpět
Str. zpět
Jdi na
Str. vpřed
Konec
Vpřed
Obsah
Rejstřík
Hledej
Okno
Zavřít
grupou. Nyní stačí ověřit jedinou z rovností ae = a a ea = a pro potenciální neutrální prvek e a všechna a ∈ G. Podobně stačí pro všechna
a ∈ G ověřit jedinou z rovností aa−1 = e, a−1 a = e pro potenciální
inverzní prvky.
1.10. Definice. Řádem grupy G nazýváme mohutnost množiny G. Pokud
je G konečná množina říkáme, že grupa G je konečného řádu. Pokud
je G nekonečná množina, říkáme že grupa G má nekonečný řád. Řád
grupy značíme #.
I.1
(13)
Zpět
Začátek
Str. zpět
1.11. Definice. Řádem prvku a v grupě (G, ·) rozumíme nejmenší přirozené číslo n pro které platí
Jdi na
Str. vpřed
a
| · a{z· · · a} = a = e .
n
n-krát
Jestliže žádná nenulová mocnina daného prvku a není rovna jednotkovému prvku e říkáme, že prvek je nekonečného řádu.
Konec
Vpřed
Obsah
Rejstřík
1.12. Příklad. Symetrií pravidelného n-úhelníku nazvěme takovou permutaci jeho vrcholů, která zachovává vzdálenosti (tedy shodné zobrazení, které permutuje vrcholy daného n-úhelníku).
Mějme pevně daný čtverec A, B, C, D. Pokud vezmeme v úvahu, že
středová souměrnost se středem S a rotace o 180◦ kolem téhož středu
Hledej
Okno
Zavřít
I.1
B
o1
r1
A
r2
S
Zpět
r3
Začátek
C
o2
Str. zpět
D
o3
o4
Obrázek 1. Symetrie čtverce.
jsou stejné zobrazení, reprodukuje daný čtverec osm shodných zobrazení, identita, čtyři osové souměrnosti a tři rotace, viz obrázek 1.
Tabulka 1 popisuje skládání těchto zobrazení. Takové tabulce, definující grupovou operaci v konečné grupě, říkáme Cayleyova3 tabulka.
Symetrie čtverce spolu se skládáním zobrazení tvoří grupu s identitou jako neutrálním prvkem. Inverzní prvky lze vyčíst v tabulce, osové
souměrnosti a rotace o 180◦ jsou inverzní samy k sobě, r1 je inverzní
k r2 . Značme tuto grupu ∆4 .
3
(14)
Cayley, Arthur, 1921–1895, anglický matematik (a advokát).
Jdi na
Str. vpřed
Konec
Vpřed
Obsah
Rejstřík
Hledej
Okno
Zavřít
id
id id
o1 o1
o2 o2
o3 o3
o4 o4
r1 r1
r2 r2
r3 r2
o1
o1
id
r3
r2
r1
o4
o3
o2
o2
o2
r1
id
r3
r2
o1
o4
o3
o3
o3
r2
r1
id
r3
o2
o1
o4
o4
o4
r3
r2
r1
id
o3
o2
o1
r1
r1
o2
o3
o4
o1
r2
r3
id
r2
r2
o3
o4
o1
o2
r3
id
r1
r3
r3
o4
o1
o2
o3
id
r1
r2
Tabulka 1. Skládání v grupě symetrií čtverce.
Grupa ∆4 je řádu 8. Rotace r1 , r3 jsou prvky řádu 4. Rotace r2 a
osové souměrnosti jsou prvky řádu 2.
Pro n-prvkovou množinu je možno sestrojit n3 různých operací a
tedy n3 různých Cayleyových tabulek, většina z nich ale nepopisuje grupy. Jeden ze způsobů jak poznat grupu podle tabulky se opírá o následující úvahu. Mějme pevný prvek a konečného grupoidu s krácením G
a uvažujme zobrazení fa : G → G, x 7→ ax. Protože v G lze krátit, tedy
ax = ay implikuje x = y je výše zmíněné zobrazení injektivní. Injekce
konečné množiny do sebe je jistě bijekcí. Tedy každý řádek Cayleyovy
tabulky grupoidu s krácením (podobně i každý sloupec) je permutací
množiny G. Je zřejmé, že komutativní grupoid bude mít shodné sloupce
I.1
(15)
Zpět
Začátek
Str. zpět
Jdi na
Str. vpřed
Konec
Vpřed
Obsah
Rejstřík
Hledej
Okno
Zavřít
a řádky pro shodné prvky tedy, že tabulka bude symetrická podle diagonály aa, a ∈ G. Z Cayleyovy tabulky je ovšem obtížné rozpoznat
asociativitu.
1.13. Věta. Pologrupa (G, ·) je grupou právě, když pro a, b ∈ G mají
rovnice
a · x = b, y · a = b
jednoznačně určené řešení x, y ∈ G.
Důkaz. Jestliže je pologrupa (G, ·) grupou, potom pro každé a ∈ G existuje inverzní prvek, tedy x = a−1 b a y = ba−1 jsou prvky, které jsou
řešením rovnic a · x = b, y · a = b Uvedené rovnice nemají žádné další
řešení x1 , y1 , protože rovnosti ax = ax1 , yb = y1 b lze v grupě krátit.
Rovnice ax = a má v G jediné řešení pro každé a, označme toto
,
řešení ea . Mějme prvky a, b ∈ G, b 6= a a y at je řešení rovnice ya = b.
Potom bea = (ya)ea = y(aea ) = ya = b. Protože rovnice bx = b má
také jediné řešení eb , platí ea = eb . Tedy v G existuje prvek e s vlastností
ae = a pro všechny a ∈ G, pravý neutrální prvek.
Rovnice ax = e je jednoznačně řešitelná a její řešení je pravý inverzní prvek prvku a. Podle věty 1.9 je pologrupa (G, ·) grupou.
I.1
(16)
Zpět
Začátek
Str. zpět
Jdi na
Str. vpřed
Konec
Vpřed
Obsah
Rejstřík
Hledej
1.14. Poznámka. Podle předchozí věty je lhostejné zda jako definici grupy
přijmeme definici 1.7 nebo zda grupu definujeme jako pologrupu ve
které mají rovnice ax = b, ya = b jednoznačně určené řešení.
Okno
Zavřít
1.15. Příklad. Rozhodněte zda množina přirozených čísel N spolu s operací největší společný dělitel (N, gcd) tvoří grupu.
Rovnice gcd(12, x) = 4 má dvě různé řešení x1 = 8 a x2 = 4, a
podle věty 1.13 proto (N, gcd) není grupa.
1.16. Věta. Pologrupa konečného řádu s krácením je grupou.
Důkaz. Mějme pologrupu konečného řádu s krácením (G, ·). Při úvahách
o Cayleyho tabulkách, na str. 15 jsme dokázali, že krácení v konečném
grupoidu je postačující podmínkou toho, že pro libovolné pevné a ∈ G
je zobrazení fa : G → G, x 7→ ax je bijektivní, tedy každá rovnice ax = b
má jediné řešení. Podobně zobrazení ga : G → G, x 7→ xa je bijekce a
rovnice xa = b je rovněž jednoznačně řešitelná. Podle věty 1.13 je tedy
G grupou.
I.1
(17)
Zpět
Začátek
Str. zpět
Jdi na
Str. vpřed
Konec
Vpřed
Cvičení k oddílu 1
1. Rozhodněte, který z následujících grupoidů je pologrupou, respektive monoidem respektive grupou (N, +), (Z, +), (Q, +), (R, +),
(C, +), (N, ·), (Z \ {0}, ·), (Q \ {0}, ·), (Q+ , ·), (R \ {0}, ·), (R+
+, ·), (C \ {0}, ·).
Obsah
Rejstřík
Hledej
2. Dokažte, že (Zn , +) je grupa pro každé n ∈ N.
Okno
3. Je (Zn , ·) grupou ? Pro jaká n ∈ N je (Zn \ {0̄}, ·) grupou ?
Zavřít
4. Dokažte, že množina Q \ {−1} spolu s operací ∗ definovanou a ∗
∗ b = a + b + ab, a, b ∈ Q, tvoří komutativní grupu.
I.1
(18)
5. Dokažte, že množina Q \ {1} spolu s operací ∗ definovanou a ∗ b =
= a + b − ab, a, b ∈ Q, tvoří komutativní grupu.
6. Dokažte, že množina p-adických čísel Qp = {m/pn ; m, n ∈ Z}
tvoří multiplikativní grupu.
7. Dokažte, že GLn (T ), množina čtvercových regulárních matic stupně
n nad tělesem T , spolu s násobením matic tvoří nekomutativní grupu.
8. Dokažte, že množina shodných zobrazení v rovině tvoří nekomutativní grupu.
9. Mějme A ∈ GLn (T ) a B ∈ T n . Definujme afinní zobrazení jako
zobrazení fA,C : T n → T n
Zpět
Začátek
Str. zpět
Jdi na
Str. vpřed
Konec
Vpřed
fA,C (X) = AX + B .
Dokažte, že množina afinních zobrazení afinního prostoru T n tvoří
grupu vzhledem ke skládání zobrazení.
Rejstřík
10. Dokažte, že potenční množina množiny M spolu s operací průnik,
respektive sjednocení, tvoří komutativní monoid, ale ne grupu.
Hledej
11. Rozhodněte zda potenční množina množiny M spolu s operací ∗
Okno
A ∗ B = (A ∪ B) \ (A ∩ B) ,
A, B ⊆ M ,
Obsah
Zavřít
tvoří grupu.
I.1
(19)
12. Dokažte, že ∆n , množina symetrií pravidelného n-úhelníku, spolu se
skládání zobrazení tvoří nekomutativní grupu, řádu 2n.
13. Dokažte, že každý prvek grupy ∆n lze zapsat jednoznačně jako
on · r m , kde o je symetrie podle jedné pevné osy, n = 0, 1, r je
rotace převádějící každý bod na nejbližšího souseda vlevo, m =
= 0, 1, 2, . . . , n − 1.
14. Mějme grupy G a G0 . Na množině G × G0 definujme operaci ◦ předpisem (a, a0 ) ◦ (b, b0 ) = (ab, a0 b0 ), a, b ∈ G a a0 , b0 ∈ G0 . Dokažte, že
(G × G0 , ◦) tvoří grupu. Tuto grupu nazýváme direktní součin grup
G a G0 .
15. Určete tabulku čtyřprvkové grupy {e, a, b, ab}, kde a2 = e. Tato
grupa se nazývá Kleinova4 4-grupa.
Zpět
Začátek
Str. zpět
Jdi na
Str. vpřed
Konec
Vpřed
16. Proč tabulka 2 neurčuje grupu ?
17. Mějme množinu komplexních čísel a definujme operaci ◦ na C takto
Obsah
Rejstřík
a ◦ b = a2 + b,
Hledej
Okno
4
Klein, Felix, 1849–1925, německý matematik. Roku 1872 ukázal význam teorie
grup v geometrii, v přednášce dnes zvané Erlangenský program.
Zavřít
e
a
b
c
d
e
e
a
b
c
d
a
a
e
d
b
c
b
b
c
e
d
a
c
c
d
a
e
b
d
d
b
c
a
e
Tabulka 2. Pětiprvková kvazigrupa.
I.1
(20)
Zpět
Začátek
kde a, b ∈ C a číslo a2 + b vzniklo běžným umocňováním a sčítáním komplexních čísel. Dokažte, že ◦ je na C nekomutativní a
neasociativní. Jsou v C rovnice
a◦x = b,
y ◦a = b?
jednoznačně řešitelné ? Hledejte (jednostranné) neutrální a inverzní
prvky.
18. Mějme množinu R3 , operaci ◦ definujme takto
u ◦ v = (u + v)/2
pro všechny u, w ∈ R3 . Dokažte, že operace ◦ je na R3 komutativní,
neasociativní s jednoznačně určeným řešením rovnic
u◦x = v,
y ◦u = v.
Str. zpět
Jdi na
Str. vpřed
Konec
Vpřed
Obsah
Rejstřík
Hledej
Okno
Zavřít
Existují zde neutrální a inverzní prvky ?
I.2
(21)
19. Mějme množinu symetrií trojúhelníka ∆3 . Vyberme jednu pevnou
neidentickou symetrii u ∈ ∆3 . Definujme operaci ◦
a◦b =a·u·b·u
kde a, b ∈ ∆3 a násobení · je běžné skládání symetrií. Ukažte, že
množina symetrií trojúhelníka s operací ◦ je nekomutativní, neasociativní. Jsou rovnice
a◦x = b,
y ◦a = b,
Zpět
Začátek
Str. zpět
Jdi na
Str. vpřed
jednoznačně řešitelné ? Hledejte (jednostranné) neutrální a inverzní
prvky.
20. Dokažte, že v grupě řádu 2n prvky existují nejméně dva prvky, řádu
2, tedy aa = e.
Konec
Vpřed
Obsah
21. Dokažte, že pokud v grupě G platí aa = e pro každé a ∈ G, potom
je G komutativní.
Rejstřík
22. Kolik je dvouprvkových grupoidů, kolik z toho je pologrup, monoidů, grup. Které z těchto struktur jsou komutativní.
Hledej
Okno
Zavřít
2.
I.2
Podgrupy
(22)
2.1. Definice. Grupa (H, ∗) je podgrupou grupy (G, ·), když H ⊆ G a pro
všechna a, b ∈ H platí a ∗ b = a · b. Operace ∗ se pak nazývá zúžením
operace · na množinu H.
Zpět
Obvykle budeme značit operaci v grupě a všech jejích podgrupách
stejným symbolem.
Začátek
Str. zpět
Je zřejmé, že (G, ·) a (e, ·) jsou podgrupami (G, ·). Těmto podgrupám se říká triviální podgrupy. Všechny podgrupy grupy G různé od
těchto dvou nazýváme netriviální podgrupy.
2.2. Příklad.
1. Množina rotací (identita je rotace o 360◦ ) je podgrupou grupy symetrií čtverce. Viz příklad 1.12.
Jdi na
Str. vpřed
Konec
Vpřed
2. Celá čísla tvoří aditivní podgrupu grupy (Q, +).
Obsah
3. Permutace
Rejstřík
id =
π2 =
1
2
2
1
3
3
4
4
1
1
2
2
3
4
4
3
,
,
π1 =
π3 =
1
2
2
1
3
3
4
4
1
2
2
1
3
4
4
3
,
Hledej
Okno
Zavřít
spolu se skládáním permutací tvoří komutativní podgrupu nekomutativní grupy S4 .
I.2
(23)
2.3. Věta. Mějme grupu (G, ·), Podmnožina H ⊆ G tvoří podgrupu grupy
G právě, když zároveň platí
1. e ∈ H,
2. pro každé a ∈ H je a−1 ∈ H,
3. pro všechny a, b ∈ H platí ab ∈ H.
Důkaz. Je zřejmé, že struktura splňující podmínky naší věty je podgrupou grupy G.
Pokud je struktura (H, ∗) podgrupou grupy G, pak v H existuje
jednotkový prvek e0 tak, že a ∗ e0 = e0 ∗ a = a, protože platí a = a ∗ e0 =
= a · e0 musí být prvek e0 jednotkovým prvkem grupy G a e = e0 ∈ H.
Ostatní podmínky věty jsou splněny triviálně.
Přestože věta 2.3 říká vše podstatné o struktuře podgrupy následující kritérium zjednodušuje rozhodování o tom zda daná struktura je či
není podgrupou.
2.4. Věta. Mějme H ⊆ G, H 6= ∅. Dvojice (H, ·) je podgrupou grupy (G, ·)
právě, když pro všechny a, b ∈ H platí ab−1 ∈ H.
Důkaz. Je zřejmé, že každá podgrupa H grupy G výše uvedenou vlastnost splňuje.
Zpět
Začátek
Str. zpět
Jdi na
Str. vpřed
Konec
Vpřed
Obsah
Rejstřík
Hledej
Okno
Zavřít
,
Naopak, necht (H, ·) splňuje uvedenou vlastnost. Dokažme platnost
,
podmínek věty 2.3. Necht a ∈ H. Potom také e = aa−1 ∈ H. Dále
a−1 = ea−1 ∈ H. Pokud také b ∈ H, platí také b−1 ∈ H a součin ab =
= a(b−1 )−1 leží v H.
Mějme H, H 0 podgrupy grupy G. Pokud dva prvky a, b patří do obou
těchto podgrup současně, a, b ∈ H ∩ H 0 , potom také součin ab−1 patří
současně do H a H 0 , tedy H ∩ H 0 je podgrupou grupy G. Indukcí tuto
vlastnost můžeme rozšířit, mějme Hi , i = {1, 2, . . . , n} systém podgrup
grupy G. Potom
H=
n
\
Hi
i=1
I.2
(24)
Zpět
Začátek
Str. zpět
Jdi na
Str. vpřed
je podgrupa grupy G.
Konec
2.5. Definice. Mějme A ⊆ G, množinu prvků grupy G. Podgrupu hAi
grupy G s vlastností
Vpřed
1. A ⊆ hAi,
Obsah
2. pro všechny podgrupy H, s vlastností A ⊆ H platí hAi ⊆ H,
Rejstřík
nazveme podgrupou generovanou množinou A.
Hledej
Mějme A ⊆ G. Podgrupa hAi grupy G, je rovna průniku všech podgrup grupy G obsahujících množinu A. Dá se také vytvořit jako součin
všech možných kombinací prvků z A a jejich inverzí v G.
Okno
Zavřít
I.2
(25)
1. Ukažte, že pro n ∈ N je množina n-násobků celých čísel Zn =
= {na; a ∈ Z} je podgrupa grupy (Z, +).
2. Ukažte, že (R+ , ·) je podgrupou grupy (R \ {0}, ·).
3. Ukažte, že ({1, −1}, ·) je podgrupou grupy (R \ {0}, ·).
4. Určete podgrupu GL2 (C) generovanou maticemi
0 i
0 1
A=
,
B=
.
i 0
−1 0
5. Najděte všechny podgrupy grupy h{A, B}i, z předchozí úlohy.
6. Dokažte, že množina symetrií krychle takových, že ponechávají na
místě jeden vrchol je podgrupou množiny všech symetrií krychle.
Zpět
Začátek
Str. zpět
Jdi na
Str. vpřed
7. Dokažte, že množina permutací n-prvkové množiny M takových, že
ponechávají na místě všechny prvky množiny A ⊆ M je podgrupou
množiny všech permutací Sn .
Konec
8. Najděte nejmenší podgrupu multiplikativní grupy C, která obsahuje
komplexní jednotku i.
Obsah
Vpřed
Rejstřík
9. Mějme grupu (G, ·). Množinu
Z(G) = {x ∈ G; xa = ax, pro všechna a ∈ G}
nazveme centrum grupy G. Dokažte, že centrum Z(G) je komutativní podgrupa grupy G.
Hledej
Okno
Zavřít
10. Mějme grupu (G, ·) a prvek a ∈ G. Množinu
I.2
(26)
N(a) = {x ∈ G; xa = ax} = {x ∈ G; xax−1 = a}
nazveme normalizátor prvku a. Dokažte, že N(a) je podgrupa grupy
G.
11. Dokažte, že množina prvků konečného řádu tvoří podgrupu v každé
grupě G. Této podgrupě říkáme torzní podgrupa.
12. Mějme grupu (G, ·) dokažte, že množina {x ∈ G; x = x− } tvoří
podgrupu grupy G.
13. Dokažte, že množina skalárních matic
a 0
, kde a ∈ R ,
0 a
je centrum grupy GL2 (R).
14. Dokažte, že množina matic
a b
B=
;
0 c
Zpět
Začátek
Str. zpět
Jdi na
Str. vpřed
Konec
Vpřed
a, b, c ∈ R
je podgrupa GL2 (R). Dokažte, že B není obsažena v žádné netriviální podgrupě GL2 (R), různé od B.
15. Dokažte, že SL2 (R), množina matic jejichž determinant je roven 1,
je podgrupa GL2 (R).
Obsah
Rejstřík
Hledej
Okno
Zavřít
16. Dokažte, že centrum SL2 (R) je množina
1 0
−1
0
,
.
0 1
0 −1
a b
BS =
;
0 a−1
a, b ∈ R
je podgrupa SL2 (R). Dokažte, že BS není obsažena v žádné netriviální podgrupě SL2 (R), různé od BS .
18. Ukažte, že GL2 (R) je podgrupou grupy afinních zobrazení Rn →
→ Rn .
I.3
(27)
Zpět
Začátek
Str. zpět
Jdi na
Str. vpřed
19. Nalezněte podgrupu grupy (Z, +) generovanou dvěma prvky 4, 6.
Konec
20. Mějme grupu (G, ·). Komutátorem prvků a, b ∈ G nazýváme prvek
Vpřed
[a, b] = aba−1 b−1 .
Podgrupu generovanou všemi komutátory
Obsah
Rejstřík
K(G) = h{[a, b]; a, b ∈ G}i
nazveme komutant grupy G. Dokažte, že komutant K(G) je podgrupa grupy G. Dokažte, že každý prvek z K(G) se dá vyjádřit jako
součin komutátorů.
Hledej
Okno
Zavřít
3.
I.3
Grupy permutací
(28)
Bijektivní zobrazení konečné množiny M = {1, 2, . . . , n} na sebe se nazývá permutací množiny M.
3.1. Příklad. Pro pětiprvkovou množinu {1, 2, 3, 4, 5} můžeme permutaci τ zadanou předpisem
τ(1) = 3,
τ(2) = 2,
τ(3) = 5,
τ(4) = 1,
τ(5) = 4,
Zpět
Začátek
zkráceně zapisovat dvouřádkovým symbolem
1 2 3 4 5
τ=
.
3 2 5 1 4
Str. zpět
Jdi na
Str. vpřed
Konec
Pro n prvkovou množinu M můžeme obraz prvku 1 vybrat n různými způsoby, obraz prvku 2 smíme vybrat ze všech prvků různých od
π(1), tedy n − 1 způsoby atd., takže dostáváme n(n − 1)(n − 2) · · · 2 ·
· 1 = n! permutací.
Je zřejmé, že složení dvou permutací množiny M je opět permutace
množiny M.
3.2. Příklad. Pro permutace τ a σ
1 2 3 4 5
τ=
3 2 5 1 4
Vpřed
Obsah
Rejstřík
Hledej
σ=
1
4
2
5
3
2
4
1
5
3
Okno
Zavřít
dostáváme permutaci τ ◦ σ, kde τ ◦ σ(1) = σ τ(1) = σ(3) = 2 atd. Což
můžeme zapsat
1 7→ 3 7→ 2 , 2 7→ 2 7→ 5 ,
3 7→ 5 7→ 3 , 4 7→ 1 7→ 4 ,
I.3
(29)
5 7→ 4 7→ 1 ,
obdobně σ ◦ π,
Zpět
1 7→ 4 7→ 1 ,
2 7→ 5 7→ 4 , 3 7→ 2 7→ 2 ,
4 7→ 1 7→ 3 , 5 7→ 3 7→ 5 ,
Začátek
Str. zpět
tedy
Jdi na
τ ◦σ =
1
2
2
5
3
3
4
4
5
1
,
σ◦τ =
1
1
2
4
3
2
4
3
5
5
.
Str. vpřed
Konec
Vpřed
Kompozice libovolných zobrazení, a tedy i permutací, je asociativní
a tedy množina permutací se skládáním tvoří pologrupu. Identickou permutace na M značme id. Je to neutrální prvek v pologrupě permutací.
Protože permutace je bijektivní zobrazení, existuje pro každou permutaci π inverzní permutace π −1 tak, že π ◦ π −1 = id. Tedy množina permutací tvoří grupu. Pro n prvkovou množinu M nazýváme tuto grupu
symetrickou grupou a značíme Sn . S výjimkou S1 a S2 jsou symetrické
grupy nekomutativní.
Obsah
Rejstřík
Hledej
Okno
Zavřít
r0
rk
I.3
(30)
r1
rk−1
r2
Zpět
Začátek
Obrázek 3. Cyklická permutace.
Str. zpět
Jdi na
3.3. Definice. Permutaci π nazveme cyklem, jestliže platí π(r0 ) = r1 ,
π(r1 ) = r2 , . . . , π(rk−1 ) = rk a konečně π(rk ) = r0 , kde ri 6= rj , i, j ∈
∈ {0, 1, . . . , k}, 1 ≤ k ≤ |M|, a pro všechny x 6= ri , platí π(x) = x. Číslo
k nazýváme délka cyklu.
Pro cyklické permutace používáme zkrácený zápis
Str. vpřed
Konec
Vpřed
Obsah
(r0 , r1 , . . . , rk ) ,
Rejstřík
1 ≤ k ≤ |M|. Protože není podstatné, kterým prvkem cyklus začíná, je
tento zápis ekvivalentní s libovolným zápisem ve tvaru
Hledej
Okno
(ri , ri+1 , . . . , rk , r0 , . . . , ri−1 ) .
Zavřít
Inverzní permutací k cyklu (r0 , r1 , . . . , rk ) je zřejmě cyklus obsahující tytéž prvky seřazené v opačném pořadí,
I.3
(31)
(r0 , r1 , . . . , rk )−1 = (rk , rk−1 , . . . , r1 , r0 ) .
3.4. Příklad. Permutace
τ=
1
3
2
2
3
5
4
1
5
4
,
Začátek
Str. zpět
je cyklická permutace, kde
1 7→ 3 7→ 5 7→ 4 7→ 1 ,
Zpět
2 7→ 2
a můžeme ji zkráceně zapsat (1, 3, 5, 4), popřípadě některým z následujících zápisů (3, 5, 4, 1), (5, 4, 1, 3), (4, 1, 3, 5). Délka τ je 3. Inverzní
permutace k permutaci τ je τ −1 = (4, 5, 3, 1) v dvouřádkovém zápise
1 2 3 4 5
−1
τ =
.
4 2 1 5 3
Jdi na
Str. vpřed
Konec
Vpřed
Obsah
Rejstřík
Hledej
Dva cykly na množině M, nazýváme disjunktní, jestliže nemají společný prvek, tj. cykly (r0 , r1 , . . . , rk ) a (s0 , s1 , . . . , sl ), 1 ≤ k, l ≤ |M| jsou
disjunktní, jestliže {r0 , r1 , . . . , rk } ∩ {s0 , s1 , . . . , sl } = ∅.
Okno
Zavřít
3.5. Věta. Každou neidentickou permutaci množiny M lze zapsat jako
kompozici disjunktních cyklů. Až na pořadí je tento zápis jednoznačný.
I.3
(32)
Důkaz. Je zřejmé, že disjunktní cykly komutují a tedy nezáleží na pořadí
v jakém je součin disjunktních cyklů zapsán.
Větu dokážeme indukcí přes n, počet prvků množiny M.
Pro n = 2 je podmínka splněna, neidentická permutace dvouprvkové množiny je cyklem délky jedna.
Zpět
Začátek
Předpokládejme, že platí předložená věta pro n = k a uvažujme
permutace k + 1 prvkové množiny.
Str. zpět
Pokud π(k + 1) = k + 1, pak jsme π obdrželi z permutace k prvkové množiny π 0 , která se podle indukčního předpokladu skládá z disjunktních cyklů, přidáním jediného prvku, který není obsažen v žádném
z těchto cyklů a tedy π je také součinem disjunktních cyklů.
Str. vpřed
Předpokládejme, že v množině M existuje prvek p 6= k + 1 takový,
že π(p) = k + 1, pak existuje prvek q 6= k + 1 takový, že π(k + 1) =
= q. Permutace k prvkové množiny π 0 zadaná předpisem π 0 (p) = q a
π 0 (i) = π(i), pro všechna i 6= p, q, je podle indukčního předpokladu
složena z disjunktních cyklů. Přitom permutaci π dostaneme z π 0 tak, že
do cyklu obsahujícího prvky p, q vložíme mezi p a q další prvek k + 1,
který není obsažen v žádném dalším cyklu permutace π 0 . Tedy také π se
skládá z disjunktních cyklů.
Jdi na
Konec
Vpřed
Obsah
Rejstřík
Hledej
Okno
Zavřít
Dokažme jednoznačnost takovéhoto rozkladu indukcí pro počet cyk,
lů. Pro n = 1 není co dokazovat. Necht pro každou permutaci složenou
z k cyklů je tento rozklad určený jednoznačně. Mějme permutaci π která
je složena s k + 1 disjunktních cyklů, tedy
I.3
(33)
π = π1 π2 · · · πk πk+1 .
Zpět
Podle indukčního předpokladu je rozklad permutace
Začátek
−1
ππk+1
= π1 π2 · · · πk
Str. zpět
určený jednoznačně. Protože množina permutací tvoří grupu je rovnice
Jdi na
Str. vpřed
πx = π1 π2 · · · πk
Konec
řešitelná jednoznačně a vzhledem k jednoznačně určeným inverzním
prvkům v grupě, je tedy jednoznačně určený i rozklad
Vpřed
π = π1 π2 · · · πk πk+1 .
Obsah
Rejstřík
Hledej
3.6. Příklad. Permutace
σ=
1
4
2
5
3
2
4
1
5
3
Okno
Zavřít
zapsaná jako součin disjunktních cyklů vypadá takto
I.3
(34)
σ = (1, 4)(2, 5, 3) .
3.7. Věta. Mějme dánu permutaci π, potom
Y π(i) − π(j)
i>j
i−j
= ±1 .
Zpět
Začátek
Str. zpět
Jdi na
,
Důkaz. Necht π je permutace n prvkové množiny. Množina {{i, j}; i >
> j, i, j ∈ {1, 2, . . . , n}} je množina kombinací druhé třídy z n prvků
a stejně tak množina {{π(i), π(j)}; i > j, i, j ∈ {1, 2, . . . , n}}. Nyní je
snadné nahlédnout, že čitatel i jmenovatel uvedeného výrazu obsahuje,
až na znaménko, stejné činitele.
3.8. Definice. Mějme dánu permutaci π, potom výraz
sgn π =
Str. vpřed
Konec
Vpřed
Obsah
Rejstřík
Y π(i) − π(j)
i>j
i−j
nazýváme znaménko permutace. Je-li sgn π = 1 pak říkáme, že permutace je sudá, pokud sgn π = −1 pak říkáme, že permutace je lichá.
Hledej
Okno
Zavřít
Počítat znaménko permutace podle předchozí definice by bylo obtížné, ukážeme si tedy jiné možnosti, jak určit znaménko permutace.
Zároveň s tím si objasníme význam tohoto pojmu.
I.3
(35)
3.9. Definice. Mějme π permutaci množiny
M. Inverzí v permutaci π
rozumíme dvojici5 prvků π(i), π(j) takovou, že π(i) < π(j) a i > j,
kde i, j ∈ M.
Zpět
3.10. Věta. Je-li počet inverzí v permutaci π sudý, je permutace π sudá
naopak, je-li počet inverzí v permutaci lichý, je permutace π lichá, tedy
označíme-li počet inverzí v permutaci π písmenem s pak můžeme psát
Začátek
Str. zpět
Jdi na
Y π(i) − π(j)
i>j
i−j
= (−1)s .
Str. vpřed
Konec
Vpřed
Důkaz. Jmenovatel zlomku
sgn π =
Y π(i) − π(j)
i>j
i−j
obsahuje jen kladná
čísla. Činitel π(i) − π(j) je záporný právě, když
dvojice π(i), π(j) je inverzí, tedy sgn π = (−1)s .
5
Nezaměňuj inverzi s dvouprvkovým cyklem.
Obsah
Rejstřík
Hledej
Okno
Zavřít
3.11. Příklad. Snadno nahlédneme, že permutace
1 2 3 4 5
τ=
3 2 5 1 4
I.3
(36)
obsahuje inverze (3, 2), (3, 1), (5, 1), je lichá a sgn τ = −1.
3.12. Věta. Pro libovolné dvě permutace π a π 0 na množině M platí
sgn(ππ 0 ) = sgn π sgn π 0 .
Zpět
Začátek
Důkaz. Mějme π a π 0 dvě permutace
na téže množině a jejich kom
pozici ππ 0 . Dvojice ππ 0 (i), ππ 0 (j) tvoří inverzi v permutaci ππ 0 , tedy
ππ 0 (i) < ππ 0 (j) a i > j právě, když
,
1. bud π(i) < π(j) a tedy dvojice π(i), π(j) tvoří inverzi
v permu
0
0
0
0
taci π. Protože
ππ
(i)
=
π
π(i)
a
ππ
(j)
=
π
π(j)
,
platí
nerov
nost π 0 π(i) < π 0 π(j) a dvojice
π 0 π(i) , π 0 π(j)
netvoří inverzi v permutaci π 0 .
2. nebo π(i) > π(j) a tedy dvojice π(i),π(j) netvoří
inverzi v permutaci π. Zároveň platí rovnost π 0 π(i) < π 0 π(j) a dvojice
π 0 π(i) , π 0 π(j)
0
tvoří inverzi v permutaci π .
Str. zpět
Jdi na
Str. vpřed
Konec
Vpřed
Obsah
Rejstřík
Hledej
Okno
Zavřít
Tedy parita počtu inverzí v permutaci ππ 0 závisí na paritě celkového
počtu inverzí v permutacích π a π 0 .
I.3
(37)
Po přečtení kapitoly 4, je možné vyslovit předchozí větu také v této
formě.
3.13. Věta. Zobrazení f: Sn → {−1, 1} definované předpisem
π 7→ sgn π
Zpět
Začátek
Str. zpět
je homomorfismus symetrické grupy Sn na dvouprvkovou multiplikativní
grupu ({−1, 1}, ·).
Jdi na
Str. vpřed
Hledání inverzí je pořád ještě komplikovaný způsob určení znaménka permutace. K dalšímu zjednodušení využijeme výsledky vět 3.12
a 3.5. Nejprve ukažme, že znaménko cyklu závisí jen na jeho délce.
Konec
3.14. Věta. Mějme cyklus (r0 , r1 , . . . , rk ) délky k, potom
Obsah
sgn(r0 , r1 , . . . , rk ) = (−1)k .
Vpřed
Rejstřík
Hledej
Důkaz. Nejprve dokažme, že cyklus délky 1 takzvaná transpozice, má
znaménko −1. Mějme (r, s) cyklus délky 1. Bez újmy na obecnosti před-
Okno
Zavřít
pokládejme, že r < s. Cyklus (r, s) můžeme zapsat jako 2(s − r) + 1
prvkový součin transpozic, které zaměňují sousední prvky
I.3
(38)
(r, s) = (r, r + 1)(r + 1, r + 2) · · ·
· · · (s − 2, s − 1)(s − 1, s)(s − 2, s − 1) · · ·
· · · (r + 1, r + 2)(r, r + 1) .
Zpět
Každá z transpozic zaměňujících sousední prvky obsahuje jedinou inverzi, její znaménko je −1 a podle věty 3.12 obdržíme znaménko našeho
cyklu sgn(r, s) = (−1)2(s−r)+1 = −1.
Dále zapišme cyklus (r0 , r1 , . . . , rk ) jako součin transpozic
Str. zpět
Jdi na
Str. vpřed
(r0 , r1 , . . . , rk ) = (r0 , r1 )(r0 , r2 ) · · · (r0 , rk−1 )(r0 , rk ) ,
Konec
Pro zápis cyklu (r0 , r1 , . . . , rk ) bylo třeba k transpozic přičemž, každá
z nich má znaménko −1, tedy podle věty 3.12 je
sgn(r0 , r1 , . . . , rk ) = (−1)k .
Začátek
Vpřed
Obsah
Rejstřík
Hledej
Znaménko permutace nyní počítejme jako součin znamének disjunktních cyklů. Znaménko výše zmíněné permutace σ = (1, 4)(2, 5, 3)
je sgn σ = (−1)(−1)2 = −1.
Okno
Zavřít
Spočítejme kolik je lichých a kolik sudých permutací. Mějme pevně
zvolenou lichou permutaci π. Protože Sn je grupa, je zobrazení fπ : Sn →
→ Sn definované předpisem fπ (π1 ) = ππ1 , bijekce (viz str. 15, respektive důkaz Cayleyovy věty). Zobrazení fiπ převádí sudé permutace na
permutace liché a tedy sudých permutací je stejně jako permutací lichých, tedy n!/2. Navíc podle věty 3.12 je složením sudých permutací
zase sudá permutace. Protože identita je sudá permutace musí být i inverzní permutace k sudé permutaci sudá a tedy platí následující věta.
3.15. Věta. Množina sudých permutací tvoří grupu.
I.3
(39)
Zpět
Začátek
Str. zpět
Grupě sudých permutací říkáme alternující grupa a značíme ji An .
Jdi na
Str. vpřed
1. Pro X ∈ S5 vyřešte rovnici
1 2 3 4 5
1 2
X
2 4 3 1 5
5 3
Konec
Vpřed
3
4
2. Nalezněte rozklad permutace
1 2 3
π=
2 1 4
4
1
5
2
=
1
3
2
2
3
5
4
4
5
1
.
Obsah
Rejstřík
4
7
5
6
6
5
7
3
na disjunktní cykly, určete paritu a znaménko, vypište inverze v této
permutaci.
Hledej
Okno
Zavřít
3. Mějme permutaci π na n prvkové množině M. Dokažte, že relace
∼ definovaná předpisem i ∼ j právě, když existuje k ∈ N tak,
že π k (i) = j je ekvivalence na množině M, přičemž rozklad množiny M podle této ekvivalence je právě rozklad permutace π na
disjunktní cykly.
I.4
(40)
4. Řád permutace π je přirozené číslo k takové, že π k = id. Mějme
rozklad π na disjunktní cykly. Ukažte, že řád π je roven nejmenšímu
společnému násobků délek těchto cyklů.
Začátek
5. Pro permutaci
Str. zpět
π=
1
3
2
2
3
1
4
4
5
6
6
7
7
5
vypočtěte π 104 .
Zpět
Jdi na
Str. vpřed
Konec
6. Vypište prvky a tabulku pro skládání alternující grupy A3 .
Vpřed
7. Dokažte, že v grupě G řádu 2n existuje prvek a různý od e řádu 2.
Dále ukažte, že pro tento prvek je zobrazení fa : x 7→ ax sudá permutace množiny G.
Obsah
4.
Homomorfismy grup
Abychom mohli porovnávat grupoidy (tedy i grupy) mezi sebou, potřebujeme zobrazení, které zachovává vlastnosti operace.
Rejstřík
Hledej
Okno
Zavřít
4.1. Definice. Mějme grupoidy (G, ·) a (G0 , ∗). Zobrazení f: G → G0
které pro všechny a, b ∈ G splňuje podmínku
I.4
(41)
f(a · b) = f(a) ∗ f(b)
nazýváme homomorfismem grupoidů.
Pokud je zobrazení f surjektivní nazýváme homomorfismus epimorfismem. Pokud je zobrazení f injektivní, mluvíme o monomorfismu. Bijektivní homomorfismus se nazývá izomorfismus!grup. Jsou-li grupoidy
G a G0 izomorfní, značíme to G ' G0 .
4.2. Příklad. Mějme grupy (R, +) a (R+ , ·). Uvažujme zobrazení
f: R → R+ ,
f(a) = ea .
Zpět
Začátek
Str. zpět
Jdi na
Str. vpřed
Konec
Platí f(a + b) = ea+b = ea · eb = f(a) · f(b). Zobrazení f je homomorfismus grup. Protože exponenciální funkce je bijektivní, je f izomorfismem.
Vpřed
Obsah
Rejstřík
+
4.3. Příklad. Mějme grupy (R, +) a (R , ·), tyto grupy jsou izomorfní. Na
základě toho můžeme využít znalostí v (R, +) a přenést je do struktury
(R+ , ·). Mějme aritmetickou posloupnost
a0 ,
a1 = a0 + d,
a2 = a0 + 2d,
...,
an = a0 + nd .
Hledej
Okno
Zavřít
Pro součet prvních n členů této posloupnosti sn platí
I.4
(42)
2sn = 2(a0 + a1 + · · · + an ) =
= (a0 + an ) + (a1 + an−1 ) + · · ·
+ (ai + an−i ) + · · · + (an + a0 ) =
= n(2a0 + nd) =
Zpět
= n(a0 + an ) .
Protože existuje izomorfismus f: R → R+ můžeme vlastnosti aditivní
struktury přenášet do multiplikativní grupy R+ . Pokud a00 = f(a0 ) a
q = f(d), potom a0i = f(ai ) je geometrická posloupnost
a00 ,
a01 = q · a00 ,
a02 = q2 · a0 ,
...,
a0n = qn · a00 .
Součin prvních n členů pn = f(sn ), tedy
pn2 = f(2sn ) = f(n(a0 + an ) = (a00 · a0n )n .
Začátek
Str. zpět
Jdi na
Str. vpřed
Konec
Vpřed
Obsah
Mějme homomorfismy f: G → G0 a g: G0 → G00 , potom složené
zobrazení f ◦ g: G → G00 je homomorfismus. Stačí nahlédnout, že pro
a, b ∈ G platí
(f ◦ g)(ab) = g(f(ab) = g f(a)f(b) = g f(a) g f(b) =
= (f ◦ g)(a)(f ◦ g)(b) .
Rejstřík
Hledej
Okno
Zavřít
Obrazem homomorfismu f: G → G0 je množina prvků z G0 , které
jsou obrazem některého prvku z grupoidu G. Obraz homomorfismu f
označujeme =f.
I.4
Je snadné ukázat, že homomorfismus zachovává základní vlastnosti
operace, tj, pokud je grupoid G asociativní respektive komutativní, pak
i =f je asociativní respektive komutativní. Tedy homomorfním obrazem
pologrupy je opět pologrupa
(43)
Zpět
,
Necht G je grupa. Vezměme neutrální prvek e ∈ G. Platí f(a) =
= f(ae) = f(a) ∗ f(e), tedy obraz neutrálního prvku f(e) je neutrální
v =f. Podobně pro inverzi k prvku a ∈ G, f(e) = f(aa−1 ) = f(a) ∗
∗ f(a−1 ), tedy obraz inverzního prvku k prvku a je inverzní k f(a).
Homomorfním obrazem grupy je opět grupa.
Začátek
Str. zpět
Jdi na
Str. vpřed
Konec
Jádrem homomorfismu f grup G a G0 nazýváme množinu prvků
grupy G, jejichž obraz je neutrální prvek v grupě G0 . Jádro homomorfismu f označujeme ker(f). Podle předchozího e ∈ ker(f).
4.4. Věta. Mějme homomorfismus grup f: G → G0 . Potom dvojice ker(f), ·
je podgrupou v grupě G. Dvojice =f, ∗ je podgrupou v G0 .
,
Důkaz. Označme e0 neutrální prvek v grupě G0 . Necht a, b ∈ ker(f),
potom f(ab−1 ) = f(a) ∗ f(b−1 ) = f(a) ∗ f(b)−1 = e0 ∗ e0 = e0 , tedy
ab−1 ∈ ker(f) a ker(f) je podgrupa v G.
Vpřed
Obsah
Rejstřík
Hledej
Okno
Zavřít
,
Necht pro a0 , b0 ∈ =f, tedy existují a, b ∈ G takové, že f(a) = a0 a
f(b) = b0 . Potom a0 ∗ b0−1 = f(a) ∗ f(b)−1 = f(a) ∗ f(b−1 ) = f(ab−1 ),
tedy a0 ∗ b0−1 ∈ =f a =f je podgrupa v G0 .
I.4
(44)
4.5. Věta. Homomorfismus grup f: G → G0 je surjektivní právě tehdy, když
Zpět
=f = G0 .
Homomorfismus f je injektivní právě, když
Začátek
Str. zpět
Jdi na
ker(f) = {e} .
Str. vpřed
Konec
Důkaz. První část věty je zřejmá. Mějme homomorfismus f: G → G0 ,
,
s jádrem ker(f) = {e}. Necht pro prvky a, b ∈ G platí f(a) = f(b).
Potom neutrální prvek v G0 můžeme vyjádřit jako součin f(a) a inverzního prvku k f(b), e0 = f(a) ∗ f(b)−1 = f(a) ∗ f(b−1 ) = f(ab−1 ). Tedy
ab−1 ∈ ker(f) a proto ab−1 = e, z čehož plyne a−1 = b−1 a tedy a = b.
Zobrazení f je injektivní. Obrácená implikace je zřejmá.
4.6. Věta. (Cayleyova) Každá konečná grupa je izomorfní s některou
grupou transformací.
Vpřed
Obsah
Rejstřík
Hledej
Okno
Zavřít
Důkaz. Nejprve dokažme, že pro pevný prvek a grupy (G, ·) je zobrazení
I.4
(45)
fa : x 7→ ax
bijektivní transformace množiny G. Protože v grupě platí pravidlo o krácení, je ax = ay právě, když x = y, tedy fa je injekce. Pro každé b ∈ G
platí b = a(a−1 b), tedy zobrazení fa je také surjekce a tedy bijekce.
Dále ukažme, že G je izomorfní s (T, ◦), kde T = {fa ; a ∈ G} a ◦ je
skládání zobrazení. Je zřejmé, že (fb ◦ fa )(x) = fa fb (x) = fa (bx) =
= abx = fab (x), podobně fe je neutrální v T , a fa−1 je inverzní k fa .
Struktura (T, ◦) je grupa. Zobrazení G → T definované předpisem
a 7→ fa
Zpět
Začátek
Str. zpět
Jdi na
Str. vpřed
Konec
je zřejmě surjektivní homomorfismus. Jestliže fa = fb , potom fa (e) =
= a = b = fb (e), a dané zobrazení je také injektivní a tedy izomorfismus.
Každá konečná n-prvková grupa je tedy izomorfní s některou nprvkovou podgrupou grupy permutací Sn .
Vpřed
Obsah
Rejstřík
Hledej
1. Najděte homomorfismus grupy symetrií pravidelného trojúhelníka
do grupy symetrií krychle.
Okno
Zavřít
2. Najděte všechny injektivní homomorfismy grupy symetrií pravidelného trojúhelníka do grupy symetrií pravidelného čtyřstěnu.
I.4
(46)
3. Najděte všechny homomorfismy mezi grupou Z4 a grupu symetrií
čtverce.
4. Najděte izomorfismus grupy otočení čtverce a grupy Z4 .
5. Dokažte, že zobrazení a 7→ log a je izomorfismus multiplikativní
grupy (R+ , ·) a aditivní grupy (R, +).
6. Dokažte, že zobrazení a 7→ 2a je izomorfismus aditivní grupy (R, +)
a multiplikativní grupy (R+ , ·).
7. Dokažte, že grupa (C \ {0}, ·) je izomorfní podgrupě GL2 (R) tvořené nenulovými maticemi typu
a b
.
−b a
Zpět
Začátek
Str. zpět
Jdi na
Str. vpřed
Konec
Vpřed
8. Najděte grupu transformací izomorfní s aditivní grupou Z6 .
9. Najděte izomorfismus grupy symetrií čtverce a některé grupy transformací.
10. Najděte homomorfismus alternující grupy A4 a grupy symetrií pravidelného čtyřstěnu.
11. Mějme grupu (Q \ {−1}, ∗), kde operace ∗ je definovaná předpisem
a ∗ b = a + b + ab, a, b ∈ Q,. Nalezněte izomorfismus (Q \ {−1}, ∗)
a (Q \ {0}, ·).
Obsah
Rejstřík
Hledej
Okno
Zavřít
12. Dokažte, že jestliže prvek a ∈ G má řád n a a jeho homomorfní
obraz f(a) je řádu m, pak m dělí n.
I.4
(47)
13. Mějme G, H dvě komutativní aditivní grupy. Množinu homomorfismů z G do H značme Hom(G, H). Definujme operaci ⊕ předpi
sem (f ⊕ g)(x) = f(x) + g(x). Dokažte, že Hom(G, H), ⊕ je
grupa.
14. Automorfismem nazýváme izomorfismus grupy G do sebe. Množinu
automorfismů grupy G značme Aut(G). Dokažte, že Aut(G) je podgrupa grupu permutací množiny G.
15. Dokažte, že pro komutativní grupu G je zobrazení f: x 7→ x−1
izomorfismus. Určete zobrazení f ◦ f a f −1 .
16. Ukažte, že pro ∆3 není zobrazení f: x 7→ x−1 izomorfismus.
Zpět
Začátek
Str. zpět
Jdi na
Str. vpřed
17. Dokažte, že pro komutativní grupu G je zobrazení f: x 7→ xn , n ∈
∈ N, homomorfismus grupu G do sebe. Ukažte na příkladě, že pro
nekomutativní grupy to homomorfismus být nemusí.
Konec
18. Mějme pevný prvek a grupy G. Konjugací prvkem a nazveme zobrazení grupy G do sebe, zadané předpisem
Obsah
γa : x 7→ axa
−1
Vpřed
Rejstřík
.
Dokažte, že konjugace je automorfismus grupy G. Konjugaci také
nazýváme vnitřní automorfismus grupy G. Dále dokažte, že množina
všech konjugací tvoří grupu, značíme ji In(G).
Hledej
Okno
Zavřít
19. Dokažte, že zobrazení a 7→ γa je homomorfismus grupy G do množiny Aut(G).
I.5
(48)
20. Reprezentujte C2 × C2 jako podgrupu S4 .
21. Reprezentujte C2 × C4 jako podgrupu S4 .
22. Reprezentujte C2 × C2 × C3 jako podgrupu S6 .
Zpět
5.
Vnoření pologrupy do grupy
Mějme pologrupu přirozených čísel (N, +) tato pologrupa je podpologrupou v grupě celých čísel (Z, +), kde množina Z vznikla z množiny
N „přidáním“ záporných čísel a nuly. Podobně multiplikativní grupa
Q vznikla z multiplikativní pologrupy Z „přidáním“ převrácených hodnot celých čísel, kmenových zlomků, a všech součinů mezi kmenovými
zlomky a celými čísly. Obě tyto konstrukce mají společný základ, k dané
pologrupě P přidáváme prvky, tak abychom dostali grupu, respektive
hledáme grupu která obsahuje jako podpologrupu danou pologrupu P .
Pokusíme se popsat obecný tvar takovéto konstrukce.
Mějme injektivní homomorfismus grupoidů f: G → G0 , potom v G0
existuje podgrupoid izomorfní s G. Takovému homomorfismu pak říkáme vnořenígrupoidu G do grupoidu G0 .
Nalézt nutnou a postačující podmínku pro to, aby bylo možné daný
grupoid G vnořit do grupy je obtížné a obecně tyto podmínky je možno
Začátek
Str. zpět
Jdi na
Str. vpřed
Konec
Vpřed
Obsah
Rejstřík
Hledej
Okno
Zavřít
zapsat nekonečným počtem rovností. Je zřejmé, že pouze nutná podmínka je jednoduchá : Grupoid G lze vnořit do grupy, potom G je pologrupa s krácením. Následující věta ukazuje, kdy bude tato podmínka
také podmínkou postačující.
5.1. Věta. Komutativní grupoid G lze vnořit do grupy právě, když G je
pologrupa s krácením, tj. pro všechny a, b, c ∈ G
ab = ac
respektive
ba = ca
implikují
b = c.
I.5
(49)
Zpět
Začátek
Str. zpět
Jdi na
Důkaz. Uvažujme f, vnoření grupoidu G do grupy Ḡ. Potom pro libovolné a, b, c ∈ G platí
Str. vpřed
f a(bc) = f(a) f(b)f(c) = f(a)f(b) f(c) =
.
= f(ab)f(c) = f (ab)c
Vpřed
Konec
Obsah
Zobrazení f je injektivní a tedy a(bc) = (ab)c a grupoid G je tedy pologrupou.
Podobně, v grupě Ḡ lze krátit, tedy z rovnosti f(a)f(b) = f(a)f(c)
plyne f(c) = f(b), f je homomorfismus tedy také rovnost f(ab) =
= f(ac) implikuje f(c) = f(b). Protože f je injektivní, rovnost ab = ac
tedy implikuje b = c a v pologrupě G lze krátit.
Rejstřík
Hledej
Okno
Zavřít
Obráceně, mějme abelovskou pologrupu G, ve které lze krátit. Zkonstruujme grupu Ḡ, tak aby existoval injektivní homomorfismus f: G →
→ Ḡ. Vezměme množinu G2 = G × G. Na této množině definujme relaci
∼ předpisem
(a, b) ∼ (c, d)
právě, když
a
(50)
ad = cb
Relace ∼ je zřejmě reflexivní. Protože G je komutativní je ∼ také symetrická. Pokud pro a, b, d, c, u, v ∈ G platí zároveň
(a, b) ∼ (c, d)
I.5
(c, d) ∼ (u, v) ,
Zpět
Začátek
Str. zpět
Jdi na
pak platí zároveň
Str. vpřed
ad = cb
a
cv = ud ,
odkud dostáváme (ab)(cv) = (cb)(ud). Protože G je komutativní pologrupa s krácením, lze poslední rovnost zjednodušit na rovnost av = ub
odkud plyne
(a, b) ∼ (u, v) .
Relace ∼ je také tranzitivní a tedy ∼ je ekvivalence na množině G.
Uvažujme rozklad G2 /∼ na kterém definujme operaci ∗
[a, b] ∗ [c, d] = [ac, bd] ,
Konec
Vpřed
Obsah
Rejstřík
Hledej
Okno
Zavřít
,
pro všechna [a, b], [c, d] ∈ G2 /∼. Necht [a0 , b0 ] a [c0 , d0 ] je jiná reprezentace tříd [a, b] a [c, d, ], tedy
(a, b) ∼ (a0 , b0 )
a
I.5
(51)
(c, d) ∼ (c0 , d0 ) ,
což je ekvivalentní s rovnicemi
Zpět
0
0
ab = a b
a
0
0
cd = c d .
Začátek
Str. zpět
Utvořme součin
Jdi na
0
0
0
0
0 0
0 0
[a , b ] ∗ [c , d ] = [a c , b d ]
Str. vpřed
Konec
pak platí,
Vpřed
0 0
0
0
0
0
0 0
a c bd = (a b)(c d) = (ab )(cd ) = acb d
Obsah
odkud plyne
Rejstřík
(a0 c0 , b0 d0 ) ∼ (ac, bd)
a tedy součin ∗ nezávisí na volbě reprezentantů dané třídy. Struktura
Ḡ = (G2 /∼, ∗) je grupoid.
Hledej
Okno
Zavřít
Dokažme, že platí asociativní zákon,
I.5
(52)
[a, b] ∗ ([c, d] ∗ [u, v]) = [a, b] ∗ [cu, dv] = [a(cu), b(dv)] =
= [(ac)u, (bd)v] = [ac, bd] ∗ [u, v] = .
= ([a, b] ∗ [c, d]) ∗ [u, v]
Grupoid Ḡ je pologrupou.
Protože v pologrupě G můžeme krátit, obsahuje třída [a, a] právě
všechny prvky tvaru [x, y], kde x = y. Ze stejného důvodu je součin
[a, a] ∗ [c, d] = [ac, bd] roven prvku [c, d] a prvek tvaru [a, a] je neutrální v Ḡ.
Je zřejmé, pro všechny a, b ∈ G patří oba prvky [a, b], [b, a] zároveň do G2 /∼. Součin [a, b] ∗ [b, a] = [ab, ab] dává neutrální prvek a
tedy prvek [b, a] je inverzní k [a, b], pologrupa Ḡ je grupou.
Označme aa = a2 , pro všechny a ∈ G. Pro zobrazení f: G → G2 /∼
definované předpisem
a 7→ [a , a]
2
platí, f(ab) = [(ab)2 , ab] = [a2 b2 , ab] = [a2 , a] ∗ [b2 , b] = f(a) ∗ f(b)
a f je homomorfismus. Pokud [a2 , a] = [b2 , b] potom a2 b = b2 a a po
vykrácení a = b, tedy f je injektivní
zobrazení a tedy vnoření pologrupy
G do grupy Ḡ = (G2 /∼, ∗ .
Zpět
Začátek
Str. zpět
Jdi na
Str. vpřed
Konec
Vpřed
Obsah
Rejstřík
Hledej
Okno
Zavřít
Grupě Ḡ, zkonstruované v průběhu pžedešlého důkazu říkáme podílová grupa pologrupy G. Pokud používáme pro pologrupu G aditivní
zápis, říkáme grupě Ḡ rozdílová grupa.
Zobrazení f z předchozího důkazu se nazývá kanonické vnoření G
do Ḡ, následující věta objasní výjimečnost tohoto zobrazení. Protože pro
libovolné [a, b] ∈ G2 /∼ platí [a, b] = [a2 , a] ∗ [b, b2 ] = f(a) ∗ f(b)−1 ,
přibyly v grupě Ḡ k obrazům prvků pologrupy G pouze jejich inverze,
zdá se, že Ḡ je minimální grupou obsahující homomorfní obraz pologrupy G.
5.2. Věta. Mějme komutativní pologrupu G, ve které platí pravidlo o krácení, její podílovou grupu Ḡ a kanonické vnoření f. Jestliže g je homomorfismus pologrupy G do grupy G0 , potom existuje jediný homomorfismus
h: Ḡ → G0 tak, že g = f ◦ h tedy, že následující diagram komutuje.
f
G
- Ḡ
I.5
(53)
Zpět
Začátek
Str. zpět
Jdi na
Str. vpřed
Konec
Vpřed
Q
Q
h
Q
g
Q
Obsah
Q
Q
s ?
G0
Zobrazení g je vnoření právě, když h je injektivní.
Důkaz. Mějme podle předpokladů G pologrupu s krácením, její podílovou grupu Ḡ, kanonický homomorfismus f a g: G → G0 homomorfismus
pologrupy G do grupy multiplikativní G0 .
Rejstřík
Hledej
Okno
Zavřít
,
Sestrojme homomorfismus h: Ḡ → G0 tak, at platí g = f ◦ h. Pro
každé a ∈ G tedy g(a) = h f(a) = h([a2 , a]). Protože konstruované
zobrazení musí být homomorfismus, platí pro b ∈ G rovnost h([b, b2 ]) =
= h([b2 , b]−1 ) = h([b2 , b])−1 = g(b)−1 a tedy
I.5
(54)
h([a, b]) = h([a2 , a] ∗ [b, b2 ]) =
= h([a2 , a])h([b, b2 ])
= g(a)g(b)
−1
.
Tato konstrukce byla jednoznačná a předpis h: [a, b] 7→ g(a)g(b)−1
zadává hledaný homomorfismus.
Předpokládejme, že zobrazení g je injektivní tedy, že g je vnoření. Mějme a, b, c, d ∈ G a předpokládejme h([a, b]) = h([c, d]), tedy
g(a)g(b)−1 = g(c)g(d)−1 a g(a)g(d) = g(c)g(b) protože g je injektivní
homomorfismus musí platit ad = cb a tedy [a, b] = [c, d]. Zobrazení h
je tedy také injektivní.
,
Naopak, necht h je injektivní. Protože f je vnoření, je tedy také
injektivní, a jejich kompozice g = f ◦ h musí být rovněž injekce a tedy
vnoření.
Zpět
Začátek
Str. zpět
Jdi na
Str. vpřed
Konec
Vpřed
Obsah
Rejstřík
Hledej
1. Popište vnoření aditivní pologrupy přirozených čísel N do rozdílové
grupy celých čísel Z.
Okno
Zavřít
2. Popište vnoření multiplikativní pologrupy celých čísel Z do podílové
grupy čísel racionálních Q.
I.6
(55)
3. Popište konstrukci vnoření pologrupy (N, ·) do grupy (Q+ , ·).
4. Popište konstrukci vnoření pologrupy (N, +) do grupy (3Z, +).
5. Dokažte, že podílová grupa pologrupy (2N, +) je izomorfní aditivní
grupě Z.
Zpět
6. Dokažte, že podílová grupa pologrupy (3ZN, ·) je izomorfní multiplikativní grupě Q.
Začátek
7. Popište podílovou grupu k C5 .
Str. zpět
8. Můžete popsat podílovou grupu pologrupy (Z4 , ·).
Jdi na
Str. vpřed
6.
Konec
Cyklické grupy
V multiplikativním monoidu G s neutrálním prvkem e můžeme pro přirozené číslo n definovat n-tou mocninu prvku a ∈ G jako součin
an = |a · a{z· · · a} ,
Vpřed
Obsah
Rejstřík
n-krát
nultou mocninu a0 položme rovnu e, neutrálnímu prvku v G. Indukcí
přes n lze dokázat, že pro všechna m, n ∈ N platí
a ·a =a
m
n
m+n
,
(a ) = a
m n
mn
.
Hledej
Okno
Zavřít
Pro komutativní monoidy platí ještě rovnost (a · b)n = an · bn .
Jestliže (G, ·) je grupa, můžeme definici n-té mocniny rozšířit na
všechna celá čísla
I.6
(56)
a−n = (a−1 )n .
Pokud si uvědomíme, že indukcí lze dokázat (a−1 )n · an = e, dostáváme
(a−1 )n = (an )−1 .
Zpět
Nyní rozšiřme platnost rovnosti am · an = am+n , m, n, ∈ N, pro záporná
čísla. Nejprve vezměme případ obou exponentů záporných.
Začátek
a
−m
·a
−n
m −1
= (a )
n −1
· (a )
m −1
= (a · a )
n
=a
−(n+m)
=a
−m−n
=
=
a
·a =a
n
−m
=
Konec
.
·a
m+k
m −1
= (a )
Vpřed
=
m
Obsah
Rejstřík
· (a · a ) =
= (a ) · am ·ak =
m −1
Jdi na
Str. vpřed
Dále uvažujme m ≤ n, tedy existuje kladné k takové, že n = m + k a
rozeberme případ, kdy je jeden exponent záporný a druhý kladný,
−m
Str. zpět
k
Hledej
= e · an−m =
Okno
−m+n
Zavřít
=a
.
Ostatní případy dokážeme obdobně.
Dále můžeme psát
I.6
(57)
n
(a−m )n = (am )−1
−1
= (am )n
=
= (amn )−1 =
= a−mn ,
Prozkoumáme-li i zbylé případy, rozšířili jsme platnost rovnosti (a · b)n =
= an · bn na všechna celá čísla.
Je-li f: G → G0 homomorfismus
grup, pak není těžké indukcí dokán
zat, že f(an ) = f(a) , pro všechny celé n.
Jestliže máme (G, +) monoid s aditivním zápisem, tak definujme
n-násobek prvku a ∈ G, n ∈ Z,
n·a=a
| +a+
{z· · · + a} .
Zpět
Začátek
Str. zpět
Jdi na
Str. vpřed
Konec
Vpřed
Obsah
n-krát
Stejně jako pro mocninu položme 0 · a = e a platí
m · a + n · a = (m + n) · a ,
m · (n · a) = (mn) · a .
V komutativních monoidech platí také rovnost n · (a + b) = n · a + n · b.
Do aditivní notace potom můžeme přepsat všechny vlastnosti mocniny.
Rejstřík
Hledej
Okno
Zavřít
6.1. Věta. Mějme pevně zvolený prvek a v grupě (G, ·), potom zobrazení
fa : Z → G
I.6
(58)
n 7→ an
je jediný homomorfismus aditivní grupy celých čísel (Z, +) a grupy G, pro
který platí 1 7→ a.
Důkaz. Z definice mocniny je zřejmé, že dané zobrazení je homomorfismus. Mějme naopak homomorfismus f: Z → G, pro který platí f(1) = a.
Musí platit f(0) = e a f(n + 1) = f(n) · f(1), tedy indukcí f(n) = an .
Zpět
Začátek
Str. zpět
Jdi na
6.2. Definice. Grupa (G, ·) se nazývá cyklická, jestliže obsahuje takový
prvek a, že pro každý prvek b ∈ G, existuje k ∈ N tak, že platí b = ak .
Prvku a pak říkáme vytvářející prvek (generátor) grupy G.
Str. vpřed
Konec
Vpřed
,
6.3. Příklad. Necht n je přirozené číslo takové, že pro komplexní číslo
ζn platí ζnn = 1, potom ζn nazýváme n-tým kořenem z jedné. Je zřejmé,
?? že množina všech řešení rovnice ζnn = 1, {ζnk ; k = 1, . . . , n} tvoří
cyklickou grupu s generátorem ζn = e2πi/n . Na obrázku 5 je tato grupa
pro n = 5.
,
6.4. Věta. Necht (G, ·) je cyklická grupa s generátorem a, potom řád prvku
a určuje tuto grupu až na izomorfismus.
Obsah
Rejstřík
Hledej
Okno
Zavřít
I.6
i
(59)
ζ5
ζ52
−1
1 = ζ55
0
Zpět
Začátek
ζ53
Str. zpět
−i
ζ54
Jdi na
Str. vpřed
Obrázek 5. Grupa ζ5n .
Konec
Důkaz. Předpokládejme nejprve, že řád prvku a, generátoru cyklické
grupy G, je nekonečný. Zobrazení fa z věty 6.1 je tedy surjektivní homomorfismus Z na G
Hledejme takové exponenty m, n ∈ Z, že a = a . Tedy e =
= am (an )−1 = am−n , a protože všechny nenulová mocniny prvku a
jsou různé od e, dostáváme, že rovnost am = an platí právě, když m =
= n. Zobrazení fa je injektivní. Dokázali jsme, že fa je izomorfismus
libovolné cyklické grupy nekonečného řádu a aditivní grupy Z. Cyklická
grupa nekonečného řádu je tedy až na izomorfismus jediná.
m
n
Vpřed
Obsah
Rejstřík
Hledej
Okno
Zavřít
Předpokládejme dále, že řád prvku a, generátoru cyklické grupy
G, je přirozené číslo n. Pro všechna k ∈ N platí akn = (an )k = ek = e.
Všechny násobky čísla n tedy patří jádru zobrazení fa z věty 6.1.
I.6
(60)
,
Mějme m ≥ n takové, že e = am . Necht m je nesoudělné s n. Pro
toto číslo existují k, r ∈ Z, 0 ≤ k, 0 < r < n takové, že m = kn + r. Tedy
e = am = akn+r = akn · ar = e · ar = ar , což je spor s tím, že n je řád
prvku a, tedy nejmenší mocnina prvku a která se rovná e. Nutně tedy
platí, že n dělí m.
Jádro zobrazení fa tedy obsahuje právě celočíselné násobky čísla n,
řádu grupy G.
Rovnost ar = as nastane právě, když e = ar · (as )−1 = ar−s , což
podle předchozího nastane právě, když r − s = kn, k ∈ Z tedy, když
r ≡ s (mod n). Zobrazení fa je surjektivní zobrazení Z → G, přičemž
restrikce fa na Zn , aditivní grupu zbytkových tříd modulo n, je injektivní
a tedy izomorfismem.
Zpět
Začátek
Str. zpět
Jdi na
Str. vpřed
Konec
Vpřed
Obsah
Jako důsledek dostáváme:
1. Každá cyklická grupa G, jejíž generátor má nekonečný řád, je izomorfní s aditivní grupou celých čísel Z.
2. Každá cyklická grupa G s generátorem řádu n je izomorfní s aditivní
grupou zbytkových tříd modulo n, Zn .
Rejstřík
Hledej
Okno
Zavřít
3. Každá cyklická grupa s generátorem řádu n má právě n prvků. Říkáme tedy, že řád generátoru cyklické grupy je řádem této grupy.
Cyklickou grupu řádu n značme Cn .
I.6
(61)
6.5. Příklad. Grupa rotací reprodukujících čtverec (viz příklad 2.2) je
cyklická grupa s generátorem r1 (respektive r3 ). Předpis
1 7→ r1 ,
2 7→ r12 = r2 ,
3 7→ r13 = r3 ,
0 7→ r10 = id .
Zpět
Začátek
zadává izomorfismus s grupou Z4 .
Str. zpět
6.6. Věta. Každá podgrupa H cyklické grupy G je cyklická.
,
Důkaz. Mějme v cyklické grupě G podgrupu H. Necht m je nejmenší
kladný exponent pro který am ∈ H. Cyklická grupa H 0 generovaná prv,
kem am je jistě podgrupou grupy H. Dokažme ted obrácenou inkluzi.
, s
Necht a ∈ H, potom s ≥ m a můžeme vyjádřit s = km + r, kde 0 ≤ k
a 0 ≤ r < m, tedy as = akm+r = ak m · ar a ar = (akm )−1 · as . Protože
akm ∈ H, platí (akm )−1 ∈ H a protože také as ∈ H, musí být ar ∈ H.
Protože m je nejmenší kladný exponent takový, že am ∈ H, musí platit
r = 0 a ar = e. Obdrželi jsme, že s = km, tedy as ∈ H 0 a grupa H je
podgrupou cyklické grupy H 0 .
Jdi na
Str. vpřed
Konec
Vpřed
Obsah
Rejstřík
Hledej
Následující věta, přestože její důkaz je obtížný a přesahuje možnosti
tohoto skripta, je užitečná pro nalezení všech abelovských grup. Při její
formulaci použijeme aditivní notaci obvyklou pro abelovské grupy.
Okno
Zavřít
6.7. Věta. Každá komutativní grupa se dá vyjádřit jako direktní součet
cyklických grup.
I.6
(62)
6.8. Příklad. Grupa rotací reprodukujících čtverec je řádu 4 a proto může
mít netriviální podgrupu jedině řádu 2. Touto podgrupou je množina
{id, r2 }.
Zpět
1. Dokažte, že každý prvek konečné grupy má konečný řád.
2. Určete všechny podgrupy cyklické grupy řádu p, kde p je prvočíslo.
3. Mějme Ck , podgrupu cyklické grupy Cn . Dokažte, že k dělí n.
4. Mějme cyklickou grupu Cn . Dokažte, že pro každé k ∈ Z takové, že
k dělí n existuje H, podgrupa Cn řádu k.
5. Dokažte, že řád prvku cyklické grupu Cn , dělí řád grupy n.
6. Dokažte, že každá cyklická grupa je komutativní.
Začátek
Str. zpět
Jdi na
Str. vpřed
Konec
Vpřed
Obsah
7. Dokažte, že jediné generátory nekonečné cyklické grupy (Z, +) jsou
{−1, 1}.
Rejstřík
8. Dokažte, že cyklická grupa nekonečného řádu, s generátorem a má
jediný další generátor a−1 .
Hledej
9. Dokažte, že am generuje cyklickou grupa řádu n s generátorem a,
právě když největší společný dělitel čísel m, n je roven 1.
Okno
Zavřít
10. Určete všechny generátory cyklické grupy Cp , kde p je prvočíslo.
11. Dokažte, že prvky a a a
−1
I.7
(63)
mají v grupě G stejný řád.
12. Dokažte, že prvky ab a ba mají v grupě G stejný řád.
13. Dokažte, že grupa automorfismů cyklické grupy G má řád 2.
14. Dokažte, že každá cyklická grupa je abelovská.
15. Dokažte, že pro m, n ∈ N nesoudělné platí Cmn ' Cm × Cn .
16. Dokažte, že homomorfním obrazem libovolné cyklické grupy je opět
cyklická grupa.
17. Mějme konečnou cyklickou grupu Cn . Dokažte, že pro n sudé platí
Y
a 6= e ,
a∈Cn
Zpět
Začátek
Str. zpět
Jdi na
Str. vpřed
Konec
a pro liché n platí
Y
Vpřed
a = e.
a∈Cn
Obsah
Rejstřík
7.
Grupy řádu n < 8
K pečlivému prostudování této kapitoly je třeba pochopit výsledky kapitoly 8. Prosíme tedy čtenáře, aby nejprve systém grup jen zběžně prohlédl a později se k této kapitole vrátil.
Hledej
Okno
Zavřít
Nalezněme všechny grupy řádu menšího než osm. Z kapitoly o cyklických grupách víme, že pro každé n ∈ N existuje cyklická grupa řádu
n. Dokonce podle předchozí kapitoly, pokud v grupě řádu n existuje prvek řádu n, potom je tato grupa cyklická. Dále, pro prvočíselný řád p
neexistují jiné grupy než cyklická řádu p. Pro n < 8 zbývá tedy prozkoumat řády n = 4 a n = 6.
Dokažme, že existuje jediná grupa G řádu n = 4 různá od cyklické
grupy C4 . Pokud je G řádu 4 a není cyklická, plyne z Lagrangeovy věty
že všechny tři prvky a, b a c, různé od neutrálního prvku e, jsou řádu
2, a2 = b2 = c2 = e. Pokud budeme krátit, snadno dokážeme, že ab 6=
6= e, ab 6= a a podobně ab 6= b, proto ab = c. Stejně tak ba = c = ab.
,
Ted již ac = aab = b = baa = ca, bc = bba = a = abb = cb.
Obdrželi jsme Kleinovu 4-grupu. Z konstrukce této grupy je zřejmé, že
tato grupa je součinem cyklických grup {e, a} a {e, b}. Naše konstrukce
byla jednoznačná, jiná necyklická grupa řádu 4 neexistuje.
Konstrukci jediné necyklické grupy řádu 6 necháváme čtenářům za
cvičení. Touto grupou bude S3 a je to první nekomutativní grupa.
Přehled grup do řádu n < 8 udává tabulka 3. Konstrukce grup řádů
7 < n < 16 již přesahuje možnosti tohoto spisku proto v tabulce 4 uvedeme jen prostý výčet těchto grup a popíšeme dvě, se kterými jsme se
dosud nesetkali.
Grupa Q3 je nekomutativní, osmiprvková grupa kvaternionů. Pokud označíme Q3 = {1, i, j, k, −1, −i, −j, −k}, můžeme operaci násobení
I.7
(64)
Zpět
Začátek
Str. zpět
Jdi na
Str. vpřed
Konec
Vpřed
Obsah
Rejstřík
Hledej
Okno
Zavřít
řád 1 2 3
grupy C1 C2 C3
4
5
6
7
C4
C5
C6
C7
C2 × C2
S3 ' ∆ 3
I.7
(65)
Tabulka 3. Grupy řádu n < 8.
řád
grupy
8
9
10 11
12
13 14 15
C8
C9
C10 C11
C12
C13 C14 C15
C2 × C4
C 3 × C 3 ∆5
C2 × C2 × C3
∆7
C2 × C2 × C2
C2 × S3
∆4
A4
Q3
C3 o C4
Tabulka 4. Grupy řádu 7 < n < 16.
zavést vztahy −1(−1) = 1, −1a = a(−1) = −a, pro všechna a ∈
∈ Q3 , a tabulkou 5. O kvaternionech obecně pojednáme později v příkladu II. II.1.11.
Grupa C3 o C4 je grupa generovaná dvěma prvky a, b a vztahy
a3 = b 4 = e
a
Zpět
Začátek
Str. zpět
Jdi na
Str. vpřed
Konec
Vpřed
Obsah
Rejstřík
bab−1 = a2 ,
je to tzv. semidirektní součin6 grup C3 a C4 .
Hledej
Okno
6
Grupa G se nazývá semidirektní součin svých podgrup N a H, jestliže N / G a
H ' G/N respektive, když platí N / G, NH = G, N ∩ H = {e}.
Zavřít
1
i
j
k
1
1
i
j
k
i
i
−1
−k
j
j
j
k
−1
−i
k
k
−j
i
−1
Tabulka 5. Násobení bázových prvků v grupě Q3 .
Pro n = 16 bychom dostali 14 neizomorfních grup.
I.7
(66)
Zpět
Začátek
Str. zpět
1. Ukažte, že S3 ' ∆3 .
2. Vypište tabulky všech grup řádu 8.
3. Dokažte, že grupy řádu 8 uveden v tabulce 4, nejsou navzájem izomorfní.
4. Nalezněte prvky podgrupy GL2 (C), generované maticemi
0 i
0 1
A=
,
B=
.
−i 0
1 0
Ukažte, že tato grupa je izomorfní s ∆4 .
−i 0
0 −1
A=
,
B=
.
0 i
−1
0
Jdi na
Str. vpřed
Konec
Vpřed
Obsah
Rejstřík
Hledej
Okno
Zavřít
Ukažte, že tato grupa je izomorfní s ∆4 .
I.7
(67)
0 i
0 1
A=
,
B=
.
i 0
−1 0
Ukažte, že tato grupa je izomorfní s Q3 .
−i 0
0 −i
A=
,
B=
.
0 i
−i
0
Ukažte, že tato grupa je izomorfní s Q3 .
i 0
−1 0
A=
,
B=
.
0 i
0 1
Ukažte, že tato grupa je izomorfní s C2 × C4 .
−1 0
0 1
A=
,
B=
.
0 1
1 0
Ukažte, že tato grupa je izomorfní s C2 × C2 × C2 .
Zpět
Začátek
Str. zpět
Jdi na
Str. vpřed
Konec
Vpřed
Obsah
Rejstřík
Hledej
Okno
Zavřít
10. Nalezněte prvky podgrupy GL2 (C), generované maticí
A=
0
i
−1
0
I.7
(68)
.
Ukažte, že tato grupa je izomorfní s C8 .
11. Vypište všechny netriviální podgrupy grupy Q3 .
12. Vypište tabulku grupy řádu 12 se dvěma generátory x, y, pro kterou
platí
x6 = y 2 = e ,
xy = yx5 .
Ukažte, že tato grupa je izomorfní podgrupě grupy ∆6 , generované
rotací o 60◦ a jednou osovou souměrností.
Zpět
Začátek
Str. zpět
Jdi na
Str. vpřed
13. Dokažte, že ∆n je izomorfní grupě generované dvěma prvky a, b,
kde
an = e , b2 = e , bab = a−1 .
Konec
14. Mějme grupu Qn , n ≥ 3, generovanou dvěma prvky a, b, kde
Obsah
a2
n−1
= e,
n−2
a2
Vpřed
Rejstřík
= b2 ,
bab−1 = a−1 .
Ukažte, že pro n = 3 je tato grupa izomorfní s osmiprvkovou grupou
kvaternionů. Grupa Qn má řád 2n .
15. Nalezněte v tabulce 4 grupu izomorfní s ∆6 .
Hledej
Okno
Zavřít
16. Dokažte, že C2 × C6 ' C2 × C2 × C3 .
I.8
(69)
17. Vypište prvky a tabulku dvanáctiprvkové grupy C3 o C4 .
18. Nalezněte všechny nekomutativní grupy do řádu n = 15.
8.
Rozklad podle podgrupy
Mějme dvě množiny A, B ⊆ G, kde (G, ·) je grupa. Potom součinem množin A, B nazýváme množinu
AB = {a · b; a ∈ A, b ∈ B} .
Pro součin jednoprvkové množiny {a} a množiny B užívejme symbol
aB.
Mějme grupu (G, ·) a její podgrupu H. Součinu množin aH říkáme
levá třída grupy G podle podgrupy H. Obdobně součin množin Ha je
pravá třída grupy G podle podgrupy H.
8.1. Věta. Mějme grupu (G, ·) a její podgrupu H. Množina součinů
Zpět
Začátek
Str. zpět
Jdi na
Str. vpřed
Konec
Vpřed
Obsah
Rejstřík
G/Hl = {aH ; a ∈ G}
Hledej
je rozklad množiny G.
,
Důkaz. Nejprve dokažme, že dvě levé třídy bud to splývají, nebo jsou
disjunktní. Mějme levou třídu aH, a prvek b ∈ aH, potom existuje s ∈ H
Okno
Zavřít
takové, že b = as. Protože H je podgrupa, platí tedy s−1 ∈ H a libovolný
prvek x třídy aH, který má vyjádření x = ar, r ∈ H, můžeme vyjádřit
jako x = bs−1 r, kde ovšem s−1 r ∈ H, tedy aH ⊆ bH. Obrácenou inkluzi
dokážeme obdobně. Dvě třídy se společným prvkem tedy splývají.
Pro každé a ∈ G platí a = ea, kde jistě e ∈ H a tedy a ∈ aH.
Sjednocení všech levých tříd je rovno množině G.
I.8
(70)
Zpět
Rozkladu G/Hl říkáme levý rozklad grupy G podle podgrupy H.
Podobně definujeme G/Hp pravý rozklad grupy G podle podgrupy H.
Pro pravý rozklad platí podobné vlastnosti jako pro rozklad levý, takže
v dalším mluvme jen o levých rozkladech.
Je zřejmé, že aH = bH právě, když ab−1 ∈ H.
Podgrupa H = eH je levou třídou grupy G. Z důkazu Cayleyovy
věty víme, že zobrazení fa : H → aH, h 7→ ah je bijektivní, proto
mají všechny levé třídy grupy G podle konečné podgrupy H stejný počet
prvků jako samotná podgrupa H, z čehož plyne následující věta.
,
8.2. Věta. (Lagrangeova7 ) Necht G je konečná grupa. Potom řád každé
její podgrupy H je dělitelem řádu grupu G.
8.3. Definice. Počet tříd rozkladu grupy G podle podgrupy H nazýváme
index podgrupy a značíme [G : H].
7
Lagrange, Joseph Luis, 1736–1813, matematik italsko-franc. původu.
Začátek
Str. zpět
Jdi na
Str. vpřed
Konec
Vpřed
Obsah
Rejstřík
Hledej
Okno
Zavřít
Pokud značíme neutrální prvek v konečné grupě G jako 1, pak počet
prvků grupy G je roven číslu [G : 1]. Lagrangeovu větu pak můžeme psát
ve tvaru
I.8
(71)
[G : 1] = [G : H] · [H : 1] .
Máme-li dvě podgrupy K ⊆ H konečné grupy G, potom snadno napočítáme, že platí
Zpět
Začátek
[G : K] = [G : H] · [H : K] .
Je ovšem třeba poznamenat, že ke každému děliteli p řádu grupy G
nemusí existovat podgrupa řádu p.
8.4. Příklad. Mějme grupa G přímých shodností reprodukujících pravidelný čtyřstěn. G je tvořená identitou, osmi rotacemi jejichž osy procházejí jedním vrcholem a středem protější strany (na obrázku 7 je znázorněna oD ), a třemi osovými souměrnostmi jejichž osy spojují středy dvojice mimoběžných hran, (například o1 ). Grupa G je izomorfní alternující
grupě A4 a její řád je 12. Hledejme její šestiprvkovou podgrupu.
Podle kapitoly 7 jsou šestiprvkové grupy dvě, cyklická C6 a grupa
symetrií trojúhelníka ∆3 ' S3 . Rotace v grupě G jsou prvky řádu 3,
souměrnosti mají řád 2. Je zřejmé, že neexistuje žádný injektivní homomorfismus C6 , která obsahuje prvek řádu 6, do G. Podobně prvky řádu
2 v grupě G, osové souměrnosti, tvoří podgrupu G, tedy jejich součinem
Str. zpět
Jdi na
Str. vpřed
Konec
Vpřed
Obsah
Rejstřík
Hledej
Okno
Zavřít
oD
I.8
(72)
D
Zpět
C
Začátek
Str. zpět
A
Jdi na
o1
B
Obrázek 7. Čtyři přímé shodnosti reprodukující čtyřstěn.
nikdy nedostaneme prvek řádu 3 tak, jak je to v grupě ∆3 , kde součin
dvou osových souměrností dává rotaci. Neexistuje tedy injektivní homomorfismus ∆3 do G. Grupa G ' A4 řádu 12 tedy nemá šestiprvkovou
podgrupu.
Str. vpřed
Konec
Vpřed
Obsah
Rejstřík
Hledej
Na závěr kapitoly ještě jeden užitečný vzorec. Začněme ovšem trochu zeširoka.
Okno
Zavřít
8.5. Definice. Grupa (G, +) má (levou) akci na množině M, jestliže je
dáno zobrazení G × M → M, pišme (a, x) 7→ a ∗ x, splňující vlastnosti
I.8
(73)
1. pro všechna a, b ∈ G a x ∈ M platí a ∗ (b ∗ x) = (ab) ∗ x,
2. pro všechna x ∈ M platí e ∗ x = x.
8.6. Příklad.
1. Libovolná grupa (G, ·) má akci na množině G definovanou zobrazením (a, b) 7→ a · b.
2. Grupa (G, ·) má na G akci konjugací zadanou předpisem (a, b) 7→
7→ aba−1 .
3. Grupa Aut(G) má akci na množině G zadanou předpisem (f, a) 7→
7→ f(a).
4. Grupa reálných čísel R má akci na třírozměrném vektorovém prostoru R3 zadanou předpisem (a, v) 7→ av.
,
Necht grupa G má na množině M akci, potom orbitou grupy G určenou prvkem x ∈ M rozumíme množinu
Zpět
Začátek
Str. zpět
Jdi na
Str. vpřed
Konec
Vpřed
Obsah
Rejstřík
G ∗ x = {a ∗ x; a ∈ G} .
Mějme orbitu G ∗ x. Protože e ∗ x = x, platí x ∈ G ∗ x. Pokud
y ∈ G ∗ x, pak existuje a ∈ G tak, že y = a ∗ x a x = e ∗ x = (a−1 a) ∗
∗ x = a−1 ∗ (a ∗ x) = a−1 ∗ y a je zřejmé, že G ∗ x = G ∗ y. Každá orbita
Hledej
Okno
Zavřít
je reprezentovaná libovolný svým prvkem a množina všech orbit grupy
G tvoří rozklad množiny M.
,
Necht grupa G má akci na množině M. Mějme x ∈ M a a, b ∈ G
takové, že a ∗ x = b ∗ x = x. Potom a−1 ∗ x = a−1 ∗ (a ∗ x) = (a−1 a) ∗
∗ x = x, Také (ab) ∗ x = a ∗ (b ∗ x) = a ∗ x = x a množina
Gx = {a ∈ G; a ∗ x = x}
I.8
(74)
Zpět
je podgrupa grupy G. Nazýváme ji izotropickou grupou prvku x ∈ M.
Začátek
8.7. Příklad. Mějme podgrupu H grupy G. Potom zobrazení H × G → G,
(h, g) 7→ hg definuje akci grupy H na množině G. Orbity této akce jsou
třídy rozkladu G/H. Pro každý prvek g ∈ G je Hg = {e}.
Str. zpět
,
8.8. Věta. Necht G má akci na množině M. Mějme x ∈ M, potom
Jdi na
Str. vpřed
Konec
Vpřed
|G ∗ x| = [G : Gx ] .
Obsah
,
Důkaz. Mějme grupu G s akcí na množině M. Necht x ∈ M. Stačí dokázat, že f: a ∗ x 7→ aGx je bijektivní zobrazení G ∗ x → G/Gx .
Předpokládejme pro dva prvky a, b ∈ G, že a ∗ x = b ∗ x, potom
x = b−1 ∗ (a ∗ x) = (b−1 a) ∗ x a tedy b−1 a ∈ Gx , proto b−1 aGx = Gx
a aGx = bGx . Dokázali jsme, že f je zobrazení, jehož surjektivnost je
zřejmá.
Rejstřík
Hledej
Okno
Zavřít
Pokud aGx = bGx tak b−1 a ∈ Gx a tedy a ∗ x = b ∗ x. Zobrazení f
je injektivní a množiny G ∗ x a G/Gx mají stejný počet prvků.
I.8
(75)
8.9. Věta. Mějme grupu G, její centrum Z(G) a normalizátory prvků
grupy G, N(g). Potom
X
[G : e] =
[G : N(g)] =
Zpět
g∈J
= [Z(G) : 1] +
X
[G : N(g)] ,
g∈I
kde J je množina reprezentantů orbit grupy G vzhledem k akci konjugace
a I je množina reprezentantů víceprvkových orbit grupy G vzhledem k akci
konjugace.
8.10. Věta. (Cauchyho8 ) Jestliže prvočíslo p dělí řád grupy G, pak v G
existuje prvek řádu p.
Důkaz. Mějme grupu G a prvočíslo p takové, že p | [G : e]. Pokud G je
komutativní, potom podle věty 6.7 existuje v G cyklická podgrupa Cpk ,
k ∈ N. Cyklická grupa Cpk už jistě obsahuje prvek řádu p.
,
Necht G není komutativní. Vyjádřeme řád G podle věty 8.9,
X
[G : e] = [Z(G) : 1] +
[G : N(g)] .
g∈I
8
Cauchy, Auguste Louis, 1789–1857, francouzský matematik.
Začátek
Str. zpět
Jdi na
Str. vpřed
Konec
Vpřed
Obsah
Rejstřík
Hledej
Okno
Zavřít
,
Necht p dělí v tomto součtu všechny členy tvaru [G : N(g)]. Potom
p dělí také [Z(G) : 1]. Protože Z(G) je komutativní, podle první části
důkazu zde existuje prvek řádu p.
,
Necht pro a ∈ G, a ∈
/ Z(G) platí p nedělí [G : N(a)], potom podle
Lagrangeovy věty p | [N(a) : e]. Protože [N(a) : e] < [G : e] dojdeme
další analýzou případů pro grupu N(a) k tomu, že N(a) nutně obsahuje
prvek řádu p.
I.8
Důkaz. Mějme grupu G. Konjugace je akce grupy G na množině M = G.
Orbita určená prvkem g ∈ G je množina všech prvků konjugovaných
s g, G ∗ g = {aga−1 ; a ∈ G}. Protože množina všech orbit tvoří rozklad
na množině M = G, je
Začátek
(76)
Zpět
Str. zpět
Jdi na
Str. vpřed
[G : e] =
X
|G ∗ g| ,
Konec
g∈J
Vpřed
kde J je množina reprezentantů všech orbit grupy G vzhledem k akci
konjugace.
Normalizátor prvku g ∈ G je podgrupa v G, N(g) = {a ∈ G; ag =
= ga} = {a ∈ G; aga−1 = g}, což je vzhledem k akci konjugace
izotropická grupa prvku g, N(g) = Gg . Podle předchozí věty |G ∗ g| =
= [G : Gg ] = [G : N(g)] a dostáváme první z dokazovaných rovností.
Každý prvek centra Z(G) určuje jednoprvkovou orbitu vzhledem
k akci konjugace, z čehož plyne druhá z dokazovaných rovností.
Obsah
Rejstřík
Hledej
Okno
Zavřít
I.8
(77)
1. Dokažte, že grupa G prvočíselného řádu p je cyklická.
2. Dokažte, že řád prvku a ∈ G dělí řád grupy G.
3. Nalezněte rozklady grupy G podle triviálních podgrup.
4. Nalezněte rozklad aditivní grupy R2 podle podgrupy
H = {(x, y); x − 2y = 0} .
5. Nalezněte rozklady grupy ∆4 podle všech podgrup.
6. Nalezněte rozklad grupy permutací Sn podle alternující grupy An .
7. Dokažte, že [Sn : An ] = 2.
8. Nalezněte rozklad aditivní grupy Z podle podgrupy nZ, kde n ∈
∈ N.
9. Nalezněte rozklad grupy GL2 (R) podle SL2 (R).
10. Nalezněte rozklad grupy GL2 (R) podle podgrupy diagonálních matic stupně 2.
Zpět
Začátek
Str. zpět
Jdi na
Str. vpřed
Konec
Vpřed
Obsah
11. Nalezněte rozklady grupy GL2 (R) podle podgrupy skalárních matic
stupně 2.
Rejstřík
12. Mějme H podgrupu grupy G. Dokažte, že b ∈ aH právě, když
a−1 b ∈ H.
Hledej
13. Najděte šestiprvkové podgrupu grupy C2 × S3 .
Zavřít
Okno
14. Dokažte, že C4 není podgrupa C2 × S3 .
I.9
(78)
15. Nalezněte všechny orbity akce konjugace grupy Q3 .
9.
Normální podgrupy
V kapitole 8 jsme ukázali, že počet levých tříd grupy G podle podgrupy
H je stejný jako počet pravých tříd. Je sice zřejmé, že vždy platí eH =
= He, ale není pravda, že levá třída aH je vždy rovna pravé třídě Ha.
Zpět
Začátek
9.1. Příklad. Mějme grupu symetrií čtverce ∆4 , viz příklad 1.12. Mějme
podgrupu H = {id, o1 }. Potom r1 H = {r1 , o4 } =
6 {r1 , o2 } = Hr1 .
Pokud vezmeme podgrupu N všech rotací transformujících čtverec,
potom rozklad G/N je dvouprvkový a nejenom, že eN = Ne, ale také
druhá levá třída rozkladu G/Nl , množina všech osových souměrností je
shodná s druhou pravou třídou rozkladu G/Nr , o1 N = No1 .
Str. vpřed
9.2. Definice. Podgrupa N grupy G se nazývá normální, jestliže pro
každé a ∈ G platí aN = Na. Značme N / G. Normální podgrupě se
také říká invariantní podgrupa.
Obsah
Pro normální podgrupu N splývají pojmy levý a pravý rozklad grupy
G a můžeme mluvit o rozkladu grupy G podle normální podgrupy N.
9.3. Věta. Podgrupa N grupy G je normální právě, když pro každý prvek
h ∈ N platí aha−1 ∈ N, pro libovolné a ∈ G.
Str. zpět
Jdi na
Konec
Vpřed
Rejstřík
Hledej
Okno
Zavřít
Důkaz. Je-li N / G, potom aN = Na pro všechna a ∈ G, tedy pro každé
h ∈ N existuje takový prvek h0 ∈ N, že ah = h0 a a tedy aha−1 = h0 ∈ N.
,
Obráceně, necht N je podgrupa grupy G taková, že pro každé h ∈
∈ N a libovolné a ∈ G platí aha−1 ∈ N. V podgrupě N tedy existuje
prvek h0 takový, že aha−1 = h0 . Potom ah = h0 a a platí inkluze aN ⊆
⊆ Na. Označíme-li a−1 = b ∈ G, potom podle předpokladu bhb−1 ∈ N,
tedy existuje h00 ∈ N, h00 = a−1 ha a ha = ah00 obdrželi jsme Na ⊆ aN.
Z těchto inkluzí plyne rovnost Na = aN, pro libovolné a ∈ G a platí
N / G.
I.9
(79)
Zpět
Začátek
Str. zpět
,
0
9.4. Věta. Necht N a N jsou normální podgrupy grupy G, potom N ∩ N
je rovněž normální podgrupa grupy G.
0
Důkaz. Mějme h ∈ N ∩ N 0 . Protože N je normální, pro všechna a ∈ G
platí aha−1 ∈ N, podobně aha−1 ∈ N 0 , tedy aha−1 ∈ N ∩ N 0 a podle
předchozí věty platí N ∩ N 0 / G.
9.5. Věta. Máme-li prvek a ∈ G a podgrupu H, potom množina aHa−1 je
podgrupou grupu G.
Jdi na
Str. vpřed
Konec
Vpřed
Obsah
Rejstřík
,
Důkaz. Necht H je podgrupa grupy G. Mějme dva prvky x, y ∈ aHa−1 .
Potom existují h, h0 ∈ H takové, že x = aha−1 a y = ah0 a−1 . Pokud vynásobíme xy −1 = aha−1 (ah0 a−1 )−1 = aha−1 (a−1 )−1 h0 a−1 =
= aha−1 ah−1 a−1 = ahh−1 a−1 . Protože hh−1 ∈ H platí xy −1 ∈ aHa−1
a množina aHa−1 je podgrupa grupy G.
Hledej
Okno
Zavřít
9.6. Definice. Prvky b, c ∈ G pro které existuje a ∈ G tak, že platí c =
= aba−1 se nazývají prvky konjugované.
,
Necht a ∈ G a H je podgrupa G, podgrupu aHa−1 nazýváme podgrupou konjugovanou s H.
I.9
(80)
9.7. Příklad. Mějme
H=
1
0
n
1
n∈Z
;
Zpět
Začátek
Str. zpět
podgrupu GL2 (Q) izomorfní s (Z, +). Potom podgrupa aHa−1 konjugovaná prvkem
a=
5
0
0
1
Jdi na
Str. vpřed
Konec
Vpřed
má prvky
Obsah
aha−1 =
=
=
5
0
0
1
5
0
5n
1
1
0
5n
1
1
0
n
1
1/5
0
1/5
0
0
=
1
0
1
Rejstřík
=
,
Hledej
Okno
Zavřít
tedy pišme
I.9
aHa
−1
=
1
0
5n
1
;
n∈Z
(81)
.
Podgrupa aHa−1 je izomorfní s grupou 5Z. Platí aHa−1 ⊂ H, aHa−1 6=
6= H. Poznamenejme jen, že H není normální podgrupa GL2 (Q).
9.8. Věta. Podgrupa N grupy G je normální právě, když aNa−1 = N, pro
všechna a ∈ G, tj. jestliže splývá se všemi svými konjugovanými podgrupami.
Důkaz. Pokud N je normální, potom aN = Na, potom aNa−1 = N.
,
Naopak, necht aNa−1 = N, pro všechna a ∈ G, potom platí podmínka
z věty 9.3 a podgrupa N je normální.
Triviální podgrupy grupy G jsou normálními podgrupami. Grupu
nazýváme jednoduchá, pokud jediné normální podgrupy jsou triviální.
Abelovské grupy mají všechny podgrupy normální, tedy abelovská
grupa G je jednoduchá jedině, když nemá netriviální podgrupy. To nastane v případě konečných cyklických grup prvočíselného řádu. Lze dokázat, že alternující grupy An , n 6= 4 jsou jednoduché.
9.9. Věta. Mějme N1 / G1 a N2 / G2 , potom N1 × N2 / G1 × G2 .
Zpět
Začátek
Str. zpět
Jdi na
Str. vpřed
Konec
Vpřed
Obsah
Rejstřík
Hledej
Okno
Zavřít
Důkaz. Pokud N1 / G1 potom pro všechny h1 ∈ N1 a a1 ∈ G1 platí
−2
a1 h1 a−1
1 ∈ N1 . Obdobně pro všechny h2 ∈ N2 a a2 ∈ G2 platí a2 h2 a2 ∈
∈ N2 . Mějme (h1 , h2 ) ∈ N1 × N2 , a (a1 , a2 ) ∈ G1 × G2 , potom
I.9
(82)
−1
(a1 , a2 )(h1 , h2 )(a1 , a2 )−1 = (a1 , a2 )(h1 , h2 )(a−1
1 , a2 ) =
−2
= (a1 h1 a−1
1 , a2 h2 a2 ) ∈ N1 × N2
Zpět
a tedy platí N1 × N2 / G1 × G2 .
Začátek
Str. zpět
Jdi na
1. Najděte všechny normální podgrupy všech grup až do řádu n < 8.
Str. vpřed
2. Ukažte, že Q3 má všechny podgrupy normální.
3. Dokažte, že alternující grupa An je normální podgrupou grupy Sn .
4. Dokažte, že v libovolné grupě G, každá podgrupa H indexu [G :
: H] = 2 je normální.
5. Dokažte, že pro grupu G a její podgrupu H platí, jestliže N / G a N
je podgrupa H, pak N / H.
Konec
Vpřed
Obsah
Rejstřík
,
6. Necht H je podgrupa v G a N je normální podgrupa v G. Potom
platí H ∩ N / H.
,
7. Necht H je podgrupa v G a N je normální podgrupa v G. NH je
podgrupa v G.
Hledej
Okno
Zavřít
8. Dokažte, že An / Sn .
I.9
(83)
9. Dokažte, že H = {id , (1, 2)(3, 4), (1, 3)(2, 4), (1, 4)(2, 3)} je normální podgrupa grupy S4 .
10. Nalezněte všechny normální podgrupy grupy Cn .
11. Dokažte, že centrum grupy G je normální podgrupa G.
12. Mějme dvě podgrupy H1 , H2 grupy G. Vzájemný komutant podgrup
H1 , H2 je množina generovaná všemi komutátory [a, b], kde a ∈ H1
a b ∈ H2 ,
Zpět
Začátek
Str. zpět
[H1 , H2 ] = {[a, b]; a ∈ H1 , b ∈ H2 } .
Ukažte, že vzájemný komutant podgrup grupy G je normální podgrupa v G.
Jdi na
Str. vpřed
Konec
13. Ukažte, že množina všech diagonálních matic stupně 2 není normální podgrupou GL2 (R).
Vpřed
14. Ukažte, že množina všech skalárních matic stupně 2 je normální
podgrupou GL2 (R).
Obsah
15. Rozhodněte, zda množina matic
a b
B=
;
0 c
je normální podgrupa GL2 (R).
a, b, c ∈ R
Rejstřík
Hledej
Okno
Zavřít
16. Automorfismus grupy G přiřazující každému prvku x ∈ G jeho konjugaci pevným prvkem a ∈ G
I.10
(84)
γa : x 7→ axa−1 ,
se nazývá vnitřní automorfismus. Dokažte, že množina vnitřních
automorfismů grupy In(G) je normální podgrupa grupy Aut(G).
Zpět
Začátek
10.
Kongruence
Str. zpět
Jdi na
10.1. Definice. Mějme na grupoidu G zadanou ekvivalenci ≡ splňující
vlastnost
a ≡ c a b ≡ d implikuje ab ≡ cd
pro všechny a, b, c, d ∈ G, pak říkáme, že ekvivalence ≡splňuje substituční podmínku a nazýváme ji kongruence!v grupě na grupoidu G.
Str. vpřed
Konec
Vpřed
Obsah
10.2. Příklad.
1. Mějme grupu (R, +), pak rovnost reálných čísel je kongruence na
této grupě.
2. Mějme multiplikativní grupoid (N, ·) a ekvivalenci definovanou rozkladem N na sudá a lichá čísla. Tato ekvivalence je kongruencí na
grupoidu (N, ·).
Rejstřík
Hledej
Okno
Zavřít
3. Mějme grupu (Z, +) a pevné číslo m ∈ Z, pak relace definovaná
předpisem a ≡ b (mod m) právě, když a a b dávají stejný zbytek při
dělení číslem m, je kongruence na (Z, +).
10.3. Věta. Mějme grupoid (G, ·) a ekvivalenci ≡ na množině G. Pro libovolné dvě třídy z G/≡, položme
[a] ∗ [b] = [a · b] .
I.10
(85)
Zpět
Začátek
Str. zpět
Potom (G/≡, ∗) je grupoid právě, když relace ≡ je kongruence. Pokud
grupoid (G, ·) je grupou, je (G/≡, ∗) také grupa.
Důkaz. Mějme grupoid (G, ·) a ekvivalenci ≡ na G. Množina G/≡ je
rozklad G podle ≡ a ∗ je předpis definovaný v naší větě.
,
,
Necht (G/≡, ∗) je grupoid, tedy necht předpis ∗ je operace. Mějme
prvky a, b, c, d ∈ G takové, že a ≡ c a b ≡ d. Pro třídy rozkladu G/≡
potom platí [a] = [c] a [b] = [d] a tedy [a] ∗ [b] = [c] ∗ [d]. Podle definice operace ∗ z toho plyne [ab] = [cd], odkud ab ≡ cd. Ekvivalence
≡ splňuje substituční podmínku a je kongruencí.
,
Obráceně, necht ≡ je kongruence na grupoidu (G, ·). Dokažme, že
předpis ∗ přiřazující dvěma třídám [a], [b] ∈ G/≡ třídu [ab] ∈ G/≡ je
operací na G/≡. Mějme třídy [a], [b] ∈ G/≡ a prvky c, d ∈ G takové,
že c ∈ [a] a d ∈ [b], tedy a ≡ c a b ≡ d. Ze substituční podmínky
Jdi na
Str. vpřed
Konec
Vpřed
Obsah
Rejstřík
Hledej
Okno
Zavřít
pro kongruenci ≡ plyne, ab ≡ cd, tedy třídy [ab] = [a] ∗ [b] a [cd] =
= [c] ∗ [d] splývají. Předpis ∗ nezávisí na výběru reprezentantů ve třídách, dvojici [a], [b] přiřazuje jediný výsledek [ab], je tedy zobrazením
G/≡ × G/≡ → G/≡ a proto je operací na G/≡.
Pokud je grupoid (G/≡, ∗) grupou, je zřejmé, že platí asociativní
zákon pro operaci ∗. Dále, třída [e], generovaná neutrálním prvkem e ∈
∈ G je neutrální v (G/≡, ∗). Podobně třída [a−1 ] je inverzní k třídě [a],
Grupoid (G/≡, ∗) je grupa.
Grupoidu (G/≡, ∗) říkáme faktorový grupoid podle ekvivalence ≡
≡. Pokud je (G/≡, ∗) grupou, říkáme této grupě faktorová grupa podle
ekvivalence ≡.
,
10.4. Věta. Necht ≡ je kongruence na grupě G. Mějme a, b ∈ G, potom
a ≡ b implikuje a−1 ≡ b−1 .
,
−1
(86)
Zpět
Začátek
Str. zpět
Jdi na
Str. vpřed
Konec
Vpřed
−1
Důkaz. Necht a, b ∈ G, a ≡ b. Relace ≡ je reflexivní a tedy a ≡ a a
protože ≡ splňuje substituční podmínku tak aa−1 ≡ ba−1 . Protože také
b−1 ≡ b−1 , platí b−1 aa−1 ≡ b−1 ba−1 , což můžeme upravit na a−1 ≡
≡ b−1 .
,
I.10
10.5. Věta. Mějme kongruenci ≡ na grupě G. Necht [e] ∈ G/≡ je třída
rozkladu obsahující neutrální prvek e ∈ G. Třída [e] je normální podgrupa
grupy G a platí G/[e] ' G/≡.
Obsah
Rejstřík
Hledej
Okno
Zavřít
,
Důkaz. Necht a, b ∈ [e] potom platí a ≡ b podle věty 10.4 platí a−1 ≡
≡ b−1 , ze substituční podmínky dostaneme ab−1 ≡ ba−1 . Relace ≡ je
reflexivní, tedy a ≡ a a za opětovného použití substituční podmínky
dostaneme ab−1 a ≡ ba−1 a. Potřetí použitá substituční podmínka nám
dává ab−1 aa−1 ≡ ba−1 ab−1 . Poslední kongruence se dá přepsat ve tvaru
ab−1 ≡ e, tedy ab−1 ∈ [e] a třída [e] je podgrupou v G.
Pokud h ≡ e a a ∈ G, pak substituční podmínka a věta 10.4 nám
dávají aha−1 ≡ aea−1 , což lze přepsat jako aha−1 ≡ e tedy pokud h ∈
∈ [e] tak aha−1 ∈ [e] a [e] / G.
Mějme [a] ∈ G/≡. Pro každé b ∈ [a] platí a ≡ b tedy a−1 a ≡
≡ a−1 b, tedy existuje h ∈ [e], h = a−1 b a b = ah a tedy [a] ⊆ a[e] ∈
∈ G/[e]. Obráceně, mějme a[e] ∈ G/[e]. Pokud b ∈ a[e], pak existuje
h ∈ [e] takové, že b = ah a tedy b ≡ ah. Protože h ≡ e a tedy h−1 ≡ e,
platí be ≡ ahh−1 , což dává b ≡ a, tedy b ∈ [a] a platí a[e] ⊆ [a]. Dostali
jsme rovnost a[e] = [a] pro libovolné a ∈ G a tedy G/[e] ' G/≡. Cvičení k oddílu 10
1. Dokažte, že kongruence celých čísel modulo n je kongruencí na
aditivní grupě Z.
2. Která z následujících relací na multiplikativní grupě komplexních
čísel C je kongruencí ?
a) ρ1 = {(x, y); xy ∈ Q}
I.10
(87)
Zpět
Začátek
Str. zpět
Jdi na
Str. vpřed
Konec
Vpřed
Obsah
Rejstřík
Hledej
Okno
Zavřít
b) ρ2 = {(x, y); x/y ∈ Q}
I.11
(88)
c) ρ3 = {(x, y); x − y ∈ Q}
3. Mějme třídimenzionální vektorový prostor nad R. Dokažte, že rovnoběžnost vektorů je ekvivalence, která není kongruencí na aditivní
grupě vektorů (R3 , +).
4. Mějme třídimenzionální vektorový prostor nad R. Dokažte, že rovnoběžnost vektorů je kongruencí na grupoidu (R3 , ×), kde relace ×
je vektorový součin.
Zpět
Začátek
Str. zpět
Jdi na
11.
Faktorové grupy
Str. vpřed
Hledejme souvislosti normálních podgrup grupy G a homomorfismů této
grupy G → G0 .
Konec
Vpřed
0
11.1. Věta. Mějme homomorfismus grup f: G → G . Jádro homomorfismu f je normální podgrupa v G, ker(f) / G.
,
Obsah
Důkaz. Necht h ∈ ker(f), tedy f(h) = e ∈ G . Hledejme obraz prvku
aha−1 , kde a ∈ G je libovolný prvek grupy. Platí následující rovnost
f(aha−1 ) = f(a)e0 f(a)−1 = e0 , tedy aha−1 ∈ ker(f) a ker(f) / G.
Rejstřík
Pokusme se tuto větu obrátit. Podle věty 10.3 je struktura (G/≡, ∗)
kde aN ∗ bN = (ab)N, a, b ∈ G grupou. Následující věta předepíše ke
Okno
0
0
Hledej
Zavřít
každé normální podgrupě N / G homomorfismus p: G → G/N tak, že
N = ker(p).
I.11
(89)
11.2. Věta. Mějme normální podgrupu N grupy G a rozklad G/N. Definujme na G/N operaci ∗ předpisem
aN ∗ bN = (ab)N ,
potom (G/N, ∗), je grupa. Zobrazení p definované předpisem
p: a 7→ aN
Zpět
Začátek
Str. zpět
Jdi na
je potom epimorfismus grup G → G/N, jehož jádro je N.
Důkaz. Mějme grupu G a její normální podgrupu N. Dokažme, že dvojice
(G/N, ∗) je grupa.
Součin libovolných dvou prvků a, b ∈ G leží v G a tedy pro každé
dvě třídy aN, bN ∈ G/N, součin aN ∗ bN = (ab)N je prvkem z G/N.
Uvažujme libovolné prvky a0 ∈ aN a b0 ∈ bN, pak existují c, d ∈
0
0
∈ N tak, že a0 = ac a b0 = bd. Pro součin tříd
a0 N
a N, b N platí
∗
0
0 0
−1
−1
∗ b N = (a b )N = (acbd)N = a(bb )cbd N = (ab)(b cb)d N.
−1
−1
Protože N / G,
platí b cb ∈ N,0 tedy (b 0 cb)d ∈ N a proto platí
−1
(ab)(b cb)d N = (ab)N. Pro a ∈ aN a b ∈ bN jsme obdrželi rovnost a0 N ∗ b0 N = aN ∗ bN, a součin dvou tříd aN, bN ∈ G/N tedy
nezáleží na výběru reprezentantů z těchto tříd.
Str. vpřed
Konec
Vpřed
Obsah
Rejstřík
Hledej
Okno
Zavřít
Pokud máme třídy aN, bN, cN ∈ G/N, potom platí (aN ∗ bN) ∗
∗ cN = (ab)cN = a(bc)N = aN ∗ (bN ∗ cN) a (G/N, ∗) je pologrupa.
Pokud násobíme třídu aN a třídu N = eN dostáváme aN ∗ eN =
= (ae)N = aN, třída eN je neutrálním prvkem v (G/N, ∗). Dále aN ∗
∗ a−1 N = (aa−1 )N = eN a ke každé třídě aN je inverzním prvkem
a−1 N. Struktura (G/N, ∗) je grupa.
Mějme zobrazení p: a 7→ aN. Toto zobrazení je jistě surjektivní
zobrazení G na G/N. Uvažujme prvky a, b ∈ G, p(ab) = (ab)N = aN ∗
∗ bN = p(a) ∗ p(b), tedy p je epimorfismus.
Protože N = eN = hN pro všechny prvky h ∈ N, platí p(h) = eN a
,
N ⊆ ker(p). Obráceně, necht a ∈ ker(p) potom p(a) = aN = eN, tedy
a ∈ N a platí N ⊆ ker(p). Platí tedy N = ker(p).
I.11
(90)
Zpět
Začátek
Str. zpět
Jdi na
Str. vpřed
Konec
11.3. Poznámka. Z vět 11.2 a 10.3 plyne, že každá normální podgrupa
grupy G určuje svým rozkladem na G jednoznačně kongruenci. Pokud
vezmeme v úvahu také větu 10.5 existuje mezi kongruencemi a normálními podgrupami jedna-jedna korespondence.
Grupě (G/N, ∗) říkáme faktorová grupa grupy G podle normální
podgrupy N. Zobrazení p z věty 11.2 je projekce na faktorovou grupu
G/N. Podle následující věty je projekce p je zobrazení univerzální, tedy
je zobecněním libovolného homomorfismu grupy G.
Vpřed
Obsah
Rejstřík
Hledej
Okno
Zavřít
11.4. Věta. (Základní věta o faktorových grupách) Mějme grupy G
,
a G0 . Necht N je normální podgrupa grupy G a p projekce na faktorovou
grupu G/N. Potom pro každý homomorfismus f: G → G0 , pro který platí
N ⊆ ker(f) existuje jediný homomorfismus f 0 : G/N → G0 takový, že f =
= p ◦ f 0 . Tedy následující diagram komutuje.
p
G
- G/N
f
Začátek
f0
Q
(91)
Zpět
Q
Q
I.11
Q
Q
Str. zpět
?
G0
s
Q
Jdi na
Důkaz. Mějme N / G a homomorfismus f: G → G0 , kde N ⊆ ker(f).
Pro všechny h ∈ N platí f(h) = e0 , neutrální prvek v G0 . Tedy pro každé
a0 ∈ aN, a0 = ah, h ∈ N platí f(a0 ) = f(ah) = f(a)f(h) = f(a).
Všechny prvky jedné třídy rozkladu G/N mají stejný obraz a můžeme
zobrazení f 0 : G/N → G0 definovat předpisem
0
f (aH) = f(a) .
Str. vpřed
Konec
Vpřed
Obsah
Rejstřík
Dostáváme
Hledej
0
0
0
(p ◦ f )(a) = f p(a) = f (aH) = f(a) .
(1)
Zobrazení f je jediné zobrazení G/N → G s vlastností f = p ◦ f .
0
0
0
Okno
Zavřít
Dále platí
I.11
(92)
f 0 (aH ∗ bH) = f(abH) = f(ab) = f(a)f(b) = f 0 (aH)f 0 (bH) ,
zobrazení f 0 je homomorfismus.
Zobrazení p je surjekce a tedy z (1) plyne, že pro homomorfismy f
a f 0 z předchozí věty platí
=f = =f 0 .
,
p
f
f0
Začátek
Str. zpět
Necht i je inzerce =f do G0 , pak g: G/N 7→ =f je izomorfismus a
následující diagram komutuje.
G
Zpět
Jdi na
Str. vpřed
Konec
- G/N
g
Vpřed
(2)
Obsah
?
+
G0 i
?
=f
Dále, N je podgrupa grupy ker(f) a protože N / G, musí platit N /
/ ker(f). Faktorová grupa ker(f)/N je podgrupou G/N. Přičemž pro
všechny aN ∈ ker(f)/N, platí a ∈ ker(f) a f 0 (aN) = f(a) = e0 ∈
∈ G0 . Tedy ker(f)/N ⊆ ker(f 0 ). A naopak, pokud pro některou třídu
Rejstřík
Hledej
Okno
Zavřít
aN ∈ G/N platí aN ∈ ker(f 0 ), potom f(a) = f 0 (aN) = e0 a aN ∈
∈ ker(f)/N, tedy ker(f 0 ) ⊆ ker(f)/N a nutně dostáváme
I.11
(93)
ker(f 0 ) = ker(f)/N .
Jako důsledek věty 11.4 můžeme vyslovit následující větu o izomorfismu.
11.5. Věta. (První věta o izomorfismu) Mějme surjektivní homomorfismus f: G → G0 . Potom G/ ker(f) je izomorfní s G0 .
p
G
- G/ ker(f)
Zpět
Začátek
Str. zpět
Jdi na
Str. vpřed
Q
Q
f0
Q
f
Konec
Q
Q
s
Q
?
G0
Vpřed
Obsah
Rejstřík
11.6. Věta. (Druhá věta o izomorfismu) Mějme H podgrupu grupy G a
normální podgrupu N / G. Potom NH je podgrupa G, H ∩ N je normální
v H a zobrazení g: H/H ∩ N → HN/N dané předpisem
h(H ∩ N) 7→ hN ,
h∈H
Hledej
Okno
Zavřít
je izomorfismus.
I.11
p2
H
p1
- H/H ∩ N
g
p10
?
+
G/N (94)
i
?
HN/N
Důkaz. Uvažujme zobrazení p1 : H → G/N definované předpisem
Zpět
Začátek
Str. zpět
h 7→ hN.
Jdi na
Zobrazení p1 je restrikcí projekce p: G → G/N na množinu H a je tedy
homomorfismus s jádrem
Str. vpřed
ker(p1 ) = H ∩ N
a tedy H ∩ N / H.
Dokažme nyní, že množina HN je podgrupa v G. Mějme x, y ∈
∈ HN, tedy existují a1 , a2 ∈ H a b1 , b2 ∈ N takové, že x = a1 b1
a y = a2 b2 . Uvažujme součin xy−1 = a1 b1 (a2 b2 )−1 = a1 b1 b2−1 a−1
2 .
Označme prvek b1 b2−1 = b0 ∈ N Protože N / G, pak aNa−1 = N pro
všechny a ∈ G a tedy existuje b ∈ N takové, že b0 = a2−1 ba2 a součin
xy−1 = a1 a−1
2 b již zřejmě leží v HN.
Konec
Vpřed
Obsah
Rejstřík
Hledej
Okno
Zavřít
Homomorfismus p1 má zřejmě obraz
I.11
(95)
=p1 = HN/N ,
přičemž i je vnoření HN/N → G/N a podle (2) je HN/N ' H/H ∩
∩ N.
11.7. Poznámka. Mějme N1 , N2 normální podgrupy v G a podgrupu H takovou, že K = N1 ∩ H = N2 ∩ H potom podle předchozí věty HN1 /N1 '
' K ' HN2 /N2 . Tedy
Zpět
Začátek
Str. zpět
HN1 /N1 ' HN2 /N2 .
Jdi na
Str. vpřed
11.8. Věta. (Třetí věta o izomorfismu) Mějme normální podgrupy N /
/ H / G. Potom
(G/N) (H/N) ' G/H ,
Konec
Vpřed
Obsah
tedy následující diagram komutuje.
p
G/N
Rejstřík
- (G/N) (H/N)
Q
Hledej
Q
f0
Q
f
Q
Okno
Q
s
Q
?
G/H
Zavřít
Důkaz. Mějme zobrazení f: G/N → G/H, toto zobrazení je epimorfismus s jádrem H/N. Tedy, použijeme-li větu 11.5, dostáváme hledaný
izomorfismus.
11.9. Poznámka. Platnost této věty můžeme zobecnit. Mějme grupu G a
,
její faktorovou grupu Ḡ. Necht projekce p: G 7→ Ḡ definovaná předpisem
I.11
(96)
Zpět
a 7→ [a]
Začátek
má jádro ker(p) = N / G. Z věty 11.5 plyne, že Ḡ ' G/N. Pak existuje
jedna-jedna korespondence mezi podgrupami grupy G obsahujícími N
a podgrupami Ḡ. Pokud H je podgrupou v G, pak podle věty 11.6 je
HN podgrupou v G množina tříd H̄ = {[h]; h ∈ H} = {hN ; h ∈ H}
je podgrupou v Ḡ, kde H̄ = p(HN) = p(H). Pokud máme H1 , H2 dvě
podgrupy v G s vlastností H1 je podgrupou H2 , pak H̄1 je podgrupou H̄2
a navíc
Str. zpět
Jdi na
Str. vpřed
Konec
Vpřed
Obsah
[H1 : H2 ] = [H̄1 : H̄2 ]
Podgrupa H je normální v G právě, když H̄ je normální v Ḡ. Potom
dostáváme
G/H ' Ḡ/H̄ .
Rejstřík
Hledej
Okno
Zavřít
I.12
(97)
1. Dokaž, že pro libovolnou konečnou grupu G a libovolný její homomorfismus f: G → G0 platí #G = #=f · # ker(f).
2. Dokažte, že pro dvě konečné grupy G a G0 , pro které platí, že největší společný dělitel #G a #G0 je 1, existuje pouze triviální homomorfismus zobrazující celou grupu G na neutrální prvek v G0 .
Zpět
3. Mějme Cn cyklickou podgrupu grupy ∆n . Dokažte, že ∆n /Cn ' Z2 .
Začátek
4. Dokažte, že 4Z/20Z ' Z5 .
Str. zpět
5. Mějme grupu (Q \ {0}, ·) a její podgrupu ({−1, 1}, ·). Popište faktorovou grupu Q \ {0}/{−1, 1}.
6. Mějme grupu G a její centrum Z(G), Dokažte, že G/Z(G) je izomorfní grupě vnitřních automorfismů In(G).
7. Dokažte, že komutátor grupy G, K(G, je normální podgrupa v G.
8. Popište faktorovou grupu GL2 (R)/SL2 (R).
,
9. Necht S značí množinu reálných skalárních matic stupně 2,
S=
a
0
0
a
;
a∈R .
Jdi na
Str. vpřed
Konec
Vpřed
Obsah
Rejstřík
Hledej
Okno
Popište faktorovou grupu GL2 (R)/S.
Zavřít
12.
Direktní součiny grup
I.12
(98)
12.1. Definice. Mějme grupy G1 a G2 . Struktura (G1 × G2 , ∗) s operací
∗ definovanou předpisem
(a1 , a2 ) ∗ (b1 , b2 ) = (a1 b1 , a2 b2 ) ,
kde a1 , b1 ∈ G1 a a2 , b2 ∈ G2 , je grupa a nazývá se direktní součin grup
G1 a G2 .
Zpět
Začátek
Str. zpět
Jdi na
,
12.2. Věta. Necht H1 a H2 jsou podgrupy grupy G. Zobrazení f: H1 ×
× H2 → G definované předpisem
Str. vpřed
f ((h1 , h2 )) = h1 h2
Vpřed
pro všechna h1 ∈ H1 a h2 ∈ H2 , je grupový izomorfismus právě, když platí
následující podmínky
Obsah
1. H1 H2 = G,
Konec
Rejstřík
2. H1 ∩ H2 = {e},
Hledej
3. pro všechny h1 ∈ H1 a h2 ∈ H2 platí h1 h2 = h2 h1 .
Okno
Důkaz. Pokud f je izomorfismus, pak je zřejmé, že platí podmínky 1–3.
Zavřít
Obráceně, předpokládejme platnost podmínek 1–3. Mějme prvky
(a1 , a2 ), (b1 , b2 ) ∈ H1 × H2 , potom
f (a1 , a2 ) ∗ (b1 , b2 ) = f (a1 b1 , a2 b2 ) =
I.12
(99)
= a1 b1 a2 b2
což můžeme díky platnosti podmínky 3 přepsat
f (a1 , a2 ) ∗ (b1 , b2 ) = a1 a2 b1 b2 =
= f (a1 , a2 ) · f (b1 , b2 )
a zobrazení f je homomorfismus. Podmínka 1 zaručuje, že tento homomorfismus je surjektivní. Pro jádro tohoto zobrazení platí (a1 , a2 ) ∈
∈ ker(f) právě, když a1 a2 = e, odsud a1 = a−1
2 , protože a1 ∈ H1
a a2 ∈ H2 , platí a1 ∈ H1 ∩ H2 = {e}. Tedy ker(f) je jednoprvková
množina {(e, e)}, neutrální prvek v G1 × G2 , zobrazení f je injektivní.
Ukázali jsme, že f je izomorfismus.
,
12.3. Věta. Necht H1 a H2 jsou podgrupy grupy G. Zobrazení f: H1 ×
× H2 → G definované předpisem
Zpět
Začátek
Str. zpět
Jdi na
Str. vpřed
Konec
Vpřed
Obsah
Rejstřík
f ((h1 , h2 )) = h1 h2
pro všechna h1 ∈ H1 a h2 ∈ H2 , je grupový izomorfismus právě, když platí
následující podmínky
1. H1 H2 = G,
Hledej
Okno
Zavřít
2. H1 ∩ H2 = {e},
I.12
(100)
3. H1 a H2 jsou obě normální v G.
Důkaz. Vzhledem k platnosti věty 12.2 stačí dokázat, že pokud platí
první dvě podmínky, je podmínka 3 ekvivalentní podmínce 3 z věty 12.2.
,
Necht platí podmínky 1–3 dokazované věty. Ukažme, že pro všechny
h1 ∈ H1 a h2 ∈ H2 platí h1 h2 = h2 h1 . Mějme tedy h1 ∈ H1 a h2 ∈ H2 .
Protože H1 je normální podgrupa v G, existuje h01 ∈ H1 takové, že h01 =
= h2 h1 h−1
2 odsud
h01 h2 = h2 h1 .
(3)
Protože také H2 je normální podgrupou, prvek
−1
0
h−1
1 h1 h2 = h1 h2 h1
leží v podgrupě H2 . Vynásobíme-li tuto rovnost zprava prvkem h−1
2 dostáváme
−1
−1
0
h−1
1 h1 = h1 h2 h1 h2 ∈ H2
0
Tedy součin h−1
1 h1 leží zároveň v obou podgrupách H1 a H2 . Podle pod0
0
mínky 2 je h−1
1 h1 = e a proto h1 = h1 a podle (3) dostáváme h1 h2 =
= h2 h1 a platí podmínka 3 z věty 12.2.
,
Naopak, necht platí podmínky 1–3 z věty 12.2, dokažme, že obě
podgrupy H1 a H2 jsou normální. Mějme h ∈ H1 a libovolné a ∈ G.
Zpět
Začátek
Str. zpět
Jdi na
Str. vpřed
Konec
Vpřed
Obsah
Rejstřík
Hledej
Okno
Zavřít
Podle podmínky 1 existují takové h1 ∈ H1 a h2 ∈ H2 , že a = h1 h2 .
Protože platí podmínka 3 z věty 12.2 a tedy h2 h = hh2 , můžeme psát
I.12
(101)
aha−1 = (h1 h2 )h(h1 h2 )−1 =
−1
= h1 h2 hh−1
2 h1 =
−1
= h1 hh2 h−1
2 h1 =
=
h1 hh−1
1
∈ H1 .
Podgrupa H1 je normální. Podobně dokážeme, že také H2 je normální a
platí podmínka 3 z dokazované věty.
Zpět
Začátek
Str. zpět
Jdi na
Str. vpřed
Mějme direktní součin grup G1 × G2 . Označme e1 ∈ G1 a e2 ∈ G2
neutrální prvky v grupách G1 a G2 . Je zřejmé, že zobrazení p1 : a1 7→
7→ (a1 , e2 ) a p2 : a2 7→ (e1 , a2 ) jsou homomorfismy grup
Konec
Vpřed
Obsah
p1 : G1 → G1 × G2 ,
p2 : G2 → G1 × G2 .
Větu 12.2 lze zobecnit do následujícího tvrzení.
12.4. Věta. Mějme homomorfismy grup f1 : G1 → G a f2 : G2 → G takové,
že f1 (g1 ) · f2 (g2 ) = f2 (g2 ) · f1 (g1 ) pro každé g1 ∈ G1 a g2 ∈ G2 . Potom
Rejstřík
Hledej
Okno
Zavřít
existuje jediný homomorfismus f: G1 × G2 → G, takový, že f1 = p1 ◦ f a
f2 = p2 ◦ f.
p1
G1
p2
- G1 × G2 I.12
(102)
G2
Q
Q
f1
f
Q
f2
Q
Q
s
Q
? +
G
Důkaz. Mějme dány homomorfismy f1 : G1 → G a f2 : G2 → G takové, že
f1 (a1 ) · f2 (a2 ) = f2 (a2 ) · f1 (a1 ) a uvažujme zobrazení f: G1 × G2 → G
dané předpisem
(a1 , a2 ) 7→ f1 (a1 ) · f2 (a2 ) .
Zpět
Začátek
Str. zpět
Jdi na
Str. vpřed
Konec
Vpřed
Platí
f (a1 , a2 ) ∗ (b1 , b2 ) = f (a1 b1 , a2 b2 ) = f1 (a1 b2 ) · f2 (a2 b2 ) =
= f1 (a1 ) · f1 (b1 ) · f2 (a2 ) · f2 (b2 ) =
nyní využijeme, že f1 (b1 ) · f2 (a2 ) = f2 (a2 ) · f1 (b1 ) a dostáváme
= f1 (a1 ) · f2 (a2 ) · f1 (b1 ) · f2 (b2 ) =
= f (a1 , a2 ) · f (b1 , b2 )
Obsah
Rejstřík
Hledej
Okno
Zavřít
Zvolené zobrazení f je homomorfismem G1 × G2 a G.
Mějme f 0 libovolný homomorfismus grup G1 × G2 a G takový, že
f1 = p1 ◦ f 0 a f2 = p2 ◦ f 0 . Potom
f 0 (a1 , a2 ) = f 0 (a1 , e2 ) ∗ (e1 , a2 ) =
= f 0 (a1 , e2 ) · f 0 (e1 , a2 ) =
= f 0 p1 (a1 ) · f 0 p2 (a2 ) =
= f1 (a1 ) · f2 (a2 ) =
= f (a1 , a2 )
I.12
(103)
Zpět
Začátek
Str. zpět
a zobrazení f 0 a f splývají. Homomorfismus f: G1 × G2 → G je tedy
určen jednoznačně.
Jdi na
Str. vpřed
Konec
Na úplný závěr ještě jedno zobecnění věty 12.2.
Vpřed
,
12.5. Věta. Necht H1 a H2 jsou podgrupy grupy G takové, že
1. H1 H2 = G,
Obsah
2. pro všechny h1 ∈ H1 a h2 ∈ H2 platí h1 h2 = h2 h1 .
Rejstřík
Potom G/(H1 ∩ H2 ) je izomorfní grupě G/H1 × G/H2 , ve které je násobení definováno předpisem
Hledej
(aH1 , bH2 )(cH1 , dH2 ) = (ac)H1 , (bd)H2 .
Zavřít
Okno
Následující diagram komutuje.
I.12
p
G
(104)
- G/(H1 ∩ H2 )
Q
Q
f0
Q
f
Q
Q
s
Q
?
G/H1 × G/H2
Zpět
Důkaz. Mějme grupu G a její podgrupy H1 , H2 splňující předpoklady
naší věty. Nejdříve se zabývejme strukturou G/H1 × G/H2 . Pokud a ∈
∈ G, pak existují a1 ∈ H1 a a2 ∈ H2 tak, že a = a1 a2 . Třída aH1 =
= a1 a2 H1 se díky vlastnosti 2 rovná třídě a2 H1 . Podobně aH2 = a1 H2 .
Dostáváme
G/H1 × G/H2 = (G \ H1 )/H1 × (G \ H2 )/H2 .
(4)
Začátek
Str. zpět
Jdi na
Str. vpřed
Konec
Vpřed
Mějme a, b ∈ G. Mějme součin tříd definován předpisem
(aH1 )(bH2 ) = (ab)H1 .
Obsah
Uvažujme libovolné prvky a0 ∈ aH1 a b0 ∈ bH1 , pak existují g, h ∈ H1
tak, že a0 = ag a b0 = bh. Pro součin tříd a0 H1 , b0 H1 platí (a0 H1 )(b0 H1 ) =
= (a0 b0 )H1 = (agbh)H1 toto se díky vlastnosti 2 rovná (ab)H1 . Podobně
(a0 H2 )(b0 H2 ) = (ab)H2 . Násobení
(aH1 , bH2 )(cH1 , dH2 ) = (ac)H1 , (bd)H2
Rejstřík
Hledej
Okno
Zavřít
ve struktuře G/H1 × G/H2 je nezávislé na volbě reprezentantů jednotli,
vých tříd. Ted již je snadné ukázat, že G/H1 × G/H2 tvoří spolu s tímto
násobením grupu.
Uvažujme zobrazení p: G → G/H1 × G/H2 , pro prvek a ∈ G, a =
= a1 a2 , a1 ∈ H1 , a2 ∈ H2 zadané předpisem
p: a1 a2 7→ (a2 H1 , a1 H2 ) .
I.12
(105)
Zpět
Pro a, b ∈ G platí
Začátek
Str. zpět
f(ab) = (ab)H1 , (ab)H2 =
= (aH1 bH1 , aH2 bH2 ) =
= (aH1 , aH2 )(bH1 , bH2 ) =
Jdi na
,
= f(a)f(b)
Str. vpřed
Konec
Vpřed
takže f je homomorfismus a díky (4) je f zřejmě epimorfismus. V grupě
G/H1 × G/H2 je neutrální prvek (eH1 , eH2 ), na který se zobrazují právě
takové prvky z G které leží v H1 ∩ H2 , tedy ker(f) = H1 ∩ H2 . Nyní už
je naše věta důsledkem věty 11.5.
Obsah
Rejstřík
Hledej
1. Zapište ∆6 jako direktní součin podgrup.
Okno
2. Zapište Kleinovu čtyřgrupu jako direktní součin podgrup.
Zavřít
3. Ověřte, zda C2 a C4 jsou normální v ∆4 .
I.12
(106)
4. Rozložte na direktní součin aditivní grupu komplexních čísel.
5. Rozložte na direktní součin cyklickou grupu Cp , kde p je prvočíslo.
6. Dokažte, že pokud má grupa G jedinou netriviální normální podgrupu, pak G nelze rozložit na direktní součin podgrup.
7. Pro která n lze rozložit na direktním součin alternující grupu An .
Zpět
,
8. Necht direktním součiny grup G1 × G2 G1 × G3 jsou izomorfní. Dokažte, že G2 je izomorfní G3 .
,
9. Necht G je direktní součin podgrup H1 a H2 . Ukažte, že centrum
Z(G) je direktní součin Z(H1 ) a Z(H2 ).
,
10. Necht H1 a H2 jsou podgrupy grupy G takové, že
Začátek
Str. zpět
Jdi na
Str. vpřed
a) H1 H2 = G,
Konec
b) H1 ∩ H2 = e
Vpřed
c) pro všechny h1 ∈ H1 a h2 ∈ H2 platí h1 h2 = h2 h1 .
Dokažte, že H1 ' G/H2 a H2 ' G/H1 .
Obsah
Rejstřík
Hledej
Okno
Zavřít
II.1
II.
Struktury se dvěma binárními
operacemi
(107)
Zpět
Začátek
Str. zpět
1.
Od okruhu k tělesu
Jdi na
Str. vpřed
1.1. Definice. Mějme neprázdnou množinu R a dvě binární operace na
R, + a ·, trojici (R, +, ·) nazýváme okruh, jestliže (R, +) je abelovská grupa, (R, ·) je pologrupa a pro všechny trojice a, b, c ∈ R platí distributivní
zákony
a · (b + c) = a · b + a · c ,
(b + c) · a = b · a + c · a .
Poznamenejme, že operace násobení bude mít v tomto textu vždy
vyšší prioritu než sčítání a tedy v zápise (a · b) + c budeme vynechávat
závorky a psát jen a · b + c.
Konec
Vpřed
Obsah
Rejstřík
Hledej
Okno
Zavřít
Je-li násobení komutativní operace říkáme, že okruh (R, +, ·) je komutativní.
V okruzích budeme obvykle používat pro neutrální prvek aditivní
struktury znak 0 a budeme mu říkat nulový prvek okruhu. Pokud existuje neutrální prvek struktury multiplikativní, pak jej obvykle budeme
značit 1 a budeme mu říkat jednotkový prvek okruhu R.
Mějme okruh R s jednotkovým prvkem 1. Multiplikativní struktura
okruhu (R, ·) nemusí být grupou, tedy ke každému prvku nemusí existovat inverze. Prvky okruhu R ke kterým existuje inverzní prvek nazýváme
invertibilní nebo také jednotky okruhu1 . Množinu jednotek označme R× .
Množina R× tvoří multiplikativní grupu.
Okruhu (R, +, ·) ve kterém je množina R jednoprvková, říkáme triviální okruh. O netriviálním okruhu mluvíme, jestliže R je alespoň dvouprvková množina.
1.2. Příklad.
1. Celá čísla s násobením a sčítáním (Z, +, ·) jsou komutativním a
okruhem s jednotkou.
2. Pro libovolné n ∈ N je množina zbytkových tříd Zn spolu se sčítáním
a násobením zbytkových tříd (Zn , +, ·) komutativním a okruhem
s jednotkou.
II.1
(108)
Zpět
Začátek
Str. zpět
Jdi na
Str. vpřed
Konec
Vpřed
Obsah
Rejstřík
Hledej
Okno
1
Nezaměňujme jednotkový prvek, tj. prvek neutrální vzhledem k násobení, s jednotkami v okruhu.
Zavřít
3. Množina čtvercových matic stupně n ≥ 2, spolu se sčítáním a násobením matic (Mn (R), +, ·), tvoří nekomutativní kruh s jednotkou.
II.1
(109)
4. Vektorový prostor R3 spolu se sčítáním vektorů a vektorovým součinem (R3 , +, ×) není okruh. Operace · je nekomutativní, neasociativní a neexistuje jednotka.
1.3. Věta. V okruhu (R, +, ·) platí pro všechny a, b ∈ R
Zpět
1. a · 0 = 0 · a = 0,
Začátek
2. (−a)b = a(−b) = −(ab), speciálně (−1)a = −a,
Str. zpět
3. (−a)(−b) = ab,
4. v netriviálních okruzích platí 0 6= 1.
Jdi na
Str. vpřed
Důkaz. 1) Mějme libovolný prvek x v okruhu (R, +, ·), potom pro každé
a ∈ R platí a0 = a(x − x) = ax − ax = 0.
2) Pro a, b ∈ R máme
Konec
ab + (−a)b = (a − a)b = 0b = 0 ,
Obsah
ab + a(−b) = a(b − b) = a0 = 0 ,
Rejstřík
oba prvky (−a)b a(−b) jsou opačné k ab a tedy jsou si rovny.
3) Platí (−a)(−b) = −a(−b) = −(−ab) = ab.
4) Pokud 0 = 1, pak v souladu s předchozím a = 1a = 0a = 0, pro
každé a ∈ R, tedy R je triviální.
Vpřed
Hledej
Okno
Zavřít
Pro zjednodušení zápisu budeme místo a + (−b) psát a − b. Takto
definované odčítání je operace na R.
II.1
(110)
V okruhu (R, +, ·) definujme n-násobek prvku a ∈ G, n ∈ Z,
n·a=a
| +a+
{z· · · + a} .
n-krát
Pro 0 ∈ Z položme 0 · a = 0 ∈ R. Podobně jako v kapitole I.6 platí
m · a + n · a = (m + n) · a ,
m · (n · a) = (mn) · a .
Protože aditivní struktura okruhu je komutativní grupa, platí
n · (a + b) = n · a + n · bi .
1.4. Definice. Říkáme, že okruh R má charakteristiku n, jestliže n je
nejmenší nezáporné celé číslo takové, že platí
na = 0,
pro každé a ∈ R .
Pokud takovéto n neexistuje říkáme, že okruh má charakteristiku 0.
Prvek a okruhu R nazveme dělitel nuly, jestliže existuje prvek b ∈
∈ R \ {0} tak, že ab = 0. Množinu všech dělitelů nuly značíme z(R).
Pokud a 6= 0 jde o netriviální dělitel nuly. Je zřejmé, že nulový prvek
okruhu patří množině z(R), říkáme, že je triviálním dělitelem nuly.
Zpět
Začátek
Str. zpět
Jdi na
Str. vpřed
Konec
Vpřed
Obsah
Rejstřík
Hledej
Okno
Zavřít
1.5. Příklad. Mějme okruh matic M2 (R), pak
1 0
0 0
0
=
0 1
0
0 0
II.1
0
0
(111)
,
tedy existují nenulové prvky v M2 (R) jejichž součin dává nulový prvek
tohoto okruhu.
Zpět
1.6. Definice. Netriviální komutativní okruh ve kterém je součin libovolných nenulových prvků nenulový, tj.
a 6= 0
b 6= 0
a
implikuje
ab 6= 0 ,
(5)
Začátek
Str. zpět
Jdi na
Str. vpřed
se nazývá obor integrity.
Konec
Obor integrity je tedy komutativní okruh bez netriviálních dělitelů
,
nuly. Hledejme ted ekvivalentní podmínky, k podmínce (5). je zřejmé,
že podmínku (5) můžeme nahradit podmínkou
ab = 0
implikuje
a=0
nebo
b = 0.
1.7. Věta. Netriviální komutativní okruh je obor integrity právě, když pro
násobení platí zákon krácení tj.
ab = ac
a
a 6= 0
implikuje
b = c.
Vpřed
Obsah
Rejstřík
Hledej
Okno
Zavřít
Důkaz. Mějme obor integrity (R, +, ·). Potom pro každé dva nenulové
prvky a, b ∈ R platí ab 6= 0.
,
Necht ab = ac a zároveň a 6= 0. Potom
II.1
(112)
ab = ac
ab − ac = 0
Zpět
a(b − c) = 0 .
Začátek
Toto platí právě tehdy, když b − c = 0, tedy b = c. V oboru integrity R
platí zákon o krácení.
Obráceně, mějme komutativní okruh R ve kterém platí zákon o krácení. Pro každý nenulový prvek a ∈ R platí a0 = 0. Rovnost ab = 0 =
= a0 můžeme krátit a tedy ab = 0 implikuje b = 0 a okruh R je oborem
integrity.
Str. zpět
Jdi na
Str. vpřed
Konec
Vpřed
1.8. Věta. V oboru integrity R má každá rovnice ax = b, a, b ∈ R, nejvýše
jedno řešení.
Rejstřík
Důkaz. Pokud v oboru integrity R má rovnice ax = b, a, b ∈ R, řešení,
tak je díky zákonu o krácení jediné.
Hledej
1.9. Definice. Okruh (R, +, ·), ve kterém je (R \ {0}, ·) grupou nazýváme tělesem.
Obsah
Okno
Zavřít
Je zřejmé, že v těleso musí obsahovat 1 6= 0 a tedy je vždy netriviálním okruhem. Také je snadno vidět, že těleso nemůže obsahovat
netriviální dělitele nuly.
II.1
(113)
1.10. Příklad.
1. Celá čísla s násobením a sčítáním (Z, +, ·) jsou oborem integrity.
2. Ve vektorovém prostoru R3 spolu se sčítáním vektorů a vektorovým
součinem (R3 , +, ×) jsou každé dva lineárně závislé vektory děliteli
nuly.
Zpět
Začátek
3. Racionální čísla s násobením a sčítáním (Q, +, ·) jsou komutativním
tělesem.
Str. zpět
4. Mějme okruh (Z6 , +, ·), pak zbytkové třídy [2] a [3] jsou děliteli
,
nuly, nebot 2 · 3 ≡ 0 (mod 6).
Str. vpřed
5. Pro libovolné prvočíslo p je množina zbytkových tříd Zp spolu se
sčítáni a násobením zbytkových tříd (Zp , +, ·) komutativním tělesem.
Vpřed
Jdi na
Konec
Obsah
Rejstřík
Je-li (R \ {0}, ·) komutativní grupa, hovoříme o komutativním tělese, které se někdy nazývá pole. Následující příklad nám potvrzuje existenci nekomutativního tělesa. Tento případ je však ojedinělý a proto
v následujících kapitolách budeme pod pojmem těleso chápat již těleso
komutativní, pokud nebude uvedeno jinak.
Hledej
Okno
Zavřít
1.11. Příklad. Ukážeme si jedno zobecnění komplexních čísel, těleso kvaternionů. Definujme Q jako množinu uspořádaných čtveřic reálných čísel, Q = R4 . Pro α ∈ Q, α = (a0 , a1 , a2 , a3 ) a r ∈ R položme rα = αr =
= (ra0 , ra1 , ra2 , ra3 ). Pro dva prvky α, β ∈ Q, α = (a0 , a1 , a2 , a3 ),
β = (b0 , b1 , b2 , b3 ) definujme součet
α + β = (a0 + b0 , a1 + b1 , a2 + b2 , a3 + b3 )
a součin
II.1
(114)
Zpět
Začátek
α · β = (c0 , c1 , c2 , c3 ) ,
Str. zpět
Jdi na
kde
c0 = a0 b0 − a1 b1 − a2 b2 − a3 b3 ,
Str. vpřed
c1 = a0 b1 + a1 b0 + a2 b3 − a3 b2 ,
Konec
c2 = a0 b2 − a1 b3 + a2 b0 + a3 b1 ,
Vpřed
c3 = a0 b3 + a1 b2 − a2 b1 + a3 b0 .
Obsah
Pokud označíme bázové kvaterniony
1 = (1, 0, 0, 0) ,
i = (0, 1, 0, 0) ,
j = (0, 0, 1, 0) ,
k = (0, 0, 0, 1) ,
pak každý kvaternion můžeme jednoznačně zapsat ve tvaru
α = a0 + a1 i + a2 j + a3 k ,
Rejstřík
Hledej
Okno
Zavřít
přičemž předpis pro násobení můžeme zjednodušit. Pokud si vypíšeme
vztahy pro součin bázových prvků
II.1
(115)
i2 = j2 = k2 = −1 ,
ij = −ji = k
jk = −kj = i ,
ki = −ik = j ,
můžeme kvaterniony násobit podobně jako se násobí polynomy.
Je zřejmé, že (Q, +) je grupa a tedy kvaterniony tvoří okruh. Prvek 1 je jednotkou v okruhu kvaternionů. Násobení je asociativní, protože bázové prvky jsou si rovnocenné, stačí dokázat následujících pět
rovností
(ii)i = i(ii) ,
(ii)j = i(ij) ,
(ij)i = (i(ji)
(ji)i = j(ii) ,
(ij)k = i(jk) .
Zpět
Začátek
Str. zpět
Jdi na
Str. vpřed
Ke kvaternionu α = a0 + a1 i + a2 j + a3 k definujme kvaternion
sdružený
ᾱ = a0 − a1 i − a2 j − a3 k ,
Konec
a dále definujme normu kvaternionu α
Obsah
n(α) = αᾱ .
Vpřed
Rejstřík
Je zřejmé, že n(α) = αᾱ = a20 + a21 + a22 + a23 ∈ R a n(α) = 0 pouze pro
α = 0. Přestože kvaterniony obecně nekomutují, platí
Hledej
αᾱ = ᾱα
Zavřít
Okno
pro libovolný kvaternion α.
Nyní už je snadné ukázat, že
II.1
(116)
α ᾱ/n(α) = ᾱ/n(α) α = 1 .
Tedy ke každému nenulovému kvaternionu α existuje kvaternion inverzní α−1 = ᾱ/n(α) a množina kvaternionů je nekomutativní těleso.
1.12. Definice. Mějme okruh (R, +, ·) a podmnožinu S ⊆ R s operacemi
⊕ a tak, že pro každé a, b ∈ S platí a ⊕ b = a + b a a b = a · b.
Potom (S, ⊕, ) nazýváme je podokruh okruhu R.
Zpět
Začátek
Str. zpět
Jdi na
Operace v okruhu i jeho podokruzích budeme obvykle značit stejným symbolem.
Str. vpřed
1.13. Věta. Mějme S ⊆ R. (S, +, ·) je podokruhem okruhu (R, +, ·) právě, když
Vpřed
Konec
1. 0 ∈ S,
Obsah
2. pro každé a ∈ S platí −a ∈ S,
Rejstřík
3. pro všechny a, b ∈ S platí a + b ∈ S, a · b ∈ S.
Hledej
Důkaz. Viz věta I.2.3.
Podobně z věty I.2.4 lze odvodit větu následující.
Okno
Zavřít
1.14. Věta. Mějme S ⊆ R, S 6= ∅. (S, +, ·) je podokruhem okruhu (R, +, ·)
právě, když pro všechny a, b ∈ S platí a − b ∈ S a a · b ∈ S.
II.1
(117)
1.15. Definice. Je-li podokruh S tělesa R také tělesem, nazýváme jej
podtěleso tělesa Ra.
1.16. Věta. Mějme S ⊆ R, S 6= ∅. (S, +, ·) je podtělesem tělesa (R, +, ·)
právě, když
1. pro každé a, b ∈ S platí a − b ∈ S,
Začátek
Str. zpět
2. 1 ∈ S,
Jdi na
3. pro každé a, b ∈ S, b 6= 0 platí ab−1 ∈ S.
Důkaz. Dokážeme podobně jako větu I.2.4.
Zpět
Str. vpřed
Je zřejmé, že pokud máme S, S0 podokruhy (podtělesa) okruhu R,
pak množina S ∩ S0 je podokruh (podtěleso) okruhu R.
1.17. Příklad.
1. Libovolný okruh (R, +, ·) je svým podokruhem. Také ({0}, +, ·) je
podokruhem R. Tyto dva podokruhy se nazývají triviální podokruhy.
2. Množina sudých celých čísel s nulou 2Z, je podokruhem oboru integrity (Z, +, ·), protože také tvoří obor integrity můžeme mluvit
o podoboru integrity.
Konec
Vpřed
Obsah
Rejstřík
Hledej
Okno
Zavřít
3. Okruh celých čísel Z je podokruhem tělesa racionálních čísel Q.
II.1
(118)
4. Množina Z[i] Gaussových celých čísel, tj. komplexních čísel tvaru
m + ni, kde m, n ∈ Z je podokruh tělesa komplexních čísel.
2
5. Položme Q0 = Q4 . Ukažte, že množina racionálních kvaternionů Q0 ,
je podtěleso tělesa kvaternionů.
Zpět
1. Mějme okruh (R, +, ·) dokažte, že pro odčítání platí distributivní
zákony,
a(b − c) = ab − ac ,
(a − b)c = ac − bc .
2. Mějme okruh (R, +, ·) dokažte, že pokud pro každé a ∈ R platí
a2 = 0, pak ab = −ba, tedy platí podmínka antikomutativnosti.
Začátek
Str. zpět
Jdi na
Str. vpřed
Konec
Vpřed
,
3. Necht (R, +, ·) je okruh dokažte, že (R, +, ◦) s operací ◦ definovanou předpisem
a ◦ b = ab − ba
2
Obsah
Rejstřík
je okruh. Jak se bude chovat nová struktura, když původní okruh
bude oborem integrity, popřípadě tělesem ?
Hledej
Gauss, Karl Friedrich, 1777–1855, německý matematik, fyzik, astronom.
Zavřít
Okno
,
4. Necht (R, +, ·) je okruh dokažte, že (R, +, ◦) s operací ◦ definovanou předpisem
II.1
(119)
a ◦ b = ab + ba
je komutativní okruh. Jak se bude chovat nová struktura, když původní okruh bude oborem integrity, popřípadě tělesem ?
5. Dokažte, že pro libovolné kvaterniony α, β platí
αβ = ᾱβ̄
a
α + β = ᾱ + β̄ .
6. Dokažte, že pro libovolné kvaterniony α, β a platí
n(αβ) = n(α) · n(β) .
7. Které z následujících binárních struktur jsou okruhy ?
√
a) ({a + b 2; a, b ∈ Z}, +, ·),
b) ({a/2k ; a ∈ Z, k ∈ N0 }, +, ·),
√
3
c) ({a + b 2; a, b ∈ Z}, +, ·).
8. Dokažte, že množina všech čtvercových matic nad Z, Q, R, C tvoří
okruh vzhledem k maticovému sčítání a násobení.
,
9. Necht G je množina všech funkcí na intervalu h0, 1i, + je operace
sčítání funkcí, ◦ skládání funkcí. Dokažte, že (G, +, ◦) není okruh.
Zpět
Začátek
Str. zpět
Jdi na
Str. vpřed
Konec
Vpřed
Obsah
Rejstřík
Hledej
Okno
Zavřít
,
,
10. Necht k ∈ N a necht Z(k) = {m/n; n ∈ Z \ {0}, m ∈ Z, k - m}.
Pro která k je (Z(k), +, ·) okruh ?
II.1
(120)
11. V okruhu Z10 označme T1 = {0, 5} a T2 = {0, 2, 4, 6, 8}. Dokažte,
že T1 , T2 jsou podokruhy Z10 , které jsou obory integrity.
12. Na množině R × Z definujme operace ⊕, ⊗ následovně.
Zpět
(a, z) ⊕ (b, v) = (a + b, z + v) ,
Začátek
(a, z) ⊗ (b, v) = a(b + v) + zb, zv .
Rozhodněte, zda (R × Z, ⊕, ⊗) je okruh. Určete nulový a jednotkový
prvek ve struktuře (R × Z, ⊕, ⊗) .
13. Rozhodněte a dokažte, které z následujících číselných množin tvoří
vzhledem k aritmetickým operacím +, · těleso.
√
a) {a + b 3; a, b ∈ Q},
√
√
3
b) {a + b 3 + c 3 9; a, b, c ∈ Q},
c) {a ∈ Q; a ≤ 0},
d) {a + b i; a, b ∈ R, b ≥ 0}.
14. Dokažte, že každý podokruh tělesa je obor integrity.
15. Dokažte, že podmnožina konečného tělesa je podtělesem právě tehdy, když je uzavřená vzhledem na aditivní a multiplikativní operaci
okruhu a obsahuje více než jeden prvek.
Str. zpět
Jdi na
Str. vpřed
Konec
Vpřed
Obsah
Rejstřík
Hledej
Okno
Zavřít
,
16. Necht R je obor integrity charakteristiky p. Dokažte, že pro všechna
a, b ∈ R platí (a + b)p = ap + bp .
II.2
(121)
17. Určete charakteristiky okruhů Z2 , Z3 , Z5 , Z6 , Z8 .
2.
Okruh polynomů
V této kapitole zavedeme jednu důležitou třídu okruhů, okruhy polynomů.
,
2.1. Definice. Necht R je komutativní okruh s jednotkovým prvkem 1.
Množinu všech nekonečných posloupností
Zpět
Začátek
Str. zpět
Jdi na
Str. vpřed
(f0 , f1 , . . . , fk , . . .),
prvků okruhu R takových, že až na konečný počet platí fi = 0, i ∈ N0
označíme R[x]. Prvky f = (f0 , f1 , . . . , fk , . . .) množiny R[x]nazýváme
polynomy nad okruhem R a jednotlivé členy posloupnosti koeficienty polynomu.
Konec
Vpřed
Obsah
Rejstřík
,
2.2. Definice. Necht R je komutativní okruh, R[x] množina všech poly,
nomů nad okruhem R. Necht f = (f0 , f1 , . . . , fk , . . .) je nenulový prvek
množiny R[x]. Potom největší přirozené číslo d, pro které platí fd 6= 0
nazveme stupeň polynomu f a značíme deg f.
Hledej
Okno
Zavřít
,
Na množině R[x] zavedeme součet dvou polynomů. Necht f =
= (f0 , f1 , . . . , fk , . . .) a g = (g0 , g1 , . . . , gk , . . .) jsou prvky R[x]. Potom
II.2
(122)
f + g = (f0 + g0 , f1 + g1 , . . . , fk + gk , . . .) .
2.3. Věta. (R[x], +) tvoří abelovskou grupu.
,
Důkaz. Necht f = (f0 , f1 , . . . , fk , . . .) a g = (g0 , g1 , . . . , gk , . . .) jsou
prvky R[X]. Pro každé i ∈ N0 platí fi + gi ∈ R, odtud
Zpět
f + g = (f0 + g0 , f1 + g1 , . . . , fk + gk , . . .) ∈ R[x]
Začátek
a tedy množina R[x] je uzavřená vzhledem k operaci sčítání.
Asociativnost a komutativita této operace triviálně plyne z asociativity a komutativity sčítání v okruhu R. Nyní tedy zbývá dokázat existenci
neutrálního a inverzních prvků.
Uvažujme libovolný polynom f = (f0 , f1 , . . . , fk , . . .) a polynom
o = (0, 0, . . . , 0, . . .), jehož všechny koeficienty jsou rovny 0. Potom
f + o = (f0 + 0, f1 + 0, . . . , fk + 0, . . .) = (f0 , f1 , . . . , fk , . . .) = f ,
Str. zpět
Jdi na
Str. vpřed
Konec
Vpřed
o je neutrálním prvkem v R[x].
Nyní uvažujme libovolný polynom f = (f0 , f1 , . . . , fk , . . .) a polynom −f = (−f0 , −f1 , . . . , −fk , . . .), jehož jednotlivé koeficienty jsou
prvky opačné ke koeficientům polynomu f. Potom
Rejstřík
f + (−f) = (f0 + (−f0 ), f1 + (−f1 ), . . . , fk + (−fk ), . . .)
Hledej
Obsah
= (0, 0, . . . , )
Okno
=o
Zavřít
a tedy −f je inverzní prvek k polynomu f v R[x].
II.2
(123)
,
Definujme na R[x] součin! polynomůsoučin polynomů. Necht f =
= (f0 , f1 , . . . , fk , . . .) a g = (g0 , g1 , . . . , gk , . . .) jsou prvky R[x]. Potom
f · g = (h1 , h2 , . . . , hk , . . .) ,
Zpět
kde
Začátek
hk =
k
X
Str. zpět
fi gk−i =
i=0
X
fi g j ,
k ∈ N.
i+j=k
Jdi na
Str. vpřed
2.4. Věta. (R[x], ·) je monoid.
,
Důkaz. Necht f = (f0 , f1 , . . . , fk , . . .) a g = (g0 , g1 , . . . , gk , . . .) jsou
Pk
prvky R[x]. Položme h = f · g. Protože hk = i=0 fi gk−i ∈ R platí, že
množina R[x] je uzavřená vzhledem k operaci násobení. Asociativnost
této operace triviálně plyne z asociativity násobení v okruhu R.
Neutrálním prvkem v R[x] vzhledem násobení je zřejmě polynom
(1, 0, 0, . . .), značme jej stejně jako jednotkový prvek okruhu R symbolem 1.
Na základě předchozích vět vidíme, že binární struktura (R[x], +, ·)
je okruh, který nazýváme okruh polynomů nad R.
Konec
Vpřed
Obsah
Rejstřík
Hledej
Okno
Zavřít
,
2.5. Věta. Necht f, g jsou nenulové polynomy nad okruhem R, deg f = n,
deg g = m, kde n, m ∈ N0 . Potom
deg(f + g) ≤ max(n, m)
a
II.2
(124)
deg(f · g) ≤ n + m .
Důkaz. Můžeme bez újmy na obecnosti předpokládat, že n ≥ m. Potom
v součtu
f + g = (f0 + g0 , f1 + g1 , . . . , fm + gm , . . . , fn + gn , . . .) .
je fn 6= 0 a fk = gk = 0, k > n tedy fn + gn je poslední koeficient
polynomu f + g který může být nenulový. Potom deg(f + g) ≤ n =
= max(n, m).
Uvažujme polynom h = f · g.
X
hk =
fi gj ,
k ∈ N.
i+j=k
Zpět
Začátek
Str. zpět
Jdi na
Str. vpřed
Konec
Vpřed
Obsah
Protože fi = gj = 0 pro všechna i > n a j > m je každý koeficient hk
polynomu h s indexem k > n + m je zřejmě roven nule a deg(fg) ≤
≤ n + m.
Rejstřík
Označme x = (0, 1, 0, 0, . . .). Násobíme-li tento polynom sám sebou, dostáváme polynom x2 = (0, 0, 1, 0, 0, . . .), pro který f2 = 1 a
Okno
Hledej
Zavřít
ostatní koeficienty jsou nulové. Indukcí můžeme tento postup zobecnit
pro n-tou mocninu polynomu x.
II.2
(125)
xn = (0, 0, . . . , 0, 1, 0, . . .) ,
| {z }
n členů
kde pouze fn = 1 a ostatní koeficienty jsou nulové. Každému prvku
a ∈ R můžeme přiřadit prvek z R[x]
a 7→ (a, 0, 0, 0, . . .) .
Nyní můžeme definovat definovat násobení polynomu f ∈ R[x] prvkem
a ∈ R, stejně jako násobení dvou polynomů, tedy po složkách. Je-li tedy
f = (f0 , f1 , f2 , . . .) a a = (a, 0, 0, . . .) pak af = (af0 , af1 , af2 , . . .).
,
Ted již můžeme pomocí polynomů x, x2 , . . . , xn , . . . ∈ R[x] a přiřazení
polynomu (a, 0, 0, . . .) prvkům a ∈ R, každý polynom f ∈ R[x], stupně
n, f = (f0 , f1 , . . . , fn , 0, . . .) psát ve tvaru
f = f0 + f1 x + · · · + fn x n ,
čím dostáváme pro praktickou práci užitečnější zápis polynomu f.
Zpět
Začátek
Str. zpět
Jdi na
Str. vpřed
Konec
Vpřed
Obsah
Rejstřík
Ve cvičeních se některými pojmy odkazujeme na pozdější kapitoly. K ta,
kovým cvičením at se čtenář vrací později.
1. Dokažte, že pro okruhy polynomů nad tělesem R platí:
2
2
a) R[x]/(x − 1) ' R[x]/(x − 4),
Hledej
Okno
Zavřít
b) R[x]/(x2 + 1) ' R[x]/(x2 + 2x + 2).
II.3
(126)
2. Sestrojte izomorfismy okruhů Z[x]/(3) ' Z3 a Z[x]/(6) ' Z6 [x].
3. Dokažte, že (x) je prvoideál, ale ne maximální ideál okruhu Z[x].
4. Najděte všechny automorfismy okruhu Q[x].
5. Dokažte, že množina všech polynomů z okruhu Z[x], jejichž absolutní člen, tj. první člen posloupnosti f0 , je sudý, je ideálem okruhu
Z[x], který není hlavním ideálem.
6. Dokažte, že pro těleso R je okruh R[x] oborem integrity.
Zpět
Začátek
Str. zpět
Jdi na
3.
Homomorfismy a ideály
Str. vpřed
Konec
3.1. Definice. Homomorfismem okruhů (R, +, ·) a (R0 , ⊕, ) rozumíme
zobrazení f: R → R0 , které pro všechna a, b ∈ R splňuje vlastnosti
f(a + b) = f(a) ⊕ f(b)
a
f(a · b) = f(a) f(b)
(6)
Homomorfismus okruhů (R, +, ·) a (R0 , ⊕, ) je tedy homomorfismem mezi aditivními grupami i multiplikativními pologrupami obou
okruhů.
Vpřed
Obsah
Rejstřík
Hledej
Okno
Zavřít
Je-li homomorfismus okruhů injektivním zobrazením, nazveme jej
monomorfismem okruhů, je-li homomorfismus surjektivní, nazveme jej
epimorfismem okruhů a splňuje-li obě vlastnosti najednou, nazveme jej
izomorfismem okruhů. Speciálním případem izomorfismu je automorfismus okruhů, izomorfismus okruhu sám na sebe.
Mějme surjektivní zobrazení f okruhu (R, +, ·) na libovolnou strukturu se dvěma binárními operacemi (R0 , ⊕, ) tak, že f splňuje vlastnost (6). Ze str. 43 víme, že homomorfním obrazem naší aditivní abelovské grupy je abelovská grupa, podobně je zachována asociativnost
pro násobení. Dále
II.3
(127)
Zpět
Začátek
Str. zpět
Jdi na
f(a) f(b) ⊕ f(c) = f(a) f(b + c) = f a · (b + c) =
= f(a · b + a · c) = f(a · b) ⊕ f(a · c) =
= f(a) f(b) ⊕ f(a) f(c) .
Str. vpřed
Konec
Vpřed
Obsah
Ve struktuře (R0 , ⊕, ) platí levý distributivní zákon, obdobně lze odvodit platnost pravého distributivního zákona a proto (R0 , ⊕, ), homomorfní obraz okruhu (R, +, ·), je také okruh.
,
Necht R, R0 , R00 jsou okruhy, zobrazení f : R → R0 a g : R0 → R00
jsou homomorfismy okruhů. Potom, podobně jako u grup, také složení
těchto homomorfismů g ◦ f: R → R00 je homomorfismem okruhů.
Rejstřík
Hledej
Okno
Zavřít
3.2. Definice. Jádrem homomorfismu f okruhů R a R0 nazýváme množinu ker(f) prvků okruhu R, jejichž obrazem je nulový prvek 00 v okruhu
R0 , tedy
II.3
(128)
ker(f) = {a ∈ R; f(a) = 00 ∈ R0 } .
Podmnožinu =f ⊆ R0 všech prvků z R0 , které mají vzor v R, nazveme obrazem homomorfismu f.
,
3.3. Věta. Necht R, R0 jsou okruhy a zobrazení f: R → R0 je homomorfismem okruhů. Potom f je monomorfismus okruhů právě tehdy, když platí
ker(f) = {0}. Zobrazení f je epimorfismus právě tehdy, když =f = R0 .
Předchozí větu dokážeme podobně jako I.4.5.
Jádro homomorfismu f okruhů R a R0 je jádrem homomorfismu
aditivních grup (R, +) a (R0 , ⊕) a podle věty I.4.4 je ker(f) aditivní
grupou, která je podle věty I.11.1 normální podgrupou v (R, +). Mějme
a ∈ ker(f) a r ∈ R, potom 00 = 00 f(r) = f(a) f(r) = f(a · r)
a tedy a · r ∈ ker(f) a podobně r · a ∈ ker(f). Jádra homomorfismů
okruhu R tedy patří do speciální třídy podokruhů v R.
3.4. Definice. Podmnožina I okruhu R se nazývá ideálokruhu R, značíme I / R, jestliže
Zpět
Začátek
Str. zpět
Jdi na
Str. vpřed
Konec
Vpřed
Obsah
Rejstřík
Hledej
1. pro všechna a, b ∈ I platí a − b ∈ I,
Okno
2. pro všechna r ∈ R a a ∈ I platí ar, ra ∈ I.
Zavřít
Vlastnost 2, můžeme vyslovit i ve slabší formě. Pokud pro všechna
a ∈ I a r ∈ R platí ar ∈ I, pak I nazýváme levý ideál. Podobně, pokud
pro všechny a ∈ I a r ∈ R platí ra ∈ I, pak I nazýváme pravý ideál.
II.3
(129)
Je zřejmé, že triviální podokruhy {0} a R jsou ideály v (R, +, ·), tyto
ideály nazýváme nevlastní ideály okruhu R.
3.5. Věta. Jestliže (I, +, ·) je ideál okruhu (R, +, ·), potom (I, +) je normální podgrupa aditivní grupy (R, +).
Důkaz. Mějme I ideál okruhu (R, +, ·). Z věty 2.4 plyne, že (I, +) je podgrupou komutativní grupy (R, +). Každá komutativní grupa má všechny
podgrupy normální, tedy nemáme dále co dokazovat.
3.6. Věta. Každý ideál I okruhu (R, +, ·) je vzhledem k operacím + a ·
podokruhem okruhu R.
Důkaz. Již víme, že (I, +) je grupa. Z druhé vlastnosti definice ideálu je
zřejmé, že množina I je uzavřená vzhledem na násobení a (I, ·) grupoid.
Asociativita v (I, ·) plyne z asociativity v (R, ·) a tedy (I, +, ·) je podokruh.
3.7. Příklad. Množina sudých celých čísel s nulou 2Z, je ideálem okruhu
(Z, +, ·). Ovšem množina lichých čísel ideálem není. Obecněji, každý
ideál okruhu Z je nZ množina násobků nějakého čísla n ∈ Z. (Dokažte.)
Zpět
Začátek
Str. zpět
Jdi na
Str. vpřed
Konec
Vpřed
Obsah
Rejstřík
Hledej
Okno
Zavřít
,
,
3.8. Věta. Necht f je homomorfismus okruhů R a R0 . Necht I je ideálem
okruhu R. Potom homomorfní obraz ideálu I je ideálem v okruhu f(R) ⊆
⊆ R0 .
II.3
(130)
,
Důkaz. Necht f je homomorfismus okruhů R, R0 a I / R. Mějme x, y ∈ I,
r ∈ R a označme f(x) = x0 , f(y) = y0 a f(r) = r 0 . Potom platí
x0 − y0 = f(x) − f(y) = f(x − y) ∈ f(I)
Zpět
a také
Začátek
r 0 x0 = r 0 f(x) = f(rx) ∈ f(I) .
Str. zpět
Odtud f(I) / f(R).
,
3.9. Věta. Necht (R, +, ·) je okruh, I, J jsou jeho ideály, potom množina
I ∩ J je ideálem okruhu R. Ideál I ∩ J nazveme průnik ideálů I, J.
,
Důkaz. Mějme okruh (R, +, ·) a jeho ideály I, J. Necht x, y ∈ I ∩ J.
Potom x, y ∈ I a x − y ∈ I. Podobně x, y ∈ J a x − y ∈ J. Dostáváme
tedy x − y ∈ I ∩ J.
Mějme x ∈ I ∩ J a r ∈ R. Platí x ∈ I a tedy rx ∈ I. Také x ∈ J a
tedy rx ∈ J. Proto rx ∈ I ∩ J. Množina I ∩ J je tedy ideálem.
3.10. Definice. Mějme okruh (R, +, ·) a množinu M ⊆ R. Ideál (M)
s vlastnostmi
Jdi na
Str. vpřed
Konec
Vpřed
Obsah
Rejstřík
Hledej
1. M ⊆ (M),
Okno
2. pro všechny ideály I takové, že M ⊆ I platí (M) ⊆ I,
Zavřít
nazveme ideál generovaný množinou M3 .
Mějme okruh (R, +, ·) a prvek a ∈ R. Ideál generovaný jednoprvkovou množinou ({a}), značme jej pro jednoduchost (a), nazveme hlavní
ideál okruhu R generovaný prvkem a.
Protože průnik ideálů je opět ideálem, je zřejmé, že platí následující
tvrzení.
3.11. Věta. Ideál generovaný množinou M je roven průniku všech ideálů
obsahujících množinu M.
,
3.12. Věta. Necht (R, +, ·) je komutativní okruh s jednotkovým prvkem a
,
necht M = {a1 , a2 , . . . , an }. Potom
(M) = {r1 a1 + r2 a2 + · · · + rn an ; r1 , r2 , . . . , rn ∈ R} .
II.3
(131)
Zpět
Začátek
Str. zpět
Jdi na
Str. vpřed
Konec
Vpřed
Důkaz. Označme I = {r1 a1 + r2 a2 + · · · + rn an ; r1 , r2 , . . . , rn ∈ R}. Je
zřejmé, že I ⊆ (M).
Mějme a, b ∈ I potom existují x1 , . . . , xn , y1 , . . . , yn ∈ R tak, že
a = x1 a1 + x2 a2 + · · · + xn an
a
b = y1 a1 + y2 a2 + · · · + yn an .
Obsah
Rejstřík
Hledej
Okno
3
Z kontextu je vždy jasné, kdy jde o ideál generovaný množinou a kdy mají
kulatém závorky běžný význam.
Zavřít
Platí
II.3
(132)
a − b = (x1 a1 + x2 a2 + · · · + xn an )−
− (y1 a1 + y2 a2 + · · · + yn an ) =
= (x1 − y1 )a1 + (x2 − y2 )a2 + · · · + (xn − yn )an ,
kde (xi − yi ) ∈ R, pro všechna i = 1, . . . , n, a tedy a − b ∈ I. Dále
Zpět
ra = r(x1 a1 + x2 a2 + · · · + xn an ) =
Začátek
= (rx1 )a1 + (rx2 )a2 + · · · + (rxn )an
Str. zpět
kde rxi ∈ R, pro všechna i = 1, . . . , n, a tedy ra ∈ I. Množina I je
ideál. Protože R obsahuje nulový a jednotkový prvek je snadné ukázat,
že M ⊆ I. Podle definice ideálu (M) tedy I = (M).
,
3.13. Věta. Necht (R, +, ·) je komutativní okruh s jednotkovým prvkem.
Mějme a ∈ R, potom (a) = {ra; r ∈ R}.
Důkaz. Věta je přímým důsledkem předchozího.
Jdi na
Str. vpřed
Konec
Vpřed
Obsah
Rejstřík
3.14. Příklad.
1. Nevlastní ideály okruhu R generované nulovým a jednotkovým prvkem jsou hlavními ideály. Konkrétně
(0) = {0}
a
(1) = R.
Hledej
Okno
Zavřít
2. Uvažujme okruh celých čísel Z. Potom pro každé n ∈ Z je nZ hlavní
ideál okruhu Z, (n) = nZ.
II.3
(133)
3. Mějme okruh 2Z a jeho hlavní ideál (6). V tomto okruhu neexistuje
jednotkový prvek, množina {6r ; r ∈ 2Z} neobsahuje prvek 6 a
tedy (6) * {6r ; r ∈ 2Z}.
,
3.15. Věta. Necht (R, +, ·) je okruh, I, J jsou jeho ideály. Potom množina
I + J = {x + y ; x ∈ I, y ∈ J} je ideálem okruhu R a I + J = (I ∪ J).
Ideál I + J nazveme součet ideálů I, J.
,
Důkaz. Mějme okruh (R, +, ·) a jeho ideály I, J. Necht a, b ∈ I + J, tedy
a = x1 + y1 a b = x2 + y2 , kde x1 , x2 ∈ I a y1 , y2 ∈ J, pak a − b =
= (x1 + y1 ) − (x2 + y2 ) = (x1 − x2 ) + (y1 − y2 ) přičemž (x1 − x2 ) ∈ I
a (y1 − y2 ) ∈ J, tedy a − b ∈ I + J.
Podobně, mějme r ∈ R, pak ra = r(x1 + y1 ) = rx1 + ry1 . Protože
rx1 ∈ I a ry1 ∈ J platí ra ∈ I + J. Množina I + J je ideál okruhu R.
Nulový prvek okruhu R leží v každém ideálu a tedy 0 ∈ I, J, proto
I, J ⊆ I + J a tedy (I ∪ J) ⊆ I + J. Obráceně, mějme a = x + y ∈ I + J,
pak x, y ∈ I ∪ J a tedy x + y ∈ (I ∪ J) a platí I + J ⊆ (I ∪ J).
,
3.16. Věta. Necht R je okruh s jednotkovým prvkem 1, I je ideál okruhu
R. Potom následující tvrzení jsou ekvivalentní.
1. I = R,
Zpět
Začátek
Str. zpět
Jdi na
Str. vpřed
Konec
Vpřed
Obsah
Rejstřík
Hledej
Okno
Zavřít
2. I ∩ R× 6= ∅,
II.3
(134)
3. 1 ∈ I.
Důkaz. Mějme R okruh s jednotkovým prvkem. Prvek 1 je invertibilní,
tedy R× 6= ∅.
Jestliže I = R a R× 6= ∅, potom triviálně I ∩ R× 6= ∅.
,
Necht I ∩ R× 6= ∅, pak v ideálu I existuje prvek x invertibilní
v okruhu R, tedy 1 = x−1 x ∈ I
Pokud 1 ∈ I pak pro každé r ∈ R platí r = r1 ∈ I a I = R.
3.17. Věta. Okruh R s jednotkovým prvkem je tělesem právě tehdy, když
obsahuje pouze nevlastní ideály.
Důkaz. Mějme okruh (R, +, ·) s jednotkovým prvkem. Množina R ob,
sahuje prvek 1 a je tedy neprázdná. Necht R obsahuje pouze nevlastní
×
ideály. Mějme x ∈ R \ R . Množina (x) = {rx; r ∈ R} je ideál (viz
hlavní ideál). Protože x ∈
/ R musí podle předpokladů (x) = {0} a tedy
x = 1x = 0. Množina invertibilních prvků R× je tedy rovna R \ {0} a
proto (R \ {0}, ·) je grupa a (R, +, ·) je těleso.
V tělese (R, +, ·) je (R \ {0}, ·) grupou a tedy R \ {0} = R× . Každý
ideál I 6= {0} v tělese R má tedy neprázdný průnik s R× a podle předchozí věty I = R. Těleso R tedy obsahuje pouze nevlastní ideály.
×
3.18. Věta. Každý konečný obor integrity je tělesem.
Zpět
Začátek
Str. zpět
Jdi na
Str. vpřed
Konec
Vpřed
Obsah
Rejstřík
Hledej
Okno
Zavřít
Důkaz. Stačí dokázat, že v konečném oboru integrity R neexistují vlastní
,
ideály. Necht I je ideál oboru integrity R, I 6= (0). Potom pro libovolné
,
a ∈ I je aR ⊆ I. Necht a 6= 0, protože v oboru integrity lze nenulovým
prvkem krátit, platí ar = ar 0 právě, když r = r 0 . Zobrazení fa : x 7→ ax
je bijekce R → aR a dostáváme, že aR má stejný počet prvků jako R a
tedy I = R a R je těleso.
II.3
(135)
Zpět
Začátek
a+bi c +di
; a, b, c, d ∈ R ⊆ GL2 (C)
−c + d i a − b i
Str. zpět
Jdi na
Str. vpřed
je izomorfní tělesu kvaternionů.
Konec
2. Ukažte, že následující zobrazení jsou izomorfismy okruhů.
√
√
√
√
a) f: Z[ 3] → Z[ 3] , a + b 3 7→ a − b 3 ,
b) g: C → C ,
a + bi 7→ a − bi .
Vpřed
√
3. Ukažte,
že neexistuje surjektivní homomorfismus okruhů Z[ 2] a
√
Z[ 3].
Obsah
Rejstřík
,
4. Necht R je okruh všech ohraničených funkcí jedné reálné proměnné
,
na intervalu ha, bi pro a 6= b. Necht X ⊆ ha, bi, X 6= ∅. Dokažte,
že množina I = {f ∈ R; f(x) = 0, pro každé x ∈ X} je ideálem
okruhu R.
Hledej
Okno
Zavřít
,
5. Necht I, J jsou ideály okruhu R. Ukažte, že množina I ∪ J nemusí
být ideálem okruhu R.
II.3
(136)
6. Dokažte, že v okruhu (Z[i], +, ·), kde
Z[i] = {a + b i; a, b ∈ Z} ,
jsou množiny A = {2a; a ∈ Z[i]}, B = {(1 + i)b; b ∈ Z[i]} a C =
= {5c; c ∈ Z[i]} ideály tohoto okruhu.
7. Popište hlavní ideály v okruzích bez jednotkového prvku.
8. Určete všechny hlavní ideály v okruzích Z4 , Z6 , Z10 .
√
√
√
9. Dokažte, že v okruhu (Z[ 5], +, ·), kde Z[√ 5] = {a + b 5; a, b ∈
∈ Z}, ideál generovaný množinou {2, 1 − 5} není hlavní.
Zpět
Začátek
Str. zpět
Jdi na
Str. vpřed
10. Dokažte, že každý ideál okruhu celých čísel Z je hlavní ideál.
Konec
11. Najděte všechny ideály okruhu Z × Z. (Prvky okruhu sčítáme a násobíme po složkách.)
Vpřed
,
12. Necht R, R0 jsou tělesa. Potom okruh R × R0 má právě čtyři ideály.
Dokažte. (Operace v okruhu R × R0 probíhají po složkách. )
Obsah
Rejstřík
13. Dokažte následující větu. Neprázdná podmnožina komutativního
okruhu R je ideálem právě tehdy, když s každou dvojicí prvků a, b
obsahuje i jejich lineární kombinace, tedy všechny prvky tvaru r1 a +
+ r2 b, kde r1 , r2 ∈ R.
Hledej
14. Nalezněte všechny ideály Z48 uspořádejte je množinovou inkluzí.
Zavřít
Okno
15. Dokažte, že množina všech hlavních ideálů oboru integrity
(R, +, ·)
je monoidem vzhledem na binární operaci (a), (b) 7→ (a · b).
II.4
(137)
,
16. Necht (R, +, ·) je okruh, I1 , . . . In , n ∈ N jsou jeho ideály. Dokažte,
Tn
že množina i=1 Ii je ideálem okruhu R.
,
Pn
že množina i=1 Ii je ideálem okruhu R.
,
Sn
že množina i=1 Ii nemusí být ideálem okruhu R.
Zpět
Začátek
Str. zpět
Jdi na
4.
Faktorové okruhy
Podobně jako souvisejí ideál a normální podgrupa, zavedeme odpovídající pojem k faktorové grupě.
Mějme okruh (R, +, ·) a jeho ideál I. Pro a ∈ R označme
a + I = {a + h; h ∈ I} .
Str. vpřed
Konec
Vpřed
Obsah
Rejstřík
,
4.1. Věta. Necht I je ideál okruhu R. Množina
R/I = {a + I ; a ∈ R} .
tvoří rozklad množiny R.
Hledej
Okno
Zavřít
Důkaz. Z věty 3.5 víme, že pokud I je ideálem okruhu R, potom (I, +) je
normální podgrupa aditivní grupy (R, +). Z věty I.8.1 vyplývá, že potom
R/I tvoří rozklad množiny R.
II.4
(138)
4.2. Věta. Mějme okruh (R, +, ·) a jeho ideál I. (R/I, ⊕, ), kde
a + I ⊕ b + I = (a + b) + I
a + I b + I = ab + I
je okruh. Zobrazení p definované předpisem
p: a 7→ a + I
Zpět
Začátek
Str. zpět
Jdi na
Str. vpřed
je epimorfismus okruhů R a R/I, jehož jádro je I.
Důkaz. Mějme okruh R a jeho ideál I. Protože (I, +) je normální podgrupa aditivní grupy okruhu R je podle věty I.11.2 (R/I, ⊕) grupa s neutrálním prvkem 0 + I = I a k prvku a + I je opačný prvek −a + I.
,
Necht a, b ∈ R. Mějme a0 ∈ a + I a b0 ∈ b + I. Potom existují c, d ∈
∈ I tak, že a0 = a + c a b0 = b + d. Protože c + I = I = d + I jsou nulové
prvky v R/I, součin tříd a0 + I b0 + I = (a + c) + I (b + d) + I =
= (a + I ⊕ c + I) (b + I ⊕ d + I) = a + I b + I je nezávislý na výběru
reprezentantů z jednotlivých tříd.
Nyní již je snadné ukázat, že násobení v R/I je asociativní, a že
v R/I platí distributivní zákony.
Konec
Vpřed
Obsah
Rejstřík
Hledej
Okno
Zavřít
Zobrazení p je zřejmě epimorfismus okruhů R a R/I jehož jádro je
ker(p) = I.
II.4
(139)
,
4.3. Definice. Necht I je ideál okruhu R. Potom okruh (R/I, ⊕, ) nazveme faktorový okruh okruhu R podle ideálu I.
Pokud bude z kontextu zřejmé o jaké operace jde, budeme v okruhu
R/I značit operace běžnými znaménky + a ·, přičemž operátor pro násobení budeme zpravidla vynechávat.
Zpět
Začátek
Str. zpět
Jdi na
Str. vpřed
4.4. Příklad. Už jsme se setkali s množinou zbytkových tříd modulo n,
Zn . Spolu s operacemi a (mod n) ⊕ b (mod n) = (a + b) (mod n) a
a (mod n) b (mod n) = ab (mod n) je to faktorový okruh okruhu Z
podle hlavního ideálu (n) = nZ, často se také píše Zn = Z/nZ.
Konec
Vpřed
Obsah
Rejstřík
4.5. Věta. V okruhu R platí R/R = {R} a R/(0) = R.
Hledej
Důkaz. Tvrzení je zřejmé, jen malá poznámka. Rozklad R/R tvoří jediná
třída obsahující všechny prvky okruhu R. V rozkladu R/(0) jsou třídy
jednoprvkové.
Okno
Zavřít
,
4.6. Věta. (o izomorfismu okruhů) Necht f: R → R0 je epimorfismus
okruhů R, R0 . Potom R0 je izomorfní R/ ker(f).
p
- R/ ker(f)
R
Q
Q
Q
f0
f Q
Q
?
s
Q
R0
II.4
(140)
Zpět
Začátek
Důkaz. Mějme epimorfismus okruhů f: R → R0 . Na základě toho, že
jádro homomorfismu f je ideálem a z věty 4.2 víme, že existuje epimorfismus p: R → R/ ker(f).
p: a 7→ a + ker(f)
Uvažujme zobrazení f 0 : R/ ker(f) → R0 ,
f 0 : x + ker(f) 7→ f(x) ,
a dokažme, že f 0 je izomorfismem okruhů.
Mějme x, y ∈ R. Potom
f 0 x + ker(f) + f 0 y + ker(f) = f x + f y =
=f x+y =
0
= f (x + y) + ker(f) =
= f 0 x + ker(f) + y + ker(f)
Str. zpět
Jdi na
Str. vpřed
Konec
Vpřed
Obsah
Rejstřík
Hledej
Okno
Zavřít
a také
II.4
(141)
f 0 x ker(f) f 0 y ker(f) = f x f y =
= f xy =
= f 0 xy + ker(f) =
= f 0 x + ker(f) y + ker(f) .
Zobrazení f 0 je homomorfismus okruhů.
Je zřejmé, že =f 0 = R0 a ker(f)0 = {0 + ker(f)} a tedy f 0 je izomorfismus.
4.7. Definice. Mějme okruh (R, +, ·). Ekvivalenci na množině R splňující
substituční pravidlo vzhledem k oběma operacím okruhu R nazýváme
kongruence v okruhu R.
Zpět
Začátek
Str. zpět
Jdi na
Str. vpřed
Konec
Vpřed
,
4.8. Věta. Necht R je okruh a (I, +) je podgrupa (R, +). Potom relace
ρI ⊆ R × R
Obsah
Rejstřík
ρI = {(a, b); a − b ∈ I}
je ekvivalence na R. Relace ρI je kongruence právě, když I je ideálem
okruhu R.
Důkaz. Uvažujme okruh R, podgrupu (I, +) grupy (R, +) a relaci ρI .
Hledej
Okno
Zavřít
,
Necht x je libovolný prvek okruhu R. Potom x − x = 0 ∈ I a
(x, x) ∈ ρI tedy ρI je reflexivní.
,
Necht x, y jsou libovolné prvky okruhu R takové, že (x, y) ∈ ρI .
Potom x − y ∈ I a protože I je grupa, také opačný prvek −(x − y) =
= y − x leží v množině I. Relace ρI je symetrická.
,
Necht prvky x, y, z jsou z okruhu R takové, že (x, y) ∈ ρI a (y, z) ∈
∈ ρI . Potom x − y ∈ I a y − z ∈ I a také jejich součet (x − y) + (y −
− z) = x − z leží v množině I. Relace ρI je také tranzitivní a tedy je
ekvivalence.
Nyní dokažme druhou část věty. Předpokládejme, že I je ideál. Pro
prvky a, b ∈ R platí a − b ∈ I právě, když a ∈ b + I a rozklady R/ρI
a R/I splývají. Z toho, že součet a součin v R/I nezávisí na výběru
reprezentantů je zřejmé, že relace ρI splňuje substituční podmínky pro
sčítání i násobení v R.
Předpokládejme, že relace ρI je kongruence. Mějme r ∈ R a a ∈ I.
Potom (r, r) ∈ ρI a také (a, 0) ∈ ρI . Z platnosti substituční podmínky
pro součin dostáváme (ra, r0) ∈ ρI a tedy ra − r0 = ra − 0 = ra leží
v I. Aditivní grupa I je tedy ideálem v R.
4.9. Poznámka. Mějme kongruenci ρI na okruhu R podle ideálu I. Situaci
(x, y) ∈ ρI značme zjednodušeně
x≡y
(mod I) .
II.4
(142)
Zpět
Začátek
Str. zpět
Jdi na
Str. vpřed
Konec
Vpřed
Obsah
Rejstřík
Hledej
Okno
Zavřít
,
Uved me si nyní v souhrnu již dokázané vlastnosti této relace.
,
II.4
(143)
,
1. Substituční podmínky. Necht x, y, u, v ∈ R a necht x ≡ y (mod I)
a u ≡ v (mod I), potom
x+u≡y+v
(mod I) ,
a
(mod I) .
xu ≡ yv
,
,
2. Speciální případ substitučních podmínek. Necht x, y, u ∈ R a necht
x ≡ y (mod I), potom
x+u≡y+u
(mod I) ,
a
xu ≡ yu
(mod I) .
Zpět
Začátek
Str. zpět
Jdi na
Str. vpřed
4.10. Příklad. Kongruence modulo n na celých číslech je speciálním případem kongruence modulo ideál. Stačí si uvědomit, že pro n ∈ Z je (n)
hlavní ideál.
Konec
Vpřed
Obsah
1. Sestrojte faktorový okruh Z6 /I kde I = {0, 2, 4}.
2. Uvažujme okruh R = (Z[i], +, ·), kde a ideály A = {2a; a ∈ Z[i]},
B = {(1 + i)b; b ∈ Z[i]} a C = {5c; c ∈ Z[i]}. Rozhodněte, zda
faktorové okruhy R/A, R/B a R/C jsou oborem integrity, popřípadě tělesem.
Rejstřík
Hledej
Okno
Zavřít
3. Mějme okruh Z[i], sestrojte faktorový okruh Z[i]/(2 + i).
II.5
(144)
,
4. Necht R je komutativní okruh, I, J jeho ideály. Dokažte, že jestliže
I + J = R a I ∩ J = {0}, potom okruh (R, +, ·) je izomorfní s okruhem (I × J, +, ·).(Prvky okruhu I × J sčítáme a násobíme po složkách.)
5. Dokažte, že násobky prvku 5 z okruhu Z10 tvoří okruh izomorfní
s okruhem Z2 .
,
6. Necht I, J jsou ideály komutativního okruhu R a platí I + J = R.
Dokažte, že
R/(I ∩ J) ' R/I × R/J .
Zpět
Začátek
Str. zpět
Jdi na
Str. vpřed
Konec
Vpřed
5.
Prvoideály a maximální ideály
Obsah
5.1. Definice. Mějme okruh (R, +, ·). Podmnožinu S ⊆ R nazveme multiplikativně uzavřenou podmnožinou množiny R jestliže
S · S = {s1 s2 ; s1 , s2 ∈ S} ⊆ S .
Rejstřík
Hledej
Okno
Zavřít
,
5.2. Definice. Necht R je okruh. Potom ideál P 6= R okruhu R nazveme
prvoideál, jestliže R \ P je multiplikativně uzavřená množina.
Množinu všech prvoideálů okruhu R nazýváme spektrum okruhu a
značíme spec(R).
5.3. Věta. Ideál P okruhu R je prvoideálem právě tehdy, když platí P 6= R
a pro všechny x, y ∈ R platí
II.5
(145)
Zpět
Začátek
xy ∈ P
implikuje
x∈P
nebo
y∈P.
Str. zpět
Jdi na
,
Důkaz. Necht P je prvoideálem okruhu R, potom z definice plyne P 6= R.
Předpokládejme, že existují prvky x, y okruhu R tak, že xy ∈ P . Protože
R \ P je multiplikativně uzavřená musí alespoň jeden z x, y ležet mimo
R \ P , tedy x ∈ P nebo y ∈ P .
Opačná implikace je zřejmá.
,
5.4. Definice. Necht (R, +, ·) je okruh, I, J jsou jeho ideály. Ideál IJ =
= ({xy ; x ∈ I, y ∈ J}) nazveme součin!ideálůsoučin ideálů I, J.
5.5. Poznámka. Mějme dva ideály I, J okruhu R. Je zřejmé, že IJ ⊆ I a
zároveň IJ ⊆ J, tedy IJ ⊆ I ∩ J.
Str. vpřed
Konec
Vpřed
Obsah
Rejstřík
Hledej
Okno
Zavřít
,
5.6. Věta. Necht P je ideál okruhu R. Potom P je prvoideálem právě tehdy,
když pro každé dva ideály I, J okruhu R platí
IJ ⊂ P
implikuje
I⊂P
nebo
II.5
(146)
J⊂P.
,
Důkaz. Necht P je prvoideál a I, J jsou ideály v okruhu R takové, že
IJ ⊂ P . Předpokládejme, že I * P a uvažujme prvek x ∈ I \ P . Protože
IJ ⊂ P , platí pro každé y ∈ J, že xy ∈ P a protože P je prvoideál a
x 6∈ P platí y ∈ P a tedy J ⊂ P .
Mějme ideál P okruhu R. Předpokládejme, že pro každé dva ideály
I, J okruhu R platí IJ ⊂ P , potom I ⊂ P nebo J ⊂ P . Uvažujme prvky
x, y ∈ R takové, že xy ∈ P . Také pro hlavní ideály generované prvky
x, y platí (x)(y) ⊂ P , potom (x) ⊂ P nebo (y) ⊂ P . Potom také x ∈ P
nebo y ∈ P a podle věty 5.3 je P prvoideál.
Zpět
Začátek
Str. zpět
Jdi na
Str. vpřed
Konec
Vpřed
5.7. Poznámka. Mějme prvoideál P okruhu R. Pro dva ideály I, J okruhu
,
R nastane rovnost IJ = P právě, když bud I = P nebo J = P .
,
Obsah
5.8. Věta. Necht I je ideálem okruhu R. Třída a + I je dělitelem nuly
v okruhu R/I právě tehdy, když existuje b ∈ R \ I tak, že ab ∈ I.
Rejstřík
Důkaz. Prvek a + I je dělitelem nuly ve faktorovém okruhu R/I právě
tehdy, když existuje prvek b + I ∈ R/I, b + I 6= 0 + I tak, že
Hledej
(a + I)(b + I) = ab + I = 0 + I .
Zavřít
Okno
Podmínka b + I 6= 0 + I je ekvivalentní podmínce b ∈
/ I a podmínka
ab + I = 0 + I je ekvivalentní podmínce ab ∈ I.
II.5
(147)
,
5.9. Věta. Necht I je ideálem komutativního okruhu R. Potom platí, že
R/I je obor integrity právě tehdy, když I je prvoideál.
Důkaz. Pokud R je komutativní, tak R/I je také komutativní.
,
Mějme ideál I okruhu R. Necht R/I je obor integrity. Potom R/I
nemá netriviální dělitele nuly, tedy
z(R/I) = {0 + I} .
Uvažujme prvky a, b ∈ R takové, že ab ∈ I. Bez újmy na obecnosti
předpokládejme, že b ∈
/ I potom podle věty 5.8 a + I ∈ z(R/I), tedy
a + I = 0 + I, což nastane pouze tehdy, když a ∈ I. Podle věty 5.3 je
ideál I je prvoideálem.
Předpokládejme, že R/I není oborem integrity. Potom existuje prvek a + I ∈ z(R/I), a + I 6= 0 + I, tedy a ∈
/ I. Podle věty 5.8 existuje
b ∈ R \ I tak, že ab ∈ I. Existuje tedy dvojice prvků a, b tak, že ab ∈ I
a a, b ∈
/ I, a podle věty 5.3 ideál I není prvoideálem.
5.10. Definice. Ideál M okruhu R nazveme maximální, jestliže M 6= R
pro každý ideál I takový, že M ⊆ I ⊆ R platí I = M nebo I = R. Množinu
všech maximálních ideálů okruhu R značíme max(R).
Zpět
Začátek
Str. zpět
Jdi na
Str. vpřed
Konec
Vpřed
Obsah
Rejstřík
Hledej
Okno
Zavřít
,
5.11. Věta. Necht I je ideálem komutativního okruhu R s jednotkovým
prvkem 1. Třída a + I je invertibilní v R/I, a + I ∈ (R/I)× , právě tehdy,
když (a) + I = R.
Důkaz. Je zřejmé, že 1 + I je jednotkový prvek v okruhu R/I. Jestliže
a + I ∈ (R/I)× potom existuje b + I ∈ R/I tak, že (a + I)(b + I) = 1 + I.
Označme ab − 1 = z. Protože ab + I = 1 + I, platí ab ∈ 1 + I a tedy
z ∈ I a také −Z ∈ I, proto ab − z = 1 ∈ (a) + I. Potom z věty 3.16
plyne, že (a) + I = R.
,
Obráceně. Necht (a) + I = R = (1). Potom existuje z ∈ I, b ∈ R
tak, že ab + z = 1. Potom
1 + I = (ab + z) + I = (ab + I) + (z + I) =
= (ab + I) + (0 + I) = ab + I =
= (a + I)(b + I)
a tímto jsme našli v okruhu R/I pro prvek (a + I) inverzní prvek (b + I)
a tedy (a + I) ∈ (R/I)× .
II.5
(148)
Zpět
Začátek
Str. zpět
Jdi na
Str. vpřed
Konec
Vpřed
Obsah
,
5.12. Věta. Necht I je ideálem komutativního okruhu R s jednotkovým
prvkem 1. Ideál I je maximální ideál právě tehdy, když R/I je těleso.
Rejstřík
,
Důkaz. Necht I je maximálním ideálem komutativního okruhu R s jednotkovým prvkem. Potom pro každé a ∈ R \ I platí (a) + I = R a tedy
podle věty 5.11 je každá nenulová třída v R/I invertibilní. Obrácená
implikace je již zřejmá.
Hledej
Okno
Zavřít
5.13. Věta. Každý maximální ideál komutativního okruhu R s jednotkovým prvkem je prvoideálem.
Důkaz. Mějme maximální ideál M komutativního okruhu R s jednotkovým prvkem. Uvažujme prvky x, y ∈ R takové, že xy ∈ M. Bez újmy na
obecnosti předpokládejme, že x ∈
/ M. Protože xy ∈ M je součin prvků
(x + M)(y + M) = xy + M nulový prvek v R/M. Jelikož těleso R/M
nemá dělitele nuly a x + M není nulový prvek v R/M, musí být y + M
nulový prvek v R/M a tedy y ∈ M a M je podle věty 5.3 prvoideál. 5.14. Poznámka. Při důkazu předchozí věty nám také stačí uvážit platnost vět 5.9, 5.12 a tvrzení, že každé komutativní těleso je oborem integrity.
,
5.15. Věta. Mějme okruh R, necht S je multiplikativně uzavřená podmnožina v R a I je ideál okruhu R takový, že I ∩ S = ∅. Uvažujme množinu
Ω = {J ; J / R, I ⊂ J, J ∩ S = ∅}.
Množina Ω má maximální prvek a platí, že tento je prvoideálem.
Důkaz. Důkaz existence maximálního prvku v množině Ω plyne z Zornova lemmatu o existenci maximálního prvku v částečně uspořádaných
množinách. Tato problematika zasahuje mimo rámec našeho skripta a
proto provedení této části důkazu ponecháváme zvídavým čtenářům.
II.5
(149)
Zpět
Začátek
Str. zpět
Jdi na
Str. vpřed
Konec
Vpřed
Obsah
Rejstřík
Hledej
Okno
Zavřít
Nyní předpokládejme, že ideál P je maximálním prvkem množiny
Ω. Předpokládejme, že P není prvoideálem. Potom musí existovat prvky
a, b ∈ R \ P takové, že ab ∈ P . Součty ideálů P + (a) a P + (b) jsou
ideály okruhu R, přičemž P je vlastní podmnožinou těchto ideálů P ⊂
⊂ P + (a), P ⊂ P + (b) , tedy
P + (a) 6∈ Ω ,
P + (b) 6∈ Ω
a protože J ⊂ P + (a), J ⊂ P + (b) platí
(P + (a)) ∩ S 6= ∅ ,
(P + (b)) ∩ S 6= ∅ .
Existují tedy prvky p1 , p2 ∈ P, x1 , x2 ∈ R tak, že
p1 + ax1 ∈ S,
p2 + bx2 ∈ S
a protože S je multiplikativně uzavřená množina platí, že
z = (p1 + ax1 )(p2 + bx2 ) ∈ S.
Potom ovšem z = p1 p2 + p1 bx2 + p2 ax1 + abx1 x2 ∈ P což je spor
s tvrzením P ∩ S = ∅.
II.5
(150)
Zpět
Začátek
Str. zpět
Jdi na
Str. vpřed
Konec
Vpřed
Obsah
Rejstřík
Hledej
5.16. Poznámka. Podle předchozí věty je každý vlastní ideál I komutativního okruhu R s jednotkou je obsažen v nějakém prvoideálu téhož
okruhu.
Okno
Zavřít
II.5
(151)
1. Dokažte, že ideál (p) v okruhu Z je prvoideálem právě tehdy, když
p je prvočíslo.
,
2. Necht R je okruh všech spojitých funkcí na intervalu ha, bi, a 6= b.
,
Necht c ∈ ha, bi.
a) Dokažte, že množina I = {f ∈ R; f(c) = 0} tvoří maximální
ideál v R.
,
b) Necht d ∈ ha, bi, c < d. Dokažte, že množina J = {f ∈
∈ R; f(x) = 0 pro každé x ∈ hc, di} netvoří maximální ideál
v R.
,
3. Necht I je ideálem konečného okruhu R. Dokažte I je prvoideál
právě tehdy, když je maximálním ideálem.
4. Ukažte, že ideál (2 + i) je v okruhu Z[i] Gaussových celých čísel
maximální.
Zpět
Začátek
Str. zpět
Jdi na
Str. vpřed
Konec
Vpřed
,
5. Necht f je homomorfismus okruhů R, R0 . Dokažte nebo popřete následující tvrzení.
a) Vzorem prvoideálu I 0 / R0 je prvoideál I / R.
b) Je-li f surjektivní, pak vzorem maximálního ideálu I 0 / R0 je
maximální ideál I / R.
c) Je-li f surjektivní, pak vzorem maximálního ideálu I 0 / R0 je
maximální ideál I / R.
Obsah
Rejstřík
Hledej
Okno
Zavřít
6.
Dělitelnost v oboru integrity
V této a následujících kapitolách budeme zkoumat speciální vlastnosti
oborů integrity. Obor integrity s jednotkovým prvkem budeme značit D.
V okruhu D tedy budeme mít zaručenu existenci jednotkového prvku
různého od prvku nulového, komutativitu násobení, neexistenci dělitelů
nuly a v neposlední řadě budeme mít možnost krácení v D.
6.1. Definice. Mějme dva prvky a, b ∈ D. Nech existuje r ∈ D takové, že
a = br ,
II.6
(152)
Zpět
Začátek
Str. zpět
Jdi na
potom říkáme, že prvek b je dělitelem prvku a popřípadě, že a je dělitelný
b, značíme b | a.
Jednotky bychom nyní mohli zadefinovat jako prvky které jsou dělitelé 1. Pokud j ∈ D× je jednotka, pak pro libovolné a ∈ D platí a =
= j(j −1 a) a jednotka je dělitel všech prvků oboru integrity D.
,
6.2. Věta. Necht a, b, c, d ∈ D. Potom
Str. vpřed
Konec
Vpřed
Obsah
Rejstřík
1. a | a,
2. a | b a b | c, potom a | c,
Hledej
3. ac | bc a c 6= 0, potom a | b,
Okno
4. a | b a c | d, potom ac | bd,
Zavřít
5. ab | c, potom a | c a b | c,
II.6
(153)
6. c | a a c | b, potom pro všechna s1 , s2 ∈ D c | (as1 + bs2 ),
7. c | a a c | b, potom c | (a + b) a c | (a − b).
,
Důkaz. Necht a, b, c, d ∈ D. Vlastnost reflexivita a tranzitivita relace | je
zřejmá.
,
3) Necht ac | bc a c 6= 0, potom existuje r ∈ D tak, že bc = (ac)r
a díky komutativitě a protože nenulovým prvkem lze krátit dostáváme
b = ar a a | b.
,
4) Necht a | b a c | d, potom existují r, s ∈ D tak, že b = ar a d = cs.
Pak bc = (ar)(cs) = (ac)(rs) a ac | bd.
,
5) Necht ab | c, potom existuje r ∈ D tak, že c = (ab)r a také
c = a(br) = b(ar) a tedy a | c a b | c.
,
6) Necht c | a a c | b, potom potom existují r1 , r2 ∈ D tak, že
a = cr1 a b = cr2 , tedy pro všechna s1 , s2 ∈ D platí as1 = (cr1 )s1 a
bs2 = (cr2 )s2 a také as1 + bs2 = (cr1 )s1 + (cr2 )s2 = c(r1 s1 + r2 s2 ) a
c | (as1 + bs2 ).
7) Je přímým důsledkem vlastnosti 6.
Zpět
Začátek
Str. zpět
Jdi na
Str. vpřed
Konec
Vpřed
Obsah
Rejstřík
6.3. Definice. Mějme dva prvky a, b ∈ D. Pokud existují r, s ∈ D tak, že
a = br ,
a
b = as ,
tedy, když b | a a zároveň a | b, říkáme, že prvky a, b jsou asociovány,
značíme a k b.
Hledej
Okno
Zavřít
Relace „býti asociován“ je navíc symetrická, takže „býti asociován“
je ekvivalence. Rozklad množiny D podle této ekvivalence obsahuje třídu
všech jednotek D× , tj. a k 1 právě když a ∈ D× . Uvažujeme rozklad
D/D× , aditivní grupy (D, +) podle normální podgrupy D× . Pokud b ∈
∈ aD× , pak b = aj, j ∈ D× a také a = bj −1 a a k b. Obráceně, pokud
a k b, pak existují r, s ∈ D tak, že a = br a b = as a tedy a = (as)r a
protože v oboru integrity D lze krátit, tak 1 = sr, s, r ∈ D× a b ∈ aD× .
Rozklady D/k a D/D× splývají. V důsledku toho platí následující věta.
6.4. Věta. Prvky a, b ∈ D jsou asociované právě, když existuje jednotka
j ∈ D× taková, že a = bj.
,
6.5. Definice. Necht pro a, b ∈ D platí b | a. Prvku b říkáme vlastní
dělitel prvku a, jestliže b ∈
/ D× a b ∦ a. Jednotky a prvky s a asociované
jsou nevlastní, nebo také triviální dělitelé prvku a.
II.6
(154)
Zpět
Začátek
Str. zpět
Jdi na
Str. vpřed
Konec
Vpřed
×
6.6. Definice. Prvek a ∈ D \ D nazýváme ireducibilní, jestliže je dělitelný jen jednotkami a svými asociovanými prvky tedy, když nemá
vlastní dělitele.
Je zřejmé, že prvek a ∈ D je ireducibilní právě, když pro všechny
b, c ∈ D, a = bc nastane jediná z možností b ∈ D× nebo c ∈ D× .
6.7. Věta. Každý prvek asociovaný s ireducibilním prvkem a ∈ D je ireducibilní.
Obsah
Rejstřík
Hledej
Okno
Zavřít
,
Důkaz. Necht a ∈ D je ireducibilní prvek. Mějme b k a. Pokud c | d,
,
potom c | a a tedy bud to c ∈ D× , nebo c k a a tedy c k d. Prvek d tak
nemá vlastní dělitele.
II.6
(155)
6.8. Definice. Prvek p ∈ D \ D× je prvočinitel, jestliže z p | ab plyne
p | a nebo p | b.
Zpět
6.9. Věta. Každý prvek r ∈ D asociovaný s prvočinitelem p ∈ D je také
prvočinitel.
,
Důkaz. Mějme prvočinitel p ∈ D. Necht r ∈ D, r k p. Předpokládejme,
že r | ab, protože p | r a relace | je tranzitivní platí r | ab. Jelikož p je
prvočinitel, tak p | a nebo p | b. Předpokládejme bez újmy na obecnosti,
že p | a. Potom protože r | p a relace | je tranzitivní platí tedy r | a a
prvek r je tedy prvočinitel.
Začátek
Str. zpět
Jdi na
Str. vpřed
Konec
Vpřed
6.10. Věta. Mějme p ∈ D prvočinitel, potom p je ireducibilní prvek.
,
Důkaz. Necht a je dělitel prvočinitele p, potom existuje b ∈ D takové,
že p = ab. Protože p | p platí p | ab a tedy p | a nebo p | b. Pokud
p | a tak p k a a není vlastní dělitel. Pokud p | b, tak p k b a a ∈ D×
a a opět není vlastní dělitel.
6.11. Poznámka. Obrácená věta neplatí. V další kapitole budeme hledat
charakteristické vlastnosti těch okruhů, kde tuto větu lze obrátit.
Obsah
Rejstřík
Hledej
Okno
Zavřít
6.12. Definice. Největším společným dělitelem prvků a, b ∈ D nazveme
prvek d ∈ D takový, že
II.6
(156)
1. d | a a d | b,
2. jestliže existuje c ∈ D takové, že c | a a c | b pak c | d.
Pokud největší společný dělitel dvou prvků a, b existuje, značíme jej
gcd(a, b), nebo také jenom d = (a, b). Říkáme, že prvky a, b ∈ D jsou
nesoudělné, jestliže gcd(a, b) = 1.
6.13. Věta. Pro prvky a, b, c ∈ D platí
Zpět
Začátek
Str. zpět
1. pokud d = gcd(a, b) a d0 = gcd(a, b), potom d k d0 ,
Jdi na
2. pokud d = gcd(a, b) a d k d0 , potom d0 = gcd(a, b).
Str. vpřed
Konec
Předchozí tvrzení, jehož důkaz je zřejmý, nám říká, že gcd(a, b),
pokud existuje, je určen „jednoznačně“ jako třída asociovaných prvků
v rozkladu D/D× .
,
6.14. Věta. Necht existuje největší společný dělitel pro každou dvojici
prvků z D, potom pro všechna a, b, c ∈ D platí
Vpřed
Obsah
Rejstřík
1. gcd(ac, bc) = gcd(a, b)c,
2. gcd gcd(a, b), c = gcd a, gcd(b, c) ,
Hledej
3. jestliže a | bc a gcd(a, b) = 1 potom a | c.
Zavřít
Okno
Důkaz. 1) Mějme a, b, c ∈ D. Platí gcd(a, b) | ac a také gcd(a, b) | bc,
tedy gcd(a, b) | gcd(ac, bc). Také c | gcd(ac, bc), takže
II.7
(157)
gcd(a, b)c | gcd(ac, bc) .
Naopak a | gcd(a, b), c | c tedy ac | gcd(a, b)c. Podobně bc | gcd(a, b)c
a platí
gcd(ac, bc) | gcd(a, b)c .
Zpět
Začátek
Prvky gcd(ac, bc) a gcd(a, b)c jsou asociované a podle 6.13 tedy
Str. zpět
Jdi na
gcd(ac, bc) = gcd(a, b)c .
Str. vpřed
2) Platí gcd gcd(a, b), c dělí všechny tři prvky a, b, c, tedy
Konec
Vpřed
gcd gcd(a, b), c | gcd a, gcd(b, c) .
Obsah
Podobně
gcd a, gcd(b, c) | gcd gcd(a, b), c .
Z 6.13 tedy plyne námi dokazovaná rovnost.
,
3) Necht a | bc a gcd(a, b) = 1. Uvažujme gcd(ac, bc). Podle 1
platí gcd(ac, bc) = gcd(a, b)c a tedy c = gcd(ac, bc). Podle předpokladů
a | bc a triviálně a | ac proto musí platit a | gcd(ac, bc) = c.
Rejstřík
Hledej
Okno
Zavřít
7.
Gaussovy okruhy
7.1. Věta. Pokud každý řetězec prvků a1 , a2 , . . . , an , . . . takový, že ai+1
je vlastní dělitel ai , i = 1, 2, . . . , n, . . ., je konečný, potom lze každý prvek
a ∈ D vyjádřit jako součin konečného počtu ireducibilních prvků.
II.7
(158)
Zpět
,
Důkaz. 1) Necht platí předpoklad naší věty. Dokažme, že potom pro
každý prvek a ∈ D existuje alespoň jeden ireducibilní dělitel prvku a.
Pokud a je ireducibilní nemáme co dokazovat. Předpokládejme tedy, že
a není ireducibilní. Potom existuje a1 , vlastní dělitel prvku a. Pokračujme v úvahách o ireducibilitě prvku a1 . Podle předpokladu musíme
po konečném počtu kroků dojít k prvku an takovému, že an | an−1 | · · · |
| a1 | a, který již nemá vlastní dělitele.
2) Hledejme nyní rozklad prvku a na součin ireducibilních činitelů.
Pokud a je ireducibilní, je tento rozklad jednoprvkový. Pokud a není ireducibilní má podle první části důkazu alespoň jeden vlastní ireducibilní
,
dělitel p1 a můžeme psát a = p1 a1 . Necht ani prvek a1 není ireducibilní. Potom také a1 má vlastní ireducibilní dělitel p2 a a = p1 p2 a2 .
Platí ovšem také a2 | a1 . Uvažujme podobně o prvku a2 atd. Díky
předpokladu naší věty musíme po konečném počtu kroků obdržet a =
= p1 p2 · · · pn an , kde pi jsou ireducibilní dělitelé prvků ai−1 a an nemá
vlastní dělitele, je také ireducibilní.
Začátek
Str. zpět
Jdi na
Str. vpřed
Konec
Vpřed
Obsah
Rejstřík
Hledej
Okno
Zavřít
7.2. Definice. O dvou rozkladech prvku a ∈ D na součin ireducibilních činitelů a = a1 a2 · · · an , a = b1 b2 · · · bm říkáme, že jsou asociované,
jestliže m = n a při vhodném očíslování ai k bi , i = 1, 2, . . . , n.
II.7
(159)
7.3. Věta. Pokud lze každý prvek a ∈ D vyjádřit jako součin konečného
počtu ireducibilních prvků, pak následující podmínky jsou ekvivalentní.
1. Každý ireducibilní prvek z D je prvočinitelem.
2. Každé dva rozklady prvku a ∈ D na součin ireducibilních prvků jsou
asociované.
3. Ke každé dvojici prvků a, b ∈ D existuje jejich největší společný dělitel
d = gcd(a, b),
Důkaz. I. Předpokládejme platnost podmínky 1. Podle 7.1 pro každé a ∈
∈ D existuje rozklad na ireducibilní prvky. Dokazujme indukcí podle
počtu prvků tohoto rozkladu, že všechny tyto rozklady jsou asociované.
Pro n = 1 dostáváme a = p1 je ireducibilní prvek a tedy neexistuje
žádný další rozklad prvku a.
,
Necht n = k. Předpokládejme, že pokud má prvek a rozklad na k a
méně ireducibilních prvků, jsou každé dva rozklady prvku a asociované.
,
Předpokládejme n = k + 1. Necht prvek a má dva rozklady
a = p1 p2 · · · pn ,
a = r1 r2 · · · rm .
na součin ireducibilních prvků. Protože ireducibilní prvek p1 je také prvočinitel, musí v součinu r1 r2 · · · rm existovat prvek ri takový, že p1 | ri ,
Zpět
Začátek
Str. zpět
Jdi na
Str. vpřed
Konec
Vpřed
Obsah
Rejstřík
Hledej
Okno
Zavřít
tedy ri = p1 s pro nějaké s ∈ D. Prvek ri je ovšem ireducibilní a tedy
s je jednotka a p1 k ri . Protože D je komutativní, můžeme bez újmy na
obecnosti přečíslovat prvky r1 r2 · · · rm tak, že p1 k r1 . Platí
II.7
(160)
p1 p2 · · · pn = r1 r2 · · · rm
= p1 sr2 · · · rm
Zpět
a protože v D lze krátit dostáváme
Začátek
a0 = p2 · · · pn = sr2 · · · rm .
Prvek a0 má podle indukčního předpokladu asociované rozklady a tedy
n − 1 = m − 1 a při vhodném očíslování pi k ri , i = 2, 3, . . . n. Tedy také
rozklady prvku a jsou asociované.
II. Podle 7.1 pro každé a ∈ D existuje rozklad na ireducibilní prvky.
Předpokládejme platnost podmínky 2 a dokažme podmínku 3. Mějme
a, b ∈ D a jejich rozklady na součin ireducibilních prvků
Str. zpět
Jdi na
Str. vpřed
Konec
Vpřed
Obsah
Rejstřík
a = p1 p2 · · · pn ,
b = r1 r2 · · · rm .
Hledej
Nalezněme prvky d1 , d2 , . . . , dk tak, aby pro každé di , i ∈ {1, 2, . . . , k}
existovalo x ∈ {p1 , p2 , . . . , pn , r1 , r2 , . . . , rm } pro které di k x a také
obráceně, aby pro každé x ∈ {p1 , p2 , . . . , pn , r1 , r2 , . . . , rm } existovalo
Okno
Zavřít
,
di , i ∈ {1, 2, . . . , k} takové, že di k x. Zároveň at platí di ∦ dj pro i 6= j,
i, j ∈ {1, 2, . . . , k}. Potom
u
u
u
v
v
II.7
(161)
v
b = j 0 d11 d22 · · · dkk .
a = jd1 1 d2 2 · · · dkk ,
kde j, j 0 jsou vhodné jednotky a ui , vi , i ∈ {1, 2, . . . , k}, jsou nezáporná
celá čísla. Je zřejmé, že
w
w
w
gcd(a, b) = d1 1 d2 2 · · · dk k ,
Zpět
Začátek
Str. zpět
kde wi = min(ui , vi ), i ∈ {1, 2, . . . , k}.
Jdi na
III. Předpokládejme, že ke každým dvěma prvkům z D existuje nej,
větší společný dělitel. Necht p je ireducibilní prvek takový, že p | ab.
Pokud p - a pak gcd(p, a) = 1 a podle věty 6.14 podmínky 3 platí p | b
a tedy p je prvočinitel.
Str. vpřed
7.4. Definice. Obor integrity D s jednotkovým prvkem nazveme Gaussův
okruh, jestliže lze každý prvek a ∈ D vyjádřit jako součin konečného
počtu ireducibilních prvků a platí jedna z podmínek 1–3 z věty 7.3.
Obsah
7.5. Poznámka. To, že ve větě 7.3 podmínka 3 implikuje podmínku 1
není závislé na předpokladu existence konečných rozkladů na ireducibilní prvky.
Konec
Vpřed
Rejstřík
Hledej
Okno
Zavřít
II.8
(162)
1. Dokažte, že pro a, b ∈ D platí, pokud b | a, pak gcd(a, b) = b,
2. Dokažte, že pokud platí gcd(a, b) = 1 a gcd(a, c) = 1, potom
gcd(a, bc) = 1.
8.
Okruhy hlavních ideálů
Zpět
Začátek
Str. zpět
8.1. Definice. Obor integrity D s jednotkovým prvkem 1 nazveme okruh
hlavních ideálů, jestliže každý ideál okruhu D je hlavní.
Jdi na
Str. vpřed
8.2. Věta. Každý okruh hlavních ideálů je Gaussovým okruhem.
Konec
Důkaz. Uvažujeme-li prvky a, b okruhu D. Podmínka b | a je ekvivalentní s a = bc, c ∈ D a to je ekvivalentní (a) ⊆ (b). Obdobně, podmínka
a k b je ekvivalentní podmínce (a) = (b).
1) Nejprve dokažme, že v okruhu hlavních ideálů je každá posloupnost vlastních dělitelů konečná tedy, že podle věty 7.1 existuje ke každému prvku rozklad na součin ireducibilních činitelů.
Nyní uvažujme posloupnost nenulových prvků okruhu D
Vpřed
Obsah
Rejstřík
Hledej
Okno
a1 , a2 . . . , ai , . . .
Zavřít
tak, že ai+1 | ai pro každé i ∈ N. Potom dostáváme následující posloupnost ideálů okruhu D
II.8
(163)
(a1 ) ⊆ · · · ⊆ (ai ) ⊆ · · · .
Vytvoříme-li množinové sjednocení této posloupnosti, dostaneme opět
hlavní ideál okruhu D, označme jej (b). Prvek b je prvkem sjednocení neklesající posloupnosti ideálů, potom musí být obsažen v některém z ideálů této posloupnosti, označme jej (an ). Potom pro každé i ≥ n platí
(b) ⊆ (ai ) a zároveň (ai ) ⊆ (b), odtud (ai ) = (b). Dokázali jsme tedy,
že v dané posloupnosti nenulových prvků okruhu jsou vzájemně asociovány všechny prvky ai pro i ≥ n a tedy posloupnost vlastních dělitelů
a1 , a2 . . . , ai , . . . je konečná.
2) Dokažme, že v okruhu hlavních ideálů D existuje největší společný dělitel pro každou dvojici a, b ∈ D. Mějme prvky a, b okruhu D a
(a), (b) hlavní ideály generované těmito prvky. Uvažujme ideál (d)
(d) = {ar + bs; r, s ∈ R} .
Zpět
Začátek
Str. zpět
Jdi na
Str. vpřed
Konec
Vpřed
Obsah
Rejstřík
Potom platí
(a) ⊆ (d)
a zároveň
(b) ⊆ (d) .
Protože a = a · 1 + b · 0 ∈ (d) a b = a · 0 + b · 1 ∈ (d), je (a) ⊆ (d) a
(b) ⊆ (d) a tedy prvek d je tedy společným dělitelem prvků a, b.
Hledej
Okno
Zavřít
Uvažujme jiný společný dělitel c prvků a, b. Potom (c) ⊇ (a) a (c) ⊇
⊇ (b), takže ideál (c) musí obsahovat všechny prvky tvaru ar + bs a tedy
(c) ⊇ (d). Prvek d je největší společný dělitel prvků a, b.
8.3. Definice. Obor integrity D s jednotkovým prvkem 1 nazveme Euklidovský4 okruh, jestliže pro každý nenulový prvek x okruhu D existuje
nezáporné celé číslo n(x), které nazýváme norma prvku x a pro libovolné dva prvky x, y ∈ D, y 6= 0 existují prvky q, r ∈ D tak, že
x = yq + r ,
přičemž r = 0 nebo n(r) < n(y).
8.4. Příklad.
1. (Z, +, ·) je Euklidovský okruh. Definujme pro každé celé číslo a ∈ Z
jeho normu jako absolutní hodnotu tohoto čísla. Druhá podmínka
definice euklidovského okruhu je běžné dělení se zbytkem.
2. Okruh gaussových celých čísel Z[i] je euklidovským okruhem s normou n(a + b i) = a2 + b2 , tj. n(z) = |z|2 . Druhá podmínka z definice
euklidovského okruhu plyne z této úvahy. Pokud máme pevné y ∈
∈ Z[i], y 6= 0, tak pro všechny q ∈ Z[i] tvoří yq v gaussově rovině
vrcholy čtvercové sítě, kde strana čtverce je dlouhá |y|.√Tedy pro libovolné x ∈ Z[i] existuje q tak, že platí |x − yq| ≤ |y|/ 2.
4
Euklides, 3 stol. př. n. l., řecký matematik.
II.8
(164)
Zpět
Začátek
Str. zpět
Jdi na
Str. vpřed
Konec
Vpřed
Obsah
Rejstřík
Hledej
Okno
Zavřít
,
8.5. Věta. Necht R je komutativní těleso, potom obor integrity R[x] polynomů jedné neurčité nad R je Euklidovský okruh.
II.8
(165)
Důkaz. Definujme pro libovolný polynom f ∈ R[x] normu n(f) jako
,
stupeň polynomu f. Necht f, g jsou polynomy okruhu R[x] takové, že
f(x) = a0 + a1 x + · · · + an xn ,
g(x) = b0 + b1 + x + · · · + bm xn ,
kde g(x) 6= 0 a n(f) = n, n(g) = m, tedy an 6= 0 a bm 6= 0. Hledejme
polynomy q, r ∈ R[x] takové, že f = gq + r a r(x) = 0 nebo n(r) <
< n(g).
Je-li n < m, potom stačí položit q(x) = 0 a r(x) = f(x). Předpokládejme proto n ≥ m. Důkaz provedeme matematickou indukcí podle
stupně polynomu f.
,
Necht n = 0, potom také m = 0. Polynomy f, g máme ve tvaru
f(x) = a0 , g(x) = b0 , kde a0 , b0 6= 0. Poněvadž a0 , b0 jsou podle našeho
předpokladu prvky tělesa, existuje prvek c ∈ R tak, že a0 = b0 c. Nyní
stačí označit q(x) = c a r(x) = 0 a druhá podmínka definice 8.3 je
ověřena.
Nyní předpokládejme, že druhá podmínka definice 8.3 platí pro
všechny polynomy stupně menšího než n, dokážeme, že platí i pro polynom f stupně n.
Poněvadž n ≥ m, potom n − m ≥ 0. Sestrojme polynom
h(x) = f(x) −
−1 n−m
an bm
x
g(x) ,
Zpět
Začátek
Str. zpět
Jdi na
Str. vpřed
Konec
Vpřed
Obsah
Rejstřík
Hledej
Okno
Zavřít
−1 n−m
potom díky tomu, že an xn − an bm
x
bm xm = 0 platí, že n(h) < n a
tedy existují polynomy qh , rh ∈ R[x] tak, že
II.8
(166)
h(x) = g(x)qh (x) + rh (x) ,
rh (x) = 0 nebo n(rh ) < n(g). Tedy
−1 n−m
f(x) − an bm
x
g(x) = g(x)qh (x) + rh (x)
Zpět
Začátek
a po úpravě
Str. zpět
f(x) = g(x) qh (x) +
−1 n−m
an bm
x
+ rh (x) .
−1 n−m
Položíme-li q(x) = qh (x) + an bm
x
a r(x) = rh (x), potom je f(x) =
= g(x)q(x) + r(x), kde r(x) = 0 nebo n(r) < n(g).
8.6. Věta. Každý Euklidovský okruh je okruhem hlavních ideálů.
Jdi na
Str. vpřed
Konec
Vpřed
,
Důkaz. Necht R je Euklidovský okruh. Uvažujme libovolný ideál I v R.
Musíme dokázat, že I je hlavním ideálem okruhu R. Je-li I = 0, potom
I = (0). Je-li I 6= 0, potom označme x0 nenulový prvek ideálu I takový, že pro každý nenulový prvek x téhož ideálu platí n(x0 ) ≤ n(x).
Z definice Euklidovského okruhu víme, že existují prvky q, r ∈ R takové, že
x = x0 q + r.
Obsah
Rejstřík
Hledej
Okno
Zavřít
a pokud r 6= 0, potom n(r) < n(x0 ). Zároveň r = x − x0 q ∈ I, a tedy
n(x0 ) < n(r), tedy musí platit r = 0. Dostáváme x = x0 q a tedy I je
hlavní ideál generovaný prvkem x0 .
Nalézt příklad toho, že obrácené tvrzení neplatí přesahuje možnosti
√ tohoto spisku (opravdu bystrý čtenář může prozkoumat Z[(1 +
+ 19)/2]).
II.8
(167)
Zpět
Začátek
,
a
a
1. Necht n = p1 1 · . . . · pk k je rozklad přirozeného čísla na součin prvočísel. Dokažte, že platí.
Str. zpět
Jdi na
Str. vpřed
Zn ' Z
a
p1 1
× · · · × Zp .
ak
k
2. Dokažte, že okruh všech racionálních čísel s lichým jmenovatelem
je okruhem hlavních ideálů.
3. Ukažte, že okruh Z[i] celých Gaussových čísel je Euklidovský.
√
4. Ukažte, že okruh Z[ 2] je Euklidovským okruhem.
Konec
Vpřed
Obsah
Rejstřík
,
5. Necht R1 , . . . Rn jsou tělesa. Dokažte, že okruh R1 × · · · × Rn je
okruhem hlavních ideálů. (Sčítání a násobení prvků okruhu R1 ×
× · · · × Rn probíhá po složkách.)
6. Jsou všechny okruhy Zn okruhy hlavních ideálů ?
Hledej
Okno
Zavřít
,
7. Necht R je Euklidovský okruh, a1 , . . . , an ∈ R. Dokažte, že ideál
generovaný množinou {a1 , . . . , an } je hlavní ideál.
9.
II.9
(168)
Vnoření okruhů do těles.
V této kapitole navážeme na výsledky uvedené v I.5. Podle I.5.1 lze do
grupy vnořit každou abelovskou pologrupu s krácením. Hledejme obdobu této věty pro okruhy.
9.1. Věta. Okruh R lze izomorfně vnořit do tělesa právě, když R je oborem
integrity.
,
Důkaz. Necht okruh R lze vnořit do tělesa T , tedy existuje monomorfismus f: R → T . Jádro ker(f) = {0} a protože nenulovými prvky v tělese
T lze krátit, pro a, b, c ∈ R \ 0 platí f(a)f(b) = f(a)f(c) implikuje
f(c) = f(b), také f(ab) = f(ac) je postačující podmínkou pro f(c) =
= f(b). Zobrazení f je injektivní a tedy rovnost ab = ac implikuje b = c.
V okruhu R lze krátit a podle věty 1.7 je R oborem integrity.
,
Obráceně, necht R je obor integrity. Uvažujme množinu
Zpět
Začátek
Str. zpět
Jdi na
Str. vpřed
Konec
Vpřed
Obsah
Rejstřík
Hledej
Okno
R × R \ {0} .
Zavřít
Použijme odlišné značení, než při důkazu věty I.5.1, dvojici (a, b) ∈ R ×
,
× R \ {0} značme jako zlomek a/b. Na množině R × R \ {0} zaved me
relaci „rovnost zlomků“ podobně jako v I.5.1,
a
c
=
b
d
právě, když
právě, když
(169)
ad = cb .
Že je tato relace ekvivalence na množině R \ {0} × R \ {0} již víme,
dále stačí vzít v úvahu, že
0
a
=
b
c
II.9
a = 0,
Zpět
Začátek
Str. zpět
Jdi na
a je snadné dokázat, že tato relace je ekvivalencí na R × R \ {0}. Vytvořme nyní faktorovou množinu R × R \ {0} podle „rovnosti zlomků“ a
označme ji R̄. Třídu zlomků tvaru 0/b označme symbolem 0̄.
Na R̄ \ 0̄ definujme násobení předpisem
a c
ac
· =
.
b d
bd
Podle věty I.5 je takto definované násobení nezávislé na výběru prvků
z jednotlivých tříd a navíc R̄ \ 0̄ spolu s tímto násobením tvoří grupu.
Definujme pro a, b, c, d ∈ R sčítání zlomků
a
c
ad + cb
+ =
.
b d
bd
Str. vpřed
Konec
Vpřed
Obsah
Rejstřík
Hledej
Okno
Zavřít
Uvažujme zlomky
II.9
a1
a
=
b
b1
a
(170)
c
c1
,
=
d
d1
tedy ab1 = a1 b a cd1 = c1 d, potom
(ad + cb)b1 d1 = (a1 d1 + c1 b1 )bd ,
Zpět
Začátek
takže
a1 d1 + c1 b1
ad + cb
=
.
bd
b1 d1
Str. zpět
Jdi na
Str. vpřed
Sčítání zlomků je nezávislé na výběry reprezentantů z tříd množiny R̄.
Jelikož pro každý zlomek a/b platí
Konec
Vpřed
a 0
ad
a
+ =
=
b d
bd
b
a také
Obsah
Rejstřík
a −a
ab + (−ab)
0
+
=
= 2
b
b
b2
b
tedy, že všechny zlomky 0/d tvoří vzhledem ke sčítání neutrální prvek a
−a/b je opačným prvkem k a/b, je (R̄, +) grupa, a to zřejmě abelovská.
Hledej
Okno
Zavřít
Mezi sčítáním a násobením platí distributivní zákon:
ag
cg
c g
a g
· + · =
+
b h d h
bh dh
agdh + cgbh
=
bdh2
agd + cgb
=
bdh
ad + cb g
=
·
abd c hc
· .
+
=
b d
d
Množina R̄ je vzhledem k sčítání a násobení komutativním tělesem.
Protože
axy + byx
(a + b)xy
ax by
+
=
=
,
x
y
xy
xy
II.9
(171)
Zpět
Začátek
Str. zpět
Jdi na
Str. vpřed
Konec
Vpřed
Obsah
a také
(ab)(xy)
ax by
+
=
,
x
y
b(xy)
Rejstřík
Hledej
je zobrazení ψ: R → R̄
Okno
ax
a 7→
x
Zavřít
injektivním homomorfismem okruhů. Nalezli jsme vnoření oboru integrity R do tělesa R̄.
II.9
(172)
Těleso R̄, který jsme zkonstruovali, se nazývá podílové těleso oboru
integrity R a příslušné vnoření f se nazývá kanonické vnoření R do R̄.
,
9.2. Věta. Necht R je obor integrity, R̄ je jeho podílové těleso a f je kanonické vnoření. Pokud existuje vnoření g oboru integrity R do tělesa T , pak
existuje jediný injektivní homomorfismus h podílového tělesa R̄ do T tak,
že g = f ◦ h.
Str. zpět
f
Jdi na
R
- R̄
Q
Zpět
Začátek
Str. vpřed
Q
h
Q
g
Konec
Q
Q
Q
s ?
T
Důkaz. Toto tvrzení dokážeme podobně jako tvrzení I.5.2.
Vpřed
Obsah
Rejstřík
1. Dokažte, že podílové těleso oboru integrity Z je těleso racionálních
čísel.
Hledej
2. Dokažte, že podílové těleso Z[i] je Q[i].
Zavřít
Okno
√
3. Sestrojte podílové těleso k Z[ 2].
II.9
(173)
,
4. Necht R je obor integrity. Určete podílové těleso oboru integrity
R[x].
5. Nalezněte podílové těleso k Z5 .
6. Dokažte, že každé těleso charakteristiky 0 obsahuje podtěleso izomorfní s tělesem racionálních čísel.
7. Dokažte, že každé těleso prvočíselné charakteristiky p, obsahuje
podtěleso izomorfní s tělesem Zp .
Zpět
Začátek
Str. zpět
Jdi na
Str. vpřed
Konec
Vpřed
Obsah
Rejstřík
Hledej
Okno
Zavřít
(174)
Literatura
Zpět
[1] Beran, L. Grupy a svazy. SNTL, Praha, 1974.
Začátek
[2] Birkhoff, G., a Bartee, T. Aplikovaná algebra. ALFA, Bratislava,
1981.
Str. zpět
[3] Birkhoff, G., a MacLane, S. Prehľad modernej algebry. ALFA,
Bratislava, 1979.
Str. vpřed
[4] Blažek, J., Koman, M., a Vojtášková, B. Algebra a teoretická aritmetika II. SPN, Praha, 1985.
Vpřed
[5] Kuroš, A. G. Kapitoly z obecné algebry. Academia, Praha, 1968.
Obsah
[6] Lang, S. Undergraduate Algebra. Springer-Verlag, New York, 1990.
Jdi na
Konec
Rejstřík
[7] Legéň, A. Grupy okruhu a zväzy. ALFA, Bratislava, 1980.
Hledej
[8] MacLane, S., a Birkhoff, G. Algebra. ALFA, Bratislava, 1972.
Okno
[9] Procházka, L., a kol. Algebra. Academia, Praha, 1990.
Zavřít
[10] Schvarz, Š. Algebraické čísla. JČMF, Praha, 1950.
(175)
[11] Struik, D. J. Dějiny matematiky. ORBIS, Praha, 1963.
Zpět
Začátek
Str. zpět
Jdi na
Str. vpřed
Konec
Vpřed
Obsah
Rejstřík
Hledej
Okno
Zavřít
(176)
Rejstřík
Zpět
[a, b], 27
#, 13
≡, 84
≡ (mod I), 142
|, 152
k, 153
', 41
o, 65
/, 78
R[x], 121
Aut, 47
An , 39
Cn , 61
deg, 121
∆n , 19
[G : H], 70
gcd, 156
GL, 18
G/H, 70
Hom, 47
In, 47
Im, 43, 128
K(G), 27
Ker, 43, 128
max, 147
Q3 , 64
R× , 108
SL, 26
Sn , 29
spec, 145
z(R), 110
Z/nZ, 139
Z[i], 118
Z(G), 25
Začátek
Str. zpět
Jdi na
Str. vpřed
Konec
Vpřed
Obsah
A
Abel, Niels Henrik, 6
akce
grupy, 73
konjugací, 73
antikomutativita, 118
automorfismus, 47
okruhů, 127
vnitřní, 47
Rejstřík
Hledej
Okno
Zavřít
C
Cauchy, Auguste Louis, 75
Cayley, Arthur, 14
centrum grupy, 25
cyklus, 30
cykly
disjunktní, 31
D
dělitel, 152
největší společný, 156
nevlastní, 154
triviální, 154
dělitel nuly, 110
netriviální, 110
triviální, 110
délka cyklu, 30
E
epimorfismus, 41
okruhů, 127
Erlangenský program, 19
Euklides, 164
G
Gauss, Karl Friedrich, 118
generátor grupy, 58
grupa, 10
alternující, 39
cyklická, 58
faktorová, 86, 90
izotropická, 74
jednoduchá, 81
Kleinova, 19
kvaternionů, 64
permutací, 29
podílová, 53
rozdílová, 53
symetrická, 29
symetrií, 19
grupoid, 5
abelovský, 6
asociativní, 7
faktorový, 86
komutativní, 6
H
homomorfismus
grupoidů, 41
injektivní, 41
okruhů, 126
surjektivní, 41
(177)
Zpět
Začátek
Str. zpět
Jdi na
Str. vpřed
Konec
Vpřed
Obsah
Rejstřík
Hledej
Okno
Ch
charakteristika okruhu, 110
Zavřít
I
ideál, 128
generovaný množinou, 131
hlavní, 131
levý, 129
maximální, 147
nevlastní, 129
pravý, 129
index podgrupy, 70
inverze, 35
izomorfismus
grup, 41
okruhů, 127
J
jádro homomorfismu
grup, 43
okruhů, 128
jednotka okruhu, 108
L
(178)
Lagrange, Joseph Luis, 70
M
množina
multiplikativně uzavřená, 144
mocnina prvku, 55
monoid, 8
monomorfismus, 41
okruhů, 127
Zpět
Začátek
Str. zpět
Jdi na
Str. vpřed
Konec
Vpřed
K
Klein, Felix, 19
komutant grupy, 27
komutant vzájemný, 83
komutátor prvků, 27
kongruence
v grupě, 84
v okruhu, 141
konjugace, 47
kořen z jedné, n-tý, 58
krácení, 11
kritérium podgrupy, 23
kvaternion, 114
sdružený, 115
N
Obsah
násobek
prvku, 57, 110
Rejstřík
norma
kvaternionu, 115
Hledej
norma prvku, 164
Okno
normalizátor prvku, 26
Zavřít
O
obor integrity, 111
obraz homomorfismu
grup, 43
okruhů, 128
okruh, 107
Euklidovský, 164
faktorový, 139
Gaussův, 161
hlavních ideálů, 162
komutativní, 108
netriviální, 108
polynomů, 123
triviální, 108
operace
aditivní, 5
asociativní, 7
binární, 5
komutativní, 6
multiplikativní, 5
orbita grupy, 73
P
permutace
lichá, 34
sudá, 34
permutace množiny, 28
podgrupa, 22
generovaná množinou, 24
invariantní, 78
konjugovaná, 80
netriviální, 22
normální, 78
torzní, 26
triviální, 22
podmínka, substituční, 84
podokruh, 116
triviální, 117
podtěleso, 117
pologrupa, 7
polynom, 121
projekce
na faktorovou grupu, 90
průnik
ideálů, 130
prvek
asociovaný, 153
dělitelný, 152
invertibilní, 108
inverzní, 9
levý, 12
pravý, 12
ireducibilní, 154
jednotkový, 108
neutrální, 8
levý, 12
pravý, 12
nulový, 108
vytvářející, 58
(179)
Zpět
Začátek
Str. zpět
Jdi na
Str. vpřed
Konec
Vpřed
Obsah
Rejstřík
Hledej
Okno
Zavřít
prvky
nesoudělné, 156
prvky konjugované, 80
prvočinitel, 155
prvoideál, 145
R
rozklad grupy
podle normální podgrupy, 78
podle podgrupy
levý, 70
pravý, 70
rozklady
asociované, 159
Ř
řád
grupy, 13
cyklické, 61
prvku, 13
nekonečný, 13
S
(180)
součet
ideálů, 133
polynomů, 122
součin
polynomů, 123
grup
direktní, 19, 98
semidirektní, 65
ideálů, 145
množin, 69
spektrum okruhu, 145
Zpět
Začátek
Str. zpět
Jdi na
stupeň polynomu, 121
substituční podmínka, 84
symetrie n-úhelníku, 13
Str. vpřed
Konec
Vpřed
T
těleso, 112
kvaternionů, 114
podílové, 172
Obsah
Rejstřík
transpozice, 37
třída rozkladu grupy
podle podgrupy
levá, 69
pravá, 69
Hledej
Okno
Zavřít
V
věta
Cauchyho, 75
Cayleyova, 44
Lagrangeova, 70
o izomorfismu
druhá, 93
první, 93
třetí, 95
o faktorových grupách, 91
o izomorfismu okruhů, 140
vnoření, 48
kanonické, 53, 172
Z
(181)
zákon
asociativní, 7
distributivní, 107
zápis
aditivní, 5
multiplikativní, 5
znaménko permutace, 34
zobrazení
afinní, 18
univerzální, 90
zúžení operace, 22
Zpět
Začátek
Str. zpět
Jdi na
Str. vpřed
Konec
Vpřed
Obsah
Rejstřík
Hledej
Okno
Zavřít

Grupy a okruhy

Transkript

Podobné dokumenty

04 05 obsah e.cdk

I`d**-

Program ke stažení

Kdo nEkdy vid6l, iak lunguii z6k0ny div0[iny, kde se 0kiidleni

Žebříček dospělých OSST 1983/1984

Slovníček k učebnici Start with Click new 1