Cv z MA1-

Cvičení č. 15 z KMA-MMAN2
5. a 9. března 2009
Newtonův vzorec
Věta 0.1 (Newtonův vzorec). Nechť funkce f je integrovatelná na ha, bi a má tu
(zobecněnou) primitivní funkci F . Pak platí
Z b
£
¤b
f (x) dx = F (x) x=a = F (b) − F (a).
a
1
Integrace goniometrických funkcí
Přehled substitucí pro
dvou proměnných:
Z
R(cos x, sin x) dx, kde R je racionální funkce
(1) sin x = t, pokud R(− cos x, sin x) = −R(cos x, sin x),
(2) cos x = t, pokud R(cos x, − sin x) = −R(cos x, sin x),
(3) tg x = t, pokud R(− cos x, − sin x) = R(cos x, sin x),
2 dt
2t
x
= t (univerzální substituce). x = 2 arctg t, dx =
, sin x =
,
2
2
1+t
1 + t2
1 − t2
2t
cos x =
, tg x =
.
2
1+t
1 − t2
(4) tg
Převeďte na integrál z racionální funkce:
Z
dx
.
Úloha 1.1. I =
sin x + cos x


t = tg x2


 dx = 2 dt  Z
Z
2 dt
2


1+t
2 dt
1+t2


Řešení. I = 
= ···.
=
=
2t
1−t2
2t
2t + 1 − t2
+ 1+t2
 sin x = 1+t2 
1+t2


1−t2
cos x = 1+t2
1
Úloha 1.2. I =
Z
π/2
sin3 x cos x dx.
0
Řešení. I =
·
sin x = t
cos x dx = dt
¸
=
3
1
1
= (1 − 0) = .
4
4
Úloha 1.3. I =
Z
·
¸
1 4
1 £ 4 ¤π/2
t dt = t =
sin x x=0 =
4
4
Z
0
cos5 2x sin 2x dx.
−π/4

Z
cos 2x = t
1
1 £ 6¤
t =
t5 dt = −
Řešení. I =  −2 sin 2x dx = dt  = −
2
12
1
sin 2x dx = − 2 dt

1 £ 6 ¤0
1
1
1
cos 2x x=−π/4 = − (cos6 0 − cos6 (−π/2)) = − (1 − 0) = − .
12
12
12
12
Z π/4
sin3 x
Úloha 1.4. Vypočtěte I =
dx takto: Čtyřmi různými substitucemi
cos
x
0
Z
sin3 x
dx na integrál z racionální funkce,
převeďte příslušný neurčitý integrál
cos x
z těchto čtyř výsledků vyberte ten nejjednodušší a příklad dopočítejte jen tímto
jedním způsobem.
=−
Řešení.
t = sin x :
t = cos x :
sin3 x cos x
dx =
cos x cos x
Z
sin3 x
dx =
cos x
=
Z
Z

Z
t = cos x
sin2 x
sin x


dt = − sin x dx =
dx =
sin x dx =
cos x
cos x
− dt = sin x dx
=
Z
=
·
t = sin x
dt = cos x dx
sin3 x
cos x dx =
cos2 x
Z
=
Z
sin3 x
cos x dx =
1 − sin2 x
Z
t3
dt
1 − t2

3
1 − cos2 x
sin x dx =
cos x
Z µ
¸
1
t−
t
¶
dt
2
Z
1 − t2
(− dt) =
t
Z
t2 − 1
dt =
t
t = tg x :
Z
sin3 x
dx =
cos x
=
Z
sin3 x
cos3 x

1
cos2 x
t = tg
x
:
2
=
Z
sin2 x+cos2 x
cos2 x
=
¸
t = tg x
dt = cosdx2 x
cos4 x
dx =
cos2 x


=

Z
·
2
cos x =
1
tg2 x+1
cos4 x =

Z
sin3 x cos x
dx =
cos2 x
dx
=
cos2 x

tg3 x cos4 x
= tg2 x + 1
=
 Z
1

dt
 = t3
(1 + t2 )2

1
t2 +1
1
(1+t2 )2
t = tg x2

 dx = 2 dt

1+t2
sin x
dx = 

2t
cos x
 sin x = 1+t
2

1−t2
cos x = 1+t
2
3
=
Z
16t3
dt
(1 + t2 )3 (1 − t2 )


 Z ¡ 2t ¢3

2 dt
1+t2
=
=

1−t2 1 + t2

1+t2

Dopočítáme nejjednodušší tvar (v rámečku):
¶
Z µ
1
cos2 x
t2
t−
− ln | cos x| + C.
dt = − ln |t| + C =
t
2
2
Určitý integrál:
I =
=
=
=
· 2
¸π/4
sin3 x
cos x
dx =
− ln | cos x|
=
cos x
2
0
x=0
µ 2
¶
cos2 π4
π
cos 0
− ln | cos | −
− ln | cos 0| =
2
4
2
³ √ ´2
√
2
µ
µ
¶
¶
2
1
1
1
1
2
− ln |
|−
− ln |1| = − ln | √ | −
−0 =
2
2
2
4
2
2
1
1
1
1 1
1
1 ln 2
− ln |2− 2 | − = − − (− ) ln 2 = − +
.
4
2
4 2
2
4
2
Z
π/4
3
Integrace součinu goniometrických funkcí
i
1h
cos(n − m)x − cos(n + m)x ,
2
i
1h
sin(n − m)x + sin(n + m)x ,
sin nx cos mx =
2
i
1h
cos nx cos mx =
cos(n − m)x + cos(n + m)x ,
2
sin nx sin mx =
sin2 x =
1 − cos 2x
,
2
cos2 x =
1 + cos 2x
.
2
Úloha 1.5. Vypočtěte I =
Z
sin 3x sin 4x dx.
Řešení. Integrand upravíme pomocí vzorce v rámečku:
Z h
Z
i
i
1
1 h
I=
cos(−x) − cos 7x dx =
cos(3 − 4)x − cos(3 + 4)x dx =
2
2
µZ
µ
¶
¶
Z
1
sin 7x
1
=
sin(x) −
+ C.
cos(x) dx − cos 7x dx =
2
2
7
4
2
Goniometrické a hyperbolické substituce
Přehled substitucí:
Z
´
³ √
2
2
(1)
R x, a − x dx, substituce x = a sin t (nebo x = a th t),
(2)
Z
(3)
Z
´
³ √
R x, a2 + x2 dx, substituce x = a tg t (nebo x = a sh t),
³ √
´
R x, x2 − a2 dx, substituce x =
Úloha 2.1. Vypočtěte I =
Z
1
0
a
(nebo x = a ch t).
cos t
√
x 1 − x2 dx.
Řešení. Zřejmě jde o případ (1), kde a = 1. Použijeme substituci x = 1 sin t.


x = sin t




dx = cos t dt


Z √



2
2
2 
2
I = x 1 − x dx =  1 − x = 1 − sin t = cos t  =






x=0⇒t=0


x = 1 ⇒ t = π/2
=
Z
π/2
√
sin t cos2 t cos t dt =
0
0
=−
Z
Z
?
?

π/2
z = cos t



=
dz
=
−
sin
t
dt
cos2 t sin t dt = 


− dz = sin t dt
·
¸?
¸π/2
·
1 3
1
1
1
3
z dz = − z
= − cos t
=0+ = .
3
3
3
3
z=?
x=0
2
Při přechodu od x k t jsme meze transformovali, ve druhém případě ne, stačilo,
že jsme se nakonec vrátili k proměnné t.
Z
dx
p
.
Úloha 2.2. Vypočtěte I =
(x2 + 4x + 7)3
Řešení. Nejprve je potřeba převést integrand na potřebný tvar (pomocí doplnění
na čtverec a substituce:
"
#
Z
Z
z =x+2
dx
dx
p
q
=
=
I=
=
(x2 + 4x + 7)3
dz = dx
[(x + 2)2 + 3]3
5
√
subst. č. (2), kde a = 3

√

z
=
3 tg t

Z
Z

dz
dz
√

q
=
=
√
dz = cos23 t dt
3 = 

2+3
3
2
z
[z + 3]

 z 2 + 3 = 3 tg2 t + 3 =

= 3(tg2 t + 1) = 3 cos12 t

=
Z
√
3
cos2 t
q
3 cos12 t
3
dt =
Z
√
3
cos2 t
¡√ 1 ¢3
3 cos t
√ Z
3
dt = √
3 3
1
cos2 t
1
cos3 t






=




dt =
¶
µ
Z
cos3 t
1
1
z
1
+C =
dt =
cos t dt = sin t + C = sin arctg √
cos2 t
3
3
3
3
¶
µ
x+2
1
+ C.
= sin arctg √
3
3
Z √ 2
x −1
dx.
Úloha 2.3. Vypočtěte I =
x2


subst. č. (3), kde a = 1
Z √ 2


x −1
1

=
x
=
dx
=
Řešení. I =
cos
t


x2
sin t
1
dx = cos2 t dt = tg t cos t dt
q
q¡
q
¢2
1
Z
Z
Z
1−cos2 t
1
−1
−1
1
cos2 t
cos2 t
cos t
tg t dt =
tg
t
dt
=
tg t
=
dt =
¡ 1 ¢2
cos t
1
cos t
cos2 t
cos t
1
=
3
Z
cos t
=
Z r
sin2 t
cos t tg t dt =
cos2 t
Z
sin t
cos t tg t dt =
cos t
6
Z
sin t tg t dt = · · · .
2.1
Užití Eulerových vzorců pro výpočet některých integrálů
¢
¢
1 ¡ ix
1 ¡ ix
e + e−ix , sin x =
e − e−ix .
2
2i
ix
−ix
e = cos x + i sin x, e
= cos x − i sin x.
Z
Úloha 2.4. Vypočtěte I = e2x cos x dx.
cos x =
Řešení.
I =
=
=
=
=
=
=
=
=
¸ Z
·
¢
¢
1 ¡ ix
1 ¡ ix
−ix
= e2x
e +e
e + e−ix x dx =
cos x =
2
2
µZ
µZ
¶
¶
Z
Z
1
1
2x+ix
2x−ix
(2+i)x
(2−i)x
e
dx + e
dx =
e
dx + e
dx =
2
2
µ
¶
1
1 (2+i)x
1 (2−i)x
+C =
e
+
e
2 2+i
2−i
¶
µ
1 2 + i (2−i)x
1 2 − i (2+i)x
1
+C =
e
+
e
2 2+i2−i
2−i2+i
¶
µ
1 2 − i (2+i)x 2 + i (2−i)x
+C =
e
+
e
2
5
5
¢
1 ¡
(2 − i) e(2+i)x +(2 + i) e(2−i)x + C =
10
¢
1 2x ¡
e (2 − i) eix +(2 + i) e−ix + C =
10
1 2x
e ((2 − i)(cos x + i sin x) + (2 + i)(cos x − i sin x)) + C =
10
1 2x ³
e 2 cos x + sin x − i cos x + 2i sin x +
10
´
+2 cos x + sin x + i cos x − 2i sin x + C =
1 2x
e (4 cos x + 2 sin x + i(− cos x + 2 sin x + cos x − 2 sin x)) + C =
10
1 2x
=
e (2 cos x + sin x) + C.
5
=
7