- Univerzita Karlova v Praze

Transkript

- Univerzita Karlova v Praze
Poznámky z přednášek
Univerzita Karlova v Praze
Matematicko-fyzikálnı́ fakulta
Algoritmická náhodnost I + II
Peter Černo, 2011
[email protected]
Garant: doc. RNDr. Antonı́n Kučera, CSc.
E-mail: [email protected]
Anotace: Předmět je určen pro doktorandské studenty se zájmem o algoritmickou náhodnost. Pojem Kolmogorovské složitosti hraje důležitou roli
v teorii informačnı́ složitosti. Různé varianty Kolmogorovské složitosti vedou k odlišným pojmům. Alternativnı́ přı́stup k algoritmické náhodnosti je
založen na teorii mı́ry a použı́vá podstatně prostředky teorie rekurze.
Pokročilejšı́ partie algoritmické náhodnosti, kalibrace různých variant.
Pojmy ”K-triviality”, ”low for random”, jejich ekvivalence a význam. Aplikace v teorii rekurze.
Sylabus:
1. Kolmogorovská složitost (plain, prefix-free).
2. Algoritmická náhodnost prostřednictvı́m prefix-free Kolmogorovské složitosti.
3. Rekurzivnı́ stromy, Sigma-0-1 a Pi-0-1 třidy.
4. Martin-Löf testy, univerzálnı́ Martin-Löf test.
5. Algoritmická náhodnost prostřednictvı́m Martin-Löf testů.
6. Univerzálnı́ tvar.
7. Martingaly.
8. Pojmy ”low for random, ”K-trivial”.
9. Ekvivalence různých pojmů z hlediska algoritmické náhodnosti výpočetně
slabých množin.
10. Základnı́ vlastnosti K-triviálnı́ch množin.
11. Aplikace v terorii rekurze.
12. Modifikace K-triviálnı́ch množin a zobecněnı́.
Literatura:
1. Ming Li, Paul Vitanyi: An Introduction to Kolmogorov Complexity
and Its Applications, Springer, 1997
ii
2. R. Downey, D. Hirschfeldt: Algorithmic randomness and complexity
3. Odifreddi P.: Classical recursion theory. North-Holland, 1989
4. http://www.mcs.vuw.ac.nz/ downey/
iii
This page is intentionally left blank.
A/
'/3
7+
Pcrrn Gnrvo
,
,
EXAI'1
b2 Lo44 Me
flLGOR tTn t Lt
A, -HppxorT I
-,vzl-
H VPERIDnuNE - FRI:E DtrGREEs
g lJ H"1PER lDn ýNF DE [}REE (=)
:l J 1Ť g NoT uortlMllED Bt
ANY
CO0ruteBLE FtlNcn oV
Yrr-r-rq &
k
l
S
nnnnN
H'1
I
:
fgn rqrf
(' t trg' )
ul
.
C(€^RL.1
,F
l
wvt
ls
TrO CONPUTE B
vte
\ýWl
h
rn)oRtz[
conpuTnBLi: Lt
CcnpUT^RLE
l-3
arB.
IT^n
[n,hc^11
,
l!
bEAk
hoorlt-us
= FIKST rnUE
\loT (oDr- Don txrArfD
:
s w\ )
SE,TRTH
FoR n )
, Btlq - Bnlnn
l',r
:
l\__ n|LLER b řrtnnv ; J HYPLLIDUNC-i=R'lE DE[,.
FOnCr\ G W rry Crcn rUrA LLtr Fenne cr n<EEr
FuN rTl ON TKEE , T , L{' -) 2-"
t
r;
o
:
T(r0)
,
T
(.n)
ÁtiE
tN
cotlrRnBtE
E>o.
,+ SEpuENLE [T; ] r eu Ot:
l=ur{ (n\N TKEES Auo RETVK.I AN1 A Q
\^/E
B
UILD
op f [o-\
CODP
n tTrl
t
..
.
.
ST+GE O
st^40E 2.+,1
:
Tr RE
:
WE
TF{E
IDENnTY n+f
tronCe
oV
N
cv I.. Ltrr
Tr.(i)+ W" l'/L(it/
\^/L ÁRtr
Gtt
coÍ_)nu B,+Llr"l
ielor í3 sT.
PEFTruE L"*1 (n
) '= T2.(,*).
{rntE 2.* 2 : t//f FoKcE \o Conř. bo Q|Nr{l.ícE
lazl 4(tr Glt€x1 Tt.*4 , t//E l4llsv Et;}61
(,) A e LT..*.] ) 0J ls rr/or TprAL ,
,
oR
] colryrppBLr S , Vrte LTr.-r], 03 4 S
4) Jr., ,n'
Qri.*r[r) [^)t VtIq-.
[,i)
-lf
2-)
Ln. (")
n,
c
:= T^',
("")
i
vE Bu ll.b Ou* tlroxt TREE Í S. T.
Vt e L<" : Q Tzerl (+ (c)) ( tt ),1
:
I
Tr.u" ('c ) '-- D"+r (s t")
STRO
C0nrýDt0G CotteCT?ory
^ sErJ {F;}csu
FíNlTt
\{G
oF
)
tlí
lNplŇrTE JET A ls
V -ITRo\íG ,\Rtl^"l [Fi1r.*, 3t
C.E, SET A tS !_",?Pl*srnrlE <)
^RIuy
D|s7ot
ffru
+
<>
:
Á
E.C F
ts
H'1FER-
lnn
(/
rrE
Vy
4Lf
EX,qn:
1"1
A$on-rmtct^R' M'HoDNorr
r..En U l'?RnN
g Cor\pilNs A
d
.
lj
Pnen- eeet to
t
ls HIPE()MnuNE
ř^
tA
S.T
LS HyTERTDDuNL
B ns
S
.01.Lo44 \o
ls V or
ConP fl4loR íZED ,
<ž coŇItlNI
TuroREnl
-frlEoÍlE'-)
Ro't'
KnrlSEL
l-r,+l A k_st - c.E. r-TE DBER
Low B,qsts -Tueocnr : ErEn-1
<=>
/t
HIFEKIn. sEr
WE COVr IOE'R ONIr
cuqt sE s
^(orvEnrTY 7T;
n;
',
cLnrs
.
A
Lot'u DENBE(
LET (-[rl
CL-1JÍ l-,t,ts
Tno
.
Wrn-|
T
WE DEFrNE T=T. ?T'
ConPUTAIŠ€
?
.. -RtrruRN ÁN"l
JI/PP$-IE ^ru4*r lÁ/E- l.,t/qyE DEFINED Ta
U" :: t o-
I
O.- (e) L t*t1 T
U. ls ft tonpuTqBLE TKEE . lr
T1-{Ú{ JL*4
'= U.nf, .
Ti
FR.tE DEG{EF.
e
I
Lr-.]
Lm:
l
U. n
T. l) lNprN nE
I.
T.*., ,=
Bnl rs l-nreoul
cr^ns,r Futt A nEnBtR oF
Hlptn tnnuxc-
Evtrr
rrer
orlltnwlSEr
P
,.
H"lpERtDtru\tE -
Te AVD k/+t r-1 To DvLb TL*i
(i ) Ae Lr".rl
? OJ rs \or eorae , oR
(,i) f CDnr $: VÁ e LE*,l O.* L
J
WF /tRE
le
Ú'IVEN
Ul:: [o-l
UX[n)t "ll'I
I
T. ls INFTNTTE rl1EN llq,=
Qrr+enVztJE , T.+r ,= \ . lN T! ru C,+1t
Fo( €A U{ n |//E Cl N ConPuTE ( trr )
Jn
'
UJ n
,
U.^nT
z
Va e
l\Fl
:
l.
Nllt SEr A
tonrurqBLg
ĎEr1qq
;
\*l : ((n)
tt4nrnv,
,|, ,,.
EtrFtra]'t t/EL.(
S
rY'ln
)
Ve \X/.S^
uNf
l\,{/.
I
t*) ,l = Y
lr cE.sEr B
thnUNE sET , TH6N
? Trc
po re 4
Q.'(n)
(:) Y)tx &. y e U(/,.
,ť ls ' c.E. b Ars EFF" lDnuNL vn e?2c,
.P
4,= rna
,
'
eQruirEs 4xrEFF.
R l5 TÚB;N 6'' ConPLErE
lNConP\ÉlE C.E. brcncEl
BAs
tJ Fo\ Tii
N I\ ENCUGI{ TD F/ND 4
c(^sJEJ
T.O
Do Not
.
Tt'.qIJ
ALU 0F
OF EFtr. rn. A
rnnurRS ftRE lNtrlN rrE SvRsfrs
lAl-t<-\(e 7 A-n Len-l, zk*l-Zl+CI vk.
I +ý }
lUýHosE
P:=t1\:AlVkl\nt.,
.
.
3Á
|q-02.7044
Pprr=ru
I
trXAn
PA
DEoate
OF 4
xr,qlvobVosT
g
PA
ls
B'+'rts
DEuKEE
-ltreoREr\
:
ConrunqB€
fl
rHE
LLT T DL
CLoStrD
IJ
A
DEc''reE
PraNo Ant+1nrnL
tF g
ls
A
PA
prco0 { t=o(Q
otr
DEGnEE
Í+ BztJ ( t
PA
|tvrlNmE e00n9rx4B€ T]IEE
P4ry
A
Tm
:
OP
ConPLETÉ E)Qtr'\stON
,{t\
tVE (ODF'utP
So LoVA"1
IT
€>
CTAJSEJ
Lf.r J DEA
LtrT
I
eenvo
DtrGRtrÉ]
EoNPLETE q}0EŇJloÍ..tl
S!lrFon
rra'
At-boRtrnt
%<q( €T
Upl^/ARD S
€ g
UslNGs,
cl^rs oF PA Drcffi-s
ls
.
T RE
co0PLETE li>on\tstoŇ Otr
PA
^
CODPUTABE tN 4 sET X
U srNG
r,/E
v/ ILL Burup 'i= rNrTt
ExrENfloNLt Fa otr p
T'
(Jo<
WITH
THE
5'
,
x Fo-
ll
lJ A
CofrPr€E DrrExstoN Op r^
ENNE. DEEREE 4S X
CoKOLL,qRI: 0 lS A PA ,EGREE <)
THL SETS CoÍ) ruTA tI LE F'ror1 g FoR|t A
FoR THE il,lo
Ct*ssE-\.
[1o
B4J\s
IN OrHFR 1/SKDS:
EtzE(1 lNtrlNirE
ls
4 P4
<)
DEGREE
ConPu1lAtš1E rJD\tAk-l
TKEE
AN g - ConPuqBLE r,trH
JnULLYA\I : LET C BE ft sEr4'qaNíG (Er
l-1Á5
.
FoK AN EFÉÉenyEL]lNsEFAR48q:
P4|& 01.
Bt >rrxo/\ír
C.E. SEi-s A,13 Lrr x,Y
c . E. s Ers l-i{EN THERE rs + C- coortrr,+}G
SET íEPaMIT\G X 4ND Y
U \ 6 RecuRJ lo tY Tle
ol€D bE'l\íE
S
l
tF trgY
u [r(t^t^'l
't"[n))J
w".tn) =
U
W,".,n,
= [t"
t5[b{(n)'
i
ĎruLRuutsE
tF h cX
t'r.tur )11
OT\/ERrrrUE_
D:: I'n I +(n,'[n) ,e(hr)e Cl
D
!r t ts + _rErAR ŤnNG JET troR X
7ccr,<"usl.t
g
u soAE : 0 l\ A P4
Cortrt/TEe
A
JEr^R4íl N(G
,
DEGRE
sET roR 4v
EFT[gn\tÉu't lN.|E_Pti1ÁB(E- rAlR
.
Y.
€>
4s.ot-.Lo44Tt4
n/s
fx,+ň
Prrrn Govo
,
*LGoRlrnt cK,q, rlq'HoDNoJr
Ftxrp -porvr FKEE Axr>
NcN ConPUD4Bt€
lJ
TCrr#L S
ToTAL
|s
3
THEOREQ
:
ti) scr A
DrAGo\nLL"1
truNtns\r
S
FlXED-trolt{T FREE
0.t)
g(")+
€)
\M*nr
P
V.
THE FoLLo\,ulNG
T
UTABLE
t W. V.
6uxt
treUlVAr-ENT
^RE
c)
(ž
:
A F IXED - POINT FREE FN C
(it) rEr A CoTIPUTE-\ A roTAL l, , 0,.C.)
+ E" yr-,
ltii) rEr A conRJTEJ A bN C Fuxr ctoN
,i'l )
ř
€a
!T
t
LET
lF
?
6aa1
,
bEtrlwE _rorAL cooPtJTqBí€
:
[q )
CODPUTEI
Q Q.tn)
rF
Ť
oTrfgXYr lr5
h"d
NOrE 71tA,
(.) = 0. (.)
t
0"
t^)
, n-aN
d:
I
B"1
?
rr DNt:
(rť)
Qr.cJ[e)):Q1c-t:ĚQ.t)=Qac.t k
[itt)) [,
F lx F{RTLAL toŤurRBLEr
I
LET 1 BE
rrgTAL COQPUTABLE
LET 1a.A BE DNC,
\Xr.tE
i
:
)
Ft
Q,,., [rt ))
:
)n Wr
V(e)
$Sr{ '
DerrNE
W$c.)
5 lÍ E\Xp- Pol\T
?
r l(fG))J,
I,
trR'EE
l
) W. + D
? tl-Lt) = l (1 1e)) ? ls DN c / -ro
?(tt )) + qqor trte)) : rrte) h
Itr
\X/.
:
Vy$(e-)
i
.
THEOREQ
:
3 lJ A
PA DE6REE
to,rl
e<)
- D\t
r
€)
t0'1] - DNC ponQ A Irť cL-{It
LET
J
A
conru1E
sEpnRArEr
-
[0,,t ]
Ie I O"(.)=0], [e lQ.tu)=41
Aru LANOV,S conFLEltrNE-fJ
A C .E
strT rS TUntNG
|T ConFUTES
A
tr
DNc j
|XED
LKITIERI9N
CODpr_Erf
-
(:)
PoíNr rcnEL
D\l c
ž) g' ConPuTEs
gl LEr A BE 4 c.E. rEr
fA=$
A corlPurEs A FPF S
A JJ UOE I'A (n Ltt .t FoK 4LL n 4 s
)
:
DEF
rNE -r0TRr_ rcnrurABrE h
tNtTrALLl Wr,,nt
il
.
\
:
truNCTroN
.
L/S
ExAn ;
lP
xc
WE
4F.oL.Lo,t1n
PErsB EERAIo
CJ/Í r..LqíHoDNosr I
7\LGORtInl
rQ
e %' Lsl THEN
Wr^[;(n))t
l Ls]
C,aN (on puTE
p11T q-.€]KVI
tt\tro Wt,u)
%' PKon A
uJl\./G h
lF n ENrrns g' 4r ..fr46,E s
s
:
utpolE nA (h trt) H^r (ern-ep 0v
TIÍEN EuER1 x €
lřr^(Ltnl)
A
L, Ď' É) I
.
A(h):
5
(ina,
rFq
LonruT*BLE 5
LE
r
.
:
Stn,.)
HoExFrEuD'r Lrnrt Lrnrn
hocl, t^) :]
ť, (vt:,
Wh*(.n) ,=U.s)h
A
-IDT^t
ure GE r
l. EuE\íIJALu1
N, orur.r x
Pur lNro Mn,n, / h/LtlLE
E\nERI W^ tnt
TH us rA
(n)
[h
) r,tAJ Nor sErTufp B1
1
:
lT
ýx= 0.- ll
; f (",t)
=
A("))
(y^=Q...tr: 5(^,t)=4G)
!Íil'
'ods
A =T w,ns
IF A ls C.E,, ŤllElY A:rhor{
s
)
Axst+\cVls Corrrt-ErENíEss CrureRrov
A c E. SEr ls lln'nvc Cofrree 7t (=>
lT
ConrUTE
€)
LEr
t
l Á
[o,
{
T
l - bNC FW cTtoN1
.
C.E., ? lr A EE [0, 4\_ DN C
Btr Tor4 L IODpDTABLE s.r. q1(n) =(in,](n,r),
LEr A
r3P
.
4r A . DErtuE ToTAL (o1rurmrl1
0 l(rt (t''ttt) = f\ $(h(,,\rs) /F ne,O,[sl
Olrenh/ (sE
t
wE LAN CoDrurQ ř' rnoA
'oolJ Usl\l G b
lF n ÉNERsft'
THtr S'Rut $ i
ANo
nrodl
h
:
-
:
SurPosE J(h(yr),s)^tH4\ sť|rrso Br .rTÁc.EJ'
THe
N
THur
A
e
[o
Ou,n,(.lul)
$ [h[n'l ,s
txlrtN,Ttf
)
(.E
TllERE A<E
^ND
HA\
Nor JuT1g5 llr srA(rL r
strr
n
A
coDruTArJLf
EvunLMT\oN [Á' l
lU/-l=oo
:
ls
,.
u, s. T, V.:
} :*"Jc (**Wé,ot.A x€Á*c,r)
\ W. [s- I
KvBRA : lF j !, V' rs FFF
!V.,Rrr
) 3
_T
tV.
Ltl
PRon PrL-1 srnPrE
a
C. E.
( to,?
1-b)\(
rEt B 4r
)
S
.-
3/t
EKA}1
:
l|*'#,}
I
[ur-oRrTnlckn, xtqtHobNosr
LET { lT Ď' RE trlXED-PolNT FKEE
wtr Býlu> L 4' $ To J4lseY
R..: IW.l:Ó Ž JxJs [*ulÚ",ot, A \eBr)
DURIN G CONS1.RU LTrotrt WE DtT AuXl L tAR.1 Con . h
&T TrlE_ Sra GE s : FoK EAu=l r_ 4 s S. T.
:
p
{
. Re
l_l
L- sOnE
3.
Nr
ot
x)
YET- í\ET,
rvrqx
[2.,
)
J,(h1"y) = $.t),,(.)
E\hJrtERAfe
t\m B
tl s tN
c
Tl-lE
l3 rs c
B ls
E
cDtrrN
lrxro
B
x
h[") I lr rN
FoK ALL xlt
RÉcURJlON T}IEoKEA
,
€r
W<,ot
Ls
s/
,+ND
W',t 1 = V*, (t (.)
)
Ar n0$r oNt x lr plrr
Fon THE sÁKE oF E^U't Rn
x)
ITE
BEcAusE
2e
Entt (. ls nET: JÚPPoJE ltv. l=ds ^\lD
u r3E s.r. $r[r,r.t)= S(hr.)) roR Vt:u.
:.t
.
.03 Loi4 n,
PErrn esnvo
n/,
Q_e
At
GOR ttH
Í-) l
C
R
qNu On\íE'S
K'clnoGOtoý Col r
^
-IrntN{
G
Í-
Iil T'+1
C5 (o)
fr /i
J
rt
^EtPtCr
T'o S
RANDCQ nSUnilrvf
DEJ cttrPT\b
(t.n'*) er
7O J , Lt
t
rF
"-
2<u)
lol
6*(o)
t'\í JY JTEn)
PAnnat c,oDr U , 21'-, 2-<v
- UNI|4ERJ4L
FoK EACI4 PÁRrnL C0fir. ..f 'L" ) L<'
-nrERtr_ ts + sTRr (,
Vc IU(ý+ď)= }co11
N
f+
Í+ CoDxG .frnrV6,
lIe I cObrv[ CoNí\7,
:
(ruq,N
) Kou
<
tr)
3,,1
4
tr)
(r)
Cro)
conrrEx,ry
1g
C (o) L l"l + 0(1)
C (nn) L Cto) -f 0('\)
l^
,
ť-2''
C (L (."\)
L-
Clnr
+
-_/
C (n ) + o(4)
}rERE ls ft €A\r
|
Sr U(T)LrlJ=t tron gNE" 0n Q'RE_
jVPP
orE (
(o-)
cu ("J
=
/ss LEXICccRA? (EAJT Jv(r-| T
ť
stpGE
T
t
s
lo)=k
llf
: C(t,
,
Vn
Ct o))
1r, lo
)lnn z'
s
T-
l=
C ( q") Ť 0(íl )
C
,
tr)
:
h
C[' zl -l--lJ/ > z'(1-,-')
3_]l.3
l-Hr.ore n i
J I q.
LoNG
--
FIK
L
lr
ť
Ís ru'pPt CIEN7L.(
3 lNnAL JEGaE\T r 0p ť
Cto-) <lol -L
)
ť
bllrí,
Prrrn
% o3
,-Á
c
ALCroRtTrt nl
MNponNE'J
ernvo
s
\
l
j
/nny \ÍE
rvprNrrr cE BsAr Ls t, BL Colt S.t 1
h(n) :-- Fr\sT rrRrNL cr l"l> n TI2 E\/7ER. B
.lp
)
Co\lDr rlo
F
(AL
coD teEx
C("lt)
t
::
r^ain
t
AI
uu(r),
:
OP
CODTVG
lF T = 4o -.. Ctnn THtrN
ls
U
n/+CvlNE-
1
PrcF{x-FREE
lT
Qooo
t1
---
Ctt)
C
l3
L
C to., r)
:(
r
T /V V
;
t-Ú l
")
Tl-lE-oREn' T.tn'r) : l. G'a) r
THECREN
Q^Qr 01
-Í.T n-(1)=
-I{nDETR] OF ltÝtoRrtŤTto
(rulN ) |NF9RMT76Kí CoÍvTENi- 0F
T.[', t) /:'
ot\
Ť
L
PosSIÍJG w DErrŇ€
1.t.1
A
lrY
)X UNllÁ.R54L oRAcLE
cA (r)
FoK -I)R.|Nb Í l
,
o [(o? C tn,r))
G )") +Ct')10
[(og
C(',r\)
lryrctn+loN -THEORETTC CHqru+Cr
lF A{s Conr
) ([ÁhIn)
OF
ContuT.
THuonen (LovE',4ND) ; ! -. - rNFrN. conr sEr
3'q'{ FoK EACp{ 9 }e(e +KÍ: ONcY Fíxl. nŤNí
,
.Í.T. C(A\ l, ) Í e Fon 4cL ,eX
EACH^J Utq A í_s coÍ-)rUtAB LE
-|'-uecREn (cHAtnN)
' A u CooFUr+DLE €>
sEIJ
m
ctAL)
!
T}IERÉ +KE gŇL.1 c tzd
C( A Ln) /= C(n) +
Slnll/KLv
=
', A ls
rvFrN. coDr.
otr)
c(n) '-
,1
)
h/+x/r
+
s
vn
"T
V^
Cantur,tBuE- <=>
rET X
-r T.
CtA\) 1C(n)řO(,l) (neX.
Pnrp /X -
fneE
rl'4c
r-{
INE-r
A g ?-<- |J r^fpx - pntrF
wtl+l REJr
ru
F
lT /s
M4IV(^L PARTW|
/Ť\tn Cqe(v
O^DERíV G
o-eÁ & r{t _? o+A
PtsEFlX - Fnei PýNcnQ^J / ,*rHlVE
PKtrF/X -FRffi
DonAíI!
'J
- í>
0
p
Q-"
.
37,
oe ry41 n"
frrsq C5pN6
2--.
AubgRlTl-Ír)
/c
RANpoĎt /E_lS
P,+nna1 coDp. pKtrFr1-FREF I ; L".
Foí( EAct-1 PryRT]4L rREFíK- FneE J
lss '
L<'_ . _
,
Vc Lv(ro11 v {("J I
'L*"
_s
uvtV
2<'
wE F/x uNtt/Ef-nL pRfFtx_FKEE ORACLE_ n. u
tVE rusC FrX TL.ltr Etv/l-)Xn *TvcV W , T,
otr 4Lu
PART)4L
C
0D
r.
rg.Flx-
FKÉLl=UN c1\olv s
corcoV ConrL€Kli--1
K(r) i'j Cu [")
, lr h , L", L<v' ls coDrurr4lLE
3
sr
,,
Tuprrt
K (r tn))
t(,(") l3
t lr
t/E #}JU1E Tl*{Áil
(srvcr
t(
nrirr
(o)
I
I z l,[c) t,l
( G)
1-lo-l
+c
,t
:n
]
|s fuunvs btrpíNEb ...
)
(a) (.r CoDTuTAB(E ,
K, (") : k,*1 [")
K t.) : L,^, l(, [o- )
T|{ERE ls No ltmt+ L Conr. S
l'{..
wY44
UNRouNuED RŤN0L s.T s(n) { VyG)
WHE-NEI/ER S(") ,1,
.
i
TLre
lr(
C
TleoRED
Fronen (KC )
3'
6
1
: LEr
CoQpurttlLE
^
l/lT]-í d...
h'-/
di, cr
(
)
,.-
JEq oF rÁlRJ
Á\p
C{' e L<w
BE
(nrpussls
Jy(Y
TwET
)
( 4, luev THEKI E^ťsJ ft
rREFtX _FREÉn4tl1 lNE n Axp sTRíVc:
s'T' 11 (r') - C
q Or L€t'{GTl
Vi
{c
rd'
&u> don
lr\prx Or
Fop.
|,l
:
ol
'
(d,,T,),*"
0.xi {i= 4
FOR,
:0
q:Od'
Í|
,
Td'-)-
EAtq ,)0
xl
=|
Tr2 BE
d'-
oF Y
.'
_L.t- dn
:
.-- sTRlvG ďi
,
|ďil
1
TIlEFIX -FRtrE
0,ffi
Jo
:
WE- DETINI:
)
INDE^
Lq : iLn \ u tal ,xi -\
IS
I
F0rt
EACH l.
Sn,=
FOR
1
E:5i3ŠtY
[C:ie,^,,
EttL1 n Ž0 DEFINÉ X4
lNl/ARlANf
'
ftoREoER,
'1
-[d,=
+
4 €> 4tk( r|,
al = Dt-n 1 l-oK V tLVL Á.
xi
=
=
[
1/,
2_f"
T}ttT
'{sJur)E
(S
r
REF IX -
casr4:
TI{EN
LEr:
5,,
rnEE
*h+4
ls
={n:tLn l u \ťť
Tt-rE
=
*LL t+
troR
.
=Jrr
C
FIND THE t.ŤnGEJT
*T'
LET
ř0JtTt
:
%*1
,. 0\ I
::
ď[' l: 0i
15
llr A
ó1^\
dn-.r -
0k-i_1
r,u
rlE
1
l3o1
THe sAí]E Sn ,
Pn rp
I
X
n
lN co
D
r
^).,'.,
=
$
dn*q
xj
oN{s J,--.Id^l
ďl-1
5n*.
=,1
PREFIK -trREE.
j
'l ls THf JÁnE Al
FoK
^l
SADE 4s X n, ExcErT
q+{ ,= 0\*n
:
*
1n,
Xl,.n=4
ďl-1 ,= ť:
APFftKE\fnY Jnq
CAJE 2
XJ,.'
Xn
ro t
PÚEK esnxro
íc n4Nu0 hNEss
A rcgRlTHr]
0t
EX [E
=
I
rř
FOR
J
Fott
C{1.
J
(
dn*,
k<i ORL
EX cÉPT
.eET
0i=
ď ts
NEPU}(Eb
suPERsrelN CS
t
ry)RRoueY
: LEr
x-('t rua{
4 2
3.?
tr<L<,
[d' r ti
K(r, ) 1d;
r
2-(co-;
),.-
BE
+O(,1
).
4
KC
4
I
/t/tJPREFIX-FKEE)
l
#,rÍ<tc)aŠ,^['"
lrl+ l-bgltl
V,( 3t' ((")
Ktr)
rF KLr) 4lnl+
12-lr(r)
Út
(o)
lol
+
+
o(,r )
fl f a, *1.*
la|>O
LET J,L<rsN ,
{tr61<u L-+t"l ="c
ďEn,
//o
or ?-041 n,
Psret emruo
T
2-t,
lC
At-c,O R lrT-{D
KAUDoANES-I
CouNr,NG TgsoREn
[i
)
3:.r.
rr,rqxtK(q-),lq-/=hl: h+l/.(o)
(iť) l[n'
1
2h
-r
|nl=l.t
+ o(l)
k
-)
lx(n)
tO(l)
!h+K(^)-y-]ll
POEs Noí- pprEŇ)
oN
r- ; |lvFon Ú"\Arrr otv CÚ\rENr DtrAs tlKL
r-7 7
ls A P+LTt,eL Pul./ c. F , 2<' n /N.l
Ft')
21
De
{,r[n)J
r
n
Ir
(, , n
:
4
L {t.,t):pt") ltl rs cE
l,ve
cr+)./ Ervr,rnEfi.ArE
;. c.
ll.s
Fo ,
E t ---
ItNtnlAL l. c.D.
t Fot") + lc+4 1
ttt") :r
niJlf
FoR ArÝr l t.lY. 1- , ( (n) ( F(n1 t0 t,t)
lN panncuLAK (Cn) 4. Kt") +Q(q)
t(k*'t ,o) : F(") L k 1 ri l(C s5ď
l( (o) ! F(n) + O(4) Vaed,* 1)
,
J
PK00F
{
c
1-
OFK (r) (t rl +k(1 rl ) r- D(4)
(l'l tK(tnr))
1_-
n
k(r.l) t5
K(") 1l nl +kU "l
o^
)
)
l-> \"1
PtrtooP oF
LEr (r
tn)
(n
+k("\)
-í2-L<(^\z4
+
)
(
Q-U"nble THEorrD
::
l-- tog
(Z.ern
[.r_i
7-u'(o\ )
l
'F ls lt.D,
ís
Cr )
I(n,l.):F(^)(L}
l_J-t ItvrÍ]AL(TY 0p k ] c s.T. k(n) !FG)+C
-c
) 2-Kt^t ) t.F(nr ] t {, aurn 2-Kt") (ern e L-'-t)
=
PQJE TH*r rvgnt 4Kí= n OR€ THAy rlh-r t O(tl
:TRTNG\ oELh J.T. f(tr)t n+)<tr'')-r, I.E.
troR Sn,r: [re Z" : I{(")4h+l((.) -r3
Wť- Hnrc lSn,," l
sU
t
TF{EN
2--(t't
I
,1,0-eln 1-
Z t . J(n,r ) 2'-' .L-n-ktn)*'
( oR.&s Lnnv
' J c- t-J
:
t(
Ktr\
(^)
]
1-..nZ 2-K(")
ae2t
V^.
ah
Lt-05 L}l4Tu
)'Ere< Gzuo
firGoRlrHhlc Rq\rDohNers
plEr€
L0QruT4BL6 UrrER Bou\rD orv k(c\
:
lS
9
^
T1-1AT tJ /tcl-ltEltnĎ /NplN tÍE-LY OFTEN ?
-[ptERE ls
A ConpvrqBr_t
THroREn [SouovA'1 ) '
l,4Z
-á
\:2<'
4
{
(i)
t(
(")
tli)
)<
L")
Pncop
SUC'r T]_12l-
)\l
troR
bU )
1
:
/(L a / lvp
(ol FoR INFíNnĚL.1 \,1VY
I
C0\I\TRUCT
^
PREr lX -pREE_
D+cvl\íE n j. T
sr Utr)tr1 rt, rvEN
Tlqeru. ls ceNJ í,T 1p^,lA(lt|+c:
DEFí\rL CoDruTABLE J : Q(p ) t+(s)l
lF s lJ LR^sr
r lr
T
Krr.) ((n,s)) 1KU)
)
rF
GAsT
J
((n
).
K,
11
+ -deN
DrrrNr
)
a
s)
J.
s)
U(4,)
(r',
,J,
rlrr,1
K(x) Ě0R ÁLL X
C0\{S|DEK INPNÍTI-L1 h+lv r (n, s)
Krr,r [^
(.)J= (n,
:
*.. \r.r
(nr) ,
CLEanl-, 3U) >
gtx) =
0-
r
l( (^)
(*) i-- 0 (.t 5
+.
!
=
( k)
+
Ctl)
s.T. ktn1=krt';
.
oo-r],ŤŇY r)DEf
F/V/TEIí MIv1
4
*xlo
REroLrrE _/
D
T.
s:\ -) lN con tuT
foBLE
341<
Ktn) 4 $Cn) + D(1\
(r)
tii
F0&ourtr\tc Anf EQ.
.
1Jn L
;
(ii) ru' nql : {n
!;:
DEF,
2-
ou'
FR0n DrxrrnAqT"l 0F
[i)
CoDrun4B
3 .42.r
--_.-
€
XA
J'lN+
-Ior-o\,nq: puN c?oN{
r.E.
Jcefi
oc, AVD
\ /F ls4
'.
+LtR €>
Kr
E
${n)-Kn)
[i'ať'r5n
J-n ' $(n)
CF RELAIyE
:
Ye,+suRE5
K- REouCtBlLlfl
,
l_C.Íf .
('o
+c
R+NIDoTINtrJI
nň
1ktua) +C()
Jotlvnn RtrDuLI&LE IC-?Eb.r 4-4:B)
ts
^
]c AND PARnAL colr S'qj O
t13 geQ A)vD 1
:
4\rD d--SC1\ <
1;
Ltrr
c[n-1)
.
1,
Bt Co Dr. s[ 0 uE iv trJ oF RAn
( <s ll €> 3. ,1vO C0nr. A
( (n( - Isu)
r)
c
o V,'4-r_t
s.
T,
ttr
:
n.o\
?/,
Lo(4T^
PErEn eenx,o
At-cOntrvn rc n+XlDonNEr
JoLo\14'1
REDUCIB/ LIT'i
LEní\A
Vl elN
9.4.L
Vn eN V
T)'ltrrV
FIX t.
F,Trť
ck e/\,/
t)=
ť
i;. CG)
5)
-rt'lE0
cÁ}..l
3.í t1
c
l0,o
ngr't
CRrBf
Dtr
Axru
$
{z_,
lln
Th €
2n .I-T. l0
- o.q I {
L-n +
c Ln +
l/,-/^
L-h
cn
-
tc, (
Ow
tt
AN>
)' Lu
c
+l/.
B
Lk
0 , {l;
n
[R,,)
)
I + | "r"- J(D^)
I
$.
,
4cR
k
í* Arlp Fcls rI7ýNí
Gturvb
-tr
),
rnor{
=)((.)
)
{ 4s R
)
Q-L-'
DErexps OVu.
teS 81
C (n) r- O('l
(_
:
l
O, ú-_01l< 2'n
:
RED (c- KED.
:
DEFI\E R^ :: 0, [ll) , )h i:
F-D. ŠL-n
LEl-
K-
lnrLf E5
C [") < C(r) t ck
troR reť Tl-rr J lZE oF
Ice
LET
J
I
+l0rn- +[8.\
Lk-n
K("tu)
cn c4N uE oLl-+íNE-P Fn-o^ J ( h
K({l\) 4 K(ru) + o(1) tr
n
)
le
"{
r-rElv
lt
DEL FrALnNG
3.4]. (
l.l ď
s
4.5 + S.t
(ť
)
T)jt
44
|-lE-
[iť) ]
17
WBILí\ jl-
([.oto^,l/
lF ,( lJ
Lmll
PKo
d-
]) : {'.
t\
or- 1)
dru14,
2-l"|
LEFr* c.E REAL Tr-tEV
"1
F\Lotr/tl.{c 4nf Eeulu4uENr
LbL l. lj
t-E'T- C
n
1s
;
E-
( -, J(.itť) ]
R+T. t, T,,..-: {.
!,rrn
(iv) f PÍ.IFIX=FILEE n
{ d.| drr. l-1 tr'
[v) ] pnEprx-FREE c.E. Ac 2.", r.'. ar"; '2-rnl
tu,) 3 PP.EF]X-FpELcoDr _l;__
tr,ii) I {i cuJJ C : {:
6K\
(uiii) f
n-; CnsJ P s.I l ls fllE LýrT Eu:n oF P
3 cODr TBer T s.T / ls THE LsnrírDsr ťntí
';^)
LtrT {BE 4 Lepr-CE.tE^L/ n gL Rrq€FlrN-[-REE
s-T 1-ť([/""nl), T br5T. (/tto)=n(n)
[e wE C^V ,4trnoxrnn7L ír t,^ltrvrV rt-'-(ttl tn
s€t , 0P
COnr sEQ. 0F
C
0n P.
Í4T0\,1
L5
1, <
1^
'
=
al.
íHe51 WE C\^/
IF
-O
SI,CH LEFT- C f.
!\ t
R.
ArrR0 X
rí-t4rE l-
/
ř
ls
l"r
U)LLFD
4-
Ib
)
{/[ftí)\l 2-4 -
n+vDoh
JL-L/r(F
tr
L? 03 Lo4tn
PErEt Gqvo
3/a
Ate cRl?_Hn
lC
RŤND 0nNsss
KuGRA- .Iwntv TveeRPn
)F LEFI--C,E.
:
"( ls 4- r*upo/l rHEv tr _fL -LrkE.
LEr I\ BE LEFr- c'E. LEAL Utt- sHcw R L s /
L-Tnrr Un
DEF rNE
Jl AGE J : lF l' € U, L'l
D9 Non?lťv6
OI-|EnwtSE t-ET t DE 'I]-/E LÁ}T rRe uous rTf6e
IJ
1"1
r
lcl,{ wE- PuT AN,1TH/vr, lb./n2 u, ton t.o)
I rur rNrERr:r. (r, , /, + L'( R,- i,,)) )xtrrc Un
AT
h/tt
t/E l{,At/É# [U^) (
1 n , ( + U^
ÁT
t/Hr
THEN/ FoR
THroRtrl
9.q.t
(i)
(ii1
B
Lrr
CH WL ?Ut
i) 0 :
THev
J lJ 4
-]Esr
So r í,t, __- BF srActr
_s0
nL
nE,f}/rNř
tx/v
U
n
"(.,un-lr,
, lEr- {
A
con?. FrN cnov
TTrc. troLLo t"tv n ARE Eg ur7,
BE
;
-lotoynv tr/NcnoN/
<n Z-$Gt lJ A ,f - n lmun (EAL
cuR&owKy, 1
TnKE
J, T.
L-n
r on
NOX/D-CReq.jlvG .!21ovA1
P, JEQ, f h
Z, G rs
3nru
,l- ru+xrp"lD
\, =L-
IFT 5(r)=-(o${n)= Ln \--
tr
k^
,
FUVQTTOV
kr < k,
LEN\A
J .4s.
r
lr= kx[AI^)
:
FOR
I
kx(^)+O(q)
sÍs,)VFíNp€
s,
A4TJoXí-
ryLL n e
Tl--tEŇ
LEr f= [o, Vr<"(ftle
J
rr (s OX') - conrulquLE IKEE / fr e trl
Rv KEt^ílV. Couv'. Tl-lEgR. T F4I BoyNDED l/ íDT}í
) A ls ls0tryTED tRr! (sgx') -coDPurÁBLE . a
T
ber-. Y lJ
LoW FoR 4-na\rDol-txíFss
y
7o
f
REDuIf DLE rb X
R-AEDuctscE
t
Y 4ln X /p FoR ALt Z
4tr't
)
.
Z ls X-
1-Wt{Don
THE0REn : TltE
í0'5
4 [i\
trcL
=)
uot.rlNt
Z ls
,+RE_
?-l-R1\lĎ.
Eg r)rVftLENlT
:
A 4un B
1ii) fon LwRy t:'o cL+JJ T* t ťft) < 1
f t:'t
cmss V^, u (VB) <'l ,, T4 s VB
riii) FoR soaE uA oF UMt lÁzuÁlL L-re.,r r
3 C;'u cL/sJ V' , óq(v')<l , l)+c uE
ls Lo.u Fox. V REou cr'BcE lD B (rt< - nea )
|_7
A
A
Lu<
B
l-HEcREn
40.r,r
rF
:
.
KB[o)L(/+(n) +0c11
A4uB<7 A!*8.
(€
l5
TR/t
4.)
1Á
2t.o3 L-orllTt
PelEt@xo
AftD Rt rH n
rC
RArVDct-r
ve
ss
K - TR-lvwclT'l
KEI/LL
Cr+
lnN's
TrrEoKEÍ] ;
(=) C(AL)4Ccn)+0c4)
Tueorrn (CqnrnN ) : (coKR0t/nr oF L-7rr.r)
AI
rr
lltEl.J
A
+
,
rF
l;l KtAl.^) L )'((n) Orn)
A ts
F
1l.l.g
conpvr+BlE
lNíF,NíÍÉ
K(Ah ) L K[')+Ota) V"e I
TpreN AL-r sO0'
ULH c nrerutr ARE oc2') SL^
rucv r)-nr K(nh) ( k('' )*c
A ts l( *rRlvtAL rF K(nu) 4
Fon
pur
t:
/1.,1.r{
:)
!
mtnRe\nl"1
K(A\)
!
l,(t^) +
: K(At
!
l([* hr,)
otl) VneS
K-rKlv'nL.
Als
)
J-HEcnen (znnuHu*)
,t4
.4.8
WE-
\lo
t.í co D
rurABuE
:
*
lNF, coArur
o t'l) á K[],'(^))*0(1) 1 k(,') t0(4),0
TtEnn /J
A
l(-TKlvu?L c
DEtríNE N0Nc00P. CE
A
AT JrA G1r J I
Itr \^/E SEE Á spt0mgR
Jrr A
c
AVD
WtW
E_ ďE-r
.
KC rLr L
1l(o)L'lf=n
E\lýn€R4TE REQ/Ls]- (lnl+{, Arh ) lurrr L
IFTUER,E ls \ Axne (.)n>2c) Sr.:
\^lE
)te, n e W",, , ND
K,[i)
L
,-(e+L) r r_/Exl
L
Z
n(3{s
\X/.,r
0Ár: v ,
h
:
TD A, r'E. 4r*,(4)+4,(^)
ÁtJ ufl{EN ron€Acl{ Ó WnH h
WE
tr).tuDEJLArTE
h
FoR TI1E cuRt€VTL-1 SH0ATr:Jr u-FRocMD nJ trot i,
UE- Alro E,Nurn€K,,líE KEQJEsT (tql*,l A,n, f,)
T,c L
,
CLf^RL"1 tŤ
ls cc-E.
A |s
cE
L = 0 , l* |^I, ls lÍr/r-)NlTE
izr" LKti)
* 44izr"
íHpN ftqlx/. + T.
T
srrvcf h ls COrNprNrE, 4 ['4Lío NONCODTUIXB(E.
._-Tve uru;ttHr or- L I BOTAIDED bV
s
tN
(i,'*
(i,,
/
.
t,rnao,^4)rf(ld+lJ+ 1"2-L'n4
( i-{
=1
) Br KC THEpREDT f'rrcE (Ktn)+I,Al))eL
r/E tlnw KtAu ) L [n) + 0(1) !
)c
c tr, s) :
CCST FuNtr/ol'1
{,r(j r ,
L-K'
(d)
Cosr oF ENJnER*nNG h /lV7'ý A &T T'DtcE
vnryrr0wj : UE- cAŇ/ YwKr A hx.onn_Y s/nřCE/...
-(
fun
0
C0 NsT,<U(n'D
F THE
S l/')f
u DErEU}( 0r!
\
Ct
rf
REO
t/
IRE
o&ĎERÍMG
DFl.lr{
-_
!
n.oe
r/r,
I'EER
Atc'oR-| TH n l
C
R +t{ D o
1ŇE
ry|I Tu
Ctr"NO
ss
Solou+y FuNCrloNs ANID l( -TRl vnLrry
I<EGLL
JT
;
,
r-,n7-I('taŤ
J';Pt
lr
,1 C onr- puvc
ÁNlJ^n;$(n) 4 VU) + O(í)
S0UoVAY FuN cT,(?N
cJF TllÁr FOn
V ConP
s '!,T. 1,L-tťn)1 <r
1-*tn)a "o
) 1J(n)+'{r).
k
3 coAr 5 s,f {n
Tr-rrx Á lJ c\DnPu TryBLE
^Un
LET + Btr * JotOv,qr Purv( cftox/
) ] ConP b sT z-t_tb) rÓ & 9V\)1&(,n) +c.
LEr d BE r,r, k[n) r gG) *o{
41
n
LEr e BE s.T.
J-n :
FCR nNY SUcq n:
J[n) z k[o)*e
lr../ ,1kt L $[^) +c1 l4 ,/counrnvt^t3?'r
re z^ ' k(" ) L- K(^) + c*d n*\ \ 4 2c#+e+o(1)
II
lT
cUŤJ: I Xe 2"
|-.{Ás
IVr
Air
ngJT
,
Vn ' ? [Xt) 1 f (,)+, J
nu Arul Col'lP. tr
L'*d+etOrr) EtEnEVrJ
)
urE
)ouovAy FuN crr oNJ
Cq^nA crER.tZE lÁ - TRtyvqlrrY
(n\r
.
TD
Trrecrcn
41
A ls K-ru Wt €)
:
CODP,
t\
S JT
FoR ftu
Znz^-$(")a'o
k(^t)1&tl) ř0(l)
L. ? lL.a : Fox. ALL (onP.
))
REc4L!
{,n /-$cn)4
"o (=)
k(",)
1}G)
l
5
+ 0(11
€ ) LET 5 BE 5olo VA'1 tr uNcrrlcv r=no 0 T
KEcAtL : GllÁ\t n, LEr _f BE LE+J7
'.r
z
rHE^v
1.|lz.
:
K(n)*o14)
Lrr'tIrFsr K(Ah) !qf^) rO('l)
C1u€rr/ n LEt s BF LEasr Í. T.
K c^, K(n)
LET hzr:(n,.). .ílN(E n C+N&tr CO1P. FRol) h4:
KrA l\) 1 KGh) f o(1) L g(.'t +o(1) L k(r' ) +0(l).
l^,(n)=k(n).
b?r,s))
=
+Ars
THr
lX-Tpr
For Lol/rN (| &RE
(i) ? rJ A
[i
vnL.
D
rr'-l0\Ír Pruo0r
LET
LtT
l(T(.)
G[.')
conr
.2
l((Al'^ ) L
$Q
+ 0(1)
..lotovAl tr/Nc.
i) A ls K -rxrMAL €)
(w
A
EDvtv. Fon
\
)
-
t ,4 ;
l^r.T ( .) l ,
Vn
lr
l,((AD.
) Lkf^\
CAN l]E
(rrna.
fcl
ýHoh)rJ
(r( c )/L* =Q, {.GO/L'
fEO15l '
JlPxen I ( \ vt.
I
:
rVr:
T] o1Lo4ln
%
řtrTtn eo<r..o
AtC
oRtrHnlc
R+
xtpo D Tvtrs r
l^rcwNEs s
lN coqrulTnÍ5lurTl A
EQul/ALEx'iLr
: rt ls LoW /F
vr,r1
Íl
DEE.
A'r'A
Al
=-1
-
W'
.
A rs uotz trop. R - RANDonNEss G)
DEF'
.
lF
{lsLow FoK L |E^lť=C
GEx/Eut-r2AT-ro\,
44.2
LoW
15
É.
:
41.L.1_.
r*xDon SEI )s
R-
A ls Low ÝoK Ř -rEurs
E-ELÁTIV/E-
\? h |J
T\c
lr-nnxrD KELfiT.
|F EW^K1 R-rnrr^
rcl€KED l3v
ÁN
UN]REUŤn\A2ED )z-TFJI_
A ls L\u/
t lS
DrF
ln
FOR [\nn'Ý - Lóp TEsrS (=)
Lot/ Fo n 4 -A^\íDoDxrE-J s
K[o) f k+ro) r-Or'l)
A rJ Lov r=oR K
.2.3
-illE6RED
<)
, ft
ls
L6r/ FoR
X
=) fr ls KK(n) +0(4) n
tR t\A+L
KtAh) LK'+G\)+O(r) !
TueoREr\ : A l\ Lo\rl FoK )Á ) A lJ Low pon
X ls 'l-uxrDcn ) lť[Xl^ \
A ls LoLd FoR 'l -n*rvo €)
Al\LowFoR(
-
4 r-r 7r"',l
€)ALrcp!
^
tr
.
1- RAnlD.
)4
-
[J(1),
D