Funkce

Sbírka
úloh z matematiky
pro 3. ročník
tříletých učebních oborů
Jméno: ………………………
Třída: ………………
1
Obsah
Funkce
Lineární funkce
Kvadratické funkce
Nepřímá úměrnost
Rostoucí a klesající funkce
6
13
15
17
Orientovaný úhel
Goniometrické funkce
18
Stereometrie
Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin
Odchylka přímek a rovin
23
Tělesa
Převody jednotek
Obvody a obsahy
Hranoly
Válec
Jehlan a kužel
Koule
Komolý jehlan a kužel
Složená tělesa
25
Přijímací zkouška z matematiky
pro nástavbové studium
Test:
3
20
23
24
25
27
28
31
33
35
38
40
41
J
2
Funkce
Funkce je zobrazení, které ke každému prvku dané množiny D(f) přiřazuje právě jedno reálné
číslo.
Označíme-li danou funkci f, pak číslo, které funkce f přiřazuje číslo a ∈ D(f), se nazývá
hodnota funkce v bodě a a značí se f(a).
Množina D(f) se nazývá definiční obor funkce f
Množina všech hodnot funkce f je obor hodnot funkce f a značí se H(f)
Každé hodnotě x ∈ D(f) přísluší jediná hodnota y ∈ H(f). Pokud tato podmínka není splněna
nelze hovořit o funkci.
1.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
Rozhodni, zda následující závislosti jsou funkcemi:
závislost počtu ujetých kilometrů na počtu otáček kol pohybujícího se automobilu
závislost doby jízdy na rychlosti vlaku při konstantní vzdálenosti
závislost počtu diváků na tržbě v kině
závislost množství prodaného ovoce v daný den na daném místě na délce trvání prodeje
závislost počtu hostů v restauraci na počtu prodaných obědů
závislost obsahu kruhu na jeho průměru
závislost výšky domu na počtu oken v tomto domě
závislost velikosti poplatku za telefonní hovory na počtu uskutečněných telefonních
hovorů
i) závislost velikosti jednoho kousku dortu na počtu stejných dílků, na které byl dort
rozdělen
2. Rozhodni, které z uvedených grafů jsou grafem nějaké funkce.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
3
3. Rozhodni, které z uvedených tabulek jsou tabulkami nějaké funkce:
a)
d)
x
1
2
3
4
5
x
0
y
3
2
4
1
8
y
-1 -2 -2 -1 0
b)
2
2
6
8
e)
x
-4 -1 0
3
5
x
0
2
4
6
8
y
2
5
2
y
1
3
5
7
9
5
2
c)
f)
x
-2 -1 0
-1 -2
x
-4 -2 0
3
5
y
4
7
y
4
4
4
5
6
8
4
4
4. Urči definiční obor a obor hodnot funkce, jestliže:
a) y = 3x - 7
x ∈ -2; -1; 0; 2; 3
b) y = 1 - 5x
c) y =
2x − 3
5
x ∈ -2; -1; 0; 1; 2;
x ∈ -2; -1; 0; 1; 2
1
x
x ∈ -5; -1; 0; 1; 2;
e) y = x2 – 3
x ∈ -2; -1; 0; 1; 4;
f) y = 2 - x2
x ∈ -3; -1; 0; 1; 2
d) y = 3 −
4
5. Určete definiční obor funkce :
a) y = 5x - 4
11
b) y = 6x5
3
c) y =
x
2x − 7
d) y =
3x
x+4
e) y =
x −1
x−9
f) y =
x+4
3x − 1
g) y = 2
x −4
5x − 6
x 2 + 16
h) y =
6. Sestrojte grafy funkcí daných tabulkou, určete
jejich definiční obor a obor hodnot:
a)
x
0
1
2
3
4
y
-3 -2 -1 -2 -3
b)
x
-2 -1 0
1
2
y
0
-1 -2 -1 0
x
1
2
y
-2 -2 -2 -2 -2
c)
3
4
5
5
9. Turista došel do cíle své cesty za 8 hodin. Na obr.A je sestrojen graf závislosti dráhy turisty
na čase. Urči.
a) Kolik kilometrů ušel turista za 8 hodin ?
b) Kolik kilometrů zbývalo turistovi do cíle po pěti hodinách chůze ?
c) Kdy byl turista 5 kilometrů před cílem ?
d) Co znamená skutečnost, že graf závislosti dráhy na čase je v době od druhé do třetí hodiny
rovnoběžný s osou x ?
e) Jakou rychlostí šel turista první dvě hodiny?
A.
B.
Lineární funkce
Lineární funkce je určena rovnicí
y = ax + b ,
kde a a b jsou reálná čísla, a ≠ 0, x ∈ R.
Je-li b = 0 je to přímá úměrnost, y = ax.
Je-li a = 0, je danou rovnicí určena konstantní funkce, y = b
Graf funkce f je množina všech bodů [x; y ] , kde y = f(x).
Pokud nějaký graf obsahuje dvojici různých bodů, které leží na téže rovnoběžce s osou y, není
to graf funkce.
Grafem lineární i konstantní funkce je přímka.
6
1. Rozhodni, která z daných rovnic určuje lineární funkci. Vyberte, která z rovnic patří přímé
úměrnosti a která konstantní funkci :
a) y = 7x – 5
b) y = 5 x
c) y = 3x + 2
d) y = - 4
e) y = 4 – 3x
5
f) y = − 2
x
3x − 7
g) y =
6
h) y = x(x – 1)
i) y = x2 + 3
j) y = 5
2. Sestroj grafy lineárních funkcí:
a) y = 2x
x∈R
tabulka:
a=
b=
graf:
x
y
Funkce je ______________
7
b) y = 3x + 2
x ∈ − 1;3
c) y = - 2x + 3
d) y = 4
x∈R
e) y =
2
x+2
3
x ∈ {− 3;0;3;6}
f) y = 6 – x
x ∈ − 2; ∞
g) y =
x−5
2
x ∈ (− ∞;5 )
)
x ∈ ( - 2 ; 4)
8
i) y = - 7
l) y = 2x + 1
h) y = 3x
x∈ R
3 − 2x
k) y =
x∈R
5
x∈ {− 2;−1;0;1;2}
x ∈ − 2;2
3. Rozhodni výpočtem, zda dané body leží na, nad nebo pod grafem funkce:
a) y = x + 1
A = [2;4] ; B = [2;3] ; C = [− 2;0] ; D = [3;−1] ; E = [0;0]
b) y = 2x – 3
K = [1;−1] ; L = [0;−2] ; M = [2;1] ; N = [− 2;−6] ; O = [− 1;1]
4. Sestroj graf funkce y =
1
3
x +
jestliže :
2
2
a) x ∈ { 0; 1; 2; 3; 4 }
b) x ∈ 0;+∞ )
c) x ∈
− 3;3
d) x ∈ R
9
5. Sestroj graf funkce y =
3− x
; x ∈ R . Urči, pro které hodnoty proměnné x nabývá
2
tato funkce
a) nulových hodnot
b) kladných hodnot
c) záporných hodnot
d) určete zbývající souřadnice bodů:
[1;y], [-2;y], [x;5], [x;-3]
6. Řeš graficky rovnici :
a) 3x – 1 = 0
b) 2x + 3 = 0
c) x + 2 = 2x – 1
d) 4x - 5 = 2x + 3
10
7. Řeš graficky soustavu rovnic:
a)
x+ y= 3
2x – 3y = - 4
b)
x + y = -1
x + 5y = 3
c)
2x - y = 6
x +y = 0
11
8. Na 1 m3 zdiva je třeba 0,28 m3 malty. Vyjádři závislost spotřeby malty na objemu zdiva.
- tabulkou
- rovnicí
- grafem
9. Odpor vodiče je 46 Ω . Sestroj graf závislosti proudu na napětí . ( I =
10. Rychlost auta je 55
U
)
R
km
. Sestroj graf závislosti ujeté dráhy na čase ( s = v. t )
h
J
12
Kvadratická funkce
Kvadratická funkce je funkce určená rovnicí
y = ax2 + bx + c
kde a,b, c jsou reálná čísla, a ≠ 0, a x je proměnná. D(f) = R
Grafem kvadratické funkce je parabola.
1. Urči název funkce
a) y = x2
e) y = - x 2
b) y = x + 2
f) y = 1 - 2x
2
c) y = x + 2x + 1
g) y = 3
d)) y = 1 + 2x2
h) x = 3
2. Urči koeficienty a , b , c .
a) y = x2
b) y = x2 + 2x + 1
c) y = 1 + 2x2
d) y = - x 2
3. Urči kvadratickou funkci, je-li dáno.
a) a = 5 , b = 0, c = 0
____________________________
b) a = - 2 , b = 3, c = 0
____________________________
c) a = - 1 , b = 0, c = - 3
____________________________
d) a = 1 , b = - 1, c = 1
____________________________
4. Narýsuj graf funkce y = x2 . Z grafu urči:
a) obor hodnot funkce
b) pro které x je funkce klesající
c) pro které x je funkce rostoucí
d) v kterém bodě nabývá funkce své největší
nebo nejmenší hodnoty a zapiš tuto hodnotu
e) hodnotu funkce pro x = - 2
13
5. Řeš stejné úkoly jako v příkladě 4 pro funkci y = -
1 2
x .
2
6. Řeš stejné úkoly jako v příkladě 4 pro funkci y = 2x2 – 3 .
7. Řeš stejné úkoly jako v příkladě 4 pro funkci y = - x2 + 1 .
14
Nepřímá úměrnost
Nepřímá úměrnost se nazývá každá funkce
k
y=
x
x ∈ R – {0}, kde k je libovolné reálné číslo různé od nuly.
Grafem nepřímé úměrnosti je hyperbola.
1. Sestroj graf funkce y =
1
, urči definiční obor a obor hodnot.
x
2. Sestroj graf funkce y = −
2
, urči definiční obor o obor hodnot.
x
15
3. Určete typ funkce:
10
a) y =
x
x
b) y =
10
x
+1
c) y =
10
d) y = 3
4. Vypočítejte hodnotu funkce y =
π
x
f) y = 3 x 2 + 5
1
g) y = x
0,5
h) y = −
x
e) y =
− 20
1
pro x ∈ { -2; -0,5; 2,5; }
x
2
5. Obsah obdélníku je 10 cm2. Znázorněte graficky závislost jeho délky na jeho výšce,
jestliže výška je od 2 cm do 5 cm.
16
6. Znázorněte graficky závislost výkonu na čase, jestliže práce W = 100 J, čas t
W
1s;50s a P = .
t
∈
Rostoucí a klesající funkce
Funkce f je v intervalu I ⊂ D(f) rostoucí, právě když pro každé x1, x2 ∈ I
jestliže x1 < x2, pak f(x1) < f(x2).
Funkce f je v intervalu I ⊂ D(f) klesající, právě když pro každé x1, x2 ∈ I
jestliže x1 < x2, pak f(x1) > f(x2).
1. Urči, zda daný graf znázorňuje funkci, pokud ano urči na kterém intervalu je rostoucí a na
kterém klesající:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
17
2. Urči , zda je funkce rostoucí nebo klesající:
a) y = 0,8x + 1
c) y = - x2 + 1 , pro x ∈ 0; ∞
)
e) y = 5, pro x > 0
x
+2
2
b) y = -
d) y = x2 + 2 , pro x < 0
f) y =
3
, pro x < 0
x
J
Orientovaný úhel
Velikost úhlu určujeme ve stupňové nebo v obloukové míře.
Jednotkou ve stupňové míře je stupeň, minuta, sekunda.
Jednotkou v obloukové míře je radián.
Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře
π = 3,14159 = 180°
1. Velikost úhlů danou ve stupních vyjádřete v radiánech:
0°, 15°, 30°, 45°, 60°, 75°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 225°, 240°, 270°, 360°
18
2. Velikost úhlu danou v radiánech vyjádřete ve stupních:
2π
3π
π
5π
π
3
2
6
6
π
12
7
π
6
π
4
π
2
11
π
12
3
π
4
π
12
5π
12
π
3
11
π
3
3. Převeďte velikosti úhlů v radiánech na stupně:
2,3562 =
4,7124 =
1,62806 =
3,05430 =
0,26175 =
Orientovaný úhel
- kladná velikost se určuje proti směru hodinových ručiček
- záporná velikost se určuje po směru hodinových ručiček
Základní velikost úhlu je velikost úhlu v intervalu 0 ˚; 360˚) tj. 0 ; 2π).
Různá otočení mají stejnou základní velikost.
4. Vypočítejte základní velikost úhlu:
450˚ =
760˚ =
700˚ =
1200˚ =
3600˚ =
10π =
17π =
16π =
31π =
-π =
-4π =
-30˚ =
-270˚ =
-330˚ =
-360˚ =
-450˚ =
-5π =
-24π =
-15π =
19
Goniometrické funkce
Vztahy mezi stranami a ostrými úhly pravoúhlého trojúhelníka ABC:
Sinus úhlu je poměr délky protilehlé odvěsny a přepony: sin α =
a
c
Kosinus úhlu je poměr délky přilehlé odvěsny a přepony: cosα =
b
c
Tangens úhlu je poměr délky protilehlé a přilehlé odvěsny: tg α =
a
b
Kotangens úhlu je poměr délky přilehlé a protilehlé odvěsny: cotg α =
b
a
5. V pravoúhlých trojúhelnících ABC s přeponou c vypočtěte délky zbývajících stran:
a) c = 20 cm, α = 30°
b) c = 17,5 cm, β = 65°
c)
b = 27 cm, β = 15°
d) a = 0,5 km, β= 30°
20
Jednotková kružnice:
Tabulka hodnot
α
sin
cos
tg
cotg
Určování hodnot goniometrických funkcí
Periodická funkce – hodnoty funkce se opakují
Funkce sinus a kosinus jsou periodické s periodou 2π = 360˚, funkce tangens a kotangens
jsou periodické s periodou π = 180˚.
Platí: sin x = sin (x + 360˚) = sin (x + 720˚) = sin (x + 1080˚) = sin (x - 360˚) = …
cos x = cos (x + 360˚) = cos (x + 720˚) = cos (x + 1080˚) = cos (x - 360˚) = …
tg x = tg (x + 180˚) = tg (x + 360˚) =…
cotg x = cotg (x + 180˚) = cotg (x + 360˚) = …
Znaménka hodnot funkcí:
kvadrant
I.
II.
III.
IV.
sinus
kosinus
tangens
kotangens
21
1. Načrtněte grafy funkcí:
sinus
kosinus
tangens
Platí:
kotangens
sin (-x) = - sin x
cos (-x) = cos x
2. Určete hodnoty funkcí:
a) sin 90˚ =
sin 180˚ =
sin x
cos x
cos x
cotg x =
sin x
tg x =
cotg x =
1
tgx
sin 0˚ =
sin 270˚ =
sin 360˚ =
cos 90˚ =
cos 270˚ =
cos 360˚ =
b) cos 0˚ =
cos 180˚ =
c) sin 720˚ =
sin 390˚ =
sin (-90˚) =
sin (-1110˚) =
d) cos 450˚ =
cos 1080˚ =
cos (-60˚) =
cos (-1200˚) =
3. Určete hodnoty funkcí:
a) sin π =
sin 2π =
b) cos 0 =
cos π =
sin 7π =
sin 12π =
sin (-3π) =
cos 4π =
cos (-9π) =
cos (-6π) =
22
3π
=
2
π
d) cos =
3
 π
sin  − 
 2
 3π
cos  −
 2
5π
=
2
 π
cos  −  =
 3
c) sin
sin
=

=

 2π 
sin  −
=
 3 
 π
cos  −  =
 4
J
Stereometrie
Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin
- dvou bodů
a) splývají : A = B
b) jsou různé : A ≠ C
- bodu a přímky
a) bod leží na přímce : A ∈ p
b) bod neleží na přímce : B ∉ p
- dvou přímek
a) rovnoběžné přímky (rovnoběžky), a to splývající ( r = s ) nebo různé ( r
p)
b) různoběžné přímky (různoběžky), které mají jediný společný bod – průsečík ( p a q,
p ∩ q ={ Q } )
c) mimoběžné přímky (mimoběžky), které nemají společný bod ( u a v)
- bodu a roviny
a) bod leží v rovině: D ∈↔ ABC = ρ
b) bod neleží v rovině: H∉ ρ
- přímky a roviny
a) přímka je rovnoběžná s rovinou; v tom případě buď leží v rovině p ⊂ ρ , nebo nemá
přímka s rovinou společný žádný bod r
ρ , r∩ ρ = { }
b) přímka je různoběžná s rovinou, tj. má s ní společný právě jeden bod přímka s je
různoběžná s rovinou s ∩ ρ = { C}
- dvou rovin
a) jsou rovnoběžné, a to splývající (α=β ) nebo různé ( α ∩ β ={ })
b)jsou různoběžné, tj. mají společnou právě jednu přímku (a ∩ β = ↔ AB) společná přímka
dvou rovin se nazývá průsečnice
23
1. V krychli ABCDEFGH určete:
a) 2 rovnoběžné hrany
b) 2 různoběžné hrany
c) 2 mimoběžné hrany
d) rovnoběžné roviny
e) různoběžné roviny a jejich průsečnici
f) roviny, které mají odchylku 90˚
g) roviny, které mají odchylku 45˚
h) roviny, které nemají odchylku 90˚ ani 45˚
2. V kvádru ABCDEFGH určete vzájemnou polohu:
a) bodu A a hrany BC
b) bodu A a roviny BCD
c) přímek AC a CG
d) přímek BD a AE
e) roviny ABC a EFG
f) roviny BCD a AEH
Odchylka přímek a rovin
Odchylkou dvou přímek nazýváme velikost ostrého nebo pravého úhlu, který přímky
svírají.
Odchylka dvou rovin je odchylka průsečnic daných rovin s rovinou, která je k zadaným
rovinám kolmá.
3. V krychli ABCDEFGH vypočítejte odchylky:
a) přímky AB a EF
b) přímky AB a BF
c) přímky AB a CG
d) přímky AC a BD
e) přímky AC a AB
f) přímky BE a BG
24
4. Je dán kvádr ABCDEFGH: a = 3 cm, b = 4 cm, c = 5 cm. Vypočítejte odchylku roviny
ABC od roviny BCH.
J
Tělesa
Převody jednotek
:1 000
km
m
km
:100
ha
.100
cm
.10
.10
:100
:10
dm
.1 000
2
:10
:10
:100
2
a
.100
:100
m
.100
mm
.10
2
:100
dm
2
cm
.100
.100
:100
mm2
.100
1 m3 = 10 hl , 1 dm3 = 1 l , 1 cm3 = 1 ml
:100
hl
:10
l
1. Vyjádřete v km:
2. Vyjádřete v m:
a) 0,042 km
b) 2,5 cm
c) 9800 mm
d) 0,87 dm
dl
.10
.100
6.
7.
8.
9.
6500 m =
:10
:10
cl
ml
.10
.10
158 m =
57,7 m =
e) 121 dm
f) 7820 cm
g) 0,2 mm
h) 5,06 km
25
3.Vyjádřete v dm:
0,75 m =
368 cm =
4800 mm =
4.Vyjádřete v cm:
3,7 dm =
0,025 m =
156 mm =
5.Vyjádřete v mm:
15,3 cm =
0,76 dm =
0,0015 m =
6. Upravte na m a sečtěte:
315 cm + 36,4 dm + 150 mm =
1,5 dm + 3400 mm + 0,47 cm + 0,00045 km =
0,75 dm2=
0,0004 m2=
8. Upravte na cm2: 0,364 dm2=
157 mm2=
0,0064 m2=
9. Upravte na dm2: 426 cm2=
0,014 m2=
36700 mm2=
10. Upravte na m2:
125 dm2=
1,25 a =
0,046 ha =
11. Upravte na a:
158 m2=
36,4 ha=
0,6 km2=
12. Upravte na ha:
264 a =
77350 m2=
0,058 km2=
7.
Upravte na mm2: 3,7 cm2=
13. Kolik m2 je 3140 cm2 + 254 dm2 + 1740 mm2=
14. Upravte na m3: 4650 dm3=
74000 cm3=
15,7 hl =
0,6 hl =
3
3
15. Upravte na dm : 1400 cm =
75300 mm3=
0,7 m3=
15,6 hl =
152 l =
848000 mm3 =
1,5 l =
0,0325 dm3=
16.Kolik m3 je 1,75 hl + 5400 dm3 + 14 l =
0,456 hl + 150 l + 750 dm3=
17. Kolik cm3 je 17,4 dm3 + 42500 mm3 + 0,00001 m3=
26
Obvody a obsahy
Trojúhelník :
- o = a + b +c
a ⋅ va
- S=
2
Čtverec :
- o = 4.a
- S=a
Obdélník :
- o = 2.(a + b)
- S = a.b
Kružnice, kruh:
- o = 2.π . r = π. d
- S = π . r2
Rovnoběžník:
Kosočtverec :
- o = 4.a
- S = a . v ; S = u1 . u2
Kosodélník :
- o = 2.( a + b )
- S = a . va
Lichoběžník :
- o=a+b+c+d
(a + c ) ⋅ v
- S=
2
1. Z obdélníkové desky jsou vyříznuty dva půlkruhy. Urči plochu desky po jejich vyříznutí.
(obr. 1)
obr. 1
2. Vypočti obsah vybarveného obrazce, jsou-li velikosti stran čtverce a = 4 cm. (obr. 2)
obr. 2
27
Objem a povrch – hranoly
Krychle
V = a3
S = 6a 2
u=a 3
Kvádr
V = abc
S = 2(ab + ac + bc )
u = a2 + b2 + c2
Hranol
V = Sp ⋅v
S = 2 S p + S pl
1. Urči počet H hran, V vrcholů a S stěn krychle :
a) H = 6, V = 6, S = 6
b) H = 12, V = 8, S = 6
c) H = 8, V = 8, S = 6
d) H = 12, V = 8, S = 8
2. Pro betonový základ byla vyhloubena jáma tvaru krychle o hraně 1,8 m. Kolik m3 zeminy
bylo vykopáno?
3. Kolik m3 zdiva je třeba vysekat pro kombinovanou elektroměrovou desku tvaru kvádru
s rozměry 0,8x0,6x0,3 m?
28
4. Měděná deska z plechu tloušťky 3 mm má délku 0,9 m a šířku 0,75 m. Jakou má hmotnost,
je-li ρ = 8800 kg.m-3.
5. Činná část pájedla je zhotovena z Cu tyče tvaru pravidelného čtyřbokého hranolu o
straně průřezu a = 18 mm. Jakou hmotnost má 1,75 m tyče při hustotě ρ = 8900 kg.m-3.
6. Mléčné sklo osvětlovacího tělesa má tvar krychle o hraně 0,28 m. Vypočítej velikost svítící
plochy.
7. Kolik hektolitrů lázně pro galvanické pokovování pojme vana tvaru kvádru s rozměry
a = 0,68 m, b = 0,8 m, c=1,78 m.
8. Plechovka má tvar kvádru (bez víka) o rozměrech 100 mm, 25 cm a 320 mm. Vypočítej
spotřebu plechu na její výrobu. Kolik litrů kapaliny pojme?
29
9.
Vypočtěte hloubku vody v bazénu tvaru kvádru, je-li délka bazénu 16,5 m, šířka 10 m a
bylo-li napuštěno 2 640 hl vody.
10. Dílenské pravítko má průřez tvaru pravidelného trojúhelníku o straně 36 mm. Jakou má
hmotnost, je-li 1 m dlouhé a ρ = 7,8 g.cm-3 ?
11. Dílenské pravítko má průřez tvaru lichoběžníka (a = 5 cm, c = 38 cm, v = 1 cm). Urči
jeho hmotnost, má-li délku 2 m, ρ = 7800 kg.m-3.
12. Zemní kabely elektrického vedení jsou uloženy na dně výkopu s lichoběžníkovým
průřezem. Kolik m3 zeminy je třeba odstranit vytvořením výkopu v délce 15 m, má-li
nahoře šířku 0,8 m, dole 0,6 m a hloubka výkopu je 0,7m?
13. Strop a stěny pokoje, který je 3,5 m vysoký, 7 m dlouhý a 6 m široký, se mají obložit
dřevem. Kolik m2 dřeva je třeba na obložení?
A. 175 m2
B. 147 m2
C. 133 m2
D. 87,5 m2
žádná z možností A – D není správná
14. Jaký objem mají 2 m2 plechu o tloušťce 1,5 mm? Jakou má plech hmotnost, jestliže
ρ = 8900 kg.m-3?
30
Povrch a objem – válec
Válec
π ⋅d2
V = π ⋅r ⋅v =
⋅v
4
2
S = 2 ⋅ π ⋅ r 2 + 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ v = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ (r + v )
1. Holý měděný drát má průřez 16 mm2 a délku 75 m. Urči jeho hmotnost, je-li
ρ = 8800kg.m-3.
2. Pro stanovení spotřeby plechu určete povrch uzavřeného válcového kotle s průměrem
0,8 m a délkou 1,75 m.
3. Hliníkový drát má průřez 2,5 mm2 a délku 150 m. Urči jeho hmotnost, je-li
ρ = 2700kg.m-3.
31
4. Z tyče o průměru 40 mm a délce 1,38 m byla zhotovena hřídel o průměru 38 mm
a délce 1,35 m. Kolik procent bylo odpadu?
5. Urči hmotnost Cu vodiče na čtyřnásobné vedení v délce 48 m, má-li vodič průřez
6 mm2, ρ = 8,9 kg.dm-3.
6. Kolik m2 plechu se spotřebuje na rouru o délce 7,5 m, má-li průměr 0,5 m a na spojení
dílů je třeba přidat 10%?
7. Plechový buben pro odsávací zařízení má tvar pláště válce o průměru 1 m a výšce
1,6 m. Jakou má hmotnost, je-li z plechu 1,5 mm silného a ρ = 7800 kg.m-3?
32
8. Plechový sud má tvar válce s vnitřním průměrem 0,7 m. Kolik kg transformátorového
oleje obsahuje, sahá-li hladina do výšky 0,6 m ode dna (sud stojí na podstavě)
a ρ = 99 kg.m-3.
9. Lano obsahuje 37 drátů, každý o průměru 0,75 mm, ρ = 7800kg.m-3. Jakou hmotnost
má 50 m lana, je-li skutečná délka drátů se zřetelem na zkroucení o 3% větší?
10. Plynojem má tvar válce o průměru 56 m. Jak vysoko sahá vnitřní víko, je-li na
ukazateli 150000 m3?
11. Válcová plechovka koly má objem 340ml. Průměr podstavy je 6 cm. Plechovka je
vysoká přibližně
A. 9 cm
B. 10 cm
C. 11 cm
D. 12 cm
E. 13 cm
12. Nádoba tvaru válce obsahuje 62,8 hl vody a je zcela plná. Výška nádoby je 0,5 m.
Jaký je průměr dna nádoby?
A. 0,2 m
B. 0,4 m
C. 1 m
D. 2 m
E. 4 m
J
Povrch a objem – jehlan a kužel
1
V = π ⋅r2 ⋅v
3
2
S = π ⋅ r + π ⋅ r ⋅ s = π ⋅ r ⋅ (r + s )
Rotační kužel
Jehlan
1
V = Sp ⋅v
3
S = S p + S pl
33
Pravidelný jehlan
Vztahy mezi délkami na jehlanu
1. Střecha má tvar pláště kužele o průměru 4,8 m a výšce 1,6 m. Určete spotřebu krytiny.
2. Hromada písku má tvar kužele. Obvod je 12,7 m, strana s = 2,2 m. Určete přibližnou
hmotnost písku, je-li ρ = 1,6 t.m-3.
3. Určete hmotnost olovnice, má-li tvar válce s průměrem 30 mm a délkou 60 mm, který
je zakončený kuželovým hrotem o stejném průměru a výšce 36 mm (ρ = 7,85g.cm-3).
4. Střecha transformátorovny má tvar pláště pravidelného čtyřbokého jehlanu. Vypočítej
její povrch, je-li délka podstavné hrany 3,2 m a výška 1,2 m.
34
5. Střecha má tvar pláště rotačního kužele o průměru podstavy 4,3 m, odchylka strany od
roviny podstavy je 36°. Vypočtěte spotřebu plechu na pokrytí střechy, počítáme-li
10% ztrát.
6. Kolik m3 kamene bylo asi spotřebováno na Cheopsovu pyramidu 137 m vysokou
s podstavnou hranou 270 m.
Povrch a objem – koule
Koule
4
V = π ⋅ r3
3
S = 4π ⋅ r 2
Vrchlík, kulová úseč
Obsah vrchlíku a kulového pásu
S = 2π ⋅ r ⋅ v
Objem kulové úseče
π ⋅v
V =
3ρ 2 + v 2
6
(
)
Objem kulové vrstvy
π ⋅v
V =
3ρ12 + 3ρ 22 + v 2
6
(
)
Kulový pás, kulová vrstva
35
1. Valivé ložisko elektrického stroje obsahuje kuličky o průměru 7,5 mm. Kolik % činil
odpad, jestliže z tyče oceli o průměru 8 mm a délce 4m bylo vyrobeno 500 kuliček.
2. Stínítko dílenské lampy má tvar poloviny koule s průměrem 250 mm. Jak velká je
plocha odrážející světelné paprsky?
3. Skleněná koule osvětlovacího tělesa má průměr 0,34 m. Vypočti přibližnou velikost
svítící plochy.
4. Valivé ložisko obsahuje 18 kuliček o průměru 10 mm. Jaký je jejich celkový objem?
5. Střecha má tvar polokoule o průměru 3,8 m. Pro určení spotřeby krytiny vypočítej její
povrch.
36
6. Hmotnost ložiskový kuličky je 4 g. Jaký je její průměr? (ρ = 7,8 g.cm-3).
7. Plynojem má tvar koule o průměru 8,2 m. Na natření 7,5 m2 jeho povrchu stačí 1 kg
barvy. Kolik barvy se spotřebuje na natření plynojemu? (Natíráme jen z vnější strany.)
8. Vypočítejte povrch kulového plynojemu, jehož objem je 1810 m3. Při výpočtu
nepřihlížejte k tloušťce plechu.
9. Vypočtěte plošný obsah plechu, který se spotřebuje na kotel tvaru polokoule
o průměru 92 cm. Počítejte 6% na ztráty.
37
Povrch a objem – komolý jehlan a kužel
Komolý jehlan
v
V = S1 + S p1 ⋅ S p 2 + S 2
3
S = S1 + S 2 + S pl
(
Komolý rotační kužel
π ⋅v 2
V =
r1 + r1r2 + r22
3
S pl = π ⋅ (r1 + r2 ) ⋅ s
(
)
)
S = π ⋅ r12 + π ⋅ r22 + S pl
1. Vypočtěte objem nádoby tvaru komolého kužele vysoké 420 mm, průměr dna je
520 mm a průměr horního otvoru je 600 mm.
2. Násypník má tvar komolého rotačního kužele s průměry podstav 1,84 m a 1,36 m
a stranou 62 cm. Vypočtěte jeho objem.
38
3. Kolik korkových zátek tvaru komolého kužele o průměrech podstav 90 mm a 84 mm
a straně 27 mm obsahuje zásilka o hmotnosti 12 kg netto? (ρ = 300 kg.m-3)
4. Vypočtěte objem kónického trámu (tvar komolého kužele) kruhového průřezu
o průměru jedné podstavy 280 mm, druhé podstavy 200 mm a délce 6 m.
5. Kolik m2 plechu je třeba na výrobu násypníku tvaru pláště pravidelného čtyřbokého
jehlanu? Délka dolní podstavné hrany je 40 cm, výška je 30 cm a délka horní
podstavné hrany je 12 dm. 18% počítáme na spoje a odpad.
6. Vypočtěte objem podstavce, který má tvar komolého rotačního kužele s průměry
podstav 1,8 m a 1,3 m a stranou 70 cm.
7. Vypočítejte objem výkopu tvaru komolého jehlanu, který je hluboký 2,4 m, s rozměry
dna 16 m a 12 m a s rozměry výkopu 24 m a 18 m.
39
Složená tělesa
Při výpočtu objemu složených těles rozdělíme těleso na jednoduchá tělesa, která se
nepronikají. Při výpočtu povrchu složených těles nesmíme zapomenout, že některé stěny
dílčích těles vznikly při dělení a nejsou tedy součástí povrchu původního tělesa.
1. Vypočítejte, kolik m3 měří obestavěný prostor domu.
2. Vypočítejte objem opěrné zdi 18,5 m dlouhé o průřezu
na obrázku.
3. Vypočítejte objem prefabrikované železobetonové
vaznice pro montovaný krov o rozměrech podle
obrázku.
J
40
1.
Přijímací zkouška z matematiky pro nástavbové studium
2
Vypočtěte: [(− 2 ) + 4 : (− 2 )− 1] ⋅ (− 3,5)
a) – 1,5
16 + 4
2. Vypočtěte:
10 2 − 6 2
3
a)
8
2
x −1
3. Upravte: 2
x +x
x −1
a)
x
b) – 3,5
20
b)
b)
94
−1
x
c) 2,5
c)
3
4
c) x – 1
4. Které z uvedených čísel je největší?
b) −
a) – 0,25
1
2
c) – 1
5. Vypište x, pro které platí: {x∈Ζ;- 2,5 ≤ x < 3,7}
a) x = -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4 b) x = -2; -1; 0; 1; 2; 3; c) x = -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4
6. Určete největšího společného dělitele čísel 60 a 72.
a) 12
b) 6
7. Určete podmínky pro daný výraz
a) x ≠ −5
x+5
.
x( x − 1)
b) x ≠ 0;1
c) 24
c) x ≠ −5;0;1
 4 1  12
8. Vypočtěte:  −  ⋅ + 1
 3 2 5
a) 1
b) 2
c) 3
9. Kolik procent je 210 Kč z 1050 Kč?
a) 15%
b) 20%
c) 25%
10. Která z uvedených rovností platí?
a) x 2 − 9 = ( x − 3)( x + 3)
b) x 2 + 4 = ( x + 2)( x − 2 )
c) x 2 − 1 = ( x − 1)
2
11. Rozlož podle vzorce pro druhou mocninu dvojčlenu výraz (2x – 3)2.
a) 4 x 2 + 12 x − 9
b) 4 x 2 − 12 x + 9
c) 4 x 2 − 9
12. Řeš rovnici: x( x − 2) + 6 = x 2 + 2( x − 1)
a) x = - 2
b) x = 1
c) x = 2
41
13. Nerovnici 2 x − 4 ≤ 3x + 1 vyhovují hodnoty x z intervalu?
b) − 5; ∞ )
a) (− ∞; − 5
c) (5; ∞ )
14. Čtverec má délku strany 5 cm. Jaká je délka jeho úhlopříčky?
a) 7,07 cm
b) 6,2 cm
c) 8,05 cm
15. Rovnoramenný trojúhelník ABC má úhel při základně 55°. Jak velký je úhel při
hlavním vrcholu C?
a) 70°
b) 55°
c) 60°
16. Čtverec má obsah 1 dm2. Jakou délku bude mít obdélník stejného obsahu o šířce
1 cm.
a) 0,1 m
b) 100 cm
c) 1 dm
17. V trojúhelníku ABC je délka strany a = 6 cm a výška va = 2,5 cm. Jaký obsah má
daný trojúhelník?
a) 15 cm2
b) 3,75 cm2
c) 7,5 cm2
18. Jaká je výška válce o objemu 2295 cm3 a obsahu podstavy 153 cm2?
a) v = 18 cm
b) v = 15 cm
c) v = 12 cm
4
19. Ze vzorce V = πr 3 vyjádřete r.
3
4V
a) r = 3
3π
b) r =
3
3π
4V
20. Jakému úhlu v míře stupňové odpovídá velikost úhlu
a) 90°
c) r =
3
3V
4π
π
v míře obloukové?
2
b) 180°
c) 45°
21. Která z rovnic je předpisem funkce nepřímá úměrnost?
a) y = 3x − 1
b) y = 3x 2 + 1
22. Grafem které funkce je parabola?
a) kvadratické funkce
b) lineární funkce
23. Na grafu které z uvedených funkcí leží bod A[0;0]?
5x
a) y = 2 x + 3
b) y =
2
Převeďte na jednotky uvedené v závorce:
24. 5,4 dm2 (cm2)
c) y =
3
x
c) nepřímé úměry
c) y = − x + 1
25. 1,2 hod (min)
42
Přijímací zkouška z matematiky pro nástavbové studium
1. Vypočtěte: [− 3,5 − (− 4,5 : 9 )]⋅ 8 − 5 =
a) – 29
b) – 12
c) - 37
0
−1
1
2
3
2. Vypočtěte: 2 + 2 ⋅ 2 − 2 − 2 + 2 =
a) 4
b) 5
c) 8
3. Která z uvedených rovností neplatí?
a)(-x-y)2 = x2 + 2xy + y2
b)4a2-15 = (2a - 5)(2a + 5) c) a2 + b2 – 2ab = (a – b)2
4. Kolik minut je 5% z 12 hodin?
a) 72
b) 60
c) 36
5. Úsečka dlouhá 56 cm je rozdělena v poměru 3:5. Kolik měří delší část úsečky?
a) 35 cm
b) 40 cm
c) 21 cm
6. Která čísla patří do intervalu
a) 4,5,6
3,1; 6 ) ?
b) 3,4,5,6
7. Kolik desetinných míst má číslo 0,04123 . 103 ?
a) 8
b) 2
x+3
kladný?
−2
a) pro žádná
b) x < -3
c) 4,5
c) 5
8. Pro která x je zlomek
c) x > -3
5+ x
?
9 − x2
b) x ≠ 5, x ≠ 9
c) x ≠ −5, x ≠ 3
3+ x
1
= x+
?
2
2
b) x = 1
c) x = 2
9. Za jakých podmínek má smysl výraz
a) x ≠ 3, x ≠ −3
10. Které číslo je řešením rovnice
a) x = 0
11. Řešte nerovnici 3(x – 2) – 8(x + 3) ≤ 20
a) x ≥ 10
b) x ≤ 10
c) x ≤ −10
12. Podle déle stran rozhodněte, který ze zadaných trojúhelníků je pravoúhlý:
a) a = 4 m, b = 5 m, c = 6 m
b) a = 8 m, b = 6 m, c = 10 m c) a = 7 m, b = 8 m, c = 11 m
43
13. V rovnoramenném pravoúhlém trojúhelníku DEF s pravým úhlem při vrcholu F
má úhel pří vrcholu D velikost:
a) 60o
b) 90o
c) 45o
14. Vypočtěte obsah pravoúhlého trojúhelníku s odvěsnami 5 cm a 3 cm:
a) 15 cm2
b) 7,5 cm2
c) 75 cm2
15. Kolik os souměrnosti má obdélník?
a) 6
b) 4
c) 2
16. Kosočtverec má úhlopříčky dlouhé 2,4 m a 1,8 m. Jaká je délka strany tohoto
kosočtverce?
a) 1,5 m
b) 300 cm
c) 6 dm
17. Vnitřní úhly v trojúhelníku jsou 51o30´ a 42o 50´. Jakou velikost má zbývající
úhel?
a) 89O20´
b) 88o20´
c) 85o40´
18. Povrch krychle je 726 cm2. Jaký je její objem?
a) 932 cm3
b) 1331 cm3
c) 1728 cm3
19. 5 stejných krychlí o délce hrany 2 cm postavíme na sebe. Jaký je je povrch
vzniklého kvádru?
a) 88 cm2
b) 240 cm2
c) 80 cm2
20. Hranol má výšku 10 cm. Jeho podstava je pravoúhlý trojúhelník o odvěsnách 5
cm a 8 cm. Jaký objem má hranol?
a) 100 cm3
b) 200 cm3
c) 400 cm2
21. Funkce f: y = x je funkce
a) kvadratická
b) nepřímá úměrnost
22. Grafem které funkce je přímka?
a) kvadratické funkce
b) lineární funkce
23. Který z bodů leží na grafu funkce f:y = -2x + 3?
a) [0;3]
b) [− 1;5]
c) lineární
c) nepřímé úměry
c) [− 1;2]
Převeďte na jednotky uvedené v závorce:
24. 4 m2 5 cm2 (m2)
25. 0,314 kg (g)
44
Seznam použité literatury:
Barták, J. a kol.: Matematika I pro učební obory středních odborných učilišť
SPN Praha, 1990.
Barták, J. a kol.: Matematika II pro učební obory středních odborných učilišť
SPN Praha, 1988.
Barták, J. a kol.: Matematika III pro učební obory středních odborných učilišť
SPN Praha, 1986.
Hudcová, M., Kubičíková, L.: Sbírka úloh z matematiky pro SOU a SOŠ
Prométheus, Praha 1994
Běloun, F. a kol.: Sbírka úloh z matematiky pro základní školy
SPN, Praha 1985
Nováková, E.: Aplikovaná matematika pro učební obory ve stavebnictví a stavební praxi
Raport, Rakovník
2. vydání
Květen 2007
Zpracovala: RNDr. Dagmar Fialová
Mgr. Vlastislava Kolmanová
45