Přehled vztahů k problematice spoření, důchody, anuitní splácení

Přehled vztahů k problematice
spoření, důchody, anuitní splácení úvěru
Poznámka: Veškeré sazby je do uvedených vzorců nutno dosazovat v jejich relativním
vyjádření! V případě zdaňování úrokových příjmů je nutno dosazovat čistou úrokovou sazbu
v relativním vyjádření.
1) Spoření (základní vztah)
 m ± 1  (1 + r )n − 1
Kc = K ⋅ m ⋅ 1 +
⋅ r ⋅
2 ⋅ m 
r

kde:
• Kc = naspořená částka
• K = výše pravidelné úložky
• m = počet úložek K za jedno úrokovací období
• r = úroková sazba za úrokovací období (popř. očištěná o daň z příjmů)
• n = počet úrokovacích období ukládání úložky K
• znaménko plus je ve vzorci užito v případě tzv. předlhůtního spoření a znaménko mínus je
užito v případě polhůtního spoření.
2) Výpočet doby spoření




Kc
⋅
r

ln
+ 1
m ±1


 K ⋅ m ⋅ (1+ 2 ⋅ m ⋅ r ) 

n= 
ln(1 + r )
kde:
• Kc = naspořená částka
• K = výše pravidelné úložky
• m = počet úložek K za jedno úrokovací období
• r = úroková sazba za úrokovací období (popř. očištěná o daň z příjmů)
• n = počet úrokovacích období ukládání úložky K
• znaménko plus je ve vzorci užito v případě tzv. předlhůtního spoření a znaménko mínus je
užito v případě polhůtního spoření.
1
3) Bezprostřední důchod
a) dočasný
 m ± 1  1 − vn
D = m ⋅ a ⋅ 1 +
⋅ r  ⋅
r
 2⋅m 
kde:
• D = současná hodnota důchodu (neboli „jaká částka musí být nyní uložena“)
• a = výše pravidelné platby /anuity/
• m = počet anuit obdržených za jedno úrokovací období
• r = úroková sazba za úrokovací období (popř. očištěná o daň z příjmů)
• v = diskontní faktor = 1/(1+r)
• n = počet úrokovacích období výplaty anuity
•
Znaménko plus bude ve vzorci užito v případě tzv. předlhůtního důchodu, neboli pokud je
anuita pravidelně pobírána vždy na počátku určitého časového intervalu (měsíce, čtvrtletí,
pololetí, roku apod.) a znaménko mínus bude užito v případě polhůtního důchodu, neboli
při pobírání anuity vždy na konci tohoto intervalu.
b) věčný důchod
 m ±1  1
D = m ⋅ a ⋅ 1 +
⋅ r  ⋅
 2⋅m  r
kde:
• D = současná hodnota důchodu
• a = výše pravidelné platby /anuity/
• m = počet anuit obdržených za jedno úrokovací období
• r = úroková sazba za úrokovací období (popř. očištěná o daň z příjmů)
• Znaménko plus bude ve vzorci užito v případě tzv. předlhůtního důchodu, neboli pokud je
anuita pravidelně pobírána vždy na počátku určitého časového intervalu (měsíce, čtvrtletí,
pololetí, roku apod.) a znaménko mínus bude užito v případě polhůtního důchodu, neboli
při pobírání anuity vždy na konci tohoto intervalu.
2
4) Odložený důchod
a) dočasný
 m ± 1  1 − vn k
D = m ⋅ a ⋅ 1 +
⋅ r  ⋅
⋅v
r
 2⋅m 
b) věčný
 m ±1  1 k
D = m ⋅ a ⋅ 1 +
⋅ r  ⋅ ⋅ v
 2⋅m  r
Proměnné v členu vk znamenají: v = diskontní faktor = 1/(1+r), kde r = úroková sazba platná za úrokovací období
(popř. očištěná o daň z příjmů), k = počet úrokovacích období odkladu výplaty anuity. Formát úrokovacího období
i úrokovou sazbu (popř. i sazbu daně z příjmů) je nutno uvažovat platné v období odkladu výplaty anuity.
Z uvedeného plyne, že bezprostřední důchod je poté takový důchod, kde k = 0 a člen vk je tedy roven jedné, a proto
nemusí být ve vztazích pro bezprostřední důchod uváděn.
Dále je nutné si uvědomit následující skutečnost: obě pravé strany u výše uvedených vztahů lze rozdělit na dvě
části. První část pravé strany zahrnuje vždy vše kromě členu vk. Tato část se týká období výplaty anuity. Druhá část
pravé strany je pak tvořena pouze členem vk a týká se období odkladu výplaty anuity. Jelikož v každém z těchto
období mohou být odlišné úrokové sazby či může být odlišné úrokovací období, je nutno při stanovení hodnot
proměnných, které budou dosazeny do vztahu, postupovat v rámci těchto období odděleně a také se zvýšenou
pozorností.
5) Dočasný bezprostřední důchod (polhůtní) rostoucí tempem g (pro m =1)
a) dočasný důchod
1+ g 
1− 

1+ r 

D =a ⋅
r−g
b) věčný důchod
n
D=
a
, pro g<r
r−g
kde:
• D = současná hodnota důchodu
• a = výše pravidelné platby /anuity/
• r = úroková sazba za úrokovací období (popř. očištěná o daň z příjmů)
• g = tempo růstu anuity
• n = počet úrokovacích období výplaty anuity
Poznámka: V případě aplikace odkladu by opět došlo k vynásobení vk.
3
6) Kombinace spoření a důchodu
Kombinace spoření a důchodu je založena například na principu, že nejprve probíhá fáze spoření a poté
z naspořené částky probíhá fáze důchodu. Tedy na principu, že naspořená částka se rovná současné hodnotě
důchodu, neboli Kc = D.
Pokud mezi okamžikem ukončení spoření a okamžikem počátku výplaty důchodu probíhá pouze úročení
naspořených peněžních prostředků, je aplikován odložený důchod, v opačném případě je aplikován
bezprostřední důchod. Při výpočtech kombinace spoření a důchodu je tedy celý proces nutno rozlišit minimálně
na tři období, jelikož v každém z těchto období mohou být odlišné podmínky, které ovlivňují výpočet /např.
formát úrokovacího období, výše úrokové sazby apod./. Jedná se o následující tři období: 1) období fáze spoření
a v rámci fáze důchodu se jedná jednak o 2) období odkladu výplaty anuity /pokud k odkladu došlo/ a jednak o
3) období výplaty anuity. V rámci těchto třech období je nutno na základě úrokovacího období platném
v jednotlivých obdobích správně určit hodnoty proměnných a dosadit je do následujícího vztahu, a to vždy do
části, která se daného období týká. Levá strana rovnice se týká období fáze spoření, poslední člen pravé strany se
týká období odkladu výplaty anuity a pravá strana bez posledního členu se týká období výplaty anuity. Poté se
již vypočte poslední neznámá, kterou velice často bývá výše úložky K.
 m ±1  (1+ r )n −1
 m ±1  1 − vn k
K ⋅ m ⋅ 1+
⋅ r  ⋅
= a ⋅ m ⋅ 1 +
⋅ r  ⋅
⋅v
r
r
 2⋅m 
 2⋅m 
Existuje i více typu příkladu, kdy se kombinace současné a budoucí hodnoty anuity využívá a vždy se
jedná o kombinaci vzorečků pro tyto dvě hodnoty, někdy společně s dalšími vztahy (např. se základním
vztahem pro složené úročení). Viz příklady k procvičení.
7) Výpočet stejné /neměnné/ splátky – tzn. anuity při anuitní splácení
úvěru
a = D⋅
r
1− vn
kde:
•
D = počáteční výše úvěru
r = úroková sazba za úrokovací období
v = diskontní faktor [v = 1/(1+r)]
n = počet úrokovacích období splácení úvěru.
8) Úrok v x-tém úrokovacím období u anuitního splácení
U x = a ⋅ (1 − v n − x +1 )
kde:
•
Ux = výše úroku v x-tém úrokovacím období (v x-té anuitě)
•
a = výše anuity
r = úroková sazba za úrokovací období
v = diskontní faktor [v = 1/(1+r)]
n = počet úrokovacích období splácení úvěru.
4
9) Úmor v x-tém úrokovacím období u anuitního splácení
M x = a ⋅ v n − x +1
kde:
•
Mx = výše úmoru v x-tém úrokovacím období (v x-té anuitě)
•
a = výše anuity
r = úroková sazba za úrokovací období
v = diskontní faktor [v = 1/(1+r)]
n = počet úrokovacích období splácení úvěru.
10) Nesplacená část úvěru na konci x-tého úrokovacího období u
anuitního splácení
1 − v n− x
D x = a⋅
r
kde:
•
Dx = nesplacená část úvěru na konci x-tého úrokovacího období
•
a = výše anuity
r = úroková sazba za úrokovací období
v = diskontní faktor [v = 1/(1+r)]
n = počet úrokovacích období splácení úvěru.
11) Splácení úvěru rostoucí splátkou tempem g
a = D⋅
První splátka :
r−g
1+ g 
1− 

 1+ r 
n
Každá následující splátka = předchozí splátka * (1+g)
kde:
D = počáteční výše úvěru
r = úroková sazba za úrokovací období
g = tempo růstu splátky v relativním vyjádření
n = počet úrokovacích období splácení úvěru.
5
12) Stanovení počtu úrokovacích období splácení dluhu
D ⋅ r

ln  1 −


a 
n=
ln v
kde:
• D = počáteční výše dluhu
• r = úroková sazba za úrokovací období
• v = diskontní faktor [v = 1/(1+r)]
• a = výše stejné splátky /anuity/.
13) Stanovení výše poslední splátky

1 − v n −1 
 ⋅ (1 + r )n
a n =  D − a ⋅
r 

kde:
an = výše splátky v posledním úrokovacím období
D = počáteční výše úvěru
r = úroková sazba za úrokovací období
v = diskontní faktor [v = 1/(1+r)]
a = výše stejné splátky /anuity/.
6