LABORATORNÍ MODULY – katedra fyziky FEL ČVUT v

LABORATORNÍ MODULY – katedra fyziky FEL ČVUT v

LABORATORNÍ MODULY – katedra fyziky FEL ČVUT v Praze
Sluneční
plachetnice
Elektrostatický
most
Magnetické
bludiště
Dopplerův
jev
Doppler
effect
Planckova
konstanta
Pohyb
elektronu
Drifty
částic
Tyto materiály vznikly v rámci projektu OPPA CZ.2.17/3.1.00/33306
Inovace předmětů a studijních materiálů pro e-learningovou výuku
v prezenční a kombinované formě studia.
Evropský sociální fond Praha & EU:
Investujeme do vaší budoucnosti
DOPPLERŮV JEV – MOTIVACE
Motivace
Ke čtení
Dopplerův jev se týká změny frekvence periodického děje při vzájemném pohybu zdroje
a pozorovatele. Pokud se zdroj a pozorovatel přibližují, pozorovaná frekvence se zvyšuje, pokud se
vzdalují, pozorovaná frekvence se snižuje. Může jít například o zvukové, elektromagnetické nebo
jakékoli jiné vlnění či periodický děj. V této úloze budeme uvažovat nerelativistický Dopplerův jev,
který odvodil Christian Andreas Doppler (1803–1853) v roce 1842. Doppler působil po určitou dobu
i na předchůdkyni dnešního Českého vysokého učení technického. Jeho jméno je umístěno pod okny
Národního muzea v Praze a je po něm pojmenováno pražské Gymnázium Christiana Dopplera.
Návod
Otázky
Příklady
Další čtení
Christian Andreas Doppler
↑ ↑ ↑ ↑
Příklad první: Představte si, že jednosměrnou ulicí jezdí v pravidelných intervalech autobusy. Pokud
pojedete na kole v protisměru (proti pohybu autobusů) a autobusy vás nezajedou, budete je potkávat
častěji, než když pojedete ve směru pohybu autobusů. Pozorovaná změna frekvence je způsobena
Dopplerovým jevem.
Příklad druhý: Déšť sice není přesně periodickým dějem, ale Dopplerův jev na něj také lze aplikovat.
Poběžíte-li proti šikmo padajícímu dešti, bude frekvence dopadajících kapek vyšší a promoknete více,
než když budete běžet po dešti.
Příklad třetí: Automobil vydává při jízdě celou škálu zvuků. Když kolem vás bude projíždět, bude
vnímaná frekvence při přibližování vyšší než při jeho vzdalování. Tuto charakteristickou změnu zvuku
každý zná. Zkuste si ji připomenout na připravených zvukových souborech:
Tady to v php krásně zvučí
(vrrrrrrrr). V pdf samozřejmě nic.
Příklad čtvrtý: Světlo vysílané hvězdami lze rozložit na spektrum. Ve spektru jsou obsažené
spektrální čáry, které se posouvají k vyšším frekvencím, pokud se hvězda přibližuje, a k nižším, pokud
se vzdaluje. Pokud hvězda rotuje, dojde k rozšíření spektrální čáry, přibližující se okraj posouvá
frekvenci k modrému konci, vzdalující se okraj k červenému konci spektra.
Vztahy po Dopplerův jev naleznete podrobně odvozené v návodu k úloze. Výsledkem je snadno
zapamatovatelná formule pro frekvenci:
f = f0(1±v/c), resp.
ω = ω0(1±v/c),
(1)
kde f je pozorovaná frekvence, f0 frekvence zdroje, v vzájemná rychlost pohybu zdroje a pozorovatele
a c rychlost šíření periodického signálu (vlnění). Vztahy v tomto jednoduchém tvaru platí za podmínky
v << c. Znaménko plus platí pro přibližování pozorovatele a zdroje, minus pro vzdalování. Druhý
vztah je uveden pro úhlové frekvence. Po roznásobení můžeme oba vztahy upravit pro relativní změnu
frekvence
Δf /f0 = (f−f0)/f0 = ±v/c, resp.
Δω/ω0 = (ω−ω0)/ω0 = ±v/c.
(2)
Dopplerův jev se využívá k měření rychlosti pohybujících se těles (vzpomeňte si na policejní radar),
v medicíně k diagnostice pohybujících se orgánů v těle (například srdce), v astronomii k mapování
povrchu planet, určování pohybu těles nebo zobrazení nitra Slunce. O některých aplikacích se můžete
dočíst v sekci „Další čtení“.
•••
Tyto materiály vznikly v rámci projektu OPPA CZ.2.17/3.1.00/33306 Inovace předmětů a studijních
materiálů pro e-learningovou výuku v prezenční a kombinované formě studia.
Evropský sociální fond Praha & EU:
Investujeme do vaší budoucnosti
DOPPLERŮV JEV – NÁVOD
Nyní byste již měli mít veškeré potřebné znalosti k pochopení návodu k úloze. Přečtěte si proto
podrobně návod a postup měření.
Motivace
Ke čtení
Návod
Otázky
Příklady
Další čtení
↑ ↑ ↑ ↑
V tomto místě je v php laboratorní návod
DOPPLERŮV JEV – KE ČTENÍ
Vlnění: frekvence, perioda, vlnový vektor a vlnová délka
Vlnová funkce
Motivace
Ke čtení
Návod
Otázky
Příklady
Další čtení
↑ ↑ ↑ ↑
Při teoretickém popisu musíme uchopit celou škálu všech možných vlnění. Od vody na rybníce, přes
zvukové vlny až po elektromagnetický signál. Při vlnění se pravidelně mění hodnoty různých
fyzikálních veličin: teploty, tlaku, rychlosti, hustoty, elektrického pole, magnetického pole atd. Aby
byl zápis přehledný, využíváme pro všechny veličiny jeden jediný zástupný symbol, který označujeme
řeckým písmenem psí: ψ(t, x). Takto zavedené veličině říkáme vlnová funkce a můžeme si za ní
dosadit cokoli, co se vlní, tedy hustotu, teplotu, magnetické pole atd. Položíme-li t = konst, získáme
časový snímek vlnění, například fotografii rozbouřeného moře. Položíme-li naopak x = konst, získáme
průběh vlnění v jednom jediném místě, tedy kmitání (veličina závisí jen na čase). Při matematickém
popisu vlnění je výhodné využívat komplexní funkce, význam skutečně měřitelných veličin mají jejich
reálné části. Komplexní funkci můžeme rozložit – jako každé komplexní číslo – na amplitudu a fázi,
tedy zapsat pomocí dvou reálných funkcí:
ψ(t, x) = A(t, x) exp [iφ(t, x)]
(1)
Amplituda A vypovídá o rozkmitu vlnění (může se místo od místa měnit) a fáze φ popisuje v jaké fázi
vlny ten či onen bod právě je (zda v maximu, minimu, nulové poloze atd.). Plochy se stejnou fází
nazýváme vlnoplochy, jsou dány rovnicí
φ(t, x) = konst
(2)
Vlnoplochy se přesouvají fázovou rychlostí, která nijak nesouvisí s přenosem hmoty a informace,
a proto může být její hodnota libovolná (i vyšší než rychlost světla).
Obrázek podélného (longitudinálního) vlnění – body kmitají ve směru šíření vlny.
Vlnovou funkcí může být hustota částic. Vlnoplochy hustotních vln se zjevně šíří
doprava, jejich fázová rychlost je nenulová. Samotná látka se ale nepřesouvá, každý
bod kmitá kolem fixní prostorové polohy.
Obrázek příčného (transverzálního vlnění) – body kmitají kolmo na směr šíření vlny.
Fázová rychlost je opět nenulová, rychlost přenosu hmoty nulová.
Úhlová frekvence, frekvence, perioda
Úhlovou frekvencí nazýváme časovou změnu fáze:
ω ≡ ∂φ/∂t.
(3)
Úhlová frekvence vlnění se může měnit jak s časem, tak místo od místa. Pokud je vlnění dostatečně
pravidelné (například popsané jedinou sinovou či kosinovou funkcí), úhlová frekvence se nemění. Pak
můžeme zavést periodu vlnění jakožto časový interval T, po kterém se fáze vlnění v daném místě
opakuje. Za tuto dobu se fáze změní právě o 360°, tedy o 2π a pro úhlovou frekvenci platí jednoduchý
vztah
ω ≡ 2π /T.
(4)
Úhlovou frekvenci měříme v jednotkách rad·s−1. Často je třeba měřit počet opakování děje za určitou
časovou jednotku, zpravidla za sekundu. Tato veličina se nazývá frekvence, měříme ji v hertzích
(Hz = s−1) a je definována vztahem
f ≡ 1 /T.
(5)
Například frekvence 50 Hz znamená, že děj se opakuje padesátkrát za sekundu. Mezi oběma
frekvencemi platí jednoduchý vztah
ω ≡ 2π f.
(6)
Vlnový vektor, vlnová délka
Vlnovým vektorem nazýváme změnu fáze s prostorovými souřadnicemi x, y, z. Jde tedy o tři veličiny,
které tvoří vektor:
kx ≡ ∂φ/∂x,
ky ≡ ∂φ/∂y,
kz ≡ ∂φ/∂z,
neboli zkráceně
k ≡ grad φ.
(7)
Vlnový vektor se může měnit jak s časem, tak místo od místa. Pokud je vlnění dostatečně pravidelné
(například popsané jedinou sinovou či kosinovou funkcí), vlnový vektor se nemění. Pak můžeme
zavést periodu vlnění jakožto prostorový interval λ, na kterém se fáze vlnění v daném čase opakuje. Na
této vzdálenosti se fáze změní právě o 360°, tedy o 2π. Pokud zvolíme jednu z os ve směru šíření
vlnění, bude mít vlnový vektor jedinou nenulovou složku v této ose. Ta bude současně velikostí
vlnového vektoru a bude pro ni platit jednoduchý vztah
k = 2π/λ.
(8)
Zvuk a ultrazvuk
Základní vztahy
Když promluvíme, přenášejí se vibrace našich hlasivek na okolní atomy a molekuly a ty se rozkmitají,
jeden předává svou energii dalšímu a zvuková vlna se začne šířit od místa svého vzniku. Atomy
a molekuly atmosféry kmitají ve směru šíření vlny, jde tedy o podélné vlnění. Rychlost šíření vlny je
dána závislostí tlaku na hustotě a lze ji vyjádřit vztahem
c = (∂p/∂ρ)1/2 ~ (γ p/ρ)1/2,
(1)
kde γ je polytropní koeficient, p tlak a ρ hustota vzduchu. Za normálních podmínek je rychlost šíření
zvuku v atmosféře přibližně 340 m/s. Lidské ucho je schopné detekovat zvuky zhruba v rozsahu 20 Hz
až 20 kHz, nicméně drtivá většina populace zvuky v blízkosti obou hranic neslyší. Pod touto hranicí
hovoříme o infrazvuku, nad touto hranicí o ultrazvuku. Intenzitou zvukových vln I nazýváme
množství energie prošlé kolmo jednotkovou plochou za jednotku času, jednotkou intenzity je W/m2.
Intenzita různých podnětů slyšitelných lidským uchem se mění o mnoho řádů, proto je vhodné zavést
logaritmickou míru intenzity, tzv. hladinu intenzity neboli hladinu hluku. Je dána vztahem
LI = 10 log I /I0;
I0 = 10−12 W/m2.
(2)
Hladina hluku se měří v decibelech. Z vlastností logaritmů plyne řada dalších vztahů, z nichž
nejvýznamnější porovnává hladinu hluku v decibelech pro dvě různé intenzity zvukové vlny:
L2 − L1= 10 log I2 /I1 .
(3)
Zvuková vlna působí na předměty akustickým tlakem. Intenzita je úměrná druhé mocnině akustického
tlaku. Pro akustický tlak lze zavést opět hladinu akustického tlaku, v decibelech má vztah tvar:
Lp = 10 log (p/p0)2 = 20 log (p/p0);
p0 = 2×10−5 Pa.
(4)
Ultrazvuk
Ultrazvukem nazýváme zvukové vlny s frekvencí nad 20 kHz. Ultrazvuk lze vytvořit mechanicky
(například v tzv. Galtonově píšťale) nebo elektromagneticky. Látka vystavená účinkům ultrazvuku je
podrobena rychlým mechanickým kmitům, které ji mohou zahřát nebo mohou změnit její biologickou
či chemickou strukturu. Ultrazvuk se využívá k měření hloubky mořského dna (ultrazvuk prochází
vodou snáze než radiové vlny), k čištění povrchu předmětů (například šperků), v konzervárenství, ke
zjišťování vad materiálu, k určení vzdálenosti předmětů a k celé řadě dalších aplikací. Důležitým
nástrojem je sonar (zkratka z anglického SOund Navigation And Ranging). Je to zařízení podobné jako
radar, jen místo rádiových vln využívá ultrazvuk. Využívá se k lokalizaci předmětů, a to i pod vodou.
Sonar vynalezl francouzský fyzik Paul Langevin (1872–1946) v roce 1915.
Významné aplikace má ultrazvuk v medicíně. Ultrazvukové vlny procházející tělem se odrážejí od
jednotlivých orgánů nebo rozhraní různých tkání. Z odražených vln lze zrekonstruovat obraz těchto
orgánů a tkání. V medicíně se ultrazvuk využívá také ke stimulaci biologického objektu, například ke
zrychlení dělení buněk. Nízké intenzity se využívají terapeuticky v ortopedii, vysoké intenzity
ultrazvuku se mohou cíleně použít k destrukci buněk, tkání a předmětů (rozbíjení ledvinových
kamenů).
Lidské srdce. Nalevo jsou znázorněny ideální pohyby lidského srdce, dobře patrné je otevírání a zavírání
chlopně. Napravo je záznam skutečného pořízený za pomoci ultrazvuku. Dopplerův jev změní při odrazu na
pohybujícím se orgánu frekvenci vlnění, z této změny je možné rekonstruovat pohyb pod povrchem těla.
Použitý ultrazvuk měl frekvenci 3,5 MHz.
Zvuk v jiných prostředích
Šíření zvuku v jiném než plynném prostředí může být značně komplikované. V pevných látkách je
zvuková vlna směsicí podélných i příčných modů. Za pomoci zvukových vln procházejících zemským
nitrem (tzv. seizmických vln) lze mapovat podpovrchovou strukturu Země, zejména detekovat různá
rozhraní, na kterých dochází k odrazu vln. Obdobná technika se využívá i k mapování
podpovrchových vrstev Slunce, ve kterém přirozeným způsobem vznikají zvukové vlny. Celé Slunce
se chová jako obří zvučící zvon. Nejtypičtější oscilace mají periodu 5 minut. Ze sond se sleduje za
pomoci Dopplerova jevu právě toto „dýchání“ povrchu a z jeho analýzy pak vnitřní struktura Slunce.
V ionizovaném prostředí (v plazmatu) je šíření zvuku ještě komplikovanější. Ionty a elektrony reagují
na magnetická pole a zvuková vlna má nejen podélné a příčné mody, ale šíří se jinak ve směru pole a
jinak kolmo na magnetické pole. Dochází k tzv. anizotropnímu šíření zvuku. Od místa, kde zvuk
vzniknul, se zvuková vlna šíří dokonce ve třech vlnoplochách. Další specifika má šíření zvuku
v krystalech i dalších komplikovaných prostředích. Samotná zvuková vlna ke svému šíření vždy
potřebuje materiální prostředí. Ve vakuu se zvuk nešíří.
Na obrázku jsou různé typy seizmických vln. Rayleighova a Loveho vlna se šíří po povrchu Země, P a S vlny
nitrem Země. Jedinou čistě podélnou vlnou je P vlna. Tato vlna jako jediná prochází zemským jádrem.
Zkuste si rozmyslet, která seizmická vlna poškodila tyto koleje. Jde o vlnu Rayleighovu, Loveho, P nebo S?
Jde o vlnu podélnou nebo příčnou?
Taylorův rozvoj
Taylorův rozvoj je velmi užitečný matematický postup, při kterém nahradíme funkci nekonečnou
mocninnou řadou. V praxi se vždy omezíme na polynom do určitého stupně. Pokud se omezíme na
polynom prvního stupně, hovoříme o lineární aproximaci, danou funkci nahrazujeme ve zvoleném
bodě tečnou. Pokud se omezíme na polynom druhého stupně, nahrazujeme danou funkci ve zvoleném
bodě parabolou. Vyšší stupeň polynomu znamená lepší přiblížení zvolené funkce. Metodu
polynomiálního rozvoje zformuloval anglický matematik sir Brook Taylor (1685–1731). Obecný vztah
pro Taylorův rozvoj je
f(x) = a0 + a1(x−c) + a2(x−c)2 + a3(x−c)3 + ··· ;
ak = f (k)(c)/k!
(1)
Bod, ve kterém provádíme rozvoj je označen c, koeficienty rozvoje ak jsou dány podílem k-té derivace
zvolené funkce v bodě c a faktoriálu k. Základní podmínkou, aby rozvoj konvergoval ke zvolené
funkci na určitém intervalu je, aby tato funkce měla na celém intervalu všechny své derivace.
Rozvoje některých elementárních funkcí
V mnoha případech se omezujeme na rozvoj v počátku, tj. v okolí bodu c = 0. Uveďme užitečné
rozvoje některých známých funkcí:
exp(x) = 1 + x + x2/2! + x3/3!+ x4/4! + ··· ;
sin(x) = x −
x3/3!+ x5/5!
(2)
+ ··· ;
(3)
cos(x) = 1 − x2/2! + x4/4! − x6/6! + ··· ;
(4)
sinh(x) = x + x3/3!+ x5/5! + x7/7! + ··· ;
(5)
cosh(x) = 1 +
x2/2!
ln(1+x) = x −
x2/2
1/(1−x) = 1 + x +
−
x7/7!
+
x4/4!
+
x3/3
x2
+
x3
+
x6/6!
−
x4/4
+
x4
+
+ ··· ;
+ ··· ;
x5
+ ··· .
(6)
(7)
(8)
Některé rozvoje si lze snadno zapamatovat. Exponenciála má všechny mocniny x dělené příslušným
faktoriálem. Siny mají jen liché mocniny, kosiny jen sudé mocniny. Trigonometrické rozvoje střídají
znaménka (tím je dosaženo periodičnosti), hyperbolické rozvoje nestřídají znaménka. U logaritmické
funkce platí rozvoj jen na definičním oboru této funkce. Poslední rozvoj je geometrická řada
s kvocientem x. Rozvoj konverguje jen pro |x| < 1.
Vyzkoušejte si
V následujícím apletu si můžete vyzkoušet polynomiální náhradu nejrůznějších funkcí. V horním
řádku jsou předpřipravené některé zajímavé příklady. Aplet je součástí celého balíku matematických
apletů, které vytvořili David Eck a Thomas Downey. Aplety jsou volně šiřitelné pod licencí Creative
Commons.
V prvním příkladu najdete Taylorův polynom druhého stupně pro funkci cos x. Kosinus je vykreslen
fialově, polynom (v tomto případě parabola) modře. Prvním jezdcem můžete změnit stupeň polynomu.
Druhý jezdec posouvá bod, ve kterém je proveden rozvoj. Poslední jezdec pohybuje černým bodem se
souřadnicí x po polynomu. Můžete sledovat, jak se hodnota vypočtená z rozvoje liší od skutečné
hodnoty. Rozdíl je zapsán v levém horním rohu apletu (hodnota Error). V druhém příkladu si můžete
pohrát s funkcí sinus a ve třetím s exponenciální funkcí. Ve čtvrtém příkladu je ukázka rozvoje funkce
1/(1−x), která nesplňuje podmínky rozvoje (nemá všechny derivace na celé reálné ose) a Taylorův
rozvoj konverguje jen v té části funkce, kde se nachází bod c. Zkuste pohnout bodem c, zvýšit přesnost
rozvoje atd. Pro c = 0 jde o geometrickou řadu (8), která konverguje jen pro |x| < 1. Ověřte! V poli f (x)
můžete zapsat vlastní funkci, jejíž rozvoj chcete prozkoumat.
Lineární aproximace
Lineární aproximace funkcí je jedním z nejčastěji používaných matematických obratů. Funkci
v daném bodě nahradíme její tečnou, což je v těsném okolí bodu dotyku zpravidla dostačující
přiblížení. S lineární funkcí se pracuje snáze než s funkcí původní. Lineární aproximaci lze chápat jako
Taylorův rozvoj do prvního řádu:
f(x) ≈ f(a) + f ′(a)·(x−a).
(1)
Uvedená aproximace platí jen v malém okolí bodu a. Pokud aproximujme v okolí počátku (a = 0), je
aproximace planá pro |x| << 1. Uveďme nyní užitečné lineární aproximace některých důležitých
funkcí:
exp(x) ≈ 1 + x;
(2)
sin(x) ≈ x;
(3)
cos(x) ≈ 1;
(4)
sinh(x) ≈ x;
(5)
cosh(x) ≈ 1;
(6)
ln(1+x) ≈ x;
(7)
(1±x) p ≈ 1 ± px.
(8)
Všechny vztahy platí pro |x| << 1. Poslední vztah je pro kladné celočíselné p začátkem binomického
rozvoje. Platí ale i pro neceločíselná p, lze ho využít například k aproximaci odmocnin nebo výrazů
typu 1/(1±x).
Příklady
Uveďme bez hlubších komentářů několik příkladů, které využívají lineární aproximaci. Nezapomeňte,
že argument trigonometrických funkcí musíte vyjádřit v radiánech. Nejprve odhadněme za pomoci
lineární aproximace odmocninu z 24:
√24 = √(25−1) = 5√(1−1/25) = 5(1−0.04)1/2 ≈ 5(1− ½·0.04) = 4.9.
Správný výsledek je 4.8989794. Pokud obě čísla od sebe odečteme, budou se lišit o přibližně o jednu
tisícinu. Při výpočtu jsme využili rozvoj (8), neboť argument 0.004 je dostatečně malý oproti 1. Nyní
zkusme vypočítat sinus malého argumentu, tj. ověřit, zda pro malá x platí, že sin x ≈ x, tedy funkci
sinus lze nahradit přímo jejím argumentem. Zvolme například úhel 4°:
sin 4° ≈ 4° = 4°·2π/360° rad = 8π/360 = 0.069813.
Správný výsledek je 0.0697564. Oba výsledky se od sebe liší o pouhých 6 stotisícin. Tento příklad
souvisí s matematickým kyvadlem. Na malou kuličku zavěšenou na nehmotném závěsu působí síla
úměrná sinu úhlu výchylky závěsu z rovnovážné polohy. Pokud tento sinus můžeme nahradit
argumentem, hovoříme o matematickém kyvadlu. Zpravidla se udává, že kuličku na nehmotném
závěsu můžeme považovat za matematické kyvadlo až do výchylky 5°. Prohlédněte si, jak se
sinusovka liší od argumentu v následujícím apletu (druhý předpřipravený příklad). Na závěr si
ukážeme, jak lze v některých případech jednoduše převést jmenovatele na čitatele:
1/(1+0.01) = (1+0.01)−1 ≈ 1 − 0.01;
1/(1−0.01) = (1−0.01)−1 ≈ 1 + 0.01.
Zjistěte, jak se tyto aproximace liší od skutečných hodnot! Pro malé hodnoty x platí jednoduché
převody: 1/(1−x) ≈ 1+x, případně 1/(1+x) ≈ 1−x. Čitatel tedy můžeme převést na jmenovatele tak, že
zaměníme znaménko. To je důležité pro Dopplerův jev, při kterém pozorovaná frekvence při pohybu
zdroje vychází dělená faktorem (1±v/c) a při pohybu pozorovatele naopak násobená faktorem (1±v/c).
Pro malou hodnotu v/c je výsledek v podstatě totožný, neboť jmenovatele můžeme převést na čitatele
(v je rychlost zdroje nebo pozorovatele, c je rychlost šíření signálu). Nezáleží proto na tom, zda se
pohybuje zdroj nebo pozorovatel.
Vyzkoušejte si
V následujícím apletu si můžete vyzkoušet lineární aproximaci nejrůznějších funkcí. V horním řádku
jsou předpřipravené některé zajímavé příklady. Aplet je součástí celého balíku matematických apletů,
které vytvořili David Eck a Thomas Downey. Aplety jsou volně šiřitelné pod licencí Creative
Commons.
V prvním předpřipraveném příkladu je znázorněna parabola. Fialový bod je místem konstrukce tečny.
Černý bod leží na tečně a je aproximací modrého bodu, který je na původní křivce. Prvním jezdcem
volíte polohu na tečně resp. křivce. Druhým jezdcem ovlivníte místo na křivce, ze kterého je tečna
vedena. V dalším předpřipraveném příkladu si můžete pohrát s aproximací sinusovky argumentem
v okolí počátku. Poslední předpřipravený příklad aproximuje sinusovku tečnou v okolí maxima. V poli
f (x) můžete zapsat vlastní funkci, jejíž aproximaci chcete prozkoumat.
DOPPLERŮV JEV – OTÁZKY
Vyplňte prosím následující jednoduchý test, který ověří, zda jste porozuměli Dopplerovu jevu. V jedné
otázce může být i několik správných odpovědí nebo nemusí být správná žádná. Po vyplnění stiskněte
tlačítko Odeslat.
Motivace
Ke čtení
Návod
1. Pro Dopplerův jev platí
f = f0(1±v/c)
Δf = ±v/c
Δf /f0 = ±v/c
2. Kterých dějů se Dopplerův jev týká?
Otázky
Příklady
Další čtení
všech periodických dějů
světla
zvuku
3. Pohybující se zdroj má určitou frekvenci. Bart Simpson na obrázku bude vnímat frekvenci
↑ ↑ ↑ ↑
vyšší
nižší
stejnou
4. Bart Simpson na předchozím obrázku bude vnímat
kratší vlnovou délku
delší vlnovou délku
5. Mezi frekvencí a periodou platí vztah
f = 1/T
f = 2/T
f = 2π/T
6. Mezi frekvencí a úhlovou frekvencí platí vztah
f = 1/ω
f = ω/3π
f = 2πω
7. Pro obrázek platí
Tady je v php pohyblivý obrázek,
to pdf neumí :-(. ALe musí to být v pdf,
tak co se dá dělat
Zdroj se pohybuje rychleji než vlnění
Zdroj se pohybuje pomaleji než vlnění
Zdroj se pohybuje stejně rychle jako vlnění
8. Pro obrázek platí
Zdroj se pohybuje rychleji než vlnění
Zdroj se pohybuje pomaleji než vlnění
Zdroj se pohybuje stejně rychle jako vlnění
9. Rázová vlna může vzniknout
pohybuje-li se zdroj rychleji než vlnění
pohybuje-li se zdroj pomaleji než vlnění
pohybuje-li se zdroj stejně rychle jako vlnění
10. Dopplerův jev využívají
policisté při měření rychlosti automobilů
lékaři při zobrazování vnitřních částí lidského těla
astronomové pro zobrazení nitra Slunce
astronomové při zjišťování rychlosti hvězd a galaxií
Odeslat
Obnovit
DOPPLERŮV JEV – PŘÍKLADY
Motivace
Ke čtení
Návod
Otázky
Příklady
Další čtení
↑ ↑ ↑ ↑
V této části budete řešit složitější úlohy, než byly v sekci otázky. Příklady jsou řazeny zhruba podle
rostoucí obtížnosti. Pokuste se každý příklad řešit nejprve obecně a teprve do nalezeného vztahu
dosaďte konkrétní číselné hodnoty. Pokud se ve jmenovateli objeví výrazy typu (1±x), kde |x| << 1,
převeďte je za pomoci lineární aproximace do čitatele. Výsledný výraz tím můžete výrazně
zjednodušit.
Příklad 1
Po silnici jede automobil s rychlostí 72 km/h. Automobil projede kolem stojícího chodce se zapnutou
sirénou, jejíž frekvence je 4 000 Hz. Jaké frekvence uslyší chodec před a po průjezdu automobilu?
Rychlost zvuku uvažujte 340 m/s.
4250 Hz; 3778 Hz
4500 Hz, 3500 Hz
5000 Hz, 3000 Hz
Příklad 2
Pozorovateli, který slyší klakson automobilu, se zdá, že při přibližování je tón o „sekundu“ vyšší než
při vzdalování (f1/f2 = 9:8). Určete rychlost automobilu. Rychlost zvuku uvažujte 340 ms−1.
60 m/s
40 m/s
20 m/s
Příklad 3
Nalezněte obecný vztah pro rozšíření spektrální čáry způsobené rotací hvězdy. Předpokládejte, že
znáte poloměr hvězdy R a její úhlovou rychlost ω. Určete šířku čáry Δλ, jejíž původní vlnová délka
byla λ0.
Δλ = Rωλ0/c
Δλ = 2Rωλ0/c
Δλ = 2Rωc/λ0
Příklad 4
Jakou rychlostí by musel jet automobil, aby mohl řidič tvrdit policistovi, že místo červené barvy viděl
na semaforu zelenou? Předpokládejte, že zelená barva má vlnovou délku 530 nm a červená 630 nm.
320 km/h
přibližně desetinou rychlosti světla
přibližně šestinou rychlosti světla
Příklad 5
Zdroj zvuku se pohybuje na vozíku rychlostí 25 cm/s směrem ke stěně. Pozorovatel slyší rázy na
frekvenci 3 Hz. Jaká byla frekvence zdroje zvuku?
1020 Hz
2040 Hz
3060 Hz
Příklad 6
Mezi dvěma zdroji o frekvenci 435 Hz se pohybuje pozorovatel rychlostí 34 cm/s. Určete frekvenci
rázu
0.8 Hz
1.0 Hz
1.2 Hz
Odeslat
Obnovit
Obdobná rázová vlna může vzniknout i za nabitou částicí, jež se pohybuje rychlostí vyšší než světlo
v daném prostředí (to je možné, částice se nesmí pohybovat rychleji než světlo ve vakuu, v prostředí je
rychlost světla nižší než ve vakuu). Za částicí vznikne charakteristický kužel elektromagnetických vln,
kterému říkáme Čerenkovovo záření.
Čerenkovovo záření
Radar a jeho použití
Helioseismologie
DOPPLERŮV JEV – DALŠÍ ČTENÍ
Rázová vlna
Motivace
Pohybuje-li se zdroj vlnění rychleji než vlnění samotné, nemůže se vlnění šířit do libovolného směru.
Je pro něho například nemožné dostat se před pohybující se zdroj:
Ke čtení
Návod
Otázky
Příklady
Další čtení
↑ ↑ ↑ ↑
Tento úkaz nazýváme rázovou vlnou, pro zvuk se mu říká zvuková bariéra. Zvuk se šíří
v charakteristickém kuželu za pohybujícím se zdrojem. Rázová vlna vzniká například při
nadzvukovém pohybu letadla. Pozorovatel stojící na zemi uvidí letící letadlo, ale zpočátku neslyší
žádný zvuk. Ten se objeví až naráz, tedy v okamžiku, kdy kužel zvuku „tažený“ za letadlem projde
místem, kde stojí pozorovatel.
Z geometrie
problému
je
snadné
určit
vrcholový
úhel
kuželu
rázové
vlny
sin α/2 = CB/CA = ct/ut = c/u, kde c je rychlost šíření zvuku a u je rychlost pohybu zdroje. Vrcholový
úhel tedy závisí jen na poměru rychlosti šíření signálu a rychlosti zdroje:
sin α/2 = c/u
(1)
V následujícím klipu je nafilmován průlet letadla F 14 Tomcat zvukovou bariérou. Patrné je vytvoření
kuželové rázové vlny viditelné díky kondenzaci vodních par na rázové vlně. Na snímku prolétá letadlo
zvukovou bariérou dvakrát. Pohybuje-li se těleso podzvukovou rychlostí, může se zvuk z tělesa šířit
do všech směrů. Pohybuje-li se těleso nadzvukovou rychlostí, může se zvuk šířit jen do kuželovité
oblasti vytvořené za letícím tělesem. Povrch této kuželovité oblasti se nazývá zvuková bariéra.
U. S. Navy, John Gay, 1999
Obdobná rázová vlna může vzniknout i za nabitou částicí, jež se pohybuje rychlostí vyšší než světlo
v daném prostředí (to je možné, částice se nesmí pohybovat rychleji než světlo ve vakuu, v prostředí je
rychlost světla nižší než ve vakuu). Za částicí vznikne charakteristický kužel elektromagnetických vln,
kterému říkáme Čerenkovovo záření.
Čerenkovovo záření
Částice se nemohou nikdy pohybovat rychlostí vyšší, než je rychlost světla ve vakuu, tj. přibližně
300 000 km/s. V materiálním prostředí se ale světlo šíří nižší rychlostí. Například v diamantu, který
má index lomu 2.5, se světlo šíří rychlostí pouze 120 000 km/s (proto nám připadá tak krásný), ve
vodě s indexem lomu 1.33 se světlo šíří rychlostí 226 000 km/s. V takovém prostředí se může nabitá
částice pohybovat rychleji než světlo v tomto prostředí. Je možné, aby se mion (těžší obdoba
elektronu), pohyboval ve vodě rychlostí například 270 000 km/s, což je méně než rychlost světla ve
vakuu, ale více než rychlost světla ve vodě.
Při takovém pohybu dojde k zajímavému jevu. Obdobně jako za sebou táhne letadlo letící
nadzvukovou rychlostí kužel zvukových vln, objeví se za nabitou částicí kužel elektromagnetických
vln. Elektromagnetické vlny generované částicí se pohybují v daném prostředí pomaleji než částice,
a proto se nikdy nedostanou před ní. Toto záření se nazývá Čerenkovovo záření. Bylo pojmenováno po
ruském fyzikovi Pavlu Čerenkovovi (1904–1990), který ho jako první popsal. Teoretické vysvětlení
jevu podali v roce 1937 sovětští vědci Ilja Frank (1908–1990) a Igor Tamm (1895–1971). Celá trojice
získala Nobelovu cenu za fyziku pro rok 1958.
Pavel Čerenkov
Ilfa Frank
Igor Tamm
Čerenkovovo záření se dnes využívá v celé řadě aplikací, především v detektorech nabitých částic.
V kosmických detektorech se jako médium zpravidla používají různé gely nebo aerogely.
V pozemských detektorech jde nejčastěji o obyčejnou vodu. Nabitá částice, která do média vnikla za
sebou vytvoří charakteristický kužel elektromagnetického záření. Na hranici oblasti bývají
fotonásobiče, které toto záření detekují. Ze směru kužele lze určit, odkud částice přilétla
a z vrcholového úhlu kužele je možné dopočítat rychlost a energii částice (pokud víme, o jakou částici
jde a známe její klidovou hmotnost).
Uveďme dva příklady takových zařízení. V roce 2011 byl namontován při předposledním letu
raketoplánu na rameno Mezinárodní vesmírné stanice detektor AMS-02. Jde o obří zařízení pro
detekci kosmického záření o hmotnosti 6 700 kg, které bylo navrženo a vyrobeno v Evropském
středisku jaderného výzkumu CERN. Jde vlastně o zmenšeninu detektorů využívaných na největším
urychlovači světa LHC. Součástí přístroje je také Čerenkovův detektor pro detekci nabitých částic,
které k nám přicházejí z hlubin vesmíru.
Detektor AMS-02 na rameni Mezinárodní vesmírné stanice
Jiným zařízením je největší neutrinový detektor světa – Super Kamiokande. Tato neutrinová
observatoř byla otevřena v Japonsku v roce 1996. Leží 1 700 metrů pod zemí, pod horou Ikena Jama,
ve starém zinkovém dole v blízkosti městečka Kamioka. Samotný detektor tvoří obří nádoba
o průměru 40 metrů, v níž je 50 000 litrů vody. Po stěnách nádoby je 13 000 fotonásobičů. Částice
kosmického záření se sráží s atomy a molekulami v horní atmosféře. Přitom vznikají elektronová
a mionová neutrina, která projdou horninou do detektoru. V něm interagují s neutrony a protony
obsaženými ve vodě. Přitom vzniknou elektrony a miony s nadsvětelnou rychlostí, které za sebou
táhnou kužel Čerenkovova záření. V průměru je zachyceno jedno atmosférické neutrino (vzniklé
z kosmického záření v atmosféře) za hodinu a půl. Detektor je schopen rozlišit elektronové a mionové
neutrino. K největším úspchům tohoto detektoru patří objev nenulové hmotnosti neutrin z roku 1998.
Detektor Super Kamiokande při pravidelné údržbě. Technici na člunu kontrolují fotonásobiče na stěně nádoby.
Záznam z fotonásobičů na periferii nádoby. Patrný je průsečík kuželu Čerenkovova záření s povrchem nádoby.
Radar a jeho použití
Radar je zařízení, které se dnes využívá v mnoha oborech lidské činnosti. Může posloužit k lokalizaci
objektů, k určení jejich rychlosti, vzdálenosti a některých vlastností, ke sledování meteorologických
dějů, k řízení letového provozu a nebo k mapování vzdálených planet. Radar je zkratka z anglického
RAdio Detecting And Ranging. Radar využívá elektromagnetických vln v mikrovlnném a radiovém
oboru, tj. od cca 30 MHz až po desítky GHz. Radar v podstatě využívá tři fyzikální jevy:
1. Odraz elektromagnetických vln. Pokud se od objektu odrazí elektromagnetické vlny ve směru
radaru, lze z doby uplynulé mezi vyslaným a přijatým signálem zjistit vzdálenost objektu. Odraz není
samozřejmostí, záleží na povrchu objektu a na úhlu odrazu, pro krátké vlny (v porovnání s rozměry
objektu) platí, že úhel dopadu je roven úhlu odrazu. To znamená, že signál musí dopadnout na kolmou
plošku, jinak odražený signál radar mine. Také je možné použít vlnovou délku větší než rozměry
objektu, tím ale výrazně zhoršíme rozlišovací schopnost radaru.
2. Změna frekvence způsobená pohybem objektu. Tento jev využívá tzv. Dopplerův radar. Ze změny
frekvence je možné přesně změřit radiální rychlost objektu (ve směru radaru). Objekt, který se
přibližuje, způsobí zvýšení frekvence odraženého signálu, objekt, který se vzdaluje, snížení.
3. Změna polarizace způsobená objektem. Moderní radary jsou schopné vysílat dva paprsky navzájem
kolmých polarizací a z odraženého signálu zjistit změnu polarizace. Meteorologický radar může touto
technologií zjistit, zda mrak obsahuje kapky nebo kroupy a odhadnout jejich velikost, tvar a směr
pohybu.
Helikoptéra Ka 31 s rotujícím radarovým panelem o ploše 6 m2, který umožní sledovat naráz až 40 cílů a přitom
varovat flotilu letadel. Zásuvná kola zabrání interferenci s radarem. Tato helikoptéra patří k současné výzbroji
ruského a indického námořnictva.
Existuje řada druhů radarů a můžeme je dělit z mnoha hledisek. Radary mohou rotovat a skenovat
určitou část krajiny nebo oblohy (například letecký radar) nebo mohou být statické a sloužit
k zaměření konkrétního cíle v daném směru (například policejní radar). Skenování oblohy lze také
provést za pomoci pole složeného z více sfázovaných radarů, z nichž každý zabírá část oblohy. Radary
mohou pracovat v pulzním režimu a přijímat odražený paprsek v pauzách mezi vysíláním nebo
pracovat v kontinuálním režimu a využít k přijímání odraženého signálu další detektor. Radary mohou
být aktivní, tj. vysílat signál nebo jen pasivní a přijímat signály z jiných zdrojů. Aktivní radary dále
můžeme dělit na primární, které vysílají signál a v čase mimo vysílání přijímají odrazy, nebo
sekundární, které potřebují ke své činnosti odpovídač na sledovaném objektu (například letadle).
Sekundární radar lokalizuje nejen objekt a jeho rychlost, ale vyžádá si doplňující informace, které
odpovídač zašle (například identifikační kód letadla). Tak je možné například odlišit vlastní cíle od
nepřátelských. Radary mohou mít stálou frekvenci nebo být frekvenčně modulované (porovnávání
více frekvencí umožní detekovat vzniklé rázy a přesně určit změnu frekvence). Mohli bychom
pokračovat v dělení radarů podle účelu, podle způsobu zpracování obrazu (od triviálního skenování se
zobrazením pouhé intenzity signálu až po sofistikované mapování povrchu planet) či dalších
parametrů.
Záznam z meteorologických radarů ČHMÚ. Levá barevná stupnice
odpovídá hladině intenzity odraženého signálu a současně intenzitě
srážek (modrá barva odpovídá slabým srážkám, červená prudkému
dešti). Aktuální data můžete získat ze serveru ČHMÚ.
Radarová technika má své prvopočátky již v období formulace zákonů elektřiny a magnetizmu
Clerkem Jamesem Clerkem v 19. století. Nicméně první použití rádiových vln pro detekci objektů za
snížené viditelnosti provedl německý inženýr Christian Hülsmeyer v roce 1904. Tento rok můžeme
považovat za zrod radarové techniky. K jejímu nejbouřlivějšímu rozvoji došlo za druhé světové vlky,
při které vojáci potřebovali detekovat nepřátelská letadla a odlišit je od letadel vlastních. Shrňme nyní
základní milníky ve vývoji radaru:
1865 Skotský fyzik James Clerk Maxwell publikuje svou teorii elektromagnetického pole.
Poukazuje na jednotnou podstatu elektrických a magnetických dějů a na to, že se elektrická
a magnetická pole mohou šířit prostorem jako vlny s rychlostí rovnou rychlosti šíření světla.
1886 Německý fyzik Heinrich Rudolf Hertz objevil elektromagnetické vlny a demonstroval tak
správnost Maxwellovy teorie.
1897 Italský vynálezce Guglielmo Marconi uskutečnil první spojení na dálku za pomoci
elektromagnetických vln. Marconi je považován za otce a průkopníka radiotelekomunikace.
1904 Německý inženýr Christian Hülsmeyer provedl první skutečný test radaru. Monitoroval lodní
provoz za špatné viditelnosti. Přístroj nazval telemobiloskop a patentoval ho v Německu,
Francii a Velké Británii.
1922 Americký elektroinženýři Albert Taylor a Leo Young z Námořní výzkumné laboratoře poprvé
detekovali dřevěnou loď.
1930 Americký elektroinženýr Lawrence Hyland z Námořní výzkumné laboratoře poprvé
detekoval letadlo.
1931 Radarem byla vybavena první loď. Jako přijímač sloužila parabolická mísa a jako vysílač
trychtýřovitá anténa.
1939 Inženýři John Randall a Henry Boot z Birminghamské univerzity zkonstruovali malý účinný
radar s magnetronem, kterým byly osazeny vojenské letouny B–17. Radar využívali
k vyhledávání německých ponorek v noci a za mlhy.
1940 Začíná bouřlivý vývoj radarové techniky ve Spojených státech, Japonsku, Německu, Francii
a Rusku. Tento vývoj souvisí s probíhající druhou světovou válkou.
Další vývoj radaru se odehrál na konci 20. století při výzkumných misích ve sluneční soustavě. Za
pomoci tzv. zobrazovacích radarů byly podrobně mapovány povrchy planet. Tato technika
nejvýrazněji uspěla u planety Venuše, která má natolik hustou atmosféru, že přímé pozorování
povrchu není vůbec možné. Americká sonda Magellan v 90. letech poskytla první obrázky povrchu
Venuše v detailním rozlišení. Samozřejmě byly ve falešných barvách, neboť lidské oko není na
rádiové vlny citlivé. Barva byla kódována buď podle výšky terénu, nebo podle skutečné barvy povrchu
zjištěné z přistávacích pouzder sovětských sond Veněra 13 a 14.
Radarový snímek Venuše. Venuše Tento snímek byl pořízen zobrazovacím radarem sondy Magellan v 90.
letech 20. století. Barvy byly zvoleny podle skutečné barvy povrchu planety. Jasná oblast táhnoucí se napříč
planetou je nejrozsáhlejší vyvýšenina na Venuši, která je známá pod latinským názvem Aphrodite Terra
(Afroditina země). Rozlohou odpovídá Africe.
Helioseismologie
Slunce se chová jako obrovská rezonanční dutina, která podobně jako zvon zvučí v mnoha tónech.
Turbulence ve vzestupných proudech plazmatu pod povrchem tento přírodní zvon neustále
rozezvučují. Jako byste na skutečný zvon namířili zevnitř mnoho trysek chrlících na vnitřní povrch
zvonu tisíce zrnek písku a on se rozezněl v jemných tóninách daných jeho vlastními frekvencemi.
Slunce lze připodobnit k obřímu hudebnímu nástroji. Jsou zde ale dva podstatné rozdíly: 1) hudební
nástroje hrají jen občas, Slunce neustále. 2) hudební nástroje mají několik desítek kláves nebo strun či
tónů, zatímco Slunce má přes deset milionů vlastních frekvencí, které se skládají do sluneční hudby.
Zvuk Slunce můžeme pozorovat jako jemné chvění jeho povrchu. Pečlivou analýzou těchto oscilací
lze zjistit, jaké je Slunce hluboko pod povrchem, nebo dokonce objevit skvrny na jeho odvrácené
straně. Stejná technika se začala používat i u hvězd. Zvukové vlny byly detekovány ze Země u 25
hvězd. Naprostou revoluci znamená vesmírná observatoř Kepler, která pořídila zvukové nahrávky 500
hvězd podobných našemu Slunci. Zrodila se astroseismologie – určování vlastností nitra hvězd za
pomoci zvukových vln.
Šíření vln ve Slunci
Zvukové vlny na Slunci
Helioseismologie je vědní obor, který studuje sluneční nitro na základě pozorování akustických vln na
povrchu Slunce. Samotný název vznikl složením tří řeckých slov: helios (Slunce, světlo), seismos
(třesení), logos (pochopení, rozprava). Za počátek helioseismologie lze považovat již rok 1960, kdy
američtí astronomové Robert Leighton, Robert Noyes a George Simon objevili (při sledování
Dopplerova posunu absorpčních čar) pětiminutové oscilace slunečního povrchu. Pozorovali je v 18
metrů vysoké sluneční věži na observatoři Mt. Wilson v jižní Kalifornii a poté je systematicky
zkoumali několik následujících let. Nicméně k plnohodnotnému vědnímu oboru vedla ještě dlouhá
cesta. V roce 1970 vysvětlili původ pětiminutových oscilací Roger Ulrich, John Leibacher a Robert
Stein. Ukázali, že Slunce může fungovat jako rezonanční akustická dutina a rozezvučit se podobně
jako zvon. V roce 1980 byly za pomoci helioseismologie objeveny podpovrchové torzní oscilace
Slunce, v roce 1997 plazmové řeky a od roku 2001 je rutinně zobrazována za pomoci zvukových vln
odvrácená strana Slunce. Helioseismologie se stala účinným nástrojem pro výzkum naší nejbližší
hvězdy.
Nalevo: Počítačové zobrazení vln na Slunci. Napravo: Dopplerogram (záznam rychlosti z Dopplerova jevu)
pořízený přístrojem MDI na observatoři SOHO. Tmavá barva zobrazuje rychlost plazmatu směrem
k pozorovateli, světlá směrem od pozorovatele. Na dopplerogramu je odečtena rotace Slunce. Dobře patrná je
tzv. supergranulace. Zdroj: ESO/NASA/ESA.
Podpovrchové útvary, stejně tak jako skvrny na odvrácené straně Slunce, ovlivní šíření zvukového
pole. K nejzajímavějším úlohám patří rekonstrukce obrazu těchto útvarů ze zvukové nahrávky. Jde
o složitou matematickou úlohu, které se říká helioseismická holografie. Obraz odvrácené strany
zrekonstruovaný ze zvukového pole sledovaného na přivrácené straně je sice neostrý, ale základní
útvary jsou v něm dobře postřehnutelné. První kvalitnější hologramy odvrácené strany se podařilo
získat kolem roku 2000.
Hologram odvrácené strany Slunce pořízený přístrojem MDI na sondě SOHO dne 12. dubna 2001. Patrná je
výrazná skvrna AR 9393. Souřadnicová síť představuje heliografickou šířku a délku. Zdroj:
SOHO/MDI/NASA/ESA.
Úspěchy helioseismologie
Jaké jsou největší úspěchy helioseismologie? Za pomoci helioseismologie se daří určovat složení,
teplotu a pohyby uvnitř Slunce. Rychlost zvukových vln závisí na poměru vodíku a hélia. Slunce
vykazuje celou řadu neradiálních oscilací. V roce 1990 se překvapivě ukázalo, že frekvence některých
zvukových módů se mění s časem. Pozorovací sady jsou zatím příliš krátkodobé na to, aby se
prokázalo, zda tato změna souvisí s jedenáctiletým cyklem sluneční činnosti či nikoli.
Helioseismologie potvrdila, že vnější konvektivní vrstva rotuje diferenciální rotací, zatímco rotace
vnitřní zářivé vrstvy se mění s heliografickou šířkou jen velmi málo. Z heliosesismologie jsme se
dozvěděli, že tisíce kilometrů pod povrchem Slunce probíhají torzní oscilace a střídají se zde pásy
rychlejší a pomalejší rotace. Přesně se podařilo změřit polohu a tloušťku tachovrstvy – hranice mezi
zářivou a konvektivní vrstvou. Na základě mapování podpovrchových vrstev byly v roce 1997
objeveny rozsáhlé toky plazmatu, jejichž pohyb vyloučil některé modely slunečního tekutinového
dynama. Dnes je zjevné, že hlavním zdrojem magnetických polí jsou pohyby plazmatu v blízkosti
hranice zářivé a konvektivní vrstvy (tzv. tachovrstva neboli tachoklina). Helioseismologie se po roce
2000 stala jedním z nejvýznamnějších pomocníků slunečních fyziků.
Podpovrchové proudění na Slunci. Toky jsou kombinací toroidálních (ve směru rotace Slunce, pravá část řezu)
a meridiálních (od rovníku k pólu, levá část řezu). Barva odpovídá rotační periodě. Modrá barva v blízkosti
rovníku odpovídá periodě rotace 24,5 dne. Směrem k pólům je perioda rotace pomalejší. Červená u pólu
odpovídá rotační periodě 34 dni. Závislosti rotační periody na heliografické šířce říkáme diferenciální rotace.
Olivově zeleně je znázorněna tachoklina (rozhraní mezi zářivou a konvektivní vrstvou). Zářivá vrstva s periodou
rotace 28 dní je znázorněna žlutě. Zářivá vrstva rotuje jako pevné těleso, nejeví známky diferenciální rotace.
V levé části řezu jsou znázorněny meridiální toky plazmatu mezi rovníkem a póly, které jsou součástí tzv.
torzních oscilací Slunce. Zdroj NASA/GSFC.