Prezentace aplikace PowerPoint

SPECIÁLNÍ TEORIE
RELATIVITY
GALILEO GALILEI (16.st.)
• pohybuje-li se vztažná soustava vzhledem k jiné
rovnoměrným přímočarým pohybem, je s ní rovnocenná
(pohyb je vzájemný – relativní)
• neexistuje žádná absolutní vztažná soustava, kterou
jedinou by měly být všechny věci poměřovány
• stanovil pět základních pohybových zákonů
ISAAC NEWTON
(17.st.)
převzal Galileiho princip relativity a zredukoval počet
základních pohybových zákonů na 3 z původních pěti
PROBLÉM
(přelom 19. a 20. stol.)
• díky zvýšenému zájmu o mikrosvět a pohyb při velkých rychlostech
přestává klasická mechanika postačovat (platila téměř 300let!!!)
• podle klasické mechaniky má platit princip skládání rychlostí
• z rovnic elektromagnetického pole (Maxwellových rovnic) vyplynulo,
že se světlo má šířit stále stejnou rychlostí, bez ohledu na zvolený
souřadnicový systém
HENDRIK ANTOON LORENTZ (19.st.)
•1878 publikoval práci zabývající se vztahem mezi rychlostí
světla a vlastnostmi prostředí, kterým se světelný paprsek
šíří. (Lorentz-Lorenzova rovnice)
•objevil transformaci proměnných, vůči které se Maxwellovy
rovnice nemění a popisující přechod mezi dvěma navzájem
rovnoběžně se pohybujícími soustavami v teorii relativity
(Lorentzovy transformace – r. 1904)
• navrhl teorii éteru (média pro šíření vlnění), ve kterém
objekty a pozorovatelé pohybující se vzhledem k nehybnému
éteru podléhají fyzickému zkracování délek (LorentzFitzgeraldově kontrakci) a změně rychlosti plynutí času
(dilatace času)
(teorie éteru platila až do formulování Maxwellovy teorie elektromagnetického pole)
MOTIVACE
Éter vyplňoval vesmír a byl nehybný, tvořil “univerzální vztažnou soustavu” .
V roce 1905 se věřilo, že naše slunce je úplně “v klidu” vůči vesmíru a zároveň je “v klidu”
vůči éteru. To znamená, že vůči vesmíru byl “v klidu” samotný éter, a tudíž tvořil UVS.
snaha experimentálně určit rychlost Země vzhledem k éteru
Michelson – Morleyho pokus s interferometrem:
Albert Abraham MICHELSON
Z1
D
Z2
interference paprsků – rychlost světla je nezávislá na pohybu
Země kolem Slunce
ALBERT EINSTEIN
(1879-1955)
• v roce 1905 publikoval fyzikální teorii (STR)
nahrazující Newtonovské představy o prostoru a
čase a zahrnující teorii elektromagnetického pole
• „speciální“ teorie týkající se inerciálních
vztažných soustav (soustav, které se pohybují
navzájem rovnoměrně přímočaře), zanedbávající
vliv gravitace
(později ozn. Obecná teorie relativity)
POSTULÁTY STR
1. Princip relativity:
¾ Všechny fyzikální zákony mají stejný tvar (lze je vyjádřit stejnými
rovnicemi) ve všech inerciálních soustavách.
¾ Všechny inerciální soustavy jsou pro popis všech dějů rovnocenné.
¾ Matematické vyjádření libovolné fyzikální teorie by mělo být pro
každého pozorovatele v inerciální vztažné soustavě stejné.
¾ Pozorování fyzikálního jevu více než jedním pozorovatelem
v inerciální vztažné soustavě musí u všech pozorovatelů jednotně
odpovídat povaze přírody. Povaha vesmíru se nesmí změnit, přejde-li
pozorovatel do jiné inerciální vztažné soustavy.
neexistuje absolutní pohyb,
neexistuje ani absolutní vztažná soustava,
neexistuje éter !!!
2. Princip neměnnosti rychlosti světla:
¾ Rychlost světla ve vakuu (obvykle ozn. c) je stejná pro všechny
pozorovatele v inerciálních vztažných soustavách, stejná ve všech
směrech, a nezávisí na rychlosti objektu vyzařujícího světlo.
¾ Rychlost světla ve vakuu má tutéž hodnotu ve všech inerciálních
soustavách.
Rychlost světla ve vakuu je mezní rychlost
přenosu hmoty a energie v přírodě.
c ≈ 3.108 m.s-1
c = 2,99792458 .108 m.s-1
Minkowského
časoprostor
(prostoročas),
čtyřrozměrný prostor s
časem jako jednou z
dimenzí, ve kterém platí
H. MINKOWSKI Lorentzovy
19.-20. st.
transformace
MAX PLANCK (19.-20.st.)
zavedl pojem relativita, kterým
nahradil původní Einsteinem
navrženým termín Teorie
invariantů
J.H. POINCARÉ
19.-20. st.
dospěl současně s
Einsteinem k
základním pojmům
speciální teorie
relativity
DŮSLEDKY STR
™ prostor a čas přestaly být absolutní
™ časová a délková měření jsou také relativní
™ události současné z hlediska jednoho souřadnicového systému nemusí
být současné z hlediska jiného souřadnicového systému
™ události současné X soumístné, časupodobné X prostorupodobné
™ pojem časového intervalu a vzdálenosti dvou událostí závisí na
zvoleném souřadnicovém systému
myšlenkový
experiment 1.
myšlenkový
experiment 2.
GALILEŮV (KLASICKÝ) PRINCIP RELATIVITY
GALILEOVA TRANSFORMACE
Všechny mechanické děje probíhají ve všech inerciálních vztažných soustavách stejně, nelze
žádným mechanickým dějem provedeným uvnitř soustavy dokázat, zda se soustava
pohybuje rovnoměrným přímočarým pohybem nebo je v klidu.
Galileova transformace:
soustava rovnic umožňující ze souřadnic bodu jedné IVS vypočítat souřadnice bodu v
jiné IVS, která se vůči dané soustavě pohybuje rovnoměrně a přímočaře
S → S´
x′ = x − vt
y′ = y
z′ = z
t′ = t
M
r
vt
x/
x
t = t′ = 0
S ≡ S′
r
v = konst.
S´ → S
x = x′ + vt ′
y = y′
z = z′
t = t′
inverzní
Galileova
transformace
DŮSLEDKY GALILEOVY TRANSFORMACE
rychlosti vyplývající z transformačních rovnic:
v′x =
dx′ d ( x − vt ) dx
=
=
− v = vx − v
′
dt
dt
dt
dy ′ dy
v′y =
=
= vy
dt ′ dt
dz ′ dz
′
vz =
=
= vz
dt ′ dt
dle 1. postulátu mají být fyzikální rovnice pro libovolný tentýž děj STEJNÉ
Př. kulová vlna emitovaná ze zdroje
• světelná kulová vlnoplocha v soustavě S v čase t :
x 2 + y 2 + z 2 = c 2t 2
• pro pozorovatele v soustavě by měla být podle 1. postulátu rovnice kulové
vlnoplochy v čase daná vztahem:
2
2
2
2 2
x′ + y ′ + z ′ = c t ′
užitím Galileiho transformace: x 2 − 2 xvt + v 2t 2 + y 2 + z 2 = c 2t 2
ROVNICE SI NEODPOVÍDAJÍ! A MĚLY BY!
JE POTŘEBA DEFINOVAT JINOU TRANSFORMACI !
POŽADAVKY:
1. musí být lineární pro souřadnice i čas (aby byly jednoznačné)
2. musí vyhovovat Einsteinovým postulátům (všechny fyzikální
zákony musí být invariantní vzhledem k této transformaci a
rychlost světla musí být ve všech soustavách stejná)
3. pro rychlosti mnohem menší než rychlost světla musí přejít v
transformaci Galileovu
PODMÍNKÁM VYHOVUJE:
LORENTZOVA TRANSFORMACE
matematicky odvozena v roce 1904 při řešení rovnice vlnoplochy z teorie
elektromagnetického pole
LORENTZOVA TRANSFORMACE
x′ =
M
r
vt
x/
y
z
S´
x
z´
x=
x′ + vt ′
v2
1− 2
c
y′ = y
y = y′
z′ = z
z = z′
xv
2
c
′
t =
v2
1− 2
c
x′v
2
c
t=
v2
1− 2
c
t′ +
r
v
y´
S
v2
1− 2
c
t−
x
r
vt
x − vt
pro pohyb S´v libovolném směru vzhledem k S:
rr
v
r
r r
x´
−
t
2
r
r − vt
c
r′ =
t′ =
2
2
v
v
1− 2
1− 2
c
c
pro v << c přechází Lorentzova transformace v transformaci Galileovu
I
N
V
E
R
Z
N
Í
RELATIVNOST SOUČASNOSTI
událost: děj probíhající v daném bodě prostoru v daném čase (4 souřadnice)
událost A
( x1 , y1 , z1 , t1 )
událost B ( x2 , y2 , z 2 , t 2 )
souřadnice událostí v soustavě S´:
x1′ =
x1 − vt1
v2
1− 2
c
y1′ = y1
z1′ = z1
t1′ =
x2′ =
x2 − vt2
v2
1− 2
c
y2′ = y2
z ′2 = z 2
v
x
2 1
c
v2
1− 2
c
t1 −
t 2′ =
v
x
2 2
c
v2
1− 2
c
t2 −
časový interval mezi událostmi
v soustavě S´:
t 2′ − t1′ =
v
( x2 − x1 )
2
c
v2
1− 2
c
t 2 − t1 −
aby byly SOUČASNÉ v S´,
musely by být také
SOUMÍSTNÉ
SOUČASNOST UDÁLOSTÍ JE RELATIVNÍ
Dvě události současné v jedné vztažné soustavě nejsou
současné v jiné vztažné soustavě, jestliže tyto události
neproběhly ve stejném místě prostoru.
• Pro žádného pozorovatele neplyne čas pozpátku, tj. řada událostí v
určitém místě prostoru, které nastanou v časech t1, t2, t3, ... se bude jevit
všem pozorovatelův v různých inerciálních vztažných soustavách ve
stejném sledu.
• Žádný pozorovatel, bez ohledu na svůj pohybový stav, nemůže
pozorovat nějakou událost dříve, než ve skutečnosti nastane.
ve směru jejího pohybu rychlostí v vzhledem k soustavě S bude mít při měření v S podle (4.2) rychlost
RELATIVISTICKÉ SKLÁDÁNÍ RYCHLOSTÍ
Klasická mechanika:
světelný paprsek vyzářený ve vztažné soustavě S´ ve směru jejího pohybu rychlostí
v vzhledem k soustavě S bude mít při měření v S rychlost v x = c + v
… rozpor s 2. Einsteinovým postulátem
soustava S:
soustava S´:
vx =
dx
dt
vy =
dy
dt
v′x =
dx ′
dt ′
v′y =
dy ′
dt ′
dx − vdt
Lorentzova
dx′ =
v2
transformace:
1− 2
c
dy′ = dy
dx
−v
dx ′
dx − vdt
v −v
t
d
v′x =
= x
=
=
dt ′ dt − v dx 1 − v dx 1 − v v
x
c2
c 2 dt
c2
vz =
dz
dt
v′z =
dz ′
dt ′
dz ′ = dz
dt ′ =
v2
vy 1 − 2
dy′
c
=
v′y =
dt ′ 1 − v v
x
c2
v
dx
2
c
v2
1− 2
c
dt −
v2
vz 1 − 2
dz ′
c
=
v′z =
dt ′ 1 − v v
x
c2
pro v << c přejdou transformační
rovnice pro rychlost ve vztahy
klasické:
v′x = vx − v
pro světelný paprsek vyzářený v soustavě S´ rychlostí
v soustavě S:
Inverzní transformace:
vx =
pro
v′y = v y
v′z = vz
v′x = c je jeho rychlost
v′x + v
v
1 + 2 v′x
c
v ′x = c
c+v c+v
=
=c
vx =
v c+v
1+
c
c
pozorovatelé v soustavách S i S´ stanoví
pro rychlost světla stejnou hodnotu c
RELATIVNOST V MĚŘENÍ DÉLKY
KONTRAKCE DÉLKY
tyč umístěná ve směru osy
x´v soustavě S´, která je v
této soustavě v klidu o
délce
l0 = x2′ − x1′
l
Lorentzova
l0 = x2′ − x1′ =
transformace:
x2 − vt
1−
v2
c
−
2
Měření délky tyče probíhá za
t =t
současného určení souřadnic! 1 2
tj. určujeme vzdálenost současných poloh
jejích krajních bodů
x1 − vt
1−
v2
c
2
=
x2 − x1
1−
v2
c
=
l
1−
2
l = l0
v2
c2
v2
1− 2
c
l0 … vlastní délka tyče
RELATIVNOST V MĚŘENÍ ČASOVÝCH INTERVALŮ
DILATACE ČASU
• hodiny H´ jsou v klidu vůči soustavě S´
• hodiny H1 a H2 jsou v klidu vůči
soustavě S
časový interval průchodu hodin H´
nad hodinami H1, H2 :
t1 =
v
x′
c2
v2
1− 2
c
t1′ +
x′v
x′v
′
+
t
1
2
2
∆t0
t′ − t′
c
c
∆t = t2 − t1 =
−
= 2 1 =
v2
v2
v2
v2
1− 2
1− 2
1− 2
1− 2
c
c
c
c
t2′ +
t0
t2 =
v
x′
c2
v2
1− 2
c
t 2′ +
∆t =
∆t0
v2
1− 2
c
… vlastní čas trvání děje
ZÁVISLOST HMOTNOSTI NA RYCHLOSTI
PŘÍKLAD:
Urychlení elektronu z nulové rychlosti na rychlost v elektrickým polem
mezi dvěma místy o rozdílu potenciálů U:
1
2
2
m0 v = eU
kde m0 je hmotnost elektronu při nulové rychlosti
Po dosazení:
m0 = 9,1.10 −31 kg
v = 0,59.106 U
e = 1,6.10−19 C
Pro U ≥ 106 V
v ≥ 5,9.108 m/s, tj. v f c
NELZE!
Je nutno předpokládat, že se
při urychlování elektronu
zvětšila jeho hmotnost!
m=
m0
v2
1− 2
c
RELATIVISTICKÁ HYBNOST
r
r
p = mv
r
p=
r
m0 v
v2
1− 2
c
RELATIVISTICKÁ SÍLA
2. Newtonův
pohybový zákon:
r
r dpr
r
dv
F=
=m
= ma
dt
dt
…klasická fyzika
⎛
⎞
⎜
⎟
r dpr d ⎜ m0 vr ⎟
F=
= ⎜
2 ⎟
dt dt
v
⎜⎜ 1 − ⎟⎟
c2 ⎠
⎝
Pozn: Uvedený vztah pro sílu není týž, jako
r
F≠
r
dv
v 2 dt
1− 2
c
m0
neboť
m = m(v(t ))
SOUVISLOST HMOTNOSTI A ENERGIE
vztah pro souvislost mechanické energie a práce v klasické fyzice:
r r
dp
d (mv )
ds
dEk = dW = Fdr = Fds =
ds =
d s = m d v = m v dv
dt
dt
dt
v relativistické fyzice:
m = m(v(t ))
dE k =
d (mv )
ds
ds
ds = m dv + v dm = m v dv + v 2 dm
dt
dt
dt
analogicky ze vztahu pro relativistickou hmotnost:
(
⎛ v2 ⎞
m ⎜⎜1 − 2 ⎟⎟ = m02
⎝ c ⎠
)
m 2 c 2 − v 2 = m02 c 2
2
v2
rr
rr
2 mc dm − m d(v .v ) − 2m v .v dm = 0
2
2
(
)
2 m c 2 − v 2 dm − m 2 2vdv = 0
c dm = m v dv + v dm
2
2
v
diferencujeme
dE k = c dm
2
integrace
Ek = (m − m0 ) c 2
„Kinetická energie pohybující se částice se rovná přírůstku
její hmotnosti v důsledku relativního pohybu částice
násobenému druhou mocninou rychlosti světla ve vakuu.“
m c 2 = Ek + m0 c 2
celková energie volné částice
E=mc
2
klidová energie
E = E k + E0
Pro celkovou energii soustavy platí i v teorii relativity zákon
zachování energie – celková energie izolované soustavy těles
(hmotných bodů) zůstává při všech dějích probíhajících uvnitř
soustavy konstantní.
SOUVISLOST HYBNOSTI A ENERGIE
E =mc =
2
v2 =
m0 c 2
p=mv=
2
v
1− 2
c
v2
1− 2
c
p 2c 2
v = 2
2
p + m0 c 2
E c −m c
E2
2 2
m0 v
2 6
0
2
porovnáme:
E = m02 c 4 + p 2 c 2
p=
E2
2 2
−
m
0 c
2
c