Kolmá axonometrie

Kontruktivnı́ geometrie
pracovnı́ list 04 - Kolmá axonometrie
Kolmá axonometrie
Definice: Kolmé promı́tánı́ na tři pomocné vzájemně kolmé průmětny (π půdorysna, ν nárysna, µ bokorysna) a s nimi různoběžnou hlavnı́ (α axonometrickou) průmětnu nazýváme kolmá axonometrie.
π ∩ ν = x 6⊂ α V
π ∩ µ = y 6⊂ α
ν∩µ = z ⊂
6 α
x⊥y
x⊥z
y⊥z
⇒ x∩y∩z = O 6∈ α
Počátek soustavy souřadné ani souřadné osy neležı́
v axonometrické průmětně α, do α je kolmo
promı́táme a na osách zı́skáváme zkreslené jednotky (obecně na každé ose jinou).
α−axonometrická průmětna;
π−půdorysna;
ν−nárysna;
µ−bokorysna;
x, y, z−souřadné osy;
π ∩ ν = x, π ∩ µ = y, ν ∩ µ = z,
x ∩ y ∩ z = O−počátek soustavy souřadné;
xa , ya , za −kolmé průměty souřadných os do α;
xa ∩ ya ∩ za = Oa −promı́tnutý počátek soustavy
souřadné do α;
4XY Z−axonometrický trojúhelnı́k;
α 6k π ⇒ α ∩ π = XY ,
α 6k ν ⇒ α ∩ ν = XZ,
α 6k µ ⇒ α ∩ µ = Y Z,
xa ⊥ Y Z,
ya ⊥ XZ,
za ⊥ XY ,
Ax průměty os a bodů
?! Doplňte axonometrický trojúhelnı́k a jednotky
na osách.
?!
Sestrojte průměty souřadných os, jednotky na osách a body A(3; 2; 4), B(−2; 3; 6),
C(2; −3; −4).
Průměty souřadných os jsou výškami axonometrického trojúhelnı́ku, zkreslené jednotky na souřadných
osách najdeme v otočenı́ pomocných průměten do axonometrické;
např. otáčı́me π(xy) do α: x ⊥ y ∧ X ∈ x ∧ Y ∈ y ⇒ využı́váme Thaletovu kružnici nad průměrem XY .
Mgr. František Červenka 2012
1
VŠB-TU Ostrava
Kontruktivnı́ geometrie
pracovnı́ list 04 - Kolmá axonometrie
Každý bod má 4 průměty A(Aa ; A1 ; A2 ; A3 ) (axonometrický, půdorysný, nárysný, bokorysný).
K jednoznačnému určenı́ stačı́ libovolné dva, budeme použı́vat A(Aa ; A1 ) (axonometrický, půdorysný).
Ax zobrazenı́ přı́mky
Přı́mka je jednoznačně určena svým axonometrickým a půdorysným průmětem a(aa ; a1 ).
?! Sestrojte stopnı́ky přı́mky a(aa ; a1 ).
?! Určete polohu přı́mek a(aa ; a1 ) b(ba ; b1 ) c(ca ; c1 )
vzhledem k osám a průmětnám, najděte stopnı́ky.
aa ∩ a1 = P a ≡ P 1 ,
za
a1 ∩ xa = N1 −→
Na ∈ aa ,
za
a1 ∩ ya = M1 −→ Ma ∈ aa ,
Izometrie je speciálnı́ přı́pad kolmé axonometrie, kdy axonometrický trojúhelnı́k je rovnostranný (např.
4(10; 10; 10)), a tudı́ž jednotky na všech osách se zkreslujı́ stejně.
Využitı́: pokud řešı́me úlohy polohové (nezajı́majı́ nás skutečné rozměry, neotáčı́me) můžeme použı́t
na průmětech os (xa , ya , za ) nezkreslenou jednotku 1 cm (sestrojujeme obrázek přibližně v měřı́tku 1 : 1, 25).
Ax zobrazenı́ roviny
?! V izometrii sestrojte průsečı́k R roviny α
s přı́mkou a = AB, doplňte viditelnost na aa .
α(5, 5; 3, 5; 4, 5), A(3; 5, 5; 6, 5), B(1; −4, 5; −3)
?! V izometrii sestrojte stopy rovin α(3, 5; 4, 5; 3),
β(1, 5; −5, 5; 2) a najděte jejich průsečnici r.
pα ∩ pβ = Pr , nα ∩ nβ = Nr , mα ∩ mβ = Mr
Mgr. František Červenka 2012
2
VŠB-TU Ostrava