Systémová analýza a modelování Rozhodovací problémy

Systémová analýza a modelování Rozhodovací problémy

Systémová analýza a modelování
přednášky
Švasta – E146
- skripta: EMM
Program:
Doplňky k matematickému programování a teorii rozhodovacích prostorů
Modely strukturní analýzy a jejich využití v analýze rozboru podnikatelských subjektů
Teorie strategických her
Vícestupňové a zobecněné
Přiřazovací problémy
Okružní dopravní úlohy
Teorie sítí a draků
Simulační modely
Integrované modelové systémy
S – obecné, matematické, implementační
A – implementace v rozhodovacích procesech
M – ekonomickomatematické metody založené na bázi operačního výzkumu
Systémový trojúhelník
Objekt - reálný objekt našeho zkoumání
- reálný - již existující
- hypotetický
- konečný počet elementů
- neohraničený
- různé dinamiky a funkce chování
- třídící pořádací princip
Systém
Model - model
- EMM - ekonomicko-matematická metoda
- softwarový algoritmus
- hardware
- relační interface
DSS - divisions support systems
Rozhodování
Regulace
Rozhodovací problémy
KoupitKytku
NekoupitKytku
+ existuje - není
a11
a12
a21
a22
a31
a32
- ryzí strategie rozhodování
a11 = 0,3
a22 = 0,1
a11 – koupím kytku a jev je
a12 – koupím kytku a jev není
- a11, a12, a21, a22 – matice výplat, která kvantifikuje naše rozhodnutí
- každý z těchto koeficientů má svojí vlastní interpretační hodnotu
- tyto interpretační hodnoty závisí na podstatě objektu – případ od případu můžou být různé
- Matice výplat – kvantifikují dopady našeho rozhodnutí
- každému rozhodnotí jsem schopni přiřadit nějaký funkční dopad rozhodnutí
www.pef-info.wz.cz
-
1-
Christy
Systémová analýza a modelování
přednášky
Rozhodování podnikatele v zemědělství
Hn, S \ strategie
Vpočasí
velmi nepříznivé
VN – velmi nízké -ddd
nepříznivé
-dd
0
průměrné
-d
+
příznivé
N – nízké
opt. str.
opt. str.
opt. str.
0 - průměr
opt. str.
0 - průměr
opt. str.
opt. str.
V – vysoké
opt. str.
opt. str.
opt. str.
VV – velmi
vysoké
V+
vysoce příznivé
-dd
Počasí se skládá z teploty, vlhkosti – průnik.
Objekt se může chovat dynamicky za konečného počtu faktorů, které spolu tvoří nějaký průnik
-d = -delta – pokles efektu vůči předpokladu
-ddd – nejhorší
- šedé – optimální strategie
- je rozdíl mezi vlastní produkční strategií (maximalizovat za každou cenu – to nemusí být vždy úplně nejrentabilnější)
a tou ekonomickou
- Rozhodovací proces může být dinamický za proměnlivých podmínek konečného počtu faktorů, které spolu tvoří
průnik (někdy nemusí)
Deterministický rozhodovací proces
- máme konečnou množinu možných rozhodnutí a každému z těchto rozhodnutí můžeme přiřadit nějaký efekt
- deterministická situace – jsme schopni exaktně kvantifikovate (změřit, popsat) dopady naši rozhodnutí
- comparační funkce (comparé = srovnej varianty)
Zj – cj = test optimality (kritérium optimality)
Zj – cj = skalární součin vektorů cen pravých stran – NAJÍT!! :)
MMR – množina možných rozhodnutí – obsahuje určitý počet rozhodnutí.
Komparativní funkce – srovnává varianty řešení, vzniká z MMR
Množina může být konečná nebo nekonečná.
Deterministická rozhodnutí – jsme schopni exaktně (změřit, popsat) kvantifikovat dopady našich rozhodnutí.
Stochastické rozhodovací systémy
- díky neovladatelným faktorům vyjde úplně jiná funkce
- stochastická P(i) - pravděpodobnostní charakteristiky
- narozdíl od deterministických znám pouze pravděpodobnostní mapu a ne dopad
www.pef-info.wz.cz
-
2-
Christy
Systémová analýza a modelování
přednášky
Teorie množin
MNF – množina neovladatelných faktorů – tato množina způsobí, že se mé řešení díky tomuto posune úplně na jinou
rovinu (hodnotu).
Deterministické procesy – jisté rozhodování
Stochastické procesy – znám pouze pravděpodobnostní mapu, mohou být náhodné a nahodilé.
Co znamená tohu wa bohu? Poslat na mail a + 2 body :))
FUZZY rozhodovací systémy
- neurčité, nejasné, rozptýlené, měnící svůj tvar, měňavkovité, mlhavé rozhodování
- nikdo neví
Systém
- množina prvků a vazeb mezi nimi
- implementační definice systému: Systém je neprázdná účelově
definovaná množina prvků a vazeb mezi nimi, která se zachycením vstupu
a výstupu vykazuje jako celek ve svém vývoji kvantifikovatelné chování
KF - komparativní funkce
1) E - elementy (prvky) - kolečka v matici, tyto prvky můžeme buď
agregovat nebo desagregovat nebo je můžeme nechat úplně mimo
- agregovat
- desagregovat
2) R - relace (vztahy, vazby)
3) vektor I - vektor imputů (vstupů) - hmotné, energetické, informační
(náklady faktorů) – vliv podstatného okolí
4) vektor O - vektor výstupů
5) CF - komparační srovnávací funkce - nebo CF (comparation)
6) D - development (charakteristiky vývoje) - vývoj v čase
--------------------------------------------------------zavedení systému na reálném objektu zkoumání
Teorie strategických her s inteligentním protihráčem
H1 - princezna \
H2 - chudák
pravda
Nepravda (lže)
poslechnout
neposlechnout
obojí
a11
a21
a31
a12
a22
a32
a11 – zachráněn díky pomoci princezny
a12 – sežrán protože věřil princezně
a21 – sežrán přes snahu princezny
www.pef-info.wz.cz
-
3-
Christy
Systémová analýza a modelování
přednášky
a22 – zachráněn i když ho princezna zradila
Tohu wa bohu
1. ani jedno řešení - množina je prázdná (nekonzistentní) -> podmínky si odporují
2. omega je množina přípustných řešení -> konvexní polyedr (průnik konečného počtu polorovin)
- 1. řešení
3. lineární konvexní kombinace
- 2. řešení základní
- nekonečně řešení reálných lineárních kombinací
- množinou přípustných řešení je konvexní polyedr
4. otevřená konvexní polyedrická množina
- nemá konečné řešení maximalizačního typu
- má ovšem řešení minimalizační
- když jsme omylem zapomněli nějakou reálnou omezující podmínku
- Podle typu úlohy vybíráme základní strukturu omezujících podmínek
- cílem je maximální možná míra analogie chování
- při správné formulaci úlohy je lhostejné jestli úlohu řešíme simplexem (Danzigovou metodou založenou na
Gaus.jordanovou Metodou úplné eliminace) a nebo jestli jí řešíme pomocí algoritmu Wolfeho gradientní metody. ->
optimální řešení je u obou úloh totožné
www.pef-info.wz.cz
-
4-
Christy
Systémová analýza a modelování
přednášky
- Wolfeho gradientní metoda nemá inverzní matici B-1 => umožňuje podrobnou analýzu chování systému
- Danzigova metoda umožňuje tvorbu rozsáhlého počtu alternativních suboptimálních variant
cena
p
...
...
...
m
x1
x2
Xk
xk+1
xk+2
...
...
xk+m
zj - cj
xk+1
K
b
=
=
≤ (=)
≥ (=)
=
b1
b2
...
...
bm
Smin
x1
1
1
1
Vm – m-dimenzionální vektorový prostor
Obecný cyklický graf a okružní dopravní problém
1. Proměnná realná má nějakou reálnou sazbu – např. 45 Kč za 500 gramů čerstvých žampiónů
2. Fiktivní proměnné kladné – připomínka – platí pro tři typy kapacitních podmínek:
xj ≤ bi
∑xj ≤ bi
∑xjaij ≤bi
------------∑aijxj + xf = bi => zde je kladná fiktivní proměnná, kterou interpretujeme jako rezervu – nevyčerpaní
volné disponibilní kapacity
xj - nějaký proces např. chov krav xa, xb, xc
∑xj – vznikne mi přůměrná hodnota
aij – produkce mléka
Záporná fiktivní proměnná nám říká možné překročení minimálně stanoveného požadavku, ale je to záporvná
jednička, takže nemůže vstoupit do báze. Musíme přidat pomocnou proměnnou, umělou proměnnou,
prohibitivní sazbou. Předpokládejme že by všechny původní podmínky byly požadavkové, takze každé
omezující podmínce by připadala jedna fiktivní a jedna pomocná proměnná. Bázi by tvořilo m pomocných
proměnných s prohibitivními sazbami, ale protože to byli požadavkové proměnné. Ve výchozí bázi je všech m
pomocných proměnných.
Fiktivní proměnná (doplňková)
xf + - cj = 0
xf - - cj = 0
3. Pomocné proměnné (umělé)
xp – max –M
xp – min +M
velké číslo, obecně se dává o řád vyšší
Pohled A – xj je jednotkový změnový kvantifikovaný proces, tedy jde o jednotkové změnové zobrazení procesů
0 – daný proces nereaguje an daný faktor
1 – spotřeba reaguje na daný faktor
-1 – spotřeba reaguje na daný faktor
Pohled B – m-dimenzionální lineární produkční funkce, která vymezuje chování jednoho prvku a systému jako celku
– prezentovaného soustavou omezení a omezujících podmínek (m, protože každý vektor má m složek)
Úvod do distribučních úloh
Dopravní úlohy
1. jednostupňová dopravní úloha - hledáme minimum nebo maximum účelové funkce, kde xij je množství
přepravovaného substrátu od stého dodávek k jétému spotřebiteli a cij je přepravní sazba (cena). Cij může mít
celou řadu různých podob - 6
A - vzdálenost v kilometrech
B - čas (jízdy, přepravy)
C - náklady (na jednotku dopravy)
www.pef-info.wz.cz
-
5-
Christy
Systémová analýza a modelování
přednášky
D - míra hodnocení
E - míra znehodnocení
F - míra rizika
Na jednom a tomtéž problému můžeme sestavit šest nezávislých úloh.
Př.:
1 - výchozí základní řešení - u dopravních úloh jsou všechna řešení formálně přípustná!
2 - k řešení se používá - Voglova aproximační metoda, severozápadní roh, indexová metoda
Regularita matice:
Úloha o dvou dodavatelích a třech spotřebitelích
x1
x2
1
D1
D2
bj
x3
1
x4
1
1
1
S1
S2
S3
ai
5 (x1) 7 (x2) 9 (x3)
35
3 (x4) 8 (x5) 6 (x6)
25
15
18
27
60
1
x6
1
1
1
-
x5
1
= 35
1 = 25
= 15
= 18
1 = 27
takto koncipovaná soustava je singulární (m + n - 1)
šedý řádek nepotřebujeme (můžeme ho vyškrtnout)
Tři základní problémy:
Substrát musí být homogenní – z hlediska analýzy a modelování vzájemná zastupitelnost. Je lhostejné od kterého
dodavatele ke kterému spotřebiteli to vezu.
Poslední řádek lze vypustit, protože lze dokázat, ze takováto soustava je singulární. Takže stačí m+n-1. Takže se budu
nacházet ve vektorovém prostoru V5 (nikoliv V6)
K řešení jednostupňové dopravní úlohy se používá
1 – VAM, SZR, Index
2 – danzingovy obvody – MODI
Zakázané spoje řešíme pomocí prohibitivních sazeb.
Řešení těchto úloh pomocí simplexové metody není efektivní a proto používáme tyto specializované algoritmy.
Dopravní úlohy jsou:
1. Jednostupňová dopravní úloha
2. dvoustupňová dopravní úloha
3. vícerozměrná dopravní úloha
4. zobecnění distribuční problém
5. přiřazovací problém
Budeme se zabývat – 2, 4, 5, 6, ostatními ne
I
Xj
O
A
B – m dimenzionální lineární produkční funkce (chová se s nekonečnou mezní mírou substituce)
C – alfa vektor koeficientu, každé alfa ij je směrnice chování jednotky jétého procesu xj ke vztahu itému faktoru
omezeni
- koeficienty mají tři podoby – 0, kladné, záporné – záleží to na typu omezujících podmínek
D – aktivita je komplexní evokovaná změna systému jako celku v souvislosti se změnou rozměrů xjtého procesu o
jednotku. Jednotkové změnové zobrazení procesu platí pro rozhodující většinu úloh systémové analýzy
Prostor možných řešení (množina přípustných řešení) je vymezena pomocí šesti typů omezujících podmínek:
1. Rov – rovnice (xj = bi)
2. Kap – kapacitní (suma xj = bi)
www.pef-info.wz.cz
-
6-
Christy
Systémová analýza a modelování
přednášky
3.
4.
5.
6.
Pož – požadavkové (suma aijxj = bi)
Bil – bilanční (základních typů je 16)
Pom – poměrové (Fi / Fk)
Pom / prir - Poměrové přírůstkové (delta / delta)
Všechny tyto podmínky se nacházejí v simplexu
Dvoustupňová dopravní úloha vypadá takto:
Viz obrázek na papíře ;)))))
Na levé straně jsou požadavky dodavatelů
Mk – kapacity meziskladu
Bi – požadavky spotřebitelů
Pozn: indexy úlohy lze volit různé, dle potřeby.
Hlavni problém – otazník nad mezisklady. Hledám odpověď na tři otázky:
- kolik meziskladů je optimálních (více menších nebo méně větších?)
- jaké mají mít kapacity?
- S ohledem na systém dodavatelů a jeho stability a systém spotřebitelů a jeho stability, kam tyto sklady umístit
=> alokace
Abychom porozuměli těmto úlohám a dokázali interpretovat vzorce, tak musíme systémové analytickou otázku – co
tyto úlohy řeší?
-
kolik
čeho
odkud
kam
kudy
kdy
jak
čím
za kolik
za jakého tarifu
za jakých právních a podnikatelských omezení (kamiony nesmí jezdit v neděli – např.)
Neexistuje algoritmus (takový model), který by nám dokázal vyřešit (nalézt odpovědi) na všechny otázky najednou
Protože je ten problém velmi složitý, různá kritéria, často jdou i proti sobě
Účelová funkce dvoustupňové dopravní úlohy:
Z min/ max = ∑ i ∑ j ∑ k (cijk xijk )
-
trojrozměrné hledisko
suma ai <=>
suma nj, <=>
suma Sk
kapacity dodavatelů, kapacity meziskladu, požadavky spotřebitelů
Úloha může být přebytková, vyrovnaná nebo nedostatková.
Princip řešeni úlohy spočívá v optimalizaci využití kapacit meziskladu
Zobecněný distribuční problém (další druh distribučních úloh)
Pro pochopení tohoto problému:
www.pef-info.wz.cz
-
7-
Christy
Systémová analýza a modelování
přednášky
D1
D2
D3
D4
bj (t)
tento řádek jsou vodní mlýny, každý mlýn
může pracovat různě dlouho podle toho,
Mouka1 Mouka2 Kroupy Krupice Hrubá Mouka ai (hod) jakou měl vytvořenou zásobu vody
6
xij kij
7
12
4
6
1
1
3
2
bj(t) - požadavky na jeden den v tunách
Požadavky spotřebitelů jsou v jiných jednotkách než požadavky dodavatelů.
Xij je množství itého dodavatele na uspokojeni požadavku jetého spotřebitele. Nebo kolik jednotek jétého spotřebitele
přiřadíme k itému dodavateli.
Kij – nový parametr, koeficient průchodnosti (výkonnosti), převod jedné jednotky na druhou, tzn. jaká je spotřeba
kapacity na jednotku výroby jetého požadavku.
∑x
ij
⋅ k ij ≤ a i
ai = disponibilní kapacita
Mohu vyrobit nejvýše tolik produktů kolik... mno tak nic no ;) – nějak nedokončil větu
Přiřazovací problém
Zase obrázeček ;)
Úloha záchranky
Máme dispečink záchranné služby v rámci integrovaného sboru. Máme 4 dodavatele – to jsou stanice záchranné služby.
V jednom okamžiku každá disponuje právě jedním volným vozidlem. Dispečer dostane 4 tísňová volání. Problém
v běžném regionu by nebyl tak velký, kdyby mosty byly vhodně umístěné. U záchranné služby není tak důležitá
vzdálenost, ale rychlost – jde o jednoznačné přirazení, kterou sanitku kam poslat, aby na místě byla co možná
s minimálním časem.
Takže máme úlohu:
S1 S2 S3 S4
D1
7
5 11
3
1
D2
6
9 10
4
1
D3
7 12
7
6
1
D4
8
5
3 10
1
1
1
1
1
Suma sumy cij xij – xij můžu škrtnout, protože to jsou jedničky. Takže jde o nalezení celkového minima sazeb.
Časy mohou být různé.
Máme matici sazeb C [cij][m;m] – vnitřek tabulky
Cij prvky, m;m matice rozměru m;m.
Matice zobrazuje řez konkrétní situaci.
Protože okrajové hodnoty ai a bj jsou jedničky, pracujeme pouze s vlastni matici (hodnoty S1 az S4 a D1 az D4).
Hledáme
Z mni = ∑ i ∑ j ⋅ cij – hledáme takové řešeni, aby každý z těch 4 žádajících o pomoc měl průměrně stejnou
šanci.
Použijeme Maďarkou metodu. Autorem je profesor Kuhn. A nazval ji maďarskou podle dvou maďarských matematiků
Kıniga a Egerwarry.
www.pef-info.wz.cz
-
8-
Christy
Systémová analýza a modelování
přednášky
Řádková redukce:
4
2
1
5
Sloupcová redukce:
3
1
0
4
2
5
6
2
8
6
1
0
0
0
0
7
0
3
4
0
8
6
1
0
0
0
0
7
Našli jsme 4 nuly jako nezávislé, takže máme optimální řešení úlohy. To jsou ty modré nuly. Musím udělat to, aby
každá 0 byla samostatná v každém řádku. Tento vektor řešení je optimální.
1.
PRM – provedeme primární redukci matice (od každé řady, tj. každého řádku či sloupce, odečteme minimální
sazbu. Tím dostaneme v každé řadě alespoň jednu 0. Postup je obecný, takže můžeme vybírat řádek nebo
sloupec. Je to jedno. Úloha vůbec nepracuje s původními sazbami, ale s transformovanou maticí redukovaných
sazeb => redukovaná matice. Začneme řádky.
A máme tu obrázečíčínek ;)))))
(třetí obrázek)
Autobus jede a vyzvedává děti do školy. Okružní dopravní problém kapacitního typu.
U tohoto typu problému nám vystupují dvě důležitá hlediska – kapacita i (kolik dětí do autobusu nastoupí) a další je
v jakém časovém intervalu ti tj autobus musí daným uzlem projet. Máme dvě kritéria:
a) spotřeba nafty musí být minimální, protože se jezdí každý den, bráno 7x v týdnu (v sobotu jsou kroužky a v neděli je
nedělní škola spojena s bohoslužbou :))
b) minimální čekání dětí na autobus – aby měli přibližně všichni stejnou šanci dostat se do školy a minimálně čekat.
Toto se řeší pomocí cestou minimální trasy (minimálního okruhu), doba jízdy může být funkční náhodně proměnné,
konkrétní harmonogram se řeší pomocí Microsoft M$ Project jako časový harmonogram okružní úlohy. Tento M$
Project je vlastně algoritmizace grafu a sítí.
Průměrové systémové řezy objektem
Máme systém, který má 4 subsystémy. Tedy 4 agregované prvky. T1 až T4.
Mezi těmito prvky existuje úplná množina vazeb, které jsou obousměrné, tzn. ze každému prvku něco dodává, navíc
každý prvek má svoji zpětnou vazbu
Do systému vstupuje nějaká množina imputů - vstupů, které lze ohodnotit. Současně ze systému jako celku vystupuje
množina výstupů, které lze také ohodnotit.
Kvantifikace (hodnocení) všech vazeb může být - naturální nebo finanční (ve fyzikálních jednotkách). Např. spotřeba
energie, živin, uhlí nebo finanční - koruny, euro, dolary.
Do systému vstupuje množina prvků, které nazýváme primární činitelé - hodnota přidaná zpracováním.
Patří sem:
- ZPj - komplex nákladů vstupu vynaložených na pořízení pracovní síly a její platbu (veškeré pracovní vazby, pracovní
náklady včetně sociálního a zdravotního pojištění mzdy)
- Zoj - odpisy hmotného investičního majetku, podle typu majetku a typu subjektu můžu zvolit různou strategii odpisu
(zrychleně,…). Chová se jinak u budovy, jinak se chová pro HW složku informačního systému
- ZNj - ostatní materiálové náklady (jsou to ostatní přímé externí materiálové náklady, které nejsou zahrnuty uvnitř
systému).
Příklad: malá firma, můžeme jí rozdělit na 4 části, zahradnictví.
Systém P1 - věda, výzkum, rozvoj (šlechtění nových osiv, křížení, genové manipulace)
Systém P2 - skleníky a pařníky (zde lze regulovat chování objektu, můžu zalít, regulovat teplotu, hnojit - regulovatelný
prvek), 1/6 stochastičnosti (z 1/6 jme schopni regulovat, ovládat)
www.pef-info.wz.cz
-
9-
Christy
Systémová analýza a modelování
přednášky
Systém P3 - pozemky (volné, kde můžu zalévat, hnojit, okopávat, stříhat, dělat selekci, jsem zde ovlivněn konkrétním
průběhu klimatu). Tyto pozemky jsou na půl stochastického chování.
Systém P4 - finalizační (třídění, čištění, prodejna, sáčkování, marketing = finalizace).
Čtyři otázky:
1. celkový hospodářský výsledek - zisk nebo ztráta a nebo 0/0 - veškeré náklady se rovnají veškerým výnosům
(nerealizuji žádný zisk a ani nemám ztrátu)
Jak se který subsystém Pj podílí na tvorbě hospodářského výsledku systému jako celku?
2. P(i) x P(j) - zátěž - jakým způsobem, jakou váhou se dva prvky nebo subsystémy vzájemně nákladově zatěžují (míra
zátěže), jak se ovlivňují, tzn. jaký je jejich stupeň vzájemné závislosti.
3. deltaKSP - jestli se výrazně změní koupěschopná poptávka (klesne objem, naroste objem). Co se stane když se změní
koupěschopná poptávka a nebo když se změní realizační cena produkce?
4. deltami = +- deltaN
Co se stane, jestliže se změní cena imputů, dojde plusmínus k deltaN? Změna faktoru imputu
Dvojí pohled na každý segment - Pj (P1, P2, P3, P4)
První pohled - pohled dodavatelský = jde o množinu výstupních vazeb z daného segmentu (segment, prvek, subsystém,
výrobního úseku…)
Xj - jétý segment má dvě chování - chování dodavatelské a současně chování spotřebitelské. Jakým způsobem budeme
kvantifikovat toto chování?
První prvek P1 - laboratoře, manipulace, klimatizované prostory -> část svých poznatků je okamžitě použito dále.
Musím ocenit co je nového a co použiji dále (např. mam 500ha obilovin, po vyčištění a namoření si nechám část pro
vlastní osivo)
Vlastní výrobní spotřeba segmentu (feedback) - zpětná vazba (segment sám sobě)
Musí evidovat co první prvek dává ostatním prvkům v systému (druhému, třetímu, čtvrtému) => výrobní spotřeba
uvnitř systému (objektu)
Hold - výstup označený jako Y => realizovaná finální nebo tržní produkce daného segmentu
Pozn - modely tohoto typu analýzy lze používat na úrovni objektu, marketingového řetězce (Tesco), regionu, výrobkové
vertikály (maso, vejce = komodita regionu, nebo třeba celé česko, nebo EU)
2− 4
Vazba
x11 + ∑ xij + Y1 = X 1
j=z
x11 - systém P1 - něco vyrobím, část spotřebuji a dodělám vlastním prvkům podniku
x12 - systém P2
x13 - systém P3
x14 - systém P4
Y1 - finální produkce, může být Y = Y1 - Y2 (což je prodej a nákup)
X1 je celková hrubá produkce segmentu
Xij - celkové množství produkce, plynoucí z Itého dodavatelského do Jtého spotřebitelského odvětví. V případě i = j
(x11, x22, x33) tak jde o vlastní výrobu producenta (toho segmentu). Tomuto vztahu říkáme distributivní neboli
rozdělovací rovnice. Např. mám 100 Kč, abych mohl zaplatit 102, tak si musím vzít úvěr, jinak můžu rozdělit pouze
100 - nic se mi nemůže ztratit.
Xi - označujeme jako celková neboli hrubá produkce Stého odvětví jako dodavatelé
Yi - celková finalizovaná produkce Itého odvětví (tzn. prodej, tržní produkce segmentu, prodej)
Druhý pohled - pohled spotřebitelský. Týká se to systému P1
Z hlediska analýzy analyzujeme faktory - tj. podmínky, za kterých tato celková produkce vznikla
1 - musím započítat zpětnou vazbu x11
Potom vazby z ostatních prvků systému do tohoto systému. Vnitropodniková výrobní spotřeba. A zároveň sem vstupují
primární činitelé (odpisy, mzdy). Poslední primární činitel - vyrovnávací prvek (zisk nebo ztráta) Dohromady tento
součet řádku ve sloupci je Xj
Xj - celková hrubá produkce odvětví jako spotřebitele
www.pef-info.wz.cz
-
10 -
Christy
Systémová analýza a modelování
přednášky
Xi
X11
∑xij
Yi
Xj
X11
∑xij
∑pracovních činitelů
Xi je produkce
Xj jsou náklady (vstupy) na tuto produkci
Jestliže produkce je větší než náklady, tak hurá ☺ protože máme zisk
Jestliže produkce = náklady - varianta FF - fifty fifty, ale uhradil jsem náklady
Jestliže produkce je menší než náklady, tzn. máme ztrátu
Ekonomicko matematický model, který budeme nazývat strukturálním modelem (otevřený statistický strukturální
model)
Proč je model otevřený, Protože obsahuje finální produkci a finální činitele jako exogenní vstupy.
Uzavřený model by vypadal ta, že vše co systém vyrobí také sám spotřebuje (např. uzavřené ekonomiky státu,
zahraniční obchod byl minimální, knížectví, hrabství)
V tomto modelu není implicitně formulován faktor času, tzn. je to statistický model. Na mikroúrovni se obvykle dělá
jedenkrát za rok (analýza ročního hospodářského výsledku firmy, na hospodářské úrovni se dělá jedenkrát za tři roky)
P1
P2
P3
P4
Zpj
Znj
Zoj
Z/Z
P1 P2 P3 P4 Y
xi
0,3
19
0,2
15
0,1
15
0,2
5
I - římská jedna - kvadrant výrobní spotřeby
II - finální a celková produkce Y
III - kvadrant hodnoty přidané zpracováním, neboli primární činitele, tento kvadrant můžeme libovolně diferencovat na
stále zaměstnance, brigádníky atd.
IV - jsou to primární činitelé, kteří jsou investovány do realizace finální produkce. Tento kvadrant není povinný a
model funguje i bez něho.
Na hlavní diagonále může být nula - segment sám z vlastní produkce nic nespotřebuje. A všechno dává ostatním částem
podniku. Nebo na diagonále může být menší než 1 - Kdyby to bylo větší než 1 - svojí vlastní výroby spotřebuje víc než
výrobky. Tohle asi není dobré ;)
Tržní produkce je 54 miliónů (součet sloupce Y)
Kvadrant I je P1 až P4 a P1 až P4
Kvadrant II je Y a xi a P1 až P4
Kvadrant III je P1 až P4 a Zpj až Z/Z
Kvadrant IV je Y až xi a Zpj a ž Z/Z
Součet xi = xj pro všechna i = j
1. Dokončení strukturálních modelů
2. Speciální algoritmy typu přiřazovací problémy
Klasické problémy, kde se používají matice
I
II
III
IV
- čtvrtý kvadrant je nepovinný
xij - celkové množství produkce od dodavatele ke spotřebiteli
zjednodušili jsme na 3x3 segmenty systému
zisk nebo ztráta xj
www.pef-info.wz.cz
-
11 -
Christy
Systémová analýza a modelování
přednášky
y, xi
Y
1
0
1
3
2
2
6
1
4
2
3
1
3
1
2
2
2
1
z/z
6
-2
0
xj
14
11
16
xi
4
8
9
14
11
16
Sečteme zj a zjistíme že celkový zisk jsou 4
Součet nákladů se rovná součtu výnosů (produkce)
Nás zajímají jiné koeficienty:
aij - jednotkové koeficienty, neboli technologické, neboli technicko-ekonomické koeficienty produkce
Leontigev (čti Leontiev) - je nazval přímé výrobní koeficienty Leontigevovi modely
a ij =
xij
xj
- je to celkové množství produkce plynoucí z i-tého dodavatelského odvětví na jednotku celkové hrubé produkce j-tého
spotřebitelského odvětví (je to míra zátěže i ku j) - do jaké míry i-tý faktor zatěžuje j-tý proces
0,0714 0,2727 0,3750
0,0000 0,1818 0,0625
0,0714 0,1818 0,2500
- matice technicko-ekonomických koeficientů složená z prvků aij, která nám udává jak je spotřebitelské odvětví
zatíženo dodavatelským odvětvím
- tento princip lze použít na produkt, výrobkovou vertikálu, region, stát, celou EU
lze vytvořit matici [E-A], která je tvořená koeficienty aij
E
A
1
0
0
0
1
0
0
0 1
0,07
0
0,07
0,18
- první odvětví něco vyprodukuje, ale z toho 0,07 spotřebuje
0,0286 - leontiegova matice struktury (E-A)
- čistá volná zdrojová dodavatelská produkce odvětví (kolik z každé vyrobené koruny může uvolnit pro další
spotřebitele)
I. první strukturální vztah
r
[E − A] ⋅ X
r
=Y
pokud Leontievovu matici vynásobíme vektorem celkové hrubé produkce tj. vektorem disponibilních kapacitních
zdrojů, potom obdržíme vektor finální produkce, tj. vektor možný outputů jednotlivých agregátů (částí systémů) - kolik
si můžu dovolit nasmlouvat prodeje abych byl schopen to zajistit
II. druhý leontievovsky strukturální vztah
r
r
[E − A]−1 ⋅ Y = X
- zinvertujeme leontievovu matici - dostaneme prvky na minus prvou - koeficienty komplexní spotřeby lij-1
- vztah mezi i-tým dodavatelským odvětvím na finální produkcí j-tého spotřebitele
www.pef-info.wz.cz
-
12 -
Christy
Systémová analýza a modelování
přednášky
- budeme předpokládat že se v budoucnu nezmění technologie tzn. že se v podstatě nezmění struktura technickoekonomických koeficientů aij. Základ strukturálního modelu zůstane nezměněn.
- dostanu zadánu předepsanou hodnotu finální produkce - splň nebo zhyň
- vektorY - hodnota zadané, předepsané finální produkce
- hledáme vektorX - nutná nebo nezbytná dimenze segmentu tj. celková hrubá produkce odvětví, tak aby za dané úkoly
byli splněny
- uvnitř každé matice může existovat substituce živé práce zvěcnělou
- živá práce - když to dělám ručně
- zvěcnělou - strčím něco do stroje zmáčknu čudlík a hotovo
Jestliže I. leontievovu matici vynásobím zdroji, tak to odpočte vlastní spotřeby a hned to řekne jak můžu uzavřít
smlouvy (jak mám uzavřít smlouvy abych měl téměř jistotu že je naplním)
- žádný z těchto vztahů nelze nikdy brát deterministicky - vždy je tam nějaká náhoda
I. vztah - při zadané kapacitě zjistíme množství dodávek - stochastický
II. vztah - inverzní vztah - vztah dodavatelů a finální spotřeby, který vynásobený požadovanou hladinou primární
finální produkce (co musíme vyrobit a prodat abychom obstáli v konkurenci) nám říká jak máme dimenzovat kapacity
jednotlivých segmentů
Speciální úlohy
Příklad:
ai
1
D1
S1
1
1
D2
S2
1
1
D3
S3
1
--------------------------------------------Dm
Sm
ai - kapacity dodavatelů - jsou to jedničky
požadavky spotřebitelů jsou v těchto jednotkách také jednoty
S1
(x1) 3
(x4) 7
(x7) 5
1
D1
D2
D3
bj
x1
x2
1
S2
(x2) 4
(x5) 1
(x8) 4
1
x3
1
S3
ai
(x3) 2
(x6) 3
(x9) 6
1
x4
x5
1
1
1
3
x6
x7
x8
x9
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
=1
=1
1 =1
=1
1 =1
singulární
- potřebujeme aby tato matice byla regulární
- tyto dvě tabulky by měli být ekvivalentní
Základní matice úlohy Mz
3
7
5
4
1
4
2
3
6
www.pef-info.wz.cz
-
13 -
Christy
Systémová analýza a modelování
přednášky
- může mít šest ekvivalentních forem
1. Lij - vzdálenost
2. Tij - čas
3. Nij - náklad
4. Pij - procedurální
5. Eij - kvantifikovaný efekt (mimořádný zásah - převoz transplantovaného orgánu atd.)
6. Qij - vzácná úspora
1. primární redukce Mz (základní matice úlohy)
1
2
0
0
2
0
6
0
2
5
0
2
1
0
2
0
0
2
2, 1, 5 -> 8, 1, 4
3
7
5
4
1
4
2
3
6
Na začátku nám přečetl článek s nadpisem Překročená produkce mléka, milionové pokuty. Zatím nechápu smysl ;)
Základem systémové analýzy je optimalizovat podnikatelskyýprostor.
Rozhodovací prostor mám omezený ze shora.
První otázka: co je to systémová stabilita vazby?
Půjdeme po funkční logice modelových vazeb.
V našem pásmu jsme schopni pěstovat k typů plodin.
Len například prodávám, jiné rostlinné produkty mi vstupují jako zdroje krmiva. Pšenici můžu zkrmovat...
Jestliže mám omezení, jak to funguje?
Definujte postup omezení a jakým způsobem se omezení produkce mléka promítne v rozhodovacím prostoru
zemědělství a jeho segmentu zemědělské farmy.
Principem je zjistit dopad, tedy vliv omezení a postup řešení omezení produkce mléka na rozhodovací prostor
zemědělského sektoru a jeho segmentu zemědělské firmy.
Tak už tedy chápu, proč četl článek o mléku :)
Na tomto příkladu si chceme odvodit logiku systémové analýzy. Proč toto děláme a proč takto postupujeme.
Základním problémem je rozměr, rozsah, tedy celkové množství produkce mléka.
B1 je podmínka omezení z Bruselu. Dostali jsme přidělenou tak a tak velkou kvótu.
0>= je bilanční podmínka
www.pef-info.wz.cz
-
14 -
Christy
Systémová analýza a modelování
přednášky
R1
R2
R3
...k
P
k21
k22
...
kb
dojnice
b1 >=
0>=
-6000
litru za
rok
-0,5
(telatko
jalovicka)
0>=
0>=
telata
jalovice
hovezi
žír
1
S
1,05%
uhynu
ve
stari
do 6ti
mesicu
-0,5
(bycek)
0>=
1,1
-1
Susina
Stravitelne
dusikate
latky
skrobove
jednotky
jednotlivymi
krmivy
zelene seno,
silaz, sroty,
krmne smesy
1,27%
potrebuju
1,27%
jalovicky,
abych
dostal jednu
odchovanou
jalovici
v 5tem
mesici
-P
-P
-P
-P
S
S
S
S
-P
-P
-P
-P
S
S
S
S
-P
-P
-P
-P
-P
-P
-P
S
S
S
-P
-P
-P
S
S
S
-P
-P
-P
S
S
S
jednotka
S
S
S
S
S je koeficient spotřeby, pro kteroukoliv kategorii potřebuji kolik krmiva. Jsou to normy krmení pro jednotlivé
kategorie při dané užitkovosti.
P je zdroj těchto krmiv – producenti krmiv.
P a S je jedna velká podmatice.
Další řádek –P a S je místo, kde krmivo vzniká (+-)
Struktura systémových vazeb
- 1. základní rostlinná produkce – to je to – P vlevo dole (zde jsem omezen výnosy a )
- 2. krmivová základna – S uprostřed dole (základní užití rostlinné produkce)
www.pef-info.wz.cz
-
15 -
Christy
Systémová analýza a modelování
přednášky
-
3. živočišná výroba (využití disponibilních krmiv v živočišné výrobě, vždy to bude koeficienty rozdíl, kolik
smím vyrobit mléka)
240 000 smí daný podnik vyrobit. Jestliže 6000 litru má jedna kráva, takže 6x40 je 240 – nejvýše mě to omezuje, že
farma může mít nejvýše 40 krav. Jestliže se každá kráva otelí, tak dostanu 20 telátek jaloviček a 20 telátek býčků.
20/1,1=18 – nemůže vyrobit víc než 18 žíru, 1,3 zaokrouhleně jaloviček, které spotřebuji na vlastní reprodukci nebo na
prodej a prodám je na telecí.
Jestliže 50% dělají obyloviny, tak pak máme specializované technické plodiny, například brambory, len, kanabis sativa
(tak nějak :)
Teď následuje obrázek, který nepřečtu a ani nechápu.
Uděláme závěr: lze dokázat, že formulaci ohraničení maximální možné produkce mléka, lze předeterminovat (předurčit)
v běžných podmínkách výrobní strukturu zemědělského podniku, tedy firmy, z 80 – 95% rozhodovacího prostoru.
Jeden tento jediný ukazatel nám dokáže přeurčit chování všech vzájemně provázaných prvku v systému. A vím že je to
blbý, ale je to pravda :)
Teorie rozpisu, teorie přiřazení
Základní problém je přiřazení.
Matice z minula
342
713
546
Dnešní rozšíření:
34217
71354
54615
23415
16543
Jak se přepisují skripta, jsou nové úlohy a příklady, tak se zapomnělo, že přiřazovací problém je dvojího typu. Existují
dva typy přiřazovacího problému.
Kvóta v Bruselu je přiřazovací problém obecný.
Mám čtvercovou matici a okrajové hodnoty jsou jednotky (1) – jde o celočíselné prvky. A jiný problém je, jestliže mám
čtvercovou matici a jsou tady celočíselné násobky:
3
4
1
2
3 2 2 3 10
Součet řádků nebo sloupce je 10. Na okraji nejsou jednotky a to je zobecněný přiřazovací distribuční model.
SUMA(ai) = SUMA(bj)
Logický doplněk:
Matici můžu interpretovat pěti způsoby současně. Mluvíme o matici okrajové hodnoty jednotky.
1. jednostupňová dopravní úloha (přímá)
2. matice zobecněného distribučního problému (při stejném počtu zdrojů a spotřebitelů)
3. přiřazovací problém
4. incidenční matice síťového grafu
5. přímý okružní dopravní problém
Budeme řešit základní přiřazovací problém:
Uděláme primární redukci:
Začneme řádky nebo sloupci, začneme řádky.
www.pef-info.wz.cz
-
16 -
Christy
Systémová analýza a modelování
přednášky
34217
71354
54613
23415
16543
Redukce řádková
23106
60243
32401
12304
05432
Od každé řady jsme odečetli minimální sazbu této řady. Nyní musíme udělat sloupcovou redukci, protože tam mám dvě
nuly.
23005
60142
32300
12203
05331
Primární tvar primárně redukované matice u které máme zajištěno, že v každé řadě, to jest v řádku a sloupci, máme
alespoň jednu nulu. Tedy hledáme takové řešení, které může byt minimální nebo maximální. Opravdu to odpovídá.
Zmin/max = SUMAi(SUMAj(Cij))
Problém: danou úlohu chci maximalizovat.
- otočím koeficienty a vynásobím mínus jedničkou
43560
06423
23154
54362
61234
Udělal jsem matici, ze součet původní sazby a nové sazby dá novou sazbu a to je 7.
Tedy matici doplňku. Minimalizace sazeb doplňku je vlastně maximalizaci původní matice. A lze matematicky dokázat,
že obě matice mají shodné vlastnosti. A mohu s touto maticí doplňku pracovat shodně jako s maticí původní.
23005
60142
32300
12203
05331
Tuto matici podrobím testu nezávislých nul.
Z primárně redukované matice jsme vybrali 5 tzv. (to je maximální počet). Přičemž nezávislou nulou rozumíme
takovou, kterou chápeme jako samu takovou nezávislou nulou. V řádku i sloupci. V jedné řadě nesmí být dvě nezávislé
nuly.
Kınig Egerwarryho teorem:
Maximální počet lineárně nezávislých prvků, tedy nul, které lze vybrat z matice je roven minimálnímu počtu krycích
čar, kterými lze pokrýt (přeškrtnout) všechny nuly matice.
Najdu si 0 v prvním řádku. Je uprostřed, ale za ní je ještě jedna 0. První řádek matice škrtnu – to se nazývá krycí čára.
Druhý řádek taky přeškrtnu, krycí čára 2.
Krycí čára tři je škrtnutý první sloupec.
Krycí čára 4 je škrtnutý třetí řádek.
Krycí řádek 5 je škrtnutý 4 sloupec.
www.pef-info.wz.cz
-
17 -
Christy
Systémová analýza a modelování
přednášky
Nalezené řešení je optimální, protože nezbyla žádná neobsazená nula.
A je to toto:
34217
71354
54613
23415
16543
Barevna čísla jsou na místech, kde v matici při testu nul jsou nuly.
Představme si ovšem, že máme takovouto matici:
310
100
056
Modré prvky jsou vybrané. Zbylou nulu nemůžeme vybrat, protože v tomto řádku jsme již nulu vybraly, to znamená, že
jsme postupovali špatně.
Krycí čára má vlastně tři funkce:
- jakoby u simplexu zj – cj = grafický test optimality
- kontrola správnosti postupu, to jest kontrola řešení v daném kroku
- základ tzv. sekundární redukce matice
Může nastat případ:
0000
0000
0000
0000
Modré jsou vybrané. Žádná nula už nezbývá. Krycí čára je základem sekundární redukce matice. Takže vytvořím
sekundární matici.
Prvky rozdělíme na Cij delta a na prvky Cij delta, které jsou přeškrtnuté.
Princip sekundární redukce:
Ve skryptech to je popsané podrobně – v kterých??
Počet vybraných prvku je 3, matice je 4x4 – nejsme v optimu. Systém krycích čar zkontroloval, že jsme to vybrali
správně. Tak.
1. určíme minimální z nepokrytých prvků (minimální prvek je 1)
2. prvky přeškrtnuté jednou vodorovně nebo vertikálně necháme bezezměny
3. nepřeškrtnuté prvky redukujeme o minimální prvek
4. prvky přeškrtnuté dvakrát seshora a vodorovně zvýšíme o minimální prvek
Dvě krycí čáry se nesmí křižovat v nezávislé nule.
Původní matice:
1305
0004
1302
4560
A tu upravíme podle pravidel na:
0204
0014
0201
4570
www.pef-info.wz.cz
-
18 -
Christy
Systémová analýza a modelování
přednášky
Poznámka: výběr nezávislých nul se provádí na základě konečného počtu heuristik (ze slova heuréka, přišel jsem na
to!!, => aha efekt :))), takže heuristika je zkušenostní princip nebo heuristiky implementované do rozhodovacích
algoritmů), které mohou být ... viz závorka.
Úprava poslední matice:
- krycí čáru uděláme na posledním sloupci
- krycí čára druhý řádek
- a nyní mám výběr, vybírám třetí řádek první 0 a škrtám třetí řádek
- a pak krycí čára na třetí sloupec
a máme optimální řešení. Vždy to lze nějak najít.
Teorie hromadné obsluhy
Máme tři druhy problému.
Systém vzniku požadavku (ZCHD) (ten je pro nás nekonečny) -> kanál obsluhy (místnost mistra ;) -> opustí prostor
|________________________________|
Zpětná vazba
ZCHD – zkoušky chtivý dav, nekonečny
20 terminu
286 -info
250 - paa
64 35 - wsrr
SUMA = 635 lidi
- 7:00 písemná zkouška v délce 90 minut
- nelze zkoušet víc lidí než 25 denně
- horní hranice = 25 (28)
- 4 lidí za hodinu
- průměrný čas 12 minut
- ústní trvá různě dlouho, 5 minut, 10 minut ... = doba zkoušení je náhodný proces (TZ = doba zkoušení = náhodný
proces)
Studenti průměrně budou chodit po 4 za hodinu. Náhodně budou přicházet a za hodinu budou 4. Pokusíme se zjistit
náhodné charakteristiky zkoušky.
Hlavni charakteristiky:
Intenzita vstupu
Intenzita obsluhy (čas
věnovaný na studenta)
Intenzita provozu
Prumerny pocet
jednotek v systemu
(studentu v celem
kanalu obslouhy)
Prumerny pocet n
jednotek ve fronte
Prumerna doba
stravena v systemu
Prumerna doba cekani
ve fronte
Pravdepodobnost
nuloveho casu cekani
ve fronte
www.pef-info.wz.cz
Lambda
4 studenti / hodina
12 minut prumerne =
1/5, 5 za hodinu
P = 4/5 = 0.8
ní
P = (lambda / ní)
n = P/(1-P)
n = 0.8 / (1 – 0.8) = 0.8 /
0.2 = 4
nf = P*P / (1-P)
nf = 0.8*0.8*0.2=3.2
Tc = 1/(ní – lambda)
Tc = 1/(5-4)
Tf = lambda / (ní * (ní – lambda))
4/5 * (5-4) = 48 minut
P0 = 1-P
1-0.8 = 0.2
-
19 -
s 20% pravdepodobnosti
muzu ocekavat, ze prijdu
na radu bez cekani
Christy
Systémová analýza a modelování
přednášky
Systém obsluhy = fronta a kanál obsluhy
Fronta s netrpělivosti – někdo nevydrží a odejde
Jde o stochastický proces, tři známé tváře budou trvat kratší dobu
Tabulka obsahuje – náhodně (stochastické) parametry modelu teorie hromadné obsluhy
Do chování systému vstupují nahodilosti, náhodné vlivy.
- máme staré opečovávané auto Škoda DoDo = Škoda 105 DoDo = Škoda 105 Dodělej Doma :))))
Poruchy v čase:
Osa x1 = funkce času
Osa x2 (vertikála) = intenzita poruch (pravděpodobnost vzniku poruchy)
- škodovka 180 000 km
- na konci grafu ale intenzita poruchy začala stoupat
- buď jí připravit na generálku a nebo prodat – vrchol grafu = GO (generální oprava)
Graf
Stochastických systémů máme celou řadu
- uzavřené
- otevřené
- acyklické
- cyklické
- s konečným počtem prvků
- s nekonečným počtem prvků
V každém systému můžeme udělat definovaný prvkový řez.
4 základní skupiny:
1. THO – TF = teorie front – varianty s různými možnostmi (let do Ameriky je jiný než let do Británie)
2. TZ – TS = teorie zásob nebo teorie skladu
Opravuji motorky, musím mít náhradní díly, které musí být neustále připravené (baterie, svíčky, filtry).
MAX H = maximální hladina zásob
Wilson – model teorie zásob
Spotřeba se chová buď lineárně a nebo schodově nepravidelně a nebo schodově pravidelně (lin. Skok. Diskr).
TOZ - doba obnovy zásoby.
Rezervní hladina – pod tuto hladinu by zásoba neměla nikdy klesnout, aby byl podnik stabilní.
Rezervní hladina se chová jako pilový graf na ose X. (vždy klesne a zase se nakoupí, takže jde kolmo nahoru a zase
klesá).
THopt – hladina optimálních zásob v čase
Evidenční statistické měření nebo průměrná cena a plocha čerpání, tedy pomocí integrálu.
Problém – implicitní formulace funkce spotřeby.
0,992 spolehlivost – porucha je na 8 promile. 0,008 je pravděpodobnost poruchy.
1) jaká je P(i) porucha a zda daný den porucha vznikne nebo nevznikne
2) ? t delta
3) ? tz
Jde toto matematicky naformulovat a nagenerovat? Ano.
678 dni provozu – 37 poruch
37/687 = 0,0538 – porucha se může objevit s pravděpodobností 5%.
Porucha nemůže být záporná.
Do 16ti hodin jsme schopni opravit poruchu.
Průměrná doba poruchy je 4,5 a porucha se chová podle normálního gaussova rozdělení. Maximum poruch bylo se
středem 4,56 a to je ni, střední hodnota poruchy.
Distribuční funkce poruchy
- -nekonečno až +nekonečno
- X = časová osa t
- chová se podle normálního rozdělení
- Nyní následuje těžký a mocny integrál
www.pef-info.wz.cz
-
20 -
Christy
Systémová analýza a modelování
přednášky
Teorie síťové analýzy (teorie síťových grafů)
Dvě hlavní cesty, dvě spojky. Uzly 1 až 10 jsou svítilny. Lampy mohou být různě silné a mohou mít různý dosah, takže
první úkol je maximální možné osvětlení (maximální rozsah plochy pokrýt minimálním počtem lamp).
Lampy můžeme propojit soustavou čar. Vznikne graf, který při otočení připomíná smrček - je to graf typu strom. Má
libovolný konečný počet větví.
U větví hovoříme o stupni větvení.
Teorie sítí a grafů patří mezi nejobecnější formy zobrazení. Jde o matematicky velmi elegantní algoritmy, které v
podstatě byly rozvíjeny teoreticky od 30. let dvacátého století.
Metody analýzy sítí
obr. 4
Síťový graf má dva typy komponent:
1. uzly (kolečka)
2. hrany, cesty, spojnice, trasy, subtrasy (šipky)
Při konstrukci přiřadíme roli aktivní nebo pasivní.
Z tohoto hlediska rozlišujeme čtyři základní typy síťových grafů.
1. Hranově orientované grafy (HOG) - hrany nám zobrazují konkrétní operace, konkrétní činnosti, které jsou aktivní,
zatímco uzly zobrazují pouze technologické návaznosti těchto operací a sami nečerpají žádný faktor
i Nij j
2. Uzlově orientované grafy (UOG) - hrany jsou uzlově orientované a vymezují vztahy, ale nositelé kvantifikací jsou
uzly
3. Kombinované (hranově-uzlově) orientované grafy (HUOG)
4. Intervalově orientované grafy (IOG)
Pomocí těchto grafů lze zformulovat libovolnou matematicko-logickou úlohu.
První problém je že si musíme očíslovat nakreslenou síť. Abychom mohli definovat operace, musíme očíslovat uzly.
- víme kde je 0 (počáteční uzel) a K (koncový uzel)
- jedem zleva doprava
- potřebuji dosáhnout takového vztahu, aby pro každou dvojici uzlů, která je spojena hranou, hrana vychází z
uzlu Ui (vstupní uzel), Uj (vstpní uzel) bylo i menší než j (aby to šlo vždy z menšího do většího).
o První přístup - pragmaticky, graficky, škrtací metoda
o Druhý přístup - pro velké soubory, používá se algoritmus Ford-Fulkerson
- cesty vystupující z 0 jsou cesty I. řádu
- uzly stejného řádu lze označit v libovolném pořadí
- u žádného uzlu neexistuje žádná zpětná vazba - zpětný cyklus k uzlu
- vnitřní zpětná vazba
- celkový zpětný cyklus
= Acyklický síťový graf s konečným počtem uzlů a hran
=> Pokud je všechno výše popsané splněno jedná se o orientovaný síťový graf
Orientace
- očíslovali jsme uzly, operace mají jednosměrné šipky = graf je orientovaný - orientovaný síťový graf
- daný síťový graf musíme kvantifikovat (kvantifikace síťového grafu)
- nad šipky jsme napsali čísla - tím jsme udělali kvantifikaci hran sítě pomocí generování náhodných čísel
- čísla nám říkají např. dobu trvání činnosti Tij
- obr. 5
- Ti0 - termín nejdříve možného výskytu uzlu
- Ti1- termín nejpozději přípustného výskytu uzlu
1) uzly počáteční
2) uzel koncový
3) jedna jedna
www.pef-info.wz.cz
-
21 -
Christy
Systémová analýza a modelování
přednášky
4) koncentrický (soustředný)
5) odstředivý (excentrický, distributivní)
6) transformativní
-
Budeme zleva doprava vyplňovat termíny nejdříve možných výskytů
-
RI - Interferenční rezerva uzlu
-
R I = Ti (1) − Ti ( 0 ) - kritická rezerva - jestliže je 0 neexistuje rezerva uzlu a
daný uzel nazýváme kritickým tzn. že jím prochází kritická cesta
kritická cesta - nejdelší logická posloupnost od počátečního ke končenému uzlu. Prochází uzly, které mají 0
interferenční neboli kritickou rezervu
Teď počítáme nejpozději přípustné výskyty - proti směru šipek, bereme nominální hodnoty
www.pef-info.wz.cz
-
22 -
Christy