Hawaii Dopler

KMITÁNÍ
zvláštní případ pohybu – KMITÁNÍ (OSCILACE)
1) existuje jedna nebo několik časově proměnných fyzikálních veličin,
které se mění v konečném intervalu kolem nějaké střední (rovnovážné) hodnoty
2) po uplynutí určité doby (PERIODA, DOBA KMITU T) se pohyb opakuje
FREKVENCE ν = T-1 jednotka Hertz, Hz=s-1
AMPLITUDA A = maximální výchylka od rovnovážné polohy
POPIS KMITAJÍCÍ SOUSTAVY
prostřednictvím PŘÍČINY DĚJE, tj. pomocí působící síly, resp. pohybové rovnice
VLASTNOSTI TÉTO SÍLY
1) v rovnovážné poloze je nulová
2) mimo rovnovážnou polohu
míří směrem k rovnovážné poloze
její velikost roste s velikostí výchylky od rovnovážné polohy
http://www.upscale.utoronto.ca/GeneralInterest/Harrison/Flash/ClassMechanics/HookesLaw/HookesLaw.html
Vlnění, 21.04.2016, str. 1
LINEÁRNÍ HARMONICKÝ OSCILÁTOR
kvazielastická síla ~ výchylce
F  k u
pohybová rovnice jednorozměrného harmonického oscilátoru
d 2u
m 2  ku
dt
u(t )  A1 sin(0t )  A2 cos(0t )  A0 cos(0t  0 )
A0 a φ0 (resp. A1 a A2) jsou integrační konstanty dané počátečními podmínkami
k
0 
m
vlastní úhlová frekvence oscilátoru
d
J
 rt  G
dt
d 2
J 2  rt mg  ; sin   
dt
příklady
• elastická síla: kulička na pružině
• gravitační síla: matematické nebo fyzikální kyvadlo
(pro malé úhlové výchylky)
• elektrické napětí:
elektrický obvod obsahující cívku a kondenzátor
(bez elektrického odporu)
http://www.upscale.utoronto.ca/PVB/Harrison/Flash/ClassMechanics/SHM/TwoSHM.html
http://www.nd.edu/~ysun/Yang/PhysicsAnimation/collection/pendulumP.swf
d2 I
I
L 2 
dt
C
Vlnění, 21.04.2016, str. 2
Vlnění, 21.04.2016, str. 3
jednorozměrný lineární harmonický oscilátor
u(t )  A0 cos(0t  0 )
v
du
  A00 sin(0t  0 )
dt
rychlost
dv d 2u
a
 2   A002 cos(0t  0 )  02u
dt dt
Ek 
1
1
m v 2  m A0202 sin 2 (0t  0 )
2
2
zrychlení
kinetická energie
u
1
1
Ep   F ( x )d x  k u 2  m A0202 cos2 (0t  0 )
2
2
0
E  Ek  Ep 
1
m A0202
2
potenciální energie
mechanická energie
Vlnění, 21.04.2016, str. 4
energie lineárního harmonického oscilátoru
http://webphysics.davidson.edu/physlet_resources/bu_semester1/index.html
harmonic motion, energy in spring system
Vlnění, 21.04.2016, str. 5
význam lineárního harmonického oscilátoru
1) obecně platí
Je-li výchylka od stabilní rovnováhy dostatečně malá,
vyvolává lineární harmonické kmity kolem minima potenciální energie
Taylorův rozvoj funkce do řady
(matematická věta)
f
f ( x0   )  f ( x0 ) 
x
1 n f
 
n
n
!

x

2
n
x x

0
potenciální energie v dostatečné
blízkosti rovnovážné polohy
U
U ( x0   )  U ( x0 ) 
x
1  2U

2
2

x
xx
0
n
x  x0
2
x  x0
0
Vlnění, 21.04.2016, str. 6
2) FOURIEROVA ANALÝZA
libovolný periodický pohyb charakterizovaný výchylkou y(t)
lze vyjádřit ve tvaru


n 1
n 1
y (t )  y0   an cos (nt )   bn sin (nt )
y0, an a bn jsou koeficienty dané tvarem funkce y(t)
Obecný periodický pohyb lze vždy vyjádřit jako součet (superpozici)
harmonických kmitů určité základní frekvence a jejích násobků
T
1
y0   y (t )dt
T 0
T
1
an   y (t ) cos (nt )dt ,
T 0
T
1
bn   y (t ) sin (nt )dt
T 0
Vlnění, 21.04.2016, str. 7
http://webphysics.davidson.edu/physlet_resources/bu_semester1/index.html, interference, obdélníkový kmit
TLUMENÉ HARMONICKÉ KMITY
reálné podmínky — odpor prostředí ~ rychlosti
 disipace energie: mechanická energie  0
amplituda  0 (pohyb ustane)
pohybová rovnice
b
 
2m
 2  02 
 2  02
d 2u
du
m 2  ku  b
dt
dt
součinitel tlumení
k
neperiodický tlumený pohyb
m
periodický tlumený pohyb
časově proměnná amplituda
u(t ) 
A0 exp( t ) cos(t   )
k
b2


m 4m 2
http://www.upscale.utoronto.ca/GeneralInterest/Harrison/Flash/ClassMechanics/DampedSHM/DampedSHM.html
Vlnění, 21.04.2016, str. 8
VYNUCENÉ HARMONICKÉ KMITY
energetické ztráty způsobené tlumením kompenzuje periodická vnější síla
F (t )  F0 cos(t  )
pohybová rovnice
d 2u
du
m 2  ku  b  F0 cos(t  )
dt
dt
u(t )  A0 exp( t ) cos(t   )  A* cos(t    )
po určité době, během které se utlumí vlastní kmity,
začne soustava kmitat s frekvencí vnější síly
A 
*
F0
m ( 2  2 )2  4 22
rezonance: pro Ω  ω amplituda prudce roste
http://www.upscale.utoronto.ca/GeneralInterest/Harrison/Flash/ClassMechanics/DrivenSHM/DrivenSHM.html
Vlnění, 21.04.2016, str. 9
http://www.walter-fendt.de/ph14e/resonance.htm
praktické využití rezonancí
1) při měření
2) při čištění ultrazvukem
3) při ochraně konstrukcí (vyvarovat se namáhaní periodickou silou
s frekvencí blízkou vlastní frekvenci konstrukce)
http://homepages.tscnet.com/rickc/tnb/ Tacoma Narrows Bridge
http://www.cabrillo.edu/~jmccullough/Physics/Oscillations.html
4) analogicky při využívání ultrazvuku v medicíně
(pozor na frekvence blízké vlastním frekvencím tělních orgánů,
aby nedošlo k jejich utržení)
Vlnění, 21.04.2016, str. 10
SKLÁDÁNÍ KMITŮ
PRINCIP SUPERPOZICE: dílčí kmity jsou navzájem nezávislé
výsledný kmit = vektorový součet dílčích kmitů
poznámka: výsledný pohyb obecně nemusí být periodický
1) dva kmity v navzájem kolmých směrech
výsledný kmit = pohyb po kružnici
x = R cos (ω0t)
y = R cos (ω0t+π/2)=R sin(ω0t)
Vlnění, 21.04.2016, str. 11
1) dva kmity téhož směru s blízkou periodou
výsledný kmit — tzv. RÁZY
T1  T2 ,
T1
1 ,
T2
 i=
2
,
Ti
A1 A2  A
 1  2 
 1  2 
u  u1  u2  Acos(1t )  Acos(2t )  2 A cos 
t  cos 
t
 2

 2

časově proměnná amplituda
úhlová frekvence rázů
R 
1  2
2
průměrná úhlová frekvence

http://www.walter-fendt.de/ph14cz/beats_cz.htm
http://webphysics.davidson.edu/physlet_resources/bu_semester1/index.html beats
1  2
2
Vlnění, 21.04.2016, str. 12
SOUSTAVA NAVZÁJEM VÁZANÝCH OSCILÁTORŮ
• interakční síly mezi oscilátory  kmitavý pohyb (oscilace) se šíří soustavou
• vlastnosti takovéto soustavy NELZE určit pomocí PRINCIPU SUPERPOZICE
jako u soustavy nezávislých oscilátorů
• síla působící na daný oscilátor není funkcí výchylky od rovnovážné polohy,
je funkcí rozdílu výchylek mezi sousedními oscilátory
ilustrace — HOMOGENNÍ ŘETĚZ (BODOVÁ ŘADA)
rovnováha: hmotné body leží na jedné přímce a jsou ve stejných vzdálenostech
kmitá-li první bod
u1=A cos(ωt)
 začnou postupně kmitat všechny části řetězce
un=A cos(ωt-Φn)
Φn= ωtn– zpoždění vůči počátečnímu bodu
tn=xn/w, kde w fázová rychlost = rychlost pohybu místa „se stejnou fází“
http://people.seas.harvard.edu/~jones/cscie129/nu_lectures/lecture3%20/ho_coupled/ho_coupled.html
http://www.acs.psu.edu/drussell/Demos/coupled/coupled.html,
http://www.upscale.utoronto.ca/GeneralInterest/Harrison/Flash/ClassMechanics/CoupledSHM/CoupledSHM.html
Vlnění, 21.04.2016, str. 13
Coupled Oscillators
VLNĚNÍ — SOUBOR KMITŮ KONTINUA
příklad: napnutá struna s harmonicky kmitajícím koncem ve směru kolmém na strunu
 všechny elementy struny začnou kmitat kolmo na směr šíření vlnění
x 
 
u( x, t )  A cos   t   
  w 
poznámka
• závislost na veličině typu (t-x/w)
je obecným znakem vlnění
(šířícího se ve směru osy x)
• tvar závislosti sin, resp. cos,
je obecným znakem
periodického vlnění
http://www.nd.edu/~ysun/Yang/PhysicsAnimation/collection/one-waveP.swf
Vlnění, 21.04.2016, str. 14
x 
 
u( x, t )  A cos   t   
  w 
časová závislost ux(t)
X … libovolná konstanta
prostorová závislost ut(x)
t … libovolná konstanta
PERIODA
T ... doba kmitu

1
T
wT

frekvence
2

 2
T
λ ... vlnová délka
k
úhlová frekvence
wk
1

2

vlnočet
 2
vlnové číslo
Vlnění, 21.04.2016, str. 15
λ vlnová délka
• nejkratší vzdálenost mezi body, které kmitají se stejnou fází
• vzdálenost, na kterou se vlnění rozšíří za dobu jedné periody
k vlnový vektor
• směr šíření vlnění
2
• velikost k 
 2

Vlnění, 21.04.2016, str. 16
POSTUPNÉ VLNĚNÍ
vlnění „se šíří od místa k místu"  fáze vlnění je funkcí času i polohy
(body kmitají se stejnou amplitudou ale s různými fázemi)
příklady: deformace pružného tělesa
změna hustoty, tlaku, teploty
změna intenzity elektrického a magnetického pole
příčné vlnění – výchylka je vždy kolmá na směr šíření vlnění
možné pouze v pevných látkách
lineárně polarizované vlnění - všechny výchylky leží v jedné rovině
nepolarizované vlnění – výchylky jsou orientovány náhodně
podélné vlnění
výchylky od rovnovážné polohy jsou ve směru šíření vlnění
existuje nejenom v pevných látkách ale i v kapalinách a plynech
příklady: vlna ~ střídavá zhuštění a zředění
(tyč rozkmitaná třením, akustická vlna)
zemětřesení = podélné vlny ze středu
Země  tekuté Zemské jádro
STOJATÉ VLNĚNÍ
vlnění „stojí na místě“  fáze vlnění je funkcí času
amplituda je funkcí polohy
(všechny body kmitají ve fázi ale s různými amplitudami)
příklady: vlnění na struně nebo na membráně
http://faraday.physics.utoronto.ca/IYearLab/Intros/StandingWaves/Flash/long_wave.html , podélná stojatá vlna
http://webphysics.davidson.edu/physlet_resources/bu_semester1/index.html, podélná a stojatá vlna
Vlnění, 21.04.2016, str. 17
REÁLNÉ VLNĚNÍ MŮŽE BÝT KOMBINACÍ PŘÍČNÉHO A PODÉLNÉHO VLNĚNÍ
příklad – vlny na hluboké vodě
poznámka
vlnění vodní hladiny nepřenáší žádnou hmotnost, přenáší energii
http://www.classzone.com/books/earth_science/terc/content/visualizations/es1604/es1604page01.cfm?chapter_no=16
http://earthguide.ucsd.edu/earthguide/diagrams/waves/swf/wave_wind.html
Vlnění, 21.04.2016, str. 18
POHYBOVÁ ROVNICE NETLUMENÉHO VLNĚNÍ
2. Newtonův zákon pro jednotlivé objemové elementy
konkrétní typ vlnění  konkrétní tvar síly
!!! tvar výsledné rovnice pro výchylku u(x,t) vždy stejný !!!
VLNOVÁ ROVNICE
JEDNOROZMĚRNÉ VLNĚNÍ
PROSTOROVÉ VLNĚNÍ
 2u
1  2u
 2 2
2
x
w t
w fázová rychlost
 2u  2u  2u
1  2u
 2 2  2 2
2
x  y z
w t
poznámka
vlnovou rovnici splňují funkce u(x,t),
které lze vyjádřit jako složenou funkci proměnné
x

u ( x, t )  f  t    f ( )
 w
x
 t
w
Vlnění, 21.04.2016, str. 19
SKLÁDÁNÍ (INTERFERENCE) VLNĚNÍ
princip superpozice
DÍLČÍ VLNĚNÍ JSOU NA SOBĚ NAVZÁJEM NEZÁVISLÁ
prostorová vlnění — výchylky je nutné sčítat vektorově
u ( x, t )   ui ( x, t )
i
 

x 
ui ( x, t )  Ai cos i  t 
  i   Ai cos it  ki x  i 
  wi 

obecně — složité neperiodické vlnění
Vlnění, 21.04.2016, str. 20
SPECIÁLNÍ PŘÍPADY
1) dvě vlnění stejného směru polarizovaná v jedné rovině,
která mají stejné amplitudy, úhlové frekvence a fázové rychlosti
(A1=A2, ω1=ω2, w1=w2)
a) stejné fáze φ1=φ2
vlnění se zesilují
a) opačné fáze φ1=φ2+π
vlnění se vyruší
Vlnění, 21.04.2016, str. 21
2) dvě vlnění opačného směru polarizovaná v jedné rovině,
která mají stejné amplitudy, úhlové frekvence a velikosti fázové rychlosti
(A1=A2, ω1=ω2, w1=—w2)
 
 
x 
x 
 x 
u ( x, t )  A cos   t     A cos   t     2 A cos 
 cos t 
 w 
  w 
  w 
AMPLITUDA
STOJATÉ VLNĚNÍ
body kmitají se stejnou fází ale s různými amplitudami
AMPLITUDA SE PERIODICKY MĚNÍ S POLOHOU BODU
• uzel — bod, který nekmitá
  xn
cos 
 w

2 w

  0  xn  (2n  1) , kde   T w 
4


• kmitna — bod, který kmitá s maximální amplitudou (2A)
 x
cos  n
 w
n



1

x

n

2

http://www.nd.edu/~ysun/Yang/PhysicsAnimation/collection/wave3P.swf, stojaté vlnění
http://www.nd.edu/~ysun/Yang/PhysicsAnimation/collection/ropeP.swf, struna, základní a vyšší harmonické
http://www.phy.ntnu.edu.tw/ntnujava/index.php?PHPSESSID=83b90d00c3a8b37a065ec5abe61acb7f&topic=19.msg124#msg124
interference dvou vln jdoucích proti sobě
Vlnění, 21.04.2016, str. 22
STOJATÉ VLNĚNÍ PŘÍČNÉ
STOJATÉ VLNĚNÍ PODÉLNÉ
Vlnění, 21.04.2016, str. 23
VZNIK STOJATÉHO VLNĚNÍ
odrazem postupného vlnění na konci prostředí, kterým se vlnění šíří
volný konec Δφ=0
pevný konec Δφ=π/2
stacionární vlnění prostředí ohraničeného z obou stran
může mít pouze určité frekvence
závisí na fázové rychlosti
rozměrech prostředí (např. délka struny L)
okrajových podmínkách (typu konců)
příklady:
a) napnutá struna — oba konce pevné u(0,t)=u(L,t)=0
vlastní frekvence (normální módy)
ωn=nπw/L, λn=2L/n
Vlnění, 21.04.2016, str. 24
b) napnutá struna — volný konec + pevný konec
http://www.acs.psu.edu/drussell/demos.html
Phase changes upon reflection
Vibrational Modes of a Hanging Chain
Circular membrane
(kytara, hokejka, basebolová pálka, …)
c) vzduchový sloupec v trubici
— oba „konce“ volné
d) pevná tyč ve tvaru kružnice
2 vlnové délky
4 vlnové délky
http://www.acs.psu.edu/drussell/Demos/StandingWaves/StandingWaves.html
8 vlnových délek
Vlnění, 21.04.2016, str. 25
3) dvě příčná vlnění stejného směru polarizovaná v navzájem kolmých rovinách,
která mají stejnou úhlovou frekvenci a velikost fázové rychlosti
a která jsou navzájem fázově posunutá o π/2
(Δφ=π/2, ω1=ω2, w1=—w2)
u ( x, t )  [u1 ( x, t ), u2 ( x, t )]  [ A1 cos(t  kx), A2 sin(t  kx)]
A1  A2
elipticky polarizované vlnění
A1  A2
kruhově polarizované vlnění
Vlnění, 21.04.2016, str. 26
4) dvě vlnění stejného směru polarizovaná v jedné rovině
nepatrně odlišných frekvencí
(A1=A2=A, ω1≠ω2, ω1/ω2≈1)
  1  2

1  2
2
2
2 


k
 wT w
k  k1  k2
k 
k1  k2
2
rozdíl frekvencí
průměrná frekvence
vlnové číslo
rozdíl vlnových čísel
průměrné vlnové číslo
u ( x, t )  A cos (1t  k1 x)  A cos (2t  k2 x) 
k
 
 2 A cos 
t
2
 2

x

cos[t  kx]
AMPLITUDA VÝSLEDNÉHO VLNĚNÍ
závisí na čase i na poloze
Vlnění, 21.04.2016, str. 27
u ( x, t ) 
k
 
t
 2 A cos 
2
 2
w
xf
4 t


x  cos[t  kx]

vg 
xg
4 t
FÁZOVÁ RYCHLOST
rychlost postupu místa se stejnou fází
w=
GRUPOVÁ RYCHLOST
rychlost postupu místa se stejnou amplitudou

d
vg =

k
dk
http://www.acs.psu.edu/drussell/Demos/superposition/superposition.html
k
 w1  w 2
Vlnění, 21.04.2016, str. 28
DISPERZNÍ VZTAH
vg =
 (k )  k w(k )
d
dw(k )
k
 w(k )
dk
dk
NEDISPERZNÍ PROSTŘEDÍ
DISPERZNÍ PROSTŘEDÍ
w(k )  konst, vg = w(k )
vg  w(k )
grupová rychlost může být jak větší tak i menší než fázová rychlost
dáno disperzním vztahem
http://www.acs.psu.edu/drussell/Demos/Dispersion/dispersion.html Waves in Dispersive Media
Vlnění, 21.04.2016, str. 29
příklad: mořské vlny
(na hluboké vodě)
w(k )  K   K
vg = w  k
=K
vg 
šipka ≈ konstantní fáze
křížek ≈ konst. amplituda
2
k
d 
2 
K

 
dk 
k 
2
K 2
k
k
2k 3 2
w
2
amplituda mořských vln
se šíři poloviční rychlostí
nežli jejich fáze
Vlnění, 21.04.2016, str. 30
VLNOVÝ BALÍK, VLNOVÉ KLUBKO
superpozice vln se spojitě rozloženými frekvencemi
prostředím se šíří grupovou rychlostí
touto rychlostí přenáší i energii
čím širší rozsah frekvencí tím přesnější lokalizace vlnového klubka
čím užší rozsah frekvencí tím větší rozměr klubka
lze dokázat Δx Δk = 1
Vlnění, 21.04.2016, str. 31
HUSTOTA ENERGIE VLNĚNÍ
mechanická energie (tj. energie kinetická a potenciální)
objemové jednotky kmitajícího prostředí
mechanická energie objemového elementu není konstantní
!!!
důvod: jednotlivé elementy jsou navzájem vázány elastickými silami
a proto se nepohybují nezávisle
postupné vlnění přenáší prostředím energii GRUPOVOU RYCHLOSTÍ
(bez přenosu hmotnosti)
poznámka
MONOFREKVENČNÍ VLNA ve skutečnosti neexistuje (musela by být nekonečná)
 je aproximací, která neumožňuje popis šíření energie
Vlnění, 21.04.2016, str. 32
ilustrace: ŠÍŘENÍ ENERGIE V ŘADĚ IDEÁLNĚ PRUŽNÝCH KOULÍ
1. kulička: potenciální energie  kinetická energie  deformační energie
deformační energie i-té kuličky  deformační energie (i+1)-té kuličky
poslední kulička: deformační energie  kinetická energie  potenciální energie
(ideálně odskočí stejně vysoko jako 1. kulička)
polohy těžišť kuliček beze změn
„pohyb“ jednotlivých stavů pružných deformací kuliček = přenos energie
http://www.upscale.utoronto.ca/GeneralInterest/Harrison/Flash/ClassMechanics/NewtonsCradle/NewtonsCradle.html
Vlnění, 21.04.2016, str. 33
ŠÍŘENÍ VLNĚNÍ V HOMOGENNÍM PROSTŘEDÍ
BODOVÝ ZDROJ
rozměry zanedbatelně malé ve srovnání s rozměry vlnícího se prostředí
PAPRSEK – v každém bodě má směr šíření vlnění
VLNOPLOCHA - souhrn míst (bodů) prostoru,
ve kterých má vlnění v daném okamžiku stejnou fázi
ČELNÍ VLNOPLOCHA = souhrn míst v prostoru,
do nichž vlnění právě dospělo
poznámky
• šíření vlnění podél paprsku ~ šíření vlnění v bodové řadě
• prostorové vlnění si lze představit jako
postup jednotlivých vlnoploch fázovou rychlostí
• paprsek je vždy kolmý na vlnoplochu
Vlnění, 21.04.2016, str. 34
VLNĚNÍ V HOMOGENNÍM IZOTROPNÍM PROSTŘEDÍ
kulové vlnoplochy - izotropní prostředí (konstantní velikost fázové rychlosti)
rovinné vlnoplochy
• vyclonění úzkého svazku ze sférické vlnoplochy v dostatečně velké
vzdálenosti od zdroje
• pomocí optické soustavy
vlnoplochy ve tvaru povrchu elipsoidu - anizotropní prostředí
http://www.acs.psu.edu/drussell/Demos/rad2/mdq.html
Vlnění, 21.04.2016, str. 35
HUYGENSŮV FRESNELŮV PRINCIP
• Každý bod vlnoplochy je nový elementární zdroj vlnění.
• Nová vlnoplocha je obálka všech elementárních vlnoploch
ve směru, ve kterém se vlnění šíří.
elementární vlnoplocha = libovolně malá vlnoplocha kolem zdroje záření
Huygens – nalezl experimentálně
Fresnel – matematicky dokázal, že elementární vlnění se interferencí zesilují
pouze v místech vnější obálky elementárních vlnoploch.
V ostatních směrech se interferencí vyruší
poznámka
• elementární vlnoplocha nemusí mít nutně nekonečně malý poloměr
slovo „elementární“ se v této souvislosti vztahuje „ke zdroji“
• lze použít i pro anizotropní prostředí
Vlnění, 21.04.2016, str. 36
APLIKACE HUYGENSOVA FRESNELOVA PRINCIPU vlny u pobřeží
w  gh
fázová rychlost vln na vodní hladině na vrstvě vody tloušťky h
Na mělké vodě se vlny pohybují pomaleji než na hluboké (tření o dno)
→ otočení vln u břehu
Vlnění, 21.04.2016, str. 37
vlnění zdroje pohybujícího se vůči prostředí
v rychlost zdroje (plující loď, letící letadlo)
w fázová rychlost vlnění v prostředí
v>w
příklady
• nárazová vlna u plující lodi
• tlaková vlna u nadzvukových letadel
• Čerenkovovo záření
kužel světelných vln vyzařovaných při pohybu elektricky nabité částice prostředím,
je-li rychlost pohybu částice větší než rychlost světla v daném prostředí
Vlnění, 21.04.2016, str. 38
lom rovinné vlny na rozhraní dvou prostředí
w1 t
sin  
L
w 2 t
sin  
L
SNELLŮV ZÁKON LOMU
sin  w1

 n12
sin  w 2
relativní index lomu dvou prostředí
n12 
n2 c w2

n1 c w1
http://faraday.physics.utoronto.ca/PVB/Harrison/Flash/Waves/TwoMediums/TwoMediums.html kolmý dopad
http://faraday.physics.utoronto.ca/PVB/Harrison/Flash/Waves/Refraction/Refraction.html šikmý dopad
http://webphysics.davidson.edu/physlet_resources/bu_semester2/index.html
Vlnění, 21.04.2016, str. 39
mezní úhel
  m
m   m 

2
,
sin  m  n12
na rozhraní dochází k úplnému odrazu
(vlnění rozhraním neprochází)
poznámky
• šíření zvuku nad klidnou vodní hladinou do velké dálky
relativně malý mezní úhel (αm=14°) pro akustické vlny a rozhraní voda-vzduch
• zdánlivé mihotání hvězd ~ důsledek nahodilých lokálních nehomogenit v atmosféře
nehomogenní prostředí → křivočará dráha
• fata morgána ~ zviditelnění vzdálených předmětů (ležících často pod obzorem)
důsledek totálního odrazu (případně lomu) světla na vzdálených vrstvách
lišících se hustotou
příčina různých hustot - tepelný gradient v atmosféře
Vlnění, 21.04.2016, str. 40
odraz rovinné vlny na rozhraní dvou prostředí
ODRAZ změna směru šíření vlnění
v důsledku nárazu na překážku
sin 1 
w1 t
sin  2 
L
w1 t
L
sin 1  sin  2
1   2
úhel dopadu = úhel odrazu
Vlnění, 21.04.2016, str. 41
ohyb vlnění na překážce
vlnění se dostává i do prostoru za překážkami
v závislosti na poměru vlnové délky a rozměru překážky
a  
téměř nevzniká stín
a  
vzniká zřetelný stín
příklad
zvuk je slyšet i za překážkou
příklad
světlo stín za překážkami
zvuk  (0.01  10) m
světlo  5 107 m
Vlnění, 21.04.2016, str. 42
DOPPLERŮV JEV
Pohybují-li se vůči sobě pozorovatel a zdroj vlnění,
registruje pozorovatel vlnění jinou frekvenci než je frekvence zdroje
klasická fyzika, tj. vektorové sčítání rychlostí
f 
w

w
f0 
0
w  vM  u
f 
f0
w  vM  v
frekvence, resp. vlnová délka, registrovaná pozorovatelem
frekvence, resp. vlnová délka, vysílaná zdrojem
w
fázová rychlost vlnění v daném prostředí
vM
rychlost pohybu prostředí směrem k pozorovateli
u
rychlost pohybu pozorovatele směrem od zdroje
v
rychlost pohybu zdroje směrem k pozorovateli
f  f0
vzájemné přibližování
f  f0
vzájemné vzdalování
Vlnění, 21.04.2016, str. 43
ZJEDNODUŠENÉ PŘÍPADY
1) v ≠ 0; u = 0; vM = 0
0  v T0  
w T0  v T0  w T
w
1
1
1
v w
f0
f0
f
f 
w
f0
wv
http://www.upscale.utoronto.ca/GeneralInterest/Harrison/Flash/ClassMechanics/DopplerWaveFronts/DopplerWaveFronts.html
http://www.acs.psu.edu/drussell/Demos/doppler/doppler.html The Doppler effect
http://faraday.physics.utoronto.ca/PVB/Harrison/Flash/ClassMechanics/Doppler/DopplerEffect.html
2) v = 0; u ≠ 0; vM = 0
0    uT , u  0
w T0  w T  uT
w
1
1
1
 w u
f0
f
f
f 
w u
f0
w
Vlnění, 21.04.2016, str. 44
3) v = u ≠ 0
f  f0
samotný pohyb vůči prostředí vliv na frekvenci registrovaného záření nemá
poznámka
podle klasické fyziky se při stejném relativním pohybu zdroje a pozorovatele
frekvence liší podle toho, zda je vzhledem k prostředí v klidu zdroj
nebo pozorovatel !!!
platí pouze pro u << c, v << c, w << c
kde c je rychlost světla ve vakuu
tj. platí např. pro akustické vlny
neplatí pro elektromagnetické vlnění (w = c)
aplikace:
• měření rychlosti pomocí interference paprsku odraženého a původního
rychlost krve v cévách (vysokofrekvenční zvuk)
rychlost hvězd (světlo)
rychlost automobilů (radiové vlny)
• měření energie, resp. frekvence, emitovaného záření
rychlost pohybu atomů
Vlnění, 21.04.2016, str. 45
SPECIÁLNÍ TEORIE RELATIVITY
relativistické sčítání rychlostí
lze zjistit pouze rychlost vzájemného pohybu
LONGITUDINÁLNÍ (PODÉLNÝ) DOPPLERŮV EFEKT
pohyb pozorovatele rychlosti v ve směru šíření
elektromagnetických vln
f  f0
v
1
c
v
1
c
f  f0
v2
1 2
c
TRANSVERZÁLNÍ (PŘÍČNÝ) DOPPLERŮV EFEKT
pohyb pozorovatele rychlosti v kolmo na směr šíření
elektromagnetických vln
(nemá protějšek v klasické fyzice)
Vlnění, 21.04.2016, str. 46
AKUSTICKÉ VLNĚNÍ
POSTUPNÉ PODÉLNÉ VLNĚNÍ ČÁSTIC PROSTŘEDÍ (ATOMŮ, MOLEKUL)
http://www.nd.edu/~ysun/Yang/PhysicsAnimation/collection/soundP.swf
infrazvuk: frekvence f < 16 Hz
vlnová délka λ > 20 m
zvuk: 16 Hz < f < 2·104 Hz
20 m > λ >1.6 cm
ultrazvuk: f > 2·104 Hz
λ < 1.6 cm
poznámka
ideální plyn – jediné interakce jsou srážky částic
fázová rychlost šíření vlnění v prostředí souvisí s rychlostí pohybu částic
fázová rychlost šíření zvuku ≈ střední kvadratická rychlost tepelného pohybu částic
(závisí na hustotě, teplotě, chemickém složení)
Vlnění, 21.04.2016, str. 47
SLYŠITELNOST AKUSTICKÝCH VLN
10 W m-2 práh bolesti
1 W m-2 hrom
10-2 W m-2 siréna auta
10-4 W m-2 hlučná ulice
10-8 W m-2 rozhovor
10-12 W m-2 práh slyšitelnosti
referenční tón 1000 Hz
10-12 W m-2 až 1 W m-2
referenční hladina 10-12 W m-2
fyzikální veličiny ovlivňující sluchové vjemy
intenzita – hlasitost
frekvence – výška tónu
spektrální složení – barva tónů
hladina intenzity zvuku
Lx  log
I
I0
[ Lx ]  bel, decibel (dB)
Vlnění, 21.04.2016, str. 48
ULTRAZVUK f>20 kHz
ZDROJE:
MAGNETOSTRIKČNÍ (f < 90 kHz)
některá feromagnetika mění délku při zmagnetování
střídavé magnetické pole → periodické změny délky
PIEZOELEKTRICKÉ (f < 106 kHz)
některé krystaly mění délku při polarizaci
střídavé elektrické napětí → periodické deformace
VYUŽITÍ ULTRAZVUKU
1) využití nízké absorpce ultrazvuku ve vodě
tloušťky vrstev materiálu zeslabujícího ultrazvuk na polovinu
f
100 kHz
500 kHz
1000 kHz
vzduch
2.6 m
0.1 m
0.026 m
voda
1400 m
56 m
14 m
hliník
58 m
2.3 m
0.58 m
zjišťování překážek ve vodě (směr a vzdálenost jako radar ve vzduchu)
v přírodě jej takto využívají i někteří kytovci
telegrafní spojení pod vodní hladinou (až do 15 km)
využíváno na ponorkách
Vlnění, 21.04.2016, str. 49
2) využití odrazu a lomu ultrazvuku na rozhraní dvou prostředí
testování materiálů ultrazvukem
diagnostika v medicíně
3) využití absorpce ultrazvuku v prostředí
absorpce ultrazvuku v prostředí — rozkmitávání částic prostředí
→ mikroskopické otřesy
zahřívání
• urychlování chemických reakcí (v důsledku zvýšení teploty)
• prohřívání tkání při terapii
• výroba emulzí (např. velmi jemné fotografické emulze)
• odplyňování tekutých látek
• čištění plynných koloidních soustav (vysrážení prachu, mlhy i kouře z plynů)
• opracování mimořádně tvrdých kovů f ~ 25 kHz
• pájení hliníku a jeho slitin
(ultrazvuk účinně rozrušuje tenkou chemicky odolnou vrstvu kysličníku,
která při pájení vzniká)
Vlnění, 21.04.2016, str. 50
4) biologické účinky
ohřívání (organické látky ultrazvuk silně absorbují)
zhoubně působí na některé bakterie a kvasinky
(využití např. ke sterilizaci potravin)
při využití v medicíně je nutno dávat pozor na nepřirozené vynucené kmity,
které by zejména při rezonanci mohly s vlastní frekvencí tělních orgánů
mohly poškodit organizmus
Vlnění, 21.04.2016, str. 51
ELEKTROMAGNETICKÉ VLNĚNÍ
1873 teoreticky předpověděl Maxwell
1887 experimentálně prokázal Hertz
MAXWELLOVY ROVNICE PRO
HOMOGENNÍ IZOTROPNÍ DIELEKTRIKUM
2 E 2 E 2 E
2 E
 2  2   0 r  0  r 2
2
x
y
z
t
E
intenzita elektrického pole
2 B 2 B 2 B
2 B


  0 r  0  r 2
x 2 y 2 z 2
t
B
indukce magnetického pole
VLNOVÁ ROVNICE
časově proměnné řešení = postupné příčné vlnění
w
c
n
1
 0 r 0 r
1
 0 0
c
  r r
w
fázová rychlost
fázová rychlost ve vakuu, rychlost světla
absolutní index lomu
Vlnění, 21.04.2016, str. 52
MAXWELLOVY ROVNICE
4 základní vztahy pro elektromagnetické pole
(neuvažují mikroskopickou strukturu)
1. Gaussova věta – tok intenzity elektrického pole uzavřenou plochou
 E  dS 
S
Ocelk


1
 dV


V
2. tok indukce magnetického pole uzavřenou plochou
 B  dS  0
S
3. Faradayův zákon elektromagnetické indukce
 E  ds  
C
4. zobecněný Ampérův zákon
d
B  dS

dt S

 E 
C B  ds  0 S  jvodivost  t   dS
jvodivost
vodivostní proud: kondukční (vyvolán el. napětím)
konvekční (jiné příčiny)
 E
t
Maxwellův posuvný proud
Vlnění, 21.04.2016, str. 53
VLASTNOSTI ELEKTROMAGNETICKÉHO VLNĚNÍ
1) E (r , t ) a B(r , t )
jsou navzájem kolmé v každém bodě prostoru a v každém časovém okamžiku
2) příčné vlnění
(intenzita elektrického i indukce magnetického pole vlny
jsou kolmé na směr šíření vlnění)
E0
1
c


w

3) pro poměr amplitud platí
B0
 0 r 0 r
n
Vlnění, 21.04.2016, str. 54
LINEÁRNĚ POLARIZOVANÉ ELEKTROMAGNETICKÉ VLNĚNÍ
 
x 
Ey  E0 cos   t   
  w 
 
x 
Bz  B0 cos   t   
  w 
NEPOLARIZOVANÉ ELEKTROMAGNETICKÉ VLNĚNÍ
náhodná orientace navzájem kolmých vektorů intenzity elektrického
a indukce magnetického pole kolem směru šíření vlnění
http://www.phys.hawaii.edu/~teb/java/ntnujava/emWave/emWave.html
http://webphysics.davidson.edu/applets/EMWave/EMWave.html
Vlnění, 21.04.2016, str. 55
SPEKTRUM ELEKTROMAGNETICKÉHO VLNĚNÍ
Vlnění, 21.04.2016, str. 56
MAXWELLOVY ROVNICE PRO
HOMOGENNÍ IZOTROPNÍ VODIČ
řešení
• ve vodiči se postupné elektromagnetické vlnění nešíří
• elektromagnetická vlna, která na vodič dopadla zvenku,
je ve vodiči velmi rychle utlumena
energie elektromagnetického vlnění
Joulův zákon P = U I
vnitřní energie tepelného pohybu
Vlnění, 21.04.2016, str. 57
SVĚTLO
elektromagnetické vlnění viditelné lidským okem, 380 nm < λ < 780 nm
odpovídá spektru slunečního záření na povrchu Země
světelná energie
energie elektromagnetického vlnění ve „viditelné“ oblasti
fotometrie
váží světelnou energii citlivostí lidského oka,
které je různě citlivé na různé vlnové délky
VLNOVÁ OPTIKA
studuje vlnové vlastnosti světla
GEOMETRICKÁ OPTIKA
vlnová délka světla << rozměry běžných předmětů
při popisu celé řady optických jevů lze vlnovou délku světla považovat
za nekonečně malou
KVANTOVÁ OPTIKA
v mikrosvětě se světlo chová jako částice — foton
Vlnění, 21.04.2016, str. 58
VLNOVÁ OPTIKA
INTERFERENCE ≈ skládání konečného počtu vln
OHYB (DIFRAKCE) ≈ skládání nekonečně mnoha infinitezimálních příspěvků
z části vlnoplochy konečných rozměrů
poznámky
historické rozdělení, neexistuje ostrá hranice
lze kompletně vysvětlit z Maxwellových rovnic
Vlnění, 21.04.2016, str. 59
INTERFERENČNÍ JEVY
rozhodující experimentální důkaz vlnové povahy světla
součet dvou elektromagnetických vln
E  E1  E2
které mají stejnou frekvenci E1  E0,1 cos( t  k1r  1 )
E2  E0,2 cos( t  k2 r   2 )
a které jsou polarizované ve stejné rovině
E0,1 || E0,2
Intenzita vlnění v daném místě a čase
e 



EE 
E

E

E

E





2
E1  E2

1
2  1
2
e,1
e,2



INTERFERENČNÍ ČLEN
proměnný v čase i v prostoru
Vlnění, 21.04.2016, str. 60
interferenční člen ~ E1  E2 ~ E0,1 E0,2 cos  (r , t )
δ ~ „fázový rozdíl“ mezi E1 a E2
lidské oko, detektory světla
nestačí sledovat periodické změny elektromagnetického vlnění
zaznamenávají průměrné hodnoty během určitého časového intervalu
t
NEKOHERENTNÍ VLNY
1
cos  dt  0

t 0
interferenci nelze pozorovat
e  e,1  e,2
KOHERENTNÍ VLNY δ = konst  e  e,1  e,2  2 e,1  e,2 cos  ( r ) 
vzniká intenzitně modulovaný interferenční obrazec
příklad:
zabarvení tenkých vrstev oleje na vodě v odraženém nebo lomeném světle
Vlnění, 21.04.2016, str. 61
ZDROJE KOHERENTNÍHO VLNĚNÍ
• laser
• optické soustavy, které rozdělují jednu vlnoplochu na dvě či několik vlnoploch
(clonkami, odrazem, lomem)
v rozdělených vlnoplochách nastává změna fáze současně
 výsledný interferenční obrazec se v čase nemění
Vlnění, 21.04.2016, str. 62
YOUNGŮV POKUS
δ rozdíl drah obou paprsků
sin  

d
, tg  
x
L
θ malé  sin   tg 
d
 x
L
podmínka interferenčního maxima δ = k λ, k celé číslo
xmax  k 
podmínka interferenčního minima δ = (2k+1) λ/2, k celé číslo
L
d
xmin  (2k  1)
L
2d
http://www.nd.edu/~ysun/Yang/PhysicsAnimation/collection/slitlight.swf
http://galileo.phys.virginia.edu/classes/152.mf1i.spring02/young_simp2.htm
http://www.acoustics.salford.ac.uk/feschools/waves/super2.htm
Vlnění, 21.04.2016, str. 63
znázornění Youngova pokusu pomocí vlnoploch
Vlnění, 21.04.2016, str. 64
INTERFERENCE NA PLANPARALELNÍ VRSTVĚ
n2  n1
δ rozdíl drah obou paprsků
cos  
ℓ
nℓ

2d
   2d cos 
geometrická dráha
optická dráha
odraz na opticky hustším prostředí
 fázové zpoždění
LOMENÉ PAPRSKY
maximum
2d n1,2 cos   k 
ODRAŽENÉ PAPRSKY
maximum
minimum
minimum
2d n1,2 cos   (2k  1)

2
2d n1,2 cos 
2d n1,2 cos 
http://webphysics.davidson.edu/physlet_resources/bu_semester2/index.html


2


2
 k
 (2k  1)

2
Vlnění, 21.04.2016, str. 65
APLIKACE INTERFERENCE
antireflexní vrstvy
potlačují ztráty energie v optických
soustavách způsobené odrazy světla
na rozhraních
„zneviditelňují“ letadla pro radary
interferenční filtry
propouští pouze určité vlnové délky
interferometry
měření malých rozdílů optických drah (10-6 až 10-7 m)
interferenční spektroskopie
studium jemné a hyperjemné struktury spektrálních čar
interferenční mikroskopie
umožňuje pozorovat průhledné objekty v průhledném prostředí
(časté u biologických vzorků)
Vlnění, 21.04.2016, str. 66
KLASICKÝ MIKROSKOP
pozorování v odraženém světle (rozdílná odrazivost)
pozorování v prošlém světle (rozdílná absorpce)
Vlnění, 21.04.2016, str. 67
interferenční mikroskop
„zviditelnění“ pomocí rozdílné rychlosti šíření vlnění v různých prostředích
Vlnění, 21.04.2016, str. 68
ZÁKON ZACHOVÁNÍ ENERGIE PŘI INTERFERENCI
reálné vlnění = vlnový balík
tj. soubor monochromatických vln
se spojitě proměnnou vlnovou délkou v určitém intervalu
interferují všechny složky vlnového balíku
některé se zesílí
jiné se zeslabí
interference
• mění rozložení energie mezi jednotlivé vlnové délky
• nemění celkovou energii
poznámka
nekonečná monochromatická vlna reálně neexistuje
Vlnění, 21.04.2016, str. 69
DIFRAKČNÍ JEVY
ohyb na optické mřížce
d mřížková konstanta
obvykle 1000 vrypů na 1 mm
d  103 mm  106 m
MAXIMUM:
MINIMUM:
  k
  (2k  1)

2
maxima a minima vyšších řádů
podmínku maxima (minima) splňuje celočíselný násobek

Vlnění, 21.04.2016, str. 70
ohyb na úzké
obdélníkové štěrbině
  d sin 
rozdíl drah krajních paprsků
  k   2k

  (2k  1)
2
rozdělení štěrbiny na 2k dílů,
mezi „i=tým“ a „(i+1)“-tým paprskem
je fázový rozdíl
i 

2k


2
ke každému paprsku z „i“-tého intervalu
existuje právě jeden paprsek z „(i+1)“-tého
intervalu, který má vůči němu fázové
posunutí λ/2 a tudíž se odečtou

2
rozdělení svazku na (2k+1) dílů
dvojice sousedních svazků se
vždy vyruší
jeden interval zůstane
MAXIMUM
s rostoucím počtem dílků
(resp. s rostoucím „k“)
se zmenšuje šířka dílků 
klesá intenzita světla v maximu
MINIMUM
Vlnění, 21.04.2016, str. 71
PRAKTICKÉ VYUŽITÍ
•studium struktury krystalů
•analýza rozlišovacích schopností optických soustav
•HOLOGRAFIE
běžná optická zobrazení používají nekoherentní světlo
zaznamenávají součet hustot zářivých toků
informace o vzájemných fázových posunech se středováním ztrácí
použije-li se koherentní světlo, bude záznam obsahovat více informací
(uplatní se i interferenční člen)
rozložení fází vln
rozdíly optických drah
vzdálenosti a rozměry
HOLOGRAFICKÝ ZÁZNAM
HOLOGRAM =
interferogram
referenčního a
odraženého svazku
Vlnění, 21.04.2016, str. 72
REKONSTRUKCE HOLOGRAFICKÉHO ZÁZNAMU
osvětlení hologramu koherentním světlem
hologram
difrakční struktura
světelné paprsky se při průchodu hologramem, resp. při odrazu na hologramu,
rozptýlí stejně jako kdyby se odrážely od reálného trojrozměrného předmětu
PROSTOROVÝ HOLOGRAM
hloubkový sled interferenčních maxim a minim (např. vrstvy fotografické emulze)
hologram lze zviditelnit i obyčejným světlem:
vlnové délky, které nejsou stejné jako vlnová délka laserového záření použitého
při vzniku hologramu, se vyruší interferencí na „mřížce“ hologramu
Vlnění, 21.04.2016, str. 73
POLARIZACE SVĚTLA
lidské oko a většina běžných detektorů polarizaci světla nerozeznává
exp. byla prokázána při dvojnásobném odrazu světla (Malus 1808)
možnosti vzniku lineárně polarizovaného světla
• odraz pod vhodným úhlem (Brewsterův úhel)
• dvojlom v opticky anizotropních prostředích
• dichroismus (závislost absorpce na polarizaci u některých materiálů)
Vlnění, 21.04.2016, str. 74
OPTICKÁ AKTIVITA
Stáčení roviny polarizace procházejícího lineárně polarizovaného světla
Fresnel
Lineárně polarizované světlo se v opticky aktivní látce rozkládá
na dvě opačně kruhově polarizované vlny o poloviční amplitudě.
Rychlost levo- a pravo-točivě polarizovaného světla není v opticky aktivních látkách
stejná (experimentálně ověřeno).
Směr intenzity elektrické indukce se průchodem opticky aktivní látkou změní
Pro monochromatické světlo platí
   C L

úhel otočení

měrná stáčivost
C
koncentrace
L
délka dráhy světla
http://ja01.chem.buffalo.edu/~jochena/research/opticalactivity.html
Vlnění, 21.04.2016, str. 75
Směr otočení při pohledu proti směru šíření světla
PRAVOTOČIVÉ LÁTKY
sem patří i opticky aktivní látky biologického původu
LEVOTOČIVÉ LÁTKY
Optická aktivita
PŘECHODNÁ – způsobená specifickým uspořádáním částic v krystalické mříži
TRVALÁ – daná strukturou molekuly, nejčastěji tzv. „asymetrický uhlík“
Poznámka
• Optickou aktivitu lze vyvolat i uměle např. pomocí magnetického pole
• Nejrozšířenější aplikace měření koncentrací sacharózy
polarizační kaleidoskop
http://sci-toys.com/scitoys/scitoys/light/polariscope.html
Vlnění, 21.04.2016, str. 76