- Univerzita Karlova v Praze
Transkript
- Univerzita Karlova v Praze
Poznámky z přednášek Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikálnı́ fakulta Algoritmická náhodnost I + II Peter Černo, 2011 [email protected] Garant: doc. RNDr. Antonı́n Kučera, CSc. E-mail: [email protected] Anotace: Předmět je určen pro doktorandské studenty se zájmem o algoritmickou náhodnost. Pojem Kolmogorovské složitosti hraje důležitou roli v teorii informačnı́ složitosti. Různé varianty Kolmogorovské složitosti vedou k odlišným pojmům. Alternativnı́ přı́stup k algoritmické náhodnosti je založen na teorii mı́ry a použı́vá podstatně prostředky teorie rekurze. Pokročilejšı́ partie algoritmické náhodnosti, kalibrace různých variant. Pojmy ”K-triviality”, ”low for random”, jejich ekvivalence a význam. Aplikace v teorii rekurze. Sylabus: 1. Kolmogorovská složitost (plain, prefix-free). 2. Algoritmická náhodnost prostřednictvı́m prefix-free Kolmogorovské složitosti. 3. Rekurzivnı́ stromy, Sigma-0-1 a Pi-0-1 třidy. 4. Martin-Löf testy, univerzálnı́ Martin-Löf test. 5. Algoritmická náhodnost prostřednictvı́m Martin-Löf testů. 6. Univerzálnı́ tvar. 7. Martingaly. 8. Pojmy ”low for random, ”K-trivial”. 9. Ekvivalence různých pojmů z hlediska algoritmické náhodnosti výpočetně slabých množin. 10. Základnı́ vlastnosti K-triviálnı́ch množin. 11. Aplikace v terorii rekurze. 12. Modifikace K-triviálnı́ch množin a zobecněnı́. Literatura: 1. Ming Li, Paul Vitanyi: An Introduction to Kolmogorov Complexity and Its Applications, Springer, 1997 ii 2. R. Downey, D. Hirschfeldt: Algorithmic randomness and complexity 3. Odifreddi P.: Classical recursion theory. North-Holland, 1989 4. http://www.mcs.vuw.ac.nz/ downey/ iii This page is intentionally left blank. A/ '/3 7+ Pcrrn Gnrvo , , EXAI'1 b2 Lo44 Me flLGOR tTn t Lt A, -HppxorT I -,vzl- H VPERIDnuNE - FRI:E DtrGREEs g lJ H"1PER lDn ýNF DE [}REE (=) :l J 1Ť g NoT uortlMllED Bt ANY CO0ruteBLE FtlNcn oV Yrr-r-rq & k l S nnnnN H'1 I : fgn rqrf (' t trg' ) ul . C(€^RL.1 ,F l wvt ls TrO CONPUTE B vte \ýWl h rn)oRtz[ conpuTnBLi: Lt CcnpUT^RLE l-3 arB. IT^n [n,hc^11 , l! bEAk hoorlt-us = FIKST rnUE \loT (oDr- Don txrArfD : s w\ ) SE,TRTH FoR n ) , Btlq - Bnlnn l',r : l\__ n|LLER b řrtnnv ; J HYPLLIDUNC-i=R'lE DE[,. FOnCr\ G W rry Crcn rUrA LLtr Fenne cr n<EEr FuN rTl ON TKEE , T , L{' -) 2-" t r; o : T(r0) , T (.n) ÁtiE tN cotlrRnBtE E>o. ,+ SEpuENLE [T; ] r eu Ot: l=ur{ (n\N TKEES Auo RETVK.I AN1 A Q \^/E B UILD op f [o-\ CODP n tTrl t .. . . ST+GE O st^40E 2.+,1 : Tr RE : WE TF{E IDENnTY n+f tronCe oV N cv I.. Ltrr Tr.(i)+ W" l'/L(it/ \^/L ÁRtr Gtt coÍ_)nu B,+Llr"l ielor í3 sT. PEFTruE L"*1 (n ) '= T2.(,*). {rntE 2.* 2 : t//f FoKcE \o Conř. bo Q|Nr{l.ícE lazl 4(tr Glt€x1 Tt.*4 , t//E l4llsv Et;}61 (,) A e LT..*.] ) 0J ls rr/or TprAL , , oR ] colryrppBLr S , Vrte LTr.-r], 03 4 S 4) Jr., ,n' Qri.*r[r) [^)t VtIq-. [,i) -lf 2-) Ln. (") n, c := T^', ("") i vE Bu ll.b Ou* tlroxt TREE Í S. T. Vt e L<" : Q Tzerl (+ (c)) ( tt ),1 : I Tr.u" ('c ) '-- D"+r (s t") STRO C0nrýDt0G CotteCT?ory ^ sErJ {F;}csu FíNlTt \{G oF ) tlí lNplŇrTE JET A ls V -ITRo\íG ,\Rtl^"l [Fi1r.*, 3t C.E, SET A tS !_",?Pl*srnrlE <) ^RIuy D|s7ot ffru + <> : Á E.C F ts H'1FER- lnn (/ rrE Vy 4Lf EX,qn: 1"1 A$on-rmtct^R' M'HoDNorr r..En U l'?RnN g Cor\pilNs A d . lj Pnen- eeet to t ls HIPE()MnuNE ř^ tA S.T LS HyTERTDDuNL B ns S .01.Lo44 \o ls V or ConP fl4loR íZED , <ž coŇItlNI TuroREnl -frlEoÍlE'-) Ro't' KnrlSEL l-r,+l A k_st - c.E. r-TE DBER Low B,qsts -Tueocnr : ErEn-1 <=> /t HIFEKIn. sEr WE COVr IOE'R ONIr cuqt sE s ^(orvEnrTY 7T; n; ', cLnrs . A Lot'u DENBE( LET (-[rl CL-1JÍ l-,t,ts Tno . Wrn-| T WE DEFrNE T=T. ?T' ConPUTAIŠ€ ? .. -RtrruRN ÁN"l JI/PP$-IE ^ru4*r lÁ/E- l.,t/qyE DEFINED Ta U" :: t o- I O.- (e) L t*t1 T U. ls ft tonpuTqBLE TKEE . lr T1-{Ú{ JL*4 '= U.nf, . Ti FR.tE DEG{EF. e I Lr-.] Lm: l U. n T. l) lNprN nE I. T.*., ,= Bnl rs l-nreoul cr^ns,r Futt A nEnBtR oF Hlptn tnnuxc- Evtrr rrer orlltnwlSEr P ,. H"lpERtDtru\tE - Te AVD k/+t r-1 To DvLb TL*i (i ) Ae Lr".rl ? OJ rs \or eorae , oR (,i) f CDnr $: VÁ e LE*,l O.* L J WF /tRE le Ú'IVEN Ul:: [o-l UX[n)t "ll'I I T. ls INFTNTTE rl1EN llq,= Qrr+enVztJE , T.+r ,= \ . lN T! ru C,+1t Fo( €A U{ n |//E Cl N ConPuTE ( trr ) Jn ' UJ n , U.^nT z Va e l\Fl : l. Nllt SEr A tonrurqBLg ĎEr1qq ; \*l : ((n) tt4nrnv, ,|, ,,. EtrFtra]'t t/EL.( S rY'ln ) Ve \X/.S^ uNf l\,{/. I t*) ,l = Y lr cE.sEr B thnUNE sET , TH6N ? Trc po re 4 Q.'(n) (:) Y)tx &. y e U(/,. ,ť ls ' c.E. b Ars EFF" lDnuNL vn e?2c, .P 4,= rna , ' eQruirEs 4xrEFF. R l5 TÚB;N 6'' ConPLErE lNConP\ÉlE C.E. brcncEl BAs tJ Fo\ Tii N I\ ENCUGI{ TD F/ND 4 c(^sJEJ T.O Do Not . Tt'.qIJ ALU 0F OF EFtr. rn. A rnnurRS ftRE lNtrlN rrE SvRsfrs lAl-t<-\(e 7 A-n Len-l, zk*l-Zl+CI vk. I +ý } lUýHosE P:=t1\:AlVkl\nt., . . 3Á |q-02.7044 Pprr=ru I trXAn PA DEoate OF 4 xr,qlvobVosT g PA ls B'+'rts DEuKEE -ltreoREr\ : ConrunqB€ fl rHE LLT T DL CLoStrD IJ A DEc''reE PraNo Ant+1nrnL tF g ls A PA prco0 { t=o(Q otr DEGnEE Í+ BztJ ( t PA |tvrlNmE e00n9rx4B€ T]IEE P4ry A Tm : OP ConPLETÉ E)Qtr'\stON ,{t\ tVE (ODF'utP So LoVA"1 IT €> CTAJSEJ Lf.r J DEA LtrT I eenvo DtrGRtrÉ] EoNPLETE q}0EŇJloÍ..tl S!lrFon rra' At-boRtrnt %<q( €T Upl^/ARD S € g UslNGs, cl^rs oF PA Drcffi-s ls . T RE co0PLETE li>on\tstoŇ Otr PA ^ CODPUTABE tN 4 sET X U srNG r,/E v/ ILL Burup 'i= rNrTt ExrENfloNLt Fa otr p T' (Jo< WITH THE 5' , x Fo- ll lJ A CofrPr€E DrrExstoN Op r^ ENNE. DEEREE 4S X CoKOLL,qRI: 0 lS A PA ,EGREE <) THL SETS CoÍ) ruTA tI LE F'ror1 g FoR|t A FoR THE il,lo Ct*ssE-\. [1o B4J\s IN OrHFR 1/SKDS: EtzE(1 lNtrlNirE ls 4 P4 <) DEGREE ConPu1lAtš1E rJD\tAk-l TKEE AN g - ConPuqBLE r,trH JnULLYA\I : LET C BE ft sEr4'qaNíG (Er l-1Á5 . FoK AN EFÉÉenyEL]lNsEFAR48q: P4|& 01. Bt >rrxo/\ír C.E. SEi-s A,13 Lrr x,Y c . E. s Ers l-i{EN THERE rs + C- coortrr,+}G SET íEPaMIT\G X 4ND Y U \ 6 RecuRJ lo tY Tle ol€D bE'l\íE S l tF trgY u [r(t^t^'l 't"[n))J w".tn) = U W,".,n, = [t" t5[b{(n)' i ĎruLRuutsE tF h cX t'r.tur )11 OT\/ERrrrUE_ D:: I'n I +(n,'[n) ,e(hr)e Cl D !r t ts + _rErAR ŤnNG JET troR X 7ccr,<"usl.t g u soAE : 0 l\ A P4 Cortrt/TEe A JEr^R4íl N(G , DEGRE sET roR 4v EFT[gn\tÉu't lN.|E_Pti1ÁB(E- rAlR . Y. €> 4s.ot-.Lo44Tt4 n/s fx,+ň Prrrn Govo , *LGoRlrnt cK,q, rlq'HoDNoJr Ftxrp -porvr FKEE Axr> NcN ConPUD4Bt€ lJ TCrr#L S ToTAL |s 3 THEOREQ : ti) scr A DrAGo\nLL"1 truNtns\r S FlXED-trolt{T FREE 0.t) g(")+ €) \M*nr P V. THE FoLLo\,ulNG T UTABLE t W. V. 6uxt treUlVAr-ENT ^RE c) (ž : A F IXED - POINT FREE FN C (it) rEr A CoTIPUTE-\ A roTAL l, , 0,.C.) + E" yr-, ltii) rEr A conRJTEJ A bN C Fuxr ctoN ,i'l ) ř €a !T t LET lF ? 6aa1 , bEtrlwE _rorAL cooPtJTqBí€ : [q ) CODPUTEI Q Q.tn) rF Ť oTrfgXYr lr5 h"d NOrE 71tA, (.) = 0. (.) t 0" t^) , n-aN d: I B"1 ? rr DNt: (rť) Qr.cJ[e)):Q1c-t:ĚQ.t)=Qac.t k [itt)) [, F lx F{RTLAL toŤurRBLEr I LET 1 BE rrgTAL COQPUTABLE LET 1a.A BE DNC, \Xr.tE i : ) Ft Q,,., [rt )) : )n Wr V(e) $Sr{ ' DerrNE W$c.) 5 lÍ E\Xp- Pol\T ? r l(fG))J, I, trR'EE l ) W. + D ? tl-Lt) = l (1 1e)) ? ls DN c / -ro ?(tt )) + qqor trte)) : rrte) h Itr \X/. : Vy$(e-) i . THEOREQ : 3 lJ A PA DE6REE to,rl e<) - D\t r €) t0'1] - DNC ponQ A Irť cL-{It LET J A conru1E sEpnRArEr - [0,,t ] Ie I O"(.)=0], [e lQ.tu)=41 Aru LANOV,S conFLEltrNE-fJ A C .E strT rS TUntNG |T ConFUTES A tr DNc j |XED LKITIERI9N CODpr_Erf - (:) PoíNr rcnEL D\l c ž) g' ConPuTEs gl LEr A BE 4 c.E. rEr fA=$ A corlPurEs A FPF S A JJ UOE I'A (n Ltt .t FoK 4LL n 4 s ) : DEF rNE -r0TRr_ rcnrurABrE h tNtTrALLl Wr,,nt il . \ : truNCTroN . L/S ExAn ; lP xc WE 4F.oL.Lo,t1n PErsB EERAIo CJ/Í r..LqíHoDNosr I 7\LGORtInl rQ e %' Lsl THEN Wr^[;(n))t l Ls] C,aN (on puTE p11T q-.€]KVI tt\tro Wt,u) %' PKon A uJl\./G h lF n ENrrns g' 4r ..fr46,E s s : utpolE nA (h trt) H^r (ern-ep 0v TIÍEN EuER1 x € lřr^(Ltnl) A L, Ď' É) I . A(h): 5 (ina, rFq LonruT*BLE 5 LE r . : Stn,.) HoExFrEuD'r Lrnrt Lrnrn hocl, t^) :] ť, (vt:, Wh*(.n) ,=U.s)h A -IDT^t ure GE r l. EuE\íIJALu1 N, orur.r x Pur lNro Mn,n, / h/LtlLE E\nERI W^ tnt TH us rA (n) [h ) r,tAJ Nor sErTufp B1 1 : lT ýx= 0.- ll ; f (",t) = A(")) (y^=Q...tr: 5(^,t)=4G) !Íil' 'ods A =T w,ns IF A ls C.E,, ŤllElY A:rhor{ s ) Axst+\cVls Corrrt-ErENíEss CrureRrov A c E. SEr ls lln'nvc Cofrree 7t (=> lT ConrUTE €) LEr t l Á [o, { T l - bNC FW cTtoN1 . C.E., ? lr A EE [0, 4\_ DN C Btr Tor4 L IODpDTABLE s.r. q1(n) =(in,](n,r), LEr A r3P . 4r A . DErtuE ToTAL (o1rurmrl1 0 l(rt (t''ttt) = f\ $(h(,,\rs) /F ne,O,[sl Olrenh/ (sE t wE LAN CoDrurQ ř' rnoA 'oolJ Usl\l G b lF n ÉNERsft' THtr S'Rut $ i ANo nrodl h : - : SurPosE J(h(yr),s)^tH4\ sť|rrso Br .rTÁc.EJ' THe N THur A e [o Ou,n,(.lul) $ [h[n'l ,s txlrtN,Ttf ) (.E TllERE A<E ^ND HA\ Nor JuT1g5 llr srA(rL r strr n A coDruTArJLf EvunLMT\oN [Á' l lU/-l=oo : ls ,. u, s. T, V.: } :*"Jc (**Wé,ot.A x€Á*c,r) \ W. [s- I KvBRA : lF j !, V' rs FFF !V.,Rrr ) 3 _T tV. Ltl PRon PrL-1 srnPrE a C. E. ( to,? 1-b)\( rEt B 4r ) S .- 3/t EKA}1 : l|*'#,} I [ur-oRrTnlckn, xtqtHobNosr LET { lT Ď' RE trlXED-PolNT FKEE wtr Býlu> L 4' $ To J4lseY R..: IW.l:Ó Ž JxJs [*ulÚ",ot, A \eBr) DURIN G CONS1.RU LTrotrt WE DtT AuXl L tAR.1 Con . h &T TrlE_ Sra GE s : FoK EAu=l r_ 4 s S. T. : p { . Re l_l L- sOnE 3. Nr ot x) YET- í\ET, rvrqx [2., ) J,(h1"y) = $.t),,(.) E\hJrtERAfe t\m B tl s tN c Tl-lE l3 rs c B ls E cDtrrN lrxro B x h[") I lr rN FoK ALL xlt RÉcURJlON T}IEoKEA , €r W<,ot Ls s/ ,+ND W',t 1 = V*, (t (.) ) Ar n0$r oNt x lr plrr Fon THE sÁKE oF E^U't Rn x) ITE BEcAusE 2e Entt (. ls nET: JÚPPoJE ltv. l=ds ^\lD u r3E s.r. $r[r,r.t)= S(hr.)) roR Vt:u. :.t . .03 Loi4 n, PErrn esnvo n/, Q_e At GOR ttH Í-) l C R qNu On\íE'S K'clnoGOtoý Col r ^ -IrntN{ G Í- Iil T'+1 C5 (o) fr /i J rt ^EtPtCr T'o S RANDCQ nSUnilrvf DEJ cttrPT\b (t.n'*) er 7O J , Lt t rF "- 2<u) lol 6*(o) t'\í JY JTEn) PAnnat c,oDr U , 21'-, 2-<v - UNI|4ERJ4L FoK EACI4 PÁRrnL C0fir. ..f 'L" ) L<' -nrERtr_ ts + sTRr (, Vc IU(ý+ď)= }co11 N f+ Í+ CoDxG .frnrV6, lIe I cObrv[ CoNí\7, : (ruq,N ) Kou < tr) 3,,1 4 tr) (r) Cro) conrrEx,ry 1g C (o) L l"l + 0(1) C (nn) L Cto) -f 0('\) l^ , ť-2'' C (L (."\) L- Clnr + -_/ C (n ) + o(4) }rERE ls ft €A\r | Sr U(T)LrlJ=t tron gNE" 0n Q'RE_ jVPP orE ( (o-) cu ("J = /ss LEXICccRA? (EAJT Jv(r-| T ť stpGE T t s lo)=k llf : C(t, , Vn Ct o)) 1r, lo )lnn z' s T- l= C ( q") Ť 0(íl ) C , tr) : h C[' zl -l--lJ/ > z'(1-,-') 3_]l.3 l-Hr.ore n i J I q. LoNG -- FIK L lr ť Ís ru'pPt CIEN7L.( 3 lNnAL JEGaE\T r 0p ť Cto-) <lol -L ) ť bllrí, Prrrn % o3 ,-Á c ALCroRtTrt nl MNponNE'J ernvo s \ l j /nny \ÍE rvprNrrr cE BsAr Ls t, BL Colt S.t 1 h(n) :-- Fr\sT rrRrNL cr l"l> n TI2 E\/7ER. B .lp ) Co\lDr rlo F (AL coD teEx C("lt) t :: r^ain t AI uu(r), : OP CODTVG lF T = 4o -.. Ctnn THtrN ls U n/+CvlNE- 1 PrcF{x-FREE lT Qooo t1 --- Ctt) C l3 L C to., r) :( r T /V V ; t-Ú l ") Tl-lE-oREn' T.tn'r) : l. G'a) r THECREN Q^Qr 01 -Í.T n-(1)= -I{nDETR] OF ltÝtoRrtŤTto (rulN ) |NF9RMT76Kí CoÍvTENi- 0F T.[', t) /:' ot\ Ť L PosSIÍJG w DErrŇ€ 1.t.1 A lrY )X UNllÁ.R54L oRAcLE cA (r) FoK -I)R.|Nb Í l , o [(o? C tn,r)) G )") +Ct')10 [(og C(',r\) lryrctn+loN -THEORETTC CHqru+Cr lF A{s Conr ) ([ÁhIn) OF ContuT. THuonen (LovE',4ND) ; ! -. - rNFrN. conr sEr 3'q'{ FoK EACp{ 9 }e(e +KÍ: ONcY Fíxl. nŤNí , .Í.T. C(A\ l, ) Í e Fon 4cL ,eX EACH^J Utq A í_s coÍ-)rUtAB LE -|'-uecREn (cHAtnN) ' A u CooFUr+DLE €> sEIJ m ctAL) ! T}IERÉ +KE gŇL.1 c tzd C( A Ln) /= C(n) + Slnll/KLv = ', A ls rvFrN. coDr. otr) c(n) '- ,1 ) h/+x/r + s vn "T V^ Cantur,tBuE- <=> rET X -r T. CtA\) 1C(n)řO(,l) (neX. Pnrp /X - fneE rl'4c r-{ INE-r A g ?-<- |J r^fpx - pntrF wtl+l REJr ru F lT /s M4IV(^L PARTW| /Ť\tn Cqe(v O^DERíV G o-eÁ & r{t _? o+A PtsEFlX - Fnei PýNcnQ^J / ,*rHlVE PKtrF/X -FRffi DonAíI! 'J - í> 0 p Q-" . 37, oe ry41 n" frrsq C5pN6 2--. AubgRlTl-Ír) /c RANpoĎt /E_lS P,+nna1 coDp. pKtrFr1-FREF I ; L". Foí( EAct-1 PryRT]4L rREFíK- FneE J lss ' L<'_ . _ , Vc Lv(ro11 v {("J I 'L*" _s uvtV 2<' wE F/x uNtt/Ef-nL pRfFtx_FKEE ORACLE_ n. u tVE rusC FrX TL.ltr Etv/l-)Xn *TvcV W , T, otr 4Lu PART)4L C 0D r. rg.Flx- FKÉLl=UN c1\olv s corcoV ConrL€Kli--1 K(r) i'j Cu [") , lr h , L", L<v' ls coDrurr4lLE 3 sr ,, Tuprrt K (r tn)) t(,(") l3 t lr t/E #}JU1E Tl*{Áil (srvcr t( nrirr (o) I I z l,[c) t,l ( G) 1-lo-l +c ,t :n ] |s fuunvs btrpíNEb ... ) (a) (.r CoDTuTAB(E , K, (") : k,*1 [") K t.) : L,^, l(, [o- ) T|{ERE ls No ltmt+ L Conr. S l'{.. wY44 UNRouNuED RŤN0L s.T s(n) { VyG) WHE-NEI/ER S(") ,1, . i TLre lr( C TleoRED Fronen (KC ) 3' 6 1 : LEr CoQpurttlLE ^ l/lT]-í d... h'-/ di, cr ( ) ,.- JEq oF rÁlRJ Á\p C{' e L<w BE (nrpussls Jy(Y TwET ) ( 4, luev THEKI E^ťsJ ft rREFtX _FREÉn4tl1 lNE n Axp sTRíVc: s'T' 11 (r') - C q Or L€t'{GTl Vi {c rd' &u> don lr\prx Or Fop. |,l : ol ' (d,,T,),*" 0.xi {i= 4 FOR, :0 q:Od' Í| , Td'-)- EAtq ,)0 xl =| Tr2 BE d'- oF Y .' _L.t- dn : .-- sTRlvG ďi , |ďil 1 TIlEFIX -FRtrE 0,ffi Jo : WE- DETINI: ) INDE^ Lq : iLn \ u tal ,xi -\ IS I F0rt EACH l. Sn,= FOR 1 E:5i3ŠtY [C:ie,^,, EttL1 n Ž0 DEFINÉ X4 lNl/ARlANf ' ftoREoER, '1 -[d,= + 4 €> 4tk( r|, al = Dt-n 1 l-oK V tLVL Á. xi = = [ 1/, 2_f" T}ttT '{sJur)E (S r REF IX - casr4: TI{EN LEr: 5,, rnEE *h+4 ls ={n:tLn l u \ťť Tt-rE = *LL t+ troR . =Jrr C FIND THE t.ŤnGEJT *T' LET ř0JtTt : %*1 ,. 0\ I :: ď[' l: 0i 15 llr A ó1^\ dn-.r - 0k-i_1 r,u rlE 1 l3o1 THe sAí]E Sn , Pn rp I X n lN co D r ^).,'., = $ dn*q xj oN{s J,--.Id^l ďl-1 5n*. =,1 PREFIK -trREE. j 'l ls THf JÁnE Al FoK ^l SADE 4s X n, ExcErT q+{ ,= 0\*n : * 1n, Xl,.n=4 ďl-1 ,= ť: APFftKE\fnY Jnq CAJE 2 XJ,.' Xn ro t PÚEK esnxro íc n4Nu0 hNEss A rcgRlTHr] 0t EX [E = I rř FOR J Fott C{1. J ( dn*, k<i ORL EX cÉPT .eET 0i= ď ts NEPU}(Eb suPERsrelN CS t ry)RRoueY : LEr x-('t rua{ 4 2 3.? tr<L<, [d' r ti K(r, ) 1d; r 2-(co-; ),.- BE +O(,1 ). 4 KC 4 I /t/tJPREFIX-FKEE) l #,rÍ<tc)aŠ,^['" lrl+ l-bgltl V,( 3t' ((") Ktr) rF KLr) 4lnl+ 12-lr(r) Út (o) lol + + o(,r ) fl f a, *1.* la|>O LET J,L<rsN , {tr61<u L-+t"l ="c ďEn, //o or ?-041 n, Psret emruo T 2-t, lC At-c,O R lrT-{D KAUDoANES-I CouNr,NG TgsoREn [i ) 3:.r. rr,rqxtK(q-),lq-/=hl: h+l/.(o) (iť) l[n' 1 2h -r |nl=l.t + o(l) k -) lx(n) tO(l) !h+K(^)-y-]ll POEs Noí- pprEŇ) oN r- ; |lvFon Ú"\Arrr otv CÚ\rENr DtrAs tlKL r-7 7 ls A P+LTt,eL Pul./ c. F , 2<' n /N.l Ft') 21 De {,r[n)J r n Ir (, , n : 4 L {t.,t):pt") ltl rs cE l,ve cr+)./ Ervr,rnEfi.ArE ;. c. ll.s Fo , E t --- ItNtnlAL l. c.D. t Fot") + lc+4 1 ttt") :r niJlf FoR ArÝr l t.lY. 1- , ( (n) ( F(n1 t0 t,t) lN panncuLAK (Cn) 4. Kt") +Q(q) t(k*'t ,o) : F(") L k 1 ri l(C s5ď l( (o) ! F(n) + O(4) Vaed,* 1) , J PK00F { c 1- OFK (r) (t rl +k(1 rl ) r- D(4) (l'l tK(tnr)) 1_- n k(r.l) t5 K(") 1l nl +kU "l o^ ) ) l-> \"1 PtrtooP oF LEr (r tn) (n +k("\) -í2-L<(^\z4 + ) ( Q-U"nble THEorrD :: l-- tog (Z.ern [.r_i 7-u'(o\ ) l 'F ls lt.D, ís Cr ) I(n,l.):F(^)(L} l_J-t ItvrÍ]AL(TY 0p k ] c s.T. k(n) !FG)+C -c ) 2-Kt^t ) t.F(nr ] t {, aurn 2-Kt") (ern e L-'-t) = PQJE TH*r rvgnt 4Kí= n OR€ THAy rlh-r t O(tl :TRTNG\ oELh J.T. f(tr)t n+)<tr'')-r, I.E. troR Sn,r: [re Z" : I{(")4h+l((.) -r3 Wť- Hnrc lSn,," l sU t TF{EN 2--(t't I ,1,0-eln 1- Z t . J(n,r ) 2'-' .L-n-ktn)*' ( oR.&s Lnnv ' J c- t-J : t( Ktr\ (^) ] 1-..nZ 2-K(") ae2t V^. ah Lt-05 L}l4Tu )'Ere< Gzuo firGoRlrHhlc Rq\rDohNers plEr€ L0QruT4BL6 UrrER Bou\rD orv k(c\ : lS 9 ^ T1-1AT tJ /tcl-ltEltnĎ /NplN tÍE-LY OFTEN ? -[ptERE ls A ConpvrqBr_t THroREn [SouovA'1 ) ' l,4Z -á \:2<' 4 { (i) t( (") tli) )< L") Pncop SUC'r T]_12l- )\l troR bU ) 1 : /(L a / lvp (ol FoR INFíNnĚL.1 \,1VY I C0\I\TRUCT ^ PREr lX -pREE_ D+cvl\íE n j. T sr Utr)tr1 rt, rvEN Tlqeru. ls ceNJ í,T 1p^,lA(lt|+c: DEFí\rL CoDruTABLE J : Q(p ) t+(s)l lF s lJ LR^sr r lr T Krr.) ((n,s)) 1KU) ) rF GAsT J ((n ). K, 11 + -deN DrrrNr ) a s) J. s) U(4,) (r', ,J, rlrr,1 K(x) Ě0R ÁLL X C0\{S|DEK INPNÍTI-L1 h+lv r (n, s) Krr,r [^ (.)J= (n, : *.. \r.r (nr) , CLEanl-, 3U) > gtx) = 0- r l( (^) (*) i-- 0 (.t 5 +. ! = ( k) + Ctl) s.T. ktn1=krt'; . oo-r],ŤŇY r)DEf F/V/TEIí MIv1 4 *xlo REroLrrE _/ D T. s:\ -) lN con tuT foBLE 341< Ktn) 4 $Cn) + D(1\ (r) tii F0&ourtr\tc Anf EQ. . 1Jn L ; (ii) ru' nql : {n !;: DEF, 2- ou' FR0n DrxrrnAqT"l 0F [i) CoDrun4B 3 .42.r --_.- € XA J'lN+ -Ior-o\,nq: puN c?oN{ r.E. Jcefi oc, AVD \ /F ls4 '. +LtR €> Kr E ${n)-Kn) [i'ať'r5n J-n ' $(n) CF RELAIyE : Ye,+suRE5 K- REouCtBlLlfl , l_C.Íf . ('o +c R+NIDoTINtrJI nň 1ktua) +C() Jotlvnn RtrDuLI&LE IC-?Eb.r 4-4:B) ts ^ ]c AND PARnAL colr S'qj O t13 geQ A)vD 1 : 4\rD d--SC1\ < 1; Ltrr c[n-1) . 1, Bt Co Dr. s[ 0 uE iv trJ oF RAn ( <s ll €> 3. ,1vO C0nr. A ( (n( - Isu) r) c o V,'4-r_t s. T, ttr : n.o\ ?/, Lo(4T^ PErEn eenx,o At-cOntrvn rc n+XlDonNEr JoLo\14'1 REDUCIB/ LIT'i LEní\A Vl elN 9.4.L Vn eN V T)'ltrrV FIX t. F,Trť ck e/\,/ t)= ť i;. CG) 5) -rt'lE0 cÁ}..l 3.í t1 c l0,o ngr't CRrBf Dtr Axru $ {z_, lln Th € 2n .I-T. l0 - o.q I { L-n + c Ln + l/,-/^ L-h cn - tc, ( Ow tt AN> )' Lu c +l/. B Lk 0 , {l; n [R,,) ) I + | "r"- J(D^) I $. , 4cR k í* Arlp Fcls rI7ýNí Gturvb -tr ), rnor{ =)((.) ) { 4s R ) Q-L-' DErexps OVu. teS 81 C (n) r- O('l (_ : l O, ú-_01l< 2'n : RED (c- KED. : DEFI\E R^ :: 0, [ll) , )h i: F-D. ŠL-n LEl- K- lnrLf E5 C [") < C(r) t ck troR reť Tl-rr J lZE oF Ice LET J I +l0rn- +[8.\ Lk-n K("tu) cn c4N uE oLl-+íNE-P Fn-o^ J ( h K({l\) 4 K(ru) + o(1) tr n ) le "{ r-rElv lt DEL FrALnNG 3.4]. ( l.l ď s 4.5 + S.t (ť ) T)jt 44 |-lE- [iť) ] 17 WBILí\ jl- ([.oto^,l/ lF ,( lJ Lmll PKo d- ]) : {'. t\ or- 1) dru14, 2-l"| LEFr* c.E REAL Tr-tEV "1 F\Lotr/tl.{c 4nf Eeulu4uENr LbL l. lj t-E'T- C n 1s ; E- ( -, J(.itť) ] R+T. t, T,,..-: {. !,rrn (iv) f PÍ.IFIX=FILEE n { d.| drr. l-1 tr' [v) ] pnEprx-FREE c.E. Ac 2.", r.'. ar"; '2-rnl tu,) 3 PP.EF]X-FpELcoDr _l;__ tr,ii) I {i cuJJ C : {: 6K\ (uiii) f n-; CnsJ P s.I l ls fllE LýrT Eu:n oF P 3 cODr TBer T s.T / ls THE LsnrírDsr ťntí ';^) LtrT {BE 4 Lepr-CE.tE^L/ n gL Rrq€FlrN-[-REE s-T 1-ť([/""nl), T br5T. (/tto)=n(n) [e wE C^V ,4trnoxrnn7L ír t,^ltrvrV rt-'-(ttl tn s€t , 0P COnr sEQ. 0F C 0n P. Í4T0\,1 L5 1, < 1^ ' = al. íHe51 WE C\^/ IF -O SI,CH LEFT- C f. !\ t R. ArrR0 X rí-t4rE l- / ř ls l"r U)LLFD 4- Ib ) {/[ftí)\l 2-4 - n+vDoh JL-L/r(F tr L? 03 Lo4tn PErEt Gqvo 3/a Ate cRl?_Hn lC RŤND 0nNsss KuGRA- .Iwntv TveeRPn )F LEFI--C,E. : "( ls 4- r*upo/l rHEv tr _fL -LrkE. LEr I\ BE LEFr- c'E. LEAL Utt- sHcw R L s / L-Tnrr Un DEF rNE Jl AGE J : lF l' € U, L'l D9 Non?lťv6 OI-|EnwtSE t-ET t DE 'I]-/E LÁ}T rRe uous rTf6e IJ 1"1 r lcl,{ wE- PuT AN,1TH/vr, lb./n2 u, ton t.o) I rur rNrERr:r. (r, , /, + L'( R,- i,,)) )xtrrc Un AT h/tt t/E l{,At/É# [U^) ( 1 n , ( + U^ ÁT t/Hr THEN/ FoR THroRtrl 9.q.t (i) (ii1 B Lrr CH WL ?Ut i) 0 : THev J lJ 4 -]Esr So r í,t, __- BF srActr _s0 nL nE,f}/rNř tx/v U n "(.,un-lr, , lEr- { A con?. FrN cnov TTrc. troLLo t"tv n ARE Eg ur7, BE ; -lotoynv tr/NcnoN/ <n Z-$Gt lJ A ,f - n lmun (EAL cuR&owKy, 1 TnKE J, T. L-n r on NOX/D-CReq.jlvG .!21ovA1 P, JEQ, f h Z, G rs 3nru ,l- ru+xrp"lD \, =L- IFT 5(r)=-(o${n)= Ln \-- tr k^ , FUVQTTOV kr < k, LEN\A J .4s. r lr= kx[AI^) : FOR I kx(^)+O(q) sÍs,)VFíNp€ s, A4TJoXí- ryLL n e Tl--tEŇ LEr f= [o, Vr<"(ftle J rr (s OX') - conrulquLE IKEE / fr e trl Rv KEt^ílV. Couv'. Tl-lEgR. T F4I BoyNDED l/ íDT}í ) A ls ls0tryTED tRr! (sgx') -coDPurÁBLE . a T ber-. Y lJ LoW FoR 4-na\rDol-txíFss y 7o f REDuIf DLE rb X R-AEDuctscE t Y 4ln X /p FoR ALt Z 4tr't ) . Z ls X- 1-Wt{Don THE0REn : TltE í0'5 4 [i\ trcL =) uot.rlNt Z ls ,+RE_ ?-l-R1\lĎ. Eg r)rVftLENlT : A 4un B 1ii) fon LwRy t:'o cL+JJ T* t ťft) < 1 f t:'t cmss V^, u (VB) <'l ,, T4 s VB riii) FoR soaE uA oF UMt lÁzuÁlL L-re.,r r 3 C;'u cL/sJ V' , óq(v')<l , l)+c uE ls Lo.u Fox. V REou cr'BcE lD B (rt< - nea ) |_7 A A Lu< B l-HEcREn 40.r,r rF : . KB[o)L(/+(n) +0c11 A4uB<7 A!*8. (€ l5 TR/t 4.) 1Á 2t.o3 L-orllTt PelEt@xo AftD Rt rH n rC RArVDct-r ve ss K - TR-lvwclT'l KEI/LL Cr+ lnN's TrrEoKEÍ] ; (=) C(AL)4Ccn)+0c4) Tueorrn (CqnrnN ) : (coKR0t/nr oF L-7rr.r) AI rr lltEl.J A + , rF l;l KtAl.^) L )'((n) Orn) A ts F 1l.l.g conpvr+BlE lNíF,NíÍÉ K(Ah ) L K[')+Ota) V"e I TpreN AL-r sO0' ULH c nrerutr ARE oc2') SL^ rucv r)-nr K(nh) ( k('' )*c A ts l( *rRlvtAL rF K(nu) 4 Fon pur t: /1.,1.r{ :) ! mtnRe\nl"1 K(A\) ! l,(t^) + : K(At ! l([* hr,) otl) VneS K-rKlv'nL. Als ) J-HEcnen (znnuHu*) ,t4 .4.8 WE- \lo t.í co D rurABuE : * lNF, coArur o t'l) á K[],'(^))*0(1) 1 k(,') t0(4),0 TtEnn /J A l(-TKlvu?L c DEtríNE N0Nc00P. CE A AT JrA G1r J I Itr \^/E SEE Á spt0mgR Jrr A c AVD WtW E_ ďE-r . KC rLr L 1l(o)L'lf=n E\lýn€R4TE REQ/Ls]- (lnl+{, Arh ) lurrr L IFTUER,E ls \ Axne (.)n>2c) Sr.: \^lE )te, n e W",, , ND K,[i) L ,-(e+L) r r_/Exl L Z n(3{s \X/.,r 0Ár: v , h : TD A, r'E. 4r*,(4)+4,(^) ÁtJ ufl{EN ron€Acl{ Ó WnH h WE tr).tuDEJLArTE h FoR TI1E cuRt€VTL-1 SH0ATr:Jr u-FRocMD nJ trot i, UE- Alro E,Nurn€K,,líE KEQJEsT (tql*,l A,n, f,) T,c L , CLf^RL"1 tŤ ls cc-E. A |s cE L = 0 , l* |^I, ls lÍr/r-)NlTE izr" LKti) * 44izr" íHpN ftqlx/. + T. T srrvcf h ls COrNprNrE, 4 ['4Lío NONCODTUIXB(E. ._-Tve uru;ttHr or- L I BOTAIDED bV s tN (i,'* (i,, / . t,rnao,^4)rf(ld+lJ+ 1"2-L'n4 ( i-{ =1 ) Br KC THEpREDT f'rrcE (Ktn)+I,Al))eL r/E tlnw KtAu ) L [n) + 0(1) ! )c c tr, s) : CCST FuNtr/ol'1 {,r(j r , L-K' (d) Cosr oF ENJnER*nNG h /lV7'ý A &T T'DtcE vnryrr0wj : UE- cAŇ/ YwKr A hx.onn_Y s/nřCE/... -( fun 0 C0 NsT,<U(n'D F THE S l/')f u DErEU}( 0r! \ Ct rf REO t/ IRE o&ĎERÍMG DFl.lr{ -_ ! n.oe r/r, I'EER Atc'oR-| TH n l C R +t{ D o 1ŇE ry|I Tu Ctr"NO ss Solou+y FuNCrloNs ANID l( -TRl vnLrry I<EGLL JT ; , r-,n7-I('taŤ J';Pt lr ,1 C onr- puvc ÁNlJ^n;$(n) 4 VU) + O(í) S0UoVAY FuN cT,(?N cJF TllÁr FOn V ConP s '!,T. 1,L-tťn)1 <r 1-*tn)a "o ) 1J(n)+'{r). k 3 coAr 5 s,f {n Tr-rrx Á lJ c\DnPu TryBLE ^Un LET + Btr * JotOv,qr Purv( cftox/ ) ] ConP b sT z-t_tb) rÓ & 9V\)1&(,n) +c. LEr d BE r,r, k[n) r gG) *o{ 41 n LEr e BE s.T. J-n : FCR nNY SUcq n: J[n) z k[o)*e lr../ ,1kt L $[^) +c1 l4 ,/counrnvt^t3?'r re z^ ' k(" ) L- K(^) + c*d n*\ \ 4 2c#+e+o(1) II lT cUŤJ: I Xe 2" |-.{Ás IVr Air ngJT , Vn ' ? [Xt) 1 f (,)+, J nu Arul Col'lP. tr L'*d+etOrr) EtEnEVrJ ) urE )ouovAy FuN crr oNJ Cq^nA crER.tZE lÁ - TRtyvqlrrY (n\r . TD Trrecrcn 41 A ls K-ru Wt €) : CODP, t\ S JT FoR ftu Znz^-$(")a'o k(^t)1&tl) ř0(l) L. ? lL.a : Fox. ALL (onP. )) REc4L! {,n /-$cn)4 "o (=) k(",) 1}G) l 5 + 0(11 € ) LET 5 BE 5olo VA'1 tr uNcrrlcv r=no 0 T KEcAtL : GllÁ\t n, LEr _f BE LE+J7 '.r z rHE^v 1.|lz. : K(n)*o14) Lrr'tIrFsr K(Ah) !qf^) rO('l) C1u€rr/ n LEt s BF LEasr Í. T. K c^, K(n) LET hzr:(n,.). .ílN(E n C+N&tr CO1P. FRol) h4: KrA l\) 1 KGh) f o(1) L g(.'t +o(1) L k(r' ) +0(l). l^,(n)=k(n). b?r,s)) = +Ars THr lX-Tpr For Lol/rN (| &RE (i) ? rJ A [i vnL. D rr'-l0\Ír Pruo0r LET LtT l(T(.) G[.') conr .2 l((Al'^ ) L $Q + 0(1) ..lotovAl tr/Nc. i) A ls K -rxrMAL €) (w A EDvtv. Fon \ ) - t ,4 ; l^r.T ( .) l , Vn lr l,((AD. ) Lkf^\ CAN l]E (rrna. fcl ýHoh)rJ (r( c )/L* =Q, {.GO/L' fEO15l ' JlPxen I ( \ vt. I : rVr: T] o1Lo4ln % řtrTtn eo<r..o AtC oRtrHnlc R+ xtpo D Tvtrs r l^rcwNEs s lN coqrulTnÍ5lurTl A EQul/ALEx'iLr : rt ls LoW /F vr,r1 Íl DEE. A'r'A Al =-1 - W' . A rs uotz trop. R - RANDonNEss G) DEF' . lF {lsLow FoK L |E^lť=C GEx/Eut-r2AT-ro\, 44.2 LoW 15 É. : 41.L.1_. r*xDon SEI )s R- A ls Low ÝoK Ř -rEurs E-ELÁTIV/E- \? h |J T\c lr-nnxrD KELfiT. |F EW^K1 R-rnrr^ rcl€KED l3v ÁN UN]REUŤn\A2ED )z-TFJI_ A ls L\u/ t lS DrF ln FOR [\nn'Ý - Lóp TEsrS (=) Lot/ Fo n 4 -A^\íDoDxrE-J s K[o) f k+ro) r-Or'l) A rJ Lov r=oR K .2.3 -illE6RED <) , ft ls L6r/ FoR X =) fr ls KK(n) +0(4) n tR t\A+L KtAh) LK'+G\)+O(r) ! TueoREr\ : A l\ Lo\rl FoK )Á ) A lJ Low pon X ls 'l-uxrDcn ) lť[Xl^ \ A ls LoLd FoR 'l -n*rvo €) Al\LowFoR( - 4 r-r 7r"',l €)ALrcp! ^ tr . 1- RAnlD. )4 - [J(1), D